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\newcommand{\nl}{\textbf{???}\,}
\title{Erstellungsdatum: 21.4.2004\\
Private Notebook VIII}
\author{Helmut Wielandt}
\date{Juni 52 - Sept.55}
\sloppy

\begin{document}
\maketitle

\underline{F\"ur Schiefe von Matrizen Sonderabzug R.L. Causey 1964}
12.6.52 \"Anderung des Gesamt-Spektrums hermitescher Matrizen.\\
Ist $A$, $B$ hermitesch, $C = A - B$, sind die EWe $\alpha_{1} \leq \dots \leq
\alpha_{n}$, $\beta_{1} \leq \dots \leq \beta_{n}$, $\gamma_{1} \leq \dots \leq
\gamma_{n}$, so gilt\\
$\sl{}{} |\alpha_{v} - \beta_{v}| \leq \sl{}{} |\gamma_{v}|\enspace\,^{*)}$\\
Bew: Wenn $C \geq 0$, ist $\alpha_{v} \geq \beta_{v}$,  $\sl{}{} (\alpha_{v} -
\beta_{v}) = \sl{}{} \gamma_{v}$\\
Wenn $C$ bel., zerlege $C = C_{A} - C_{-}$\\
$[:h]$0, 1, 2 Schnitzer genannt X 57$[:h]$\\
Bemerkg: Da dasselbe mit $|\enspace|^{2}$ statt $|\enspace|$ gilt, entsteht
die\\
\underline{Frage:} 1) Gilt dasselbe f\"ur $|\enspace|^{p}$ ?\hfill (Ostrowski ?)\\
2) Welche Funktionen $f(\lambda)$ haben die Eigenschaft, dass bei Def. von
$|A|_{f} = \sl{v}{} f(\alpha_{v})$ f\"ur hermitesche Matrizen stets $|A + B|_{f}
\leq |A|_{f} + |B|_{f}$ ?\\
3) Welches sind die unit\"ar invarianten Normen im Modul
$\mathfrak{h}$ der Hermiteschen Matrizen ?\\
*4) Welche Spektren treten auf bei $A + B$, wenn $A$, $B$ alle hermiteschen Matrizen mit
2 gegebenen Spektren durchl\"auft ? "'Spektrum"' = wachsend geordnete Folge.
bilden "'konvexen"' Raum\\
Ein Russe schon untersucht ? M.R. Lidskij\\
\\
$^{*} = $ gilt vermutlich nur wenn $A\,B = B\,A \quad$.-Gibts etwas \"Ahnliches
f\"ur normale Matrizen $A$, $B$, etwa mit Sp$[C\,C^{*}]^{\frac{1}{2}}$ statt
$\sl{}{} \gamma_{v}$ ?   
\\
$\textbf{Seite 2}$\\
\\
14.6. Die Ungleichungen von Weyl lassen sich so schreiben: Sind $A$, $B$, $C$
hermitesche Matrizen mit $A + B + C = 0$ und ordnet die EWe $\alpha_{1} \geq
\alpha_{2} \geq\dots \geq\alpha_{n}$ usw.; so gilt stets $\alpha_{\rho} +
\beta_{\sigma} + \gamma_{\tau} \geq 0$, wenn $\rho + \sigma+ \tau \leq n +2$\\
$[:h]$Verallgemeinerung auf mehr Summanden ?$[:h]$\\
\\
\\
Frage: Sind die Ungleichungen von Weyl zusammen mit $Spur(A + B + C) = 0$ auch
hinreichend daf\"ur, da\ss $ $ es zu $\alpha_{v}$, $\beta_{v}$, $\gamma_{v}$ drei
Matrizen mit diesen Spektren und $A + B + C = 0$ gibt ? F\"ur $n = 2$: ja.
F\"ur  n = 4  nein ! s. P. 4\\
\\
\\
Falsch ist die Vermutung $|A + B| \leq |A| + |B|$, falls man definiert $|A|^{2} 
= \overline{A}'\,A$\\
vgl z. B. $A = 
\left( 
\begin{array}{ccc}
1 & 1\\
1 & 1
\end{array} \right)$, 
$B = 
\left( 
\begin{array}{ccc}
1 & \\
 & -1
\end{array} \right)$\\
\\
Die Ungleichung von Weyl hat ein Analogon f\"ur Produkte, aus dem sie gefolgert
werden kann: $[:h]$ auch Ky Fan. P.n.a. 37 (1951)\\
dort Beweis mit $\min$ $\max$ $[:h]$\\
Ist $A \geq 0$, $B \geq 0$ mit EWen $\alpha_{1} \geq \alpha_{2} \geq \dots$ so
ist bei $C = A\,B$: $\gamma_{\rho} \leq \alpha_{\sigma} \beta_{\tau} \quad (\sigma
+ \tau = \rho + 1)$.\\
$[:h]$Bew: $\gamma_{k} = \min\limits_{x \in R_{k}} \enspace (x,\,B^{\frac{1}{2}}A\,B^{\frac{1}{2}}x) \leq
(B^{\frac{1}{2}}x,\,  A\,B^{\frac{1}{2}}x)$, $\exists \, x$, $|x| = 1$, $\beta_{1}
\dots \beta_{i}$ unbet.$[:h]$\\
\\
$\textbf{Seite 3}$\\
\\
Frage:
\begin{quote}
Gilt ein Analogon zu den Ungl. von Weyl f\"ur Produkte unit\"arer Matrizen ?
\end{quote}
NB:
\begin{quote}
Die Analogie geht mindestens so weit, da\ss $ $ bei $\alpha_{v} = arg\enspace v$-ter
EW von $A$, $\alpha_{1} \geq \alpha_{2} \geq \cdots$, $C = A\,B$\quad
$\gamma_{\gamma} \geq \alpha_{\gamma} + \beta_{1}$ ist.
\end{quote}
doch: s.u.!$\left| 
\begin{array}{ll}
$Aber es stimmt nicht, da\ss $ $ bei $\beta_{2} = \dots = \beta_{n} = 0  \\
$stets $ \alpha_{v - 1} \leq \gamma_{\nu} \leq \alpha_{\nu + 1}$
ist. Gegenbeispiel:$\\
A = 
\left( 
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{array} \right),\enspace B = 
\left( 
\begin{array}{ccc}
e^{3i\varphi} & &  \\
 & 1 &  \\
 &   & 1
\end{array} \right);\enspace
\gamma_{\gamma} = e^{i\varphi},\enspace e^{i\varphi + \frac{2\pi}{3}},\dots
\end{array} \right.$
Satz: Bei stetiger Zuordnung ($B$ exponentiell laufend) ist $ \Sigma\enspace
|\gamma_{\nu} - \alpha_{v}| \leq \Sigma\enspace |\beta_{v}|$, wenn $C = A\,B$, alles
unit\"ar.\\
$[:h]$Achtung: Der Satz von Weyl u.a. Ky Fan \"uber $\Sigma|\lambda_{\nu}|^{P} <
\Sigma|\gamma_{\nu}|^{P}$ gibt auch Aussagen \"uber die EWe von $AB$ $[:h]$\\
Satz:
\begin{quote}
Ist $A$ unit\"ar, $B = 
\left( 
\begin{array}{cccc}
e^{i\varphi} &  & &  \\
 & 1 & & \\
 &  & \ddots &\\
 &&&1
\end{array} \right)$ und l\"auft $\varphi$ von 0 bis $2\pi$, so l\"auft
$\alpha_{v}(\varphi)$ monoton wachsend von $\alpha_{v}$ bis $\alpha_{v + 1}
\quad (\alpha_{1} \leq \alpha_{2} \leq \cdots)$\\
Vor: $\alpha_{v} (\varphi) \not=$ const. f.alle $\nu$\\ 
Beweis:
\begin{quote}
a) monoton 
$\qquad$ $[:h]$ denn  allg  f\"ur $B(t) = 
\left( 
\begin{array}{cccc}
\ddots &  & \\
 & e^{i\beta_{v}t} & \\
 &  & \ddots
\end{array} \right)$ ist $\dot{\alpha} = \Sigma \,\beta_{\nu} |x_{\nu}|^{2}$
wenn $A\,B\,\mathfrak{x} = e^{i\,\alpha}\mathfrak{x}$ $[:h]$\\
$[:h]$ wie allgemein bei normalen Wegen $\rightarrow$ $[:h]$ b) Gesamtweg aller $Wn$ ist $= 2\pi$\\
c) nach einem Umlauf von $\varphi$ sind die $\alpha_{v}$ insgesamt die alten;
jedes bewegliche ist also \underline{mindestens} bis $\alpha_{v+1}$ gelaufen. \\
$[:h]$ Also \"andert $\mathfrak{S}$ so sind $\max$ \nl $[:h]$
\end{quote}
\end{quote}
NB: jeder bewegliche EW l\"auft genau bis zum n\"achsten beweglichen.
\\
$\textbf{Seite 4}$\\
\\
14.6. Satz: Ist $A$ unit\"ar, und hat $B$ $p$ EWe mit $\beta_{v} \geq 0$, die
zudem = 0, $0 \leq  \beta_{v} < 2\pi$, und l\"a\ss t man $B$ exponentiell auf
dem k\"urzesten Wege laufen, so w\"achst jedes $\alpha_{v}$ um weniger als $p$
Pl\"atze wenn kein $\alpha_{v}$ konstant ist als Fktion von $\varphi$. Bew:(3)
(Ferner w\"achst jeder EW h\"ochstens um $\max$ $\beta_{v}$).\\
\\
Folge: hat $A$ einen $\nu$-fachen EW $\alpha$ und $B$ weniger als $\nu$ von 1
verschiedene EWe, so ist $\alpha$ noch EW f\"ur $A\,B$. (Ist auch direkt durch Dimension der Eigenr\"aume zu sehen.)\\
\\
Frage: Anwendung dieser S\"atze auf endl. Gruppen ? Burnsideprobl. ?\\
\\
Zu S. 2: Die Ungleichungen von Weyl zusammen mit $\Sigma\,\gamma_{\nu} =
\Sigma\,(\alpha_{\nu} + \beta_{\nu})$ reichen f\"ur $n = 3$ noch nicht aus, um alle Folgerungen \"uber die EWe von $A + B = C$ zu ziehen, wenn man die EWe der hermiteschen Matrizen $A$, $B$ kennt. Gegenbeispiel: s. S. 5
\\
$\textbf{Seite 5}$\\
\\
Gegenbeispiel gegen Hinreichen der Bedggen von Weyl:\\
F\"ur
\begin{quote}
$\alpha_{v} = -2 \quad -1 \quad +1 \quad +2$ \\
$\beta_{v}  = -1 \qquad\,\,  0 \qquad\,  0 \qquad\,\,1 $\\
$\gamma_{v} = -3 \quad\, -2 \qquad\,  2 \qquad\,    3$
\end{quote}
sind die Weylschen Bedingungen 
\begin{quote}
$\alpha_{\rho } + \beta_{\sigma} + \gamma_{\tau} \geq 0 \quad (\rho + \sigma + \tau = 6)$\\ 
$\alpha_{\rho } + \beta_{\sigma} + \gamma_{\tau} \leq 0 \quad (\rho + \sigma + \tau = 9)$ 
\end{quote}
alle erf\"ullt, dazu $\Sigma\,(\alpha_{v} + \beta_{v} +  \gamma_{v}) = 0$, aber es
gibt keine hermiteschen Matrizen $A$, $B$, $C$ mit diesen EWen und $A + B + C =
0$. Denn aus $D\,(\nl - C) = A + B$ folgt $\delta_{1} + \delta_{2} \leq
\alpha_{1} + \alpha_{2} + \beta_{1} + \beta_{2}$ (betrachte $\max$ Spur
$(\mathfrak{x}\,\mathfrak{y})$*\,$D(\mathfrak{x}\,\mathfrak{y})$ mit
$(\mathfrak{x}\,\mathfrak{y})$*$(\mathfrak{x}\,\mathfrak{y}) = 
\left( 
\begin{array}{ccc}
1 & 0\\
0 & 1
\end{array} \right)$ bei obigen Wertes\"atzen ist aber $\delta_{1} + \delta_{2} = 5 > \alpha_{1} + \alpha_{2} + \beta_{1} + \beta_{2} = 4$.\\
\\
\\
Ansatz z. Beweis der \underline{Vermutung von Wittmeyer:}\\
Seien $A$, $B$ normal,
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A - B$
\end{tabular}
\leq d$; dann lassen sich die EWe so ordnen, da\ss $\enspace |\alpha_{v} - \beta_{v}| \leq d$ $(v = 1,\dots, n)$\\
Zum Beweis gen\"ugt es zu zeigen: zu jeder Zahl $p$ mit $1 \leq p \leq n$ gibt
es, wenn $\alpha_{1},\dots,\alpha_{p}$ mit $\beta_{p},\dots,\beta_{n}$ aus den
Spektren gew\"ahlt sind, ein $(\alpha_{k} - \beta_{\gamma}) \leq d$. 
\\
$\textbf{Seite 6}$\\
\\
Sei OBdA $d = 1$; Ann: $|\alpha_{\nu} - \beta_{\lambda}| > 1$ stets\\
Beweis: Seien $\mathfrak{X}$, $\mathfrak{Y}_{n - p + 1}$ die linearen R\"aume,
die von den Eigenl\"osungen von $A$ zu $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{p}$ bzw von
den EL von $B$ zu $\beta_{p},\cdots,\beta_{n}$ aufgespannt werden. Da $\dim\,
\mathfrak{X}_{p} + \dim\, \mathfrak{Y}_{n - p + 1} = n + 1 > n$, gibt es $\mathfrak{x} \in \mathfrak{X}_{p}$, $\mathfrak{y} \in \mathfrak{Y}_{n - p + 1}$ mit $\mathfrak{x}
= \mathfrak{y}$, $|\mathfrak{x}| = 1$. \\
Sei
\begin{quote}
$\mathfrak{x} = \mathfrak{x}_{1} + \cdots + \mathfrak{x}_{p} =
\mathfrak{y}_{p} +   \mathfrak{y}_{p+1} + \cdots + \mathfrak{y}_{n}  \quad
\mathfrak{x}_{i} \bot \mathfrak{x}_{k}$, $\mathfrak{y}_{i} \bot \mathfrak{y}_{k}$.\\
Setze $M = \Pi_{1}^{P}\, (A - \alpha_{\Pi}) = f(A)$ Dann\\
\\
Forts. S.9\\
\end{quote}
$p = 2.\,\, n = 3:$ Hier $\mathfrak{z} = \mathfrak{x}_{1} + \mathfrak{x}_{2} =
\mathfrak{y}_{1} + \mathfrak{y}_{2}$, $|\alpha_{i} - \beta_{k}| > 1$ $(i,\, k =
1,\, 2)$\\
etwa 
$\left\{ 
\begin{array}{ccc}
\alpha_{1},\, \alpha_{2} = 0,1\\
d = 1
\end{array} \right\}$: F\"ur jedes komplexe $\zeta$ ist $\min$ $|\beta_{i} -
\zeta| \leq \{|\zeta|^{2} (1 - x^{2}) + |1 - \zeta|^{2}x^{2}\}^{\frac{1}{2}} +
1$\\
Durch passende Wahl von $\zeta$ erh\"alt man ein $\beta_{i}$ nahe an den
$\alpha$, aber noch nicht ganz die Vermutung von $W$.\\
\\
In a\"hnlicher Richtung wie Wittmeyer liegt der folgende\\
\underline{Satz:} Seien $A,\,B$ normal: $|\alpha_{i}| \leq \cdots \leq
|\alpha_{p}| \leq r < R \leq |\beta_{p}| \leq \cdots \leq |\beta_{n}|$\\
Dann ist 
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A - B$
\end{tabular} \geq k - r$\\
\\
$\textbf{Seite 7}$\\
\\
Bew: W\"ahle $|\mathfrak{z}| = 1$, $\mathfrak{z} = \mathfrak{x}_{1} + \cdots +
\mathfrak{x}_{p} = \mathfrak{y}_{p} + \cdots + \mathfrak{y}_{n}$\\
$|(B - A)\,\mathfrak{z}|\,\,\underline{\underline{>}}\,\,|B\,\mathfrak{z}| - |A\,\mathfrak{z}| \geq R -
r$.\\
$[:h]$ richtig zu jedem Kreis $\mathfrak{K}_{r}$ $[:h]$
Folge: Sind $B$, $A$ normal, 
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$B - A$
\end{tabular} = d$, so gibt es zur je $p$ EWen $\alpha_{i}$ von $A$ mindestens $p$
EWe $\beta i$ von $B$ derart, dass jeder Kreis $\mathfrak{K}_{r}$, der alle $\alpha_{i}$ enth\"alt nach
konzentrischer Vergr\"osserung um Radius $d$ auch alle $\beta_{i}$ enth\"alt.
Insbesondere ist $|\beta_{i} - \alpha_{k}|^{2} \leq
\max\limits_{i}^{}\,(|\alpha_{i}| + d)^{2} +
d^{2}\quad ,\enspace (etwa)$\\
\\
$\textbf{Graph}$\\
\\
\underline{Rangsatz f\"ur normale Matrizen}\\
Seien $A$, $B$ normal, $Rg\,(A - B) \leq r$. Dann enth\"alt im $R_{3}$ jeder
abg. Halbraum $\mathfrak{H}$, der $r + k$ Ecken des $3-\dim$ Wertevorrats enth\"alt (unter
Ber\"ucksichtigung ihrer Vielfachheit!), mindestens $k$ Ecken des $WV$ von $B$.
