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\newcommand{\nl}{\textbf{???}\,}

\title{Private Notebook IV}
\author{Helmut Wielandt\\
G\"ottingen, Herzberger Ldstr.32\\
Heimatanschr.: T\"ubingen, Goesstr.31}

\sloppy

\begin{document}
  
{\huge Private Notebook IV}
\\
\\
{\large Helmut Wielandt\\
G\"ottingen, Herzberger Ldstr.32\\
Heimatanschr.: T\"ubingen, Goesstr.31}

\section*{Iterationsverfahren 6 - 28, 60 - 74}
$\textbf{Seite 1}$\\
\\
\underline{Aufgabe:} Fl\"ugelumstr\"omung rein durch Betrachtung der
Beschleunigung behandeln. An Stelle des Abwindes die ''Aufbeschleunigung'' aus
Ort des Fl\"ugels zur Randbedingung heranziehen.\\
\\
\\
\underline{Beispiel f\"ur $\il{1}{\infty} f^{2}(x)\,dx$ konvergent,
$\il{1}{\infty}\,|f(x)|^{2}dx$ divergent:}\\
$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot (1 + \i\,\sqrt{2} \cdot \sin \,x)$. \qquad (Zu
S\"ohngen III $[$111$]$\\

\subsection*{Beziehung zwischen $\omega_{0}(x)$ und $\omega_{0}(-x)$:} (Zu
$B\,44(I)\,45\, \&\, 39)$\\
Wegen $\hat{H}(x) = \hat{H}(-x)$ ist\\
$(\omega_{0}(-x) \cdot e^{-\frac{i\,\nu}{v}x})' = 
- e^{-\frac{2\,i\,\nu}{v\,(1 - \beta^{2})}x} \cdot (\omega_{0}(x) \cdot
e^{+\frac{i\,\nu\,x}{v}})'$\\
und daher z.B. f\"ur $x > 0$\\
$\omega_{0}(x) = -e^{i\,\alpha\,(1 - \beta)\,x} \cdot \omega_{0}(-x) -
\frac{2\,i\,\nu}{v\,(1 - \beta^{2})} \cdot \il{x}{\infty}
\,e^{\frac{2\,i\,\nu}{v\,(1 - \beta^{2})}\,\xi - \frac{i\,\nu}{v}\,(\xi +
x)}\omega_{0}(-\xi)\,d\xi \\
+ \frac{\nu}{2\,v} \cdot e^{-\frac{i\,\nu}{v}x}$\\
\\
\\
\underline{Aufgabe:} Faltungssatz auf Cauchysche Hauptwerte \"ubertragen.\\
Wie h\"angt $\mathfrak{L} \{\il{0}{\infty}\,I(t) \,\frac{dt}{x - t}\}$ mit
$\mathfrak{L}\{I\}$ zusammen ? s. S.81\\
\\
$\textbf{Seite 2}$\\
\\
Sinnvoll ist diese Frage eigentlich nur beim komplexen Faltungstyp, dh. etwa bei
$\nl\,(t) = \nl\,I(s)\,\frac{ds}{t - s}$, und das f\"uhrt auf
Fourier-Integrale.\\
\\
$\textbf{Seite 3}$
\subsection*{Cauchysche Hauptwerte} (Forts. von III 166)
\begin{enumerate}
\item $\nl\,\frac{d\,\xi}{(x - \xi)\,(1 + \xi)} = \frac{log\,x}{1 + x} \qquad 0
< x$
\item \nl\,$ \frac{d\xi}{1 - \xi}\,\sqrt{\xi} = -2\,\sqrt{x} + \log\,|\frac{1 +
\sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}}| \qquad \nl$
\item \nl $e^{-s\,t} \cdot \frac{\sqrt{t}}{t - 1}\,dt = \nl \, e^{-st} \cdot
\frac{dt}{(1 - t)^{\frac{3}{2}}} \cdot
\frac{-P(\frac{3}{2})}{s^{\frac{3}{2}}}$.\qquad $(s > 0)$
\begin{flushright}
\nl: $\varphi' + \varphi$ bilden
\end{flushright}
\item $\frac{d}{ds}\,\nl\,e^{-s\,(t - 1)} \cdot \varphi(t) \cdot \frac{dt}{t -
1} = -e^{s} \cdot \mathfrak{L}_{\searrow_{
\textnormal{Laplace-Transf.}}}\{\varphi;\,s\}$ in der Kgenzhalbebene, falls
$\varphi'(1)$ existiert.
\item \nl $e^{-s\,(t - 1)}\sqrt{t}\, \frac{dt}{t - 1} = \sqrt{\pi} \cdot
\frac{e^{s}}{\sqrt{s}} - \sqrt{\pi}\, \il{0}{s} \cdot
\frac{e^{\sigma}}{\sqrt{\sigma}}\, d\,\sigma$ \nl f\"ur \nl $s$
\underline{\underline{$>$}} 0 \qquad Bew. $e^{s} \cdot \mathfrak{L} \{\nl\}$
anziehen \nl.\\
$= \pi\,i + \nl\,\,e^{-s\,(t - 1)}\,\sqrt{t}\,\frac{dt}{t - 1}$ \qquad (\nl =
Hauptzweig)
\item \nl $e^{-s\,t}\sqrt{t}\,\frac{dt}{t - x} = \sqrt{\pi} \cdot
\{\frac{1}{\sqrt{s}} - x \il{0}{s}\, e^{-(s - t)\,x}\,
\frac{dt}{\sqrt{t}}\}\qquad (Ru\,s\,\,\underline{\underline{>}}\,\,0;\, x > 0)$
\item $\mathfrak{A}(x)\,\nl\, \frac{1}{\pi\,i}\,\nl\, e^{ix\,(t -
1)}\sqrt{t}\,\frac{dt}{t - 1} = \frac{e^{-\frac{i\,\pi}{4}}}{\sqrt{\pi}} \cdot
\frac{e^{-i\,x}}{\sqrt{x}} + \frac{e^{\frac{i\,\pi}{4}}}{\sqrt{\pi}} \cdot
\il{0}{x}\, e^{-it}\, \frac{dt}{\sqrt{t}} =  \frac{e^{-\frac{i\,\pi}{4}}}{\sqrt{\pi}}\cdot
\frac{e^{-i\,x}}{\sqrt{x}} + \frac{2\,e^{\frac{i\,\pi}{4}}}{\sqrt{\pi}} \cdot
\il{\sqrt{x}}{0}\, e^{-i\,\breve{u}^{2}}d\,\breve{u} \qquad (x > 0)$\\
$(7') = 1 + \frac{e^{-\frac{i\,\pi}{4}}}{\pi} \cdot e^{-ix} \cdot \mathfrak{L}\{
\frac{\sqrt{t}}{t + i};\,x\}$\\
$(7'') = 1 + \frac{1}{2\,\sqrt{\pi}} \cdot e^{3\,i\,\pi\,/4} \cdot \il{+ \infty}
\, e^{-it} \frac{dt}{t^{\frac{3}{2}}} \qquad $ (Bew.: $III$ 166 (8)
\item $\mathfrak{L}\{\mathfrak{A}(t);\,s\} = e^{-\frac{i\,\pi}{4}} \cdot $
$\cdot \frac{\sqrt{s + 1}}{s}$
$(s' > 0)$ mit $\mathfrak{A}(t)$
nach (7) \qquad Bew.:  $7'$ rechts \nl Faltungssatz
\end{enumerate}
$\textbf{Seite 5}$\footnote{ Seite 4 ist nicht beschrieben.}
\subsection*{Jede Schar des Ranges $n$ von $n$-mal stetig differenzierbaren Funktionen}
$c_{1}y_{1}(x) + \cdots + c_{n}y_{n}$, f\"ur welche die Wronslaysche Determinante  $W \not= 0$
ist im Intervall $<a,\,b>$, l\"asst sich eindeutig einem geordnetem $n$-tupel von in  $<a,\,b>$ stetigen
Funktionen $a_{1}(x),\cdots,a_{n}(x)$ zuordnen, n\"amlich den Koeff. der Dgl.
$$y^{n} + a_{1}(x)\,y^{(n - 1)} + \cdots + a_{n}(x)\,y = 0,$$
welche f\"ur alle Funktionen der Schar erf\"ullt ist. Es ist
$$a_{1} = - \frac{W'(x)}{W(x)}$$
Eine andere, aber mehr Willk\"ur enthaltende Art, die Schar auf ein geordnetes $n$-tupel abzubilden, w\"are die Wahl einer normierten Basis, etwa $y_{i}^{k}(x_{0}) = \delta_{i\,k}$.\\
(\"Ahnliches f\"ur Vektoren scheint es vern\"unftig nicht zu geben, nur nach Numerisierung der Komponenten, also ist die Funktion $f(x)$ \nl als dem Vektor verwand.)\\
\\
\\
\underline{Aufgabe:} Die Mechanik entwickeln f\"ur Kraftgesetze  mit Nachwirkung: \nl zur Zeit $t_{0}$ h\"angt durch eine Fktion von 
$(t_{0} - t)$ von allen fr\"uheren Lagen ab.\\
\\
$\textbf{Seite 6}$
\subsection*{Zum allgemeinen Einschliessungssatz f\"ur hermitesche Matrizen.}
a) Sind $A$ und $B$ rechteckige Matrizen desselben Typus, so ist dund $A = U\,B$ mit einer unit\"aren Matrix $U$, wenn
(1) $A^{*}A = B^{*}B$\\
Bew: wenn (1)  gilt, und die erste Spalte von $A \not= 0$ ist, gibt es \nl\\
$U_{1}A =
\left(
\begin{tabular}{c|c}
$p$ & $\cdots$\\
\hline
0 & \\
$\vdots$ &\\
0 & 
\end{tabular}\right)$, \quad 
$V_{1}B =
\left(
\begin{tabular}{c|c}
$p$ & $\cdots$\\
\hline
0 & \\
0 & \\
$\vdots$ &  
\end{tabular}\right) \qquad (p \not= 0)$\\
Aus (1) folgt dann \"Uberstimmung der ersten Zeile von $U_{1}A$ mit $V_{1}B$, und mit  
$U_{1}A =
\left(
\begin{array}{cc}
\mathfrak{z}\\
A_{1}
\end{array}\right)$;  
$V_{1}A =
\left(
\begin{array}{cc}
\mathfrak{z}\\
B_{1}
\end{array}\right)$ folgt\\
$A_{1}^{*}A_{1} = B_{1}^{*}B_{1}$ Induktion nach Komponenten-Zahl. \\
Anderer Beweis: Satz inv. gegen unit. \"Ahnl. Trans: $A$ \nl $A = 
\left(
\begin{array}{ccc}
c_{1}^{2} & & \\
& \ddots & \\
& & c_{n}^{2}
\end{array}\right)$ \nl\\
b) Sind $X$ und $Y$ rechteckige Matrizen derselben Typus $(m,\, n)$ und \nl $s$ ist $m$ reelle Zahlen
$\mu_{1}, \dots,\, \mu_{m}$ vorgegeben, so ist die  folgende Bedingung notwendig $\&$ hinreichend daf\"ur, da\ss
es eine hermitesche Matrix $M$ mit den Wurzeln $\mu_{1}, \cdots,\, \mu_{m}$ gibt, f\"ur welche 
$M\,X = Y$ ist:\\
Das Gl.-System
\begin{quote}
$P_{1} + P_{2} + \cdots + P_{m} = \cal{R}$$ = X^{*}X$\\
$\mu_{1}P_{1} + \mu_{2}P_{2} + \cdots + \mu_{m}P_{m} = \cal{S}$$ = X^{*}Y = Y^{*}X$\\
$\mu_{1}^{2}P_{1} + \mu_{2}^{2}P_{2} + \cdots + \mu_{m}^{2}P_{m} = \cal{T}$$ = Y^{*}Y$
\end{quote}
ist l\"osbar mit hermiteschen Matrizen $P_{i}$, die $\underline{\underline{>}} 0$ und vom Range 
$\leq 1$ sind. Bew.: Setze $P_{i} = \xi_{i}^{*} \cdot \xi_{i}$ \nl $\Xi = 
\left(
\begin{array}{cccc}
\xi_{1}\\
\xi_{2}\\
\vdots\\
\xi_{m}
\end{array}\right)$ und w\"ahle $U$ mit $U\, \Xi = X$, $U\,M \Xi\, = Y$ und setze \nl\\
\\
$\textbf{Seite 7}$\\
\\
c)\qquad S\"amtliche Zerllgungen (1) $\cal{R}$$ = P_{1} + \cdots + P_{m}$ einer nichtnegativen herm. Matrix 
$\cal{R}$ in nicht negative $P_{i}$ vom $Rg \leq 1$ erh\"alt man, indem man s\"amtliche Produktdarstellungen
$$\cal{R} = \textnormal{X}^{*}\textnormal{X}$$
mit $X = 
\left(
\begin{array}{cccc}
\mathfrak{q}_{1}\\
\mathfrak{q}_{2}\\
\vdots\\
\mathfrak{q}_{m}
\end{array}\right)$ bildet und $P_{i} = \mathfrak{q}_{i}^{*}\mathfrak{q}_{i}$ setzt.\\
\nl\\
Diese erh\"alt man aus einer von ihnen, $\cal{R}$$ = X_{0}^{*}X_{0}$, durch $X = U\,X_{0}$ mit beliebigen unit\"aren $U$. 
W\"ahlt man etwa f\"ur $X_{0}$ die Jacobische Zerlegung und f\"ur die $U$ eine Parameterdarstellung, so erh"alt man eine Parameterdarstellung
aller L\"osungen von (1).\\
\\
d)\qquad Zu $(k + 1)$ reellen Spalten $\mathfrak{q}_{0}$, $\mathfrak{q}_{1},\cdots \mathfrak{q}_{k}$ \nl $m$
Komponenten gibt es dund eine Matrix $\cal{M}$ reell symmetrisch derart, da\ss 1) $\cal{M}$$\mathfrak{q}_{\nu} = \mathfrak{q}_{\nu + 1}$ und \nl 
$M$ genau $m$ vorgegebene Eigenwerte $\mu_{1}, \cdots,\,\mu_{m}$ hat, wenn folgende Bedingg. erf\"ullt ist:
Es ist $s_{\alpha + \beta} = \mathfrak{q}_{\alpha}'\mathfrak{q}_{\beta}$ nur von $(\alpha + \beta)$ abh\"angig, und das 
Gl. system
\begin{quote}
$p_{1} + p_{2} + \cdots + p_{m} = s_{0}$
(2) \quad $\mu_{1}p_{1} + \mu_{2}p_{2} + \cdots + \mu_{m}p_{m} = s_{1}$\\
\nl
\end{quote}
$\textbf{Seite 8}$
\\
besitzt eine L\"osung $p_{i} \geq 0$.\\
Bew.: Setze $\xi_{0} = (\frac{\sqrt{p_{1}}}{\sqrt{p_{2}}})$, $\xi_{\alpha} = M^{\alpha}\xi_{0}$ und $U\,\xi_{\nu} = \mathfrak{\nu}$, $U\,M\,N^{-1} = \cal{M}$.\\
\\
e)\qquad Ist $m > 2\,k + 1$, so besitzt das System (7.2), falls es \"uberhaupt l\"osbar ist, auch eine
L\"osung, bei der nur $2\,k + 1$ von den $p_{i} \not= 0$ sind.\\
\\
f) \qquad Ist $m = 2\,k + 1$ und sind alle $\mu_{i}$ verschieden, etwa $\mu_{1} < \mu_{2} < \cdots < \mu_{2k + 1}$, so ist das System (7.2) dund l\"osbar, wenn\\
\\
(1) $s_{2\,k} - d_{1}^{(i)}s_{2\,k - 1} + d_{2}^{(i)}s_{2\,k - 2} - + \cdots + s_{0} \cdot d_{2\,k}^{(i)} = q_{i} \cdot (-1)^{i - 1}$ 
mit $q_{i}\,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$.\\
Dabei ist $d_{e}^{(i)}$ die $l - k$ elementarsymmetr. Funktion der $2k$ Zahlen $\mu_{1},\,\mu_{2}, \cdots, \mu_{i - 1},\,\mu_{i + 1}, \cdots \,\mu_{2k + 1}$. \\
Bew.: Der linke Ausdruck (8.1) ist gleich \\
$\xi_{0}' \cdot \Pi_{\rho \not= i}(M - \mu\,\rho) \cdot \xi_{0} = p_{i} \cdot \Pi_{\rho \not= i}(\mu_{i} - \mu\,\rho)$ falls (7.2) l\"osbar ist; also gilt (8.1).\\
Ist umgekehrt (8.1) richtig, so setze man $\hat{p}_{i} = 
\frac{q_{i} \cdot (-1)^{i - 1}}{\Pi_{\rho \not= i}(\mu_{i} - \mu\rho)} \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$ und wieder 
$\hat{\xi}_{0} =$ \nl. Dann wird\\
f\"ur die $(2k + 1)$ Polynome  $f_{i}(M) = \Pi_{\rho \not= i} (M - \mu\rho)$\\
$\hat{\xi}_{0}' \cdot f_{i}(M) \cdot \hat{\xi}_{0} = (\hat{p}_{i} \cdot \Pi_{\rho \not= i} (\mu_{i} - \mu\,\rho) = )$ linke Seite von (8.1)\\
\\
$\textbf{Seite 9}$
\\
Also ist mit $\hat{s}_{\rho} = \hat{\xi}_{0}' \cdot \nl \cdot \hat{\xi}_{\rho}$ sicher
\begin{enumerate}
\item $(s_{2\,k} - \hat{s}_{2\,k}) - d_{1}^{(i)}(s_{2k - 1} - \hat{s}_{2k - 1}) + \cdots = 0$ woraus 
$s_{rho} = \hat{s}_{\rho}$ folgt, so da\ss (7.2) L\"osung $\hat{p}_{i}$ hat. Es w\"aren sonst n\"amlich die 
verschiedenen Zeilen (9.1) lin. abh., d.h. die Polynome $f_{i}(x)$ w\"aren linear abh\"angig, was durch Einsetzen $x = \mu_{i}$ widergelegt wird.\\
\\
g) Zur Vereinfachung der Bedingg. (8.1) f\"uhre die elementarsymm. Fktionen $c_{p}$ von $\mu_{1}, \cdots,\, \mu_{2k + 1}$ ein. Es ist
\begin{quote}
$d_{1} = c_{1} - \mu_{i}c$\\ 
$d_{2} = c_{2} - \mu_{i}c_{1} + \mu_{i}^{2}$\\
$d_{3} = c_{3} - \mu_{i}c_{2} + \mu_{i}^{2} - \mu_{i}^{3}$ \qquad usw.
\end{quote}
daher ist (8.1) gleichwertig zu
\item $\mu_{i}^{2k} + [s_{i} - c_{1}s_{0}]\,\mu_{i}^{2k - 1} + \cdots + [s_{2k - 1} - c_{1}s_{2k - 2} + c_{2}s_{2k - 2} + c_{2}s_{2k - 3} - \cdots ] \cdot \mu_{i}$
$ +\,\, [s_{2k} - c_{1}s_{2k - 1} + c_{2}s_{2k - 2} - \cdots + c_{2k} s_{0}] = q_{i}(-1)^{i - 1}$ \qquad mit $q_{i} \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$. 
Sind sogar alle $q_{i} > 0$, so besagt (9.2). da\ss die Nullstellen der normierten Polynome 
$f(x) = \Pi_{1}^{2k + 1}(x - \mu_{i}) = x^{2k + 1} - c_{1}x^{2k} + \cdots - c_{2\,k  + 1}$
\end{enumerate}
$\textbf{Seite 10}$\\
\\
$f^{*}(x) = x^{2k} + [s_{1} - c_{1}s_{0}]\,x^{2k - 1} + \cdots + [s_{2k} - \cdots + c_{2k}s_{0}]$
sich gegenseitig trennen (und alle reell sind). \\
\\
Das Entsprechende gilt dann f\"ur je zwei  aufeinander folgende Glieder der aus $f$ und $g$ gebildeten Sturmschen Kette: (deren h\"ochste 
Koeff sind $> 0$)\\
$\bullet \quad$ Nullstellen von $f$, \qquad x\quad Nullstellen von $g$, $f = q\,g - f_{1}$.\\
\textbf{Graph} \qquad (NB: wo $g = 0$, ist $f_{1} = -f$)\\
\\
\\
\underline{10.1.45} (h) Zur bequemeren Rechnung setze f\"ur Polynome $p(x)$ des Grades $\leq 2k$
\qquad $[ A\,x^{m} +  B\,x^{m - 1} + \cdots C] = A\,s_{m} + B\,s_{m - 1} + \cdots + C\,s_{0}$.\\
Dann lautet die notwendige $\&$ hinr. Bedgg. (8.1) f\"ur die L\"osbarkeit von (7.2) folgendermassen: Bei $\mu_{1} < \mu_{2} < \cdots < \mu_{2k + 1}$ ist\\
(10.1)
$\left\{
\begin{array}{ccccc}
[(x - \mu_{2})\,(x - \mu_{3}) \cdots (x - \mu_{2k + 1})] \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0\\
$ [$(x - \mu_{1})\,(x - \mu_{3}) \cdots (x - \mu_{2k + 1})$]$ \,\,\underline{\underline{<}}\,\, 0\\
\cdots\\
$ [$(x - \mu_{1})\,(x - \mu_{2}) \cdots (x - \mu_{2k})$]$ \,\,\underline{\underline{<}}\,\, 0
\end{array}\right.$\\
\\
(i) Der Fall \underline{$k = 1$}. Die Galerkin-N\"aherung  $\gamma$ \nl lautet $\gamma = \frac{s_{1}}{s_{\rho}}$, daher ist $[x - \gamma] = 0$\\
\\
$\textbf{Seite 11}$\\
\\
Daher gilt f\"ur Polynome $p(x)$ des Grades $\leq 2$, $p(x)  = x^{2} + ax + b$,\\
(11.1)\qquad $[p(x)] = [(x - \gamma)^{2}] + p(\gamma) \cdot s_{0} = r_{1}^{2} + s_{0} \cdot p(\gamma)$ und (10.1) lautet hier\\
(11.2)
$\left\{
\begin{array}{ccc}
r_{1}^{2} + (\gamma - \mu_{2})\,(\gamma - \mu_{3})\,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0\\
r_{1}^{2} + (\gamma - \mu_{1})\,(\gamma - \mu_{3})\,\,\underline{\underline{<}}\,\, 0\\
r_{1}^{2} + (\gamma - \mu_{1})\,(\gamma - \mu_{2})\,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0
\end{array}\right.$\\
Es liegen also oberhalb  und unterhalb von $\gamma$ Werte $\mu$, und \nl f\"ur die ''inneren'' ist 
$(\gamma - \mu_{1})\,(\mu_{2} - \gamma) \leq r_{1}^{2}$, f\"ur die ''\"au\ss eren'' \\
$(11.2.1) \qquad (\gamma - \mu_{1})\,(\mu_{3} - \gamma) \,\,\underline{\underline{>}}\,\, r_{1}^{2}$ \\
$<u,\,v>$ ist durch Einschliessungsintervall, wenn $[(x - n)\, (x - v)] \,\,\underline{\underline{<}}\,\, 0$.\\
\\
(j) \underline{der Fall $k = 2$.} Setze $\Delta (u,\,v) = 
\left|
\begin{array}{ccc}
$[$x^{2}(x - u)\,(x - v)$]$ & $[$x(x - u)\,(x - v)$]$\\
$[$x(x - u)\,(x - v)$]$ & $[$(x - u)\,(x - v)$]$
\end{array}\right|$.\\
Es ist\\
(11.3) $\Delta (u,\,v) = |\aleph' (M - u)\,(M - v)\, \aleph|$ mit $\aleph = (M\,\mathfrak{q}_{0},\, \mathfrak{q}_{0})$. Ferner\\
(11.4) $\Delta (u,\,v)  = \frac{[G^{2}(x)y]}{
\left|
\begin{array}{ccc}
S_{0} & S_{1}\\
S_{1} & S_{2}
\end{array}\right| ^{2}}  
\cdot [(x - u)\,(x - v)] - \frac{G(u) \cdot G(v) \cdot G(\gamma) \cdot s^{2}_{0}}{
\left|
\begin{array}{ccc}
S_{0} & S_{1}\\
S_{1} & S_{2}
\end{array}\right| ^{3}}$\\
Darin bedeutet $\gamma$ die Galerkinzahl \nl und $G(x)$ die linke Seite des Galerkin-Gleichung; sie ist bis auf konst. Faktor gekennzeichnet durch (vgl. S.16)\\
(11.5) $[G(x)] = [x\,G(x)] = 0$; sei $G(x) = (x - \gamma_{1})\,(x - \gamma_{2}) \cdot 
\left|
\begin{array}{ccc}
S_{0} & S_{1}\\
S_{1} & S_{2}
\end{array}\right|$\\
(11.6) Ist $\Delta(n,\,v) \,\,\underline{\underline{<}}\,\, 0$, so ist $<u,\, v>$ Einschliessungsintervalle, sogar\\
\\
$\textbf{Seite 12}$\\
\\
schon auf Grund einer passend ausgew\"ahlten 1 Fr $\cdots$ Gr.-Rechnung. Denn es gibt \nl = 
$\left(
\begin{array}{ccc}
c_{1}\\
c_{2}
\end{array}\right) \not= 0$ mit $c' \aleph'(M - v)\,(M - v) \,\aleph\, c \,\,\underline{\underline{<}}\,\, 0$.\\
\\
Ist umgekehrt $<n,\,v>$ ein Einschliessungsintervall, dessen Enden ausserdem sich mit $\gamma_{1}$, $\gamma_{2}$ trennen (d.h. $G(u) \cdot G(v) < 0)$, so ist $\Delta(n,\,v)
\,\,\underline{\underline{<}}\,\, 0$.\\
Bew.: Ist $\Delta(n,\,v) > 0$, so gibt es, falls etwa $\gamma_{1} < n < \gamma_{2} < v$, eine Zahl $p < \gamma_{1}$ derart, da\ss die Bedingungen (10.1) f\"ur $\mu_{1} \div \mu_{5} = p$, $\gamma_{1}$, $u$, $v$, \nl erf\"ullt sind, also \nl $<u,\, v>$ kein Einschl.-Int.; zu benutzen ist:
Aus $\Delta > 0$ folgt nach (11.4) $[(x - u)\,(x - v)] > 0$, da $G(n) \cdot G(v) < 0$ und $G(\gamma) \,\,\underline{\underline{<}}\,\, 0$.
Das letztere folgt aus 
$\left\{
\begin{array}{ccc}
(11.1) : 0 = [G(x)] = [(x - \gamma)^{2}] + G(\gamma).\\
(11.5)\hfill
\end{array}\right.$.\\
\\
(11.5) besagt, da\ss $<\gamma_{1},\, \gamma_{2}>$ ein optimales Einschl.intervall f\"ur $k = 1$ ist. N\"utzlich ist die Reihenregel (aus (11.5)):\\
$$[(x - \gamma_{1}) \cdot (ax^{2} + bx + c)] = [x - \gamma_{1}] \cdot (a\,\gamma_{2}^{2} + b\,\gamma_{2} + c).$$ 
$<\gamma_{1},\,\gamma_{2}>$ ist ein Einschliessungsintervall nach (11.6), (11.4), und zwar ein 
optimales, da $-\infty,\,\gamma_{1},\, p,\, \gamma_{2},\, +\infty$ f\"ur $\gamma_{1} < p < \gamma_{2}$ stets realisierbar nach (10.1). Alle \"ubrigen optimalen Einschl.-Intervalle trennen sich aus 
dem selben Grunde mit $<\gamma_{1},\, \gamma_{2}>$.\\
\\
$\textbf{Seite 13}$\\
\\
Bestimmung aller optimalen Einschliessungsintervalle mit einem gegebenem Ende $u$:\\
1) $u < \gamma_{1}$; dann ist nach (11.4) $\Delta\,(u,\,\gamma_{2}) < 0$, also hat die Gl. 
$\Delta\,(u,\,v)  = 0$, die in $v$ quadratisch ist, zwei reelle L\"osungen $v_{1} < (\gamma_{2} <) v_{2}$, und $<u,\, v_{1}>$ ist das einzige opt. \nl\\
2) $\gamma_{1} < u < \gamma_{2}$, dann ist nach (11.4) $\Delta\,(u,\,\pm \infty) < 0$, also gibt es 
$<v_{1},\, u>$ und $<v_{2},\, u>$ mit $v_{1} < \gamma_{1} < u < \gamma_{2} < v_{2}$. Diese Einschl.int.sind wirklich  optimal, denn man kann z.B.\\
im Falle 1) $v_{1}$ nicht mehr nach links verschieben, weil sonst nach Konst. von $v_{1}$ $\Delta > 0$ wird; man kann aber auch nicht $\breve{u}$ nach rechts verschieben, weil sonst nach Fall 2) $\Delta > 0$ wird.\\
\\
Die Zahlenrechnung bei gegebenen  $S_{\mu} = \mathfrak{q}'_{0}M^{\nu}\mathfrak{q}$, verl\"auft  so , $\gamma = \frac{s_{1}}{s_{0}}$; 
$\left|
\begin{array}{ccc}
S_{0} & S_{1}\\
S_{1} & S_{2}
\end{array}\right|^{-1}G(x) = x^{2} + g_{1}x + g_{2}$  mit $g_{1} = 
\frac{S_{0}S_{3} - S_{1}S_{2}}{S_{0}S_{2} - S_{1}^{2}}$
$g_{2} = 
\frac{S_{1}S_{3} - S_{2}^{2}}{S_{0}S_{2} - S_{1}^{2}}$\\
$G(\gamma)$; $G(u)$; 
$\left|
\begin{array}{ccc}
S_{0} & S_{1}\\
S_{1} & S_{2}
\end{array}\right|^{-2}[G^{2}] = S_{4} + g_{1}S_{3} + g_{2}S_{2}$. Hieraus 
$A = \frac{[G^{2}]}{G(\gamma)G(u) \cdot s_{0}^{2}}$ und schliesslich die Gl. f\"ur $v$ (11.4):\\
\\
(13.1) \qquad $0 = v^{2} + \{g_{1} + A(s_{1} - u\,s_{0})\} \cdot v + \{g_{2} - A\,(s_{2} - u\,s_{1})\}$\\
\\
NB: Bei beliebig an $k$ lautet die Galerkin-Gleichung\\
\\
$\textbf{Seite 14}$\\
\\
$\det \,
\left\{
\begin{array}{c}
\left(
\begin{array}{cccc}
S_{0} & S_{1} & S_{2} & S_{3}\\
S_{1} & S_{2} & S_{3} & S_{4}\\
S_{2} & S_{3} & S_{4} & S_{5}\\
S_{3} & S_{4} & S_{5} & S_{6}
\end{array}\right) \cdot X - 
\left(
\begin{array}{cccc}
S_{1} & S_{2} & S_{3} & S_{4}\\
S_{2} & S_{3} & S_{4} & S_{5}\\
S_{3} & S_{4} & S_{5} & S_{6}\\
S_{4} & S_{5} & S_{6} & S_{7}
\end{array}\right) 
\end{array}\right\} = 0$ \\
\\
Die \"ubrigens vielleicht neue \nl Tatsache , da\ss zwischen $\gamma_{1}$ und $\gamma_{2}$ stets ein EW liegt, l\"a\ss t sich auf
beliebiges $k$ verallgemeinern : \\
F\"ur $\mu \not= v$ ist stets ein EW $\mu_{i}$ zwischen  $\gamma_{mu}$ und $\gamma_{\nu}$ vorhanden.\\
Bew f\"ur $k = 3$: Setze wie in (11.3)\\
$\Delta\,(u,\,v) = 
\left|
\begin{array}{cccc}
$[$(x - u)\,(x - v)$]$ & $[$x\,(x - u)\,(x - v)$]$  & $[$x^{2}(x - u)\,(x - v)$]$\\
$[$x\,(x - u)\,(x - v)$]$ & $[$x^{2}(x - u)\,(x - v)$]$  & $[$x^{3}(x - u)\,(x - v)$]$\\
$[$x^{2}(x - u)\,(x - v)$]$ & $[$x^{3}(x - u)\,(x - v)$]$  & $[$x^{4}(x - u)\,(x - v)$]$
\end{array}\right|$ \\
F\"ur jedes $t$ ist\\
$\Delta\,(u,\,v) = 
\left|
\begin{array}{cccc}
$[$(x - u)\,(x - v)$]$ & $[$x\,(x - u)\,(x - v)$]$  & $[$x^{2}(x - u)\,(x - v)$]$\\
$[$(x - t)\,(x - u)\,(x - v)$]$ & $[$x \cdot (x - t)\,(x - u)\,(x - v)$]$  & $[$x^{2}(x - t)\,(x - u)\,(x - v)$]$\\
$[$x\,(x - t)\,(x - u)\,(x - v)$]$ & $[$x^{2}(x - t)\,(x - u)\,(x - v)$]$  & $[$x^{3}(x - t)\,(x - u)\,(x - v)$]$
\end{array}\right|$\\
F\"ur $u = \gamma$, $v = \gamma_{2}$, $t = \gamma_{3}$ verschwindet die vorletzte Zeile nach (11.5)\\
\\
Aus $\Delta\,(\gamma_{1},\,\gamma_{2}) = 0$ folgt aber die Existenz einer Spalte $\tau$ mit $\tau'\aleph' \cdot (M - \gamma_{2})\, (M - \gamma_{2}) \cdot \aleph\,\tau = 0$ und daher Existenz von $\mu_{i} \subset 
<\gamma_{1},\, \gamma_{2}>$.\\
\\
F\"ur Galerkin-Gl. bei $k$ beliebigen Ausgangsspalten gilt dieser Satz nicht. Sonst m\"usste die Matrix 
$\left(
\begin{tabular}{cccc}
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0
\end{tabular}\right)$, da  f\"ur Galerkin-Gl. des Grades 2 $\gamma_{1} = \gamma_{2} = 0$ ist, ebenfalls die Wurzel 0 haben.\\
\\
$\textbf{Seite 15}$\\
\\
(k) \underline{Aufgaben:} Hat die zweite Wn von $\Delta\,(u,\, v) = 0$ (11.4) etwa mit zweifachen
Einschliessungsintervallen zu tun, die zwei EWe enthalten ? ja (= k\"urzeste 2 fache Einschl. Int.)\\
Normale Matrizen behandeln durch Polynome in zwei Variablen: $x,\, \overline{x}$;  \\
$m_{\alpha\,\beta} = [\nl] = (M^{\alpha}\mathfrak{q})^{*} \cdot M^{\beta}\mathfrak{q}$ setzen. -Bedggen (10.1) vereinfachen analog (11.2.1) - Auch unter der Nebenbedingg. der Positiv-definitheit  alle optimalen Einschliessungsintervalle bestimmen ! Z.B. ist bei Fr.Gr. $<\frac{s_{1}}{s_{0}},\, + \infty >$ nicht mehr optimales, sondern
$<\frac{s_{2}}{s_{1}},\,  \infty >$. Ferner kann man unter der Voraussetzung, dass ein EW-freies Intervall bekannt ist, nach den opt. Einschl.-Int. fragen, oder allgemeiner: Man setzt alle EWe in einem vorgebenen Intervall als bekannt voraus, d.h. man kennt \underline{mehrere} EW-freie Intervalle. - Bei Ausarbeitung betonen, dass bei Dglen ''Iteration'' ein Operator mit den EWen $\lambda_{i}^{-1} = K_{i}$ ist. -Pr\"ufen, ob die Vereinigung der zu den Unendlichen in einer 2 Fr.-Gr.-Rechnungen geh\"origen notw. $\&$ hinr. Bedgg. (10.1) ausmacht; wenn ja, Hoffnung auf \"Ahnliches bei \underline{allgemeiner} Wahl der \nl zu iterierenden Vektor.\\
\\
$\textbf{Seite 16}$\\
\\
\underline{(h) Der Fall eines beliebigen $k$ = Schrittzahl} Hier ist $[p(x)]$ definiert f\"ur Polynome $p(x)$ des Grades $\leq 2\,k$: $[x^{\nu}] = s_{\nu}$. Sei nun $M_{0}$ reell. Es gibt mindestens ein reelles nomiertes Polynom $q_{0}(x)$ des Grades $\leq k$, f\"ur welches (16.1) $[x^{\rho}(x - n_{0})\,q_{0}(x)] = 0 \quad (\rho = 0,\, 1,\, \cdots,\, h - 1)$  gilt, da dies  $n$ Gl. f\"ur $(n + 1)$ Koeff. von $q(x)$ sind. F\"r \underline{jedes} solche $q_{0}(x)$ ist $q_{0}(n_{0}) \not= 0$, das sonst $[q_{0}^{2}(x)] = 0$ w\"are, d.h. $\mathfrak{q}_{0},\cdots,\, \mathfrak{q}\,h$ linear abh\"angig. Also 
gibt es auch nur \underline{ein} normiertes $q_{0}(x)$ dieser Art.\\
Nun hat die Gl. $\Delta\,(u_{0}, v) = 0$ (wenn $G_{(n_{0})} \not= 0)$ genau $n$ reelle L\"osungen
$v = u_{1},\, u_{2},\cdots,\, u_{n}$, Denn\\
$\Delta\,(u_{0}, v) = \det \, X'(M - n_{0})\, (M - v)\, X = \det (X'(M - n_{0})\,M\,X - v\,X'(M - n_{0})\, X)$
und die Linearverbindg $X'(M - n_{0})^{2}X$ dieser bei den reellen symm. Matrizen ist pos. definit. Die Determinanten des Gl.systems \\
(16.2) \quad $[x^{\rho} (x - n)\,\nl = 0$ \qquad $(\rho = 0, \cdots, \, k - 1)$ f\"ur die Koeff. von
$q_{i}(x)$ ist gerade $\Delta\,(u_{0},\, u_{i}) = 0$, also gibt es mindestens eine normierte L\"osung  $q_{1}(x)$, es mu\ss$\enspace$also  
$$q_{0}(x) = (x - u_{i}) \cdot q_{i}(x)$$
sein, dh. (16.3) $q_{0}(u_{i}) = 0$. Nun folgt, da\ss$\enspace$ alle $\nu_{i}$
einfach sind. W\"are $u_{1} = u_{2}$, so w\"are $Rg\,\,X'(M - n_{0})\,(M -
u_{1}) \, X \leq n - 2$ und es g\"abe zwei lin. un. L\"osungen  $Q_{1}$ von
(16.2). Also ist (16.4) $q_{0}(x) = (x - u_{1}) \cdot (x - u_{2}) \cdot \cdots
\cdot (x - \nl)$ mit reellen verschiedenen $n_{i}$.\\
(16.3) \qquad $[f(x)\,\,(x - n) \cdot \Delta\,(x,\,n)] \equiv 0$ f. alle $f(x)$\\
\nl\\
\\
$\textbf{Seite 17}$\\
\\
Da es nur ein Polynom $q_{1}(x)$ mit $[x^{\rho}(x - u_{1})\,q_{1}(x)] = 0$ geben
kann und $(x - u_{0})\, (x - u_{2}) \cdots (x - n\,k)$ schon eins ist, folgt $(x
- u_{0})\,q_{0}(x) = (x - n_{1})\,q_{1}(x) = \cdots = (x - n_{k})\,q_{n}(x)$.\\
Dh. (17.1) $\Delta \nl = 0 \qquad (i \not= k = 0,\cdots,\,k)$.\\
Von den $k + 1$ Zahlen $n_{0}, \cdots , n_{k}$ sind also, wenn ein $n$:
herausgegriffen wird, die \"ubrigen die Wurzeln von $\Delta\,(n_{i},\, v)$; sie
heissen eine ''Familie''.\\
(17.2) Hauptsatz: Je zwei aufeinander folgende Zahlen einer Familie begrenzen
ein optimales Einschliessungsintervall (wobei f\"ur $n_{min}$ und $n_{max}$)
das $\infty$ enthaltende ''Intervall'': $\mu \leq n_{\min}$ oder $\geq n_{\min}$
gemeint ist).\\
Bew.: $\alpha$) Aus $\Delta\,(n_{i},\,n_{k}) = 0$ folgt $\tau'X'(M - n_{i})\,(M
- n_{k})\,X\,\tau = 0$ dh. mit $x\,v = \mathfrak{q}$: $\mathfrak{q}'(M -
n_{i})\,(M - n_{k})\,\mathfrak{q} = 0$, also innerhalb und ausserhalb $<n_{i},\,
n_{k}>$ oder auf dem Rand mindestens ein $\mu_{\rho}$.\\
$\beta)$ Diese Intervalle k\"onnen nicht mehr verkleinert werden, weil falls
etwa $n_{0} < n_{1} < \cdots  < n_{k}$ numeriert wird, die $2n + 1$ Eigenwerte
$u_{0}$; $u_{1}$; $n_{1}$;$n_{2}$; $u_{2}$; $\cdots$; $n_{h}$, $n_{h}$
realisierbar sind nach (10.1), (16.1) $\&$ (16.4); in (10.1) ist immer der $=$
Zeichene erf\"ullt au\ss er inder ersten Gl., dort $>$ wegen $[q_{0}(x)^{2}] >
0$.\\
(NB: Aus Hauptsatz (17.2) folgt, da\ss$\enspace$sich je zwei Familien trennen:
$n_{0} < v_{0} < v_{1} < u_{1} < u_{2} < v_{2}$ ?\\
\\
$\textbf{Seite 18}$\\
\\
Man erh\"alt nach (17.2) die beiden optimalen Einschl.-Int. mit gegebenem Ende
$u$ durch $<v_{1},\, u>$ und $<n,\, v_{2}>$, wobei $v_{1,2}$ die zun\"achst
ober- und unterhalb von $n$ gelegenen Wurzeln von $\Delta\,(n,\, v) = 0$ sind.
Dund ist $<n,\, v>$ Einschl.-Int., wenn es $v^{*}$ gibt mit $n < v^{*} \leq v$
und $\Delta\,(n,\, v^{*}) = 0$.\\
Vgl auch VII, S.27 f\"ur k\"urzeste Einschl.-Intervalle bei Schrittzahl 2\\
\\
(m) \underline{Gebrochene lin. Transf. von $M$}\\
Aus $M\,X = Y$ folgt f\"ur $\overline{M} = \frac{a\,M + b}{c\,M + d}$:
$\tilde{M}\,\tilde{X} = \tilde{Y}$ mit $(\tilde{X}\,\tilde{Y}) = (X\,Y)
\underbrace{\left(
\begin{tabular}{cc}
d & c\\
b & a
\end{tabular}\right)}_{\textnormal{genau( )} x\nl}$\\
Es wird f\"ur $S = (X\,Y)^{*}(X\,Y)$\qquad : \qquad $\tilde{S} = 
\left(
\begin{tabular}{cc}
d & c\\
b & a
\end{tabular}\right)^{*}\,\,S
\left(
\begin{tabular}{cc}
d & c\\
b & a
\end{tabular}\right)$\\
und daher\\
$\tilde{\Delta}\,(n,\,v) = (a - n\,c)^{n}(a - c\,c)^{n} \cdot \Delta\,(\frac{b -
d\,n}{a - c\,n},\, \frac{b - d\,v}{a - c\,v})$\\
Damit l\"a\ss t sich f\"ur $k = 1$ leicht eine Gruppe gebrochener linearer
Transf finden, die jede realisierbare EW-Verteilung  wie der in eine solche
\"uberf\"uhren; f\"ur $k > 1$ scheint es das, nach Parameterz\"ahlung, nicht zu
geben. \\
\\
(n) Fortsetzg von (l):  Fall beliebigen $k_{1}'$. Sind $n_{0}, \cdots,\,n_{k}$
eine Familie und $\alpha_{1},\cdots,\, \alpha_{k}$ beliebig, so sind sie
zusammen realisierbar, Bew: F\"ur Polynome $a(x)$ des Grades $\leq k$\\
\\
$\textbf{Seite 19}$\\
\\
und das ''Familienpolynom'' $F(x) = \Pi_{0}^{k}(x - n_{\nu})$ gilt (19.1) \qquad
$[a(x) \cdot \frac{F(x)}{x - n_{i}}] = a(u_{i}) \cdot F'(u_{i}) \cdot p_{i}$ mit
$p_{i} = \frac{[(\frac{F(x)}{x - n_{i}})^{2}}{F'(n_{i})^{2}} > 0$ und bei der
Ordnung
$$n_{k} < n_{k - 1} < \cdots < n_{0}$$
gilt  \nl $F'(n_{i}) = (-1)^{i}$; setze $a(x) = \Pi^{p}_{1}(x - \alpha_{\rho})$
und \nl.\\
Damit werden sich alle optimalen mehrfachen Einschliessungsintervalle bestimmen
lassen. NB: Die opt. $S$-fachen Einschl.\underline{intervalle} sind begrenzt von
2 Mitgl. einer Familie $\mu_{1}$, $\mu_{s + 1}$. Frage: Mehrfache E.-\nl =
\nl Intervallen ?!\\
Falsch ist die folgende naheliegende Vermutung : Eine \nl $\mathfrak{z}$ ist
Einschliessungsmenge, dh. enth\"alt von jeder realisierbaren EW-Verteilung 
mindestens einen EW, wenn sie zu jedem $n$ eine $z \subset \mathfrak{z}$
enth\"alt mit $\Delta\,(n,\, z) = 0$. Gegenbeispiel $k = 1$: \nl\\
\\
Sehr sch\"one Vermutung (aber falsch f\"ur $\,\,\underline{\underline{>}}\,\,$ 2
Schritte).\\
Dund sind $\mu_{1} < \mu_{2} \cdots < \mu_{n}$ realisierbar, wenn \nl
$\,\,\underline{\underline{>}}\,\,0$ f\"ur $\mu_{i} \leq m,\,v \leq \mu_{i\,n}$
und $\Delta\,(n,\,v) \leq 0$ f\"ur $n,\, v \leq \mu_{1}$ oder $\geq \mu_{n}$.
