\documentclass[german]{article}
\usepackage{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{eufrak}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{latexsym}
\renewcommand{\sl}[2]{\sum\limits_{#1}^{#2}}
\renewcommand{\ll}[1]{\lim\limits_{#1}}
\newcommand{\il}[2]{\int\limits_{#1}^{#2}}
\newcommand{\nl}{\textbf{???}\,}

\title{Private Notebook D1}
\author{Helmut Wielandt\\
G\"ottingen, Herzberger Ldstr.32\\
Heimatanschr.: T\"ubingen, Goesstr.31}

\sloppy

\begin{document}

\maketitle

\section*{I. Abstrakte Theorie der Integralgleichungen\\
 (red herring) 1942}
$\textbf{Seite 1}$\\
\\
2.4.42\\
1. Erzeugen die Permutationen $G_{1},\,G_{2}, \cdots$ eine transitive Gruppe des Grades $n$, so erzeugen schon $n - 1$ geeignet ausgew\"ahlte unter den $G_{\nu}$ eine transitive Gruppe des Grades $n$. \\
Denn durch Hinzunahme eines geeigeneten Elements kann man die Anzahl der Transitivit\"atssysteme um mindestens eins bei jedem Schritt verringern. \\
\\
2. Beweis f\"ur die Invarianz der Signatur einer quadratischen nichtsing. reellen Form:\\
In $F = x^{2}_{1} + \cdots + x^{n}_{p} - (x_{p + 1}^{2} + \cdots + x_{p + n}^{2})$ ist $p$ eindeutig bestimmt als gr\"osste Dimension eines linearen Teilraums durch 0, in dem $F(P) > 0$ f\"ur $P \not= 0$. Einen gr\"osseren positiven Teilraum gibt es n\"amlich nicht, weil der mit den negativen \nl $\cdots x_{p + n}$ einen Durchschnitt h\"atte. S.Weber, $2b$ d. Algebra I.\\
\\
3. F\"ur Matrizen des gleichen Typs gilt\\
Rg $(A + B) \underline{\underline{<}}\,\, \rm{Rg}\,A + \rm{Rg}\,B$. \\
Bew.: $A = 
 \left(
\begin{tabular}{cc}
\nl & 0 \\
0 & 0
\end{tabular}\right)$ annehmen.    
\\
$\textbf{Seite 2}$\\
\\
4. Ist $\mathfrak{H}$ Untergruppe von $\mathfrak{G}$, $\mathfrak{K}$ ein gegen\"uber $\mathfrak{H}$ invarianter Komplex von Elementen aus $\mathfrak{G}$, $ \mathfrak{D} = \mathfrak{K} \cap \mathfrak{H}$ und $\mathfrak{K}' = \mathfrak{K} - \mathfrak{D} $, so ist $\{\mathfrak{K}'\} \triangleleft \{\mathfrak{K}\} \quad \rm{sogar}\,\,\{\mathfrak{K}'\} \triangleleft \{\mathfrak{K},\,\mathfrak{D} \}$\\
Denn $\mathfrak{K}'^{H} = \mathfrak{K}'$, also $\mathfrak{K}'^{D} = \mathfrak{K}'$; $\{\mathfrak{K}'\}^{D} = \{\mathfrak{K}'\}^{K'} = \{\mathfrak{K}\}$.\\
\\
5. Ist $\mathfrak{K}$ von $\mathfrak{G}$ enthalten in der Ver\"anderungmenge zweier echter Untergruppen  $\mathfrak{H}_{1}$, $\mathfrak{H}_{2}$ von $\mathfrak{G}$, so erzeugt $\mathfrak{K}$  eine echte Untergruppe von $\mathfrak{G}$. \\
Denn mit $\mathfrak{D}_{i} = \mathfrak{K} \subset \mathfrak{D}_{i}$ und $\mathfrak{K}_{i}' = \mathfrak{K} - \mathfrak{D}_{i}$ w\"are sonst $\{\mathfrak{K}'_{i}\} \triangleleft \mathfrak{G}$, also  $\mathfrak{K}'_{i} =
\left\{
\begin{array}{cc}
0 \\
\mathfrak{K}
\end{array}\right.$, dann ist aber bei $\mathfrak{K}'_{i} = 0$ \quad $\mathfrak{K} \subset \mathfrak{H}_{i'}\qquad (i'\, \nl\, i)$. \quad Bew: 4.\\
\\
6. In einer einfachen Permutationsgr. gibt es zu jedem  Element ein \"ahnliches, das zwei vorgeschriebene Ziffern \underline{beide} versetzt. \qquad Bew.: 5.\\ 
\\
$\textbf{Seite 3}$\\
\\
7. Mit $\mathfrak{D}^{2}(A) = \sum\limits_{i,\,k}|a_{i\,k}|^{2}$ gilt: Ist $A$ normal und $\mathfrak{G}$ irreduzibel unit\"ar, so ist der Mittelwert \"uber $G \subset \mathfrak{G}$ von $\mathfrak{D}^{2}\,(A\,B^{G})$ gleich $\frac{1}{n}\,\mathfrak{D}^{2}(A)\,\mathfrak{D}^{2}(B)$. Ist $\mu(A)$ das Maximum von $\mathfrak{D}\,(A\,\mathfrak{x})$ auf der Kugel  $\mathfrak{D}(\mathfrak{x}) = 1$, dh. \nl $\sqrt{\,\,}$ aus der gr\"ossten Wurzel  von $\overline{A}'A$, so ist f\"ur beliebige $A,\,B$ 
\begin{quote}
$\mathfrak{D}\,(A\,B) \,\,\underline{\underline{<}}\,\, \mu(A)\,\mathfrak{D}(B),\,\mu(A +  B) \,\,\underline{\underline{<}}\,\, \mu(A) + \mu(B)$\\
$\mu(A) \,\,\underline{\underline{<}}\,\, \mathfrak{D}(\nl)$, $\mu(U\,A) = \mu\,(A)$ f\"ur $U\,\overline{U}' = \nl$,\\
$\mu\,(A\,B)\,\,\underline{\underline{<}}\,\, \mu(A)\,\mu(B)$. 
\end{quote} 
8. Ist $B_{0}$ ein Element der irred. unit. Gruppe $q$ mit $\mathfrak{D}\,(B_{0} - \nl) = Min$, so enth\"alt die Gruppe der mit $B_{0}$ vertauschbaren Elemente von $\mathfrak{G}$ mindestens ein Element aus derjenigen Klassen konj. Elemente von $\mathfrak{G}$, in denen $\mathfrak{D}^{2}(A - \alpha\,\nl) \,\,\underline{\underline{<}}\,\,\frac{n}{4}$ f\"ur geeignetes $\alpha$ ist (mit $n = \rm{Gr}\,\mathfrak{G})$.\\
Bew.: Mit $A - \alpha\,\nl = A$, $B_{0} = \beta\,\nl + B_{0}$ ist $\mathfrak{D}\,(A^{G}B\,A^{-1^{G}}B^{-1} - \nl) = \mathfrak{D}\,(A^{G}B_{0}  - B_{0}A^{G}) \,\,\underline{\underline{<}}\,\, \mathfrak{D}\,(A^{G}\,B_{0}) + \mathfrak{D}\,(B_{0}A^{G})$. Der Mittelwert der rechten\\
\\
$\textbf{Seite 4}$\\
\\
Seite ist $= 2 \,\frac{1}{\sqrt{n}}\,\mathfrak{D}(A)\,\mathfrak{D}(B_{0})$, also ist f\"ur ein $G$\qquad $\mathfrak{D}\,(A^{G}B_{0}A^{-^{G}}B_{0}^{-1} - \nl)\,\,\underline{\underline{<}}\,\, \frac{2}{\sqrt{n}}\,\mathfrak{D}\,(A)\,\mathfrak{D}(B_{0})\,\,\underline{\underline{<}}\,\, \mathfrak{D}(B_{0}) < \mathfrak{D}\,(B_{0} - \nl)$. \\
Bemerkg: Bei dem unterstrichenen \nl muss noch eine Versch\"arfg. m\"oglich sein.\\
\\
9. \"Uber vertauschbare elementfremde Untergruppen.\\
\underline{Stammringe}.\\
(1) Ein Stammring der abstrakten Gr. $\mathfrak{G}$ ist ein Teilring des Gruppenrings  $R(\mathfrak{G})$, da neben zwei Elementen $\alpha = \sum\,a_{i}\,G_{i}$ und $\beta = \sum\,b_{i}\,G_{i}$ enth\"alt, ausser dem zu $n\,a$ auch stets $a$, und der $\gamma = \sum\limits_{1}^{g}\,G_{i}$ enth\"alt. Er enth\"alt zu $\alpha = \sum\,a_{i}\,G_{i}$ auch stets $a_{C} = \sum\limits_{\nl}'G_{i}$.\\
\\
(2) $\mathfrak{A}$ und $\mathfrak{b}$ seien elementfremde, vertauschbare Untergruppen mit dem Produkt $\mathfrak{G}$. Dann l\"asst sich jedes $G$ eindeutig  in den Gestalten \\
$G = _{G}A\,B_{G} = _{G}B\,A_{G}$ darstellen. \\
In Zukunft bezeichne st\"andig $\mathring{d} = \frac{1}{a}\,\sum\,A$, $\mathring{\beta} = \frac{1}{b}\,\sum\,\mathfrak{b}$ \\
\\
$\textbf{Seite 5}$\\
\\
(3) Der Teilring \nl von $R(\mathfrak{A})$, dessen Elemente mit $\mathring{\beta}$ vertauschbar (3) sind ist ein Stammring. Denn $\alpha\,\beta = \beta\,\alpha$ bedeutet: \\
wenn $\alpha = \sum\,a_{A}\,A$, $\beta = \sum\,b_{B}\,B:$\\
(3.1)\qquad $a_{_{G}A} \,b_{B_{G}} = a_{A_{G}}\, b_{_{G}B} $ f. alle $G$\\
\\
Sind alle $b_{B} = 1$, so lautet diese Gl. \\
(3.2) \qquad $a_{_{G}A} = a_{A_{G}}$, \\
und die bleiben bei einer Ersetzung $a \rightarrow
\left\{
\begin{array}{cc}
1 & a = c\\
0 & a \not= c
\end{array}\right.$ g\"ultig. -Ebenso besteht  $\mathfrak{V}(\mathfrak{b}) = \mathfrak{V}_{\mathfrak{A}}(\mathfrak{b})$ aus den $\sum\, b_{B}B$ mit (3.3): $ b_{_{G}B} = b_{B_{G}} \quad (G \subset \mathfrak{G})$. \\
\\
(4) Satz: $\mathfrak{V}(\mathfrak{A})$ und $\mathfrak{V}(\mathfrak{b})$ zentralisieren sich gegenseitig. Bew.: (3.1) - (3.3).\\
\\
(5) F\"ur $\gamma = \sum\,c_{b}\,G \subset R(\mathfrak{G})$ setze
$$_{\gamma}\alpha = \sum\,c_{G_{G}}A$$
$$\alpha_{\gamma} = \sum\,c_{G}A_{G}, \,\,_{\gamma}\beta = \cdots,\cdots.$$  
Satz: F\"ur die $\gamma \subset \mathfrak{V}_{\mathfrak{b}}(\mathfrak{G})$ liefert die\\
\\
$\textbf{Seite 6}$\\
\\
Zuordnung $\gamma \rightarrow _{\gamma}\alpha$ eine \underline{harmonische} Abb. von $\mathfrak{V}(\mathfrak{G})$ in $\mathfrak{V}_{\mathfrak{b}}(\mathfrak{A})$ hinein. Es ist zugleich \qquad $_{\gamma}\alpha = \alpha_{\gamma}$. \\
\\
Bew.: $\gamma \rightarrow \gamma \,\mathring{\beta} $ ist Ringhomomorphismus. \\
Es ist 
$\left\{
\begin{array}{ccc}
\gamma\,\mathring{\beta} = _{\gamma}\alpha\,\mathring{\beta} & \textnormal{wegen }B\,\mathring{\beta} = \mathring{\beta}\\
\mathring{\beta}\,\gamma = \mathring{\beta}\,\alpha_{\gamma} & 
\end{array}\right.$  \\
Also ist $_{\gamma}\alpha\,\mathring{\beta} = \mathring{\beta}\,\alpha_{\gamma}$\\
Durch  Vergleich des Koeff. von \nl folgt\\
$ _{\gamma}\alpha = \alpha_{\gamma}$ und $ _{\gamma}\alpha \subset \mathfrak{V}(\mathfrak{A})$.\\
Es wird $_{\gamma_{1}\gamma_{2}}\alpha\,\mathring{\beta} = \gamma_{1}\gamma_{2}\mathring{\beta} = \gamma_{1}\mathring{\beta} \cdot \gamma_{2}\,\mathring{\beta} = _{\gamma_{1}}\alpha\,\mathring{\beta} \cdot _{\gamma_{2}}\alpha\,\mathring{\beta}$.
$$ = _{\gamma_{1}}\alpha\,_{\gamma_{2}}\alpha\,\mathring{\beta}\textnormal{, also Homomorphismen.}$$
(6) Zu dem gleichen ''prim\"aren Komplex'' geh\"oren zwei  Elemente \nl von $\mathfrak{A}$, wenn in jeder Gr\"osse aus $\mathfrak{V}(\mathfrak{A})$ die beiden Koeff von $A_{1}$, $A_{2}$ \"ubereinstimmen.\\
Nach \nl ist das der dund Fall, wenn eine Kette $A_{1} = A',\,A^{n}, \cdots,\,A^{(n)} = \nl$  gibt mit $A^{(\nu)} = _{G^{\nu}}A$, $A^{\nl} = A_{G^{(\nu)}}$.  
