Wir nutzen den Tipp und schreiben unser Polynom
$p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ in der Form
\[
p(x) =q(x) L(x)+r(x),
\]
wobei $L(x)=3x^2-1$ gerade $\pm\frac{1}{\sqrt 3}$ als Nullstelle hat und
$r$ linear ist.

Wir erhalten 
\[
 q(x)=\frac{ax+b}{3}, \; r(x)= \frac{3c+a}{3} x+ \frac{3d+b}{3}.
\]

Zun\"achst ist
\[
p(-\frac{1}{\sqrt 3}) + p(\frac{1}{\sqrt 3})=
2 \frac{b+3d}{3}.
\]

Wir erhalten umgekehrt
\[
\int_{-1}^1 r(x) \ dx = \left[ \frac{3c+a}{6} x^2 + \frac{3d+b}{3}x\right]_{-1}^1=2\frac{3d+b}{3}.
\]
Dies entspricht exakt dem Wert $p(-\frac{1}{\sqrt 3}) + p(\frac{1}{\sqrt 3})$.
Das ist aber auch klar, denn aus der Darstellung 
$p(x) =q(x) L(x)+r(x)$ folgt bereits 
$p(\pm\frac{1}{\sqrt 3}) =r(\pm\frac{1}{\sqrt 3})$.

Es bleibt zu zeigen, dass $\int_{-1}^1 L(x) q(x) \ dx =0$ ist.
Dies sieht man z.B. so. Sei $M(x)=x^3-x$ Stammfkt. zu $L$.
\begin{eqnarray*}
\int_{-1}^1 L(x) q(x) \ dx &=& \left[M(x) q(x)\right]_{-1}^1- \underbrace{q'(x)}_{\mbox{konstant}} \int_{-1}^1 L(x)  \ dx\\
 &=& \left[M(x) q(x)\right]_{-1}^1- q'(x)\left[M(x)\right]_{-1}^1
\end{eqnarray*}
Da $M(1)=M(-1)$ ist, verschwindet das Integral, also ist die Formel exakt.

Man beachte, dass $\int_{-1}^1 L(x) q(x) \ dx =0$  f\"ur jede lineare Funktion
 $q$ gilt!
Man nennt $L(x)$ zweites Legendre--Polynom. Die Legendre--Polynome sind 
orthogonale Polynome bzgl. des durch $(f,g)=\int_{-1}^1 f(x)g(x) \ dx$ 
gegebenen inneren Produktes. Und das Legendre Polynom vom Grade $k$ steht in diesem
Sinne senkrecht auf allen Polynomen vom Grade $<k$.
Insbesondere ist dies f\"ur $k=2$ richtig.
Wir k\"onnen diesen Trick also verallgemeinern:

Sei $p$ Polynom vom Grade $2k-1$ und schreibe wieder
\[
p(x)=L_k(x)q(x)+r(x)
\]
wobei $L_k$ das Legendre--Polynom vom Grade $k$ ist und $r$ vom Grade $k-1$.
Da $p$ den Grad $2k-1$ hat, ist auch $q$ vom Grade $k-1$.
Damit ist
\[
\int_{-1}^1 p(x) \ dx =
\int_{-1}^1 L(x)q(x) \ dx  +
\int_{-1}^1 r(x) \ dx =\int_{-1}^1 r(x) \ dx.
\]
Andererseits gilt aber in den Nullstellen $\xi_1,\dots,\xi_k$ von $L_k$
\[
p(\xi_i)=r(\xi_i), \; i=1,\dots,k.
\]
Damit ist $r$ die zu $(\xi_1,p(\xi_1)),\dots,(\xi_k,p(\xi_k))$ geh\"orige
eindeutige Lagrange--Interpolierende vom Grade $k-1$.
Wir k\"onnen also nur durch Vorgabe von 
$(\xi_1,p(\xi_1)),\dots,(\xi_k,p(\xi_k))$ eine Quadraturformel bekommen,
die exakt f\"ur jedes $p$ vom Grade $2k-1$ ist.


