% Stand 03.04.2000, Matthias Bollhoefer
% Modified by Marine Foridevaux on 10.8.2019
% new LaTeX 2e
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% use labels from a different document
%\usepackage{xr}
% optional \externaldocument[blablbla]{...} to avoid multiple labels \ref{blablablaLABEL}
% is used to get the correct references from the external document
%\externaldocument{../vorles/vorles}

% include graphical environment
%\usepackage{graphics}

% include self defined matrix symbols
%\usepackage{matrix}

%\newcommand*{\pathToExercises}{../../Material_NumerikI_Matthias}
% use selfdefined commands
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Layout
%\addtolength{\topmargin}{-15ex}
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\pagestyle{fancy}
\setlength{\headheight}{28pt}
\lhead{Technische Universität Berlin\\Numerische Mathematik I - WS 2019/2020}
\rhead{Prof.~V.~Mehrmann}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\CurrentWeekNb}{3}
\newcounter{taskNb}
\stepcounter{taskNb}

\begin{document}
%\thispagestyle{AbgabeDatum}
\begin{center}
%{\LARGE Numerische Mathematik}\\[1.5ex]
%%{\large \CurrentWeekNb. \"Ubungsblatt}\\ 
{\Large Sketches of solutions for the exercise sheet \#\CurrentWeekNb }\\ 
{$\hookrightarrow$ Homeworks must be submitted by Thursday 7.11.19.}
\end{center}
%
%%\def\exerciseList{001, 002, 003}
\begin{enumerate}
\item[] \textbf{Solution \arabic{taskNb}} \stepcounter{taskNb}
Siehe Datei \texttt{UEB3\_TA1.pdf} im Git-Verzeichnis.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item[] \textbf{Solution \arabic{taskNb}} \stepcounter{taskNb} 
\begin{enumerate}
\item Gegenbeispiel: $x_1=9.1\cdot 10^1$, $x_2=9.2\cdot 10^1$\\
$\Rightarrow gl(x_1+x_2) = gl(18.3 \cdot 10^1) =1.8 \cdot 10^2=180$\\
$\Rightarrow gl(gl(x_1+x_2)/2) = 9.0 \cdot 10^{1}< \min\{x_1, x_2\}$

\item \textit{Ein paar Begründungen hier hinzufügen} \\
Bsp: Wir betrachten wieder die Maschinenzahlen $\mathbb{M}(10,3,2)$ und wählen
%die Zahlen 
$x_1=91=9.1e1$, $x_2=92=9.2e1$, $x_3=94=9.4e1$. 
Dann läufst das Algorithmus wie folgt:\\
\begin{tabular}{c|c|c|c}
& $i=1$ & $i=2$&$i=3$\\
\hline
$S_{alt}$& 0& 91&180\\
\hline
$S$& 91 & $91\oplus 92=180$&$180\oplus 94=270$\\
\hline
$D$ & 0 & $92\ominus (180\ominus 91)=3$& $3\oplus(94\ominus(270\ominus180))=7$
\end{tabular}\\
%\begin{tabular}{c|c|c}
%& $i=1$ & $i=2$\\
%\hline
%$S_{alt}$& 0& 91\\
%\hline
%$S$& 91 & $91\oplus 92=180$\\
%\hline
%$D$ & 0 & $92\ominus (180\ominus 91)=3$
%\end{tabular}\\
So haben wir am Ende das Ergebnis $S\oplus D = gl(277)=gl(x_1+x_2+x_3)=280$, das gleich die Rundung der exakten Summe ist.

Berechnet man die einfache Summe $S=(x_1 \oplus x_2) \oplus x_3= 180 \oplus 94 = gl(274) = 270$, sieht man, dass der Fehler größer ist (7 versus 3). 

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item[] \textbf{Solution \arabic{taskNb}} \stepcounter{taskNb}
Zuerst $9=1*2^3+1*2^0=(1001)_2$. Man benutzt dann die übliche schrifftliche Division, die man aus der Schule kennt. Achtung bei den Subtraktionen in Binärdarstellung.\\
%$\Rightarrow$ 
\begin{tabular}{ccccccccc|cccccccc}
&1,&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&1&\\
\hline
$_{-}$&\textcolor{blue}{0}&$\downarrow$&$\vdots$ &$\vdots$ &$\vdots$&&&&\textcolor{blue}{0},&\textcolor{cyan}{0}&\textcolor{green}{0}&\textcolor{orange}{0}&\textcolor{red}{1}&\textcolor{purple}{1}&\textcolor{violet}{1} & \\
\cline{1-2}
&1&0&$\vdots$ &$\vdots$&$\vdots$&&&\\
%\cline{1-2}
$_{-}$&&\textcolor{cyan}{0}&$\downarrow$&$\vdots$&$\vdots$&&&\\
\cline{1-3}
&1&0&0&$\vdots$&$\vdots$&&&\\
%\cline{1-3}
$_{-}$&&&\textcolor{green}{0}&$\downarrow$&$\vdots$&&&\\
\cline{1-4}
&1&0&0&0&$\vdots$&&&\\
$_{-}$&&&&\textcolor{orange}{0}&$\downarrow$&&&\\
\cline{1-5}
&1&0&0&0&0&&&&\\
$_{-}$&&\textcolor{red}{1}&\textcolor{red}{0}&\textcolor{red}{0}&\textcolor{red}{1}&$\downarrow$&&\\
\cline{1-6}
&&&1&1&1&0&&&\\
$_{-}$&&&\textcolor{purple}{1}&\textcolor{purple}{0}&\textcolor{purple}{0}&\textcolor{purple}{1}&$\downarrow$&&\\
\cline{1-7}
&&&&1&0&1&0&&\\
$_{-}$&&&&\textcolor{violet}{1}&\textcolor{violet}{0}&\textcolor{violet}{0}&\textcolor{violet}{1}&$\downarrow$&\\
\cline{1-8}
&&&&&&&1&0&
\end{tabular}\\
 Man hat in der letzten Zeile wieder einen Rest von 10, wie in der 3. Zeile. Deswegen, wissen wir auch das Nachkommazahlen ab diesem Punkt periodisch wiederholt werden.
Deswegen hat man am Ende $(1/9)_{10}=(0,\overline{000111})_2$.\\
 
 Um die Kodierung im IEEE-Format (einfache Genauigkeit) zu finden, schreibt man erstmal die Zahl in normalisierte Form um: $(0,\overline{000111})_2= (1,11\overline{000111})_2*2^{-4}$. Die Mantisse ist also die 23 ersten Zahlen die nach dem Komma stehen.\\
 Da die Exponentverschiebung in "single precision" Fall $V=127$ ist, muss der Exponent $E=-4+V=(123)_{10}=64+32+16+8+2+1=(01111011)_{2}$ sein.\\ 
 Der Vorzeichen $S$ ist 0, da 1/9 positiv ist.
 
 Also 1/9 wird im IEEE-single-Format, nach Abschneiden der Mantisse auf 23 Bits mit
 \[
 0\ 01111011\ 11000111000111000111000
\] kodiert. Diese Zahl ist nicht genau gleich $1/9$, sondern $(0.111111104)_{10}$, da wir die Mantisse gekürtzt haben!
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item[] \textbf{Solution PA3} 
 \begin{enumerate}
\item ...
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%
\end{document}


