% !TeX root = main.tex
\newcommand{\norm}[1]{\Vert #1 \Vert}
\newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|}
\newcommand{\Ord}[1]{\mathcal{O}(#1)}
\newcommand{\M}{\mathbb{M}}
\newcommand{\eps}{\mathrm{eps}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\renewcommand{\b}[1]{{\color{blue}#1}}
\renewcommand{\r}[1]{{\color{red}#1}}
\providecommand\g{} % to avoid error if \g is not yet defined 
\renewcommand{\g}[1]{{\color{green!60!black}#1}}
\newcommand{\gl}{\mathrm{gl}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\section{Auslöschung}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%###################################################################
\begin{frame}[fragile]{Auslöschung}
\metroset{block=fill}
\textbf{Subtraktionen von ungefähr gleich großen Zahlen vermeiden!}\\
\vspace{0.5cm}
Beispiel $\mathbb{M}(10,4,2)$ mit relativen Rundungsfehler $\frac{\abs{\tilde{x} - x}}{\abs{x}}\le\underbrace{5* 10^{-4}}_{=\eps}$
 \begin{table}[htpb]
   \centering
   \begin{tabular}{cccc}
     \rowcolor{gray!40!white}
  & Exact  & Gerundet & Relativer Fehler \\
     \rowcolor{gray!20!white}
  & $x_1=0.10035$  &  $\tilde{x}_1=0.1004$ & $\frac{\abs{x_1-\tilde{x}_1}}{\abs{x_1}}=4\cdot 10^{\alert{-4}}$\\
     \rowcolor{gray!20!white}
  & $x_2=0.10012$  &  $\tilde{x}_2=0.1001$ & $\frac{\abs{x_2-\tilde{x}_2}}{\abs{x_2}}=2\cdot 10^{\alert{-4}}$\\
  \hline
     \rowcolor{gray!20!white}
Differenz&
$D=x_1-x_2$  &  $\tilde{D}=\tilde{x}_1-\tilde{x}_2$ & $\frac{\abs{D-\tilde{D}}}{\abs{D}}=3\cdot 10^{\alert{-1}}$\\
     \rowcolor{gray!20!white}
             &$\phantom{D}=0.23\cdot10^{-3}$  &  $\phantom{D}=0.3\cdot 10^{-3}$ & 
   \end{tabular}
 \end{table}
 Kein Fehler bei der Darstellung von $\tilde{D}$, trotzdem:\\
 \textbf{Relativer Fehler ist um Faktor 1000 angewachsen!}\\
  Warum ?


\end{frame}
%###################################################################

%###################################################################
\begin{frame}[fragile]{Kondition}
\metroset{block=fill}
\begin{itemize}
  \item
Betrachte die Aufgabe $A\colon x \mapsto y$
  \item
    Eingabe hat Fehler $\delta x$
    \begin{empheq}[box=\fbox]{align*}
      \text{gestörte Eingabe} &\overset{A}{\alert{\longmapsto}}\text{gestörtes Ergebnis}\\
      \tilde{x} = x + \delta x &\alert{\longmapsto} \tilde{y} =A(\tilde{x})= y + \delta y
    \end{empheq}\pause
    \begin{align*}
      \delta y &= A(\tilde{x})-A(x) = A(x+\delta x) - A(x)\\
                                   & = A(x) + \nabla_x A(x)^T \delta x + \Ord{\delta x^2}-A(x)
                                    =  \nabla_x A(x)^T \delta x + \Ord{\delta x^2}\\
                                   & \approx  \sum_i \partial_{x_i} A(x) \delta x_i = 
                                   \sum_i \partial_{x_i} A(x)x_i \frac{\delta x_i }{x_i}
    \end{align*}\pause
  \item relativer Fehler des Ergebnis: 
    \begin{align}
      \label{eq:kondition}
      \boxed{
        \frac{\delta y}{y} \approx \sum_i  \kappa_i(x)\frac{\delta x_i}{x_i}
    }\qquad 
  \boxed{ \kappa_i(x) = \frac{\partial A(x)}{\partial x_i}\frac{x}{A(x)}}
    \end{align}
  \item
  \alert{$\kappa_i(x)$} ist die Konditionszahl/Verstärkungsfaktor von $A$ in Bezug auf die Eingabe $x$
\end{itemize}

