Arbeitsgruppe Geometrie

Mathematische Visualisierung II (Sommer 2012)

Blatt 4 (Wärmeleitung und Wellen)

Diesmal wollen wir ein Plugin schreiben mit dem wir den verschiedene Flüsse auf eine gegebene Funktion anwenden können. Genauer wollen wir sowohl die Wärmeleitungsgleichung und die Wellengleichung implementieren.

Hausaufgaben:

Die Funktion sollte diesmal, wenn man etwas sehen will, nicht völlig zufällig sein. Falls ihr es nicht schon getan habt:

• Schreibt ein Plugin mit dem ihr die Werte eurer Startfunktion sinnvoll editieren könnt.

Um den Fluss zu sehen, müsst ihr euch beim installieren des Plugins einen ColoredBeadsVisualizer vom Controller holen. Mit diesem koennt ihr mithilfe der createVisualization-Methode die "Beads" anzeigen. Seht euch dazu eventuell auch im VisualizationInterface um, wie das dort gemacht wird.

Zum lösen solcher Differentialgleichung gibt es durchaus ausgefeilte Methoden. Eine der einfachsten hingegen ist die Euler-Methode. Diese sollt ihr implementieren. Hier gibt es zwei Varianten "forward" (explizit) und "backward" (implizit): siehe hier und weiterführende Links.

Versucht man per Suchmaschine nach Numerik zum Lösen von Differentialgleichungen zu finden, stösst man auf eine Vielzahl von Slides/Papers/Büchern. Hier eine kleine, recht zufällige Auswahl:

• Implicit Methods slides on the page of the Pixar Course "Physically Based Modelling".
• "Iterative methods for sparse linear systems" (hauptsächlich das 2. Kapitel in ), frei zugänglich auf Yousef Saads Bücherseite.
• Numerical Receipts in C.

Aufgabe: Schreibt ein Plugin mit dem ihr den Fluss zu einer beliebigen Startfunktion errechnet. Es sollen die folgenden Flüsse implementiert werden:

• Wärmeleitungsgleichung.
• Wellengleichung.

Der Fluss soll mit verschiedenen Methoden berechnet werden können:

• Explizite Euler-Methode.
• Implizite Euler-Methode.
• Zusatz: Beliebige Methode aus jtem-numericalMethods.

Hinweis: Die Wellengleichung ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung. Diese kann man einfach zu einer Gleichung erster Ordnung umschreiben.