\\
$\textbf{Seite 7}$\\
\\
Hieraus folgt: Dund liegen $A_{1}$ und $A_{2}$ in selben prim. Komplex, wenn 
$\mathring{\beta}\,A_{1}\, \mathring{\beta} =  \mathring{\beta} \,A_{2}\,\mathring{\beta}$. \\
\\
(7) Das Bild einer vollen \"Ahnlichkeitsklasse unter $\mathfrak{b}$ bei der Abb. (5) ist ein skalares \nl einer prim\"aren Gr\"osse (dh. Summe eines prim. Komplexes). \\
Denn aus $\gamma = \sum\limits_{\mathfrak{b}}\,G_{1}^{B} = \sum\,G_{i}$ folgt\\
$ \mathring{\beta}_{\phi} \,G_{i}\, \mathring{\beta}_{\phi} = \mathring{\beta}_{\phi} \, G_{j} \,\mathring{\beta}_{\phi} $\\
also liegen alle $_{G_{i}}A$ im selben prim. Komplex. Ihre Koeff. stimmen \"uberein nach Def. des prim. Kompl. \\
\\
Frage: Lassen sich die vollen \"Ahnlichkeitsklassen von $\mathfrak{G}$ zerlegen in der Form $\sum\,\alpha\,\beta$ mit $\alpha \subset \mathfrak{V}(\mathfrak{A})$, $\beta \subset 
\mathfrak{V}(\mathfrak{b})$ ? \\
\\
(8) Unter der Ordnung $\omega(\gamma)$ eines Elements $\gamma \subset R(\mathfrak{G})$ verstehe man die Summe der Koeffizienten.\\
Es ist $\omega(\gamma_{1}\,\gamma_{2}) = \omega(\gamma_{1})\,\omega(\gamma{2})$ \\
(Verallgemeinerung mit beliebigen nicht-ident. Darstellungen von $\mathfrak{G}$).  
\\
$\textbf{Seite 8}$\\
\\
Versteht man noch zu $\gamma = \sum\,c_{G}G$ unter\\
$\overline{\gamma} = \sum\,c_{G}\,G^{-1}$, \\
so gilt (\nl erkl\"art wie in \nl)\\
Ord $(\gamma_{1}\,\gamma_{2}) \circ  \gamma_{3} = \rm{Ord } \gamma_{1} \circ (\gamma_{2}\,\overline{\gamma_{3}})$. \\
\\
Bew.: a) Ord $G_{1}\,G_{2} \circ G_{3} = 
\left\{
\begin{array}{ccc}
1, \textnormal{ wenn, } G_{1}\,G_{2} = G_{3}\\
0, \textnormal{ wenn, } G_{1}\,G_{2} \not= G_{3}
\end{array}\right.$  \\
$\left\{
\begin{array}{ccc}
1, \textnormal{ wenn, } G_{1} = G_{2}\, G_{3}^{-1} \\
0, \textnormal{ wenn, } G_{1} \not= G_{2}\, G_{3}^{-1} 
\end{array}\right.$  \\
b) $(\xi + \eta) \circ (\xi + \mathfrak{D}) = \xi \circ \xi  + \xi \circ \mathfrak{D} + \eta \circ \xi + \eta \circ \mathfrak{D}$.\\
\\
(9) Sind $\alpha_{1},\,\alpha_{2} \subset \mathfrak{V}_{\mathfrak{b}}(\mathfrak{A})$, so bildet die Summe der $A$ mit Ord $A\alpha_{1} \circ \alpha_{2} = C$ eine Gr\"osse aus $\mathfrak{V}(\mathfrak{A})$. \\
Bew.: 9$\,(8)$ anwenden auf $\gamma_{1} = A_{i}\gamma_{2} = \alpha_{1}$, $\gamma_{3} = \nl$. \\
\\
(10) Durchl\"auft \nl das Zentrum von $R(\mathfrak{G})$ so durchl\"auft nach (5) $\xi\,\mathring{\beta}$ einen Teilring von $\mathfrak{V}(\mathfrak{A})$  (bis auf Isomorphes). Dessen Rang ist gleich der Anzahl \underline{voneinander} verschiedener irred. Bestandteile der von \nl induzierter Permutationsdarstellg von $\mathfrak{G}$. Der\\ 
\\
$\textbf{Seite 9}$\\
\\
Ring der  $\xi\,\circ{\beta}$ hat also dund denselben Rang wie $\mathfrak{V}(\mathfrak{A})$, wenn alle irred. Bestdteile dieser Permugr. verschieden sind, d.h. wenn $\mathfrak{V}(\mathfrak{A})$ kommutativ ist. \\
Rg $\mathfrak{V}(\mathfrak{A}) = \sum\,e_{i}^{2}$, wenn \nl Vielfachheiten der irred. Bestandteile der Permudarst. von $\mathfrak{G}$ nach $\mathfrak{b}$ bezeichnet. \\
\\
(11) Ist $\alpha \in \mathfrak{V}$, $\alpha^{A} = \alpha$ f. alle $A \subset \mathfrak{A}$, so ist f\"ur $(q, \rm{ Ord } \mathfrak{A}) = 1$
$$\alpha^{(q)} \subset \mathfrak{V}(\mathfrak{A}).$$
(Mit $\nl = \sum\,a_{A}\,A^{q})$. \\
\\
Bew: Durch ordnen in \"Ahnlichkeitsklassen erkennt man: $\alpha^{(q)} \equiv \alpha^{q}$ (mod $q$). \\
Also $ \alpha^{(q)} \mathring{\beta} \equiv \mathring{\beta} \, \alpha^{(q)}  $ (mod $q$) woraus (zun\"achst f\"ur gen\"ugend \nl) folgt: $= $ statt $\equiv$. \\
\\
Gibt es entsprechende Theorie f\"ur den Fall vertauschbarer Frage \\
Untergruppen mit dem Durchschnitt $\mathfrak{D} \not= \nl$ ?\\
\\
$\textbf{Seite 10}$\\
\\
10. Stammringe Abelscher Gruppen.\\
(1) $\mathfrak{G}$ sei eine Abelsche Gruppe, $\mathfrak{G}^{*}$ die Gruppe ihrer Charaktere. Jedem Element $\alpha$ des Gruppenrings $R(\mathfrak{G}) = R$ ordnen wir eine Gr\"osse $\alpha^{*}$ des Gruppenrings $R^{*} = R\,(\mathfrak{G}^{*})$ folgendermaßen zu: \\
$\alpha^{*} = \sum\limits_{\chi \in \mathfrak{G}^{\chi}} \chi(\alpha) \cdot \chi$. \\
mit $\chi(\nl) = \sum\,a_{\nu}\,\chi(G_{\nu})$, wenn $\alpha = \sum\,a_{\nu}G_{\nu}$. \\
Es gilt\\
(a) $(\alpha + \beta)^{*} = \alpha^{*} + \beta^{*}$, $(c\nl)^{*} = c \cdot \alpha^{*}$ \\
(b) $(\alpha \cdot \beta)^{*} = \alpha^{*} \circ \beta^{*}$\\
(c) $g \cdot (\alpha \circ \beta)^{*} = \alpha^{*}\beta^{*}$\\
Das beruht auf: $(a \& b)$: $\chi(\alpha + \beta) = \chi(\alpha) \pm \chi(\beta)$. \\
(c): $\alpha^{*} \cdot \beta^{*} = \sum\limits_{\chi_{i,\,k}}\,\chi_{i}(\alpha)\,\chi_{i} \cdot \chi_{k}(\beta)\,\chi_{k}$\\
$= \sum\limits_{\chi_{e}} \chi_{e}\,\sum\limits_{\chi_{i}\,\chi_{k} = \chi_{e}}\chi_{i}(\alpha) \,\chi_{k}(\beta)$. \\
Nun bleibt  $\xi = \sum\limits_{\chi_{i}\,\chi_{k} = \chi_{e}}\chi_{k}(H)$ unge\"andert bei Multipl. mit $\chi(G) \,\chi(H^{-1})$ ist also = 0, wenn $G\,H^{-1} \not= E$. Daher ist    \\
\\
$\textbf{Seite 11}$\\
\\
$\xi = 0$, wenn $G \not= H$, und $= g \cdot  \chi_{e}(H)$, wenn $G = H_{i}$; und $\alpha^{*}\beta^{*} = \sum\, \chi_{e} \cdot \sum\limits_{i}\,a_{i}\,b_{i}\,g\,\chi_{e}(G_{i})$\\
$= g\,(\alpha \circ \beta)^{*}$\\
\\
\\
(2) (a) Ist $\mathfrak{S}$ ein in $R$ enthaltenen Stammring, so ist die \nl zugeordnete Teilmenge $\mathfrak{S}^{*}$ von $R^{*}$ ebenfalls ein Stammring. \\
b) Ist $\mathfrak{S}$ (elementweise) ''rational'' und hat (ganze) rationale Koeffizienten, dann $\mathfrak{S}^{*}$ desgleichen: (kurz: ''$\mathfrak{S}$ ist rational''.)\\
c) Ist $\mathfrak{S}$ singul\"ar oder nichtsingul\"ar, dann $\mathfrak{S}^{*}$ desgleichen. \\
Bew. nur f\"ur (c) n\"otig: Ist $\alpha = \sum\limits_{U \in \mathfrak{U}} U$, $\alpha \in \mathfrak{S}$,\\
so ist $\alpha^{*}  = \rm{Ord}\,U \cdot \sum\limits_{\chi \subset \mathfrak{U^{*}}}\chi$, zu \nl \"uber die $\chi$, welche in ganz  $\mathfrak{U}$ den Wert 1 haben. \\
Aus $(\sum\limits_{U \subset \mathfrak{U}})^{*} = \rm{Ord}\,U \cdot \sum\limits_{\chi \subset \mathfrak{U}^{*}} \chi$ folgt (c). \\
Es ist Ord $\mathfrak{U} \cdot \rm{Ord } \,\mathfrak{U}^{*} = g$. \\
\\
$\textbf{Seite 12}$\\
\\
11. Transitive  Permut.-Gruppen mit regul\"arer abelschen $p$-Untergruppen  vom Typ $*$ $(p^{\alpha},\, p^{\beta},\, p^{\gamma}),\cdots)$ mit $\alpha > \beta + \gamma + \cdots$\\
Setze $p^{\alpha} = a$, $p^{\beta + \gamma + \cdots} = G$. \\
(1) $\mathfrak{S}\,(\mathfrak{A})$ sei ein nichtsungul\"arer Stammring der Gr. $\mathfrak{A}$ vom Typ $*$; $\Gamma$ sei eine Untergruppe der Charaktere von $\mathfrak{A}$, sei $\alpha \in \mathfrak{S}(a)$. \nl dann gibt es zu jedem Charakter $\chi \not= \chi_{0}$, $\chi \in \Gamma$ mind. einem Charakter $\chi',\, \chi' \notin \Gamma$ \nl dass $\chi(\alpha) = \chi'(\alpha)$. \\
\\
Bew.: Andernfalls k\"onnte man ein Polynom $P(x)$ mit rat. Koeff. finden, das f\"ur alle $\chi'(\alpha)$, $\chi' \notin \Gamma$, verschwindet \nl. Die Gr\"osse $\beta = P(\alpha)$ liegt in $\mathfrak{S}(\mathfrak{A})$ und ausserhalb $P$ \"uberall den Charakter 0, ist aber \nl. Ist $\mathfrak{U}$ die zu $P$ geh\"orige Untergruppe von $\mathfrak{A}$, so ist also $U\,\beta = \beta$, wegen $\mathfrak{U} = \nl$ ist $\mathfrak{S}$ doch singul\"ar gegen Vor. \\
\\
(2) $\mathfrak{S}(\mathfrak{U})$ sei ein nichtsingul\"arer Stammring einer Gr $\mathfrak{A}$ vom Typus $*$. Sei \nl $\subset \mathfrak{S}(\mathfrak{A})$ ein rationaler Komplex. Dann ist f\"ur jeden Charakter $\chi \not= \chi_{0} \qquad |\chi(\alpha)| \,\,\underline{\underline{<}}\,\, b$. \\
\\
$\textbf{Seite 13}$\\
\\
Bew.: W\"ahle f\"ur $P$ die Gr. der Char. von $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{b}$ die f\"ur $\mathfrak{A}^{(p^{\alpha - 1})}$ den Wert 1 haben. Nach (1) k\"onnen wir uns  auf die $\chi'$ \nl $P$ beschr\"anken. Ein deraritges $\chi'$ hat f\"ur genau $b$ Elemente von $\mathfrak{A}$ den Wert 1 (n\"amlich f\"ur eine geeignete komplement\"are Untergr. zu $\{A\}$ mit Ord $A = p^{\alpha})$. Nun gilt aber allgemein: \\
\\
(3) Nun hat Charakter $\chi$ der $p$-Gruppe $\mathfrak{A}$ f\"ur genau $b$ Elemente von $\mathfrak{A}$ den Wert 1, so ist f\"ur jeden \underline{rationalen Komplex} von $\mathfrak{A}$, dh. f\"ur jede Gr\"osse der Gestalt\\
$\alpha = \sum\,\,\delta\,\phi^{\phi}$, $\delta\,\phi = 
\left\{
\begin{array}{ccc}
0\\
1
\end{array}\right.$, \\
$|\chi(\alpha)| \,\,\underline{\underline{<}}\,\, b$ \\
wobei $\phi$ = ''Familie'' = $\sum\limits_{(r,\, \rm{Ord}\,\mathfrak{A}) = 1} A^{r}$\\
Bew.: Ist $\phi = \sum C^{r}$ eine Familie, so ist wegen \\
Spur($\varepsilon) = 
\left\{
\begin{array}{ccc}
\varphi(c) & \textnormal{ f\"ur } \varepsilon = 1\\
\frac{-\varphi}{n - 1} & \textnormal{ f\"ur Ord } \varepsilon = p\\