(Auch f\"ur $n < 2\,k + 1$ ?) \nl f\"ur $k = 1$. Die Bedgg verlangt, dass sie
Matrix von $\Delta\,\nl$ \nl ist. Der Hauptsatz (17.2) kann so ausgesprochen
werden: Dund ist $<n,\, v>$ Einschliessungsintervall, wenn Signatur $X^{*}(M -
n)\,(M - v)\,X < n$ dh. wenn es $p(x)$ gibt mit $[(x - n)\,(x - v)\,p^{2}(x)]
\,\,\underline{\underline{<}}\,\,0$.\\
\\
$\textbf{Seite 20}$\\
\\
Beweis-Ansatz: Produkte wie in (10.1) als \nl ungeformter Determinanten
$\Delta\,(\mu_{i},\, \mu_{k})$ wie in S.14 Mitte auffassen und die Definitheit
benutzen. So ausgehend von gewiss realisierbarer EW-Verteilung durch stetige
Deformation zu der vorgegebener gelangen.\\
F\"ur $n < 2k + 1$ kommt noch die Bedgg. hinzu:\\
F\"ur $P(x) = \Pi_{1}^{n} (x - \mu_{i})$ ist $[P(x)\,f(x)] = 0$ f. alle $f(x)$
mit Grad $\leq 2\,k - n$. \\
\\
$\left\{
\begin{array}{cc}
n < 2\,k + 1\\
\textnormal{Mehrfache EWe: Analog (10.1) gilt: Ges. seien }\mu_{1}, \cdots, \,
\mu_{n} \textnormal{ mit } n \leq 2\,k + 1
\end{array}\right.$\\
Sei $P(x)$ das kleinste Polynom, f\"ur welche alle $P(\mu_{i}) = 0$. Dund sind
$\mu_{1},\cdots,\,\mu_{n}$ realisierbar, wenn\\
(20.1)\qquad alle $[\frac{P(x)}{x - \mu_{i}}] \cdot
P'(\mu_{i})\,\,\underline{\underline{>}}\,\,0$ dh. alle Residuen \nl
$\frac{P^{*}(t)}{P(t)}$ sind  $\,\,\underline{\underline{>}}\,\,0$ und au\ss
erdem $[P(x) \cdot f(x)] = 0$ f. alle $f(x)$ mit Grad $f \leq 2\,k - n$. \\
Bew: (7.2). NB: Also ist jede Familie realisierbar ! Frage: Wann $k + 2$ EWe
realisierbar ? \\
\\
\underline{Spezielle Formeln:} (20.2) $G(x) = 
\left|
\begin{array}{ccc}
S_{0} & S_{1} & S_{2}\\
S_{1} & S_{2} & S_{3}\\
1 & x & x^{2}
\end{array}\right| = |x\,s_{p + q - 2}\quad s_{p + q - 1}|$ \qquad Bew: (11.5)
vgl Bauer oder \nl, Satz von \nl \"uber\\
(20.3) \qquad $(v - n) \cdot \Delta\,(u,\,v) = 
\left|
\begin{array}{cccc}
S_{0} & S_{1} & S_{2} & S_{3}\\
S_{1} & S_{2} & S_{3} & S_{4}\\
1 & u & u^{2} & u^{3}\\
1 & v & v^{2} & v^{3}
\end{array}\right|$ Abz\"ahlung reeller Wurzeln Bew: (16.3)\\
s. Muir S.169 172\\
(20.4) \qquad $\Delta\,(u,\, v) = - 
\left|
\begin{array}{cccc}
S_{0} & S_{1} & S_{2} & 1 \\
S_{1} & S_{2} & S_{3} & u \\
S_{2} & S_{3} & S_{4} & u^{2}\\
1 & v & v^{2} & 0
\end{array}\right|$ $\leftarrow$ Dies l\"a\ss t sich vielleicht auf alle selbst
Aufg. $Y = A\,X$ erweitern ? \quad Bew.: (\nl\\
(20.6)\qquad $\Phi\,(u,\, v,\, w) = (u - v) \cdot \Delta\,(u,\, v) \cdot G(w) +
zykl. \equiv 0$ \qquad Bew.: $[\Phi\,f(v)]_{v} = 0$ wenn $Gr\, f \leq k - 1$.
Nun enth\"alt aber $\Phi$ selbst kein Glied, das durch $u^{k}v^{k}w^{k}$ \nl
ist,\\
\\
$\textbf{Seite 21}$\\
\\
(21.1) \qquad $G(t) = [ ( t - x_{1})\,(t - x_{2}) \,x_{1}\,(x_{1} - x_{2})] =
\frac{1}{k!}[\Pi_{1}^{k}(t - x_{\nu}) \cdot D^{2}\,(x_{1} \cdots x_{k})]_{k}$\\
$D =$ Differenzprodukt\\
(21.2) $\Delta\,(u,\, v) = [\Pi_{1}^{k}\,(u - x_{v})(v - x_{v}) \cdot D^{2}
(x_{1}, \cdots,\, x_{k})]_{k} \cdot \frac{1}{k!}$\\
NB: Die symbolische  Darst. einer Form in $S_{0} - S_{n}$ durch
\underline{symmetrische} Fkt. ist eindeutig !\\
(21.3) \qquad $[f(x) \cdot \Delta\,(u,\, x)]_{x} = f(u) \cdot [\Delta\,(u,\,
x)]_{x} \qquad (Gr\,f\,\,\underline{\underline{<}}\,\,k)$\\
\\
(21.4)\qquad $\Delta\,(n,\, x) = G(u) \cdot x^{k} +  \cdots$\\
\\
(21.5)\qquad $[\Delta\,(u,\, x)] = [x^{k}G(x)] =  [
 \left|
\begin{array}{cccc}
1 & x_{1} & x^{2}_{1}\\
x_{2} & x_{2}^{2} & x_{2}^{3}\\
x_{3}^{2} & x_{3}^{3} & x_{3}^{4}
\end{array}\right|]_{3} = \frac{1}{3!}\,[D^{2}(x_{1}x_{2}x_{3})]_{3}$\\
\\
(21.6) \qquad $M(u,\,v) = X^{*}(M - u)\,(M - v)\,X = [\mathfrak{q}\,(x - u)\,(x
- v)\,\mathfrak{q}']$ mit $\mathfrak{q} = 
\left(
\begin{array}{cccc}
1\\
x\\
x^{2}\\
\vdots
\end{array}\right)$\\
$\left(
\begin{array}{cccc}
S_{0} & S_{1} & S_{2}\\
S_{1} & S_{2} & S_{3}\\
& \cdots &
\end{array}\right) = [\mathfrak{q}\,\mathfrak{q}']$\\
Deutung von $[\Pi_{1}^{2k} (x - c_{2})]$:\\
\underline{(21.7)} mit $\mathfrak{u} = 
\left(
\begin{array}{cccc}
a_{0}\\
a_{1}\\
\vdots
\end{array}\right)$ ist $\mathfrak{u}'\,M\,(n,\,v)\,b = [a(x) \cdot ( x- n)\,(x
- v) \, b(x)]$ mit $a(x) = a_{1}x \cdots + a_{k - 1}x^{k - 1}, \cdots$\\
\\
(21.8) \qquad $f^{*}(t) = [\frac{f(x) - f(t)}{x - t}]_{x}$ \qquad (vgl. S.10
oben) s. auch 74\\
\\
(21.9)\qquad $(u - v)\,(t - w)\,\Delta\,(u,\,v)\,\Delta\,(t,\,w) + \cdot + \cdot
\,\,(u,\, v,\, w$ zyklisch)$ = 0$\\
Bew. wie (20.6) oder wohl \\
\\
$\textbf{Seite 22}$\\
\\
Definiert man f\"ur rationale (mindestens bei $\infty$ rationale) Funktionen,
die in $\infty$  einen \nl h\"ochstens der Ordnung $2k$ haben,\\
(22.1) \qquad $[f(x)] = [$ Hauptteil bei $\infty$ von $f(x)]$,\\
dh. z.B. \qquad $[\frac{1}{x}] = [\frac{1}{x - a}] = [\frac{1}{p(x)}] = 0$
\qquad (Gr $p \geq 1$) so gilt einfach  (vgl. 21.8)\\
(22.2) \qquad $f^{*}(t) = [\frac{f(x)}{x - t}] = f'(t) + [x - t] \cdot
\frac{f''(t)}{2 !} + [(x - t)^{2}] \cdot \frac{f'''(t)}{1!} + \cdots$\\
\\
(22.3) \qquad (Verallg. von 21.7) \quad $[a(x) \cdot (\alpha\,x^{2} + \beta\,x +
\gamma)\, b(x)] = \mathfrak{u}' \,(\alpha\,Y'Y + \beta Y'X + \gamma)\,b$ f\"ur
Gr $a,\,b \subseteq k - 1$.\\
(22.4) \qquad Die \underline{Eigenwerte} von $N = \alpha\,Y'Y + \beta\,Y'X +
\gamma\,X\,X$ sind diejenigen $k$ Zahlen (reellen) $\rho_{1}, \cdots,\,
\rho_{k}$, zu denen es Polynome $p_{K}(x)$ des Grades $\leq k - 1$ gibt mit
\\
$[f(x)\,\,(alpha\,x^{2} + \beta\,x + \gamma - \rho_{K})\,p_{K}(x)] \equiv 0$ f.
alle $f$ mit Gr  $\leq k - 1$\\
\underline{Vorsicht:} Daher ist vorausgesetzt: $X'X = E$: dh. allgemeiner: die
$\rho$ sind die L\"osungen von $\det \,(N - \rho\,X'X) = 0$\\
\\
(22.5) Ein Polynom $F(x)$ des Grades $k + 1$, das alle $f(x)$ des Grades $\leq k
- 1$ zu Null macht: $[F(x)\,f(x)] = 0$ hat nur reelle und von \nl verschiedene
Wurzeln $\&$ je zwei sind \nl. Denn sonst w\"are $F(x) = (x^{2} + ax + b) \cdot
F_{1}(x)$, Gr$\,F_{1} = k - 1$, mit definitem $x^{2} + ax + b$. Dann ist aber
$x^{2} + ax + b$. Dann ist aber $x^{2} + ax + b = (x - \alpha^{2}) + $ \nl\\
\\
$\textbf{Seite 23}$\\
\\
(v)\qquad Beliebige $k$ Ausgangsvektoren $(\mathfrak{q}_{1}, \cdots, \, \mathfrak{q}_{k}) = X$. Setze $\Delta(n,\,v) = \det  \,M\,(n,\,v)$, $M\,(u,\,v) = X'(M - u)\,(M - v)\,X$.\\
Auch hier gilt: Liegen in Intervall $u \leq x \leq v$ \quad $r$ Nullstellen von $\Delta\,(u,\,x)$, so liegen
mindestens $r$ EWe von $M$ in demselben Intervall.\qquad Fortsetzg. S. 56\\
Bew: Die Signatur der quadrat. Form mit der Matrix $M\,(u,\, x)$ f\"allt monoton, wenn $x$ von $U$ bis $v$ l\"auft; denn aus
$\mathfrak{u}'M\,(u,\, x)\,u \leq 0$ folgt $\mathfrak{u}'x'(M - \nl$ und daher f\"ur $y > x$\qquad $\mathfrak{u}'M(n,\,y)\,\mathfrak{u} = \mathfrak{u}'M\,(u,\,x)\,\mathfrak{u} - (y - x) \cdot \mathfrak{u}'X'(u - n)\,X\,\mathfrak{u}$\\
1) wegen $M\,(\breve{u}\,x) = M\,(\breve{u}\,\nl) - (x - \breve{u}) \cdot x'(M -
\breve{u})\,x \leq 0$. K\"urzerer Schlu\ss :
$\mathfrak{u}'M(\breve{u}\,x)\,\mathfrak{u}$ h\"angt linear von $x$ ab und ist
$> 0$ f\"ur $x = \breve{u}$.\\
Also hat $M\,(n,\,v)$ mindestens $r$ negative EWe und daher $(M - n)\,(M - v)$
erst recht ? Die Dimension \nl ein Raum $A$ mit $\mathfrak{u}'M\,(n\,
x)\,\mathfrak{u}$ kann \nl steigen bei $x \nearrow$, $x > 0$.\\
Es gilt aber nicht mehr der Satz von S.16, da\ss aus $\Delta\,(n,\, v)$:
$\Delta\, (n, \, w) = 0$, $v \not= w$ folgt: $\Delta\,(v,\, w) = 0$.\\
Gegenbeispiel \nl: $n = 4$, $X = 
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 1\\
0 & 0\\
0 & 0
\end{array}\right)$, 
$Y = 
\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1\\
1 & 0\\
1 & 0\\
0 & 1
\end{array}\right)$\\
Hier $M\,(n,\, v) = (u\,v + 2) \cdot 
\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1\\
1 & 0
\end{array}\right) - (n + v)\,
\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1\\
1 & 0
\end{array}\right)$ also sind die beiden Wurzeln von $\Delta\,(n,\, v) = 0$\\
$$v_{1} = \frac{-u - 2}{n + 1}\qquad,\qquad v_{2} = \frac{n - 2}{n - 1}$$
Diese beiden Substitutionen erzeugen aber eine unendl. Gruppe,  da
$\left(
\begin{array}{cc}
1 & -2\\
1 & -1
\end{array}\right) \cdot 
\left(
\begin{array}{cc}
-1 & -2\\
1 & 1
\end{array}\right) = -
\left(
\begin{array}{cc}
3 & 4\\
2 & 3
\end{array}\right)$ mit \underline{posit.} Koeff.\\
2) Die Anzahl der negativen EWe von $M\,(\breve{u},\,v)$ ist gleich der Anzahl
der Nullstellen von $\Delta\,(\breve{u},\, x)$ (und $\Delta\,(x,\, v))$ im
Intervall $\breve{u} \leq x \leq v$ \nl $\Delta = \det \,(E - X\,\nl)$ \nl\\
\\
$\textbf{Seite 24}$\\
\\
Dieses Zerfallen von $\Delta\,(n,\, v)$ in zwei Bilinearfaktoren ist Zufall. Es
braucht nicht einmal bei Ein-Freiheitsgrad mit $k = \nl$ einzutreten; z.B. b) $M
= \left(
\begin{tabular}{cc|c|c}
0 & 1 & & \\
1 & 0 & & \\
\hline\\
0 & 1 & & 
\end{tabular}\right)$ gibt 
$$\Delta\,(n,\, v) = u^{2}v^{2} + 3\,u\,v + 2 - (n + v)^{2}$$
Da $\Delta\,(t,\,t) = 0$ die Wurzeln  $\pm \rho$, $\pm \overline{\rho}$ mit
$\rho^{2} = \frac{1}{2} + \frac{v'}{2}\sqrt{7}$ hat, kommen nur folgende
Bilinearfaktoren in Betracht: \\
\begin{enumerate}
\item $(t + \rho)\,(t - \rho)\rightarrow n\,v - \rho^{2}$
\item $(t + \rho)\,(t + \overline{\rho})\rightarrow n\,v + ^{Rn}\rho \cdot (n +
v) + |\rho|^{2} = n\, v + \frac{1}{2}\,(n + v) + 2 $
\item $(t + \rho)\,(t - \overline{\rho})\rightarrow n\,v + i \cdot Im\,\rho
\cdot (n + v) - |\rho|^{2} = n\, v - \frac{i}{2}\,\sqrt{7}\,(n + v) - 2$\\
Widerbeggen: 1) $n\, v = \rho^{2}$, $n + v = 0$ \qquad 2) $n = 0$, $v = 4$
\qquad 3) $n + v = 0 \qquad n \cdot v = 2$\\
hier ist $v$ keine sehr lin Fkt. von $n$ \nl

\end{enumerate}
Zu Beispiel a): In der Kette $u,\, v_{1}, \, v_{2}\, v_{1},\, v_{1}\,v_{2}\, v_{1}, \cdots$ ist jeder Glied $z$ von den Wurzeln von $\Delta\,(x,\,z) = 0$ eingerahmt.  F\"ur 
$\breve{u} = \pm \sqrt{2} $ wird  $v_{1} = v_{2} = -\breve{u}$ !\\
Beispiel einer Kette: $\qquad 0 \qquad -2 \qquad \frac{4}{3} \qquad -\frac{10}{7} \qquad \frac{24}{17} 
\qquad -\frac{58}{41} \qquad \frac{140}{99} \rightarrow \pm \sqrt{2}$\\
(p) 1-Fr.-Gr.-\nl, $k = 2$, $n = 4,\, 5$\\
$n = 4$:\qquad Dann sind $\mu_{1} \leq \enspace \leq \mu_{4}$ realisierbar, wenn $[\Pi\,(x - \mu_{i})] = 0$ und wenn au\ss erdem  $(\mu_{1},\,\mu_{2})$ und 
$(\mu_{3},\,\mu_{4})$ Definitheitsintervalle von $\Delta\,(u,\,v)$ sind.
$n = 5$:\qquad $\mu_{1},\cdots,\mu_{5}$ alle f\"unf $\mu_{i},\, \mu_{i + 1})$ Definitheitsintervalle  und sind sie trotzdem nicht realisierbar, so ist genau eine Bedgg. von $(10.1)$ verletzt, und die darin auftretenden vier $\mu_{i}$ bilden schon f\"ur sich eine definite Punktgruppe. Daher ist bei $n = 5$, $n = 2$\\
\\ 
$\textbf{Seite 25}$\\
\\
die folgende Bedgg. not $\&$ hinr. f\"ur Realisierbarkeit: $\mu_{1},\cdots,\mu_{5}$ bilden eine definite Pktgruppe (dh. zwischen zwei \nl 
(25.1) \qquad benachbarten ist $\Delta\,(n,\, v) > 0)$ und er ist $R\,(P,\,P^{*})\,\,\underline{\underline{>}}\,\,0$ mit $R\,(P,\,P^{*}) = \Pi_{1}^{5}\,P^{*}(\mu_{i})$; $P(x) = \Pi_{1}^{5}\,(x - \mu_{i})$.\\
Ein Pkt einer \underline{definiten} Gruppe von 5 Pkten \nl entbehrlich wenn auch noch seiner Streichung noch eine definite Pktgruppe \"ubrig bleibt. Es gilt: Dund  ist $\mu$ entbehrlich, wenn f\"ur seine beiden \\
(25.2) \qquad Nachbarn $\Delta\,(\lambda,\,\nu)\,\,\underline{\underline{>}}\,\,0$.\\
\underline{Aufgabe:} F\"ur die zun\"achst bei $n$ gelegene Wurzel von $\Delta\,(n,\,x) = 0$ eine Entwicklung finden. Kettenbruch ? 
Iterationsverfahren ? \\
\underline{(q) Entfernung zweier Familien.} \hfill Fortsetzg \nl Fall $s = 2$ in VII 74\\
Setzt man \\
(25.3) \qquad $\delta\,(n,\, v) = \frac{(n - v)\,\Delta\,(n,\,v)}{G(u) \cdot G(v)}\qquad,\qquad \delta(n,\,v) + \delta(u,\,n) = 0$ \\
so ist nach (20.6) $\&$ (21.9)\\
(25.4) \qquad $\delta(u,\,v) + \delta(u,\,w) + \delta(w,\,u) = 0$\\
(25.5) \qquad $\delta(u,\,v) \cdot \delta \nl + $zykl.$(u\,v\,w) = 0$\\
Nach (24.2) kann $\delta (n,\,v)$ als ''Abstand'' 
von $n$ und $u$ angesehen werden: Es ist additiv. $\delta (n,\, v) = 0$ dund, wenn $u,\,v$ derselben Familie angeh\"oren, also nach (25.4) \qquad $\delta(n,\, v) = \delta(n,\, w)$, wenn $v$ mit $w$ derselben Familie angeh\"oren.
$G(u) \cdot G(v) = 0$ ist gleichbedeutend mit\\
(25.4) \qquad $\delta(n,\, v) = \infty$\\
\\ 
$\textbf{Seite 26}$\\
\\
wegen (26.1) $\mathfrak{q}_{1} \cdot \Delta\,(u,\,v) = 
\left|
\begin{array}{cccc}
\left|
\begin{array}{cccc}
S_{0} & S_{1} & S_{2}\\
S_{1} & S_{2} & S_{3}\\
S_{2} & S_{3} & S_{4}
\end{array}\right| & G(u)\\
G(v) & \left|
\begin{array}{cccc}
S_{0} & S_{1} & 1\\
S_{1} & S_{2} & u\\
1 & v & 0
\end{array}\right| 
\end{array}\right| = G(u) \cdot G(v) + \mathfrak{q}_{2} \cdot \Delta_{1}(n,\, v)$ mit 
$\mathfrak{q}_{1} = 
\left|
\begin{array}{cccc}
S_{0} & S_{1}\\
S_{1} & S_{2}
\end{array}\right| > 0$, $\mathfrak{q}_{2} = 
\left|
\begin{array}{cccc}
S_{0} & S_{1} & S_{2}\\
S_{1} & S_{2} & S_{3}\\
S_{2} & S_{3} & S_{4}
\end{array}\right| > 0$ gilt: \\
(26.2) $\delta(u,\,v) = \frac{u - v}{\mathfrak{q}_{1} - \mathfrak{q}_{2} \cdot \frac{\Delta_{1}(u,\,v)}{\Delta(u,\,v)}}$\\
Aus (21.9) folgt: Ist $(u \cdot v) \cdot \Delta\,(n,\,v) = 0$, so ist f. \nl $t,\, w,$\\
(26.3) \qquad $\frac{u - t}{u - w} \cdot \frac{\Delta(u,\, t)}{\Delta(u,\, w)} = \frac{v - t}{v - w} \cdot 
\frac{\Delta(v\,t)}{\Delta(v\,w)} = \mathfrak{q}_{tw}(u) = \mathfrak{q}_{tw}(v)$\\
eine Familieninvariante von $u$, Die f\"ur verschiedene Wahl von $t,\, w$ entstehenden, Invarianten h\"angen durch gebr. lin. Transf. zus.:\\
(26.4) $\mathfrak{q}_{tw} (\breve{u}) = \frac{\delta(\breve{u}) - \delta(t)}{\delta(\breve{u}) - \delta(w)} \cdot \frac{G(t)}{G(w)}$ mit $\delta(\breve{u}) = \delta(\breve{u},\, n)$; $n$ fest \nl\\
Es ist bei  $\Delta(u,\, v) = 0$ ferner\\
(26.5) Kann man hiermit oder mit $\mathfrak{q}_{tw}$ nat\"urliche (Familien-) Koordinaten einf\"uhren, durch die sich die not. $\&$ hinr. Bedggen f\"ur Realisierung \"ubersichtlicher formulieren lassen ? \\
Gibt es \"ahnliche Formel wie (26.1) mit $\Delta(u,\,t)$ statt $G(u)$ ?\\
F\"ur die Familie $u_{0},\cdots,\,u_{k}$ die aus den Nullstellen eines ''Familienpolynoms'' $F(x)$ besteht (gekennzeichnet durch (26.5,5) \quad $[x^{\rho}F(x)] = 0)$, ist die Invariante (26.3)\\
(26.6) \qquad $\mathfrak{q}_{tw}(u_{0}) = \frac{F(t)}{F(w)}$\\
NB: Wohl die \nl ist die Spur $\Sigma \,\mu_{i}$\\
\\ 
$\textbf{Seite 27}$\\
\\
(27.1) Das Familienpolynom zu gegebener Invariante $\mathfrak{q}_{tw}$ ist const. $((u - t)\,\Delta\,(u\,t) - \mathfrak{q}_{tw} \cdot (u - w)\,\Delta\,(u\,w))$\\
Die s\"amtlichen Familienpolynome erh\"alt man nach Wahl von $\alpha\,\beta \, \gamma$ durch 
$$ F(x) = 
\left|
\begin{array}{cccc}
S_{0} & S_{1} & S_{2} & S_{3}\\
S_{1} & S_{2} & S_{3} & S_{4}\\
\alpha & \beta & \gamma & p \\
1 & x & x^{2} & x^{3}
\end{array}\right| \qquad -\infty < p \leq + \infty$$
insbes. 
$\left|
\begin{array}{cccc}
S_{0} & S_{1} & S_{2} & S_{3}\\
S_{1} & S_{2} & S_{3} & S_{4}\\
S_{2} & S_{3} & S_{4} & p\\
1 & x & x^{2} & x^{3}
\end{array}\right|$\\
(27.2) Schneidet man im projektiven Raum $R_{3}$ die Raumkurve mit der Parameterdarstellung $\{1$ $n$ $n^{2}$ $n^{3}\}$ mit einer Ebene durch die festen Punkte $\{s_{0}$ $s_{1}$ $s_{2}$ $s_{3}\}$,  
$\{s_{1}$ $s_{2}$ $s_{3}$ $s_{4}\}$, so bilden die Parameterwerte der drei Schnittpunkte  gerade eine Familie.\\
(27.3) Die Familienpolynome bilden lineare Schar vom Rang 2 (nach 26.5,5). Nach Wahl von Basis $F_{a}(x),\, F_{b}(x)$ ist das Beiwertverh\"altnis eine Familieninvariante:
$F_{n}(x) = \alpha\, F_{a}(x)  + \beta\,F_{b}(x)$; $0 = \alpha\,F_{a}(n) + \beta\,F_{b}(n)$.\\
(27.4) Jedes Polynom $\nl$ des Grades \nl $k + 1$  ($l \leq k)$, f\"ur welches  $\nl,\, P(x)] = 0$ f\"ur $\rho = 0,\,1,\cdots,\, k - l - 1$, l\"a\ss t sich eindeutig schreiben (mit Gr $A$, $B \leq l)$\\
$P(x) = A(x) \cdot  \frac{(x - u)\,\Delta\,(u\,x)}{G(u)} + B(x) \cdot G(x)$ $^{1)}$ mit fester Zahl $n \not= \gamma_{i}$\\
Daraus und mit (28.3') folgt mit $c_{2} = 
\left|
\begin{array}{cccc}
S_{0} & S_{1} & S_{2}\\
S_{1} & S_{2} & S_{3}\\
S_{2} & S_{3} & S_{4}
\end{array}\right|$:\\
(27.5) $P^{*}(t) \cdot G(t)  = A(t) \cdot C_{2} + P(t) \cdot G^{*}(t)$ $\leftarrow$ s. auch 74.1.2 ! Daher:\\
Hat $P$ mit $A\,G$ und $P'$ keine Wurzel gemein, so ist notw. \nl hinr. f\"ur die Realisierbarkeit  von $P$: $A$ hat $l$ reelle Wu, und \qquad Frage: Gilt 27.6 auch f\"ur Gr$\,P > 2n + 1$ ?! \\
(27.6) Vgl. S. 71 $B(\alpha) \cdot A'(\alpha) < 0$ f\"ur $A(\alpha) = 0$. dh \nl\\
\\ 
$\textbf{Seite 28}$\\
\\
(28.1) \qquad Oder: Die Wurzeln von $G\,A$ sollen die \nl trennen.\\
(28.2) \qquad Mit $E(x\,y) = (x - y)\,\Delta(x\,y)$ \qquad sagt 20.6:\\
(28.3) \qquad $E\,(x\,y)\, G(z) + E\,(y\,z)\,G(x)  + E(z\,x) \,G(y) = 0$\\
(28.3')\qquad daher $E\,(x,\,u) = \frac{G(n)}{G(t)} \,E\,(t\,n) + \frac{G(u)}{G(t)}\,E\,(x\,t)$. 
(28.4) \qquad Alle normierten realisierbaren $P(x)$ erh\"alt man, indem man ein beliebiger Polynom des Grade z.B. mit nur reellen Nullstellen
in der Form $A\,B$ zerlegt, wobei die Nullstellen  umschichtig  zu $A$ $\&$ $B$ geschlagen werden und $A$ normiert wird. Ob die gr\"osste  Nullst. zu $A$ oder $B$ kommt, bestimmt sich aus $A\,B\,(\infty)$. $n = k + 2$: Realisierbar sind genau die \\
(28.5) \qquad $P(x)  = (x - a) \cdot \frac{(x - u)\,\Delta\,(u\,x) + b\,G(x)}{G(u)} + p(x - a  - 1)\,G(x)\,\,
\left\{
\begin{array}{cccc}
p\,\,\underline{>}\,\, 0\\
a,\, b \textnormal{ beliebig}\\
u \textnormal{ fest, }G(u) \not= 0
\end{array}\right. = (x - a)$. normiertes Familienpolynom $ + p\,(x - a - 1) \cdot  G(x)$\\
\nl\\
Aufgabe: Gr\"obners Verf. der kleinsten Quadrate entlarven; \nl\\
NB: All diese Schl\"usse beruhen darauf, dass $[f^{2}(x)] > 0$; lassen sie sich auf geordnete K\"orper \"ubertragen ?\\
Aufgaben: Die untere Schranke f\"ur $\kappa_{1}$ bei gegebener unterer Schranke $l_{2} < K_{2}$ oder 
$l_{3} < K_{3}$ als $\gamma_{1} - h$ schreiben, Gl. f\"ur $h$ aufstellen und iterativ l\"osen \nl stellen von $A$ \nl $B$ haben Im$\,\lambda > 0$; dh. $P = \Re n\,\,W(x) \,
\{\frac{(x - n)\,\Delta\,(n\,x)}{G(n)} - G(x)\}$ \nl\\
\\ 
$\textbf{Seite 29}$\\
\\
Aufgabe: Die Randwertaufgabe des schwingenden Balkens mit endl. Laplace-Transformation behandeln,
allgemeiner Ansatz $L(F) = \il{a}{b} K(s\,t) \,F(t)\,dt$. Anwendung auf Fl\"ugel mit konstanten Baugr\"ossen $+$ Einzelmasse.\\
\underline{Vermutung:} Ist $y^{n}(t) + a_{1}(t)\,y^{(n - 1)}(t) + \cdots + a_{n}(t)\,y(t) = 0$ und sind f\"ur alle $t$ alle $n$ charakt. Wurzeln links von der reellen Zahl \nl gelegen, als \nl $\Re n\,\rho_{\nu}(t)  < \alpha - \xi$, so \nl
$$y(t) \cdot e^{-\alpha\,t} \rightarrow 0 \qquad t \rightarrow \infty$$
Dh. ein System mit ver\"anderlichen Baugr\"ossen w\"are stabil, wenn es zu jeder Zeit ''stabile'' Bauugr\"ossen hat. Falsch:
$\left(
\begin{array}{cc}
y_{1}\\
y_{2}
\end{array}\right)^{\cdot} = 
\left(
\begin{array}{cccc}
-1 & e^{3t}\\
0 & -2
\end{array}\right)
\left(
\begin{array}{cc}
y_{1}\\
y_{2}
\end{array}\right)$
\subsection*{\nl Verfahren. [10]}
Zur Berechnung  der Eigenwurzeln eines Schwingungskreises \nl, bei dem jede Verbindung eine Unbekannte (1 \nl Gr.) und jeder Kasten eine homogene lineare mit konst. Koeff. Dgl. zwischen den beiden einm\"undenden Unbekannten \nl, 
wird eine ''Umformung der Frequenzgleichg'' \nl als ''Produnkt der Einzelfrequenzg\"ange = 1''. Daher ist der ''Einzelfrequenzgang'' eine rationale Fkt. von $\lambda$, n\"amlich das Amplitudenverh\"altnis ''austretende : eintretende Amplitude einer \nl $e^{\lambda\,t}$.'' \quad Dh. denkt man sich das System\\
\\ 
$\textbf{Seite 30}$\\
\\
aufgeschnitten, so da\ss die eine Unbekannte, etwa $x$, in zwei gespalten wird, $x_{1}$, $x_{2}$, und setzt man $x_{1} = e^{\lambda\,t}$ ein und l\"ost nach $x_{2}$ auf, so wird $\frac{x_{2}}{x_{1}} = F(\lambda) =$ rat. Fkt. von $\lambda$, und $F(\lambda) = 1$ ist \"aq. der Frequenzvgl., dh. $F(\lambda) = \nl$.\\
Weiss man nun, dass z.B. ein den rechten Halbebene keine Polstelle von $F(\lambda)$ liegt, so ist die Anzahl der Nullstellen von $F(\lambda) - 1$ in der rechten Halbebene = - Anzahl der \nl des Pkt. 1 durch das Bild der Achse $\lambda = i\,\omega$, $-\infty \leq \omega \rightarrow + \omega$. Der Frequenzgang kann nur bei den von $\cal{N}$ betrachteten Systemen 1) elektrisch gemessen werden, und 2) kann man bei Anschluss gewisser verbotener Bauteile (K\"asten) von vornherein sagen, da\ss $ $ kein Pol von $F$ rechts liegt, n\"amlich wenn jeder Kasten eine Dgl. vom Typ
$$ a_{m} Y_{A}^{(m)} + \cdots +    a_{0} Y_{A} = b_{k}Y_{e}^{(k)} + \cdots + b_{0}Y_{e}$$
darstellt, wobei alle Nullstellen von $a_{m}\lambda^{m} + \cdots + a_{0} = 0$ links der \nl Achse liegen. Der Frequenzgang dieses Kastens ist n\"amlich 
$\frac{b_{k}\lambda^{k} + \cdots + b_{0}}{a_{m}\lambda^{m} + \cdots + a_{0}}$. \\
\\
W\"aren dagegen z.B. alle Nullstellen der Z\"ahler  $b_{k}\lambda^{k} + \cdots + b_{0}$\nl
links, so w\"urde man das alte Kriterium auf den reziproken Frequenzgang $\frac{1}{F}$\\
\\
$\textbf{Seite 31}$\\
\\
Der \underline{mathematische} Kern ist die folgende\\
Allgemeiner Prinzip: Kennt man eine Funktion, die genau dieselben Nullstellen wie die Frequenzgleichung hat, auf der ganzen Achse $\lambda = i\,\omega$, und kennt man ausser dem die Verteilung der Pkte auf die beiden Halbebenen:\\
$(n - p) = $ Anz. der Umlaufungen von $F(i\,\omega)$ um 0 bei $-\infty \rightarrow \omega \rightarrow + \infty$. Auf Grund
\nl des besonderen Baus des schwingenden Systems kann man also, wie $\cal{N}$ zeigt, mitunter eine Umformung der Frequenzgl. angeben, die den Einfluss der einzelnen Baugr\"ossen hervortreten l\"asst: dies ist der Anteil des Physikers an einem solchen Kriterium.\\
Die ''Aufschneidung'' bedeutet folgendes im allgemeinen Fall: Gegegeben $n$ homogene lineare Gleichungen  mit $n$-Unbekannten $x_{1}$, $x_{2} \cdots x_{n}$ 
und einem Parameter $\lambda$, die nur f\"ur gewisse $\lambda_{k}$ l\"osbar sind. Man spaltet etwa $x_{1}$ aufin $x_{1}'$,$x_{1}''$ und ersetzt in den Gleichungen $x_{1}$ nach Belieben zum Teil durch $x_{1}'$, z.T. durch $x_{1}''$. Man fasst $x_{1}$ als gegeben auf und l\"ost die $n$ Gl. nach $x_{1}^{\eta},\,x_{2},\cdots, \, x_{n}$ auf. \nl ist $x_{2}'' = F(\lambda) \cdot x_{1}'$, und $F(\lambda) = 1$ ist eine Umformung von $\Delta\,(\lambda) = 0$, dh. $F(\lambda) = \frac{\Delta(\lambda)}{A(\lambda)}$. \\
Dasselbe ausf\"uhrlicher bei Cremer [11].\\
\\
$\textbf{Seite 32}$
\subsection*{Gebrochene Iteration bei $(\kappa^{2} + \kappa\,A + B)\,Y = 0$:}  														
Geg. zwei (!) Ausgangsspalten  $Y_{n}$, $z_{n}$, und N\"aherung $k\,\approx\,\kappa$. Es sei $Y_{n} \approx R$,
$z_{n} \approx \kappa\,e$. Iterationsvoschrift:\\
L\"ose  
$\left\{
\begin{array}{cc}
(k^{2}  + k\,A + B) \,Y_{n + 1} = (k\,E + A) \,Y_{n} + _{n}\\
z_{n + 1} = k\,Y_{n + 1} - Y_{n}
\end{array}\right.$\\
Dann geht $k - (Y_{n}\,:\,Y_{n + 1}) \rightarrow  \kappa$, $Y_{n} \rightarrow e$\\
\\
Man kann \"ubrigens einen Operator der Zeilenzahl $n$, der in bezug auf $\kappa$ den Grad s.t.
hat, in einem mit der Zeilenzahl n.t. vom $\kappa$ \nl Grad $s$ verwandeln, indem man $y = 
\left(
\begin{array}{cccc}
\eta_{t}\\
\kappa^{t}\eta\\
\kappa^{2t}\eta\\
\vdots
\end{array}\right)$ einf\"uhrt. Z.B. ist \\
$(\kappa^{4} + A_{1}K^{3} + A_{2}\kappa^{2} + A_{3}\,\kappa + A_{4})\,\eta = 0$ \"aqu. zu\\
$$\{\kappa^{2} + \kappa 
\left(
\begin{array}{cc}
0 & 0\\
A_{3} & A_{1}
\end{array}\right) +  
\left(
\begin{array}{cc}
0 & 0\\
A_{4} & A_{2}
\end{array}\right)\}\,
\left(
\begin{array}{cc}
\eta_{1}\\
\eta_{2}
\end{array}\right) = 0$$
\subsection*{Selbstadj. Aufgaben der Gestalt $A\, \mathfrak{q} = \lambda\,B\,\mathfrak{q}$}
($A = \overline{A}'$, $B = \overline{B}'$) Fortsetzg: S.121,\\
f\"ur welche \nl \underline{ $\overline{\mathfrak{q}}' A \,\mathfrak{q} = \overline{\mathfrak{q}}' B\,\mathfrak{q} = 0$ 
folgt: $\mathfrak{q} = 0$}, sind im Falle endlichen Matrizen (allgemein ?) gew\"ohnlichen Aufgaben \nl \"aquivalent:  Es gibt reelle $p,\,q \not= 0,\,0$ so da\ss $ $ $p\,A + q\,B$ \underline{pos. definit}.\\
Bew: Der Wertevorrat von $ \overline{\mathfrak{q}}' (A + i\,B)\,\mathfrak{q}$ f\"ur 
$ \overline{\mathfrak{q}}' \mathfrak{q}$ f\"ur $ \overline{\mathfrak{q}}' \,\mathfrak{q} = 1$ ist abgeschl. \nl nach Hausdorff konvex; enth\"alt \nl nicht so gibt es eine Gerade durch 0 \nl\\
\\
$\textbf{Seite 33}$\\
\\
\subsection*{Satz und Beweis von Stellmacher}
$A$ sei reelle $n$ x $n$-Matrix\\
Ist $A + A^{1}$ pos. definit, so besitzt\\
$\det \{F\rho + A\} = \det \, 
\left\{
\begin{array}{c}
\left(
\begin{array}{ccccc}
 1 &&&&\\
&1&&&\\
&&\ddots&&\\
&&&1&\\
&&&&-1
\end{array}\right)\,\rho + A
\end{array}\right\} = 0$ kein Paar konjugiert komplexer Wurzeln mit pos. Realteil.\\
Bew.: Betrachte Dgl. $F\,\dot{Y} = A\,Y$; $\rho_{1,\,2} = \alpha \pm i\,\beta$ sei ein Paar von EWen mit $\alpha > 0$. 
Dann gibt es eine L\"osungsspalte, reell, von der \nl $Y = 
\left(
\begin{array}{ccccc}
c_{1}\,e^{\alpha\,t}\sin \,(\beta\,t + \varphi_{1})\\
\vdots\\
c_{n}\,e^{\alpha\,t}\sin \,(\beta\,t + \varphi_{n})
\end{array}\right)$. Bild\\
$(Y' F\,Y)^{\bullet} = Y'F\,\dot{Y} + \dot{Y}'F\,Y = Y'A\,Y + Y'A'Y$\\
\nl ist dies \quad f\"ur alle $t > 0$\\
Also ist f\"ur $t_{2} > t_{1} \qquad Y'F\,Y\,(t_{2}) > Y'F\,Y\,(t_{1})$. (33.1)\\
W\"ahle $t_{2} = t_{1} + \frac{2\,\pi}{|\beta|}$, da ist\\
$Y(t_{2}) = Y(t_{1}) \cdot \nl$, also\\
$Y'F\,Y(t_{2}) = \nl \cdot Y'F\,Y(t_{1})\qquad (33.2)$\\
Aus $\alpha > 0$ und (33.1,2) folgt\\
$Y'F\,Y < 0$ f\"ur alle $t_{1}$. Aber man kann $t_{1}$ so w\"ahlen, da\ss $ \sin \,(\beta\,t_{1} + \varphi_{n}) = 0$, dann m\"usste 
$\sl{1}{n - 1}\,c_{\nu}^{2}\,e^{2\alpha\,t_{1}} \cdot \sin ^{2}(\beta\,t_{1} + \varphi_{n}) < 0$ sein, geht nicht.\\
\nl mit, da\ss $ $ der Satz auf $(A\rho^{2} + B\,\rho + c)\,\eta = 0$  \nl\\
\\
$\textbf{Seite 34}$\\
\\
24.1.45
\subsection*{Verallgemeinerung und ein neuer Beweis des Satzes von \nl Satz (34.1):}
Ist $\mathfrak{X}$ hermitesch $\det \,\mathfrak{X} \not= 0$ und $A + A^{*}$ positiv, definit, so ist die 
Verteilung der Nullstellen von 
$$\det \,(\mathfrak{X} \cdot \rho + A) = 0$$
dieselbe wie die von $\det \, (\mathfrak{X}\,\rho + \mathfrak{E}) = 0$ auf die Halbeb. $Rn \,\rho \,\nl\,0$. \\
Bew: F\"uhrt man $A$  durch $A(t) = (1 - t)\,A + t$ \nl stetig in $\mathfrak{E} = 
\left(
\begin{array}{ccccc}
1& & \\
& \ddots & \\
&& 1
\end{array}\right)$ \"uber, so \"uberschreitet nie ein EW die imagin\"are Achse: Sonst 
w\"are $0 = \mathfrak{q}^{*}(\mathfrak{X}\,i\, r + A(t))\,\mathfrak{q}$, $Rn$ : $0 = \mathfrak{q}^{*}(A + A^{*})\, \mathfrak{q}$.\\
vgl. \nl Duffee S.65 ! Satz von Klein scheint verwandt  KLein auf Dglen \"ubertragen !\\
Andere Fassung:\\
\underline{(Satz 34.2)} Ist $\mathfrak{X}$ ($\det \,\mathfrak{X}$ beliebig) hermitesch und $(\mathfrak{X}\,A) + (\mathfrak{X}\,A)^{*}$ positiv 
definit, so ist die Verteilung der EWe von $A$ dieselbe wie die von $\mathfrak{X}$ auf die beiden Halbebenen $Rn\,\nl\, 0$.  EWe \underline{mit} der 
imagin\"aren Achse kommen nicht vor. Bew. wie oben: $A(t) = A \rightarrow \mathfrak{X}$.\\
\\
Ein anderer  Beweis kann durch Linearisierung $P = \mathfrak{E} + \varepsilon\,A$ des folgenden Hilfssatzes (34.3) gewonnen werden:\\
(34.3) Ist $\mathfrak{X}$ hermitesch und $P$ beliebig mit $P^{k} \rightarrow 0$ $(k \rightarrow \infty)$, und ist $\mathfrak{X} - P^{*}\mathfrak{X}\,P$ positiv definit, so ist $\mathfrak{X}$ pos. def.\\
Bew.: Es ist $H - P^{*}H\,P \gg 0$; $P^{*}H\,P - P^{*^{2}}H\,P^{2} \gg 0$; $\cdots$\\
\nl \qquad $H - P^{*^{k}} H\,P^{k} \gg 0 \qquad k \rightarrow \infty$: $H\,\,\underline{\underline{\gg}}\,\, 0$. Also $P^{*^{k}}H\,P^{k} \underline{\underline{>}}\,\, 0$;\\
\\
$\textbf{Seite 35}$\\
\\
\subsection*{Verallgemeinerung auf $A\,\rho^{2} + B\,\rho + C$}
Da aus  $(-A\, r^{2} + B\, r + C)\,Y = 0$ folgt (mit $A = A_{1} + i\, A_{2}$ usw., $A_{i} = A_{i}^{*}$)\\
(35.1)
$\left\{
\begin{array}{ccccc}
-r^{2} \cdot Y^{*}A_{1} Y - r\,Y^{*}B_{2}Y + Y^{*}C_{1}Y  = 0\\
-r^{2} \cdot Y^{*}A_{2} Y - r\,Y^{*}B_{1}Y + Y^{*}C_{2}Y  = 0
\end{array}\right.$ \\
folgt aus jeder Voraussetzung \"uber $A$, $B$, $C$, welche die L\"osbarkeit von (35.1) mit reellen $r$ \nl verhindert, da\ss $ $ keine rein imagin\"are Wurzel vorhanden ist; innerhalb dieser Voraussetzungen darf man daher $A\,B\, C$ beliebig ab\"andern, ohne die Verteilung der Wurzeln
zu \"andern. Beispiel:\\
Ist $A_{2} = C_{2} = 0$ (dh. $A$ und $\mathfrak{q}$ hermitesch) und $B_{1}$ pos. definit und $\det \,A\,C \not= 0$, so ist die Anzahl \nl der Wurzeln mit positivem Realteil gleich $n - \frac{\sigma_{A} + \sigma_{C}}{2}$ \nl dabei ist $n = Gr\,A$, $\sigma_{A} =$ signatur $A = $ Anzahl d. pos. - Anz. d. neg.  EWe von $A$.\\
Bew: $B = \mathfrak{E}$ annehmen, $A$ \nl $C$ als $A^{2} = C^{2} = E$. Stabilit\"at tritt also genau bei $\sigma_{A} = \sigma_{C} = n$ ein, dh. bei
$A \gg 0$ $\&$ $C \gg 0$.\\
\\
\underline{Aufgabe}: Verwandte Kriterien, welche eine \underline{Mindest}zahl von Wurzeln in der rechten Halbebene behaupten und vielleicht nur eine Mindestsignatur voraussetzen statt Definitheit. \\
\\
$^{1)}$ anders gesagt: $n_{r} = \nu_{A} + \nu_{C} \qquad (\sigma_{A} = \pi_{A} - v_{A})$\qquad $(n = \pi_{A} + v_{A})$ \quad 8.3.45 
\\
$\textbf{Seite 36}$\\
\\
\subsection*{Weitere Verallgemeinerung  des Satzes  von Stellmacher (S. 34):}
Man verstehe unter  $\mathfrak{M}_{A}$ die Gesamtheit der Zahlen $\mathfrak{q}^{*}A\,\mathfrak{q}$ f\"ur 
$\mathfrak{q} \not= 0$. $\mathfrak{M}_{A}$ ist \nl ein Winkelraum, im Sonderfall hermitescher Matrizen 1 oder 2 Halbgeraden.\\
(36.1) Satz: Ist $H$ eine hermitesche Matrix mit $h_{x}$ positiven, $h_{-}$ negativen und $h_{0}$ verschwindenden EWen, und ist $\not\subset \mathfrak{M}_{A}$, so liegen genau $h_{+}$ EWe von $H\,A$ im Winkelraum $\mathfrak{M}_{A}$, genau $h_{-}$ in $-\mathfrak{M}_{A}$ und $h_{0}$ in 0.\\
Bew.: \nl\\
(36.2) Hilfssatz: Vor $0 \not\subset \mathfrak{M}_{A}$ Alle EWe von $A\,B$ liegen in  \nl $\mathfrak{M}_{A} \cdot \mathfrak{M}_{B}$. Frage: Darf hierin $\mathfrak{M}$ auch den Wertevorrat $|\underline{\mathfrak{q}}| = 1$ bedeuten ? \\
Bew. des Hilfssatzes: braucht nur f\"ur $\det \,A \not= 0$  gef\"uhrt zu werden. Aus $(A\,B - \rho)\,\mathfrak{q} = 0$ folgt
$(B - \rho\,A^{-1})\,\mathfrak{q} = 0$, also 
$\rho = \frac{\mathfrak{q}^{*}B\,\mathfrak{q}}{\underline{\mathfrak{q}^{*}A^{-1}\mathfrak{q}}_{\textnormal{wenn das} \not= 0 !}} \subset \mathfrak{M}_{B} \cdot \mathfrak{M}^{-1}_{A^{-1}}$. Nun ist aber f\"ur konjugierte $A_{1},\,A_{n} \qquad \mathfrak{M}_{A_{1}} = \mathfrak{M}_{A_{2}}$ \qquad Bew. mu\ss $ $ f\"ur hermitesches $A$ extragef\"uhrt w.\\
(36.3) $\mathfrak{M}_{T^{*}A\,T} = \mathfrak{M}_{A}$, $\det \,T \not= 0$. \\
Und  $A^{*} = A^{*} \cdot A^{-1} \cdot A$ ist kongruent $A^{-1}$. Also $\mathfrak{M}_{A^{-1}} = \mathfrak{M}_{A^{*}} = \overline{\mathfrak{M}}_{A}$\\
(36.4) $= \mathfrak{M}_{A}^{-1} =  \mathfrak{M}_{A^{-1}}$.\\
Bew. von (36.1): F\"uhrt man nach Wahl einer im $\mathfrak{M}_{A}$ gelegene Zahl $\alpha$ die Matrix  $\alpha\, \mathfrak{E} $ durch $A(t) = a\, \mathfrak{E} \cdot (1 - t) + t\,A \quad (0 \leq t \leq 1)$ stetig in $A$ \"uber, so ist st\"andig $\mathfrak{M}_{A(t)} \subset \mathfrak{M}_{A}$ und daher jeder EW
in $\pm \mathfrak{M}_{A}$ gelegen. Da auch keiner durch 0 und $infty$ auftreten kann, falls zun\"achst $\det  \, M \not= 0$ vorausgesetzt wird, bleibt die Verteilung \nl.  \\
\\
$\textbf{Seite 37}$\\
\\
\underline{Falsch ist $\mathfrak{M}_{A\,B} \subset \mathfrak{A}  \cdot  \mathfrak{B}$}. Sonst mu\ss t aus $H_{i}$ pos. def. hermitesch folgen: $\Pi\,H_{i}$ auch pos. def. hermitesch.\\
\underline{Falsch ist die Vermutung:} Liegen bei einer 3-reihigen Matrix $A$ alle Wu in der 
linken Halbebene, so hat  $A_{1}$ \nl mindestens  2 \nl Wu. Gegenbeispiel: $A = B - \nl\,\mathfrak{E}$, $B = 
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 2\\
-1 & 1 & 0\\
-2 & 0 & -2
\end{array}\right)$; $\Delta_{B} = x^{3} + 2x$ \\
\\
\\
\subsection*{Newtonsches Verfahren bei halblinearen EW-Aufgaben:}
z.B. $(A \,\kappa^{2} + B\, \kappa + C)\,y  = 0$ \qquad geg. $\kappa_{0},\, y_{0}.$ \quad $\kappa = \kappa_{0} + \delta\,\kappa$, $y = y_{0} + \delta\,y$.\\
$(A\kappa_{0}^{2} + B\,\kappa_{0} + C)\,y_{0} + (A\,\kappa_{0}^{2} + B\,\kappa_{0} + C)\,\delta\,y + (2\,A\,\kappa_{0} + B)\,\delta\,\kappa = 0$\\
diese $n$ Gl. mit $n + 1$ Unbekannten werden z.B. durch Normiergsvorschrift f\"ur $y$ eindeutig l\"osbar z.B.
