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\newcommand{\il}[2]{\int\limits_{#1}^{#2}}
\newcommand{\nl}{\textbf{nicht lesbar}\,}

\title{Private Notebook III}
\author{Helmut Wielandt\\
G\"ottingen, Herzberger Ldstr.32\\
Heimatanschr.: T\"ubingen, Goesstr.31}

\sloppy

\begin{document}

\maketitle

$\textbf{Seite 2}$

\section*{Determinanten und Matrizen}
\subsection*{Liegr\"ossen in assoz. Ringen (Passonfontaine)}
$L$ sei der Lie-Ring der Lieschen Gr\"ossen in dem von den nichtkomm. Unbestimmten $x_{1},\dots, x_{n}$ erzeugten freien assoz. Ring $\cal{R}$ (El. von Rhomigen) zwischen $l$, $l_{1}$, $\cdots$, $l_{k} \in \mathfrak{L} $
\begin{quote}
(1) $l = l_{1}\,X_{1} + l_{2}\,X_{2} + \cdots +  l_{k}\,X_{k}$ 
\end{quote}
Ist Gr$\,l = m$, so ist \qquad $m^{m}l \in \{l_{1},\dots,\, l_{k}\}_{ \mathfrak{L}} = $Lie-Ideal, erzeugt von $l_{1},\dots,\, l_{k}$.\\
Folge: Ist $z$ eine  weitere Unbestimmte, so folgt
\begin{quote}
$l\,z - z\,l \in \{l_{1}\dots l_{k}\}_{\mathfrak{L}(z)}$
\end{quote}
Frage: Ist $l \in \{l_{1},\dots,l_{k}\}_{ \mathfrak{L} } $ ?\\
Bew: a) Die lineare Abb. von $\cal{R}$ auf $\mathfrak{L}$, gegeben durch \\
$$x_{\alpha}\,x_{\beta} \dots x_{\tau} \rightarrow (\dots((x_{\alpha}\,x_{\beta})x_{\gamma})\dots x_{\tau}),$$
hat die Eigenschaft: $\bigwedge\, l = m\, l$, wenn $l \in \mathfrak{L} $, Gr$\,l = m$
\begin{quote}
Bew. durch Polarisieren. F\"ur nichtlineare $l$ Leitglieder vergleichen).\\
b) Hieraus folgt f\"ur nichtlineare $l$ aus (1): 
$m\, l \in \{l_{1},\dots, l_{k}\}_{\mathfrak{L}}$.\\
c) Bei beliebigen $l$ (1) 
\nl $m^{m}l \in
 \{l,\dots l_{k}\}_{ \mathfrak{L} }$.
\end{quote}
\"Ubrigens ist $\bigwedge([\bigwedge\,A]\cdot B) = Gr\, A \cdot \bigwedge (A\,B)$.\\
\\
Hieraus folgt, dass $\mathfrak{L} $ ein freier Liescher Ring ist.\\
Weuer ,\quad \"Uber Invarianten in Lieschen Ringen. MA$_{120,\, 563 - 580}$\\ 
\\
$\textbf{Seite 3}$\\
\\
\subsection*{Aufspaltung von Kongruenzgruppen}(Gerystizy 22km NO Demijansk)\\
Bedeutet $ \mathfrak{A}(n,\,\cal{R}$) die Gruppe der nichtsing. \nl Substit. des Grades $n$ mit Koeff aus dem Ring $\cal{R}$, und ist $G_{1}\,(p^{\alpha})$ das $GF\,(p^{\alpha})$,  $G_{k}\,(p^{\alpha})$ der kleinste auf $G_{1} (p^{\alpha}) $ abgeb. Ring mit Charakteristik $p^{k}$ und Ordnung $p^{k\alpha}$, so ist $ \mathfrak{A} (n,\, G_{n}(p^{\alpha})) $ eine kleinste auf $ \mathfrak{A}(n,\, G_{1}(p^{\alpha})) $ abgebildetet Gruppe.\\
Bew.: a) f\"ur $n = 2$\quad Induktion nach $n$\\
Bei $ \mathfrak{A}(n,\, G_{2}(p^{\alpha}))$ ist der auf $E$ abgebildete Normalteiler $\mathfrak{f}$  $\mathfrak{A}$-einfach und isomorph \nl add. Gruppe der Matrizen mit Koeff um \nl mit der Spur 0. Ord $ \mathfrak{f} = p^{(\alpha(n^{2} - 1)}$.\\
\\
\"Ahnlich f\"uhrt die unit\"are Gruppe, die $ x_{1}\, \overline{x_{1}} + \cdots +  x_{n}\, \overline{x_{n}}$ unge\"andert \nl, auf die Matrizen $\overline{M} = -M'$ mit $SpM = 0$. Wieder ist Ord $  \mathfrak{f} = q^{n^{2} - 1}$, $q = p^{\alpha}$.\\
Die beiden Gruppen sind \"ahnlich f\"ur $n = 2$: Transformiere mit $T =
\left( 
\begin{array}{ccc}
1 & 1\\
\xi & \overline{\xi}
\end{array} \right) \cdot
\left( 
\begin{array}{ccc}
1 & \\
 & \xi
\end{array} \right)$, $\xi\, \overline{\xi} = 1$.\\
Wichtige: Jede Gr\"osse aus $G_{k}(p^{0})$ ist Norm aus $G_{k}(p^{2\alpha})$.
Folge: Jede nichtring. hermitesche Form mit Koeff. aus $G_{k}(p^{2\alpha})$ ist
\"aq. 
$\left( 
\begin{array}{cccc}
1 &&&\\
&1&&\\
&&\ddots&\\
&&&1
\end{array} \right)$. 

\subsection*{Verfahren zur Herstellung von $p$-Aufspaltungen}:
Man stellt $\mathfrak{G}$ durch ganzzahlige lineare Gruppe dar, \"andert die
Koeff. in nwd $p$ kongruente und betrachtet die entstehende, im allg. unendliche
Gruppe nwd $p^{\alpha}$, $\alpha > 1$. 
\\
$\textbf{Seite 4}$\\
\\
Ist $G \rightarrow \mathfrak{G}$, dabei $\mathfrak{f} \rightarrow \nl$ und die
$p$-Sylowgr. von $\mathfrak{G}$ zyklisch, und ist $\mathfrak{f}$ abelsch vom Typ
($p$, $p$,$\sim$, $p$), so sind je zwei kleinstm\"ogliche Vertretergruppen f\"ur
$\mathfrak{G}$ in $G$ isomorph. Ihre Kompositionsl\"ange ist \underline{entweder
gleich} der den gr\"ossten kleinsten auf $\mathfrak{G}$ abgebildeten
Faktorgruppe von $G$, \underline{oder} um 1 gr\"osser.\\
\\
Ist \underline{$\mathfrak{G}^{*}$ die gr\"osste kleinste auf $\mathfrak{G}$
abgebildete Gruppe} mit dem $\mathfrak{f}$-Expom \quad $p\,\, (\mathfrak{f}^{*}
\rightarrow \mathfrak{E})$ und umfasst $g\, \mathfrak{G}^{*}$, und hat das
$\mathfrak{f}$-$p$-Sylowzentrum $(\mathfrak{f} \rightarrow \mathfrak{E}$ in $G$)
die Ord $p^{2}$, so ist $G = \mathfrak{G}^{*}$.\\
Bew: Sonst w\"urde $G$ in ein direktes Unterprodukt zerfallen: $G =
\mathfrak{G}^{*}$ \nl $\mathfrak{G}_{0}$. Dann h\"atte $\mathfrak{G}_{0}$ ein
$p$-Zentrum der Ord $p$ und $\mathfrak{G}^{*}$ ebenfalls. Aber in
$\mathfrak{G}^{*}$ zerf\"allt wieder die $p$-Sylowgruppe in ein direktes
Unterprodukt, g\"abe zu grosses $p$-Zentrum.\\
Ganz \"ahnlich z.B. 5-Aufspaltung \nl altern. Gruppe $\mathfrak{A}_{\sigma} -
\mathfrak{A}_{\rho}$, wobei statt $\mathfrak{p}$ besser Normal ($\mathfrak{p}$)
betrachtet wird. Gibt auch Zentrum den Ord $p^{2}$.
\subsection*{Gr\"osste kleinste auf ($p$, $p$) abgebildete Gruppe:}
Bedeutet $M$ die Matrix 
$\left( 
\begin{array}{cccc}
0 &1\, \enspace&&\\
&0\,1&&\\
-{p \choose p}&-{p \choose p - 1}&\cdots&-{p \choose 1}
\end{array} \right)$ mit
$(E + M)^{p} = E$, so erzeugen die Matrizen $A = 
\left( 
\begin{array}{cccc}
\mathfrak{E} + M & 0\\
0 & 1
\end{array} \right)$,
$B = 
\left( 
\begin{array}{ccccc}
1&&&&1\\
&1&&&0\\
&&1&&0\\
&&&\ddots&\\
&&&&1
\end{array} \right)$
\\
$\textbf{Seite 5}$\\
\\
eine kleinste auf die abelsche Gruppe vom Typ $(p,\,p)$ abgebildete Gruppe.
Durch Bildung von direkten Unterprodukten solcher Gruppen und der freien
abelschen Gr. mit 2 Erzeugenden erh\"alt man die gr\"osste kleinste $p$-adische
auf $(p,\,p)$ abgebildete Gruppe.
\subsection*{Subtitutionsgruppen ohne Wurzel 1}
a) Es gibt nur eine irred. Gruppe ohne Wurzel 1 der Ord $2^{m + 1}$, sie wird
erzeugt von 
$\left( 
\begin{array}{ccccc}
\varepsilon&\\
&\varepsilon^{-1}
\end{array} \right)$, 
$\left( 
\begin{array}{ccccc}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{array} \right)$, Ord $\varepsilon = \lambda\, m$.\\
b) Eine $\mathfrak{G}$. ohne Wurzel 1 hat entweder die \nl als Sylowgruppe, oder
sie hat ihre 2-Sylowgruppe als Faktorgruppe eines aufl\"osbaren Normalteilers.\\
c) Also hat jede nichtaufl\"osbare Gr. ohne Wu 1 die 2-Sylowgruppe
$\left( 
\begin{array}{cc}
i&\\
&-i
\end{array} \right)$, 
$\left( 
\begin{array}{ccccc}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{array} \right)$.\\
Bew von a): 1) richtig f\"ur Gr = 2. b) bei $n = 4$ gibt es keine irred. 2. Gr.
ohne Wu 1, monomial, bei der die Faktorgruppe nach dem Diagonal-Normalteiler die
Vierergruppe w\"are.\\
Jede irred. mom 2-Gr. ohne Wu 1 hat die Gestalt\\
$$\left( 
\begin{array}{ccccc}
\varepsilon&&&&\\
&\varepsilon^{u}&&&\\
&&\varepsilon^{u^{2}}&&\\
&&&\ddots&\\
&&&&\varepsilon^{u^{n - 1}}
\end{array} \right),\,\,
\left( 
\begin{array}{cccccc}
0&1&&&\\
&0&1&&\\
&&0&&\\
&&&&\\
&&&&1\\
-1&&&&0
\end{array} \right)$$
mit $\varepsilon^{u^{\frac{n}{2}}} = \varepsilon^{-1}$, d.h. $u^{\frac{n}{2}} =
-1$ nwd Ord $\varepsilon$.
\\
$\textbf{Seite 6}$\\
\\
Falsch ist die Vermutung: \underline{Der Betrag eines Operators} kann durch
Substraktion eines Op. vom Rang 1 nicht unter die \underline{zweitgr\"osste 
EWn} grdr\"uckt werden. Gegenbeispiel:
$\left( 
\begin{array}{cc}
2 & 0\\
6 & 3
\end{array} \right) - 
\left( 
\begin{array}{cc}
2 & 1\\
6 & 3
\end{array} \right) =
\left( 
\begin{array}{cc}
0 & -1\\
0 & 0
\end{array} \right)$

\subsection*{Die Extremaleigenschaften der gr\"ossten EWn:}
$\nl = \max\limits_{y \in Y} \,lim\, \nl$
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$\mathfrak{K}^{n}_{y}$
\end{tabular}^{\frac{1}{n}}$\\
gibt es keine Absch\'atzungen mit endl. vielen Schritten.
\subsection*{Polare Integralgleichungen.}
Ist im Raum $Y$ ein inneres Produkt $(f,\, g)$ erkl\"art und $\mathfrak{K}$ eine
\underline{voll}stetige \underline{definite} selbstadj. Abb. vvon $Y$ in sich,
$\mathfrak{w}$ eine stetige selbsadjungierte, so heisst $(1 - \lambda\,
\mathfrak{w}\, \mathfrak{K})\, y = 0$ eine polare Gleichung. Bei $\mathfrak{w}\,
\mathfrak{K} \not= 0$ hat sie stets EWe, und nur reelle, und bei $R\,\nl\,
\mathfrak{w}\, \mathfrak{K} = \infty$ hat sie $\infty$ viele.\\
Bew.: Es ist $\mathfrak{w}\, \mathfrak{K}$ selbstadjungiert, wenn an an die neue
Metrik $[f,\, g] = (f,\, \mathfrak{K}\, g)$ zu Grunde legt; daher
$y^{*}\mathfrak{K}\, \mathfrak{w}\, \mathfrak{K}\, \mathfrak{w}\,
\mathfrak{K}\, y \cdot y^{*}\, \mathfrak{K}\,
y \geq (y^{*}\, \mathfrak{K}\, \mathfrak{w}\, \mathfrak{K}\, y)^{2}$,
$y^{*}\mathfrak{K}\, \mathfrak{w}\, \mathfrak{K}\, \mathfrak{w} \cdot
\mathfrak{K} \cdot \mathfrak{w}\, \mathfrak{K}\, \mathfrak{w}\, \mathfrak{K}\, y
\cdot y^{*} \, \mathfrak{K}\, y \,\,\underline{\underline{>}}\,\, (y^{*}\,
\mathfrak{K}\, \mathfrak{w} \cdot \mathfrak{K} \cdot \mathfrak{w}\,
\mathfrak{K}\,  y)^{2}$ usw. \\
also 
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$\mathfrak{K} \cdot (\mathfrak{w}\, \mathfrak{K})^{2m}$
\end{tabular} \,\,\underline{\underline{>}}\,\, (\frac{y^{*}\, \mathfrak{K}\,
\mathfrak{w}\, \mathfrak{K}\, y}{y^{*}\, \mathfrak{K}\, y})^{2m} \cdot
\frac{y^{*}\, \mathfrak{K}\, y}{y^{*}\, y}$ f\"ur jedes $y$
\\
$\textbf{Seite 7}$\\
\\
Also wenn es $y$ mit $y^{*}\, \mathfrak{K}\,\mathfrak{w}\,\mathfrak{K}\, y \not=
0$ gibt, kann 
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$(\mathfrak{w}\, \mathfrak{K})^{n}$
\end{tabular} $ nicht st\"arker als alle $\varepsilon^{n}$ abnehmen und hat daher
einen EW.\\
F\"ur eine $EF$\quad $\mathfrak{w}\, \varphi$ von $ \mathfrak{w} \, \mathfrak{K} $
ist stets $\varphi$ eine adj. EF, gibt Abspaltung $(\mathfrak{w} \, \mathfrak{K} )_{1} = \mathfrak{w} \, ( \mathfrak{K}  - \frac{\varphi(x)\, \varphi(y)}{\lambda_{\nl}})$.\\
Gilt aber f\"ur alle $y$: $ y^{*} \, \mathfrak{K} \, \mathfrak{w} \, \mathfrak{K} \, y = 0$, so gilt $(y \rightarrow \alpha\,x + \beta\,y)$
\begin{flushright}
{\scriptsize{$\qquad |\,|\qquad |\,|$}} $x$, $y \qquad y^{*} \, \mathfrak{K} \, \mathfrak{w} \, \mathfrak{K} \, x = 0$ und mit $y = \mathfrak{w} \, \mathfrak{K} \, x$ wegen 
\end{flushright}
Definiert von $\mathfrak{K} $: $ \mathfrak{w} \, \mathfrak{K} \, x = 0$, $ \mathfrak{w} \, \mathfrak{K} = 0$.\\
\\
\\
\\
\underline{Normale Matrizen} lassen sich dadurch kennzeichnen, dass
$$ \frac{ |A^{2}\,\varphi| }{ |A\,\varphi| } 
\geq \frac{ |A\,\varphi| }{ |\varphi| }
\qquad\qquad \textnormal{f. alle } 
\varphi .$$  
Dann ist n\"amlich jeder HV sogar EV, und EV zu verschiedenen EW sind
orthogonal; an jedem $V\,\varphi \not= 0$ ist mindestens ein EW beteiligt. Also
kann man den \\
\\
\underline{Normalit\"atsgrad einer Matrix} defin. $\mathfrak{v} = \min\limits_{\varphi}
\frac{|A^{2}\varphi|\,|\varphi|}{|A\,\varphi|^{2}}$; $0 \leq \mathfrak{v} \leq
1$;\\
$\mathfrak{v} = 1$ dund, wenn $A$ normal. Vielleicht gilt f. beelieb. lin. Op.:
Dund ist $\nu(A) > 0$, wenn $A = T^{-1}\,N\,T$ mit beschrktem $T$, $T^{-1}$ und
normalem $N$. 
\begin{flushright}
vgl. auch S. 18 
\end{flushright}
\subsection*{Einschliessungssatz f\"ur die char. Wurzeln zweireihiger Matrizen:}
Geh\"oren $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ einen konvexen Winkelraum \nl
an, so auch eine ch. Wu. zum Beweis kann man $\beta = \gamma$ annehmen. Es ist
$(x_{i} - \alpha)\,(x_{i} - \delta) = \beta^{2}$, dh. die Winkelhalbierende von
$x_{i}\, a$ und $x_{i}\, \delta$ ist $|| \pm \beta$. Daher liegen beide Wurzeln
auf dem Streifen durch $\overline{\alpha\,\beta}\,\,||\,\, \beta$, und in jedem
Halbstreifen liegt eine $x_{i}$; also hat eins von ihnen die Gestalt $p\,\alpha
+ (1 - p)\,\beta + p'\,\beta \subset \gamma$.\\
\\
\textbf{Graph}\\
\\
Anderer Beweis: Transformiere
$\left( 
\begin{array}{cc}
\alpha & \beta\\
\beta & \delta
\end{array} \right)$ so, dass die Koeff. einen m\"oglichst kleinen Winkelraum
einnehmen, dann Rechnung. Das muss aber nicht die absolut gr\"osste Wurzel sein:
z.B.
$\left( 
\begin{array}{cc}
2 & 2\\
2 & 2i\sqrt{2}
\end{array} \right)$ gibt $x_{\mp} = (1 \mp 2^{\frac{1}{4}}) + i(2^{\frac{1}{2}}
\pm 2^{\frac{1}{4}})$,  alle Koeff. im 1. Quadranten \nl, $x_{+} \in \nl$, aber
$|x_{+}| < |x_{-}|$.\\
\\
\\
\underline{$D(\lambda)$ f\"ur Stab:} $y^{IV} = \lambda\,g\,y$, $y_{0} = y_{0}' =
y_{1}'' = y_{1}''' = 0$.\\
Es sei $z_{2}$ die L\"osung von $z^{IV} = \lambda\, g\, z$ mit $z_{2}''(0) = 1$,
$z_{2}^{\nl}(0) = 0$ sonst ($\nu \leq 3$)\\
Es sei $z_{3}$ die L\"osung von $z^{IV} = \lambda\, g\, z$ mit $z_{3}'''(0) =
1$, $z_{3}^{\nl}(0) = 0$ sonst ($\nu \leq 3$).\\
\nl, wenn sich Konstanten $c_{2}$, $c_{3} \not= 0$, $0$ bestimmen lassen mit
$(c_{2}\, z_{2} + c_{3}\, z_{3})_{1}'' = ()^{\nl}_{1} = 0$,ist $\lambda$ EW.
Also \nl $\Delta_{2\,3} =
\left|
\begin{array}{cc}
z_{2}'' & z_{3}''\\
z_{2}''' & z_{3}'''
\end{array} \right|_{X = 1} = 0$ ost die EW-Gleichung.\\
Nun ist mit $\Delta_{in} =
\left|
\begin{array}{cc}
z_{2}^{(i)} & z_{3}^{(i)}\\
z_{2}^{(k)} & z_{3}^{(k)}
\end{array} \right|$.
\\
$\textbf{Seite 9}$\\
\\
$\begin{array}{ccccccc}
&\Delta_{01}&\Delta_{02}&\Delta_{03}&\Delta_{13}&\Delta_{23}&\textnormal{mit den
Anfgsweten f\"ur } x = 0:\\
\Delta'_{01} = &&1&&&&0\\
\Delta'_{02} = &&&2&&&0\\
\Delta'_{03} = &&&&1&&0\\
\Delta'_{13} = &-\lambda\,g&&&&1&0\\
\Delta'_{23} = &&-\lambda\,g&&&&1
\end{array}$\\
Hieraus folgt $\Delta_{02} = \sl{0}{\infty} \{-2\lambda(I^{4}g +
I^{3}g\,I)\}^{\nl}\frac{x^{3}}{3}$, $I = \il{0}{x}$ und daher $D(x,\, \lambda) =
1 - \lambda\,I\,g\enspace \sl{0}{\infty}\{\dots\}^{\nl}\,\frac{x^{3}}{3}$;
$D(\lambda) = D(1,\, \lambda)$.
\begin{flushright}
Forts.  S. 18 
\end{flushright}
\underline{Collatz} beweist den Einschliessungssatz von Temole f\"ur Igl. in MZ
46, 706, aber nur unter starken, unn\"otiger Zusatzvorauss: Es soll eine EF mit
gewisser Vorzeichenverteilung geben. Vgl. Vorlesg Igl S.52.\\
\\
Die Verallgemeinerung der \underline{Sturm-Liouvilleschen} Theorie betrifft
wohl, die "'asymptotisch selbstadjungierten"' Aufgaben. \underline{Aufbau des
\nl}.\\
\\
\underline{Collatz' Prinzip des Existenzbeweises} von EWen selbstadj.
Aufgaben:\\
$H$ sei ein Hilbertscher Raum, $\mathfrak{K}(\lambda)$ eine selbstadj. Abb. von $H$ in sich, \nl
\\
$\textbf{Seite 10}$\\
\\
Ist f\"ur $a \leq \lambda \leq b$\quad $\mathfrak{K}(\lambda)^{-1}$ vorhanden
und $\dot{\mathfrak{K}}(\lambda) \underline{\underline{<}} 0$ und ist
$\mathfrak{K}(0)\,\, \underline{\underline{>}}\,\, 0$, so ist im ganzen
Intervall $\mathfrak{K}(\lambda) \,\, \underline{\underline{>}}\,\, 0$,
insbesondere $\mathfrak{K}(b) \,\, \underline{\underline{>}}\,\, 0$.\\
Bew: $(\mathfrak{K}^{-1})\dot{} =
-\mathfrak{K}^{-1}\dot{\mathfrak{K}}\,\mathfrak{K}^{-1} \,\,
\underline{\underline{>}}\,\, 0$ wegen $\dot{\mathfrak{K}} \,\,
\underline{\underline{<}}\,\, 0$\\
also $\mathfrak{K}\nl \,\, \underline{\underline{>}}\,\,
\mathfrak{K}(0)^{-1} \,\, \underline{\underline{>}}\,\, 0$; $\mathfrak{K} \cdot
\mathfrak{K}^{-1}  \cdot
\mathfrak{K} \,\, \underline{\underline{>}}\,\, 0$\\
Ist daher f\"ur ein $\varphi \in H \quad \lim\limits_{\lambda \rightarrow
\infty} \varphi^{*}\mathfrak{K}\, \varphi < 0$, so gibt es einen "'EW"' $\lambda
> 0$ so dass $\mathfrak{K}(\lambda)^{-1}$ nicht existiert.\\
F\"ur Integralgl. kann man ohne Differenzieren so schliessen: Ist $\mathfrak{K} 
\,\, \underline{\underline{>}}\,\, 0$ und hat $\mathfrak{K}$ keinen EW, so ist
kgt $\frac{1}{1 - \lambda\,\mathfrak{K}} = 1 + \lambda\, \mathfrak{K} +
\lambda^{2}\, \mathfrak{K}^{2} + \cdots \,\, \underline{\underline{>}}\,\, 1$
f\"ur $\lambda > 0$; Multiplikation mit $(1 - \lambda\, \mathfrak{K})^{2}$ gibt
$1 - \lambda\, \mathfrak{K}\,\nl\,(1 - \lambda\, \mathfrak{K})^{2} > 0$ \nl
$\lambda > 0$. Geht nicht $\mathfrak{K} \not\equiv a$.\\
Sch\"on ist, dass die EW Aufgabe nicht mehr linear in $\lambda$ sein muss, daher
darf z.B. $\lambda$ jetzt auch beliebig in den Randbedingungen auftreten.\\
\\
\\
\underline{Beispiel nicht selbstadj. Aufgaben} m\"usste man durch analytische
Fortsetzg. selbstadjungierten erhalten: Z.B.\qquad $y'' = \lambda\,(X + t)\,y$
$y(0) = y(1) = 0$.\\
F\"ur alle $t$ selbstadj. Nun $t$ komplex w\"ahlen $|$\\
Oder auch Collatz: 
\begin{quote}
$-y'' = \lambda\,\frac{c}{(x + b)^{\frac{3}{2}}} y$, $y(0) = y(1) = 0$:
$\lambda_{n} = \frac{n^{2} \pi^{2}}{c(ln\, \frac{a + b}{b})^{2}} +
\frac{1}{4}$,\\
$y_{n} = \sqrt{x + b}\, sin (\frac{n\, \pi\,ln\,\frac{x + b}{b}}{ln\,\frac{1 +
b}{b}})$;
\end{quote}
gilt auch f\"ur lomplexe $b$, $c$.
\\
$\textbf{Seite 11}$\\
\\
Eine L\"osung von \underline{$y'' = \lambda\, e^{x}y$} ist $y =
\mathfrak{E}\,(e^{x}\lambda)$ mit $\mathfrak{E}(u) = \sl{0}{\infty}
\frac{u^{n}}{n!^{2}}$. Es ist $\mathfrak{E}''u + \mathfrak{E}' - \mathfrak{E}
= 0$, $\mathfrak{E}$ regul\"ar bei $u = 0$\\
\nl\\
\\
\\
\underline{Hilfssatz von Zermelo} (Math tun \underline{58}, 1904, 558 - 564),
(Dort \"ahnlich !)\quad (22.9.43)\\
Sei $k > n$, $\gamma(x)$ Sktig, (1) $\il{a}{b} \gamma(x)\, v^{n}(x)dx = 0$ f\"ur
alle $k$-mal stetig diffbaren $v(x)$, f\"ur die (2) $u(x) = v'(x) = \cdots =
v^{(k - 1)}(x) = 0$ f\"ur $x = a,\, b$.\\
Beh: \qquad (3) $\gamma(x) = c_{0} + c_{1}x + \cdots + c_{n - 1}x^{n - 1}$.
Bew: Mit der Abk\"urzung $I\,f = \il{0}{x} f(\xi)\,d\xi$, also\\
(4) $I^{\rho}f = \il{0}{x} \,\frac{(x - \xi)}{(\rho - 1)!}^{\rho - 1}\, f(\xi)\,
d{\xi}$,\\
bildet man $I^{2m - n}\gamma$ und zieht davon ein solches Polynom $p_{2m -
1}(x)$, h\"ochstens vom Grade $2_{m - 1}$, ab, dass $(5) \delta (x) = I^{2m -
n}\gamma - p_{2m - 1}$ den $2m$ Gleichungen gen\"ugt: (6) $\il{a}{b} \delta(x)
x^{\mu} dx = 0\qquad (\mu = 0,\, 1,\, \cdots,\, 2m - 1)$.\\
Beh: $\delta (x) \equiv 0$; dann folgt (3) durch Differenzieren von (5).\\
Bew: Wegen (4) und (6) hat $v(x) = I^{2m}\delta$ die Eigenschaft (2). Es wird $0
= \il{a}{b}\,\gamma(x)\,I^{2m - n}\delta (x) = \pm \il{a}{b} \delta(x)\, I^{2m -
n}\,\gamma (x) = \pm \il{a}{b} \delta (x) \{I^{2m - n}\gamma - p_{2m - 1}\} =
\pm \il{a}{b} \delta^{2}(x)\, dx$.\\
\\
\\
\underline{Selbstadj.heisse eine EW Aufgabe} $(A - \lambda\,B)\,\varphi = 0$,
wenn 1) $A^{*} = A$, $B^{*} = B$ und 2) $\varphi^{*}A\,\varphi = \varphi^{*}
B\,\varphi = 0 \rightarrow \varphi = 0$. Dann brauchen $A \& B$ beide nicht
definiert zu sein. Z.B. \nl $B = 
\left( 
\begin{array}{cc}
1 & \\
 & -1
\end{array} \right)$. EWe sind nur reell, $E$ L\"os. orthogonal.
\\
$\textbf{Seite 12}$\\
\\
Bei zweireihigen Matrizen mit $|\varphi^{*}A\varphi| + |\varphi^{*}B\varphi| >
0$ f\"ur $\varphi\not\geq 0$ gibt es allerdings immer eine definite
Linearverbindg.\quad Bew: 
$\left( 
\begin{array}{cc}
a & 1\\
1 & b
\end{array} \right)$, 
$\left( 
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & -1
\end{array} \right)$ \nl