$[:h]$ Gen\"ugt etwa $B$ norm ? $[:h]$\\
Beweis: Ann, $\alpha_{1},\cdots$, $\alpha_{r+k} \in \mathfrak{H}$,
$\beta_{k},\cdots,\, \beta_{n} \notin \mathfrak{H}$. Dann gibt es
im Durchschnitt der zugeh\"or. Eigenr\"aume $\mathfrak{X} \cap \mathfrak{Y} =
\mathfrak{Z}$, der die Dim $d > r$ hat, ein $\mathfrak{z}$ mit $A\,\mathfrak{z}
= B\,\mathfrak{z}$; da zugeh. Mompkt liegt $\in \mathfrak{H} \enspace \& \notin
\mathfrak{H}$\\
$[:h] $Gilt Umkehrung ? $[:h]\hfill$ Fortsetzung: S.62     
\\
$\textbf{Seite 8}$\\
\\
z.B.: Sind $U$, V unit\"ar, so enth\"alt jeder Kreisbogen (abg.) des Einheitskreises, der $r + k$ EWe von $U$ enth\"alt, mindestens $k$ von $U$, wegen $Rg(U - V) \leq r$. Insbesondere wenn $Rg(U - V) = 1$, so trennen sich die EWe (im schwachen Sinn) auf dem EK.\\
\\
Der \underline{Rangsatz} kann gleichwertig in der Gauss-Ebene ausgesprochen werden: Sind $A$, $B$ normal, $Rg(A - B) \leq r$ so enth\"alt jeder abg. Kreisbereich  $\mathfrak{K}$, der $k + r$ EWe von $A$ enth\"alt auch mindestens $k$ EWe von $B$.\\
\\
Aufgabe: Verallgemeinerung von Rang- und Verschiebgss\"atzen auf quasinormale und beliebige Matizen.\\
\\
Die Eigenschaft $Rg(A - B) = r$ ist invariant gegen simultane gebrochen lineare Transformationen von $A$, $B$: Dies ist ein invarianter Abstandsbegriff.\\
\\
$[:h]$ Frage: Kann man Aufl\"osbarkeit  von $\mathfrak{G} = \mathfrak{A} \cdot \mathfrak{B}$ ($\mathfrak{A},\,\mathfrak{B}$ nilpotent) beweisen mit Aufspaltg $\mathfrak{G}^{*}$ ? $[:h]$ 
\\
$\textbf{Seite 9}$\\
\\
Zur Vermutung von Wittmeyer\\
Ann.: Seien $A$,$B$ normal $A - B = D$, 
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$D$
\end{tabular} = d$ \\
$X^{*}A = A\,X^{*}$, $B\,Y = Y\,B \quad A =
\left( 
\begin{array}{ccc}
\alpha_{1}& &\\
 &\ddots& \\
&&\alpha_{p}
\end{array} \right)\enspace B = 
\left( 
\begin{array}{ccc}
\beta_{p}& &\\
 &\ddots& \\
&&\beta_{n}
\end{array} \right)$\\
mit $|\alpha_{i} - \beta_{k}| > d$\\ 
Dann ist $M = X^{*}D\,Y = A\,X^{*}Y - X^{*}Y\,B$\\
also 
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$M$
\end{tabular} = 
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A\, Z - Z\, B$
\end{tabular} \leq d$, $Z = X^{*}Y$\\
andererseits ist $Z = X^{*}Y$ ein Ausschnitt aus einer unit\"aren Matrix mit 
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$Z$
\end{tabular} = 1$, da f\"ur $\mathfrak{z} = X\, i = Y\, \vartheta \not= 0\quad Z \vartheta = i$\\
$$ m_{ik} = (\alpha_{i} - \beta_{k})\,Z_{ik} \qquad |i| = |\vartheta| = |\mathfrak{z}| = 1.$$ 
Frage: "'Streut man in einen Abschnitt einer unit\"aren Matrix, der den Betrag 1 hat, Faktoren $|\,\,\,| > 1$ ein, so w\"achst der Betrag des Abschnitts "'; ist das richtig ? Dann folgt Wittmeyer\\
$[:h]$ nein: sonst w\"urde f\"ur $V = 
\left( 
\begin{array}{ccc}
\cdot & \cdot & \cdot\\
\cdot & \cdot & \cdot\\
\cdot & \cdot & \cdot\\
\end{array} \right) = 
\left( 
\begin{array}{ccc}
W & \vdots\\
\cdots & \cdot
\end{array} \right)$\\
unit\"ar folgen: $|\varepsilon_{ik}| = 1 \rightarrow 
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$W$
\end{tabular} = 
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$(W_{ik}\,\varepsilon_{ik})$
\end{tabular}\,\,[:h]$\\
\\ 
\underline{Fehlerabsch\"atzung zum Graeffeschen Verfahren.}\\
Sind alle Wurzeln $x_{v}$ reell, $|x_{1}| \geq |x_{1}| \geq \dots \geq |x_{n}|$.\\
$s_{m} = \sl{1}{n}\,x^{2^{m}}_{v}$, so ist $s'_{m} \leq x^{2^{m}}_{1} \leq s_{m}$\\
mit\\
$s'_{m} = s_{m} - \frac{1}{2}(s^{2}_{m-1} - s_{m}) = x_{1}^{2m} - (x^{2^{m-1}}_{1} - x^{2^{m-1}}_{2}) x^{2^{m-1}}_{2} - \dots$\\
\begin{flushright}
$-(x^{2^{m-1}}_{1} -  x^{2^{m-1}}_{n})\, x^{2^{m-1}}_{n}) - \dots
\qquad\enspace\,$
\end{flushright}
$\textbf{Seite 10}$\\
\\
Die Winkelschiefe $\sigma (\mathfrak{x}_{1},\dots,\mathfrak{x}_{n})$ eines
$n$-Beins muss so definiert werden, dass
\begin{quote}
$\sigma (c_{1} \mathfrak{x}_{1},\dots, c_{n} \mathfrak{x}_{n}) = \sigma
(\mathfrak{x}_{1},\cdots,\mathfrak{x}_{n})$\\
$\sigma (\mathfrak{x}_{1}, \cdots ,\mathfrak{x}_{n+1}) \geq \sigma
(\mathfrak{x}_{1},\cdots ,\mathfrak{x}_{n})$, und $= \leftrightarrow
(\mathfrak{x}_{n+1},\,\mathfrak{x}_{v}) = 0$\\
\end{quote}

Vielleicht lohnt es eine "'Winkelschiefe"' auch noch f\"ur den Fall von
quadratischen Elementarteilern einzuf\"uhren, f\"ur $P_{y} = \lambda\,Q\,y$, $Q
\geq 0$.\\
\\
\\
Diffgl.-EW Theorie allgemein-hermitescher Fall, Systeme 1.Ordnung, Metrik mit
Hermitescher Stieltjes Integralform $\int \overline{\mathfrak{y}}'\,dM\,\mathfrak{y} \qquad dM \geq
0$ hermitsche-Matrix\\
Theorie m\"oglichst invariant gegen die Transformation der unabh. Variablen $x$
formulieren, zwecks asymptotischer Absch\"atzung.\\
\\
\\
Zur Definition der normalen EWA:\\
Kann man aus dem Normalit\"atskriterium 25(32) eine Definition der Normalit\"at
gewinnen, die evident invariant gegen $(\alpha\,p + \beta) / (\gamma\,p + \delta)$ ist !\\
$[:h]\,\,p \vee q \rightarrow p \vee (\alpha\,q + \beta)/(\gamma\,q + \delta)\,\, ?[:h]$\\
\\
$\textbf{Seite 11}$\\
\\
Vermutung: Zwei EWe $\alpha$, $\beta$ einer Matrix $A$ lassen sich genau dann
durch unit\"are \"Ahnlichkeitstransf. trennen, wenn der Wertevorrat von $A$ auf
der Vereinigung (Summe) $\mathfrak{H}_{\alpha} \cup \mathfrak{H}_{\beta}$ gleich der Vereinigg der
Wertevorr\"ate ist ($\mathfrak{H}_{\alpha} =$ Hauptraum zu $\alpha$).\\
\\
\\
\underline{Zur EW Theorie der zweireihigen Matrizen:}\\
Im Poincare'schen Halbraum ist $_{2}\mathfrak{W}_{A}$ die Vereinigung aller Kreisb\"ogen duch die
EWe $\alpha$, $\beta$, die mit der Gaussebene einen $\not< \quad \geq \nu_{A}$ bilden
($\nu_{A} =$ Normalit\"atswinkel). Ist $\alpha + \beta = 0$, so ist der Abstand
(maximale) $r_{A}$ von $_{2}\mathfrak{W}_{A}$ zu dem Ortskreis\\
$A =
\left( 
\begin{array}{ccc}
\alpha & 0 \\
\gamma & \beta \\
\end{array} \right)
\rightarrow r_{A} = 
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A$
\end{tabular} - |\alpha| = \frac{1}{2} \sqrt{|\beta - \alpha|^{2} + 2|\gamma|^{2} +
2\sqrt{|\gamma|^{4} + |\gamma|^{2} |\alpha - \beta|^{2}}} - \frac{|\alpha - \beta|}{2}$\\
$\rightarrow AA^{*} =
\left( 
\begin{array}{ccc}
\alpha \overline{\alpha} & \alpha \overline{\gamma} \\
\overline{\alpha} \gamma & \beta \overline{\beta} + \gamma \overline{\gamma} 
\end{array} \right)$, $ A^{*}A = 
\left( 
\begin{array}{ccc}
\alpha \overline{\alpha} + \gamma \overline{\gamma}  & \beta \overline{\gamma} \\
\overline{\beta }\gamma & \beta \overline{\beta} 
\end{array} \right)$\\
$[A] = (AA^{*} -  A^{*}A ) = 
\left( 
\begin{array}{ccc}
-\gamma \overline{\gamma} & (\alpha - \beta) \overline{\gamma} \\
\overline{|\alpha - \beta|} \gamma & \gamma \overline{\gamma}
\end{array} \right)$\\
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$[A]$
\end{tabular} 
= $ EWe$\, [A] = \pm |\gamma| \sqrt{|\gamma|^{2} + |\alpha - \beta|^{2}} =
F_{A}\quad \vartheta^{2}_{[A]} = 2|\gamma|^{2} (|\gamma|^{2} + |\alpha -
\beta|^{2})$\\
Geometrische Bedeutung von $F_{A}$:\\
$\frac{\pi}{4}\enspace F_{A} =$ Fl\"acheninhalt von $_{2}\mathfrak{V}_{A}$\\
$A = 
\left( 
\begin{array}{ccc}
\alpha & 0 \\
\gamma &  \beta
\end{array} \right)
\rightarrow |\gamma| = \min\limits_{f}
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A^{*} - f(A)$
\end{tabular}$\\
\\
$\textbf{Seite 12}$\\
\\
\underline{Zu $_{3}\mathfrak{W}_{A}$:}\\
Dass $_{3}\mathfrak{W}_{A}$ konvex ist, stimmt f\"ur $n = 2$ noch nicht; dort
\nl konvexe Fl\"ache.\\
\underline{Frage:} Ist der "'Wertevorrat auf einem linearen Teilraum $\mathfrak{I}$"' der
Dimension $\geq$ 3 stets konvex ? Ist $r_{A_{B}} \leq \max\,(r_{A},\,r_{B})$ ?\\
\underline{Gestalt:} $_{3}\mathfrak{W}_{A}$ ist nie eine schlanke hohe
S\"aule: $A = G + i\,M \rightarrow 
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A$
\end{tabular} \leq
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$G$
\end{tabular} +
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$H$
\end{tabular}$;
insbesondere ist die H\"ohe von $_{3}\mathfrak{W}_{A}$ im Poincare'raum $h$ $\leq
\frac{a + h}{2}$, wobei $a$, $h$ die Breite von $_{3}\mathfrak{W}_{A}$ in irgendzwei zueinander
senkrechten Richtungen bedeutet. Bew: Schiebe Mitte des Rechtecks nach 0.\\
Andererseits ist $h \geq   \frac{a + h}{4}$. Denn schiebt man den h\"ochsten
Pkt von $_{3}\mathfrak{W}_{A}$ \"uber 0, so wird $_{3}\mathfrak{W}_{A}$ 
dort von der Halbkugel nun 0 ber\"uhrt, liegt aber wegen Kreiskonvexit\"at ganz
unterhalb der Halbkugel, dh. dann ist 
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A$
\end{tabular} \leq h \quad$ [NB: Also $h = \min\limits_{\lambda} \,
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A - \lambda$
\end{tabular}$.] folglich wenn $A = G + iH$: 
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$G$
\end{tabular}$, 
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$H$
\end{tabular} \leq h,\\ a$, $b \leq 2h$; $a + b \leq 4h$\\
Es ist also sogar sch\"arfer 
$$\frac{a}{2},\,\frac{b}{2} \leq h \leq \frac{a + b}{2}$$
$_{2}\mathfrak{W}_{A}$ passt ganz in einen Kreis vom Radius $h$ um $\lambda_{0}$
mit 
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A - \lambda_{0}$
\end{tabular} =
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$\min \quad A - \lambda$
\end{tabular} = h =$ H\"ohe $_{3}\mathfrak{W}_{A}$\\
Da Schnitt von $_{3}\mathfrak{W}_{A}$ mit einer Ebene, die der Gaussebene
infinitesimal benachbart ist, zeigt Kreise; denn es ist invariant gegen \"Ahnlichkeitstransf., so weit im EW
Ber\"uhrg stattfindet; dh die
\\
$\textbf{Seite 13}$\\
\\
EWe sind Nabelpkte (oder Spitzen von Kreiskegeln) f\"ur $_{3}\mathfrak{W}_{A}$.
F\"ur $A = [n,\,n] =$ Matrix
$\left( 
\begin{array}{cccc}
0&&&\\
1&0&&\\
&1&0&\\
&&1&\ddots
\end{array} \right)$ ist $_{3}\mathfrak{W}_{A}$ rotationssymmetrisch und
ber\"uhrt (mindestens) von der Ordnung $n - 1$ die Gaussebene im Meridianschnitt:\\
$\mathfrak{x} = 
\left( 
\begin{array}{cccc}
t^{n - 1}\\
t^{n - 2}\\
\vdots\\
1
\end{array} \right) \rightarrow
A\,\mathfrak{x} = t\, \mathfrak{x} - 
\left( 
\begin{array}{cccc}
t^{n}\\
0\\
\vdots\\
0
\end{array} \right)$ \underline{NB:} Geben diese $\mathfrak{x}$ gerade die
Meridiank. ? Jeder Randpkt $R$ von $_{3}\mathfrak{W}_{A}$ entsteht i.A. nur
aus einem Vektor $\mathfrak{x}$ (bis auf const-$\mathfrak{x}$); denn schneidet die Normale auf
$_{3}\mathfrak{W}_{A}$ in $R$ die Gaussebene in $\lambda_{1}$, so muss
$\mathfrak{x}$ EV von $(A - \lambda_{1})^{*}(A - \lambda_{1})$ sein zum 
$\left\{ 
\begin{array}{ll}
$od kleinsten$ \\
$gr\"ossten EW.$
\end{array} \right.$\\
Hat $_{3}\mathfrak{W}_{A}$ eine "'Kante"', dh. gibt es in einem Pkt $(\not=$ EW)
zwei ber\"uhrende Ebenen, so ist der zugeh. Vektor $\mathfrak{x}$ EV zu $(A -
\lambda)^{*}(A - \lambda)$ f\"ur eine ganze Strecke in der Gaussebene, \\
oBdA f\"ur $0 \leq \lambda \leq 1$: $\mathfrak{x}$ EV zu $A^{*}A$, $A^{*} + A$.
Dann\\
$A^{*}A\, \mathfrak{x} = p\,\mathfrak{x}$, $(A^{*} + A)\,\mathfrak{x} =
q\,\mathfrak{x}$. $\qquad oBdA\enspace q = 0$\\
$(A^{*^{2}} - q\,A^{*}  + p ) \,\mathfrak{x} = 0$\\
a) $\mathfrak{x}$ EV $A$, $A^{*}$: geht nicht da $R \not=$ EW\\
b) $p \not= q^{2} / 4$: 
\begin{quote}
$\mathfrak{x} = \mathfrak{x}_{1} +
\mathfrak{x}_{2}$, wo $\mathfrak{x}_{1}$, $\mathfrak{x}_{2}$ EV von $A^{*}$ zu
versch EW.\\
$\mathfrak{x}$, $A^{*}\,\mathfrak{x} \in \{\mathfrak{x}_{1},\,\mathfrak{x}_{2}\}
= \mathfrak{X}$; $A\,\mathfrak{x} \in \mathfrak{X}$.\\
$\mathfrak{x}_{i} \in \{A^{*}\mathfrak{x},\, \mathfrak{x}\} =
\{A\,\mathfrak{x}_{1}\,\mathfrak{x}\}$; $\mathfrak{X} = \{A\,\mathfrak{x}_{1}\,
\mathfrak{x}\}$, also kann man
\end{quote}
von $A$,$A^{*}$ ein Zweierk\"astchen unit\"ar
abspalten, gibt mit Matrixvergleich: $A$ dort normal auf $\mathfrak{X}$.\\
c) $p = q^{2} / 4$: $\quad oBdA\enspace p = q = 0$
\begin{quote}
$A^{*}A \mathfrak{x} = 0 \quad A \mathfrak{x} = 0 \quad R$ EW geht nicht.\\
\end{quote}
Also nur b) m\"oglich: Kante $\rightarrow$ zwei versch. EW sind (einfach)
unit\"ar abspaltbar, Kante = ihre Verbdgsgerade.
\\
$\textbf{Seite 14}$\\
\\
Die Vekt. $\mathfrak{x}$  welche Rdpkte von $_{3}\mathfrak{W}_{A}$ liefern,
sind genau die EV zu den Gr\"ossten u. kleinsten EWen aller $(A -
\lambda)^{*}\,(A - \lambda)$. Der zugeh\"or. EW selbst ist das Quadrat der
Normalenl\"ange auf $_{3}\mathfrak{W}_{A}$.\\
\\
Eine analytische Theorie der Dreiecksmatrizen auch f\"ur $n = \infty$ ergibt
sich so: Ist $A = (a_{k\,\lambda})$, $Z = 
\left( 
\begin{array}{cccccc}
1&&&&&\\
&z&&&&\\
&&z^{n}&&&\\
&&&\ddots&&\\
&&&&z^{n-1}&\\
&&&&&\ddots
\end{array} \right)$, so ist $B = Z^{-1}\,A\,Z = B(z)$ eine analytische Funktion
von $z$, und die Streifenmatrizen 
$\left[ 
\begin{array}{cccccc}
0&&&&\\
&0&&&\\
a_{k,\,1}&&\ddots&&\\
&a_{k + 1,\,2}&&\ddots&\\
&&\ddots&&\ddots\\
\end{array} \right]$, 
sind die Koeff ihrer
Laurent-(Potenzreihen)entwicklung. Ist $|z| = 1$, so $z$ unit\"ar, also 
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$B$
\end{tabular} =
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A$
\end{tabular}$ konstant. Hieraus folgt z.B., da\ss $ $ es eine Konstante $C$ gibt, so da\ss 
$\,\,\begin{tabular}{|c|}
\hline
$M$
\end{tabular}\enspace \leq \enspace C \cdot\,
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A$
\end{tabular}$, wenn $M$ aus endlich vielen Streifen von $A$, sonst 0 besteht.