$\delta\,y_{j} = 0$ wenn $|y_{0\,j}| = max$. Bei selbstadj. ist wohl $y_{0}^{*}A\,\delta\,y = 0$ 
vorzuziehen, falls etwa $A \gg 0$. (Die St\"orungsrechnung ist ein Sonderfall des Newtonschen Verfahrens, bei dem angenommen wird, es ist eine Gl. bekannt, von welcher  $\kappa_{0},\, y_{0}$
die genaue L\"osung ist. \\
Frage: Wird die Rechnung bei linearen Aufgaben \underline{so} einfacher (mit $\delta\,y_{0}$ als Unbekannter), als 
wenn man wie bei der gebr. It. $y$  selbst als Unbekannte beh\"alt ?\\
Die Zahlen werden wohl kleiner.)\\
Man k\"onnte eher auch die allg. L\"osung des Gl.systems mit $n + 1$ Unbekann-\\
\\
$\textbf{Seite 38}$\\
\\
ten in Abh\"angigkeit von einem Parameter $t$ aufschreiben und $t$ so bestimmen, da\ss $ $ die EW-Gl.  in irgendeinem  Sinn \nl
gut erf\"ullt ist.\\
\\
\\
\underline{Ein Rezeptur zur L\"osung komplizierter  physikal. Aufgaben:} 1) Einfachere Aufgaben
 v\"ollig und exakt mathematisch l\"osen. 2) Die Gr\"ossen, von denen die L\"osung wesentlich abh\"angt, 
physikalisch deuten. 3) Anagolieschluss auf kompl. Fall.\\
\\
2.2.45
\subsection*{Einschliessungssatz f\"ur beliebige Gleichungen mit endlich vielen Unbekannten:} 
(Fortsetz. von II$_{\eta}$ 42) \quad Vgl. [80] Abschnitt 1\quad [82], IV S.55\\
$\mathfrak{b}$ sei ein offener zusammenh\"angender beschr\"ankter Bereich im $R_{n}$; in $\mathfrak{b}$  sei ein $y_{1} = \varphi_{1}(\mathfrak{q})$,$\cdots$, $\varphi_{n}(\mathfrak{q}) = y_{n}$
reell definiert mit stetigen partiellen ersten Ableitungen. Die Determinante  $\det \, F$ der Funktionalmatrix $F = (\frac{\partial\,\varphi_{i}}{\partial\,x_{k}}$)
sei $\not=$ in $\mathfrak{b}$. Man bezeichne mit $\alpha\,(A,\,B)$ f\"ur je zwei Punkte  
$A,\, B \subset \mathfrak{b}$ die untere Grenze  der Integrale $\il{A}{B}|d\,y| = \il{A}{B} \,\sqrt{d\,\varphi' \cdot F\,|F \cdot d\,\mathfrak{q}}$, bei denen der Weg eine\\
\\
$\textbf{Seite 39}$\\
\\
in $\mathfrak{b}$ verl\"aufende stetig diffbare Kurve von $A$ nach $B$ ist. Es sei $\phi(\mathfrak{q}_{0}) = y_{0}$. Man bezeichne f\"ur 
$\rho$ \nl 0  mit $\mathfrak{b}_{\rho}$ die Teilmenge der $P \subset \mathfrak{b}$ f\"ur welche 
$$ d \,\mathfrak{q}_{0},\, P) \,\,\underline{\underline{<}}\,\, \rho$$
ist.\\
Beh: Ist $\mathfrak{b}_{r}$ abgeschlossen f\"ur ein $r$, so ist $\Phi(\mathfrak{b}_{r})$ genau die volle Kugel
\qquad $|R - y_{0}| \,\,\underline{\underline{<}}\,\, r$\\
$[$ Zusatz: Hieraus folgt: Ist f\"ur jeden Randpunkt  $R$  von $\mathfrak{b}$ $\lim\limits_{P \rightarrow R}$ inf $d\,(\mathfrak{q}_{0}R) > r$, so \nl $\Phi\,(\mathfrak{b})$ die Kugel
$\mathfrak{K}_{\rho}:$ $ |R - y_{0}| \,\,\underline{\underline{<}}\,\, r$ vollst\"andig.$]$\\
Bew.: a) $d\,(A\,B) \,\,\underline{\underline{<}}\,\, d\,(A\,C) + d\,(B\,C)$\\
b) $d(A\, B)$ h\"angt stetig von $A$ und $B$ ab; desgl. $d\,(\mathfrak{q}_{0},\, R) = 
\lim\limits_{P \rightarrow R}$ inf $\dots$\\
d) Trivial ist $\Phi(\mathfrak{b}_{\rho}) \,\,\underline{\underline{\subset}}\,\, \mathfrak{K}_{\rho}$ f\"ur alle $\rho 
\,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$.\\
c) Ist $\mathfrak{b}_{r}$ abgeschlossen und $\rho \leq r$, so auch $\mathfrak{b}_{\rho}$ abgeschlossen. \\
e) $\mathfrak{b}_{r}$ sei abgeschlossen, $|R - y_{0}| = r$. Betrachte die obere Grenze $\rho^{*}$ der $\rho$, f\"ur welche $R(\rho) = y_{0} + \rho\,(R - y_{0})$ ein Orginal in $\mathfrak{b}_{\rho}$ besitzt. Es ist $\rho^{*} \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$; Beh.: $\rho^{*} = r$\\
$R(\rho^{*})$ selbst hat ein Orginal $p^{*}$ in $\mathfrak{b}_{\rho^{*}}$, denn entweder $\rho^{*} = 0$, dann\\
\\
$\textbf{Seite 40}$\\
\\
trivial; oder $\rho^{*} > 0$, dann gibt es $\rho_{\nu} \rightarrow \rho$, $\&$ $P_{\nu} \subset \mathfrak{b}_{\rho_{\nu}} \,\,\underline{\underline{\subset}}\,\, \mathfrak{b}_{\rho}$, 
$\phi(P_{\nu} = Q\,(\rho_{\nu})$; ist $P^{*}$ ein $H\,P$ der $P_{\nu}$, so ist $P^{*} \subset \mathfrak{b}_{\rho}$ und
$\phi(P)^{*} = Q(p^{*})$ \\
Nun wird aber eine Umgebung von $P^{*}$ eindeutig auf eine Umgebung von $Q\,(\rho^{*})$ abgebildet. Ist $\rho^{*} < r$, so nimm ein St\"uck von $\rho^{*} \leq \rho \leq r$, welches in diese Umgebung
von $Q(p^{*})$ f\"allt etwa bis $R(\rho_{1})$; dessen Original ist eine stetig diffbare Kurve von $P^{*}$ bis zu einem Punkt $P_{1}$; es ist $d\,(P^{*},\, P_{1}) = \rho_{1} - \rho^{*}$, also $P_{1} \subset \mathfrak{b}_{\rho_{1}}$. Widerspruch gegen $\rho_{1} > \rho^{*}$.\\
Beweis des Zusatzes: Ist f\"ur jeden Randp ist $R\,\, \underline{\lim  \rm{ inf }} d\, (\mathfrak{q}_{0}\,P) > r$ \qquad f\"ur  $P \rightarrow R$, so ist 
$\mathfrak{b}_{r}$  abgeschlossen; sonst g\"abe es $P_{\nu} \rightarrow  \nl$, $P_{\nu} \subset \mathfrak{b}_{r}$, \nl $\not\subset \mathfrak{b}_{r}$;
\nl ist Randpunkt wegen (b); $\lim \,d\,(P_{\nu}\,\rho) \,\,\underline{\underline{<}}\,\,r$.\\
Ist umgekehrt  $\mathfrak{b}_{r}$ abgeschlossen, so ist f\"ur alle Randpkte  $\lim  \cdots > r$. Denn sonst g\"abe es $P_{\nu} \rightarrow R$, 
$d\,(P_{0}\,P_{\nu}) \rightarrow r' \leq r$, dann w\"are $r' = r$; nimm zu $P_{\nu}$ einen Weg  mit Bildl\"ange $r + \varepsilon_{\nu}$, $\varepsilon_{\nu} \rightarrow 0$,
und von diesem Weg den Pkt $P'_{\nu}$, bis zu dem die Bildl\"ange genau $r$ ist diese $P'_{\nu}$ haben einen
$H\,P\,\,R' \subset \mathfrak{b}_{r}$. Es ist $d\,(P_{\nu}P'_{\nu}) \rightarrow 0$.
Hieraus folgt aber, da in einer Umgebg. von $R'$ $\Phi$ im kleinen \nl ist,
da\ss $\overline{R'P_{\nu}} \rightarrow 0$, dh. $P_{\nu} \rightarrow R'$, also $R = R' \subset \mathfrak{b}_{r}$ gegen  \nl\\
vgl. Golomb, Banach ?\\
\\
$\textbf{Seite 41}$\\
\\
\underline{Aufgabe:} \"Ubertragung des Einschliessungssatzes f\"ur beliebige Gleichungssysteme (S.38) auf den Fall, dass von mehreren Orginalpunkten  die Bilder bekannt sind. \\
Frage: H\"angt der Statz nicht mit quasikonformen Abbild. zusammen ?\\
Aufgabe: ''Differenzierbarkeit'' vermeiden durch Betrachtung  von $\frac{fin}{\mathfrak{q}_{\nu} \rightarrow \mathfrak{q}}\, \frac{|y - y_{\nu}|}{|\mathfrak{q} - \mathfrak{q}_{\nu}|}$.
\subsection*{Das Newtonsche Verfahren}
Zur L\"osung eines Gleichungssystems $y(\mathfrak{q}) = 0$ ist gleich dem Iterationsverfahren, angewandt auf die 
Gleichung 
$$y = y - F^{-1}y;\quad F = \frac{\partial\,y}{\partial\, \mathfrak{q}}.$$
Die Funktionalmatrix der rechten Seite hat als $k$-te Spalte 
$$f_{k} = - \frac{\partial\,I^{-1}}{\partial\,x_{k}} \cdot y,$$ 
verschwindet also f\"ur  $y = 0$. Vgl. Willers S.167, 176\\
F\"ur gew\"ohnliche EWAufgaben ist
$$y = 
\left(
\begin{array}{cc}
(A - \kappa)\,\mathfrak{q}\\
n'\mathfrak{q} - 1
\end{array}\right) \quad, \quad F = 
\left(
\begin{array}{ccc}
A - \kappa & - \mathfrak{q}\\
n' &  0
\end{array}\right).$$
\underline{Aufgabe:} Die im Hellinger-\nl genannte Lit. durchsehen, u.zwar: S. 1454/6 zur Possiv-Gl. (insb. 254)) und
1458 zum allg. selbstadj. Einschl.-Satz (insb. Riesz$^{261}$)\\
Zusammenhang mit Momentenproblem)\\
\\
$\textbf{Seite 42}$\\
\\
\subsection*{Zur Possiv-Gleichung}
Vielleicht vereinfacht sich die Sache, wenn man das Anlaufen einer kleinen instat. St\"orung 
betrachtet, statt zeitlich harmonisch. Die auftretenden analytischen  Funktionen w\"urden dann im Unendlichen regul\"ar sein. 
- Die ''funktionentheoretische Randwertmethode''l\"asst sich so beschreiben: Man betrachtet die physikalischen Gr\"ossen  nur 
auf die Stromlinie, auf der die Kontur liegt, und setzt sie von da aus ins Komplexe fort. Der Vorteil ist, da\ss
man anstatt einer analytischen Funktion von \underline{zwei reellen} Ver\"anderlichen  eine solche von  \underline{einer komplexen} Ver\"anderlichen bekommt.
\subsection*{ Ein funktionentheoretischer Trugschluss:}
Sei $f(z) = \il{-\infty}{\infty}\,e^{-t^{2}}\frac{dt}{t - z}$ \qquad ($t$ reell, $z$ komplex)\\
\\
noch besser versteckt: $\il{0}{\infty}\,e^{-t^{2}}\frac{dt}{t^{2} - z^{2}}$; da bemerkt man nicht so schnell die Zerlegung der Ebene ! \\
\\
Zur Entwicklung von $f(x)$ in eine Potenzreihe stellt man die (richtige) Dgl. auf $f'(z) + 2\,z\,f(z) + 2\sqrt{\pi} = 0$. Deren allgemeine L\"osung ist $f(z)  = e^{-z^{2}} \cdot \{\mathfrak{E} - \il{0}{z}\,e^{\rho^{2}}d\,\rho\} \cdot 2\sqrt{\pi}$\\
Da $f(z) = -f(-z)$, mu\ss $\mathfrak{q} = 0$ sein. Daher\\
$f(z)  = -e^{-z^{2}} \cdot \nl\, d\rho \cdot 2\,\sqrt{\pi} = -2\sqrt{\pi}\cdot z + \cdots$\\
Andererseits ist offenbar f\"ur $Im\,z > 0$ \qquad $Im\, f(z) > 0$. Widerspruch\\
\nl\\
\\
$\textbf{Seite 43}$\\
\\
\underline{Falsche Vermutung:} Addiert man zur Matrix $A$ eine positiv  definite hermitische Matrix, so \underline{bewegen sich alle EWe von $A$ nach rechts.}\\
Gegenbeispiel: $A =
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & -1 \\
1 & -2
\end{array}\right)$; $\alpha_{1,\,2} = \pm 1 \qquad H = 
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & \\
 & \varepsilon 
\end{array}\right)$ mit $\varepsilon > 0$, $\varepsilon  \rightarrow 0$, gibt $x_{2} < -1$.\\
\\
Der Nachweis, das \underline{alle Wurzeln einer Gl.- in einem Winkelraum} liegen, kann durch
zweimalige Anwendung  eines Halbebenen-Kriteriums  gef\"uhrt werden, bei reellen Gl. und Winkelraum symmetrisch 
zur reellen Achse sogar mit einmaligen. Dagegen gibt es keine M\"oglichkeit, mit Hilfe von Halbebenen Kriterien die Anzahl der Wurzeln  in einem Winkelraum allgemein
und sicher festzustellen (ohne direkt die Argumente der Wurzeln zu berechnen), weil n\"amlich zum Beispiel 
f\"ur alle Wurzelverteilungen, welche Spiegelung am  Nullpunkt gestatten, die Verteilung auf je zwei komplement\"are Halbebenen dieselbe ist, so dass z.B. bei\\
\nl\\
\\
bez\"uglich jeder Geraden durch den Scheitel die gleiche Verteilung resultiert, so da\ss $ $ dies-beiden F\"alle nicht mit F\"alle nicht mit Hilfe von Halbebenen Kriterien unterschieden werden k\"onnen.\\
\\
$\textbf{Seite 44}$\\
\\
Die s\"amtlichen \underline{Punkt-Transformation des $R_{n}$}, welche in Verbindung mit
geeigneten Transformationen von $\phi$ die Potential gleichg. \underline{$\sl{l}{n} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{\nu}^{2}}\,\phi = 0$  
invariant} lassen, wird man aus der Bemerkg. als konform erkennen, da\ss $ $ die einzige Singularit\"at  der
Unendlichkeitsordnung $\frac{1}{r^{n - 2}}$ eben diese Funktion hat, welche \underline{Kugel}fl\"achen als
Niveaufl\"achen besitzt.  Bei nichtkonformen Abbildung m\"usste diese in Elliposide 
verzerrt werden. \\
\\
\\
Bei der Entscheidung der Frage, ob \underline{alle Wurzeln einer reellen oder komplexen} Gl.
\underline{einen Realteil $< -p$} haben, kann man das etwa l\"astige Entwickeln der Gleichung nach $y = x + p$ vermeiden, wenn
man f\"ur alle mal ein Kriterium daf\"ur aufgestellt hat, da\ss $ $ alle Wurzeln einen Realteil $< -1$ haben. Man braucht dann nur $x = p\,y$ einzusetzen.\\
\\
\\
Durch lineare Transformation liefern die Halbeben-Kriterien Mittel zur \underline{Abz\"ahlung der Nullstellen in einem vorgegebenen Kreise.}\\
\\
$\textbf{Seite 45}$\\
\\
21.2.45
\subsection*{Stabilit\"atsproblem  von Stellmacher:}
Gegeben eine (''\"Ubergangs'')-Funktion $k(t)$ f\"ur $0 \leq t$ mit $k(0) = 0$, $k(t) \rightarrow  1$ f\"ur $t \rightarrow \infty$. Gesucht das Gr\"osste positive $\lambda$, f\"ur welches $\lim \,z_{\lambda}(t) < \infty$, wobei $z_{\lambda}(t)$ die L\"osung von $z_{\lambda}(t) = 1 + \lambda \il{0}{t}\,k(t - T) \,z_{\lambda}(\tau)\,d\tau$ bedeutet $(\lambda$ = ''Aufschaltgr\"osse'').\\
Zusammenhang mit Volterres Biologie ? $[$57$]$\\
Vgl. dazu das Integral von \nl aus der Operatorenrechnung.\\
\\
\subsection*{Zum Kronerkerschen Produkt}
WE Roth sagt: ''Zehfuss-matrix''\\
Man ordne die Elemente  einer Matrix $(a_{ik}) = A$ \underline{lexikographisch} in einer Spalte
$\gamma_{A}$ an: 
\begin{quote}
(45.1) \qquad $\gamma_{A} = 
\left(
\begin{array}{ccccc}
a_{11}\\
a_{12}\\
a_{13}\\
\vdots\\
a_{nn}
\end{array}\right)$
\end{quote}
Unter $\kappa$ verstehe man diejenige $n^{2}$-reihige Matrix (Permutation), f\"ur welche 
(45.2) $\gamma_{A'} = \kappa\,\gamma_{A}$ \qquad gilt\\
\\
Dann gelten die Formeln (45.3) $\kappa\,(A $ x $ B) = (B $ x $ A)\,\kappa \qquad K^{2} = E$, $K$ \nl $K' = K^{*}$ \\
(45.4) \qquad $\gamma_{A\textnormal{X}B} = (A \textnormal{ x } B')\,\gamma_{\textnormal{X}}$\\
(45.5) \qquad $Sp\,Y\,A\,\textnormal{X} = \gamma_{Y}' \cdot \kappa\,(A \textnormal{ x }E) \cdot \gamma_{\textnormal{X}}$\\
\\
$\textbf{Seite 46}$\\
\\
\subsection*{Signatur einer beliebigen Matrix $A(a_{ik})$}
$(i,\, k = 1,\cdots,\,n)$\\
Def.: Die Eigenwerte $a_{i}$ von $A$ m\"ogen $a_{+}$ Realteile $> 0$, $a_{-}$ Realteile $< 0$
und $a_{0}$ Realteile $ = 0$  aufweisen, so dass $a_{+} + a_{-} + a_{0} = n$.\\
Setze (46.1) $sg\,A = a_{+} - a_{-}$\\
F\"ur Hermitesche Matrizen ist das der \"ublichen Definition glechwertig. Bestimmung von
$sg\,A$ in Anschluss an II, S.15-17:\\
Setze (46.2) $M = (\mathfrak{E} \textnormal{ x } A) \cdot \kappa$, $\kappa $ wie in (45.2), und \\
(46.3) $N = M + \overline{M}'$ (hermitesch). Dann ist\\
(46.4) $sg\,A = sg\, N$\\
Beispiel $n = 3$: (bezeichne kurz $\overline{a}_{n} = \overline{n}$ usw.)  \\
\\
$K = 
\left(
\begin{array}{ccccc}
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}&
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}&
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}\\
\\
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}&
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}&
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}\\
\\
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}&
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}&
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}
\end{array}\right)$\\
\\
$M = 
\left(
\begin{array}{ccccc}
\begin{array}{ccc}
11 & 0 & 0\\
21 & 0 & 0\\
31 & 0 & 0
\end{array}&
\begin{array}{ccc}
11 & 0 & 0\\
22 & 0 & 0\\
32 & 0 & 0
\end{array}&
\begin{array}{ccc}
\cdot\\
\cdot\\
\cdot
\end{array}\\
\\
\begin{array}{ccc}
0 & 11 & 0\\
0 & 21 & 0\\
0 & 31 & 0
\end{array}&
\begin{array}{ccc}
0 & 12 & 0\\
0 & 22 & 0\\
0 & 32 & 0
\end{array}&
\begin{array}{ccc}
\cdot\\
\cdot\\
\cdot
\end{array}\\
\\
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 11\\
0 & 0 & 21\\
0 & 0 & 31
\end{array}&
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 12\\
0 & 0 & 22\\
0 & 0 & 32
\end{array}&
\begin{array}{ccc}
\cdot\\
\cdot\\
\cdot
\end{array}
\end{array}\right)\\
\\
N = 
\left(
\begin{array}{ccccc}
\begin{array}{ccc}
11 + \overline{11} & \overline{21} & \overline{31}\\
21 & 0 & 0\\
31 & 0 & 0
\end{array}&
\begin{array}{ccc}
12 & 0 & 0\\
22 + \overline{11} & \overline{21} & \overline{31}\\
32 & 0 & 0
\end{array}&
\begin{array}{ccc}
13 & 0 & 0\\
23 & 0 & 0\\
33 + \overline{11}  & \overline{21}  & \overline{31}  
\end{array}\\
\\
\begin{array}{ccc}
\overline{12} & 11 + \overline{22} & \overline{32}\\
0 & 21 & 0\\
0  & 31  & 0  
\end{array}&
\begin{array}{ccc}
0 & 12 & 0\\
\overline{12} & 22 + \overline{22} & \overline{32}\\
0 & 32 & 0
\end{array}&
\begin{array}{ccc}
0 & 13 & 0\\
0 & 23 & 0\\
\overline{12} & 33 + \overline{22} & \overline{32}
\end{array}\\
\\
\begin{array}{ccc}
\overline{13} & \overline{23} & 11 + \overline{33}\\
0 & 0 & 21\\
 & \nl & 
\end{array}&
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 12\\
\overline{13} & \overline{23} & 22 + \overline{33}\\
 & \nl & 
\end{array}&
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 13\\
0 & 0 & 23\\
 & \nl & 
\end{array}
\end{array}\right)$\\
\\
$\textbf{Seite 47}$\\
\\
Zwei Beweise von (46.4): a)
 $\underline{\gamma_{X}^{*}N\,\gamma_{X} = Rn\,Sp\,A\,X\,\overline{X}}$
= \nl $(A\,X\,\overline{X} + \overline{A}\,\overline{A}\,X)$.\\
Es ist f\"ur beliebiges $T$ mit $X = T^{-1} Y\,\overline{T}$\\
$Sp\,T^{-1}A\,T\,X\,\overline{X} = Sp\,T^{-1}A\,Y \cdot \overline{Y}\,T = Sp\,A\,Y\,\overline{Y}$, also\\
$Re\,SpT^{-1}\nl\,X\overline{X} \sim  Re\,\,Sp\,\, A\, X\,\overline{X} $. Man kann also zur Bestimmung von
$sg\,M\quad A$ in der Diagonalform annehmen. Dann wird $Sp\, A\, X\,\overline{X} = 
Sp\,A\,(D\,\overline{D} + R\,\overline{R})$, wenn $D = 
\left(
\begin{array}{cccc}
x_{11} & 0 & &\\
0 & x_{22} & &\\
 &  &\ddots & \\
&&& x_{nn} 
\end{array}\right)$, $R = X - D$\\
Hierin sind die Variablen getrennt. Es ist\\
$sg\,\,Rn\,Sp\,A\,R\,\overline{R} = 0$, da diese Form bei Ersetzung der $x_{ik}$ mit $i < k$ durch \nl $x_{ik}$ \nl das Vorzeichen wechselt. Also \\
$sg\,\, Rn\,\,Sp\,\,A\,X\,\overline{X} = sg \,\,Rn\,\,Sp\,\,A\,D\,\overline{D} = sg\,A$.\\
Genauer ist die Vorzeichenverteilung der Wurzeln von $M$:\\
(47.1) $m_{+} = a_{+} + \textnormal{Anzahl}_{i < k} (\overline{\alpha}_{i} + \alpha_{k} \not= 0) \quad m_{0} = a_{0} + 2 \cdot \textnormal{Anzahl}_{i < k} \cdot (\overline{\alpha}_{i} + \alpha_{k} = 0)$. \\
\\
b) Es ist $\nl = (\mathfrak{E} $ x $ A)\,K + K\,(\mathfrak{E} $ x $ A^{*}) = (\mathfrak{E} $ x $ A + A^{*} $ x $ \mathfrak{E})\,K$, 
also $\det \,N = 0$ dund, wenn $\alpha_{i} + \overline{\alpha}_{k} = 0$. Man f\"uhre nun $A$ in $B = \nl$ \"uber (wenn $a_{0} = 0)$, ohne dass zwei\\
zur imagin\"aren Achse spiegelbildliche Wurzeln auftreten, dabei bleibt $sg\,N$ unge\"andert.\qquad fehlt noch \nl
von $sg\, N_{B}$.\\
\\
$\textbf{Seite 48}$\\
\\
Bestimmung von $sg\,\mathfrak{E} = n$ : F\"ur $X = X' \not= 0$ wird  $sg\,\,Rn\,\,Sp\,\,X\,\overline{X} > 0$, also $a_{+} \,\,\underline{\underline{>}}\,\, \frac{n\,(n + 1)}{2} $; \nl $a_{-} 
\,\,\underline{\underline{>}}\,\, \frac{n\,(n - 1)}{2}$\\
\nl f\"ur  $A = G + H$ mit $G = G^{*} \gg 0$, $H = -H^{*}$: $Sp\,X^{*}G\,X > 0$.\\
Gibt sch\"arfste \nl: $Det\,N = 0$\\
Aufgabe  \nl $A = 
\left(
\begin{array}{ccc}
a_{1} & -1 & \\
a_{2} &  & -1\\
a_{3} &&
\end{array}\right)$ herleiten.
\subsection*{Zur Bestimmung von Signaturen hermitescher Matrizen dient}
die Formel (frei nach Jacobi)
$$ \left(
\begin{array}{ccc}
E & 0 \\
U^{*} & E
\end{array}\right) \cdot 
\left(
\begin{array}{ccc}
A & B \\
B^{*} & D
\end{array}\right) \cdot
\left(
\begin{array}{ccc}
E & U \\
0 & E
\end{array}\right) = 
\left(
\begin{array}{ccc}
A & 0 \\
0 & D - B^{*}A^{-1}B
\end{array}\right) $$
wenn $\det \,A \not= 0$; (man setze $U = -A^{-1}B)$.
\subsection*{\nl und konforme Abbildung des $R_{4}$.}
Schon die einfachste nichtlineare Funktion \nl$ = f(Q) = Q^{2}$, $Q = x_{1} + i\,x_{2} + j\,x_{3} + k\,x_{4}$, liefert eine nichtkonforme 
Abbildung. Die Funktionalmatrix ist\\
$(\frac{\partial\,x_{\alpha}'}{\partial\,x_{\beta}}) = 2 \cdot 
\left(
\begin{array}{cccc}
x_{1} & -x_{2} & -x_{3} & -x_{4}\\
x_{2} & x_{1}  & 0 & 0\\
x_{3} & 0  & x_{1} & 0\\
x_{4} & 0 & 0 & x_{1}
\end{array}\right).$\\
\\
$\textbf{Seite 49}$\\
\\
\underline{Frage:} Kann man die Flattergleichungen vielleicht selbsttransponiert machen, indem 
man neben der kritischen und potentiellen Energie der Verformung auch die vom Fl\"ugel an den Luftstrom 
abgegebene Energie heranzieht zur \nl des Funktionenraumes ?\\
\underline{Aufgabe:} a) Zu den Hurwitz-Kriterien eine Absch\"atzung f\"ur den absolut kleinsten Realteil machen, als 
Minimalwurzel der Gl. f\"ur die $\frac{x_{\alpha} + x_{\beta}}{2}$.\\
b) Bei Gleichungen, die von einem Parameter $t$ abh\"angen, die \nl Wahl dieses Paramters systematisch suchen; etwa nach Wurzeln fragen, deren Realteil inbezug auf $t$ station\"ar  ist, sowie nach doppeltz\"ahlenden Realteil. \\
c) Nach dem Verfahren von S.50-52 die \underline{\"ubliche} Kette mit nur $n$ Gliedern determinantenm\"a\ss ig darstellen, g\"abe vielleicht $n$-reihige Det. statt $2n$ ? \\
wohl doch nicht, da die $P_{i}$ \nl dort zusammen  zu Beiwerte haben. \\
\\
\underline{Sturm Liouvilesche Theorie} f\"ur  $\frac{d}{dx}\,(k\,\frac{dV}{dx}) + (\lambda^{2}g + l)\,V = 0$, 
nl\\
stellt Hilb $[$79$]$ 1912  als Aufgabe; es behandelt aber nur $g = 1$.\\
\\
\underline{Auszug aus Schur $[$58$]$:} a) Ist $\xi' < 0$, so ist $f(x)$ dund stabil, wenn 
$|f(\xi)| < |f^{*}(\xi)|$ und au\ss erdem $f(x) = \frac{f^{*}(\xi)\,f(x) - f(\xi)\,f^{*}(x)}{ x - \xi}$ stabil ist.
Dabei  $f^{*}(x) = \overline{f}(-x)$.\\
b) Ist $\xi' < 0$, so ist $f(x)$ dund stabil, wenn\\
$a_{0} \not= 0$, $Rn\,(\frac{a_{1}}{a_{0}}) > 0$, $f_{2}(x) = \frac{1}{x^{2}}\{f(x) \cdot \varphi(\xi) - f^{*}(x) \cdot \psi(\xi)\}$ stabil.\\
Dabei $f(x) = a_{0} + a_{1}x + \cdots $, $\varphi(\xi) = \overline{a}_{0}x - \overline{a}_{1}\xi\,x + \overline{a}_{0}\xi$; $\psi(x) = a_{0}x + a_{1}\psi\,x + a_{0}\xi$.\\
c) Hieraus \nl\\
\\
$\textbf{Seite 50}$\\
\\
5.3.45
\subsection*{Determinanten-Darstellung Sturmscher Ketten.}
(Vereinfacht gegen\"uber Wahlen $[$68$]$; aber wie steht es in $[69]$ ? \quad 1)\\
$A = A_{n}(x)$, $B = B_{n - 1}(x)$ seien Polynome  vom Grad $n$ bezw.  \nl; setze\\
(50.1)
\begin{quote}
$A_{n} = c_{n} \textnormal{ x } B_{n - 1} - A_{n - 1}$\\
$B_{n - 1} = d_{n - 1}A_{n - 1} - B_{n - 2}$\\
$ A_{n - 1} = c_{n - 1} \textnormal{ x } B_{n - 2} - A_{n - 2} \qquad \textnormal{usw. \quad Frage: } A_{n - i} = \,?\enspace B_{n - i} = \,?$
\end{quote}
Es gilt eine Darstellung (50.2)
$\left\{
\begin{array}{cc}
A_{n - 1} = P_{i - 1}A + Q_{i - 1} \cdot \textnormal{ x } \cdot B\\
B_{n - 1} = R_{i - 1}A + S_{i - 1}B
\end{array}\right.$\\
($P_{-1} = 1$, $Q_{-1} = 0$, $R_{-1} = 0$)\\
mit $Gr\, P_{i - 1} \leq i - 1$ usw. Aus (50.2) \nl $Gr\,A_{n - 1} \leq n - i$ ist $A_{n - 1}$ bestimmt
bis auf einen in den Koeff $a_{\nu}$ von $A = a_{0}x^{n} + a_{1}x^{n - 1} + \cdots$, u. $b_{\nu}$ von $B_{\nu}
= b_{0}x_{n - 1} + b_{1}\,x^{n - 2} + \cdots$ rationaler Faktor. Dieser ist auf Grund 
von (50.1) leicht zu bestimmen:\\
(\nl gegen $[68]$): Es mu\ss $A_{n - 1}\nl = (-1)^{i}A(0)$ sein, dh. 
$$P_{i - 1}(0) = (-1)^{i} \qquad (i \geq 0)$$
Das gl. findet man $S_{i - 1}(0) = (-1)^{i - 1} \qquad (i\,\,\underline{\underline{>}}\,\,1)$ (Induktion mit 50.2)\\
Fasst man 50.2.1 als lineares Gl.-System f\"ur die unbekannten Beiwerte von $P_{i - 1} = 
p_{i - 1}x^{i - 1} + \cdots + p_{0}$, $Q_{i - 1} = q_{i - 1}x^{i - 1} + \cdots + q_{0}$ auf, und 
damit als Gl.-Syst. f\"ur $A_{n - i}$, so erh\"alt man die Vertr\"aglichkeitsbedingung:\\
\\
1) Verwandt mit Baltzer, Determinanten (1881) S.126 ?\\
\\
$\textbf{Seite 51}$\\
\\
{\scriptsize{
$\left|
\begin{array}{cccccccccccccccccccc}
-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&\\
|&a_{0}&&0&\cdots&0&&b_{0}&&0&\cdots&0&|&0\\
|&a_{1}&&a_{0}&\cdots&0&&b_{1}&&b_{0}&\cdots&0&|&0\\
|&\vdots&&\vdots&\cdots&\vdots&&\vdots&&\vdots&\cdots&\vdots&|&\vdots\\
|&a_{2i - 2}&&a_{2i - 3}&\cdots&a_{i - 1}&&b_{2i - 2}&&b_{2i - 3}&\cdots&b_{i - 1}&|&0\\
-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&\\
&0&&0&\cdots&0&&1&&0&\cdots&0&|&(-1)^{i}\\
&x^{i - 1}A&&x^{i - 2}A&\cdots&A&&x^{i}B&&x^{i - 1}B&\cdots&x\,B&|&A_{n - 1}
\end{array}\right| =~0
\begin{array}{cccccccc}
\nl\\
x^{n + i - 1}\\
x^{n + i - 2}\\
\\
x^{n - i + 1}\\
\\
(50.3.1)\\
(50.2.1)
\end{array}$}}\\
{\scriptsize{unbek}}: $ p_{i - 1}\qquad\quad p_{i - 2} \qquad\quad p_{0} \quad\qquad\quad q_{i - 1} \qquad\quad q_{i - 2} \qquad\quad q_{0} \qquad\quad -1$\\
oder \hfill \nl\\
\\
$A_{n - i} = 
\frac{
\left|
\begin{array}{cccccc}
a_{0} & \cdots & 0 & b_{0} & \cdots & 0\\
\vdots&&&&&\\
a_{2i - 2} & \cdots & a_{i - 1} & b_{2i - 2} & \cdots& b_{i - 1}\\
x^{i - 1}A && A & x^{i}B & \cdots & x\,B
\end{array}\right|}
{\left|
\begin{array}{cccccc}
a_{0} & \cdots & 0 & b_{0} & \cdots & 0\\
\vdots&&&&&\\
a_{2i - 2} & \cdots & a_{i} & b_{2i - 2} & \cdots& b_{i - 1}
\end{array}\right|} = \frac{\textnormal{Z\"ahler}}{
|2_{i - 2} \cdots i;\,\,2_{i - 2} \cdots i - 1|}$\\
\"Ahnlich\\
\\
$B_{n - 1} = 
\frac{
\left|
\begin{array}{cccccc}
a_{0} & \cdots & 0 & b_{0} & \cdots & 0\\
\vdots&&&&&\\
a_{2i - 3} & \cdots & a_{i - 1} & b_{2i - 3} & \cdots& b_{i - 2}\\
x^{i - 2}A && A & x^{i - 1}B & \cdots & B
\end{array}\right|}
{|2_{i - 3} \cdots i - 1;\,\, 2\,i - 3 \cdots i - 1|}
\cdot  (-1)^{i - 1}$\\
\\
$\textbf{Seite 52}$\\
\\
Die h\"ochsten Glieder sind daher (nachgeprüft am Zahlenbeispiel FB 1806/1 S. 8):\\
\\
bei $A_{n - 1} \qquad\qquad\,\,\,| 2i - 1 \cdots i,\, 2i - 1 \cdots i|:|2i - 2 \cdots i;\,2i - 2 \cdots i - 1|$\\
bei $B_{n - 1} \quad (-1)^{i - 1}| 2i - 2 \cdots i,\, 2i - 2 \cdots i - 1|:|2i - 3 \cdots i - 1;\,2i - 3 \cdots i - 1|$\\
\\
Die Vorzeichen der Imagin\"arteile der Wurzeln von $A - i\,B = 0$ sind also, wenn $A,\, B$ reell, gleich denen von $a_{0}b_{0}$, $-a_{0} \cdot
\left|
\begin{array}{ccc}
a_{0} & b_{0} & \\
a_{1} & b_{1} & b_{0}\\
a_{2} & b_{2} & b_{1}
\end{array}\right|$, \\
$+ 
\left|
\begin{array}{ccc}
a_{0} & b_{0} & 0\\
a_{1} & b_{1} & b_{0}\\
a_{2} & b_{2} & b_{1}
\end{array}\right| \cdot 
\left|
\begin{array}{ccccc}
a_{0} & 0     & b_{0} & 0     & 0\\
a_{1} & a_{0} & b_{1} & b_{0} & 0\\
a_{2} & a_{1} & b_{2} & b_{1} & b_{0}\\
a_{3} & a_{2} & b_{3} & b_{2} & b_{1}\\
a_{4} & a_{3} & b_{4} & b_{3} & b_{2}
\end{array}\right|$, \nl; mit $a_{\nu}$, $b_{\nu - 1} = 0$~$(\nu > n)$\\
dh. Vorzeichen der $Wu^{11}$ von $A - i\,B = 0$ ist gleich dem von \\
$a_{0}\,b_{0}$, $a_{0} \cdot 
\left|
\begin{array}{ccc}
b_{0} & a_{0} & \\
b_{1} & a_{1} & b_{0}\\
b_{2} & a_{2} & b_{1}
\end{array}\right|$, 
$\left|
\begin{array}{ccc}
b_{0} & a_{0} & \\
b_{1} & a_{1} & b_{0}\\
b_{2} & a_{2} & b_{1}
\end{array}\right| \cdot 
\left|
\begin{array}{ccccc}
b_{0} & a_{0} & \\
b_{1} & a_{1} & b_{0} & a_{0}& \\
b_{2} & a_{2} & b_{1} & a_{1} & b_{0}\\
b_{3} & a_{3} & b_{2} & a_{2} & b_{1}\\
a_{4} & a_{4} & b_{3} & a_{3} & b_{2}
\end{array}\right|$, $\cdots$
\subsection*{Bemerkungen zum Satz von Sturm:}
a) Sind $A,\, B$ reelle Polynome in $x$ \underline{und ist $Gr\,A \,\,\underline{\underline{>}}\,\,Gr\,B$}, so ist \\
$$n_{l} - n_{r} = W_{\infty} - \nl$$
Dabei bedeutet $n_{l}$ die Anzahl der Nullstellen $A(x) + i\, B(x)$ links von der $X-$Achse (diese von $-\infty$ nach $+\infty$ durchlaufen) und $W_{\infty}$ die Wechselzahl in \nl Sturmschen Kette f\"ur $x = +\infty$.\\
\\
$\textbf{Seite 53}$\\
\\
Ist $Gr\,A < Gr\,B$, so kann der Satz falsch werden; z.B. $A = 1$, $B = x$. \\
Kette: $1$ x $-1$; $W_{\infty} - W_{-\infty} = 0$, $n_{l} - n_{r} = 1$.\\
b) Aus dem Satz a) kann man den urspr\"unglichen Satz von Sturm zur Abspaltung der reellen Wurzeln wenigstens f\"ur den Intervall $<-\infty\,\,+\infty>$ herleiten: F\"ur $A = f(x)$, $B = i\,t\,f'(x)$ ist f\"ur kleine $t$, wie 
St\"orungsrechnung  zeigt, $n_{l} - n_{r} =$ Anzahl d. reellen Wu. von $f(x)$.
\subsection*{Bemerkung f\"ur Schur $[58]$:}
Sei $f(x) = r(x) + i \cdot a_{0}'' \cdot s(x)$; $r(x) = x^{n} + \cdots$, $s(x) = x^{n - 1} + \cdots$, $a_{0}^{n} \not= 0$.\\
Hat $f$ keine reelle Nullstelle so hat f\"ur beliebiges reelles $\rho$ auch\\
$f_{\rho}(x) = (r(x) - \rho \cdot x \cdot s(x)) + i\, a_{0}''s(x)$ keine reelle Nullstelle. Hieraus folgt leicht\\
(53.1) 
$\left\{
\begin{array}{ccccc}
sgr\,f_{\rho}(x) = s\,gr\,f(x) \qquad 0 \leq  \rho  < 1\\
sgr\,f_{1}(x) = s\,gr\,f(x) + sgn\,a''_{0};\,Gr\,f_{1} = n - 1
\end{array}\right.$\\
Daher hat $f(x)$ dund allen Wu mit \nl $\alpha > 0$, wenn $f_{1}$ dies mit und ausserdem $a_{0}'' < 0$. Gibt Abz\"ahlg der Wu von $f$ in oberer Halbebene.\\
In (53.1) bedeutet $sgr \,f(x) = \sl{f(\alpha) = 0}{} \,sgr\,\alpha''$.\\
\\
$\textbf{Seite 54}$
\subsection*{Verkettung f\"ur $(x^{2}E + x\,A + B)\,\rho = 0$ und $(x^{2}E + x\check{A} + \check{B})\,y = 0$:}
Dund existiert ein gemeinsamer EW, wenn es zwei Matrizen \nl $\not= 0$, 0 gibt mit 
$$\left\{
\begin{array}{ccccc}
P\,\check{B} - B\,P = (Q\,\check{A} - A\,Q) \cdot \check{B}\\
Q\,\check{B} - B\,Q = - (P\,\check{A} - A\,P) + (Q\,\check{A} - A\,Q)\,\check{A}
\end{array}\right.$$
Ist (54.1) l\"osbar, dann sogar mit $Rg\,(P\,Q) = 1$.