\end{frame}
%###################################################################



%###################################################################
\begin{frame}[fragile]{Auslöschung}
\metroset{block=fill}
\vspace{0.5cm}
Beispiel $\mathbb{M}(10,4,2)$ mit relativen Rundungsfehler $\frac{\abs{\tilde{x} - x}}{\abs{x}}\le\underbrace{5* 10^{-4}}_{=\eps}$
\vspace{-0.3cm}
 \begin{table}[htpb]
   \centering
   \begin{tabular}{cccc}
     \rowcolor{gray!30!white}
  & Exact  & Gerundet & Relativer Fehler \\
     \rowcolor{gray!20!white}
  & $x_1=0.10035$  &  $\tilde{x}_1=0.1004$ & $\frac{\abs{x_1-\tilde{x}_1}}{\abs{x_1}}=4\cdot 10^{\alert{-4}}$\\
     \rowcolor{gray!20!white}
  & $x_2=0.10012$  &  $\tilde{x}_2=0.1001$ & $\frac{\abs{x_2-\tilde{x}_2}}{\abs{x_2}}=2\cdot 10^{\alert{-4}}$\\
  \hline
     \rowcolor{gray!20!white}
Differenz&
$D=x_1-x_2$  &  $\tilde{D}=\tilde{x}_1-\tilde{x}_2$ & $\frac{\abs{D-\tilde{D}}}{\abs{D}}=3\cdot 10^{\alert{-1}}$\\
     \rowcolor{gray!20!white}
             &$\phantom{D}=0.23\cdot10^{-3}$  &  $\phantom{D}=0.3\cdot 10^{-3}$ & 
   \end{tabular}
 \end{table}
 \textbf{Relativer Fehler ist um Faktor 1000 angewachsen!}\\
  Warum ?\pause
  \begin{align}
  A(x_1,x_2) = x_1 - x_2 \quad \Rightarrow  
  \frac{\delta y}{y} = \underbrace{\frac{x_1}{x_1-x_2}}_{\kappa_1}\frac{\delta x_1}{x_1} - \underbrace{\frac{x_2}{x_1-x_2}}_{\kappa_2}\frac{\delta x_2}{x_2}
  \end{align}\pause
  \vspace{-0.5cm}
  \begin{itemize}
    \item
  Verstärkungsfaktor des relativen Fehlers: $\abs{\kappa_1}\approx 435.3$, $\abs{\kappa_2}\approx 436.3$\pause
\item $A$ ist schlecht konditioniert wenn $\max_i\{\abs{\kappa_i}\}\gg 1$
\item Fehlerdämpfung $\max_i\{\abs{\kappa_i}\}< 1$, Fehlerverstärkung $\max_i\{\abs{\kappa_i}\}\le 1$,
\end{itemize}
\end{frame}
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%###################################################################
\begin{frame}[fragile]{Konditionierung von Grundoperationen}
\metroset{block=fill}
\textbf{Weitere Beispiele: }$\kappa_i(x) = \frac{\partial A(x)}{\partial x_i}\frac{x}{A(x)}$
\begin{itemize}[<+->]
  \item \alert{Addition:} $A(x_1,x_2) = x_1+ x_2$ schlecht konditioniert für $x_1 \approx- x_2$
    \begin{align*}
      \kappa_1 = \frac{x_1}{x_1+x_2} \qquad\kappa_2 = \frac{x_2}{x_1+x_2}
    \end{align*}
    
\item \alert{Multiplikation:} $A(x_1,x_2) = x_1* x_2$ stets gut konditioniert: 
    \begin{align*}
      \kappa_i = \frac{x_2 *x_1}{x_1*x_2} = 1 \quad i = 1,2
    \end{align*}
   