\subsection*{Diffgl. mit nahezu gleichen Eigenl\"osungen}
\begin{flushright}
(Brief an Collatz 23. 9 . 43)
\end{flushright}
Sind in $a \leq x \leq b$\quad $y_{1}(x)$, $y_{2}(x)$ \quad 2 mal stetig diffbar
und $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$ zwei beliebige Zahlen, so gibt es $p$, $q$
stetig mit stetigem $p'$ und mit $p(x) \not= 0$ in $<a,\, b>$, derart dass
$(P\,Y'_{k})' + q\,y_{k} = \lambda_{k}\,J_{k}$ vorausgesetzt, dass 
$\left| 
\begin{array}{cc}
y_{1}\, y_{2}\\
y_{1}'\, y_{2}'
\end{array} \right| \not= 0$ in $<a,\, b>$. Sind
$\left\{ 
\begin{array}{ll}
\lambda_{k}\\
y_{K}
\end{array} \right.$ reell, \nl-auch $p$ und $q$.\\
Z.B. f\"ur $y_{1} \equiv 1$, $y_{2} = 1 + \frac{x}{m}$ wird $([m + x]^{2}y')' =
\lambda\,y$ mit $\lambda_{1} = 0$, $\lambda_{2} = 2$.\\
Als Randbedggen kann man nehmen: $y_{0}' = y_{1}'$; $y_{0} + y_{0}' = y_{1}$.\\
\\
\\
\subsection*{Bestimmung der EWn mit dem gr\"ossten Imagin\"arteil}
\begin{flushright}
(Titt beim Flattern hervor.)
\end{flushright}
Sei $\mathfrak{K}$ ein Integraloperator, $\alpha_{1}$ seine EWn mit dem
gr\"ossten Imagin\"arteil.\\
Dann ist $e^{-i\,\alpha_{1}t}$  die abs. Gr\"osste Wurzel von $e^{-i\,t,\,
\mathfrak{K}}$, $t > 0$ reell.\\
Es ist f\"ur $e^{-i\,t,\,\mathfrak{K}} f(x) = y(t,\, x)$: (1) $\dot{y} = -i\,
\mathfrak{K}\, y$, $y(0,\, x) = f(x)$.\\
Erf\"llt $f(x)$ die Randbedingungen wie $\mathfrak{K}$(z.B. $f = \mathfrak{K}\,
g$), so erf\"ullt sie auch $y(t,\, x)$ f. a. t.\\
Vermutlich haben dundd alle $Wu$ von $\mathfrak{K}$ negativen Imagin\"arteil,
wenn sie die L\"osg. von
\\
$\textbf{Seite 13}$\\
\\
(1) f\"ur $t \rightarrow \infty$ beschrkt ist, f\'ur jedes $f(x)$. $y$ gen\"ugt
der Dgl.\\
(2) $D\,\dot{y} = \nl$\quad, wenn $D\,\mathfrak{K}\, z$ \nl\\
\textbf{Graph}\\
\\
Dies ist eine Diffgl. 1. Ord. in $t$, im Gegensatz zur urspr\"ungl. Beweggsgl
$\ddot{y} = D\,y$!\\
F\"ur $\il{0}{\infty}\,e^{-p\,t}\, y(t,\, x)\,dt = Y(p,\, x) = \il{0}{\infty}
e^{-t(p + i\,\mathfrak{K})}f(x)\, dt$ wird aus (2)\\
(3) $\textbf{+} p\,D\, Y\,(p,\, x) \textbf{-} D\,f(x) = -i\,C\,Y$\qquad $[Y(0,\,
x) = \il{0}{\infty} y(t,\, x)\,dt.]$\\
und aus (1) \quad $+ p\,Y + i\, \mathfrak{K}\, Y = f(x)$\qquad \quad (4), also
$Y = \frac{1}{-p + i\,\mathfrak{K}}\, f$.\\
Es ist $\il{0}{\infty} e^{-p\,t}\,\dot{u}(t) dt =
e^{-p\,t}u(t)\,${\Large{$|$}}$^{^{\infty}}_{_{0}} +
p\,\il{0}{\infty}\,c^{-p\,t}\,u(t)\,dt = -u(0) + \il{0}{\infty}\,\nl$.\\
\\
\\
Das ist ein \underline{allgemeiner Umkehrformel}: Ist $\mathfrak{K}$ ein
Integraloperator, dessen \underline{Wurzeln} alle negativen
\underline{Realteil} haben, so ist\\
$\frac{1}{z - \mathfrak{K}} = \il{0}{\infty}\, e^{-t\,(z - \mathfrak{K})}dt$,
wenn $\cal{R}$$u\, z > 0$. Nur n\"otig: $\cal{R}$$u\, (z - K_{i}) > 0$ f. a.
\nl.\\
Allgemeiner: \underline{Mittag-Leffler-Sterne} untersuchen !
\subsection*{Existenz von EWen bei selbstadj. Aufgaben:} 
\begin{flushright}
(Fortsetzg. von S. 10 oben)
\end{flushright}
\underline{Ist 1) $\mathfrak{b} \underline{\underline{>}} 0$ und existiert f.
a. $\lambda \,\, \frac{1}{\mathfrak{A} + \lambda\, \mathfrak{b}}$,} so wird wie
auf S. 10 $(\mathfrak{A} + \lambda\, \mathfrak{b})^{-1\,\,\cdot}\,\,
\underline{\underline{<}}\,\, 0$,\\
f. $\lambda < 0 \qquad
\mathfrak{A}^{-1}\,\,\underline{\underline{<}}\,\, (\mathfrak{A} + \lambda\,
\mathfrak{b})^{-1}\qquad$ f. $\lambda < 0$; also\\
$(\mathfrak{A} + \lambda\,\mathfrak{b}) + \lambda\,(\mathfrak{b} + \lambda\,
\mathfrak{b}\, \mathfrak{A}^{-1}\mathfrak{b})\,\,\underline{\underline{<}}\,\,
\mathfrak{A} + \lambda\, \mathfrak{b} \,\,\underline{\underline{<}}\,\,
(\mathfrak{A} + \lambda\,\mathfrak{b}) + \lambda\,(\mathfrak{b} + \lambda\,
\mathfrak{b}\, \mathfrak{A}^{-1}\, \mathfrak{b})\quad \nl$\\
dh. \qquad $\mathfrak{b} + \lambda\, \mathfrak{b}\,\mathfrak{A}^{-1}
\mathfrak{b} \,\,\underline{\underline{>}}\,\,0$ f\"ur \underline{alle}
$\lambda$.\\
Daher $*$ $\underline{\mathfrak{b}\, \mathfrak{A}^{-1}\mathfrak{b} = 0}$;
\underline{also muss $\mathfrak{b}$ wenn Dimens. $\emptyset = \infty$ $\infty$
viele lin.}\\
unabh. L\"osungen von $\mathfrak{b}\,\varphi = 0$ besitzen, und
$\frac{1}{\mathfrak{A} + \lambda\, \mathfrak{b}} = \mathfrak{A}^{-1} - \lambda
\,  \mathfrak{A}^{-1}\, \mathfrak{b}\, \mathfrak{A}^{-1}$, Also $*$ \nl
\\
$\textbf{Seite 14}$\\
\\
2)
\begin{quote}
Ist $\mathfrak{A} \,\,\underline{\underline{>}}\,\,0$ und existiert f. a.
$\lambda\, (\mathfrak{A} + \lambda\, \mathfrak{b})^{-1}$, so ist $\mathfrak{b}
= 0$.\\
Bew.: $(\lambda\,(\mathfrak{A} + \lambda\,\mathfrak{b})^{-1})^{\cdot} =
(\mathfrak{A} + \lambda\,\mathfrak{b})^{-1} -
\lambda(\enspace)^{-1}\mathfrak{b}(\enspace)^{-1} =
(\enspace)^{-1}\mathfrak{A}(\enspace)^{-1}\,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$;
also w\"achst $\lambda\,(\mathfrak{A} + \lambda\,\mathfrak{b})^{-1}$ monoton;
f. $\lambda = 0 = 0$, also $(\mathfrak{A} + \lambda\,\mathfrak{b})^{-1}
\,\,\underline{\underline{>}}\,\,0$; $\mathfrak{A} + \lambda\,
\mathfrak{b}\,\,\underline{\underline{>}}\,\,  0$; $\mathfrak{b} = 0$. 
\end{quote}
3)
\begin{quote}
Ist $\dot{\mathfrak{K}}(\lambda) \,\,\underline{\underline{>}}\,\,  0$ und
existiert stets $\mathfrak{K}\,(\lambda)^{-1}$, so wird wie in 1)
$\mathfrak{K}_{1} + \lambda\, \mathfrak{K}_{1}\, \mathfrak{K}_{0}^{-1}\,
\mathfrak{K}_{1} \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$ wenn $\mathfrak{K} =
\mathfrak{K}_{0} + \lambda\,\mathfrak{K}_{1}$
\end{quote}
\subsection*{Eigenl\"osung abh\"angig von Parameter:}
$y'' + g(x,\, t)\,y = 0 \qquad y(0,\, t) = y(1,\, t) = 0$, $y(0,\, t) = 1$.\\
$\frac{\partial y}{\partial t} = \dot{y}$ gen\"ugt in $x$ der Dgl: 
$\left| 
\begin{array}{ccc}
\dot{y}'' + g\,\dot{y} & \dot{g} & 0\\
\dot{y}''' + (g\,\dot{y})' & \dot{g}' & \dot{g}\\
\dot{y}^{IV} + (g\,\dot{y})'' & \dot{g}'' - g\,\dot{g} & 2 \dot{g}'
\end{array} \right| = 0$ und 
$\left\{ 
\begin{array}{lll}
\dot{y}(t,\,0) = \dot{y}(t,\,0)\\
= \dot{y}''(t,\,0) = \dot{y}(0,\,1)\\
= \dot{y}''(t,\,1) = 0
\end{array} \right.$.
\subsection*{N\"ahrungsverfahren zur Bestimmung der beiden kleinsten Wn von $1
+a_{1}\,\lambda + a_{2}\,\lambda^{2} + a_{3}\,\lambda^{3} + \cdots$:}
a) $\lambda_{k}^{(1)}$: L\"osgen von $1 + a_{1}\,\lambda + a_{2}\,\lambda^{2} =
0$\\
b) $\lambda_{1}^{(2)}$: L\"osg. von $1 + a_{1}\,\lambda + a_{2}\,\lambda^{2} =
-a_{3}\,\lambda_{1}^{(1)^{3}} - a_{4}\,\lambda_{1}^{{\nl}^{4}}$\dots\quad,
\"ahnlich $\lambda_{2}^{(2)}$.\\
Dasselbe Verfahren auch f\"ur $1 + \frac{\wedge_{1}}{1!} + \frac{\wedge_{2}}{2!}
+ \dots = 0$\qquad, $\wedge_{\nu} = \wedge_{\nu}(\lambda)$ (wie II 70).\\
Wenn nicht gerade die  ersten Glied. \"uberwiegen, kann man dasselbe mit drei
aufeinander folgenden, \"uberwiegenden machen: $(\frac{a_{0}}{\lambda^{k}} +
\cdots) + \underline{a_{k} + a_{k + 1}\lambda + a_{k + 2}\lambda^{2}} + (\cdots)
\underline{= 0}$\\
\\
$\textbf{Seite 15}$\\
\\
\subsection*{Bezeichnung von Iterationsreihen $z =
\sl{0}{\infty}\mathfrak{K}^{\nu}\,y_{0}$}
geschieht wohl zweckm\"assig nicht so: $y_{n} = \mathfrak{K}_{n}\,y$, $z_{n} =
y_{0} + y_{1} + \cdots y_{n}$, sondern so: $z_{1} = \mathfrak{K}\,y_{0} +
y_{0}\quad z_{2} =  \mathfrak{K}\,z_{1} + z_{0}, \cdots,\, z_{n} =
\mathfrak{K}\,z_{n - 1} + y_{0}$. Denn 1) spart man Additionsarbeit, wenn
$y_{0}$ einfach, z.B. reell ist, und 2) rutscht ein etwa gemachter Reihenfehler
allm\"ahlich in die belanlosen h\"oheren Glieder weg; wenn $z_{n} \approx z_{n -
1}$, w\"ahrend beim ersten Verfahren aus $z_{n} \approx z$, w\"ahrend beim
ersten Verfahren aus "'$z_{n}$ klein"' noch nichts sicheres $z \approx y_{0} +
z_{1} + \cdots + z_{n}$ folgt.
\subsection*{$D(\lambda)$ f\'ur Stab mit ver\"and. Steifigkeit: $(\frac{1}{p}
y'')'' = \lambda\,g\,y$} 
\begin{flushright}
$y_{0} = y'_{0} = y''_{1} = y_{1}''' =$
\end{flushright}
Durch Betrachtg von $\Delta_{0\,1} =
\left| 
\begin{array}{ccc}
z_{2} & z_{3}\\
z'_{z} & z'_{3}
\end{array} \right|,\cdots,
\Delta_{1\,2} =
\left| 
\begin{array}{ccc}
z'_{2} & z'_{3}\\
\frac{1}{p}\,z''_{2} & \frac{1}{p}\,z''_{3}
\end{array} \right|$ usw. folgt wie auf  S. 9:\\
$D(x,\, \lambda) = 1 - 2\,\lambda\,I\,g \sl{0}{\infty}\,\{-2\,\lambda\}^
{\nu}\,\{I^{3}\,g\,I\,p + I^{3} p\, I\, g\}^{\nu} I^{3}\,p(\nl)$
$$D(\lambda) = D(1,\, \lambda)$$
F\"ur Torisionsgl. $\underline{(\frac{1}{p}\,y')' = \lambda\,g\, y}$, $y_{0} =
y_{1} = 0$ wird
$$D(x,\,\lambda) = \sl{0}{\infty}\,\{\lambda\,I\,p\,I\,g\}^{\nu} I\,p(x).$$
\underline{Sei die Matrix $\cal{M}$, $\dot{M} = \cal{A}\, \cal{M}$}, $\cal{A}$
bekannt. \underline{$D_{k}$ sei \nl $k$-te Def.-transf \dots} dann ist f\"ur
$\cal{N} = \cal{D}$$_{k}\, \cal{M}$: $\quad\underline{\dot{\cal{N}}} = L_{k} \cal{A} \cdot
\cal{N}$ mit $\cal{D}$$_{k}(1 + \delta\, \cal{A}) = 1 + \delta\,L_{k}\,\cal{A} +
\delta^{2}(\cdots)$.\\
Es ist $L_{k}(\cal{A} + \cal{B}) $$ = L_{k}\, \cal{A} $$ + L_{k}\, \cal{B}$; 
$L_{k} = 
\left( 
\begin{array}{cccc}
\alpha_{1}&&&\\
&\alpha_{2}&&\\
&&\ddots&\\
&&&\alpha_{n}
\end{array} \right) = 
\left( 
\begin{array}{ccc}
\alpha_{1} + \alpha_{2} + \cdots + \alpha_{k} & \\
& \alpha_{1} + \alpha_{2} + \cdots + \alpha_{k - 1} + \alpha_{k + 1}\\
&\hfill \cdots
\end{array} \right)$
\\
$\textbf{Seite 16}$\\
\\
\underline{Die Determinanten-Kerne eines Kerns ohne EW} sind nicht besonders
klein.\\
Beispiel: $K(x,\,\xi) = 
\left\{ 
\begin{array}{lll}
1 \quad \xi \leq x\\
0 \quad \xi > x
\end{array} \right. \qquad \mathfrak{K}\, \mathfrak{K}^{*} = mi,(x,\,\xi) = G$;
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$D_{n}\,K$
\end{tabular}^{2} = max\,Wn\, Dn\,K\,K^{*} = 
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$D_{n}\,G$
\end{tabular}$\\
\\
\\
In einem K\"orper der Charakterisitik $\not= 2$ ist \underline{jede Matrix $A$
das Produkt zweier symmetr. Matrizen}, von denen eine nicht singul\"ar ist.
Bew.: McDuffee S.59 34.5 zeigt: Es gibt $|A_{1}| \not= $ sym. und $A_{2} =$
symm. so dass mit geeigneten \nl\\
$E = P\,A_{1}\,Q$, $A = P\,A_{2}\,Q$. Gibt $\{Q'A_{1}Q\}^{-1} \cdot Q'A{2}\,Q =
A$.\\
Folge: Jede EW-Gleichung (1) $(A - \lambda\,E)\,\varphi = 0$ verwandelt sich
durch \nl von links mit einer symmetr. Matrix $S$ mit $|S| \not= 0$ in eine
symm:\\
(1) $(S\,A - \lambda\,S)\,\varphi = 0$, wobei $(S\, A)' = (S\,A)$.\\
\underline{Also ist jede reelle EEW Gl. (1) einer reellen symmetr. (2)
gleichwertig,}\\
\underline{die dieselben EWe und EVekttoren hat}; die letzteren k\"onnen also
keine Besonderh. haben.\\
\\
\\
\underline{Aufgabe:} Elementarteilertheorie der beschr\"ankten lin Transf. des
Hilbertschen Raums, oder wenigstens der vollstetigen. - Kamka
\\
$\textbf{Seite 17}$\\
\\
Entwicklungss\"atze bei selbstadj: Afg. durch Verwendung von Systemen erweitern
auf Fkt., die nicht so oft diffbar sind.\\
\\
\\
\\
\underline{Ist $\mathfrak{K}\,(\lambda)$ ein vollstetiger Operator}, regul\"ar
von $\lambda$ abh\"angig in $|\lambda - \lambda_{0}| < r$, \underline{so ist
$\lambda_{0}$ kein HP von EWen}, ausser wenn jedes $\lambda$ EW ist.\\
Bew:
\begin{quote}
$(1 - \mathfrak{K}(\lambda))\, y = 0 \rightarrow$ mit $E =$ endl. Rg, 
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$L(\lambda)$
\end{tabular} = 
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$\mathfrak{K}(\lambda) - E$
\end{tabular} < 
\frac{1}{2}$ f\"ur $|\lambda - \lambda_{0}| < \varepsilon$,\\
$(1 - E - L)\,y = 0 \rightarrow (1 - E - L)\, (1 + L + L^{2} + \cdots)\,[(1 -
L)\, y] = 0$\\
$\rightarrow \,\,\qquad\quad(1 - \underbrace{E\,(1 + L + L^{2} +} \cdots))\,z = 0$\\
daher muss $det|1 - E\,(\,\,)|$, da ja $E(\cdots)$ den ganzen Raum in einen
festen, von $\lambda$ unabhgigen Teilraum, f\"ur $(\lambda - \lambda_{0}| <
\varepsilon$ regul\"ar, abbildet, entweder eine identisch verschwindende Det. in
diesem Teilraum haben, oder eine mit endl. vielen Nullstellen bei $\lambda =
\lambda_{0}$. Das erstere muss eintreten z.B. f\"ur $\mathfrak{K}(\lambda) = (1
- \vee\,(\lambda))^{-1}\mathfrak{K}_{0}(1 - \vee)$ wobei $1 - \vee\,(\lambda)$
f\"ur alle $\lambda$ invertierbar ist und $(1 - \mathfrak{K}_{0})\, y_{0} = 0$.
\end{quote}
\underline{Der Haupteil} von $A = 
\left( 
\begin{array}{cccc}
a & 0\\
c & d
\end{array} \right)$ ist $H_{a} = a \cdot 
\left( 
\begin{array}{cccc}
1 & 0\\
\frac{c}{a - d} & 0
\end{array} \right)$, \\
$H_{d} = d \cdot 
\left( 
\begin{array}{cccc}
0 & 0\\
\frac{c}{d - a} & 1
\end{array} \right)$ kann also beliebig gross sein bei beschr\'anktem $A$. Vgl.
Hell. \nl, 1572. Aber dann m\"ussen die Wurzeln benachbart sein. Bei Greenschen
Fktronen geht das vielleicht nicht.
\\
$\textbf{Seite 18}$\\
\\
F\"ur \underline{\"Ahnlichkeit beschrkter Operatoren}  verm\"oge beschr\"ankter,
beschr\"ankt invertierbar Transformatoren ist notwendig: F\"ur jedes Polynom
$p(x)$ ist 
$$ c\,\,
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$p\,(B)$
\end{tabular} \leq 
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$p(A)$
\end{tabular} \leq 
b\,\,
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$p(B)$
\end{tabular}$$
mit zwei von $p$ unabhgigen Konstanten $c,\, b$. Das gleiche muss f\"ur
Integrale gelten, z.B auch f\"ur die Haupt-Idempotente.\qquad vgl. auch S.7\\
\\
\\
\\ 
\subsection*{Selbstadj: Aufgaben mit fast gleichen Eigenfunktionen:}
\begin{flushright}
(Semidefiniter Diff-Ausdruck):
\end{flushright}
$y'' = \lambda\, g\, y$, \underline{Periodizit\"at}: $y_{1} = 1$, $\lambda_{1} =
0$; $y_{2} = 1 + \varepsilon\,mix$, $\lambda_{2} = 1$, $g(x) =
\frac{y^{2^{''}}}{y_{2}}$\\
Indefinit: $y'' + y = \lambda\, g\, y$; $y_{1} = sin\,x$; $y_{2} = sin\,x +
\varepsilon\, sin\,2x$; 
$g = \frac{\varepsilon\,cos\,x}{1 + 2\, \varepsilon\, cos\, x}$\\
\\
\\
\subsection*{Lineare Eigenwertaufgaben} sind eigentlich gew\"ohnliche bilineare
Aufgaben: $(\lambda_{1}\mathfrak{A}_{1} + \lambda_{2}\mathfrak{A}_{2})\,y = 0$
als Aufgabe f\"ur $y$ und $\{\lambda_{1},\, \lambda_{2}\}$ auffassen.
-Quadratische Aufgaben sind durch Systembildg. manchmal auf lineare
zur\"uckzuf\"uhren, in beiden Unbekannten.
\\
$\textbf{Seite 19}$\\
\\
\underline{$y'' = \lambda\, x^{p - 2}y$, $y(0) = y(1) = 0$} mit $x^{\rho} =
e^{\rho^{log\, x}}$, $Ru\, \rho > 2$, hat\\
\nl $D(\lambda) = \sl{0}{\infty}\,\lambda^{\nu} \frac{1}{\rho\,(1 + \rho)}
\cdot \frac{1}{2\rho\,(1 + 2\rho)} \cdots \frac{1}{\nu\,\rho\,(1 + \nu\,\rho)}$;
$D(x,\, \lambda) =$ \nl\\
Es ist $\lambda\,\rho^{2}\, \ddot{D} + (\rho^{2} + \rho)\, \dot{D} - D = 0$,
also hat $D\,(\lambda)$ nur einfache Nullstellen.\\
Aber bei Matrizen geben manche pos-def.-Diag.-Aufgaben doppelte Nullstellen,
z.B. hat
$\left( 
\begin{array}{cccc}
2 & 1\\
1 & 1
\end{array} \right)\,
\left( 
\begin{array}{cccc}
\frac{1 + i}{2} & \\
& 1 - i
\end{array} \right)$ den EW 1 doppelt.\\
Daf\"ur, dass $y'' = \lambda\,g\, y$, $y_{0} = y_{1} = 0$ eine HL $h$ der Stufe
2 hat, ist mit~$g = e^{-\eta}$ \\
notw. $\phi$ hinr.: $\eta'' h'' + \eta'^{2}h'' + 2\,\eta'\,h''' + h^{IV} - 2\,
e^{-\eta}h'' - h\, e^{-2\,\eta} = 0$, $h_{0,\,1} = h''_{0,\, 1} = 0$\\
\\
\\
Bei der Aufgabe \underline{$y'' = \lambda\, sin\,x \cdot y$, $y_{0} = y_{\pi}$,
$y'_{0} = y'_{\pi}$} muss der EW $\lambda = 0$ doppelt gez\"ahlt werden (dh. die
Def. der HL \nl gemacht werden); denn die Nachbaraufgabe $y'' =
\lambda\,\frac{sin\,x}{1 + \varepsilon\,x} \cdot y$ hat die L\"osgen $y_{1} =
1$, $\lambda_{1} = 0$; $y_{2} = 1 + \varepsilon\, sin\,x$, $\lambda_{2} = -
\varepsilon$. Also muss wohl $h = sin\,x$ HL sein ?!\quad $h'' - o\,g\,h =
-sin\,x = g \cdot 1$, $1 = $EL. Stimmt\\
\\
\\
\underline{Konstruktion von Beispielen} nicht selbstadj. Diffgl.-Aufgaben:\\
Die L\"osung $p$, $q$ von $(p\,y_{1}')' + q\,y_{1} = z_{1}$, $(p\,y_{2}') +
q\,y_{2} = z_{2}$ ist \\
$p \cdot 
\left| 
\begin{array}{cc}
y_{1} & y_{2}\\
y_{1}' & y_{2}'
\end{array} \right| = 
\il{0}{x}\,
\left| 
\begin{array}{cc}
y_{1} & y_{2}\\
z_{1} & z_{2}
\end{array} \right| + \mathfrak{b}$; $q \cdot 
\left|
\begin{array}{cc}
y_{1} & y_{2}\\
y_{1}' & y_{2}'
\end{array} \right| = 
\left|
\begin{array}{cc}
y_{1}' & y_{2}'\\
p\,y_{1}'' - z_{1} & p\,y_{2}'' - z_{2} 
\end{array} \right|$.\\
\\
$\textbf{Seite 20}$\\
\\
So ist $y_{1} = e^{i\,x}$, $y_{2} = e^{i\,x} + \varepsilon\, e^{2i\,x}$
L\"osungen von $$\{(\frac{2 - 17K}{3} + \frac{1 - K}{\varepsilon}\, e^{-ix})\,
y_{i}'\}' + \frac{8 - 17K}{3}\, y_{i} = 
\left\{ 
\begin{array}{cc}
1\\
k
\end{array} \right\}\,(y_{i}^{IV} + y_{i}).$$
Daher hat die bei reellen $g(x)$ mit $g(2\pi) = g(0)$ selbstadjungierte Aufgabe
mit \underline{mit definiter linker Seite} $y^{IV} + y = \lambda\,(g\,y')'$, $y$
periodisch $i \sim
(0,\, 2\pi)$ die \nl L\"osungen $y_{1},\, y_{2}$ zu
$\lambda_{1} = \frac{1}{17}$, $\lambda_{2} = \frac{1}{8}$, wenn man $g(x) =
\frac{9}{\varepsilon}\,e^{-i\,x} - 34$ w\"ahlt. \\
Beispiel einer \underline{Hauptl\"osung} zum Exp. $r = 2$: \qquad
$\mathfrak{A}_{y} = \lambda\, \mathfrak{b}\, y$: \\
$y^{IV} + y = \lambda\,[\{(e^{-ix} - 5)\,y'\} - 3\, y]$, $y$ periodisch $i \sim
(0,\, 2\pi)$ hat zu $\lambda = 1$ die Eigenfkt. $e = e^{ix}$ und die HF $h =
e^{2\,i\,x}$, $(\mathfrak{A} - \lambda\, \mathfrak{b})\, h = \mathfrak{A}\,
e$.\\
\\
\underline{Bauteild\"ampfung erh\"oht} die kritische Geschwindigkeit
gew\"ohnlich um 5 - 10 \nl \\
(Borkmann, Zbl f. Mechanik \underline{12} (1943), 124).\\
\\
\\
\underline{Bei Operatorgleichungen} sollte man ein besonders Zeichen f\"ur
\underline{Spezialisierung des Arguments} einf\"uhren: z.B.
$_{_{x_{0}}}${\Large{$|$}}$_{_{x}}\, f(x) = f(x_{0})$. Dann w\"are $f''(x_{1}) =
\frac{d^{2}}{dx^{2}}\,f(x)$. Wird das Argument  der Operatoren in einer
Gleichung fortgelassen, so sollte man statt $ = $ schreiben $ \equiv $ , umz.B.
Missverst\"andnisse zwischen dem Operator $\mathfrak{K}\, g = \il{}{}
K(x,\,\xi)\,g(\xi)\, y(\xi)\, d\,\xi$ und der Funktion $\mathfrak{K}\, g =
\il{}{} K(x\,\xi)\, g(\xi)\,d\xi$ zu vermeiden.\\
\\
$\textbf{Seite 21}$\\
\\
\subsection*{Futtergl. f\"ur kovalente Baugr\"ossen:}
Die EF ist Linearverbdg. von 6 Exponentialfkten deren Exponenten $\xi$ sich aus
$(\xi^{4}  - \alpha\,\lambda)\, (\xi^{2} - \delta\, \lambda) =
\lambda^{2}\beta\, gamma$ bestimmen; \nl $\xi^{2} = p\,\eta + q$ wird
$$\eta^{3} + \frac{3q - \lambda\,\delta}{p}\,\eta^{2} + \frac{q^{2} -
\alpha\,\lambda + 2q\,(q - \delta\,\lambda)}{p^{2}}\,\eta + \frac{(q -
\delta\,\lambda)\, (q^{2} - \alpha) - \lambda^{2}\beta\,\gamma}{p^{3}} = 0$$
was man durch passende Wahl von $p,\, q$ auf die einparamatrige, zur
monographischen L\'osung geeignete Form $\eta^{3} + \eta + t = 0$ bringen kann.
Dabei Dgl $\rightarrow f^{(6)} + f{(2)} + t\, f = 0$.\\
\\
\\
Zur \underline{L\"osung quadratischer Gleichungen} mit komplexen Koeffizienten
gen\"ugt eine Darstellung von $z = w^{2}$\quad ($z = $ Ort, $w  = $
ausgeschriebenen Wert).\\
\\
\\
Um eine schnelle Frequenzbestimmung beim System der Flattergl. durchzuf\"uhren
nach Art von \underline{Hohenemser Prager}, m\"u\ss te  man wohl ein
Fundamentalsystem von 6 L\"osgen haben, welche in Wirklichkeit nicht von $x$ und
$\lambda$, sondern von nur einer Fkt. $h(x,\,\lambda)$ abh\"angen, und es
m\"ussten nur zwei rehte Randbedggen sein.\\
\\
\\
\underline{Berechunug von $D(\lambda)$ f\"ur $y'' = \lambda\,(1 = \alpha\,x)\,
y$} \qquad $y(0) = y(1) = 0$\\
Ein Fund. -syst. bilden 
$\left\{ 
\begin{array}{ccc}
y_{1} = 1 + \frac{\lambda}{\alpha^{2}}\, \frac{(1 + \alpha x)^{3}}{2 \cdot 3} +
\frac{\lambda^{2}}{\alpha^{4}}\, \frac{(1 + \alpha x)^{6}}{2 \cdot 3 \cdot 5
\cdot 6} + \frac{\lambda^{3}}{\alpha^{6}}\, \frac{(1 + \alpha x)^{9}}{2 \cdot 3 \cdot 5
\cdot 6 \cdot 8 \cdot 9}  +  \cdots\\
\\
y_{2} = (1 + \alpha x) + \frac{\lambda}{\alpha^{2}}\, \frac{(1 + \alpha
x)^{4}}{3 \cdot 4} + \frac{\lambda^{2}}{\alpha^{4}}\, \frac{(1 + \alpha
x)^{7}}{3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7} + \cdots
\end{array} \right.$
\\
$\textbf{Seite 22}$\\
\\
Daher mit 
$\left\{ 
\begin{array}{ccc}
\gamma = 1 + \alpha\\
\lambda = \alpha^{2}\,\mu
\end{array} \right.$: $\alpha\, D(\lambda) = 
 \left|
\begin{array}{ccc}
1 + \frac{\mu}{2 \cdot 3} + \frac{\mu^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6} + \cdots &
1 + \frac{\mu \, \gamma^{3}}{2 \cdot 3} + \frac{\mu^{2}\, \gamma^{6}}{2 \cdot 3
\cdot 5 \cdot 6} + \cdots\\
\\
1 + \frac{\mu}{3 \cdot 4} + \frac{\mu^{2}}{3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7} + \cdots &
\gamma + \frac{\mu \, \gamma^{4}}{3 \cdot 4} + \frac{\mu^{2}\, \gamma^{7}}{3
\cdot 4 \cdot 6 \cdot 7} + \cdots
\end{array} \right|$\\
Setzt man $q(\mu) = $ {\Large{$\frac{1 + \frac{\mu}{2 \cdot 3} + \frac{\mu^{2}}{2 \cdot 3
\cdot 5 \cdot 6} + \cdots}{1 + \frac{\mu}{3 \cdot 4} + \frac{\mu^{2}}{3 \cdot 4
\cdot 6 \cdot 7} + \cdots} $}}, so sind die Eigen -$\mu$ \quad $n$ bestimmen aus
$q(\gamma^{3}\, \mu) = \gamma\, q\,(\mu)$. Das muss monographisch gehen.
$^{*}$\\
Bei der Randbedgg. $y(0) = y(1) = 0$ lautet die Gleichung\\
$p(\gamma^{3}\, \mu) = \gamma\, q(\mu)$ mit $p(\xi) = $ {\Large{$\frac{\frac{1}{2}\,\xi +
\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 5}\,\xi^{2} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6 \cdot
8}\,\xi^{3} + \cdots}{1 + \frac{1}{3}\,\xi + \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 6}\,\xi^{2} +
\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 9}\,\xi^{3} + \cdots}$}}\\
Nach Kamke C 2 $\cdot$ 136 (10) ist
$$1 + \frac{\mu}{3 \cdot 4} + \frac{\mu^{2}}{3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7} + \cdots
= I_{\frac{1}{3}}(\frac{2}{3}\,(-\mu)^{\frac{1}{2}}) \cdot P(\frac{4}{3})\,
(-\mu)^{-\frac{1}{6}} \cdot (\frac{1}{3})^{-\frac{1}{3}}$$
$$1 + \frac{\mu}{2 \cdot 3} + \frac{\mu^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6} + \cdots
= I_{-\frac{1}{3}}(\frac{2}{3}\,(-\mu)^{\frac{1}{2}}) \cdot P(\frac{2}{3})\,
(-\mu)^{\frac{1}{6}} \cdot (\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}}$$
mit Besselfkt., \nl die Nullstellen $\lambda$ von $D(\lambda)$ bestimmt werden
k\"onnen aus $\lambda = -\alpha^{2} \cdot \frac{9}{4}\,K^{2}$, 
$\left| 
\begin{array}{cc}
I_{-\frac{1}{3}}\,(K) & I_{-\frac{1}{3}}\,(\gamma^{\frac{3}{2}}\,K)\\
I_{\frac{1}{3}}\,(K) & \gamma\, I_{\frac{1}{3}}\,(\gamma^{\frac{3}{2}}\,K)
\end{array} \right| = 0$ \\
$^{*}$ Durch logarithmen von Fktion und Argument macht man daraus vielleicht
bequemer eine additive Funktionalgleichung.\\
\\
\\
\underline{Die Auslenkung beim Fl\"ugelflattern m\"ussen als r\"aumliche Kurven}
dargestellt werden: unabh. var. reell, abh. komplex.\\
\\
$\textbf{Seite 23}$\\
\\
\subsection*{Allgemeine selbstadj. Aufgaben.}
Seien $Y$, $\mathfrak{Y}$ zwei R\"aume, $\mathfrak{A}\, Y = \mathfrak{Y}$,
$\mathfrak{A}\, \mathfrak{A}^{-1} = \mathfrak{A}^{-1}\, \mathfrak{A} = 1$,
$\mathfrak{b}\, Y \subset \mathfrak{Y}$.\\
Die Aufgabe $\mathfrak{A}\, y = \lambda\, \mathfrak{b} \, y$ heisst
selbstadjungiert, wenn es ein inneres Produkt $[y,\, z] = \overline{[z,\, y]}$
gibt, derart dass\\
1) $[y,\, y] > 0$ f\"ur $y \not= 0$ und 2) $[\mathfrak{A}^{1}\mathfrak{b},\,z] =
[y,\, \mathfrak{A}^{1}b\,z]$\quad \nl \\
Inbesondere ist die Aufgabe dann selbstadj, wenn es in $\mathfrak{Y}$ ein
inneres (nicht notw. definites) Produkt $\{y,\, \mathfrak{z}\} =
\overline{\{\mathfrak{z} ,\, y\}}$ und eine Abbildg $\alpha\, Y \subset
\mathfrak{Y}$ gibt, derart dass\\
1) $\{\mathfrak{A}\,y,\, \alpha_{\mathfrak{z}}\} = \{\mathfrak{K}\,y,\,
\mathfrak{A}\,\mathfrak{z}\}$ \qquad 2) $\{\mathfrak{b}\,y,\,
\alpha\,\mathfrak{z}\} = \{\alpha\,y,\, \mathfrak{b}\,z\}$\\
3) mit passenden $p$, $q$ (reell) $[y,\, z] = p\{\mathfrak{A}\,y,\,
\alpha\,z\} + q\{\mathfrak{b}\,y,\, \alpha\,z\} > 0$,
wenn $z = y \not= 0$.\\
4) Aus $\{y,\,\alpha\,z\} = 0$\quad f. a. $z$ \quad folgt $y = 0$.\\
Es ist n\"amlich $[z,\, y] = p\{\mathfrak{A}\,z,\, \alpha\,y\} +
q\{\mathfrak{b}\,z,\, \alpha\,y\}$\\
\begin{quote}
nach (1), (2) = $p\,\{\alpha\,z,\, \mathfrak{A}\,y\} + q\,\{\alpha\, z,\,
\mathfrak{b}\, y\} = \overline{c\,y_{1} + I}$,\\
sowie $[\mathfrak{A}^{-1}\, \mathfrak{b}\,y,\, z] = p\{\mathfrak{b}\,y,\,
\alpha\,z\} + q\{\mathfrak{b}\, \mathfrak{A}^{-1}\mathfrak{b}\,y,\,
\alpha\,z\}$\\
$= p \{\alpha\, y,\, \mathfrak{b}\,z\} + q\,\{\alpha\,
\mathfrak{A}^{-1}\mathfrak{b}\,y_{1}\,\nl\,
\mathfrak{A}\,\mathfrak{A}^{-1}\mathfrak{b}\,z\}$\\
$= p\,\{\alpha\,y\, \mathfrak{A}\,\mathfrak{A}^{-1},\, \mathfrak{b}\,z\} +
q\,\{\mathfrak{b}\,y,\, \alpha\, \mathfrak{A}^{-1}\mathfrak{b}\,z\}\\
= p\,\{\mathfrak{A}\,y,\,\alpha\, \mathfrak{A}^{-1}\, \mathfrak{b}\,z\} +
q\,\{\mathfrak{b}\,y,\,\alpha\, \mathfrak{A}^{-1}\, \mathfrak{b}\,z\} = [y,\,
\mathfrak{A}^{-1}\,\mathfrak{b}\,z]$.
\end{quote}
Beispiel: $-y'' = \lambda\,y$, $y(0) = 0$, $y'(1) = \lambda\,(y(1)$.\\
W\"ahle $\mathfrak{A} = 
\left( 
\begin{array}{cc}
-y''(x)\\
y'(1)
\end{array} \right)$, 
$\mathfrak{b} = 
\left( 
\begin{array}{cc}
y(x)\\
y(1)
\end{array} \right)$
, $Y(0) = 0$. (Alles reell)\\
Mit $\alpha = 
\left( 
\begin{array}{cc}
y(x)\\
y(1)
\end{array} \right) = b$ und $\{
\left( 
\begin{array}{cc}
u\\
c
\end{array} \right),
\left( 
\begin{array}{cc}
u\\
d
\end{array} \right)\} = \int u\, v + c\, d$ wird\\
$[y,\, z] = p\,\{\nl\, \int -y''z + y'(1)\,z(1)\} + \{\int y\, z + y(1)\,z(1)\}$
definit f\"ur $p \geq 0$, $q \geq 0$;\\
denn $= p\,\int\,y'z + q \{\int\,y\,z + y(1)\,z(1)\}$  
\\
$\textbf{Seite 24}$\\
\\
\subsection*{Einfangen von EWen bei allgemeinen selbstadj. Aufgaben}
\begin{flushright}
(\nl 23)
\end{flushright}
Ist die Metrik $[y,\,y] > 0$ f\"ur $y \not= 0$, so liegt zwischen 0 und
$\bigwedge$ sicher ein $y$ beteiligten EW, falls\\
$[Y_{0},\, (1  - \wedge\,
\mathfrak{A}^{-1}\mathfrak{b})\,y_{0}]\,\,\underline{\underline{<}}\,\,0$.\\
Ist die Medik semidefinit, also $[y,\, Y]\,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$,
so ist f\"ur Existenz eines an $y$ bed. EW zwischen 0 und $\wedge$
hinreichend:\\
$$[y,\, (1 - \wedge \,\mathfrak{A}^{-1}\mathfrak{b})\,y] < 0.$$
Bei definiter Metrik $p\,\{\mathfrak{A}\,y,\, \alpha\, y\} +
q\,\{\mathfrak{b}\,y,\, \alpha\,y\} > 0$ liegt also zwischen  0 und 
$\frac{p\{\mathfrak{A}\,y,\, \alpha\,y\} + q\,\{\mathfrak{b}\,y,\,
\alpha\,y\}}{p\{\mathfrak{b}\,y,\, \alpha\,y\} + q\,
\{\mathfrak{b}\,\mathfrak{A}^{-1}\mathfrak{b}\,y_{1}\alpha\,y\}}$ ein an $y$
beteil. EW. Ist inbesondere $\mathfrak{A}$ definit, so dass man $p = 1$, $q = 0$
w\"ahlen kann, so liegt zwischen 0 und $\cal{R}$$ = \frac{\{\mathfrak{A}\,y,\,
\alpha\, y\}}{\{\mathfrak{b}\,y,\, \alpha\,y\}}$ ein EW, sofern
$\{\mathfrak{b}\,y,\,\alpha\,y\} \not= 0$.\\
Beispiel: F\"ur $-y'' = \lambda\,y$, $y(0) = 0$, $y'(1) = \lambda\, y\,(1)$ ist
$\cal{R}$$ = \frac{\{\mathfrak{A}\,y,\,
\alpha\,y\}}{\{\mathfrak{b}\,y,\,\alpha\, y}\}$ sind genau die EWe, aber Min
braucht nicht ang. zu werden.\\
Die Bedgg der Stationarit\"at lautet: $\{\alpha\,\delta\,y,\, \alpha\,y\} +
\{\mathfrak{A}\,y,\, \alpha\,\delta\, y\} = \cal{R}$$_{\textnormal{stat}}
[\{\mathfrak{b}\,\delta\,y,\, \alpha\,y\} + \{\mathfrak{b}\,y,\,
\alpha\,\delta\,y\}]$ und wegen Realit\"at $\{\mathfrak{A}\,y -
\cal{R}$$_{\textnormal{stat}}\,\mathfrak{b}\,y,\, \alpha\,\delta\,y\} = 0$\quad
$\mathfrak{A}\,y = \lambda\, \mathfrak{b}\,y$, $\lambda =
\cal{R}$$_{\textnormal{stat}}$.\\
Beispiel: $Y$ \underline{alle} Fkt, $\cal{R}$$ = \frac{\int\,y'^{2} = 2 y\, y'
\nl}{\int y^{2}}$ f\"ur $-y'' = \lambda\, y$, $y(0) = y(1) = 0$.\\
\\
\underline{Frage: Erzeugende Funktionen f\"ur die Iterierten} einer
Diffgl.-EW-Aufgabe nach Analogie der erzeugenden Funktion der Bernoulli-Polynome
?
\\
$\textbf{Seite 25}$\\
\\
Setzt man auf S. 24 $\alpha = 
\left( 
\begin{array}{cc}
y(x)\\
C\,\mathfrak{w}\, y
\end{array} \right)$ mit $C = 
\left( 
\begin{array}{cc}
c_{11} \cdots c_{1\,4 m}\\
c_{2m1} \cdots c_{m\,4\,m}
\end{array} \right)$, $\mathfrak{w}\, y = 
\left( 
\begin{array}{ccccc}
y(0)\\
y'(0)\\
\vdots\\
y^{2m}(l)
\end{array} \right)$
wenn $\mathfrak{A}$ selbstadj Diff aus dem $k$ der Ord
$2m$, $\mathfrak{b}$ der Ord $2n < 2m$:\\
so ist \underline{f\"ur Selbstadjungiertheit der Aufgabe notwendig}
$$D_{a} + A'C \qquad \textnormal{hermitesch}$$
$$D_{b} + B'C \qquad \textnormal{hermitesch}$$
worin $D_{a}$ den \nl Restteil von $ \mathfrak{A} $ angibt:
\begin{quote}
$\int \,z\,a\,y = $ symmetr. Integrale $+ \mathfrak{y}'D_{a}\, \mathfrak{z}$
\end{quote}
\subsection*{Zur Einfangmethode bei allgemeinen selbstadj. EWaufgaben:}
Zwischen 0 und $\cal{R}$$[u_{0}]$ liegt ein EW, wenn $[y,\, \mathfrak{A} \,y] > 0$ f\"ur alle $y$ der speziellen Gestalt* $y = u_{0} + \mathfrak{A}^{-1} \mathfrak{b}\,z$, $z$ beliebig $c$ Abg. H\"ulle von \nl $u_{0}$. Denn $[\,\, ] > 0$ wird nur f\"ur die $y = (1 - \lambda\, \mathfrak{A}^{-1} \,   \mathfrak{b} )^{-1}(1 - \cal{R}$$[u_{0}]\, \mathfrak{A}^{-1}\,  \mathfrak{b} )\,u_{0}$ gebraucht.\\
Ist klar: man braucht $a$ und $b$ nur auf diese abgeschlossene H\"ulle einzuschr\"anken.\\
und den Satz von S.24 anzuwenden.\qquad dh. ungef\"ahr alle $y = p(\mathfrak{A}^{-1} \, \mathfrak{b} )\,u_{0}$, $p =$ Polynom.
\subsection*{Theorie von Beiss (Kamke B \nl 2, 6 $\cdot$ 5).}
Bliss betrachtet Aufgaben (1) $ \dot{ \mathfrak{y} } = (A + \lambda\,B)\, \mathfrak{y} $, (2) $R_{0}\,    \mathfrak{y}_{0} + R_{1}\, \mathfrak{y}_{1} = 0$. \\
Es setzt voraus, da\ss$\enspace$es eine Matrix $T = (T_{\alpha\,\beta}(x))$ gibt, die die L\"osungen der Aufgabe (1) in die
\\
$\textbf{Seite 26}$\\
\\
der adjungierten Aufgabe (1*) \qquad $-\dot{ \mathfrak{w} } = (A^{*} + \lambda\,B^{*})\, \mathfrak{w}$, $(2^{*})\,S_{0}\, \mathfrak{w}_{0} + S_{1}\, \mathfrak{w}_{1} = 0$ \"uberf\"uhrt und zugleich die L\"osungen von (2) in die von $(2^{*})$: $T$ f\"uhrt der Raum $Y$ mit $R_{0}\,Y_{0} + R_{1}\,Y_{1} = 0$ \"uber in den adjungierten. Es ist $S_{0},\, S_{1}$ die bis auf einen Linksfaktor $P$ mit $|P| \not= $ eindeutig bestimmte L\"osung von 
$$R_{0}\, S_{0}^{*} - R_{1}\, S_{1}^{*} = 0,\,\, Rg\,(S_{0}\,S_{1} = AL.$$ 
Bliss nennt die Aufgabe definitiv selbst., wenn au\ss erdem $T\,B = (T\,B)^{*}$ und $\underline{\underline{>}}$ positiv definit ist und $> 0$ f\"ur alle L\"osgen $\mathfrak{y}$ von $\dot{Y} - A\,y = B\, \mathfrak{z} $.\\
Einordnung in die Theorie von S.23: Setzt man $ \mathfrak{A}\,y = i\,\dot{y} + i\,A\,y$, $\mathfrak{b} 0 i\,B\,y$, so besagt die Voraussetzg der verallg. Selbstadjungiertheit:\\
$( \mathfrak{A}_{y},\,I_{z}) = (y,\,I\, \mathfrak{A} \,z)$ mit $(y,\, \mathfrak{z}) = \il{b}{a} (\sl{}{} \overline{y}_{i}(x)\,z_{i}(x)\,dx)$ mit $I\,y = -i\,T\,y$ und $( \mathfrak{b}\, y,\,I\, \mathfrak{z} ) = (7\,y,\, \mathfrak{b} \,\mathfrak{z}) = (y,\, I\, \mathfrak{b} \, \mathfrak{z})$.\\
Nun setzte $\{y,\, \mathfrak{z} \} = (y,\, I\, \mathfrak{z})$. Es ist $I\,  \mathfrak{b} $ herm. und $> 0$, denn $= T\, B$.\\
Hier ist $Y$ der Raum der stet . diffbaren Vektoren mit (2), und $Y$ der Raum der stetigen Vektoren, $\nl$ = Identit\"at.\\
\nl
\subsection*{Masse f\"ur die G\"ute einer $\lambda$-N\"aherung:}
$\left| 
\begin{array}{ccccc}
\frac{D(\lambda)}{\dot{D}\,(\lambda)}
\end{array} \right|$ = Rohmanns f\"ur die absoluten Fehler (nach Newton; oder $\frac{\dot{D}}{D} =~\varepsilon \frac{1}{\lambda - \lambda_{r}})\\
\left|
\begin{array}{ccccc}
\frac{D(\lambda)}{\lambda\,\dot{D}\,(\lambda)}
\end{array} \right| =$ Rohmanns f\"ur die relativen Fehler \qquad \nl\\
\\
$\textbf{Seite 27}$\\
\\
\subsection*{Zur Existenz von EWen bei $y'' = \lambda\,g\,y$, $y_{0} = y_{1} = 0$}
Es gibt dund EWe, wenn es einen nicht verschwindendnen Koeff. $d_{n}$ f\"ur $n = 1$ von $L(\lambda)$ gibt. Es ist (nach II 67) $d_{n} = \int\,^{^{1}}_{_{0}}\,\int x_{1}\,(x_{2} - x_{1}) \,^{+}\, \,(x_{3} - x_{2})\,^{+} \dots (x_{n} - x_{nm}) \,^{+}\,(1 - x_{n})\, g(x_{1}) \cdots  g(x_{n})\,dx,\, \cdots dx_{n} =  \int\,^{^{1}}_{_{0}}\,\int [x_{1},\cdots,\, x_{n}]\, g(x) \cdots g(x_{n})\,dx_{1}\cdots dx_{n}$.\\
Besitzt also $g$ keine EWe, so ist $ g(x_{1}) \cdots  g(x_{n}) = \,\nl\, (x_{1} \cdots x_{n})$ orthogonal zu $[x_{1}] \cdot  f\,( x_{2} ,\cdots,\, x_{n})$, $[x_{1},\, x_{2}]\,G( x_{3},\cdots,\, x_{n})$, $\cdots$, $[x_{1},\cdots,x_{n}]$ und Permutierten.\\
F\"ur $n = 1$ folgt so: Wenn $g$ reell $\geq 0$ gibt es EWe\\
F\"ur $n = 2$ folgt so: Wenn $g$ reell und nur einmal das Zeichen wechselt, gibt es EWe.\\
\\
\\
Es ist \underline{$\frac{D(\lambda) - D(\mu)}{\lambda - \mu} = \il{0}{1} z(\mu,\, x)\, g(x)\, y(\lambda,\,x)\, dx$}, wenn $y'' = \lambda\,g(x)\,y$, $z'' = \mu\, g\, z$; $y(0) = z(1) = 0$, $y'(0) = z'(1) = 1$.\\
\\
\\
\underline{Tschebyscheffs Ungleichung $(b - a) \, \il{a}{b}\,f\,g < \il{a}{b}\,f \cdot \il{a}{b}\,g$},
Beweis: $\sl{l}{n}\,a_{i}\,b_{i} \cdot n \,\,\underline{\underline{<}}\,\, \Sigma\, a_{i}\,\,\Sigma\, b_{i}$ wenn $a_{i} \,\,\underline{\underline{<}}\,\, a_{i + 1}$, $ b_{i} \,\,\underline{\underline{>}}\,\,b_{i + 1}$.

