% Stand 03.04.2000, Matthias Bollhoefer
% Modified by Marine Froidevaux on 10.8.2019
% new LaTeX 2e
\documentclass[12pt,a4paper]{report}
\usepackage{latexsym,amssymb,german,a4wide,verbatim,xr}
\usepackage{fancyhdr} 
%\usepackage{pgffor}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{verbatim}
\usepackage{mathtools}

% use labels from a different document
%\usepackage{xr}
% optional \externaldocument[blablbla]{...} to avoid multiple labels \ref{blablablaLABEL}
% is used to get the correct references from the external document
%\externaldocument{../vorles/vorles}

% include graphical environment
%\usepackage{graphics}

% include self defined matrix symbols
%\usepackage{matrix}

%\newcommand*{\pathToExercises}{../../Material_NumerikI_Matthias}
% use selfdefined commands
%\input{\pathToExercises/vorles/meinstil.def}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Layout
%\addtolength{\topmargin}{-15ex}
%\addtolength{\textheight}{20ex}
\pagestyle{fancy}
\setlength{\headheight}{28pt}
\lhead{Technische Universität Berlin\\Numerische Mathematik I - WS 2019/2020}
\rhead{Prof.~V.~Mehrmann\\M.~Froidevaux}
\cfoot{}
\fancypagestyle{AbgabeDatum}{\fancyfoot[C]{Diese Aufgaben müßen spätestens am 24.10.19 in der Vorlesung abgegeben werden.}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\CurrentWeekNb}{2}
\newcounter{taskNb}
\stepcounter{taskNb}

\begin{document}
%\thispagestyle{AbgabeDatum}
\begin{center}
%{\LARGE Numerische Mathematik}\\[1.5ex]
%%{\large \CurrentWeekNb. \"Ubungsblatt}\\ 
{\Large Vorschlagsaufgaben für die \CurrentWeekNb. Tutorien}\\ 
{Woche 28.10.-1.11.19}\\
%\\{Diese Aufgaben müßen spätestens am 24.10.19 in der Vorlesung abgegeben werden.}
%{Abgabe:} Spätestens am 24.10.19 in der Vorlesung\\[0.5cm]
\end{center}
%\hfill {Abgabe: Spätestens am 24.10.19 in der Vorlesung}\\[0.5cm]
%
%%\def\exerciseList{001, 002, 003}
%\begin{enumerate}
%


\begin{enumerate}
%\item ...
 \item Sei $h>0$ und $t_i = ih$, für $i=0, 1, 2, \ldots, N$. Das Verfahren von Heun angewendet auf das Problem 
\begin{equation}
\label{eq:Anfangswertproblem}
\begin{split}
&\dot{y}(t) = f(t,y(t)),\ \text{ wenn } t>0 \\
&y(0)=y_0
\end{split}
\end{equation}
  liefert die Iteration
\begin{align*}
u_0 &= y_0\\
\tilde{u}_{i+1} &= u_i + h f(t_i, u_i)\\
u_{i+1} &= u_i + h\frac{f(t_i, u_i)+f(t_{i+1}, \tilde{u}_{i+1})}{2},
\end{align*}
wobei $u_0=y_0$.
\begin{enumerate}
\item Nehmen wir an, die Funktion $f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ genüge einer Lipschitzbedingung im zweiten Argument mit  Lipschitzkonstante $L$.
Zeigen sie, dass dann  die Inkrementfunktion $\Phi(t, y, h)$ des Verfahrens von Heun ebenfalls einer Lipschitzbedingung genügt und bestimmen Sie die dazugeh"orige Lipschitzkonstante.
\item Zeigen Sie, dass die Heun-Iteration des Anfangswertproblems \label{eq:Anfangswertproblem} mit $f(t,y(t))=2y(t)$,  $y_0 = 2$ gegen die L\"osung des Anfangswertproblems konvergiert.
\end{enumerate}

\item Transformieren Sie die folgenden Dezimalzahlen in ihre Binär- bzw. Hexadezimaldarstellung (d.h. p = 2, 16)
\begin{enumerate}
\item $x = 12.125$
\item $x = 0.1$
\end{enumerate}
\item Gegeben sei das sogenannte implizite Euler-Verfahren
\[
u_{i+1}=u_i+hf(t_{i+1}, u_{i+1})
\]
zur Lösung der DGL $\dot{y}=f(t,y)$, $y(t_0)=y_0$.
\begin{enumerate}
\item Welches praktisches Problem tritt hier auf?
\item Bestimmen Sie die Konsistenzordnung.
\item Genüge $f$ bezüglich der zweiten Komponente einer Lipschitz-Bedingung, d.h.
\[
|f(t,y_1)-f(t,y_2)|\leq L|y_1-y_2|
\]
mit $L$ konstant für alle $t$ und alle $y_1, y_2$. 
Zeigen Sie, dass der globale Fehler $|e_h|$ der folgenden Ungleichung genügt:
\begin{equation}
\label{eq:globalenFehler}
|e_h(t_{i+1})|\coloneqq |y(t_{i+1})-u_{i+1}| \leq \frac{1}{1-Lh} (|e_n|+h |\tau_h|)
\end{equation}
wobei
\[
\tau_h\coloneqq \frac{y(t_{i+1})-y(t_i)}{h}-f(t_{i+1}, y(t_{i+1})).
\]
$\to$ Aus \eqref{eq:globalenFehler} folgt dann, dass die Konvergenzordnung 1 ist. (Das braucht hier nicht bewiesen werden.)
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}