  \item \alert{Division:} $A(x_1,x_2) = x_1/x_2$ stets gut konditioniert:
    \begin{align*}
      \kappa_1 = \frac{1}{x_2}\frac{x_1}{x_1/x_2}= 1 \qquad \kappa_2 = \frac{x_1}{x_2^2}\frac{x_2}{x_1/x_2}=1
    \end{align*}
  \item \alert{Wurzel:} $A(x) =\sqrt{ x}$ fehler wird sogar reduziert:
    \begin{align*}
      \kappa_x = \frac{1}{2\sqrt{x}}\frac{x}{\sqrt{x}}= 1/2
    \end{align*}
\end{itemize}\pause
\alert{ABER:}
              Numerisch instabile Verfahren können trotz guter Konditionierung der Aufgabe $A$
              große Fehler verursachen. (siehe Aufgabe 1)
\end{frame}
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\begin{frame}[fragile]{Aufgabe 1}
  Man betrachte die folgende Tabelle mit jeweils mathematisch
(quasi-)äquivalenten Ausdrücken unter a) und b)
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c|c}
&a) &b)&\\
\hline
1.)\rule{0cm}{0.5cm}&$(1+x)^2-1$ & $x^2+2x$ & $|x|\approx \texttt{eps}$ \\
\hline
2.)\rule{0cm}{0.7cm}&$\dfrac{e^x-1}{x}$ & $1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}$ &$0<x\leq\texttt{eps}$
\end{tabular}\\
\end{center}
Bei welchen Ausdrücken tritt Auslöschung auf? Unterziehen sie
sämtliche Ausdrücke einer Fehleranalyse.\\
\end{frame}

\begin{frame}[fragile]{Lösung 1.1}
%  \textbf{Definition:} \texttt{eps} ist der Abstand der Zahl 1 zur nächst größeren Maschinenzahl!\\
  Die Konditionszahlen von $A_0(x)=(1+x)^2 -1$ und $B_0(x)=x^2+2x$ sind gleich:
 \begin{align*}
   \kappa(x) &=\frac{2x+2}{x^2+2x}\cdot x = \frac{x^2}{x^2+2x}+1
 \end{align*} 
 für $x = \eps$
 \begin{align}
   \abs{\kappa(\eps )} &= \abs{ \frac{\eps^2}{\eps^2+2\eps}+1} \le\abs{ \frac{\eps^2}{\eps^2}+1} =2
 \end{align}
 Für kleine relative Rückwärtsfehler $\delta x/x = \eps$ (Wunsch!) sollte deshalb bei
 $x=\eps$ gelten:
 \begin{equation}
   \abs{\frac{\delta y}{y}} \approx \abs{\frac{x^2}{x^2+2x}+1}\abs{\frac{\delta x}{x}}\le 2 \eps 
 \end{equation}
 Gilt das wirklich für a) und b) auf dem Computer (siehe nächsten Slide)?

\end{frame}
\begin{frame}
  Berechne relative Vorwärtsfehler von $\tilde{A}(x) \coloneqq(1\oplus x)\otimes(1\oplus x)\ominus 1$
  und $\tilde{B}(x) \coloneqq  x\otimes x\oplus 2\otimes x $!

Wir definieren für $\epsilon=(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3)$ mit $\abs{\epsilon_i}\le \eps$
  \begin{align*}
    \tilde{A}(x) &=A_\epsilon(x)=\left\{ \left[(1+x)(1+\epsilon_1)*(1+x)(1+\epsilon_1)\right] (1+\epsilon_2) -1\right \}(1+\epsilon_3)\\
    \tilde{B}(x) &=B_\epsilon(x)=( (x*x)(1+\epsilon_1)+ (2*x)(1+\epsilon_2)) (1+\epsilon_3)
  \end{align*}
  Bemerke $A_0(x) = (1+x)^2 -1$ und $B_0(x)=x^2+2x$.