wenn $f$ monoton steigt und $g$ monoton f\"allt (No\"rlund): 
Davon Beweis mit Induktion, indem man durch \"Ubergl. $a_{i} \rightarrow a_{i} - a_{1}$  die erste Zahl zu 0 macht. Bei \"Ubergg. bleibt G\"ultigkeit unge\"andert. Das gibt dann das $<$ \nl Zeichen. \\
Gibt auch Identit\"at:\\
$\sl{l}{n}\, a_{i}\,\, \sl{l}{n}\,b_{k} - n\, \sl{l}{n}\, a_{i}\, b_{i} = \sl{i < k}{}\, (a_{k} - a_{i})(b_{i} - b_{k})$\\
\\
$\textbf{Seite 28}$\\
\\
\underline{$f_{n} = 
\left| 
\begin{array}{ccc}
e_{1} & e_{2} \dots e_{n}\\
\mathfrak{G}_{1}\,e_{1} & \mathfrak{G}_{1}\,e_{2} \dots \mathfrak{G}_{1}\,e_{n}\\
\mathfrak{G}_{n - 1}\,e_{1} & \mathfrak{G}_{n - 1}\,e_{2} \dots \mathfrak{G}_{n -1}\,e_{n}
\end{array} \right|$} ist die (oder eine) Linearverbindung von 
$e_{1}, \cdots,\, e_{n}$, welche von den Funktionalen 
$ \mathfrak{G}_{1},\cdots,\, \mathfrak{G}_{n - 1}$
annuliert wird. Daher ist $f_{n}$ die $n$-te EL des Operators \nl $\mathfrak{K}$
mit \nl $= (1 - \frac{f_{i}\,g_{i}}{g_{i}\,f_{i}})$.\\
\\
\\
\\
\underline{Faustformel f\"ur die ersten EWe von (1) $y'' = \lambda\, g\, y$,}\\
\underline{$y(0) = y(\nl) = 0$:} $\lambda_{2}-\pi^{2} \cdot \mu$ \\
mit \qquad $\mu_{1,\,2} = \frac{-\pi}{\frac{c_{0}^{2}}{2} - c_{1}^{2}}\,(c_{0}
\pm \sqrt{\frac{c_{0}^{2}}{4} + \frac{3}{2}\,c_{1}^{2}})$, falls $g = 1 +
\alpha\,x$\\
\nl \hfill mit $c_{\rho} = \il{0}{\pi}\,(1 + \alpha\,\pi\,\xi)\,
cos^{\alpha}\xi\,d\,\xi$\\
Allgemein bei beliebigen $g$, lautet die quad. N\"ahrungsgl. f\"ur $\mu$:\\
$\frac{3\pi^{2}}{2} + \pi\,\mu\,(c_{2} + \frac{3}{2}\,c_{0}) +
\mu^{2}\,(c_{0}\,c_{2} - c_{1}^{2}) = 0$. \qquad $c_{\rho} =
\il{0}{\pi}\,g(\xi\,\pi)\,cos^{\alpha}\xi\,d\,\xi$.\\
Denn die Funktion $y = sin\,x \cdot \{a + b\,cos\,x + h(x)\,sin^{2}\,x\}$
erf\"ullt als einzige die Randbedinggen $y(0) = y(\pi) = y''(\pi) = 0$ $a,\, b
=$ const \quad ($h(x)$ beliebig) und ergibt \\
$y'' = sin\,x \cdot \{-a - 3\,b\,cos\,x + 2\,h(x) + sin\,x \cdot [-5\,
h(x)\,sin\,x + 4\,h'(x)\,cos\,x + h''(x)\,sin\,x]\}$ so da\ss die EW-Aufgabe (2)
$y'' = \mu\,g\,y$, $y(0) = y(\pi) = 0$ gleichwertig ist  zu $-a - 3\,b\,cos\,x +
2\,h + sin\,x\,\cdot [-5\,h(x)\,sin\,x + 4\,h'(x)\,cos\,x +
h''(x)\,sin\,x]\}$.\\
Der Ansatz mit einem Freiheitsgrad $(b = h \equiv 0,\, a = 1)$ gibt
$$\mu \cdot g(x) \approx -1 \qquad \mu \approx -\frac{1}{\il{0}{\pi}g(x)}\quad,
\lambda \approx \frac{-\pi^{2}}{\il{0}{A}\,g(x)\,dx}$$
Der zwei-Frh.-grade-Ansatz liefert obige Gleichung.\\
Bei $g = 1 + i\,x$ wird $\lambda_{1} \approx \frac{-\pi^{2}}{1 + \frac{i}{2}} =
-7,92 + 3,96\,i \quad (\delta = 0,7\,\nl)$
\begin{flushright}
genau: $-7,9083 + 4,0243\,i\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$
\end{flushright}
$\textbf{Seite 29}$\\
\\
Der 2.-Fr. Ansatz kann so gedeutet werden: f\"ur  $\gamma(\xi) = \frac{1 +
\beta\,cos\,\xi}{4 + \beta\,cos\,\xi} \cdot \gamma_{0}$ hat (2) den EW $\mu = -
\frac{4}{\gamma}$. Nun gibt es aber zu vorgegebenen $\gamma(\xi)$ zwei Werte von
$\beta$, $\gamma_{0}$, f\"ur welche $\gamma(\xi)\,(4 + \beta\,cos\,\xi) \approx
(1 + \beta\,cos\,\xi)\,\gamma_{0}$, gibt zwei EWe.\\
\\
\underline{Faustformel f\"ur EWe von $y'' = \lambda\,g(x)\,y$}, \underline{y(0)
= y(1) = 0:}\\
$\lambda_{i} = -\pi^{2}\mu\,i$, $\mu_{i} = Wn$ von $\mu^{2}\,(\gamma^{2}_{0} +
\gamma_{0}\,\gamma_{1} - 2\,\gamma^{2}_{1}) - \mu\,(5\,\gamma_{0} + \gamma_{2})
+ 4 = 0$ mit $\gamma\,j = \il{0}{1}\,g(x)\,cos\,j\,\pi\,x\,dx$.\\
Denn $y = a\,sin\,\pi\,x + b\,sin\,2\,\pi\,x$ gibt \qquad $a + gb\,cos\,\pi\,x =
\frac{-\lambda}{\pi^{2}}\,\mathfrak{G}(x) \cdot \{a + 2b\,cos\,\pi\,x\}\,|
\cdot${\footnotesize{$
\begin{array}{cc}
1\\
cos\,\pi\,x
\end{array}$}}\\
Allgemeiner: $y = \sl{l}{n}\, a_{v}\, sin\,v\,\pi\,x$ gibt \\
(1) \qquad $\sl{l}{n}\, a_{v}\,v^{2}\, \frac{sin\,v\,\pi\,x}{sin\,\pi\,x} =
\frac{-\lambda}{\pi^{2}} \cdot \mathfrak{G} (x) \cdot \sl{l}{n}\,a_{v} \cdot
\frac{sin\,v\,\pi\,x}{sin\,\pi\,x}$\\
Setzt man $\frac{sin\,n\pi\,x}{sin\,\pi\,x} = \varphi_{n}\quad (n \geq 1),$ so
wird mit $\psi_{k} = cos\,(k -  1)\,\pi\,x\,\,-cos (k + 1)\,\pi\,x \quad (k
\,\,\underline{\underline{>}}\,\, \nl)$
$$\varphi_{n} \cdot \psi_{k} = cos\,(n - k)\,\pi\,x - cos\,(n + k)\,\pi\,x
\qquad (n,\, k\,\, \underline{\underline{>}}\,\, 1)$$
und daher \qquad \qquad $\il{0}{1} \varphi_{n}\,\psi_{k}\,dx = \delta_{\nl\,k}$,
und (1) geht \"uber in \\
Die Gewichte $\psi_{k}$ sind alle durch $sin\,\pi\,x$ teilbar ! $\psi_{k} =
2\,\nl\, sin\,\pi\,x$\\
(2) \qquad $k^{2}\,a_{k} = \frac{-\lambda}{\pi^{2}} \, \sl{\nu =
1}{n}\,a_{\nu}\,(\gamma_{|\nu - k|} - \gamma_{|\nu + k|}),\quad \gamma_{\rho} =
\il{0}{1} \mathfrak{G}\,cos\,\rho\,\pi\,x$\\
(3) $0 = 
\left| 
\left( 
\begin{array}{cccc}
1&&&\\
&4&&\\
&&9&\\
&&&16
\end{array} \right) \frac{1}{\pi^{2}}
\left( 
\begin{array}{cccc}
\gamma_{0} - \gamma_{2} & \gamma_{1} - \gamma_{3} &
\gamma_{2} - \gamma_{4} & \gamma_{3} - \gamma_{5}\\
\gamma_{1} - \gamma_{3} & \gamma_{0} - \gamma_{4} &
\gamma_{1} - \gamma_{5} & \gamma_{2} - \gamma_{6}\\
\gamma_{2} - \gamma_{4} & \gamma_{1} - \gamma_{5} &
\gamma_{0} - \gamma_{6} & \gamma_{1} - \gamma_{7}\\
\gamma_{3} - \gamma_{5} & \gamma_{2} - \gamma_{6} &
\gamma_{1} - \gamma_{7} & \gamma_{0} - \gamma_{8}
\end{array} \right)\right|$\\
Dieselbe Gl. erh\"alt man einfacher aus\\
$\Sigma\, a_{\nu}\,\nu^{2} \sin\,\nu\,\pi\,x =
\frac{-\lambda}{\pi^{2}}\,\sigma\,g\, a_{\nu}\, sin\,\nu\,\pi\,x\quad | \cdot
\il{0}{1} sin\,k\,\pi\, x$\\
Obige Faustregel , \nl durch die Gewichte 1, $cos\,\pi\,x$ entstanden, kann
hieraus nicht ! durch $\gamma_{3} = \gamma_{4} = \cdots = 0$ abgeleitet werden
!\qquad Pr\"ufen, was genauer ! S.40 !
\\
$\textbf{Seite 30}$\\
\\
F\"ur $g(x) = 1 + ix$ ist 
$\begin{tabular}{c|cccccccccc}
$\nu$ &0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
\hline
$\gamma_{\nu}$ & 1 + $\frac{i}{2}$& $\frac{-2i}{\pi^{2}}$& 0 & $\frac{-2i}{9
\pi^{2}}$&
0 & $\frac{-2i}{25 \pi^{2}}$& 0 & $\frac{-2i}{49 \pi^{2}}$ & 0 & $\frac{-2i}{81 \pi^{2}}$
\end{tabular}$
\subsection{Verschiedene Bemerkungen zu $y'' = \lambda\,g\,y$}
Existenzbeweis f\"ur EWe von $y'' = \lambda\,g\,y$ k\"onnte vielleicht aus II 67
so gef\"uhrt werden, da\ss man durch passende Wahl von $f$ und $\lambda$
erzwingt $|D(\lambda)| > 1$; oder aus 29 (3) ?\\
Als Kriterium f\"ur Seite einer N\"aherung $y^{*}$, $\lambda^{*}$ kann man die
Abweichung derjenigen $g^{*}$ von $g$ ansehen f\"ur welches $\lambda^{*}\,y^{*}$
eine genaue Eigenl\"osungen ist. Zu pr\"ufen w\"are, ob eine falsche 0-oder
$\infty$-Stelle die EWe st\"arker \"andert. F\"ur die Approximation von $g^{*}$
an $g$ ist vielleicht beim $n$-ten EW die Forderung angemessen: In jedem
Teilintervall d. Lge $\frac{b - a}{n}$ soll das Mittel von $g$ mit dem von
$g^{*}$ \"ubereinstimmen.\\
Ein Paradox: Jede EL einer Dgl $y'' = \lambda\,g\,J$, $y(0) = y(1) = 0$ l\"a\ss t
sich in die Fourierreihe $\sl{}{\infty} sin \,\pi \,x \cdot a_{n}$ entwickeln.
Ein endliches Fourier-Polynom $y = \sl{1}{N} a_{n} sin\,\pi\,x$ aber kann nur
dann EL sein, wenn $g'(0) = 0$; denn $y^{IV}(0) = 0 = \lambda\,g(0)\, y'(0)$.\\
$sin\,\pi\,x$ ist eine bessere Ansatzfkt. als $x - x^{2}$, weil es auch noch die
von jeder EL zu erf\"ullende Bedingg. $y''(0) = 0$ erf\"ullt. 
\subsection{Zum Iterationsverfahren}
Es ist $\lambda_{1} \sim \frac{\mathfrak{y}\,y_{1}^{(n - 1)}}{\mathfrak{y}\,
y_{1}^{(n)}}$. Hierbei w\"ahle $y$ so, da\ss $y\,e_{1}$ gross, $y\,e_{\nu}$ klein
$(\nu > 1)$. Mit einem transp. EF. $h_{1}$ ist $\mathfrak{y} = \il{}{} h_{1}\,y$
geeignet. Ist die Gl. symmetr., so $\mathfrak{y} = \int e_{1}\,y$, d.h \nl $y
= \int\,y_{1}^{(n)}y$ ist geeignet: Gibt quadrat. Fehler.
\\
$\textbf{Seite 31}$\\
\\
\underline{Frage:} Bei einer Dgl. $h_{\nu}$ der Anteil von $\lambda_{\nu}$ an
$y$. Ist dann $\sl{\nu}\,\int |h_{\nu}|^{2} dx$ kgt ?\\
\\
\underline{Zur Sturm-Liouviller-Theorie:} Mit $y_{n} = \frac{1}{\sqrt{G}}\,
sin\,n\,\pi\,\sl{0}{x} G(\xi)\,d\xi$ wird $y_{n}'' - \nl \,\pi\,G^{2}(x)\,y_{n}
= (-\frac{3}{4}\, \frac{G'}{G^{4}} + \frac{G''}{2 G^{3}})$. $sin\,n\,\pi
\il{0}{x}\,G(\xi)\,d\xi = y_{n} \cdot \sqrt{G} \cdot (\frac{-3}{4} \cdots)$,\\
falls $\il{0}{1} G(\xi)\,d\xi = 1$ gesetzt wird und $G(X) \not= 0$ ist.\\
Falls $G$ komplex, kann $|sin\,n\,\pi \cdots| >> n^{2}\pi^{2}$ werden.\\
\\
\underline{Die symmetr. Matrix \nl (3)} ist f\"ur grosse $n$, eine sehr
spezielle, die vielleicht bei keiner Wahl der Parameter $\gamma_{\nu}$
ungef\"ahr nilpotent wird.\\
\\
\underline{$e^{i\,n\,x}$ ist das Orthogonalsystem} in $<0,\, 2\pi>$ mit der
einfachsten Multipl.-Tabelle.\\
\\
\\
Ist $D = |E + H|$ eine Determ. und $D_{u}$ ihre $n-$te Abschnittsdeterminante,
so ist \\
\underline{$|D - D_{n} \cdot \Pi_{v > n}\, (1 + a_{vv})|
${\tiny{$ \begin{array}{cc}
=\\
=
\end{array}$}}$ $} \nl. \underline{$e^{as_{A} + \frac{1}{2} \,\vartheta'^{2}_{A} +
\frac{1}{2}}$} \nl\\
mit $\nl = \Sigma'\, |a{ik}|^{2}$, $i < k$, $k > n$, und mit $as_{A} =
\sigma\,|a_{i\,i}|$, $\vartheta'^{2}_{A} = \sl{i \not= k}{}\,|a_{ik}|^{2}$.\\
Bew: $|s_{N}| = D_{N} - (1 + a_{N\,N})\,D_{N - 1}| = 
\left|
\left|
\begin{array}{cccc}
\begin{array}{cccc}
E + A_{N - 1} & \sigma_{N}\\
\mathfrak{z}\,N & 0
\end{array}
\end{array} \right|\right| < |\mathfrak{z}_{N}| \cdot |\sigma_{N}|\, e^{as_{N -
1} + \frac{1}{2}\, \vartheta '^{2}_{N - 1} + \frac{1}{2}}$.\\
$(1 + a_{N\,N}) \cdot |A_{N - 1}| \leq (1 + |a_{n\,k}|) e^{as_{N - 2} + \frac{1}{2}\,
\vartheta '^{2}_{N - 2} + \frac{1}{2}}\, |\mathfrak{z}_{N - 1}|\,|\sigma_{N - 1}|
\leq |\mathfrak{z}_{N - 1}|\, |\sigma_{N - 1}|\, e^{as_{N} + \frac{1}{2}\,
\vartheta '^{2}_{N} + \frac{1}{2}}$.
\\
$\textbf{Seite 32}$\\
\\
\underline{Absch\"atzung von $\Delta = 
\left|
\begin{array}{cccc}
E + A_{n} & \sigma\\
\mathfrak{z} & 0
\end{array} \right|:$}
$|\Delta|\,\, \underline{\underline{<}}\,\, 
\left\{
\begin{array}{cc}
|\mathfrak{z}| \cdot |\sigma| \, \Pi^{n}_{\nu = 1} |1 + a_{vv}|_{+} \cdot 
e^{\frac{1}{2} \sl{\mu \not= \nu}{n}\,|a_{\mu\,\nu}|^{2} + \frac{1}{3}}\\
|\mathfrak{z}| \cdot |\sigma| \, \Pi^{n}_{\nu = 1} |1 + a_{vv}|_{+} \cdot 
e^{\frac{\sqrt{2}}{2} \sl{\mu \not= \nu}{n}\,|a_{\mu\,\nu}| + \frac{1}{3}}
\end{array} \right.$\\
Dabei ist $\pi\,|1 + a_{vv}|_{+}\,\,\underline{\underline{<}}\,\, e^{2(A)}$.\\
Bew: Nach Hadamard ist
$|\Delta|^{2}\,\,\underline{\underline{<}}\,\,|\mathfrak{z}|^{2}|\sigma|^{2}$.
$\Pi^{n}_{i = 1}\,[|1 + a_{ii}|^{2} + |a_{i1}|^{2} + \cdots + |a{in}|^{2} +
\frac{|si|^{2}}{|\sigma|^{2}}] \cdot 1$\\
Nun ist $|1 + a|^{2} + |b|^{2} + |c|^{2} + \cdots
\,\,\underline{\underline{<}}\,\, (1 + |b|^{2} + |c|^{2} + \cdots) \cdot |1 +
a|^{2}_{+}$ , wenn f\"ur $p > 0$ \quad $p_{+} = 1$ wenn $p \subseteq 1$, $p_{+} =
p$, wenn $p \geq 1$. Also ist $[i] \,\,\underline{\underline{<}}\,\, |1 +
a_{ii}|^{2}_{+}\, [1 + \sl{v \not= i}{}|a_{iv}|^{2}]\,[1 +
\frac{|s_{i}|^{2}}{|\sigma|^{2}}]$ und \\
$|\Delta|^{2}\,\, \underline{\underline{<}}\,\, |\mathfrak{z}|^{2}\,|\sigma|^{2} \cdot e
\cdot \Pi{l}{n} |1 + a_{ii}|^{2}_{+} \cdot  Pi_{i = 1}^{n} [1 + \sl{v}{}$'$
|a_{iv}|^{2}]$.\\
Nun ist $1 + p^{2} \,\, \underline{\underline{<}}\,\, e^{p^{2}}$ und $\leq
e^{p\,\sqrt{2}}$, wenn $p \leq 0$.\\
Versch\"arfung von S.31: $D_{n} = n$-ter Abschnitt von $D + |E + A_{N}|$\\
$|D - D_{n}\,\Pi_{n + 1}^{N} (1 + a_{\dot{n}})|\,\, \underline{\underline{<}}\,\,
\sqrt{\sl{
\begin{array}{cc}
i > n\\
k < i
\end{array}}{}\,|a_{ik}|^{2}} \cdot \sqrt{\sl{
\begin{array}{cc}
k > n\\
k > 1 
\end{array}}{}\, |a_{ik}|^{2}} \cdot \Pi_{i = 1}^{N}\,|1 + a_{ii}|_{+} \cdot
e^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\, \sl{i \not= k}{}\,|a_{i\,k}|^{2}}$ oder $\cdot
e^{\frac{1}{2} + \nl |a_{i\,k}|}$.
\begin{flushright}
\nl
\end{flushright}
\subsection*{Die EWe $\lambda$ von $y'' = \lambda\,g\,y$, $g = 1 + i\,x$, $y(0) =
y(1) = 0$ sind die Wurzeln von 29 (3):}
(1) $0 = 
\left|
\begin{array}{ccc}
\mathfrak{E} + \frac{8\,\lambda}{\pi^{2}} 
\left(
\begin{array}{ccccccccccc}
\frac{1}{8}(1 + \frac{i}{2}) & -\frac{i}{9\,\pi^{2}} & 0 &
-\frac{i}{225\,\pi^{2}}
& 0 & -\frac{i}{1225\,\pi^{2}}\\
\\
-\frac{i}{9\,\pi^{2}} & \frac{1}{32}(1 + \frac{i}{2}) & -\frac{i}{25\,\pi^{2}} &
0 &-\frac{i}{441\,\pi^{2}} & 0\\
\\
0 & -\frac{i}{25\,\pi^{2}} & \frac{1}{72}(1 + \frac{i}{2}) &
-\frac{i}{49\,\pi^{2}} & 0 & -\frac{i}{729\,\pi^{2}}\\
\\
-\frac{i}{225\,\pi^{2}} & 0 & -\frac{i}{49\,\pi^{2}} & \frac{1}{128}(1 +
\frac{i}{2}) & -\frac{i}{81\,\pi^{2}} & 0 \\
\\
0 & -\frac{i}{441\,\pi^{2}} & 0 & -\frac{i}{81\,\pi^{2}} & \frac{1}{200}(1 +
\frac{i}{2}) & -\frac{i}{121\,\pi^{2}}\\
\\
-\frac{i}{1225\,\pi^{2}} & 0 & -\frac{i}{729\,\pi^{2}} & 0 &
-\frac{i}{121\,\pi^{2}} & \frac{1}{288}(1 + \frac{i}{2})
\end{array}\right)
\end{array}\right|$
$$\pi^{2} = 9,86960440109\,\nl\, \pi^{4} \sim 97,409091$$
\underline{Kettenbr\"ucke}\\
Mit 
$\left|
\begin{array}{ccccc}
x + a_{1} & b_{1} & & \\
b_{1} & x + a_{2} & b_{2} & \\
& b_{2} & x + a_{3} & b_{3}\\
&&\cdots&\cdots\\
&&a_{n - 1} & x + a_{\nl}
\end{array}\right| = [1\,2\,\cdots\,n]$ wird $[\rho \cdots n] = f_{\rho}(x) = (x
+ a_{\rho}) \, f_{\rho\,n} - b_{\rho}^{2}\,f_{\rho + 2}$ also mit $q_{\rho} =
\frac{f_{\rho}}{f_{\rho + 1}}$\quad : \quad $q_{\rho} = (x + a_{\rho}) -
\frac{b_{\rho^{2}}}{q_{p + 1}}$\\
Daher ist z.B. sicher dann. \qquad Also ist $q_{1} = x + a_{1} - \frac{b^{2}}{x
+ a_{2}^{-}}\, \frac{b_{2}^{2}}{x + a_{3}^{-}} \cdots$\\
(1) 
 $\left|
\begin{array}{ccc}
\mathfrak{E} + \frac{8\,\lambda}{\pi^{2}} 
\left(
\begin{array}{ccccccccccc}
\frac{1}{8}(1 + \frac{i}{2}) & -\frac{i}{9\,\pi^{2}} & 0 &
0 & 0 & \cdots\\
\\
-\frac{i}{9\,\pi^{2}} & \frac{1}{32}(1 + \frac{i}{2}) & -\frac{i}{25\,\pi^{2}} &
0 & 0 & \cdots\\
\\
\begin{array}{ccc}
0\\
0
\end{array} & -\frac{i}{25\,\pi^{2}} & \frac{1}{72}(1 + \frac{i}{2}) &
 &  & 
\end{array}\right)
\end{array}\right|$, wenn
\begin{flushright}
$\vdots$\quad\,\,\,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
\end{flushright}
$$1 + \frac{x}{1^{2}\,+}\,\, \frac{3^{-4}\, \pi^{-4}}{1 +
\frac{x}{2^{2}}\,+}\,\,\frac{5^{-4}\, \pi^{-4}}{1 +
\frac{x}{3^{2}}\,+}\,\,\frac{7^{-4}\, \pi^{-4}}{1 +
\frac{x}{4^{2}}\,+}\,\,\cdots = 0 \textnormal{ mit } \frac{2 +
i}{2\,\pi^{2}}\,\lambda = x.$$
Mit $\mathfrak{G}_{n} = [1\,\,2 \dots n]$ wird $\mathfrak{G}_{n} = (x + a_{n})\,
\mathfrak{G}_{n - 1} - b_{n}^{2}\,\mathfrak{G}_{n - 2}$. Daher kann man die Det.
$D(\lambda)$ von 33 (1) bezeichnen nach\\
$$(1) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\,\mathfrak{G}_{n}, \quad
\mathfrak{G}_{n} = (1 + \frac{1 +
\frac{i}{2}}{\pi^{2}}\,\frac{\lambda}{n^{2}})\, \mathfrak{G}_{n - 1} +
\frac{1}{\pi^{4}(2n + 1)^{4}}\, \mathfrak{G}_{n - 2}.$$
\underline{Die Abschnittsdeterminanten von 32 (1)} unterscheiden sich um\\
$D_{2} - (1 + \frac{\lambda}{4\pi^{2}}(1 + \frac{i}{2})) \cdot D_{1} =
\frac{64\,\lambda^{2}}{81\,\pi^{8}} \rightarrow \frac{256}{2025 \cdot
\pi^{4}}\,(3 + 4\,i)$ f\"ur $D_{1} = 0$, $|\,\,\,| = 0,0065$ f\"ur $D_{1} = 0$.\\
$D_{3} - (1 + \frac{\lambda}{9\pi^{2}}(1 + \frac{i}{2})) \cdot D_{2} =
(1 + \frac{\lambda}{9\,\pi^{2}}(1 + \frac{i}{2})) \,D_{2} = (1 +
\frac{\lambda}{\pi^{2}}(1 + \frac{i}{2})) \cdot
\frac{64\,\lambda^{2}}{625\,\pi^{8}}$; $|\,\,\,| < 0,329$ f\"ur
$|\frac{\lambda}{\pi^{2}}| \leq 6$
\subsection*{Einfache Formel f\"ur unbestimmte Integration:}
F\"ur
$\left\{
\begin{array}{ccccc}
x_{1} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \sim \frac{5}{8}\\
x_{2} = 1
\end{array}\right.$ gilt f\"ur $y(x) \equiv x : (\ast) \il{0}{x_{i}}
f(\xi)\,d\xi = c \cdot \sl{j \leq i}{} y\,j$ mit\\
 $c = \nl$\\
Mit $n$ Zwischenprodukten und einer Konstanten $C$ k\"onnte man $n + 1$
Bedinggen erf\"ullen, also ($\ast$) \underline{nur f\"ur eine einzige} Funktion
$f$ an allen $x_{i}$ erf\"ullen !\\
Aufstellg h\"oherer Formeln also zwecklos ?
\\
$\textbf{Seite 34}$\\
\\
\underline{$\lambda' + g\,z^{2} = \lambda$}, $z(a) = z(b) = 0$ wird aus $y'' =
\lambda\,g\,y$, $y(a) = y(b) = 0$ durch die Substitution $\lambda\,y = y' \cdot
z$.\quad Vgl. auch  \nl\\
\\
\\
\underline{Flatterrechnungen vielleicht \"okonomisch} so anlegen: F\"ur einige
$\omega$ die algebr. $\lambda$-Gleichung genau aufstellen, f\"ur die \"ubrigen
mit einer guten Interpolationsformel interpretieren.\\
\\
\\
\underline{Eine EW mit bekannter L\"osung:} \quad $y'' = \lambda\,g\,y$, $y(0)
= y(1) = 0$ hat die L\"osung (1) $y = sin\,\pi\,x \cdot e^{\il{0}{x}\,sin
\,pi\,x \cdot u(x)\,dx}$ ($u$ regul\"ar), wenn\\
(2) $\lambda\,g(x) = -\pi^{2} + 3\,\pi\,u\,cos\,x + u^{2}\,sin^{2}x +
u'\,sin\,x$.\\
Z.B. $u = \alpha = $const: $\lambda\,g = -\pi^{2} + 3\,\pi\,\alpha\,cos\,x +
\alpha^{2}sin^{2}x$.\\
In jedem Fall ist $\frac{g(1)}{g(0)} = \frac{-\pi - 3\,u(1)}{-\pi + 3\,u(0)}$.
(3).\\
Setzt man $u$ als Linearverbdg mit unbestimmten Koeff. \nl an, so ergeben sich
f\"ur diese quadratische  Gleichungen aus (2).\\
\\
F\"ur \underline{$y = s^{2}\,u$}
\begin{quote}
$(s = sin\,x)$ ist $y_{0} = y_{0}' = 0$,
$y''_{\frac{\pi}{2}} = -2\, u_{ \frac{\pi}{2} } + u''_{ \frac{\pi}{2} }$, \\
$ y'''_{\frac{\pi}{2}} = -6u' + u''' ${\Large{$|$}}$ _{_{ \frac{\pi}{2}}}$, $y^{IV}_{0} = -8u + 12u'' ${\Large{$|$}}$ _{0}$, $y^{V}_{0} = -40u' + 20u'''  ${\Large{$|$}}$_{0}$\\
\end{quote}
F\"ur \underline{$z = s\,v$}
\begin{quote}
ist $z_{0} = 0$, $ z'_{\frac{\pi}{2}} =  v'_{\frac{\pi}{2}}$, $z'' = 2v'  ${\Large{$|$}}$_{\frac{\pi}{2}}$, $z'''_{0} = -v_{0} + 3\,v''_{0}$; 
\end{quote}
$\textbf{Seite 35}$\\
\\
alle Fktionen $z$ mit $z_{0} = z''_{0} = z'_{\frac{\pi}{2}} = 0$ erh\"alt man in der Form \\
$$z = sin\,x \cdot v(x),\,\,v(x)  = A + B\, cos\,2x + (cos\,4x - 1) \cdot  \varphi(x)$$
sowie in der Form $z = b\, (x^{3} - 3x) + \nl\,(2x^{4} - 3x^{3} + x) + (x^{5} - 2x^{4} + x^{3}) \cdot \varphi(x)$; dann ist $z'' = 6\,\mathfrak{q}\,x + \nl\,(24x^{2} - 18x) + (20x^{3} - 24x^{2} + 6x) \cdot \varphi + (10\,x^{4} - 16\,x^{3} + 6\,x^{2})\,\varphi' + (x^{5} - 2x^{4} + x^{3})\, \varphi''$.\\
\\
\\
\\
Sind $y$, $z$ beliebig, so ist \underline{
$\left(
\begin{array}{cc}
y^{IV}\\
z''
\end{array}\right) = 
\left(
\begin{array}{cccc}
\alpha & \beta \\
\gamma & \delta
\end{array}\right)\,
\left(
\begin{array}{cccc}
y\\
z
\end{array}\right)$}\\
mit\\
(1) \quad $\alpha = \frac{y^{IV} - \beta\,z}{y}$, $\delta = \frac{z'' - \gamma\,y}{z}$, $\beta(x)\, \gamma(x)$ beliebig \nl\\
Zur Flatterbeispielen m\"usste eine vorgegebene Matrix  
$\left(
\begin{array}{cccc}
A & B\\
\nl & A
\end{array}\right)$ bis auf Trop. durch (1) dargestellt werden: $\lambda\,A = \frac{y^{IV} - \beta\,z}{y}$, $\lambda\,B = \beta$ usw. Dann \nl EW $\lambda$. Erw\"unscht sind Beispiele, wo man auch die Transponierte Matrix 
$\left(
\begin{array}{cccc}
A & \nl\\
B & \nl
\end{array}\right)$ so darstellen kann; denn dann hat man die adjungierte L\"osung und kann daher exakte Aussagen \"uber den Einfluss beliebiger kleiner Daten\"anderungen auf $\lambda$ machen. Bei $y'' = \lambda \, g\, y$ ist z.B. $\frac{\delta\,\lambda}{\lambda} = \frac{\int\,y^{2} \delta\,g}{\int\, g\,y^{2}}$\\
\\
Wenn man als \underline{Flatterans\"atze die ungekoppelten Eigenschwinggen} nimmt, wird i.R. die aus den \nl und den Dglen folgenden Beziehung bei $x = 0$ nicht erf\"ullt sein. - Vielleicht lohnt es, f\"urs Flattern eine Det. analog 29 aufzustellenden und Fehlabsch\"atzg wie S. 36 zu machen.\\
\nl
\\
$\textbf{Seite 36}$\\
\\
\subsection*{Die Det. (1) S.32 mit den Nullstellen $\mu = -\frac{\lambda}{\pi^{2}}$ lautet}
\begin{flushright}
($-y'' = \lambda\,(1 + (x)\,y$)
\end{flushright}
{\small{$0 = 
\left|
\begin{array}{ccc}
\mathfrak{E} + x 
\left(
\begin{array}{ccccccccccc}
1 + i\,0,5 & \nl & (\textnormal{symm.}) &  &   \\
\\
-i \cdot 0,09006328 & 0,25 + i\,0,125 &  &  &  \\
\\
0 & -i\,\cdot 0,032\,42278 & 0,111\,111\,11 + i \cdot 0,055\,555\,55 &  & \\
0 & -i \cdot 0,001\,838\,03 & 0 & -i \cdot 0,010\,007\,03 
\end{array}\right)
\end{array}\right|$}}
$|\mathfrak{z}'_{2} = 0,008\,114 \quad |\mathfrak{z'_{3}}|^{2} = 0,001\,051 \quad |\mathfrak{z'_{4}}|^{2} = 0,000\,287 \quad |\mathfrak{z'_{5}}|^{2} = 0,000\,104$\\
$\frac{1}{2} \sl{\nl}{}$'$ |a_{ik}|^{2} = |x|^{2} \cdot 0,009\,556$ \qquad $\sl{l}{\nl}\,|a_{ii}| < |x| \cdot 1,637 \quad \nl\, |a_{ii}| < |x| \cdot 0,519$\\
$|a_{11}| < |x| \cdot 1,119 \qquad |a_{22}| < |x| \cdot 0,280 \qquad |a_{33}| < |x| \cdot 0,125 \qquad |a_{44}| < |x| \cdot 0,070\qquad |a_{55}| < |x| \cdot 0,045$\\
Daher sind die Unterschiede der Abschnittsdeterminanten wegen $e^{\frac{1}{2}} < 1,65$\\
$|D_{2} - (1 - \nl)\,D_{1}| < 0,0134 \cdot |x|^{2} $ {\large{$|$}} 1 - $ x\, \frac{2 + i}{2}\,  $ {\large{$|$}}$_{_{+}} <  0,0134 \cdot (1 + 1,119\, |x|)$ \\
$|D_{3} - (1 - a_{39})\, D_{2} ${\large{$|$}}$ \,\, < 0,00173 \cdot |x|^{2}\cdot ${\large{$|$}}$ \, 1 - x\, \frac{2 + i}{2}${\large{$|$}}$_{_{+}} \cdot ${\large{$|$}}$ 1 - x\,\frac{2 + i}{8} ${\large{$|$}}$_{_{+}} \,e^{0,008114 \cdot |x|^{2}}$\\
$|D_{4} - (1 - a_{44})\, D_{3}${\large{$|$}}$ < 0,000221 \cdot |x|^{2} \cdot |x|^{2} \cdot  
${\large{$|$}}$ 1 - x\, \frac{2 + i}{8} ${\large{$|$}}$_{_{+}} \cdot ${\large{$|$}}$ 1 - x\, \frac{2 + i}{18}
 ${\large{$|$}}$_{_{+}}
 \cdot e^{0,009165} 
\cdot |x|^{2}$\\
der Exponentialfaktor ist etwa f\"ur $|x| < 15$ harmlos, dh. f\"ur die $\sim$ 3 EWe\\
\\
\\
\subsection*{Verallgemeinerung des Hamardschen Determinantensatzes:} 
Sei $G(A) = det\, A\,A^{*}$ die \nl Determinante von $A$. F\"ur $A = 
\left(
\begin{array}{cc}
B\\
C 
\end{array}\right)$ ist $G(A) \leq G(B) \cdot G(b)$. \\
Bew: Hat $A$ $n$ Zeilen , so ist $G\sqrt{G(A)}$ der $n$-dimensionale Inhalt des von den Zeilen von $A$ aufgespannten Parallelotops.\\
\underline{Bemerkung:} Zu rechteckigen $A$ gint es $U$ unit\"ar so, da\ss alle Zeilennormen von $UA$ einander gleich werden. \\
Bew: W\"ahle $U\,\nl$, dass das Produkt der Zeilennormen maximal.\\
Folge: Jede harmonische Matrix kann unit\"ar so transformiert werden, da\ss alle Diagonalelemente gleich werden.  \nl\\
\underline{Bemerkg:} Zu rechteckigen $A$ gibt es $U$ unit\"ar so, da\ss das Produkt den Zeilennormen von $U\,A$ minimal d.h. gleich $\sqrt{G(A)}$ ist Bew: \nl, da\ss $U\,A\,A^{*}U = $Diagonalmat.\\
Bemerkg: Eine pos. def. hermitesche Det. ist h\"ochstens gleich dem Produkt irgendzweier komplem. \nl.\\
\\
\underline{$\left|
\begin{array}{c}
\left|
\begin{array}{cccc}
A & B\\
C & D
\end{array}\right| - |A|\, |D|    
\end{array}\right|\,\,\underline{\underline{<}}\,\, \sqrt{a} \cdot \vartheta_{B} \, \vartheta_{C} \cdot e^{\frac{1}{2} \sqrt{1 + 4\, \vartheta_{B}^{2}\,\vartheta_{C}^{2}}} \cdot \Pi\, |a_{i}|_{_{+}} \cdot \Pi\,|\vartheta_{K}| _{_{+}} $}\\
mit $|a_{i}|_{_{+}}  =
\left\{
\begin{array}{cccc}
1, \textnormal{ wenn } \sl{k}{} |a_{i\,k}|^{2} \leq 1\\
\sqrt{\sl{k}{}\,(a_{i\,k}})^{2}, \textnormal{ wenn } \sl{k}{} |a_{i\,k}|^{2}  \geq 1
\end{array}\right.$,\\
 $a = Grad\,\,A$, $\vartheta_{B} = (\Sigma\,|b_{i\,k}|^{2})^{\frac{1}{2}}$\\
F\"ur $a = 1$ w\"aren der Expon.-\nl $e^{\frac{1}{2}}$ ersetzt werden. \nl\\
Bew: 
$\left|
\begin{array}{cc}
A & B\\
C & D
\end{array}\right| - 
\left|
\begin{array}{cc}
A & \nl\\
C & D
\end{array}\right|$ in $a$ Summanden zerlegen, indem in $B$ jedesmal eine Zeile \nl durch Nullen ersetzt wird, und \"Ahnlichkeitstransf. mit 
$\left|
\begin{array}{cc}
x & 0\\
0 & E
\end{array}\right|$ mit passendem $x$, wobei $\min\limits_{x > 0}\, x\, e^{\beta\,x + \frac{\gamma}{x}} =  \frac{\sqrt{1 + 4\,\beta\,\gamma} - 1}{2\,\beta} \cdot e^{\sqrt{}}$ zu ber\"ucksichtigen ist.\\
Frage: Kann man $\sqrt{a}$ noch entfernen ?\\
Bemerkg: In $\Pi\, |\mathfrak{U}_{i}|_{_{+}}$ darf man den kleinsten Faktor auch noch weglassen.\\
\nl\\
\\
$\textbf{Seite 38}$\\
\\
F\"ur $H(x,\,\xi) = 
\left\{
\begin{array}{cc}
1 + h'(\xi) & \xi \leq x,\,\,h(0) = 0\\
h'(\xi) & \xi \geq x
\end{array}\right.$ ist $\il{0}{1} H(x,\,\nl)\,\overline{H}(\dot{\xi},\,\nl)\,dt = x + \overline{h}\,(x) + h\,(\xi)$\\
Daher l\"a\ss t sich $G(x,\, \xi) = min \, (x,\,\xi)$ in der Form $H\,H^{*}$ darstellen: $H =
\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \xi \leq x\\
0 & \xi \geq x
\end{array}\right.$ \\
Frage: $G(x,\,\xi) = 
\left\{
\begin{array}{cc}
x\,(1 - \xi)\,\,\textnormal{nicht ?!}\\
\xi\,(1 - x)
\end{array}\right.$ \\
Antwort: Es wird $\il{0}{1} \, \overline{H}\,(t\,x)\,H(t\,\xi)\,dt =  -x\,h'(\xi) - \xi\,h'(x) - \xi + (1 + h'(x))\,(1 + h'(\xi))$ \nl\\
daher f\"ur $h'(x) = X - 1\qquad \qquad\int \searrow  = x\,(1 - \xi) \qquad (x \leq \xi).$\\
Dh. es ist f\"ur $G(x,\,\xi) = 
\left\{
\begin{array}{cc}
x\,(1 - \xi) \quad x \leq \xi\\
\xi\,(1 - x) \quad \xi \leq x
\end{array}\right.$ 
$ \mathfrak{G} =  \mathfrak{b}^{*}\, \mathfrak{b} $ mit \\
$B = 
\left\{
\begin{array}{cc}
\xi - 1 & x \leq \xi\\
\xi & x \geq \xi
\end{array}\right.$ \\
$\mathfrak{b}$ ist der Bernoulli-Kern: $B_{n}(x) = \mathfrak{b}^{n}\, 1$. (Kow $\Box$ S. 100).\\
\\
\\
Mit $I_{n}\,f(x) = \il{a}{x}\,f(\xi)\,d\xi$, $ \mathfrak{M} \, f(x) = \nl \il{a}{b} f(\xi)\, d\xi$ ist 
$\mathfrak{M}^{2} = \mathfrak{M} $ und daher ist f\"ur $ \mathfrak{b} = I_{a} - \mathfrak{M}\,I_{a}$ (= Bernoullikern)$\quad \mathfrak{b}^{*}\,\mathfrak{b} = I_{b}\,I_{a} + I_{b}\,  \mathfrak{M} \, I_{a} = $ Saitenkom.\\
Es ist n\"amlich \underline{$I_{a}' = I_{a}^{*} = - I_{b}$} \underline{$ \mathfrak{M}' = \mathfrak{M}^{*} = \mathfrak{M}$} und $-I_{b}$ {\Large{$|$}} $_{x = a} = (b - a)\,\mathfrak{M} = I_{a}$ {\Large{$|$}}$_{x = b}$.\\
\\
\\
\subsection*{Determinantentheoret. Absch\"atzung von $D(\lambda)$ ohne Fredholm:}
$y = \lambda \mathfrak{K}\, y \quad,   \mathfrak{K} = \int K (x,\, \xi)$. $y = \sl{l}{n} a_{\nu}\,f_{\nu} (x) + \sigma_{y}$, $\sigma = 1 - \Sigma\, f_{nu}(x) \mathfrak{g}_{nu}$ mit $g_{\alpha}\, f_{\beta} = \delta_{\alpha\,\beta}$; es ist $\sigma^{2} = \sigma$, $\sigma\,f_{k} = 0 = g_{i}\,\sigma$.\\
Das Gl.-syst. f\"ur $a$ und $\sigma_{y}$ lautet\\
\\
$\textbf{Seite 39}$\\
\\
(1)  
$\left\{
\begin{array}{cc}
a_{i} = \lambda \, g_{i} \, \mathfrak{K}\, (\sl{}{}\,a_{\nu}\,f_{\nu} + \sigma\, y)\\
\sigma\,y = \lambda\,\sigma\, \mathfrak{K}\, (\sl{}{}\,a_{\nu}\,f_{\nu} + \sigma\, y)
\end{array}\right.$\\
und ist mit $\sigma\,y = u$ zu schreiben als das gleichwertige System\\
(2)
$\left\{
\begin{array}{cc}
a_{i} = \lambda \, g_{i} \, \mathfrak{K}\, (\sl{}{}\,a_{\nu}\,f_{\nu} + u)\\
u = \lambda\,\sigma\, \mathfrak{K}\, (\sl{}{}\,a_{\nu}\,f_{\nu} + u)
\end{array}\right.$\\
Aus (2) folgt n\"amlich $u = \sigma\,y$ mit $y = \Sigma a_{\nu}\, f_{\nu} + u$. Gleichwertig ist auch\\ 
(3)
$\left\{
\begin{array}{cc}
a_{i} = \lambda \, g_{i} \, \mathfrak{K}\, (\Sigma\,a_{\nu}\,f_{\nu} + \mathfrak{p} \,u)\\
u = \lambda\,\sigma\, \mathfrak{K}\, (\Sigma\,a_{\nu}\,f_{\nu} + \mathfrak{q}\,u)
\end{array}\right.$, falls $\mathfrak{p} \,\sigma = \mathfrak{q}\, \sigma = 0$.\\
Diese Bedingung verlangt $p = 1 - \sl{l}{n}\, p_{\nu}\,g_{\nu}$, $q = 1 - \sl{l}{n}\, q_{\nu}\,g_{\nu}\quad (p_{\nu}(x),\,q_{\nu}(x)) $ \nl\\
Bei $g_{i} = \il{a}{b} \mathfrak{g}_{i} (\xi)\cdots d \xi$ wird (3) zu \\
(4) $\left\{
\begin{array}{cc}
a_{i} = \lambda\,(\Sigma A_{i\,k}\,a_{k} + \il{}{} B_{i} (\xi)\,u (\xi)\, d \xi )\\
u = \lambda\, (\Sigma\,b_{k} (x) \,a_{k} + \int D(x,\, \xi) \, u (\xi)\, d \xi)
\end{array}\right.$\\
mit (5) $B_{i} (\xi) = \int K(t, \, \xi) \, \mathfrak{g}_{i} (t)\, dt - \sl{l}{n} \, p_{i\,v} \, \mathfrak{g}_{\nu} \,(\xi)$\\
$A_{ik} = \int\int  \mathfrak{g}_{i} \,K\,f_{k}\, d x\, d \xi$, $b _{k} (x) = \sigma\, \mathfrak{K}\, f_{k} = \mathfrak{K}\, f_{k} - \sl{\nu}{}\, A_{\nu\,k} \cdot f_{\nu} (x)$\\
$D(x,\, \xi) = \sigma\, \mathfrak{K}\, \, q = K(x,\, \xi) - \Sigma \, f_{\nu} (x) \cdot \int g_{\nu} (t) \, K (t,\, \xi)\, d t - \Sigma\, \mathfrak{g}_{\nu}(\xi)\,\int K(x,\, t)\,\nl + \sl{\mu,\, \nu}{}\, f_{\mu} (x) \, g_{\nu} (\xi) \cdot \int\int g_{\mu} (s) \, K (s,\, T)\,q_{\nu} (t)\,ds\, dt$.\\
wobei die $(q_{\nu} (t)$ beliebig ) Konstanten $p_{i\,\nu}$ in $B_{i}$ willk\"urlich gew\"ahlt werden k\"onnen; \\
Sonderfall $n = 1$: Ist $\int g\, f = 1$, $\int g\,(1 - \lambda \, \mathfrak{K})\, f = 0$, so ist \\
(6) \qquad $|D(\lambda)| \,\,\underline{\underline{<}}\,\, |\lambda|^{2}\, \vartheta_{B} \cdot \vartheta_{C} \cdot e^{\frac{1}{2} + |\lambda|\,as_{D} + \frac{1}{2}\, |\lambda|^{2}\, \vartheta^{2}_{D}}$\\
mit $\vartheta^{2}_{C} = \int |\nl - \mathfrak{K}\,f|^{2}$, $\vartheta^{2}_{B} = \min\limits_{\nl} \,\int | \gamma \, \mathfrak{g} - \mathfrak{K} \, g|^{2}\, \nl\, as_{D} = \int |D(x,\,x)|\, dx$, $\vartheta^{2}_{D} = \int\int \,|D(x,\, \xi)|^{2} d x\, d \xi$,\\
\\
$\textbf{Seite 40}$\\
\\
\subsection*{Vergleich verschiedener N\"aherungswerte aus quadr. Glen:} 
$\underline{y'' = \lambda\,(1 + i x)\, y,\, \, \mu_{i} = - \frac{\lambda_{i}}{\pi^{2}}}$. \quad Die Faustregel von S. 29 : 
$\left(
\begin{array}{cc}
\gamma_{0} & 2\,\gamma_{1}\\
\gamma_{1} & \gamma_{0} + \gamma_{2}
\end{array}\right)$ gibt (2), die auf dieselben Fourierkoeff. verk\"urzte volle Regel (3), die volle Regel  
$\left(
\begin{array}{cc}
\gamma_{0} - \gamma_{2} & \gamma_{1} - \gamma_{3}\\
\gamma_{1} - \gamma_{3} & \gamma_{0} - \gamma_{4}
\end{array}\right)\,\,(4)$,  die lineare Ansatz\\
 $n = 1$, $y = sin\,\pi x$ gibt (1):
$\mu_{1} = 0,8 - i\cdot 0,4$ \hfill Fehler in : 0,9\\
Die Faustregel $F_{2} \quad\quad\, (2) 0,8027536 - i \cdot 0,4199950\hfill 1,4$ \\
{\scriptsize{von S. 50 gibt $0,801138 - 0,407663\, i $}} $\qquad (3) = 0,8015734 - i \cdot 0,4098186 \hfill 0,22$\\
{\scriptsize{mit $\delta = \%$}} $\qquad\qquad  \qquad (4) = 0,8012737 - i \cdot 0,4077280 \hfill 0,0009$\\
Genau: $\qquad \qquad \qquad\qquad\quad 0,8012809 - i \cdot 0,4077324$\\
F\"ur $\mu_{2}$ ergeben sich die Werte:$\chi \enspace 
(1)^{\textnormal{mit } y_{2}\,sin\,2 \pi x}
 3,2 - i \cdot 1,6 
\hfill 1,1$ Fehler
 in :\\
$\mathfrak{M}$: Der Wert aus $sin\,2 \pi x$ wird $\qquad(2)\enspace 3,132779 - i
\cdot 1,305139 \hfill 7,3$ \\
durch das Hinzunehmen der zweiten\\
Ansatzfkt $\cdot sin\,\pi x$ von 1,1  \qquad \quad(3) $ 3,169020 - i \cdot 1,449188 \hfill 3,4$\\
auf $2,5$ verschlechtert wie dies \\
Collatz auch erw\"ahnt .Allerdings w\"urde $\chi\,\, (4) 3,175990 - i \cdot 1,480280  \hfill 2,5 $\\
im Reellen der Wert \underline{steigen} m\"ussen.\\
Genau: $\qquad \qquad \qquad \qquad \nl$\\
\\
\\
Ist $S$ eine hermitesche Matrix, $D$ eine ebenfalls hermitesche Matrix, so ist 
\underline{$\vartheta^{2} (S\, D\, S) \leq \vartheta^{2} (S^{2} D)$}.


\qquad Bew: Sei 
$D = A + i\,B$, $A = A^{*}$, $B = B^{*}$\\
Bew: $\vartheta^{2}(S\,D\,S) = \vartheta^{2} S\, (A)\,S + \vartheta^{2} S\,
 B\, S^{*}$. Nun ist f\"ur hermitesches $A$  \quad $S\, A\, S$ hermitesch, also 
$\vartheta^{2} S\,A\,S = $ Quadratsummen der Wn,
 diese sind aber durch die Wn von $S^{2}\, A$\\
$(*) \vartheta^{2} D = Sp\, D\,D^{*} =
 Sp\,(A\,A + i\,B\,A - i\,A\,B + B^{2}) = Sp \,(A^{2} + B^{2}) =$ {\large{$)$}} \\
\nl
\\
$\textbf{Seite 41}$\\
\\
Das d�rfte bedeuten, da\ss es immer vorteilhaft ist, einen hermiteschen
 Diffoperatr in zwei adjungierte aufzuspalten: 
$(D - \lambda\, C)\, y = 0 \rightarrow (D_{1}\,D_{1}^{*} - \lambda\,C)\,
 y = 0 rightarrow (1 - \lambda\, H\, C\,H^{*})\, z = \nl$\\
Zu viel gesagt ! Wenn $C$ nicht hermitesch, braucht das nicht zu zu stimmen.
Stimmte es n�mlich allgemein, so stelle man eine beliegige Matrix $M$,
von den gezeigt werden soll $\vartheta^{2}M\,S \leq \vartheta^{2} S\, M$, 
in der Form $M = A\, S$ dar.\\
\\
\\
Es ist ein \underline{kettenbruch\"ahnliches Verfahren}, wenn man 
den EVektor \nl EW einer Matrix so verbessert: $\lambda_{0}$, $\varphi_{0}$;
$(A - \lambda_{0})\,\varphi_{1} = \varphi_{0}$; $\lambda_{1} =$
Kriterium aus $\varphi_{1}$; $(A - \lambda_{1}) \, \varphi_{2} = \varphi_{1}$
usw. Vgl. S. 49:'' gebrochene Iteration''.\\
\\
\\
\subsection*{Bilinearformel f\"ur symmetresierbare Kerne:}
Abstrakt:
\begin{quote}
$\phi = $ Raum, \nl, mit kompl. Zahlen als Operatoren; mit Abstand \nl\\
$\mathfrak{K} = $ lin. Abb., \nl, d.h. \nl hinsichtlich $d$;
in $\phi$: $(f,\, g) = \overline{(g,\, f)}$, stetig hinsichtlich $d$; $(b,\, b) > 0$,
$\mathfrak{b} \not= 0$;\\
$( \mathfrak{K} \, f,\, g) = (f, \mathfrak{K} \, g)$. 
\end{quote}       
Dann gilt mein Vorlagsbeweis f\"ur Existenz der EWe, und mit 
$s_{ \mathfrak{K} }^{2}(f) = \frac{( \mathfrak{K}\, f,\, \mathfrak{K}\, f)}{(f,\, f)}$~gilt \\
\nl. Daher mit $\mathfrak{K}_{n} = \mathfrak{K} - \sl{\nl}{n} \,
\underline{\varphi_{\nu} \cdot  (\varphi_{\nu\,j})}: (f\, \mathfrak{K}_{n\,0}) 
\rightarrow 0$.
\\
$\textbf{Seite 42}$\\
\\
\underline{$\Sigma \, \frac{1}{\lambda_{\nu}}$ f\"ur $-y'' = \lambda\,
 y$, $a\,y'_{0} + b\, y_{0} = 0$,
 $c\, y'_{b} + 
d\,y_{b}
 = 0$}:
$$ \sl{\infty}{l} \frac{1}{\lambda_{\nu}} = \frac{lac - \frac{l^{3}b\,d}{6} + \frac{(ad - bc)\,l^{2}}{2}}{ad - bc - lbd}$$
Es ist $\lambda_{nu} = k_{\nu}^{2}$ mit $D(\lambda) = (ad - bc) \cdot cos\, kl - (ack^{2} + bd)\, \frac{sin\,kl}{k}$\\
Bew: $\Delta (\lambda)$ mit Fundsystem $cos\,kx$, $\frac{1}{k}\,sin\,kx$ bilden.\\
\\
\\
Theorie der Gleichung (1) : $\underline{(1 + \lambda\,A_{1} + \lambda^{2}\,A_{2} + \cdots + \lambda^{n}A_{p})\,y = 0}$ oder $(1'):(1 + K)\,y = 0$.\\
Es gilt\\
(2) \hfill
$\left(
\begin{array}{cccccc}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdots & \cdot \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
\lambda\,A_{p}& \lambda\,A_{p - 1} + \lambda^{2}A_{p}
 & \lambda\,A_{p - 2} +\cdots+ \lambda^{3}A\_{p}&
\cdots&1 + \lambda\,A_{\mathfrak{y}} + \cdots + \lambda^{p}A_{p}
\end{array}\right) = \\
\\
\left(
\begin{array}{cccccc}
1 & -\lambda & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & -\lambda & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdots & \cdot \\
0 & 0 & 0 & \cdots & -\lambda \\
\lambda\,A_{p}& \lambda\,A_{p - 1} & \lambda \,A_{p - 2} & \cdots & 1 + \lambda\,A_{\nl}
\end{array}\right)\\
\\
\cdot \left(
\begin{array}{cccccc}
1 & \lambda & \lambda^{2} & \cdots & \lambda^{p - 1} \\
0 & 1 & \lambda & \cdots & \lambda^{p - 2}  \\
0 & 0 & 1 & \cdots &  \lambda^{p - 3} \\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdots & \cdot \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda \\
0 & 0 & 0 &\cdots & 1
\end{array}\right) $ oder mit $\mathfrak{q} = 
\left(
\begin{array}{cccccc}
1 &-\lambda & 0 & \cdots & 0\\
 &1 & -\lambda & \cdots & 0\\
&& 1 &\cdots&\\
&&&&1
\end{array}\right) $: kurz\\
\\
(2') \qquad $(1 + N) = (1 - \lambda \, \mathfrak{L}) \cdot \mathfrak{q}^{-1}\qquad (\mathfrak{L} = \textnormal{konstant}!)$.\\
\\
$\mathfrak{L} = 
\left(
\begin{array}{cccccc}
1 &-\lambda & 0 & \cdots & 0\\
 &1 & -\lambda & \cdots & 0\\
&& 1 &\cdots&\\
&&&&1
\end{array}\right) $, $\cal{N}$$= 
\left(
\begin{array}{cccccc}
0 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdots & \cdot\\
0 & 0 & 0& \cdots & 0\\
\lambda\,A_{p} & \lambda\,A_{p - 1} + \lambda^{2}\, A_{p}& \cdot &\cdots & K
\end{array}\right)$.\\
\nl
\\
$\textbf{Seite 43}$\\
\\
Die L\"osungen $y = e_{K}$ von (1) h\"angen mit den von $1 + N$ annulierten Vektoren 
\nl zusammen durch 
\begin{quote}
$e_{N} = 
\left(
\begin{array}{cccccc}
0\\
0\\
\vdots\\
0\\
e_{K}
\end{array}\right)$,
\end{quote}
 die $e_{N}$ mit den L\"osungen $e_{L}$ von $(1 - \lambda\, L)\, e_{L} = 0$ durch 
$e_{N} = \mathfrak{q}\, e_{L}$.\\
So ist die Aufgabe (1) auf die gew\"ohnliche EW-Aufgabe 
$$(3) \quad (1 - \lambda\, \mathfrak{L}) \, e_{L} = 0$$
zur\"uckgef\"uhrt. Wegen (2) haben $1 + \cal{N}$ und $1 - \lambda\,  \mathfrak{L})$
dieselben Elemetarteiler; die von $1 + K$ sind identisch mit denen von $1 + N$, bis auf \nl.\\
Insbesondere gilt $det\,(1 + K) = det\, (1 + N)$. Die Eigenl\"osungen von $\mathfrak{L}$ 
haben also die Gestalt $e_{L} = h_{L}^{(1)} = c^{-1}
\left(
\begin{array}{cccccc}
0\\
0\\
\vdots\\
0\\
h_{K}^{1}
\end{array}\right)$. \\
Durch Induktion findet man, da\ss die Hlen $\rho$-ter Stufe von $L$ die Gestalt haben\\
(4) \quad $h_{L}^{(\rho)} = C^{-1}
\left(
\begin{array}{cccccc}
0\\
\vdots\\
0\\
h_{K}^{(\rho)}
\end{array}\right) + C^{-2} 
\left(
\begin{array}{cccccc}
0\\
\vdots\\
0\\
h_{K}^{(\rho - 1)}
\end{array}\right)  + \cdots +  C^{-\rho} 
\left(
\begin{array}{cccccc}
0\\
\vdots\\
0\\
h_{K}^{(1)}
\end{array}\right)$\\
mit gewissen $ h_{k}^{(\mu)} $, $  h_{k}^{(1)} = h_{K} \not= 0$.\\
wobei $C \cdot h_{L}^{(\rho)} - 
\left(
\begin{array}{cccccc}
0\\
b_{(\rho)}\\
h_{K}
\end{array}\right)$ eine $H\,L\, (\rho - 1)$-ter Stufe von $L$ ist.\\
Also definiert man: Ein System\\
(5) $\{h_{K}^{(r)}, \cdots, h_{K}^{(1)}\}$ heisst ein $H\,L$ System $r$-ter Stufe f\"ur $K$, 
wenn die $r$ nach (4) aus $\{h_{K}^{(1)}\}$, $\{h_{K}^{(2)},\, 
h_{K}^{(1)}\}$,$\cdots$, $\{h_{K}^{(r)},\cdots,\, h_{K}^{(1)}\}$ \\
\\
$\textbf{Seite 44}$\\
\\
gebildeten Ausdr\"ucke $h_{\nu}^{\rho}$ $H$-Vektoren  \nl $r$-ter Stufe von $L$ darstellen.\\
Schreibt man in der Bezeichungsweise (5) das h\"ochste Glied $h_{k}^{(r)}$ zuerst, so darf
man \underline{hinten} Nullen anh\"angen und erh\"alt dadurch Hauptl\"osungen \underline{h\"ochstens}
($r + 1$)-ter usw Stufe: Daher ist mit $\{h_{K}^{(r)},\cdots\}$ und $\{h_{K}^{(r)};\cdots\}$ 
auch die Summe $\{h_{K}^{(r)} + 
h_{K}^{(r)}$'$,\cdots\}$ ein HLSystem. Z.B. ein HLSystem der Stufe 2:
\begin{quote}
$\{ h_{K}^{(2)} + e_{K},\, h_{K}^{(1)}\}$.
\end{quote}
In diesem Sinne bilden die HLS eine lineare Schar. Ihr Rang ist die Ordnung von $\lambda$ als
Nullstelle von $det\, |1 + K|$, also $=_{def} Ord_{K}\,\lambda$. Es hat aber weniger Sinn, 
$h_{K}^{(r)}$ selbst als eine $HL$ $r$-ter Stufe zu bezeichnen. Zwar bilden diese noch 
einen Modul, aber mitunter von kleinerem Range. Beispiel: F\"ur $p = 2$, $A_{1} = 
\left(
\begin{array}{cccccc}
a_{1} & 0\\
b_{1} & -2
\end{array}\right)$,
$A_{2} = 
\left(
\begin{array}{cccccc}
a_{1} & 0\\
b_{2} & 1
\end{array}\right)$ ist $\lambda = 1$ EW der Ordnung (genau) 2 (falls $1 + a_{1} + a_{2} \not= 0$). Die
zugeh\"origen $H$Vekt. von $(1 - \lambda \, \mathfrak{L})$ sind 
$\left(
\begin{array}{cccc}
0\\
1\\
0\\
1
\end{array}\right) = h_{L}^{(1)}$, 
$\left(
\begin{array}{cccc}
0\\
2\\
0\\
1
\end{array}\right) = h_{L}^{(2)}$; aber es ist $ h_{K}^{(1)} = h_{K}^{(2)} = 
\left(
\begin{array}{cccc}
0\\
1
\end{array}\right)$. Man kann also auch der einzelnen Eigenl\"osung $e$ von (1) noch eine Vielfachheit
zuschreiben: \nl die gr\"osste Zahl $ r$ derart, da\ss $e$ als erstes, d.h. "'Leitglied"' von 
$H$L\"osgen der Stufen $1,\,2,\, \cdots,\, r$ auftritt; oder vielleicht als gr\"osste Zahl 
$r$, derart da\ss $\{0,\,0,\cdots,e^{r-\textnormal{te Stelle}}\}$ ein HLS ist.
Beim gew\"ohnlich Fall, $p = 1$, kann das nicht vorkommen, wegen $b = 1$. Ist $C^{-1}
\left(
\begin{array}{cccc}
0\\
\vdots\\
h_{K}^{(r - 1)}
\end{array}\right) + \sim + C^{-r + 1}
\left(
\begin{array}{cccc}
0\\
\vdots\\
h_{K}^{(1)}
\end{array}\right)$ ein HV der Stufe $r - 1$ von
\\
$\textbf{Seite 45}$\\
\\
$1 - \lambda\, \mathfrak{L}$, so ist notw. und hinreichend daf\"ur. da\ss\\
$(1 - \lambda\,\mathfrak{L})^{r} \cdot 
\left\{
\begin{array}{cccc}

C^{-1}
\left(
\begin{array}{cccc}
0\\
h_{K}^{(r)}
\end{array}\right) + C^{-2}
\left(
\begin{array}{cccc}
0\\
\vdots\\
h_{K}^{(r - 1)}
\end{array}\right) + \cdots + 
C^{-r} 
\left(
\begin{array}{cccc}
0\\
\vdots\\
h_{K}^{(1)}
\end{array}\right) 
\end{array}\right\} = 0$\\
ist die Gleichung \\
$(1 + N)\, 
\left(
\begin{array}{cccc}
0\\
h_{K}^{(r)}
\end{array}\right) + N 
\left\{
\begin{array}{cccc}
C^{-1}
\left(
\begin{array}{cccc}
0\\
h_{K}^{(r - 1)}
\end{array}\right) + \cdots + C^{-r + 1}
\left(
\begin{array}{cccc}
0\\
h_{K}^{(1)}
\end{array}\right)
\end{array}\right\} = 0$,\\
oder, wegen \qquad \qquad\qquad\qquad 0\\
$N\, C^{-\gamma} 
\left(
\begin{array}{cccc}
0\\
\vdots\\
\mu
\end{array}\right) = 
(\sl{A}{r - 1}\, \frac{\lambda}{\rho!}\,
 \frac{d^{\rho}(\lambda^{\rho - 1}K)}{d\, \lambda\,\rho} \cdot u)$:\\
$(1 + K)\, h_{K}^{(r)} + \sl{\rho = 1}{r - 1}\, \frac{\lambda}{\rho !}
\frac{d^{\rho}(\lambda^{\rho - 1}K)}{d\, \lambda\, \rho} h_{K}^{(r - \rho)} = 0$
d.h. \qquad $(1 + K)\, h_{K}^{(1)} = 0$\\
$(1 + K)\, h_{K}^{(2)} + \lambda\, \dot{K}\, h_{(K)}^{(1)} = 0$ usw.\\
\\
\\
\subsection*{Allgemein selbstadjungierter Einschliessungssatz:}
Ist $\mathfrak{K}$ selbstadj. in bezug auf $(f,\, g)$, und ist f\"ur ein 
$f\quad f \not\equiv 0$ mit $a_{0} = (f,\, f)$, $a_{1} = (f,\, \mathfrak{K}f)$\\
$a_{2} = (\mathfrak{K}f,\, \mathfrak{K}f)$\qquad $\alpha = a_{0} + (M + m)a_{1} + M\,m\,a_{2} \in 0$,
so liegt zwischen $m$ und $M$ ein EW von $\mathfrak{K}$: $m\,\, \underline{\underline{<}}\,\, \lambda
\,\,\underline{\underline{<}}\,\, M$, wenn $m \leq M$.\\
Denn $\sl{1}{\infty}\, (1 - \frac{m}{\lambda_{i}})\, (1 - \frac{M}{\lambda_{i}})\,(a_{i})^{2} \,\, 
\underline{\underline{<}}\,\, d$ nach (\nl) Ungleichg.\\
F\"ur $d = 0$ stehen $m$ und $M$ in der Beziehung $M = \frac{a_{0} - a_{1}m}{a_{1} - a_{2}m}$\\
\\
$\textbf{Seite 46}$\\
\\
Mit $\mu_{1} = \frac{a_{0}}{a_{1}}$, $\frac{a_{1}}{a_{2}}$ kann man sagen: Zwischen\\
$m$ und $M = \mu_{2} + \frac{\mu_{1} - \mu_{2}}{1 - \frac{m}{\mu_{2}}}$ \\
liegt win EW. Es ist stets $|\mu_{1}| \geq |\mu_{2}|$. $\mathfrak{K} \rightarrow -\mathfrak{K}$
gibt $\mu_{i} \rightarrow -\mu_{i}$; es ist $\mu_{1}\,\mu_{2} \geq 0$. \\
In jedem Fall\\
(Ist $\mathfrak{K}$ pos. def., so ist $\mu_{1} \geq \mu_{2}$, und es) ist genau dann $M > m $,
wenn $M > \mu_{2}$, $m < \mu_{2}$. F\"ur $M = l_{2} \leq \lambda_{2}$ erh\"alt man
$$ m = \mu_{2} - \frac{\mu_{1} - \mu_{2}}{\frac{l_{1}}{\mu_{2}} - 1}, \textnormal{wenn }h >\mu_{2}.$$
Ist die Ausgangsfunktion $f$ orthogonal zu einer EFunktion $\psi_{i}$, so liegt in $<m,\, M>$ ein
EW, abgesehen von $\lambda_{i}$. Denn es ist $\mathfrak{K}\,f = \mathfrak{K}^{*}F$ mit 
$\mathfrak{K}^{*}F = \mathfrak{K} - \frac{\psi_{i}\,\psi_{i}}{\lambda_{i}}$.\\
Folge: Ist f\"ur eine ganze $r-$ parametrige Schar $f = c_{1} + \cdots + c_{r}\,f_{r}$\\
$d \leq 0$, f\"ur alle $c_{\rho}$, so liegen in $<m,\, M>$ mindestens $r$ EWe von $\mathfrak{K}$.
Dann in der Schar gibt es eine Funktion, die zu $r - 1$ beliebig vorgeschrieben $\psi_{i}$ 
orthogonalist.\\
\\
\\
\underline{Zu Inglisch [25]}: Zu der "'Bemerkg."' zum Hauptsatz von \nl  4 wird behauptet,\\
der Kern $H(x) \cdot K(x,\,y)$ habe nur reelle EWe, wenn $K(x,\,y)$ reell symmetrisch, $H(x)$ reell stetig, ein
\nl $K_{n}$ stetig.\\
\underline{Gegenbeispiel:} $K(x,\,y) = -5x\,y + 6\, (x + y) + 5$; $H(x) = 16\,x - 9$; EW $\lambda
= \pm \frac{61}{6} \cdot i$;\\
EF $\varphi(x) = 16 i\,x^{2} + (16 - 9i)x - 9$: $\varphi (x) = \lambda \cdot H(x) \,\int\, K(x\, y)\,\varphi(\mathfrak{y})\, d y$.
\begin{flushright}
Nachreichend \qquad\qquad \qquad  \qquad\qquad  \qquad\qquad  \qquad
\end{flushright}
$\textbf{Seite 47}$\\
\\
Entwicklg. eines Polynoms an der Stelle $x = c$:\\
Setzt man in \underline{$f(x) = \Sigma\, a_{\nu}\, x^{\nu}\qquad x = c\,(1 + x^{*})$} ein, so wird 
$$ \underline{f(x) = \Sigma a_{\nu}^{*}\,x^{\nl} = f^{*}(x^{*})}$$
mit
\begin{quote}
$a_{0}^{*} = f(c) = \Sigma a_{\nu}\,c^{\nu}$\\
$a_{1}^{*} = c\,f'(c) = \Sigma \nu\, a_{\nu}\,c^{\nu}$\hfill wobei immer nur die\\
$a_{2}^{*} = \frac{1}{2i} c^{2}\,f''(c) = \Sigma 
\left(
\begin{array}{cccc}
\nu\\
2
\end{array}\right) 
 a_{\nu}\,c^{\nu}$\hfill Werte $a_{\nu}\,c^{\nu}$ mit anderen\\
$a_{3}^{*} = \frac{1}{3i} c^{3}\,f''(c) = \Sigma 
\left(
\begin{array}{cccc}
\nu\\
3
\end{array}\right) 
 a_{\nu}\,c^{\nu}$\hfill ganzen Zahlen zu multipl. $\&$ add. ha.\\
\end{quote}
Ist $c$ eine gen\"ahrte Nullstelle und setzt man nach Newtoon 
$c^{*} = - \frac{a_{0}^{*}}{a_{1}^{*}}$, usw, so 
ist $x = c\,(1 + c^{*}\,(1 + c^{*\,*}\,[1 + c^{*\,*\,*}]))$ ein verbesserter Wert der Nullstelle.
Das ist ein "'Kettenprodukt"' $[c,\,c^{*},\,c^{*\,*},\,c^{*\,*\,*}]$, analog Kettenbruch.\\
\\
\\
\underline{Beim Flattern d\"urften die komplexen Massen gegen\"uber den reellen} oft so 
\"uberwiegen, da\ss es gleichg\"ultig ist , zu was f\"ur einen Massenverteilg. die 
eingesetzten Handschwingungsformen geh\"oren, nur Einzelmassen werden eine Rolle spielen.
\\
\\
\underline{Aufl\"osung der Flattergl.} vermisse eine vollst. $EF$-Systems zu anderen Massenverteilung $C_{0}$:\\
Sei \qquad \qquad \qquad $(D - \mu_{2}\,C_{0}) \, \phi_{\nu} = 0\qquad \,\,U_{\mu}(\varphi_{\nu}) = 0$,\\
Aufzul\"osen sei \quad $(D - \lambda\,C)\, y = 0\qquad \qquad U_{\mu}(y) = 0$.\\
Die $\phi_{\nu}$ seien durch $\varphi_{i}\,D\,\varphi_{R} = \mu_{i}\,\varphi_{i}\,C_{0}\,\varphi_{k} 
\delta_{i\,k}$ normiert und null.\\
\\
$\textbf{Seite 48}$\\
\\
\begin{enumerate}
\item direkte Auf\"osung durch Ansatz 
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$y = \Sigma a_{\nu}\,\varphi_{\nu}$\\
\hline
\end{tabular} f\"uhrt auf das Gl.-Syst.,\\
$\sl{k}{} a_{k} (D\,\varphi_{k} - \lambda\,C\,\varphi_{k}) = 0$ \qquad, d.h.\\
(1) $a_{i} - \lambda\,\sl{k}{} \,\int \varphi_{i}\,C\,\varphi_{k})\, a_{k} = 0\qquad (i = 1,\,2,\dots)$.
\item Iteration einer Fkt. $y_{1} (= \Sigma\, b_{v}\,\varphi_{v}):\qquad Dy = Cy_{1}$\\
$\sl{k}{} a_{k}\,\mu_{k}\,\varphi_{k} = C_{0}^{1}C\,y_{1}$\\
(2) $\qquad a_{k} = \int \varphi_{k}\,C\,y_{1}$.
\item Gebrochene Iteration einer Fkt. $y_{1} = \Sigma b_{i}\, \varphi_{i}$: $(D - \lambda_{0}C)\,y
= C\,y_{1}$\\
$(\lambda_{0}$ beliebig, nahe \qquad\qquad $\Sigma (\mu_{k}\,C_{0} - \lambda_{0}C)\,a_{k}\,\varphi_{k} = 
C\,y_{1}$\\
am gesuchten EW.)\qquad\quad\, (3) $a_{i} - \lambda_{0} \sl{k}{} a_{k} \int \varphi_{i}
C\,\varphi_{k} = \int \varphi_{i}\,C\,y_{1}$ 
\begin{flushright}
 $(i = 1,\, 2,\, \cdots)$.
\end{flushright}
Die gebrochene Iterarion f\"uhrt die $EF$ $e_{1}$ zum EW $\lambda_{1}$ \"uber in $\frac{1}{\lambda_{1} - \lambda_{0}}\, e_{1}$.\\
Sind die $b_{i}$ aus $b_{i} - \lambda_{0}\,\sl{1}{3} \,\int \varphi_{i}\,C\varphi_{k} \cdot
b_{k} = 0$ bestimmt, so \nl die ersten 3 Gl. von (3):\\
$$a_{i} - \lambda_{0}\, \Sigma \, a_{k}\,  \int \varphi_{i} \cdot C\,\varphi_{k} = \frac{b_{i}}{\lambda_{0}}.$$
\end{enumerate}  



