Infos zu Moderne Konvexgeometrie

Vorlesungsbeginn: Dienstag, 15.10.2013
Übungsbeginn: Montag, 14.10.2013

Voraussetzung: (Grund-)Kenntnisse in Diskreter und/oder Konvexer Geometrie, wie z.B., über Polytope, Volumen, Oberfläche, polare Mengen, etc. In der ersten Übung am 14.10 wird ein Crashkurs über die benötigten Grundlagen gegeben, die auch in dem Skript der letztjährigen Veranstaltung nachgelesen/-gearbeitet werden können.

Inhalt (salopp): Es werden Strukturen, vor allem konvexe Mengen, in hochdimensionalen Räumen untersucht (z.B. Lösungsmengen großer lineare oder semidefiniter Optimierungsprobleme). Dabei treten zum Teil überraschende, aber mathematisch sehr nützliche Phänomene auf. Sei etwa B_n die n-dimensionale Kugel mit Radius 1 und Mittelpunkt {\bf 0}. Dann ist ca. 96% des Volumens der Kugel in einem Streifen der Dicke 2/\sqrt{n} um einen Äquator enthalten

sphere

Eine der vielen Konsequenzen dieses “Volumen-Konzentration-Phänomens” ist der folgende überraschende kombinatorische Sachverhalt: Gesucht ist die maximale Anzahl k(\delta,n) von Vektoren der Länge 1, so dass für je zwei verschiedene Vektoren gilt \langle {\bf v},{\bf w}\rangle\leq \delta für ein gegebenes \delta \in [-1,1).
Für \delta=0 ist die Antwort 2\,n (warum? und welche?). Die Anzahl ist also linear in der Dimension. Für \delta>0 explodiert aber die Anzahl, und es ist k(\delta,n)\sim \mathrm{e}^{n\,(\delta^2/2)}, also plötzlich exponentiell in der Dimension und dies ist auf das obige “Volumen-Konzentration-Phänomen” zurückzuführen. Was passiert für \delta <0[/latex]? Inhalt:  Prékopa-Leindler-, Brascamp-Lieb- Ungleichungen und geometrische Anwendungen, “inverse” isoperimerische Ungleichung, Banach-Mazur Abstand, Volumen-Konzentration, Dvoretzky’s Theorem, Isotropische konvexe Körper, Mahler Volumen, und schauen wir mal…

Literatur:  Es wird auf jeden Fall ein Rumpfskript geben mit allen Definitionen und Sätzen — wenn es die Zeit zulässt auch mit mehr. Ansonsten hier eine unvollständige Auswahl:
Alexander Barvinok, A course in Convexity, AMS.
Keith M. Ball, An Elementary Introduction to Modern Convex Geometry, MSRI.
Yu.D. Burago, V.A. Zalgaller, Geometric Inequalities, Springer.
Apostolos Giannopoulos, Notes on isotropic convex bodies, Warsaw notes.
Peter M. Gruber, Convex and Discrete Geometry, Springer.
Jiri Matousek, Lectures on Discrete Geometry, Springer.
Rolf Schneider, Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory, Cambridge.
Günter M. Ziegler, Lectures on Polytopes, Springer.

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