Ferner gilt f\"ur \underline{Dreiecksmatrizen} $A$ festen Grades $n$: 
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A$
\end{tabular} \leq c_{n} \cdot\, 
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A + A^{*}$
\end{tabular}$ denn $A = \frac{1}{2\pi\,i}\,\int\, (1+ z + \cdots + z^{n - 1})\,
B(z)\,dz$; $c_{n} = |z| = 1 \,\int\,|1 + \cdots + z^{n-1}|(dz)$\\
$[:h]$ trivial ist $c_{pq} \leq c_{p} + c_{q}$ \qquad \qquad
Frage: $c_{n} \leq C$ ?! $[:h]$\\
$c_{n} \simeq$ const. $\log$ $n$:\\
Ferner ist (unabhgig von $n$)$\quad 
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$(\frac{a_{ik}}{1 + |i - k|})$
\end{tabular} \leq \,$const$\, 
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$(a_{in})$
\end{tabular}$ f\"ur bel. Mat.\\
$[:h]$ vgl Schur, Bildgbeschrkter Formen ?! $[:h]$\\
Fej$\acute{e}$rs Kern zeigt: F\"ur beliebige Matrizen ist\\ 
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$(a_{ik}\,(1 - \frac{|i-k|}{n})_{+})$
\end{tabular} \leq
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$(a_{ik})$
\end{tabular} \cdot\, const$,\\
$x_{+} = 
\begin{array}{cc}
x\enspace x > 0\\
0\enspace x < 0
\end{array}$\\
const. unabh. von $n$\\
$[:h]$ Maximumsprinzip Schwarzsches Lemma  Drei\nl Satz $[:h]$\\
\\
$\textbf{Seite 15}$\\
\\
\underline{Frage:}\\
Gibt es zu jedem $\varepsilon > 0$ eine nilpotente Matrix $A$ mit 
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A$
\end{tabular} = 1$, 
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A + A^{*}$
\end{tabular} < \varepsilon ~$? $\min\limits_{
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A$
\end{tabular}\, = 1}\, 
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A + A^{*}$
\end{tabular}$ f\"ur $n = 3$ bestimmen !\\
Satz:
\begin{quote}
Ist f\"ur $|\mathfrak{x}| = 1$ stets $|\mathfrak{x}^{*}\,A\,\mathfrak{x}| \leq
a$, so ist 
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A^{p}$
\end{tabular} \leq 4p\,a^{p}\quad (p = $1, 2,...) .\\
Bew: $A^{p} = \frac{1}{2\pi\,i}\,\il{|z| = b}\, \frac{z^{p}}{z - A}\, dz$, $b = (1
+ \frac{1}{p})\,a$\\
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$(z - A)^{-1}$ 
\end{tabular} \leq \frac{1}{b - a} = (\frac{a}{p})^{-1} \rightarrow 
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A^{p}$ 
\end{tabular} \leq \frac{1}{2\pi}\, b^{p}\,\frac{2\pi\,b\,p}{a}$\\
$(1 + \frac{1}{p})^{p + 1} \leq 4$
\end{quote}
Satz:
\begin{quote}
Ist $A$ $\underline{\gg}\, 0$ hermitesche Matrix, $A$ reell, und ist f\"ur $p > 0$
$E_{ik} = 
\left( 
\begin{array}{cccc}
0 &\cdots 0&1\\
0&&\vdots\\
1&\cdots& \cdot
\end{array} \right)$
stets
$A + pE_{ik}\enspace \underline{\not\gg} \,0$, so ist $A =
\left( 
\begin{array}{cccc}
A_{1}&&\\
&A_{1}&\\
&&\ddots
\end{array} \right)$ mit $A_{i} > 0$, $Rg\,A_{i} = 1$. Bew mit Zerlegg $A = B^{*}B$, $B\,|\,U\,B$, $U$ zweireihig unit\"ar $(b_{ik}) = B$ durch $C = (|b_{ik}|)$ ersetzen darf die $a_{ik}$ nicht vergr\"ossern.\\
\\
Ist $a_{ik} \geq 0$, so 
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A$ 
\end{tabular} \leq 
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A + A^{*}$ 
\end{tabular}$
\end{quote}
Frage: Um welchen Faktor kann der Betrag einer hermiteschen Matrix wachsen, wenn
man von $a_{ik}$ zu $|a_{ik}|$ \"ubergeht ?\\
Frage: F\"ur welche hermitesche Matrix $A = (a_{ik})$ mit $|a_{ik}| = 1$\\
$(i,k = 1,\dots,n)$ ist 
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A$ 
\end{tabular} = \min$ ?\\
\begin{flushright}
$[:h]$ Antwort S.17 $[:h]$\\
daraus das Entsprechende f\"ur $A \,\,\underline{\gg}\,\, 0$
\end{flushright}
$\textbf{Seite 16}$
\\
Aus $[A] = A\,A^{*} - A^{*}\,A$  scheinen sich keine f\"ur die
Einschliessungstheorie geeigneten Schiefemasse ableiten zu lassen. Denn f\"ur \\
$$A
=
\left( 
\begin{array}{ccccccccccc}
0&&&&&&&&&&\\
1&0&&&&&&&&&\\
&&0&&&&&&&&\\
&&1&0&&&&&&&\\
&&&&0&&&&&&\\
&&&&1&0&&&&&\\
&&&&&&0&&&\\
&&&&&&1&0&&&\\
&&&&&&&&\ddots &&\\
&&&&&&&&&0&\\
&&&&&&&&&1&0
\end{array} \right),$$
$$B = \left( 
\begin{tabular}{cc|ccccccccccc}
$0$&&&&&&&&&&\\
$1$&$0$&&&&&&&&&\\
\hline
&&$0$&&&&&&&&\\
&&$1$&$0$&&&&&&&\\
&&&$\sqrt{2}$&$0$&&&&&&\\
&&&&$\sqrt{3}$&$\ddots$&&&&&\\
&&&&&$\ddots$&$0$&&&\\
&&&&&&$\sqrt{k}$&$0$&&&\\
&&&&&&&$\sqrt{k-1}$&$0$&&\\
&&&&&&&&&$\ddots$&\\
&&&&&&&&&&$0$&\\
&&&&&&&&&&$1$&$0$
\end{tabular} \right)$$ 
 $$\textnormal{ist}\enspace[A] = 
\left( 
\begin{tabular}{cc|cc|ccc|cc}
$-1$&&&&&&&&\\
&$1$&&&&&&&\\
\hline
&&$-1$&&&&&&\\
&&&$1$&&&&&\\
\hline
&&&&$-1$&&&&\\
&&&&&$1$&&&\\
&&&&&&$\ddots$&&\\
\hline
&&&&&&&$-1$&\\
&&&&&&&&$1$
\end{tabular} \right) = C,$$
$$[B] = 
\left( 
\begin{tabular}{cc|cccc|cccccc}
$-1$&&&&&&&&&&\\
&$1$&&&&&&&&&\\
\hline
&&$-1$&&&&&&&&\\
&&&$-1$&&&&&&&\\
&&&&$\ddots$&&&&&&\\
&&&&&$-1$&&&&&\\
\hline
&&&&&&$1$&&&&\\
&&&&&&&$1$&&&\\
&&&&&&&&$\ddots$&&\\
&&&&&&&&&$1$&
\end{tabular} \right)$$
also $[B]$ unit\"ar \"ahnlich zu $[A]$, obwohl f\"ur $k\rightarrow \infty$ $B$
wesentlich "'schiefer"' ist, da 
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A$
\end{tabular} = 1$, 
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$B$
\end{tabular} = 
\sqrt{k}$, und der Wertevorrat $_{3}\mathfrak{W}_{B} \supset\,
_{3}\mathfrak{W}_{A}$ als kleinen echten Teil enth\"alt.\\
\\
$[:h]$ hieraus d\"urfte folgen: Zu jeder Menge $\{\lambda_{i}\}$ und jedem
Momentenpkt $M$ gibt es $A$ mit Spektrum geometr. $\subseteq \{\lambda_{i}\}$
und vertr. mit $M$ und $[A] = C$. Denn $\mathfrak{W}_{B}$ enth\"alt $\mathfrak{W}${\scriptsize{$_{
\left( 
\begin{array}{ccccccccccc}
0 & 0\\
\sqrt{k} & 0
\end{array} \right)}$}}.
Aber wenn man $\rm{Sp}\,[A]^{2}$ oder $\rm{Rang}\,[A]$
beschr\"ankt ? $[:h]$\\
$\cap_{B \textnormal{ \"ahnlich } A} \enspace _{3}\mathfrak{W}_{B} =  _{3}\mathfrak{K}_{A}$ ist die konvexe
H\"ulle des Spektrums von $A$\\
Ist $D$ eine zu $A$ \"ahnliche normale Matrix, so ist \\
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A - \lambda$
\end{tabular} - 
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$D - \lambda$
\end{tabular} \leq r_{A} \qquad ( =$ Abstd $
\overline{\mathfrak{W}_{A}\,\mathfrak{K}_{A}})$\\
\\
$\underline{
\begin{tabular}{|c|}
$D - \lambda$
\end{tabular}} - 
\underline{
\begin{tabular}{|c|}
$A - \lambda$
\end{tabular}} 
 = r_{A}$,\\
und f\"ur ein $\lambda$ steht in einer der bei den Ungl. $=$.
\\
$\textbf{Seite 17}$\\
\\
F\"ur jedes $n$ w\"achst der Betrag einer hermiteschen Matrix $A = (a_{ik})$ bei
\"Ubergang zu $A_{+} = (|a_{ik}|)$ h\"ochstens um den Faktor $\sqrt{n}$; die
Schranke ist scharf f\"ur $n = 2^{\rho}$.\\
\begin{quote}
Bew: (a) $\vartheta^{2}\,A_{+} = \vartheta^{2}\,A \qquad |\alpha_{+}|^{2}_{\max}
\leq \sum |a|^{2} \leq n\,|d|^{2}_{\max}$\\
b) setze $A_{1} = 
\left( 
\begin{array}{cccccccccccc}
1 & 1\\
1 & -1
\end{array} \right)$;
$ \mathfrak{F} = 
\left( 
\begin{array}{cccccccccccc}
D & E\\
+E & 0
\end{array} \right)$, 
$A_{\rho + 1} = 
\left( 
\begin{array}{cccccccccccc}
A_{\rho} & \mathfrak{F}\,A_{\rho}\\
A_{\rho}\,\mathfrak{F} & -\mathfrak{F}\,A_{\rho}\,I
\end{array} \right)$\\
dann ist $A_{\rho}^{2} = n\,E \quad (n = 2^{\rho})$, also $|\alpha_{\rho}|_{\max}
= \sqrt{n}$; $|\alpha_{+ \rho}|_{\max} = n$\\
b) kurzer: $A_{\rho} = A_{1} \times A_{\rho -1}$\\
\end{quote}
Ist $A$ nilpotent, $Gr$ $A = n$, so ist
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A$
\end{tabular} \leq 2 \frac{\log \,n}{\log \,2} \cdot\, 
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A + A^{*}$
\end{tabular}$ \\
Bew mit Ausschneiden der linken unteren Ecken, wenn der Teil von $A + A^{*}$ unterhalb der
Diagonale $= A$ ist.\\
\\
\\
Vergleich von 
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A$
\end{tabular}$ mit  
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$D$
\end{tabular}$, wo $A = A^{*}$, $D$ der Teil unter der Diagonale. Sei 
$\left\{ 
\begin{array}{ll}
c_{n} \quad (n = 2,\,3, \cdots)\\
c_{n}^{+}
\end{array} \right.$ definiert als kleinste Zahl, f\"ur die
\begin{quote} 
$\begin{tabular}{|c|}
\hline
$D$
\end{tabular} \leq c_{n}\,A$ f\"ur alle $n$-reihigen hermit. $A$\\
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$D$
\end{tabular} $\leq c_{n}^{+}A \textnormal{ f\"ur alle }n\textnormal{-reihigen hermit. } A\,\, \underline{\gg}\,\, 0 \quad\qquad $  
\end{quote}
Dann ist $c_{n} = 2\,c_{n}^{+}$\\
Ist $c_{n}^{+}(A) \leq \gamma_{n}$ f\"ur alle $A$ mit $A^{2} = A$, so $c_{n}^{+}
\leq \gamma$ allgemein.\\
\\
$\textbf{Seite 18}$\\
\\
Aus der trivialen Relation 
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$D$
\end{tabular} $\leq \vartheta_{D}$ kriegt man so, $c_{8}^{+} \leq 1 \quad c_{8}
\leq 2$; $c_{2} = 1$ ferner durch Berechnung von Sp$\, A^{4}$: $c_{3} \leq
\enspace ^{4}\sqrt{\frac{3}{2}}$\\
Allgemein ist ($c_{pq} \leq c_{p} + c_{q}$ ?!) $c_{2^{n}} \leq n$\\
F\"ur $A =
\left( 
\begin{array}{cccccccccccc}
0 & a & 0 & -b\\
a & 0 & b & 0\\
0 & b & 0 & a\\
-b & 0 & a & 0
\end{array} \right)$ ist, wenn $a^{2} + d^{2} = 1$\quad $A^{2} = E$, also 
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A$
\end{tabular} $= 1$, jedoch ist 
 \begin{tabular}{|c|}
\hline
$D$
\end{tabular}$^{2} = \delta$ die gr\"osste Wurzel von $\delta(\delta - 1)^{2} =
a^{4}\,d^{2}$; maximal wird hierin $\delta$ f\"ur $a^{2} = \frac{2}{3}$, $d^{2}
= \frac{1}{3}$: hier 
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$D$
\end{tabular}$^{2} = \frac{4}{3}$.\\
Also ist $c_{4} \geq \sqrt{\frac{4}{3}}$.\\
$[:h$]Frage: Kann man etwa durch Bildung Kroneckerscher Produkte beweisen $c_{p\,q} =
c_{p} + c_{q}$ ?$[:h]$ \\
\\
Frage: F\"ur welche Faktorenfolgen: $\cdots\,
p_{-k},\cdots$, $p_{0}$, $p_{1},\cdots$ gibt
es eine Konstante $c$ so dass f\"ur Matrizen jeden Grades
$$  \begin{tabular}{|c|}
\hline
$(a_{ik} \enspace p_{(i-k)})$
\end{tabular} \leq c \cdot\, 
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$(a_{ik})$
\end{tabular}\quad ?$$
Vermutlich ist $p_{n} = \frac{1}{1 + |n|}$ zul\"assig. $[:h]$ Schur ? $[:h]$
\\
$\textbf{Seite 19}$\\
\\
Frage: Gegeben sei $_{3}\mathfrak{W}_{A}$, $_{3}\mathfrak{W}_{B}$, $f(A,\,B)$.
Kann man $\bigcup\limits_{U^{*}\,U^{2} = E}\enspace
_{3}\mathfrak{W}_{f(A,\,U^{-1}B\,U)}$ bestimmen ?\\
z.B. $_{3}\mathfrak{W}_{A + B}$, $_{3}\mathfrak{W}_{A\,B}$ eingrenzen durch
$_{3}\mathfrak{W}_{A}$, $_{3}\mathfrak{W}_{B}$.\\
\\
\\
Frage: Kann man Gegenbeispiele gegen die Vermutung \\
$$ \begin{tabular}{|c|}
\hline
$D$
\end{tabular} \leq \mathfrak{x} \cdot\,
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A$
\end{tabular} \qquad \qquad (A = 
\left( 
\begin{array}{cccc}
& \cdots & \cdots\\
\ddots & &\\
 & \ddots & \vdots \\
D & & \vdots 
\end{array} \right)$$ 
gewinnen durch Betrachtung von $|f(z)|$, $|Re\, f(z)|$
f\"ur $f(z) = a_{0} + \cdots + a_{n}z^{n}$, $|z| = 1$ ?\\
\\
Frage: Was bedeutet  $_{3}\mathfrak{W}_{A} \subset _{3}\mathfrak{W}_{B}$ f\"ur die
unit\"ar unzerf\"allbaren Bestandteile von $A$ und $B$ ? Was
$_{3}\mathfrak{W}_{A} \subset \enspace  _{3}\mathfrak{W}_{B} + \enspace
_{3}\mathfrak{W}_{C} \qquad (+ =$ konvexe H\"ulle der Vereinigung).\\
Wann ist $ _{3}\mathfrak{W}_{A}(L) \subset \enspace _{3}\mathfrak{W}_{B}(L)$ f\"ur jeden
linearen Teilraum $L$ von $R_{n}$ ? Ist $_{3}\mathfrak{W}_{A}(L)$ konvex ?\\
\\
$\textbf{Seite 20}$\\
\\
Der Modul eines Ringgebiets\\
ist definiert als $\log \frac{\rho_{2}}{\rho_{1}}$, wobei $\rho_{1} < |z| <
\rho_{2}$ der konforme Kreisring ist. Es gibt einen \nl satz von Teichm\"uller.\\
Ansehen:\\
1) Atkinson nannte von Arbeiten von Gohberg $k\,(x\,A + x\,B + C)\, \mathfrak{Y} = 0$\\
2) J v Neumann, Allgemeine Spektraltheorie Math. Nachr. 4, 258-281\\
3) Schur, Crelle 140, 1-28\\
\\
Hat Herglotz den Satz \"uber $\Delta u = 0$, $u \geq 0$, $u \rightarrow 0$ radial
?\\
\\
Verallgemeinerung der Hauptidealsatzes: Terada-Tanneka Zbl 41, 172\\
\\
Friedrichs: Criteria for discrete spectra Zbl 41, 210\\
Commune pure appl math \underline{3} 439 - 449 (1950)\\
\\
Nakaur, Modern spectral theory Zbl 41, 234\\
Kerim Eyin, \"Uber Stieltjes Integral Congres I, 379\\
Rellich St\"orungstheorie 606-613, Congr. I\\
Hamburger Entwicklungssatz Congr I 454\\
\\
$\textbf{Seite 21}$\\
\\  
Zur allg. Idealtheorie:\\
Es ist gleichg\"ultig, ob man das Element $r$ eines bel. Rings ganzabh\"angig
von der Menge $\mathfrak{M} \subseteq \mathfrak{R}$ dann nennt, wenn 
$$(1)\qquad \alpha^{k} + p_{1}\alpha^{k-1} + p_{2}\alpha^{k-2} + \cdots + p_{k} =
0$$\mit $p_{k} = $ homogene Produktsumme des Grades $k$ in den $m_{\nu}$,\\
(2) oder wenn es eine Matrix $A$ mit Elementen aus $\mathfrak{M} \cup 0$ gibt
mit $det\,(a\,E - M) = 0$. Denn aus (1) folgt die Exist. so eines $A$ verm\"oge
$\alpha\,\mathfrak{x} = A\,\mathfrak{x}$, $\mathfrak{x} =$ alle Potenzprodukte
der Dimension $k-1$ in den Variablen $m_{1},\dots,m_{k}$ (die in den $p_{\nu}$
auftreten) \underline{und} in $\alpha$. Ob es auch eine Matrix $A$ gibt, in der
\underline{nur} Elemente aus $\mathfrak{M}$ auftreten, keine 0, weiss ich
nicht.\\
Wende !\\
\\
\\
Ein Determinantensatz: Sind $A$, $B$, $C$, $D$ quadratische Matrizen von den
Graden $a$, $b$, $c$, $d$) und ist $E_{n}$ die Einheitsmatrix des Grades $n$, so
hat
$$
\left( 
\begin{array}{cc}
A  \times E_{b} \times  E_{C} \times  E_{d} & E_{a} \times  B \times E_{C} \times  E_{D}\\
E_{a} \times  E_{b} \times  C \times  E_{d} & E_{a} \times  E_{b} \times  E_{C} \times  D
\end{array} \right)$$
genau die EWe von 
$\left( 
\begin{array}{cccccccccccc}
\alpha & \beta\\
\gamma & \delta
\end{array} \right)$, wobei $\alpha$ die EWe von $A$ durchl\"auft, usw.
Entsprechend f\"ur $k^{2}$ statt 4 Matrizen.