\subsection*{Gebrochene Iteration: $y_{1} \rightarrow y_{2}$ mit ($\mathfrak{K} - K_{0})\,y_{2} = y_{1}$.} 
 Dabei geht die EL \quad $e$ zum EW $_{K}$ \"uber in $\frac{1}{K - K_{0}}\,e$. Dahermultipliziert
sich das Amplitudenverh\"altnis von $e_{1}$ : $e_{2}$ mit $\frac{K_{2} - K_{0}}{K_{1} - K_{0}}$.\\
Ist besonders bequem bei Matrizen der Hessenberg-Gestalt:\\
\begin{flushright}
$x_{1}$ $x_{2}$ $x_{3}$ \qquad \qquad  \qquad \qquad  \qquad \qquad  \,\, \qquad \qquad \qquad \qquad  \qquad \qquad  \qquad \qquad 
\end{flushright}
$\begin{array}{ccccc}
&&&&\left(
\begin{array}{cccc}
\cdot & 1 &\\
\cdot & \cdot & 1\\
\cdot & \cdot & \cdot
\end{array}\right)  \cdot \mathfrak{q} = 
\left(
\begin{array}{cccc}
\cdot \\
\cdot \\
\cdot 
\end{array}\right)
\end{array}\\
\begin{array}{cccccc}
\textnormal{Elim.}\, x_{3}& &\cdot & \cdot & 0\\
\textnormal{dann}\, x_{2}&&\cdot & 0 & \\
\end{array} \qquad    
\begin{array}{cccc}
 & \,\,\,\cdot\\
= &\,\,\, \cdot  
\end{array}$
\begin{flushright}
$\underbrace{\qquad\qquad\qquad\qquad}$ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\,\,\,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
\end{flushright}
damit ist $x_{1}$ bekannt. Nun oben schrittweise \nl ausrechnen.\\
\\
$\textbf{Seite 49}$\\
\\
Geht man bei dem Beispiel Arbert II S.41 aus von $x^{(4)} = 4,\,4;\,y^{(4)}$, so ergibt
sich aus mit gebrochener Iteration aus \\
$y^{(4)}= \{ 1\qquad -0,551 \qquad 0,102 \}\qquad K_{1} \sim 4,4 \quad (10)$\\
nach einem Schritt: \\
$l_{1} \sim \{ 1\qquad -0,512 \qquad 0,024 \}\quad K_{1} \sim 4,0727 \quad (\nl)$ \\
nach zwei Schritten:\\
$e_{1} \sim \{ 1\qquad -0,49975 \qquad -0,001107 \}\quad K_{1} \sim 3,9949 \quad (0,12)$ \\
Die verbesserten EWe $_{K}$ berechnen sich aus dem Ausgangs-$_{K_{0}}$ der Iteration jeweils nach
$y_{\textnormal{It}} : y_{\textnormal{Ausg}} \sim \frac{1}{K - K_{0}}$, dh. $K \sim K_{0} + \frac{y_{\textnormal{Ausg}}}{y_{\textnormal{it}}}$ {\Large{$|$}}
$_{_{\textnormal{gr\"osste Komponente}}}$ \\
Die erste gebrochene Iteration leistet hier soviel wie 5 gew\"ohnliche\\
Die zweite gebrochene Iteration leistet hier soviel wie 5 gew\"ohnliche.\\
Bei Hessenberg-Matrizen braucht eine gebrochene It. knapp doppelt so viele \nl als eine gew\"ohnliche Iteration\\
Bei zweireihigen Matrizen geht gebrochene Iteration bis auf Proportionalit\"at genau so schnell
wie gew\"ohnliche. Um mit $A =
\left(
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right)$, $K_{0}$ \nl, hat man mit $\overbrace{A - K_{0}} = 
\left(
\begin{array}{cccc}
a_{22} - K_{0} & -a_{12}\\
a_{21} & a_{11} - K_{0}
\end{array}\right)$ gew\"ohnlich ist zu iterieren.\\
\\
Bei der gebrochene Iteration macht es sehr viel aus, wenn der EW gut angen\"ahrt ist, auf
die \nl kommt es nicht so sehr an. -L\"asst man die gew\"ohnl. Iteration der gebrochenen entsprechen,
so entspricht dem Verfahren, $\mathfrak{K}$ zu potenzieren, ein Kettenbruchverfahren: 
$A_{1} = \overbrace{A - K_{0}}$; $A_{2} = \overbrace{A_{1} - K_{1}}; \cdots$ .\\
\\
\\
\underline{Das Funktionensystem $e^{2\,n\,i\,\pi\,x}$ ist} dadurch ausgezeichnet in $<0,\, 1>$: Es ist
das Orthogonalsystem mit der einfachsten Multipikationstabelle und \nl.\\
\\
$\textbf{Seite 50}$\\
\\
\underline{$y'' = \lambda\, g\, y$; $y(0) = y(1) = 0$} f\"uhrt nach \underline{gew\"ohnl Diff. Verfahren} auf
$\left|
\begin{array}{ccccc}
1 + \mu\,g_{1} & -\frac{1}{2} & &  \\
-\frac{1}{2} & 1 + \mu\,g_{2} & -\frac{1}{2} &\\
& -\frac{1}{2} & 1 + \mu\,g_{3} & -\frac{1}{2} \\
&& -\frac{1}{2} & \cdots 
\end{array}\right| = 0$ mit 
$\left\{
\begin{array}{ccccc}
\mu = \frac{\lambda\, h^{2}}{2}\\
h = \frac{b - a}{n}\\
\textnormal{Det } n - 1 \textnormal{-reihig.}
\end{array}\right.$ 
Wegen dieses einfachen Baus (spezielle Hess.-Matrix) geht auch gebroch. It. gut!\\
\\
\\
Die \underline{Nullstellen des Abschnitts det. von 36 (1)} lassen sich leicht durch Iteration von
 den Diagonalgliedern her bekommen. Z.B. $\mu_{3} = \frac{1}{\xi}$ aus\\
$\left|
\begin{array}{ccccc}
a_{11} - \xi & a_{12} & 0\\
a_{12} & a_{22} - \xi & a_{23}\\
0 & a_{23} & a_{33} - \xi
\end{array}\right|$;\qquad $a_{33} - \xi = \frac{a_{23}^{2}\,(a_{11} - \xi)}
{\left|
\begin{array}{ccccc}
a_{11} - \xi & a_{12}\\
a_{12} & a_{22} - \xi
\end{array}\right|}$\\
Man findet in 3 Iterationsschritten $\grave{a}$ 30 Minuten:
\begin{tabular}{ccccc|c}
 & $(0) = a_{33}$ & $(1)$ & $(2)$ & $(3)$ & $\lambda_{3}^{(3)}$\\
$\mu'_{3}$ & $7,2$ & $7,0943$ & $7,10365$ & $7,102887$ & $-70,103$\\
$\mu''_{3}$ & $-3,6$ & $-3,2029$ & $-3,18683$ & $-3,187827$ & $31,463$\\
$\textnormal{Korr}$ & & $5$ & $0,25$ & $0,02$&
\end{tabular}\\
Ebenso: Neue Faustregel $F_{2}$ f\"ur den ersten EW von $y^{''} = \lambda\, g\, y$, $y_{0} = y_{1} = 0$:\\
$-\frac{\pi^{2}}{\lambda_{1}} \approx a_{11} + \frac{a_{12}^{2}}{-a_{22} + a_{11}}$ $a_{11} = \gamma_{0} - \gamma_{2}$;
$a_{12} = \frac{1}{2} \,(\gamma_{1} - \gamma_{3})$; $a_{22} = \frac{1}{4}\,(\gamma_{0} - \gamma_{4})$; $\gamma_{2} = \il{0}{1}\, g(x)\,a\,sin\,x\,dx$\\
\nl $W_{n}$: $\xi - a_{22} + \frac{a_{12}^{2}}{\xi - a_{11}} + \frac{a_{23}^{2}}{\xi - a_{33}}$ \\
\\
$\textbf{Seite 51}$\\
\\
Die von Collatz vermutete Erscheinung, da\ss der \nl f\"ur $\lambda_{3}$ schlechter werden kann,
wenn man zu \underline{einer} Ansatzfkt. eine zweite oder zu \underline{zwei} eine dritte
hinzunimmt, kommt bei h\"oheren Det. nicht mehr vor: Beim Hinzunehmen einer 4. Ansatzfkt und
jeden weiteren mu\ss $ \,\,\lambda_{3}$ nach der Minimaleigenschaft fallen, also besser werden.\\
\\
\\
Kennt man die drei ersten EL\"osgen $e_{1}$, $e_{2}$, $e_{3}$ ungef\"ahr, so kann man die \underline{Funktionelle
$\mathfrak{G}_{i}$ \nl $\lambda_{i} \sim \frac{ \mathfrak{G}_{i}\, a_{i}}{ \mathfrak{G}_{i}\, \mathfrak{K}\,a_{i}}$ mit
$a_{i} \sim e_{i}$ so w\"ahlen}, da\ss $\mathfrak{G}_{i}\,e_{j} \approx 0$ f\"ur $i \not= j$, und damit
$\lambda_{i}$ ziemlich genau bestimmen; damit dann wieder, etwa bei It-Verf.; $e_{i}$ genauer.\\
\\
\\
Wenn man f\"ur eine dreireihige Matrix $A$ und einen Vektor $\mathfrak{q}$ folgendes kennt:
\underline{$ \mathfrak{q},\, A\, \mathfrak{q},\, A^{*}\, \mathfrak{q}$; so folgt daraus 
noch nichts \"uber die Wurzeln von $A$}, ausser in dem einen trivialen Fall, dass $A\, 
\mathfrak{q}$ oder $A^{*}\, \mathfrak{q}$ proportional zu $\mathfrak{q}$ ist.\\
Denn ausser im trivialen Fall kann man annehmen $A = 
\left(
\begin{array}{ccccc}
0 & \alpha & \beta\\
1 & u & v\\
0 & w & z
\end{array}\right)$  mit festgegebenem $\alpha,\, \beta \not= 0,\, 0$.\\
 Zu $|x - A| = x^{3} - 
(u + z)\, x^{2} + 
\left\{
\begin{array}{c}
\left|
\begin{array}{ccccc}
0 & \alpha & \beta\\
 u & v\\
 w & z
\end{array}\right| + a
\end{array}\right\} \, x - 
\left|
\begin{array}{ccccc}
\alpha & \beta\\
 w & z
\end{array}\right| $ kann man, da $\alpha,\,\beta
 \not= 0,\, 0:$ $w,\, z$ \nl bestimmen, da\ss 
$\left|
\begin{array}{ccccc}
\alpha & \beta\\
 w & z
\end{array}\right| =$ vorgegeben und $w \not= 0$; dann \nl so, da\ss $u + z =$ vorgegeben,
 dann
$\left|
\begin{array}{ccccc}
u & v\\
 w & z
\end{array}\right| + \nl $ durch passende Wahl von $v = $ vorgegeben.\\
\\
$\textbf{Seite 52}$\\
\\
\subsection*{G\"utevergleich der Gewichtsfunktionen bei \underline{einem} Freiheitsgrad.}
Zu $(1 - \lambda_{1}\, \mathfrak{K})\, e_{1} = 0$\\
sei f\"ur $e_{1}$ die N\"aherung $a = e_{1} + d$ bekannt. Es sei eine definite Matrix
$(f,\, g) = \overline{(g,\, f)}$, $(f,\, f) > 0$ gegeben und $(d,\,d) << (e,\, e)$.\\
Mit der willk\"url. Gewichtsfunktion $g$ wird
$$\lambda = \frac{(g,\, a)}{(g,\, \mathfrak{K}\,a)}$$
als N\"aherungswert f\"ur $\lambda_{1}$ angesehen. Es ist\\
$$\lambda = \frac{(g\, e_{1}) + (g\,d)}{\nl\,(g\,e_{1}) + (g\, \mathfrak{K}\,d)} = \lambda_{1}
\left\{
\begin{array}{ccccc}
1 + \frac{(g,\, (1 - \lambda_{1}\, \mathfrak{K})\, d)}{(g\,e_{1}) + \lambda_{1}\,(g\,\mathfrak{K}\,d)}$$
\end{array}\right\} \sim \lambda_{1}
\left\{
\begin{array}{ccccc}
1 + \frac{(g,\, \mathfrak{K}_{1}\, d)}{(g\,e_{1})}
\end{array}\right\}$$ 
in erster N\"aherung, mit $\mathfrak{K}_{1} = 1 - \lambda_{1}\, \mathfrak{K}$. Also ist
$$ \left|
\begin{array}{c}
\frac{\delta\,\lambda_{1}}{\lambda_{1}}
\end{array}\right|^{2} = 
\left|
\begin{array}{c}
\frac{\lambda - \lambda_{1}}{\lambda_{1}}
\end{array}\right|^{2} \sim 
\frac{|(\mathfrak{K}^{*}_{1}\,g,\,d)|^{2}}{|(g,\, e_{1})|^{2}} = 
\frac{|(\mathfrak{K}^{*}_{1}\, g,\, d)|^{2} \cdot (e,\, e_{1})}{|(g,\, e_{1})|^{2} \cdot (d,\, d)} \cdot \frac{(d,\, d)}{(e_{1},\, e_{1})}$$
$$  \left|
\begin{array}{c}
\frac{\delta\,\lambda_{1}}{\lambda_{1}}
\end{array}\right|^{2} \sim 
\frac{|(\mathfrak{K}^{*}_{1}\, g,\, d)|^{2} (e_{1},\, e_{1})}{|(g,\, e_{1})|^{2} \cdot (d,\, d)} \cdot
\frac{||\delta\,e_{1}||^{2}}{||e_{1}||^{2}}.$$
Nun ist nach Schwarz der Faktor $\nearrow \,\,\underline{\underline{<}}\,\, \frac{||\mathfrak{K}^{*}_{1}\, g||^{2} \cdot (e_{1},\, e_{1})}{|(g,\, e_{1})|^{2}}$, und
das Maximum wird f\"ur $d = \mathfrak{K}_{1}^{*}\,
 g = (1 - \lambda_{1}\, \mathfrak{K})^{*}\,g$ tats\"achlich 
angenommen, also \"ubrigens f\"ur $d\, \bot e$.\\
Also kann die ''Schlechte'' $S(g)$ definieren durch
\begin{tabular}{|c|}
\hline\\
$\mathfrak{S}(g) = \frac{||\mathfrak{K}_{1}^{*}\, g|| \cdot ||e_{1}||}{|(g\, e_{1})|} = \frac{||(1 - \lambda_{1}\,\mathfrak{K})^{*}g|| \cdot ||e_{1}||}{|(g,\, e_{1})|} $\\
\hline
\end{tabular}\\
und hat dann $\max\limits_{\alpha}\,
\left|
\begin{array}{c}
\frac{\delta\,\lambda_{1}}{\lambda_{1}}
\end{array}\right| \sim \mathfrak{S}(g) \cdot \frac{||\delta\,e_{1}||}{||e_{1}||}$ in erster
N\"aherg. $\rightarrow$ siehe S. 53 !\\
Also ist es am vern\"unftigsten, $\mathfrak{G}$ so zu bestimmen, da\ss es die adjungierte\\
\begin{tabular}{c}
\hline\\
$\textnormal{Gl. m\"oglichst gut erf\"ullt, mit der Vorsichtsma\ss regel, da\ss } \nl$\\
\hline
\end{tabular}
\\
$\textbf{Seite 53}$\\
\\
''In erster N\"aherung '' heisst: In dem Masse, wie $|\lambda_{1}(g,\,  \mathfrak{K}\, d)| : |(g,\, e_{1})| << 1$. Also ist etwa (1) $|\lambda_{1}\,
d)| : |(g,\, e_{1})| << 1$. Also ist etwa (1) $|\lambda_{1}(g,\,  \mathfrak{K}\, d)|  < \frac{1}{2} \cdot 
|(g,\, e_{1})|$ zu fordern; denn gilt \nl.\\
$ \left(
\begin{array}{c}
\frac{2}{3}\, \mathfrak{S}\,(g)\, \frac{||\delta\,e_{1}||}{||e_{1}||}\,max \,\,\underline{\underline{<}}
\end{array}\right)\, \max\limits_{d}\, \, 
 \left|
\begin{array}{c}
\frac{\delta\, \lambda_{1}}{\lambda_{1}}
\end{array}\right|\,\,\underline{\underline{<}}\,\, 2
 \cdot \mathfrak{S} (g) \cdot \frac{||\delta\, e_{1}||}{||e_{1}||} max$. \\
wobei allerdings f\"ur das linke Zeichen alle $d$ mit $||d||\leq ||d||\, max$ zugelassen sind , nicht nur die mit 
(1)\\
Ist gut $(1 - \lambda_{1}\,\mathfrak{K})^{*}g \approx 0$, so lautet die Vor. (1): $|(g,\, d)| < \frac{1}{2}\,|(g,\, e_{1})|$.\\
\\
\nl, weil rechts $\lambda$ vorkommt statt $\lambda_{1}$.

