Sei $A\in\C^{n,n}$ und $\mu\in\C$. Zeige:
\begin{enumerate}
\item\label{numI/uebung109-a} $A-\mu I$ ist eine nichtzerfallende obere Hessenbergmatrix. Wir k\"onnen
      jede obere Hessenbergmatrix durch eine Folge von Givensrotationen 
      in eine obere Dreiecksmatrix \"uberf\"uhren.
      Dann ist 
\[
Q=\pmatrix{ c_1& s_1 & \cr
            -s_1&c_1 & \cr 
                &    & I_{n-2}}
         \pmatrix{1&&&\cr
                   &c_2& s_2 & \cr
                   &-s_2&c_2 & \cr 
                   &    &    & I_{n-3}}\cdots
         \pmatrix{I_{n-2} &&\cr
                  & c_{n-1}& s_{n-1} & \cr
                   & -s_{n-1}&c_{n-1} }
\]
und das Produkt ist eine obere Hessenbergmatrix, wenn man die Faktoren von links
nach rechts zusammenmultipliziert. 
Da $A-\mu I$ nicht zerfallend ist und im $i$--ten Eliminationsschritt 
der $QR$--Zerlegung nur Zeile $i$ und $i+1$ ver\"andert werden, bleiben
$a_{i+2,i+1},\dots,a_{n,n-1}$ unver\"andert. Damit steht aber in jedem 
Eliminationsschritt $i$ mit Ausnahme des letzten immer ein von $0$ verschiedener 
Wert in Spalte $i$ der Restmatrix. Weil orthogonale Transformationen die
2--Norm erhalten, m\"ussen deshalb $r_{11},\dots,r_{n-1,n-1}$ von $0$ verschieden
sein.
Ist dar\"uberhinaus $\mu$ ein Eigenwert von $A$, dann ist $A-\mu I$ singul\"ar.
Weil aber $r_{11},\dots,r_{n-1,n-1}$ von $0$ verschieden
sind, bleibt $r_{nn}$ nichts anderes \"ubrig, als $0$ zu sein.
\item $H=Q^H AQ=Q^H(\mu I+QR)Q=\mu I+RQ$. Da $Q$ obere Hessenbergmatrix ist und
      $R$ eine obere Dreiecksmatrix, ist $RQ$ obere Hessenbergmatrix und damit
      auch $H$.
      Ist  $\mu$ ein Eigenwert von $A$, dann ist $r_{n,n}=0$.
      Dann steht aber in der letzten Zeile von $\mu I+RQ$ nur $\mu$ in der
      Position $(n,n)$. Folglich ist die letzte Spalte von $Q$ ein Linkseigenvektor
      von $A$, denn 
\[
(Qe_n)^HA = e_n^\top H Q^H = \mu e_n^\top Q^H = \mu (Qe_n)^H.
\]
\item 
\[ 
      (A-\mu I)(A-\bar{\mu}I) = A^2 - (\mu+\bar{\mu}) A+ \mu\bar{\mu} I \in\R^{n,n}
\]
\item Es ist
\[
H=A^2-2\alpha A+(\alpha^2+\beta^ 2)I=(A-\mu I)(A-\bar{\mu}I)
\]
singul\"ar, weil $\mu$ ein Eigenwert von $A$ ist.
In v\"olliger Analogie zu Teil \ref{numI/uebung109-a} sehen wir, dass
$r_{11},\dots,r_{n-2,n-2}$ von Null verschieden sind.
Das liegt daran, dass die Eintr\"age $h_{3,1},\dots,h_{n,n-2}$ Produkte
von Eintr\"agen von $a_{21},\dots,a_{n,n-1}$ sind.
Dies Argument funktioniert nicht mehr f\"ur $r_{n-1,n-1},r_{nn}$. Da die Matrix aber 
singul\"ar ist, muss mindestens einer der beiden Eintr\"age $0$ sein.
\end{enumerate}
