Arbeitsgruppe Geometrie

Sudierendenseminar Differentialgeometrie WS 06/07

Inhalt

Termine

Vorträge am Montag, dem 16.4.07, im MA 313

Vorträge am Freitag, dem 20.4.07, im MA 313

Vorträge am Do, dem 15.2.07, im MA 376

Die anderen Vorträge werden in der Woche vom 16.-20. 4. 2007 gehalten.

Anfang des Sommersemesters 2007 wird es wieder einen Vorbesprechungstermin und neue Themen geben.

Themen

Vergebene Themen sind mit dem Namen des Vortragenden gekenzeichnet.

• In der Übung zur Vorlesung Mathematische Visualisierung werden Projekte bearbeitet, deren Ergebnisse in diesem Seminar vorgestellt werden sollen:
  • Gallerie von diversen Minimalflächen (Pinkall; Bachelor)
  • Lösen des Plateau-Problems, Minimalfläche zu gegebener Randkurve konstruieren (Pinkall; Bachelor)
  • Elisabeth Günther: Animationen zur Boyschen Fläche (Pinkall; Bachelor)
  • Sphere-Eversion und andere reguläre Homotopien von Flächen (Pinkall; Diplom/Master)
  • Ronny Günther: Elastische Kurven und Stäbe (Pinkall; Diplo/Masterm)
  • Rene Bodack: Zeitdiskreter Lagrange-Kreisel (Pinkall; Bachelor)
  • Felix Knöppel: a) Wente-Torus 'Puzzle': Zusammenbauen des Wente-Torus aus einzelnen Fundamentalstücken
    b) Animation zum Wente-Torus: Morphen eines Fundamentalstücks aus ebenem Rechteck
    (Pinkall; Diplom/Master)
  • Bernd Gonska:The Basis Refinement Method (Pinkall)
• Weitere Themen zur Visualisierung
  • Minimalflächen in S³ (Pinkall, Sullivan)
  • Strukturen in gekrümmten Räumen (Pinkall, Sullivan)
  • Elastische Kurven mit Selbstkontakt (Pinkall, Sullivan)
  • Stereopanoramafotos und zylindrische Perspektive (Pinkall, Sullivan)
• Diskrete Radontransformation (Bobenko, Schief; Bachelor, Diplom/Master)
• Themen aus dem Buch Fuchs,Tabachnikov: "Mathematical Highlihts":
  • Michael Hörner: Web Geometry (Lecture 18) (Bobenko, Schief, Sullivan; Bachelor, Diplom/Master)
  • The Crofton Formula (Lecture 19) (Sullivan; Bachelor)
  • Ellipses and Ellipsoids (Lectures 28-30), 1 oder 2 Vorträge (Bobenko, Schief, Sullivan; Bachelor, Diplom/Master)
  • Christian Reiher: Paper Sheet Geometry (Lectures 13 & 15) (Bobenko, Schief, Sullivan; Bachelor)
• Der "Mountain-Pass"-Satz und Anwendungen in der Theorie der Minimalflächen (Scherfner; Diplom/Master, auch Bachelor)
• Simon Weiß: Zur Chern-Vermutung über isoparametrische Hyperflächen in Sphären (Scherfner; Diplom/Master, auch Bachelor)
• Giacomo De Leva: Der Fermi-Walker-Transport und seine Eigenschaften (Scherfner; Bachelor)
• Das "Odd Number Theorem" und seine Anwendungen (Scherfner; Bachelor)
• Lynn Yang: Spinordarstellung von Flächen (Pinkall; Diplom)

Verantwortlich

• Prof. Dr. Alexander Bobenko (bobenko@math.tu-berlin.de),
• Prof. Dr. Ulrich Pinkall (pinkall@math.tu-berlin.de)
• Dr. G. Paul Peters (peters@math.tu-berlin.de)
• Priv.-Doz. Dr. Mike Scherfner (scherfne@math.tu-berlin.de)
• Prof. Dr. Wolfgang Schief (schief@math.tu-berlin.de)
• Prof. Dr. John M. Sullivan (sullivan@math.tu-berlin.de)

Ausführliche Beschreibung einiger Themen

• Der "Mountain-Pass"-Satz und Anwendungen in der Theorie der Minimalflächen (Scherfner; Diplom/Master, auch Bachelor)
  In der Geometrie gibt es zahlreiche Probleme, deren Lösungen sich als Extrema bestimmter Energiefunktionale beschreiben lassen. So sind z.B. Geodätische Riemannscher Mannigfaltigeiten und Minimalflächen kritische Punkte solcher Funktionale. Ein interessanter Satz ist der Satz von Ambrosetti-Rabinowitz (der sog. "Mountain-Pass"-Satz). Dieser ist schön zu veranschaulichen und ein Existenzsatz der Variationsrechnung, der - unter bestimmten Voraussetzungen an das betrachtete Funktional - Sattelpunkte garantiert. Dies macht ihn insbesondere in Bezug auf Minimalflächen interessant. Dieser Zusammenhang soll beleuchtet werden.
  Kategorie: Diplom/Master, aber auch Bachelor möglich.
• Zur Chern-Vermutung über isoparametrische Hyperflächen in Sphären (Scherfner; Diplom/Master, auch Bachelor)
  Nach einer Vermutung von S.-S. Chern sind geschlossene minimale Hyperflächen M^n in Sphären S^(n+1) mit konstanter Skalarkrümmung isoparametrisch. Seit den frühen 70er Jahren wird intensiv an einer Lösung gearbeitet, ohne dass bisher der finale Durchbruch erzielt werden konnte. Für n=3 (den ersten nicht trivialen Fall) ist das Problem vollständig gelöst, was wesentlich in zwei sehr schönen Arbeiten von Peng und Terng vollbracht wurde. Für höhere Dimensionen gibt es aktuell Teilerfolge. Die bisherigen Entwicklungen in Bezug auf die Vermutung sollen erläutert und ein Gesamtüberblick gegeben werden.
  Kategorie: Diplom/Master, nur bei deutlicher Reduzierung auch Bachelor möglich.
• Der Fermi-Walker-Transport und seine Eigenschaften (Scherfner; Bachelor)
  Der in der Differentialgeometrie sehr wichtige Paralleltransport ermöglicht es, "geometrische Daten" entlang von Kurven in Mannigfaltigkeiten zu transportieren. So scheint der Paralleltransport die natürlichste Weise zu sein, Vektoren an zwei verschiedenen Punkten miteinander zu vergleichen. Z. B. ein Beobachter in einer Raumzeit wird aber daran interessiert sein, dass der zeitartige Vektor seines Koordinatensystems stets in die Tangentenrichtung seiner Bahnkurve zeigt (da er nur dann in seinem System wirklich ruht - seine Vierergeschwindigkeit hat keine räumliche Komponente). Dies lässt sich aber durch Paralleltransport nicht realisieren. U.a. hier ist der F-W-T von großer Bedeutung; er fällt nur auf Geodätischen mit dem Paralleltransport zusammen und hat weitere interessante Eigenschaften, die ausgearbeitet werden sollen.
  Kategorie: Bachelorarbeit