\subsection*{Newtonsches Verfahren, Variante von Stellmacher (8.3.45) f\"ur kompl. Wu einer reellen Gl.} 
Ist ein quadratisches Polynom  $Q(x) = x^{2} + a\,x + b$ bekannt, welches die linke Seite der aufzul\"osende Gl. $F(x) = 0$
n\"aherungsweise teilt, so dividiert man $F(x) = F_{1}(x) \cdot Q(x) + R(x)$, $R(x) = r_{0}x + r_{1}$,  \nl\\
und bestimmt Polynome $\delta\,F_{1}$ des Grades $n - 3$ und \nl des Grades 1 so, da\ss $ $ in\\
erster N\"aherung \qquad\qquad \enspace\,\,\,$F = (F_{1} + \delta\,F_{1}) \cdot (Q + \delta\,Q),\,$dh.\\
$$R = F_{1} \cdot \delta\,Q + Q \cdot \delta\,F_{1}$$
ist; es kommt nur auf $\delta\,Q$ an; dieses findet man aus $F_{1}\delta\,Q$ \nl $R$ (und $Q$) indem man $F_{1} = F_{2}Q + R_{1}$ setzt und das lineare Gl.-syst. mit 2 Unbekannten $\delta\,a,\,\delta\,b$: $R_{1} \cdot \delta \,\nl \equiv R$\qquad  
\nl l\"ost. Man bleibt also ganz im Reellen. St. bemerkt, da\ss $ $ \"ahnlich auch Teiler h\"oheren Grades  von $F$ verbessert werden k\"onnen.\\
\\
$\textbf{Seite 55}$\\
\\
\underline{Ein Hauptproblem  der Kreiseltheorie}(8.3.45)\\
besteht nach Stellmacher darin: Geg. $A,\,C$ reell symm. $A$ pos definit. \\
1) Wann gibt es $B$ reell schiefsymmetrisch so, da\ss $ $ $\det \,(A\,\rho^{2} + B\,\rho + C) = 0$ stabil ist ? \nl Wann kann es, bei vorgegebenem $B_{0}$, durch $B = t\, B_{0}$ mit $t \rightarrow \infty$ stabil gemacht werden ? Falls $A = E$ angenommen wird, ist nach St. der Fall $B = 
\left(
\begin{array}{cccc}
&+&&\\
-&&&\\
&&&+\\
&&-&
\end{array}\right)$ \quad$C = 
\left(
\begin{array}{cccc}
+&&&\\
&+&&\\
&&-&\\
&&&-
\end{array}\right)$ stabilisieren, der Fall $B$ wie oben, $C =
\left(
\begin{array}{cccc}
+&&&\\
&+&&\\
&&+&\\
&&&-
\end{array}\right)$ nicht.\qquad Vgl $[78]$ S.481 \nl d. Math IV \nl\\
\\
\underline{Frage:} Gibt es Aufgaben, die in bezug auf mehrere Matrizen selbstadjungiert sind,
so da\ss $ $ man durch geeignete Wahl der Metrik die g\"unstigsten optimalen Einschliessungss\"atze
aussuchen kann ?
\subsection*{Verfahren von \nl zur Gleichungsaufl\"osung $[80]$}
$f(x)$ sei stetig $\&$ reell; w\"ahle $|C| < |\frac{x_{2} - x_{1}}{f(x_{2}) - f(x_{1})}|_{\textnormal{min}}$ und setze:
$x_{n + 1} = x_{n} + c \cdot f(x_{n})$.\\
Dann kgiert $x_{n}$ monoton gegen die zun\"achst bei $x_{0}$ gelegene Nullstelle 
$\left(
\begin{array}{cccc}
> x_{0}\\
< x_{0}
\end{array}\right)$, je nachdem  $c \cdot  f(x_{0})$
{\scriptsize{$
\begin{array}{cc}
>\\
<
\end{array}$}} 0 ist.\\
\\
$\textbf{Seite 56}$\\
\\
\subsection*{Allg. selbstadj. Einschl.-Satz (Forts. von S.23); $k$ beliebige Ausgangspkte.}
Sind $k + 1$ EWe $\mu_{1},\cdots,\,\mu_{k + 1}$ realisierbar, so ist $\Delta\,(\mu_{\alpha}\mu_{\beta}) = 0$. Daher wird es i.a. gar keine $k + 1$ realisierbaren EWe geben.
\subsection*{Beispiel einer pos. definiten, aber nicht in Gesamtschritten iterationsf\"ahigen Matrix:}
F\"ur $M = 
\left(
\begin{array}{ccc}
3 & -2 & -2\\
-2 & 3 & 2\\
-2  & 2 & 3
\end{array}\right)$ sind die EWe 1, 1, 7 und f\"ur die Iterationsmatrix\\
$$F = 
 \left(
\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{2}{3} & -\frac{2}{3} \\
-\frac{2}{3} & 0 & \frac{2}{3}\\
-\frac{2}{3} &  \frac{2}{3} & 0
\end{array}\right): \qquad -\frac{2}{3} ,\, -\frac{2}{3},\, +\underline{ \frac{4}{3} > 1}$$ 
Die Reihe \\
$(1 + F)^{-1} \cdot 1 - F + F^{2} \cdots + \cdots$ kgiert also nicht.\\
(Dass die Iteration in Gesamtschritten auch bei positiv definiten $M$ nicht zu
kgieren braucht, erw\"ahnt ohne Beispiel v. Mises $[80]$. Sein Beweis aber,
da\ss $ $ bei pos. definitem $M$ die Iteration in Einzelschritten stets
konvergiert, ist mindestens l\"uckenhaft: gezeigt wird nur die Kgenz von
$\sl{1}{\infty}\,|\, \mathfrak{q}^{(\nu + 1)} - \mathfrak{q}^{(\nu)}|^{2}$.) F\"ur $M =
 \left(
\begin{array}{ccc}
1 & a_{\nl} & a_{13}\\
a_{12} & 1 & a_{23}\\
a_{31} & a_{12} & 1
\end{array}\right)$ konvergiert\\
\\
$\textbf{Seite 57}$\\
\\
die Iteration in Einzelschritten dund, wenn alle EWe von \\
(57.1) \quad
$\left(
\begin{array}{ccc}
a_{12}\,a_{21} & a_{13}\,a_{21} - a_{23}\\
a_{12}\,a_{31} - a_{12}\,a_{31}\,a_{32} & a_{13}\,a_{31} + a_{23}\,a_{32} - a_{13}\,a_{21}\,a_{32}
\end{array}\right)$ absolut $< 1$ sind.
\subsection*{Zur Residuenrechnung der Funktionentheorie in allgemeineren R\"aumen.}
Ist $f(z) = a_{0} + a_{1}z + \cdots$, $a_{\nu}$ in einem nicht notw. kommutativen (\nl oder topologischen) Ring, $f' = a_{1} + 2a_{2}z + \cdots$ \nl\\
$f' \cdot f^{-1} = b_{-1} \cdot \frac{1}{z} + b_{0} + \cdots$, so ist 
$$0 = a_{0}\,b_{-1}$$
(57.2) \qquad \qquad\qquad\qquad$1 \cdot a_{1} = a_{0}b_{0} + a_{1}b_{-1}$
$$2 \cdot a_{2} = a_{0}b_{1} + a_{1}b_{0} + a_{2}b_{-1} \quad\textnormal{ usw.}$$
Daraus folgt $a_{1} \cdot (b_{-1}^{2} - b_{-1}) = 0$. \\
Sind alle $a_{\nu}$ miteinander vertauschbar, so darf man auch die $a_{nu}$ mit den $b_{\lambda}$ vertauschbar. Ist $f = 1 - \lambda\,\mathfrak{K}$ (und ist $\lambda_{\nu}$ \underline{einfacher} \nl von $\frac{\mathfrak{K}}{1 - \lambda\,\mathfrak{K}}$), so ist bei $ \frac{-\mathfrak{K}}{1 - \lambda\,\mathfrak{K}} = \frac{R_{\nu}}{\lambda - \lambda_{\nu}} + \mathfrak{p}(\lambda - \lambda_{\nu})$ stets\\
\\
(57.3)\quad $(1 - \lambda_{\nu}\mathfrak{K})\,R_{\nu} = 0 = R_{\nu}(1 - \lambda_{\nu}\mathfrak{K})$; $R_{\mu}R_{\nu} = \delta_{\mu\,\nu} \cdot R_{\mu}$.\\
\\
$\textbf{Seite 58}$\\
\\
Aus der Partialbruchentwicklung von $\frac{\mathfrak{K}}{1 - \lambda\,\mathfrak{K}}$ k\"onnte man Entwicklungss\"atze  hinsichtlich jeder Metrik bekommen, bei der \underline{jeder idempotente Operator welcher} einen beschr\"ankten Betrag hat, 
durch Polynome in $\mathfrak{K}$ gleichm\"a\ss ig approximiert werden kann.
\subsection*{Hauptl\"osungen hoher Stufe bei Dglen}
Die Aufgabe $y' = \lambda\,y$ mit der Nebenbedingung $y\,y = 0$ hat die Hauptl\"osungen der Stufe $\sigma$ \quad $y_{\sigma}= \nl \cdot e^{x} \qquad (\sigma = 1 \cdots s)$ zum Eigenwert $\lambda = 1$, wenn $y$ so gew\"ahlt ist, dass \nl $= 0$ \nl\\
Aufgabe: Ein Beisp. mit Dgl. $\lambda$- Ord., wo Randbedgg. nur $y_{0}y'_{0}y_{1}y'_{1}$ enth\"alt.
\subsection*{Beweis des Satzes von Grace:} Sind $f(x)$, $g(x)$ zwei apolare Polynome des Grades $n$, so gibt es keinen Kreis, der die Nullstellen $\alpha_{\nu}$ von $f$ trennt man denen von $(\beta_{\nu})$ von $g$: \\
(1) $f = [(x - a)^{n}]_{a} \nl,$ $g = [(x - b)^{n}]_{b}$; Apolarit\"at: $[\underline{(a - b)}^{n}]_{a,\,b} = 0$ ist invariant gegen gebr. lin. Trans. von $x$\\
$geometr.$ $Bedeutg.$ $auf$ $Zahlenkugel$ $\xi$
(2) Sind alle \nl verschieden, so transformiere $\alpha_{n} = \infty$. Die Apolarit\"at zeigt dann: 
$G(x) = d_{1} \cdot (x - d_{1}) ^{n} + \cdots + d_{n - 1}(x - d_{n - 1})^{n} + d_{n} \cdot 1$, daher ist $g'(x)$ apolar zu
$\Pi_{1}^{n - 1} (x - d_{\nu})$; jeder Kreis, der alle $\beta_{\nu}$ enth\"alt, enth\"alt auch (nach Gau\ss) alle Nullstellen $\beta'_{nu}$ von $g'$, also nach Induktion ein $\alpha_{\nu}$.\\
\nl\\
\\
$\textbf{Seite 59}$\\
\\
\underline{Fragen:} 
\begin{enumerate}
\item Zwei ganze Transzendente $f(z)$, $g(z)$ m\"ogen teilerfremd heissen, wenn es zwei ganze Transzendente  $\nl$, $G(z)$ gibt mit \nl = 1. Sind zwei Fkt. ohne gemeinsame Nullstelle teilerfremd ? 
\item L\"asst sich jeder ausserhalb  das Einheitskreises regul\"are Funktion zerlegen in die Summe von zweien, die in der linken und rechten Halbebene regul\"ar sind ?
\item Kann man den Weinsteinschen Einschliessungssatz auf die Eigenfunktionen ausdehnen ? Wohl nur, wenn man Voraussetzungen \"uber den n\"achsten Eigenwert beim gesuchten macht. V 80
\item Wie l\"a\ss t sich der Einschl.-Satz von Temple auf normale Matrizen ausdehnen ? V 71
\end{enumerate}
\subsection*{$e$ ist keine quadratische Irrationalit\"at}
Denn aus $a\,e^{2} + b\,e + c = 0$, \nl ganz \quad folgt: $0 = n!\,(a\,e + b + c \cdot e^{-1}) = $ganz  $+ \varepsilon$\\
mit $0 < \varepsilon < 1 $  f\"ur gen\"ugend grosse $n$.\\
\\
$\textbf{Seite 60}$\\
\\
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
\textnormal{Einschliessungssatz f\"ur das Iterationsverfahren selbstadj. Eigenwertaufgaben. 1.5.45}\\
\hline
\end{tabular}$ 
(a) \underline{Vor.}: Gegeben $2s + 1$ ''Momente''$m_{0} = 1,\, m_{1},\cdots,\, m_{2s},$ reell,\\
\\
$\left(
\begin{array}{ccccc}
m_{0} & m_{1} & \cdots & m_{s}\\
m_{1} & m_{2} & \cdots & m_{s + 1}\\
\cdot & \cdot & \cdots & \cdot \\
m_{s} & m_{s + 1} & \cdots & \nl
\end{array}\right)$ pos. def.\\
a) \underline{Def.}: ''Spektrum'' = endlich viele (nicht notw. verschiedene) reelle Zahlen $\mu_{1},\cdots$, $\mu_{n}$.\\
Ein Spektrum heisst "m\"oglich", wenn es eine reelle symm. Matrix $A$ des Grades $n$ und eine reelle Spalte $\mathfrak{q}$ mit $n$ Komponenten gibt, so da\ss 
\begin{enumerate}
\item $\mathfrak{q}'A^{\sigma}\mathfrak{q} = m_{\sigma} \qquad (\sigma = 0,\, 1,\cdots, \, 2s)$
\item $A$ genau die Eigenwerte $\mu_{1},\cdots,\, \mu_{n}$ besitzt.
\end{enumerate}
Eine Punktmenge $\mathfrak{f}$ der $\mu$-Geraden heisst ''Einschliessungsmenge'', wenn sie mit jedem m\"oglichen Spektrum mindestens einen Punkt  gemein hat. Eine Einschliessungsmenge heisst ''minimal'', wenn kein echter Teil von ihr Einschliessungsmenge ist.- F\"ur $f(x) = \sl{0}{2s}\,c_{\sigma}x^{\sigma}$ setze $[f(x)] = \sl{0}{2s}\,c_{\sigma}m_{\sigma}$.\\
\underline{Aufgabe:} Wann ist ein vorgelegter Spektrum m\"oglich ? Konstruktion aller (inbes. der minimalen)  Einschliessungsmengen ?\\
\\
b) Das Spektrum $\{\mu_{1},\cdots,\,\mu_{n}\}$ ist dund m\"oglich, wenn das Gl.-System $\sl{\nu = 1}{n}\,\mu_{\nu}^{\sigma} \cdot p_{\nu} = m_{\sigma} \quad (\sigma = 0,\, 1,\,\cdots,\, 2s)$ eine L\"osung $ p_{1} \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0 , \cdots,\, p_{n}\,\,\underline{\underline{>}}\,\,0$ hat.\\
Bew.: $p_{\nu} = x_{\nu}^{2}$, wenn $A$ auf Hauptachsen transformiert ist, und $\mathfrak{q} = 
\left(
\begin{array}{ccccc}
x_{1}\\
\vdots\\
x_{n}
\end{array}\right)$ \\
c) Ein allg. linearer Gleichungssystem $\sl{\nu = 1}{n}\,a_{\sigma\,\nu}p_{\nu} = m_{\sigma} \quad (\sigma = 1 \cdots r)$ hat dund eine nichtnegative L\"osung $\mu_{1},\cdots,\mu_{n}$, wenn \\
\\
\nl\\
\\
$\textbf{Seite 61}$\\
\\
aus $\sl{\sigma = 1}{r}\,a_{\sigma\,\nu}\,q_{\sigma} \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$ stets folgt $\sl{\sigma = 1}{r}\,m_{\sigma}\,q_{\sigma} \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$, \qquad ($q_{\sigma}$ reell.)\\
Bew.: ''Nur dann'' klar. \nl: Die Punktm $\{m_{1},\cdots,\, m_{r}$ des $n$-dim. Raumes, die sich durch die $n$ Punkte $\mathfrak{u}_{\gamma}$ (Spalten von $a_{\sigma\,\nu}$) mit Hilfe nicht negativer Koeffizienten darstellen lassen, bilden eine abgeschlossene konvexe Punktmenge $\mathfrak{K}$. Wenn ein Punkt $m^{*} \not\subset \mathfrak{K}$ ist, so gibt es eine Hyperebene $G$, derart dass $\mathfrak{K}$ ganz in dem einen abgeschlossenen Halbraum von $G$ liegt, und $m^{*}$ im andern, offenen. Eine solche Hyperebene $G$ erh\"alt man, wenn man $m^{*}$ mit einem n\"achstgelegenen Punkt $p \subset \mathfrak{K}$ geradlinig verbindet und darauf in $p$ die total senkrechte Hyperebene $G$ bestimmt. Hat $G$ die Gl. $\Sigma \,q_{\sigma}m_{\sigma} = 0$, bei passender Wahl des Vorzeichens  $\Sigma\,m_{\sigma}^{*}q_{\sigma} < 0$ und f\"ur die auf $\mathfrak{K}$ gelegenen Punkt $\mathfrak{u}_{\nu}$ \qquad $\Sigma\,a_{\sigma\,\nu}q_{\sigma} \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$.\\
\\
d) Das Spektrum $\{\dot{\mu}_{\nu}\} = \{\mu_{1},\cdots,\,\mu_{n}\}$ ist dund m\"oglich, wenn f\"ur Polynome $f(x)$ (des Grades $\,\,\underline{\underline{<}}\,\,2s$) aus $''f(\mu_{\nu})  \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$ f. alle  $\nu$ '' folgt $[f(\dot{x})] \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$. Gleichwertig: $\{\mu_{\nu}\}$ ist dund m\"oglich, wenn aus $[f(x)]= 0$ \\
folgt: 
$\left\{
\begin{array}{ccccc}
\textnormal{es gibt ein } \mu_{\alpha} \textnormal{ mit } f(\mu_{\alpha}) \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0 \textnormal{ und}\\
\textnormal{es gibt ein } \mu_{\beta} \textnormal{ mit } f(\mu_{\beta}) \,\,\underline{\underline{<}}\,\, 0 \textnormal{ und}
\end{array}\right.$ \qquad Bew: $\{1\} = 1 \not= 0$.\\
Gleichwertig: $\{\mu_{\nu}\}$ ist dund \underline{un}m\"oglich, wenn es ein Nullpolynom $f(x)$ gibt, f\"ur welches $f(\mu_{\nu}) >  0$ f. alle $\nu$.\\
\\
$\textbf{Seite 62}$\\
\\
e) $\{\mu_{1},\cdots,\,\mu_{n},\, \mu_{n + 1} = \mu_{n}\}$ ist dund m\"oglich, wenn $\{\mu_{1},\cdots,\, \mu_{n}\}$ 
m\"oglich. Bew.: (b) oder (d)\\
\\
f) Jedes Nullpolynom besitz mindestens  eine Zeichenwechselstelle , ausser wenn es identisch verschwindet. \\
Bew.: Ist $f(x) \not\equiv 0$ und $f(x)  \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$, so ist $f(x)  = \nl \Pi (x - a_{\lambda})^{2} \,\Pi_{\tau}(x - b_{\tau})\,(x - \overline{b}_{\tau})$. Da jedes $f(x)$ definite quadratische Polynom Quadratsumme = linear ist, ist auch $f(x)  = \Sigma g_{\rho}(x)^{2}$, $g_{\rho}$ reell. Wegen Definitheit von $(m_{\alpha + \beta})$ ist dann $[f(x)] > 0$; denn f\"ur $g(x) = \sl{0}{\xi} c_{\nu}\,x^{\nu} \not\equiv 0$ ist \quad $[g^{2}(x)] = \sl{0}{\xi}\,\sl{0}{\xi}\,m_{\alpha + \beta}\,c_{\alpha}\,c_{\beta} > 0$.\\
\\
g) Jedes m\"ogliche Spektrum $\{\mu_{1},\cdots,\, \mu_{n}\}$ mit $n > 2s + 1$ enth\"alt ein m\"ogliches Spektrum von $n - 1$ Zahlen $\mu_{1}$; daher dann sogar eins von $2s + 1$ Zahlen $\mu_{1}$.\\ 
 Bew.: Das Gl.-Syst. (b) hat eine zumindestens) einparametrige Schar von L\"osungen. Eine Gerade, die einen Punkt mit dem abgeschl. positiven  Quadranten des $\{p_{1},\cdots,\, p_{n}\}$-Raumes gemein hat, hat aber auch einen Randpkt. gemein, dh. es gibt eine L\"osung  mit z.B. $p_{n} = 0$; dann $\{\mu_{1} \cdots \mu_{n - 1}\}$ m\"oglich. \\
\\
h) Ein Spektrum von $ n\,\,\underline{\underline{<}}\,\, 2s + 1$ \underline{\underline{verschiedener}} Zahlen $\mu_{n} < \mu_{n - 1} < \cdots < \mu_{2} < \mu_{1}$ m\"oglich, wenn (1) $[\frac{(-1)^{k - 1}}{x - \mu_{k}} \cdot \Pi_{1}^{n} ( x  - \mu_{d})] \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0 $ und f\"ur $n \,\,\underline{\underline{<}}\,\, 2s$ 
(2) $[G(x)  \cdot \Pi_{1}^{n}(x - \mu_{d})] = 0$ \qquad f. alle $G(x)$ mit Grad $\underline{<} 2s - n$\\
Bew.: (d); jedes $f(x)$ mit $f(\mu_{d})\,\, \underline{\underline{>}}\,\, 0$ f. alle $d$ ist Linearverbindung mit Koeff. 
$ \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$\\
\\
$\textbf{Seite 63}$\\
\\
i) Ist $\mathfrak{f}$ eine abgeschlossene Einschliessungsmenge, so gibt es ein Nullpolynom $f(x)$ derart, dass die Menge $\mathfrak{f}\,(f \,\,\underline{\underline{<}}\,\, 0)$ derjenigen $\mu$ f\"ur die $f(\mu) \,\,\underline{\underline{<}}\,\,0$ in $\mathfrak{f}$ enthalten ist;  $\mathfrak{f}\,(f \,\,\underline{\underline{<}}\,\, 0)$ ist eine Einschl.-menge\\
\nl\\
Bew.: Jedes zu $\mathfrak{f}$ fremde Spektrum ist unm\"oglich; w\"ahle in der Komplement\"armenge $\mathfrak{f}^{*}$ von $f$ eine abz\"ahlbare \"uberall dichte Teilmenge  $e^{*}_{1},\cdots$\\
Dann gibt es eine Folge von Nullpolynomen $f_{1},\,f_{2},\cdots$ so da\ss $ $ $f_{n}\,\nl > 0$ f\"ur $a \,\,\underline{\underline{<}}\,\, n $ und da\ss $ $ die Quadratsumme der Koeff. von $f_{n} = 1$ ist. Eine Teilfolge der $f_{n}$ kgiert koeffizientenm\"a\ss ig  gegen ein Nullpolynom $f(x)$. Dies ist $  \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$ f\"ur alle $e^{*}_{d}$, daher $f(x) \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$ auf $\mathfrak{f}^{*}$, d.h. $\mathfrak{f}(f \,\,\underline{\underline{<}}\,\, 0) \subset f$. Rest: (d).\\
\\
j) Jede Einschliessungsmenge enth\"alt die Menge $\mathfrak{f}(f < 0)$ f\"ur ein passendes Nullpolynom $f$. \qquad Bew. wie (i).\\
\\
k) $s = 1$. Ein Spektrum $\{\mu_{1},\,\mu_{2}\}$ ist dund m\"oglich, wenn $\Pi(x - \mu_{i})]$. Dann gibt es ein Nullpol. $f$ mit $f(\mu_{1}) > 0$, $f(\mu_{2}) > 0$, so auch ein lineares: d.h. mit Rayleighzahl $\gamma$ w\"are etwa $\mu_{1} > 0$, $\mu_{2} > \gamma$. Aber $(x - \mu_{1})\,(x - \mu_{2}) = (x + a) \cdot (x - \gamma) + (\gamma - \mu_{1})\,(\gamma - \mu_{2})$ zeigt $(\gamma - \mu_{1})\,(\gamma - \mu_{2}) < 0$. Hieraus folgt: Jede Einschliessungsmenge enth\"alt eine minimale, und diese sind 1) Die Intervalle $n \,\,\underline{\underline{<}}\,\, \mu < 0$ und $n < \mu \,\,\underline{\underline{<}}\,\,v$  mit  $[(x - n)\,(x - v)] = 0$ \\
2) deren Komplemente, \qquad 3) $\mu < \gamma$, $\mu > \gamma$.\\
\\
$\textbf{Seite 64}$\\
\\
Ein Spektrum $\mu_{1} < \cdots < \mu_{2}\,(\underline{\underline{<}}\,\, x \,\,\underline{\underline{<}})\,\mu_{3} < \cdots < \mu_{\nu}$ ist dund m\"oglich, wenn $[(x - \mu_{1})\,(x - \mu_{n})] \,\,\underline{\underline{<}}\,\, 0$, $[(x - \mu_{2})\,(x - \mu_{3})] \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$. Ein Spektrum $\,\,\underline{\underline{>}}\,\,$ ist unm\"oglich, dgl. $ \,\,\underline{\underline{<}}\,\, \gamma$. Bew. f\"ur das letzte: \nl $f(x) > 0$ auf Spektr. und Nullpol. Dabei $f(x) = (x - d)\,(x - \mu_{n} - 1)$. Es  gibt genau eine minimale zweifache Einschliessungsmenge, n\"amlich die volle Gerade unter Ausschlu\ss $ $ von $\gamma$. Drei feine gibt nicht. Ein Spektrum ist dann und nur dann m\"oglich, wenn es mit jeder minimalen Einschliessungsmenge  einen Punkt gemein hat. Anstatt das System \underline{aller} m. \nl wird man aber hier auch jedes in ihm dichte Teilsystem nehmen k\"onnen.\\
\\
l) $s = 2$. Bilden $a < b < c$ eine Familie, so sind $a \,\,\underline{\underline{<}}\,\, \mu < b$, $a < \mu \,\,\underline{\underline{<}}\,\, b$,$\cdots$, 
$\left\{
\begin{array}{cc}
\mu \leq a\\
\mu > c
\end{array}\right.$ minimale Einschliessungsmenge des gleichen $\{a < \mu < b$; $c\}$. Bew.: Enschliessungseigenschaft z.B. von $a \,\,\underline{\underline{<}}\,\, \mu < b$ folgt durch Stetigkeitsbetrachtung f. benachbarte zu $\{a \,\,\underline{\underline{<}}\,\, \mu \,\,\underline{\underline{<}}\,\, b$, $\mu = c\}$; (siehe hierzu V 11) \nl folgt aus der M\"oglichkeit jeder Familie: Diese Mengen enthalten aus jeder Familie genau einen Vertreter, so da\ss $ $ h\"ochstens ev. eine Galerkinzahl $\mu_{1}$  entbehrlich w\"are: $a < \gamma_{1} < b$; nach $g$ m\"usste $[(x - a)\,(x - \gamma_{1})^{2}(x - b)] = 0$ sein, was zusammen mit $[(x - a)\,(x - \gamma_{1})\,(x - b)\,(x - c)] = 0$ ergibt $[(x - a)\,(x - \gamma_{1})\,(x - b)] = 0$; $\gamma_{1} = c$. Sind $\gamma_{1} < \gamma_{2}$ die Galerkinzahlen, d.h. $[(x - \gamma_{1})\,(x - \gamma_{2})] = [x\,(x - \gamma_{1})\,(x - \gamma_{2})] = 0$, so sind $\mu < \gamma_{1}$; $\gamma_{1} < \mu < \gamma_{2}$; $\gamma_{2} < \mu$ minim. Einschl.-mengen;\\
\\
$\textbf{Seite 65}$\\
\\
Bew. f\"ur $\mu < \gamma_{1}$: Sei $\mu_{1} \cdots \mu_{n}$ ein Spektrum $\underline{\underline{>}}\,\, \gamma_{1}$, sei $m > \mu_{\textnormal{max}}$; sei \nl die Familie von $m$ .  Dann ist $(x - k)\,(x - c)^{2}(x - m)$ ein Nullpolynom, das auf dem ganzen Spektrum $< 0$ ist (wenn $m$ noch so gew\"ahlt ist,  dass alle $\mu_{i} \not= l$).\\
Bew. f\"ur $\gamma_{1} < \mu < \gamma_{2}$: Da (durch Stetigkeit)  $\gamma_{1} \,\,\underline{\underline{<}}\,\, \mu < \gamma_{2}$ und $\gamma_{1} < \mu \leq \gamma_{2}$ E-mengen sind, m\"usste jedes m\"ogliche und zu $\gamma_{1} < \mu < \gamma_{2}$ fremde Spektrum die Punkte $\gamma_{1} \,\&\, \gamma_{2}$ enthalten; sei es etwa $\mu_{1} \leq \gamma_{1} < \gamma_{2} \leq \mu_{4} \leq \mu_{5}$ m\"oglich, dann w\"are $[(x - \mu_{1})\,(x - \gamma_{1})\,\nl\,(x - \mu_{5})] 
\,\,\underline{\underline{<}}\,\,  0$, daher $[x^{2}(x - \gamma_{1})\,(x - \gamma_{2})]\,\,\underline{\underline{<}}\,\, 0$, $[(x - \gamma_{1})^{2}(x - \gamma_{2})^{2}] \,\,\underline{\underline{<}}\,\, 0$, geht nicht. \\
Ist $ \mu_{1} < \mu_{2} < \mu_{3} < \mu_{4}$ ein m\"ogliches Spektrum, von dem nicht drei Zahlen eine Familie bilden, so sind die 8 Mengen, die aus \nl durch Hinzuf\"uhren \underline{eines} $\mu_{i}$ entstehen, minimale Einschliessungsmengen. Dann nimmt man \underline{alle} $\mu_{\varepsilon}$ zu, so stimmt (erh\"alt man eine E-Mge), und durch geringe Verschiebung    
der $\mu_{i}$, bis der nur $[\Pi\,(x - \mu_{i})] = 0$ bleiben mu\ss , entstehen abgeschlossene Einschliessungsmengen, deren limes eine beliebige der 4 obigen Mengen. -Dass diese Mengen minimal sind, folgt aus (j): Es g\"abe sonst ein Nullpolynom $\varphi$, dessen Negativmengen echter Teil von $\{\,\,\}$ ist; es w\"are also $q(\mu_{i}) \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$, und etwa $\varphi(\mu_{1}) > 0$, dann gibt es kein Nullpolynom $\psi$, das auf $\mu_{2},\,\mu_{3},\,\mu_{4} > 0$ ist, da sonst $\psi +$ const $\cdot \varphi > 0$ \nl $\mu_{1} \cdots \mu_{4}$ trotz (d). Also w\"aren $\mu_{2} \cdots \mu_{4}$ m\"oglich, dh. eine Familie. Die Diskussion der minimalen E-Mengen, die die Negativmenge $\mathfrak{f}$ \nl f\"ur ein Nullpolynom 3. Grades enthalten, wird recht \nl durch Fallunterscheidungen \nl\\
 \\
$\textbf{Seite 66}$\\
\\
(m) \underline{Uneigentliche Spektren} einf\"uhren, $\{\mu_{1},\cdots,\,\mu_{n},\,\infty\}$ heisst m\"oglich, wenn
$\left\{
\begin{array}{ccccc}
p_{1} + p_{2} + \cdots + p_{n} + p_{\infty} = m_{0}\\
\mu_{1}p_{1} + \mu_{2}\,p_{2} + \cdots + \mu_{n}\,p_{n} + 0 \, p_{\infty} = m_{1}\\
\cdots \hfill \cdots\\
\mu_{1}^{2s - 1}p_{1} + \mu_{2}^{2s - 1}p_{2} + \cdots + \mu_{n}^{2s - 1}p_{n} + 0 \cdot p_{\infty} = m_{2s - 1}\\
\mu_{1}^{2s}p_{1} + \mu_{2}^{2s}p_{2} + \cdots + \mu_{n}^{2s}p_{n} + 1 \cdot p_{\infty} = m_{2s}
\end{array}\right.$ \\
eine L\"osung vgl. dazu S.72 unten ! $p_{1} \,\,\underline{\underline{>}}\,\,0,\cdots,\,p_{n}  \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0, \,p_{\infty} \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$ besitzt. Die Teilmenge $\mathfrak{f}$ der reellen Geraden (einschl. $\infty$) heisst uneigentliche Einschl.-menge, wenn sie von jedem m\"oglichen (eigentl. od. uneigentl.) Spektrum Pkt. enth.\\
Schreibt man f\"ur ein Polynom $f(x) = a_{0} + \dots + a_{2s}x^{2s}$\\
 $f(\infty) =
\left\{
\begin{array}{ccccc}
\textnormal{pos. f\"ur } a_{2s} > 0\\
0 \quad\textnormal{ f\"ur }\quad =  0\\
\textnormal{ neg. } \qquad < 0
\end{array}\right.$, so gelten (d) bis (j) f\"ur Uneigentliches.\\
Daher erh\"alt (h) die Form:\\
(h') $\mu_{1} < \mu_{2} < \cdots < \mu_{k} < \infty = \mu_{k + 1}$ (1)  mit $k = 2s$ sind dund m\"oglich, wenn \\
$\left\{
\begin{array}{ccccccccccccccccc}
[\Pi_{1}^{k}(x - \mu_{k}) \cdot x^{2s - k}] \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0,\quad [\Pi_{1}^{k}(x - \mu_{k})\,x^{\rho}] = 0\qquad \textnormal{f\"ur } \rho = 0,\cdots,\,2s - k - 1 \\
\nl
\end{array}\right.$ 
\\
Die fr\"uhen betrachteten ("eigentlichen") Einschl.-mengen sind diejenigen Teilmengen der endl. Geraden, welche mit $\infty$ zusammen eine \nl Einschliessungsmenge bilden. Die mininmalen eigentlichen entstehen aus denjenigen minimalen uneigentlichen, welche den Pkt $\infty$ enthalten durch Erlassen dieses Punktes  \nl .\\
 \\
$\textbf{Seite 67}$\\
\\
n) Setzt f\"ur Formen der Dimension $2s$ wie 
$\mathfrak{F} = \sl{0}{2s}\,a_{\nu}\,x^{2}\,y^{2s - \nu}$, $[\mathfrak{F}] = \Sigma\,a_{\nu}\,m_{\nu}$, so gilt nach (d): Ein (bel.) Spektrum ist dund unm\"oglich, wenn es eine Nullform $[f] = 0$ gibt, \nl dem ganzen Spektrum positiv ist (diese Bedgg ist sinnvoll, da Dim $f$ gerade)\\
Oder: Spektrum ist m\"oglich, wenn die ''Momentenform'' 
$[\left|
\begin{array}{cc}
x & \xi\\
y  & \eta
\end{array}\right|^{2s}]_{xy}$ sich mit Koeff \nl 0 aus der 
$\left|
\begin{array}{cc}
\mu_{nu} & \xi\\
1  & \eta
\end{array}\right|^{2s}$,  
$\left|
\begin{array}{cc}
0 & \xi\\
1  & \eta
\end{array}\right|^{2s}$ zusammensetzen l\"asst.\\
o) \underline{Minimalform.} Def.: Eine Nullform \nl heisst ''Minimalform'', wenn es keine Nullform $\mathfrak{G}$ gibt, deren Menge $\mathfrak{f}\,(\mathfrak{G}  < 0)$ echter Teil der Menge $\mathfrak{f}\,(M < 0)$ ist. Nach (j) enth\"alt jede Einschliessungsmenge $\mathfrak{f}$ die Negativmenge einer gewissen Minimalform \\
1) Die reellen Nullstellen jeder Minimalform $M$ bilden ein m\"ogliches Spektrum.\\
Bew.: Sonst $[\mathfrak{F}] = 0$, $\mathfrak{F} > 0$ wo $M = 0$, setze $M_{1} = M + \varepsilon\,\mathfrak{F}$, $\varepsilon > 0$ klein; \\
kennzeichne die Pkte der proj. Geraden $f$  durch $(x,\, y)$ mit $x^{2} + y^{2} = 1$. W\"ahle uns jeden Nullpkt $\mathfrak{F}_{\nu}$ von $M$ ein Intervall $\mathfrak{F}_{\nu}$, in dem $\mathfrak{F} \,\,\underline{\underline{>}}\,\, \rho > 0$; auf dem Restgebiet sei  $|M|  \,\,\underline{\underline{>}}\,\,  \delta$ und $|\mathfrak{F}| < \eta$; dann tuts $\varepsilon = \frac{\delta}{\eta}$: aus $M_{1} \,\,\underline{\underline{<}}\,\, 0$ folgt $M \,\,\underline{\not\geq}\,\, \delta$, also
$M \,\,\underline{\underline{<}}\,\, -\delta$ oder $(x\,y) \in \mathfrak{F}_{\nu}$ dort aber folgt $M \leq -\varepsilon\,\rho$; also $\mathfrak{f}(M_{1}) \,\,\underline{\underline{>}}\,\,  \nl$.\\
2) Ein Minimalpolynom hat keine reelle Nullstelle, deren Ordnung $> 2$ w\"are. Denn aus  $M = N \cdot
\begin{array}{ccc}
\\
(\beta\,x - d\,y)^{2}\\
1 \qquad 1
\end{array}$, $N
\begin{array}{ccc}
\\
(\alpha & \beta)\\
1 & 1
\end{array} = 0$ folgt, dass f\"ur alle  $(\alpha\,\beta) < \mathfrak{P}$\quad $\mathfrak{F} = N \cdot (\beta\,x - d\,y)^{2}$ auf dem Spektrum von $M$ \nl ist und daher  $[\mathfrak{F}] = 0$; da nun jede reelle Form des Grades 2 Linearverbindung reeller Quadrate ist, folgt $[N \cdot L_{1}\cdot L_{2}] = 0$ f\"ur jedes Paar von reellen\\
\\
$\textbf{Seite 68}$\\
\\
Linearformen; damit k\"onnte man aber ein Negativ-Intervall von $M$ ausl\"oschen. - Der gleiche Schluss zeigt, da\ss $ $ $M$ keinen definiten Teiler, dh. keine komplexe Nullstelle besitzt.\\
3) In der Umgebung einer zweifachen Nullstelle ist ein Minimalform stets $> 0$. Dann sei $M = N\, \mathfrak{L}_{0} \mathfrak{L}_{1}^{2}\mathfrak{L}_{2}$ \nl Linearform, $\mathfrak{L}_{i}(\varphi_{i}) = 0$\\
W\"are $\varphi_{0} < \varphi_{1} < \varphi_{2}$, $\&$ $N \,\,\underline{\underline{<}}\,\, 0$ auf diesem Intervall, so w\"are die Negativmenge von $M_{1} = N\,  
\mathfrak{L}_{0}^{2}\mathfrak{L}_{1}\mathfrak{L}_{2}$ kleiner als die von $M$, andererseits w\"are $[M_{1}] = 0$, da $M_{1} = 0$ \"uberall, wo $M = 0$.\\
4) Ist $M$ Minimalform, $M(a) = 0$, so ist  $\mathfrak{f} = \{M < 0;\, a\}$ eine min Einschliessungsmenge. (Minimalit\"at  folgt aus $j$; Einschliessung so: \nl einfach, $M = \mathfrak{L}_{1} \cdot N$, $  \mathfrak{L}_{1}(a) = 0$. Da $[\mathfrak{L}\,N] \not\equiv 0$ f\"ur alle Linearformen $\mathfrak{L}$, kann man \\
\\
\\
$\textbf{Seite 69}$\\
\\
$\mathfrak{L}_{1}$ gering ab\"andern so da\ss $[N\,\mathfrak{L}_{1}'] < 0$; f\"ur geeignetes kleines $\varepsilon > 0$ ist $[j] = [N\, \mathfrak{L}_{1}'  + \varepsilon\,\mathfrak{L}_{1}^{2s}] = 0$; die Menge $\{\mathfrak{F}\,\nl\,0\}$ ist Einschliessungsmenge; und die Grenzmenge f\"ur $\varepsilon \rightarrow 0$, dh. die Gesamtheit  der $\mu_{1}$ f\"ur die unendlich oft $\mathfrak{F}_{\varepsilon}\,\,\underline{\underline{<}}\,\, 0$, ist $\{M < 0; \,a\}$. Ist nun $a$ doppelt: $M = N \cdot \mathfrak{L}_{1}^{2}$, $[\mathfrak{L}_{1}]^{2s} = 1$, so gibt es $\mathfrak{L}_{2}$ mit $[N\,\mathfrak{L}_{2}^{2}] = 1$; $\mathfrak{F} = N \cdot (\mathfrak{L}_{1}^{2} - \varepsilon^{2}\, \mathfrak{L}_{2}^{2}) + \varepsilon^{2} \cdot \mathfrak{L}_{1}^{2s}$ wo $\mathfrak{F} \leq 0$ ist $M < 0$ oder $\mathfrak{L}_{1}^{2} \pm \varepsilon^{2}\, \mathfrak{L}_{2}^{2} \,\,\underline{\underline{<}}\,\, 0$; Grenzmenge \nl $\{M < 0;\, a\}$. Da jede Einschl.-Menge $\mathfrak{f}$ die Neg.-Menge eines Minimalpolynoms $M$ und einen seiner Nullpkte (da diese realisierbar) enth\"alt, gilt.\\
\\
p) Jede minimale Einschliessungsmenge besteht aus $\{M < 0; \,a\}$ wobei $M$ ein bel. Minimalpolynom $M$ und $a$ eine beliebige seiner Nullstelle ist.\\
Zu jeder gebr. rat. Fkt. $\varphi(x)$ des Grades $s$ kennt man einen Momentenpkt $\varphi(A)$. Sind die Einschliessungsmengen die Orginale (dh. einen Pk als Wertevorrats) von $\varphi(\lambda) \subset$  \nl\\
q) Die voneinander verschiedenen Zahlen \nl bilden dund die Nullstellen eines Minimalpolynoms $A\,B^{2}$, wenn (1) zwischen je zwei $\beta_{i}$ eine \underline{gerade} Anzahl von $\alpha_{j}$ liegt und (2) die Momente $[A\,B^{2}] = 0\,\,\&$ $[\frac{\Pi\,(x - \alpha_{i})\,\Pi\,(x - \beta_{k})^{2}}{x - \alpha_{j}}]$ 
{\scriptsize{$\begin{array}{cc}
>\\
<
\end{array}$}} 0, wenn $d_{j}$ 
{\scriptsize{$\begin{array}{cc}
\textnormal{rechts}\\
\textnormal{links}
\end{array}$}} Ende eines Negativintervalls, und 
 $[\frac{\Pi\,(x - \alpha_{i})\,\Pi\,(x - \beta_{k})^{2}}{(x - \beta_{j})^{2}}] > 0.$ Insbesondere sind $\alpha_{1} \,\sim\, \alpha_{2s}$ dund Grenzen einer \nl-teiligen minimalen Einschliessungsmenge, wenn sie ''gut realisierbar'' Zusammenhang mit Friedrich's Definitheisbedingungen ?\\
\\
$\textbf{Seite 70}$\\
\\
sind: $\Pi_{1}^{2s}\,(x - \alpha_{i}) = 0$, $[\frac{Pi\,(x - \alpha_{i})}{x - \alpha_{j}}]   
{\scriptsize{\begin{array}{cc}
>\\
<
\end{array}}} 0$ wenn $\alpha_{S}$  
{\scriptsize{$\begin{array}{cc}
\textnormal{rechts}\\
\textnormal{links}
\end{array}$}} Ende eines Neg.-Intervalls.\\
Die Positivmenge  bildet dann mit einer Nullstelle ebenfalls eine min. Einschl.-Menge !\\
\\
r) Bemerkg. \"uber \underline{normale} EW-Aufgaben: Geg: $\mathfrak{q},\,A\,\mathfrak{q} ,\cdots,\, A^{S}\,\mathfrak{q}$; bilde Momente $m_{\alpha_{\beta}} = [z^{\alpha}\, \overline{z}^{\beta}] = \mathfrak{q}^{*}A^{*\,\beta}A^{\alpha}\mathfrak{q}$; die Matrix $M = (m_{\alpha_{\beta}}) = \nl \gg 0$. Geg. ferner ein komplexes Spektrum $\mu_{1},\cdots,\mu_{n}$; setze $m_{i} = 
\left(
\begin{array}{cccc}
1\\
\mu_{i}\\
\vdots\\
\mu_{i}^{S}
\end{array}\right)$. Dund ist es m\"oglich, wenn  f\"ur jede hermitesche Matrix $\mathfrak{F}$, f\"ur welche Spur $\mathfrak{F}\,M  = 0$ ist, die ''Nullform'' $m_{i}^{*}\mathfrak{F}\,m_{i} \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$ f\"ur mindestens ein $i$ ausf\"allt. F\"ur \underline{$s = 1$} besagt diese Bedingung, dass jeder (Kreisb\"undel mit Minimalkreis) Kreis, der aus einem gewissen festen Kreis  Diametralpunkte ausschneidet, in jedem seiner (abgeschlossen) 2 Gebiete mindestens ein $\mu_{i}$ aufweisen muss. Projiziert man passend auf Riemannsche Kugel, so sind genau diejenigen Spektren m\"oglich, die keiner offenen Halbkugel angeh\"oren.\\
\\
s) Bemerkung \"uber allg. selbstadj. Aufgabe: geg. $Y = A\,X$, $X = (\mathfrak{q}_{1}\cdots  \mathfrak{q}_{f})$. \nl man nicht auf die Vielfachheit der Eigenwerte, sondern nur auf ihre  Lage, so gilt ein Kriterium wie (b): Es m\"ussen dreigewisse gegebene quadratische Formen $Q_{1}\,Q_{2}\,Q_{3}$  aus solchen $P_{i} \,\,\underline{\underline{>}}\,\,0$ mit Hilfe von $c_{1i} = 1$, $c_{2i} = \mu_{i}$,  $c_{3i} = \mu_{i}^{2}$ zusammensetzen lassen. Man mu\ss $ $ so alle (einfachen) Einschliessungsmengen auch f\"ur den Fall bekommen,  dass man Spektrum mit Vielfachheit vorgibt.  Als Sonderfall mu\ss $ $ also die obige Theorie $(a) - (a)$ da herauskommen.\\
NB: Einfache Bemerkungen \"uber Momentenk\"orper : M.Dresher, Moment \nl \\
\\
$\textbf{Seite 71}$\\
\\
t) Zum Iterationsverfahren  bei selbstadjungierten Aufgaben:\\
Aus der Bemerkung von S.27 unten d\"urfte etwa folgendes herauskommen: Man setze f\"ur zwei festausgew\"ahlte Familienpolynome $\mathfrak{F},\,G$ (etwa normierte auf das Koeff.-schema 
$\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 1
\end{array}\right)$ von $x^{s\,11}$, $x^{s}$) $Q = \frac{\mathfrak{F}}{G}$. Dund sind $\,\,\underline{\underline{<}}\,\, 2s + 1$ Zahlen ein m\"ogliches Spektrum, wenn \nl die Nullstellmenge  von $\nl + \frac{A}{B} = 0$ bilden, wobei $\frac{A}{B}$ eine reelle rationale Funktion vom Grade $\,\,\underline{\underline{<}}\,\, s$ ist, welche die obere Halbebene (und dabei auch die untere) in sich abbildet. Vielleicht gilt allgemein, auch $n > 2s + 1$: Dund sind $\{\mu_{1} \cdots \mu_{n}\}$ m\"ogliches Spektrum, wenn sie die Singularit\"atenmenge einer Funktion $\frac{1}{\nl}$ bilden, wobei $\frac{R}{S}$ \underline{die abgeschl. obere sowie die untere Halbebene in sich  abbildet}. $\frac{F}{S}$ hat diese \underline{Eigenschaft}, und die Summe zweier Funktionen hat sie wieder \nl. In dieser Form k\"onnte das Ergebnis 
f\"ur kontinuierliche Spektren auch gelten, ferner f\"ur $s = \infty$: Kann$^{*}$ man bei $s \rightarrow \infty$ $F_{s}$, $G_{s}$ so w\"ahlen, da\ss $\frac{F_{s}}{G_{s}} \rightarrow \varphi(z)$ ? Nennt man eine anal. Fkt. positiv, wenn sie die obere Halbebene in sich hinein abbildet, so bilden diese einen $+ Modul$. Daher Frage nach Zusammensetzg als Sum. aus ''elementarer'' Fktionen mit Koeff. $\,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$ d\"urfte auf Stieltjes  Interprete \nl f\"uhren, erstreckt \"uber die Halbebene $Im\,s \,\,\underline{\underline{<}}\,\, 0$. Die durch lineare Transf. aus den positiven hervorgehenden Funktionen, welche den Einheitskreis in sich abbilden, kann man in elemtare Faktoren zerlegen, bei rationalen Fktionen geht das eindeutig aus Nullstellen, da eine solche\\
$^{*}$ Vielleicht durch Festlegung einer gemeinsamen Nullstelle $F_{s}$ jdv. $G_{s}$.\\
 \\
$\textbf{Seite 72}$\\
\\
Funktion, nachdem man ihr die Nullstellen $a_{\nu}$ mit Hilfe geeigneter lineare Funktionen wie $\frac{z - a_{\nu}}{1 - a_{\nu}z}$ wegdividiert hat, konstant werden mu\ss . Soll eine normale EW-Aufgabe mit dem Iteration $\mathfrak{q}_{i} = A^{i}\mathfrak{q}_{0} = \mathfrak{q}^{*}\,\nl\,\mathfrak{q}_{0}$ ein Spektrum in der Halbebene $Im\,z \,\,\underline{\underline{<}}\,\, 0$ zulassen, so muss notwendig $\mathfrak{q}_{0}^{*} \frac{1}{z \cdot A}\,\mathfrak{q}_{0} = \sl{0}{\infty}\,m_{0\,i}\,z^{i}$ eine positive Fktion sein; ist das hinreichend ? - \nl man die reellen positiven rationalen Funktionen voll \"uberzieht \nl sie sind $\frac{A}{B} = \sl{1}{n}\,\frac{p_{\nu}}{z - r_{\nu}} + r_{k + 1}$ mit reellen $r_{\nu}$; $p_{\nu}\,\,\underline{\underline{>}}\,\,0$ - und diese mit den $A + i\,B$ zusammenh\"angen, deren Nullstellen alle auf einer Seite der reellen Geraden liegen, \"ubersieht man auch diese Polynome; dies der Weg von L\"owner zur Herleitung der Hurwitzkriterien in Frank. \nl.\\
Legt man sich nicht auf eine bestimmte Basis der Familienpolynome fest, so bestimmt ein m\"ogliches Spektrum von $\leq 2s + 1$ Punkten nur die lineare Schar $\alpha\,A + \beta\,B$ eindeutig; eine Invariante von dieser ist die schiefsymmetrische Matrix vom Range 2 der Determinanten $d_{ik} = 
\left|
\begin{array}{cc}
a_{i} & a_{k}\\
b_{i} & b_{k}
\end{array}\right|$, mit $A = \Sigma\,a_{i}x^{c - i}$, $B = \Sigma\,b_{i}x^{c - i}$ bei Bemerkg. von S.27 d\"urfte auch zeigen, dass es in der N\"ahe eines jeden m\"oglichen Spektrums $\{\mu_{1} \cdots \mu_{n}\}$ m\"ogliche Spektren gibt, die $\mu_{1}$ \underline{nicht} enthalten.$^{1)}$\\
Durch gebr. lin. Transf. w\"urde das zeigen: $\{\mu_{1} \cdots \mu_{n}\,\infty\}$ ist dund m\"oglich, wenn es eine Folge von m\"oglichen eigentlichen Spektren $\{mu_{1}^{(i)},\cdots,\,\mu_{n + 1}^{(i)}\}$ gibt mit $\mu_{\alpha}^{(i)} \rightarrow \mu_{\alpha}$ bezw. $\infty$. \qquad 1) Das folgt schon daraus, da\ss $ $ die m\"oglichen Spektren  $\{\mu_{1} \cdots \mu_{n}\}$ die EWe der Matrizen $n$-ten Grades 
$\left(
\begin{array}{cc}
A & B \\
B^{*} & D
\end{array}\right)$  sind, mit variablem $D$: \\
Man kann $D$ so w\"ahlen, da\ss $ $ \nl \underline{nicht} EW ist, und  zwar beliebig nahe an gegebenen \nl\\
 \\
$\textbf{Seite 73}$\\
\\
u) Bemerkung \"uber allgemeine selbstadj. EW-Aufg. $Y = \underline{A}\,X$. \\
Aufgabe: Gegeben $\underline{A} =
\left(
\begin{array}{cc}
A & B^{*} \\
B & \cdot\cdot
\end{array}\right)$; EWe ? Man kann annehmen, da\ss $ $ die $r$ von 0 verschiedenen Zeilen von $B$ linear unabh\"angig sind; dann ist Gr$\,A + r = f + r$ $Rg\,(Y,\, X)$. ''Familie'' sei ein m\"ogliches Spektrum aus $f + r$ Zahlen; dh. das Spektrum von 
$\left(
\begin{array}{cc}
A & B \\
B & D
\end{array}\right)$, mit $Rg\,B = Gr\,D$. Aus Stetigkeitsgr\"unden wird man sich mit der Behandlung des ''allgemeinen'' Falles $r = f$, dh. $Rg\,(X\,Y) = 2f$, begn\"ugen k\"onnen, so da\ss $ $ jede Familie $2f$ Zahlen enth\"alt. Vermutung: Jede Familie $\mathfrak{f}$ \nl die Gerade in zwei minimale abgeschl. Einschl-mengen ein, n\"amlich $\Pi^{2f}_{\mu \in \mathfrak{f}}\,(x - \mu) \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$ bezw. $ \,\,\underline{\underline{<}}\,\, 0$. \\
\\
v) Zahlenbeispiel von Collatz: $-y'' = \lambda\,y$, $y(0) = y(1) + y(1) = 0$\\
$\mathfrak{F}_{0} = 1$,  $\mathfrak{F}_{1} = \frac{1}{4}\,(3x - 2x^{2})$, $\mathfrak{F}_{2} = \frac{1}{48} \cdot (7x - 6x^{3} + 2x^{4})\quad \mathfrak{F}_{3} = \frac{1}{1440}\,(50x - 35x^{3} + 9x^{5} - 2x^{6})$,  $\mathfrak{F}_{4} = \frac{1}{241920}\,(2035x - 1400x^{3} + 294x^{5} - 36x^{7} + 6x^{8})$; gibt Moment $m_{k} = \il{0}{1}\,\mathfrak{F}_{k}\,\mathfrak{F}_{0}\,dx = a_{k}$ \\
$m_{0} = 1 \quad m_{1} = 3 / 24 \quad m_{2} = 1 / 20 \quad m_{3} = 163 / 28 \cdot 480 \quad m_{4} = 1069 / 315 \cdot 1152$\\
$m_{5} = 653 / 3168 \cdot 288 \quad m_{6} = 108281 / 3003 \cdot 207360$; die $\mu_{i} = \frac{a_{i}}{a_{i - 1}}$ sind $\mu_{1} = 4,8 \quad \mu_{2} = 4,1667 \quad \mu_{3} = 4,12270 \quad \mu_{4} = 4,116932\quad \mu_{5} = 4,1160359 \quad \mu_{6} = 4,11588829$. Hieraus mit \\
$$\mu_{k + 1} - \frac{\mu_{k} - \mu_{k + 1}}{\frac{l_{2}}{\mu_{k + 1}} - 1}\,\,\underline{\underline{<}}\,\, \lambda_{1} \,\,\underline{\underline{<}}\,\, \mu_{k + 1}\qquad \textnormal{ohne Angabe von } l_{2}\quad l_{2} \sim 20 ?$$
wird auf  5 geltende Stellen genau $\lambda_{1} = 4,1159$ \qquad Exakt ist $Ag\,\sqrt{\lambda} = -\sqrt{\lambda}$.\\
\\
$\textbf{Seite 74}$\\
\\
Es ist $m_{0} = 1$, $m_{1} = 0,208\,33333$, $m_{2} = 0,05$, $m_{3} = 0,012\,1279\,7619$ $m_{4} = 0,002\,9458\,77425$, $m_{5} = 0,000\,7157\,0742$, $m_{6} = 0,000\,1738\,8893$. \\
\\
w) Ist $F(x)$ ein Familienpolynom und $Gr\,P(x) \,\,\underline{\underline{<}}\,\, s $ ($s$ = Schrittzahl \nl) so ist $(\mathfrak{F} \cdot P)^{*} = \mathfrak{F}^{*} \cdot P \qquad (74.1)$\\
Ferner ist f\"ur das spezielle Familienpolynom $\mathfrak{F} = G(x,\,u)$ und das Galerkin-Polynom  $G(x)$\\
(74.2) \qquad
$\left|
\begin{array}{cc}
\mathfrak{F}^{*} & G^{*}\\
\mathfrak{F} & G
\end{array}\right| = c_{s}\, G(u)$ mit $c_{s} = 
\left|
\begin{array}{cccc}
m_{0} & m_{1} & \cdots & m_{s}\\
\cdot & \cdot && \cdot\\
m_{s} & m_{s + 1} & \cdots & m_{2s}\\
\end{array}\right| > 0$\\
Bew.: $=   
\left|
\begin{array}{cc}
\frac{ \mathfrak{F}(x) - \mathfrak{F}(t)}{x - t} &  \frac{ \mathfrak{G}(x) - \mathfrak{G}(t)}{x - t}\\
\mathfrak{F}(t) & G(t) 
\end{array}\right|_{x} = 
\left|
\begin{array}{cc}
\frac{ \mathfrak{F}(x) - \mathfrak{F}(t)}{x - t} &  \frac{ \mathfrak{G}(x) - \mathfrak{G}(t)}{x - t}\\
\mathfrak{F}(x) & G(x) 
\end{array}\right|_{x} = [\frac{\mathfrak{F}(x) - \mathfrak{F}(t)}{x - t} \cdot G(x)]_{x} = G(u) \cdot [x^{k}G(x)]$ nach (21.4) 
$=  G(u) \cdot [x^{k} G(x)]$ nach (21.4)\\
$= G(u) \cdot c_{S}$ nach (20.2)
\\
\underline{Aufgabe:} $s$-dimensionale Einschliessungsmengen f\"ur $\{\lambda_{1},\cdots,\,\lambda\}$ \quad ($s =$ Schnittzahl) !\\
(x) Die allgemeinste zu vorgegebenen Momenten $m_{\sigma} = \mathfrak{q}_{0}'M^{\sigma}\,\mathfrak{q}$ realisierbar charakteristische Funktion ist\\
(74.3) \qquad $\Phi(x) = D_{m}(x) \cdot \mathfrak{F}(x) - p \cdot G(x) \cdot D_{m - 1}(x)$. 