\bullet & \textnormal{ f\"ur Ord } \varepsilon = p^{K}, \, K > 1  
\end{array}\right.$\\
stets \\
$\chi(\phi) = 
\left\{
\begin{array}{ccc}
\rm{Ord}\, \phi& \textnormal{,wenn } \chi(C) = 1\\
\frac{-\rm{Ord} \,\phi}{p - 1} & \textnormal{wenn Ord}\,\chi(C) = p\\
0 & \textnormal{,wenn Ord }\chi(C) = p^{K}, \, K > 1
\end{array}\right.$\\
\\
$\textbf{Seite 14}$\\
\\
Daher gibt in einem \underline{rationalen} Komplex $\rho = \sum\,c_{i}$ Element $C$ zur Summe  $\chi(\rho)$ im Mittel \"uber seine Familie) \\
den Betrag 
$\left\{
\begin{array}{ccc}
1 & \textnormal{,wenn } \chi(C) = 1\\
-\frac{1}{n - 1} & \textnormal{wenn Ord}\,\chi(C) = p\\
0 & \textnormal{,sonst}
\end{array}\right.$\\
Daher ist $\chi(\rho) = A - \frac{B}{p - 1}$, wobei $A$ die Anzahl der $C$ mit $\chi(C) = 1$ ist und $B$ diejenige der $C$ mit Ord $\chi(C) = p$. Nun ist in \underline{in ganz} $\alpha$ die erstere Anzahl $= b$, die letztere $(p - 1)\,b$. Also ist $0 \leq A \leq b$, $0 \leq B\,\,\underline{\underline{<}}\,\, (p - 1)\,b$ und\\
$\chi(\rho) = \mathfrak{d}_{1}\, b -  \mathfrak{d}_{2}\,\frac{(p - 1) \,b}{p - 1}$ mit $0 \leq \mathfrak{D}_{i} \leq 1$, \\
also $|\chi(\rho)| \leq  b$. \\
\\
(4) $\mathfrak{A}$ sei eine abelsche $p$-Gruppe vom Typ $*$, $\mathfrak{S}$ ein nicht singul\"arer Stammring von $\mathfrak{A}$. $\alpha \in \mathfrak{S}$ sei rationaler Komplex  aus $k$ Elementen. \nl sei eine Familie  aus $\mathfrak{b}$ Elementen von $\mathfrak{A}$, die zu $\alpha$ elementfremd ist. Dann ist $k < \nl$ mit Ord $C = 0$\\
\\
Bew.: Allgemein ist f\"ur zwei Komplexe $[$elementfremde Gr\"ossen$]$ $\mathfrak{K}$, $\mathfrak{L}$ $[$0 = $]$ Ord \nl $(\mathfrak{K},\mathfrak{L}) = \frac{1}{g} \cdot \sum\limits_{\chi}\,\chi\,(\mathfrak{K}) \overline{\chi} (\mathfrak{L})$. \\
mit \nl = Ord $\mathfrak{A}$\\   
\\
$\textbf{Seite 15}$\\
\\
Also $= \sum\limits_{\chi}\,\chi(\alpha)\chi(\phi) = k\,\mathfrak{b} + \sum\limits_{\chi \not= \chi_{0}} \chi(\alpha)\,\chi(\phi)$. \\
Nun ist $\chi(\phi) = 
\left\{
\begin{array}{ccc}
f & \textnormal{ f\"ur genau  \nl Charaktere }\chi \not= \chi_{0}\\
\frac{-f}{p - 1} & \textnormal{ f\"ur genau } (p - 1) \nl \textnormal{ genau }\chi\\
0 & \textnormal{ sonst.}
\end{array}\right.$\\
Daher ist \\
$k\,f = |\sum'\chi(\alpha)\,\chi(\phi)| \,\,\underline{\underline{<}}\,\,\sum|\chi(\alpha)| \cdot |\chi(\phi)| < b(f\,\frac{n}{c} + f\,(p - 1)\,\frac{n}{(p - 1)\,c} = 2b\,f\,\frac{n}{c}$\\
\\
(5) Ist $\mathfrak{A}$ abelsch vom Typ $*$, so enth\"alt jeder rationale nocht sing. Komplex von $\mathfrak{A}$, dessen Elementezahl $k \,\,\underline{\underline{>}}\,\,\frac{2}{p}\,n$ ist, alle Elemente der (maximalen) Ordnung $a$ von $\mathfrak{A}$. \\
Bew.: sonst w\"are es fremd zu einer Familie der Ord $a$, und nach (4) w\"are 
$$k < \frac{2\,b\, n}{a} \,\,\underline{\underline{<}}\,\,\frac{2}{p}\,n.$$
(Das ist die Stelle, wo die \nl benutzt wird.) \\
\\
$\textbf{Seite 16}$\\
\\
(6) Ist abelsch vom Typ $*$, $\mathfrak{S}$ ein nichtsing. rationaler Stammring und $p \geq 5$, so ist Rg $\mathfrak{S} = 2$. \\
Bew.: Nimm Hauptkomplex mit $k$ Elementen  $k \geq \frac{2}{n}$. \\
Nach (5) enth\"alt $\mathfrak{K}$ alle Elemente der maximalen Ord., da $\frac{2}{p} < \frac{1}{2}$. Also ist der zu $\mathfrak{K}$ komplement\"ar Komplex $\mathfrak{K}'$, falls $\not= \nl$, singul\"ar, denn liegt in der Gruppe der Elemente $A$ mit $A^{\frac{a}{p}} = E$. Also ist $\mathfrak{K}' = E$; Rg $\mathfrak{S} = 2$. \\
\\
$\textbf{Seite 17}$\\
\\
Stieltjes Integrale in 2 und mehr Dimensionen 12. \\
1. Def. $R$  sei ein abgeschlossenes Rechteck  $a \leq x \leq b$, $c \leq y \leq d$. Dann kann man f\"ur geeignete $f(x,\,y)$, $g(x,\,y)$ erkl\"aren\\
$$\int\int\, f(x,\,y)\,ddg(x,\,y).$$
n\"amlich als Grenzwert von
$$\nl$$
wobei die 
$\left\{
\begin{array}{ccc}
x_{0} = a < x_{1} < x_{2} < \cdots < x_{\alpha} = b\\
y_{0} = c < y_{1} < y_{2} < \cdots < y_{\beta} = d
\end{array}\right.$  
eine immer feinere Rechteckseinteilung $R_{\mu\,x}$ von $R$ bilden. \\
\\
2. Beispiel: Setzt man $g(x,\,y) = 
\left\{
\begin{array}{ccc}
1 & \textnormal{ f\"ur } x \geq x_{0} \textnormal{ und } y = y_{0}\\
0 & \textnormal{ sonst,}
\end{array}\right.$\\
so ist \nl $f\,d\,d_{y}g = f(x_{0},\,y_{0})$, wenn $f$ stetig. Denn bei jeder Einteilung gibt es genau ein $R_{\mu\,\nu}$ so, da\ss $\Delta\,g \not= 0$, \\
und dann ist  $\Delta\,g = 1$. \\
\\
$\textbf{Seite 18}$\\
\\
3. Zusammenhang mit gew\"ohnlichem Integral:\\
Ist $g$ gen\"ugend differenzierbar, so ist
$$\int\int\, f\,d_{x}d_{y}g = \int\int\,f\,\frac{\partial^{2}g}{\partial\,x\,\partial\,y}\,dx\,dy$$. 
4. Eine Transformationsformel f\"ur Verpflanzung wird es nicht geben von der Art, dass einfach (ausser der Verpflanzung der Werte) zum Integranden noch ein nur von der \nl Faktor hinzutritt. Denn\\
$\frac{\partial^{2}g(x(\xi,\, \eta), \, y(\xi,\, \eta))}{\partial\,\xi\,\,\partial\,\eta} = G_{xx}x_{\xi}x_{\eta} + G_{yy}\,y_{\xi}y_{\eta} + G_{x}x_{\xi\,\eta} + G_{y}\,Y_{\xi\,\eta} + G_{x\,y} \cdot [x_{\xi}y_{\eta} + x_{\eta}y_{\xi}]$\\
unterscheidet sich von \\
$\frac{\partial^{2}g(x,\,y)}{\partial\,\xi \,\partial\,\eta}$ {\large{$|$}}$_{_{x = x(\xi,\eta),\, y =}} \cdot \frac{\partial(x,\,y)}{\partial(\xi,\,\eta)}$\\
nicht nur um ein Faktor.\\
\\
5. Zur praktischen Rechnung wird die Stieltjesform i.A. weniger geeignet sein als das damit gegebenfalls identische gew\"ohnliche Integral. Denn die Doppeldifferenz  \nl $g$ wird schwieriger genau zu berechnen sein, als die Fl\"ache $\nl\, (x\, y) = (x_{\mu\,M} - x_{\mu} - x_{\mu}) \,(y_{\nl} - x_{\mu})$. \\
\\
$\textbf{Seite 19}$\\
\\
Von Vorteil f\"ur die Berechnung k\"onnte die Stieltjesform sein bei singul\"arer Stellen, wo die \nl \underline{nicht} $\rightarrow$ 0 gehen bei Verfeinerung des Rechtecksnetzes. \\
6. Die Formel f\"ur die Zerlegung der 2-dimensionalen Intergration in zwei nacheinander auszuf\"uhrende eindimensionale wird lauten: \\
\nl $f(x,\, y)\, dx\, dy\,g(x\,y) = \int\limits^{b}_{x - 1}\,d_{x}\,\int\limits^{d}_{y = c}\, f(x\,y) \, d_{y}\,g(x_{1}\,y)$\\
$[ = \int\limits^{b}_{x = a}\, d_{x}\{G(x,\,d) - G(x,\, c)\}]$ \\
Eindimensionale Stieltjes-Integrale w\"aren zuschreiben
$$\int\limits_{a}^{b}\,f(x)\,d_{x}g(x).$$  
7. Die Fktion $\mathfrak{G}(x,\, y)$ kann gedeutet werden als die Gesamtmasse  im abgeschlossenen Rechteck $a \leq \xi \leq x$, $\nl \leq \eta \leq y$, wenn $d_{x}d_{y}g$ die Massenbelegung eines indefinitesimalen Rechtecks bedeuten soll (von welchem die offenen obere und rechte Kante mitz\"ahlen, dito die rechte obere Ecke. \\
\\
$\textbf{Seite 20}$\\
\\
8. Eine Vektorverteilung $\mathfrak{v}(x,\, y)$ heisst die $R$ quellenfrei wenn f\"ur jede in $R$ stetiger auf dem Rand verschwindende, im Innern stets differenzierbare Funktion $\nl\,(x,\, y) $ gilt 
$$\nl\, \textnormal{grad}\, \varphi(x,\,y)\,d_{x}d_{y}\,\mathfrak{v}\,(x,\,y) = 0$$ 
13. \underline{Ableitung von linearen Differentialoperatoren.} \quad 26.7.42\\
1. Ist $u(x_{1},\,x_{2},\, \cdots)$ eine gen\"ugend oft diffbare Fkt., \\
so setze $\frac{\partial^{\alpha + \beta + \cdots}}{\partial\,x_{1}^{\alpha}\,\partial\,x_{2}^{\beta} \cdots}\,u = u^{(\alpha,\, \beta, \cdots)}$\\
Ist $\mathfrak{L}(u) \equiv  \sum\,\mathfrak{G}_{\alpha\,\beta\,\cdots}\,^{(x_{1},\, x_{2}\,\cdots)} \cdot u^{(\alpha,\, \beta,\cdots)}$ ein linearer Differentialoperator, so entwickele $\mathfrak{L}\,(uz)$, wobei $z = z(x_{1},\, x_{2},\cdots)$, nach Abteilungen von $z$ und definiere \\
$\mathfrak{L}(u\,z)  = \frac{1}{\alpha!\,\beta!}\,\mathfrak{L}^{(\alpha,\,\beta)}(u)\,z^{(\alpha,\, \beta)}$ \\
\\
$\textbf{Seite 21}$\\
\\
Dann gilt: \\
2. $[\mathfrak{L}^{(\alpha,\, \beta)}]^{(\gamma,\delta)} = \mathfrak{L}^{(\alpha + \gamma,\, \beta + \delta)}$ \\
Bew.: $\mathfrak{L}(u\,z\,w) = \frac{1}{\alpha!\,\beta!}\,\mathfrak{L}^{\alpha,\, \beta}(u\,z)\,w^{(\alpha,\, \beta)} = \frac{1}{\alpha!\,\beta!\,\gamma!\delta!}\,\mathfrak{L}^{(\alpha,\, \beta)\,(\gamma,\,\delta)}(u)\,z^{(\gamma,\,\delta)}w^{(\alpha,\,\beta)}$\\
andererseits \\
$= \frac{1}{\rho!\,\sigma!}\,\mathfrak{L}^{(\rho,\,\sigma)}(u)\,(z\,w)^{(\rho,\,\sigma)}$\\
$= \frac{1}{\rho!\,\sigma!}\,\mathfrak{L}^{(\rho,\,\sigma)}(u) 
\sum\limits^{{\scriptsize{
\begin{array}{ccc}
s + \delta = c\\
\alpha + \gamma = \rho
\end{array}}}}\,
\left( 
\begin{array}{ccc}
\rho\\
\alpha
\end{array}\right)\,
\left( 
\begin{array}{ccc}
c\\
\beta
\end{array}\right)\, w^{(\alpha,\,\beta)}z^{(\gamma,\,\delta)}$\\
$= \frac{1}{\alpha !\,\beta !\, (\gamma) \,(\delta)!}\,\mathfrak{L}^{\nl}(u) \,z^{(\gamma\,\delta)}w^{(\alpha,\,\beta)}$. \\
\\
3. Es ist $\mathfrak{L}^{(0,\,0)} \equiv \mathfrak{L}$\\
und f\"ur $\mathfrak{L} \equiv \mathfrak{G}_{K}\,\lambda\,(x_{1},\,x_{2},\cdots)\,\xi_{1}^{K}\,\xi_{2}^{\lambda} = P_{(x,\,\xi)},$ $\xi_{i} = \frac{\partial}{\partial\,x_{i}}$:\\
