Es ist
\begin{eqnarray*}
B&=& Q^HAQ\\
 &=& Q^HAp(A)R^{-1}\\
 &=& Q^Hp(A)AR^{-1}\\
 &=& RAR^{-1}.
\end{eqnarray*}
Letztere ist Produkt von oberen Dreiecksmatrizen mit einer oberen Hessenbergmatrix.
Somit ist $B$ wieder eine obere Hessenbergmatrix.
Man kann $B$ dadurch bekommen, dass man einen impliziten $QR$--Schritt
mit Hilfe von $p(A)$ verwendet, zumindest wenn eine nichtzerfallende obere
Hessenbergmatrix ist. Daf\"ur berechnet man lediglich $v=p(A)e_1$ und eine
orthogonale Transformation $V$ mit $V^Hv=\alpha e_1$.
Danach transformiert man $A$ in der Form $\hat{A}=V^HAV$ und bring $\hat{A}$
mit einer Transformationsmatrix $W$ wieder auf obere Hessenberggestalt.
Die Transformation auf obere Hessenberggestalt l\"asst die erste Zeile von $\hat{A}$
unber\"uhrt, da man erzeugte Nullen nicht wieder zerst\"oren will. Dies hat zur Folge,
dass $We_1=e_1$ ist.
Die Gesamttransformation ist dann $Q=VW$ und es ist $Qe_1=VWe_1=v_1$.
Das ist aber genau dieselbe Spalte aus dem ersten Schritt der $QR$--Zerlegung
von $p(A)=QR$, denn $v=p(A)e_1=QRe_1=q_1 r_{11}$.
Also ist $W^HV^HAVW$ obere Hessenbergmatrix und nach dem Implizten $Q$--Theorem
stimmt diese Matrix i.w. mit $B$ \"uberein.


