% Stand 03.04.2000, Matthias Bollhoefer
% Modified by Marine Froidevaux on 10.8.2019
% new LaTeX 2e
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% use labels from a different document
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% optional \externaldocument[blablbla]{...} to avoid multiple labels \ref{blablablaLABEL}
% is used to get the correct references from the external document
%\externaldocument{../vorles/vorles}

% include graphical environment
%\usepackage{graphics}

% include self defined matrix symbols
%\usepackage{matrix}

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% use selfdefined commands
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Layout
%\addtolength{\topmargin}{-15ex}
%\addtolength{\textheight}{20ex}
\pagestyle{fancy}
\setlength{\headheight}{28pt}
\lhead{Technische Universität Berlin\\Numerische Mathematik I - WS 2019/2020}
\rhead{Prof.~V.~Mehrmann\\M.~Froidevaux}
\cfoot{}
\fancypagestyle{AbgabeDatum}{\fancyfoot[C]{Diese Aufgaben müßen spätestens am 24.10.19 in der Vorlesung abgegeben werden.}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\CurrentWeekNb}{2}
\newcounter{taskNb}
\stepcounter{taskNb}

\begin{document}
%\thispagestyle{AbgabeDatum}
\begin{center}
%{\LARGE Numerische Mathematik}\\[1.5ex]
%%{\large \CurrentWeekNb. \"Ubungsblatt}\\ 
{\Large \CurrentWeekNb. \"Ubungsblatt}\\ 
{Anfangswertaufgaben}\\
%\\{Diese Aufgaben müßen spätestens am 24.10.19 in der Vorlesung abgegeben werden.}
%{Abgabe:} Spätestens am 24.10.19 in der Vorlesung\\[0.5cm]
\end{center}
\hfill {Abgabe: Spätestens am 31.10.19 am Anfang der Vorlesung}\\[0.5cm]
%
%%\def\exerciseList{001, 002, 003}
%\begin{enumerate}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Aufgabe 1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{Theorieaufgabe \arabic{taskNb} (4 Punkte):} \stepcounter{taskNb} Gegeben sei das numerische Verfahren, welches durch die Diskretisierung
\[
\frac{y(t+h)-y(t-h)}{2h}\approx\dot{y}(t)=f(t,y(t))
\]
entsteht.
\begin{enumerate}
\item Bestimmen Sie den lokalen Diskretisierungsfehler \[\tau(t,h)= \frac{y(t+h)-y(t-h)}{2h}-f(t,y(t))\] des Verfahrens und seine Konsistenzordnung.
\item Würden Sie dieses Verfahren dem expliziten Euler-Verfahren vorziehen?
\item Welche Schwierigkeit tritt beim Start des Verfahrens auf? Wie kann man diese Schwierigkeit beheben?
\end{enumerate}
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Aufgabe 2 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{Theorieaufgabe \arabic{taskNb} (4 Punkte):} \stepcounter{taskNb}
Gegeben sei das Anfangswertproblem\[
\dot{y}(t)=2\sqrt{y(t)},\ t>0, \quad y(0)=0.
\]
\begin{enumerate}
\item Bestimmen Sie \textit{alle} Lösungen.
\item Welche Näherung ergibt sich bei Anwendung des expliziten Eulerverfahrens im Intervall $[0,1]$ bei beliebiger, konstanter Schritteweite $h$?
\item Sind die Ergebnisse aus (b) ein Widerspruch zum Satz über die globale Konvergenz des expliziten Euler-Verfahrens? Wenn nein, wo liegt das Problem?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Aufgabe 3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{Theorieaufgabe \arabic{taskNb} (1 Punkte):} \stepcounter{taskNb}
 Sei $f(t,x)=|x|+\sin(x)+e^{-\frac{t^2}{2}}$. Zeigen Sie, dass das Anfangswertproblem
\begin{equation}
\label{eq:Anfangswertproblem}
\begin{split}
&\dot{y}(t) = f(t,y(t)),\ \text{ wenn } t>0 \\
&y(0)=y_0
\end{split}
\end{equation}
