Sei $A\in\C^{n,n}$ eine nichtzerfallende obere Hessenbergmatrix und $\mu\in\C$. Zeige:
\begin{enumerate}
\item Falls  $A-\mu I=QR$ eine $QR$--Zerlegung von $A-\mu I$ ist, dann ist
      $Q$ eine obere Hessenbergmatrix (d.h. $q_{ij}=0, i>j+1$).
      Ist  $\mu$ ein Eigenwert von $A$, dann ist $r_{nn}=0$.
\item $H=Q^H AQ$ ist eine obere Hessenbergmatrix.
      Ist  $\mu$ ein Eigenwert von $A$, dann ist $h_{n,n-1}=0$.
      Was bedeutet das f\"ur die letzte Spalte von $Q$?
\item Nehme an $A$ sei reell. Dann ist auch
      $(A-\mu I)(A-\bar{\mu}I)$ is reell.
\item Sei $A$ reell und $\mu=\alpha+i\beta$ ein Eigenwert von $A$. 
      Falls $A^2-2\alpha A+(\alpha^2+\beta^ 2)I=QR$ eine $QR$--Zerlegung ist,
      dann ist 
      $\pmatrix{r_{n-1,n-1} & r_{n-1,n}\cr 0&r_{nn}}$ is singul\"ar.
\end{enumerate}