\\
$\textbf{Seite 22}$\\
\\ 
$$\textnormal{Determinanten}\qquad\qquad \qquad [:h]\textnormal{schon bei Pr\"ufer ?}[:h]$$
Ganz-Abh\"angigkeit. \hfill Sei $\Re$ belieb. komm Ring:\\
$\overline{\mathfrak{M}}$ sei die
Menge der von $\mathfrak{M}$ ganzabh\"angigen Elem. von $\Re$\\
Ist $\mathfrak{M}$ Modul, multipl. abg., Ring, Ideal in $\Re$, so ist
$\overline{\mathfrak{W}}$  desgleichen. Bew mit Def der Elem v. $\mathfrak{W}$
als Eigenwerte von Matrizen. Genauer gilt (bei Mengen-Multiplikation u. Addition)\\
$\overline{\mathfrak{A}} + \overline{\mathfrak{B}} \leq \overline{\mathfrak{A} + \mathfrak{B}} \qquad
\overline{\mathfrak{A}} \enspace \overline{\mathfrak{B}}
\subseteq \overline{\mathfrak{A} \enspace \mathfrak{B}}$;
$\overline{\overline{\mathfrak{A}}} \equiv \overline{\mathfrak{A}}$\\
inbes. $\mathfrak{A}$.$\overline{\mathfrak{B}} \subseteq
\overline{\mathfrak{A}\,\mathfrak{B}}$, ist $\Re$ ganz. abgeschlossen in
$\mathfrak{R}$, so $\mathfrak{A}\,\overline{\mathfrak{B}} =
\overline{\mathfrak{A}\,\mathfrak{B}}$.\\
$[:h]$ s. Krull S.128 $[:h]$\\
Der Beweis beruht auf der Darstellung:\\
Ist $L\,N = N\,L$, so ist $|M \times E + E \times N| = \varphi \cdot\, |M| + \psi \cdot\, |N|$ mit $\varphi,\,\psi$ Polynom \nl mit ganzen rat. Koeffiz.\\
Dies folgt aus\\
\textbf{$\cdot$}$\qquad |-M \times E + E \times N| = 
\left| 
\begin{array}{cc}
-m_{11}L + N & -m_{12}L\\
-m_{21}L & N - m_{22}L
\end{array}\right|
 = |\sum \pm c_{11}\,c_{21}
\cdot\cdot|$
\begin{flushright}
$= \left| 
\begin{array}{cccccccccccc}
c_{11} & \cdot\cdot\\
\cdot\cdot & c_{nn}
\end{array} \right| = \mu\, (N,\,L)$, $\mu(X)\, \mathfrak{y} = |X\,E - M|\,\mathfrak{y}^{*}$
\end{flushright}
also $\quad = |N^{k} + \dots \pm E \cdot\, |M|\,\,| = |N\,L + E\,|M|\,\,| = |N|
\cdot\, |L| + |M| \cdot\, \psi$\\
Hiermit schliesst man dann z.B. f\"ur $\overline{\mathfrak{A}} +
\overline{\mathfrak{B}} \subseteq
\overline{\mathfrak{A} + \mathfrak{B}}$ so:\\
Ist $|\alpha\,E - A| = |\beta\,E - B| = 0$ so \\
$|\alpha\,\beta\,E - A \times B| = |E$ $\times$ $(\beta\,E - B)\,\alpha + (\alpha\,E - A)$ $\times$ $B| = 0\,\varphi +
0\,\psi$\\
$^{*}\mu(x,\,y) = |x\,E - M\,y| = x^{m} +\dots + c\,x\,y^{m-1} \pm |M| \cdot\,
y^{m} = x(\dots) \pm |M|\,y^{n}$\\
$\mu(N,\,L) = |N \cdot\,F \pm |M| \cdot\,L^{m}| = |M|
\cdot\, \psi + |N| \cdot\, \varphi$\\
Allgemeiner: 
$\underbrace{A \vee C,\, B \vee D}_{\textnormal{Muss auch ohne gelten}: A\,x = D\,y = 0 \rightarrow (A \times B + C \times D)\,(x \times y) = 0}\\
 \rightarrow |A$ $\times$ $B + C \times D| = |A|\,\varphi
+ |D|\,\psi \qquad $ ?\\
\\
$\textbf{Seite 23}$\\
\\
\underline{Zur Determinantentheorie}
Ist $A = (a_{k\,\lambda}$ eine $k-l-$Matrix mit frei variablen Elementen und $f(A)$
ein Polynom in den $a_{k\,\lambda}$ mit Koeff aus einem Modul $\mathfrak{M}$
(\"uber dem die $a_{k\,\lambda}$ noch freie Var. sind) derart dass f\"ur $A = \mathfrak{B}\,\mathfrak{L}$ mit $\mathfrak{B} = (k,\, k - 1)$, $\mathfrak{L} =
(k - 1,\,l)$ (frei variabel alles) $f(A) \equiv 0$ ist, so ist $f = \sum\,|A_{\rho}|
\cdot\,g_{\rho} (A)$, wobei $|A_{\rho}|$ die $k$-reihigen Unterdet
von $A$ durchl\"auft und $g_{\rho}$ wieder Koeff aus $\mathfrak{M}$ hat.\\
Bew: a) $f(t\,\sigma_{1}\,\sigma_{2}\cdots\sigma_{l})$ zeigt, dass man nur $f$'s zu betrachten braucht, die in jeder
Spalte homogen sind\\
b) wenn $f$ linear in jeder Spalte, Induktion nach Spaltenzahl: Schaffe $a_{11}$ weg
verm\"oge $a_{11}\,|A_{1}| \equiv \sum a_{i1}\,|A_{i}| \pm 1)$, und $\vartheta$, wo $\vartheta = (|A_{1}|,\cdots,|A_{p}|\cdots)$ in $\mathfrak{R}([A])$. Dann ist $f^{*}$ von $u_{n}$ unabh,
daher $f^{*} = \sl{2}{k}\,a_{k1}\,f_{k}$, und die $f_{k}$ haben inbezug auf \\
$= \left( 
\begin{array}{ccc}
a_{12} \cdots\, a_{l}\\
\cdot\\
a_{k2} \cdots\, a_{kl}
\end{array} \right)$ dieselbe Eigenschaft.\\
c) wenn der Maximalgrad von $f$ bez\"uglich einer Spalte $= m$ ist, so ist der
von\\
$g(A\,B) = f(A + t\,B) - f(A) - f(t\,B)$\\
$< m$: Induktion. Daraus $f((1 + t)\,A) \in \mathfrak{M}\,\vartheta$.\\
Ist $Gr\,f = \gamma$
insgesamt; so folgt $(1 + t)^{\gamma}\,f(A) \in \mathfrak{M}\,\vartheta$\\
ist $d(\gamma)
=\left( 
\begin{array}{ccc}
\left( 
\begin{array}{ccc}
\gamma\\
1
\end{array} \right),\dots,
\left( 
\begin{array}{ccc}
\gamma\\
\gamma^{-1}
\end{array} \right)
\end{array} \right)$, so
$\qquad d(\gamma) \cdot\,f(A) \in \mathfrak{M}\,\vartheta$\\
f\"ur $\gamma = q\,p,\,p$ Primpkt, ist $d(\gamma) = 1$. F\"ur $\gamma < q_{p}$ nimm $a_{1\,k + 1} \cdots a_{1\,N}\,f = f^{*}$
\\
$\textbf{Seite 24}$\\
\\
Ist $\mathfrak{G}$ der Modul der ganzen Zahlen, so erzeugen die $k$-reihigen
Unterdet einer allgemeinen Matrix $(a_{k\,\lambda}) = A$ ein Primideal von
$\mathfrak{G}\,[A] = \mathfrak{R}.\qquad$\\
Bew: 23.\\
Sind Elemente von $\mathfrak{M}$ lin ab bezgl $\mathfrak{R}$, so bez\"ugl
$\mathfrak{M}$. Daher ist der obige Satz \underline{\"aquivalent} mit 23.\\
\\
\\
\\
\"Uber den g.g.T.:\\
Ist f\"ur $f = a_{0}x^{n} + \cdots + a_{n}$, $g = b_{0}x^{k} + \cdots + b_{k}$ der
g.g.T. $(f,\,g) = d$ linear, so ist\\
$n + k - 2
\left\{ 
\begin{array}{ll}
\left| 
\begin{array}{ccccccc}
a_{0}&&&&b_{0}&&\\
a_{1}&a_{0}&&&b_{1}&b_{0}&\\
\vdots &\vdots & \ddots &&\vdots &\vdots & b_{0}\\
a_{n}&&&&b_{k}&&\\
&a_{n}&\dots &&\vdots & b_{k}&\\
&&&&&\vdots &\ddots\\
fx^{k-2} & fx^{k-1} & \dots & f & gx^{n-1} & gx^{n-2} & g
\end{array} \right|
\end{array} \right. = \textnormal{const} \cdot d$\\
\begin{flushright}
\(\underbrace{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}_{k-1}\)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
\end{flushright} 
NB: Von der Resultante werden die 2 letzten Zeilen gestrichen, die drittletzte
durch $fx^{k-2}\dots$ ersetzt. Gestrichen wird ferner die letzte $a$-Spalte und
die letzte $b$-Spalte.
\\
$\textbf{Seite 25}$\\
\\
Frage \"uber Elementarteiler:\\
Folgt f\"ur die Determinanten ideale
$\mathfrak{A}_{4}\mathfrak{B}_{1}\,\mathfrak{B}_{2} \subseteq  
\mathfrak{A}_{2}\mathfrak{B}_{3}\,\mathfrak{L}_{3}$ u. dergl. aus $A = B\,C$ ?\\
\\
Aufgabe: Alle Normen im Raum der $(n,\,n)$-Matrizen suchen, f\"ur die bei
normalen $A$, $B \quad \|A \cdot B\| \geq \|A - B\|$ gilt, wobei $A$, $B$ die
zugeh\"or Diagonalmatrizen in geeigneter Anordnung.\\
\\
$[:h]$ Am 21.11.52 habe ich M.-G. K. gesagt, dass sie Theorie der "'Breite"'
weitgehend auf den Fall \"ubertragen werden kann, dass man eine nach Gr.
$\mathfrak{G}$ durch \"Ahnl. trans mit einer Untergr.  $ \mathfrak{U} \subseteq \mathfrak{G}$, oder sogar mit einer Automgr. $\mathfrak{A}$ von $G$, in Klassen einteilt."'Diese Idee sei ihm
noch nie gekommen."'$[:h]$\\
\\
Zur  "'Breite"' $\beta(\mathfrak{G})$ f\"ur $p$ Gruppen: $ \beta \,\phi\,(\mathfrak{G}) \leq
\beta(\mathfrak{G})$, sogar $\beta_{\phi\,(y)}(\mathfrak{G}) \leq \beta_{y}(\mathfrak{G})$. Denn
$\phi(\mathfrak{G})$ kann mit dem Normalisator eines Elements nicht die Untergr.
erzeugen.
\\
$\textbf{Seite 26}$\\
\\
Faktorisierbare Gruppen der Ordnung $2^{n}$.
Sei $\mathfrak{G} = \{A\}\,\{B\}$, $(\mathfrak{G}) = 2^{n}$, $(\mathfrak{G'}) =
8$, $\mathfrak{G'}$ nicht zyklisch. Sei $A^{2^{a}} = B^{2^{h}} = E$,
$A^{2^{a-1}} = A_{1} \in \mathfrak{G'}$, $A_{1}\, \lhd\, \mathfrak{G}$,
dh $A_{1} \in \mathfrak{Z}\,(\mathfrak{G})$. Behauptung: $\mathfrak{G'}$
Abelsch, $\mathfrak{G'}\,/\,\{A_{1}\}$ zyklisch, Typ $\mathfrak{G'} = (4,\,2)$\\
Bew. (a)
$\mathfrak{G'}\,/\,(\mathfrak{G},\,\mathfrak{G'})$ ist zyklisch, wird von 
$C = (A,\,B)$ erzeugt.\\
also gibt es in $\mathfrak{G'}$ genau eine Untergruppe $\mathfrak{R}$ der
Ord 4 mit $\mathfrak{R}\,\lhd\,\mathfrak{G}$.
\underline{Ann:} $\mathfrak{G'}\,/\,A_{1} \not= zykl.$\\
(b)
$\mho_{1}(\mathfrak{G}) = \{A^{2}\}\,\{B^{2}\}$ ist abelsch \"uber $\{A_{1}\}$
wegen $(\mathfrak{G'}\,/\,\{A_{1}\}) = 4$; daher enth\"alt $\mathfrak{G'}$ alle
Elemente von $\mathfrak{G}$ mit $X^{2} \in \{A_{1}\}$, insbesondere $A^{2^{a-2}}
= A_{2} \in \mathfrak{G'}$, $(\{A_{2}\}) = 4$.\\
b$_{1}$):
Ann $\mathfrak{G'}$ sei eine Diedergruppe. Dann $\{A_{2}\}\,\lhd\, \mathfrak{G}$,
$(B^{2},\,A_{2}) = E$, $A_{2} \in \mathfrak{Z}(\mho_{1}\, \mathfrak{G})$, $A_{2} \in
\mathfrak{Z}\,(\mathfrak{G'})$, Wid.\\
b$_{2}$):
Ann $\mathfrak{G'}$ Quaternionengruppe $B_{1} = B^{2^{b-1}} \in \mathfrak{G'}$, $B_{1} =
A_{1}$; $B_{2} = B^{2^{b-2}} \in \mathfrak{G'}$ (wie bei $A_{2}$). $B_{2} \notin
\{A_{2}\}$, da sonst $A_{2} \in \mathfrak{Z}\,(\mathfrak{G'}),\in
\mathfrak{Z}(\mathfrak{G'})$. Weder $\{A_{2}\}$ noch $\{B_{2}\}$ ist $\lhd\,
\mathfrak{G}$ (sonst etwa ($A_{2}$, $B^{2}$) = $E$, $A_{2} \in
\mathfrak{Z}\,(\mathfrak{G'})$). Also ist $\{C\} = \mathfrak{R} \lhd\, \mathfrak{G})$,
$\{C\} = \mathfrak{G'}$: Wid.\\
b$_{3}$):
$\mathfrak{G'}$ abelsch. Dann Typ $\mathfrak{G} = (4,\,2)$ nach b)$\qquad$ Dann
ist die Gr. der El. der Ord 2 von der Ord 4: also ist sie $\mathfrak{R}$, $\mathfrak{R}$ = Typ(2,\,2)\\
\\
$\textbf{Seite 27}$\\
\\
Also ist $\mathfrak{R}$ die einzige $\mathfrak{G}$ inv. Untergr der Ord 4 in $\mathfrak{G}$! $\{A_{2}\} \not= \mathfrak{R}$. $\{A_{2}\}$ bleibt bei $A$ fest, also nicht bei $B$; folglich
$B^{-1}\{A_{2}\}\,B = \{C\}$ (dies ist $\not=$ $\{A_{2}\}$ weil sonst $\{A\}$
$\lhd$ $\mathfrak{G}$, $\mathfrak{G'}$ zyklisch, $\mathfrak{G'}\,/\,\{A_{1}\}$
zykl.) Also $C = A^{B-1} = (A^{2\,m})^{B}$, $A  \in \{A\}^{B}$, $\{A\}$ $\lhd$
$\mathfrak{G}$, Wid. \\
Also die \underline{Ann} ist widerlegt: $\mathfrak{G'}\,/\,\{A_{1}\}$ ist
zyklisch, also $\mathfrak{G'}$ abelsch vom Typ $(4,\,2)$.\\
\underline{NB:} $\mathfrak{G'}$ enth\"alt 3 Elemente der Ord 2 aus
$\mathfrak{Z}(\mathfrak{G})$, wegen $A_{1j}\,\mho_{1}(\mathfrak{G'})$. \\
\underline{NB:} L\"asst man die Vor $A^{2^{a-1}} \in \mathfrak{G'}\, \cap \,
\mathfrak{Z}(\mathfrak{G})$ weg, so bleibt: $\mathfrak{G'}$ abelsch vom Typ
$(4,\,2)$, $(\mathfrak{G'}\,\cap\,\mathfrak{Z}(\mathfrak{G})) = 4$. Denn entweder
$A^{2^{a-1}}$ oder $B^{2^{h - 1}} \in \mathfrak{G'}\,\cap\,
\mathfrak{Z}(\mathfrak{G})$, sonst Induktion.\\
\\
Frage: Ist jede faktorisierbare Gr der Ord $2^{n}$ zweistufig $(\mathfrak{G}^{^{||}}\,E)$
?  Einige Teilresultate hat Huppert, Diss.\\
\\
\\
Der Satz von Huppert, wonach in $\mathfrak{G} = \{A_{1}\}\,\{A_{2}\}$, wenn
$\{P_{i}\}$ die  Ugr der Ort $p(= \max$ Primteiler von $(\mathfrak{G})$) in
$\{A_{i}\}$ ist, entweder $\{P_{1}\}$ $\lhd$ $\mathfrak{G}$ oder $\{P_{2}\}$
$\lhd$ $\mathfrak{G}$ ist, l\"asst sich leicht direkt durch Induktion nach
Faktorgruppen beweisen mit Hilfe meiner Bemerkg in 31, S.6, Mitte. (Ohne
Benutzg von Darstellungen oder irgendwelche Rechng: man achtet auf die Gruppen
in $R$, die von gewissen $X \in \mathfrak{G}$ festgelassen werden und betrachtet gewisse $Y$ $\vee$ $X$.)
\\
$\textbf{Seite 28}$\\
\\
EW-Einschliessung im hermiteschen Fall, $f$ Freiheitsgerade. Im Fall von $f$
Freihgeraden folgt aus $A =
\left( 
\begin{tabular}{c|c}
$C$ & $D$\\
\hline
$D^{*}$ & $P$
\end{tabular} \right)$ mit gegebenem $C$, $D$, $D^{*}$, Typ $C =
(f,\,f)$ dass die $f$ Ritzwerte $\rho_{k}$ zusammen mit $\infty^{f}$
vertr\"aglich sind. Hieraus folgt, dass das Intervall $(\infty,\,\rho_{k}]$, wenn $\rho_{1} \leq
\rho_{2} \leq \dots \leq \rho_{f}$, ein minimales ist, das $k$ EWe enth\"alt.
Daher: Sind $(u <)v_{1} \leq v_{2} \leq \dots \leq v_{f}$ die Wn von $|X^{*}(A
- u)(A - v)\,X| = 0$, so ist $(u,\,v_{k}]$ ein Minimales $k$-faches
Einschlintervall. Da $\overline{\infty\,\rho}_{1}$, Tangente an den Momentenvorrat
von $A$ gilt das stets auch f\"ur $\overline{u\,v_{1}}$, also erh\"alt man die
minimalen Einschliessintervalle durch die Tangenten an $_{3}\mathfrak{W}_{A}$.
Im Fall $f = 2$ ist der eine Ellipse im Innern von $\overline{u\,v_{1}\,v_{2}}$,
also zu klein f\"ur die Schliessungseigenschaft.\\
\\
Bei der Vertr\"aglichkeitsbedgg gen\"ugt es, den Momenten voll angepasste
"'quadr. Polynome $F(\lambda)$ zu betrachten:\\
$F(\lambda) = A_{0} + A_{1}\,\lambda + A_{2}\,\lambda^{2}$ mit $A_{0}\,M_{0} +
A_{1}\,M_{1} + A_{2}\,M_{2} = M_{0}\,A_{0} + M_{1}\,A_{1} + M_{2}\,A_{2} =
\mu_{F} \cdot\,E$\\
Satz: $\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n}$ vertr. $M_{0}\,M_{1}\,M_{2}
\longleftrightarrow$  Jedes voll angepasste $F(\lambda)$ mit $F(\lambda_{1})
\geq 0,\cdots,F(\lambda_{n}) \geq 0$ gibt $\mu_{F} \geq 0. \qquad$ Bew: Von $F$ zu\\
\\
$\textbf{Seite 29}$\\
\\
$T^{*}F\,T$ \"ubergehen mit $Sp\,T^{*}T = 1$, $Sp\, \sum T^{*}\,A_{i}T\,M_{i} =
\min$.\\
Im Fall $f = 1$, $s = 2$ gibt es zu gegebenem $\lambda_{1},\,\lambda_{2}$ einen
Momentenpkt $S_{12} = S$, so dass f\"ur jedes vertrgl. Sp. $\{\lambda_{\nu}\}$ stets
$\{\lambda_{3},\cdots,\lambda_{n}\}$ mit $S$ vertr\"aglich ist $(\lambda_{1} \leq
\lambda_{2} < \dots)$. Entsprechend bei $s = 3$: es gibt $S_{1\,2\,3\,4}$,
vertr. $\lambda_{5},\cdots,\lambda_{n}$.\\
Erster Bew: Ist 
$$
\begin{array}{ccccccc}
p_{1} & p_{2} & \cdots & \cdots & p_{4} & = \\
1 & \cdots & & & 1 & =\\
\lambda_{1} & & & & \lambda_{n} & \\
\lambda_{1}^{2} & & & & \lambda_{n}^{2} & \vdots\\
\lambda_{1}^{3} & & & & \lambda_{n}^{3} & \vdots\\
\lambda_{1}^{4} & & & & \lambda_{n}^{4} & 
\end{array}$$
l\"osbar, so ziehe von $\lambda_{1}$ mal jeder Zeile die folgende ab, dann mit Rest
dasselbe bezgl $\lambda_{2}$: gibt $\tilde{q}_{\nu} = \frac{p_{\nu}}{(\lambda_{i}
- \lambda_{\nu})(\lambda_{2} - \lambda_{\nu})} \geq 0$ als L\"osung eines Gl Systems f\"ur
$\begin{array}{ccccccc}
1 & & 1\\
\lambda_{3} & \cdots & \lambda_{4}\\
\lambda_{3}^{2} & & \lambda_{4}^{2}
\end{array}$ mit rechten Seiten, die nur von den alten  und von
$\lambda_{1},\,\lambda_{2}$ abh\"angen.\\
\\
Zweiter Beweis nur f\"ur $n = 2\,s$ g\"ultig: Setze $\prod\limits^{2s - 1}_{1} \, (A -
\lambda_{\nu}) = B$. Es ist $B \geq 0$, $\mathfrak{x}^{*}\,B(A - \lambda_{2n -
1})\,(A - \lambda_{2n})\,\mathfrak{x} = 0$ mit $\mathfrak{x}^{*}B\,\mathfrak{y} =
(\mathfrak{x},\,\mathfrak{y})$ heisst dass  
$(\mathfrak{x}^{*},(A - \lambda_{2n - 1})\,(A - \lambda_{2n})\,\mathfrak{x}) =
0$, $\lambda_{2n - 1}$, $\lambda_{2n}$ vertr mit dem zu $\mathfrak{x}$,
$A\,\mathfrak{x}$ in der neuen Metr. geh\"origen Mompkt. S.
\\
$\textbf{Seite 30}$\\
\\
Im Fall $f = 2$. $\lambda_{1} < \lambda_{2} < \lambda_{3} < \lambda_{4}$ vertr.