wobei $y_0=1$, eine eindeutige Lösung $y\colon [0, \infty)\to \mathbb{R}$ hat. Hinweis: Satz von Cauchy-Lipschitz oder Picard-Lindelöf.\\
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Aufgabe 4 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{Theorieaufgabe \arabic{taskNb} (2 Punkte):} \stepcounter{taskNb}
Betrachten Sie das Problem \eqref{eq:Anfangswertproblem} mit $f(t, y(t))=2y-e^t$ und $y_0=2$. Bestimmen Sie die analytische Lösung des Problems. Ist die Lösung eindeutig bestimmt?\\
%
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Programmieraufgabe 1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{Programmieraufgabe (7 Punkte):}
\begin{enumerate}
\item Schreiben Sie Programme \texttt{expeuler} und \texttt{heun}, die das explizite Euler-Verfahren, bzw.  das Verfahren von  Heun zur  L\"osung von vektoriellen Differentialgleichungen $\dot{y}=f(t,y)$, $f\in \mathcal{C}(\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n)$,  $y(t_0) =y_0\in\mathbb{R}^n$ im Intervall $[t_0, t_0+a]$ mit konstanter Schrittweite $h=a/N$ nutzen. 
Der Aufruf der Programme soll mit 
\begin{enumerate}
\item[] \texttt{[h,t,u]=expeuler(fun,t0,y0,N,a)}
\item[] \texttt{[h,t,u]=heun(fun,t0,y0,N,a)}
\end{enumerate}
erfolgen, mit den Eingabeparametern\\
\begin{tabular}{p{1cm}p{13cm}}
\texttt{fun} &Name (String) einer Funktion \texttt{dy=fun(t,y)}, die die rechte Seite der Differentialgleichung bestimmt, wobei $\texttt{y}$ und $\texttt{dy}$ $n\times 1$ Matrizen sind;\\
\texttt{t0} &Untere Intervallgrenze $t_0$;\\
\texttt{y0} &$n\times 1$ Matrix des Anfangswerts $y(t_0) =y_0$;\\
\texttt{N} &Positive ganze Zahl f\"ur die Anzahl der Schritte $N$;\\
\texttt{a} &Positive ganze Zahl f\"ur die L\"ange des Integrationsintervals $[t_0,t_0+a]$;
\end{tabular}\\ \\
und R\"uckgabeparametern\\
\begin{tabular}{p{1cm}p{13cm}}
\texttt{h} &verwendete konstante Schrittweite $h=a/N$;\\
\texttt{t}  &Vektor der \"aquidistanten St\"utzstellen $[t_0,\ldots,t_N]$ mit $t_N=t_0+a$;\\
\texttt{u} &$(N+1)\times n$ Matrix der approximierten L\"osung $[u_0;...;u_N]$ an den St\"utzstellen $[t_0,\ldots,t_N]$;
\end{tabular}\\
\item Wenden Sie beide Verfahren an, um die folgenden Testaufgaben numerisch zu l\"osen:
\begin{enumerate}
\item $y'=-\tan(t)y$, $y(0) = 1$, $a= 1.5$ (exakte L\"osung $y(t) = \cos(t)$),
\item $y'=\begin{bmatrix}
0&1\\-e^{2t}&1
\end{bmatrix}y(t)$, $y(0) =\begin{bmatrix}
\sin(1)\\ \cos(1)
\end{bmatrix}$, $a= 2$ (exakte L\"osung $y(t) =\begin{bmatrix}
\sin(e^t)\\ \cos(e^t)e^t
\end{bmatrix}$),
\end{enumerate}
jeweils f\"ur $N= 10,50,100, 500$.
%\item Anwenden Sie beide Methoden auf das Anfangswertproblem
%\[
%y'(t)=\lambda y(t), \quad y(0)=1
%\]
\item  Stellen Sie für beide Methoden und für beide Testaufgaben den globalen Fehler 
\[e_h(t_0+a)=||u_h(t_0+a)-y(t_0+a)||_2\] 
(berechnet anhand der exakten Lösung $y(t)$) als Funktion von $h$ in einem Loglog-Plot (d.h. beide Achsen haben eine logarithmische Skalierung) dar. Finden Sie die optimalen Parameter $\alpha, \beta$ für die lineare Regression $\ln(e_h(t_0+a))=\alpha \ln(h)+\beta+\epsilon_h$ im Sinne der kleinsten Quadrate $\epsilon_h^2$. Schätzen Sie die Konvergenzordnung beider Methoden anhand dieser linearen Regression ab.\\
Hinweis: Hilfreiche Matlab/Python-Funktionen sind \texttt{loglog}, \texttt{polyfit} und \texttt{polyval}.
\end{enumerate}
Für diese Programmieraufgabe können Sie die Vorlagen \texttt{PA2.m}, \texttt{expeuler.m} und \texttt{heun.m} benutzen, die sich auf der ISIS-Seite des Kurses befinden.
\end{document}