$\mathfrak{L}^{(\alpha,\,\beta)} \equiv \frac{\partial^{\alpha}}{\partial\,\xi^{\alpha}_{1}}\,\frac{\partial^{\beta}}{\partial\,\xi_{2}^{\beta}}\,P(x,\,\xi)$ \qquad Bew.: \\
\\
4. W\"ahlt man $z$ so, dass $z^{(\alpha,\,\beta)} = t^{\alpha}_{1}\,t_{2}^{\beta}z$, so kann man die $\mathfrak{L}^{(\alpha,\,\beta)}$ \"ubersichtlich darstellen, w\"ahle z.B. $z = e^{t_{1}\,x_{1} + t_{2}x_{2} + \cdots}$, dann wird $e^{-t_{1}x_{1} - t_{2}x_{2}\cdots}\mathfrak{L}(u\,e^{t_{1}x_{1} + t_{2}x_{2} + \cdots}) = \frac{t_{1}^{\alpha}t_{2}^{\beta}\cdots}{\alpha!\,\beta!\cdots}\mathfrak{L}^{(\alpha,\,\beta \cdots)}(u)$.\\ 
\\
$\textbf{Seite 22}$\\
\\
Daraus folgt 3, denn es ist \\
$L(u\,e^{t_{1}x_{1}} = \mathfrak{G}_{K\,\lambda}\,
\left( 
\begin{array}{ccc}
K\\
\alpha
\end{array}\right)\, t_{1}^{\alpha}u^{\nl}\, e^{t_{1}x_{1}}$ also $L^{(\alpha)}(u) = \mathfrak{G}_{K\,\lambda} \nl$\\
\\
5. F\"ur beliebige (nicht Differentiale) Operatoren $\mathfrak{L}$ k\"onnte man $\mathfrak{L}^{(\alpha)}$ durch 4. definieren. In manchen F\"allen aber vielleicht besser durch. \\
$e^{-i(t_{1}\,x_{1} + \cdots)}\mathfrak{L}\,(u\,e^{i\,(t_{1}x_{1} + \cdots)}) = \frac{i^{\alpha + \beta + \cdots}t_{1}^{\alpha}t_{2}^{\beta}}{\alpha!\,\beta! \cdots} \cdot \mathfrak{L}^{(\alpha,\beta)}(u)$\\
\\
\underline{Frage:} Falls sowohl 4 als 5 m\"ogliche Definitionen sind f\"ur einen Operator $\mathfrak{L}$, stimmen denn die beiden $\mathfrak{L}^{(\alpha)}$ \"uberein ?\\
\\
6. Beispiel zu 5: $\mathfrak{L}(u(x)) = U\,(x) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\,e^{i\,\xi\,x} \,u(\xi)\,d\xi$\\
Es wird \\
$\sum\limits_{0}^{\infty}\,\frac{1}{\alpha!}\,\mathfrak{L}^{\alpha}(u)\,\,(i\,t)^{\alpha} = e^{-i\,t\,x}\mathfrak{L}\,(u\,e^{i\,t\,x})$\\
\\
z.B. $\mathfrak{L}'(u(x)) = -x\,U(x) \nl - i\,U'(x) = \mathfrak{L}_{1}\,\mathfrak{L}(u) \qquad $ mit $\mathfrak{L}_{1} = -x - i\frac{\partial}{\partial\,x}$\\
\\
$\textbf{Seite 23}$\\
\\
Beispiel zu 4:  $\mathfrak{L}(u(x)) = U(x) = \int\limits_{0}^{\infty}\,e^{-x\,\xi}u(\xi)\,d\xi$\\
$\sum \,\frac{t^{\alpha}}{\alpha !}\,\mathfrak{L}^{(\alpha)}(u) = e^{-t\,x}\,U(x - t)$\\
insbesondere $\mathfrak{L}'(u) = -x\,U - U' = \mathfrak{L}_{2}\mathfrak{L}(u)$ mit $\mathfrak{L}_{2} = -x - \frac{\partial}{\partial\,x}$. \\
\\
14. Differential von abstrakten Funktionalen.\\
1. Definition: \qquad (14.8.42)\\
$\Lambda$ sei ein linearer Raum  mit den reelen Zahlen als Operatoren, indem ein Absolutbetrag $|\varphi|$ erkl\"art ist mit $|\gamma\,\varphi| = \gamma\,|\varphi|$, $|\varphi| \not= 0$ f\"ur $\varphi \not= 0$, $|\varphi_{1} + \varphi_{2}| \leq |\varphi_{1}| + |\varphi_{2}|$. \\
Ein linearer Operator $\mathfrak{L}$, der $\Lambda$ in sich abbildet, heisst beschr\"ankt, wenn es eine Konstante  $\mathfrak{M}$ gibt mit $|\mathfrak{L}(\varphi)| \leq \mathfrak{M}\,|\varphi|$ \\
\\
Ist nun $\Omega$ eine im Punkte $\varphi_{0}$ stetige Abbildung von $\Lambda$ in sich, und gibt es eine \underline{Beschr\"ankten} lineare Operator $\mathfrak{L}_{0}$ derart, dass\\
\\
$\textbf{Seite 24}$\\
\\
f\"ur alle $\psi \subset \Lambda$ gilt\\
$\Omega\,(\varphi_{0} + \psi) = \Omega\,(\varphi_{0}) + \mathfrak{L}_{0}(\psi) + R(\psi)$\\
mit\\
$$|\frac{R(\psi)}{|\psi|}| \rightarrow 0 \textnormal{ f\"ur }|\psi| \rightarrow 0,$$
(dh. $\frac{R(\psi)}{|\psi|}$ soll sich, im Nullpunkt als 0 definiert, stetig verhalten) so kann man $\mathfrak{L}_{0}$ das Differential von $\Omega$  an der Stelle $\varphi_{0}$ nennen. \\
Man schreibt passend 
$$\mathfrak{L}_{0} = \frac{d\,\Omega}{d\,\varphi}\textnormal{{\large{} \nl \textnormal{}}}_{_{\varphi = \varphi_{0}}}$$
($\mathfrak{L}_{0}$ ist eindeutig bestimmt.)\\
2. Kettenregel : $\frac{d\,\Omega\,(\Omega_{2\,(\varphi_{2})})}{d\,\varphi_{2})} = \frac{d\,\Omega_{1}}{d\,\Omega_{2}} \cdot  \frac{d\,\Omega_{2}}{d\,\Omega_{2}}$\\
\\
Beweis: $\Omega_{1}\,(\Omega_{2}(\varphi_{0} + \psi)) = \Omega_{1}\,(\Omega_{2}(\varphi_{0}) + \mathfrak{L}_{2}(\psi) + R_{2}(\psi)$\\
$= \Omega_{1}\,(\Omega_{2}(\varphi_{0})) + \mathfrak{L}_{1}\,(\mathfrak{L}_{2}(\psi) + R_{2}(\psi)) + R_{1}\,(\mathfrak{L}_{2}(\psi) + R_{2}(\psi))$\\
$= \Omega_{1}\,\Omega_{2}(\varphi_{0}) + \mathfrak{L}_{1}\mathfrak{L}_{2}(\psi) + R(\psi)$ mit \\
\\
$ \frac{1}{|\psi|} \,R(\psi) = \frac{1}{|\psi|} \,\mathfrak{L}_{1}\,R_{2}(\psi) + \frac{1}{|\psi|} \, R_{1}\,(\mathfrak{L}_{2}(\psi) + R_{2}(\psi))$.\\
\\
$\textbf{Seite 25}$\\
\\
Nun ist $\frac{1}{|\psi|}\,|\mathfrak{L}_{1}R_{2}(\psi)| \leq \frac{1}{|\psi|} \,m_{1}\,|R_{2}(\psi)| \rightarrow 0 $ mit $\psi \rightarrow 0$ \\
Ferner ist \\
$\frac{1}{|\psi|}\,|R_{1}(\mathfrak{L}_{2}\,\psi + R_{2}\,\psi)| = \frac{|\mathfrak{L}_{2}(\psi)  + R_{2}(\psi)|}{|\psi|} \cdot \frac{|R_{1}(\nl)|}{|\mathfrak{L}_{2}\psi + R_{2}\psi|}$\\
$\,\,\underline{\underline{<}}\,\, (m_{2} + \frac{|R_{2}(\psi)|}{|\psi|})\,\frac{|R_{1}(\,\,)}{|\,\,\,|} \rightarrow 0$ mit $\psi \rightarrow 0$.  \\
\\
3. Mehrere Argumente.\\
Entsprechend definiert man f\"ur Fktionale mehrere Argumente:\\
$\Omega\,(\varphi_{0} + \varphi,\,\psi_{0} + \psi,\, \cdots) = \Omega\,(\varphi_{0},\,\psi_{0} \cdots) + \frac{\partial\,\Omega}{\partial\,\varphi}$
{\large{$|$}}$_{_{\psi = \psi_{0}}} (\psi) + \cdots + R$ mit\\
$\frac{|R|}{|\varphi| + |\psi| + \cdots} \rightarrow 0$ f\"ur $|\varphi| + |\psi| + \cdots \rightarrow 0$, \\
Es gilt: \\
$\frac{d\,\Omega_{1}(\varphi),\,\Omega_{2}(\varphi)}{d\,\varphi} = \frac{\partial\,\Omega}{\partial\,\Omega_{1}} \cdot \frac{\partial\,\Omega}{\partial\,\varphi} + \frac{\partial\,\Omega}{\partial\,\Omega_{2}} \cdot \frac{\partial\,\Omega_{2}}{\partial\,\varphi}$.\\   
\\
$\textbf{Seite 26}$\\
\\
4. Beispiele:\\
a) $\Omega(\varphi) = \mathfrak{L}(\varphi)$ \underline{linear}.\\
Dann $\Omega(\varphi_{0} + \psi) = \Omega,\varphi_{0} + \Omega\,\varphi$, also hat $\Omega$ \"uberall Differential und zwar ist\\
$\frac{\partial\,\Omega}{\partial\,\varphi} = \Omega$ konstant:\\
Schreibe: $d\Omega = \Omega \circ d\,\varphi$\\
b) $\Omega(\varphi) = F(\varphi)$ = eine Fktio der Zahl $\varphi\underline{\underline{(x)}}$ allein, wenn $\varphi$ eine Fktion von $x$. \\
Da ist $\frac{\partial\Omega}{\partial\varphi} = F'(\varphi)$: $d\Omega = F'(\varphi)\,d\,\varphi$\\
c)$\Omega(\varphi) = \int\limits_{0}^{1}\,K\,(x,\,\varphi(x))\,dx = \Omega_{1}\Omega_{2}\,\varphi$\\
Es ist $\Omega_{1} = \int\limits_{0}^{1} \,\varphi\,d\,x$, $\Omega_{2} = K(x,\,\varphi(x))$,\\
also $ \frac{\partial\,\Omega_{1}}{\partial\,\Omega_{2}} = \Omega_{1}$,
$\frac{\partial\,\Omega_{2}}{\partial\,\varphi} = K_{\varphi} (x,\,\varphi)$, daher\\
$ \frac{\partial\,\Omega}{\partial\,\varphi} = \int\limits_{0}^{1}\,K_{\varphi}(x,\,\varphi(x))\,d\varphi\,dx$\\
\\
$\textbf{Seite 27}$\\
\\
5. Ist $t$ ein Parameter und $\varphi = \varphi(t)$ eine diffbare Kurve, so existiert\\
$\frac{d\Omega(\varphi(t)}{dt} = \frac{d\Omega}{d\varphi} \circ \frac{d\varphi}{dt}$\\
Denn $\frac{\Omega(\varphi(t + h)) - \Omega(\varphi(t))}{h} = \mathfrak{L}_{0} \,\frac{\varphi(t + h) - \varphi(t)}{h} + \frac{1}{h}\, R\,(\varphi(t + h) - \varphi(t)) \rightarrow \mathfrak{L}_{0}\,\varphi(t)$\\
\\
\"Uber die ''Gruppe, die von einer algebr. Gleichg. \underline{15}. gestattet wird .''\\
\\
Ist $f(x) = 0$ eine Gleichung, deren Wurzeln $\xi_{1},\cdots, \,x_{n}$ alle verschieden sind, so sage: $f$ \nl gestattet die Substitution $P(\xi)$, wobei $P$ ein Polynom mit Koeff. aus dem Grundk\"orper ist), wenn neben jedem $\xi$ auch $P(\xi)$ Wurzel von $f > 0$ ist. \\
Setze man $P(\xi) = \xi_{P}$, so sind die \\
\\
$\textbf{Seite 28}$\\
\\
Zuordnungen $\xi \rightarrow \xi_{P}$ so zu kennzeichnen: Es sind genau diejenigen Zuordnungen, die mit allen Substitutionen der \nl vertauschbar sind. 
$$ \xi_{P\,G} = \xi_{G\,P}$$
(Die Galoisgr. aber kann kleiner sein als die Gr. der mit allen $P$ vertauschbarer Substitutionen.)\\
\\
Eine Galoistheorie der gew\"ohnlichen linearer Gl. mit endlich vielen Unbekannten wird es nicht geben, weil die L\"osungen zu wenig komponiert werden k\"onnen. Besser siehe es aus bei \underline{Fktionen} als bei Vektoren; denn die kann man ineinander einsetzen, weil sie als Abbildungen einer Menge in sich gedeutet werden k\"onnen.  \\
\\
$\textbf{Seite 29}$\\
\\
Riesche Theorie f\"ur Systeme linearer Diffgl. erster Ordnung mit 2 Abh\"angigen:
$$1) \left\{
\begin{array}{ccc}
\frac{dx_{1}}{dt} = v_{1}(x_{1},\,x_{2})\\
\frac{dx_{2}}{dt} = v_{2}(x_{1},\,x_{2})
\end{array}\right.$$
1. Deutet man $\mathfrak{v} = v_{1},\, v_{2}$ als Geschwindigkeitsvektor, so definiert 1) eine station\"are Str\"omung: Der Pkt, der zur Zeit $t = 0$ in $x_{1},\, x_{2}$ war, ist zur Zeit $t$ in $x_{i}(t,\,x_{1},\,x_{2})$. 
