\chapter{L\"osung nichtlinearer Gleichungssysteme}\label{KAPITEL-03}
%{\Huge\bf Von hier ab keine Gew\"ahr mehr f\"ur die Richtigkeit des Inhaltes,
% viele Fehler!}

Neben den linearen Gleichungssystemen f\"uhren viele
Anwendungsprobleme auf die L\"osung von nichtlinearen Gleichungssystemen.
Gegeben
%
\begin{eqnarray*}
 f  :  E &\longrightarrow& F \qquad \mbox { (z.B. hier } E = F = \R^n)\\
    \left[ \begin{array}{c}
       x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right] &\longmapsto&
       \left[ \begin{array}{c}
       f_1  (x_1,\dots,x_n)\\
       \vdots   \\
       f_n  (x_1, \dots, x_n) \end{array}\right]
\end{eqnarray*}
%
Gesucht: Vektor $[x_1, \cdots, x_n]^T$ so da{\ss} $f_i (x_1, \cdots, x_n) = 0$,
f\"ur alle $i = 1, \cdots, n$.\\
$E, F$ k\"onnen auch unendlich dimensionale lineare R\"aume sein, etwa
R\"aume von Funktionen und $f$ kann auch ein Differentialoperator sein.
Hier betrachten wir nur den Fall $E = F = \R^n.$ 
Im allgemeinen ist die L\"osung nur
durch N\"aherungsverfahren zu bestimmen. Nullstellenprobleme sind
eng verwandt mit Minimierungsproblemen wie
%
\eq{3.01}
 \mbox { Bestimme f\"ur } h : \R^n \longrightarrow \R  \quad 
\min\limits_{x \in \R^n} h(x).
\en
In \"ublicher Weise mu{\ss} zur Bestimmung des Minimums
%
\[
 \mbox { grad } (h(x)) = \left[ \begin{array}{c}
  \frac{\partial h}{\partial x_1}\\
  \vdots \\
  \frac{\partial h}{\partial x_n} \end{array}\right] = 0
\]
%
berechnet werden, welches wiederum ein Nullstellenproblem ist. Neben
Optimierungsproblemen treten Nullstellenbestimmungen in fast allen
Anwendungen auf. Gew\"ohnliche oder partielle Differentialgleichungen,
Ausgleichsrechnung, \dots
%
\input{kap31.tex}  % Fixpunktverfahren
\input{kap32.tex}  % Das Newtonverfahren
\input{kap321.tex} % Anwendung auf modifiziertes Newtonverfahren
\input{kap322.tex} % Praktische Realisierung des Modifizierten Newton
\input{kap33.tex}  % Nullstellenbestimmung f"ur Polynome
\begin{small}
\input{kap3u} % Uebungen
\end{small}