\subsection*{Zwei Freiheitsgrade.}
Bestimmt man $\lambda$ aus
\begin{tabular}{c|c}
$g_{1}$& $(1 - \lambda\, \mathfrak{K})\, (c_{1}\,f_{1} + c_{2}\, f_{2}) = 0$\\
$g_{2}$& $(1 - \lambda\, \mathfrak{K})\, (c_{1}\,f_{1} + c_{2}\, f_{2}) = 0$
\end{tabular},\\
so kommt es nur auf die linearen Scharen $\{g_{1},\, g_{2}\}$ und $\{f_{1},\, f_{2}\}$ an. Es 
sei nach passender Wahl der Basis von $\{f_{1},\, f_{2}\}$ \qquad $f_{i} = e_{i} + d_{i}$, $(1 - \lambda_{i}\, \mathfrak{K}) = 0$.\\
Dann wird mit $g\, f = (g,\, f)$\\
$(\frac{\lambda}{\lambda_{1}} - 1)\,(1 - \frac{\lambda}{\lambda_{2}})\,det\,|\mathfrak{G}_{i}\,e_{k}| 
= (1 - \frac{\lambda}{\lambda_{1}})\, det\, | \mathfrak{ G}_{i} \, e_{1}\\
 \mathfrak{G}_{1}\,\mathfrak{L}\,d_{2}| + (1 - \frac{\lambda}{\lambda_{2}})\, det\,|\mathfrak{G}_{i}\,\mathfrak{L}\,d_{1}
\qquad \mathfrak{G}_{i}\, e_{2}\,|$
\begin{flushright}
$+ det\,|\, \mathfrak{G}_{i}\, \mathfrak{L}\, d_{1}$,\quad $\mathfrak{G}_{i}\,\mathfrak{L}\, d_{2}| \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $.
\end{flushright}
$\textbf{Seite 54}$\\
\\
Sieht man $||d_{1}||$, $||d_{2}||$ und $(1 - \frac{\lambda}{\lambda_{1}})$ als klein von 
erster Ordnung an, so wird
$$(\frac{\lambda}{\lambda_{1}} - 1) \, det \, (g_{1},\, e_{K}) \sim det\,|\, (g_{i},\,\mathfrak{L}_{1}\, d_{1})\quad (g_{1},\, e_{2})|$$ 
Also ist $max\, |\frac{\lambda}{\lambda_{1}} - 1| \sim \frac{||d_{1}||}{||e_{1}||}\,max.$
$\frac{||det\, \mathfrak{L}_{1}^{*}\,g_{i},\,\,(g_{i}\,e_{2})|| \cdot ||e_{1}||}{abs\,det\,(g_{i}\,e_{k})}.$\\
Daher ist zu setzen 
\begin{quote}
$\mathfrak{S}_{\lambda_{1}}\{g_{1},\, g_{2}\} = 
\frac{|| \left|
\begin{array}{cc}
(1 - \lambda_{1}\mathfrak{K})^{*}g_{1} & (g_{1},\, e_{2})\\
(1 - \lambda_{1}\mathfrak{K})^{*}g_{2} & (g_{2},\, e_{2})
\end{array}\right| || \cdot ||e_{1}||}
{abs\, 
\left|
\begin{array}{cc}
(g_{1},\, e_{2}) & (g_{1},\, e_{2})\\
(g_{2},\, e_{1}) & (g_{2},\, e_{2})
\end{array}\right|}$. 
\end{quote}
Ist $\mathfrak{L}_{1}^{*}g_{1} = 0$, sonst $(g_{1},\, e_{2}) = 0$ sind daher $\mathfrak{S}_{\lambda_{1}}\,\{g_{1}\, g_{2}\} = 0$: es gilt, wenn\\
$\lambda_{1} \not= \lambda_{2}$, 
\begin{quote}
\begin{tabular}{|c|}
\hline\\
$\mathfrak{S}_{\lambda_{1}}\{g_{1},\, g_{2}\} = \frac{1}{|1 - \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}|} \cdot                   
\frac{|| \left|
\begin{array}{cc}
h_{1} & (h_{1},\, e_{2})\\
h_{2} & (h_{2},\, e_{2})
\end{array}\right| || \cdot ||e_{1}||}
{abs\, 
\left|
\begin{array}{cc}
(g_{1},\, e_{1}) & (g_{1},\, e_{2})\\
(g_{2},\, e_{1}) & (g_{2},\, e_{2})
\end{array}\right|}$\\
\hline
\end{tabular} mit $h_{i} = (1 - \lambda_{1}\,\mathfrak{K})^{*}\, \mathfrak{G}_{i\,\nl}$
\end{quote} 
Frage: Ist \nl mit anderer Metrik ?\\
\\
\\
Aufgabe: \underline{Stabilit\"atsbegriff untersuchen}. Was hat Stabilit\"at  mit hermitischer
Bewegg. und Eigenwerten zu tun ? Vgl. S\"ohngen, LGL-Bericht 135, S. 31 - 34 f\"ur Ebenes Problem. Frage dann: 32 G\"ultigkeitsbereich ? \nl
\\
$\textbf{Seite 55}$\\
\\
Eigenwertaufgaben der Form $\underline{y = k\, \mathfrak{K}\, y + \lambda\, \mathfrak{L}\, y}$ \qquad (alles reell) kann man vielleicht iterativ l\"osen: Sch\"atze
 $y \approx y_{0}$; w\"ahle $k_{0},\, \lambda_{0}$ so, dass im Sinn der kleinsten Quadrate $y_{0} \approx k_{0}\,\mathfrak{K}\,y_{0} + \lambda_{0}
\, \mathfrak{L}\, y_{0}$, und setze $y_{1} = k_{0}\, \mathfrak{K}\,y_{0} + \lambda_{0}\,\mathfrak{L}\,y_{0}$. Diese Gestalt h\"atte
das Flatterproblem, wenn $v$ lineat in die Koeff. einginge.\\
\\
\\
Besser gesagt: \underline{$\downarrow\,\frac{1}{4} \,\int \,E\,\exists\,|y''|^{2} + \frac{1}{4}\,\int\, k\, I\, d\,|z'|^{2} =$ 
elastische Energie des Fl\"ugels.}\\
$\frac{1}{4}\{\int\,\overline{y}\,(E\, \exists\, y'')'' - \int \,\overline{z}\,(G\, I\,d\, z')'\}$ ist der
\underline{elastische Energieinhalt} im des Fl\"ugelinhalts Zeitmittel bei der Schlagbewegg. $\mathfrak{R}_{n}\, z\, e^{i\,\nu\,t}\,\, (\nu$ reell). Denn es ist
$\frac{1}{2}\,|A|^{2}$ der zeitliche Mittelwert\\
 von $(\mathfrak{R}_{n}\, A^{i\,\nu\, r})^{2}$, also $\frac{1}{4}\, \int\,\overline{z}\,(G\, i\, d\, z')' = \frac{1}{2}$ MW von $[\mathfrak{R}_{n}\, \sqrt{G\,z\,d}\,z'e^{i\,\nu\,t}]^{2}$
\begin{flushright}
also mit $S = \mathfrak{R}_{n}\, z\, e^{i\,\nu\, t}\qquad\qquad = \frac{1}{2} \, $MW von $G\, I_{d}\, S'(t)^{2}$ \qquad\quad\qquad\qquad\quad\quad
\end{flushright}
Bei einem geraden Biege-Balken mit kleinen Winkel\"anderungen ist das an der Stelle $x$ 
vom rechten Teil auf den linken \"ubertragene Biege-Moment (in bezug auf die neutrale Faser) \nl 
$B = p(x) \cdot Y''$, also liegt die Balkenform schon fest, wenn $B = B(x)$ bekannt. Man kann ein und 
dieselbe Balkenform erzeugen durch Anbringen von \"ausseren \underline{Kr\"aften} $k(x)$ (senkrecht
zum Balken, wenn kein Zug herrschen soll) oder durch Anbringen von Kr\"afte\underline{paaren}
mit den Momenten $m(x)$. Tut man beides, so wird $B(x) = \il{A}{x}\,\nl \il{1}{\xi}\, k(\eta)\,d\,\eta + \il{k}{1}\, m(\eta)\,d\,\eta$.  In beiden F\"allen
verschwinden Zustand des Balkens  allein von seiner Verformung $y(x)$ abh\"angt, dh. von $B(x)$, so mu\ss \nl $x$ ausser dem Biegemoment $B(x)$ immer 
gleichzeitig eine Querkraft $q(x)$ von rechts nach links \"ubertragen, und zwar f\"ur $m = 0$: $g(x) = \il{x}{1}d\,\nl = B'(x)$\\
NB: $k(x)\, m(x) =$ ''Belastung'', $g(x)$, $B(x) =$ ''Beanspruchung'' \nl
\\
$\textbf{Seite 56}$\\
\\
Die durch die Biegemoment $B(x)$ im Balken \nl Energie kann nutzbar gemacht werden entweder
durch Entnahme von Drehmomenten, etwa indem man die Verformung $t\, y\,(x)\quad (0 \leq + \leq 1)$ betrachtet, die zum Biegemoment $t\,B (x)$ geh\"ort und f\"ur 
$\pm = 1 \rightarrow t = 0$ die soweit $\il{t = 0}{1}\nl\il{0}{1}\,[y'(x)\cdot ^{-}dt] \cdot [B'{(x)}\d\,X] = -\frac{1}{2}\,\il{0}{1}\,y'(x)\,(p\,y'')'\,dx = \frac{1}{2}\, \il{0}{1}\, y''^{2} \cdot p \,dx$\\
Entnimmt man die Arbeit auf dem Wege \"uber die senkrechten \"ausseren \underline{Kr\"afte}, so wird sie
$= \il{0}{1} \, y(x) \cdot (p\, y'')'' = \frac{1}{2} \, \il{0}{1}\, p\, y''^{2}\, dx$.\\
$q(x)$ \nl proportional der Auslenkung der elast. Faser gegen die Normale der Querschnitte 
sein.\\
Im Widerspruch in der Behauptung von S.55 unten, auch bei reiner Momentbelastung tr\"ate eine
elastische Querkraft auf, muss die Querkraft verschwinden, weil ausserdem an dem linken Balkenteil
nur Kr\"aftepaare auftreten und die Summe aller Kr\"afte verschwinden mu\ss. Wenn man also 
den Balken so stark idealisiert, dass sein elastischer Zustand von der Auslenkung  allein 
abh\"angt, darf man nicht Momenten -und Kr\"aftebelastungen nebeneinander betrachten; wahrscheinlich 
h\"angt auch die zur Deformation eines physischen Balkens notwendige Arbeit davon ab, ob 
man \nl durch Kr\"afte senkrecht oder tangential \nl hervorruft; da das erstere wohl\\
(\nl; vgl. S. 56 oben.)\\
\\
$\textbf{Seite 57}$\\
\\
wichtiger ist, werden wir kontinuierliche Momentenbelastungen verbieten, nun eine in sich
widerspruchsfreie Idealisierung zu haben.  $|$ Ein \"ahnlicher Widerspruch w\"are es, wollte
man \nl St\"orungen rechnen und doch $p \cdot v = const$ verlangen. Jede Biegelinie l\"a\ss t sich eindeutig
durch stetige senkrechte Kr\"afte \nl Summe Null in Verbindung mit zwei End-Drehmomenten, erzeugen, 
derart dass die Gesamte Momentensumme Null ist, vorausgesetz, da\ss die Stetigkeit $p(x)$ zweimal
und die Biegelinie $y(x)$ 4 mal stetig diffbar ist: und zwar durch die stetigen Normalkr\"afte $k = (p\, y'')''\,\nl\,
K_{1} = - (p\, y'')' ${\large{$|$}}$_{x = 1}$ , $M_{1} = p\, y''${\large{$|$}}$_{x = 1}$; $K_{0} (p\,y'')'${\large{$|$}}$_{x = 0}$, 
$M_{0} = -p\,y''_{0}$.\\
Ein gerader ebenso \underline{Biege}balken von $x = 0$ bis 1 mit der Skelettlinie \nl, ist also
zu definieren als ein elastisches System, an dem \"uberall Normalkr\"afte, aber \underline{nur an
den Enden} drehende Kr\"aftepaareangreifen d\"urfen und dessen Skelettverformungen durch die Proport.
$p(x) \cdot y''(x) = B(x) = $ \"ubertragenes Biege-\nl an der Stelle $x$ gegeben ist, wobei
$p(x)$ nur vom Sytstem und der Stelle $x$, aber nicht von der Verformung oder den wirkenden
Kr\"aften ist: $p(x) =$ \"ortliche Materialkonstante.\\
Die doppelte elastische Energie eines solchen Balkens ist\\
$2\, E = \il{0}{1}\,y \cdot (p\, y'')'' + K_{1} \cdot y_{1} + K_{0}\, y_{0} + M_{1}\, y_{1}' + M_{0}\,y_{0}'$\\
$= \int \, p(y'')^{2}  + y\,(p\,y'') ${\large{$|$}}$_{_{0}}^{^{1}} - y'(p\,y'')  ${\large{$|$}}$_{_{0}}^{^{1}} + K_{1}\, y_{1} + K_{0}\, y_{0} + M_{1}\, y_{1}' * M_{0}\, y_{0}'$\\
$= \int \, p(y'')^{2}$.\\
Dieser Ausdruck f\"ur die Form\"anderungsarbeit k\"onnte man \"uberhaupt zur Definition 
der Biegebalkens machen. 
\\
$\textbf{Seite 58}$\\
\\
Die im physischen Balken auftretenden Querkr\"afte h\"angen nicht nur von seiner Auslenkung ab, sondern auch davon, wie 
diese erzeugt wird, m. a. W.: von der Verschiebung der Querschnitte. Seine Energie dagegen h\"angt 
anscheinend \underline{im wesentlichen} nur von der Biegeform ab; weil n\"amlich praktisch Balkenverformungen
unter tangentialen Kr\"aften, die je die neutrale Faser garnicht ver\"andern, selten sind:\\
\\
\nl\\
\\
auch hierin \nl Energie, die aber wohl nur bei sehr dicken Balken merklich wird gegen\"uber der 
Biege-Energie der neutralen Faser, weil sonst die Verschiebungen so klein sind, da\ss f\"ur merkliche Arbeit ungeheure Kr\"afte
notwendig sind.\\
\\
\underline{Aufgabe:} Die Bewegungsgleichungen eines Fl\"ugels von zwei Freiheitsgraden, der durch 2 ''komplexe'' Kurbeltriebe
gesteuert wird, nach dem Prinzip der virtuellen Arbeit aufstellen.\\
Die Flatterschwingg. eines solchen bei Anblasung w\"urde in einer Zitterbewegg. der Kurbeln bestehen, nicht Rotation.-Da
Kubelradien \nl, w\"urde hier nicht eine komplexe Zahl beliebigen Betrages als Amplitudenverh\"altnis herauskommen k\"onnen, sondern
vom Betrage 1. Dh. die verschiedenen EWe geh\"oren garnicht zu demselben physikal. System. Demnach ist das ''Leistungskriterium''
keinewegs gleichwertig der Aufstellung der Beweggsgl. f\"ur einen auf zwei Freiheitsgrade
eingeengten Fl\"ugel, ausser wenn $f$, $g$ reell. -Die Zitterbewegg. liefert bei kleinen \nl nur reelle Biegung
und Drehung; wenn Kurbetrieb komplex \nl, sind die verschiedenen\\
\\
$\textbf{Seite 59}$\\
\\
NB: H\"anht hiermit die Schwierigkeit Jordans (B42/I/8) S.32 unten zusammen ?\\
auf diese Weise zu erhaltenden Biegelinien die Realteile von const. $\cdot f(x)$\\
\underline{Aufgabe:} Den Einfluss von infinitesimalen Baugr\"ossen\"anderungen auf den 
EW $\lambda$ bei festem $\overline{\omega}$ untersuchen; Einfluss von $\omega$ auf $\lambda$ graphisch entnehmen
aus EW-Kurve; daraus Einfluss von Baugr\"ossenvariation auf $v$ und $\varphi$ berechnen: Allesan einem
konkreten Beispiel, und das durch Paramterrechnungen pr\"ufen. Auf die Art k\"onnte man wenigstens
den Einfluss der Parameter vorhersagen in bezug auf die $v$ nicht besonders empfindlich ist.\\
\nl\\ 
\\
$A = \left(
\begin{array}{ccc}
14 & 30 & 12\\
10 & 34 & 12\\
49 & 147 & 100
\end{array}\right)$ hat EWe: $K_{1} = 128$, $e_{1} = \{1,\, 1,\, 7\}$; $K_{2} = 16$, $e_{2} = \{-3,\, -3,\, 7\}$;$K_{3} = 4$, $e_{3} = \{3,\, -1,\, 0\}$.\\
\\
\\
\underline{Aufgabe:} F\"ur $\omega \rightarrow 0$ werden wohl die Massenglieder gegen\"uber den Luftglieder unbedeutend, und es
wird nur noch auf die geometrische Lage der elast. Achse und die Steifigkeiten ankommen. Asymptotische
Lage der EWe ? Die $\infty$ werdenden Teile der (komplexen) Massen (bei $\omega = 0$) sind\\
beim ebenen Fl\"ugel (Infoheft S. 341, 344) \\
$\pi\, \rho\,l^{3} \cdot 
\left(
\begin{array}{ccc}
(1 + T) \cdot \frac{i}{\overline{\omega}} & \frac{(1 + T)\,(1 + i\,\overline{\omega})}{\overline{\omega}^{2}} + \frac{i}{\overline{\omega}}\\
0 & \frac{il}{\overline{\omega}}
\end{array}\right)$ \\
nun nach \"Ahnlichkeitstransf. mit 
$\left(
\begin{array}{ccc}
1 & \\
 & \overline{\omega}
\end{array}\right):$\\
\nl\\
\\
$\textbf{Seite 60}$\\
\\ 
F\"ur $\omega_{0} \rightarrow \infty$ ist $d\, \lambda$ \nl, als $v \sim$ const, $v \sim \frac{v}{\overline{\omega}}$, $\varphi \sim \frac{\textnormal{const}}{\overline{\omega}}$ \nl\\
Daher ist f\"ur kleine $\overline{\omega}$ und stetiges $v = v(w)$\qquad $v$ prop $\sqrt{w}$, $v$ prop  $\frac{1}{\sqrt{w}}$.
Wenn man die Matrix der komplexen Massen mit $\frac{\overline{\omega}}{\textnormal{const} + \overline{\omega}}$ multipliziert, \nl, so bleibt sie f\"ur $0 \leq \omega \leq \infty$ endlich ist ist f\"ur $\overline{\omega} = \infty$ die Standschwinggsmatrix, 
f\"ur $\overline{\omega} = 0$ die Matrix von S. 59. Sie sollte zum Interpolieren nach 
$\overline{\omega}$ vorteilhaft sein. Vielleicht kann man die \nl als Ansatzfktionen f\"ur kleine $\overline{\omega}$ verwenden. Die  $\overline{\omega}$-Wert hat je zwei Enden: $\overline{\omega} = 0$, $\infty$. Es w\"are sch\"on, wenn man alles durch St\"orungsrechnung oder Interpolation von den Enden her erledigen k\"onnte.\\
const viell. zweckm\"a\ss ig $= 1$, weil $k_{c} = (1 + T)\, (s + \omega) +  \omega + \frac{1}{2}\,\omega^{2}$.  Bei der Interpolation
ber\"ucksichtigen, da\ss bei $\overline{\omega} = 0$. $T' = 0$. Aber
das ausser $T$ immer noch $\overline{\omega}$ additiv vorkommt, laufen die 
Tangenten bei den \nl doch nicht horizontal.\\
-Je nachden Vorzeichen der Konstanten $c$ wird man (S. 59 unten) leicht und schwere Fl\"ugel
unterscheiden k\"onnen. Vielleicht lassen sich die aerodynamisch wirksamen Fl\"ugelenden als
''leich'' behandeln. -Im Grenzfall $\overline{\omega} = 0$ sollte der Einfluss der Stetigkeits -oder \nl-\"Anderung gut zu
 \"ubersehen sein. ''Empfindlichkeit'' \nl ein Zeichen daf\"ur, da\ss die unabh\"angigen Ver\"anderlichen nicht gut gew\"ahlt sind; z.B. ist $\sqrt{x}$ bei $x = 0$ eine ''empfindliche'' Funktion von $x$, aber 
eine unempfindliche von $^{3}\sqrt{x}$ (oder $log\, x$). - Die Bezeichnung ''komplexe Luftmassen'' f\"uhrt insofern irre, als bei gegebenen $v \not= 0$ diese Massen noch von der Frequenz
abh\"angen, je \"uberhaupt nur f\"ur harmonische Schwinggen definiert sind. Sie sind \underline{bei gegebenen $\omega$} vom unabh\"angig, aber ''gegebenes $\omega$'' wir sich physikalisch kaum realisiernen lassen.\\
\\
$\textbf{Seite 61}$\\
\\ 
Ist $\mathfrak{q} \approx \mathfrak{y}$, so rechnet man statt \underline{$\delta^{2}( \mathfrak{q},\, \mathfrak{y}) = 1 - \frac{|\mathfrak{q}^{*}\,\mathfrak{y}|^{2}}{\mathfrak{q}^{*}\mathfrak{q} \cdot \mathfrak{y}^{*}\mathfrak{y}}$} besser mit: 
\underline{$\delta^{2}( \mathfrak{q},\, \mathfrak{y}) = \frac{\mathfrak{q}^{*}\mathfrak{q} \cdot \vartheta^{*}\vartheta - |\varphi^{*}\vartheta|^{2}}{\mathfrak{q}^{*}\mathfrak{q} \cdot (\mathfrak{q}^{*}\mathfrak{q} + \mathfrak{q}^{*}\vartheta + \vartheta^{*}\mathfrak{q} + \vartheta^{*}\vartheta )}$} $\approx  
\frac{|\vartheta|^{2} \cdot |\mathfrak{q}|^{2} - \mathfrak{q}}{|\mathfrak{q}|^{7}}$
\subsection{Newtonsches Verfahren bei quadratischen Gleichungen}
Sind $\alpha,\, \beta$ die Wurzeln von $x^{2} + p\, x + q = 0$, und ist f\"ur $a$ ein N\"ahergswert $A$ bekannt, so ist nach  Newton verbessert 
$A^{*} = A - \frac{A^{3} + p\, A + q}{2\,A + p}$.\\
Es wird exakt 
$$ A^{*} - \alpha = \frac{(A - \alpha)}{2\,A + p}\textnormal{ , dh. }\delta^{*} = \frac{\delta^{2}}{2\,A + p},$$
also ist Verbesserung \\
eingetreten, wenn $|\delta| = |A - \alpha| < 2\, |A - \frac{\alpha + \beta}{2}|$ war, und der Fehler multipl
 sich mit $\frac{A - \alpha}{2\,(A - \frac{\alpha + \beta}{2})} = \frac{A - \alpha}{2\,A + p}$.\\
\\
Ist ein N\"ah-Wert $A$ f\"ur die absolute gr\"ossere Wn (etwa $\alpha$) bekannt, so ist es zur Gewinnung
von $\beta$ am genauesten erst $B = \frac{q}{A}$ zu \nl und dann Newton anzuwenden auf $B$. Der so entstehende
Fehler \nl $|\frac{\beta}{\alpha}|$ kleiner als der von $B^{+} = \frac{q}{A^{*}}$. Wenn 
allerdings $A^{*}$ schon berechnet ist, ist es gew\"ohnlich bequemer, $B^{+}$ zu berechnen. Es ist
$B^{*} - \beta = \frac{(A - \alpha)^{2}\,\beta^{2}}{(2\,B + p)\,A^{2}}$ und $B^{+} - \beta = 
\frac{-(A - \alpha)^{2} \cdot \beta}{(2\,A\,\nl)\,\alpha + (A - \alpha)^{2}}$\\  
\\
$\textbf{Seite 62}$\\
\\ 
\underline{$T(\omega)$} bei $\overline{\omega}$: Nach Schwarz (Lufthof S.366) ist
$$T(\omega) = 1 - \pi\,\overline{\omega} + i \cdot 2\,\overline{\omega} \cdot (ln\, \overline{\omega} 
+ \mathfrak{q} - ln\,2) + \sigma\,(|\omega|^{2}ln^{2}|\omega|).\qquad \mathfrak{q} = \textnormal{ Eulersche Const.}$$
\underline{Die char. Gl. von} 
$\left(
\begin{array}{cccc}
0&1&0&0\\
1&0&i&-1\\
0&0&1&0\\
1 + i & 2 & 0 & -i 
\end{array}\right)$ ist \underline{$x^{4} + (i - 1)\, x^{3} + (1 - i)\, x^{2} - 1$}.\\
Um das kritische $\omega_{\textnormal{krit}}$ durch graphische Interpolation zu finden, kann
man $\omega \cdot \varphi$ oder $\omega \cdot Im\, \lambda$ auftragen, etwa als Funktion von 
$\frac{\omega}{1 + \omega}$; oder man kann $\sqrt{|\varphi|} \cdot sign\,\, \varphi$ auftragen.\\
\\
\\
\underline{Versuch, die Newtonsche Regel zu versch\"arfen:} Die Gl. $f(x) = 0$ kann man auf
die Gestalten $x = x - \frac{f}{f' + \,\nl\, f}$ (und $x = x - \frac{f + R\,f^{2}}{f'})$ gebracht werden:
Die rechten Seiten haben daher in allen Nullstellen von $f(x)$ die Ableitung $\sigma$. Versuche
durch passende Wahl von \nl die Kurve ein m\"oglichst langes St\"uck weit $\sim$ waagerecht zu halten. - Macht man 
zwei Newtonschritte hintereinander, so erh\"alt man bis auf Gr\"ossen h\"oherer Ord in $\frac{f\,f''}{f'^{2}}$ die N\"aherung
$$ x_{1} = x_{0} - \frac{f_{0}}{f'_{0}} - \frac{1}{2}\, 
(\frac{f_{0}}{f'_{0}})^{2} \cdot 
\frac{f''_{0}}{f'_{0}}:
 \textnormal{Vgl. Willers S.175}$$
$\textbf{Seite 63}$\\
\\ 
Da die \underline{N\"aherungs-EWe beim Iterationsverfahren} immer die Gestalt haben $n_{\nu} = \lambda_{1} + a\, q^{\nu} + \cdots$, $q = \frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}$ kann man durch ''Kommentarbildung'' (vgl. \nl $[$21$]$) immer asymptotisch schneller kgte N\"aherungsfolgen
bilden:
$$n'_{\nu} = \frac{ n_{\nu + 1}\, n_{\nu - 1} - n_{\nu}^{2}}{n_{\nu + 1} - 2\,n_{2} + n_{\nu - 1}} \approx 
\frac{\lambda_{1} \cdot a \cdot (q^{\nu + 1} + q^{\nu - 1} -2\,q^{\nu})}{a \cdot (q^{\nu +1} + q^{\nu - 1} - 2\,q^{\nu})} \approx \lambda_{1}.$$	
Der Abrunfungsfehler wird hierbei verh\"altnism\"a\ss g klein sein, falls $sign\, (n_{\nu + 1} - n_{w}) \not= sign\, sign\,(n_{\nu} - n_{\nu - 1})$, dh. falls
$n_{\nu}$ \nl. Tut es das nicht, hat man aber eine zweite, etwa gleich gute N\"aherungsfolge $m_{\nu}$, die gegen
\nl von der anderen Seite her konvergiert, so leistet
$$ n'_{\nu} = \frac{ n_{\nu + 1} \,m_{\nu - 1} - n_{\nu}\,m_{\nu}}{n_{\nu + 1} - n_{\nu} -  m_{\nu} +  m_{\nu - 1}} \qquad \textnormal{dieselben Dienste}.$$ 
Ist $S_{\nu} = a\,K_{1}\,^{\nu} + b\,K_{2}\,^{\nu}\qquad (v = 0,\, 1,\,2,\, 3)$ so ist f\"ur $x = K_{1},\, K_{2}$\\
$\left|
\begin{array}{cccc}
S_{0} & S_{1}\\
S_{1} & S_{2}
\end{array}\right| \cdot x^{2} - 
\left|
\begin{array}{cccc}
S_{0} & S_{2}\\
S_{1} & S_{3}
\end{array}\right|\, x + 
 \left|
\begin{array}{cccc}
S_{1} & S_{2}\\
S_{2} & S_{3}
\end{array}\right| = 0$.\\
Mit $\frac{s_{\nu}}{s_{\nu - 1}} = k_{\nu}$ ergibt sich so f\"ur $K_{1}$, $K_{2}$ die Gleichung\\
$(k_{2} - k_{1}) \cdot x^{2} - k_{2} \cdot (k_{3} - k_{1})\, x + k_{1}\,k_{2}\,(k_{3} - k_{2}) = 0$.\\
Vielleicht die auf $k_{t + 1}$ anwenden \, Newtonschritt ?\\
$\textbf{Seite 64}$\\
\\ 
\subsection*{Einschliessungssatz f\"ur selbstadj. Aufgaben:}
\subsection*{Wurzeln einer reellen symmetrischen $\cal{M}$ des Grades $n \geq 2$ mit 
vorgeschriebener erste Zeile  $(a,\, b,\, \sigma,\cdots,\, \sigma)$:} Seien
$K_{1},\cdots,\, K_{n}$. Setze\\
$[u,\, v] = u\, v - a\,(u + v) + (a^{2} + b^{2}) = (u - a)\, (v - a) + b^{2}\\
\sl{i = 1}{n} \varphi^{2}_{i} \,(u - K_{i})\, (v - K_{i}),\qquad
\left(
\begin{array}{cccc}
1\\
0\\
0\\
0
\end{array}\right) = \Sigma\, \varphi_{i} \cdot e_{1} = $Fourier zerlegg. von 
$\left(
\begin{array}{cccc}
1\\
0\\
0
\end{array}\right)$\\
$(a = \cal{R}$ ist der zu 
$ \left(
\begin{array}{cccc}
1\\    
0\\
0\\
\vdots
\end{array}\right)$ und $\cal{M}$   
$\left(
\begin{array}{cccc}
1\\
0\\
0\\
1
\end{array}\right) = \nl$\\
geh\"orige Rayleigh-Wert.) Sei $\underline{K} = min\, K_{i}$, $\overline{K} = max\, K_{i}$, $K_{*} = \max\limits_{K_{i}\,\,\underline{K}\,\,a}\,\,K_{i},\,\, K^{*} = \min
\limits_{K_{i}\,\,\underline{>}\,\,a}\,\, K_{i}\qquad $ (existieren alle).\\
Dann ist\\
$$(1)\qquad [K_{*},\,K^{*}] \,\, \underline{\underline{>}}\,\, 0\qquad (2) \,\,[\underline{K},\,\overline{K}] \,\, \underline{\underline{<}}\,\, 0]$$ 
und (3) sind das sie einzigen den $K_{i}$ auferlegten Bedinggen.\\
Bew.: W\"are $0 > [K_{*},\, K^{*}] = \Sigma \,\varphi_{i}\,^{2}\,(K_{*} - K_{i})\, (K^{*} - K_{i})$, so w\"are f\"ur ein $i$ \qquad $K_{*} < K_{i} < K^{*}$, geht nicht.\\
(2) W\"are $0 < [\underline{K},\, \overline{K}\nl] = \Sigma \varphi_{i}\,^{2} (K_{*} - K_{i})\,(K^{*} - K_{i})$, so w\"are f\"ur \\
ein $i$
\begin{quote}
$\left.
\begin{array}{ccc}
&\underline{K} < K_{i}\,\, \&\,\, \underline{\overline{K} < K_{i}}\\
\textnormal{oder} & \underline{\underline{K} > K_{i}}\,\, \& \,\,\underline{\overline{K} > K_{i}}
\end{array}\right\}$ beides unm\"oglich. 
\end{quote}
(3) $\alpha)$ Ist $n = 2$, so folgt aus $[K_{1},\, K_{2\, \, +}]\,\, \underline{\underline{>}}\,\, 0$ und $\,\, \underline{\underline{>}}\,\, 0$:
$[K_{1},\, K_{2}] = 0$, also $K_{1}\, K_{2} = a\, (K_{1} + K_{2}) - (a^{2} + b^{2})$; daher hat 
$\cal{M}$$ =
\left(
\begin{array}{ccc}
a & b\\
b & c
\end{array}\right)$ mit $c = K_{1} + K_{2} - a$ die Wn $K_{1},\, K_{2}$; dann
$\left\{
\begin{array}{ccc}
det \, \cal{M}$$ = a\,(K_{1} + K_{2}) - a^{2} - b^{2} = K_{1}\, K_{2}\\
Sp\, \cal{M}$$ = K_{1} + K_{2}
\end{array}\right)$ \\
$\beta )$ Ist 
$\left\{
\begin{array}{ccc}
n = 3,\textnormal{so w\"ahle e, d, f, g \nl }^{*}\\
b \not= 0
\end{array}\right)$ und setze 
$\cal{M}$$ =
\left(
\begin{array}{ccc}
a & b & 0\\
b & e & d\\
0 & d & b
\end{array}\right)$.\\
\\
$\textbf{Seite 65}$\\
\\  
$*\,\, \left\{
\begin{array}{ccc}
b^{2}\, e = (a^{2} + b^{2})\, c_{1} - a\,c_{2} + c_{3} - a_{3} - 2\, a\, b^{2}\\
b^{2} f = - a^{2} c_{1} + a\, c_{2} - c_{3} + a^{3} + a\, b^{2}\\
- b^{4}\, d^{2} = + (a^{2} + b^{2})^{3} + (a^{2} + b^{2})^{2} \cdot (c_{2} - 2\, a\,c_{1}) + (a^{2} + b^{2})\, (-3\, a\, c_{3} + a^{2}\, c_{2} +
\end{array}\right.\\
 + a^{2}\,c_{1}^{2} - a\,c_{1}\, c_{2} + c_{1}\, c_{3}) + (c_{3}^{2} - 2\,a \, c_{2}\, c_{3} + a^{2} \, c_{1}\, c_{3} - a^{3} \, c_{1}\, c_{2} + a^{2}\, c_{2}^{2} + a^{3}\, c_{3}) = [K_{1},\, K_{2}] \cdot [K_{3},\, K_{1}]$\\
mit $c_{1} = K_{1} + K_{2} + K_{3},\cdots,\, c_{3} = K_{1} \cdot K_{2} \cdot K_{3}$.\\
Diese Gleichungen sind in reellen Zahlen l\"osbar (und bis auf das Vorzeichen von $d$ auf genau eine Weise), weil aus den 
Voraussetzungen (1), (2) folgt $[K_{1},\, K_{2}]\, [K_{2},\, K_{3}]\, [K_{3},\, K_{1}] \,\,\underline{\underline{<}}\,\, 0$; sei n\"amlich z.B. $K_{1} \leq  0 \leq K_{2} \leq K_{3}$ dann ist nach (1) $[K_{1},\, K_{2}] \,\, \underline{\underline{>}}\,\, 0$, nach (2) 
$[K_{1},\, K_{3}] \,\, \underline{\underline{<}}\,\, 0$ und trivialerweise $[K_{2},\, K_{3}] \,\, \underline{\underline{>}}\,\, 0$, weil sonst zwischen $K_{2}$ und $K_{3}$ noch ein $K_{i}$ liegen m\"u\ss te.\\
Ich habe nachgerechnet, dass mit obigen Definitionen tats\"achlich $a + e + f = c_{1}$, $a\, e + a\, f + e\, f - b^{2} - d^{2} = c_{2}$ und $|\cal{M}$$ | = c_{3}$ wird. \\
\nl ($\gamma$) Ist $n$ beliebig $b = 0$, so nimm $\cal{M}$$ =
\left(
\begin{array}{ccc}
K_{1} & 0 & 0\\
0 & K_{2} & 0\\
0 & 0 & K_{3}
\end{array}\right)$; es ist n\"amlich  ein $K_{1} = K^{*}\, a$, weil sonst $[K_{*},\, K^{*}] = (K_{*} - a)\, (K^{*} - a) < 0$ w\"are, gegen Vor.(1).\\
($\delta$) Ist $n > 4$, $b \not= 0$ und $[K_{*},\, \overline{K}] \,\, \underline{\underline{>}}\,\, 0$, so mache zwei-bezw.
dreireihige Matrix
$\left(
\begin{array}{ccc}
a & b & 0\\
b & \cdot & \cdot\\
0 & \cdot & \cdot
\end{array}\right)$ mit $Wn$ $\underline{K},\, K_{*} \not=\overline{K}$, geht nach $\beta$. H\"ange Diagonalmatrix mit \"ubrigen $Wn$ dran.\\
Ist aber $[K_{*},\, \overline{K}] < 0$, so mache 2 oder 3-reihige  Matrix mit $Wn$ $K_{*} \not= K^{*}\, \overline{K}$.
\\
$\textbf{Seite 66}$\\
\\  
\underline{Frage:} Gehen die $\lambda(\omega)$-Kurven senkrecht von der reellen Achse weg ?\\
\\
Ein \underline{Ma\ss f\"ur die Stabilit\"at} gibt der Bruchteil der st\"andig zuzuf\"uhrenden von der
Gesamtenergie des Fl\"ugels. Ob damit vielleicht die \"Uberschneidungen \\
\textbf{Graph}\\
aufh\"oren ?\\
\\
Vielleicht \underline{muss} man sich bei der \underline{Deutung von $\omega \rightarrow 0$} auf den Fall
$\varepsilon = 0$ beschr\"anken, weil f\"ur $\varepsilon > 0$ stets schon vor $\omega = 0$ \nl auftriit ?
 Die aufgefachten $\varphi - v -$ Kurven sind anscheinend bei $\omega = \infty$ so gekr\"ummt: \textbf{Graph}\\
Wurzeln einer dreireihigen reellen symm. Matrix $\cal{M}$ mit zwei vorgeschriebenen Spalten $a,\,b$. Sie seien $K_{1},\, K_{2},\, K_{3}$. Man setze\\
$[u,\, v] = $ Determ. d. quad. Form $[x\,\mathfrak{u} + y\, b) - u\,(x\, n_{1} + y\,\nl)]\,!\,[(\,\,) - v\,(\,\,)]$.\\
$\left|
\begin{array}{ccc}
u\,v + a^{2} & ef\\
ef & u\,v - (n + v)\, d + d^{2} + f^{2}
\end{array}\right|$,\\
wenn $u = 
\left(
\begin{array}{ccc}
0\\
0\\
R
\end{array}\right)$, $b = 
\left(
\begin{array}{ccc}
0\\
d\\
f
\end{array}\right)$ angenommen wird, also $\cal{M}$$ = 
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & e\\
0 & d & f\\
e & f & p
\end{array}\right)$ mit variablen $p$. (Auf diese Form kann $\cal{M}$ durch unit\"are Transf. der
ersten beiden Spalten\\
\\
$\textbf{Seite 67}$\\
\\  
und Substraktion einer Konstanten von der Hauptdiagonalen gebracht werden.)\\
(NB: Mit dem Galerkin-Ausdruck $G(x) = x^{2} - d\,x$ schreibt sich $[u,\, v]$ so:\\
$[u,\, v] = G(u)\, G(v) + (e^{2} + f^{2})\, u\,v - d\,e^{2}\,(u + v - d)$\\
Satz: Notwendig und hin. f\"ur Existenz eines gemeinsamen \nl $p$ zu drei vorgegebenen \nl\\
Zahlen $K_{1}$, $K_{2}$, $K_{3}$, f\"ur welche nicht alle $G(u_{i}) = 0$ ist, \qquad $[K_{i},\, K_{j}] = 0$ \quad f\"ur $i \not= j.$\\
Bew: a) ''hinreichend''. Aus $[K_{1},\, K_{2}] = 0$ folgt, da\ss (nach Rechnung)\\
$\left|
\begin{array}{cccc}
K_{1}\,^{3} - d\, K_{1}\,^{2} - (e^{2} + f^{2})\, K_{1} + d\, e^{2} & , & K_{2}\,^{3} - d\,K_{3}\,^{2} - (e^{2} + f^{2})\, K_{2} + d\,e^{2}\\
K_{1}\,^{2} - d\, K_{1} & , & K_{2}\,^{2} - d\, K_{2}
\end{array}\right| =~0$\\
und dies ist gerade die Bedingg. f\"ur Existenz mindestens eines gemeinsamen $p$ f\"ur 
$K_{1}$, und $K_{2}$. Falls $G(K_{1}) \not= 0$, gibt es auch \underline{nur ein} $p$ \underline{zu $K_{1}$}. Wenn
also von den drei $K_{i}$ mindestens f\"ur eines $G(K_{1}) \not= 0$, ist das gemeinsame $p$ zu
$K_{1}\,\, \&\,\,  K_{2}$ ebenso wie das zu $K_{1}\,\, \&\,\, K_{3}$ eindeutig durch $K_{1}$ bestimmt und daher gleich.\\
b) ''notwendig''. Es ist $[u,\, v] =$ Det. der \nl. Form $\sl{i = 1}{3} \,(\alpha_{i}\, x + \beta_{i}\, y)^{2} \cdot (K_{i} - u)\,(K_{i} - v)$ wobei $\alpha_{i}$ die
Fourierkoeff von 
$\left(
\begin{array}{cccc}
1\\
0\\
0
\end{array}\right)$. $\beta_{i}$ die \nl
$\left(
\begin{array}{cccc}
0\\
1\\
0
\end{array}\right)$. \\
Also wenn $[u,\, v] > 0$, gibt es entweder 2 pos. od. 2negative Wurzeln der \nl und daher 2  \nl ausserhaln oder innerhalb des Int. $u,\, v$, mit Ausschlu\ss der Endpkte.\\
Da nur 3 Wn vorhanden, ist $[K_{i},\, K_{j}] \not> 0$.\\
Aus $[u,\, v] < 0$ folgt aber die Existenz einer pos. $\&$ und negat. Wurzel von \nl, also
 die Existenz eines $K_{i}$ draussen und eines $K_{j}$ drinnen, geht f\"ur  $K = K_{i}$, \nl auch nicht.\\
\\
$\textbf{Seite 68}$\\
\\  
Erg\"anzung: \nl f.  Existenz eines gemeinsamen $p$ f\"ur 3 Werte $K_{i}$, f\"ur die stets
$G(K_{i}) = 0$, die aber nicht alle drei gleich sind, ist $e = f = 0$, sind sie alle gleich; so $0 = d = f = 0$\\
Bew:
\begin{quote}
0, 0, $d$\quad, $d \not= 0$, erfordert $Rg\, \cal{M}$$ = 1$, also $e = f = 0$, ist  auch hinr.\\
0 $\,d\,$ 0\quad, $d \not= 0$, erfordert $|\cal{M}$$|= d\, e^{2} = 0$, also $e = 0$, dann $p = d$ und $f = 0$; ist auch h.\\
0 $\,0\,$ 0\quad erfordert $Rg \,\cal{M}$$ = 0,$ also $d = e = f = 0$, ist auch hinr.\\
(d $\,d\,$ d, $d \not= 0$, erfordert $|\cal{M}$$| = -d\,e^{2} = d^{3}$, geht nicht in Reellen.)
\end{quote}
Macht man sich von der Spezialisierung $\cal{M}$$ =
\left(
\begin{array}{cccc}
0 & 0 & &\\
0 & && 
\end{array}\right)$ frei, so lautet die Bedingung $e = f = 0$ jetzt: $Rg
\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & &\\
0 & 1 & a & b\\
0 & 0 &&
\end{array}\right) = 2$, und auch $d = 0$: $\cal{M}$$ = 
 \left(
\begin{array}{cccc}
a & 0 & 0\\
0 & a & 0\\
0 & 0 & \cdot
\end{array}\right)$.\\
Anderer, direkter Beweis f\"ur ''notwendig''. \\
Es ist $[u,\, v] = det\,\, f'(\cal{M}$$ - n) \,(\cal{M}$$ - v)\, \mathfrak{b} $ mit $ \mathfrak{b} =
\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 0\\
0 & 1\\
0 & 0
\end{array}\right)$. F\"ur $u = K_{i}$, $v =K_{j}$ ist $Rg\, 
(\cal{M}$$ - n) \,(\cal{M}$$ - v) = 1$; daher $det = 0$.\\
\\
Man k\"onnte das \underline{Ab\"anderungsverfahren auch mit Galerkin kombinieren:}\\
Z.B. $\lambda^{(3)}$ bestimmen, indem erst aus 2 Fr.-Gr.-Rechnung $e^{(1)}$ bestimmt wird, dann
f\"ur den mit Hilfe von $e^{(1)}$ abge\"anderten  Operator $\mathfrak{K}^{*}$ wieder eine
2 Fr. Gr. Rechnung machen f\"ur $\lambda^{(2)}$ $\&$ $\lambda^{(3)}$.\\
\\
$\textbf{Seite 69}$\\
\\  
\underline{Zu L\"osch $[43]$:} Setzt man in $y = \lambda\, \int \, K\, y\, d\xi$ an $y = \sl{1}{\infty}\,\varphi_{n}(x)\, a_{n}$\\
(wobei die $\varphi_{n}$ ein vollstdiges System bilden sollen, d.h. $\sim$ lin.un. und ohne
gemeinsame Orthogonalfktion), so erh\"alt man eindeutig eine unendl. S\"akulargleichung f\"ur $\lambda \, \&$ die $a_{\nu}$. Alw�s Gewichte $g_{i}(x)$ in\\
$$\int \, g_{i} \cdot \Sigma\,\varphi_{n}\, a_{n}\, dx = \lambda\,\int \, g\, K\,\Sigma \, \varphi_{n}\, a_{n} \, d\xi\, dx$$
\underline{mu\ss} man das zu den $\varphi_{n}$ komplement\"are Systeme verwenden, dh. $\int\, \varphi_{i}\, g_{k} = \nl$. Hieraus erh\"alt man durch Abschnittsboldung ein endl. N\"aherungssystem. Bei L\"osch $[43]$ wird von den $\varphi_{n}$ verlangt: $\int\, \varphi_{i}\, \varphi_{k} = 0$; und bei Schwerin $\varphi_{1} = 1$, $cos \, \frac{2n - 1}{2} \, \pi\, x = \varphi_{n}\,\, (\nl > 1)\quad (0 \leq x \leq 1)$.\\
Daher sind bei L\"osch die $\mathfrak{G}_{i} = \varphi_{i}$, was bei ann\"ahernd symmetrischen
Kernen vorteilhaft sein mu\ss. Ferner nimmt L\"osch in seiner Durchrechnung des Stabes als
Ansatzfktionen solche, die alle 4 Randbedingge. erf\"ullen, w\"ahrend Schwerins Ansatz nur $y_{0}' = y''_{1} = 0$ erf\"ullt, aber nicht
$y_{0} = y'''_{0} = 0$. Daher d\"urfte das bessere Ergebnis von L\"osch r\"uhren.\\
Geht  man nicht von einem vollstetigen System $\varphi_{n}$ aus, sondern von $\varphi_{1}$, $\varphi_{2}$, $\varphi_{3}$ etwa, so h\"angt
die erhaltene dreireihige  Sekul\"argl. davon ab, in welcher Weise man das System erg\"anzt. Erg\"anzt man es aber so, da\ss $\int\, \varphi_{i}\, \varphi_{k} = 0$\quad ($i \leq 3$, $k >3$) 
so h\"angt die Sekul\"argl.  von weiteren Einzelheiten nicht mehr ab und ergibt bis auf 
Linearkombination $\mathfrak{G}_{i} = \varphi_{i}$\quad $(i = 1, \, 2, \, 3)$.\\
L\"osch bezeichnet folgenden \nl f\"ur unsymm. Kerne:\\ 
\\
$\textbf{Seite 70}$\\
\\  
$\psi_{1} \cdots \psi_{n} \cdots 6$ vollstetiges normiertes orth. System: Diese nimm als Gewichte $\&$ Ansatzfktionen, bilde 
$n$-ten Abschnitt.\\
\\
\underline{Aufgaben:} 1) Elastischen Energiefluss beim Flattern verfolgen. Die Fl\"ugelschnitte, \nl $= 0$ ist, trennen wahrscheinlich Gebiete, die beim Fortfallen
\nl Luftkr\"afte in den \"ubrigen Gebieten - noch genau so schwingen w\"urden, vielleicht nach 
geeigneter \"Anderung der Anschlusssteifigkeiten an die Nachbargebiete.\\
2) Massen -und Luftkr\"afte zu komplexen Punktmassen vereinfachen ?\\
3) Abh\"angigkeit der EW von Massen\"anderungen u. dergl., zu Absch\"atzungen \nl Vergleichss\"atze ausbauen.\\
\\
\\
Die beim homogenen r\"aumlichen Rechteckfl\"ugel auftretende \underline{Determinante $\pi\,(a,\, b,\, c)$ von $\pi$ S. 27} l\"asst sich in der Form 
schreiben \nl\\
$\left|
\begin{array}{cccc}
\sl{\xi}{} \,\frac{\xi^{2} \cdot (\xi^{3} - c\, \xi)\, e^{\xi}}{p'^{(\xi)}} &
\sl{\xi}{} \,\frac{\xi^{2} \cdot (\xi^{2} - c)\, e^{\xi}}{p'^{(\xi)}} &
\sl{\xi}{} \,\frac{\xi^{2}\,e^{\xi}}{p'^{(\xi)}}\\
\sl{\xi}{} \,\frac{\xi^{3} \cdot (\xi^{3} - c\, \xi)\, e^{\xi}}{p'^{(\xi)}} &
\sl{\xi}{} \,\frac{\xi^{3} \cdot (\xi^{2} - c)\, e^{\xi}}{p'^{(\xi)}} &
\sl{\xi}{} \,\frac{\xi^{3}\,e^{\xi}}{p'^{(\xi)}}\\
\sl{\xi}{} \,\frac{(\xi^{5} - b\,\xi)\, (\xi^{3} - c\, \xi)\, e^{\xi}}{p'^{(\xi)}} &
\sl{}{} \,\frac{(\xi^{5} - b\,\xi)\, (\xi^{2} - c)\, e^{\xi}}{p'^{(\xi)}} &
\sl{}{} \,\frac{(\xi^{5} - b\,\xi)\,e^{\xi}}{p'^{(\xi)}}
\end{array}\right|$\\
mit $p(\xi) = \xi^{6} - a - b\, \xi^{2} - c\,\xi^{4} = 0\qquad (\xi = \xi \cup \nl)$.\\
\\
$\textbf{Seite 71}$\\
\\  
\underline{Aufgabe:} Bei Kriterienfrage untersuchen, ob nicht zur Bestimmung einer h\"oheren EWs aus wenig Fr. Graden 
die Genauigkeit der Ansatzfktionen unerf\"ullbar hoch an verlangen ist.\\
\\
\"Uber \underline{zul\"assige elastische Beanspruchungen} sagt die Hempky-Hubersche Hypothese
(\nl-Grammel, S.278): Form\"anderungsenergie $\leq$ K\"orperkonstante; die Coulomb Mohr-Guestsche Hypothese: Maximale lokale Schubspannung $\underline{\underline{<}}$ Materialkonstante (277)\\
\\
\underline{Aufgabe:} Eine additive Zerlegung beliebiger Funktionen in die Anteile der einzelnen
 EWe $+$ einen ''kleinen'' Bestandteil (der beim Iterieren st\"arkerals alle \nl verschwindet).\\
\\
\subsection*{Allgemeines Hessenberg-Verfahren:}
W\"ahle 
$\left\{
\begin{array}{cccc}
\textnormal{Ausgangsfktion } y_{0}\\
\textnormal{Funktionale}
\end{array}\right.$ $\mathfrak{y}_{1}$, $\mathfrak{y}_{2},\cdots $ und\\
 bestimme die 
$\left\{
\begin{array}{cccc}
\textnormal{Fktionen } y_{1},\, y_{2},\cdots\\
\textnormal{Konstanten}
\end{array}\right.$\\
so da\ss  
$$\mathfrak{K}\,\nl\, =
\left(
\begin{array}{ccccc}
d_{10} & 1 & 0 & 0 & \cdots\\
d_{20} & d_{21} & 1 & 0 & \cdots\\
d_{30} & d_{31} & d_{32} & 1 & \cdots\\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdots
\end{array}\right)\,
\left(
\begin{array}{ccc}
y_{0}\\
y_{1}\\
y_{2}
\end{array}\right)$$
Hieraus $K_{I}$ durch Element (1, 1) der Potenzen von $D$ ?\\
\\
$\textbf{Seite 72}$\\
\\  
\underline{Eigenfktionen} f\"ur \underline{alle} An\"andergs\underline{Verfahren:}\\
Setze an $e_{l} = e_{1} + x\, e_{2}^{*} + z\, e_{3}^{**}$; \dots\\
und bestimme die Konstanten aus linearen Gl. durch Mult. \nl $\mathfrak{K} - K_{v})_{\alpha < \nu}$:\\
\begin{quote}
$\quad 0 = (K_{1} - K_{2}) + x\, y_{1} \, \mathfrak{K}\, e_{2}^{*}\\
\left\{
\begin{array}{ccc}
0 = (K_{1} - K_{3})+ y\, y_{1} \, \mathfrak{K}\, e_{2}^{*} + z\, y_{2} \, \mathfrak{K}\, e_{3}^{*}\qquad\qquad\quad\,\,\,\,\,\\
0 = (K_{1} - K_{3})\, y_{2}\, e_{1} + y\, (y_{2}\,\mathfrak{K}\, e_{2}^{*} - K_{3}) + z\, y_{2}\, \mathfrak{K}\, e_{3}^{*}\,\,
\end{array}\right.$
\end{quote}
Die \underline{Kunstenmethode} zur Bestimmung h\"oherer EL\"osungen besteht darin, dass man
eine oder mehrere lineare Bedingg stellt, welche von der gesuchten EL genau von der ersten
sehr schlecht erf\"ullt werden. Dadurch wird die gesuchte EL wieder eine, und zwar von 
kleineren Nummer.\\
Dh: Man gibt nicht eine lineare Schar endlichen Ranges vor, in der die gesuchte EL (etwa $e_{II}\sim$ liegt, sondern
eine Schar endlichen Rangdefekts. Ist $\Phi$ der Raum aller Funktionen , $\Phi'$ der vorgegebenen Teilraum
und $\sigma$ irgend ein Projektionsoperator, der $\Phi \rightarrow \Phi'$ abbildet $(\sigma^{2} = \sigma)$, $\sigma\, \varphi = \varphi')$, 
so legt man den vorgelegten Operator $\mathfrak{K}$ in $\mathfrak{K}^{*} = \mathfrak{K}\, \sigma$ ab:\\
Aus $\mathfrak{K}\, y = K\, y$, $y = \sigma\, y$ folgt $\mathfrak{K}\, \sigma \cdot y = K\, y$.\\
(F\"ur $\mathfrak{K}^{*} = \sigma\, \mathfrak{K}$ gilt das Gleiche).\\
\\
$\textbf{Seite 73}$\\
\\  
Man k\"onnte also zur Bestimmung einer EW Kurve $K_{II}$ so vorgehen, da\ss man \underline{einen} Pkt samt EL ausrechnet, dazu eine erf\"ullte Orthogonalit\"atsbedingg  sucht,
welche wahrscheinlich \"uber die ganze Kurve hinweg erf\"ullt ist, (aber nicht f\"ur $e_{I}$), und so $K_{II}$ zum ersten
EW eines abge\"anderten Operators macht  und durch
$\left\{
\begin{array}{ccc}
\textnormal{oder Galerkin mit 2 Fr. Gr}\\
\textnormal{Iteration bestimmt}.
\end{array}\right.$
Kennt man mehrere Orthogonalit\"atsbedggen, so wird man noch weitere EWe ausser $K_{I}$ fort -oder
wenigstens weit wegschaffen k\"onnen und so rasche Kgenz der Iteration erzielen.\\
Vielleicht, wenn nicht dieselbe Orthog.-bedgg. \"uber die ganze Kurve erf\"ullt ist, kann
man aus denen f\"ur 2 Pkte die anderen durch Interpolation finden. -Fehlerabsch\"atzung zur Knotenmethode ?\\
$\swarrow$ Dahin f\"allt auch das Verfahren, beim Flattern den Biegeanteil $= F$ bis auf Proportionalit\a"t vorzugeben und nur den Drehteil zu iterieren; hier w\"are $\sigma\{f,\,g\} = \{f(1) \cdot F(x),\, g\}$ z.B. m\"oglich, wenn $F(1) = 1$.
\subsection*{Eigenfunktionen f\"ur $ \sigma_{2}\,\sigma_{1}\,\mathfrak{K}-$Verfahren:}
Man weiss $\mathfrak{K} \cdot
\left(
\begin{array}{cccc}
e_{1}^{*}\\
e_{2}^{**}\\
e_{3}^{***}\\
\cdots
\end{array}\right)\,\, \nl\,\, \mathfrak{K} \, \upharpoonleft\downharpoonright ^{*}  = 
\underbrace{\left(
\begin{array}{cccc}
e_{11} & 0 & 0 & \cdots\\
e_{21} & e_{22} & 0 & \cdots\\
e_{31} & e_{32} & e_{33} & \cdots\\
\cdot & \cdot \cdot & \cdots
\end{array}\right)}_{\mathfrak{q}} \, \upharpoonleft\downharpoonright ^{*}\qquad$ mit $(c_{\alpha\alpha} = K_{\alpha})$.\\
Der Ansatz $e_{\mathfrak{n}} = \nl\, \upharpoonleft\downharpoonright ^{*}$ gibt
\begin{quote}
$\mathfrak{u} \cdot (\mathfrak{b} - K_{n}) = 0 :=$ gestaltetes System,
\end{quote}
$\textbf{Seite 74}$\\
\\  
Mit $ \upharpoonleft\downharpoonright  = 
\left(
\begin{array}{cccc}
e_{1}\\
\cdot\\
\cdot\\
e_{n}
\end{array}\right) = A \, \upharpoonleft\downharpoonright^{*}$, 
$A = 
\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & \cdots\\
a_{21} & 1 & 0 & \cdots\\
a_{31} & a_{32} & 1 & \cdots\\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdots
\end{array}\right)$\\
ist verlangt $\mathfrak{K}\,   \upharpoonleft\downharpoonright  = 
\left(
\begin{array}{cccc}
K_{1} &&\\
&\ddots&\\
&&K_{n}
\end{array}\right)\, \upharpoonleft\downharpoonright $, also $A\, \mathfrak{b}\,
\upharpoonleft\downharpoonright   ^{*} = 
\left(
\begin{array}{cccc}
K_{1} &&\\
&\ddots&\\
&&K_{n}
\end{array}\right)\, A\, \upharpoonleft\downharpoonright   ^{*}$, also $A\, \mathfrak{b} = 
\left(
\begin{array}{cccc}
K_{1} &&\\
&\ddots&\\
&&K_{n}
\end{array}\right)\, A$.\\
$e_{n} = \mathfrak{u}_{n}\, \upharpoonleft\downharpoonright   ^{*} $ mit \qquad $a_{n\,n} = -1$\\
im \"ubrigen ist 
\begin{quote}
$(c_{11} - K_{2})\, a_{21} = c_{21}\\
\left\{
\begin{array}{cccc}
(c_{11} - K_{3})\, a_{31} + c_{21}\, a_{32} = c_{31}\\
(c_{22} - K_{3})\, a_{32} = c_{32}
\end{array}\right.$ 
\end{quote}
\"Ubersichtilicher: $a_{n\,n} = -1$\\
$n = 2: \qquad (c_{n\,n} - K_{2})\, a_{21} = c_{21}$\\
\\
$n = 3: (c_{11} - K_{3}) \, a_{31} + c_{21}\, a_{32} = c_{31}\\
(c_{22} - K_{3})\, a_{32} = c_{32}$\\
\\
$n = 4: \quad (c_{11} - K_{4})\, a_{41} + c_{21} \, a_{42} + c_{31}\, a_{43} = c_{41}\\
(c_{22} - K_{4})\, a_{42} + c_{32}\, a_{43} = c_{42}\\
(c_{33} - K_{4}) \, a_{43} = c_{43}\\
\\
n = 5: \quad (c_{11} - K_{5}) \, a_{51} + c_{21}\, a_{52} + c_{31}\,a_{53} + c_{41}\, a_{54} = c_{51}\\
(c_{22} - K_{5})\,a_{52} + c_{32}\,a_{53} + c_{42}\, a_{54} = c_{52}\\
(c_{33} - K_{5})\, a_{53} + c_{42}\, a_{54} = c_{53}\\
\nl$\\
\\
$\textbf{Seite 75}$\\
\\  
Noch \"ubersichtlicher: $a_{nn} = + 1 \qquad n = 2:$ $(c_{22} - c_{11})\, a_{21} = c_{21}$\\
$n = 3$:
\begin{quote}
$(c_{33} - c_{22})\, a_{32} = c_{32}$\\
$(c_{33} - c_{11})\, a_{31} = c_{31} + a_{32}\,c_{21}$
\end{quote}
$n = 4$:
\begin{quote}
$(c_{44} - c_{33})\, a_{43} = c_{43}$\\
$(c_{44} - c_{22})\, a_{42} = c_{42} + a_{43}\,c_{32}$\\
$(c_{44} - c_{11})\, a_{41} = c_{41} + a_{43}\, c_{31} + a_{42}\, c_{21}$
\end{quote}
$n = 5$:
\begin{quote}
$(c_{55} - c_{44})\, a_{54} = c_{54}$\\
$(c_{55} - c_{33})\, a_{53} = c_{53} + a_{54}\,c_{43}$\\
$(c_{55} - c_{22})\, a_{52} = c_{52} + a_{54}\, c_{42} + a_{53}\, c_{32}$\\
$(c_{55} - c_{11})\, a_{51} = c_{51} + a_{54}\, c_{41} + a_{53}\, c_{31} + a_{52}\, c_{21}$
\end{quote}
Man braucht also das Schema \qquad $c_{54}$\\
in der Anordnung \qquad \qquad \qquad \quad \,$c_{53}\,\, c_{43}$
\begin{flushright}
$c_{52} \,\,c_{42}\,\,c_{32}$ \qquad\qquad \qquad\qquad \qquad\qquad \qquad\qquad \qquad     \\
$c_{51}\,\,c_{41}\,\,c_{31}\,\,c_{21}$ \qquad\qquad\qquad \qquad\qquad  \qquad\qquad \qquad  
\end{flushright}
$\textbf{Seite 76}$\\
\\  
\subsection*{Zur Berechnung kritischer Geschwindigkeiten}
Methode: In den Flattergleichungen die $i$-Funktion ganz rational verst\"ummeln und dann
\underline{$\nu_{\textnormal{krit}}\,\,\nl\,\,0$ reell sch\"atzen und $v_{\textnormal{krit}}$ als komplexen EW bestimmen}; $v$ 
variieren, $v_{\textnormal{kr}}$ reell suchen. ($v$ k\"onnte auch z.B. quadratisch auftreten.) Vorteil: Man kann aus Standschwingg. wohl $v_{\textnormal{kr}}$ leichter 
sch\"atzen als $v_{\textnormal{krit}}$. 
\subsection*{Hadamardscher Determinantensatz (ein Beweis).}
Es ist
$\left|
\begin{array}{cc}
a & b\\
b^{*} & D
\end{array}\right| = a \cdot 
\left|
\begin{array}{c}
D - \frac{b^{*}\,b}{a}
\end{array}\right| < a \, |D|$, wenn 
$\left(
\begin{array}{cc}
a & b\\
b^{*} & D
\end{array}\right)$ pos. def. Herm. Denn duch Abziehen von $ D - \frac{b^{*}\,b}{a}$ wird die Form verkleinert, bleibt 
aber positiv definit, weil bei \nl von $\frac{(t\, b^{*})\,(t\,b)}{a}\,\,0 \leq t \leq 1$ die Determinante nie verschwindet wegen
$\left(
\begin{array}{cc}
a & t\,b\\
t\,b^{*} & D
\end{array}\right) = (1 - t^{2}) \cdot \,
\left(
\begin{array}{cc}
a & 0\\
0 & 0
\end{array}\right) + 
\left(
\begin{array}{cc}
t & \\
 & E
\end{array}\right)\,
\left(
\begin{array}{cc}
a & b\\
b^{\alpha} & D
\end{array}\right) 
\left(
\begin{array}{cc}
t & \\
 & E
\end{array}\right)$. Also verkleinern sich alle EWe und damit auch die Determinante. Daher ist
$\left(
\begin{array}{cc}
a & b\\
b^{*} & D
\end{array}\right) \leq a \cdot |D|$.\\
Andere Variante ohne Vorkenntnisse \"uber $\square$ Formen:\\
$\left|
\begin{array}{cc}
a & b\\
b^{*} & D
\end{array}\right| = |D| \cdot (a - b\, D^{-1}\, b^{*}) \leq a\,
 |D|$\qquad, da $b\, D^{-1}\, b^{*} \geq 0$, $|D| \geq 0$.\\
Gebraucht wird: aus $H \gg 0$ folgt Abschnitt $H \gg 0$, $H^{-1} \gg 0$.
\subsection*{Eigenwerte von Abschnittsmatrizen:}
$\left|
\begin{array}{cc}
A - x\,E & B\\
C & D - x\,E
\end{array}\right| = |(A - x\,E) - B\,(D - x\, E)^{-1}C| \cdot |D - x\, E|$\\
\\
$\textbf{Seite 77}$\\
\\  
Die \underline{\"Uberf\"uhrung des S\"ohngenschen EWproblems $(v = const)$ in eins, das in Beziehung}\\
\underline{auf den EW linear ist}, bietet eine Schwierigkeit. Ersetzt man n\"amlich
 die T-Fktion durch ein Polynom in $\overline{\omega}$, so hat die Dgl. infolge der
besonderen Gestalt der Luftkr\"afte $(= v^{2}\cdot F(\overline{\omega}))$ das \\
Aussehen\hfill \nl\\
(1) \qquad
$\left\{
\begin{array}{cc}
(p\, f'')'' = v^{2}\{(\alpha_{0}(x)\,f + \beta_{0}(x)\,g) + \overline{\omega}\,(\alpha_{1}(x)\, f + \beta_{1}(x)\,f\,g) + \overline{\omega}^{2} \cdot (\,\,) + \cdot\}\\
-(q\,g')' = v^{2}\{\gamma_{0}(x)\,f + \delta_{0}(x)\, \gamma) + \overline{\omega}\,(\gamma_{1}(x)\,f + \delta_{1}(x)\,\gamma) + \overline{\omega}^{2} \cdot \cdot (\,\,) + \cdot\} 
\end{array}\right. $\\
Die Iteration verlangt also, infolge der aerodyn. Stetigkeiten
$\left(
\begin{array}{cc}
\alpha_{0} & \beta_{0}\\
\gamma_{0} & \delta_{0}
\end{array}\right)\, v^{2}$, die L\"osung der unbequemen Randwertaufgabe\hfill $\varepsilon = 0$ geht !\\
$\left\{
\begin{array}{cc}
(p\, f'')'' - v^{2}\{(\nl + \beta_{0}\,g) = \textnormal{gegeben}&\\
-(q\,g')' = v^{2}\{\nl + \delta_{0}\, \gamma) = \textnormal{gegeben} & \textnormal{( es ist \nl = 0\,\, f\"ur } \epsilon = 0) 
\end{array}\right. $\\
die noch dazu f\"ur jeden Wert von $v$ andere Einflusszahlen hat. Ersetzt man andererseits gewaltsam die Kraftbeiwerte in den \nl duch Polynome in $\overline{\omega}$, die durch $\overline{\omega}$ teilbar sind, so da\ss 
$\left(
\begin{array}{cc}
\alpha_{0} & \beta_{0}\\
\gamma_{0} & \delta_{0}
\end{array}\right) = 0$, so muss man viele Glieder nehmen, um etwa im Intervall $0,\, 1 \leq \overline{\omega} \leq 1,\, 0$ gute Ann\"aherung
zu die Luftkr\"afte kriegen. Denn das l\"auft darauf hinaus $\frac{1}{ \overline{\omega} }\,(1 + T (\overline{\omega} ))$ durch ein Polynom in 
$\overline{\omega}$ zu approximieren; mit konstanten $\&$ linearen Glied allein geht das \nl schlecht, denn w\"ahrend $1 + T\,(\overline{w})$ selbst um von $1,6 - 0,3\,i$ bis $1,1 - 0,2\,i$ (\"uber 1,2 - 0,3$\,3$ f\"ur $\overline{\omega} = 0,55$) schwankt schwankt 
$\frac{1 + T}{\overline{\omega}}$ von $16 - 3\,i$ bis $1,1 - 0,2\,i$ (\"uber 2,2 - 0,5$\,i$ f\"ur 0,55).\\
Bei beiden Auffassungen m\"usste man \"ubrigens f\"ur gute \"Uberein-\\
\nl\\
\\
$\textbf{Seite 78}$\\
\\  
Diese gewaltsame Ab\"anderung kann man allgemein machen; z.B. bei Matrizen, wenn
$$|\mathfrak{E} + A + B\,x + C\,x^{2} + D\,x^{3}| = 0$$
zu l\"osen und man weiss: $x \approx x_{0}$, dann approximiere man\\
$A + B\,x + C\,x^{2} + D\,x^{3} \approx A\,x + B\,x^{2} + T\,x^{3} + A\,x^{4}$\quad f\"ur $x \approx x_{0}$\\
und l\"ose $|\mathfrak{E} + A\,x + B\,x^{2} + T\,x^{3} + A\,x^{4}| = 0$.\\
Es k\"ame also auf eine Approximation $A = x\,A$ an, $d \cdot i$ aber\\
einfach 
$\left\{
\begin{array}{cc}
A = A \cdot x\,p(x) & \textnormal{mit } p(x) \approx \frac{1}{x} \textnormal{ bei } x \approx x_{0}\\
A = A \cdot p(x) 
\end{array}\right.$\\
wird nicht sehr gut gehen, ausser wenn man $x_{0}$ \underline{gut} hat. Und l\"auft nun das Ganze nicht auf eine St\"orungsrechnung heraus ?\\
\\
Bei Schwarz, \nl S.382, ist das Vorzeichen der Hauptformeln f\"ur $\Pi$ falsch (\nl bei K\"ussner vorne). Wo ist der Fehler ? In Gl.(6) \nl.\\
\\
Eine \underline{L\"osung von $g(x) = \frac{1}{2\,\pi}\,\, \nl\,\, \frac{f(\xi)}{x - \xi}\, d\,\xi$} 
ist nach Betz $f(x) = \frac{-2}{\pi\,\sqrt{1 - x^{2}}}\, \nl\, \frac{g(\xi)\,\sqrt{1 - \xi^{2}}}{x - \xi}\, d\xi$; (Schwarz, Infoheft S. 381)\\
\\
$\textbf{Seite 79}$\\
\\  
Dies kann man so ansprechen:\\
F\"ur $\mathfrak{K}\, f =  \frac{i}{\pi\,i} = \nl \, \frac{f(\xi)}{\xi - x}\, d\,\xi$ und  $\mathfrak{M}\,f = f(x) \cdot \sqrt{1 - x^{2}}$\\
gilt
$$\mathfrak{K} \cdot w^{-1}\mathfrak{K}\,w = 1$$
\underline{Fehlerrechung} zu dem Verfahren, nach Bestimmung von $K_{I} \,\&\,K_{II}$ die beiden 
fehlenden EWe einer \underline{4-reihigen Matrix} aus Kenntnis der beiden ersten el.-symm- Fktionen zu berechnen:
$$d K_{III} = \frac{(K_{I} - K_{IV})\,d\,K_{I} + (K_{II} - K_{IV})\, d K_{II}}{K_{III} - K_{IV}}$$
\underline{Aufgabe}: Fehlerrechnung f\"ur Abh\"angigkeit von $v_{krit}$ von dem Luftkraftgesetz:\\
F\"ur $A = 
\left(
\begin{array}{cc}
0 & p\\
-1 & s
\end{array}\right)$ ist $D = A\,A^{*} - A^{*}\,A = 
\left(
\begin{array}{cc}
p\,\overline{p} - 1 & p\,\overline{s} + s\\
\overline{p}\, s + \overline{s} & 1 - p\,\overline{p}
\end{array}\right)$\\
\\
$\textbf{Seite 80}$\\
\\  
$\begin{tabular}{|c|}
\hline\\
Zweireihige Matrizen mit gegebener erster Spalte\\
\hline
\end{tabular}$. V$_{18}$ \hfill 22.6.44\\
Ist $M = 
\left(
\begin{array}{cc}
a & \cdot\\
b & \cdot
\end{array}\right)$, mit den EW $\mu_{1}$, $\mu_{2}$, so gilt\\
\nl \qquad =
$ \left(
\begin{array}{cc}
1 & a\\
\overline{a} & |a|^{2} + |b|^{2}
\end{array}\right)$\\
$\varepsilon^{4} = \frac{1}{2}\,\vartheta^{2}\,(M\,M^{*} - M^{*}\,M) = 
\frac{1}{|b|^{4}} \cdot (|b|^{2} + |\mu_{1} - a|^{2}) \cdot (|b^{2}| + |\mu_{2} - a|^{2})$.\\
Dies ist bei geg. $a$, $b$, $\mu_{1}$, $\mu_{2}$, $\vartheta^{2}$ die notw. $\&$ hinr. Bedgg. f\"ur 
Existenz eines $M$. \\
(Also ist insbesondere $M$ dann \nl dann normal, wenn $|b|^{2} + (\mu_{1} - a) \cdot (\overline{\mu}_{2} - \overline{a}) = \sigma$).\\
\\
Hieraus ergibt sich ein einfacher Einschliessungssatz, der aber f\"ur $M\,M^{*} \,\nl\,M^{*}\,M$ nur eine notw. Bedingg. f\"ur die EWe darstellt:
$$ \textnormal{ \Large{$|$}} |b|^{2} + (\mu_{1} - a)\, (\overline{\mu}_{2} - \overline{a})\textnormal{\Large{$|$}}\,\,\underline{\underline{<}}\,\, 
\sqrt{ \frac{1}{2}\,\vartheta^{2}\,(M\,M^{*} - M^{*}\,M)} = \varepsilon^{2}$$
genauer Einschl.-Satz. 84\\
Diese Diese Formel legt die Definition\\
$\varepsilon\,(M) = ^{4}\sqrt{ \frac{1}{2}\,\vartheta^{2}\,(M\,M^{*} - M^{*}\,M)} =$ ''Schiefe
von $M$''\\
nahe, es ist also f\"ur zweireihige Matrizen\\
$(|b|^{2} + |\mu_{1} - a|^{2})\,(|b|^{2} + |\mu_{2} - a|^{2}) \cdot \textnormal{ \Large{$|$}} |b|^{2} + (\mu_{1} - a)\,(\overline{\mu}_{2} - \overline{a})\textnormal{ \Large{$|$}} ^{2} = 
|b|^{4} \cdot \varepsilon^{4}(M)$\\
Allgemein ist
$\left(
\begin{array}{cc}
\varepsilon\,(q \cdot M) = |q| \cdot \varepsilon\,(M),\,\, \varepsilon(\overline{U}'\,M\,U) = \varepsilon\,(M),\\
\varepsilon\,(M + r \cdot b) = \varepsilon\,(M)
\end{array}\right)$.\\
\\
$\textbf{Seite 81}$\\
\\  
F\"ur zweireihige Matrizen ist $\varepsilon (M) \leq \vartheta (M)$. Das Zeichen = steht
\nl, wenn $\mu_{1} = \mu_{2} = \sigma$.\\
Bew: $\vartheta^{2}
\left(
\begin{array}{cc}
\mu & 0\\
\beta & \mu
\end{array}\right) = |\beta|^{2} + 2\,|\mu|^{2}$, $\varepsilon^{2}\,
\left(
\begin{array}{cc}
\mu & 0 \\
\beta & \mu
\end{array}\right) = \varepsilon^{2}
\left(
\begin{array}{cc}
0 & 0\\
\beta & 0
\end{array}\right) = |\beta|^{2}$.\\
F\"ur $M = 
\left(
\begin{array}{cc}
\alpha & 0\\
\gamma & \delta
\end{array}\right)$ ist $M\,M^{*} - M^{*}M = 
\left(
\begin{array}{cc}
-\gamma\,\overline{\gamma} & (\alpha - \delta)\,\overline{\gamma}\\
(\overline{\alpha - \delta})\,\gamma & \gamma\,\overline{\gamma}
\end{array}\right)$, daher $\varepsilon^{4} = \frac{1}{2}\,\vartheta^{2}(M\,M^{*} - M^{*}\,M) = |\gamma|^{4} + |\alpha - \delta|^{2}\nl$\\
Also $|\gamma| \geq \varepsilon$; stets gibt es mit $|\mu_{i} - \mathfrak{a}|^{4} \leq |\mathfrak{b}|^{4} + |\mathfrak{b}|^{2}\varepsilon^{2}$ \underline{(genau)}\\
F\"ur \underline{$n$-reihige Matrizen gilt: $\varepsilon(M)\,\,\underline{\underline{<}}\,\,\vartheta(M)$}.\\
= steht nur, wenn alle EWe (von $M$) = 0 und $Rg\, M = 1$, und f\"ur $M = 0$.\\
Bew. induktiv nach $n$ mit der Formel:\\
F\"ur 
$$ M = 
\left(
\begin{array}{cc}
A & C\\
0 & d
\end{array}\right),\,\,Gr\,A = n - 1,\textnormal{ gilt }
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$ \varepsilon^{4}_{M} = \varepsilon^{4}_{A} + \vartheta^{4}_{C} + 2\, \vartheta^{2}_{A^{*}C} + 2|d|^{2}\,\vartheta_{C}^{2} - \vartheta^{2}_{A\,C + C\,d}$\\  
\hline
\end{tabular}$$
Falsch sind die Vermutungen (mit $\nu_{M}^{2} = \vartheta_{M}^{2} - \varepsilon\,|\mu_{i}|^{2})$:\\
\\
$\varepsilon_{M} < \nu_{M}$; Gegenbeispiel:\\
z.B. $M = 
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right):\quad \varepsilon^{4}_{M} = 2 \,\, \nu^{4}_{M} = 1$.\\
\\
$\nu_{M} < \varepsilon_{M}$; Gegenbeispiel:\\
z.B. $M = 
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 2\\
0 & 0 & 0
\end{array}\right):\quad \varepsilon^{4}_{M} = 17 \,\, \nu^{4}_{M} = 25$.\\
\\
$\textbf{Seite 82}$\\
\\  
Aufgaben: Einfluss der Teilpunktzahl und Integrationsformel bei Diffgl.-EW-Aufgaben ?
\subsection*{Andere Defintion der Anomalie \nl einer Matrix~$A$:}
$\alpha^{2}_{A} = $Summe der positiven EW von $D = A\,A^{*} - A^{*}\,A$.\\
Diese EWerte \nl, $\cdots$, $d_{n}$ treten paarweise auf: $\alpha_{i} + \alpha_{i'} = 0$. Denn wenn 
$T^{-1}A\,T = A'$, ist $(T^{-1}D\,T)' = -D$. \nl\\
Also, wenn $\alpha_{1} \geq \alpha_{2} \geq \dots$: es ist \nl S.89 !\\
$\alpha^{2}_{A} = \sl{d_{i} > 0}{} \,d_{i}$, $\varepsilon^{2}_{A} = \sl{d_{i} > 0}{} \,d_{i}^{2}\,\,\underline{\underline{<}}\,\,\alpha^{2}_{A}$, und = nur bei $Rg\,D = 2$\\
Es ist $\alpha^{2}_{A} = Max \,\,Spur\,\,D\,H$ mit $H$
$\left\{
\begin{array}{cc}
\textnormal{Hermitisch, }
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$H \subseteq 1$
\end{tabular}\\
\underline{\underline{\supseteq}}\,\,0
\end{array}\right.$\\
$A =$ maximale \nl zu $D$ unit\"ar \"ahnlichen\\
dh. 
$$\alpha^{2}_{A} = Max |\vartheta^{2}_{G} - \vartheta^{2}_{C}|\textnormal{, wenn in}$$
{\scriptsize{$\textnormal{Ist }D = |\alpha_{ik}|\textnormal{, so ist }\alpha^{2}_{A} \leq \nl |\alpha_{ik}|\textnormal{ sehr grob} $}}\\
$\mathfrak{U}^{-1}A\,\mathfrak{U} = 
\left(
\begin{array}{ccc}
B & C\\
G & F
\end{array}\right)$ $\mathfrak{U}$ alle unit\"aren Matrizen durchl\"auft \\
\nl $\leq Gr\,B \leq \frac{n}{2}$\\
Also ist $\alpha^{2}_{A} \,\,\underline{\underline{<}}\,\, \vartheta^{2}_{A}$ und = nur, wenn $A$ unit\"ar \"ahnlich von
$\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 0\\
G & 0
\end{array}\right)$ mit Typ $G$ = \nl\\
Daher $\varepsilon^{2} \,\,\underline{\underline{<}}\,\,$ und = nur, wenn
$G\,G^{*} = 
\left(
\begin{array}{cccc}
0 & & &\\
  &0& &\\
 & &0& \\
&&&1
\end{array}\right)$, also\\
$\mathfrak{U}^{-1}A\,\nl =$
$\left(
\begin{tabular}{c|c}
0 & 0\\
\hline\\
0 & 0\\
$\cdots$ & 0
\end{tabular}\right)$ oder = 
$\left(
\begin{array}{cccccc}
0\\
0\\
0\\
\cdot\\
0\\
a
\end{array}\right. ${\LARGE{$0$}}
$\left)
\begin{array}{cccccc}
\\
\\
\\
\\
\\
\\