2. Vertauschbare Str\"omungen. \\
Zwei station\"are Str\"omungen mit den Geschw.-Feldern $\mathfrak{v}$ und $\overline{\mathfrak{v}}$ heissen vertauschbar, wenn diesselbe Transformation der Ebene in sich herauskommt, ob man $\mathfrak{v}$ w\"ahrend der Zeitdauer $t$ \underline{und dann} $\overline{\mathfrak{v}}$ w\"ahrend der Dauer  $\dot{\overline{t}}$ laufen l\"asst oder die Reihenfolge umgkehrt. \\
3. Ob $\mathfrak{v}$ und $\overline{\mathfrak{v}}$ zu vertauschbaren Str\"omungen geh\"oren, kann man schon \nl und $\overline{\mathfrak{v}}$ selbst erkennen, indem man die inf. Transformationen $U,\,\overline{U}$ betrachtet. \\
Ist $F$ eine bel. Fktion von $x_{1}$, $x_{2}$, so wird \\
$ \frac{\partial}{\partial\,t}\,F\,(x_{1}(t),\,x_{2}(t))$ 
{\large{$|$}}$_{_{t = 0}} = U\,F$ gesetzt.  \\
$U\,F$  ist wieder eine Fktion von $x_{1}$ und $x_{2}$, und zwar\\ 
\\
$\textbf{Seite 30}$\\
\\
$U\,F = v_{1}\,(x_{1},\,x_{2})\,\frac{\partial\,F}{\partial\,x_{1}} + v_{2}\,(x_{1},\,x_{2})\,\frac{\partial\,F}{\partial\,x_{2}}$. Sind $\mathfrak{v}$ und $\overline{\mathfrak{v}}$ vertauschbar, so ist leicht nachzudenken, da\ss $U\,\overline{U} \equiv \overline{U}\,U$ ist. Und wohl umgekehrt. \\
\\
3. Nutzen der Kenntnis einer mit $\mathfrak{v}$ vertauschbaren Str\"omung $\overline{\mathfrak{v}}$ f\"ur die Integration von \\
$$1) \dot{\varphi} = \mathfrak{v}(\mathfrak{x})$$        
Die Bahnlinien von $\mathfrak{v}$ seien $\mathfrak{L}$, die von $\overline{\mathfrak{v}}$: $\overline{\mathfrak{L}}$. \\
$\textbf{Graph}$ \\
Wir suchen eine Fktion $G(x_{1}\,x_{2})$ so da\ss $\,\mathfrak{L}$ die Schar $G(x_{1},\,x_{2}) = c$ ist. \\
\\
Infolge der Vertauschbarkeit f\"uhrt die Str\"omg $\overline{\mathfrak{v}}$ die Stromlinien von $\mathfrak{v}$ ineinander \"uber, und es werde vorausgesetzt, da\ss sie nicht einzeln fest l\"asst (dh. da\ss $\overline{\mathfrak{v}}$ nicht $||$ $\mathfrak{v}$). Dann kann man als eine Fktion $G(\nl)$ der gesuchten Art die Zeit $\overline{t}$ nehmen, w\"ahrend welcher man die Str\"omung  $\overline{\mathfrak{v}}$ laufen\\
\\
$\textbf{Seite 31}$\\
\\
lassen mu\ss, um die durch 0,$\,$0 gehende Stromlinie $\mathfrak{L}_{0}$ in die durch $x_{1}\,x_{2} = \mathfrak{x}$ gehend $\mathfrak{L}_{\mathfrak{x}}$ \"uberzuf\"uhren. \\
Die Zeitdauer kann man durch eine Quadraten bestimmen: F\"ur zwei benachbarte Pkte $\mathfrak{x},\, \mathfrak{x} + d\,\mathfrak{x}$ gen\"ugen die Laufzeiten $dt,\,d\overline{t}$, die die durch $\mathfrak{x}$ gehenden Stromlinien in die durch $\mathfrak{x} + d\mathfrak{x}$ \"uberf\"uhren, der Gleichung 
$$d\,\mathfrak{x} = \mathfrak{v}\,dt + \overline{\mathfrak{v}}\,d\overline{t};$$
da $\mathfrak{v} \nparallel \overline{\mathfrak{v}}$, kann man $d\,\overline{t}$ ausrechnen:
$$d\,\overline{t} = \frac{|\mathfrak{v}\,\,d\mathfrak{x}|}{|\mathfrak{v}\,\,\overline{\mathfrak{v}}|} = \frac{v_{1}dx_{2} - v_{2}\,dx_{1}}{v_{2}\,\overline{v}_{2} - v_{2}\,\overline{v}_{1}}.$$
  ist ein vollst\"andige Differential $dG$, und $G = \int\limits_{0}^{\mathfrak{x}}\,d\overline{t}$, erstreitet auf einer beliebigen 0 mit $\mathfrak{x}$ verbindenden Kurve; gilt die erw\"ahnte  Zeit $\overline{t}$, und 
$$G = \textnormal{const}$$
gibt die Bahnkurven der Str\"omung  \nl.\\
\\
$\textbf{Seite 32}$\\
\\
4. Nun sei nicht ein Str\"omungsfeld, dh. Geschw.feld, gegeben, sondern bloss ein Richtungsfeld durch 
$$2)\quad P(x,\,y)\,dx + Q(x,\,y)\,dy = 0$$
Man kenne eine station\"are Str\"omung $\overline{\mathfrak{v}}$, die jede L\"osungskurve von 2) wieder in eine \"uberf\"uhrt, (aber nicht in sich selbst). Dann findet man genau wie in 3. eine Fktion $G(x,\,y)$, so da\ss $G(x,\,y) = c$ die Integralkurven von 2) sind, n\"amlich die Zeitdauer  $\overline{t}$, die man $\overline{\mathfrak{w}}$ laufen lassen muss, um die L\"osungskurve von 2) $\mathfrak{L}_{0}$ in $\mathfrak{L}_{\mathfrak{x}}$ zu \"uberf\"uhren. Jetzt wird aber \\
$d\,\mathfrak{x} = 
\left(
\begin{array}{ccc}
-Q\\
P
\end{array}\right)\,\lambda + \overline{\mathfrak{v}}\,d\overline{t}$, also wie vorhin\\
$\textbf{Graph}$\\
\\
$ d\overline{t} = \frac{\left|
\begin{array}{ccc}
-Q & dx\\
P & dy
\end{array}\right|}  
{\left|
\begin{array}{ccc}
-Q & \overline{v}_{1}\\
P & \overline{v}_{2}
\end{array}\right|} = \frac{g\,d\mathfrak{x}}{g\,\overline{\mathfrak{v}}}$\\
\\
5. Ebenso geht es, wenn eine einparametrige Schar von Hyperfl\"achen $\mathfrak{L}_{n - 1}$ im $ R_{n}$ vorgelegt \\
\\
$\textbf{Seite 33}$\\
\\
ist, von der man in jedem Punkt den Normalvektor kennt: 3) $P_{1}\,dx_{1} + P_{2}dx_{2} + \cdots + P_{n}dx_{n} = 0$\\
Ist hier eine inf. Transf. bekannt, die jede Fl\"ache aus $\mathfrak{L}_{n - 1}$ wieder in eine \"uberf\"uhrt, wobei
$$P_{1}v_{1} + \cdots + P_{n}v_{n} \not= 0,$$
so kann man $\mathfrak{L}_{n - 1}$ in der Form
$$G(x_{1}, \cdots,\, x_{n}) = \overline{t}$$
durch Quadratur erhalten: $d\overline{t} = \frac{g\,d\mathfrak{x}}{g\,\overline{\mathfrak{v}}}$.\\
\\
Dass die Str\"omung $\overline{\mathfrak{v}}$ jede Integralfl. von 7) wiederum eine \"uberf\"uhrt, heisst: Gen\"ugt $d\mathfrak{x}$ der Gl. 3) an der Stelle $\mathfrak{x}$, so gen\"ugt der durch die Str\"omung aus $d\mathfrak{x}$ hervorgehende Vektor $d\mathfrak{x} + \frac{D\,d\mathfrak{x}}{dt}\,dt$ ihr an der Stelle  $\mathfrak{x} + \mathfrak{v}\,dt$, dh. aus $g(\mathfrak{x})\,d\mathfrak{x} = 0$ folgt\\
$g \,(\mathfrak{x} + \mathfrak{v}\,dt)\,(d\,\mathfrak{x} + (\frac{\partial\,\mathfrak{v}}{\partial\,\mathfrak{x}})\,d\mathfrak{x}\,d\,t) = 0$\\
dh. \\
$\{U\, g \,(\mathfrak{x})\} \cdot d\,\mathfrak{x} + g\,(\mathfrak{x}) \cdot (\frac{\partial\,\mathfrak{v}}{\partial\,\mathfrak{x}}\,d\mathfrak{x}) = 0$\\
dh. 
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$U\,g\,(\mathfrak{x}) + (\frac{\partial\,\nl}{\partial\,\mathfrak{x}})'g(\mathfrak{x})\quad ||\quad g(\mathfrak{x})$\\
\hline
\end{tabular}$\\
\\
$\textbf{Seite 34}$\\
\\
6. Das Verfahren sollte in jedem Raum gehen, in dem es Kurvenintegrale gibt, also z.B. auch im Hilbertschen.\\
\\
17. Die Dimension einer Integralgl. ist bei den Anwendgen gleich der Dimension der Mannigfaltigkeit, auf welcher Randbedingungen vorgeschrieben sind. \\
\\
18. Ist $f$ eine reelle stetige Fktion auf einer topologischen seperablen kompakten Gruppe $\mathfrak{G}$, so hat $f$ einen Mittelwert  $M_{g}(f)$ mit $M\,(\alpha\, f + \beta \, g) = \alpha\,M\,(f) + \beta\,M(g)$, $\min\limits_{\nl}\,(f) \leq M(f) \leq \max\limits_{y}\,(f)$ und $M(f(G\,X)) = M(f(X))$. \\
\\
Beweisskizze: \\
1) $f$ ist gleichm\"assig stetig; \\
2) alle $F_{G}(X) = f(G\,X)$ und $f\,(X\,G)$ sind gleichgradig stetig; \\
3) alle Mittel $p \cdot  f(G_{1}X) + \cdots + p_{n}\,f\,(G_{n}\,X)$ mit $\underline{\underline{p_{i} \geq 0}}$, $\sum\,p_{i} = 1$ sind gleich-\\
\\
$\textbf{Seite 35}$\\
\\
gradig stetig, \\
4) aller Grenzfunktionen von Fktionen folgen aus der Klasse 3) sind gleichgradig stetig: Klasse $\mathfrak{L}_{4}$ \\
5)  Sei \nl $\max\,f = M^{*}$. Nimm $f_{n} \subset \mathfrak{L}_{4}$. 
$$\max\,f_{n} \rightarrow M^{*}$$
Daraus nimm \nl kgte Teilfolge $\rightarrow f^{*}$, $\max \,f^{*} = M^{*}$. \\
Dann ist $f^{*}$ = const.\\
Denn f\"ur $\sum\limits_{v = 1}^{\infty} \,\frac{1}{2^{v}}\,f^{*}(G_{v}\,X) = h(X)$\\
wobei $G_{\nu}$ eine \"uberall in $\mathfrak{G}$ dichte Folge von Elementen ist, ist \\
$$\max\, h(Y) \leq M^{*},$$
und \qquad = \\
nur dann; wenn f\"ur alle $v$ und ein $X_{0}$ 
$$f^{*}\,(G_{v}\,X_{0}) = M^{*}$$
da $f^{*}$ stetig und $G_{v}$ \"uberall dicht, ist
$$ f^{*} \equiv M^{*}$$
Also gibt es eine auf $f$ durch Verallgemeinerte Mitteilung entstandene Funktion, die konstant ist. \\
6) Fehlt noch der Nachweis, da\ss es nur eine derart. Fktion gibt. Fortsetzung: 21. \\
\\
$\textbf{Seite 36}$\\
\\
19. In einer Gruppe sei ein Abstand $\overline{XY}$ definiert:\\
eine nichtneg.  reelle Zahl mit\\
(1) $\overline{XY} + \overline{YZ} \geq \overline{XZ}$\\
(2) $\overline{AX,\, AY} = \overline{XA,\, YA} = \overline{XY}$\\
Notw. und hinr. hierf\"ur ist, da\ss \\
$\overline{X,Y} = \overline{E,\, X^{-1}Y} = \rho\,(X^{-1}Y)$\\
mit   
$\left\{
\begin{array}{ccc}
\rho\,(X^{-1}Z\,X) = \rho\,(Z)\\
\rho\,(A\,B) \leq \rho\,(A) + \rho\,(B)
\end{array}\right.$\\
\\
Ist dann $E,\,P_{1},\,P_{2},\,P_{n},\cdots, \, P_{2n} = A$ ein \nl ''aus einer geraden Anzahl  zu von Streiken '' der von $E$ nach $A$ f\"uhrt, so ist\\
$\nl$\\
\\
ein Polygonzug aus $n$ Streiken von $E$ nach $A$ (dessen Gesamtl\"ange kleiner ist). Dieser Weg ist als Hilfe zu brauchen beim Beweis, dass die \\
\\
$\textbf{Seite 37}$\\
\\
k\"urzeste Verbindung  von $E$ nach $A$ eine eingliedrige Gruppe ist. \\
\\
Ist $\Omega(\varphi)$ ein diffbares Funktional so ist\\
$\Omega(\varphi_{2}) - \Omega(\varphi_{1}) = \int\limits_{\varphi_{1}}^{\varphi_{2}}\,\frac{d\,\Omega}{d\,\varphi}\,d\varphi$ \quad (Stieltjes)\\
und $\int\limits_{t_{1}}^{t_{2}}\,\frac{d\,\Omega}{d\,\varphi}\,\frac{d\varphi}{dt}\,dt$ \\
\\
Ein Verfahren, um jeder auf einer kompakten, $\mathfrak{U}$ seperablen topologischen Gruppe $\mathfrak{G}$  stetigen reellen Funktion $f$ einen beiderseits invarianten Mittelwert $M(f)$  zuzuordnen. Es ist $\min \, f \leq M \max\,f$. \\