Dabei ist $\mathfrak{F}$ ein beliebiges normiertes Familienpolynom des Grades $s + 1$, $G$ das normierte Galerkinpol. des Grades $s$, $p \,\,\underline{\underline{>}}\,\,0$, $D_{m}(x)$ die charakt. Fkt. einen beliebigen $m$-reihigen ($m \geq 0$) reellen symm. Matrix, $D_{m - 1}(x)$ die zu der $m - 1$-reihigen Matrix, die aus $M$ durch Streichen der ersten Zeile u. Spalte entsteht, geh\"orige ch. Fkt.\\
\\
$\textbf{Seite 75}$\\
\\
Bew: F\"uhrt man \nl neues Orthogonalsystem ein, in dem die ersten $\sigma$ Einheitsvektoren demselben linearen Raum aufspannen wie $\mathfrak{q}_{0},\,M\,\mathfrak{q}_{0},\cdots,\,M^{\sigma - 1}\varphi_{0}\qquad (\sigma = 1,\,2,\cdots,\,SH$), so erh\"alt $|x - M|$ die Gestalt
$$ (75.1) \quad \Phi(x) = |x - M| = \nl $$
Setze die $s$-te Abschnittsdet. $= G(x)$, die $(s + 1)$te $= \mathfrak{F}(x)$,  $|x - S_{m}| = D_{m}(x)$, $b^{2} = p$. \\
$a_{1},\cdots,\,a_{\rho},\,b_{1},\sim,\,b_{\rho}$ sind durch die Momente $m_{\sigma}$ \quad $(\sigma = 0,\,\cdots,\,2s)$ eindeutig bestimmt.\\
\\
(J) Welche normierten Fktionenpaare $D_{m}(x)$, $D_{m - 1}(x)$ treten als charakt. \nl und $m-$ ertse Abschnittsdeterminante reeller symmetrischer  Matrizen auf ? \\
U.A.: 1) $D_{m}$ und $D_{m - 1}$ nur einfache reelle Wu; die von $D_{m - 1}$ sollen die von $D_{m}$ trennen. Bew: Sei $D_{m} = (c_{m}x + d_{m}) \cdot D_{m - 1} - D_{m - 2}$\\
$D_{m - 1} =  (c_{m - 1}x + d_{m - 1}) \cdot D_{m - 2} - D_{m - 3}$\\
(75.2)\qquad\qquad\qquad\qquad $\cdots$\\
$D_{1} = (c_{1}x + d_{1}) \cdot D_{0}$\\
$D_{0} = 1$\\
\\
$\textbf{Seite 76}$\\
\\
Da $D_{m},\cdots,\,D_{0}$ Sturmsche Kette, wobei f\"ur $D_{m} = 0\qquad D_{m}' \cdot D_{m - 1} > 0$, ist wegen der Anzahl in der Wu von $D_{m}$ stets $c_{\mu} > 0$. \\
Schreibt man statt (75.2) \qquad $c_{m}x + d_{m})\,D_{m - 1} - D_{m - 2} = D_{m}$.\\
$- D_{m - 1} + (c_{m - 1}x + d_{m - 1})\, D_{m - 2} - D_{m - 3} = 0$\\
$-D_{1} + (c_{1}x + d_{1})\,D_{0} = 0$\\
\\
so sieht man: Ist $D_{m}(x) = 0$, so ist auch \\
$\Delta_{m}(x) =
\left|
\begin{array}{ccc}
c_{m}x + d_{m} & -1 & \\
-1 & c_{m - 1}x + d_{m - 1} & -1\\
 & -1 & \cdots
\end{array}\right| = 0$ \\
Daher ist, da $D_{m}$ normiert und durch seine Nullstellen eindeutig bestimmt, $D_{m}(x) = 
\left|
\begin{array}{cccc}
x + \frac{d_{m}}{c_{m}} & -\frac{1}{\sqrt{c_{m}}} & \\
-\frac{1}{\sqrt{c_{m}}}  & x + \frac{d_{m - 1}}{c_{m - 1}} & -\frac{1}{\sqrt{c_{m} - 1}}\\
& -\frac{1}{\sqrt{c_{m - 1}}} & \cdots 
\end{array}\right| $\\
\nl $D_{m - 1} = $ Abschnittsdeterminante.\\
(z) \qquad NB: Die Aufgabe von Schur, eine gegebene Gl. $D_{m}(x) = 0$ mit nur reellen Wurzeln als S\"akulargl. einer reellen symm. Matrix darzustellen, ist damit f\"ur den Fall einfacher Wurzeln  gel\"ost; nimm etwa $D_{m - 1} = \frac{1}{m}\,D'_{m}$. Der allgemeine Fall kann rational auf diesen zur\"uckgef\"uhrt werden, indem man $D_{m}(x)$ in Faktoren mit einfachen Wurzeln zerlegt. Aufgabe: Allgemeinen Fall direkt; sicher kann man rational zwei reelle symm. Matrizen $A\,B$ angeben, so da\ss $ $ $D_{m}(x) = |A\,x - B| $ und $A$ pos def., wenn $D_{m}$ lauter reelle Wurzeln hat.\\
s.(84.1)\\
\\
$\textbf{Seite 77}$\\
\\
\underline{Vermutung von Rellich}: F\"ur zwei beschr"ankte Operatoren ist nie $A\,B- B\,A = 1$. Beweis (14.5.45): Es w\"are (Induktion) (1)
$A\,B^{n + 1} - B^{n + 1}A = (n + 1)\,B^{n}$, daher $(n + 1) \cdot
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$B^{n}$
\end{tabular}\,\,\underline{\underline{<}}\,\, 2\,  
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A$
\end{tabular}\,
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$B$
\end{tabular}\,
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$B^{n}$
\end{tabular} \quad (n = 0,\, 1,\, 2,\, \cdots)$; $B^{n} = 0$ f\"ur $n + 1 > 
2\,  
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A$
\end{tabular}\,
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$B$
\end{tabular}$, daraus r\"uckw\"arts mit Hilfe von (1) f\"ur $n = 0,\,1,\,2 \cdots$ .\\
\\
\underline{Satz von Herglotz:} Definiert man im nichtkomm. Ring mit den Erzeugenden $A,\, B$ und der Relation $A\,B - B\,A = 1$ mit komplexen Koeffizienten Konverz durch KOnvergenz der Beiwerte  der Normalform $\sum\limits^{}_{}\,c_{\alpha}{\beta}A^{\alpha}B^{\beta}$, so gilt $e^{2\,i\,\pi \cdot A\,B} = 1$.\\
Bew. (14.5.45): $(A\,B)^{n} = \sum\limits^{0}_{n}\,c_{n\,\rho}A^{\rho}B^{\rho}$, da $A \rightarrow t\,A$, $B \rightarrow \rightarrow \frac{1}{t}\,B$ unge\"andert  l\"a\ss t. Daher ist $e^{z\,A\,B} = \sum\limits^{0}_{\infty} \, \zeta_{\rho}(z) \cdot A^{\rho}B^{\rho}$. Nach der obigen Formel (1) gilt (mit $D = \frac{d}{d\,z}$) \quad $(D + \rho) \,\zeta_{\rho} = \zeta_{\rho - 1}$, $\zeta_{0} = 1$. Daher ist $D\,(D + 1) \cdots (D + \rho) \cdot \zeta_{\rho} = 0$, $\quad\cdots\zeta_{\rho} = \sum\limits^{0}_{\rho}\,a_{\lambda}e^{-\lambda\,z}$, $\zeta_{\rho}(z + 2\,\pi\,i) = \zeta_{\rho}(z)$, also $e^{z + 2\,\pi\,i)\,A\,B} = e^{z\,A\,B}$; $z = 0$ setzen.\\
Folge: Operieren $A,\,B$  auf einen Raum $\phi$, und ist $\phi^{*}$ eine Teilmenge mit $A^{*}\phi^{*} \subset \phi^{*}$, $B^{*}\phi^{*} \subset \phi^{*}$, und ist $\zeta_{0}^{*} \in \phi^{*}$ mit $B^{n}\zeta_{0}^{*} = 0$  f\"ur ein $n$, so konvergiert im gew\"ohnlichen Sinn $\sum\limits^{0}_{\infty}\,\frac{(2\pi\,i\,A\,B)^{\nu}}{\gamma\,i}\,\zeta_{0}^{*} = \zeta_{0}^{*}$. Beispiel: $A = -x$, $B = \frac{d}{dx}$, $\zeta_{0}^{*} =$ Polynom.\\
\\
$\textbf{Seite 78}$\\
\\
\underline{Aufl\"osung $(\mathfrak{K} + (\sum\limits^{}_{} + \int \,sl{1}{n}\,a_{\nu}c\,\mathfrak{e}\,b_{\nu}(y)dy)\, f(y) = g(x)$ mit Nebenbedgg. $f \in \mathfrak{f}$:} 
Bekannt ist eindeutiger Operator $\mathfrak{K}^{-1}$ mit $\mathfrak{K}^{-1}\mathfrak{K}\,f = f$ f\"ur $f \in \mathfrak{f}\,\&\,\mathfrak{K}^{-1} \zeta \in \mathfrak{f}$.\\
Dann ist
$\left|
\begin{array}{cccc}
f - \mathfrak{K}^{-1}g & -\mathfrak{K}^{-1}a_{1} & \cdots & -\mathfrak{K}^{-1}a_{n}\\
\int b_{1}\,\mathfrak{K}^{-1}\,g & 1 + \int\,b_{1}\,\mathfrak{K}^{-1}a_{1} & \cdots & \int \,b_{1}\,\mathfrak{K}^{-1}a_{n}\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
\int b_{n}\,\mathfrak{K}^{-1}\,g & \int\,b_{n}\,\mathfrak{K}^{-1}a_{1} & \cdots & 1 + \int \,b_{n}\,\mathfrak{K}^{-1}a_{n}
\end{array}\right| = 0$ \\
Entwickle nach 1. Zeile\\
\\
\\
\underline{Differenzkerne endlichen Ranges $n$}\\
haben die Gestalt $K\,(x - y)$ mit einer Funktion $K(z)$, welche einer beliebigen linearen homogenen Dgl. mit konstanten Koeff.  von der Ord. $n$ gen\"ugt, aber keiner niedrigeren; und jede solche Funktion ist so ein Kern. \\
Vor. dabei: Entweder $K$  $n$-mal stetig diffbar, gegeben f\"ur $a \leq x,\, y \leq b$;\\
Oder $K$ stetig, gegeben f\"ur $-\infty < x,\,y < \infty$. Vermutlich gen\"ugt auch Stetigkeit f\"ur $a \leq x,\, y \leq b$. \\
\\
\\
\underline{Operatoren, die mit der Translation $x \rightarrow x + a$ vertauschbar sind,} kann man $\breve{u} \cdot a$. \\
so erhalten $\mathfrak{y}\{f(x)\}$ sei ein beliebiges Funktional; setze $\mathfrak{A}\{f\} = \mathfrak{y}_{t}\{f(x + t)\}$. (Daher heisst $\mathfrak{y}_{t}$ : $\mathfrak{y}$ auf die Variable $t$ angewendet.) Es ist $\mathfrak{A}\{f(x + a)\} = \mathfrak{A}\{f(x)\} 
_{_{x}}${\Large{$|$}}$_{_{x + a}}$.\\
Ist $\mathfrak{y}$ linear, so auch $\mathfrak{A}$.\\
\\
$\textbf{Seite 79}$\\
\\
\underline{Zur L\"osung der Betz-Gleichung.} $\frac{1}{\pi}$ \nl $f(y)\,\frac{dy}{x - y} = g(x)$. F\"ur $g(x) \equiv b\,1$ ?  gibt die L\"osungsformel $f(y) \equiv \nl$, aber diese ist nicht L\"osung: $g$ verletzt die S\"ohngen-Bedinggen $\int\limits_{0}^{\infty} \frac{g(x)}{1 + x}\,dx < \infty$, $il{0}{\infty} \frac{|g|^{2}}{1 + x}\,\sqrt{x}\,dx < \infty$.\\
\\
\\
\underline{Aufgabe von Pasenal Jordan:} Ein Verband ist ein Gl.-Syst. mit zwei unbeschr\"ankt ausf\"uhrbaren Verkn\"upfungen $a \cap b$, $a \cup b$ tauch ab, $a + b$ geschrieben), f\"ur welches gilt\\
(A) 
$\left\{
\begin{array}{cccc}
a \cap b = b \cap a, \,\, a \cup b = b \cup a\\
a \cap a = a,\,\, a \cup a = a
\end{array}\right.$ $a \cap\, (a \cup b) = a$, $a \cap (a \cup b) = a$ (z.B. alle Untergruppen einer Gruppe $\mathfrak{G}$). Bei ''modularen'' oder Dedekindschen Verb\"anden gilt ausserdem (z.B. alle Normalteiler von $\mathfrak{G}$)\\
(B) $(a\,c + b)\,c = a\,c + b\,c$ \nl; und bei ''distributiven gilt sogar \\
(C) $(a + b)\,c = a\,c + b\,c$. Frage: Gibt es eine durch \"ubersichtliche Axiome zu kennzeichnende Zwischenklasse  von Verb\"anden zwischen den allgemeinen und den Dedekindschen ?  (Eine solche bilden z.B. die nachinvar. Untergruppen, doch ist deren  (von Zassenhaus gefundene)verbands axiomatische Kennzeichnung zu kompliziert.)\\
\\
$\textbf{Seite 80}$\\
\\
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
\textnormal{Zur Theorie des Cauchyschen Hauptwertes}\\
\hline
\end{tabular}$ \qquad 	25.5.45\\
(1) Ist $f(t)$ in jedem Int. $a \leq t \leq b$ mit $0 < a < b < \infty$ Riemannsch eigentl. integrierbar, und existieren die uneig. Integrale $\int\limits_{0}^{\infty} \,\frac{f(t)}{1 + t}\,dt$ und $\int\limits_{0}^{\infty} \,\frac{|f(t)|}{(1 + t)^{2}}\, dt$, und gen\"ugt $f(t)$ mit $\alpha > 0$,\\
so existieren die beiden Grenzwerte\\
\nl $f(t)\,\frac{dt}{t - x} = \ll{\varepsilon \rightarrow 0} \,\frac{1}{2}\,\int\limits_{0}^{\infty}\,f(t)\,(\frac{1}{t - x - i\,\varepsilon} + \frac{1}{t - x + i\,\varepsilon})\,dt = \frac{1}{2}\,\ll{\varepsilon \rightarrow 0}\,(\int\limits_{0}^{\infty}\,f(t)\,(\frac{dt}{t - x - i\,\varepsilon} + \int\limits_{0}^{\infty}\, f(t)\,\frac{dt}{t - x + i\,\varepsilon})$ \\
\\
(2) $\int\limits_{x + \varepsilon}^{x - \varepsilon_{_{\hookrightarrow}}}\,\, \frac{\log (x - xi)}{x - \xi}\, d\,\xi = -i\,\pi\,\log \,\varepsilon + \frac{\pi}{2}^{2}$; $\int\limits_{x - \varepsilon_{_{\hookrightarrow}}}^{x + \varepsilon}\, \frac{d\,\xi}{x - \xi} = - i\,\pi$; bei $\curvearrowright$ \"andert sich nur ($x$ reell) $i \rightarrow -i$\\
\\
(3) F\"ur $\mathfrak{F}(z) = \int\limits_{a}^{b}\,\frac{\log (z - \xi)}{z - \xi}\,f(\xi)\,d\xi$ ist $\mathfrak{F}(x \pm o\,i) = \int\limits_{a}^{b}\,\frac{\log \,|x - \xi|}{x - \xi}\,d\,\xi$ f\"ur $x > b$,\\
$\mathfrak{F}(x \pm  o\,i) = \int\limits_{a}^{b}\,\frac{\log (x - \xi)}{x - \xi}\,d\xi \pm \pi\,i\,\,\int\limits_{a}^{b}\,\frac{f(\xi)}{x - \xi}\,d\,\xi$ f\"ur $x < a$,\\
sonst $\mathfrak{F}\,(x \pm o\,i) = \nl\,\frac{\log (x - \xi)}{x - \xi}\,f(\xi)\,d\xi + \frac{\pi^{2}}{2}\,f(x) \pm \int\limits_{x}^{b}\,f'(\xi)\,\log \,(\xi - x)\,d\xi \pm \pi\,i\,f(b)\,\log \,(b - x)$.\\
\\
\\
(4) Def.: Eine f\"ur $0 < x < \infty$ definierte Funktion $f(x)$ heisst eine $P$-Funktion (''Potenz''-) wenn sie sich einen Winkelraum $(arg\,z) < \varphi$ fortsetzen l\"asst und dort gleichm\"a\ss ig mit einem $\varepsilon > 0$\quad $f(z) = 
\left\{
\begin{array}{cccc}
0\,(|z|^{\varepsilon - 1}) \qquad \textnormal{f\"ur } z \rightarrow 0\\
0\,(|z|^{-\varepsilon}) \qquad \textnormal{f\"ur } z \rightarrow \infty
\end{array}\right\}$ gilt: dh. {\Large{$*$}}\\
Jede $P$-Fktion $f$ ist auch eine $L$-Funktion, und $\mathfrak{L}\,f$ konvergiert \nl f\"ur $\mathfrak{R}\,s > 0$. \\
(5) Satz: Mit $f$ ist auch $\mathfrak{L}\,f$ eine $P$-Funktion, allgemeiner auch \nl $\mathfrak{L}\,f$ mit $|\varphi| < \frac{\pi}{2}$ \\
\nl\\
\\
$\textbf{Seite 81}$\\
\\
(6) Satz: F\"ur jede $P$-Funktion $f(x)$ existieren auch die beiden ''Stieltjes Transformation''\\
$\gamma_{+}\,f = \frac{1}{2\,\pi\,i} \,\int\limits_{0}^{\infty\,e^{i\varphi}}\,f(\xi)\,\frac{d\,\xi}{x - \xi} = \ll{\delta \rightarrow +0}\,\,\frac{1}{2\,\pi\,i}\,\int\limits_{0}^{\infty} \,f(\xi)\,\frac{d\,\xi}{(x - o\,i) - \xi}$\\
$\gamma_{-}f = \frac{1}{2\,\pi\,i}\,\int\limits_{0}^{(-\varphi)}\,\,f(\xi)\,\frac{d\,\xi}{x - \xi} = \ll{\delta \rightarrow +0}\,\, \frac{1}{2\pi\,i} \,\int\limits_{0}^{\infty}\,f(\xi)\,\frac{d\,\xi}{(x + o\,i) - \xi}$ und daher auch ihre Summe (Biot-Savert, -Betz-\nl)\\
$\mathfrak{B}\,f = (\gamma_{+} + \gamma_{-})\,f = \frac{1}{\pi\,i} \,\nl\,f(\xi)\,\frac{d\xi}{x - \xi}$\\
Alle drei Funktionen sind wieder $P$-Funktionen; \nl es gibt ferner \\
$\gamma_{*}f - \gamma_{-f} = f$. $\gamma_{-}$ ist die analyt. Forts. von $\gamma_{+}$ \nl\\
\\
(7) Satz: Ist $f(x)$ eine $P$-Funktion, so ist\\
$\mathfrak{L}\,\gamma_{+}\,f = -\gamma_{-}\mathfrak{L}\,f$, $\mathfrak{L}\,\gamma_{-}f = -\gamma_{+}\mathfrak{L}\,f$\\
und daher \qquad $\mathfrak{L}\,\mathfrak{B}\,f = -\mathfrak{B}\,\mathfrak{L}\,f$.\\
Bew.: $2\,\pi\,i\,\mathfrak{L}\,\gamma_{_{\pm}}\,f = \int\limits_{0}^{\infty}\,e^{-st}dt\,\int\limits_{0}^{(\varphi)}\,f(\xi)\,\frac{d\,\xi}{t - \xi} = \int\limits_{0}^{\infty}\,dt\,\int\limits_{0}^{(\varphi)}\,e^{-st}f(t\,\eta)\,\frac{d\,\eta}{1 - \eta} = \int\limits_{0}^{(\varphi)}\,\frac{d\,\eta}{1 - \eta} \,\int\limits_{0}^{\infty}\,e^{-st}\,f(t\,\eta)\,dt = \int\limits_{0}^{(\varphi)}\,d\eta \cdot \frac{1}{\eta\,(1 - \eta)}\, \int\limits_{(\varphi)}^{0}\,e^{-\frac{s}{\eta}\tau}\, f(\tau)\,d\,\tau = - \int\limits_{0}^{(-\varphi)}\,d\xi \cdot \frac{1}{s - \xi} \,\int\limits_{0}^{(\varphi)}e^{-\xi\,\tau}f(\tau)\,d\tau = -\int\limits_{0}^{(-\varphi)}d\,\xi \cdot \frac{1}{s - \xi}\,\mathfrak{L}\,f = -2\pi\,i\, \gamma_{_{\pm}}\,\mathfrak{L}\,f$.\\
\\
(8) F\"ur $-1 < \nl < 0$ ist $\gamma_{_{\pm}}\,x^{\alpha} = x^{\alpha} \cdot [1)$ $\gamma_{_{\pm}}\,x^{\alpha}$; $[1)$ $ \gamma_{_{\pm}}\,x^{\alpha} = -[1) \,\gamma_{\pm}\,x^{-1 - \alpha} $\\
$\mathfrak{B}\,x^{\alpha} = k\,(\alpha) \cdot x^{\alpha}$; $k(\alpha) = \int\limits_{0}^{1} \,\frac{\xi^{\alpha} - \xi^{-1 - \alpha}}{1 - \xi} \cdot d\xi = [1)\, \mathfrak{B}\,x^{\alpha}$\\
$[$1) $\,\gamma_{_{pm}}(x^{\alpha} + x^{-1 - \alpha}) = \pm 1$; $k(\alpha) + k(-1 - \alpha) = 0$\\
Daher $k(-\frac{1}{2} = 0$: $\mathfrak{B}\,x^{\frac{1}{2}} = 0$.\\
\\
$\textbf{Seite 82}$\\
\\
(9) Mit $f(x)$ sind auch $f(a\,x)\quad (a > 0)$ und $f(x^{p}) \cdot x^{p - 1}\quad (0 < p \leq 1)$ $P$-Funktionen, auch sogar $f(x^{p}) \cdot (\frac{x}{1 + x})^{p - 1}$ f\"ur $0 < p \leq 1$, ferner auch $h(x) \cdot f(x)$, wenn $h(z)$ in einem Winkelraum $|arg\,z|  < \varphi$ und \nl $h(x)$ beschr\"ankt. Ferner auch $\frac{1}{x} \cdot \nl$ und $(\log \,x)^{\lambda} \cdot f(x)$ ($\lambda$ beliebig).\\
\\
(10) Die einzige $P$-Fktion $f(x)$ mit $\mathfrak{B}\,f = 0$ ist $f(x) = \frac{\textnormal{const}}{\sqrt{x}}$.\\
Bew.: $\gamma_{+}f = - \gamma_{-}\,f$, also ist $\sqrt{z} \cdot \gamma_{\pm}\,f$ eindeutig. Ferner $|$ $| < \sqrt{|z|} + \frac{1}{\sqrt{|z|}}$, daher $=$ const.\\
\\
(11) Ist $|\,arg\,a |$ so klein, da\ss $f(z)$ eine $P$-Fktion im Raum \nl $< |\,arg\,a | + \varepsilon$ ist, so gilt $[x) \,\gamma_{\pm}\,\,\nl = [a\,x) \,\gamma_{\pm}\,f(t)$\\
\\
(11) F\"ur $P$-Funktionen gilt $\gamma_{\pm}^{2}f(t) = - \frac{1}{4\,\pi^{2}}\,\int\limits_{0}^{(\varphi\,\nl\,0)} f(\xi)\, d\xi\,\frac{\pm 2\,\pi\,i + \log \,x - \log \,\xi}{x - \xi}$
$= (\pm 1 + \frac{1}{2\pi\,i} \cdot \log \,x) \cdot \gamma_{\pm}f(t) - \frac{1}{2\,\pi\,i} \cdot \gamma_{\pm}\,f(t) \,\log \,t$.\\
\nl $f(t) = \gamma_{-}\,\gamma_{+}\,f(t) = \frac{1}{4\,\pi\,i}\{\log \,x \cdot \mathfrak{B}\,f(t) - \mathfrak{B}\,f(t) - \mathfrak{B}(\log \,t \cdot f(t))\} = \frac{1}{2\,\pi\,i}\,\gamma_{+} \cdot \log  \frac{s}{t}$\\
$= \frac{1}{2\,\pi\,i}\{\log \,x \cdot \gamma_{\pm}\,f(t) - \gamma_{\pm} \,(\log \,t \cdot f)\} = \frac{1}{2\pi\,i}\,\gamma - \log \,\frac{s}{t}$\\
$ _{x}\mathfrak{B}_{t}^{2} \,f(t) = f(x) + \frac{1}{\pi\,i} \cdot \mathfrak{B} \{\log \,\frac{x}{t} \cdot f(t)\} = f(x) + \frac{1}{\pi\,i}\,\log  + \mathfrak{B}\,f - \frac{1}{\pi\,i}\, \mathfrak{B}\,(f(t)\,\log\,t) $
dh. \\
$$ _{x}\mathfrak{B}_{t}^{2}  \equiv \mathfrak{f}^{2} + \frac{1}{\pi\,i}\, _{x}\mathfrak{B}_{t}\,\log\,\frac{s}{t}. \qquad [:h] _{s}\mathfrak{L}_{\rho}\,\,_{\rho}\mathfrak{B}_{t} = _{s}1_{t} + \frac{1}{\pi\,i}\,_{s}\mathfrak{B}_{t}\,\log \, \frac{s}{t}[:h]$$
Daher\\
$$\mathfrak{L}\,\mathfrak{B}\,\log\,\frac{s}{t} \equiv \mathfrak{B}\,\log\,\frac{s}{t}\,\mathfrak{L}$$
\\
$\textbf{Seite 83}$\\
\\
(12) $(\mathfrak{B} - k(\alpha))\,t^{\alpha}\,\log^{n}t = \sum\limits^{\nu = 0}_{n - 1} $
$\left(
\begin{array}{cccc}
n\\
\nu
\end{array}\right) \, x^{\alpha}\, \log^{\nu}x \cdot \frac{1}{\pi\,i}$ $\nl \frac{\rho^{\alpha} \log^{n - \nu}\rho}{1 - \rho}\,d\rho$\\
Daher $(\mathfrak{B} - k(\alpha))^{n + 1} + t^{\alpha}\log^{n}t = 0$\\
\\
(13) $\mathfrak{B} \cdot \{\mathfrak{B} - \frac{1}{\pi\,i} \cdot \mathfrak{f}\,\log\,\frac{s}{t}\} = \mathfrak{f}^{2} = \nl^{1)}$ \quad Bew: (11)\\
Im Gegensatz zu den Betz-Formeln\\
$_{s}\mathfrak{B}_{t}\,\,_{t}\mathfrak{B}_{\rho}\,\sqrt{\frac{\rho}{t}} = 1$, $\mathfrak{B} \cdot \mathfrak{B}\,\sqrt{\frac{\rho}{t}} \cdot \frac{1 + t}{1 + \rho} = 1$\\
gilt (13) f\"ur alle $P$-Funktionen (und liefert ersichtlich wieder eine $P$-Fktion)$^{1}$.\\
NB: (13) heisst ausf\"uhrlich  $_{s}\mathfrak{B}_{\rho}\,\{_{\rho}\mathfrak{B}_{t}\,\, - \frac{1}{\pi\,i} \cdot _{\rho}\mathfrak{f}_{t} \cdot \log \,\frac{s}{t}\} = \nl$\\
\\
(14) Bei der Operatorenschreibweise mit fortgelassenen Argumentbuchstaben muss man die Formeln homogen in denjenigen Fraktur-Operatoren schreiben, die den Namen der Variablen, auf die operiert werden soll, \"andern. Konsequent m\"usste man etwa  die ''Integrationsvariablen'' in der Reihenfolge ihrer Ausl\"oschung durchnumerieren, also z.B. (13)$'$\\
(13$'$): $\mathfrak{B}\,\{\mathfrak{B} - \frac{1}{\pi\,i}\,\mathfrak{f}\,\log\, \frac{s_{3}}{s_{1}} \,\} = \mathfrak{f}^{2}$. Es ist $\mathfrak{f}\,\log\, 
\frac{s_{3}}{s_{1}} = \log\, \frac{s_{3}}{s_{2}}\,\mathfrak{f} = \log\, \frac{s_{3}}{s_{2}} \cdot \nl$. Ist die h\"ochste Variablenummer um $k$ gr\"osser als die Dimension den Fraktur-Operatoren, so enth\"alt die Formel $k$ freie Ver\"anderliche. Einen Faktor, der nicht von $s_{1},\cdots,\,s_{m}$ abh\"angt darf man von rechts her bis vor den $(m + 1)$-ten Frakturoperator durchschrieben. \\
\\
$^{1}$ Dies ist \underline{keine} Aufl\"osungsformel, da die freie \nl in dem \nl L\"osungsausdruck auftritt. \\
\\
$\textbf{Seite 84}$\\
\\
(1) \underline{Vermutung:} $  \det 
\left\{
\begin{array}{c}
\left(
\begin{array}{cccc}
s_{0} & \cdots & s_{n - 1}\\
s_{1} & \cdots & s_{n}\\
\cdot & \cdots & \cdot\\
s_{n - 1} & \cdots & s_{2n - 2}
\end{array}\right) \textnormal{ x }- 
\left(
\begin{array}{cccc}
s_{1} & \cdots & s_{n}\\
\vdots & & \vdots\\
s_{n} & \cdots & s_{2n - 1}
\end{array}\right) 
\end{array}\right\}$ hat die gleichen\quad (84.1) \\
\\
Nullstellen wie $f(x)$, wenn $Gr\,f(x) = n$, $s_{\nu}$ \nl $\nu$-te Potenzsumme der Wurzeln von $f(x)$ und $f(x)$ quadratfrei. \qquad 	BEWEIS: 85.2 \quad s. auch \nl\\
Verallgemeinerung: $s_{k} = \sum\limits^{\nu = 1}_{n} \,p_{\nu}\,x_{\nu}^{k}$\\
\\
(2) \underline{Aufgabe:} Welche reellen (a) Diagonaltransformationen, (b) linearen Transformationen von $a_{0}$, $a_{1}$, $\cdots$, $a_{n}$ haben die Eigenschaft, die Anzahl der reellen Nullstellen von $a_{0} + a_{1}\,x + \cdots  + a_{n}x^{n}$ nicht zu vermindern ? Vgl. dazu P$\acute{o}$lya - Szeg\"o, Aufgaben. Dabei z\"ahlt die Wurzel $\infty$ als reell; die \nl sind reelle Unbestimmte.- z.B. Gebr. lin. Transf. von $x$. \\
\\
(3) \underline{Schuss Oberseminar:} Themen 1932. 1. Fej$\acute{e}$r Interpolation, Math Ann $\sim$ 1932.\\
2. Titchmarsh, Kreisgitterproblem $(\frac{27}{82})$. \\
3. Bieberbarch: Bewegungsgruppen Math Ann 70, 72\\
Frobenius Berl. Ber. 1911\\
4. Colen, MZ 14 (?) Anzahl d. Wurzeln von $f(z)$ im Einheitskreis\\
Dazu Schur \nl MZ 24\\
\\
\underline{(4) Aufgabe:} \nl Abschnitt der L\"osungsreihe nur reelle Wurzeln ? Dann h\"atte jeder Abschnitt der Exponentialreihe seine Nullstellen in der linken Halbebene. \\
\\
$\textbf{Seite 85}$\\
\\
$[142]$ G.Mignosi behauptet f\"alschlich: \underline{Dann und nur dann} sind alle\\
(1) char Wu von $A$ in der rechten Halbebene, wenn $A + \overline{A}'$ pos. definit.\\
\\
(2) Beweis zu (84.1) : Det $= |A\,x - B|$, $A = T\,T'$, $B = T\,
\left(
\begin{array}{cccc}
x_{1} & &  &\\
&x_{2}&&\\
& & \ddots &\\
&&&x_{n}
\end{array}\right) \,T'$  mit $T = 
\left(
\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \cdots & 1\\
x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n}\\
\cdot & \cdot & \cdot\\
x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n - 1} & x_{n}^{n - 1} 
\end{array}\right)$, $f(x_{\nu}) = 0$.\\
\\
\\
\underline{Reduktion singul\"arer Formenb\"uschel} $\lambda\,A + B$ ($A,\,B$ Rechtecke gleichen Typs). Sei zun\"achst $Rg\,(\lambda\,A + B) = Rg\,A$. Gibt es L\"osungen $\mathfrak{x}(\lambda)$ von $^{(1)}$ $(A\,\lambda + B)\,  
 \mathfrak{x} = 0$, so gibt es auch solche, die in Bezug auf $\lambda$ ganz rational sind. Sei $\mathfrak{x}_{1},\, \mathfrak{x}_{2},\cdots, \mathfrak{x}_{r}$ ein vollst\"andiges System \"uber $K(\lambda)$ linear unabh\"angiger L\"osungen von \nl, derart da\ss $ $ 1) alle $\mathfrak{x}(\lambda)$ ganz rat sind und dass 2) $\sum\limits^{\rho = 1}_{r} Gr\,\mathfrak{x}_{\rho} = m = \min $. Ist dann etwa $ \mathfrak{x}_{\rho}(\lambda) = \mathfrak{x}_{\rho}^{(0)} + \lambda\, \mathfrak{x}_{\rho} + \cdots + \lambda^{n}\rho \cdot \mathfrak{x}_{\rho}^{(n\,\rho)}$, $\mathfrak{x}_{\rho}^{n\,\rho} \not= 0$, dh. $Gr\,\mathfrak{x}_{\rho} = n_{\rho}$, so sind \underline{alle} $\mathfrak{x}_{\rho}^{(\sigma)}$ \underline{lin. unabh.}. Denn sonst g\"abe es, wenn eine Beziehung $\sum\limits^{}_{}$'$c_{\rho}\mathfrak{x}_{\rho} = 0$ mit konstanten $c_{\rho} \not= 0$ und mit $\max$ Gr$\,\mathfrak{x}_{\rho} = \mu$ besteht, Polynome $f_{\rho}(\lambda)$ mit Gr$\,f_{\rho}(\lambda) \leq \mu$ und nicht alle $f_{\rho}(\lambda) = 0$, und so da\ss $ $ in (2) \nl $\sum\limits^{}_{}$' $f_{\rho}(\lambda)\,\mathfrak{x}_{\rho}$ das Glied mit $\lambda^{\mu}$ fehlt. Sei $g = \underbrace{\sum\limits^{\nu = 0}_{\mu - 1}\,\lambda^{\nu}}\,\mathfrak{z}_{\nu} + \lambda^{\mu + 1} 
\underbrace{\sum\limits^{\nu = 0}_{\mu - 1}\,\lambda^{\nu}}\,\mathfrak{z}'\nu$, so folgt aus $(A\,\lambda + B) = \mathfrak{y} = 0$, da\ss $ $ dies \qquad\qquad\qquad\qquad  und \qquad dies \quad einzeln L\"osungen von (1) sind.\\
\\
$\textbf{Seite 86}$\\
\\
Da deren Grade $\leq \mu - 1$, sind sie wegen Minimaleigenschaft von \nl darstellbar als Linearverbdgen der $\mathfrak{x}_{\rho}$ mit Gr$\,\nl \leq \mu - 1$ (mit in $\lambda$ rationalen Koeffizienten). Das widerspricht der Darstellg (2). \"Ahnlich zeigt man, da\ss $ $ die $\mathfrak{y}^{(\sigma)}_{\rho} = B\, \mathfrak{x}_{\rho}\,^{(\sigma)} $ mit $\sigma > 0$ lin. un. sind. F\"uhrt man neue Koord $\mathfrak{x}$ ein, unter deren Einheitsvektoren die 
$ \mathfrak{x}_{\rho}\,^{(\sigma)} $ vorkommen, und ebenso $\mathfrak{y}_{\rho}\,^{(\sigma)}$, so nehmen wegen
$B\,\mathfrak{x}_{\rho}\,^{(0)} = 0$; $\mathfrak{y}_{\rho}^{(1)} = B\,\mathfrak{x}_{\rho}\,^{(1)} = A\,\mathfrak{x}_{\rho}\,^{(0)}$, $ \mathfrak{y}_{\rho}^{(2)} B\,\mathfrak{x}_{\rho}^{(2)} = A\,\mathfrak{x}_{\rho}^{(1)}$; $\cdots$, $A\,\mathfrak{x}_{\rho}^{(n\,\rho)} = 0$ die lin. Transf. $A$ und $B$ die Gestalt an\\  
$A = \left(
\begin{tabular}{ccc|c}
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$\diagdown$\\
\hline
\end{tabular} & 0 & 0 & \\
0 & \begin{tabular}{|c|}
\hline
$\diagdown$\\
\hline
\end{tabular} & 0 & C \\
0 & 0 & \begin{tabular}{|c|}
\hline
$\diagdown$\\
\hline
\end{tabular} &  \\
\hline
&&&\\
& 0 & & $A_{1}$\\
&&&
\end{tabular}\right)$, 
$B= \left(
\begin{tabular}{ccc|c}
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$\diagdown$\\
\hline
\end{tabular} & 0 & 0 & \\
0 & \begin{tabular}{|c|}
\hline
$\diagdown$\\
\hline
\end{tabular} & 0 & D\\
0 & 0 & \begin{tabular}{|c|}
\hline
$\diagdown$\\
\hline
\end{tabular} &  \\
\hline
&&&\\
& 0 & & $B_{1}$\\
&&&
\end{tabular}\right)$\\
\\
\\
wobei  $ \begin{tabular}{|c|}
\hline
$\diagdown$\\
\hline
\end{tabular}$ ein K\"astchen der Gestalt 
$ \left(
\begin{array}{cccc}
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&1&0
\end{array}\right) $ bedeutet, $\&\,
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$\diagdown$\\
\hline
\end{tabular} = 
\left(
\begin{array}{cccc}
0&1&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1
\end{array}\right)$. Davor k\"onnen noch 0-Spalten stehen, n\"amlich so viele als es $\mathfrak{x}_{\rho}$ mit $n_{\rho} = 0$ gibt. \\
$(A_{1}\lambda + B_{1})\, \mathfrak{x}^{*} = 0$ hat keine L\"osung $ \mathfrak{x}^{*} $ mehr, da eine solche zu einer von $\mathfrak{x}_{1},\cdots,\,\mathfrak{x}_{r}$ unabh. L\"osung von (1) erg\"anzt werden k\"onnte, da der Zeilenrang der linken oberen Ecke von $A$ und $B$ der volle \nl. Aus $Rg\,(A\,\lambda + B) = Rg\,A$ folgt, da\ss $ $ auch $A_{1}$ vollem Spalten rang hat. Man kann daher durch Substraktion geeigneter\\
\\
$\textbf{Seite 87}$\\
\\
Multipla der Zeilen von $A_{1}$ jede Zeile von $C$ zum Verschwinden bringen auf Kosten der Zeile gleicher Nummer von $D$. Da ferner in jeder Zeile linken obere Ecke von $B$ eine 1 steht, in einer Spalte, die sonst nur Nullen und in $A$ h\"ochstens eine 1 unterhalb von der von $B$ aufweist, kann man jede Zeile  von $D$ durch Substraktion geeigneter Spalten der linken oberen Ecke von $B$ zu Null machen, auf Kosten h\"ochstens der unmittelbar \underline{darunter} stehenden Zeile von $A$. So kann man zuerst die erste Zeile  von $C$, dann die erste \nl Zeile von $D$, dann die zweite Zeile von $C$, dann die zweite Zeile von $D$, dann die dritte von $C$ usw. Zum Verschwinden bringen. Das bedeutetet volle Reduzibilit\"at: Es ist, wenn man $A$ durch $P\,A\,Q$, und $B$ durch  $P\,B\,Q$ ersetzt mit nicht singul\"aren $P,\,Q$. \\
$$ A = \left(
\begin{array}{cccc}
\begin{tabular}{|c|}
\hline
\quad\\
\hline
\end{tabular} & 0\\
0 & A_{1}
\end{array}\right)\qquad 
 B = \left(
\begin{array}{cccc}
\begin{tabular}{|c|}
\hline
\quad\\
\hline
\end{tabular} & 0\\
0 & B_{1}
\end{array}\right)$$
Besteht zwischen den \underline{Zeilen} von $A_{1}\lambda + B_{1}$ eine lineare Abh\"angigkeit \"uber $K(\lambda)$, so ergibt sich wie oben eine Zerf\"allung in
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
\quad\\
\hline
\end{tabular}$ un einen Bestandteil $A_{2},\,B_{2}$, da weder lin. ab. Zeilen noch Spalten hat, also quadratisch und\underline{nicht} singul\"ar ist und auf \nl gebraucht werden kann. Insgesamt erh\"alt man also folgende\\
\\
$\textbf{Seite 88}$\\
\\
reduzierten Bestandteile: Nullspalten \nl, Nullzeilen \nl\\