\end{array}\right.$. vgl S.81\\
\\
$\textbf{Seite 83}$\\
\\  
{\scriptsize{Man kann \nl Matrix unit\"ar transformieren, dass jede Zeilennorm \nl entsprechenden Spaltennorm wird.}}\\
Die Absch\"atzung $\alpha_{M} \leq \vartheta_{M}$ ist also leicht zu \nl und sch\"arfer als $\varepsilon_{M} \leq \vartheta_{M}$\\
Auch gilt f\"ur $M = 
\left(
\begin{array}{cc}
M_{1} & \\
 & M_{2}
\end{array}\right)$ \hfill $ \alpha_{M}^{2} = \alpha_{M_{i}}^{2} + \alpha_{M_{2}}^{2}$,\\
w\"ahrend unsch\"onen \hfill  $ \varepsilon_{M}^{4} = \varepsilon_{M_{1}}^{4} + \varepsilon_{M_{2}}^{4}$ gilt.\\
\\
Es ist mit $(A,\,B) = A\,B - B\,A:\qquad (A,\,B)^{*} = (B^{*},\,A^{*})$\\
$Sp\,X\,(Y,\,C\,Z,\,X)) = Sp\,(X,\,Y) \cdot (Z,\,X)$\\
Daher folgt aus $(M\,(M,\,M^{*}) = 0$ auch $(M^{*},\,M) = 0$ (mit $M^{*}$ \nl) und aus $H^{*} = H$ und $(M,(M^{*},\,H)) = 0$ auch $(M^{*},\, H) = 0$.\\
Allgemeiner gilt
\begin{quote}
$Sp\,X \cdot (Y,\, Z) = Sp\, (X,\, Y) \cdot Z$.
\end{quote}
Es ist (Poisson) $(X\,(Y\,Z)) \,\,\nl\,\,$zykl. = 0. $(X^{x},\,(X,\,Y) = \nl$\\
Mit $D = (M,\, M^{*})$ gilt $\delta\,\vartheta^{2}D = 4 \,R\, Sp(M^{*},\, D) \cdot \delta\,M$.\\
\\
\underline{Allgemeiner Variationsprinzip:} Sind die $\mathfrak{a},\, \mathfrak{b}$ zwei Mannigfaltigkeiten von 
etwa reellen Matrizen, und ist $Sp\, A_{0}\,B_{0} = 
Min_{A \subset R}\, Max_{B \subset \mathfrak{b}}\,
 Sp\, A\,B$, so ist notwendig,falls $\delta\,\mathfrak{a} = - \delta\,\mathfrak{a}$, $\delta\,\mathfrak{b} =
 -\delta\,\mathfrak{b}$:\\
$$Sp\,A_{0}\,\delta\,B = Sp\,B_{0}\,\delta\,A = 0.$$
Denn \nl $Sp\,A_{0}\,B_{0} \geq Sp\,A_{0}\,B$ ist \qquad $Sp\,A_{0}\,\delta\,B = 0$.\\
\nl\\
\\
$\textbf{Seite 84}$\\
\\  
Damit kann man an Aufgaben der folgenden Art gehen:\\
Die Notwendigen Bedinggen f\"ur die Matrix kleinster Schiefe in $\mathfrak{A}$ aufzustellen.\\
N\"utzlich zu wissen ist: \nl hat $M + \delta\,M$ die gleichen EWe wie $M$, wenn $Sp\,M^{\nu} \cdot \delta\,M = 0\qquad (\nu = 0,\,1,\, 2,\cdots)$.\\
Aufgabe: Bestimme die minimale Schiefe der Matrizen, die\\
1) vorgegebene EWe $\mu_{1},\cdots,\mu_{n}$ haben und \\ 
2) eine vorgegebene erste Spalte\\
Da\ss jede gr\"ossere Schiefe dann auch durch eine passende Matrix $A$ realisiert werden kann
mit den gleichen EWen, ist wohl ziemlich trivial. Das w\"are also der genaue ''Einschliessungssatz''
f\"ur den vorgegebenen Schiefe-Begriff.\\
F\"ur die Matrix $M = 
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & a & b\\ 
1 & c & d\\
0 & g & j
\end{array}\right)$ ist $(M,\, M^{*}) = 
\left(
\begin{array}{cccc}
a\,\overline{a} + b\,\overline{b} - 1 & a\,\overline{c} + b\, \overline{d} - c & a\,\overline{g} + b\,\overline{j} - d\\
c\,\overline{a} + d\,\overline{b} - \overline{c} & 1 + d\,\overline{d} - a\, \overline{a} - g\,\overline{g} & c\,\overline{g} + d\,\overline{j} - b\,\overline{a}- d\,\overline{c} - j\,\overline{g}\\
g\,\overline{a} + j\,\overline{b} - \overline{d} & g\,\overline{c} + j\,\overline{d} - a\,\overline{b} - c\,\overline{d} - g\,\overline{j} & g\,\overline{g} - b\,\overline{b} - d\,\overline{d}
\end{array}\right)$ 
\subsection*{Gliederung von Zusammenstellg. versch. Verf. zur L\"osung linearer alg. EW Aufgaben.}
I. Einleitung:
\begin{quote}
A. Abgrenzung des Gegenstands.\\
B. Abstufungen des ''EWproblems'',\\
C. Einleitung der Methoden\\
D. Gesichstpunkte f\"ur die Beurteilung prakt. Verfahren.
\end{quote}
$\textbf{Seite 85}$\\
\\  
II. Vorbemerkungen \"uber das Rechnen mit Matrizen.\\
III. Verfahren zur Aufstellg der S\"akulargl.\\
A: Hauptunterdeterminanten. B: Potenzspuren. C: Polynomspuren. D: Hamilton-Cayley. E: Hessenberg.\\
IV. Verfahren ohne Sekul\"argl.\\
A: Matrixpotenzierung. B: Vektoroperation. C: Gebrochene Iteration
D: Matrizen mit \"uberwiegenden Hauptdiagonale. E: Gen\"aherte Haupachsentransformation. F: Gewogene Mittel.\\
\\
\underline{Aufgabe:} Zusammenhang der oben definierten Schiefe einer Matrix mit den Winkeln zwischen
adjungierten Paaren von Eigenvektoren ? Um wieviel kann sich die Schiefe einer Matrix durch 
\"Ahnlichkeitstransf. \"andern ?  Um Spanne $T$ ?\\
\\
NB: Bei den Flatterrechnungsverfahren, bei denen die Ansatzfunktionen \underline{differenziert}
werden, hat eigentlich das Auf\underline{zeich}nen der Freiheitsgrad wenig zweck, da sollte man
lieber die zugelassenen Kr\"afte und Momente aufzeichenen !\\
$\textbf{Seite 86}$\\
\\  
F\"ur $M = 
\left(
\begin{array}{ccc}
7 & 6 & 6\\
-4 & -4 & -5\\
2 & 4 & 5
\end{array}\right)$ mit $\mu_{i} = 4,\, 3,\, 1$ ist $D = 
\left(
\begin{array}{ccc}
52 & -148 & -4\\
-148 & -11 & -125\\
-4 & -125 & -41
\end{array}\right)$,
$\begin{array}{ccc}
\varepsilon^{4} = 39798\\
\varepsilon^{2} = 199,5\\
\varepsilon = 14,12
\end{array}$ \\
\\
\underline{Aufgabe:} Zu gegebener Hermitescher Matrix $H$ und Diagonalmatrix $C$ eine 
transformierende \underline{Diagonal}matrix $T$ so finden, dass Schiefe $T^{-1} \cdot H\,C \cdot T = min$. Scharfer
Einschliessungssatz f\"ur ''$H$ normal, $\mathfrak{q},\, \nl\,\mathfrak{q},\, H^{2}\mathfrak{q}$ gegebenen'' ? Untersuchen,
ob die Bedingg f\"ur 2. Determinantentransformation von $H$, wenn $H = H^{*}$ und $\mathfrak{q},\,H\,\mathfrak{q}$ sowie
$y,\, H\, y$ gegeben, unabh\"angig ist von den Bedgg. f\"ur $H\,(t\,\mathfrak{q} + y),\, t\,\mathfrak{q} + y$ gegeben ?\\
\\
Zum selbstadj. Einschliessungssatz f\"ur $\mathfrak{q},\, A\,\mathfrak{q},\,A^{2}\,\mathfrak{q}$.\\
F\"ur $V = 
\left(
\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
\mu_{1} & \cdot &\cdot &\cdot & \mu_{5}\\
\mu_{1}^{2} &\cdot &\cdot &\cdot & \mu_{5}^{2} \\
\mu_{1}^{3}&\cdot &\cdot &\cdot &\mu_{5}^{3}\\
\mu_{1}^{4}&\cdot &\cdot &\cdot &\mu_{5}^{4}
\end{array}\right)$
$W = 
\left(
\begin{array}{ccccc}
d_{4}^{(1)} & d_{3}^{(1)} & d_{2}^{(1)} & -d_{1}^{(1)} & 1\\
\cdot &\cdot&\cdot&\cdot& \cdot\\
d_{4}^{(5)} & -d_{3}^{(5)} & d_{2}^{(5)} & -d_{1}^{(5)} & 1'
\end{array}\right)$
gilt $W \cdot V = 
\left(
\begin{array}{ccccc}
(\mu_{1} - \mu_{2})\,(\mu_{1} - \mu_{3})\,(\mu_{1} - \mu_{4})\,(\mu_{1} - \mu_{5}) & 0 & 0 & \cdots\\
0 & (\mu_{2} - \mu_{1})\, (\mu_{2} - \mu_{3})\cdots (\mu_{2} - \mu_{5})\\
0 & 0\\
\cdot & \cdot
\end{array}\right)$ wenn $d_{3}^{(2)}$ z.B. die dritte el.-symm. Fkt. der vier $\mu$, die durch Fortlassen von $\mu_{2}$ entstehen.\\
$\textbf{Seite 87}$\\
\\  
Die L\"osungen von $V \cdot 
\left(
\begin{array}{ccccc}
p_{1}\\
p_{2}\\
\vdots\\
p_{5}
\end{array}\right) = 
\left(
\begin{array}{ccccc}
a_{0}\\
a_{1}\\
\vdots\\
a_{4}
\end{array}\right)$ lautet also
$$p_{1} = 
\frac{a_{4} - d_{1}^{(1)}a_{3} + d_{2}^{(1)}a_{2} - d_{3}^{(1)}a_{1} + d_{4}^{(1)}a_{0}}{(\mu_{1} - \mu_{2})\,(\mu_{1} - \mu_{3})\,(\mu_{1} + \mu_{4})\,(\mu_{1} - \mu_{5})}$$
$$p_{2} = 
\frac{a_{4} - d_{1}^{(2)}a_{3} + d_{2}^{(2)}a_{2} - d_{3}^{(2)}a_{1} + d_{4}^{(2)}a_{0}}{(\mu_{2} - \mu_{1})\,(\mu_{2} - \mu_{3})\,(\mu_{2} - \mu_{4})\,(\mu_{2} - \mu_{5})}\qquad \textnormal{usw.}$$
$p_{\nu}\,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$ ist die notw. $\&$ hinr. Bedgg. daf\"ur, da\ss es eine hinreichende Matrix $M$ gibt mit $Gr = 5$, $Wn \,\,\mu_{1},\cdots,\mu_{5}$, welche $\mathfrak{q} \rightarrow M\,\mathfrak{q} \rightarrow M^{2}\mathfrak{q}$ \"uberf\"uhrt mit
$\mathfrak{q}^{*}\mathfrak{q} = a_{0}$, $\mathfrak{q}^{*}\,M\,\mathfrak{q} = a_{1}$, $\mathfrak{q}^{*}M\,\mathfrak{q} = a_{2}$ usw., falls
$\mu_{1} \cdots,\,\mu_{5}$ reell. Bei normalen Matrizen m\"usste wohl auch $\Sigma\,p_{\nu}\,\mu_{\nu}\,\overline{\mu_{\nu}}$ gebildet werden und statt $\Sigma\,p_{2}\,\mu^{4}:\,\,\Sigma\,p_{\nu}\,\mu_{\nu}^{2}\,\overline{\mu_{\nu}}^{2}$.\\
\underline{Gegeben} seien in Zukunft nicht $A$ und $\mathfrak{q}$, aber $\mathfrak{q}'A^{\nu}\,\mathfrak{q} = \underline{a_{\nu}.}$\\
Def: Schreibe $c_{4}\,A^{4} + c_{3}\,A^{3} + \cdots + c_{0}\,\nl\,0$, wenn $\mathfrak{q}'(c_{4}\,A^{4} + \cdots + c_{0})\,\mathfrak{q} =~0$.\\
Notw. $\&$ hinr. f\"ur Realisierbarkeit von $\mu_{1} < \mu_{2} < \cdots < \mu_{5}$ ist
$$(A - \mu_{2})\,(A - \mu_{3})\,(A - \mu_{4})\,(A - \mu_{5}) \,\,\underline{\underline{>}}\,\,0$$
$$(A - \mu_{1})\qquad (A - \mu_{3})\,(A - \mu_{4})\,(A - \mu_{5})\,\, \underline{\underline{<}}\,\,0$$
$$(A - \mu_{1})\,(A - \mu_{2})\,(A - \mu_{3})\,(A - \mu_{4})\,\,\underline{\underline{>}}\,\,0$$
Zul\"assig \nl eine Matrix $A_{1}$, wenn $\mathfrak{q}'A_{1}^{\nu}\mathfrak{q} = a_{\nu}\quad (\nu = 0,\cdots,\,4)$\\
$\textbf{Seite 88}$\\
\\  
Die Wurzeln $\mu_{1},\,\mu_{2}$ Galerkingl. sind gekennzeichnet durch \\
$(A - \mu_{1})\,(A - \mu_{2}) = (A - \mu_{2})\,A = 0$\\
Dann 1) sind hier durch $\gamma_{1}$ und $\gamma_{2}$ als L\"osgen der Gl.
$$ \left|
\begin{array}{ccccc}
\gamma^{2} & x & 1\\
a_{2} & a_{1} & a_{0}\\
a_{3} & a_{2} & a_{1}
\end{array}\right| = 0$$
eindeutig bestimmt, zweitens haben diese $\gamma_{4,2}$ die Eigenschaft, da\ss 
$$\mathfrak{q}'(A - \gamma_{1})\,(c_{0} + c_{1}\,A)\,\mathfrak{q} = 0$$
$$(A\,\mathfrak{q}') \cdot \qquad \qquad\qquad\quad\, = 0$$
eine L\"osung $c_{0}\,c_{1} \not\equiv 0$ hat, n\"amlich $c_{1} = -1$, $c_{0} = \gamma_{2}$ \nl $\gamma_{1}$.\\
Ebenso ist die L\"osg. $\gamma$ der Galerkingl. ersten Grades gekennzeichnet \\
durch \qquad $A - \gamma = 0$. \\
Es ist $A^{2} \cdot (A - \gamma_{1})\,(A - \gamma_{2}) = (A - \gamma_{1})^{2}(A - \gamma_{2})^{2}\,\,\underline{\underline{>}}\,\,0$.\\
Es gibt von jeder zul\"assigen Matrix $A$ mindestens je einen EW $\mu$ in den Intervallen $(1) \,\,\mu\,\,\underline{\underline{<}}\,\,\gamma_{1}$,
 (2) $\gamma_{1} \leq \mu \leq \gamma_{2}$ (3) $\gamma_{2} \,\,\underline{\underline{<}}\,\,\mu.$\\
Denn sonst w\"are
\begin{quote}
(1)$\,\, 0 = (A - \gamma_{1}) \cdot (A - \gamma_{2})^{2} \,\,\nl\,\, 0\qquad (2)\,\,(A - \gamma_{1})\,(A - \gamma_{2}) \geq~0$\\
oder $(A - \gamma_{2})\,\mathfrak{q} = 0 \hfill\qquad \qquad(3) (A - \gamma_{1})^{2}(A - \gamma_{2}) \leq 0$
\end{quote}
\begin{flushright}
$\downarrow$ \qquad\qquad \qquad\qquad\quad \qquad\qquad\qquad\qquad \qquad oder $(A - \gamma_{1})\,\mathfrak{q} = 0$
\end{flushright}
Also (1) und (3) gelten mit der einen Ausnahme: $\mathfrak{q}$ EV von $A$, \\
dh. $R_{f}\,
\left(
\begin{array}{ccccc}
a_{2} & a_{1} & a_{0}\\
a_{3} & a_{1} & a_{2}
\end{array}\right) = 1$\\
$\textbf{Seite 89}$\\
\\  
$\alpha_{1} < \gamma_{1} < \gamma < \gamma_{2} < \infty$ sind stets realisierbar, daher ist $\gamma_{1}$ die kleinste 
obere Schranke f\"ur $\mu_{1}$.\\
Ist f\"ur 4 Zahlen $t < n < v < w \qquad (A - t)\,(A - u)\,(A - v)\,(A - w) \,\,\underline{\underline{<}}\,\, 0$, so gibt es $\mu$ in $<t\,u>$ oder $<v\,w>$; bei 
$ \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$ in $(-\infty,\, t>,\,<u,\,v>,\,<w\,\infty)$.\\
Folge weiss man zwei Zahlen $l_{3}\,l_{2}$ mit $\mu_{1} < l_{1} < l_{2} < \mu_{2} < \nl \,\cdots$,\\
so ist  
\begin{quote}
$\mu_{1} \,\,\underline{\underline{<}}\,\, \frac{\cdot A\,(A - l_{1})\,(A - l_{2})}{\cdot (A - l_{1})\,(A - l_{2})}
= \frac{a_{3} - (l_{1} + l_{2})\,a_{2} + l_{1}\,l_{2}\,a_{1}}{a_{2} - (l_{1} + l_{2})\,a_{1} + l_{1}\,l_{2}\,a_{0}}$ 
\end{quote} 
Gegenbeispiel zu Behauptungen von S 82 :\\
F\"ur 
$A = 
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 1
\end{array}\right)$ ist $D = A\,A^{*} - A^{*}A = 
\left(
\begin{array}{ccc}
-2 & -1 & -1\\
-1 & 0 & 0\\
-1 & 0 & 2
\end{array}\right)$ mit $|D| = -2 \not= 1$\\
\"Ubrigens ist, wenn $\mathfrak{f}$ die Matrix der auf L\"ange 1 normierten E-Vektoren bedeutet,
$\underbrace{\mathfrak{f}\,\mathfrak{f}^{*} - E} = 
\left(
\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 0\\
0 & 0 & -1\\
0 & -1 & 1
\end{array}\right)$; die EWe von \nl und von $D$ sind \\
$\downarrow$ \hfill nicht proportional\\
(Det. $= + 1$)\\
$\textbf{Seite 90}$\\
\\  
\underline{1.8.44}\\
\subsection*{Flattern bei konstanten Baugr\"ossen:} 
$f^{(4)} = \lambda\,( \alpha\,f + \beta\,g) -g'' = \lambda\,(\gamma\,f + \delta\,g)$\\
Entwickle nach vollst. EF-System von $\nl = \lambda\,f$, etwa \nl, $\lambda = \nl$ und \nl $= \lambda\,g$; etwa
$g_{\nu_{1}}\lambda = \delta_{\nu}$: $ f = \Sigma\,a_{\nu}\,f_{\nu}$, $g = \Sigma\,b_{\nu}\,g_{\nu}$. Gilt f\"ur $\lambda$ die Gl.
$$ \left|
\begin{array}{ccccc}
\frac{1}{\lambda} - \frac{\alpha}{\alpha_{2}} & 0 & -\beta\,c_{21} & -\beta\,c_{22} & \cdot\\
0 & \frac{1}{\lambda} - \frac{\alpha}{\alpha_{1}} & -\beta\,c_{1\,1} & -\beta_{1\,2}& \cdot\\
-\gamma\,c_{2\,1} & -\gamma\,c_{1\,1} & \frac{1}{\lambda} - \frac{\delta}{\delta_{1}} & 0 & \cdot\\
-\gamma\,c_{2\,2} & - \gamma\,c_{1\,2} & 0 & \frac{1}{\lambda} - \frac{\delta}{\delta_{2}} & \cdot
\end{array}\right| = 0$$
mit  $c_{i\,k} = 
\frac{1}{\sqrt{\alpha_{i}\,\delta_{k}}} \cdot \int\,f_{i}\,g_{k}$ ; $\int\,f_{i}\,g_{k}$; $1 = \int \,f_{i}^{2} = \int\,g_{i}^{2}$.\\
Die $\alpha_{i}$ sind die L\"osungen von $cos\,\lambda^{ \frac{1}{4}} \cdot \nl\, \lambda^{\frac{1}{4}} = -1$; 
$\delta_{i} = \pi^{2} \cdot (i - \frac{1}{2})^{2}$
\subsection*{Zur St\"orungsrechnung bei nicht selbtadj. EW-Aufgaben:}
Sei $\mathfrak{K}$ von einem Parameter $t$ abh\"angig $g$ sei einf festes Funktional, und die L\"osung
$e$ von 
$$(1 - \lambda\,\mathfrak{K})\, e = 0$$
werde stets auf $y\,e = 1$ normiert.\\
Dann ist $(1 - \lambda\,\mathfrak{K})\,\dot{e} = (\lambda\,\mathfrak{K})^{\cdot}e = \frac{\dot{\lambda}}{\lambda} \cdot e + \lambda\,\dot{\mathfrak{K}}\,e$, und mit $\mathfrak{K}^{*} = \mathfrak{K}\,(1 - e\,g)$ wegen $y\,\dot{e} = 0:$
\qquad $= (1 - \lambda\,\mathfrak{K}^{*})\,\dot{e}$; also $\dot{e} = (1 - \lambda\,\mathfrak{K}^{*})^{-1} \cdot (\frac{\dot{\lambda}}{\lambda}\,e + \lambda\,\dot{\mathfrak{K}}\,e)$\\	
$\textbf{Seite 91}$\\
\\  
(Dieser \"Ubergang $\mathfrak{K} \rightarrow \mathfrak{K}^{*}$ muss mit verallgemeinerten Gremschen
Funktion zusammenh\"angen.) Wegen
$\left\{
\begin{array}{cc}
\dot{e} = \sigma\,\dot{e}\\
\mathfrak{K}^{*}e = 0
\end{array}\right.$ wird einfacher 
$$ \left\{
\begin{array}{cc}
\dot{e} = \sigma \cdot (1 - \lambda\,\mathfrak{K}\,\sigma)^{-1} \cdot \lambda\,\dot{\mathfrak{K}}\,e\\
(\dot{\lambda} = \lambda \cdot y\,(1 - \lambda\,\mathfrak{K})\,\dot{e} - \lambda^{2}y\,\dot{\mathfrak{K}}\,e)
\end{array}\right. \textnormal{ mit }
\left\{
\begin{array}{cc}
\lambda^{-1} = y\,\mathfrak{K}\,e\\
\sigma = 1 - e\,y
\end{array}\right.$$
\underline{Aufgabe:} Diejenigen Gr\"ossen (Verform., Momente,$\cdots$) suchen, f\"ur die der \nl Operator recht wenig ''schief'' ausf\"allt.\\
Der Nutzen der \underline{''Normalisierung'' einer gegebenen Matrix} $M$ auch \"Ahnlichkeitstransformation  besteht in zweierlei: 1) Wird die Empfindlichkeit gegen Abrundungsfehler verringert, so da\ss man Dezimalen spart; 2) hat nur bei einer ann\"ahernd normalen Matrix die Gew\"ahr, da\ss die gr\"osste Komponente dazu geeignet ist, durch 
Quotientenbildung gute N\"aherungen f\"ur den EW zu liefern. Ist die Matrix dagegen sehr schief, so werden Komponenten oder Korrekturen als massgeblich vorget\"auscht, auf die es in Wirklichkeit nicht ankommt.\\
Man br\"aucht aber, wenn die Abrundungsfehler noch nicht zu sehr ins Gewicht fallen, die Transformation nicht wirklich durchzuf\"uhren; \nl
mu\ss man zur Quotientenbildung nicht die Kompenente nehmen, die \nl gross ist, sondern bei $D^{-1}y_{n}$; z.B. bei Standschwingungen $x_{I}$ so; \nl $\sqrt{m(x_{I})} \cdot y(x_{I})$ recht gross ist. Diese Normalisierung  ist also nicht \nl Selbstbetrug'', wie Wittmeyer am 27.7.44 angew\"ohnte. Beispiel:
$\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
10 & 2
\end{array}\right)$\\
\\
$\textbf{Seite 92}$\\
\\  
Als Fortsetzung der Darstellung  von $\omega \cdot K$ \"uber $\omega$ kann man f\"ur 1 $\underline{\underline{<}}\,\,\omega \leq \infty$ nehmen $\omega^{*}\,K$ \"uber $\omega^{*}$, mit $\omega^{*} = 2 - \frac{1}{\omega}$.
$\left(
\begin{array}{cccc}
\omega & 1 & 2,5 & \infty\\
\omega^{*} & 1 & 1,6 & 2
\end{array}\right)$
\subsection*{Caenlayscher Hauptwort als komplexes Integral$\cdot$}
Ist $f(z)$ f\"ur $0 \underline{\underline{<}}\,\, z \underline{\underline{<}}\,\, 1$ auf der reellen
Achse regu\"ar, so ist \\
\nl\\
Denn \nl wenn $x$ mit Kreis mit Radius $r$ umgegangen wird. Dabei dient $\frac{1}{\sqrt{1 - \xi^{2}}}$ dazu, dem Umlaufsinn des zweiten Integrals umzukehren.\\
F\"ur $\mathfrak{a}\,[f] = -\frac{1}{\pi}\,\,\nl\,\,\frac{f(\xi)}{\sqrt{1 - \xi^{2}} \cdot (\xi - x)}\,d\,\xi$ erh\"alt man auf diese Weise die Formel
$\mathfrak{a}\,[x^{n}] = \{\frac{x^{n}}{\sqrt{x^{2} - 1}}\}_{_{\infty}}$, wobei von der unendlichen \nl Reihenentwicklung nach
fehlenden Potenzen von $x$ um die Glieder mit nicht negativen Exponenten zu nehmen sind, also \\
$\mathfrak{a}[1] = 0$, $\mathfrak{a}[x] = 1$, $\mathfrak{a}[x^{2}] = x$,  $\mathfrak{a}[x^{3}] = x^{3} + \frac{1}{2}$ usw. \nl \\
\\
$\textbf{Seite 93}$\\
\\  
\subsection*{Integralgleichung der Wirbelschicht: $g(x) = \frac{1}{2\,\pi}\,\nl\,\frac{f(\xi)}{x - \xi}\, d\,\xi$.}
\underline{Betzsche L\"osung:} Es ist $\mathfrak{a}^{2}[(x^{2} - 1)\,x^{n}] = $\\
$\mathfrak{a}\,[(\sqrt{x^{2} - 1} \cdot x^{n})_{\infty}] = \mathfrak{a}\,[\underbrace{\sqrt{x^{2} - 1} \cdot x^{n} + 0\,(\frac{1}{x})}_{\textnormal{Polynom}}]$\\
$= x^{n} + 0\,(\frac{1}{x\,\sqrt{x^{2} - 1}}) =$ Polynom, also\\
$= x^{n}$\\
Folglich ist $\mathfrak{a}^{2}(x^{2} - 1) \equiv 1$ (Zun\"achst f\"ur alle)\\
F\"ur den Betzoperator
\begin{quote}
$\mathfrak{b}[f] = \frac{1}{2\,\pi}\,\nl\,\frac{f(\xi)}{x - \xi}\,d\,\xi$ hat man\\
$\mathfrak{a} = 2\,\mathfrak{b}\,\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$, also
\begin{flushright}
NB: Besser wohl zu : \nl
\end{flushright}
$4\,b\, \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \,\mathfrak{b}\, \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \cdot (x^{2} - 1) = 1$\\
oder $\mathfrak{b} \cdot \underbrace{-4\,\frac{1}{\sqrt{\,\,}}\,\mathfrak{b}\,\sqrt{\,\,}}_{\mathfrak{b}^{-1}} = 1$, $\mathfrak{b}^{-1}f = -\frac{2}{\pi\,\sqrt{\,\,}}\,\,\nl\,\,\frac{\sqrt{\,\,} \cdot f}{x - \xi}\,d$.
\end{quote}
\nl\\
Bemekenswert ist die Formel\\
$\frac{1}{2\,\pi\,i}\,\il{|z| =_{\nl} R}{}\frac{f(z)}{z - x} = \{f^{\cdot}(x)\}_{\infty}$ = Hauptteil von $f(x)$ f\"ur $x = \infty$, so dass $f(x) = \{f(x)\}_{\infty} + 0\, 
\left(
\begin{array}{cc}
2\\
x
\end{array}\right)$, wobei $f(z)$ nur \nl $|z| = R$ eindeutig \nl und bis auf $z = \infty$ \nl\\
\\
$\textbf{Seite 94}$\\
\\  
\subsection*{Gleichung f\"ur $K_{2}, \cdots, K_{n}$
aus $Y_{0},\, Y_{1} = \frac{1}{k_{1}}
\mathfrak{K}\,y_{0},\cdots,Y_{n} = \frac{1}{k_{n}}\,\mathfrak{K}\,y$.}
Suche Funkionale $y_{0},\cdots, y_{n - 1}$ mit\\
$y_{i}\,Y_{K} = 0$ $(i \not= k)$, $y_{i}\,Y_{i} = \frac{1}{k_{1} \cdots k_{i}}$.\\
Dann ist eine N\"ahgl. f\"ur $K_{I},\cdots,\,K_{n}$:
$$0 = 
\left|
\begin{array}{c}
K \cdot \mathfrak{E} - 
\left(
\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & \cdots & 0 & y_{0}\,Y_{n} \cdot k_{1} \cdots k_{n}\\
1 & 0 & \cdots & 0 & y_{1}\,Y_{n} \cdot k_{1} \cdots k_{n}\\
0 & 1 & \cdots & 0 & y_{2}\,Y_{n} \cdot k_{1} \cdots k_{n}
\end{array}\right)
\end{array}\right|$$
dh. $K^{n} - y_{n - 1}\,Y_{n} \cdot k_{1} \cdots k_{n}\,K^{n - 1} - \cdots - y_{0}\,Y_{n} \cdot k_{1} \cdots k_{n} = 0$\\
Bew: Auf  
$\left\{
\begin{array}{ccccc}
\mathfrak{K}\,Y_{0} = k_{1}\, Y_{1}\\
\mathfrak{K}\,Y_{1} = k_{2}\,Y_{2}\\
\mathfrak{K}\,Y_{n - 1} = k_{n}\,Y_{n}
\end{array}\right.$\\
$y_{0} \cdots$ bis $k_{1} \cdots k_{n - 1} \qquad y_{n - 1}$ auf die aus dem Ansatz $e = 
\sl{0}{n - 1}\,\rho_{i}\,Y_{i}$, $\mathfrak{K}\,e = K\,e$ entspringender Gleichung
\begin{quote}
$K \,\sl{0}{n - 1} \rho_{k}\,Y_{k} - \sl{0}{n - 1} \rho_{k}\,k_{k + 1} \,\, Y_{k + 1} = 0 \qquad | \cdot k_{1} \cdots k_{i}\,y_{i}$
\end{quote}
anwenden:
\begin{quote}
$K \cdot \rho_{i} - \sl{k = 0}{n - 1}\,\rho_{k} \cdot y_{i}\,k_{k + 1}\,Y_{k + 1} \cdot k_{1} \cdots k_{i} = 0$\\
$K\,\rho_{i} - \rho_{i - 1}\, k_{i} - \rho_{n - 1} \cdots y_{i} \cdot k_{1} \cdots k_{i}\,k_{n} = 0$
\end{quote}
oder mit $\sigma_{i} = \frac{\rho_{i}}{k_{1} \cdots k_{i}}$:
\begin{quote}
$K\,\sigma_{i} - \sigma_{i - 1} - \sigma_{n - 1} \cdot k_{1} \cdots k_{n}\,\mathfrak{G}_{i}\,Y_{n} = 0$
\end{quote}
$\textbf{Seite 95}$\\
\\  
Noch \"ubersichtlicher ist wohl die Schreibweise: \\
Sei $f_{i}\,Y_{k} = \delta_{i\,k}\qquad (i,\,k = 0,\cdots,\, n - 1),$\\
dann ist die Gl.
$$0 = 
\left|
\begin{array}{c}
K \,\mathfrak{E} - 
\left(
\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & \cdots & 0 & f_{0}\,Y_{n} \cdot k_{1} \cdots k_{n}\\
1 & 0 & \cdots & 0 & f_{1}\,Y_{n} \cdot k_{1} \cdots k_{n}\\
0 & 1 & \cdots & 0 & f_{2}\,Y_{n} \cdot k_{3} \cdots k_{n}
\end{array}\right)
\end{array}\right|$$
$$K^{n} - f_{n - 1}\,Y_{n} \cdot k_{n} \cdot K^{n - 1} - \cdots - f_{0}\,Y_{n} \cdot k_{1}\dots k_{n} = 0.$$
Wenn die \underline{Realteile} zweier in einem Gebiet $\mathfrak{G}$ und auf einem \nl mit Ausnahme \nl regul\"arer Funktionen
\underline{auf dem Rande \"ubereinstimmen}, so brauchen sie dies im Innern nicht zu tun ! Beispiel: $\mathfrak{G} : Im\,z > 0$, $f(z) = e^{i\,z}$, $g(z) =  cos\,z$; oder \nl\\
Es ist $\underline{\frac{1}{\pi}\,\il{0}{\pi}\,cos^{2\,\nu}\,x \cdot dx = (-1)^{\nu} \cdot 
\left(
\begin{array}{ccccc}
-\frac{1}{2}\\
\nu
\end{array}\right)}$ \nl\\
\subsection*{K\"unstliche Schliessung komplexer Integrationswege:}
Sei $f(x)$ reg inn\\
$\textbf{Graph}$\\
$\il{\alpha}{h} \,f(z)\,dz = \frac{1}{2\pi\,i}\,\il{\mathfrak{L}}{}\, f(z)\,log\,\frac{z - a}{z - b}\,dz$\\
Denn $log_{\textnormal{unten}} - log_{\textnormal{oben}} = 2\,\pi\,i$ \\
$\textbf{Seite 96}$\\
\\  
Der \underline{Possiosche Kern} l\"autet nach K\"ussner $[$Allg. \nl$]$:\\
$P(u) = \frac{-i}{4\,\sqrt{1 - \beta^{2}}} 
\cdot \lim\limits_{z\rightarrow 0}\,\il{-\infty}{u}\,e^{\frac{i\,\nu}{v}\,(-u + \frac{x'}{1 - \beta^{2}})} \cdot \frac{\partial^{2}}{\partial\,z^{2}}\,H_{0}^{(2)}\,
(\frac{\nu\sqrt{x'^{2} + (1 - \beta^{2})\,t^{2}}}{\nl \cdot (1 - \beta^{2})})\,dx$\\
Es liefert den Zusammenhang zwischen Abwind $w(x) \cdot e^{i\,\nu\,t}$ und \nl $\Pi(x) \cdot e^{i\,\nu\,t}$ durch die Formeln\\
$(\Pi(x) \cdot \nl = \rho^{v}\, G(x)$; $\gamma(x,\,t) = g(x)\,e^{i\,\nu\,t})$\\
$\rho\,v\,w(x) = \nl\,\Pi(\xi) \cdot \underline{P}  \,(x - \xi)\,d\xi$\\
Es ist $\underline{P}(u) = \frac{-i\nu}{4c\sqrt{1 - \beta^{2}}}\, e^{-\frac{i\,\nu}{v} \cdot u} \cdot \lim\limits_{s \rightarrow 0}\, p(\vartheta,\, s)$  \\
mit $p(\vartheta,\,\xi) = \il{-\infty}{\vartheta}\, e^{\frac{i}{\beta}\,\eta}\frac{\partial^{2}}{\partial\,\xi^{2}}\,H_{0}^{(2)}(\sqrt{\eta^{2} + \xi^{2}})\,d\eta$\\
\nl
\begin{quote}
Merke: (1) $\il{-\infty}{+\infty}\, \frac{dt}{(t^{2} + \xi^{2})^{2}} = \frac{\nl\,\pi}{2\xi^{3}}$, da $ \frac{1}{(t^{2} + \xi^{2})^{2}} = \frac{-1}{4\,\xi^{2}} = \{ \frac{1}{t + i\,\rho)^{2}} + \frac{1}{t - i\,\rho)^{2}}\} + \frac{i}{4\,\xi^{3}} \cdot \{\frac{1}{t + i\,\xi} - \frac{1}{t - \xi}\}$. \\
(2) $\il{-\infty}{+\infty}\,\frac{dt}{t^{2} + \xi^{2}} = \frac{\pi}{\xi}$
\end{quote}
(3) $\frac{\partial^{2}}{\partial\,\xi^{2}}$ $Ho\,(\sqrt{\eta^{2} + \xi^{2}}) = \xi^{2} \cdot ( \frac{H''o(\sqrt{\,\,})}{\sqrt{\,\,}^{2}} - \frac{H'o(\sqrt{\,\,})}{\sqrt{\,\,}^{3}}) + \frac{H'o(\sqrt{\,\,})}{\sqrt{\,\,}}$\\
\\
$\textbf{Seite 97}$\\
\\  
\subsection*{Formeln \"uber Haukelsche Funktionen $\cdot$}
(1) $\il{0}{i\,\infty} = \il{0}{\infty}\, e^{\frac{i\,n}{\beta}} \cdot \frac{J'_{0}(\eta)}{\eta}\,d\,\eta = \il{0}{-\infty}\,e^{\frac{i\,\eta}{\beta}}\, \frac{J_{0}'(\eta)}{\eta}\,d\eta = 
-\frac{i}{\beta} + \frac{i}{\beta} \cdot \sqrt{1 - \beta^{2}}$ \nl\\
Bew. mit Integral darst. von $\frac{J_{0}'}{\eta}$ \nl\\
Ist $f(\eta)$ f\"ur $-a < \eta < a$ definiert \nl $f''$ stetig und existiert $\il{-a}{a}\,|f'(\eta)|\,d\eta$\\
so gilt $\lim\limits_{\xi \rightarrow 0} \il{-a}{a}\,f(\eta) \cdot \frac{\partial^{2}}{\partial\,\xi^{2}}\,H_{0}^{(2)}(\sqrt{(\eta - x)^{2} + \xi^{2}}) \cdot d\eta = \mathfrak{P}[f] =$ \\
(2) $\il{-a}{a} f(\eta) \cdot 
\{\frac{H_{0}^{(2)}\textnormal{'}(|\eta - x|)}{|\eta - x|}
 + \frac{2i}{\pi}
 \cdot \frac{1}{(\eta - x)^{2}}\}\,d\eta - \frac{2i}{\pi}\,\nl\,\frac{f'(\eta)}{\eta - x}\,d\eta + [\nl$\\
Ist $\psi (\eta)$ in der von $a$ aus nach links aufgeschnittener Ebene eindeutig und (im Endlichen) regul\"ar, und \nl\\
$\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0} \il{-a + \varepsilon}{0} \frac{|\psi (\eta)|}{\sqrt{1 + \eta}}\,d\eta$, so ist\\
(3) $\mathfrak{P}[\sqrt{a^{2} - \eta^{2}} \cdot \psi(\eta)] = \frac{1}{2} \nl \sqrt{a^{2} - \eta^{2}} \cdot \psi(\eta) \cdot \frac{H'_{0}(\eta - x)}{\eta - x}\,d\nl$\\
wobei f\"ur die Haukel-Funktion $H_{0}^{(2)}$ in der von $a$ nach links aufgeschnittenen Ebene der Hauptzweig zu nehmen ist.\\
\\
Bew. von (2): Es ist $\mathfrak{P}[f] = \lim\limits_{\xi \rightarrow 0}\,\il{-a}{a}\,f(\eta) \cdot \{\frac{H'_{0}(\sqrt{\,\,})}{\sqrt{\,\,}} + \xi^{2} \cdot [\frac{H''_{0}}{\sqrt{\,\,}^{2}} - \nl$\\
$= \lim\limits_{\xi \rightarrow 0}\,  \il{-a}{a}\,f(\eta) \cdot \{\frac{H'_{0}}{\sqrt{\,\,}} + \xi^{2} \cdot \frac{4i}{\pi} \cdot 
\frac{1}{\sqrt{\,\,}^{4}}\}\,d\eta$, denn $[\,] \sim \frac{4i}{\pi}$.\\
\begin{flushright}
\nl\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
\end{flushright}
$\textbf{Seite 98}$\\
\\  
$\il{a}{a}\,f(\eta) \cdot \{\frac{H'_{0}}{\sqrt{\,\,}} + \frac{2i}{\pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{\,\,}^{2}}\}\,d\eta + \frac{2\,i}{\pi}\,\lim\limits_{\xi \rightarrow 0}\,\il{-a}{a}\,f(\eta) \cdot \frac{\partial}{\partial\,\eta}\,\frac{\eta - x}{(\eta - \nl + \xi^{2}} \cdot d\,\eta$\\
$(\eta)\,\{\frac{H'_{0}(|\eta - x|)}{|\eta - x|} + \frac{2i}{\pi} \cdot \frac{1}{(\eta - x)^{2}}\}\,\d\,\eta + \frac{2i}{\pi}\,\frac{f(\eta)}{\eta - x}$ {\Large{$|$}}$_{_{-a}}^{^{+a}} - \frac{2i}{\pi}\lim\limits_{\xi \rightarrow 0}\,\il{-a}{a}\,f'(\eta)\,\frac{\eta - x}{(\eta - x)^{2} + \xi^{2}}\,d\eta$\\
letzte Glied kann durch partielle Integration in \nl \"uberf\"uhrt w.\\
(3) \nl\\
\\
\nl) $= -\frac{2i}{\pi}\, J_{0}(x) \cdot ln\,x + $ gerade Potenzreihe (regul\"ar)\\
\nl) $= -\frac{2i}{\pi} \cdot \frac{1}{x} - \frac{2i}{\pi}\,J'_{0} \cdot ln\,x + \nl\,|\,|$\\
\nl) $= \frac{2i}{\pi} \cdot \frac{1}{x^{2}} - \frac{2i}{\pi}\,J''_{0} \cdot ln\,x + \qquad\qquad\qquad |\,|$\\
\\
Eine Zylinderfunktion 0 ster Ord; so ist $f(u) = Z(e^{u})$ gekennzeichnet durch\\
$$f''(u) + e^{2u} \cdot f(u) = 0$$ 
$\nl \quad a_{n} = \nl\,Z^{-n} \cdot \frac{H'_{0}(z)}{z}:$ $a_{n - 2} = (1 - n^{2}) \cdot a_{n} \qquad (n\,\,\underline{\underline{>}}\,\,2)$\\
$\eta^{k} \cdot \frac{H'(\eta)}{\eta}\,d\,\eta =
\left\{
\begin{array}{ccccc}
-2 \qquad k = 0\\
+4 \qquad k = 1\\
0 \qquad\,\,\,\, k > 1
\end{array}\right.$\qquad (6)\\
$\lim\limits_{n \rightarrow 0}\quad \nl \, \sl{0}{\infty}\,c_{\nu}\,\eta^{\nu} \cdot \frac{H'(\eta)}{\eta}\,d\,\eta = -2\,a_{0} + 4\,a_{1}\qquad (7) \quad \nl$\\
$\il{0}{\infty} \,\nl\,e^{t\,\eta}\,d\,\eta = -t\qquad\qquad(8)\,\,Rn\,t\,\,\underline{\underline{>}}\,\,0$\\
\\      
{\LARGE Die Seite ist unten durchgestrichen.}
\\
$\textbf{Seite 99}$\\
\\  
$\frac{4\,\nu\,\rho\,v\,c \cdot w(x,\,z)}{v} \cdot \sqrt{1 - \beta^{2}} \cdot e^{-\frac{i\,v}{v}\,
\frac{\beta^{2}}{1 - \beta^{2}}\,x} = \il{-a}{a}\, f(\eta) \cdot \frac{\partial^{2}}{\partial\,\rho^{2}}\, H_{0}^{(2)}\,(\sqrt{(\eta - y)\,\nl})\,d\eta$\\
$+ G(l) \cdot \il{\propto}{\infty}\, e^{-\frac{-i\,\nl}{\beta}} \cdot \frac{\partial^{2}}{\partial\,\xi^{2}}\,H_{0}^{(2)}\,(\sqrt{\,\,})\,d\eta$\\
mit $f(\eta) = G (\eta \cdot \frac{c}{\nu}\,(1 - \beta^{2})) \cdot e^{\frac{-i\,\eta}{\beta}}$; $G(\xi) = \il{-e}{\xi}\,\Pi(\xi)\,e^{\frac{i\nu\,\xi}{v}}\, d\,\xi$\\
$$a = \frac{l\,\nu}{c\,(1 - \beta^{2})}\qquad,\qquad \frac{x\,\nu}{c\,(1 - \beta^{2})} = y\qquad,\qquad\frac{z\,\nu}{c\,\sqrt{1 - \beta^{2}}} = \xi.$$
\begin{flushright}
\textnormal{Fortsetzung auf S.102}
\end{flushright}
$\textbf{Seite 100}$\\
\\  
\subsection*{Weitere Formeln \"uber Haukelsche Funktionen:} 
(Forts. von S.48)\\
(1) \nl $e^{t\,\eta}\, \frac{H'(\eta - x)}{\eta - x}\,d\eta =  -2 \cdot e^{t\,x}\qquad (Rn \,\,\underline{\underline{>}}\,\,0)$\\
\begin{flushright}
\textnormal{Bew.:} $(98 \cdot 7 - 8)$
\end{flushright}
(21.8.44) \\
Ist $\varphi(\eta)$ regul\"ar und eindeutig und beschr\"ankt \underline{f\"ur ($\eta) > r$},und ist 
$\left\{
\begin{array}{cc}
|x| < r,&\textnormal{ so ist}\\
|a| > r&
\end{array}\right. \oint\limits_{-a}^{-a}\,\varphi(\eta)\, \cdot e^{i\,\eta} \frac{H'(\eta - x)}{\eta - x}\,d\eta = 4\,\il{-\infty}{-a} \,\varphi(\eta)\,e^{i\,\eta}\,\frac{J'(\eta - x)}{\eta - x}\,d\eta$\\
(Denn \nl = 0 wegen Beschrktheit von $\varphi$.) Das ist weiter gleich\\
$= -\frac{4}{\pi} \il{-1}{1}\,e^{i\,x\, w}\sqrt{1 - w^{2}}\,\il{-\infty}{-a}\,e^{i\,\eta\,(1 - w)}\varphi(\eta)\,d\eta$.\\
Z.B. $\varphi = 1$: $\oint\limits_{-a}^{-a}\,e^{in}\,\frac{H'(\eta - x)}{\eta - x}\,d\eta = -4\,e^{-i\,n} \cdot \{J\,(x + a) - i\,J'(x + a)\}$.\\
Ist $\psi(\eta)$ reg. f\"ur $|\eta| < a$ und $-a < x < a$, so ist $\oint\limits_{-a}^{a} \,\psi(\eta)\,\frac{H'(\eta - x)}{\eta - x}\,d\eta = -4 \il{-a}{x}\,\psi(\eta)\,\frac{J_{0}'(\eta - x)}{\eta - x}\,d\eta\,\nl$\\
\nl \qquad \qquad $+ 4\,\psi'(x) = -\frac{2i}{\pi}\,\nl\,\psi(\eta)\{\frac{J_{0}'(\eta - x)}{\eta - x}\,ln\, \frac{\eta - x}{\eta + a} + \frac{1}{(\eta - x)^{2}}\}\,d\eta$\\
F\"ur das $h(z)$ von S.99 unten (mit $h' = \frac{H'}{z}$ und $h - \frac{2i}{\pi} \cdot \frac{1}{z} = 0$ f\"ur \nl)\\
Gilt bei \nl $z > 0$
\begin{quote}
$h(z) = -1 - \frac{2}{\pi} \il{1}{-i\,\infty}\,\frac{c^{-i\,w\,z}\,\sqrt{w^{2} - 1}}{w}\,d\,w$.
\end{quote}
$\textbf{Seite 101}$\\
\\  
Also gilt $h(z) \nrightarrow 0$ f\"ur $z \rightarrow \infty$ !\\
Merke: $\int \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}\,dx = \sqrt{x^{2} - 1} + i\,log\,\frac{i - \sqrt{\,\,}}{x}$\\
$H_{0}^{(2)}(z) = \frac{-4}{2\,\pi\,i}\,\il{0_{\rightarrow}}{\infty}\,J_{0}(\xi) \cdot \frac{e^{i\,(\xi - z)}}{\xi - z}\, d\xi\qquad |arg\,z| < \pi$\\
$\il{0}{\infty}\, e^{-i\,w\,T}\,J_{0}(T)\,dT = \frac{1}{i \cdot \sqrt{w^{2} - 1}} \qquad (Im\,w < 0)$\\
$J_{0}(x) = \frac{1}{\pi}\,\il{-1}{1}\, \frac{e^{i\,x\,w}dw}{\sqrt{1 - w^{2}}}\qquad \frac{J'_{0}(x)}{x} = -\frac{1}{\pi}\,\il{-1}{1}\,e^{i\,x\,w} \cdot \sqrt{1 - w^{2} - dw}$\\
$H_{0}^{(2)}(x) = \frac{2i}{\pi}\,\il{-1}{\infty}\,\frac{e^{-i\,x\,w}}{\sqrt{w^{2} - 1}}\,dw\qquad \frac{H_{0}^{(2)}(x)}{x} = \frac{2i}{\pi}\,\il{1}{-i\,\infty}\,e^{-i\,w\,x}\,\sqrt{w^{2} - 1}\,dw$\\
$\il{-\infty}{\infty}\,\frac{e^{i\,x\,w}}{\sqrt{w^{2} + 1}}\,dw = \frac{\pi}{i}\,H$'$_{0}^{(2)}(-i\,x)$, wenn $Im\,\,\underline{\underline{>}}\,\,0$.\\
Zum ''Abwind bei $+\infty$'': ''$\il{-\infty}{\infty}\,e^{in}\,\frac{H'_{0}(\beta|u|)}{|u|} \cdot du$'': $\frac{1}{2}  \nl \, e^{i\,n}\frac{H'_{0}(\beta\,u)}{u}\,du = \frac{-2i}{\beta}\nl$\\
Der Abwind selbst\hfill 1971:\\
ist asymptotisch f\"ur $x \rightarrow \infty$ gegeben durch\\
\underline{$lim(w(x,0,t) \cdot e^{ \frac{i\,\nu,x}{v} }) = 
\frac{\nu}{2\,v} \,\il{\nl}{e} 
\gamma(\xi,t)\,e^{ \frac{i\,\nu,x}{v} }\,
 d\xi$} \qquad \nl\\
$\textbf{Seite 102}$\\
\\  
\subsection*{Umformung der \nl:}
Nach S.97 u. 99 ist\\
$W = \frac{4\,i\,\rho\,v\,c}{\nu}\sqrt{1 - \beta^{2}}\,\,w(x,\,0) \cdot e^{\frac{-i\,\nu}{v}\,\frac{\beta^{2}}{1 - \beta^{2}}\,x} = \il{-a}{a}\, f(\eta)\{ \frac{H\textnormal{'}_{0}^{(2)}(|\eta - y|)}{\eta - y} + \frac{2i}{\pi}\,\frac{1}{(\eta- y)^{2}}\}\,d\eta$\\