$\mathfrak{A}$ sei eine abz\"ahlbare \"uberall dichte Untergruppe  von $\mathfrak{G}$. Setze \\
$\mu\,(f(x)) = \sum\limits_{\alpha,\,\beta}^{1 - \infty}\,\,\frac{1}{2^{\alpha + \beta}}\, f(A_{\alpha} \textnormal{ X } A_{\beta})$ \\
und w\"ahle aus der Folge (die gleichm. beschrkt $\&$  gl. stetig ist).\\
$\mu(f)\quad \mu^{2}(f) \quad \mu^{3}(f)\,\, \nl\,\, \mu^{n}(f)\,\,\nl$\\
eine gl. kgte Teilfolge $\mu^{n}(f),\,\mu^{n} \nl\,(f)\,\cdots \rightarrow F$\\
f\"ur jedes $f$ gleichzeitig ?\\
Frage: Kann man $M\,f(x) = M\,f\,(A\,X^{-1}D)$ machen ?\\
\\
$\textbf{Seite 38}$\\
\\
Beh.: 1) Es gibt Teilfolge $\mu^{k_{1}}(F),\,\mu^{k_{2}}(F) \cdots \rightarrow F$. \\
Bew.: Nimm zu \nl $\varepsilon > 0\quad \mu^{n}$ mit 
$$|\mu^{n}(f) - F| < \frac{\varepsilon}{2}$$
und $k > 0$ so da\ss
$$|\mu^{n + k}(f) - F| < \frac{\varepsilon}{2}$$
dann ist \\
$|\mu^{k}F - F| \leq |\mu^{n + k}(f) - F| + |\mu^{k}\,(\mu^{n}(f) - F)|$
\begin{flushright}
$< \varepsilon$ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
\end{flushright}
2) Ist $\max\limits_{g}\,F = M$, so ist $F(x) \equiv M$.\\
\\
Denn aus 1) folgt, da der Wertebereich einer stetigen Fktion bei Anwendung von $\mu$ nur \nl kann, da\ss alle $\mu^{k}F$ denselben Wertevorrat haben, insbesondere hat $F$ denselben Wertevorrat wie $mu(F)$. Dh. es gibt $X_{0}$ mit $\mu(F(X_{0}) = M $,  was nach Konstruktion nur m\"oglich ist, wenn $F\,(A_{\alpha}\,X_{0}\,A_{\beta}) = M$. \\
\\
$\textbf{Seite 39}$\\
\\
Wegen Stetigkeit ist $F(G\,X\,H)) = M$.\\
3) Also hat jeder $H\,P$ von $\nl$ $f(x)$ den Wert $M$, f. a. $X$, dh. $\mu^{n'}f(x) \rightarrow M$, wenn nur $\mu^{n'}f(x) \rightarrow  M$. \\
\\
3) Setze $M = F = M(f)$ \\
Es ist $\mu(\alpha \, f + g)  = \alpha\,\mu\,(f) + \mu\,(g) $\\
also $M\,(\alpha\, f + g) = \alpha\,M\,(f) + M(g)$; \\
ferner ist 
$$ M\,(f(A_{i}X\,A_{k})) = M(f),$$
denn f\"ur $f(G\,X) = \mathfrak{G}(x)$ ist \\
$\mu(\mathfrak{G}(x)) = \mu(f)_{G\,X}$, also\\
\\
$M\,f(G\,X) = M\,(f)_{G\,X} = M$. \\
Fortsetzung: 30 \\
nl ist noch nicht eindeutig
\\
\\
22 \quad Lagrangescher Multiplikator.\\
$\Omega\,(\varphi)$ sei ein diffbares Funktional. \\
Es ''hat in $\varphi_{0}$ einen station\"aren Wert'', wenn $\Omega'(\varphi)\,d\varphi = 0$ f\"ur alle $d\,\varphi$.\\
Es kann auch f\"ur die zum Vergleich zugelassenen $\varphi$ eine Nebenbedingung vorgeschrieben\\ 
\\
$\textbf{Seite 40}$\\
\\
sein, z.B. mit einem diffbaren Fktional $N(\varphi) \qquad N(\varphi) = N(\varphi_{0})$. \\
Dann ist zu verlangen \\
(1) $\Omega'(\varphi) \cdot d\varphi = 0$ f\"ur alle $d\varphi$  mit $N' \cdot d\varphi = 0$\\
(2) $N(\varphi) = N_{0}$\\
Forderung (1) sagt, da\ss die Abbildung  $N'd\psi \rightarrow \Omega'd\psi$ \underline{f\"ur alle $d\psi$} eine homomorphe  \nl bez\"ugl. Addition. \\
Also es gibt einen linearen Operator $\vee$, der auf dem Wertevorrat von $N'd\psi$ definiert ist, mit 
$(\Omega'$ {\Large{$-$}} $\vee\,N')\,d\psi = 0$\\
Alle drei Operatoren h\"angen von der Extremalfktion $\varphi$ ab. Die Aufgabe ist also, \underline{irgendeinen} linearen Operator  $\vee_{0}$  und eine Fktion $\varphi_{0}$  so zu finden, da\ss
$$ \Omega'(\varphi_{0}) - \vee_{0}N'(\varphi_{0}) \equiv 0$$
Dann liefert dieses $\varphi_{0}$ einen station\"aren Wert von $\Omega(\varphi)$ unter der Nebenbedgg $N(\varphi) = N(\varphi_{0})$. \\
Die Bedggen sind diesselben wie die f\"ur ein freies Extrem von \nl $(\varphi, \, \lambda) = \Omega(\varphi) - \lambda\,N(\varphi)$, falls $\lambda$ eine Zahl ist. \\
\\
$\textbf{Seite 41}$\\
\\
Beispiele beschr\"ankter und unbeschr\"ankter linearer Operatoren. Die R\"aume $\phi_{m}$. Betr\"age\\
1. Ist $K(x,\, \xi)$ beschr\"ankt, so ist \\
$L\,\varphi = \int\limits_{0}^{1}\,K(x,\,\xi)\,\varphi(\xi)\,d\xi$\\
beschr\"ankt; dagegen Differentialoperatoren sind unbeschr\"ankt. Ihre Inversen, wenn sie sich als Integraloperatoren schreiben lassen, sind beschr\"ankt Doch muss man mit dem Wort unbeschr\"ankt vorsichtig sein, ist $\phi$ der Raum der in $<0,\,1>$ stetig diffbaren Funktionen $\psi$ der Raum der dort stetigen Funktionen, so  ist der Operator 
$$L\,\varphi = \frac{d\varphi}{dx}$$
\underline{beschr\"ankt}, wenn $||\varphi|| = \rm{Max}|\varphi| + \rm{Max}|\varphi|$ und \\
$L(\varphi)$ als Element von $\psi$ mit $||\psi|| = \max\,(\psi)$ gedeutet wird. \\
\underline{unbeschr\"ankt}, wenn $||\varphi|| = \rm{Max}|\varphi|$ definiert wird, dh. wenn 2 als ein in nur in einem Teil von $\psi$ definierter Operator  behandelt wird. \\
\\
2. Bezeichne mit $\phi$ den Raum der stetigen \\
\\
$\textbf{Seite 42}$\\
\\
Funktionen $\varphi(x)$ in $0 \leq x \leq 1$, mit $\overline{\phi} = \phi_{1}$ Raum der $\int\limits_{0}^{x}\,\varphi(\xi)\,d\xi\,\, \nl\,\, C$, also der stetig diffbaren Funktionen in $<0,\,1>$, mit $\overline{\overline{\phi}} = \phi_{2}$ der Raum der zweimal stetig diffbaren Funktionen, usw. \\
(F\"ur Anwendung vielleicht besser von $\psi$ = Raum der st\"uckweise stetigen Funktionen ausgehen). \nl die Massenbestimmung $||\varphi|| = \rm{Max}\,|\varphi|$, $||\overline{\varphi}|| = \rm{Max}|\overline{\varphi}| + \rm{Max}|\overline{\varphi}'|$ usw. \\
vgl.dazu \nl S.89\\
Iterieren kann man nur solche Operatoren, die einen Raum in (einen Teil von) sich abbilden.\\
$\overline{\phi}$ ist stetig und umkehrbar eindeutig auf einen Teil von $\phi$ abgebildet durch die Festsetzung: $\overline{\varphi}(x) \rightarrow \varphi(x) = \overline{\varphi}(x)$.\\
Aber diese Abbildung ist nicht umkehrbar. \\
Sie ist ein linearer Operator I. Definiere\\
I als Operator, der auf $\phi_{1},\, \phi_{2}$ \nl\\
ist durch \qquad $\downarrow\varphi \in \phi_{k + 1} \qquad\qquad \downarrow\in \phi_{k}$\\
I $\qquad \qquad \quad \,\,\varphi \qquad \qquad \equiv \qquad \quad \varphi$\\
I ist 
$\left\{
\begin{array}{ccc}
\textnormal{dh. beschrkt}\\
\textnormal{stetig und eindeutig; aber nicht} 
\end{array}\right.$    \\
umkehrbar stetig. \\
Der Betrag von I ist = 1: \\
$||$I$\,\varphi||_{m - 1} \,\,\underline{\underline{<}}\,\, ||\varphi||_{m}$.\\ 
\\
$\textbf{Seite 43}$\\
\\
3. Bei linearen Operatoren auf metrischen R\"aumen ist beschr\"ankt und stetig dasselbe. \\
Die beschr\"ankten lin. Operatoren eines \nl Raums $R_{1}$ in einen anderen $R_{2}$ bilden selbst einen metr. lin. Raum $R_{3} = \frac{R_{2}}{R_{1}}$ \qquad $[$schreibe so, denn $R_{3}\,R_{1} = R_{2}]$ \\
Als Betrag $|L|$ definiere f\"ur $L \in R_{3}$: \\
$||L|| = \underline{\rm{fin }\,\, l}$ mit 
$\left\{
\begin{array}{ccc}
||L\,R_{1}|| \leq l \cdot ||R_{1}||\\
\textnormal{f\"ur alle } R_{1} \in R_{1}
\end{array}\right.$  \\
Aus $L \not= 0$ folgt $||L|| \not= 0$. Dann nimm $R_{1}$ mit $L\,R_{1} \not= 0$; dann ist $||L\,R_{1}|| \not= 0$ und alle $l \,\,\underline{\underline{>}}\,\, \frac{||L\,R_{1}||}{||R_{1}||} > 0$. \\
Und es ist $||L + L'|| \leq ||L|| + ||L'||$\\
denn alle $l + l'$ sind obere Schranken f\"ur $||L + L'||$. \\
\\
4. Der Operator $\frac{d}{dx}$ bildet $\phi_{m}$ stetig auf den ganzen Raum $\phi_{m - 1}$ ab, die Umkehrung
$$\int\limits_{0}^{x}\,\varphi(\xi)\,d\xi + C$$
\underline{bei festgehaltenem $C$} bildet ganz $\phi_{m - 1}$ stetig auf einen Teil von $\phi_{m}$ ab (n\"amlich auf die Fktionen mit dem Anfangswert $C$\\
\\
$\textbf{Seite 44}$\\
\\
Dieser Teilraum von $\phi_{m}$ ist eben, d.h. l\"asst sich mit jedem seiner Elemente $\varphi_{0}$\\
\nl als $\varphi_{0} + $ linearer Teilraum von $\phi_{m}$.\\
\\
5. Man kann auch statt $||\varphi|| = \max\,|\varphi|$ eine andere Betrag. Definitionen in $\phi_{0}$ \nl legen, z.B. $||\varphi||^{2}_{0} = \int\limits_{0}^{1}\,p(x)\,\varphi^{2}(x)\,dx$, wo $p(x) \geq 0$ und $p(x)$ in keinem Intervall verschwindet. F\"ur $\phi_{1},\,\phi_{2}, \cdots$ induziert diese Festsetzung die folgende: \\
f\"ur besser noch \\
$||\varphi_{1}||^{2}_{1} = ||\varphi_{1}||^{2}_{0} + ||\varphi_{1}'||_{0}^{2}$, denn dann wird aus jedem diffbaren ''Schwarzschen Betrag'' $||\varphi||_{0}$ eine Folge von diffbaren ''Schwarzschen Betr\"agen'' $||\varphi||_{m}$. Dabei ist $||I\,\varphi||_{m - 1} \leq ||\varphi||_{m}$. \\
Def.: Die Betragsdefinition $||\mathfrak{x}||$ eines reellen linearen Raumes heisst eine Schwarzsche, wenn aus $||\mathfrak{x} + \mathfrak{y}|| = ||\mathfrak{x}|| + ||\mathfrak{y}||$ folgt: es gibt zwei positive reelle Zahlen\\
\\
$\textbf{Seite 45}$\\
\\
$\alpha$ und $\beta$ derart, da\ss $\alpha\,\mathfrak{x} = \beta\,\mathfrak{y}$. \\
\\
Beispiele Schwarzscher Betr\"age:\\
Ist $B(\mathfrak{x},\,\mathfrak{y})$ ein in $R$ stetiges bilineares Funktional mit 
$\left\{
\begin{array}{ccc}
B\,(\alpha\,\mathfrak{x}, \, \beta\,\mathfrak{x}) = \alpha\,\beta\,\,B(\mathfrak{x},\,\mathfrak{y}), \\
\textnormal{und } B\,(\mathfrak{x},\,\mathfrak{x})\,\,\underline{\underline{>}}\,\,0 \,\, \rm{u.}\,\, = \textnormal{nur bei }\,\,\mathfrak{x} = 0, 
\end{array}\right.$  \\
so ist \\
$$||\mathfrak{x}||^{2} = B\,(\mathfrak{x},\, \mathfrak{y})\qquad \textnormal{Schwarzsch.}$$
Bew.: 1) $||\mathfrak{x}||$ ist ein Betrag: $||\alpha\,\mathfrak{x} + \beta\,\mathfrak{y}||^{2} = $\\