$X$, $A\,X$ kann man die L\"osungen $P_{\nu} \geq 0$ von $\sl{\nu}{}
\lambda_{\nu}^{k}\,P_{\nu} = M_{k}$ so w\"ahlen, dass $Rg\,P_{2} + Rg\,P_{4}
\leq 2$.\\
Bew: $\sl{\nu}{}\,\lambda_{\nu}^{k}\,c_{\nu} = 0$ hat L\"osg $+ - + -$.
Bilde erst $P_{\nu} + c_{\nu} \cdot \delta \cdot E \quad$ mit
$\delta\,\nearrow$, bis $P_{2}$ (od $P_{4}$) sing, dann $P_{\nu} + c_{\nu} \cdot
\delta \cdot P_{2} \quad$, bis $P_{2} = 0$ oder $P_{4}$ sing.\\
Frage: Kann man zugleich $Rg\,P_{1} + Rg\,P_{3} \leq 2$ erreichen ?\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
Aufgabe: Permungr mit reg abelschen $U$gr $\mathfrak{G}$ untersuchen durch Ermittlung der
Transsyst von $\mathfrak{Z}_{1}$, wo $\mathfrak{Z}$ der Zentralisator einer
$U$gr von $\mathfrak{G}$ ist.-\\
Wie ist es mit $\mathfrak{G} = \mathfrak{A}\,\mathfrak{B}$, wo $\mathfrak{A}$ zwei
verschiedene Invar $p^{q}$, $p^{\mathfrak{\beta}}$ hat und $p \nmid \mathfrak{B}$ ? Wie mit Typ $\mathfrak{G} =
\{p,\,p,\,q,\,q,\,q\}$ ?\\
\\
$\textbf{Seite 31}$\\
\\
\"Uber trans. Permugr.\\
Ist $\mathfrak{G}$ transitiv, und gibt es in einem Transitivit\"atssystem, von
$\mathfrak{G}_{1}$, etwa
$\mathfrak{G}_{1}\,K_{1},\dots,\mathfrak{G}_{1}\,K_{m}$, Vertreter $K_{\mu}$ aus
einer \underline{intransitiven} Ugr $\mathfrak{R} < \mathfrak{G}$, so ist
$\mathfrak{G}$ imprimitiv. Dann $\mathfrak{G}_{1}(E^{+}\mathfrak{K})^{\infty}
\not= \mathfrak{G}$ und Gruppe. (Verallg von Schur Kriterium: Hier wird keine
regul\"are $U$gr vorausgesetzt.) $\|$ Beweis samt Erg\"anzung auf S. 99 / 100:
Auch eine Nebenklasse nach $\mathfrak{K}$ gen\"ugt.\\
Folge: Ist $\mathfrak{G}$ primitiv, und besitzt eine Ugr $G < \mathfrak{G}$
ein Transitivit\"atssystem der L\"ange $n - k \quad (n = \rm{Gr}\,\mathfrak{G})$, so
besitzt $\mathfrak{G}_{1}$ h\"ochstens $k + 1$ Transsysteme (mit der 1). Bew:
sonst liegt eins von diesen in dem Transs von $G$.\\
\\
Modul der Transitivit\"atssysteme $\mathfrak{G},\, \mathfrak{I} $ einer beliebigen Ugr
$\mathfrak{U} < \mathfrak{G}$ hat ganz $\mathfrak{G}:$ $\mathfrak{G}_{1}$ als Linksmultiplikatoren !\\
$\mathfrak{G}_{1}\,\mathfrak{I} = \mathfrak{G}_{1}\,\mathfrak{I}\,\mathfrak{U} \rightarrow \mathfrak{G}_{1}\,\mathfrak{K}\,\mathfrak{I}\,\mathfrak{U}= \mathfrak{G}_{1}\,\mathfrak{K}\,\mathfrak{G}_{1}\,\mathfrak{I}\,\,\mathfrak{U} = \mathfrak{G}_{1}\,\mathfrak{K}\, \mathfrak{G}_{1}\,\mathfrak{I} = \mathfrak{G}_{1}\,\mathfrak{K}\,\mathfrak{I}$\\
Das geht \"uber Schur hinaus, der nicht Vertauschbarkeit $\mathfrak{K}\,\mathfrak{G}_{1}$ gefordert.
Man rechnet also in dem Ring mit der Basis
$\mathfrak{G}_{1}\,R_{1},\cdots,\mathfrak{G}_{1}\,R_{n}$. Besser multipl. man
gleich mit $\mathfrak{G}_{1}\,\mathfrak{K}$, wo $\mathfrak{K}$ Transsvv.
$\mathfrak{G}_{1}$; denn dann
$\mathfrak{G}_{1}\,\mathfrak{K}\,\mathfrak{G}_{1}\,\mathfrak{I} =
\mathfrak{G}_{1}\,\mathfrak{K}\,\mathfrak{I}$, daher ist die Anzahl der Symbole im Produkt
der "'Transs."' $\mathfrak{K}$ und $\mathfrak{I}$ gleich dem Produkt der Anzahlen.\\
\begin{flushright}
$[:h]$ Fortsetzg. S.51 $[:h]$ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
\end{flushright}  
$\textbf{Seite 32}$\\
\\
Als Transs $\mathfrak{U}$ bezeichnet man vielleicht besser jedes Element $\gamma \in$
Gruppenring von $\mathfrak{G}$, f\"ur das $\mathfrak{G}_{1}\gamma =
\mathfrak{G}_{1}\,\gamma\,U$ alle $U \in R$.\\
Dann gilt: Ist $\gamma_{1}$ Transs $\mathfrak{G}_{1}$, $\omega$ Transs $\mathfrak{U}$, so
$\gamma_{1}\,\omega$ Transs $\mathfrak{U}$.\\
Damit gilt vielleicht: Hat  ein eigentl Transs / prim\"arer Komplex) $\omega$ von
$\mathfrak{U}$ u Element, ist $\gamma_{1}$ eig Transs von $\mathfrak{G}_{1}$, 
so ist die Anzahl der Paare $K\,T$ mit $K \in \gamma_{1}$, $T \in \omega$, $K\,T \in \omega'$ ($\omega'$ geg. eig. Transs von $f$) durch $u$ teilbar. Daraus w\"urde folgen: Sind $\gamma_{1}\,\eta_{1}$ zwei eig. Transs von $\mathfrak{G}_{1}$
$((\gamma_{1}),\,(\eta_{1})) = 1$, so ist $\gamma_{1}\,\eta_{1} = c \cdot
\delta_{1}$ mit $\delta_{1}$ eig. Transs. von $\mathfrak{G}_{1}$. Das g\"abe
neuen Beweis daf\"ur, da\ss $ $ das l\"angste Transs von $\mathfrak{G}_{1} \quad$ zu  einer primitiven
$\mathfrak{G}$ zu keinem anderen Trans teilerfremde L\"ange haben kann.\\
\\
\\
Aufgabe: Untersuchung der unaufl\"osbaren Gruppen, von denen jede Untergruppe
aufl\"osbar ist.
\\
$\textbf{Seite 33}$\\
\\
Die Monodromiegruppe von $p(x) - y = 0 \qquad (p$ Polynom) ist genau dann
imprimitiv, wenn $p(x) = f(g(x)) \qquad (f,\,g$ Polynom)\\
Bew: Ist Gruppe imprim., so gen\"ugt $x_{1}$ einer Gl. des Graden $a$ \"uber einem Zwik\"o: diese sei
$G(x) = 0$; die Koeff $c_{\nu}$ von $G$ als elementarsymm Fktionen gewisser
$x_{1},\dots,x_{n}$ werden f\"ur $y \rightarrow \infty$ selbst unendl
h\"ochstens von der Ord $\frac{\nu}{n}$. Die Konjug zu $G(x)$ seien $\sum\,c_{\nu}^{(\beta)}\,x^{\nu} = G_{\lambda}(x)$.
Dann sind die elsymm Fkt $d\rho$ von $c^{(1)},\cdots,c^{(\beta)}_{1}$ ganz rat und bei $y =
\infty$ von Ord $\leq \frac{\rho \cdot \nu}{n} \leq \frac{\rho}{a}$ f\"ur $\nu < a$
(denn $ab = n$) also konstant. Also mit Ord $\omega \leq \frac{1}{b} \quad G(x) =
g(x) - \omega$, wo $\omega$ den Zwik\"o erzeugt. Gen\"ugt $\omega$ der Gl
$f(\omega) = 0$ mit Koeff aus $Co\,(y)$, vom Grade $b$, so sind deren Koeff
wegen der Wachstumsst\"arke wieder konstant. Es ist $f(g(x)) = 0$, also $f(g(x_{\nu}))
= p(x)$. Umkehrg klar: sind die Wu von $f(\omega) = 0 \quad
\omega_{1},\cdots,\,\omega_{b}$, so bilden die $x_{v}$ mit $g(x_{v}) = \omega_{1}$
eine Imprimzeile; oder: $g(x_{1})$ erzeugt echten Teilk\"o von $Co\,(y,\,x_{1})$,
da $Gr = b$  
\\
$\textbf{Seite 34}$\\
\\
10.1.53 Happy birthday theorem. \qquad $[:h]$ $f$ = 1 \qquad s. auch VI$_{8}$
!$\,[:h]$\\
Der Stellungsvorrat eines beschrkten Hermiteschen Operators $L$ mit den
Schranken $\gamma,\,\delta$ liegt ganz unterhalb der Sehne der Parabel durch
$(\gamma,\,\gamma^{2})$, $(\delta,\,\delta^{2})$.\\
Bew: $(x,\,(L - \gamma)\,y) = [x,\,y]$ setzen:\\
Schwarz: $[x,\,(L - \gamma)\,x]^{2} \leq [x,\,x]\,[(L - \gamma)\,x,\, (L - \gamma)\,x]$\\
\begin{flushright}
$= (x,(L - \gamma)\,x) \cdot ((L - \gamma)\,x,\,(L - \gamma)^{2}\,x) \,\,\qquad\qquad\qquad$ 
\end{flushright}
dh $\qquad \|(L - \gamma)\,x\|^{4}\, \underline{\underline{<}} \,(x,\,(L - \gamma)\,x) \cdot
(\delta - \gamma) \cdot \|(L - \gamma)\,x\|^{2}$\\
\begin{flushright}
$\|(L - \gamma)\,x\|^{2}\, \leq \,(x,\,(L - \gamma)\,x) \cdot
(\delta - \gamma)\qquad\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\,\,$
\end{flushright}
$||\gamma||^{2}\,||x||^{2} + \|L\,x\|^{2} - 2\,\gamma\,(x,\,L\,x) \leq (\delta - \gamma)\,(x,\,L -
\gamma))\,x$\\
Mompkt : $\|x\| = 1\,_{_{\uparrow}},\,\,M = (\xi,\,\eta) \qquad \xi = (x,\,Lx) \quad \eta =
\|L\,X\|^{2}$ gibt $\gamma^{2} + \eta - 2\,\xi\,\gamma \leq (\delta -
\gamma)\,(\xi - \gamma)$\\
$\eta \leq (\delta + \gamma)\,(\xi - \gamma) + \gamma^{2}$\\
$[:h]$ d.h. $L^{2} \leq (\gamma + \delta)\,(L - \gamma) + \gamma^{2}\qquad\quad (L -
\gamma)\,(L - \delta) \leq 0$ !$[:h]$\\
das ist die genannte Gerade\\
NB: Durchsichtiger f\"ur $\gamma = 0$,  $\delta = 1$. L\"auft einfach hinaus auf
$0 \leq L \leq \xi \rightarrow L^{2} \leq L$\\
$[:h]$ kurzer Beweis $L - L^{2} =  L^{2} (1 - L) + (1 - L)^{2}L\,\,[:h]$ \\
Folge mittels gebr. lin Trans: Der Stellungsvorrat einer hermiteschen Paarung
liegt in der konvexen H\"ulle des Schattens, den er bei Beleuchtung von einem
beliebigen Parabelpkt aus auf die Parabel wirft.\\
\underline{Daher: Stellungsvorrat $\gamma$
= konvexe H\"ulle von $\gamma \cap \mathfrak{p}$.}\\ 
\\
$\textbf{Seite 35}$\\
\\
Darin steckt: 
\begin{quote}
(1) $Sp\,L \not= \emptyset$ \\
(2) $\lambda \notin Sp\,L \longleftrightarrow (L - \lambda\,I)^{-1}$ beschrkt.
Dies schon aus Paarungstheorie klar\\
\end{quote}
(3) und die Einschliessungstheorie f\"ur \underline{einen} Schritt
\begin{quote}
(4) St\"orungsrechnung $\|L - L^{*}\| < \varepsilon \rightarrow$ Verschbg $<
\varepsilon$ von $\gamma_{L}$.
\end{quote}
Offene Fragen: (5) Jeder isolierte Punkt von $Sp\,L$ ist EW, wenn $\cal{R}$
Hilbertr. $[:h]$ s.~36 $[:h]$\\ 
(6) Liefert die zu S. 34 analoge \"uberlegung  f\"ur den 2. Stellungsvorrat
$\gamma_{2}(L)$ etwas~? Es besteht aus 
$\left( 
\begin{array}{cc}
M_{0} & M_{1}\\
M_{1} & M_{2}
\end{array} \right)$, $M_{i} = X^{*}\,L^{i}\,X$.\\
Dabei Schwarzsche Ungl. in der Form $M_{1}\,M_{0}^{-1}\,M_{1} \leq M_{2}$
verwendbar. Zweckm\"assig vielleicht Darstellg der hermiteschen Matrizen als Quotienten, 
Siegel
\begin{quote}
(7) Entsprechende \"Uberlegung f\"ur nichtnormale $L$ ?\\
\end{quote}

\"Uber mehrere Freiheitsgrade:\\
Daf\"ur, da\ss $\enspace \{\lambda_{\nu}\}$ mit $(\mathfrak{x}_{1},\,\mathfrak{y}_{1})$
\underline{und} $(\mathfrak{x}_{2},\,\mathfrak{y}_{2})$ vertr\"aglich $(\mathfrak{w})$ ist, ist notwendig\\
1) $\{\lambda_{\nu}\}\,\mathfrak{w}\,(\mathfrak{x}_{1},\,\mathfrak{y}_{1})\quad 2) \{\lambda_{\nu}\}\,\mathfrak{w}\, 
\,(\mathfrak{x}_{2},\,\mathfrak{y}_{2}) \quad 3) \{\lambda_{\nu}\}^{(2)}\,\mathfrak{w}\,(\mathfrak{x}_{1},\mathfrak{y}_{1})^{(2)}\,(\mathfrak{x}_{2},\,\mathfrak{y}_{2})^{(2)}$
und $L^{2} = 2$-te Determinantentransformation von $L$, $\{\lambda_{\nu}\}^{(2)}$ ihr Spektr.\\
Frage: Ist das auch hinreichend ?\\
\\
Frage: Wie \"andert sich Schiefe einer Matrix bei Potenz- oder
Determinantentransformation ?
\\
$\textbf{Seite 36}$\\
\\
Aus Happy Birthday theorem folgt: Ist $L$ hermitesch $f(\lambda)$ eine gebr.
rat. Fkt, die auf dem Spektrum $\Lambda$ von $L$ $|f(\lambda)| \leq C$ gen\"ugt,
so $||f(L)|| \leq C$. Damit kann man $f(L)$ definieren f\"ur alle $f(\lambda)$,
die sich als Grenzwert einer auf $\bigwedge$ gl kgten Folge rat Fktnen darstellen
lassen. Insbesondere: Ist (35.5) 1 isolierter Pkt im Spektrum, $0 \in \Lambda
\leq [0,\,1]$, so kgt $L^{n} \Rightarrow F$  mit $F^{2} = F$. Es ist $F \not= 0
$, weil der Stellungsvorrat von $F$, wie der der $L^{n}$, stets die Strecke
$\overline{P_{0},\,P_{1}}$ enth\"alt: Ferner ist $(L - 1)\,F = \lim \,(L^{n + 1}
- L^{n}) = 0$. 1 EW.\\
\\
\\
Happy Birthday f\"ur normale $L$:\\
Wenn $L$ normal, beschrkt, $|\mathfrak{x}^{*}L\,\mathfrak{x}| \leq 1 \leftarrow
\|\mathfrak{x}\| = 1$\\
so ist $\|L\,\mathfrak{x}\| \leq 1$ f\"ur $||\mathfrak{x}|| \leq 1$. $[:h]$ Verallgem.: S. 39 $[:h]$\\
Bew: $L$ hat die Eig. $Re\,\mathfrak{x}^{*}(1 \pm L)\,\mathfrak{x} \geq
0$\\
Hieraus vererbt sich auf $L^{2}$:\\
Wegen $(1 - L^{2}) = \frac{1}{2} \{(1 + L^{*})\,(1 - L)\,(1 + L) + (1 - L^{*})\,(1 +
L)\,(1 - L)\}$\\
$Re\,\mathfrak{x}^{*}(1 - L^{2})\,\mathfrak{x}^{*} \geq 0$.\\
Nun hat nicht nur $L$ die obige Eig; sondern auch jedes $\xi\,L$ wenn
$|\xi| = 1$. Daher $Re\, \mathfrak{x}^{*}(1 - \xi\,L^{2})\,\mathfrak{x}^{*}
\geq 0 \leftarrow |\xi| = 1:$ Also $|\mathfrak{x}^{*}\,L^{2}\,\mathfrak{x}| \leq
1$.\\
$|\mathfrak{x}^{*}\,L^{n}\,\mathfrak{x}| \leq 1 \leftarrow n = 2^{\alpha}$. Da
$L^{n}$ normal, folgt hieraus nur $L^{n} = G_{n} + i\,H_{n}$\\
$\|G_{n}^{2}\| \leq 1 \qquad |H^{2}_{n}| \leq 1 \qquad \|(L^{*}\,L)^{n}\| \leq
2 \rightarrow \underline{\|L^{*}L\|} \leq 1$. wegen Dehn, (Schwarz)\\
\\
$\textbf{Seite 37}$\\
\\
Zum Happy Birthday theorem: Glatte Fassung:\\
Ist $\gamma$ der Abgeschlossene Stellungvorrat einer hermiteschen Paarung und sind
$P_{1},\,P_{2},\,P_{3}$ drei Punkte auf der auch im $\infty$ abgeschloss.
