\subsection{Eigenschaften der $QR$--Zerlegung}

Der obige Algorithmus beweist die Existenz. 
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\begin{theorem}\label{2.3.7}
Ist $A = QR$ eine $QR$--Zerlegung einer Matrix $A \in \K^{m,n}$ von vollem Rang
und $Q = [q_1, \dots, q_n], A = [a_1, \dots, a_n]$, dann ist
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\[
 \,\mathrm{span}\,\{a_1, \cdots, a_k \} = \,\mathrm{span}\,\{q_1, \cdots , q_k\},\;
  k = 1:n.
\]
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F\"ur $Q_1 = Q(1:m,1:n), Q_2 = Q(1:m,n+1:m)$ gilt:
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\begin{eqnarray*}
 \,\mathrm{Bild}\,(A)       & = & \,\mathrm{Bild}\,(Q_1),\\
 \,\mathrm{Bild}\,(A)^\perp & = & \,\mathrm{Bild}\,(Q_2)
\end{eqnarray*}
und $A=Q_1R_1$ mit $R_1=R(1:n,1:n)$.
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\end{theorem}
\proof
\[
 a_k = \sum^k_{i=1} r_{ik} q_i \in \,\mathrm{span}\,\{ q_1, \dots, q_k \}
\]
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$\Longrightarrow\,\mathrm{span}\,\{a_1, \dots, a_k \} \subseteq\,\mathrm{span}\,\{q_1, \dots, q_k\}$
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\[
 \rnk(A) = 
 n \Longrightarrow \dim (\,\mathrm{span}\,\{a_1, \dots, a_k \}) = k , \forall k\leqslant n
\]
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$\Longrightarrow\,\mathrm{span}\,\{a_1, \dots, a_k \} = \,\mathrm{span}\,(q_1, \dots , q_k)$.\\
Rest trivial.
\eproof
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\begin{theorem}\label{2.3.8}
$A \in \K^{m,n}$ habe vollen Rang. Die "`d\"unne"' $QR$--Zerlegung 
\[
 A = Q_1 R_1 \mbox { mit } Q_1 \in \K^{m,n}, R \in \K^{n,n}
\]
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obere $\bigtriangleup$--Matrix $r_{ii} \in \R, r_{ii} > 0,$ ist
eindeutig. $G = R^*_1$ ist der Cholesky Faktor von $A^*A.$
\end{theorem}
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\proof
$A^* A = (Q_1 R_1)^* (Q_1 R_1) = R^*_1 R_1.$\\
$R_1$ ist eindeutig und da $A$ vollen Rang hat auch $Q_1 = AR_1^{-1}.$
\eproof