  Dann ist der Vorwärtsfehler jeweils (mit Taylor):
\begin{align*}
  \abs{A_\epsilon(x) - A_0(x)} &= \abs{A_0(x) + [\nabla_\epsilon A_\epsilon(x)^T]_{\epsilon=0} \epsilon +\Ord{\eps^2} - A_0(x)}\approx \abs{\nabla_\epsilon A_\epsilon(x)^T \epsilon  }\\
  \abs{B_\epsilon(x) - B_0(x)} & \approx \abs{[\nabla_\epsilon B_\epsilon(x)^T]_{\epsilon=0} \epsilon  }
\end{align*}
mit den Gradienten an der Stelle $\epsilon = 0$:
\begin{align*}
  \nabla_\epsilon A_\epsilon(x)^T\mid_{\epsilon=0} &=[2(1+x)^2, (1+x)^2, (1+x)^2-1]\\
  \nabla_\epsilon B_\epsilon(x)^T \mid_{\epsilon=0} &=[x^2,2x,x^2+2x]
\end{align*}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{align*}
  \nabla_\epsilon A_\epsilon(x)^T\mid_{\epsilon=0} &=[2(1+x)^2, (1+x)^2, (1+x)^2-1]
\end{align*}
  Dann ist der relative Vorwärtsfehler jeweils :
  \footnotesize
\begin{align*}
  \abs{\frac{A_\epsilon(x) - A_0(x)}{A_0(x)}} &\approx \abs{\nabla_\epsilon A_\epsilon(x)^T \epsilon}=\abs{\frac{2(1+x)^2\epsilon_1+(1+x)^2\epsilon_2+((1+x)^2-1)\epsilon_3}{(1+x)^2-1}}\\
                                              &  \le \abs{\frac{3(1+x)^2}{(1+x)^2-1}+1}\eps
\end{align*}
\normalsize
An der Stelle $x=\eps$:
\begin{align*}
\abs{\frac{A_\epsilon(x) - A_0(x)}{A_0(x)}} & \lessapprox \abs{\frac{3(1+\eps)^2}{(1+\eps)^2-1}+1}\eps=\left [\frac{3\eps^2+6\eps+3}{\eps^2+2\eps}+1\right ]\eps\\
                                            &\le \left[\frac{3\eps^2+6\eps+3}{\eps^2}+1\right]\eps=\underbrace{[4+\frac{6}{\eps}+\frac{3}{\eps^2}]}_{\gg \kappa(\eps)=2}\eps
\end{align*}
$\rightarrow$ gute Kondition reicht alleine nicht!
 Algorithmus muss auch stabil sein!
 Der Algorithmus $B_\epsilon(x)$ leidet unter Auslöschung bei kleinen $x$!

\end{frame}
%% same for B
\begin{frame}
\begin{align*}
  \nabla_\epsilon B_\epsilon(x)^T \mid_{\epsilon=0} &=[x^2,2x,x^2+2x]
\end{align*}
  Dann ist der relative Vorwärtsfehler jeweils :
\begin{align*}
\abs{\frac{B_\epsilon(x) - B_0(x)}{B_0(x)}}   \lessapprox \frac{x^2 +2 \abs{x}+ \abs{x^2+2x}}{\abs{x^2+2x}}\eps
= \left[ \frac{x^2 +2 \abs{x}}{\abs{x^2+2x}}+1\right]\eps
\end{align*}
An der Stelle $x=\eps$:
\begin{align*}
\abs{\frac{B_\epsilon(x) - B_0(x)}{B_0(x)}} & 
\lessapprox \left[\frac{\eps^2 +2 \eps}{\eps^2+2\eps}+1\right]\eps\\
                                            &= [1+1]\eps=2\eps=\kappa(\eps)\eps
\end{align*}
$\rightarrow$ Verfahren ist für die Aufgabe: $x^2+2x$ mit $x=\eps$ numerisch stabil.
\end{frame}

