\subsection{Iterative Verbesserung}
Angenommen, wir haben $Ax = b$ mittels Gau{\ss}-Elimination mit partieller 
Pivotisierung gel\"ost,
$PA=LR$,  und wollen jetzt die L\"osungsgenauigkeit verbessern. Wir k\"onnten 
folgendes ausf\"uhren:
%
\eq{2.1.54}
\left\{
\begin{array}{l}
 r = b-A \tilde{x} \quad \mbox { (doppelt genau) },\\
 \mbox {L\"ose } Ly = Pr,\\
 \mbox {L\"ose } Rz = y,\\
 \mbox {Setze } x = \tilde{x} + z,
 \end{array}\right.
\en
%
so folgt bei exakter Rechnung
\[
 Ax = A\tilde{x} + Az = (b-r) + r = b.
\]
%
Wenn man (\ref{2.1.54}) allerdings einfach so ausf\"uhrt, ist das Ergebnis
nicht genauer als $\tilde{x}$. Dies ist zu erwarten, denn 
$\tilde{r} = gl (b-A \tilde{x})$ hat im allgemeinen kaum richtige
signifikante Stellen (siehe Heuristik I). Also 
\[
 \tilde{z} = gl (A^{-1} r) = A^{-1} \cdot\,\mbox{Rauschen}\, 
 = \,\mbox{Rauschen}.
\]
Um eine Verbesserung zu erhalten, sollte man daher $r = b-Ax$ in doppelter
Genauigkeit rechnen (doppelt so viele Stellen wie sonst). 
Dieser Proze{\ss} kann
iteriert werden.\reversemarginpar\marginpar{\huge \hfill !}
%

\underline{Heuristik III} Bei Maschinengenauigkeit $\eps=10^{-d}$
und $\kappa_\infty (A) \approx 10^q$, hat nach $k$ Schritten von
(\ref{2.1.54}) (mit doppelter Genauigkeit f\"ur das Residuum) das
berechnete $x$ ungef\"ahr $\min \{ d,k(d-q) \}$ korrekte Stellen.

\underline{Kosten} ${\cal O}(n^2)$ pro Schritt.\\
Bei Rechnung von $PA=LR$ in einfacher Genauigkeit und 
$\eps\cdot \kappa_\infty (A) \le 1$,
ist die L\"osung korrekt in einfacher Genauigkeit nach einer Iteration. 
Also kaum Verteuerung und Verbesserung der L\"osung. 
Problem: maschinenabh\"angig, da an Genauigkeit orientiert.\\
$\longrightarrow$ \"Ubung \ref{numI/uebung086}: Konditionssch\"atzer
%