\nl $\,B(\mathfrak{x}, \, \mathfrak{x}) + \alpha\,\beta\,B(\mathfrak{x},\,\mathfrak{y}) + \alpha\,\beta\,B(\mathfrak{y},\, \mathfrak{x}) + \beta\,B\,(\mathfrak{y},\,\mathfrak{y}) \geq 0$\\
\\
also ist $(B(\mathfrak{x},\,\mathfrak{y}) + B(\mathfrak{y}\,\mathfrak{x}))^{2} \,\,\underline{\underline{<}}\,\, B(\mathfrak{x}\,\mathfrak{x}) \cdot B(\mathfrak{y}\mathfrak{y})$\\
dh. $|B(\mathfrak{x}\,\mathfrak{y}) + B(\mathfrak{y},\,\mathfrak{x})| \leq ||\mathfrak{x}|| \cdot ||\mathfrak{y}||$\\
daher ist \\
$||\mathfrak{x} + \mathfrak{y}||^{2} = ||\mathfrak{x}||^{2} + ||\mathfrak{y}||^{2} + B\,(\mathfrak{x}\,\mathfrak{y}) +  B\,(\mathfrak{y}\,\mathfrak{x})$\\
$\,\,\underline{\underline{<}}\,\,(||\mathfrak{x}|| + ||\mathfrak{y}||)^{2}$.\\
\\
Z.B. $||\mathfrak{x}(x)||^{2} = \int \, p(x)\,\mathfrak{x}^{2}(x)\,dx$\\
aus $B\,(\mathfrak{x},\,\psi) = \int\,p(x)\,\mathfrak{x}(x)\,\psi(x)\,dx$; \\
\\
$\textbf{Seite 46}$\\
\\
Dieser Betrag$^{2}$ ist diffbar, und zwar ist $d\,||\mathfrak{x}||^{2} = B\,(\mathfrak{x},\, d\mathfrak{x}) + B\,(d\mathfrak{x},\, \mathfrak{x})$. \\
\\
6. Die Theorie der Fredholm-Integralgleichungen ist einfacher als die der Diffgl., weil mit Hilfe des eineindeutigen und \underline{stetigen} Operators I die Integralgl. geschrieben werden kann 
$$\rm{I}\,I\,\mathfrak{x} = f$$
wobei $I$ ein stetiger Integraloperator ist. I$I$ ist eine \underline{stetige} Abl. von $\phi$ \underline{in sich}; man kann daher iterieren. \\
\\
\\
24. \quad Intgl.-systeme der Gestalt\\
\nl$(x) = \lambda\,\int\,K_{i}(x,\xi)\,i\,\sum\limits_{1}^{n}\,a_{ik}\,f_{k}(\xi)\,\nl$\\
mit hermiteschen Kernen $K_{i}$ und pos definiter Koeffizientenmatrix $A = (a_{ik})$ lassen sich auf  \underline{eine} hermitesche Intgl. zur\"uckf\"uhren. \\
Man setze $\mathfrak{F} = $
$\left(
\begin{array}{ccc}
f_{1}\\
f_{2}\\
f_{n}
\end{array}\right)$, $\mathfrak{K} =   
\left(
\begin{array}{cccc}
K_{1} & & &\\
& K_{2} & &\\
& & \ddots &\\
&&& K_{n}
\end{array}\right)$ und $\overline{T}'\,T = A$ und $T\,\mathfrak{F} = \mathfrak{y}$. \\
\\
$\textbf{Seite 47}$\\
\\
Dann wird wegen $\mathfrak{F}(x) = \lambda\,\int\,\mathfrak{K}\,A\,f(\xi)\,d\xi$:\\
(1) \qquad $\mathfrak{y}(x) = \lambda\,\int\,T\,\mathfrak{K}(x,\,\xi)\,\overline{T}'\,T\,T^{-1}\,y(\xi)\,d\xi$. Waren die Kerne $K_{i}$ stetig, so ist der Kern der Gl. (1), als Fktion von $x$ und $\xi$ im Integral $<0,\,n>$ betrachtet, feldweise stetig. \\
\\
26. ''Reine'' Existenzs\"atze.\\
Ein Beispiel daf\"ur, da\ss auch unkonstruktive Existenzs\"atze grossen praktischen Wert  haben k\"onnen: Allein aus der Tatsache  der Entwickelbarkeit nach Eigenfunktionen eines Eigenwertproblems folgen die praktisch \"uberaus wichtigen Absch\"atzungen f\"ur Eigenwerte und \underline{N\"ahrungsvefahren samt Absch\"atzung} (s. z.B. Collatz, Bericht \"uber angen\"ahrte Berechnung von Eigenwerten, Za MM 1939). \\
\\
27. Einer Folge von normierten Orthogonalfunktionen kann man durch keine Einf\"uhrung idealer Elemente einen ''H\"aufungs-\\
\\
$\textbf{Seite 48}$\\
\\
punkt'' zuschreiben, wenn man von einer kgten Folge verlangt, da\ss die Differenz zweier aufeinander folgender Elemente $\rightarrow$ 0 geht. Diese ''L\"ocher'' der Hilbertschen Raums sind also nur unter Verzicht auf \"ubliche Teile des Kovergenzbegriffes  zu stopfen \nl so wie bei der Einf\"uhrung zur komplexen Zahlen die Anordnung der reellen verloren geht). Das wird aber in der Tat in der Funktionentheorie gemacht. Dort wird jede Folge ohne Hilfspkt im Endlichen als ''kgt $\rightarrow \infty$'' bezeichnet, und in der Tat folge aus $Z_{n} \rightarrow  \infty$ nicht, da\ss $Z_{n}$ \nl $\rightarrow 0$. Man verzichtet also teilweise auf die eindeutige Addierbarkeit, die Gruppeneigenschaft. \\
\\
28. \quad \underline{Perfekt machen des Raums der stetigen Funktionen Vgl. 45 !} Macht man $\phi_{k}$ perfekt, indem man als ideale Elemente die Folgen $\mathfrak{x}_{n}(x)$ einf\"uhrt, f\"ur die \nl eines vorgegebenen Betrags $||q||_{k}$ jede Differenzfolge. \\
$||\mathfrak{x}_{n} - \mathfrak{x}_{m}|| \rightarrow 0$ geht mit $n$, $m \rightarrow \nl$\\
\\
$\textbf{Seite 49}$\\
\\
so erh\"alt man perfekte R\"aume $\overline{\phi}_{k}$, die $\phi_{k}$ enthalten. Jede stetige Abb. von  $\phi_{k}$  in $\phi_{e}$ l\"a\ss t sich zu einer stet. Abb. von $\overline{\phi_{k}}$  in  $\overline{\phi_{e}}$ erweitern. War die Ma\ss bestimmung. Schwarzsch, so bleibt sie es. $\overline{\phi}_{k}$ ist der Raum der \nl Fktionen zu $\overline{\phi}_{k + 1}$.    \\
? Man erh\"alt \nl Legalisierung  der \nl Fktion $\delta(x)$ mit $\delta(x) = 
\left(
\begin{array}{cc}
0 & x \not= 0\\
\infty & x = 0
\end{array}\right)$ $\int^{2}(\xi)\,d\xi - 1$. \\
F\"ur die Elemente von $\overline{\phi}_{k}$ ist das noch \underline{innere} Produkt erkl\"art (und stetig in beiden Faktoren), aber nicht mehr das Produkt, falls n\"amlich beide Faktoren ideal sind  und aus Folgen $\mathfrak{x}_{n}$ mit $\max\limits_{n}\,||\mathfrak{x}_{n}||_{k} \rightarrow \infty$  entstanden sind. \\
Allgemein ist Multiplikation mit einer festen Fktion $p(x)$ ein linearen Operator vom Betrag $\max\,|p|$. \\
\\
$\textbf{Seite 50}$\\
\\
Sei wieder $\phi_{k}$  $(k = 0,\,1,\,2,\,\cdots)$ der Raum der in $<0,\,1>\,\,k$ mal stet. diffb. Fktionen mit $||\mathfrak{x}||^{2} = \int\limits_{0}^{1}\,\sum\limits_{\nu = 0}^{k}\,\mathfrak{x}^{(\nu)}(x)^{2}\,dx$. Sei $I_{\mathfrak{x}}$ Operator  wie in 23.6.\\
\\
(1) Ist $\mathfrak{x} \in \phi_{k} \quad (k \geq 1)$ und $||\mathfrak{x}|| < \nl$, so ist f\"ur je zwei $x_{1}$, $x_{2}$  \\
$|\mathfrak{x}(x_{2}) - \mathfrak{x}(x_{\nl})| < \varepsilon\,\sqrt{|x_{2} - x_{\nl}|}$ \\
Denn \\
$= \int\limits_{x_{1}}^{x_{2}} \,\mathfrak{x}'(x)\,dx \leq \sqrt{\int\limits_{x_{1}}^{x_{2}}\,\mathfrak{x}'^{2}\,dx \cdot \int\,1\,dx} \leq \varepsilon\,\sqrt{x_{2} - x_{1}}$\\
\\
Es ist sogar f\"ur $x_{1} < x_{2} < \cdots < x_{m}$. \\
$|\mathfrak{x}(x_{2}) - \mathfrak{x}(x\,\nl|^{2} + |\mathfrak{x}(x_{3}) - \mathfrak{x}(x\,\nl)|^{2} + \cdots + |\mathfrak{x}(x_{m}) - \mathfrak{x}(x_{\nl}|^{2} < \varepsilon\,|x_{m} - x_{\nl}|$\\
(2) Konvergenz in $\varphi_{k}\,\,(k \geq 1)$ ist \underline{immer punktweise gleichm\"a\ss ig.}\\
Denn gehe $\mathfrak{x}_{n} \rightarrow  0$ in $\phi_{k}$  dann geht \\
$(\mathfrak{x}^{2}_{n} \,dx + \int\,\mathfrak{x}_{n}'^{2}\,dx \rightarrow 0$\\
\\
$\textbf{Seite 51}$\\
\\
f\"ur grosse $n$ ist also  
$\left\{
\begin{array}{cc}
\int\,\mathfrak{x}^{2}\,dx < \varepsilon^{2}\\
\mathfrak{x}_{n}'^{2}dx < \varepsilon^{2} \textnormal{ und }
\end{array}\right.$\\ 
daher nach (1)\\
{\Large{$|$}}
$\mathfrak{x}_{n}$
{\Large{$|$}}$_{_{x_{1}}}^{^{x_{2}}}$ {\Large{$|$}} $ < \varepsilon\,\sqrt{x_{2} - x_{1}} < \varepsilon$\\
und f. mindestens ein $\xi_{n}$\\
$|\mathfrak{x}_{n}\,(\xi_{n})| < \varepsilon$\\
Daher ist $|\mathfrak{x}_{n}(x)| < 2\,\varepsilon$ f. alle x.\\
(3) Sei $\mathfrak{x}_{n}$ eine Folge aus $\varphi_{k}\,(k \geq 1)$. \\
Vor: 
$\left\{
\begin{array}{cc}
I\,\mathfrak{x}_{n}\quad \textnormal{kgt } \rightarrow \psi_{(k - 1)}\\
\mathfrak{x}'_{n} \quad \textnormal{ kgt } \rightarrow \chi_{(k - 1)}
\end{array}\right\}$ in $\phi_{k - 1}$ \\
Beh: \\
$$\mathfrak{x}_{n} \textnormal{ kgt in } \phi_{k}.$$ 
Bew.: $\mathfrak{x}_{n} = \qquad\qquad \underbrace{I\,\mathfrak{x}_{n}}(0)\qquad \,\quad+\qquad \quad\underbrace{\int\limits_{0}^{x}\,\mathfrak{x}_{n}'(\xi)\,d\xi}$\\
Sei $k \geq 2$; dann ist kgt $\rightarrow \Psi_{k - 1}(0)$; von selbst ist kgt $\rightarrow \int\limits_{0}^{x}\chi_{k - 1}\,d\xi$\\
\\
Bei $k = 1$ w\"urde man wohl auch so schiessen k\"onnen, weil vermutlich aus der Kgenz im $\square$ \nl der Folge $I\,\mathfrak{x}_{n}$ zu schliessen ist, da\ss sie fast \"uberall  punktweise konvergiert. Aber das brauchen\\
\\
$\textbf{Seite 52}$\\
\\
wir nicht heranzuziehen: Jedenfalls gibt es zu jedem $\mathfrak{x}_{n}$ eine Stelle $x_{n}$, wo
$$|\mathfrak{x}_{n}(x_{n})| \,\,\underline{\underline{<}}\,\,||I\,\mathfrak{x}_{n}|| \textnormal{, und }$$\\
daher gibt es eine Folge
$$\xi_{n} \rightarrow \xi,\,\,\mathfrak{x}_{n}(x_{n}) \rightarrow \eta.$$
Es ist
$$\mathfrak{x}_{n}(x) = \mathfrak{x}_{n}(\xi_{n}) + \int\limits_{\xi_{n}}^{x}\,\mathfrak{x}'_{n}(\xi)\,d\xi.$$ 
$$\rightarrow \eta$$
Es fehlt jetzt nur noch \\
\\
(4) Geht 
$\left\{
\begin{array}{cc}
\psi_{n} \rightarrow \psi^{*} \textnormal{, so ist } w_{n} = \int\limits_{\xi_{n}}^{x}\,\psi_{n}(\xi)\,d\xi \textnormal{ kgt.}\\
\xi_{n} \rightarrow \xi^{*}\hfill
\end{array}\right.$\\
Bew.: $||w_{r} - w_{s}||^{2} \leq ||\psi_{r} - \psi_{s}||^{2} + \rm{Max}^{2}\, |w_{r} - w_{s}|$\\
\\
 $ |w_{r} - w_{s}|_{x}\,\,\underline{\underline{<}}\,\, |w_{r} - w_{s}|_{x = \xi^{*}}\,| + ||(w_{r} - w_{s})'||\,\sqrt{|\xi^{*} - x|}$ daher\\
\nl $\,\,\underline{\underline{<}}\,\, |w_{r}|_{\nl} + |w_{s}|_{\nl}  +  ||(w_{r} - w_{s})'|\, \sqrt{|\xi^{*} - x|}$. \\
\\
$\textbf{Seite 53}$\\
\\
und nach denselben Ungl.  wegen $w_{r}(\xi_{r}) = 0$ \\
\\
$\,\,\underline{\underline{<}}\,\,||w_{r}'||\,\nl\, ||\psi^{*}||,\,\xi_{r} \rightarrow \xi^{*},$ $ ||(w_{r} - w_{s})'|| \rightarrow 0$\\
geht also\\
$|w_{r} - w_{s}|_{x} \Rightarrow 0$ (gleichm. in $x$).\\
Also geht\\
$||w_{r} - w_{s}||^{2} \rightarrow 0$ mit 
$\left.
