\chapter{Interpolation}\label{KAPITEL-04}
Ein Interpolationsproblem ist eine Aufgabe: Finde $a_0, \dots, a_n$ so da{\ss}
%
\eq{4.1}
 P(x_i, a_0, \dots, a_n) = f_i \quad i = 0, \dots, n
\en
f\"ur gegebene $(x_i, f_i)=(x_i,f(x_i)), \;i=0, \dots, n$ 
und eine vorgebene Funktion $P$.
$(x_i, f_i)$ hei{\ss}en St\"utzpunkte/Knoten.\\
Wichtigste Beispiele:

\underline{Polynominterpolation}
\[
 P = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n
\]
%
\underline{Trigonometrische Interpolation}
\[
 P = a_0 + a_1 e^{xi} + a_2 e^{2xi} + \cdots + a_n e^{n x i}
\]
%
\underline{Rationale Interpolation}
\[
 P = \frac{a_0 + a_1 x + \cdots + a_p x^p}{\beta_0 + \beta_1 x + \cdots + \beta_mx^m}
 \quad \mbox { hier nicht }.
\]
%
\underline{Splines}\\
st\"uckweise Polynome.

\underline{Anwendungen:}\\
Approximation von Funktionen, Quadratur, L\"osung von gew\"ohnlichen
oder Partiellen Differentialgleichungen, CAD, numerische Differentiation,
Bildverarbeitung, Signalverarbeitung, \dots

Beispiel aus alten Zeiten:\\
Logarithmentafel:
\begin{tabbing}
\hspace*{0.5cm} \= In Tafel: \hspace{1cm}\= $\log_{10} 1.0$\\
\> \> $\log_{10} 1.1$\\[0.3cm]
%
\> gesucht: \> $\log 1.05$
\end{tabbing}
%
L\"osung lineare Interpolation: Berechne Gerade und werte diese bei 1.05 aus.

\input{kap41} % Polynominterpolation

\input{kap42} % Trigonometrische Interpolation

\input{kap43} % Spline Interpolation

\begin{small}
\input{kap4u} % Uebungen
\end{small}