$-\frac{2i}{\pi}\,\nl\, \frac{f'(\eta)}{\eta - y}\,d\eta + \frac{2i}{\pi}[\frac{f(\eta)}{\eta - y}]_{_{-a}}^{^{a}} + f(a)\,e^{\frac{i\,a}{\beta}}\,\il{a}{\infty}\,e^{-\frac{i\,\eta}{\beta}}\, \frac{H\textnormal{'}(\eta - y)}{\eta - y}\,d\eta $ \\
$\left(
\begin{array}{cccc}
\textnormal{mit } f(\eta) = \nl \il{-e}{\frac{\eta\,c}{\nu} \cdot (\nl)} \Pi (\xi)\,e^{\frac{i\,\nu\,\xi}{v}}\,d\xi & a = \frac{l\,\nu}{c\,(1 - \beta^{2})}\\
f(-a) = 0 & y = \frac{x\,\nu}{c\,(1 - \beta^{2})}
\end{array}\right)$\\
Setzt man f\"ur die von 0 nach aufgeschnittene Ebene
$$h(z) = \il{+\infty}{z} \frac{H\textnormal{'}^{(2)}_{0}(\xi)}{\xi}\,d\xi = -\frac{2}{\pi}\,\il{1}{1 - i\,\infty}\, e^{-i\,w\,z}\sqrt{w^{2} - 1}\,\frac{dw}{w}\qquad (Rn\,z > 0)\quad(\sqrt{\,\,}\sim \textnormal{ bei }\infty).$$
und f\"ur reelle $x$
\begin{quote}
$\underline{h}(x) = 
\left\{
\begin{array}{cc}
h(x)\qquad x > 0\\
\frac{1}{2}[h(x + 0\,i) + h\,(x - 0\,i)]\qquad x < 0
\end{array}\right.$
\end{quote}
so ist \qquad $\underline{h}'(x) = \frac{H(|x|)}{|x|}$.\\
und 
\begin{quote}
$\underline{h}(x) - \frac{2i}{\pi\,x}$ stetig bei $x = 0$, also f\"ur $x \gtrless 0$\\
$\underline{h}(x) - \frac{2i}{\pi\,x} = \il{\infty}{x}\,(\frac{H\textnormal{'}(|\xi|)}{|\xi|)} + \frac{2i}{\pi} \cdot \frac{1}{\xi^{2}})\,d\xi.\nl$
\end{quote}
$\textbf{Seite 103}$\\
\\  
Daher durch partielle Integration $W = -\il{-a}{a}\, f'(\eta)(\underline{h}(\eta - y) - \frac{2i}{\pi\,(\eta - y)})\,d\eta - \frac{2i}{\pi}\,\nl\,\frac{f'(\eta)}{\eta - y}\,d\eta + $ {\Large{$[$}} $ f(\eta) \cdot (h(\eta - y) - \frac{2i}{\pi\,(\eta -y)})${\Large{$]$}}$ _{_{-a}}^{^{a}} + \,$
{\Large{$[$}} $\frac{2i}{\pi}\,\frac{f(y)}{\eta - y}$  {\Large{$]$}} $_{_{-a}}^{^{a}}  + f(a)\,e^{\frac{i\,a}{\beta}}\,h'(\eta - y)\,d\eta$\\
$W = \nl f'(\eta) \cdot \underline{h}\,(\eta - y)\,d\eta + f(a) \cdot (h(a - y) + e^{\frac{i\,a}{\beta}}\il{a}{\infty} e^{-\frac{i\,\eta}{\beta}}\,h'(\eta - y)\,d\eta)$\\
$W = - \nl\, f'(\eta)\,\underline{h}\,(\eta - y)\,d\eta + f(a) \cdot \frac{i}{\beta}\,e^{\i\,a}{\beta}\,\il{a}{\infty} \,e^{-\frac{i\,\eta}{\beta}}\,h(\eta - y)\,d\eta$
$$\textnormal{mit } f(a) = e^{-\frac{i\,a}{\beta}}\,\il{-e}{e}\,\Pi(\xi)\,e^{\frac{i\,\nu\,\xi}{v}}\,d\xi$$ 
Dabei ist vorausgesetzt: $f(\eta)$ zweimal stetig \nl $-a < \eta < a$; $\il{-a}{a}\,|f'(\eta)|\,d\eta < \infty$\\
F\"uhrt man \"ahnlich wie $h$ eine in der von $0$ nach $-\infty$ aufgeschnittenen Ebene eindeutige und reg. Fkt. $k(z)$ ein durch
$$k(z) = \il{+\infty}{z} \, e^{-\frac{i\,\xi}{\beta}} \cdot h(\xi)\,d\xi$$
und setzt man $\underline{k}\,(x) = 
\left\{
\begin{array}{cc}
k(x)\quad x \textnormal{ reell } > 0\\
\frac{1}{2}(k(x + 0\,i) + k(x - 0\,i))\quad x < 0
\end{array}\right.$\qquad,\\
so findet man \\
mit $\underline{p}(x) = -e^{\frac{i}{\beta}(1 - \beta^{2})\,x}\,\underline{k}(x) + i\,\beta\,e^{-\beta\,x}\,\underline{h}(x)$:\\
$W = \frac{i\,(1 - \beta^{2})\,c}{\nu,\beta} \cdot e^{-i\,\beta\,y}\,\nl\, \Pi(\frac{c}{v}(1 - \beta^{2})\,\eta)\,\underline{p}(\eta - y)\,d\,\eta$\\
$\textbf{Seite 104}$\\
\\  
Endg\"ultig wird, wenn der f\"ur $-e < x < e$ gegebene Drucksprung $\Pi(x)$ bei analytischer Fortsetzung um $t\quad l\circlearrowleft$ herum sein zeichen wechselt:
$$ \underline{f}(z) = \frac{1}{4\,\pi\,i} \cdot \alpha \cdot \sqrt{1 - \beta^{2}} \cdot \nl\,\,\underline{g}(\xi) \cdot \underline{P}\,(\alpha(\xi - z))\,d\xi$$
wobei $P(z)$ die analytische Fortsetzung der f\"ur \nl durch
$$\underline{P}(z) = \il{1}{1 - i\,\infty} \frac{e^{-i \cdot z(w + \beta)} \cdot \sqrt{w^{2} - 1}}{w + \frac{1}{\beta}}\, dw\qquad\nl$$
dargestellten Funktionen (in der von 0 nach links aufgeschnittenen Ebene) bedeutet und \\
$\underline{f}(z) = w\,(l\,z)$,\quad $\underline{g}(z) = \frac{\Pi(l\,z)}{\rho\,v}$;\quad $\beta = \frac{v}{c}$,\quad $\alpha = \frac{\nu\,l}{c\,(1 - \beta^{2})}.$
F\"ur $\nu = 0$ erh\"alt man die Prandil. Gl. (K� (30)) und f\"ur $\beta = 0$ die Birnbaumgl. (K\"u (31)), letztere, indem man nach $z$ differenziert und so \nl $w + \frac{1}{\beta}$ wegschafft und dann wieder von $+\infty$ bis $z$ integriert. (F\"ur $\nu = 0$ s. S. 105 unten)\\
F\"ur $\beta = 1$ wird $P(z,\, 1) = \frac{\pi}{2}\,e^{-i\,z}(H$'$(z) + i\,H(z))$\\
$\textbf{Seite 105}$\\
\\  
\subsection*{Asymptotisches Verhalten von $\underline{P}(z)$}
Zu jedem $\delta > 0$ gibt es eine Konstante $\varphi(\delta)$, so da\ss$\enspace$f\"ur $-2\pi+$\\
gilt 
\begin{quote}
\underline{ $\underline{P}(z) \cdot e^{i\,z\,(\beta + 1)} \cdot \frac{ 1 + \frac{1}{\beta} }{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} \cdot e^{\frac{3}{4}\,\pi\,i} = \frac{1}{z^{\frac{3}{2}}} + \ominus \cdot \frac{\varphi\,(\delta)}{|z|^{\frac{5}{2}}}$}
\end{quote}
Bew: $\underline{P}(z) e^{i\,z\,(\beta + 1)} \cdot (1 + \frac{1}{\beta}) = \int\, \frac{e^{-i\,z(w - 1)}\,\sqrt{w^{2} - 1}}{1 + \frac{w - 1}{1 + \frac{1}{\beta}}}\,dw$; $w = 1 + \nl$\\
gibt \qquad\qquad $\frac{\sqrt{2}\,\cdot T(\frac{3}{2})}{(i\,z\,\varepsilon)^{\frac{3}{3}}} + \ominus \cdot \frac{T(\frac{5}{2})}{l(\chi)} \cdot \frac{ \nl}{[Rn\,i\,z\,e^{i\lambda}\nl}$\\
mit $l(\chi) =$ Abstand des Pktes -1 von dem \nl $T > 0$; unter der Voraussetzg.: \nl $i\,z\,e^{i\,\chi} > 0$, $|\chi| < \pi$.\\
\underline{Bei $z = 0$ ist} $\lim\limits_{z \rightarrow 0}\quad z \cdot \underline{P}(z) = -i$\qquad Bew: \nl\\
gilt f\"ur alle Zweige, und gleichen \nl\\
Also $\underline{P}(z) = -\frac{i}{z} + \nl$ bei $z \rightarrow 0$, $arg\, z$ \nl\\
\underline{Umlauf:} $ \underline{P}(z\,e^{2\,\pi\,i} -  \underline{P}(z) = \underline{Q}(z) = - \nl\enspace e^{-i\,z(w + \beta)}\,\nl$
\begin{flushright}
{= \textnormal{ganz }$|w| > \frac{1}{\beta}$}
\end{flushright}
\begin{flushright}
{$= 2\,\pi \cdot \{\frac{1}{\beta} + i\,z \cdot ( \frac{1}{\beta^{2}} - \frac{3}{2}) + \cdots$}
\end{flushright}
F\"ur negativ reelle $z$ ist\\
bei $z \rightarrow \infty\qquad \underline{Q}(z) = -2\pi\,i \cdot e^{-i\,z\,(\beta - \frac{1}{\beta})}\cdot \sqrt{\frac{1}{\beta^{2}} \cdot 1} + 0 \,\nl$\\
und daher auch $\underline{P}(z) = \cdots $\\
$\textbf{Seite 106}$\\
\\  
Damit wird $w(v\,t)\,e^{i\,\nu\,t} \approx -\frac{\nu}{v} \cdot \il{-e}{e}\,e^{\frac{i\,\nu\,\xi}{v}}\,\frac{\Pi(\xi)}{\rho\,v}\,d\xi$ f\"ur sehr grosse $t$ (Fehler = $0\,(\frac{1}{t})$)\\
Fall A: \\
Ist \underline{$g(z)$ ganz}, so ist \underline{$f$}(z) = $\frac{\sqrt{1 - \beta^{2}}}{2\,i} \,\underline{g}(z) - \frac{\alpha\sqrt{1 - \beta^{2}}}{4\,\pi\,i}\,\il{-1}{z}\,\underline{g}(\xi) \cdot Q\,(\alpha\,(\xi - z))\,d\xi$\\
Fall B:\\
Ist aber \underline{$\underline{g}(\xi) \cdot e^{-i\,\alpha\,(\beta + 1)\,\xi} = dh = 0\,(1)$} bei $\xi = \infty$, und \\
$g(\xi)
\left\{
\begin{array}{cc}
\textnormal{regul\"ar in einer Umgebung von $\infty$, welche $\xi = -1$ enth\"alt, 1) so ist}\\
\textnormal{eindeut}
\end{array}\right.$
f\"ur alle $\chi$ mit $0 < \chi < \pi$:
$$\underline{f}(z) = -\frac{\alpha\sqrt{1 - \beta^{2}}}{4\,\pi\,i}\,\il{-1}{e^{i\,\chi} \cdot \infty}\,\underline{g}(\xi) \cdot Q\,(\alpha\,(\xi - z))\, d\xi$$
In beiden F\"allen ist $\underline{f}(z)$ \underline{ganz}, also auch bei beliebigem etwa f\"ur $1 < |z| < \infty$.\\
\nl und nach $-1$ hinein abs. integrablen $\underline{g}(z)$ .\\
\\
F\"ur den Hauptzweig von $\underline{P}(z)$ gilt mit bel. $0 < \chi < \pi$ 
$$\underline{P}(z) = -\frac{i}{z} - \frac{1}{2\,\pi\,i}\,\il{0}{\infty\,e^{i\,\chi}}\,\underline{Q}(\xi) \cdot e^{i\,(\beta + 1)\,(\xi - z)} \cdot \frac{d\xi}{\xi - z}.$$
Daf\"ur, dass zwei Voltera-Operatoren zweiter Art mit Differenzkern, etwa $\mathfrak{K}\,f = f(z) + 
\il{a}{z}\,K\,(z - \xi),f(\xi)\,d\xi$ und $\mathfrak{L}\,f = f(z) + \il{a}{z}\,\mathfrak{L}\,(z - \xi)\,f(\xi)\,d\xi$ zueinander
invers sind, dh. $\mathfrak{K}\,\mathfrak{L}\,f - \mathfrak{L}\,\mathfrak{K}\,f = f$, ist notw. + hinr.:\\
$\underline{K(u) + \mathfrak{L}(u) + \il{0}{u}\,K(u - \eta)\,\mathfrak{L}(\eta)\,d\,\eta = 0}$ (unabh. von a !)\\
Ist $K(u)$ als Potenzreihe gegeben, so kann man die von $\mathfrak{L}$ bezeichnen.\\
1) oder -1 auf dem Rand enth\"alt, und $g$ aus dem Reg. Gebiet heraus bis in \nl hinein abs. intbar.\\
\\      
{\LARGE Die Seiten 107 bis 138 existieren nicht.}
\\
$\textbf{Seite 139}$\\
\\  
''Zerlegung der Einheit'' ist additive Aufspaltung der Fkt. 1 auf \nl ist einfache Summanden aus $\delta$; Zerlegg. von $L$ ist die von $f(z) = \nl$. Mit dieser gleichen Kgenz kann man nur auf $a$ stetige Funktionen
als Bausteine erhalten. Intervallfunktionen wird man durch Erweitern von $\digamma$ furch Zulassung
z.B. punktweiser Kgenz erhalten; es kommt darauf an, das Ziel der Intervallfktionen duch m\"oglichst geringe Abschw\"achung des Kgenzbegriffs zu erreichen, damit man auf $\digamma$ selbst recht starke
R\"uckschl\"usse ziehen kann in der auf $\phi$, falls $R$ Operatoren von $\phi$ darstellt). (Kgenz von $a_{\eta}$ im erweiterten Bereich $\overline{\digamma}$ sollte Kgenz von $a_{\eta}\varphi$ f\"ur jedes einzelne $\varphi \subset \phi$ nach sich ziehen). (Bei den selbstadj. Op. im \nl l\"asst man wohl 
\underline{punktweise monotone Kgenz auf $a$} zu). (Im selbstadj Fall ist $\digamma$ genau die Menge der 
auf $\mathfrak{a}$ stetigen Fktionen (nach \nl von der stetigen \nl).\\
\\
Einen Ring, in dem das erzeugende Element beschr\"anktes Spektrum hat, mit einer Erzeugenden $h$ kann man auch direkt zu einem Normalring machen durch die 
Festsetzg $|a| = \max\limits_{\alpha < Sp\,\,a_{_{\searrow}}} \,\,\,|\alpha|$.
\begin{flushright}
{\scriptsize{$\textnormal{Spektrum von }a$}} \qquad\qquad \qquad\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad \qquad
\end{flushright}
Hierzu braucht man von vornherein gar keine Topologie zu kennen, es ergibt sich die nat\"urliche Topologie 
der EWaufgabe f\"ur $L$, im selbstadj. Fall die \"ubliche.\\
\\
$\textbf{Seite 140}$\\
\\  
Falls keine in $\lambda_{0}$ regul\"are Fkt. $U(\lambda)$ existiert mit $(L - \lambda)\,u(\lambda) \equiv 0$; nenne
$\lambda_{0}$ an $u_{0}$ unbeteiligt, wenn es eine bei $\lambda_{0}$ regul\"are L\"osung $w_{0}(\lambda)$ von $(L -\lambda)\,w_{0}(\lambda) = u_{0}$ gibt.\\
Besteht das Spektrum eines beschr. Op. $L$ aus zwei getrennten abgesch. Punktmenge, so kann man zerlegen $L = L_{1} + L_{2}$, $L_{1}\,L_{2} = 0 = L_{2}\,L_{1}$. Denn $L_{1} = \frac{1}{2\,\pi\,i}\,\il{\mathfrak{a}\,i}{}\,\frac{d\,\lambda}{\lambda - L} \cdot L$.\\
(So wird man zu \underline{jeder} Zerlegung $\mathfrak{a} = \mathfrak{a}_{1} + \mathfrak{a}_{2}$ eine Zerl. der Einheit finden, auch wenn sie etwa so liegen: $\bigodot$ Hier durch lin. Trans. zu $\bigcirc$ \"ubergehen, dann wie oben.) Unn\"otig: einfach $\frac{1}{2\pi} \cdot \il{(\lambda_{0})}{}\, \frac{d\,\lambda}{\lambda - 2}\, \frac{\lambda \cdot L}{\lambda - \lambda_{0}} \cdot 1$ um $\lambda_{0}$, kleiner Kreis, und den
deformieren in zwei geschlossene Wege ohne gemeinsame Pkt.:\\
$1 = \il{1}{} + \il{2}{}$, $\il{1}{} \cdot \il{2}{} = -\frac{1}{4\,\pi^{2}}\, \il{1}{}\il{2}{} \,\frac{d\,\lambda}{\lambda \cdot L} \cdot \frac{d\,\mu}{\mu - L} = -\frac{1}{4\,\pi^{2}}\,\{ \il{1}{}\il{2}{} \,\frac{d\,\lambda}{\lambda - \mu}\, ( \frac{1}{\mu - L} -  \frac{1}{\lambda - L})\,d\mu\,\frac{\lambda_{0} - L}{\nl - \lambda_{0}} \cdot \frac{\lambda_{0} - L}{\mu - \lambda_{0}} \cdot d\,\mu = 0$.\\
Der obige Ring $\digamma$ enth\"alt also zu jeder Zerl. von $\mathfrak{a}$ in $\nl$\\
Vielleicht k\"onnte man eine unendliche Matrix $L$ schlechthin beschr\"ankt nennen, wenn die Potenzen $L^{n} = (l_{i\,k}^{(n)}) $ alle zu bilden und assoziativ sind (oder sch\"arfer: die $\sl{1}{\infty}$ alle abs. kgt.). Als Operandenraum k\"ame zun\"achst die Gesamtheit aller Spalten aller $L^{n}$ in Betracht Spektralzerlegg. von $L$ im
Raum aller Matrizen ?\\
Damit Fktth. m\"oglich, muss man vielleicht noch verlangen:\\
$(l_{i\,k}^{(n)}) < c_{i\,k} \cdot e^{n}$.\\
\\
$\textbf{Seite 141}$\\
\\  
Um Spektraltheorie in einem komm. topologischen Ring zu machen, muss man diesen erst durch Hinzunehmen aller Reziproken erweitern, die sich
\"uberhaupt durch topologische Einleitung in gr\"ossere Ringe erhalten lassen. (Sonst ist das Spektrum unangemessen gross.) Dies geschieht durch formale
\"Ubergang  zu allen ''Br\"uchen'' $\frac{a}{b}$, wobei der Restklassenraum nach dem urspr\"unglichen Ring diskret wird:
Nullfolgen liegen nur im Ausgangsring. Als Nenner sind dann alle Nichtnullteiler zul\"assig, das Spektrum verschwindet bis auf die $\lambda$, f\"ur welche $(\lambda - L)$ Nullteiler ist. -Ausdehnung eines im $R$ gegebenen Betrages \nl bei Dreiecksungl. auf Schwierigkeiten, auch bei Nennern $b$ mit 
$\begin{tabular}{|c|}
$b$\\
\hline
\end{tabular}$. Bei der Topologisierung sollte man darauf achten, dass kein Restklassenraum diskret ist (nach einem abgeschl. Teilraum). Und wenn $R$ aus Operatoren in $\phi$ besteht, darf man auch zu einem \nl $(R - \lambda)\,\phi = 0$ keine Inverse $(R - \lambda)^{-1}$ einf\"uhren.\\
\\
24.5.47 \qquad Um \underline{Spektraltheorie schiefer Operatoren$^{L}$} zu machen, muss man die stetigen Darstellungen des von $L$ erzeugten Ringes durch Funktionselemente, dh. \underline{formale Potenzreihen} in \nl, oder ''Vektoren $f,\,f',\,f''$ mit \nl Regeln) suchen. In diesem ist die Koeffizientenweise Kgenz zu Grunde zu liegen. Der Ring aller ersten \nl ist, wenn $s = t \cdot \wp (t)$, stetig ist \nl dem von $s$ erzeugten abg.Teilring. Daher kann man sich kaum\\
\\
$\textbf{Seite 142}$\\
\\  
Aufsuchen der stetigen Darst. einen von einem Element $L$ erzeugten K\"orpers (Ring) auf solche beschr\"anken, bei denen $L \rightarrow \alpha + t$\\
\\
\nl Raum $\Re$ linear, mit Nullfolgen topologisiert \nl\\
Def. $\mathfrak{q} \cdot E$ \nl: \underline{stetiger} Operator \\
\nl = Operator \"uberall in $\Re$ definierte lineare \nl. $\mathfrak{L}$ ist topologisiert durch \nl $\rightarrow 0$: $L\,u \rightarrow 0$ \nl. Aus $L_{n} \rightarrow 0$ folgt $L_{n}\,\,L \rightarrow 0$ und $E\,L_{n} \rightarrow 0$.\\
Axiome f\"ur $\Re$ \nl gibt $u_{n} \not= v_{n} \rightarrow 0$\\
$\nl$: Caushy-(Vollst\"andigkeit) Abgeschlossenheit\\
\\
$\textbf{Seite 143}$\\
\\  
Ist \nl Hilbertsche Raum (mit \underline{schwacher} Kgenz), so ist \nl abgeschlossen und das $E_{n} \rightarrow E$, $E'_{n} \rightarrow E'$ folgt $E_{n}\,E'_{n} \rightarrow E\,E'$.\\
Ein kommutativer Operatoren-(Endom.-)ring heisst K\"orper, wenn $u$ alle in $\mathfrak{L}(\mathfrak{f})$ existierenden Inversen seinen Elementen enth\"alt  und \nl. Den kleinsten $L(E)$ enthaltenden Op. \nl k\"orper \nl, $\mathfrak{q}_{E}$ erh\"alt man, wenn man alle Inversen zu den \nl $\lambda$ in \nl erinnert und hieraus den Ring. Die Gesamtheit der $\lambda_{1}$ f\"ur die kein $(\lambda - L)^{n}$ in $\mathfrak{L}\,(\textnormal{kein}\,(\lambda - E)^{n}$ in $\mathfrak{f})$
existiert, heisst das $L-(E-)$ Spektrums von $L(E)$.\\
Jede algebraische Darstellung von $\mathfrak{L}_{L}\,(\nl)$ erh\"alt man, indem man erzeugende Elemente $X$ auf \nl 
abbildet mit \nl Spektrum von $X$, $p(t)$ beliebig. Dabei sei kein Polynom $(X) = 0$!) (dh. $X$ transzendent). Die Darstellgen sind treu, wenn $p(t) \not= 0$. Zwei treue Darstellungen sind \underline{stetig} isomorph \nl \"ubereinstimmt. Daher kann man sich kein \nl der  stetigen isomorphen auf die Darstellungen \nl beschr\"anken. Jede weitere entsteht durch $t\,|\,t \cdot p(t)$.\\
Spektraltheorie eines kommut. Ringes machen heisst \nl Funktionsrings stetig darstellen.\\
\\
$\textbf{Seite 144}$\\
\\  
Spektrum eines Operators, sehr weit definiert: $\lambda = \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{0}} = Sp\,L$, wenn es eine \nl gibt, so dass $(\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{0}}\,\,\frac{-\lambda_{0}}{\lambda_{0}})$
{\scriptsize{
$\left(
\begin{array}{cc}
a_{n}\\
L\,a_{n}
\end{array}\right) \rightarrow 
\left(
\begin{array}{cc}
0\\
\infty
\end{array}\right)$}}. Dabei schreibe 
{\scriptsize{
$\left(
\begin{array}{cc}
a_{n}\\
b_{n}
\end{array}\right) \rightarrow 
\left(
\begin{array}{cc}
0\\
a
\end{array}\right)$}}, wenn es Zahlen $\gamma_{n}$ gibt, so dass $\gamma_{n}\,a_{n} \rightarrow 0$ $\& \gamma_{n}\,b_{n} \rightarrow 0$.\\
\nl $Sp\,L$, wenn  $L\,a_{n} \not\rightarrow 0$, $a_{n} \rightarrow 0$.\\
F\"ur Polynome d\"urfte $Sp\,f(L) \subset f\,Sp(L)$ gelten, und f\"ur Endomorph. genauer $Sp\,f\,(E) = f\,Sp(E)$.\\
Die bei der Spektralzerlegung sehr schiefer (Operatoren) Endom. ben\"otigten Projektionen k\"onnten unstetig sein.\\
In diesem \nl ist 0 ein EW jeder Banach. Endom mit $^{n}\sqrt{|E^{n}|} \rightarrow 0$.\\
\\
Es gibt eine Folge von Polynomen $p_{u}(z)$ die in rechten \nl $\rightarrow +1$, im linken \nl:\\
\textbf{Graph}\\
Denn entwickle $\frac{1}{\sqrt{_{_{+}}w}} \sim q_{u}(w)$ gl.\\
in \\
\textbf{Graph}\\
,etwa durch konforme Abl. eines etwas gr\"osseren Gebiets auf EK. Das gibt $\frac{1}{z^{2}} \sim q_{u}(z^{2})$, 
$\frac{1}{\sqrt{\dots}} = \pm 1 \sim z\,q_{u}(z^{2})$.\\
Durch kleine Parallelverschiebung kann Teilgebiet gleichm. ist.\\
Bie I, 302 \qquad\qquad Walsh ?\\
Jede in einem einfach zusammenh\"angenden Bereich regul\"are Fktion kann durch Polynome approximiert werden, in jedem inneren Bereich gleichm.\\
\\
$\textbf{Seite 145}$\\
\\  
Gewinnung von Darstellungen ersten Grades  eines Operatorenringes: Sei $\breve{u} = u_{n}$ eine Folge, so dass 
$\frac{(L - \lambda_{0})\, u_{n}}{u_{n}} \rightarrow 0$. Dann schreibe $L(\breve{u}) = \lambda_{0}$. Daher 
bedeutet $\frac{a_{n}}{c_{n}} \rightarrow 0$: \nl $\gamma_{n}$ mit $\gamma_{n}\,a_{n} \rightarrow 0$, $\gamma_{n} \geq n \not\rightarrow 0$, dh ohne Nullteilfolgl; aus $\frac{a_{n}}{c_{n}} \rightarrow 0$ und 
$\frac{b_{n}}{c_{n}} \rightarrow 0$ folgt $\frac{a_{n} + b_{n}}{c_{n}} \rightarrow 0)$.\\
Sind $E_{1}$ und $E_{2}$ Endom., die ''an der Stelle $\breve{u}$'' \nl Werte $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$ haben,
so haben $E_{1} \pm E_{2}$ die Werte $\lambda_{1} \pm \lambda_{2}$ an der Stelle $\breve{u}$.\\
Um zu erreichen, dass die Stellen, an denen, in bestimmte Werte hat, den ganzen Raum aufspannen, widmen die Def. noch weiterfassen:\\
$L(\breve{u}) = \lambda$, wenn f\"ur jedes $\varepsilon > 0$\qquad $\frac{(L - \lambda)^{n}\breve{u}_{n}}{\varepsilon^{n}u_{n}} \rightarrow 0$ \nl \"ahnlich,
so dass wieder $E_{1} \cdot E_{2} \rightarrow \lambda_{1} \cdot \lambda_{2})$.\\
Definiert man $lim \frac{a_{n}}{b_{n}} = K$, wenn $lim \frac{a_{n} - Kb_{n}}{b_{n}} = 0$, so kann man  auch $\frac{dE_{1}}{dE_{2}} = \lim\limits_{|\,|}
\frac{ (E_{1} - \lambda_{1}) \,u_{n}}{ (E_{2} - \lambda_{2})\,u_{n}}$ definieren.\\
\\
$\textbf{Seite 146}$\\
\\  
25.5.47 \qquad Zur Bestimmunf der \underline{''Schiefen'', die mit einem vorgegebenen} \nl \underline{Spektrums} 
(geg durch Diagonalmatrix $\Delta$) \underline{und einer linearen Beziehung} \nl \underline{$A\,\nl$ vertr\"aglich sind:}
$A = T^{-1}\Delta\,T \qquad \nl$\\
wird $\mathfrak{q}^{*}A^{*}A\,\mathfrak{q} = y^{*}\,P\,\Delta^{*}\,P^{-1}\Delta\,P\,y\qquad (= \mathfrak{q}^{*} T^{*}\Delta^{*}T^{-1\,*}T^{-1}\Delta\,T\,\mathfrak{q})$\\
Definiert man als Schiefe 1) z.B. den Logarithmus der maximalen Wurzel von (2) $|A\,A^{*} - \rho\, A^{*}A| = 0$,
so l\"auft  die Bestimmung der minimalen, mit $\Delta$, $v$, $\nl$ vertr\"aglich Schiefe $\sigma(\Delta,\,v,\, \nl)$ darauf hinaus, $T$  mit der lin. Nebenbedgg. (1)  so zu bestimmen, dass der normale Eigenwert von $|\Delta\, p\, \Delta^{*} - \rho - P\,\Delta^{*}P^{-1}\Delta\,P| = 0$ minimal wird. Sein Logarithmus ist dann  $\sigma(\Delta, v,\, \nl)$. Ist bei $n = 3$ duchzuf\"uhren.\\
\nl. Es m\"usste sonst zu \nl Diagonalmatrix $D$ geben mit $D\,U\,D = U$ \nl $U$ mit $|n_{13}| \not= |n_{31}|$.\\
Man kann auch die Summe der Wurzeln von $|A\,A^{*} - \rho\,A^{*}A| = 0$ als Schiefe nehmen, oder der gr\"ossten EW von  
$|P\,\Delta^{*}P^{-1}\Delta\,P - \Delta\,P\,\Delta^{*} - \lambda\,P| = 0$, oder
deren \nl\\
1) In bezug auf die Metrik $\Sigma x_{i}$ \nl\\
\\
$\textbf{Seite 147}$\\
\\
\begin{flushright}
dh \nl H\"ulle $P$ der Polynome \nl $A$ hat
\end{flushright}
Bei \underline{normalen Matrizen $A$} ist $A^{*}$ ein Polynom in $A$ ! $P =
P^{*}$ (Sie sind \underline{nicht} dadurch charakterisiert, dass $A^{*}A$ ein
Polynom in $A\,A^{*}$ ist.
$A = \left(
\begin{array}{cc}
0 & 1\\
2 & 0
\end{array}\right)$, z.B. $A\,A^{*} = 
\left(
\begin{array}{cc}
1 & \\
& 4
\end{array}\right)$, 
$A\,A^{*} = 
\left(
\begin{array}{cc}
4 & \\
& 1
\end{array}\right)$. Haben diese quasinormalen $A$ noch vern\"unfitge 
Eigenschaften ? oder die mit $A\,A^{*} \vee A^{*}A$ ?) \\
Def. der Normalit\"at im allgemeinen Fall: jeden mit $A$ vertauschbare beschr.
Operator soll auch mit  $A^{*}$ vertauschbar sein (im Hi\underline{lbert}raum)
\nl!\\
\\
Setzt man $\underline{A\,A^{*} - A^{*}A = [A]}$, so gilt $[A + B] = [A] + [B]$,
wenn $A \vee B^{*}$. Sind $A$ und $B$ normal und vertauschbar, so ist $f(A,\,B)$
normal.\\
\\
Ist in der \underline{\nl Gl. $a_{1}\,x_{1}+\cdots+ a_{n}x_{n} = b$}\\
$(a_{1},\cdots,\,a_{n - 1}) = d > 1$, und ist $\xi_{1},\cdots,\xi_{n}$ eine
spezielle L\"osung, so erh\"alt man Verkleinerung der Koeff. durch Einf\"uhren
von $x_{n} = \rho_{n} + dx'_{n}$; dabei ist $\rho_{n}$ der kleinste \nl von
$\xi_{k}$ mod $d$. Den nichtnegativen L\"osungen $(x_{1},\cdots,\,x_{n})$
entsprechen die nichtnegativen L\"osungen $(x_{1},\cdots,\,x'_{n})$.\\
\\
$A$ normal d.u.n.d., wenn 
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A\,A^{*^{-1}}$
\end{tabular}
$\underline{\underline{<}} 1$\qquad (dann =)\\
Bew: Dann ist $A\,A^{*^{-1}}\mathfrak{q} \leq \mathfrak{q}$, $A\,y \leq A^{*}y$
f. alle $y$, $A^{*}\,A - A\,A^{*} \underline{\underline{\gg}} 0$; $Sp = 0$;
\nl\\
\\
$\textbf{Seite 148}$\\
\\
\underline{Schiefe von Matrizen:} $\nu^{2}(A) \,\,\underline{\underline{<}}\,\,
\frac{1}{2}\,\vartheta^{2}\,(A + A^{*})$\\
= gilt, wenn alle EWe von $A$ reell (z.B. $A^{2} = A$, oder $A = T^{-1}\,H\,T$,
$H = H^{*}$). Ferner ist \qquad $\nu_{A} \,\,\underline{\underline{<}}\,\,
\vartheta\,(A - f(A^{*}))$\\
f\"ur jedes Polynom f. $\quad$ Dund ist $A$ normal, wenn $A = f(A^{*}))$.\\ 
\\
\\
\nl $\frac{\mathfrak{q}^{*}A^{*}A\,\mathfrak{q}}{y^{*}A\,A^{*}y} =
${\huge{$($}}$\frac{
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A$
\end{tabular}}{
\begin{tabular}{|c|}
$A$\\
\hline
\end{tabular}}${\huge{$)$}}$^{2}$ ein Ma\ss f\"ur Abweichung von \nl und
\nl\,$\frac{\mathfrak{q}^{*}A^{*}A\,\mathfrak{q}}{\mathfrak{q}^{*}A\,A^{*}\mathfrak{q}}
=$ ein Ma\ss$\enspace$ f\"ur Schiefe.\\
\\
Ist $A$ normal, wenn alle EWe von $A\, A^{*^{-1}}$ den Betrag 1 haben ?\\
(Stimmt sicher, wenn \"uberdies $A\,A^{*^{-1}}$ unit\"ar.) Antwort: Nein
(149$_{1}$)\\
F\"ur nichtnegat. Hermitesche Matrizen 
$\left(
\begin{array}{cc}
A & B\\
B^{*} & D
\end{array}\right)$ gilt  $det\,
A\,\,\underline{\underline{>}}\,\,det\,B\,D^{-1}\,B^{*}$, da $A -
B\,C^{-1}B^{*}\,\,\underline{\underline{\gg}}\,\, 0$\quad (IV 107)\\
Ist also $B$ quadratisch, so gilt\\
(1) \qquad $\underline{det\,A \cdot det\,D
\,\,\underline{\underline{>}}\,\,|det\,B|^{2}}$\\
Sind $X,\, Y$ vom gleichen Typen, so ist\\
(2) \qquad $|det\,X^{*}Y|^{2} \leq det\,X^{*}X\quad detY^{*}Y$.
(\underline{Verallgemeinerung der Schwarzschen Ungl.})\\
Ist $B$ nicht quadratisch, so gilt  (1) nicht immer; Gegenbeispiel
$\left(
\begin{array}{c}
\begin{tabular}{c|cc}
2 & 1 & 0\\
\hline\\
1 & 2 & 0\\
0 & 0 & $\frac{1}{4}$
\end{tabular}
\end{array}\right)$\\
\\
$\textbf{Seite 149}$\\
\\
(1) F\"ur $A = 
\left(
\begin{array}{cc}
1 - i & 1\\
1 & 1
\end{array}\right)$ ist $A^{-1}\,A^{*} = 
\left(
\begin{array}{cc}
-1 & 0\\
2 & 1
\end{array}\right)$, also alle EWe haben Betrag 1, aber $A$ ist doch nicht
normal, da $A^{-1}A^{*}$ nicht unit\"ar ist.\\
\\
\\
Dann u.u.d. ist die \underline{abgeschlossene negativ reelle Halbachse fremd zum
Spektrum von $A$}, wenn f\"ur jede Folge $P_{u}(z)$ von Polynomen, die in jedem
abgeschl.l Teil des Komplement\"argebiets \nl $\rightarrow 0$ tegriert, auch
$P_{u}(A) \rightarrow 0$ geht.\\
Bew.: $\frac{1}{z}$ durch Polynome \nl approximieren. (S. 144)\\
\\
In \underline{Banach-R\"aumen h\"angt die Inverse $(\lambda - A)^{-1}$}, sofern
als \nl Operation \"uberhaupt vorhanden, \underline{stetig} und daher analytisch
von $\lambda$ ab, Existenzbereich ist offen. Denn $(\lambda - A)^{-1} =
(\lambda_{0} - A)^{-1}\,(\underbrace{1 - (\lambda_{0} - \lambda) \cdot
(\lambda_{0} - A)^{-1}}_{\textnormal{Neumannsche Reihe}})^{-1}$\\
Also, wenn $A$ beschrkt und zwar Endom. eines Banachraums, gibt \nl stets ein
$\lambda$, so da\ss $(\lambda - A)^{-1}$ nicht existiert.\\
\underline{FRAGE: L\"asst der Integraloperator} $If = \il{0}{x}\,f(\xi)\,d\xi$
einen echten abgeschlossenen - Teilraum fest ? dh. gibt es $g$ stetig mit
$(G,\,I^{n}f) + 0 \qquad (n = 0,\,1,\,2,\,\cdots) $?\\
dann w\"are \qquad $(\nl,\,I^{l}f) = 0\qquad k,\,l = 0,\, 1,\, 2, \cdots$) ?\\
\\
$\textbf{Seite 150}$\\
\\
L\"asst $A$ einen Teilraum fest, so $A^{*}$ den total senkrechten.\\
\\
\underline{Unendlich bl\"attrige Windungsst\"ucke} sind nicht kompakt, daher ist
es zwecklos, unendlich hohe Windungpunkte in die Riemannsche Fl\"ache
aufzunehmen.\\
\\
Vielleicht sind die in Kreise zerfallenden speziellen
\underline{Einschliessungsbereiche} schon  hinreichend zur Kennzeichnung  der
m\"oglichen Spektren (wie die Hermiteschen Matrizen vom Rang 1 eine Basis aller
bilden) ?\\
\\
\underline{Konkretisierung des Satzes von Vitali:} \nl 1952\\
Geht $z_{k} \rightarrow 0$ (und ist $f_{p}(z)$ reg in $|z| < 1$, $|f_{p}(z)|
\leq 1$ in $|z| < 1$) und ist 
$\left\{
\begin{array}{cc}
\rho < 1\\
\xi > 0
\end{array}\right.$ gegeben, so gibt es $\delta$ und \nl so, dass aus\\
$\left\{
\begin{array}{cc}
f(z) \textnormal{ reg in } |z| < 1 \textnormal{, also } f(z) = \sl{0}{\infty}
a_{\nu}\,z^{\nu},\,f\\
|f(z_{k})| < \delta\,\, (k = 1,\, 2,\cdots,\,n)
\end{array}\right.$\\
folgt: \qquad $|f(z)| < \varepsilon \qquad |z| \leq \rho$\\
Bew: Gehe $f(z_{k}) \rightarrow 0$ f. jeden $k$\qquad es ist $a_{\nu} = |f(0)| \leq
\{|f(z_{k})| + |z_{k}|\} = (1 - |z_{k}|)$\\
also $a_{0} \rightarrow 0$ wenn alle $f(z_{k}) \rightarrow 0$\\
dann geht ebenso $\frac{f(z) - f(0)}{z} \rightarrow 0$ auf \nl, also auch $a_{1}
\rightarrow 0$, ebenso $a_{\nu} \rightarrow 0$ (Induktion); also $f(z)
\Rightarrow 0$ in $|z| \leq \rho$\\
\\
$\textbf{Seite 151}$\\
\\
\subsection*{Ganze Funktionen ohne Nullstellen}
Ist $f(z)$ ganz, $f(z)\,\, \nl\,\, 0$, $|f(z) < e^{\varepsilon_{n}|z|^{k}}$ (mit
$\varepsilon_{n} \rightarrow 0$\qquad $\varepsilon > \nl$) auf einer passenden
Folge von Kreisen mit ganzzahligen Radien $|z| = n \rightarrow \infty$, so ist
$f(z) = e^{a_{0} + a_{1}\,z + \cdots + a_{k - 1}\,z^{k - 1}}$.\\
Bew.: $\mathfrak{G}_{n}(z) = \qquad^{n^{k}}\sqrt{f(z\,n)}$ ist reg in $|z| < 1$,
$|\mathfrak{G}_{n}(z)| < e^{\varepsilon_{n}}$, $|\mathfrak{G}_{n}(0)| \rightarrow 1$,\\
Nimm Teilfolge $\mathfrak{G}_{n}$ \nl $(z) \Rightarrow \mathfrak{G}(z)$ in $|z|
\leq \frac{1}{2}$; $|G(0)|  = 1$ gibt $|G(z)| \equiv 1$\\
bei passender Normierung ist $G(z) \equiv 1$. Also $|\mathfrak{G}_{n}(z) - 1| <
\varepsilon'$;\\
$|log \, f(z\,n)| < n^{k}\,\varepsilon''$, $|z| < \frac{1}{2}$; mit $\varepsilon
\rightarrow 0$ geht $\varepsilon'' \rightarrow 0$ also\\
$|log\,f(z)| < \varepsilon''n^{k}\qquad |z| < \frac{n}{2}$\\
$log\,f(z) = a_{0} + a_{1}z + \cdots + a_{k - 1}z^{k - 1}$.\\
\\
Beweis des \underline{Picardschen Satzes} f\"ur ganze Fkt. endl. Ordnung:\\
W\"are $f(z) \not= 0$, $f(z) \not= 1$, so w\"are $f(z) = e^{a_{0} + a_{k}\,z^{k}} = 1 + e^{b_{0} + \cdots + b_{k}\,z^{k}}$\\
Hierin $a_{k} = b_{k}$ wegen gleichen Gr\"ossenordnungnen, $(a_{0} + \cdots + a_{k}z^{k})' = (b_{0} + \cdots \nl$ wegen Nullstellen von $f'(z) =$ Nullst. von $(f(x) \nl\,1)'$
\subsection*{Bestimmtes Integral regul\"arer Funktion als Grenzwert Produktsummen}
braucht auf nicht rektifizierbarem Wege nicht zu existieren. z.B.: \\
$\nl \xi\,d\xi$ auf $\mathfrak{\alpha}$: \nl Nimm beliebig feine Teilung von \nl. Durch Hinzuf\"ugen weiterer \nl mit benachbarten Nummern wird \nl\\
\\
$\textbf{Seite 152}$\\
\\
\subsection*{\"Uber normale Eigenwertaufgaben}
7.8.47\qquad 1.\quad Ist
$\left(
\begin{array}{cc}
A & B\\
0 & D
\end{array}\right)$ normal, so ist $B = 0$, $A \& D$ normal. Setze
 $m_{\alpha_{\beta}} =~\mathfrak{q}_{0}^{*}A^{*\,\alpha}A^{\beta}\mathfrak{q}_{0}$; $(m_{\alpha_{\beta}}) = M = \aleph^{*}\aleph = ( \mathfrak{q}_{0} A\,\mathfrak{q}_{0}  \cdots A^{\nl}\mathfrak{q}_{0})$\\
2.  \quad Notw u. hinr. daf\"ur, dass ein normales Spektr. $u_{1},\cdots,\,u_{n}$ mit der hermiteschen Momentenmatrix $M = (m_{\alpha_{\beta}})\qquad (\alpha,\, \beta = 0,\cdots,\,s)$\\
\nl vertr\"aglich ist, ist jede der folg. Bedinggen: 0. $M = \Sigma\,|\xi_{\nu}|^{2} \breve{u}^{*}_{\nu}\,\breve{u}_{\nu}$ l\"osb. \\
1. \qquad F\"ur jede hermitesche Matrix $H = (h_{\alpha\,\beta})$, f\"ur welche alle $\breve{u}_{\nu}H\,\overline{u}^{*}_{\nu} = \sl{\alpha\,\beta}\, u_{\nu}^{\alpha}h_{\alpha\,\beta} \cdot \overline{u}_{\gamma}^{\beta} \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0 \quad(\nu = 1 \cdots n)$ sind, ist auch das Moment $Sp\,H\,M\,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$\\
2. F\"ur jedes
 Bipolynom
$f = \sl{0}{s} c_{\alpha\,\beta}
\,\nl\, z^{\beta}\qquad
 (c_{\alpha\,\beta}$ beliebig) mit dem Moment  $[f] = \sl{\alpha,\,\beta}\,
 c_{\alpha\beta}\, m^{\alpha\, \beta} = 0$ und zu der abgeschlossenen Halbebene,
 die 0 enth\"alt, gibt es mindestens ein $u_{\nu}$ f\"ur $f(u_{\nu}$ das in der
 Halbebene liegt.\\
 \\
 Frage: In welchen hermiteschen pos. definiten Momentenmatrizen $M$ gibt es
 \"uberhaupt vertr\"agliche Spektren ? Und \nl solche mit $s + 1$ zahlen ? Und
 dann welche ? (kann man eine vorschreiben ?).\\
 Kann man im normalen Fall $s > 1$ die \underline{optimalen} Kreisgebiete
 bestimmen ? Bilden die vertr\"agl. S\"akularglen des Grades $s + 1$ eine lin.
 \nl Nullstellentheorie der ''Bipolynome des Grades $s$'' $f(z) = \sl{s}{0}\,
 c_{\alpha_{\beta}}\, \overline{z}^{\alpha}z^{\beta}$\\
 Hat eine Bi-Polyn. mit mehr als \nl Nullstellen $\infty$ viele ? Normalformen
 ?\\
 \\
$\textbf{Seite 153}$\\
\\
1. Im normalen Falle mit $s = 1$ ist $\{u,\,v\}$ dund ein m\"ogliches Spektrum,
wenn $\Delta\,(u,\,v) = - 
\left|
\begin{array}{ccc}
m_{0\,0} &  m_{0\,1} & 1\\
m_{1\,0} &  m_{1\,1} & v\\
1 & \overline{u} & 0
\end{array}\right| = 0$.\\
Es ist $\Delta\,(u,\,v) = + [\overline{(z - u)}\,(z - u)] = \aleph^{*}(A -
u)^{*}(A - v)\,\aleph$, mit $\aleph = $ Ansatzvektor $\mathfrak{q} \circ$ bei $s
= 1$.\\
\\
2. Dund sind $\{u_{1},\,u_{2},\cdots,\, u_{s + 1}\}$ in Sp
$(m_{\alpha\,\beta})$, wenn f\"ur jedes Bipolynom $\sl{n,\,\beta}{0\cdots
s}\,c_{\alpha\,\beta}\,\overline{z}^{\alpha}\,z^{\beta} = f(z)$ mit \\
$$ f(n_{\nu}) = 0 \qquad (\nu = 1,\cdots,\, s + 1)$$
auch $[f] = \Sigma c_{\alpha\,\beta}m_{\alpha\,\beta} = 0$ ausf\"allt.\\
Bew.: Dann h\"angt $[f]$ nur von den $f(n_{\nu})$ ab. Ist jedes $f(n_{\nu}) \geq
0$, so ist $f = \Sigma p_{\nu}\,f_{\nu}(n) + g(n)$ mit $g(u_{\nu}) = 0$,
$p_{\nu} \geq 0$,\\