Parabel derart, dass die abgeschl. Geraden $\overline{P_{0}\,P_{1}}$ und
$\overline{P_{0}\,P_{2}}$ zu $\gamma$ fremd sind, so ist das abg Dreieck
$P_{0}\,P_{1}\,P_{2}$ fremd zu $\gamma$.\\
Frage: Analogon bei normaler Paarung mit einem Kegel, dessen Grdkreis aus dem
Paraboloid von einer Ebene ausgeschnitten wird ?\\
Liegt bei 2 Ausgangsvekt. $\mathfrak{x}_{i}$, $L$ normal, der Stellungsvorrat
$\gamma'$ von $L$ auf $\alpha\,\mathfrak{x}_{1}\alpha \beta \mathfrak{x}_{2}$
ganz in jedem Kegel, dessen Spitze $P$ auf Paraboloid $\mathfrak{P}$ liegt und dessen Grdkreis der Kreis des Schattens von $\gamma'$ auf $\mathfrak{P}$ von $P$ aus ist ?\\
\\ 
Sind von der Ellipse $\mathfrak{E}$, die den Stellungsvorrat von $L$ auf 
$\alpha\,\mathfrak{x}_{1} + \beta \mathfrak{x}_{2}$ darstellt ($L$ hermitesch)
nur die beiden Punkte $M_{i}$ zu $\mathfrak{x}_{i}\,\,(i = 1,\,2)$ gegeben, so
beh\"alt man so eine Eingrenzung f\"ur ganz $\mathfrak{E}$: $\mathfrak{E}$ liegt ganz auf der Seite
von $\overline{P_{1}\,P_{2}}$, auf der $M_{1},\,M_{2}$ liegen; (f\"ur bel. Rdpkt
$P$).\\
$\textbf{Graph}$\\
$\overline{P_{1}\,P_{2}}$ umh\"ullt wohl die Aussenellipse zur ausge. Ell. $\overline{M_{1}\,M_{2}}$.\\
\\
$\textbf{Seite 38}$\\
\\
Der Stellungvorrat einer bel. Matrix auf einer von zwei lin. un. Vektoren aufgespannten
Ebene $\mathfrak{E}$ ist eine Ellipsoidfl\"ache (mit Ansartgen), die von $\infty$ den gleichen Schatten wirft, wie der volle Stellungsvorrat der Ritz-Matrix (und wie der Stellungsvorrat auf $\mathfrak{E}$ jedes Zwischenabschnitts); der Schatten ist
also eine Ellipse mit den Ritzwerten als Brennpkten; diese sind die Projektion der
Ber\"uhrgspkte des Paraboloids mit dem Stellvorrat der Ritzmatrix.\\
\\
\\
Sei $L$ ein beschr\"ankter Operator.\\
In R\"aumen unendlicher Dimension gilt nicht mehr: Aus 
\underline{\begin{tabular}{|c|}
$L$
\end{tabular}} $> 0$ folgt Existenz von $L^{-1}$. Beispiel: $L = 
\left( 
\begin{array}{ccccc}
0 &&&&\\
1 & 0 &&&\\
&1&0&&\\
&&1&0&\\
&&&&\ddots
\end{array} \right)$; hier 
\underline{\begin{tabular}{|c|}
$L$
\end{tabular}} $= 1$, aber 
\underline{\begin{tabular}{|c|}
$L^{*}$
\end{tabular}} $= 0$;\\
\\
Hier existiert $L^{*^{-1}}$ nicht, also auch nicht $L^{-1}$. In
\underline{jedem} Hilbertraum gilt aber: Aus 
\underline{\begin{tabular}{|c|}
$L$
\end{tabular}} \,
\underline{\begin{tabular}{|c|}
$L^{*}$
\end{tabular}} $> 0$ folgt Existenz von $L^{-1}$. Denn wegen 
\underline{\begin{tabular}{|c|}
$L$
\end{tabular}} $> 0$ ist $L\,\cal{R}$ abgeschlossen, und wegen
$L^{*}\,\mathfrak{x} \not= 0$ ist $L^{*}\,\cal{R} = \cal{R}$.\\
Anderer Bew S.39\\
\\
$\textbf{Seite 39}$\\
\\
NB: Dieser Bew. liefert mehr: Im Hilbertraum existiert $L^{-1}$ genau dann, wenn
\underline{\begin{tabular}{|c|}
$L$
\end{tabular}} $> 0$, $L^{*}\mathfrak{x} \not= 0$ f\"ur $\mathfrak{x} \not=
0$.\\
NB: Anderer Beweis f\"ur 
\underline{\begin{tabular}{|c|}
$L$
\end{tabular}}\,
\underline{\begin{tabular}{|c|}
$L^{*}$
\end{tabular}} $> 0 \rightarrow L^{-1}:\enspace $

\underline{\begin{tabular}{|c|}
$L\,L^{*}$
\end{tabular}} $> 0$, und f\"ur hermitesche stimmts.\\
$[:h]$ NB: $A = 
\left( 
\begin{array}{ccccc}
0 & 0\\
2 & 0
\end{array} \right)$ hat $\mathfrak{W}_{A}^{2} = \{z|\,\,|z| = 1\} = \mathfrak{E}$\\
$B = \frac{A + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}\,A} = \frac{1}{2} + \frac{5}{4}\,A$. Daher Entsprechendes  zu (2) \\
falsch f\"ur  $f(x) = \frac{x - \alpha}{1 + \overline{\alpha}\,x}$ statt $x^{n}$.$[:h]$\\
\"Uber 2-Wertevorrat von $A^{n}$\\
Sei $_{2}\mathfrak{W}_{A} = \lambda \longleftrightarrow \lambda =
\mathfrak{x}^{*}A \mathfrak{x},\,\,|\mathfrak{x}| = 1$. Sei $\lambda \in \mathfrak{E}
\longleftrightarrow |\lambda|\leq 1$.\\
(1) $_{2}\mathfrak{W}_{A} \subseteq \mathfrak{E} \rightarrow\,\, _{2}\mathfrak{W}_{A^{2}}
\subseteq \mathfrak{E} $ \\
Bew:
\begin{quote}
$Re\,1 - A^{2} = Re\,(1 - A)\,(1 + A) = \frac{1}{2}\, Re \{(1 - A^{*}) + (1
+ A^{*})\}\,(1 - A)\\
\,(1 + A) = \frac{1}{2}\,\,Re\,(1 - A^{*})\,(1 + A)\,(1 - A)
+ \frac{1}{2}\,Re\,(1 + A^{*})\,(1 - A)\,(1 + A)\\
 = \qquad\qquad\qquad\quad\,\, \geq 0\quad\qquad\qquad\qquad + \quad\qquad\qquad\qquad\geq
0$
\end{quote}
Ebenso $Re\,(1 - \eta\,A^{2}) \geq 0$, wenn $|\eta| = 1$.\\
(2) $_{2}\mathfrak{W}_{A} \subseteq \mathfrak{E} \rightarrow\,\, _{2}\mathfrak{W}_{A^{n}}
\subseteq \mathfrak{E} \qquad (n = 2,\,3,\cdots)$\\
Bew ebenso mit $1 = \frac{1}{n}$
{\scriptsize{$\sum\limits_{
\begin{array}{ccccc}
n\\
\xi = 1
\end{array} }$}}
$ \frac{1 - x^{n}}{1 - \xi\,x}$\\
$[:h]$ Zu Grunde liegt: $Re\,B \geq 0  \rightarrow Re\,B^{-1} \geq 0$;
$Re\,B_{i} \geq 0 \rightarrow Re \sum B_{i} \geq 0$\\
Zusammenhang mit v. Neumann-Vereinfacher in Math. Nachr. ?$[:h]$\\
(3) Enth\"alt $|\eta| = 1 \,\,\,\eta \in \,\,\,_{2}\mathfrak{W}_{A^{n}} $ und ist
$_{2}\mathfrak{W}_{A} \subseteq \mathfrak{E}$, so ist: \\
a) f\"ur \underline{ein} $\varepsilon$ mit $\varepsilon^{n} = \eta \qquad
\varepsilon \in$ Spektrum $A$, oder\\
b) f\"ur \underline{jedes} $\varepsilon$ mit $\varepsilon^{n} = \eta\qquad
\varepsilon \in\,\,_{2}\mathfrak{W}_{A}$\\
\\
$\textbf{Seite 40}$\\
\\
(1) \"Uber $_{2}\mathfrak{W}_{f(A)}$,  $f(x) = $Polynom.\\
Liegt $_{2}\mathfrak{W}_{A} \subseteq \mathfrak{R} =$ konvexes Polygon, und ist
$0 \in \mathfrak{R}$, und bezeichnet $\alpha_{\nu}$ die Fusspunkte der Lote von 0
auf die (verlgt.) Seiten von $\mathfrak{R}$, und ist $f(x) = \Pi(1 -
\frac{X}{\alpha_{\nu}})$, so 
$$Re\,f(A) \geq 0\qquad [:h] \textnormal{um genau} [:h]$$
Bew: \textit{[durchgestrichen: $1 = \sum\,c_{\nu}\,\frac{f(x)}{1 - \frac{x}{d_{\nu}}}$ ?]}       
 hat L\"osungen $c_{\nu} > 0$. Dann wie S.39\\
$0 < -\sum\, (\zeta_{\nu}A - 1) = \frac{\sum\,(n - \nu)\,c_{\nu}A^{\nu}}{\sum\,c_{\nu}\,A^{\nu}},\,\, \sum\,c_{\nu}\,x^{\nu}:= \Pi^{n}_{\nu = 1}\, 1 - \frac{x}{alpha_{\nu}}).$\\
\\
(2) \"Uber $_{2}\mathfrak{W}_{A^{2}}$.\\
Ist $_{2}\mathfrak{W}_{A^{2}} \subseteq \mathfrak{K}$, $\mathfrak{K}$ konvex,
$\mathfrak{K} = -\mathfrak{K}$ (dh symmetr zu 0), und ist $\lambda \in \mathfrak{L}
\longleftrightarrow \lambda = K^{2}$, $K \in \mathfrak{K}$, so ist
$_{2}\mathfrak{W}_{A^{2}}^{2} \subseteq \mathfrak{L}$.\\ 
a) Bew braucht nur f\"ur $\mathfrak{K}_{0}$: $|Re\,K| \leq 1$ gef\"uhrt zu
werden; allgemein stelle man $\mathfrak{K}$ als Durchschnitt gedrehter $\mathfrak{K}_{0}$
dar.\\
b) Bew f\"ur $\mathfrak{K}_{0}$: $A = G + i\,H$, $G^{2} \leq 1$.\\
\nl $= \{(1 + i\,t)^{2}$; $- \infty < t < \infty \}$\\
$\textbf{Graph}$\\
Mit $\frac{1}{\alpha} = \beta = \beta' + i \, \beta''$ kann die Beh so ausgespr.
werden:  $Re \,(1 - \beta \, A^{2}) \geq 0$\\
\\
$\textbf{Seite 41}$\\
\\
Es ist $B = Re\,(1 - \beta\,A^{2}) = (1 - G^{2}) + G^{2}\,(1 - \beta') + (G\,H +
H\,G)\,\beta'' + H^{2}\beta'$\\
$\beta'\,B = \beta'(1 - G^{2}) + (\beta''\,G + \beta'\,H)^{2}$, also $\geq 0$\\
$[$denn $Re\,(1 - \beta\,(1 + i\,t)^{2}) = (1 - \beta') + 2\,t\,\beta'' +
t^{2}\,\beta' \geq 0$ f\"ur alle $t$, $= 0$ f\"ur ein $t]$\\ 
daher $\beta''^{2} = \beta'\,(1 - \beta')$.\\
Frage: Gibts auch  Beweise unter Benutzung von $_{2}\mathfrak{W}_{A}$,
\underline{\begin{tabular}{|c|}
$A - \varepsilon\,\infty$
\end{tabular}} ?\\
\\
Falsch w\"are die Vermutung $_{2}\mathfrak{W}_{A^{2}} \subseteq$ konv. H\"ulle
$_{2}\mathfrak{W}_{A} \cdot _{2}\mathfrak{W}_{A}$ \\
Gegenbeispiel: $A = H + i\,H$ mit\\
$G = 
\left( 
\begin{array}{ccccc}
1 & 0\\
0 & 0
\end{array} \right)$, 
$H = 
\left( 
\begin{array}{ccccc}
1 & 1\\
1 & 1
\end{array} \right)$\\
hier $Im\, A^{2} = G\,H + H\,G = 
\left( 
\begin{array}{ccccc}
2 & 1\\
1 & 0
\end{array} \right) \not\geq 0$, aber
$_{2}\mathfrak{W}_{A} \cdot _{2}\mathfrak{W}_{A} \subseteq$ obere Halbebene.\\

$[:h]$ Frage: $\|A^{n}\|^{\frac{1}{n}}$ monoton fallend ? $[:h]$\\
\\
Gebrochene lin. Fktion von Paarungen\\
Der Teilraum von $\cal{R}$, der aus den Linearverbdgen der ersten und der zweiten
Komponenten besteht, bleibt bei gebr. lin. Transf. der Paarung unver\"andert.\\
\\
Ziel der Einschliessungstheorie f\"ur nicht normale Op sollte vielleicht nicht
die Lokalisierung von Ewen sein, sondern von Stellen "'hoher Gefahr"' in der
$\lambda$-Ebene: Gefahr etwa: 
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$(A - \lambda)^{-1}$ 
\end{tabular}
oder ein physikalisch sinnvoller Ausdruck. $[:h]$ Oder von Pkten des
Stellungsvorrats nahe dem Rande $[:h]$.\\
\\
\footnote{S.42 und S.43 nur die obere H\"alfte gestrichen}
$\textbf{Seite 43}$\\
\\
Frage:
\begin{quote}
Sind, wenn $A = G + i\,H$, die EWe von $G^{2} + H^{2}$ zu Absch\"atzungen f\"ur
die EWe von $A$ zu verwenden ? Oder die von $(G^{2} + H^{2})^{2} + [G,\,H]^{2}$
oder \"ahnlich ?
\end{quote}
\underline{Symmetrische unendliche} Matrizen mit komplexen Elementen haben, im Gegensatz zu endlichen, spektral ausgezeichnete Eigenschaften: z.B. 
$\begin{tabular}{|c|}
$M$\\
\hline
\end{tabular} = 
\begin{tabular}{|c|}
$M$\\
\hline
\end{tabular}$ ! Vielleicht beziehen die 'selbstadj.' Dglen mit komplexen Koeffizienten ihre Eigenschaften, Entwicklungss\"atze u. dergl., \underline{daher} ? Vielleicht lohnt es, den Stellungsvorrat einer symmetrischen Matrix zu untersuchen; vielleicht auch
$\left( 
\begin{array}{cc}
A & 0\\
0  & A'
\end{array} \right)$ ! Auch ist f\"ur $M = M'$:
$\begin{tabular}{|c|}
$f(M)$\\
\hline
\end{tabular} = 
\begin{tabular}{|c|}
$f(M)^{*}$\\
\hline
\end{tabular}$, also muss die Sp.-Theorie gut gehen. Diese Eigenschaft kommt auch den normalen Matrizen zu. \\
Frage: Wem noch ?!\\
\\
$\textbf{Seite 44}$\\
\\
Die symmetrischen Matrizen $S$ auf dem Hilbertschen Folgenraum sind abstrakt so
zu fassen: es ist $S^{*} = \forall\,S\,\forall^{-1}$, wobei $\forall$ eine
"'antilineare"' Operation ist. die die $f$ l\"angentreu auf sich abbildet:
$[:h]\,\,\forall\,
\left( 
\begin{array}{ccccc}
x_{1}\\
x_{2}\\
\vdots
\end{array} \right) =
\left( 
\begin{array}{ccccc}
\overline{x_{1}}\\
\overline{x_{2}}\\
\vdots
\end{array} \right)$. $\|\forall\,\mathfrak{x}\| = \|\mathfrak{x}\|$.
$\forall\,a\,\mathfrak{x} = \overline{\alpha}\,\forall\,\mathfrak{x}\,[:h]$\\
\\
Aufgabe: Spektraltheorie komplexer symmetr. Matrizen. Hat der
$_{3}\mathfrak{W}_{A}$ f\"ur nilpotente symmetrische $A$ Besonderheiten ?\\
\\
Aufgabe: Elementarteilertheorie vollstetiger Op. des Hilb. Raums (oder
allgemein); oder Beschr\"ankung auf vollstet symmetrische Operatoren.\\
\\
\\
F\"ur Matrizen $A$ \underline{endlichen} Grades ist $_{3}\mathfrak{W}_{A} =
_{3}\mathfrak{W}_{A'}$, $[$daher auch $_{2}\mathfrak{W}_{A} =
_{2}\mathfrak{W}_{A'}$, was aber viel trivialer ist:
$(\mathfrak{x^{*}}\,A\,\mathfrak{x})' = \mathfrak{y}^{*}\,A'\mathfrak{y}]$.\\
Denn $_{3}\mathfrak{W}_{A}$ und $_{3}\mathfrak{W}_{A'}$ im Paraboloid haben
dieselben nichtvertikalen St\"utzebenen, da im Halbraum dieselben
St\"utzhalbkugeln, weil 
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A - \lambda$ 
\end{tabular} $=$ 
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A' - \lambda$ 
\end{tabular} f\"ur jedes $\lambda$, ebenso 
\begin{tabular}{|c|}
$$ \\
\hline
\end{tabular} 
\begin{tabular}{|c|}
$$ \\
\hline
\end{tabular}.\\
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A$ 
\end{tabular} $=$
\begin{tabular}{|c|}
\hline
$A'$ 
\end{tabular} folgt aus $A^{*}\,A = \overline{A}'\,A =
\overline{\overline{A}\,A'} = \overline{A'^{*}\,A}$
\\
$\textbf{Seite 45}$\\
\\
Die Betrachtung von $B = 
\left( 
\begin{array}{cc}
A & \\
& A'
\end{array} \right)$ statt $A$ bringt bei \underline{endlichen} Matrizen nichts Neues, da Wertevorrat $_{3}\mathfrak{W}$ unge\"andert, aber bei \underline{unendlicher} Dimension vereinfacht er sehr, da nun $_{3}\mathfrak{W}_{B}$ als Randpkte genau das Spektrum von $A$ hat (= Punkte ohne beschränkte zweis. Inverse). Man kann daher jeden Paraboloidpkt, der nicht $\in \,\,_{3}\mathfrak{W}_{B}$ ist, durch eine gebr. lin. Trans. $\varphi$ nach $\infty$ werfen, $\varphi(B)$ ist beschr\"ankter Operator; f\"ur jede rat Fkt $\frac{\varphi(\lambda)}{\psi(\lambda)} = w(\lambda)$ mit $\psi \not= 0$ auf  $_{3}\mathfrak{W}_{B}\,\,\cap\,\, \mathfrak{p}$ existiert $\omega(A)$.\\
$\left( 
\begin{array}{cc}
A & \\
 & A'
\end{array} \right)$
ist unit\"ar \"ahnlich zu $S = 
\left( 
\begin{array}{cc}
A + A' & i(A - A') \\
-i(A - A') & A + A'
\end{array} \right)$, wenn 
$\left( 
\begin{array}{cc}
1 & i\\
1 & -i
\end{array} \right)$\\
Eine symmetrische Paarung, deren $\overline{_{3}\mathfrak{W}}$ $\infty$ nicht enth.
ist ein beschr. 0$_{p}$.\\
\\
Was ergibt sich, wenn man den Satz $|_{2}\mathfrak{W}_{A}| \leq 1 \rightarrow |_{2}\mathfrak{W}_{A^{n}}| \leq 1$ als eine Aussage \"uber $_{3}\mathfrak{W}_{A}$  in einem Kegel mit Spitze in $\infty$ formuliert, die Spitze aber durch eine ausartende Projekt. Trans nach (1, 1) verlegt unter Beibehaltung des ''Grundkreises'' $|\lambda|^{2} = 1$ ?\\
Gilt $(A\,B = B\,A, \, |_{2}\mathfrak{W}_{A}| \leq 1$, $|_{2}\mathfrak{W}_{B}| \leq 1) \rightarrow |_{2}\mathfrak{W}_{AB}| \leq 1$ ?!\\
$[:h]$ z.B. f\"ur $n = 2$, beide EWe verschieden ? $[:h]$\\
\\
$\textbf{Seite 46}$\\
\\
Zu Umkerg von Lambertreihen:\\
Mit $\varphi(x) = (x - x^{2})$ hat auch $\psi(x) = \sum
\frac{1}{n^{2}}\,\varphi(x^{n})$ die Eigenschaft $|\sum \frac{1}{n}\,\,\psi(x^{n})|
< C \quad 0 < x < 1$.\\
Ferner d\"urfte $\psi'(1) = -\infty$ sein.\\
\\
\\
Aufgabe in der Gruppentheorie: Untersuche auf $n$ absteigde.\\
a) $\Phi$ Ketten $\mathfrak{G_{1}} \geq \mathfrak{G_{2}} \geq \dots \geq
\mathfrak{G_{i}} \geq \dots$ mit $\Phi\,(\mathfrak{G_{i}}) \leq \mathfrak{G_{i +
1}}$\\
b) $Z\Phi$-Ketten : ausserdem $(\mathfrak{G},\,\mathfrak{G}_{i}) \leq
\mathfrak{G_{i + 1}}$\\
\\
\\
F\"urs Determinantenbuch: Lehrb\"ucher der Analyt Geom durchsehen.\\
\\
Ist es vern\"unftig, einen Ring (oder sonst eine Struktur) "'einfach"' zu
nennen, wenn sie homorphes Bild jedes homomorphen Bildes $\not=$ 0 von sich selbst ist ?\\
\\
$\textbf{Seite 47}$\\
\\ 
\"Uber gewisse Einteilungen der Elemente einer Gruppe $\mathfrak{G}$ in Klassen
von Primzahll\"ange $p$.$\quad$ 24.1.53\\
\\
I. Seien $\mathfrak{G}$, $\mathfrak{A} \leq \mathfrak{G}\,\mathfrak{A}$,
$\mathfrak{G} \cap \mathfrak{A} = E$, Indikator = norm. Kern von $\mathfrak{A}$
unter $\mathfrak{G}\,\mathfrak{A}$ sei $E$. Die Gr $\mathfrak{G}\,\mathfrak{A}$
sei als Permugr in den Symbolen von $\mathfrak{G}$ treu dargestellt,
$\mathfrak{G}$ regul\"ar, $\mathfrak{A}$ lasse $E$ fest. F\"ur $G \in
\mathfrak{G}$ sei $\mathfrak{A}_{G}$ die Gruppe $\leq \mathfrak{A}$, die $G$
fest l\"asst, also $\mathfrak{A}_{E} = \mathfrak{A}$; und $G^{\mathfrak{A}}$
bezeichne das Transtitvit\"atssystem von $\mathfrak{A}$, das $G$ enth\"alt. Sei
$G \in \mathfrak{G} \rightarrow (G^{\mathfrak{A}}) = 1$ oder $p$, $(\mathfrak{A})
= p^{\alpha} \qquad (\alpha \geq 2)$. Dann gibt es $\mathfrak{N} \unlhd
\mathfrak{G}$, $(\mathfrak{N}) = p$ mit $\mathfrak{N}\,G \vee \mathfrak{A}$ alle
$G \in \mathfrak{G}$, (so dass $^{*}\,\, \mathfrak{A}$ in
$\mathfrak{G}\,\mathfrak{A}$ einen Normalteiler $\mathfrak{M}$ mit den Transs.