Die letzten k\"onnen an der urspr\"unglich gegebenen Schar $A\,\lambda + B$ aus den Elemetarteilern abgelesen werden, da 
$ \begin{tabular}{|c|}
\hline
\\
\hline
\end{tabular} $ und    
$ \begin{tabular}{|c|}
\hline
\\
\hline
\end{tabular} $ nur Einsen als Determinantenteiler  Beitragen. Die Typen der Kronerker-K\"astchen \nl sind aus den minimalen Gradzahlen $n_{\rho}$ zu bestimmen: Typ: $(n_{\rho},\, n_{\rho} + 1)$. Die Typen von \nl aus den minimal-Gradzahlen der L\"osgen des zu (1) transponierten Systems. Da diese, wie leicht zu sehen, von der speziellen Wahl der L\"osungsbasis $\mathfrak{x}_{1},\dots,\,\mathfrak{x}_{r}$ nicht abh\"angen ist die Normalform  eindeutig. \\
Ist nicht $Rg\,(A\,\lambda + B) = Rg\,A$, so kann man zun\"achst $A^{*}$  mit $Rg\,A^{*} = Rg\,(A\,\lambda^{*} + B) = Rg\,(A\,\lambda + B)$ w\"ahlen und hat f\"ur $A^{*}$, $B$ obige Normalform; das gibt nach geeigneter \"Aquivalenz \underline{auch f\"ur $A$ und $B$} wieder die obigen Typen \nl usw.; f\"ur die Weierstrafs K\"astchen kann man die Normalform 
$$A \sim 
\left(
\begin{array}{ccccc}
\alpha & \beta & & &\\
& \alpha & \beta & &\\
&&&\ddots & \\
&&&& \alpha
\end{array}\right) ,\quad
B \sim 
\left(
\begin{array}{ccccc}
\beta & \alpha & & &\\
& \beta & \alpha & &\\
&&&\ddots & \\
&&&& \beta
\end{array}\right)$$ w\"ahlen, wobei \nl auf einen gemeinsamen Faktor $\not=$ \nl bestimmt sind (denn hier ist die einzige Elementarteiler $(\lambda - \frac{\beta}{\alpha})^{n}$. \\
\\
$\textbf{Seite 89}$\\
\\
\underline{Formel von B\"urmann Lagrange:} Die Aufl\"osung von $y - x = z\,F(y)$ nach $y$ lautet \\
$y = x + z\,F(x) + \cdots + \frac{z^{n}}{n!}\,\frac{d^{n - 1}F(x)^{n}}{dx^{n - 1}} + \cdots$; daher ist \\
$\frac{dy}{dx} = 1 + z\,\frac{d\,F(x)}{dx} + \cdots + \frac{z^{n}}{n!}\,\frac{d^{n}F(x)}{dx^{n}} + \cdots$\\
Hiermit folgt [146]\\
$(1 - xz + z^{2})^{-\frac{1}{2}}) = \sum\limits^{0}_{\infty} \,\, z^{n} \cdot \frac{d^{n}(x^{2} - 1)}{dx^{n}} \cdot 
\frac{1}{n!2^{n}}$\\
Der Koeff von $z^{n}$ in $y$  ist $= \frac{1}{n}$. Koeff von $z^{n - 1}$ in $F^{n}$, falls $F$ Potenzreihe. \\
Bew. funktionentheor., wenn $F$ reg., $F(x) \not= 0$, durch Cauchys Intergralformel. $y$ als Variable  einf\"uhren,  einmal partiell integrieren. \\
\underline{Aufgabe:} Wie weit stimmt die Struktur  zweier endlicher Gruppen \nl, wenn sie dieselbe Charakterentafel haben ? \\
$\textbf{Seite 90}$\\
\\
1. I . 33 (\"ubertragen von 20.4.46) \underline{\"Uber den Absolutbetrag einer Matrix}\\
Ausgehend von abs$_{1} \, A = \{\sum\limits^{i\,k}_{} \,|a_{ik}|^{2}\}^{\frac{1}{2}}$ kann man eine unendliche Folge von Absolutbetr\"agen erkl\"aren durch. \\
$$abs_{1}\,A = \{abs_{\rho}\,\overline{A}\,A'\}^{\frac{1}{2}}. \textnormal{ Es gilt dann}$$
$(a)\qquad abs_{\rho}\,A\,B\,\,\underline{\underline{<}}\,\,abs_{\rho}\,B$, $abs_{\rho}(A + B)\,\,\underline{\underline{<}}\,\, abs_{\rho} A + abs_{\rho}B$. \\
(b) \qquad $abs_{\rho}\,U\,A\,V = abs_{\rho}A$, wenn $U,\, V$ unit\"ar. \\
(c)\qquad Ist $\Omega = 
\left(
\begin{array}{cccc}
\omega_{1}&&&\\
&\omega_{2}&&\\
&&\ddots&\\
&&&\omega_{1}
\end{array}\right)$ mit $\omega_{\nu} \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$, $B = (b_{\alpha\,\beta})$ mit $b_{\alpha\,\alpha}\,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$, so ist $abs_{\rho}(\Omega + B) \,\,\underline{\underline{>}}\,\, abs_{\rho}\,\Omega$, und = steht nur wenn $B = 0$.\\
(d)\qquad $abs_{\rho}(A\,B) \,\,\underline{\underline{>}}\,\, abs_{\rho}A$, und = steht nur bei $B$ = 0. \\
(e) \qquad $abs_{\rho}\,A = abs_{\rho}\overline{A} = abs_{\rho}A'$\\
(f) \qquad $abs_{\rho + 1}A \,\,\underline{\underline{<}}\,\,abs_{\rho}A$\\
(g) \qquad $\ll{\rho \rightarrow \alpha}\,\,abs_{\rho}\,A = 
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A$
\end{tabular}$ (in meiner jetzigen Schreibweise).\\
Definitionen f\"ur unendliche Matrizen 
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A$
\end{tabular}$ durch $\lim\,
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A_{n}$
\end{tabular}$, wobei $A_{n}$ der $n$-te Abschnitt von $A$ ist, so gilt:\\
(h) \qquad Existieren 
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A$
\end{tabular}$ und 
 $\begin{tabular}{|c|}
\hline
$B$
\end{tabular}$, so auch $A\,B$, \\
und es ist 
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A + B$
\end{tabular} \,\,\underline{\underline{<}}\,\,
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A$
\end{tabular} + 
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$B$
\end{tabular}$,
$$
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A\,B$
\end{tabular} \leq 
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A$
\end{tabular}\,
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$B$
\end{tabular}.$$
Existiert noch 
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$C$
\end{tabular}$, so ist auch $A\,(B\,C) = (A\,B)\,C$.\\
(i)\qquad Existiert $\overline{A}\,A'$ und 
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$\overline{A}\,A'$
\end{tabular}$, so auch 
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A$
\end{tabular}$, und es ist
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A$
\end{tabular}^{2} = 
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$\overline{A}\,A'$
\end{tabular}$.\\
(j) \qquad
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A \textnormal{ x } B$
\end{tabular} = 
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A$
\end{tabular} \cdot 
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$B$
\end{tabular}$ f\"ur Kron akersche Produkte\\
(k) ist 
$b_{\alpha_{\beta}} \,\,\underline{\underline{>}}\,\, |a_{\alpha_{\beta}}|$, so ist           
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$B$
\end{tabular}\,\,\underline{\underline{>}}\,\,
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A$
\end{tabular}.$\\
\\
$\textbf{Seite 91}$\\
\\
Ein Beweis der \underline{Jacobischen Zerlegungsformel} f\"ur Bilinearformen.\\
$Rg\,A = r$ und sind die $D_{\rho} = 
\left|
\begin{array}{cccc}
a_{11}& \cdots & a_{1\,\rho}\\
\cdot & \cdots & \cdot \\
a_{\rho1} & \cdots & a_{\rho\,\rho}
\end{array}\right| \not= 0 \qquad (\rho = 1\nl,\cdots,\,r)$, \\
so ist\\
$A = 
\left(
\begin{array}{ccccc}
1&&&&\\
b_{21}&1&&&\\
b_{31}&b_{32}&1&&\\
\vdots&&&\ddots&\\
&&&&E
\end{array}\right) \cdot 
\left(
\begin{array}{cccccccc}
D_{1}&&&&&&&\\
&D_{2}/D_{1}&&&&&&\\
&&D_{3}/D_{2}&&&&&\\
&&&\ddots&&&&\\
&&&&D_{r}/D_{r - 1}&&&\\
&&&&&0&&\\
&&&&&&\ddots&\\
&&&&&&&0
\end{array}\right) \cdot
 \left(
\begin{array}{ccccc}
1 & c_{12} & c_{13} & \cdots\\
&1&c_{23}& \cdots\\
&&1&\\
&&&E
\end{array}\right)$\\
\\
mit 
\begin{quote}
$b_{\rho1} = \frac{a_{\rho1}}{a_{11}}$ $c_{1\rho} = \frac{a_{1\rho}}{a_{11}}$\\
$b_{\rho2} = \frac{\left|
\begin{array}{ccccc}
a_{11} & a_{12}\\
a_{\rho 1} & a_{\rho 2}
\end{array}\right|}
{\left|
\begin{array}{ccccc}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|}$, $c_{2\rho} =
\frac{\left|
\begin{array}{ccccc}
a_{11} & a_{1\rho}\\
a_{21} & a_{2\rho}
\end{array}\right|}
{\left|
\begin{array}{ccccc}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|}$\\
 \\
$b_{\rho3} = \frac{\left|
\begin{array}{ccccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{\rho1} & a_{\rho2} & a_{\rho3}\\
\end{array}\right|}
{D_{3}}$
\end{quote}
Bew: Dass \"uberhaupt $A = \nl \cdot
\left(
\begin{array}{ccccc}
\delta_{1} &&&&\\
& \delta_{2} &&&\\
&& \ddots &&\\
&&& \delta_{r} &\\
&&&& 0
\end{array}\right)\,\nl$, folgt durch Abbau von $A$ (\nl Substraktion passender Linearverbindungen der vorangehenden Zeilen bzw. Spalten) bis auf Diagonalmatrix. Dass die $\delta_{\rho}$ die angegebenen Werte haben, folgt daraus, da\ss die Hauptunterdeterminanten bei Multipl. mit den Dreiecken unge\"andert bleiben: $\delta_{1} \cdot \delta_{2} \cdots \delta_{\rho} = D_{\rho}$; $\delta_{\rho} = \frac{D_{\rho}}{D_{\rho^{-1}}} \quad (\rho \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 2)$. Dass z.B. $T$ von selbst die angegebene Gestalt hat, folgt so: Die $\rho$-te Zeile von $A$ ist Linearverbindung der 1; 2, $\sim$, $\rho$-ten Zeile von $T$. Da die ersten \nl Zeilen von $A$ lin. un., sind auch umgekehrt die ersten $r$ Zeilen von $T$ Linearverbindungen der ersten $r$ Zeilen $\mathfrak{u}_{1}$, $\mathfrak{u}_{2}$, $\cdots$, $\mathfrak{u}_{r}$ von $A$\\   
\\
$\textbf{Seite 92}$\\
\\
und zwar ist die $\rho$-te Zeile $A_{\rho}$ von $T$-eindeutig bestimmt durch die Forderung: Ihre ersten $\rho - 1$ Zahlen sind 0, die $\rho$-te ist 1. Diese Linearverbindung von $\mathfrak{u_{1}},\cdots, \,\,\mathfrak{u}_{\rho}$ aber wird offensichtlich (oder nach Cramer) gegeben durch
$$\frac{1}{D_{\rho}} \cdot 
\left\{
\begin{array}{ccccc}
\left|
\begin{array}{ccccc}
a_{11} & \cdots & a_{1\,\,\rho - 1} & a_{1\,\,\nu}\\
a_{21} & \cdots & a_{2\,\,\rho - 1} & a_{2\,\,\nu}\\
\cdot & \cdots & \cdot & \cdots\\
a_{\rho 1} & \cdots & a_{\rho\,\,\rho - 1} & a_{\rho\,\,\nu}\\
\end{array}\right|
\end{array}\right\}$$
Mit anderen Worten lautet die Jacobi-Formel:\\
Setzt man $f_{K}(y) = \sum\limits^{\nu}_{}\,\mathfrak{A}_{K\,\nu}Y_{\nu}$, $f'_{\rho}(x) = \sum\limits^{K}_{}\,K\,\rho \,x_{K}$, und \\
$l_{\rho}(y) = \nl
\left|
\begin{array}{ccccc}
a_{11}& a_{12} & \cdots & a_{1\,\,\rho - 1} & f_{1}\\
\cdot & \cdot & \cdots & \cdot & \cdot\\
a_{\rho 1} & a_{\rho\,2} & \cdots & a_{\rho\,\,\rho - 1} & f_{\rho}
\end{array}\right|$,
$m_{\rho}(x) = \nl 
\left|
\begin{array}{ccccc}
a_{11}& \cdots & a_{1\,\rho}\\
a_{21} & \cdots & a_{2\rho}\\
\cdot & \cdots & \cdot \\
a_{\rho - 1} & \cdots & a_{\rho - 1\,\rho}\\
f'_{1} & \cdots & f'_{\rho} 
\end{array}\right|$,\\
so ist $f(x,\,y) = \sum\limits_{{\tiny{
\begin{array}{cc}
K = 1 \cdots m\\
\lambda = 1 \cdots n
\end{array}}}}^{} a_{K\,\lambda}\,x_{K}\,y_{1} = \nl \cdot \frac{m_{1}(x)\,\,l_{1}(y)}{D_{1}} + \nl $\\
\\
Die \underline{Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren}, angewandt auf $r$ lin. un. Vektoren $\mathfrak{v}_{1}\,\,\mathfrak{v}_{2} \cdots \mathfrak{v}_{r}$, ist identisch mit der Jacobischen Zerlegung der quadratischen Form $(\sum\limits^{1}_{n}\,x_{\rho}\,\mathfrak{v}_{\rho})^{2}$.\\  
\\
$\textbf{Seite 93}$\\
\\
1. Kein Polynom $f(x)$ mit nicht lauter verschwindenden Koeff. verschwindet f\"ur alle $x$ in einem unendl. K\"orper: Sonst k\"onnte man jedes Pol. mod $f(x)$ reduzieren, und es g\"abe nur endlich viele lin. un. Polynome (bezgl. Einsetzung von Fragmenten aus dem K\"orper). Dagegen kann man beliebig viele angeben, die f\"ur $x_{1} \cdots x_{n}$ den Wert 0, f\"ur $x_{n + 1}$ den Wert 1 annehmen und daher lin. unabh. sind).\\
\\
2.\\
1.6.46 \quad \underline{\"Uber unendliche Reihen:}\\
$ \sum\limits^{\infty}_{1} \, a_{n}$ ist sicher  dann kgt (oder beschr\"ankte Teilsummen), wenn es endlich viele fest Zahlen $p_{0}$, $\cdots$, $p_{R}$ mit $\sum\limits^{k}_{0}\, p_{K} \not= 0$ gibt , so dass die Reihe  $\sum\limits^{\infty}_{1}\, A_{n}$ mit $A_{n} = p_{0}\,a_{n} + p_{1}a_{n + 1} \leftarrow  + p_{k}a_{n + k}$ konvergiert und $a_{n} \rightarrow 0$ geht ($\sum\limits^{\infty}{1}\,A_{n}$ beschr\"ankte Teilsummen hat).\\
Bew: $s_{k} = \sum\limits^{\infty}{a_{\nu}}$; $s_{n} \cdot \sum\limits^{k}_{0}\,p_{k}$ bilde so:\\
Anwendg z.B. $\sum\limits^{\infty}{0}\,P_{n}(\xi)\,t^{n}$, mit $1 - 2t\,\xi + t^{2}$ multipl.\\
3. Das Prinzip der \underline{Abelschen Summation} kann man so aussprechen:\\
$\sum\limits^{r}_{1} \,a_{n}$ kgt (oder beschr\"ankt) ist und $\sum\limits^{\infty}_{1} \,|c_{\nu + 1} c_{\nu}|$ kgt, dh $c_{\nu}$ ein Folge beschr\"ankter Schwankung ist, dann ist auch  $\sum\limits^{\infty}_{1}\,c_{\nu}\,a_{\nu}$ kgt falls $c_{\nu}$ monoton reell $\rightarrow$ $=$ \nl\\
\\
$\textbf{Seite 94}$\\
\\
1. \underline{Einige Reihen mit \nl Polynomen:}\\
a) $\sum\limits^{\infty}_{n = 1}\,\frac{(P_{n + 1}(x) - P_{n - 1}(x))^{2}}{2n + 1} = 1 - x^{2}$ gleichen kgt f\"ur $-1 \leq x \leq 1$. \\
Bew.: $\frac{d\,sn}{d\,x} = \lambda \cdot \sum\limits^{n}_{\nu = 1}\,(P_{\nu + 1} - P_{\nu - 1}) \cdot P_{\nu} = -2x + 2\,P_{n + 1}\, P_{n}$\\
und $\int\limits_{-1}^{+1}\,f\,P_{n}\,dx \rightarrow_{n}\quad 0$ gl. f\"ur alle $|f|\,\,\underline{\underline{<}}\,\,$1.\\
Hiermit folgt leicht, dass $\sum \,a_{\nu}\,P_{\nu}$ \nl kgt, wenn $a_{\nu} = \frac{2\nu + 1}{2}\,\int\,f\,P_{\nu}$ mit \nl Beweis stetiger Ableitg von $f$. \\
b) F\"ur $\xi = \cos\,\vartheta \not= \pm 1$ ($\vartheta$ reell) konvergiert $\sl{\infty}{0}\,P_{n}(\xi) \cdot e^{i\,n \,\varphi}$ \\
\nl auf jedem abgeschlossenen Kreisbogen $e^{i\,p}$, der $e^{\pm \vartheta\,i}$ nicht enth\"alt. Bew.:  $s_{n} = \frac{1}{\pi}\,\int\limits_{0}^{\pi} \frac{1 - (e^{i\varphi}t)^{n + 1}}{1 - t\,e^{i\,\varphi}} d\omega$ mit $t = \xi + i\,\sqrt{1 - \xi^{2} \cdot \xi^{2}} \cdot \cos\,\omega$\\
und \\
$\int\limits_{0}^{\pi} t^{n} \cdot g(\omega)\, d\omega \rightarrow 0$ gleichm. f\"ur alle 
$\left\{
\begin{array}{ccccc}
|g(\omega)| < 1\\
-1 + \delta \leq \xi \leq 1 - \delta
\end{array}\right.$\\
c) Wenn $\sum\limits_{0}^{\infty}\, a_{n}\,\cos\,n\,\vartheta$ und $\sum\limits_{0}^{\infty}\, a_{n}\, \sin \,n\,\vartheta$ konvergieren (oder beschrkt. sind), dann hat $\sum\limits_{0}^{\infty}\,a_{n}\,P_{n} (\cos\,\vartheta)$ die gleiche Eigenschaft. \\
Bew: $s_{n} = \frac{1}{\pi}\,\int\limits_{0}^{\pi} \,\sum\limits_{0}^{n}\,a_{\nu}\,\nl \cdot d\varphi$, und $\sum$ kgiert nach Abel gleichm\"assig f\"ur alle $\varphi$; dabei $t = \xi + i\,\sqrt{1 - \xi^{2}} \cdot \cos\, \varphi$ (hier $0 < \varphi < \pi$; $\varphi = 
\begin{array}{ccccc}
0\\
\pi
\end{array}$ trivial)\\
\\
d) Nach b und c kgiert $\sum\limits_{0}^{\pi} P_{n}(x)\,P_{n}(y)$ gl. in jedem \nl von $-1 \leq 
\begin{array}{ccccc}
x\\
y
\end{array} \leq 1$, das kein Randpkt und Diagonalpkt $x = y$ enth\"alt \nl\\
\\
$\textbf{Seite 95}$\\
\\
1. \underline{Zur Taylorschen Reihe (reell oder komplex)}\\
\underline{Herleitung mit exaktem Restglied:}
$f(x) - f(0) = \int\limits_{0}^{z}\,f'(\zeta) \,d\zeta = -f'(\zeta) \cdot (\zeta - z)$ 
{\large{$|$}}$_{_{0}}^{^{z}} + \int\limits_{0}^{z} \,f''(\zeta)\,(z - \zeta) \,d\zeta = \cdots = -[ f'(\zeta) \,(\zeta - z) + f''\,\frac{(\zeta)\,(\zeta - z)^{2}}{2!} + \cdots + \frac{f^{(n)}(\zeta)\, (\zeta - z) ^{n}}{n !}]^{^{z}}_{{0}} + \int\limits_{0}^{z}\,\frac{f^{(n + 1)}_{(\zeta)} (z - \zeta)^{n}}{n!}\,d\zeta$\\
daher \\
$f(z) = \sum\limits_{\nu = 0}^{n}\,\frac{f^{\nu}(0)}{\nu\,!}\,z^{\nu} + \int\limits_{0}^{z}\,\frac{f^{(n + 1)}(\zeta) \cdot (z - \zeta)^{n}}{n!}\, d\zeta$\
$[$ Im Reellen auch bei Hahn-Tietze, Einf. in d. El. d. h\"oh. Math: S. 276$]$\\
\\
2. Zur \underline{Konvergenz von Potenzreihen auf dem Rande des Kgenzkreises:}\\
$f(z)$ sei \"uber den Einheitskreis nach aussen \"uberall fortsetzbar ausser in endlich vielen Punkten  $e^{i\,\varphi\,\nu} \quad (\nu = 1,\cdots, \nl$; im Innern sei $f(x)$ regul\"ar. Bei den $e^{i\,\varphi\,\nu}$ sei $f(z)$ noch in einem \"uberstumpfen $\not<$ mit Scheitel $e^{i\,\varphi_{\nu}}$ regul\"ar, und $\int|f(\zeta)|\,|d\,\zeta|$ bleibe beschr\"ankt bei Ann\"aherung des Weges $\mathfrak{L}$ an die Schenkel dieses Winkels :\\
\\
$\textbf{Graph}$\\
\\
Dann kgiert die Taylorreihe  $f(z) = \sum\,a_{\nu}z^{\nu}$ noch gleichm\"a\ss ig auf jedem abgeschlossenen Teilbogen des EK der kein $e^{i\,\varphi_{\nu}}$ enth\"alt.\\
Vor. nicht korrekt! $f(z)$ reg in $\mathfrak{G}$ dieser kt:\\
$\textbf{Graph}$\\
\nl\\
\\
Bew: $2\pi i \, f(z) = \int\limits_{\mathfrak{L}}\,\frac{f(\zeta)}{\zeta} \cdot \sum\limits_{0}^{n}\,(\frac{z}{\zeta})^{\nu}\,d\zeta + \int\limits_{\mathfrak{L}}\,f(\zeta) \cdot (\frac{z}{\zeta})^{n + 1} \cdot \frac{d\zeta}{\zeta - z} = I + II$\\
|II| $< \varepsilon$ auf den Einbuchten nach Vor. und vorher auf den Kreisb\"ogen durch gen\"ugend \nl. \\
\\
$\textbf{Seite 96}$\\
\\
D.h.: Wenn auf dem Konvergenzkreis nur endlich viele ''schwache'' Singularit\"aten liegen, z.B. $f(z) = \rm{reg} \cdot t \quad (z - e^{i\,\varphi_{nu}}$ mit $Re\,\alpha > -1$, dann konvergiert die Reihe in allen  andern Randrkten. Z.B. $\sum\limits_{0}^{\infty}\,P_{n}(\zeta)\,e^{i\,n\,\varphi}$. Die urspr\"ungliche Vor hat wohl schon zur Folge $a_{n} = 0\,(1)$, dann kann man 96$/$3 anwenden!\\
1.\underline{\"Ahnlich:} Ist $f(z)$ regul\"ar in $\mathfrak{G}$ und in einem Pkt $z_{0}$ Null von positiver Ordnung, dh. $|f(z)| < |t - z_{0}|^{\beta}$ mit $\beta > 0$, und hat $f(z)$ sonst nur endlich viele sing. Stellen der Ordnung $\alpha > -1$, so konvergiert die Potenzreihe f\"ur $f(z)$ um den Mittelpkt des Kreises, auf dem die $z_{\nu}$ liegen, in einem Intervall um $z_{0}$ (einschließlich $z_{0}$) gleichm\"assig. Bew: $\mathfrak{L}$ deformieren in die Eckenkurve $\mathfrak{L}'$ der Abb.. $\int\limits_{\mathfrak{L}'}|\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}|\,|\frac{z}{zeta}|^{n}\,|d\zeta| \rightarrow 0$(gl. f\"ur $|z| = 1)$; $|\zeta - z| \geq a$. $|\zeta - z_{0}|$\\
\\
2. Satz: \underline{$\sum\,a_{\nu}z^{\nu}$ habe auf dem Einheitskreis als Kgenzkreis nur endlich viele Singularit\"aten} 
 und sei reg. in einem Gebiet $\mathfrak{G}$ wie Fig 1; die Singularit\"aten seien \underline{von beschr\"ankter Unendlichkeitsordnung}: $|f(z)| < |z - z_{\nu}|^{\alpha}$, $\alpha > -\infty$. \underline{Wenn $a_{\nu} \rightarrow 0$, konvergiert $\sum\,a_{\nu}\,z^{\nu}$} auf jedem abgeschlossenen Regularit\"atsbogen des Kgenzkreises gleichm\"assig. \\
Bew.: $a\,6/1$, $a\,3/2$ auf $\{\pi\,(z - z_{\nu})\}^{m} \cdot f(z)$ mit $m > |a_{\nu}|$ anwenden.\\
\underline{Erg\"anzung: Wenn $|a_{\nu}| = 0\,(\nu^{p})$} mit $p \geq 0$, sind auch die Teilsummen $\sum\limits_{0}^{n}\,a_{\nu}\, \mathfrak{S}$ auf jedem Regularit\"atsbogen gleichm\"assig) 0$\nu^{p}$. 
\\
$\textbf{Seite 97}$\\
\\
1. Ist $f(z)$ \nl  $\mathfrak{G}$ von Fig 1 (S.96), so ist in $f(z) = \sum\,a_{\nu}\,z^{\nu}$\\
$a_{\nu} = \bigcirc\, (\frac{1}{\gamma}) \qquad $Bew: $a_{\nu} = \nl\,d\,\zeta$\\
2. Ist $f(z)$ stetig im abgeschlossenen Gebiet $\mathfrak{G}$ (Abb. 86/1), so ist 
$$a_{\nu} = \circ\bigcirc\,(\frac{1}{\nu})$$
Bew: Durch Substraktion eines Polynoms $f(z_{\nu}) = 0$ machen.\\
Genaueres: S. Satz von Faton-Riesz, Landan, Neuere Ergebn. \\
\\
\underline{Absch\"atzung f\"ur Kugelfunktionen: $s = P_{n}(\zeta) + P_{n - 1}(\zeta)$}, $\zeta = \cos\,\vartheta \quad (0 \leq \vartheta \leq \pi$\\
(Kneser) $s = -\frac{1}{2\pi\,i}\,\{\nl \,\frac{(t + 1)\,dt}{t^{n + 1}\,\sqrt{t - e^{i\,\nu}}\sqrt{t - e^{-i\,\nu}}} + \nl \dots\}$\\
\\
$|s| \leq \frac{2}{\pi}\,\int\limits^{\infty}_{0} \,\frac{(\rho + 2\,\cos\,\vartheta/2)\,d\rho}{(1 + \rho)^{n + 1}\sqrt{\rho}\,\sqrt{\rho + 1 - 2 \cos \,\vartheta}}$\\
$a = \cos\,\vartheta/2\quad 2\,a^{2} - 1 = \cos \,\vartheta\quad 1 - \cos\,2\vartheta = 8\,a^{2}(1 - a^{2})$\\
\\
$0 \leq a \leq 1$. Das Folgende gilt f\"ur  $0 \leq a^{2} \leq 1 - \delta, \,\, 0 < \delta < 1:$\\
(1) $0 \leq \rho \leq 1i \quad \frac{(\rho + 2a)^{2}}{\rho + 8\,a^{2}(1 - a^{2})} \leq \rm{Max}\,(5,\,\frac{1}{2\,\delta}) = M_{1}$\\
(2) $ 1 \leq \rho\quad \frac{(\rho + 2a)^{2}}{\rho\,(\rho + 8a^{2}(1 - a^{2})} \,\,\underline{\underline{<}}\,\,\rm{Max}\,(2,\,\frac{1}{\delta}) = M_{2}$\\
Zusammen: $|s| \,\,\underline{\underline{<}}\,\, \frac{2}{\pi} \,\int\limits_{0}^{\infty}\,\frac{2\,\sqrt{M_{1}}{1 + (n + 1)\,M^{2}}} + \frac{2}{\pi} \int\limits_{1}^{\infty}\, \frac{\sqrt{M_{2}}\,d\,\rho}{(1 + \rho)^{n + 1}} = \frac{2}{\pi}\,[\pi\,\sqrt{\frac{M_{1}}{n + 1}} + \frac{1}{n}\,\sqrt{M_{2}}].$\\
\\
$\textbf{Seite 98}$\\
\\
\underline{Hadamards L\"uckensatz} noch einfacher: (Knopp 1943)\\
Sei $n_{k + 1} > (1 + \vartheta)\,n_{k}$, $\vartheta > 0$, $\sum\,a_{k}\,x^{n_{k}} = f(x)$ kgt f\"ur $|x| < 1$, $f(x)$ reg. f\"ur $x = 1$.\\
Ist $|w| \leq 1$, $x = \frac{1}{2},(w^{p} + w^{p + 1})$, so ist $|x|\,\,\underline{\underline{<}}\,\, 1$ und zwar $|x| = 1$ nur f\"ur $w = 1$, $x = 1$. Also ist $g(w) = f(x)$ regul. f\"ur $|w| \,\,\underline{\underline{<}}\,\, 1$, $g(w) = \sum\,b_{n}\,w^{n}$ kgiert also f\"ur $w = 1 + \delta'$, $\delta' > 0$. W\"ahlt man $p > \frac{1}{v}$, so sind die Teilsummen von $\sum\,b_{k}\,w^{k}$ also kgt f\"ur $x = 1 + \delta$.\\
\\
\underline{Aufgabe:} In $\frac{1}{\sqrt{k\,\nl\,2\,t^{2}z + 1}} = \sum\limits_{-\infty}^{\infty}\,a_{n}(z)\,t^{2\,n - 1}$ die Koeff bestimmen !\\
$\min\,|z \pm \sqrt{z^{2} - 1}| < |t|^{2} < \rm{ Max } |z \pm \sqrt{z^{2} - 1}|$\\
\\
\underline{Scherzaufgabe:} Aus $\pi\,\cdot \rm{ ctg } \pi \, z = \frac{1}{z} + \sum\limits_{1}^{\infty}\,(\frac{1}{z - \nu} + \frac{1}{z + \nu})$ folgt  f\"ur $z = x + i\,y$, $y \rightarrow \infty$\\
$ \lim\limits_{y \rightarrow \infty} \pi \rm{ ctg } \pi \, i\, y = 0 $, da alle Glieder $\rightarrow 0$ (Gl. in $\nu$). \\
\\
\underline{Aufgabe:} Die Summe der reellen Wurzeln einer vorgelegten Intervall $a \leq x < b$ nach Art der Anzahl (Sturmsche Kette) berechnen ! Desgl. andere Funktionen der Wurzeln.\\
\\
$\textbf{Seite 99}$\\
\\
7.2.47 \underline{Positive Matrixfunktionen:} Vgl $[$188$]$\\
1. Def. $M(x)$ \nl $0$, wenn $M(x)$ eine quadratische, rational von der komplexen Ver\"and. $x$ abh\"angige Matrix ist, f\"ur welche 1) $Im\,\mathfrak{u}^{*}M\,(a + i\,b)\,\mathfrak{u} \,\,\underline{\underline{>}}\,\,0$, wenn $b\,\,\underline{\underline{>}}\,\,0$\\
2) $Im\,\mathfrak{u}^{*}M\,(a + i\,b)\,\mathfrak{u}  = 0$, wenn $b = 0$.\\
2. Ist $M$ \nl $0$ 0, so ist f\"ur reelle $x$ $M(x)$ hermitesch.\\
3. Dund ist $M(x)$ \nl $0$, wenn $M(x) = \sum \,\frac{P_{\nu}}{x_{\nu} - x} + P_{\infty}x + \mathfrak{H}$, wobei $\mathfrak{H}$ hermitesch, die $P_{\nu}$ und  \\
$P_{\infty}\,\,\underline{\underline{>}}\,\,0$ $[$hermitesche Matrizen, pos. semidefinit oder definit$]$ sind, mit reellen $x_{\nu}$. \\
4. Ist $M(x)$ \nl 0, und $M(x)$ stetig in $\alpha \leq x \leq \beta$, so ist $M(\beta) - M(\alpha)\,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$. (3)\\
5. Ist $M(x)$ \nl 0 und $\det \, M(a + i\,b) = 0$, $b \not= 0$, so ist $\det$ $M(x) \equiv 0$ und $M$ unit\"ar \"ahnlich 
$\left(
\begin{array}{cc}
M_{1}(x) & 0\\
0 & 0 
\end{array}\right)$ mit $M_{1}(x)$ \nl $0$.\\
6. Seien $A(x)$, $B$ zwei $A$ rational von $x$ abh\"angig \nl Matrizen, quadratisch, von den Graden $a$ und $b$. Def.: $A(B) = [\sum\limits_{\nu = 0}^{n} A_{\nu} \times B^{\nu}] \cdot [E \times \varphi(B)]^{-1}$\\
wobei $A(x) = \frac{\sum\limits_{0}^{n}\,A_{\nu}x^{\nu}}{\varphi(x)}$ gesetzt ist mit $\det\,\varphi (B) \not= 0$. $Gr\,A(B) = a \cdot b$. \\
Die Defin. ist eindeutig, nicht von der besonderen Bruchdarstellg von $A(x)$ abh\"angig. \\
7. Aus $F(x) = G(x) \pm H(x)$ folgt $F(B) = G(B) \pm H(B)$. \\
Ist $A(x) = E$ (Gr = $a$), so ist $A(B) = E$ (Gr = $a\,b$)\\
8. Hat $A(x)$ die $a$ Eigenwerte $\varphi_{\alpha}(x)$, sind $B$ die $b$ EWerte $b_{1} \cdots b_{b}$, so hat $A(B)$ die ab EWerte $\varphi_{\alpha}(b_{1}),\cdots,\,\varphi_{\alpha}(b_{b})$. Bew: $B$ in Dreiecksform\\
9. $\det\,A(B) = \Pi_{b_{\beta}} = \rm{EW von }B \det \,A(b_{\beta})$\\
10. Ist $F(x) \,\nl\, 0$ und $G(x) \,\nl\, 0$, so ist
$ \left\{
\begin{array}{cc}
F(G(x)) \,\nl\, 0. \rm{\quad z.B. } -G^{-1}(x)\, \nl \, 0.\\
\rm{und }\,F(x) + G(x) \,\nl \, 0, \rm{ falls }Gr\,F = Gr\,G. 
\end{array}\right.$\\
\\
$\textbf{Seite 100}$\\
\\
11. Ist $F(x)\,\nl\, 0$, so steigen die Eigenwerte in jedem Stetigkeitsintervall monoton.(4)\\
12. Def.: Ist $F(x)\,\nl\,0$, so sei Ord $F(x) = \sum\limits_{\rm{Pole}}$ Rang \nl von $F(x) = Rg\,P_{\nu} + Rg\,P_{\infty}$.\\
13. Gr $\det\,F(x) \,\,\underline{\underline{<}}\,\, \rm{Ord } F(x)$. Beispiel f\"ur \nl: $F(x) = 
\left(
\begin{array}{cc}
-\frac{1}{x} & \\
 & x
\end{array}\right)$.\\
14. Def.: Ist $F(x)\,\,\underline{\underline{>}}\,\,0$, so heisst $x^{*}
\left\{
\begin{array}{cc}
\rm{ein r-facher Pol}\\
\rm{eine r-fache Nullstelle von } F(x) 
\end{array}\right.$, wenn beim Durchgang von $x$ durch $x^{*}$ genau $r$ Eigenwerte von $F(x)$ durch 
$\left\{
\begin{array}{cc}
\infty\\
0
\end{array}\right.$ gehen. \\
15. Dund ist $x^{*}$ r-fache Nullstelle von $F(x)$, wobei $\det$ $F(x) \not\equiv 0$ sei, wenn $-F(x)^{-1}$ in $x^{*}$ einen Pvl der Ord $r$ hat, dh. Rang \nl in $x^{*} = r$.\\
16. Ist $F(x)\,\nl\, 0$, so ist jeder EW von $f(x)$ eine f\"ur reelle $x$ regul\"are (bis auf einfache Pole) in jedem Stetigkeitsintervall monoton  im engerer Sinn wachsende Funktionen. \\
17. Ist $x^{*}$ f\"ur $F(x)\,\nl\, 0$ ein  r-facher und f\"ur $G(x) \,\nl\, 0$ ein s-facher Pol, so ist $x^{*}$ f\"ur $F + G$  ein Pol mindestens von der Ordnung $\max (r,\, s)$.\\
18. Die Ordnung von $x^{*}$ als Nullstelle von $\det\, F(x)$ mit $F(x)\,\nl\,0$ ist = Ord $x^{*}$ als Nullstelle von $F(x)$ - Ord $x^{*}$ als Pol von $F(x)$.\\ 
19. Ord $F(x) = \sum$ Ord Nullstellen von $F(x)$, wenn $F(x) \,\nl\, 0$.\\
20. Ist $H$ hermitesch, so ist $-C^{*}(x - H)^{-1}C\,\nl\, 0$. (3)\\
21. Ist $F(x)\,\nl\, 0$ und Gr$\,F = f$ und hat $F(x)$ in $\alpha \leq x \leq \beta$ $m + f$ Pole (mit Vielfachheit gez\"ahlt), so ist $F(x)$ in $\alpha \leq x \leq \beta$ mindestens $m$ Nullstellen. (16)\\
22. Es gilt wohl: Ist $\sum\limits_{\alpha \leq x_{\nu} \leq \beta} \max$ (Ord Nullst$_{x_{\nu}}F(x)$, Ord Nullst$_{x\nu}G(x)) = f + m$, und $\det$ $F + \mathfrak{h} \not\equiv 0$, und $F\,\nl\,0$, $G\,\nl\, 0$, so hat $F(x) + G(x)$ in $\alpha \leq x \leq \beta$ mindestens $m$ Nullstellen.  Bew: aus $\det \,(A^{-1} + B^{-1}) = 0$ folgt $\det\,(A + B) = 0$\\
\\
$\textbf{Seite 101}$\\
\\
1. Aufgaben:
\begin{quote}
1) Definition von $A(B)$ f\"ur nur stetig $A(x)$\\
2) Folgt aus $F(x)\,\nl\,0$, $F(G(x)) \,\nl\,0$ auch $G(x)\,\nl\,0$ ?\\
3) \nl f\"ur $G(F(x))\,\nl\,0$\\
4) F\"ur $\Im\,x > 0$ m\"ogen alle EWerte von $F(x)$ pos. \nl Imag.-teil haben. Ist dann $F(x)\,\nl\,0$ ?
\end{quote}
2. Schreibt man einer Matrix $F(x)\,\nl\,0$ vor Ord $F(x) = 1$, $F(\infty) = F$, mit $\det\,F \not= 0$, die Polstelle $\pi \not= \infty$, die Nullstelle $\nu \not= \infty$ und den Eigenraum $R$ zu $\pi$ (dh. das Residumm bis auf positiven skalaren Faktor), so ist diese Aufgabe dund l\"osbar (und dann eindeutig), wenn
$$\rm{sign }F = \rm{sign }\overline{F} + \rm{sgn }(\nu - \pi)$$
wobei $\overline{F}$ die durch Einschr\"ankung  von $F$ auf den zu $R$ total senkrechten Raum entstehende Matrix ist.\\
$\nu = \pi$ ist notw. u. hinr. 