\begin{array}{cc}
r\\
s
\end{array}\right\} \rightarrow \infty $\\
und nach Caushy
$$w_{n} \Rightarrow w^{*}$$
$\Rightarrow$ heisst pktweise  gleichm\"assig. \\
Also: $w_{n}(0) \rightarrow w^{*}(0)$\\
Nun schreibe $w_{n} = w_{n}(0) + \int\limits_{0}^{x}\,\psi_{n}\,d\xi$, dann folgt\\
$w_{n}$  {\Large{$-$}} $w^{*}$ wie in (3). \\
\\
Wir heben als allgemein n\"utzlich heraus: (5)\\
F\"ur  $\mathfrak{x} \in \phi_{k}$, $k \geq 1$, ist \\
$| \mathfrak{x}(x_{2}) - \mathfrak{x}(x_{1})| \leq ||\mathfrak{x}'|| \cdot \sqrt{|x_{2} - x_{1}|}$.\\
(daher auch $ |\mathfrak{x}(x_{2}) -  |\mathfrak{x}(x_{1})| \leq  ||\mathfrak{x}||\,\sqrt{|x_{2} - x_{1}|} \& |\mathfrak{x}(x)| \leq 2 \, ||\mathfrak{x}(x)||$ \qquad f. $\mathfrak{x} \in \phi_{k},\,\, k\,\,\underline{\underline{>}}\,\, 1$)\\
\\
$\textbf{Seite 54}$\\
\\
$\sqrt{| \mathfrak{x}(x_{2}) - \mathfrak{x}(x_{1})|^{2} + \cdots +|\,\, \mathfrak{x}(x_{m}) - \mathfrak{x}(x_{m - 1})|^{2}}\,\,\underline{\underline{<}}\,\, ||\mathfrak{x}'|| \,\,\sqrt{|x_{m} - x_{1}|}$. \\
f\"ur $x_{1} \leq x_{2} \leq \cdots \leq x_{m}$. \\
Dies w\"urde vielleicht eine geeignete  Abschw\"achung der Vorauss. der Diffbarkeit ! Das gibt Fktionen von beschr\"ankter quadratischer Schwankung, wenn man des f\"ur $x_{1} = 0$ , $x_{m} = 1$ fordert. \\
\\
(6) Sei $\mathfrak{L}$ ein normierter linearer Diffoperator: \\
$\mathfrak{L}(\mathfrak{x}) = \mathfrak{x}^{(k)} + g_{1}\,I\,\mathfrak{x}^{(k - 1)} + g_{2}\,I^{2}\,\mathfrak{x}^{k - 2} + \cdots + g_{k}\,I^{k}\,\mathfrak{x}$\\
(definiert f\"ur alle $\mathfrak{x} \in \phi_{k}$). \\
Ist $\mathfrak{x}_{n}$  eine beschr\"ankte Folge: $||\mathfrak{x}_{n}|| < M$, f\"ur welche $\mathfrak{L}(\mathfrak{x}_{n})$ kgt ist $L(\mathfrak{x}_{n}) \rightarrow \psi_{0}$ (in $\phi_{0}$), so kann man aus $\mathfrak{x}_{n}$ eine konvergente Teilfolge auslesen. \\
Bew.: Man w\"ahle nach (7) eine Teilfolge $\mathfrak{x}_{n}$ so, da\ss $I\,\mathfrak{x}_{n}$ kgt $\rightarrow \psi_{k - 1}$. Dann geht $\mathfrak{x}_{n}^{(k)} =  \mathfrak{L}(\mathfrak{x}_{n}) - (g_{1}\frac{\partial^{k - 1}}{\partial\,x} + g_{2}|\,\frac{\partial^{k - 2}}{\partial\,x} + \cdots + g_{k}\,I^{k - 1}(\frac{\partial}{\partial\,x}))\,I\,\mathfrak{x}$\\
$\rightarrow \psi_{0} - (\qquad )\,\psi_{k - 1}$; \nl so ist $\mathfrak{x}_{n}^{(k)}$ und $I\,\mathfrak{x}_{n}^{(k - 1)}$ kgt; nach (3) ist $\mathfrak{x}_{n}^{\nl}$ kgt.\\
\\
$\textbf{Seite 55}$\\
\\
Ebenso schliesst man weiter bis: $\mathfrak{x}_{n}$ kgt. \\
\\
(7) Ist $\mathfrak{x}_{n}$ eine beschr\"ankte Folge aus $\phi_{k}\quad  k \geq 1$, so gibt es eine Teilfolge $\mathfrak{x}_{n'}$  derart, da\ss
$$ I\,\mathfrak{x}_{n'} \qquad \textnormal{ kgt (in } \phi_{k - 1}). $$
Bew. mit Konvergenz (auf abz\"ahlbarer Menge) von $\mathfrak{x},\,\mathfrak{x}',\cdots \mathfrak{x}^{(k - 1)}$ gleichzeitig, dann Diagonalverfahren.  (Ersatz f\"ur folgende \nl $\phi_{k}$). \\
\\
(8) Ein normierter linearer Diffoperator $\mathfrak{L}$, der auf einem abgeschlossenen Teilraum $R$ von $\phi_{k}$ umkehrbar eindeutig ist, und auf der Abschliessung  der Menge der $\frac{\rho}{||\rho||}$, $\rho \in R$, keine Nullstelle hat, ist auf $R$ umkehrbar stetig: \\
aus $\mathfrak{L}(\rho_{n})$ kgt folgt $\rho_{n}$ kgt. $\rightarrow \rho^{*}$ \\
Setzt man nur \nl voraus, so ist $\mathfrak{L}$ auf jedem beschrkten Teil von $R$ umkehrbar stetig. \\
Bew.: (a) Falls $||\rho_{n}||$ nicht beschr\"ankt, normiere eine Teilfolge: $c_{n'}||\rho_{n'}|| = 1$, $c_{n}\,\mathfrak{L}\,(\rho_{n}) \rightarrow 0$. \\
Nach (6) kann man aus den $c_{n'}\rho_{n'}$ eine kgte Teilfolge auslesen: $c_{n''}\rho_{n''} \rightarrow \rho^{*} \in R$; $||\rho^{*}|| = 1$ \\
$\mathfrak{L}(\rho^{*}) = 0$; geht nicht\\
\\
$\textbf{Seite 56}$\\
\\
(b) Nun sei $||\rho_{n}||$ beschr\"ankt. Nach (6) w\"ahle kgte Teilfolge aus, $\rightarrow \rho^{*} \qquad \rho^{*} \in R$, $\mathfrak{L}(\rho^{*}) = \mathfrak{x}_{0}$\\
\\
Sollte es eine Teilfolge $\rho_{n''}$ geben, die $\not\rightarrow \rho^{*}$, so erh\"alt man aus ihr eine kgte Teilfolge $\rho_{n'''} \rightarrow \rho^{**} \not= \rho^{*}$, mit $\mathfrak{L}(\rho^{**}) = \mathfrak{x}_{0}$. Das geht nicht wegen der Eineindeutigkeit. \\
\\
(9) Der Beweis zeigte:\\
Ist $\Omega(\rho)$ eine stetige Abbildung von $\phi_{k}$ in $\phi_{0}$ von der besonderen Gestalt \\
$ \Omega(\rho) = \mathfrak{x}^{(k)} + N(I\,\mathfrak{x})$, $N$ stetig \nl\\
so ist $\Omega(\mathfrak{x})$ auf jedem abgeschlossenen beschr\"ankten Teilraum $R$ von $\phi_{k}$, auf dem es umkehrbar eindeutig ist, auch umkehrbar stetig.\\
Das gilt sogar schon immer dann, wenn sich nur $\mathfrak{x}^{(k)}$ darstellen l\"asst als stetiges Funktional von $I\,\mathfrak{x}$ und $\Omega\,(\mathfrak{x})$.\\
\\
$\textbf{Seite 57}$\\
\\
(10) Die letzten Nummern haben gezeigt, da\ss $\enspace$ neben den steitigen Abbildgen, d.h. den \nl, auch die zu betrachten sind, die jede beschrkte Folge mit H\"aufungspkt wieder in eine solche \"uberf\"uhren; man kann sie h\"aufungshaltend heh nennen; werden an beschrkten Folgen \underline{nur} die Folgen mit $HP$ wieder in \"uberf\"hrt, so heisse die heh Abb. sogar ''h\"aufungsgleich'' (hgl). \\
(10') Damit kann man sagen:  Operatoren der Gestalt (9) sind h\"aufungsgleich. Insbesondere sagt (6): Normierte  Differentialoperatoren  sind h\"aufungsgleich. \\
\\
(11) Ein Operator $\Omega$ der Gestalt (9) sei gegeben. Dann gibt es keinen linearen Teilraum unendlichen Ranges in $\phi_{k}$, wo $\Omega(\varphi) = 0$ ist.  \\
Bew.: In einem solchen Teilraum k\"onnte man ein unendliches und in $\phi_{k}$ normiertes orthogonales System finden, Widerspruch in (10'), \\
\\
$\textbf{Seite 58}$\\
\\
denn in einem Orthogonalsystem von $\phi_{k}$ gibt es keine kgte Teilfolge. \\
\\
(12) In (11) ist als inneres Produkt zweier Fkt. $\mathfrak{x}$, $\psi$ aus $\phi_{k}$  zu verwenden: \\
$(\mathfrak{x},\, \psi) = \int\limits_{0}^{1}\,(\mathfrak{x}\,\psi + \mathfrak{x}'\psi' + \cdots + \mathfrak{x}^{(k)}\psi^{(k)})\,d\xi$. \\
\\
$(\mathfrak{x},\,\psi)$ ist stetig in $\mathfrak{x}$ und $\psi$: \\
Sei $\mathfrak{x}_{n} \rightarrow \mathfrak{x}_{e} = \delta$, $\psi_{n} \rightarrow \psi_{e} = \eta$\\
$(\mathfrak{x}_{n},\,\psi_{n}) - (\mathfrak{x}_{e},\,\psi_{e}) = $\\
$= (\mathfrak{x}_{e},\,\eta) + (\delta,\,\psi_{e}) + (\delta,\,\eta)$\\
Aber nach Schwarz ist $(\mathfrak{x},\,\psi)^{2} \leq ||\mathfrak{x}||^{2}\,||\psi||^{2}$\\
also $\nl \,\,\underline{\underline{<}}\,\, (||\mathfrak{x}_{e}|| + ||\delta||)\,(||\psi_{e}|| + ||\eta||)  - ||\mathfrak{x}_{e}||\,||\psi_{e}||$\\
$\rightarrow 0 $ mit $\delta,\,\eta \rightarrow 0$. \\
\\
Allgemeines Prinzip von (11): Wenn man von einer Fktmenge beweisen kann, da\ss $\enspace$ sie einen im Endlichen kompakten linearen Raum aufspannt, so ist die\\ 
\\
$\textbf{Seite 59}$\\
\\
Menge endlich.  (Altes Prinzip (\nl Ungl.)). \\
(13) Ein \nl Operator 2.Art
$\Omega(\mathfrak{x}) = \mathfrak{x} - \int\limits_{0}^{1}\,K(x,\,\xi)\,d\xi$ ($K$ im $\square$ stetig) ist 
h\"aufungsgleich. \\
Denn 1) ist \nl stetig, und 2) folgt aus $w_{n} = \mathfrak{x}_{n} - \int\,K(x,\,\xi)\,\mathfrak{x}_{n}(\xi)\,d\xi \rightarrow w(x)$, \\
da\ss $\enspace \mathfrak{x}_{n} = w_{n} + \int\,K\,(x,\,\xi)\,\mathfrak{x}(\xi)\,d\xi = w_{n} + \mathfrak{x}_{n}$\\
Nun ist nach Schwarz die Folge
$$(K\,(x,\,\xi)\,\,\mathfrak{x}\,d\xi$$
sicher dann gl. beschrkt und gl. stetig, \\
wenn 
$\left\{
\begin{array}{ccc}
\nl < M
K, \textnormal{ \nl stetig}
\end{array}\right\}$ also kann man aus den $\psi_{n}$ eine kgte Teilfolge $\psi_{n'}$ auslesen, dann ist $\mathfrak{x}_{n'} = w_{n'} + \psi_{n'}$ eine kgte Teilfolge $\psi_{n'}$  auslesen, dann ist $\mathfrak{x}_{n'} = w_{n'} + \psi_{n'}$  eine kgte Folge\\
\\
''$K$ im Quadratmittel stetig'' heisst: \\
$\int\,[K(x_{1},\,\xi) - K\,(x_{2},\,\xi)]^{2}\,d\,\xi < \varepsilon$ f\"ur $(x_{1} - x_{2}) < \delta$. \\
\\
Ebenfalls h\"aufungsgleich ist der Operator\\
\\
$\textbf{Seite 60}$\\
\\
$\mathfrak{L}(\mathfrak{x}) = \mathfrak{x}^{(K)} + \int\,K\,I\,\mathfrak{x}\,d\xi$ (schon nach (9)) oder allgemeiner\\
(14) $\underline{\Omega(\mathfrak{x}) = \Omega_{1}(\mathfrak{x}) + M(\mathfrak{x})}$ 
wobei $\Omega_{1}(\mathfrak{x})$ ein h\"aufungsgleicher und $-M(\mathfrak{x})$ ''h\"aufungserzeugender Operator, dh. ein solcher, der jede beschr\"ankte Folge in eine mit $H\,P$ \"uberf\"uhrt. \\
\\
In Analogie zur Limitierungstheorie k\"onnte man zwei Abb. von $\phi_{k}$  auf $\phi_{0}$ (h\"aufungs\"aquivalent) nennen, wenn sie genau dieselben beschr\"ankten Folge in solche mit HP \"uberf\"uhren (d.h. ''h\"aufen''). W\"ahrend sich in der Summierungstheorie um unbeschrkte Folgen handelt, die beschrkt oder kgt gemacht werden sollen,  werden hier nur beschrkte Folgen zu Grunde \nl. \\
\\
\underline{Nicht} h\"aufungsgleich ist jeder Fredholsche Operator 1. Art, da \nl \underline{jede} be-\\
\\
$\textbf{Seite 61}$\\
\\
schr\"ankte Folge h\"auft. \\
Das ist der Unterschied zwischen Fredholmschen Gleichungen 1. und 2. Art. \\
\\
Zusammenfassung:\\
(15) $\frac{d}{dx}$ ist h\"aufungsgleich  (3 + 7) \\
I. ist h\"aufungserzeugend (7) \\
$\int\,K(x,\,\xi)\,\mathfrak{x}(\xi) = \nl$ f. $\square$ stetiges $K$ (13)\\
Das Produkt  \nl kgl. ist kgl., das Produkt $A\,B$, wo \nl, ist hez. \\
Die Summen $A + B$ ist sicher kgt (14)\\
wenn $A$ kgl und $B$ \nl\\
Aus $G_{1}H = G_{2}$, $G_{i}$ kgl. folgt: $H$ kgl. \\
Man k\"onnte noch den Begriff h\"aufungsverhindernden  $h\,\vee\,h$  Abb. einf\"uhren: diese f\"uhrt jede beschrkte Folge ohne $H\,P$ wieder in eine beschrkte Folge ohne $H\,P$ \"uber.  Dann sind die kgl. der Durchschnitt \nl\\
\\
$\textbf{Seite 62}$\\
\\
Entsprechende Begriffe gibt es f\"ur Konvergenz  k e h = stetig  un.) und Beschr\"ankung (b e h = beschrkt)\\
z.B. ist  
$\left\{
\begin{array}{ccc}
\mathfrak{x} \rightarrow \frac{\mathfrak{x}}{||\mathfrak{x}||} \nl \\
\mathfrak{x} \rightarrow \frac{\mathfrak{x}}{||\mathfrak{x}||}\,\, b\,\vee\,h \textnormal{ Abb. } 
\end{array}\right\}$ \\
Eine kgl. Abbildung, die einen beschr\"ankten abgeschlossenen Teil $R$ von $\phi_{k}$ auf (einen Teil von) $\phi_{l}$ \underline{stetig und eineindeutig} abbildet, ist umkehrbar stetig auf $R$. 

   








\end{document}


 