$\mathfrak{N}\,G$ erzeugt).\\
Bew: (a) $\quad \mathfrak{A}_{G} \not= \mathfrak{A}_{H}$, $(G^{\mathfrak{A}}) =
(H^{\mathfrak{A}}) = p \rightarrow
\left\{ 
\begin{array}{ll}
G^{\mathfrak{A}} = G\,\mathfrak{N}_{G}\\
\mathfrak{A}\\
H = H\,\mathfrak{N}_{H}$ mit $\mathfrak{N}_{H} = \mathfrak{N}_{G} \leq G
\end{array} \right.$ \\
Bew: $\exists \enspace A \in \mathfrak{A}_{G}$: $\mathfrak{A}\,H\,A \not=
\mathfrak{A}\,H$, $\mathfrak{A}\,G\,A = \mathfrak{A}\,G$, $G\,A = A'\,G$\\
$\exists\,A$: $G\,A = A'\,G$, $\mathfrak{A}\,Q\,A' \not= \mathfrak{A}\,Q$ mit $Q
= H\,G^{-1}$\\
Diese $A'$ sind eine Gruppe $A' \in \mathfrak{A}_{1}\, G\,\mathfrak{A}\,G^{-1}\quad \mathfrak{A}'$\\ 
Also ist $\mathfrak{A}'$ transitiv auf der Klasse von $Q$, diese hat Ord $p$.
Dann ist $\mathfrak{A}$ transitiv auf $Q^{\mathfrak{A}} \cdot
G^{\mathfrak{A}}$, da man jedes El in $Q\,G$ \"uberf\"uhren kann: $Q_{1}\,G_{1} \rightarrow
Q_{2}\,G \rightarrow Q\,G$.\\
D.h. $Q^{\mathfrak{A}}\,G^{\mathfrak{A}} = p\,(Q\,G)^{\mathfrak{A}} =
p\,H^{\mathfrak{A}}$, $Q^{\mathfrak{A}}\,G_{i} = H^{\mathfrak{A}}\,\leftarrow\, G_{i}
\in G^{\mathfrak{A}}$\\
$Q^{\mathfrak{A}} \cdot G_{i}=H^{\mathfrak{A}}$, $G_{i} \in G^{\mathfrak{A}}$\\
\\
$[:h]\,^{*}\,\,Also\enspace \mathfrak{A}\,\mathfrak{N}\,G =
\mathfrak{N}\,G\,\mathfrak{A} = G\,\mathfrak{N}\,\mathfrak{A} =
G\,\mathfrak{A}\,\mathfrak{N} \rightarrow \mathfrak{A}\,\mathfrak{N} \unlhd G 
\rightarrow \mathfrak{M} = \mathfrak{A}\,\mathfrak{N}$\\
$\mathfrak{M} = \mathfrak{A}\,\mathfrak{N}$ ist Typ $(p,\,p,\cdots)$ da die Transgebiete Lge $p$.$[:h]$
\\
$\textbf{Seite 48}$\\
\\ 
$Q^{\mathfrak{A}}\,G_{i}\,G_{j}^{-1} = Q^{\mathfrak{A}} \qquad
\mathfrak{N}_{G^{-1}} = G^{\mathfrak{A}} \,(G^{-1})^{\mathfrak{A}}$ ist Gruppe der Ord $p$ mit
$(G^{-1})^{\mathfrak{A}} = G^{-1} \cdot \mathfrak{N}_{G^{-1}}$.\\
Also existieren ebenso $\mathfrak{N}_{G}$, $\mathfrak{N}_{H}$, haben Ord $p$.\\
$G^{\mathfrak{A}} = G\,\mathfrak{N}_{G}$, $H^{\mathfrak{A}} =
H\,\mathfrak{N}_{H}$; Nun $Q\,G^{\mathfrak{A}} = H^{\mathfrak{A}} \rightarrow
\mathfrak{N}_{G} = \mathfrak{N}_{H}$.\\
\\
(b) \underline{Befreiung von der  Vor} $\quad \mathfrak{A}_{G} \not=
\mathfrak{A}_{H}$ von (a):\\
Teile die Klassen der L\"ange $p$ nach $\mathfrak{A}_{G}$ ein\\
zu $\mathfrak{A}_{1}$ geh\"ore, zu $\mathfrak{A}_{2} \not= \mathfrak{A}_{1}$ usw.\\
$G_{1}$, $G_{1}'$,\dots \qquad $G_{2}$, $G_{2}'$,\dots\\
Nach a) ist $\mathfrak{N}_{G_{1}} = \mathfrak{M}_{G_{2}}$ und
$\mathfrak{N}_{G_{1}'} = \mathfrak{N}_{G_{2}} \rightarrow \mathfrak{N}_{G_{1}} =
\mathfrak{N}_{G_{1}'}$.\\
Also $\mathfrak{N}_{G_{1}} = \mathfrak{N}$ f\"ur alle $G$ in $p$-Klassen.\\
(c) Beh: $\underline{\mathfrak{N} \unlhd \mathfrak{G}}$\\
Bew: $\mathfrak{N}\,G = G^{\mathfrak{A}}$, $\mathfrak{N}\,G^{-1} =
(G^{-1})^{\mathfrak{A}} = (G^{\mathfrak{A}})^{-1} = G^{-1}\,\mathfrak{N} \qquad
\mathfrak{N} \vee G''$\\
\\
II. Zus\"atzlich zu I sei jetzt vorausgesetzt $\mathfrak{G} \unlhd
\mathfrak{G}\,\mathfrak{A}$. Dann ist $\mathfrak{N}$ ebenso wie $\mathfrak{G} /
\mathfrak{N}$ elementweise fest bei \"Ahnlichkeitstransf. mit $\mathfrak{A}$.\\ 
$[:h]\,|[\mathfrak{G},\,\mathfrak{A}]| = p\,[:h]$\\
Bew: $\mathfrak{N}$ ebenso fest wegen $(\mathfrak{N}) = p,\,
(\mathfrak{A}) = p^{\alpha}$, und $\mathfrak{N}$ inv gegen $\mathfrak{A}$, da
$\mathfrak{N} = G^{G} \cdot (G^{-1})^{\mathfrak{A}} \cdot
\mathfrak{G} / \mathfrak{N}$ fest wegen $G^{\mathfrak{A}} = \mathfrak{N}\,G$.  
\\
$\textbf{Seite 49}$\\
\\ 
III. \"Uber I, II hinaus sei nun $\mathfrak{A}$ eine $p$-Sylowgr. von
$\mathfrak{B}$, auch $\mathfrak{B} \vee \mathfrak{G}$, in der Darst. als Permgr mit den Symbolen aus
$\mathfrak{G}$. Sei $\overline{\mathfrak{A}}$ ein $p$-Sylowkomplement,
$\overline{\mathfrak{G}}$ seine Fixgruppe in $\mathfrak{G}$. Dann gilt
$(\overline{\mathfrak{A}})\,|\,p - 1$, $\overline{\mathfrak{A}}$ zyklisch\\
$\mathfrak{A} \unlhd \mathfrak{B}$, $\mathfrak{G} =
\mathfrak{N}\,\overline{\mathfrak{G}}$, $\mathfrak{A}$ zentralisiert $\mathfrak{N}$, aber
kein El aus $\overline{\mathfrak{G}}$\\
Typ $\mathfrak{A} = (p_{1},\cdots,\,p)$ $\mathfrak{B}$ aufl\"osbar $E \not= \overline{A} \in
\overline{\mathfrak{A}}$ zentralisiert $\overline{\mathfrak{G}}$, aber kein El aus $\mathfrak{N}$.\\
$[$Weitere starke Einschrken f\"ur den Zusammenbau von $\mathfrak{N}$ und
$\overline{\mathfrak{G}}$ ergeben sich aus dem Umstand, dass f\"ur $A \in
\mathfrak{A}$ stets $Z \rightarrow Z^{A -1}$ in Homomorphismus des Zentralisators
$\mathfrak{Z}$ (von $\mathfrak{N}$ in $\mathfrak{G}$) in $\mathfrak{N}$ ist$]$\\
Bew: Nach II sind $\mathfrak{N}$ und $\mathfrak{G} / \mathfrak{N}$ elementweise fest bei
$\mathfrak{A}$, ebenso aber auch bei allen $\mathfrak{A}^{B}$, also auch bei
deren Erzeugnis $\mathfrak{K}$. Hierdurch hat jedes $K$ die Ordnung $p$, also
$\mathfrak{K} = \mathfrak{A}$, $\mathfrak{A}  \unlhd \mathfrak{B}$, und weil nur
Transs der L\"ange $p$ von $\mathfrak{A}$ auftreten, ist $\mathfrak{A}$ von Typ
$p,\cdots,\,p$. Die Darstellg von $\mathfrak{B}$ in den Klassen von $\mathfrak{G}$
zeigt, da $\mathfrak{A} \lhd \mathfrak{B}$, dass $\mathfrak{B}$ aufl\"osbar; ist
$\overline{\mathfrak{A}}_{p}$  Sylowkomplement, so deckt die Fixgruppe
$\mathfrak{G}$ von $\overline{\mathfrak{A}}$ in $\mathfrak{G}$ ganz $\mathfrak{G}/\mathfrak{N}$, denn in jeder Klasse von $\mathfrak{G}$ bleibt ein Element fest. L\"asst ein El von $\overline{\mathfrak{A}}$ auch $\mathfrak{N}$ 
auch $\mathfrak{N}$ elementweise fest, so
hat es Ord $p,\,1$, also Ord 1, dh. kein $\overline{A} \not= E$ l\"asst
$\mathfrak{N}$  elem w. fest: $\overline{\mathfrak{G}} \cap \mathfrak{N} = E$
wenn $\overline{\mathfrak{A}} \not=  E$ \\
\\
$\textbf{Seite 50}$\\
\\
Daher l\"asst kein $\overline{A} \in \overline{\mathfrak{A}}$ mit $\overline{A}
\not= E$ zwei Elemente aus $G^{\mathfrak{A}}$ fest, also
$(\overline{\mathfrak{A}})\,|\,(p - 1)$, $\overline{\mathfrak{A}}$ zyklisch.
Hieraus folgt, da\ss $\,\,\overline{A}$ in $\mathfrak{A}$ eine feste Potenzierg
bedeutet: $\overline{A}^{1}\,A\,\overline{A} = A^{k}$, $k = k(\overline{A})$.\\
\\
Zur weiteren Untersuchung dieser Verh\"altnisse sollte man wissen, f\"ur welche
$p$ der Satz gilt, dass in jeder trans. Permngr des Grades $p$ je zwei
Untergruppen des Index $p$ konjugiert sind. \underline{Immer} gilt das nicht:\\
Gegenbeispiel 1: Sei $\mathfrak{G} = \{A,\,B,\,C\}$ mit 
$\left\{ 
\begin{array}{ll}
A = (124)\,(056)\\
B = (12)\,(36)\\
C = (0123456)
\end{array} \right.$\\
Dann sind die 7 Tripel\\
013 $\quad$ insgesamt bei $\mathfrak{G}$ invariant. Die Untergr $G = \{A,\,B\}$,
vom \\
124 $\quad$ Index 7, die 124 fest l\"asst, l\"asst keine Ziffer\\
235 $\quad$ fest, ist also nicht konjuguert zu $\mathfrak{G}_{1}$. $[:h]$ auch P.Hall\\
346 $\qquad \{A,\,B\} = 056 \cdot 053 = (03) \, (56)$\\
450 $\qquad$ Ord $\{A,\,B\} = 6 \cdot 4 = 24$\\
561 $\qquad$ Ord $ \mathfrak{G} = 7 \cdot 6 \cdot 4 = 168 \,[:h]$\\
602\\
\\
NB: ($\mathfrak{G}$) = 660 enth\"alt $\mathfrak{A}_{5}$. In dieser wird durch
die Einbettung $S$-Ring mit Basis zahlen 1, 1, 1, 1, 1 erzeugt
\begin{flushright}
11, 11, 11, 11, 11
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad
\end{flushright}
$[:h]$ Das bezieht  sich wohl auf S.51 oben. $[:h]$
\\
$\textbf{Seite 51}$\\
\\
Gegenbeispiel 2: $\mathfrak{G} = \{A$, $B$, $C\}$ mit $A =
(14593)(2\,8\,X\,7\,6)(0)$\\
$B = (4\,5)(3\,9)(0\,7)(6\,X)$, $C = (0\,1\,2\,\dots\,7\,8\,9\,X)$.\\
Hier sind die 11 Quintupel, die durch Anwendung von $C^{i}$ auf 14593 entstehen invar bez
$G = \{A,\,B\}$.\\
\\
Dagegen gilt f\"ur $p = 2^{2^{\alpha}} + 1$: $\mathfrak{G}$ hat keine Ugr $G$
des Index $p$ au\ss er $\mathfrak{G}_{1},\dots,\,\mathfrak{G}_{p}$. Denn sei
$\mathfrak{K}$ ein Transs von $\mathfrak{G}$ (mit den Potenzen eines $p$-Zyklus
$P$ als Symbolen), so ist $\mathfrak{K}\,\mathfrak{K}^{-1} = k' +
l\,\mathfrak{p}$, $\mathfrak{p} = \{P\}$, weil $\mathfrak{K}\,\mathfrak{K}^{-1}$
im Transitivitätsring von $\mathfrak{G}_{1}$, liegt. Also ist $\mathfrak{K}$ nicht singul\"ar (weil
$k' \not= 0$), daher haben $\mathfrak{G}_{1}$ und $\mathfrak{H}$ gleich viel Transsysteme,
d.h. 2: $\mathfrak{H}$ hat $\mathfrak{K}$ und $\mathfrak{p} - \mathfrak{K} = \mathfrak{L}$.\\
$[:h]$ Nun $P = 2^{2^{\alpha}} + 1$ ! $[:h]$ $\mathfrak{K}\,\mathfrak{L} = \frac{k\,l}{p - 1}(\mathfrak{P} - E)$ gibt $p -
1\,|\,kl$; $(k,\,l) = 1 \quad$ da $[:h]\,k + l = p\,[:h]$. $2|k \rightarrow p -
1\,|\,k \quad k = p - 1$, $l = 1$: $\mathfrak{H} = \mathfrak{G_{1}}$.\\
NB: Da $p$ beliebig hat ? ($\mathfrak{K}$) mit $p - 1$ volle Prim\"arteilern von $p - 1$. \\
$[:h]$ gemeinsam; $[:h]$ so ergab Rechng: bei $p = 13$?, $17$, $19$? ist nur $l = 1$ m\"oglich $2 + l$).
\begin{flushright}
13 = 4 + 9,\quad 19 = 10 + 9
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\quad
\end{flushright}    
Allg. Zusammenhang zwischen \underline{verschiedenen} Permut-Darstellungen
derselben Gruppe $\mathfrak{G}$, etwa noch $\mathfrak{H}_{1},\,\mathfrak{H}_{2}$: Ist
$\mathfrak{K}_{1}$ ein Transs von $\mathfrak{U} \leq \mathfrak{G}$ bei Darst nach
$\mathfrak{H}_{1}$, also $\mathfrak{H}_{1}\,\mathfrak{K}_{1}\,\mathfrak{U} \leq \mathfrak{H}_{1}\,\mathfrak{K}_{1}$, und $\mathfrak{I}$
ein Transs von $\mathfrak{G}_{1}$ bei Darst nach $G_{2}$, also $\mathfrak{H}_{2}\,\mathfrak{I}\,\mathfrak{H}_{1} =
G_{2}\,\mathfrak{I}$, so wird $\mathfrak{H}_{2}\,\mathfrak{I}\,\mathfrak{K}_{1}\,\mathfrak{U}_{1} \leq
\mathfrak{H}_{2}\,\mathfrak{I}\,\mathfrak{K}_{1}$, also $\mathfrak{I}\,\mathfrak{K}_{1}$ besteht aus vollen
Transs von $\mathfrak{U}$ bei Darstell nach $\mathfrak{H}_{2}$. Ist $\mathfrak{I}$ nicht singul\"ar, so\\
\\
$\textbf{Seite 52}$\\
\\
wird die  zweite Darst. der ersten im Bereich der Matrizen \"ahnlich, jede Ugr $\mathfrak{U}$ hat
in \underline{beiden} Darstellungen den gleichen Charakter, dh die gleiche
Anzahl von Transitivit\"atssystemen. (Das kann also nur bei $(\mathfrak{H}_{1}) =
(\mathfrak{H}_{2})\,G$.\\
Fortsetzung S.166\\
$[:h]$ Kurz: Trans $\mathfrak{B}$ nach $\mathfrak{A}$. Trans $\mathfrak{L}$ nach $\mathfrak{B} =$\\
Trans $\mathfrak{L}$ nach $\mathfrak{A}$. NB: Das gilt in dieser Allgemeinheit wohl nicht ein gemeinsames Komplement zu $\mathfrak{H}_{1}$ und $\mathfrak{H}_{2}$. Ist wohl vorauszusetzen wie einen Fall $n = p$, $h_{1} = h_{2} = \frac{p}{q}$ existiert. \\
\\
\\
26.1.53 Knoche gesagt: Klasse einer $p$-Gruppe $\mathfrak{G} \leq \beta + 1$,
wenn $\beta \leq p$, $\beta =$ "'Breite $\mathfrak{G}$"', dh $p^{\beta} =
\max\limits_{A}\,(\mathfrak{G}:\mathfrak{N}_{A})$,
$\mathfrak{N}_{A}$ Nor$_{G}\,\,A$.\\
Bew: Sei \underline{$c = \beta + 2$}, dann sind f\"ur jedes $A \in
\mathfrak{G}$, $A \notin \mathfrak{Z}_{1}(\mathfrak{G})$ unter $\mathfrak{N}_{A} =
\mathfrak{N}_{A}\,\mathfrak{Z}_{1} \leq \mathfrak{N}_{A}\,\mathfrak{Z}_{2} \leq
\dots \leq \mathfrak{N}_{A}\,\mathfrak{Z}_{c} = \mathfrak{G}$ zwei
aufeinanderfolgende Glieder gleich, da sonst $\mathfrak{G}$: 
$\mathfrak{N}_{A} \geq p^{c-1} \geq p^{\beta + 1}$. Nun ist
$\mathfrak{R}_{A}\,\mathfrak{Z}_{c-1} \not= \mathfrak{G}$, wenn die
$\mathfrak{Z}_{i}$ die \underline{ab}steigende Zentralreihe sind und $A \notin$ Zentrum
$\mathfrak{G}\,\,^{*}$.\\
Also $\mathfrak{N}_{A}\,\mathfrak{Z}_{i} = \mathfrak{N}_{A}\,\mathfrak{Z}_{i-1}
\qquad i < c$\\
dh jedes $Z_{i} = N_{A}\,Z_{i - 1}$, $(Z_{i}$, $A) \in \mathfrak{Z}_{i - 2}$,
dh. $A$ zentralisiert eine $\mathfrak{Z}_{i}\,/\,\mathfrak{Z}_{i-2} \quad (i =
2,\dots,\,c - 1)$. \underline{Diese} $A$ bilden echte Untergruppe $\mathfrak{G}_{i} \geq$ 
 Zem $\mathfrak{G}_{i}\, \sl{2}{c-1} \mathfrak{G}_{i} = \mathfrak{G}$, also ihre
Anzahl $\geq p + 1$, $c - 2 \geq p + 1 \qquad \underline{c \geq p + 3 \geq \beta
+ 3}$ geht nicht.\\
Versch\"arfungen ergeben sich, wenn man ihr $\mathfrak{Z}$ em $\mathfrak{G}$
eine Zentral $\Phi$ \underline{Reihe bildet}, statt gew\"ohnl Zentralreihe.\\
$[:h]\,\,^{*}\,\,\mathfrak{N}_{A}\,\mathfrak{G}' = \mathfrak{G} \rightarrow \mathfrak{N}_{A}\,\phi\,(\mathfrak{G}) = \mathfrak{G} \rightarrow \mathfrak{N}_{A} = \mathfrak{G}\,[:h]$ 
\\
$\textbf{Seite 53}$\\
\\
19.1.53 Eine notwendige Bedingung f\"ur die Aufl\"osbarkeit einer primitiven
Permutationsgruppe besteht darin, da\ss\\
(1) $n = p^{a}$, (2) f\"ur jede Untergruppe $\mathfrak{U}$ gilt gilt $n - Gr\,\mathfrak{U} = p^{\beta_{\mathfrak{U}}}$. Denn die von $\mathfrak{U}$ festgelassenen Ziffern entsprechen den
Elementen des minimalen Normalteilers $\mathfrak{N}$ die von $\mathfrak{U}$ zentralisiert werden;
diese bilden eine Untergr von $\mathfrak{N}$.$[$Schon bei 
$\left\{ 
\begin{array}{ll}
$Galois$\\
$G\"osta Beuht$
\end{array} \right.$ ? $]$\\
Frage: Ist diese Bedingung auch hinreichend ?\\
NB: Ent\"alt eine Permgr $\mathfrak{G}$ einen trans reg Normalteiler, so bilden,
in dessen Elementen als Vertauschsymbolen, die Transitivit\"atssysteme jeder
Untergruppe von $\mathfrak{G}_{E}$ einen $S$-Ring. Allg also, wenn
$\mathfrak{N}$ reg in $\mathfrak{G}$, aber $\not= \mathfrak{G}$, dann gilt das
f\"ur die $\mathfrak{U} \leq$ Nor $\mathfrak{N}$, so wie f\"ur jedes $\mathfrak{U} = G_{1}$, wenn
$\mathfrak{N} \leq G \leq \mathfrak{G}$.\\
\\
Ist $\mathfrak{G}$ aufl\"osbare prim Permgr, so l\"asst sich jede Untergr.