\begin{frame}

  Analog:
\[
\begin{aligned}
(\text{pseudo-exp}(x)\ominus 1) \oslash x &= (\exp(x)(1+\epsilon_1)-1) (1+\epsilon_2) / x \cdot (1+\epsilon_3) \\
&=:C_\epsilon(x)
\end{aligned}
\]
$\Rightarrow \nabla_\epsilon C_{\epsilon}(x)\mid_{\epsilon=0}=[\exp(x)/x, (\exp(x)-1)/x,(\exp(x)-1)/x ]$\\
$\Rightarrow || \nabla_\epsilon C_{\epsilon}(x)\mid_{\epsilon=0}||_1=2|\exp(x)-1|/|x| +\exp(x)/|x|$% \longrightarrow \infty \text{, wenn } x\longrightarrow 0$.
\[
  \Rightarrow \frac{\Delta C(x)}{C_{(0,0,0)}(x)}=\left[ 2 +\frac{\exp(x)}{\exp(x)-1} \right] \texttt{eps}
\]

Hier tritt also Auslöschung auf, wenn $x$ klein ist, da der 2. Term der Summe groß wird.

 2b) Mit der gleichen Methode kommt hier:\\
  $\Rightarrow ||\nabla D_{(0,0,0)}(x)||_1\leq 2+\frac{3}{2}|x|+\frac{3}{6}|x|^2$.
\\
...\\
Keine Auslöschung.

\end{frame}
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\section{Fehleranalyse}
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\begin{frame}[fragile]{Fehleranalyse}
  Sei $\tilde{y} = \tilde{A}(x)$ die Realisierung von $y=A(x)$ auf dem Computer .\\
  \vspace{0.5cm}
  \textbf{Frage:}  Wie beurteilt man die Qualität von $\tilde{A}$?
  \begin{itemize}
    \item relativer \alert{Vorwärtsfehler:} $\frac{\norm{y-\tilde{y} }}{\norm{y}}$
    \item relativer \alert{Rückwärtsfehler:} $\frac{\norm{x-\tilde{x} }}{\norm{x}}$\\
      wobei $\tilde{x}=x+\delta x$ so gewählt ist, dass $A(x+\delta x) = \tilde{A}(x)$.
  \end{itemize}
  \textbf{Störungstheorie:} 
  \begin{equation}
    \boxed{
    \frac{\norm{y-\tilde{y} }}{\norm{y}}=    \frac{\norm{A(x)-\tilde{A}(x) }}{\norm{A(x)}} =  \frac{\norm{A(x)-A(x+\delta x) }}{\norm{A(x)}} 
    \overset{\eqref{eq:kondition}}{\lessapprox} \kappa \frac{\norm{x-\tilde{x} }}{\norm{x}}
  }
  \end{equation}
  wobei $\kappa  = \max{\sum_i\abs{\kappa_i(x)}}$ und $\kappa_i(x) = \frac{\partial A(x)}{\partial x_i}\frac{x}{A(x)}$
  \begin{center}\textbf{\alert{Vorwärtsfehler $\lessapprox$ Konditionszahl $\times$ Rückwärtsfeher}}
  \end{center}
\end{frame}
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%#####
\begin{frame}[fragile]{Aufgabe 3}
  Betrachten Sie die folgende Rechnung auf einem Rechner mit Maschinengenauigkeit \texttt{eps}:
\[
  \tilde{A}(x_1,x_2,x_3)=(x_1\oplus x_2 ) \otimes x_3.
\]
Machen Sie eine Rückwärtsanalyse unter Vernachlässigung der Terme höherer Ordnung in \texttt{eps} und schätzen Sie den Fehler ab.
 \end{frame}
%
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 \begin{frame}[fragile]{Lösung 3} 
   Die relative Kondition von $A(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2)x_3$ bezüglich $x=(x_1,x_2,x_3)$:
   \begin{align*}
   k_1(x) =\only<1>{ ??}\visible<2>{ \frac{x_1}{x_1+x_2}} \quad
     & k_2(x) = \only<1>{??}\visible<2>{ \frac{x_2}{x_1+x_2}} \quad
     & k_3(x) = \only<1>{??}\only<2>{ 1 }
   \end{align*}
   \begin{enumerate}
     \item Berechne $\tilde{A}(x)$ (bis zu Ordnung 1 in \texttt{eps})
       \begin{align}
         \tilde{A}(x)& =\visible<2>{ (\{(x_1 + x_2)(1+\epsilon_1)\}*x_3)(1+\epsilon_2)\\
                     & = \{(x_1(1+\epsilon_1) + x_2(1+\epsilon_1)\}*x_3(1+\epsilon_2)}
       \end{align}
     \item Berechne $A(x+\delta x)$ (bis zu Ordnung 1 in $\delta x$)
      \begin{align}
         A(x+\delta x)
                     & = \visible<2->{\{(x_1+\delta x_1) + (x_2+\delta x_2)\}*(x_3+\delta x_3)}
       \end{align}