$\left\{
\begin{array}{cc}
\rm{Gr}\,F \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 2\\
\rm{sign}\,F = \rm{sign}\,\overline{F}
\end{array}\right.$, doch ist jetzt der positive Faktor beim Residumm willk\"urlich.\\
3. Vermutung: Man kann einer pos. Matrixfunktion $F(x)\,\nl\,0$ der Ord $n$ vorschreiben
$\left\{
\begin{array}{cccc}
n \textnormal{ einfache Pole samt Eigenr\"aumen}\\
n \textnormal{ einfache Nullstellen mit gewissen Lageeinschr\"ankgen}\\
\rm{und den speziellen Wert } F(a) \rm{ an einer weiteren Stelle }a
\end{array}\right.$\\
\\
$\mathfrak{x}^{*}(L - \lambda)^{-1}\mathfrak{x}$ ist $\gg$ 0 \nl Integraloperator $[$188$]$ \\
\\
$\textbf{Seite 102}$\\
\\
\underline{M\"ogliche Spektren und positive Funktionen} s. hier zu 99\\
1. Ein eigentliches Spektrum $\{\mu_{\nu}\}$ ist dund m\"oglich, wenn es eine Matrix $F(x)\,\nl\, 0$ gibt mit $F(x) = -\frac{M_{0}}{x} - \frac{M_{1}}{x^{2}} - \frac{M_{2}}{x^{3}} + \{\{\frac{1}{x^{\nu}}\}\}$, deren Pole alle unter den $\mu_{\nu}$ vorkommen (einschl. Vielfachheit).\\
2. Desgl. dund, wenn es ein $\mathfrak{h}(x) \,\nl\,0$ gibt mit $\mathfrak{h}(x) = x\,M_{0} - M_{1} - \frac{\Delta}{x} + \{\{\frac{1}{x^{2}}\}\}$, \\
dessen Nullstellen alle unter den $\mu_{\nu}$ vorkommen, mit $\Delta = M_{2} - M_{1}M_{0}^{-1}M_{1}$. \\
3. Ist Ord $C'(G - x\,E)^{-1}C < \rm{Gr}\,G$, so hat\\
$\left(
\begin{array}{cccc}
x\,E - G& & -C'\\
-C&\times& -P
\end{array}\right)$ einen von $P$ unabh. \underline{festen} EW + EV. \\
4. $\left|
\begin{array}{cccc}
xE - G & -B' & 0\\
-B & xE - H & -Q'\\
0 & -Q & xE - R
\end{array}\right| = |xE - G|\,|xE - R| \cdot |\underbrace{xE - B\,(xE - G)^{-1}B'}_{\nl\,0 \textnormal{ gegeben}}| + [\underbrace{-H - Q'(x\,E - R)^{-1}Q}_{\textnormal{\nl 0 willk\"urlich, regul. in } \infty}]| = |x\,E - C\,(x\,M_{0} - M_{1})^{-1}C' + \rm{Pos}|$ mit  $C'C = A$ (vgl 2)\\
5. Rationaler Beweis von \nl mit 
$ \left|
\begin{array}{cccc}
x\,E - G & -B' & 0\\
-B & x\,E - H & -Q'\\
0 & -Q & x\,E - R
\end{array}\right| = |x\,E - R| \cdot |P| \cdot |xE - G - P'B\,P|$ mit  $P = x\,E - H - Q'\,(x\,E - R)^{-1}Q$\\ 
6. Notw. u. hinr. f\"ur M\"oglichkeit von $\{\mu_{\nu}\}$ ist jede der folgenden Bedingungen: Es gibt $\frac{M_{0}}{x} + \frac{M_{1}}{a^{4}x^{2}} + \frac{M_{2}}{a^{8}x^{3}} + \cdots \nl 0$ \\
$-x\,M_{2} - x^{2}M_{1} - x^{3}M_{0} + \cdots \nl\, 0$\\
$\frac{1 - cx}{x}\,[M_{0} + 2\,c\,M_{1} + c^{2}M_{2}] + (\frac{1 - cx}{x}^{2}\,[M_{1} + c\,M_{2}] + (\frac{1 - cx}{x})^{2}M_{2} + \cdots \nl\, 0$.\\
\\
$\textbf{Seite 103}$\\
\\
\underline{Uneigentliche Spektren (normale EW-Aufgaben)} ($f$ Freiheitsgrade)\\
1. Aufgabe: Gegeben $A_{0}$, $A_{1}$ mit Typ $A_{\nu} = (n,\,f)$ und Rg$\,(\mu_{0}A_{1} = \mu_{1}A_{0}) = f$ f\"ur alle $\mu',\,\overline{\mu} \not= 0,\,0$. Gesucht sind die \nl Polynome $\det\,(\underline{\mu}\,M' - \mu'\,\underline{M}) \not\equiv 0$ f\"ur diejenigen Paare \underline{vertauschbarer normaler} Matrizen $M',\overline{M}) $ f\"ur welche gilt $M'\,\overline{A} - \overline{M}\,A' = 0$. Def: Ist $\det\,(\overline{\mu}\,M' - \mu'\,\overline{M}) = \Pi_{\nu = 1}^{n}\,(\overline{\mu}\,\mu'_{\nu} - \mu'\,\overline{\mu}_{\nu})$, so heisst $\{\mu_{\nu}\} = \{\mu'_{\nu}|\overline{\mu}_{\nu}\}$ ein ''m\"ogliches Spektrum'' bei der ''Vorgabe'' $A',\,\overline{A}$: In Zeichen $\{\mu_{\nu}\}$ $m\,$Sp$\,A$.\\
\\
2. Zu $A$ und $U\,A\,P$ $(U^{*}U = E,\, \det\,P \not= 0)$ geh\"oren die gleichen m\"oglichen \nl.\\
Bew: $B' = U\,A'P$, $\overline{B} = U\,\overline{A}\,P$ gilt mit $M' = U\,M\,U^{*}$, $\overline{M} = U\,\overline{M}\,U^{*}$\\
$N'\overline{B} = U\,M'\,\overline{A}\,P = U\,\overline{M}\,A'\,P = \overline{N}\,B'$ und $\det\,(\overline{\mu}\,M' - \mu'\,\overline{N}) = \det\,(\overline{\mu}\,M' - \mu'\,\overline{M})$.\\
Sei 
$ \left(
\begin{array}{cccc}
B'\\
\overline{B}
\end{array}\right) = T\,
\left(
\begin{array}{cccc}
A'\\
\overline{A}
\end{array}\right)$, d.h. mit $T = 
\left(
\begin{array}{cccc}
\alpha & \beta\\
\gamma & \delta
\end{array}\right)$, $\det\, T \not= 0$:\\
3. Zu $B' = \alpha\,A' + \beta\,\overline{A}$, $\overline{B} = \gamma\,A' + \delta\,\overline{A}$ geh\"oren die Spektren
$\left(
\begin{array}{cccc}
\nu'_{\alpha}\\
\overline{\nu}_{\alpha}
\end{array}\right) = T\,
\left(
\begin{array}{cccc}
\mu'_{\alpha}\\
\overline{\mu}_{\alpha}
\end{array}\right)$\\
Bew.: Aus 
$ \left|
\begin{array}{cccc}
M'& A'\\
\overline{M} & \overline{A}
\end{array}\right| = 0$ folgt
$\left|
\begin{array}{c}
\left(
\begin{array}{cccc}
\alpha & \beta\\
\gamma & \delta
\end{array}\right)\,
\left(
\begin{array}{cccc}
M' & \overline{M}\\
\overline{M} & A'
\end{array}\right)
\end{array}\right| = 0$, also Mit
$\left(
\begin{array}{cccc}
IV'\\
\overline{IV}
\end{array}\right) = 
\left(
\begin{array}{cccc}
\alpha & \beta\\
\gamma & \delta
\end{array}\right)\,
\left(
\begin{array}{cccc}
M'\\
\overline{M}
\end{array}\right)'$\\
$\left|
\begin{array}{cccc}
M' & A'\\
\overline{M} & \overline{A}
\end{array}\right| = 0$; setzt man 
$\left(
\begin{array}{cc}
\nu'\\
\overline{\nu}
\end{array}\right) = T\,
\left(
\begin{array}{cccc}
\mu'\\
\overline{\mu}
\end{array}\right)$, so wird $\det\,(\nu'\,\overline{N} - \overline{\nu}\,N') = (T)^{n} \cdot \Pi_{\alpha}\,
\left|
\begin{array}{cccc}
\mu' & \mu'_{\alpha}\\
\overline{\mu} & \overline{\mu}_{\alpha}
\end{array}\right| = \Pi\,
\left|
\begin{array}{cccc}
\nu' & \nu'_{\alpha}\\
\overline{\nu} & \overline{\nu}_{\alpha}
\end{array}\right|$; 
$ \left(
\begin{array}{cccc}
\nu'\\
\overline{\nu}
\end{array}\right) $ sind aber frei ver\"anderlich.\\
Kurz: Zu $B = T(A)$ geh\"oren die Spektren $\nu = T(\mu)$, wenn $\mu$ zu $A$ geh\"ort.\\
Hier ist \"uberall
$\left\{
\begin{array}{cccc}
\mu' \textnormal{ durch } \mu_{1}, \,\mu \textnormal{ durch } \mu_{0} \textnormal{ zu ersetzen}, \\
A'\pi \quad A_{1}, \,\underline{A}  \textnormal{ durch }  A_{0} \textnormal{ bis 5) hinzuersetzen } 
\end{array}\right.$\\ 
Besser: Alles waagerecht schreiben $|(\mu_{0},\,\mu_{1})$ usw.\\
\\
$\textbf{Seite 104}$\\
\\
4. Stimmmen f\"ur zwei Vorgaben $(A'\, \underline{\overline{A}}), \, (B'\,\underline{B})$ die ''Momentenformen''\\
$M_{A} = (\underline{\mu}\,A' - \mu'\,\underline{A})^{*} (\underline{A}\,A' - \underline{A}\,\mu') = (\underline{\mu}\,B' - \mu'\,\overline{B})^{*}(\underline{\mu}\,B' - \mu'\,\underline{B})$ identisch in $\mu'$, $\underline{\mu}$ \"uberein, so geh\"oren zu ihnen die gleichen Spektren (wenn sie in $n$ \"ubereinstimmen). \\
Bew:\\
$\left.
\begin{array}{cccc}
(\underline{\mu},\, \mu') = (1,\, 0): \quad A^{-1*} = B'^{*}B'\hfill\\
(\underline{\mu},\,\mu') = (0,\,1):\quad \underline{A}^{*}\underline{A} = \underline{B}^{*}\underline{B}\hfill\\
(\qquad) = (1,\,1): \quad A'^{*}\underline{A} + \underline{A}^{*}A' = B'^{*}\underline{B} + \underline{B}^{*}B'\hfill\\
(\qquad) = (1,\,+i): \quad A'^{*}\underline{A} - \underline{A}^{*}A' = B'^{*}\underline{B} - \underline{B}^{*}B'
\end{array}\right\}$\\
$\left(
\begin{array}{cccc}
A'^{*}A' & A'^{*}\underline{A}\\
\underline{A}^{*}A' & \underline{A}^{*}\underline{A}
\end{array}\right) = 
\left(
\begin{array}{ccc}
\\
\cdots (B) \cdots\\
\\
\end{array}\right)$ also $(B'\,\underline{B}) = U\,(A'\,\underline{A})$; (2)\\
\\ 
5. Sind zwei Vorgaben die Normenformen \"aq.: $M_{B} = P^{*}M_{1}P$, $\det\,P \not= 0$, so geh\"oren zu $A$ und $B$ dieselben Spektren. (2)\\
\\
6. Die EW Aufgabe ist gegeben durch  Angabe bis auf $\mathfrak{x}$-\"Aquivalenz der \underline{vollstdigen Normenform}\\
$\cal{N}$ $(A|\mu,\,\mathfrak{x}) = \mathfrak{x}^{*}(\mu_{1}A_{2} - \mu_{2}A_{1})^{*} \cdot (\mu_{1}A_{2} - \mu_{2}A_{1})\,\mathfrak{x}$\\
mit $\mathfrak{x} = 
\left(
\begin{array}{ccc}
x_{1}\\
\vdots\\
x_{f}
\end{array}\right)$.\\
Die Normenform ist (pos.) bihermitisch und definit: Aus $\cal{N}$$(A|\,\mu,\,\mathfrak{x}) = 0$ folgt $(\mu_{1},\,\mu_{2}) = (0,\,0)$\\
dh. aus $\cal{N}$$ = 0$ folgt $\sum\limits_{1}^{2}\,\mu_{\nu}^{2} \cdot \sum\limits^{f}_{1}\,x_{\rho}^{2} = 0$. \hfill oder $x_{1} = \cdots = x_{f} = 0$. \\  
\\
7. Ist $\mathfrak{Pi}(\mu,\, \mathfrak{x})$  eine bihermitische Form (dh. lin. \nl in $\mu,\,\overline{\mu},\,\mathfrak{x},\, \overline{\mathfrak{x}}$ und stets reell), die pos. definit ist, so gibt es zu $\mathfrak{Pi}$  als Normenform \underline{nicht} stets ein m\"ogliches Spektrum z.B. ist $(|\mu_{1}|^{2} + |\mu_{0}|^{2})\,(|x_{1}|^{2} + |x_{2}|^{2}) + a\,\mu_{1}\,\overline{\mu_{0}}\,x_{1}\,\overline{x_{2}}$ pos. def. f\"ur $|a| + |b| < 2$, \\
\\
$\textbf{Seite 105}$\\
\\
1. Jede Normenform ist volldefinit in dem folgenden Sinne:\\
a) definit: Aus $|\mu|^{2}|\mathfrak{x}|^{2} \not= 0 $ folgt $\Pi > 0$.\\
b) Ist $\Pi = \mu_{0}\,\overline{\mu_{0}} \cdot M_{0} + \mu_{0}\,\overline{\mu_{1}}\,M_{1} + \overline{\mu_{0}}\,\mu_{1}\,M_{1}^{*} + \mu_{1}\,\overline{\mu_{1}}\,M_{2}$, mit hermitesch \nl,\\
so ist 
$\left(
\begin{array}{ccc}
M_{0} & M_{1}\\
M_{1}^{*} & M_{2}
\end{array}\right)$ nichtnegativ hermitesch. \\
Bew: $ = (A_{0}\,A_{1})^{*}(A_{0}\,A_{1})$. \\
\\
2. An jeder volldefiniten hermitschen Form $\Pi$ gibt es als Normenform ein m\"ogliches Spektrum. Bew: Sei $\phi = \mu_{0}\,\overline{\mu_{0}}\,M_{0} + \mu_{0}\,\overline{\mu_{1}}\,M_{1} + \mu_{1}\,\overline{\mu_{0}}\,M_{1}^{*} + \mu_{1}\,\overline{\mu_{1}}\,M_{2}$, so ist\\   
$ \left(
\begin{array}{ccc}
M_{0} & M_{1}\\
M_{1}^{*} & M_{2}
\end{array}\right) = (A_{0}\,A_{1})^{*}(A_{0}\,A_{1})$ l\"osbar nach $A_{0}\,A_{1}$. $f$ z.B. f\"ur $f = n$. \\
F\"ur Existenz eines selbstadj. Spektrums  zu $M_{0}\,M_{1}\, M_{2}$ ist notw. $\&$ hinr. $M_{1} = M_{1}^{*}$.\\
\\
3. $\{\mu_{\nu}^{(\nu)}\}$ sei ein egentl. Spektrum $\{\not=  \infty \}$. Dund ist $\{\mu^{(\nu)},\,\infty^{r}\}$ $m$ m\"ogliche Spektr bei Sp$\,(M_{0}\,M_{1}\,M_{2})$, wenn es eine Hermitesche Matr.  $R \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0 $ vom Rg $\leq r$ gibt, so dass $\{\mu_{\nu}\}$ $m$ Sp$\,(M_{0},\,M_{1},\,M_{2} - R)$. \\
\\
4. $N$ $\&$ $h$ daf\"ur, dass $\{\mu_{\nu},\, \infty^{r}\}$ $m$ selbstadj. Sp$\,(M_{0}\,M_{1}\,M_{2})$ ist, ist die Existenz einer Matrix $F(x) = x\,M_{0} - M_{1} - \frac{\Delta - R}{x} + \{\{\frac{1}{x^{2}}\}\,\,\nl\,\,0$, welche genau die $\mu^{(\nu)}$ als Nullstellen hat.\\
\\
$\textbf{Seite 106}$\\
\\
5. Sonderfall von 4: Diejenigen selbstadj. Spektren $\{\mu^{(\nu)}\}$, die zusammen mit $\infty^{f}$ $m$ Sp$\,(M_{0}\,M_{1}\,M_{2})$ sind, sind die Nullstellen der\\
$F(x) = x\, M_{0} - M_{1} - \frac{D}{x} - \{\{\frac{1}{x^{2}}\}\}\,\,\nl\,\, \nl\,\,0$ mit 0 $\leq D \leq \Delta = M_{2} - M_{1}\,M_{0}^{-1}\,\nl$\\
\\
6. $N$ $\&$ $h$ daf\"ur, dass $\{\mu^{(\nu)}\}$ als Normales Spektrum mit $(A_{0}\,A_{1})$ vertr\"aglich ist, ist: F\"ur jede Hermitesche Matrix $V = 
\left(
\begin{array}{ccc}
V_{0} & V_{1}\\
V_{1}^{*} & V_{2}
\end{array}\right)$ f\"ur welche \\
$|\mu_{0}|^{2}V_{0} + \overline{\mu_{0}}\mu\,V_{1} + \overline{\mu_{1}}\,\mu_{0}\,V_{1}^{*} + |\mu_{1}|^{2}V_{2} \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$ \\
ausf\"allt auf dem ganzen Spektrum $\{\mu^{(\nu)}\}$, ist Sp$\,V^{*}(A_{0}A_{1})(A_{0}\,A_{1})\,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$.\\
Bew.: 7)\\
7. $N$ $\&$ $h$ daf\"ur, dass ein Element $C$ eines Banachraums dem von einer vorgegebenen \nl $\mathfrak{B}$ erzeugten + Modul angeh\"ort, ist: jedes auf $\mathfrak{B}$ nichtnegative Funktional ist auch auf $C$ nichtnegativ. \qquad Vorsicht: vgl. 157 \\
(Anwendung auf $\mathfrak{B} =$ Gesamtheit der 
$ \left(
\begin{array}{ccc}
|\mu_{0}|^{2} & \overline{\mu_{0}}\mu_{1}\\
\overline{\mu_{1}}\,\mu_{0} & |\mu_{1}|^{2}
\end{array}\right) \times P$, $P \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$, $C = (A_{0}A_{1})^{*}(A_{0}\,A_{1})$.\\
\\
8. Sei Rg$\,(\beta_{0}A_{1} - \beta_{1}A_{0}) = f$. Dann sind die $f$ (von selbst von $(\beta_{0},\, \beta_{1})$ verschiedenen) Nullstellen von $ \det\,[\mu_{0}\,A_{1} - \mu_{1}\,A_{0}]^{*}[\mu_{0}\,A_{1} - \mu_{1}\,A_{0}] = 0$\\
zusammen mit $f$-mal  $(\beta_{0},\,\beta_{1})$ $m$ Sp$\,(A_{0}\,A_{1})$ selbstadj. Fall.\\
Bew: Durch Transf. $\beta_{0} = 0$ annehmen.\\
$f = 2$: \nl 103, 3 $*$ nur wo linke Matrix $= 0$ ist. \\
\\
9. Ist ein eigentl. Spektrum $(not= \infty)$ m\"oglich, so nur bei $\det\,A_{0} \not= 0$, und dann sogar bei $A_{0} = E$ (Bei vorgegebener Ansatz $(A_{0}\,A_{1}).)$\\
\\
$\textbf{Seite 107}$\\
\\
1. F\"ur je drei Matrizen $M_{0},\,M_{1},\,M_{2}$ gilt\\
$M\,v\,M_{0} - (M + v)\,M_{1} + M_{2} = (u\,M_{0} - M_{1})\,M_{0}^{-1}(v\,M_{0} - M_{1}) + (M_{2} - M_{1}\,M_{0}^{-1}M_{1})$. \\
2. Ist $(A_{0}A_{1})^{*}(A_{0}A_{1}) = 
\left(
\begin{array}{ccc}
M_{0} & M_{1}\\
M_{1}^{*} & M_{2}
\end{array}\right)$, Rg$\,A_{0}$ voll, so ist $\Delta = M_{2} - M_{1}M_{0}^{-1}M_{1} \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$. \\
4 Beweis:
\begin{quote}
 a) $U\,A_{0}\,P = 
\left(
\begin{array}{cc}
E\\
0
\end{array}\right)$ annehmen\\
b) $\Delta = A_{1}^{*}\,(\underbrace{E - A_{0}\,(A_{0}^{*}\,A_{0})^{-1}\,A_{0}^{*}}_{\textnormal{idempotent und hermitesch}}\,A_{1}$\\
c) $\left(
\begin{array}{ccc}
E & 0 \\
-M^{*}_{1}M_{0}^{-1} & E
\end{array}\right) 
\left(
\begin{array}{ccc}
M_{0} & M_{1}\\
M_{1}^{*} & M_{2}
\end{array}\right)\,
\left(
\begin{array}{ccc}
E & -M_{1}^{*}\\
0 & E
\end{array}\right) = 
\left(
\begin{array}{ccc}
M_{0} & 0 \\
0 & \Delta
\end{array}\right)$\\
das liefert sogar eine allgemeine Aussage \"uber sign$\,A$ \\
d) $\Delta = C^{*}C $ mit $C = A_{1} - A_{0}\,M_{0}^{1}\,M_{1}$
\end{quote}
3. $\cal{N}$ $\&$ $h$ daf\"ur, dass zwei hermitesche Matrizen $A,\,B$ mit $\det\,(x\,A + y\,B) \not\equiv 0$ simultan auf Quadratsumme zu transformieren sind, ist die Realit\"at und Linearit\"at  der prim\"aren Elementarteiler von $x\,A + y\,B$.\\
Bew: Sei $T^{-1}A^{-1}B\, T = D$ diagonal. Dann ist f\"ur $A_{1} = T'A\,T$, $B_{1} = T'B\,T$\\
$A_{1}^{-1}B_{1} = D$ \nl, also $A_{1}$ vertauschbar mit $B_{1}$, also simultan transfbar. \\
\\
4. Kennt man bei einer EWAufgabe $(\lambda\,A - B)\,\mathfrak{x} = 0$ $(A^{*} = A,\, B^{*} = B)$ nur ein $\mathfrak{x}$ samt $A\,\mathfrak{x}$ und $B\,\mathfrak{x}$, so folgt kein Einschliessungssatz: 
$ \left|
\begin{array}{ccc}
1 & \lambda\\
\lambda & -u - v\,\lambda
\end{array}\right| = -(\lambda^{2} + v\,\lambda + u)$. \\
Auch die Bedgg., dass eine (unbekannte) Linearverbindung $\gg$ 0 sein soll n\"utzt nicht viel: W\"ahle oben $u = 0$, $v = -k^{2}$, dann sind $\pm k$ die EWe. Es gilt  genau zwei Einschl. Intervalle \nl\\ 
\\
$\textbf{Seite 108}$\\
\\
\underline{Punkte Erinnerungen an den selbstadjung. Fall mit $f$ Freiheitsgraden:}\\
1) Jedes maximale offene Ausschliessungsgebiet besteht aus h\"ochstens $f$ Intervallen, und die Intervallendpkte bilden ein (bei Z\"ahlung der Vielfachheiten) m. Sp. $2f$ Zahlen. \qquad\qquad  $x_{\textnormal{s.u.}}$\\
\\
2) Der Gr\"osste offene Bereich, indem eine ''Nullmatrix'' $V_{0} + V_{1}x + V_{2}x^{2}$ mit Sp$\,\sum\,V_{\nu}\,M_{\nu} = \nl$ pos. semidefinit ist, ist ein Ausschliessungsbereich. \\
\\
3) Ist $(\mu^{(\nu)})$ ein M\"oge Sp. $(A_{0}\,A_{1})$, und zwar mit \underline{Diagonal}matrizen $M_{0}$, $M_{1}$, und zwar bei $\mu\,E - 
\left(
\begin{array}{ccc}
G & C^{*}\\
C' & P
\end{array}\right)$, so sind die Zeilen von $A_{0}$ die $^{*}$ von den $f$-Abschnitten der EVektoren $\mathfrak{x}$ von 
$\left(
\begin{array}{ccc}
G & C^{*}\\
C & P
\end{array}\right)$: $\mathfrak{x} = 
\left(
\begin{array}{ccc}
\overline{u}\\
\nl
\end{array}\right)$ \\
Sie gen\"ugen der (freilich nicht hermiteschen)\\
Gl. 2-Grades $\{E - C^{-1}(x\,E - P)\,C^{*^{-1}} (x\,E - G)\}\,\,\overline{u} = 0\qquad (*)$\\
der \nl des Grades 3 $(x\,E - G),\,\,\{\uparrow\}\,\overline{u} = 0$ wenn $C = C^{*}$ \qquad (+)\\
und der hermiteschen Gl. d. Grades $f + 1$ \\   
$\{|\mu\, E - P| \cdot (\mu\,E - G) - C^{*}\, \overbrace{(\mu\,E - P)}\,C\}\,\overline{u} = 0 \qquad **$\\
sign$\,\{^{\downarrow}\} = \rm{sign}\,|\mu\,E - P| \cdot  [\rm{sign}
\left(
\begin{array}{ccc}
\nl
\end{array}\right) - \rm{sign}\,(x\,E - P)]$\\
4) Bei $f = 2$ ist ein Spektrum aus 4 Zahlen dund m\"oglich, wenn die linke Seite von Gl. $(2x)$ mit einer konstanten Linksmultipl. hermitesch gemeint, in allen Nullstellen $\underline{\underline{\gg}}\,\, 0$ ausf\"allt . Dh. f\"ur Variables $\mu$ soll sie die Signatur $2$ $0$ $2$ $0$ haben, \underline{aber nicht 2 0  $\cdot$ 2 0}. Rezept: Fortsetzung 109 (2) $*$ u. $**$ nicht \nl \\
\nl Spektren semidefinite Nullmatrizen $V$ achten. Gibt etwas f\"ur Rg R$_{\nu}$\\
\\
$\textbf{Seite 109}$\\
\\
1) Vorgegebene Momente $M_{0}\,M_{1}\,M_{2}\,M_{3}$ treten auf bei\\
$$\det\, 
\left|
\begin{array}{ccc}
M_{0} & M_{1} & \nl\\
M_{1} & M_{2} &  x\,E\\
M_{2} & M_{3} & x^{2}E  
\end{array}\right| = 0.$$
2) Multipl. man 108 3$*$ von links mit  $(x \cdot G)\,(C^{-1}P\,C) + A\quad (A = C^{*}C)$, so erh\"alt man eine hermitesche kubische Gl. f\"ur  $\overline{u}$  mit dem Leitglied $x^{3} \cdot C^{-1}P\,C^{*^{-1}}$. Ist also $C^{-1}P\,C^{*^{-1}}$ von $A^{-1}$ und $E$ linear abh\"angig, so erh\"alt man mit Hilfe von $3\,(+)$ und $**$ eine quadratische hermitesche Gl. f\"ur $\overline{u}$! Das gibt wohl eine 2-parametrige Schar von Einschliessungss\"atzen.\\
\\
3) \underline{Potential eines gleichm\"assig  belegten Kreises}
A. Innen: Die Kraft auf einen Massenpunkt ist 0, da $\frac{ds_{1}}{r_{1}} = \frac{ds_{2}}{r_{2}}$ \\
$\textbf{Graph}$\\
B. Aussen: $\Phi = \int\limits_{0}^{2\pi} \,\frac{1}{2}\,\log\,((r - a\, \cos\,\varphi)^{2} + \sin^{2}\varphi \cdot a^{2})\,a\,d\varphi$\\
$ = 2\,\pi\,a\log \,r + \int\limits_{0}^{2\,\pi}\,\frac{1}{2}\,\log\,((1 - \frac{a}{r}\,\cos\,\varphi)^{2} + \frac{a^{2}}{r^{2}}\,\sin^{2}\varphi)\,a\,d\,\varphi$.\\
$\int = \frac{1}{r}\,\int\,\log\,(1 - 2\,\frac{a}{r}\,\cos\,\varphi + \frac{a^{2}}{r^{2}})a\,d\,\varphi = \frac{a}{2}\,\int\,\,\log\,((\frac{a}{r} - \cos\,\varphi)^{2} + \sin^{2}\varphi)\, d\varphi = 0$ nach $A$ \\
\\
\underline{FRAGE:} Gibt es bei nicht selbtadjungierten Aufgaben eine adjungierte Metrik ?\\
\\
$\textbf{Seite 110}$\\
\\
1) $\int\limits_{0}^{\infty}\,\frac{x^{n}}{e^{x} - 1}\, dx = n!\,\sum\limits_{\nu = 1}^{\infty}\,\frac{1}{\nu^{n + 1}}\qquad (n = 1,\,2,\cdots)$\\
2) $\int\limits_{0}^{\infty}\,\frac{\sin\,x\,t}{e^{x} - 1}\, dx = -\frac{1}{2t} + \frac{\pi}{2}\,\nl\,\pi\,t$\\
3) Schurideus Weg: $\int\limits_{0}^{\infty}\,\frac{x^{3} + 4\,\pi^{2}x}{e^{x} - 1}\,dx = \int\limits^{2\pi\,i}_{0} + \int\limits_{2\pi\,i}^{\infty} = \int\limits^{2\pi}_{0}\,\frac{y^{3} - 4\,\pi{2}y}{e^{i\,y} - 1}\,dy + \int\limits^{\infty}_{0}\,\frac{(x + 2\,\pi\,i)^{3} + 4\pi^{2}\,(x + 2\,\pi\,i)}{e^{x + 2\,\pi\,i} - 1}$\\  
Da $\int\limits_{0}^{\infty}\cdots$ reell, ist es weiter $= \int\limits_{0}^{2\pi}\,\frac{y^{3} - 4\pi^{2}y}{1} \cdot \rm{Rn}\,\frac{1}{e^{i\,y} - 1}\,dy + \int\limits_{0}^{\infty}\,\frac{x^{3} - 12\pi^{2}x + 4\,\pi^{2}}{e^{x} - 1}\,dx$\\
\\
\\
Nun ist Rn$\,\frac{1}{e^{i\,y} - 1} = -\frac{1}{2}$ (Kreisverwandtschaft), daher\\
$\int\limits_{0}^{\infty} = -\frac{1}{2}\, \int\limits_{0}^{2\pi} \,(y^{3} - 4\pi^{2}y)\,dy + \int\limits_{0}^{\infty} - 12\pi^{2}\,\int\limits_{0}^{\infty}\,\frac{x\,dx}{e^{x} - 1}$\\ 
Also $\int\limits_{0}^{\infty} \,\frac{x\,dx}{e^{x} - 1} = \frac{1}{24\,\pi^{2}} \cdot \int\limits_{0}^{2\pi}\,(4\,\pi^{2}y - y^{3})\,dy = \frac{8\,\pi^{4} - 4\pi^{4}}{24\,\pi^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6}$\\
\"Ahnlich $\int\limits_{0}^{\infty}\,\frac{x^{3}dx}{e^{x} - 1}$ z.B.  aus $\int\limits_{0}^{\infty}\,\frac{x^{3}\,(x^{2} + 4\,\pi^{2})}{e^{x} - 1}\,dx$ usw.\\
$[$C.Schmieden selbst hatte $\int\,\frac{x}{e^{x} - 1}\,dx$ aus  $\int\,\frac{x^{3}}{e^{x} - 1}\,dx$ bezeichnet und den Pol bei $2\,\pi\,i$ durch Viertelkreis nach recht umgingen.$]$\\
\\
$\textbf{Seite 111}$\\
\\
\underline{Allgemeine algebraische Eigenwertaufgaben $\beta\,A - \alpha\,B)\,\mathfrak{x} = 0$.}\\
Aufgabe ''regul\"ar'', wenn Matrizen $\square$\\
$\left[
\begin{array}{ccc}
\textnormal{und die Determinante } \equiv 0 \textnormal{ ist}\\
\textnormal{ und f\"ur jeden Teilraum } R \textnormal{eines Ranges } r \quad (1 \leq r\,\,\nl
\end{array}\right.$ der Rang des ''Bildraums'' $\mathfrak{S}\,R$ $(= (\alpha,\,\beta)$ Summe aller $(\beta\,A - \alpha\,B$ bis auf Proportionalit\"at).\\
$b$ ist Hauptvektor $\,\,\underline{\underline{<}}\,\, 2 \cdot$ Stufe zu $S$, wenn $S\,b \subset \mathfrak{S}\,\mathfrak{u}$ mit $S\,\mathfrak{u} = 0$.\\
$c$ ist Hauptvektor $\,\,\underline{\underline{<}}\,\, 3 \cdot$ Stufe zu $S$, wenn $S\,i \subset \mathfrak{S}\,b$, $S\,b \subset \mathfrak{S}\,\mathfrak{u}$, $S\,\mathfrak{u} = 0$\\
Die Eigenvektoren zu $S$ bilden einen lin. Raum $\mathfrak{e}_{1}$. Ist $R$ lin nu von $S$, so ist $\mathfrak{S}\,\mathfrak{e}_{1} = \mathfrak{Re}_{1}$. \\
Daher bilden die Hauptvekt. der Stufe $\leq 2$ $[$ \nl $S\,b < \mathfrak{Re}_{1}]$ einen lin. Raum $\mathfrak{e}_{2}$. Es ist $\mathfrak{Se}_{2} = \mathfrak{Re}_{2}$ daher bilden die Hauptr. der Stufe $\leq  3 [$ mit $S\,c \subset \mathfrak{Re}_{2}]$ einen lin Raum $\mathfrak{e}_{3}$. Aus $\mathfrak{Se}_{\nu} = \mathfrak{Re}_{\nu}$ folgt, dass $\mathfrak{e}_{\nu}$ ein Eigenraum ist. Die Vereinigung  $_{\delta}$ $\sum_{\nu}\,\mathfrak{e}_{\nu}(S)$ heisst der Hauptraum $f(S)$. Dund ist $b_{\nu} \subset \mathfrak{e}_{\nu}(S)$, wenn $[R^{-1}S]^{\nu}b_{\nu} = 0$, wobei $R$ irgendeine nichtregul\"are Matrix \underline{aus} $\mathfrak{S}$ ist. (Auf die Wahl von $R$ kommt es nicht an !)\\
\\
\underline{Allgemeinste Formulierung (mehrparametriger) linearer ''Eigen''aufgaben:}\\
Gegeben sind \nl lineare R\"aume $R$; $\mathfrak{S}$, $\mathfrak{T}$ und eine bilineare Funktion auf $R$, $\mathfrak{S}$  mit Werten aus $\mathfrak{T}$: $R\,S = T$.\\
$S$ heisst Eigenl\"osung zu $R$ (und umgekehrt), wenn $R\,S = T$, $R \not= 0$, $S \not= 0$.\\
$[$im obigen Fall ist $R$ die 2 parametrige Matrizengesamtheit  $\beta\,A - \alpha\,B$; $\mathfrak{S}$ ist der Raum der $\mathfrak{x}$).\\
vgl. 158\\
\\
$\textbf{Seite 112}$\\
\\
\underline{Metrikfreie Eigenwerttheorie und Funktionalanalysis}\\
In einem linearen Raum $A$ seien beschr\"ankte Folgen definiert. $a_{n} \equiv a$ sei beschrkt. Def: $\varphi $ heisst Funktional auf $A$, wenn f\"ur jedes $a \in A$ eine Zahl $\varphi \,a$ erkl\"art ist, so dass 1) $\varphi \,(\alpha\,a + \beta\,b) = \alpha\,\varphi (a)  + \beta\,\varphi (b)$ und \\
2) $\varphi \,a_{n}$ beschr\"ankt, wenn $a_{n}$ beschr\"ankt.\\
(1) Def. Folge $\varphi _{n}$ beschr\"ankt, wenn $\varphi _{n}\,a_{n}$ beschrkt  f\"ur jede beschr. Folge $a_{n}$\\
(Ist also eine Art gleichm\"assiger Beschr\"anktheit). Damit gilt in vielen F\"allen:\\
Die Tropologie in $A$ ist dieselbe, wenn man $A$ als Funktionalraum auf $\Phi$ betrachtet und durch nochmalige Anwendung von (1) topologisiert. Dazu ist notw. $\&$ hinr.: (2) aus der Beschrktheit  von $\varphi_{n}\,a_{n}$ f\"ur jede beschrkte Folge $\varphi_{n}$ folgt die Beschr.  von $a_{n}$ selbst.\\
Diese Bedgg. (2) d\"urfte im Hilbertraum und den Banachr\"aumen erf\"ullt sein, allgemein gilt \nl dort sicher r\"aumlich \nl, wenn es zu jedem Element $a$ mit \nl ein Funktional  $\varphi$ mit $|\varphi| \leq 1$ und $|\varphi\,a| \geq \frac{1}{2}$ gibt. Gilt also (2), so kann man $A$ topologisch in den zu $\Phi$ adjungierten Raum $ \Psi $ einbetten, dh. besser von vorn herein diesen betrachten. Es ist dann $\Phi$ \nl $\Psi $ adjungiert und umgekehrt $X = \Phi + \Psi$ d\"urfte selbstadjung. sein: Es gibt in jedem Funktional auf $X$ ein Element von $X$, das ihm eindeutig zugeordnet ist: $(\varphi_{0},\, \Psi_{0}) \leftrightarrow (\psi_{d}\,\mathfrak{x}_{0}) = \chi_{0}$ mit $\chi_{0}(\mathfrak{x}\,\psi) = \mathfrak{x}_{0}\,\chi + \chi_{0}\mathfrak{x}$ Bei endlicher Dimension von $A$ sind die zu normalen Operatoren $M$ \"ahnliches gekennzeichnet  dadurch, dass aus ''$(M\,\mu\,E)^{2}a_{n}$'' beschr\"ankt folgt ''$(\,\,)\,a_{n}$ beschr.''\\
\\
$\textbf{Seite 113}$\\
\\
Vollstetigkeit eines Operators auf $A$ k\"onnte erkl\"art werden durch gleichm. \\
s.115 \underline{Approximierbarkeit} ? durch Operatoren endlichen Ranges.\\
Der obige ''Paarraum'' (''kanonische Raum''?) $X$ ist selbstadjungiert $[$ aber im Gegensatz zu $\mathfrak{h}$ \nl nicht definit selbstadjungiert, dh. es \nl $(\chi,\,\chi)$ \nl 0 sein $]$, d.h. es gibt eine topologische lineare Abbildung $T$ von $X$ auf seinen adjungierten Raum. Vollstetitgkeit eines Operators soll nur von Topologik abh\"angen, Selbstadjungiertheit nur von inneren Produkt  (das auch indefinit sein darf) \\
\nl -Schon jede Art von $A$ \underline{in $\Phi$ hinein)} ergibt eine Metrik in $A$.\\
\\
\underline{Aufbau einer Theorie von $A\,X = \lambda\,B\,X$ \qquad $A,\,B$ hermitesch  in bezug auf ein indefinites \nl  vollstetig}\\
1) Theorie vollstetiger \underline{in bezug auf eine definite Metrik hermitesch} Op $\not\equiv$ (Hilbertraum)\\
2) Ist Metrik \underline{semidefinit}, so sei $\mathfrak{N}$ der Raum mit $(N,\,N) = 0$, $\overline{X}$ sei der Differenzraum $X - \mathfrak{N}$. In $\overline{X}$ ist \nl, also EWtheorie nach 1)\\
Ist $K\,\overline{X} = \lambda\,\overline{X}$, so ist $K\,X = \lambda\,X + N$; entweder ist nun \\
(3) $K\,M = \lambda\,M + N$ l\"osbar mit $M \subset \mathfrak{N}$; \\
dann auch $K\,Y = \lambda\,Y$ l\"osbar: $Y = X - M$ Oder (3) ist\\
unl\"osbar, dann ist $K\,M = \lambda\,M$ l\"osbar. Also stets gibt es EW, wenn nicht$K\,\mathfrak{X} \subset \mathfrak{N}$\\
\nl\\
3) Ist $\lambda = 0$ kein EW, so ist $K = A^{-1}\,B$ vollst. mit hermitesch in bezug auf die semidefinite Metrik $(X,\, D\,Y) = [X,\,Y]$.\\
\\
$\textbf{Seite 114}$\\
\\
4) \nl k\"onnte die Theorie von Beiss $[$183$]$ \nl: Der verlangt bei  $\dot{X} = \lambda\,B\,X$, dass es eine \underline{konstante} Matrix $T$ gibt mit $T\,B + B^{*}T = 0$, $|T| \not= 0$ mit $T\,B = H^{2}\,\,\underline{\underline{\gg}}\,\,0$ hermitesch. Dann gibt es aber auch konstante \underline{hermitesche} Matrix $S$ mit $|S| \not= 0$, $(S\,B + B^{*}S = 0$ und) $S \cdot i\,B = H^{2} \,\,\underline{\underline{\gg}}\,\, 0$ also ist dann $i\,\frac{d}{dx}$ und $i\,B$  hermitesch f\"ur $[X,\,Y] = (X,\,S\,Y),$ und $i\,B 	\,\,\underline{\underline{\gg}}\,\, 0$ in dieser Metrik.\\
5) Auch H\"olders Theorie sollte darin \nl:\\
$\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -E\\
E & 0
\end{array}\right) \cdot \nl\,
\left(
\begin{array}{ccc}
X\\
Y
\end{array}\right) = 
\left(
\begin{array}{ccc}
\mu\,A & B \\
B^{*} & C
\end{array}\right) \,
\left(
\begin{array}{ccc}
X\\
Y
\end{array}\right) $ s.$\underline{\overline{\rm{V}}}$ 86 wobei in $[$184$]$ Kap~I $A = A^{*}\,\,\underline{\underline{\gg}}\,\, 0$ vorausgesetzt wird in Kap~II nur $c^{*}\,\,\underline{\underline{>}}\,\,0$. \\
6) Einordnung  $[$184$]$ von Beissin H\"older: $\dot{X} = (A + \lambda\,B)\,X$ : $X = T\, Y$ : $\dot{Y} = (A^{*} + \lambda\,B^{*}Y)$\\
$\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -E\\
E & 0
\end{array}\right)\,
\left(
\begin{array}{ccc}
\dot{X}\\
\dot{Y}
\end{array}\right) = 
\left(
\begin{array}{c}
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & A^{*}\\
A & 0
\end{array}\right) + \lambda\,
\left(
\begin{array}{ccc}
B^{*}T^{-1} & 0\\
0 & B\,T
\end{array}\right)
\end{array}\right)$ \nl \\
\nl setzt voraus $B\,T = T^{*}B^{*}\,\,\underline{\underline{>}}\,\,0$, $B\,T + T\,B^{*} = 0 \cdots B^{*}T^{-1} = \nl$\\
Da bei H\"olders Theorie die Urmetrik definit, ist durch sie auch Beiss'Problem in eins verwandelt, bei dem die Op. selbstadj. inbezug auf eine \underline{definite} Metrik.\\
\\
\underline{Allgemeine Formulierung selbstadj. EW Probleme} von \nl:\\
Geg. zwei (hermitesch) quadratische Formeln $(y,\,y) \,\& \, [y,\,y] = -\mathfrak{Y}$, so dass \nl folgt: $y = 0$.\\
Suche Stellen mit \\
$\left|
\begin{array}{ccc}
\delta\,(\,\,) & \delta\,[\,\,]\\
(\,\,) & [\,\,]
\end{array}\right| = 0$.\\
Es gibt eine eindeutig bestimmte st\"arkste Topologie, in der \nl und \nl stetig sind: $y_{n} \rightarrow y$ heisst $(z + y_{n},\, z + y_{n}) \rightarrow (z + y,\, z + y)$\\
Simulatane zuf\"allig von $(\,\,)$ und $[\,\,]$ ? \quad f\"ur jedes $z$, ebenso $[\,\,]$.\\
\nl\\
\\
$\textbf{Seite 115}$\\
\\
\underline{Vollstetige Operatoren in $C$-R\"aumen:} Vgl. mit 120\\
Def. $C$-Raum = linearer Konvergenzraum, in dem 1) das Cauchsche  Kgenzkriterium  gilt und 2) aus $a_{n}$ $\square$ $a_{n} \in C$-Raum), \nl \\
$\sum\limits_{\nu_{n} = 1}^{N_{n}}\,|\gamma_{\nu_{n}}\,n| < $const folgt $\sum\limits_{\nu_{n}}^{N_{n}}\,\gamma_{\nu_{n}}\,a_{n}\,\square$.\\
Def: $a_{n}\,\square$, wenn aus   $\nl \rightarrow 0$ folgt $\varepsilon_{n}a_{n} \rightarrow 0$. \\
Dann gilt: Aus $\sum|\gamma_{n}| <  \infty $ und $a_{n}\,\square$ folgt die Kgenz  von $\sum\,\gamma_{n}\,a_{n}$. \\
Z.B. der Funktionalraum jedes $B$-Raums  (in welchem beschr\"ankte ''$a_{n}\,\square$'' erkl\"art sind, mit ''$a\,\square$'') ist ein $C$-Raum. $[$Gibt es zu jeder Folge  
 $a_{n} \not\rightarrow$ eine beschr\"ankte Funktionalfolge $\nl$ mit $a_{n}^{*}a_{n} \not\rightarrow 0$, so ist $A$ topologisch in $A^{**}$ eingebettet.)\\
Def: Operator $M$ auf $A$ ist eine Abh. von ganz $A$ in sich, linear, die aus $a_{n} \rightarrow 0$ stets $A\,a_{n} \rightarrow 0$ macht. \\
Def: $M_{n}$ heisst beschrkt: ''$M_{n}\,\square$'', wenn aus $a\,\square$ folgt $M_{n}\,a_{k}\,\square$ \\
$M$ heisst vollstetig, wenn es zu jedem $\varepsilon > 0$  einen Operator $E$  
 endlichen Ranges gibt, f\"ur den $(\frac{M - E}{\varepsilon})^{n}\,\square\,\,(n = 1,\, 2,\, 3,\cdots)$.\\
Satz: Ist $M$ vollstetig, so hat $(1 - M)\,x = 0$ nur endl. viele lin un L\"osgen \nl
Ist jedes $x$, so hat $(1 - M)\,y = a$ f. jede. $a$ genau eine L\"osg\\
Bew. mit Abspalten: $\varepsilon - \frac{1}{2}$, $(\frac{M - E}{\frac{1}{2}})^{n}\,\square \quad (n = 1,\, 2,\, 3,\cdots)\,\nl\, M = E + N,\,\nl\,\square \cdot$ f\"ur $N$ \nl Reihe. \\
Satz: Ist $M$ vollstetig, so h\"aufen sich die Eigenwerte $\lambda$ mit  \nl $x \not= 0$ nicht im Endlichen. Bew: Zu \nl $< r$ nur endl. viele, dann zerlege $M = E + N$ mit $(2r\,N)^{n}\,\square$; $\varepsilon\,\lambda^{n}N^{n}$ kgt f\"ur $|\lambda| < \nl$.\\
\\
$\textbf{Seite 116}$\\
\\
Ist $M$ vollstetig und $(1 - M)\,x = 0$ nur $x = 0$, so gibt es einen l\"osenden Op. $M'$ mit \\
$(1 - M)\,(1 - M') = (1 - M')\,(1 - M) = 1$.\\
Aus der Beschrktheit, Stetigkeit  folgt die Differenzierbarkeit der Resolvante zu $\lambda \, M$, und daraus wird funktionentheoretisch die Kgenz von $\sum\limits_{0}^{\infty}\,\lambda^{n}\,M^{n}$ im gr\"ossten EW-freien Kreis folgen.\\
\\
$[$Die Forderung \nl: ''Zu jeder Folge $a_{n}$ Nullen gibt es eine proportionale beschr\"ankte, die keine Nullfolge ist.'' W\"are einschneidend; z.B. im Raum der Folgen $\{c_{1}\,c_{2}\,c_{3}\}$ wo Kgenz koordinatenweise definiert ist,  stimmt die Ford. 3 nicht: W\"ahle \\
$$a_{n} = \{1^{n},\,2^{n},\,3^{n} \cdots\}.$$
Frage: Ist die Summe zweier vollstetiger Op. un. vollstetig ?$]$ \\
Bei der \"Ubertragung  von Operatoren von $A$ auf $A^{*}$ bleibt Beschr\"anktheit  und Rang erhalten, daher auch Vollstetigkeit.\\
\\
Kann von einem vollstetigen Operator $M$ einen $E$ endl. \nl so abspalten, dass der Rest $N = M - E$ v\"ollig eigenwertfrei  wird im Endl., so dass die Resolvente ganz in $\lambda$ ist f\"ur  $1 - \lambda\,N$, so kann man eine ganze transzendente Determinante $\Delta\,(\lambda)$  von $n$ Reihen angeben, deren Nullstellen die EWe sind, sowie eine Art Fundamentalsystem \nl von $\lambda$ abhgig aus denen sich die \nl linear zusammensetzen.\\
\\
$\textbf{Seite 117}$\\
\\
Eine Schwierigkeit f\"ur die Funktionentheorie in allgemeinen $C$-R\"aumen scheint darin zu bestehen, dass aus der Stetigkeit nicht unmittelbar auf die Beschr\"anktheit einer Funktion $a(z)$ zu schliessen ist. Gibt es aber gen\"ugend viele Funktionale, so gehts jedes Funktional $b^{*}a(z)$ stetig von $z$ ab, ist also beschrkt.\\
Die Schwierigkeit verschwindet durch Vor 3 \"uber $C$-R\"aume:\\
$V_{3}$: Jede Folge $a_{n} \not= 0$ enth\"alt eine Teilfolge, die 0 nicht als 
H\"aufungpunkt besitzt. Dh.: Nun jede Teilfolge eine Nullfolge enth\"alt,  ist sie eine Nullfolge\\
Def: $a_{n} \rightarrow$ 0, wenn keine Teilfolge von $a_{n}$ beschr\"ankt ist.
