Differentialgeometrie III im SS 08: Analysis auf Mannigfaltigkeiten und Geometrie von Flächen

Aktuelles:

• Die Vorlesung beginnt am 17.4. In der ersten Woche werden beide Vorlesungen von Prof. Pinkall gehalten, in der zweiten Woche beide von Christoph Bohle.
• Mi. 30.4. um 10 Uhr c.t. Extra-Vorlesung von Christoph Bohle im Raum MA 544.

Inhalt:

In der Vorlesung werden parallel zwei eng zusammenhängende Themen entwickelt: Zum einen wird die Theorie der elliptischen Operatoren auf Mannigfaltigkeiten aufgebaut (Bohle), zum anderen werden Themen aus der globalen Differentialgeometrie und Topologie von Flächen vom Standpunkt der Analysis behandelt (Pinkall).
Zum Beispiel werden wir folgende klassische Beziehung zwischen der Geometrie (Totalkrümmung) und Topologie (Euler-Charakteristik) einer kompakten, orientierbaren Fläche mit Riemannscher Metrik und dem Fredholmindex eines von der Metrik induzierten Dirac-Operators beweisen:

Diese Identität ist ein Spezialfall der berühmten Atiyah-Singer-Indexformel. Der erste Teil ist als Satz von Gauss-Bonnet bekannt, der zweite Teil folgt mittels Hodge Theorie aus der Tatsache, daß die Euler-Charakteristik der alternierenden Summe der Betti-Zahlen gleicht.

Studenten, die auf die Motivation aus der Flächentheorie verzichten wollen, können auch nur den Analysis-Teil hören. Wer gewillt ist, manche Sätze zu glauben, kann auch nur den Geometrie-Teil hören.

Inhalt des Analysis-Teils (Bohle):

• Fundamentalsatz über elliptische Operatoren auf kompakten Mannigfaltigkeiten, Hodge Theorie
• Sobolev Räume auf kompakten Mannigfaltigkeiten, Elliptische Abschätzung und Regularität
• Anwendungen: z.B. Existenzsätze aus der Theorie der Riemannschen Flächen, Existenz einer Orthonormalbasis glatter Eigenfunktion (bzw. -schnitte) für selbstadjungierte elliplische Operatoren

Inhalt des Flächen-Teils (Pinkall):

• Klassifikation kompakter Flächen, Geschlecht, Euler-Charakteristik, Triangulierungen, Index von Vektorfeldern, DeRham-Kohomologie und Betti-Zahlen von Flächen
• Satz von Gauss-Bonnet, Klassifikation von komplexen Geraden-Bündeln auf kompakten Flächen
• Konforme Strukturen auf Flächen und Riemannsche Flächen, -Operatoren und holomorphe Vektor-Bündel, Serre-Dualität und Satz von Riemann-Roch
• Flache Strukturen mit konischen Singularitäten, Satz von Troyanov

Voraussetzungen:

Grundkenntnisse über Mannigfaltigkeiten und Vektorbündel, Zusammenhänge und Krümmung, Riemannsche Geometrie. Rudimentäre Kenntnis der Funktionalanalysis ist hilfreich aber keine Voraussetzung.

Literatur:

Wird im Laufe der Vorlesung bekannt gegeben.

Kontakt