     \item Vergleiche \texttt{eps} und $\delta x$ terme
       \begin{align}
         \delta x_1 =\visible<2->{ x_1 \epsilon_1} \quad\delta x_2 =\visible<2->{ x_2 \epsilon_1} \quad \delta x_3=\visible<2->{ x_3 \epsilon_2}
       \end{align}
   \end{enumerate}
\end{frame}
%###################################################################
 \begin{frame}[fragile]{Lösung 3} 
   Aus
       \begin{align}
         \delta x_1 ={ x_1 \epsilon_1} \quad\delta x_2 ={ x_2 \epsilon_1} \quad \delta x_3={ x_3 \epsilon_2}
       \end{align}
   folgt für den Rückwärtsfehler $\Vert{x-\tilde{x}}\Vert_1=\Vert \delta x \Vert_1 = \sum_{i=1}^3 \abs{\delta x_i} \le \eps\sum_{i=1}^3 \abs{ x_i} = \eps \Vert x \Vert$.\\
   \vspace{0.5cm}
   Somit gilt für den relativen Vorwärtsfehler:
   \begin{align*}
   \frac{ \norm{\tilde{A}(x)-A(x)}}{\norm{A(x)}} \lessapprox \abs{\sum_i \kappa_i(x)} \frac{\Vert{x-\tilde{x}}\Vert}{\Vert x \Vert}
   \le \left[\frac{\abs{x_1}+\abs{x_2}}{\abs{x_1+x_2}} + 1\right] \eps
   \end{align*}
unter Verwendung von   
   \begin{align*}
   k_1(x) ={ \frac{x_1}{x_1+x_2}} \quad
     & k_2(x) = { \frac{x_2}{x_1+x_2}} \quad
     & k_3(x) ={ 1 }
   \end{align*}
 
\end{frame}
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\begin{frame}[fragile]{Aufgabe 3}
  Albert E. möchte ein Tafelwerk erstellen, das Cosinus-Werte für alle Argumente
\[
\{x \in [0, 2\pi]\ |\ x \text{ hat 3 Stellen nach dem Komma}  \}
\]
enthält. Diese Cosinus-Werte sollen auf vier Stellen nach dem Komma gerundet sein. Er will dazu alle Werte zunächst mit doppelter Genauigkeit (acht Stellen) berechnen, und anschließend auf vier Stellen runden.

Erklären Sie Albert am Beispiel
\[
\cos(0.614)=0.817349996940\ldots
\]
dass das Vorgehen schief gehen kann, indem Sie
\[
gl_t(\cos(0.614)) \text{ und } gl_4(gl_t(\cos(0.614)))
\]
für $t=4,\ldots, 9$ berechnen. 
\end{frame}
%
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\begin{frame}[fragile]{Lösung 3}
  \begin{equation}
    \cos(0.614) = 0.817349996940\dots
  \end{equation}
   \begin{table}[htpb]
     \centering
     \begin{tabular}{c | c | c}
       $t$ & $\gl_t(\cos(0.614))$ & $\gl_4(\gl_t(\cos(0.614)))$\\
       \hline
       4 & 0.8173 & 0.8173 \\
       5 & 0.81735 & 0.8174 \\
       6 & 0.817350 & 0.8174 \\
       7 & 0.8173500 & 0.8174 \\
       8 & 0.81735000 & 0.8174 \\
       9 & 0.817349997 & 0.8173 \\
     \end{tabular}
   \end{table}
\end{frame}
%###################################################################







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