$f_{\nu}(n) = \overline{h_{\nu}(n)}\,h_{\nu}(n)$, $h_{\nu}(n) =
\Pi_{\lambda = \nu}\,(n - n_{\lambda})$ \\
f\"ur diese $f_{\nu}(n)$ ist aber auch $[f_{\nu}(n)]
\,\,\underline{\underline{>}}\,\,0$, also $[f]
\,\,\underline{\underline{>}}\,\,0$.\\
NB: Die $f$ mit $f(n_{\nu}) = 0$ $(\nu =1,\cdots,\, s + 1)$ bilden wohl das von
 $\overline{(n - n_{1})}\,(n - n_{2}) \cdot \sim (n - n_{s + 1})$ erzeugte
 Ideal. Dann w\"are $n \& h$ f\"ur Realisierbarkeit von $n_{1},\cdots,\,n_{s +
 1}$: $[\overline{p_{s - 1}(n)}\,(\overline{n - n_{\alpha}})\,\Pi_{\lambda +
 \alpha}\,(n - n_{\lambda})] = 0$ f. alle $\alpha = 1,\, 2,\cdots,\,s + 1$ und
 alle Polynome $p_{s - 1}$ des Grades $s - 1$\\
\\
$\textbf{Seite 154}$\\
\\
Durch die Forderung $[\overline{p_{s - 1}(v)}\,(v - n) \cdot
\Delta\,(n,\,v)]_{_{v}} = 0$ f.a: $p_{s - 1}$\\
ist \qquad $\Delta\,(n,\,v) = -
 \left|
\begin{array}{cccc}
m_{0\,0} &\cdots &  m_{0\,s} & 1\\
\cdot & \cdots & \cdot &  \\
m_{s\,0} &  m_{s\,s} & v^{s}\\
1 & & \overline{n}^{s} & 0
\end{array}\right|$ eind. bestimmt bis auf konstanten Faktor\\
\\
Aufgabe: Extremaleigenschaften, Vergleichss\"atze und asymptot. EW Absch\"atzung
bei singul\"aren Dglen. vgl. $[196]$!\\
Was folgt aus Kenntnis von $\mathfrak{q}_{0}$ und $A\mathfrak{q}_{0} = 
\mathfrak{q}_{1}$, wenn $A$ inbezug auf zwei verschiedene Metriken. selbstadj.
(norm.) ist ?\\
\\
\underline{Inhalt} von Barankin $[197]$: Sei $A = (a_{i\,k}) \qquad (i,\,k =
1,\sim,\, n)$.\\
Sei \nl $R_{i}^{(p)} = \sl{k}{}|a_{i\,k}|^{p},\,\,T_{k}^{(p)} =
\sl{i}{}|a_{i\,k}|^{p}$:\\
Dann gilt f\"ur die EWe $\alpha$ von $A$\\
1) $|\alpha|^{2} \leq \max\limits_{i} (R_{i}^{(1)}T_{i}^{(1)})$ und\\
2) $|\alpha|^{2} \leq \max\limits_{i} (R_{i}^{(k)}T_{i}^{(2 - k)})\qquad  (k =
0,\, 1,\, 2)$\\
3) $|\alpha|^{2} \leq \max\limits_{i} \,\,R_{i}^{(1)}\qquad\qquad $ Math Review
$7_{3},$ 107 (1946)\\
\\
\underline{Inhalt \nl $[199]$:} $\sl{}{m\,\nu}
l_{i\,j\,\alpha\,\beta}\,\xi_{i}\xi_{j}\eta_{\alpha}\eta_{\beta}$ ist
Quadratsumme von $m_{\mu}$ lin.unabh. Bilinearformen in $\xi$, $\eta$, falls
nicht $m$ oder $\mu = 2$, das andere ungerade, und alle
$l\,i\,\alpha\,j\,\beta\,\xi_{i}\,\xi_{j}$ singul\"ar sind.\\
\\
$\textbf{Seite 155}$\\
\\
\underline{Inhalt} von Schur [203]: Ist $C' = C$, so gibt es $U^{*} = U$ mit
$U\,C\,U' = diag\,\nl$, wobei $w_{\nu} = \sqrt{\delta_{\nu}}$, $\delta_{\nu} =$
EW von $C\,C^{*}$. Daher nimmt jede symm. Bil.form. im Hilbertraum auf
$|\mathfrak{q}| leq |y| \leq 1$ ihr Maximum auf dem Rande an, mit $\mathfrak{q}
= y$. Eine symm kompl. \nl ist dund beschr\"ankt, wenn die zugeh\"or. Bil.Form
beschrkt ist.\\
\\
\underline{Inhalt} von Gerschgorin [210]: Sei $A = (a_{ik})\qquad (i,\,k =
1,\cdots,\,n)$
\begin{enumerate}
\item Ist $|a_{ii}| \,\,\underline{\underline{>}}\,\, \sl{k \not= i}{}$'$
|a_{ik}|\qquad
(i = 1,\,cdots ,\,n)$, wobei nicht stets = sthen soll, so ist $det(a_{i\,k})
\not= 0$.
\item Die \nl von $A$ liegen in der \nl $\mathfrak{G}$ der Kreise \\
$|\alpha - a_{i\,i}| \,\,\underline{\underline{<}}\,\, \sl{k \not= i}{}$'$ |a_{ik}|$
\item Jede zusammenh\"angende, aus $m$ Kreisscheiben bestehende Komponente
dieses Bereichs enth\"alt genau $m$ Eigenwerte.
\item Sind alle $a_{ik}$ reell und gilt\\
$|a_{ii} - a_{jj}|\,\,\underline{\underline{>}}\,\, \sl{k \not= 1}{}$'$|a_{ik}|
+ |a_{jk}|\qquad (i \not= j)$, so sind alle EWe von $A$ reell.\\
\item  Ist $\mathfrak{K}_{i}$ ein isoliert liegender Kreis von $mathfrak{G}$,
so liegt der zugeh\"orige EW innerhalb des zu $\mathfrak{K}_{i}$ konzentrischen
kleineren Kreises\\
$|\alpha - a_{ii}|\,\,\underline{\underline{<}}\,\, \max\limits_{i \not= j}
\frac{1}{2}[|a_{ii} - a_{jj}| - \sl{k = 1_{k \not= i_{k \not= j}} }{m} |a_{ik}|
-$
\end{enumerate}
$\textbf{Seite 156}$\\
\\
$$\sqrt{(|a_{ii} - a_{jj}| - \sl{k \not= i,\,j}{}\,|a_{ik}|)^{2} - 4\,
|a_{ii}|\,\sl{k \not= i}{}\,|a_{ik}|}$$
\underline{Inhalt} Lorch [211]: ''The paper, an address, is concerned with the
highly important notion of a space as a ring instead of a group. The spaces
considered are normed Abelianrings, that is, $R$ is a Banach space as well as an
Abeliansring with unit $e$ such that
$|ab|\,\,\underline{\underline{<}}\,\,|a|\,|b|$. The author surveys the
significiant contributions by himself and others to the study of these spaces.
The fundamental formula in the study of the reducibility of a ring is the Cauchy
formula 
$$j = \frac{1}{2\,\pi\,i} \,\il{c}{}\, dz/(ze - a),$$
where $a$ is fixed an $C$ is a simple rectifiable Curve in the complex plane,
which avoids entirely the spectrum of $a$. This spectrum is defined as the set
of complex numbers $\lambda$ for which $(a - \lambda\,e)^{-1}$ does not exist.
It is indicated that a ring $R$ is irreducible if and only if the spectrum of
each of its points is a connected set. Gelfands analysis of the maximal ideals
of a normed ring is discussed; the quasinilpotents in $R$ are defined as those
elements $a$ for which line $(\mu\,a)^{n} = 0$ for every complex $\mu$. These
elements are characterized  by the fact that their spectrum is the one point
$\lambda = 0$, and they constitute the\\
$\textbf{Seite 157}$\\
\\
radical of $R$, that is, the intersection of all maximal ideals. The
r$\hat{o}$le of analytic functions in $R$ is described and the use of ideals in
the study of these functions is empasized. The last several sections ar devotet
to rings of analytic functions and of infinitely differentiable functions. -
H.H. Goldstine, Math. Rev.\\
\underline{Inhalt} Farnell [212]: (1) Ist $R_{i} = \sl{k}{}|a_{ik}|$, $T_{k} =
\nl |a_{ik}|$, so ist $|\alpha|\nl \leq \max R_{i}\,T_{k}$\\
(2) Ist $U_{i} = \sl{k}{}|a_{ik}|^{2}$, $V_{k} = \sl{i}{}|a_{ik}|^{2}$, so ist
\nl\\
\\
\underline{Inhalt} Bisshopp [213]: Inversenbildung bei\\ 
Matrizen der Gestalt 
$\left(
\begin{array}{cccccc}
*&*&0&0&\cdots &0\\
*&*&*&&\cdots &0\\
*&*&*&*&\cdots &0\\
*&*&*&*&\cdots &*
\end{array}\right)$\\
\\
\\
\"Uber \underline{konische Mengen}
Es gibt im $R_{3}$ zwei abgeschlossene konische Mengen $\mathfrak{K}_{1}$ und
$\mathfrak{K}_{2}$ und einen Punkt $P$ derart, dass $K_{1} + K_{2} = P$
unl\"osbar ist, obwohl jedes Funktional, das auf $K_{1} $ und $K_{2} 
\,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$ ist, auch auf $P
\,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0 $ ist. $\mathfrak{K}_{1} +\mathfrak{K}_{2}$
ist nicht abgeschlossen.) Bew: $\mathfrak{K}_{1/2}$ der Kegel mit Spitze 0 duch
die Kreisscheibe $z = \pm 1$, $(x - 1)^{2} + y^{2} = 1$. $P = \{0,\, 1,\, 0\}$.
Das einzige Funktional $\,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$ auf
$\mathfrak{K}_{1} + \mathfrak{K}_{2}$ ist  $x$. \nl man auch den Halbstrahl $z
\leq 0$, $x = y = 0$ \nl\\
$\textbf{Seite 158}$\\
\\
Zu \underline{Friedrichs $\&$ Horvey}: Dass die Bedingungen nicht f\"ur die
Existenz eines $\varphi$ und eines Op. mit dem vorgeschriebenem Anfang des
Spektrums hinreichen, zeigt das \\
Beispiel: $m_{0} = 1$ \qquad $m_{1} = m_{3} = 0$ \qquad $m_{2} = 1$;
$\lambda_{1} = -100$, $\lambda_{2} = -11$, $\lambda_{3} = +0,1$\\
Die Bedgg \nl sind erf\"ullt, aber $\dots [(x - \lambda_{2})\,(x - \lambda_{3})]
< 0$, daher nur m\"oglich, da $(x - \lambda_{2})\, (x -
\lambda_{3})\,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$ auf dem ganzen Bereich $\lambda
= -100$ oder $-11$ oder $\,\,\underline{\underline{>}}\,\,+0,1$. \\
\\
Aufgabe: Systeme von EW-Aufgaben untersuchen:\\
Als Selbstadj. wird z.B. gelten 
$\left\{
\begin{array}{cccccc}
(\lambda\,A + \mu\,B + C)\,\mathfrak{q} = 0 \qquad (\mathfrak{q} \not= 0, \,\,y
\not= 0)\\
(\lambda\,F + \mu\,G + H)\,y = 0
\end{array}\right.$
mit Hermiteschen Matrizen der Eigenschaft
$det\, 
\left(
\begin{array}{cc}
\mathfrak{q}^{*}A\,\mathfrak{q} & \mathfrak{q}^{*}B\,\mathfrak{q}\\
y^{*}F\,y & y^{*}G\,y 
\end{array}\right)       \not= 0$ f\"ur $(\mathfrak{q} \not= 0\,\, y \not= 0)$\\
Dann sind alle EWe $\{\lambda,\,\mu\}$ reell.\\
(Vielleicht einzuordnen in allgemeinere Aufgabe: 
$Rg\,(\lambda\,P + \mu\,Q + R) \leq n - 2.)$\\
Wohl zur\"uckf\"uhrbar auf gew\"ohnliche EW Aufgab. (vgl. Courant-Hilbert) durch
$(P\,Q)$ x $(R\,S) = (P$ x $R)\, (Q$ x $S):$ \\
$\{\mu(A\,G - B$ x $F) + (A$ x $H - C$ x $F)\} \cdot (\mathfrak{q}$ x $y) =
0$.\\
$\textbf{Seite 159}$
\subsection*{Konstruktion aufgezeichneter Teilr\"aume zu einer stetigen lin.
Transf. $L$:}         
Ist $V_{n}$ eine Folge in ganz $\phi$ definierter lin. Transf., so bilden die
$\hat{\phi}$ mit $V_{n}\,\hat{\phi} \rightarrow 0$ einen lin. Teilraum
$\hat{\phi}$, der invariant ist gegen\"uber \underline{jeder stetigen}, mit
allen $V_{n}$ vertauschbarer lin. Transf. $L$. Ist z.B. $V_{n} = P_{n}(L) =$
Polynom, so ist $\hat{\phi}$ invariant gegen jede mit $L$ vertauschbare stetige
lin. Transf. $M$ (kurz: $\hat{\phi}$ ist $(v\,L)$-invariant).\\
Geh\"ort $\varphi$ weder einem abgeschl. echten $L$-\nl Teilraum an noch einem
$(v\,L)$-invarianten Teilraum, so wird durch $\mathfrak{q} = lim\,
P_{n}(L)\varphi \rightarrow lim\,P_{n}(L) \psi$  f\"ur jedes feste $\psi$ eine
lin Abb $v$ von $\phi$ in sich erkl\"art, die mit $L$ vertauschbar ist und
$\varphi \rightarrow \psi$ \"uberf\"uhrt. Geh\"ort ausserdem $P_{0}(L)\varphi$
weder einen echten abg. Teilraum an noch einem echten $(v\,L)$- invarianten, so
ist $V = P_{0}(L)^{-1}$, (wenn man oben $\varphi$ durch $P_{0}(L)\,\varphi$ und
$\psi$ durch $\varphi$ ersetzt beu Def. von $V$).  
Satz: Sei $\chi$ in keinem $(v - L)$-inv. Teilraum, und sei $w$ $vvL$, $w$
stetig, $\varphi = W\,\chi$ sei in keinem echten abg. $(vvL)$-inv. Teilraum;
dann existiert $W^{-1}$ und ist gegeben durch $lim\,W_{n}\,\varphi \rightarrow
lim\,W_{n}\,\chi$ mit $W_{n} \subset vvL$. Versch\"arfung:\\
Satz: $\phi$ sei top. lin. Raum, vollst\"andig; $R,\,\gamma$ zwei Mengen von
lin. Transf. von $\phi$ in sich, derart dass $R$ alle  mit jedem $S \subset
\gamma$ vert. Tr. enth\"alt, $\gamma$ alle mit jedem $ \cal{R}\,$$ \subset R$
vertauschbaren stetigen lin. Transf. Es gebe weder einen abgeschl. $R$-invar.
Teilraum noch einen bel. $\gamma$ invar Teilraum in $\phi_{1}$ ausser 0 und
$\phi$.\\
1) oder auch nur $vvL$, dh. vert. mit jeder stetigen, mit $L$ vertb. Transf.\\
\\
$\textbf{Seite 160}$\\
\\
Dann ist $\phi$ topologisch isomorph $R$ (mit $\cal{R}$$_{n} \rightarrow 0$, wenn
$\cal{R}$$_{n}\,\varphi \rightarrow 0$ (alle $\varphi \subset \phi$)), $R$ ist ein
Schiefk\"orper mit stetiger Addition und Rechtsmult., und der Abb $\phi
\rightarrow \cal{R}$$_{1}\phi$ entspricht $R \rightarrow  \cal{R}$$_{1}R$, \\
der Abb $\phi \rightarrow S_{1} \,\phi $ entspriht $R \rightarrow
R\,\cal{R}$$_{1}$ mit einem passenden $\cal{R}$$_{1}$; die Abb. $S_{1}
\leftrightarrow \cal{R}$$_{1}$ ist ein algebr. Isomorphismus, und aus $S_{n}
\rightarrow 0$ folgt $\cal{R}$$_{n} \rightarrow  0$; Der Zusammenhang lautet
nach Festlegg. irgendeines $\varphi_{0} \not= 0$:\\
$S_{1}\cal{R}$$\varphi_{0} = \cal{R}$$\cal{R}$$_{1}\,\varphi_{0}$ f\"ur alle
$\cal{R}$, dh. $S_{1}\varphi_{0} = \cal{R}$$_{1}\,\varphi_{0}$\\
Umgekehrt liefert jeder topologische Schiefk\"orper \"uber dem K\"orper der
komplexen Zahlen, dessen Add. und Rechtsmult. stetig sind (dh. aus $\cal{R}$$_{n}
\rightarrow 0$, $\cal{R}$'$_{n} \rightarrow 0$ folgt $\alpha\, \cal{R}$$_{n} +
\beta \,\cal{R}$'$_{n} \rightarrow 0$, $\cal{R}$$_{n}\, \cal{R}$'$_{1}
\rightarrow 0$) einen solchen Raum $\phi$ ohne im \"ubrigen Sinn invariante
Teilr\"aume. \\
\\
Beispiel: $R =$ Raum aller Laurentreihen in $x$; $\cal{R}$$_{n} \rightarrow 0$,
wenn  die negativen Expon. beschr\"ankt und jeder einzelne Koeff. $\rightarrow
0$. $R$ ist (kommutativer) K\"orper, also gibt es \"uberhaupt keinen invarianten
Teilraum, f\"ur keinen Operator aus $R$ ! Spektren sind alle leer. Solche
chiefk\"orper sind spektral nicht weiter aufzuspalten, werden als irreduzible
Bestandteile topologischer Ringe auftreten m\"ussen.\\
\\
$\textbf{Seite 161}$\\
\\
Ist $\phi$ ein komplexer Banachraum, so folgt aus der Existenz aller $(S -
\lambda\,E)^{-1}$, dass jedes $S \subset \gamma$ ein $\sigma\,E$ ist und daher
wegen $\phi = \gamma\, \varphi_{0}$: \quad $\dim\,\,\phi = 1$.\\
Bei Versch\"arfungen k\"onnte der Begriff des Gesamtoperators $\wedge$ (GO)\\
n\"utzlich sein:\\\
\begin{quote}
a) $E$ ist ein Grenzop.\\
b) Ist $\wedge$ ein GO, so auch $\cal{R}\wedge$\\
c) Ist $\wedge_{1},\, \wedge_{2}$ GO, so auch $\alpha_{1}\wedge_{1} +
\alpha_{2}\wedge_{2}$\\
d) Sind $\wedge_{n}$ GO, so auch $\wedge = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}
\wedge_{n}$
\end{quote}
Jedes $\wedge$ hat einen Definitionsbereich, der mindestens $\varphi_{0} = 0$
umfasst. Ist $S$ stetig und mit allen $\cal{R}$$ \subset R$ vertauschbar, so
folgt an der Existenz von $\wedge\varphi_{0}$ auch die von 
$\wedge(S\varphi_{0})$.\\
\\
Ist $A$ eine abgeschlossenen \"uberall def. lin. Transf., so bleibt der Raum
$\phi$ vollst\"andig, wenn man den Nullfolgen $\varphi_{n} \rightarrow 0$ noch
zus\"atzlich die Bedgg $A\,\varphi_{n} \rightarrow 0$ auferlegt und so sie
Topologie verst\"arkt.\\
\\
\\
Ist \underline{$Sp\,(M\,X + X^{*}N) = 0$ f. alle $X$} (Typ $X = M^{*} =
Typ\,\,N)$  so ist $M = N = 0$ \qquad Bew: Zum \nl addieren und $X = N + M ^{*}$
einsetzen. Dann in Re und Im zerlegen, Im vergleichen.\\
\\
$\textbf{Seite 162}$\\
\\
\subsection*{\"Uber positive Hermitesche Matrizen und Operatoren:}
\begin{enumerate}
\item Sei $P^{*} \,\,\underline{\underline{\gg}}\,\, 0$, $P\,Q + Q\,P =
2\,\alpha^{2} \cdot E$ \qquad (1)\\
Dann ist $P\,Q = Q\,P = \alpha^{2}\,\, E$.\\
Bew.: $P(A) - (A)\,P$ gibt $P^{2}\,Q = Q\,P^{2}$. Wegen $P = \sqrt{p^{2}}$ ist
auch $P\,Q = Q\,P$.
\item Sei $P = P(t) = R + S \cdot t = p^{*} \gg 0$ in $a \leq t \leq b$. Dann
ist $F = P^{-1}$ eine in $a \leq b \leq t$ konvexe Funktion von $t$.\\
Bew.: $P\,\dot{F}\,P = - \dot{P} $\\
$P\,\ddot{F}\,P = 2\,\dot{P}\,F\,\dot{P} \gg 0$\\
Statt ''$P$ linear in $t$'' gen\"ugt die Vorauss.: $P(t)$ konkav, dh.
$\ddot{P}\,\,\underline{underline{<}}\,\,0$.\\
Frage: Hiermit Einfangverfahren verallgemeinern auf $M\,y = \lambda\,N\,y$ ? \\
NB: Bei $P = R + S\,t$ ist zwar der gr\"osste EW eine konvexe Fktion, aber der
kleinste ist eine konkave.
\item Folge aus 2: Ist $P$ eine lineare Fkt. von $t$, \nl $P \gg 0$, so ist
jedes Diagonalelement von $P^{-1}$ eine konvexe Fktion von $t$; daher auch
$Sp\,P^{-1}$.
\item Ist
$\left(
\begin{array}{cc}
P & R\\
R^{*} & Q
\end{array}\right) \gg 0$, $R \not= 0$, so ist $Sp\,
\left(
\begin{array}{cc}
P & R\\
R^{*} & Q
\end{array}\right)^{-1} > Sp\,
 \left(
\begin{array}{cc}
P & 0\\
0 & Q
\end{array}\right)^{-1}$.\\
Bew: $R\,|\,tR$, $-1 \leq t \leq 1$, gerade Funkt. von $t$ \nl\\
Also f\"ur $t = 0$ horizontale Tangente; \nl. Es m\"usste f\"ur alle $t\quad
Sp\,\nl$= const sein; aber f\"ur grosse $t$ gibt es einen neg. EW, \nl
\end{enumerate}
$\textbf{Seite 163}$\\
\\      
22.9.47 \subsection*{Schiefe einer Matrix des Grades $n$.}
s.auch 146$|$2 III 80\\
\\
1.
\begin{quote}
Die Abweichung von $E$ einer positiv definiten Hermiteschen Matrix $P$ wird
gemessen durch $\varepsilon(P) = \frac{1}{2}\,Sp(P + P^{-1}) - n
\,\,\underline{\underline{>}}\,\,0$\\
a)\qquad $\varepsilon(P) = 0$ dund, wenn $P = E$. \nl\\
b)\qquad $\varepsilon
\left(
\begin{array}{cc}
P & 0\\
0 & Q
\end{array}\right) = \varepsilon(P) + \varepsilon(Q)$\\
c)\qquad $\varepsilon(M + t \cdot N)$ ist eine konvexe Funktion von $t$. Bew:
$162_{2}$ $Sp\,P^{-1} = \Sigma\,\mathfrak{q}_{i}^{*}P^{-1}\,\mathfrak{q}_{i}$
$\mathfrak{q}_{i} =
\left(
\begin{array}{ccc}
0\\
1\\
0
\end{array}\right)$\\
d) \qquad $\varepsilon(U^{-1}P\,U) = \varepsilon(P) = \varepsilon(P^{-1})$, wenn
$U^{*}U = E$\\
e)\qquad
$\left(
\begin{array}{ccc}
P & R\\
R^{*} & Q
\end{array}\right) > 
\left(
\begin{array}{ccc}
P & 0\\
0 & Q
\end{array}\right)$ wenn $R \not= 0$\qquad Bew $162_{4}$
\end{quote}
2.
\begin{quote}
Die Abweichung einer Multiplikation const. $E$ einer positiv definiten
Hermiteschen Matrix $P$ wird gemessen\\
durch \qquad $\mu(P) = \sqrt{Sp\,P \cdot Sp\,P^{-1}} - n
\,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$\\
a)\qquad  $\mu(P) = 0$, wenn $P =$ const$ \cdot E$. Bew: Lagrange $\Sigma
\lambda_{\nu} \Sigma\,\frac{1}{\lambda_{\nu} }$\\
b)\qquad $\mu(P) = \min\limits_{q > 0}\, \varepsilon\,(q \cdot P)$; \nl $=
\sqrt{\frac{Sp\,P^{-1}}{Sp\,P}})$\\
c)\qquad $\mu(P) = \mu\,(\textnormal{const} \cdot P) = \mu\,(P^{-1}) =
\mu\,(U^{-1}P\,U) \qquad U^{*}U = E$\\
d) \qquad $\mu(A\,A^{*}) = \mu(A^{*}\,A)$\qquad da $A^{*}A$ \"ahnlich
$A\,A^{*}$.\\
e)\qquad $ \mu (M + \nl\,N)$ ist eine konvexe Funktion von $t$ (solange  \nl)\\
f)\qquad $\mu 
\left(
\begin{array}{ccc}
P & R\\
R^{*} & Q
\end{array}\right) > \mu 
\left(
\begin{array}{ccc}
P & 0\\
0 & Q
\end{array}\right)$ wenn $R \not= 0$ \qquad 162$_{4}$\\
g) $\mu\,
\left(
\begin{array}{cc}
A & B\\
B^{*} & C
\end{array}\right) \,\,\underline{\underline{>}}\,\, \mu(A)$; das Zeichen =
steht nur $B = 0$,\\
$C = E \cdot \sqrt{\frac{Sp\,A}{Sp\,A^{-1}}}$ \qquad Bew: h)
\end{quote}
$\textbf{Seite 164}$\\
\\  
h)\qquad $\mu\,
\left(
\begin{array}{cc}
P & \\
 & Q
\end{array}\right) \,\,\underline{\underline{>}}\,\, \mu(P) + \mu(Q)$ und = nur wenn $ \frac{Sp\,P}{Sp\,P^{-1}} =  
\frac{Sp\,Q}{Sp\,Q^{-1}}$.\\
Bew: OBdA sei $\mu\, 
\left(
\begin{array}{cc}
P & \\
 & Q
\end{array}\right) = 
\varepsilon\, 
\left(
\begin{array}{cc}
P & \\
 & Q
\end{array}\right) = \varepsilon(P) + \varepsilon(Q)$
$\varepsilon\,(P) \,\,\underline{\underline{>}}\,\, \mu\,(P)$, und = nur wenn $Sp\,P = Sp\,P^{-1}$ nach $i$\\
$\varepsilon\,(Q) \,\,\underline{\underline{>}}\,\, \mu\,(Q)$, und = nur wenn   $Sp\,Q = Sp\,Q^{-1}$.\\
i)\qquad $\mu\,(P)   \,\,\underline{\underline{>}}\,\, \varepsilon\,(P)$, und = dund wenn $Sp = Sp\,P^{-1} \quad (2b)$
h) \qquad $\mu\,
\left(
\begin{array}{cc}
a & b\\
\overline{b} & c
\end{array}\right) = \frac{a + c}{\sqrt{a\,c - |b|^{2}}} - 2$\\
\\
\\
3. Die Abweichung einer pos herm. Matrix $P$ von der Diagonalform wird gemessen durch \\
$\delta (P) = \sl{l}{n} \,\sqrt{p_{\nu\nu} \cdot \hat{p}_{\nu\nu}} - n \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$ mit
$\left\{
\begin{array}{cc}
P = (p_{\mu\,\nu})\\
P^{-1} = (\hat{p}_{\mu\nu})
\end{array}\right.$\\
a) Es ist $\delta (P) = min\,\,\varepsilon\,(\Delta^{*}P\,\Delta)$, dh. (\nl det $\Delta \not= 0)$\\
$\varepsilon\,(\Delta^{*}P\,\Delta) \,\,\underline{\underline{>}}\,\, \delta(P)$, und = nur, wenn 
$p_{\nu\nu} = \hat{\mu}_{\nu\nu}$.\\
b) \qquad $\mu\,(\Delta^{*}P\,\Delta)\,\,\underline{\underline{>}}\,\, \delta\,(P)$\\
also auch $\delta(P) = min\,\mu\,(\Delta^{*}P\,\Delta)$; denn $\mu = \varepsilon\,(const.\,\, \dots)$.\\
\\
$\textbf{Seite 165}$\\
\\  
c)\qquad $\delta
\left(
\begin{array}{cc}
P & \\
 & Q
\end{array}\right) = \delta(P) + \delta(Q)$\\
d)\qquad $\delta
\left(
\begin{array}{cc}
P & R\\
R^{*} & Q 
\end{array}\right) > \delta
\left(
\begin{array}{cc}
P & \\
 & Q 
\end{array}\right)$ wenn $R \not= 0$. wie 162$_{4}$ 
e) \qquad $\delta\,(\Delta^{*}P\,\Delta) = \Delta(P)$ \qquad $\Delta =$ Diagonalmatrix, $det \not= 0$\\
\\
\\
4. Die Abweichung von der Orthonormalit\"at von $T$ wird gemessen durch  $o(T) = \varepsilon(T^{*}T)$\\
Auch bei \nl Spalten !\\
a) \qquad $o(S\,T) = max$ bei geg. $o(S)$ und $o(T)$ f\"uhrt mit $S^{*}S = P$, $T\,T^{*} = Q$ zur Aufgabe \\
$Sp\,(P\,Q + P^{-1}Q^{-1}) = max$ bei $Sp\,P + P^{-1} =$ const, $Sp\,Q + Q^{-1} = $ const\\
Aus den Variationsgleichungen\\
$Q\,P - P^{-1}Q^{-1} = \lambda\,(P - P^{-1})$, $P\,Q - Q^{-1}P^{-1} = \mu\,(Q - Q^{-1})$\\
folgt $\lambda\,(P - P^{-1}) = \mu\,(Q - Q^{-1})$.\\
Da die Gl. $x - \frac{1}{x} = \alpha$ \underline{nur} eine pos. L\"osg hat, ist $P$ sowohl wie $Q$
eine Funktion von $P - P^{-1}$, daher $P_{\nu} Q$\\
NB: Schon bei festem $Q$ aus der \underline{einen} Gl. $Q\,P  - P^{-1}Q^{-1} = \lambda\,(P - P^{-1})$, dass $Q\,P_{\nu}\,P - P^{-1}$ 
und wegen $P = f(P - P^{-1})$ auch $Q\,P \cup P$, dh. $Q \vee P$ ist. Damit ist obige\\
\nl\\
\\
$\textbf{Seite 166}$\\
\\  
Ist ein EW von $P$ $\pi_{\nu} = 1$, so ist entsprechend von $Q$ $K_{\nu} = 1$ und das Problem sinkt
auf $n - 1$. Sind alle EWe $\not= 1$, so sind sie $> 1$ (elementar: sonst $\pi$ durch $\frac{1}{\pi}$ ersetzen) annehmbar. 
F\"ur $det\, (P - P^{-1}) \not= 0$ folgt aber durch Elim von $Q$:
$$P^{2} - P\,(\frac{1}{\mu} - \frac{\mu}{\lambda^{2}} + \mu) + E = 0$$
Da f\"ur festes $\lambda$, $\mu$ nur \underline{eine} Wurzel $> 1$ existiert, ist $P = \pi \cdot E$; $Q = u\, E$.
Nun folgt, dass $n = 1$ ist (wenn alle  $\pi_{\nu} \not= 1$ !), da  f\"ur  die durch 
$$2 + \varphi\,x + \frac{1}{\varphi(x)} = 2 \cdot (x + \frac{1}{x})$$
erkl\"arte Funktion $\varphi(x)$ die Konvexit\"atsungleichung
$$\varphi (\pi\,K) < \varphi(\pi)\,\varphi(K)\qquad 1 < \pi \leq K$$
gilt (dh. $\frac{d}{d\,x}\,\frac{d\,log\,\varphi}{d\,log\,x} < 0 \quad (x > 1))$.\\
Dies besagt, dass aus\\
$$P = 
\left(
\begin{array}{cc}
1 & \\
 & \varphi(\pi)
\end{array}\right),\,\,Q = 
\left(
\begin{array}{cc}
1 & \\
 & \varphi(K)
\end{array}\right)\qquad 1 < \pi \leq K$$
folgt, \quad $Sp\, (PQ + P^{-1}Q^{-1}) > Sp\,(\pi\,K\,E_{2} + \frac{1}{\pi\,K}\,E_{2})$;\\
aber es ist $Sp\,(P + P^{-1}) = Sp\,(\pi\,E + \frac{1}{\pi}\,E)$, $Sp\,(Q + Q^{-1}) = Sp\,(K\,E + \frac{1}{K}E)$.
Ergebnis:\\
Das Maximum wird nur f\"ur Paare $P =
\left(
\begin{array}{ccccc}
1 & &&&\\
 & 1&&&\\
&&\ddots&&\\
&&&1&\\
&&&& \pi
\end{array}\right)$, $Q =~ 
\left(
\begin{array}{ccccc}
1 & &&&\\
 & 1&&&\\
&&\ddots&&\\
&&&1&\\
&&&& K
\end{array}\right)$ und die dazu simultan unit\"ar \"ahnlichen angenommen, wobei $(\pi - 1)\,(K - 1) > 0$. -F\"ur $\varepsilon^{-1}(\varepsilon\,(T^{*}T))$ gilt wohl $\varepsilon (s\,T) \leq \varepsilon(s)\,\varepsilon(T)$-\\
Dass zu gegebenem \nl $P$ nur so wenige $Q$ das Extremum liefern, ist vielleicht \nl daf\"ur, dass dies noch nicht die \nl Definition der Abweichg von einer
unit\"aren Matrix ist. Es sollte allgemein f\"ur hermitesche $T$ gelten Multiplikat. der Potenzen\\
\\
$\textbf{Seite 167}$\\
\\  
Vielleicht sollte man auch die Def. \nl, das ''Verzerrungsma\ss'' der lin Tranf. $T$, so ab\"andern, dass $\il{R}{}$ Verzerrgsmass $\cdot (T) \cdot d\,\tau = \il{R' = T\,R}{}$ Verzerrgsma\ss $(T^{-1})\,d\tau'$.\\
\\
Frage: Zu $A$ das $T$ kleinster Verzerrung bestimmen, das die Eigenr\"aume von $A$ orthogonalisiert, oder \"uberhaupt ein gegebenes System unabh\"angiger R\"aume. Andere Definition des \nl. Wie verhalten sich die beiden, insbesondere bei $n \rightarrow \infty$ ? Ist es
 f\"ur mehr unendliche Systeme im Hilbertraum definiert als das bisherige ? Welche lin. Transf. des Hilbertraums f\"uhren jedes System beschr\"ankter Schiefe in ein ebensolches \"uber ? Vielleicht spannen je zwei femde Teilsysteme  eines Vektorsystems  beschrkter Schiefe abgeschlossene \underline{fremde} lineare R\"aume auf ? S\"atze \"uber orthogonalsysteme von Funktionen verallgemeinern auf Systeme beschr\"ankter Schiefe, Entwicklungss\"atze ?\\
Was bedeutet f\"ur $T$ das arithmetische und geometrische Mittel (S.169) von $T\,T^{*}$ und $T^{*}T$ ? Was bedeutet f\"ur $S$, $T$\qquad  $S^{*}S \vee T\,T^{*}$ (vgl. 165) ?\\
Zu 169: Arithmetisch-geometrisches Mittel zweier pos. def. herm. Matrizen ?\\
\\
$(T\,T^{*})^{-\frac{1}{2}} \cdot T$ ist unit\"ar. Verhalten lin $det\,T \rightarrow 0$ bei Frobenius \nl Berlin 1896, S.7\\
\\  
$\textbf{Seite 168}$\\
\\  
\begin{enumerate}
\item Bemerkungen zum Verzerrungsma\ss usw. (S.163 ff).\\
Teichm\"ullers Verzerrungsma\ss ist meine Spanne.\\
Ist $ \mathfrak{U} $ die unit\"are Gruppe, so ist f\"ur jedes $A$ \quad $\mathfrak{U} \,A\,\mathfrak{U} = 
\mathfrak{U} \,A^{*}\, \mathfrak{U} $.\\
Denn $U\,A = A^{*}V$ ist l\"osbar mit $U,\,V \subset \mathfrak{U}$, da $A\,A^{*}$ dieselben \nl Wn aht wie $A^{*}A$.  
\item Wie gross ist der Radius des Kreises, auf denen die Halbkugelfl\"ache das
Radius 1 am komformsten abgebildet werden kann ?
\item Beispiel zu 16 \nl: F\"ur $P =
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 2\\
2 & 5
\end{array}\right)^{2} = p^{2}$ ist $g\,(P,\,E) = p$, und mit $X = 
\left(
\begin{array}{cc}
2 & 5\\
1 & 2
\end{array}\right)$, $Y = E$ ist $X^{*}X = P$, $Y^{*}Y = E$. Aber ist f\"ur
$\mathfrak{u} = 
\left(
\begin{array}{cc}
1\\
0
\end{array}\right)\qquad \frac{1}{2}\,\mathfrak{u}^{*}(X^{*}Y + Y^{*}X)\,
\mathfrak{u} = 2 > \mathfrak{u}^{*}p\,\mathfrak{u}$.
\end{enumerate}
Zum geom. Mittel (S.169): Man k\"onnte auch $exp\,\frac{1}{2}\{log\,P +
log\,Q\}$ betracht. Als multipl. Abstd von $P = p^{2} > 0$, $Q = q^{2} > 0$
k\"onnte man $\varepsilon\,(p^{-1}q^{2}p^{1}) = c\,(c^{-1}p^{2}q^{-1})$ oder
$\varepsilon\,(g(P,\,Q^{-1}))$ definieren. Was ist $g(P^{-1},\,Q^{-1})$ ? Hat
Siegel eine Metrik im Raum der hermiteschen Matrizen ?\\
\\  
$\textbf{Seite 169}$\\
\\ 
\begin{enumerate}
\item \underline{Geometrisches Mittel $g(P,\,Q)$} zweier (pos. nichtnegativer)
hermitescher Matr.\\
Die Extremalaufgabe \qquad Wohl besser ist die Def. von \nl\\
$\vartheta^{2}(X - Y) = Sp\, (X - Y)^{*}(X - Y) = min$ bei $X^{*}X = P$, $Y^{*}
= Q$\\
ergibt als notw. Bedgg die Existenz einer $C = C^{*}$ \nl $Y = X\,C$; es wird 
$$Q = C^{*}P\,C\textnormal{ mit }C^{*} = C$$
Setzt man 
$g\,(P_{\nu}Q) = \frac{1}{2} \,(X^{*}Y + Y^{*}X)$, $P = p^{2}$, $Q = q^{2}$,\\
$\sqrt{P} = p \gg 0$, $q \gg 0$, so wird\\
$2\,g\,(P,\,Q) = p\,\sqrt{p\,q^{2}\,p}\,p^{-1} + p^{-1}\sqrt{p\,q^{2}\,p} \cdot
p = \sqrt{P\,Q} + \sqrt{Q\,P}$\\
$Sp\, g(P,\,Q) = \Sigma\,\sqrt{\textnormal{Eigenwerte von }P\,Q} =
max\,Re\,Sp\,X^{*}Y$ mit $X^{*}X = P$, $Y^{*}Y = Q$
\item NB: Es ist aber nicht etwa \qquad Beispiel siehe $168_{3}$\\
$$g(P,\,Q)\,\,\underline{\underline{\gg}}\,\, \frac{1}{2}(X^{*}Y + Y^{*}X).$$
Die Extremalbedgg f\"ur $\delta\, \mathfrak{u}^{*}(X^{*}Y + Y^{*}X) = 0$ gibt
zu $= \mathfrak{u}\,\mathfrak{u}^{*}$ in $C$ mit 
$$Y\,A = X\,C,\,\,A\,Y^{*} = C\,X^{*}$$
$(X^{*}Y + Y^{*}X)_{\textnormal{extr}} = C^{-1}A\,Y^{*}Y + \nl \,Y\,A\,C^{-1}
\not= \nl$ \underline{falls} $C^{-1}$ existiert \underline{nachpr\"ufen} ! \\
\nl\\
NB: Wichtig in der Theorie  der Normalit\"at sind Matrizen $A,\,B$ mit\\
\nl $A\,\nl = B^{*}A$, dh. 
$\left\{
\begin{array}{cc}
(A^{*}\mathfrak{q},\, B^{*}\,\mathfrak{y}) = (B\,\mathfrak{q},\,
A\,\mathfrak{y})\\
(B^{*}\mathfrak{q},\, A^{*}\,\mathfrak{y})= (A\,\mathfrak{q},\,
B\,\mathfrak{y})
\end{array}\right)$\\
Man k\"onnte $A$ selbstadj. in \\
\nl\\  
\end{enumerate}
$\textbf{Seite 170}$\\
\\ 
\subsection*{Linksinvariante Bogenl\"ange in der Gruppe der Matrizen $det\, A
\not= 0$.}
Ist $\mathfrak{L}(t)$ ein f\"ur $0 \leq t \leq n$ ein stetiger Weg, so definiere
mit Teilpkten $C_{\nu} = C(t_{\nu})$, $C_{0} = \mathfrak{L}(0)$, $C_{n} =
\mathfrak{L}(0)$ $\lambda(\mathfrak{L}) = \lim\limits_{n \rightarrow
\infty}\quad \vartheta\,(C_{\nu - 1}^{-1}C_{\nu} - E)= \int\vartheta (C^{-1}C)\, dt$\qquad . Ist unabh. von
Parameter und Durchlaufungssinn
\begin{enumerate}
\item $\lambda\,(A\,\mathfrak{L}) = \lambda\,(\mathfrak{L})$
\item $\lambda\,(\mathfrak{L}_{1} + \mathfrak{L}_{2}) =
\lambda\,(\mathfrak{L}_{1}) + \lambda\,(\mathfrak{L}_{2})$
\item ?? $\lambda\,(\mathfrak{L}_{1} \cdot \mathfrak{L}_{2})
\,\,\underline{\underline{<}}\,\,\lambda\,(\mathfrak{L}_{1}) +
\lambda\,(\mathfrak{L}_{2})$ wenn $[\mathfrak{L}_{1} \cdot
\mathfrak{L}_{2}]\,(t) = \mathfrak{L}_{1}(t) \,\mathfrak{L}_{2}(\tau)$
\item In 3 d\"urfte = nur stehen, wenn $C_{1}^{-1}\dot{C_{1}} = \varphi(t) \cdot
C_{2}^{-1}\dot{C_{2}}$
\item Definiert man die Bogenentfernung von $B$ bis $A$ durch 
$$\hat{B\,A} = \min\limits_{\mathfrak{L}\textnormal{ von }B \textnormal{ nach
}A}\qquad,$$
 so d\"urfte jeder Minimalweg von $E$ nach $A$ eine eingliedrige Gruppe
sein.
\item $\lambda(-\mathfrak{L}) = \lambda(\mathfrak{L})$
\end{enumerate}
NB: Beiderseits invariant ist das semidefinite Bogenelement $ds =
\sqrt{\Sigma\,|\omega_{i}|^{2}} \qquad \omega_{i} = $ EWe von $dS$.\\
Verallgem.: $A_{i} \cup B^{*}_{k}$ gibt \nl\\
\\
$\textbf{Seite 171}$\\
\\ 
\underline{Inhalt} Kryloff $[218]$: Gute Formuliergen \"uber prakt. Bedeutung
von Absch\"atzungen. \\
Aufgabe: $|\lambda_{k}^{(m)} - \lambda_{k}|$ absch\"atzen, wenn
$\lambda_{k}^{(m)}$ durch $m$-gliedrigen Ritzansatz geg..\\
Z.B. etwa mit $y_{\mu} = x^{\mu - 1}(1 - x^{2})$ bei $y'' + \lambda\,q\,y =
0\quad (y(-1) = y(+1) = 0)$\\
$|\frac{\lambda_{k}^{(m)} - \lambda_{k}}{\lambda_{k}}| < \frac{\lambda_{k}^{(m)}
\cdot max|q|}{(m + 1)\,(m + 2)}$ wenn $q$ stetig.\\
Absch\"atzg der Ord $\frac{1}{m^{2}} p + 2$, wenn $q$ $p$-mal stetig diffbar.\\
\\
Nimmt man $Y_{p} = sin(\mu + 1)\,\pi\,x$, $y'' + \lambda\,q\,y = 0$, $y(0) = \nl
= 0$:\\
$|\frac{\lambda_{k}^{(m)} - \lambda_{k}}{\lambda_{k}}| < \frac{\lambda_{k}^{(m)}
\cdot max|q|}{(m + 1)^{2}\pi^{2}} \qquad$ $q$ stetig.\\
Auch Absch\"atzg f\"ur N\"aherg $y_{k}^{(m)}$  (im $q$-Quadratmittel und \nl\\
\\
\underline{Inhalt} Kryloff-Bogolinbov $[$215$]$: F\"ur $y'' + [r(x)  +
\lambda ]\,y = 0$, $y_{0} = y_{1} = 0$\\
ist bei \nl $k^{*}$-und n\"achstem Eigenwert $\lambda_{j}$ bei $k$:\\
$(\lambda_{j} - k)^{2} = min \, \il{0}{1}\,\{y'' + (r(x) + k)\,y^{2}\}^{2}dx$
\nl  bei $y^{2}dx = 1$\\
\nl $(\lambda_{j} - k)^{2} \leq \il{}{}\,\{\}^{2}dx$ bei $y =
\sl{\nl}{m}\,a_{\mu}y_{\mu}$.\quad  $y_{\mu} = sin(\mu + 1)\,\pi\,x$. \quad
$y''$ \nl, $y_{0} = y_{1} = 0$ \\
Daher enth\"alt das Intervall $(k + \sqrt{d_{m}},\, k - \sqrt{d_{m}})$ mindestens
einen EW, aber $(k + \sqrt{d_{m} - \eta_{m}}$, $k - \sqrt{d_{m} - \eta_{m}})$
keinen, wenn 
$\eta_{m} = \frac{(1 + \frac{|k + (T(x)|}{(m + 1)^{2}\pi^{2}})^{2} \, 
\frac{A^{2}}{(m + 1)^{4}\pi^{4}}}{1 - \frac{A^{2}}{(m + 1)^{8}\pi^{8}}}$,
$d_{m} = H(\psi_{m})$, wobei\\
\\
$\textbf{Seite 172}$\\
\\
$\psi_{m}$ die $m$-te Eigenf des finiten Problems, und\\
$A = \{|(\lambda_{j} + r(x))^{2} - r''(x)| + 2\,|r'(x)|\,\sqrt{|\lambda_{j}| +
r(x)|}\}$\\
\\
\"Ahnlichks mit Variationsmethode $x$ gibt sch\"arferes, \nl
$\overline{\alpha_{m}} \leq \alpha_{m}$. Aber wie $k$ zu w\"ahlen ist damit $d =
min$ scheint nicht untersucht zu werden. \nl\\
Methode d. kl. Quadrate: Extremaleigensch. von $\frac{(M\,y \cdot M\,y)}{y
\cdot y)}$\\
Variat.-klassische Methode : Extremaleigensch. von $\frac{(y \cdot M\,y)}{y
\cdot y}$\\
Bemerk. nicht, dass 1) schlechteres 2\\
F\"ur Dglen $(1 + \lambda\,\mathfrak{K})\,y = 0$ \nl\\
$0 \leq d_{m} - [\frac{\lambda_{j} - k}{\lambda_{j}}]^{2} < \frac{1 +
\varepsilon_{m} ' R_{m}^{2}\,dx}{1 - \int\,R_{m}^{2}\,dx}$ mit  \nl Polynomen\\
mit $\varepsilon_{m}$ = best \nl von $K$, $k$; $R_{m}$ h\"angt noch von der \nl,
kann aber wohl abgesch\"atzt werden.\\
\\
Inhalt Perepilkine [233]: In $R_{p}$ seien $\mathfrak{u}_{i}$ Basis mit
$\mathfrak{u}'_{i}\mathfrak{u}_{k} - \delta_{i\,k}$, ebenso \nl in
$\cal{R}$$_{q}$. \nl, $C = A'B \cdot B'A \cdot v\,\nl\,|C - \lambda^{2}E| = 0\,
\nl(R_{p},\, R_{q})$.\\
Inhalt C. Jordan $[$234$]$ (u.a.): Raumpaare: $R_{p}\,\,R_{q}$ \nl 0 haben
$min\, (p,\,q,\, n - p,\, n - q)$. Invarianzen gegen orthogonale Gruppe \nl. Die
zu $R_{p}\,\,R_{q}$ total senkrechten (perpendikularen) R\"aume schneiden sich
unter derselben Winkeln wie $R_{p}\,\,R_{q}$.








\end{document}