Unter $V_{3}$ enth\"alt jede unbeschr\"ankte Folge  eine Teilfolge $\rightarrow \infty$. \\
Da $a_{n} \rightarrow \infty$ Widerspruch  gegen $a_{n} \rightarrow a$, ist \nl 
$V_{4}$ jede auf einer kompakten Menge stetig  Funktion mit Werten aus dem $C$-Raum $A$ beschr\"ankt. \\
Auch $V_{3}$ ist bei dem Funktionalraum jedes $B$-Raums von selbst. erf\"ullt (aber nicht die von S.116).\\
\\
Frage: Bilden die stetigen Homomorphismen eines $B$-Raums in einen $C$-Raum selbst einen $C$-Raum ? Arbeite bequemer mit $B$-R\"aume:\\
\\
$\textbf{Seite 118}$\\
\\
\underline{Axiome f\"ur $B$-R\"aume (Beschr\"anktheitsr\"aume)}
Linearer Raum $A$, indem Teilmengen als beschr\"ankt definiert sind, so da\ss \\
$B$ 2) Enth\"alt jede Teilmenge von $A'$, die unendlich viele verschiedene Punkte enth\"alt, eine ebensolche beschr\"ankte Teilmenge, so ist $A'\,\square$. \\
Dh. jede unbeschrkte Menge enth\"alt eine unendliche Folge verschiedener \nl, von denen keine  Teilfolge beschrkt ist.\\
B 1) Ist $A'$ beschrkt so ist jede Gesundheit  \nl Linearverbdgen von Elementen  aus $A'$  mit einer  Koeff.-absolutsumme  $\,\,\underline{\underline{<}}\,\, $ auch beschrkt. $(C\,\,\underline{\underline{>}}\,\,0$ beliebig)\\
Aus 1) folgt: Jede endl. Menge ist beschrkt., sind $A'$ und $A''\,\square$, so auch\\  
\\
$\textbf{Seite 119}$\\
\\
NB: ''$B_{2}$-Raum'': Raum mit $B_{1}$ und $B_{2}$\\
\\
In \underline{$B_{1}$-R\"aumen definiert sich die Konvergenz $a_{n} \rightarrow 0$ so:} es gibt Zahlenfolge $\gamma_{n} \rightarrow \infty$ mit $\gamma_{n}\,a_{n}\,\Box$.\\
\nl Die 2-R\"aume entstehen, wenn man bez\"uglich dieser Kgenz das Cauchykriterium fordert, und zwar bequem in der folgenden scharfen Form:\\
Gibt es zu der Folge $a_{n}$ eine Zahlenfolge $\gamma_{n} \rightarrow \infty$, so dass die Vereinigung der Mengen $\gamma_{p} \cdot \{a_{p} - a_{p}\}_{p > q}\,\Box$ ist, so gibt es $a$ mit $\gamma_{p}\,(a_{p} - a) \enspace \Box$.\\
Gilt $V$, so heisst $A$ abgeschlossen. \\
Satz: Die Homomorphismen eines $B_{1}$-Raums \nl in einen abgeschlossen $B_{3}$-Raum $\overline{A}$ sind ein abgeschlossener $B_{3}$-Raum.\\
Bew: Sei $K_{p} \cdot A \subset \overline{A}$\quad, $\overline{A}$ abgeschlossen.\\
Sei $\gamma_{\mu} \rightarrow \infty$, $\gamma_{p} \not= 0$ $\gamma_{p}\,(K_{p} - K_{q})\quad \Box \quad (p - q)$\\
Sei $a_{n}\,\Box$; $n\,\rho\,(*)\,\gamma_{p}\,(K_{p} - K_{q})\,a_{n} \quad \Box \quad    
(p < q, \, n)$\\
daher \\
$\gamma_{p}\,(K_{p}a_{n} - K_{q}\,a_{n})\quad \Box\,\,(p < q)$\\
und nach $\gamma_{p}\,(K_{p}a_{n} - K\,a_{n})\quad \Box\,\,(p)$ 
f\"ur ein $K\,a_{n} \in \overline{A}$. Da $K\,a_{n}$ H\"aufungspunkt von $K_{p}a_{n}\,\,(p,\,n)$ und \\
$K_{1}\,a_{n}\,\Box$ und $\gamma_{1}\,(K_{1} - K_{q})\,a_{n}\,\Box$, also $K_{q}a_{n}\,\Box$ ist nach $B_{3})$ auch $K\,a_{n}\,\Box$, also $K$ Operator.\\
Nun zeigt \nl, dass, da $\gamma_{p}\,(K_{p} - K)\,a_{n}$ H\"aufgspkt\\
1) Es brauchen wohl \"uberhaupt nur \underline{beschr\"ankte Mengen definiert} zu sein, so dass jedes $a$ einer solchen angeh\"ort.\\    
\\
$\textbf{Seite 120}$\\
\\
von $\gamma_{p}\,(K_{p} - K_{q})\,a_{n}$ ist, wegen $B_{3}$) auch $\gamma_{p}\,(K_{p} - K)\,a_{n}\,\Box\,\,(p,\,n)$.\\
In \underline{abgeschlossenen $B_{2}$-R\"aumen gilt die Funktionentheorie}(dh $B_{1},\, B_{2}$ vorausgesetzt)\\
\\
\nl: In einem \underline{$B_{3}$-Raum $A$ sei $K$ ein vollstetiger Operator}, welcher in bezug auf eine in ganz $A$ erkl\"arte stetige semidefinite Metrik selbstadjungiert ist: $[K\,n,\,v] = [n,\,K\,v]$ Gibt es ein $u_{1},\,u_{2}$ so dass $(K\,n_{1},\nl) \not= 0$, so besitzt $K$ mindestens einen Eigenwert. \\
Bew: Bernoulli: $\frac{1}{1 - \nl}$ w\"are sonst ganz \nl, also auch $\sum \, \lambda^{2n}[\nl]^{2}$, w\"ahrend die Koeffverh\"altnisse doch monoton wachsen.\\
Oder mit Einfangen. vgl III 13, 23, 24 $\cdots$\\
\\
\\
\underline{Kennzeichnung der zu einer hermiteschen Matrix \"ahnlichen Matrizen: (vgl III 13 !)}\\
Dund ist $M$ hermitesch \"ahnlich, wenn eine Teilfolge von $e^{i\,n\,M}$ beschr\"ankt ist.\\
\\
\underline{Aufgabe:} Folgt aus Beschr\"anktheit von $e^{i\,(\alpha\,A + \beta\,B)}$ (f\"ur alle reellen $\alpha$, $\beta$), dass $A$ und $B$ simultan hermitesche Matrizen transformiert werden k\"onnen.\\
Stimmt f\"ur zweireihige. \\
Entwicklungssatz f\"ur vollstet. selbstadj. $K$ sollte aus Partialbruchzerlegg von \nl folgen.\\
$\textbf{vervollst\"andigen}$\\
\\
$\textbf{Seite 125}$\\
\\
Damit eine Dgl.-EW-Aufgabe im neuen Sinn (112) selbstadj. sei, wird notwendig sein, dass $A$ und $B$ selbstadj. Diffausdr\"ucke sind; denn es gibt einen Rang endlichen Rangdefekts in $\infty$, indem die $2m$ Konstanten = 0 sind, aber zur Metrik \nl beitragen. \\
Aufgabe: Bedingungen f\"ur die Selbstadjungiertheit  der Randbedggen ermitteln, und auf allgemeinere Randbedggen wie $\int\,y(x) \cdot c(x) \,dx \,\nl \, y(1) = 0$.\\
\\
\underline{Frage:} Entwicklungssatz f\"ur symmetrisierbare Integralgleichungen ?  vgl $[$209$]$ \nl Oder polare ? 127 ?  Ist der Kern $\mathfrak{K} = \mathfrak{L}\,\mathfrak{P}$ mit $\nl = \mathfrak{L}^{*}$, $\mathfrak{P} = \mathfrak{P}^{*} \gg 0$ so ist $\mathfrak{K}$ selbstadj. inbezug auf die Metrik $[u,\,v] = \int\int\, u(x)\, P(x\,y)\, v(y) \,dy\,dx$, und jede Eigenfkt. $\frac{u_{n}(x)}{t_{n}}$ ist eine Fourierkoeff., n\"amlich von $L(x,\,y)$  bezgl $y$; damit folgt der Entwicklungssatz f\"ur \nl darstellbare Fktionen.\\
\nl beschr\"ankt Gl. in $x$.\\
\\
\underline{Frage:} \nl d\"urfte die Fourier-Entwicklung noch f\"ur die $k$-te Ableitung $(k < n)$ in jedem Teilintervall gleichm\"assig konvergieren, indem die $1\cdot,\, 2\cdot, \cdot, k\cdot$ Ableitung gleichm\"assig existieren.\\
\\
$\textbf{Seite 126}$\\
\\
1. Nach Kamke (U.Z. 46, 231) gilt offenbar f\"ur hermitesche Matrizen $A,\,B$: Ist f\"ur jede zu einem festen $\lambda$ geh\"orige Eigenl\"osung von $A\,\mathfrak{x} = \lambda\,B\,\mathfrak{x}\qquad \mathfrak{x}^{*}B\,\mathfrak{x} \not= 0$, so ist die Anzahl der zu $\lambda$ geh\"origen lin. un. EVektoren gleich der Vielfachheit der Nullstelle von $\Delta\,(\lambda) = |A - \lambda\,B| = 0$.     \\
1) $\lambda$ ist reell, also $A - \lambda\,B$ selbstadj.\\
Bew.: 2) Aus Hauptl\"osung: $2\,\{A\,Y - \lambda\,B\,Y\} = B\,X$, $A\,X - \lambda\,B\,X = 0$ folgt\\
$(B\,X,\, X) = c \cdot (\{A - \lambda\,B\}\,Y,\,X) = c\,(Y,\, \{A - \lambda\,B\}\,X) = 0$.\\
Klar, da HL = Grenze zweier Elen zu $\lambda \not= \lambda'$ und \nl solche $(X,\,A\,X') = (X,\,B\,X') = 0$ machen.\\
2. Entwicklungssatz im Hilbert-Raum:\\
Ist $\mathfrak{K}$ vollstetig bez\"ugl. einer definiten Metrik selbstadj., so konvergiert jede Fourierreihe (im Sinn der Metrik) und stellt ein Element dar, das sich vom gegebenem nur um eine L\"osung von $\mathfrak{K}\,y = 0$ unterscheidet: $a = a_{\infty} + \sum\limits_{(\lambda_{\nu})}\,a_{\nu}$ mit $\mathfrak{K}\,a_{\infty} = 0$. Bew: Schliesse den von den E-Funkt aufgespannten Raum ab. \nl total senkrechten hat  \nl keine E$\,$Fu, also ist $\mathfrak{K}\,y \equiv 0$ dort.\\
\\
3. Ist nur $\mathfrak{K}$ so beschaffen, dass aus $b_{\nu} \rightarrow 0$ (im Sinn der Metrik) folgt  $\mathfrak{K}\,b_{\nu} \Rightarrow 0$ im Sinn einer anderen Topologie, so gilt f\"ur jedes quellenm\"assig dargestellte $a$ der Entwicklungssatz im Sinn der Topologie (Bew.: 2).\\
Ist z.B. $\mathfrak{K}$ ein Integraloperator mit reellen symmet. dreiecksweise stetig diffbaren Kern, so konvergiert f\"ur jede \nl darg. Funktion $a$ auch die gliedweise abgeleitete Fourierreihe gleichm\"assig $\Rightarrow a'$; denn ihre Ableitung  $\frac{da}{dx}$ kann unter dem Int.zeichen \nl\\
\\
$\textbf{Seite 127}$\\
\\
Ist $\mathfrak{A}$ ein selbstadj. definiter Differentialausdruck der Ord $2n$, folgt dann aus Beschr\"anktheit \nl $\int\, u(x) (\mathfrak{A}\,n(\xi))\,dx$ auch Beschr\"anktheit von $\int\,u^{(n)}(x) 2\,dx$ ?\\
Beruht hier auf die Theorie von $\mathfrak{A}\, n = \lambda \,\mathfrak{b}\,n$ f\"ur indefinites $\mathfrak{b}$ ?\\
\\
\underline{Entwicklungssatz f\"ur $y = \lambda\,\mathfrak{G}\,\mathfrak{P}\,y$, wo beschrkte}\\
hermitesche Operator f\"ur $(n,\,v) = \int\,u\,v\,dx$ ist $\mathfrak{P}$ ein positiv definiter Integraloperator mit stetigem Kern:\\
Nach Mercer folgt aus $ (u,\,\mathfrak{P}\,n) \,\square $ auch $ (\mathfrak{P}\,u,\,\mathfrak{P}\,n)\,\square$ und daher sogar $\mathfrak{P}u(x)$ gl. beschrkter $x$, daher folgt aus ''$\mathfrak{G}$ beschr\"ankt f\"ur $(n,\,v)$'' auch ''$\mathfrak{G}\,\mathfrak{P}$ beschrkt f\"ur $[n,\, v] = (n,\, \mathfrak{P}v)''$, daher \nl Fourierreihe  in der Metrik $[u,\,n]$. \\
Falls $\mathfrak{G}$ die Eigenschaft hat, gl. kgte Funktionenfolgen wieder in solche \"uberzuf\"uhren, l\"asst sich jede quellenm\"assig durch $\mathfrak{G}\,\mathfrak{P}$ dargestellte Funktion in eine gleichm. kgte Reihe entwickeln. Genauer: Die Entwickl f\"ur $y = \mathfrak{G}\,\mathfrak{P}\,z$ entsteht, aus der \underline{gleichen} \nl, die aus der Fourierreihe  f\"ur $z$ kommt durch Anwendung von $\mathfrak{G}$. Dh: Die Fourierreihe f\"ur $z$ kgt in der Metrik $(z,\, \mathfrak{P}\,z)$, die durch Anwendg von $\mathfrak{P}$ hierauf entstehende Reihe kgt \underline{gleichm\"assig} (Mercer). \\
Also Entwicklgssatz: Jede durch $\mathfrak{P}$  quellenm\"assig dargestellte Funktion entsteht durch Anwendg von $\mathfrak{G}$ auf eine gleiche kgte Reihe stetiger Funktionen, wenn $\mathfrak{P}$ ein pos. def. Integr. \nl $\mathfrak{G}$ bezgl. $(n\,v)$ besteht.\\
\\
$\textbf{Seite 128}$\\
\\
Entwicklungssatz f\"ur polare Iglen : Ist $\mathfrak{P}$ ein pos. def. Intop. mit stetigem Kern  und $\mathfrak{G}$  jede gleichm. beschrkte Menge stetiger Funktionen in eine ebensolche \"uber und ist $\int\,u \cdot \overline{\mathfrak{G}}v = \int\,\mathfrak{G}\,u\,\overline{v}$, so wird jede quellenm\"assig dargestellte Funktion durch ihre Fourierreihe dargestellt, und diese kgiert gleichm\"assig.\\
\\
\\
$y = \lambda\,\mathfrak{P}\,\mathfrak{G}\,y$ im Hilbertraum: \\
Sei $\mathfrak{P}$ 0 vollstetig, $\mathfrak{G}$ beschrkt hermitesch.\\
Dann ist $\mathfrak{p} = \mathfrak{q}^{2}$, $\mathfrak{q} \gg 0$, vollstetig (wegen Spektrum). \\
$y = \mathfrak{q}\,z$  gen\"ugt die Gl. $z = \lambda\,\mathfrak{Q}\,\mathfrak{G}\,\mathfrak{Q}\,z = \lambda\,\mathfrak{K}\,z$. $\mathfrak{K}$ ist vollstetig.\\
Also  wird jede $\mathfrak{G}$ durch seine Fourierreihe nach den EFunkt. $z_{n}$ dargestellt:\\
$z_{n} = \lambda_{n}\,\mathfrak{K}\,z_{n}\qquad (\lambda_{n} \not= 0)$ \nl Metrik kgt.\\
\\
\\
Nach Mercer ist jeder pos. def. stetie Kern der Intervierte (das Quadrat) eine brauchbar unstetigen pos. definiten Kerns.\\
\\
$\textbf{Seite 129}$\\
\\
Ist $R(x,\,y)$ positiv definiter Kern, so folgt aus $(u,\,pu)\,\,\underline{\underline{<}}\,\,1$ stets f\"ur $v(x) = \int\,P(x,\,y)\,u(y)\,dy$:\\
$|v(x)|^{2}\,\,\underline{\underline{<}}\,\,\rm{Max}\,P(x,\,x)$ $[$und $v(x)$ ist stetig.$]$\\
Bew: $v = \sum\,\frac{\lambda_{\nu}\psi}{\lambda_{\nu}}$  \qquad $|v|^{2} \leq \sum\,\frac{\psi_{\nu}^{2}}{\lambda_{\nu}}$\\
\\
\underline{Aufgabe:} einen EW fester Nummer von $K(x,\,y;\,Z)$ als analytische Funktion von $Z$ untersuchen, wenn $K(x,\,y,\,t)$ eine ''positive'' Matrixfunktion von $Z$ ist. \\
\underline{Frage:} Konvergiert  $\sum\,p_{n}(z)$  von selbst in weiteren Punkten, wenn es f\"ur $z_{0}$ kgt, falls die $p_{z}$ \nl\\
\underline{Aufgabe:} Kann man bei $M_{y} = \nl$ umgeben: \\
Schon allein durch Definitheit ? \\
\\
NB: F\"ur Entwicklungssatz, Abgeschlossenheitsdef \underline{nun} man $\mathfrak{z}_{m}$ so definieren,  dass die $m$-te Abl: quadr. \nl ist. \\ 
vgl. Kamke III (def. EW) S$~$75\\
\\
Ist $M$ ein pos. definiter Selbstadj. Diffausdruck f\"ur \nl, so ist\\
$\int\,u^{2}dx \subseteq \frac{1}{K}\,\int\,u \cdot M(n)\,dn$,\\
wo $K$ der kleinste EW von $M\,\mathfrak{u} = \lambda\,n$, $U_{\mu}(u) = 0$, so ist\\
Kamke 189$_{\rm{III}}$, 762 Bew mit Einfangen\\
\\
$\textbf{Seite 130}$\\
\\   
Ebenso ist vielleicht $M\,y$ \nl zu bekommen\\
$\sum\,\nl\,dx \leq \int\,y\,n\,y$ f\"ur \nl\\
Gilt sicher wenn ausserdem, alle Randwerte  von \nl\\
Linearverbdg abziehen.-Mittelkonvergenz f\"ur $y,\,y',\cdots,\,y^{(n)}$ zieht\\
gl. Kgenz f\"ur $y,\,y',\cdots,\,y^{(n - 1)}$ \nl Systeme betrachten !\\
Man kann \underline{Randbedingungen f\"ur $y^{(3)}$} selbst stellen, wenn von \underline{$y$ sonst nur Integrabilit\"at} voraus gesetzt wird: Definiere $y^{3}\,(0) = \lim\limits_{w \rightarrow 0}\,\frac{s_{w}^{3}}{3!w^{3}}$. \\
\\
Auch bei mehreren Freiheitsgraden liegen die \underline{Grammelwerte} stets zwischen den \underline{Raygleighwerten} und den iterierten \underline{Rayleighwerten}.  Genauer: Ist $P$ Matrix, Typ $(n,\,u)$, \nl Type \\
$(n,\,f)$, so bilden bei festem $l$ die $l$-ten Wurzeln \nl von $\det(M\,C'P^{k}C - C'P^{k + 1}C) = 0$ eine monoton wachsende Folge. Minimaxkennzeichnung. Es ist f\"ur jedes $\mathfrak{x}$\nl Typ$\,(f,\,1)'\,\mu_{l} = \min\limits_{(l)}\,' \nl \frac{x'C'P^{k + 1}C\,\mathfrak{x}}{\mathfrak{x}'C'P^{k}\,C\,\mathfrak{x}}\,\,\underline{\underline{>}}\,\,\frac{\mathfrak{x}'C'P^{K}C\,\mathfrak{x}}{\mathfrak{x}'C'P^{K - 1}C\,\mathfrak{x}} \geq \min\limits_{(l)}\,(k)$ \\
Es ist wohl
$\left\{
\begin{array}{ccc}
\lim\limits_{k \rightarrow +\infty}\,\lambda_{K}^{(l)} = \lambda^{(l)} \textnormal{ von }P\textnormal{, wenn alle EWe an }C{ beteil.}\\
\nl = \lambda^{n - f + l} \textnormal{ von } P
\end{array}\right.$ \\
\\
$\textbf{Seite 131}$\\
\\   
Allgemein: \\
Sind $A$, $B$, $C$  quadratische Formen und $t^{2}A + 2tB + C \,\,\underline{\underline{>}}\,\,0$ f. alle \nl so sind die EWe von $\det\,(A\,B - C) = C$
 gr\"osser als die von $\det\,(\lambda\,A - B) = 0$. Denn $\mathfrak{x}'A\mathfrak{x} \cdot \mathfrak{x}'C\mathfrak{x}\,\,\underline{\underline{>}}\,\, (\mathfrak{x}'D\mathfrak{x})^{2}$\\
\\
\\
Sind die \underline{Integrationen gebrochener positiver Ordnung} auch \underline{vollstetig ?} Aufgabe: Variationsrechnung $\delta\,\frac{[n\,n]}{<u,\,n>}$ so in abstrakten R\"aumen f\"ur zwei Metriken, die reell oder komplex sein d\"urfen. Beim Zusammenlegen eines Raums mit seinem konjugierten die Durchschnitte identifizieren, damit der entstehende ''kanonische'' Raum nicht unn\"otig gross wird. -Numerische Absch\"atzg der Genauigkeit von Differenzeneigenwerten: Die Dgl-EF ist eine \nl $\Delta-$ EL. Nun Weinstein auf $\Delta$-Gl.\\
\nl Analogon zum Satz von \underline{St\"ohr}: Ist $y_{1}(x) $ \nl\\
EF \nl $y'' + q\,(x\,\lambda)\,y = 0$, $y_{n}(0) = y_{n}(1) = 0$; $y'(0) > 0$, \\
Zeichenwechsel  der Folge $y_{1}(x),\cdots$, bis  zum $n$-ten Glied $V_{n}(x) = n\,x + 0\,(1)$.\\
Z.B. bei $y'' + \lambda\,y = 0$\quad $y_{n} = \sin\,n\,x$ \quad $V_{n} = [n\,x]$   
\\
Vermutung: Ist $u_{n}(x)$ ein Orthogonalsystem  mit
\\
$\textbf{Seite 132}$\\
\\   
$n!(0) > 0$, so ist $V_{n}(x)$ eine monotone Fktion von $x$. Sind die S\"atze \"uber die Anzahl der Nullstellen in einen vorgegebenen Teilintervall? Nein, die kommmen aus St\"ohrs Zeilensatz. \\
Der Vorteil, wenn man nicht \"uberall definierte Operatoren zul\"asst, besteht darin, dass sie sich den ihnen angemessenen Raum durch Abschliessung des  urspr. Def.-raums selbst schaffen k\"onnen. \\
\underline{Hilbertschen Raum bez\"uglich schwacher Kgenz abschliessen} \\
hat dann jeder Operator nur noch Punktspektrum ? \\
Aufgabe: Eigenwerttheorie in ''linearen R\"aumen mit Operatoren'' und beliebigen Gruppen\\
Pr\"ufers-Theorie auf nicht Sturmsche Randbedingungen erweitern Pr\"ufers-Theorie auf Iglen erweitern \nl\\
 Pr\"ufers-Theorie auf Randwertaufgaben h\"ohere Ordnung erweitern. \\
\\
\\
Die Def. der ''\underline{brauchbar unstetigen'' Kerne} sollte wohl die Kerne $K(x,\,y) = K\,(y,\,x)$ umfassen, f\"ur die 1) $K\,(x,\,y) \in L_{2}(y)$, \quad 2) $K^{(2)}(x,\,x)  \leq C$ gl. beschrkt.\\
Es folgt dann aus $\int\, \varphi^{2}(x) ,dx \leq 1 \qquad |\int \, K(x,\,y)\,\varphi(y)\,dy| \leq C$ f. alle $x$.\\
also wird jede im drittel kgte Folge durch Anwendg von $K$ in eine gl. kgte verwandelt, da wird der Entwicklungssatz gelten.\\
\\
$\textbf{Seite 133}$\\
\\   
15.5.47 \underline{Verh\"altnis Rayleigh-Graumel:} Berechnung der ersten EWe bei pos. vollstetigen  EW-Aufg.\\
Ist $D$ Diffop., $\gg$ 0, \nl = $D^{-1}$ Intop $\gg 0$, so setze bei $D\,y = \lambda \, y$\\
(Rayl.) $\rho(n) = \frac{(n,\,D\,n)}{(n,\,\nl\,n)}$ und $\tau(n) = \frac{(n,\,\nl\,n)}{(n,\,\nl)}$ (Gramm).\\
\\
N\"utzlich in Gr nur, wenn man $(n,\,g\,\mathfrak{K}\,g\,n) = (\mathfrak{L}\,n,\,\mathfrak{L}\,n)$ berechnen kann (halbe Iteration), sonst rechnet man mit der vollst\"andig berechneten Iterierten genauer mit $\frac{(n\,\mathfrak{K}\,n)}{(\mathfrak{K}\,n,\,\mathfrak{K}\,n)} =$ Rayleigh von der \nl: $\rho\,(\mathfrak{K}\,n)$\\
\\
Vermutung: Der \underline{Satz II von St\"ohr $[$190$]$} l\"asst sich so verallgemeinern:\\
Normiert man eine feste Komponente $y_{j} = 1$, so ist die Zahl der Zeichenwechsel  in der Komponente $ k$ (bei nach den Eigenwerten geordneten Eigenl\"osungen)\quad $|k - j|$.\\
-Bew. des Oszillationswertes I: Sei $g_{i}(\lambda)\,\,(i = 1,\,2,\,\cdots,\,n)$ monoton wachsend, von $-\infty$  bis $\infty$ f\"ur $\lambda$ von $-\infty$ bis $+\infty$, stetig. Sei $\Delta^{2}y_{i - 1} + g_{i}(\lambda)\,y_{i} = 0$, $y_{0} = 0$, $y_{1} = 1$ \\
''EWe'' $= \lambda$ mit $y_{n + 1}(\lambda) = 0$. Mit $g_{i} = q_{i} - 2$ ist.\\    
$\left(
\begin{array}{ccccc}
g_{1_{\Delta_{2}}} & 1 & & &\\
1 & g_{2} & 1 &&\\
&1&g_{3}& 1 &\\
&&&\cdots&1\\
&&&1&g_{k}
\end{array}\right)\,
\left(
\begin{array}{ccc}
y_{1}\\
\vdots\\
y_{k}
\end{array}\right) \,
\left(
\begin{array}{ccccc}
0\\
0\\
0\\
-y_{k + 1}
\end{array}\right) \,\,(k = 1,\,2,\cdots)$\\
also $y_{k} = -y_{k + 1}\,\Delta_{k - 1} | \, \Delta_{k}$ nach bramer.\qquad $\Delta_{a} = 1$.\\
$y_{k} \cdot (-1)^{k - 1}\Delta_{k - 1}$. \\
\\
$\textbf{Seite 134}$\\
\\   
Sei $v_{i}(\lambda)$ die Zahl der Zeichenwechsel in $1,\, y_{2}(\lambda),\cdots y_{i}(\lambda)$. \\
Dann ist $v_{i}(\lambda) = $Zahl der pos unter $\frac{\Delta_{K}}{\Delta_{K - 1}}$, wenn diese alle = 0 $k \leq i - 1)$\\
also $v_{i}(\lambda) = \pi\,(M_{i - 1})\qquad M_{i} = i$-ten Abschnitt von $M$, $\pi = \nl$\\
Insbesondere $v_{n}(\lambda) = \pi(M_{n - 1})$, $w \,\, v_{n}(\lambda_{j}) = \pi\,(M_{k}(\lambda\,j)) = j - 1$ \\
wenn keine Nullen auftreten\\
$\Delta_{i}$ hat genau $i$ Nullstellen, da die $i$ EWe umsonsten  von $-\infty$ bis $+\infty$ wachsen, zwischen je zwei Nullst von $\Delta_{i}$ liegt genau eine von $\Delta_{i - 1}$, dann wenn $\pi\,(M_{i})$ um 2 steigt, steigt $\pi\,(M_{i - 1}) = \pi\,(M_{i}) -    
\left|
\begin{array}{ccc}
0\\
1
\end{array}\right.$ um mindestens 1; \\
also ungenau 1, da nicht mehr als $i - 1$  Nullstellen bei $\Delta_{i - 1}$ vorhanden.\\
Ebenso liegt zwischen je zwei Nullstellen von $\Delta_{i - 1}$ genau eine von $\Delta_{i}$. \\
Bew von St\"ohr II: Ist $A_{\alpha}$ der $\alpha$-te Abschnitt, so ist mit \\
$\tau = 
\left(
\begin{tabular}{c|cccc}
$E$ & 
$\begin{array}{ccc}
y_{1}\\
\vdots\\
y_{K}
\end{array}$ &&& 0\\
\hline
 & $y_{K + 1}$ &&& 0 \\
0 & & 1 & &\\
  & &   & 1 & \\
 & 0 &  &   & 1
\end{tabular}\right)$\\
$T'M\,T = 
\left(
\begin{tabular}{c|c|c}
$A_{\alpha}$ & & \\
\hline
           & $-y_{\alpha + 1}\,\, y_{\alpha + 2}$ & $y_{\alpha + 1}$\\
\hline
           &      $y_{\alpha + 1}$                &
$\begin{array}{ccc}
\mathfrak{G}_{\alpha + 2} & 1 & \\
1 & \mathfrak{G}_{\alpha + 3} & 1\\
 & 1 & \nl
\end{array}$ 
\end{tabular}\right) =$\\
\\
$\textbf{Graph}$\\
\\
Nun seien $\lambda_{j}^{*}$, $\lambda^{*}_{j + p}$ zwei Nullstellen von $\Delta_{\alpha}\quad (0 \geq \nl)$. Dann w\"achst $\pi\,A_{\alpha}$ \nl von $\lambda_{j}^{*} - \varepsilon$ bis $\lambda_{g' + p}^{*}$; da $\pi(R)$ nicht f\"allt, kann $\pi$ \nl h\"ochstens um 1 fallen, also steigt $\pi(M)$ mindestens \nl. Dh. zu einem abgeschl. Intervall, das $p + 1$ Nullstellen eine $\Delta_{\alpha}$ enth\"alt, liegt mindestens $p$ Nullstellen $\Delta_{K}$.\\
Sind daher im Schema der EVektoren keine Nullkomponenten, so macht sich jeder Zeichenwechsel  von $\Delta_{i}(\lambda)$ an den EVektoren  zu den EWerten $\lambda_{k}$ von $\Delta_{n} = 0$ bemerkbar. Tritt bei Dglen anstelle von $T$ eine Integraltransformation~?\\
\\
$\textbf{Seite 135}$\\
\\   
\underline{$A\,B$ und $B\,A$  haben bis auf eine Potenz von $x$ dieselbe charakt. Gleichung}  \\
Bew.: Sei Typ $A$ = Typ $B$' $(m,\,n)$. Es ist\\
$ \left|
\begin{array}{ccccc}
x\,E_{m} & x\,A\\
B & x\,E_{n}
\end{array}\right| \cdot 
\left|
\begin{array}{ccccc}
E_{m} & A\\
0 & E_{n}
\end{array}\right|\, 
\left|
\begin{array}{ccccc}
x\,E_{m} - A\,B & 0\\
B & x\,E_{n}
\end{array}\right| = x^{n} \cdot |x\,E_{m} - A\,B|$\\
und \hfill 
$\left|
\begin{array}{ccccc}
x\,E_{m} & 0\\
B & x\,E_{n} - B\,A
\end{array}\right|\, 
\left|
\begin{array}{ccccc}
E_{m} & A\\
0 & E_{n}
\end{array}\right| = x^{m} \cdot |x\,E_{n} - B\,A|$.\\
Anderer Beweis: $\square$  zu Quadration erg\"anzen durch Nullen. Ist dann $\det\,A = 0$, ersetze $A$ durch \nl variabel; oder nimm alle  \nl Variablen. \\
\underline{Satz von Temple f\"ur normale Matrizen}\\
Ist $Y = L\,X$, $X = \{x_{1} \cdots x_{n}\}$, $y = \{y_{1} \cdots y_{n}\}$, $L\,L^{*} = L^{*}L$, so enth\"alt jeder Kreisbereich (dh abgeschl. Inneres oder \"Ausseres  eines Kreises oder einer Halbebene), der alle $y_{\nu}/x_{\nu}$ enth\"alt, mindestens einen EW $\lambda_{\nu}$ von $L$.\\
Bew: Aus Re$\,\sum\,\overline{(\gamma\,y_{\nu} + \delta\,x_{\nu})}\,(\alpha\,y_{\nu} + \beta\,x_{\nu}) \,\,\underline{\underline{>}}\,\,0$ folgt\\
Re$\,\sum\,(\xi_{\nu})^{2})\,\overline{(\gamma\,\lambda_{\nu} + \delta)}\,(\alpha\,\lambda_{\nu} + \beta) \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$, also f\"ur ein $\lambda_{\nu}$\\
Re$\,\overline{(\gamma\,\lambda_{\nu} + \delta)}\,(\alpha\,\lambda_{\nu} + \beta) \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$\\
Nun ist aber sign Re$\,\frac{\alpha\,z_{\nu} + \beta}{\gamma\,z + \delta} = $ sign Re$\,\overline{(\gamma\,z\,\nl)}\,(\alpha\,z + \beta)$. Sind also alle Re$\,\frac{\alpha\,y_{\nu} + \beta^{x_{\nu}}}{\gamma\,z + \delta}\,\,\underline{\underline{>}}\,\,  0$, dh liegen alle $\frac{y_{\nu}}{x_{\nu}}$ in einem \nl $\mathfrak{K}$, so ist Re$\,\sum\,\overline{(\,\,)}\,(\,\,) \,\,\underline{\underline{>}}\,\,0$, also f\"ur ein in Re$\,\frac{\alpha\,\lambda_{\nu} + \beta}{\gamma\,\lambda_{\nu} + \delta} \,\,\underline{\underline{>}}\,\, 0$: $\lambda_{\nu} \subset \mathfrak{K}$.\\
\\
\underline{Aufgabe:} Zusatz zum Satze von Temple auf  normale Matrizen \"ubertragen; $\overline{\underline{\,V}}$~71 f\"ur reelle symm. heisst es: Sind alle El. von $x$ pos., das gl. von einem EV $X_{1}$, so folgt aus $A\,X - n\,X$ pos. $A\,X - \nl\,X$ neg $n < \lambda_{1} < v$\\
Bew: $X_{1}'\,(A\,X - u\,X) > 0$\quad $ (\lambda_{1} - n)\,(X \,\nl\, X) > 0$\qquad $\lambda_{1} - n > 0$.\\
\\
$\textbf{Seite 136}$\\
\\   
Zur \underline{analyt. Theorie der beschrkten \nl Operatoren in vollst\"andigen R\"aumen $\Phi'$.}\\
Def: Spektrum von $L$ Gesamtheit der Punkte $\lambda$, zu den es ein $\varphi \in \Phi$, so dass $(L - \lambda)^{-1}\,\varphi$ von $\infty$ her bis an $\lambda_{0}$ her an fortgesetzt werden kann, aber nicht dar\"uber hinaus Vermutungen: Zu jeder Spektrumsscheibe gibt \nl $(\varphi \not= 0)$ $\varphi < \phi$, f\"ur die $(L - \lambda)^{-1}$ ausserhalb der Scherbe \"uberall regul\"ar ist;  \nl die Scherbe ist an $\varphi$ beteiligt. -Spektrum von $f(L) = f$ (Spektrum $L$)-$\varphi$ suchen, an dem nur ein Teil des Spektrums beteiligt ist vielleicht wenn \nl im Spektrum, und $\,\,\underline{\underline{<}}\,\,1$ durch Umordnen von $(L - \lambda)^{-1}$, einmal nach $\frac{1}{\lambda}$, einmal nach $(\lambda - L)$ entwickelt.- Man muss die Operatoren $L$  untersuchen, die keinen abgesschlossenen Teilraum invariant lassen. -Ist $V_{n}L = L\,V_{n}$,   
$(\begin{tabular}{|c|}
\hline
$V_{n}$
\end{tabular} = 1)$ so bilden die (s. auch S.159) $\varphi$ mit $V_{n}\,\varphi \rightarrow 0$ einen abgeschlossenen gegen $L$ invarianten Teilraum. -$V_{n}$ mit $V_{n}\varphi \rightarrow 0$ bekommt man,  wenn man \nl dem von $L\,\varphi$, $L^{2}\varphi$, $\sim$\\
aufgespannten Raum approximiert. -Ist 
$(\begin{tabular}{|c|}
\hline
$L$
\end{tabular} \sim 1$ so gibt in jeder Kugel von Radius $\rho$  einen Kugel vom Radius \nl in welcher durchweg $|L\,\varphi| > \nl$ ist. Ist $L_{n}$ Folge beschr\"ankter Operatoren, so gibt es $\varphi$ mit $|\varphi| = 1$, so dass $|L_{n}\,\varphi| > 
\frac{\begin{tabular}{|c|}
\hline
$L_{n}$
\end{tabular}}{10^{n}}$ wie weit kann man 10 \nl ? \\
Die analyt. Fortsetzung von $(L - \lambda)^{-1}\varphi$ ist nie mehrdeutig; denn f\"ur $\lambda \sim \infty$ gibt es nur eine L\"osung von $(L - \lambda)\nl$. -Wenn $L$ nicht ein-\\
\\
$\textbf{Seite 137}$\\
\\   
mal einen \underline{offenen} Teilraum $\not=$ 0, $\phi$ festl\"asst, folgt aus
$(\begin{tabular}{|c|}
\hline
$V_{n}$
\end{tabular} < \infty$\quad $V_{n}L = L\,V_{n}$ und $V_{n}\varphi \rightarrow 0$ auch $V_{n}\,\psi \rightarrow 0$ f. alle $\psi$, daher 
$(\begin{tabular}{|c|}
\hline
$V_{n}$
\end{tabular} \rightarrow 0$, und die Approximation von $\varphi$ durch ein Orthogonalsystem in \nl gibt Cayley-Hamiltonsche Gleichungen. -L\"asst $L$ gar keinen Teilraum von $\phi$ fest, so hat $\varphi$ die Dimension 1: Denn der Raum der endlichen Linearverbdgen von $L\,\varphi,\,L^{2}\,\varphi$, muss \nl sein, also $\varphi = \sum\limits_{1}^{n}\,c_{\rho}L^{\rho}\varphi$, $(L - \alpha)\,\psi = 0$. Wenn \underline{$0 \subset  \rm{Sp}\,L$,
$(\begin{tabular}{|c|}
\hline
$\rm{Sp}\,L$
\end{tabular} = 1$, Re Sp$\,L\,\,\underline{\underline{>}}\,\,0$}, sind vielleicht die Folge $L^{n}$ und ein $\varphi$; das aus Ann\"aherung an die Stelle $\lambda = 0$ gewonnen ist, geeignet, um einen abgeschlossenen invarianten Teilraum zu gewinnen. Vielleicht l\"asst sich so beweisen, dass ein Op. ohne \nl Teilraum nur einen Punkt als Spektrum hat. Wenigstens eine direkte Theorie der normalen Operatoren sollte so herauskommen, ohne R\"uckgriff auf Hermitesche -Gibt es f\"ur \underline{solche} $L$ eine $^{2}\sqrt{L}$ ?\\
22.5.47 Def.: \underline{Normaler Ring} = Kommutativer Ring mit kompl. Zahlen als operat. vollst\"andig bezgl. eines \nl $|a|$ mit $|a + b|\,\,\underline{\underline{<}}\,\, |a| + |b|$ \nl vielleicht sollte man noch \nl, dass man \nl nicht mehr durch Quotientenbildung erweitern kann, ohne diese Eigenschaft aufzugeben. Hier gibt eine sch\"one Funktionentheorie: Der Beitrag  eines El. ist genau gleich den gr\"ossten Betrag seines Spektrums  (wie bei normalen Matrizen), nicht $\,\,\underline{\underline{>}}\,\,$ wie ohne die Bedgg \nl.\\
Einen normalen Ring erh\"alt man aus einem kommuktiven Banachring $\Re$ mit \nl\\
\\
$\textbf{Seite 138}$\\
\\   
durch $|a|  = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\,^{n}\sqrt{d(a^{n})}$ und \"Ubergang zum Differenzenring $R - \mathfrak{R}$ mit $n \in \mathfrak{R}$, wenn $d(n) = 0$\quad (dh. $\frac{n}{\lambda - n}$ ganze Fktion von $\frac{1}{\lambda}$) ist $\mathfrak{R}$ abgeschl. ?  \\
In einem normalen Ring gibt es zu jedem Element mit $|\rm{Spektr} - \rm{pos}| = \rm{pos.}$, 0 $\in$ Spektr.  eine Quadrat -und $n$-te Wurzel.-\\
Der \"Ubergang  von der Banachmetrik $d$ zu $|\,\,|$ liefert gerade die 
urspr\"ungliche normale Metrik wieder, wenn man diese durch \"Ahnlichkeitstransf. mit einer intakten Matrix \nl hatte: \\
Ist $f(z)$ ein Polynom, und hat $L$ das Spektrum  $\{\lambda\}$ (definiert durch Nichtexistenz von $(L - \lambda)^{-1}$) so hat 
$M$ = \underline{$f(L)$ genau das Spektrum $\{f(\lambda)$\}}.
Denn $f(L) - \mu$ \nl $\Pi\,(L - z_{K})$, worin $z_{K}$ alle L\"osungen von $f(z) = \mu$ durchl\"auft. -Also ist normalen Ringen  $|f(L)| = \max\limits_{z \subset \rm{Sp}}\,L\,|f(z)|$ zun\"achst f\"ur Polyn. $f$.\\
Da stets Sp$\,L^{-1} = \rm{Sp\,L}^{-1}$, ist \nl normalen Ringen
$$|(\lambda - L)^{-1}| = \frac{1}{\nl\,(\lambda,\,Sp\,L)}$$
Das Spektrum ist stets abgeschlossen.
Wird der normale Ring $R$ durch \underline{lin} Element $L$ erzeugt und hat dieses das Spektrum $\mathfrak{A}$, so ist $\mathfrak{R}$ metrisch isomorph dem Ring \nl derjenigen Funktionen (mit komlpexen Werten) auf $\mathfrak{A}$, die aus den Polynomen $f(z)$ durch Abschliessung mit der Metrik $||f(z)|| = \max\limits_{z < \mathfrak{A}}\,|f(z)|$ entstehen.   


 





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