$\mathfrak{G}_{1}' \leq \mathfrak{G}_{1}$ darstellen als $\mathfrak{G}_{1}' =
\mathfrak{G}_{1} \cap \mathfrak{G}'$, wo $\mathfrak{G}_{1}'$ eine trans Untergr
von $\mathfrak{G}$. Gilt auch Umkehrung ?\\
\\
\\
Nicht jede Matrix ist unit\"ar \"ahnlich einer komplexen symmetrischen Matrix
(sonst w\"are jede Matrix ihrer Transponierten unit\"ar \"ahnlich, die EV
w\"urden denselben Winkel bilden wie die transp.). Also Frage:
\underline{Welche} Matrizen $A$ sind zu $A'$ unit\"ar \"ahnl. ?\\
$[:h]\,\uparrow$ an Schnitzer 12.10.57 $[:h]$\\
\\
$\textbf{Seite 54}$\\
\\
11.2.53 Spektraltheorie unit\"arer Operatoren.\\
1) $U$ unit\"ar, $f$ Laurent-Polynom  $\rightarrow$ $Sp\,f(U) =
f(Sp\,U)$\\
$f = \sl{-n}{n} a_{\nu}\,U^{\nu} \qquad \lambda \in sp\,f(U) \rightarrow 0 \in Sp
\enspace \sl{-n}{n}\,a_{\nu}\,U^{\nu + n} - \lambda\,U^{\nu} \rightarrow
\omega \in Sp\,U$, $\sum\,a_{\nu}\omega^{\nu} = \lambda \rightarrow f(\omega) = 0
\quad *)$\\
2) $f$ reelles trigon. Polyn, $f \geq 0$ auf $Sp\,U \rightarrow f(U) \geq 0$
denn $f$ in $\mathfrak{W}_{f(U)} \in Sp\,f\,(U)$.\\
3) Kgenzsatz: $I \geq A_{1} \geq A_{2} \geq, \dots \quad \geq 0 \rightarrow A_{n}
\rightarrow 0$\\
dies mit Hilfssatz: 0 $\leq A_{p} - A_{q} \leq I \rightarrow 0 \leq ( A_{p} -
A_{q})^{2} \leq ( A_{p} - A_{q})$\\
4) Def von $f(U)$ f\"ur $f = \lim  \searrow f_{n}$\\
Hieraus Spektralt unbeschr. Hermitescher Op: Cayley\\
$^{*}$ \"Ahnlich Riesz-Nagy 117 zum Beweis : $I(z) \geq 0 \rightarrow t(z) =
|s(z)|^{2} \cdot$ Fej$\acute{e}$r Zfm \underline{146}, 53\\
Zur Spektraltheorie normaler Operatoren:\\
F\"ur $x - y$ Polynom $f$ gilt $Sp\,f\,(N) \subseteq  f(Sp\,N)$\\
Bew: sei $0 \in Sp\,f\,(N)$. Dann ($f$ sei reell) mit Spektralzerlegg f\"ur
$f(N)$: es gibt zu jedem $\varepsilon > 0$ ein $E_{\varepsilon}$ so dass
$E_{\varepsilon}\,\cal{R} \not=$  0 und $\|f(N)\,E_{\varepsilon}\| <
\varepsilon$. W\"ahle $\lambda_{\varepsilon} \in Sp\,\cal{N}_{\varepsilon}$
beliebig, wobei $\cal{N}_{\varepsilon}$ die Einschr\"ankg von $\cal{N}$ auf
$E_{\varepsilon}\,\cal{R}$. Dann ist $f(\lambda_{\varepsilon}) \in
Sp\,f(\cal{N}_{\varepsilon})$, also $|f(\lambda_{\varepsilon})| \leq
\varepsilon$. $\varepsilon \rightarrow 0$: $\lambda_{\varepsilon} \rightarrow
\lambda$ (Teilfolge), $f(\lambda) = 0$.\\
\\
$\textbf{Seite 55}$\\
\\
1.3.53 Zum Beweis des Satzes, dass der abg. Stellungsvorrat einer hermiteschen
Paarung die konv H\"ulle des Spektrums ist:\\
Man braucht dazu nicht den vollen Satz von der allgemeinen Konvexit\"at des
Stellungsvorrates. Sondern es gen\"ugt zu zeigen, dass mit $0,\,\,\infty \in
Sp\,P$ die ganze Gerade $\overline{S_{0}\,S_{\infty}} \in \overline{\rm{stg}\,\,P}$.
Bew f\"ur das Letztere: Nach Vor gibt es $\frac{y^{n}}{x^{n}} \in P$,
$\frac{y'^{n}}{x'^{n}} \in P$ mit $\|x_{n}\| = \|y'_{n}\| = 1$, $y_{n}
\rightarrow 0$, $x_{n}' \rightarrow 0$. Wegen $P = P^{*}$ gilt $(x_{n},\,y'_{n})
- (y_{n},\,x_{n}') = 0$, also $(x_{n},\,y_{n}') \rightarrow 0$, also f\"ur jedes $\alpha \geq \overline{\alpha}$: $\frac{\tilde{y}_{n}}{\tilde{x}_{n}} = \frac{y_{n} + \alpha\,y'_{n}}{x_{n}
+ \alpha\,x'_{n}} \in P$ mit $\|\tilde{x}_{n}\| \rightarrow 1$,
$(\tilde{x}_{n}$, $\tilde{y}_{n})  \rightarrow 0$.\\
$(\tilde{y}_{n},\,\tilde{y}_{n}) \rightarrow \alpha^{2}$; also $\{0,\,0,\,\alpha^{2}\} \in
\overline{\rm{stg}\,P}$.\\
\\
Damit hat man den entsprechenden Satz f\"ur schiefe und unit\"are P.\\
\\
Geh\"ort ein im Innern der Parabel gelegener Randpunkt des (reellen)
Stgsvorrats von $P = P^{*}$ zu $\rm{stg}\,\,P$, so sind beide Enden der durch ihn
gehenden St\"utzgeraden EWe.\\
Bew: OBdA sei $0 \leq A \leq I$, $|x| = 1$, $(A^{2}x,\,x) = (A\,x,\,x) \not= 
\begin{array}{cc}
0\\
1
\end{array}$\\
Dann ist $A\,x = x_{1} \not= 0$, $(I - A)\,x = x_{0} \not= 0$, aber ferner
$(\,\underbrace{(A - A^{2})}_{\geq 0}\,x,\,x) = 0$, also $(A -
A^{2})\,x = 0$, $A\,x_{0} = A_{1}\,x_{1} = 0$; 0, 1 EW. Also wenn $Psp\,P$
leer, ist $\rm{stg}\, P$ eine \underline{offene} Menge.\\
$\#$ Insgesamt ist $\rm{stg}\, P =$ konv H\"ulle $P_{sp}\,P \,
\bigoplus\limits_{\text{konv}}$ Inneres der konv H\"u $K_{sp}\,P$.
\\
$\textbf{Seite 56}$\\
\\
III 53: Bartsch, Helmut, in Hamburg\\
hat dem Arch Math. am 28.2. den folgenden Satz eingesandt: Sind $A,\,B$
hermitesch, $B \gg 0$, $y = A\,\mathfrak{x}$, $\mathfrak{z} = B\,\mathfrak{x}$,
und liegen alle Quotienten $q_{j} = \frac{y_{j}}{x_{j}}$ in einem abg. Kreis
(wobei $x_{j} = 0 \rightarrow y_{j} = 0$ vorausgesetzt wird, und dann wird
$q_{j}$ weggelassen), so liegt mindestens ein EW von $A\,\mathfrak{x} =
K\,B\,\mathfrak{x}$ in dem Konzentr. Kreis mit Radius $\sqrt{\frac{\beta
\max}{\beta \min}}\enspace \cdot$ alter Radius; d.h.\\
$|q_{j} - m| \leq r \quad s = 1,\cdots,\,n \rightarrow$ einmal $|K_{j} - m| \leq \sqrt{\frac{\beta
\max}{\beta \min}} \cdot r \cdot$\\
\\
\\
25.3.: Frage: Kann man die Vertauschbarkeit normaler Matrizen schon aus der
Eigenschaft $P$ f\"ur endlich viele Polynome $f(x,\,y)$ erschliessen, die nicht
linear sind ?\\
\\
\\
Frage von Ky Fan: Sei $\zeta \in W^{(2)}_{A} \longleftrightarrow \zeta = Sp\,V^{*}A\,V$,
$V = (x\,y)$, $V^{*}\,V = E$.\\
Ist $W^{(2)}_{A}$ konvex ?\\
Bemerkung: Antwort ist "'ja"', falls die Nullstellen jeder hermiteschen Form von
$n^{2}$ Variablen auf der unit\"aren Gruppe zusammenh\"angen.\\
\\
$\textbf{Seite 57}$\\
\\
1. Vermutung:
\begin{quote}
Geh\"ort ein Randpunkt zum Stellungsvorrat von $A$, so besitzt $A$
einen ( Punkt.) Eigenwert. (Ev. $A = A^{*}$ vorraus)
\end{quote}
2. Aufgabe:   
\begin{quote}
Extremaleigenschaften der Eigenwerte normaler Matrizen (mittels
$_{3}\mathfrak{W}_{A}$). (Oder mittels $\sum [c'_{i}\,Re\,\alpha_{i} +
c''_{i}\,Im\,\alpha_{i}]$.)
\end{quote}
3. Aufgabe:
\begin{quote}
Wann kann ein komplexer Vektor $x$ in einen anderen gegebenen
mittels einer doppelt stochastischen Matrix \"ubergef\"uhrt werden ? $[:h]$ Die
Bedingung sollte sich mittels konvexer H\"ullen von je $m$ $y_{i}$ bzw $x_{i}$
aussprechen lassen.\qquad \qquad Horn ? $[:h]$
\end{quote}
4. Aufgabe:
\begin{quote}
Spektrenvorrat von $A_{1} + A_{2}$, allg. $A_{1} + \cdots + A_{m}$ f\"ur
hermitesche Matrizen $A_{\mu}$ mit bekannten Spektrum genau bestimmen. Entspr.
$f$ normale $A_{\mu}$. Dann $A_{1}\,A_{2} \dots A_{m}$ ? $A$ no\\
$[:h]$ Lidski$\breve{\rm{i}}$ $[:h]$
\end{quote}
5. Allgemeine Frage:
\begin{quote}
Welches sind die genauen Ungleichungen, die zwischen den
EWerten $[$ von $A$ und den EWen$]$ der Projektionen $A_{i}$ von $A$ auf
gegebene Teilr\"aume $R_{i} \subseteq R$ bestehen ? Allg. $A_{i} =
T_{i}^{*}A\,T_{i}$; $T_{i}$ gegeben\\
$[:h]$ insbesondere siehe S. 57 Nr.2 $[:h]$
\end{quote}
$\textbf{Seite 58}$\\
\\
Frage:
\begin{quote}
Gilt f\"ur die Elementarteiler $\alpha_{i}$, $\beta_{i}$, $\gamma_{i}$ von $A$,
$B$, $C = A\,B$\\
$\alpha_{3}\,\alpha_{5}\,\alpha_{6}\,\,\beta_{1}\,\beta_{2}\beta_{3}
\,|\,\gamma_{3}\,\gamma_{5}\,\gamma_{4}$ usw ?\\
Beweis mit einer Minimaxeigenschaft der Elementarteiler ?\\
$[:h]$ aus Schnitzer X 57 $[:h]$
\end{quote}
2.
\begin{quote}
Ist $A = 
\left( 
\begin{array}{cc}
B & C \\
C^{*} & D
\end{array} \right) = A^{*}$, EWe $\alpha_{1} \geq \dots \geq \alpha_{n}$ usw., so
gilt (in Verallg. des Satzes von Aaronszajn ?) 
$\beta_{1} \geq \dots \beta_{h}$, $\delta_{h + 1} \geq \dots
\geq \delta_{n}$ $\beta_{1} + \delta_{m} \leq
\alpha_{1} + \alpha_{m}$
\end{quote}
3.
\begin{quote}
\underline{Frage von Transkyy}: F\"ur welche Werte von $c$ ist es wahr, dass jede
matrix $A$ mit den EWen $\alpha_{1},\cdots,\,\alpha_{n}$, zu der es eine
Permutation $k_{1},\cdots,k_{n}$ gibt so dass $A + c\, A^{*} + [A,\,A^{*}]$
die EWe $\alpha_{i} + c\,\overline{\alpha}_{k_{i}}$ hat, normal ist ? Sie weiss: 
$\begin{array}{cc}
\text{a) richtig f\"ur }c = 1\\
\text{b) falsch f\"ur }c < 0
\end{array}$
\end{quote}
II. Der \underline{Trennungssatz} sollte etwas allgemeiner so formuliert werden:
Zwei Spektren, die mit dem selben \underline{Momentenpkt} vertr. sind, k\"onnen
nicht durch einen Kreis getrennt werden.\\
\\
$\textbf{Seite 59}$\\
\\
\underline{Kontinuit\"atsschluss}: Ist $A \subseteq B$, $A,\,B$  
 abgeschlossen, enth\"alt $A$ einen inneren Pkt von $B$ und ist Rand
$A \subseteq$ Rand $B$, so das ganze Innere von $B$ in $A$ enthalten.\\
\\
\\
Ist \underline{$Sp\, A = 0$, $A$  beliebige $n\,\times\,n$-Matrix}, so gibt es
$U$ unit\"ar mit $U^{-1}\,A\,U = B$ $b_{ii} = 0$ $(i = 1\dots k)$\\
Bew: $0 \in$ konv H\"ulle Spektrum $\alpha\,v_{i} \subseteq \enspace _{2}\mathfrak{W}_{A}$, also
$A$ \"ahnl. 
$\left( 
\begin{array}{cc}
0 & v \\
| & M
\end{array} \right)$ 
$Sp\,M = 0$ Indukt.\\
\\
\\
\underline{Gewichte bei der numerischen Integration} $\il{a}{b}f(x)\,dx$
k\"onnen zwar im Innern alle $= 1$ gew\"ahlt werden, und man kan durch geeignete
Wahl der \"aussersten Gewichte daf\"ur sorgen. dass die Formel f\"ur $x^{0}$,
$x^{1}$,\dots, $x^{k}$ genau ist. Aber der Faktor bei Max $|f^{(k + 1)}|$
f\"allt viel gr\"osser aus, als wenn man das Gesamtintervall in St\"ucke unterteilt
und / oder von diesen einzeln nach der Formel gleicher ordnung integriert.\\
Z.B mittels Simpson wird
$\frac{1}{3}\frac{4}{3}\frac{2}{3}\frac{4}{3}\frac{2}{3}\frac{4}{3}\frac{2}{3}\frac{4}{3}\frac{2}{3}\frac{4}{3}\frac{2}{3}\frac{4}{3}\frac{1}{3}
= \il{0}{12} + \frac{48}{6!}\,f^{IV}$\\
\begin{flushright}
\text{dagegen ist} $\qquad \frac{16}{66} \frac{17}{66}\,1
\,1\,1\,1\,1\,1\,1\,1\,1\frac{17}{66}\frac{16}{66} = \il{0}{12} + \frac{18750}{6!}\,f^{IV} 
\qquad\qquad\qquad$
\end{flushright}
$\textbf{Seite 60}$\\
\\
Der \underline{absolut gr\"osste Eigenwert einer Matrix} $(a_{ik})$ braucht
nicht jeder Halbebene anzugeh\"oren, die alle $a_{ik}$ enth\"alt.
Gegenbeispiel: 
$$\left( 
\begin{array}{ccc}
0 & i & 1 \\
-i & 0 & i\\
1 & -1 & 0
\end{array} \right) \rm{ hat -2, 1, 1}.$$
Rangs\"atze f\"ur $n = 3$, wenn $Rg\,(A - B) = Rg\,(A - C) = Rg\,(C - A) = n$ VIII 61\\
$\textbf{Graph}$\\
\\
\underline{Shenandoah-Valley-Theorem (9.5.53):}$^{*}$\\
Ist $A = (a_{K\,\lambda})$ eine beliebige $n \times n$-Matrix, $B =
(b_{k\,\lambda})$ eine Diagonalmatrix, $\alpha$ ein EW von $A$, $C = A - B$,
$r_{i} = \sl{k}{}|c_{ik}|$, $s_{i} = \sl{k}{}|c_{ik}|$, so gibt es ein $i$ mit
$|\alpha - b_{ii}| \leq [r_{i}\,s_{i}]^{\frac{1}{2}}$.\\
NB: F\"ur $B = 0$ bei Barankin BAMS 51 (1945), 767 - 770. Auch VII$_{10}$\\
Bew: 1) Es ist mit $D = \alpha\,I - B$ und $x = EV$ $A$ zu $\alpha$
\begin{flushright}
$C\,x = D\,x
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\qquad\qquad\qquad\,\,$\\
$D^{-1}C\,x = x\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\qquad\qquad\qquad$
\end{flushright}
also mit $\tilde{M} = (|m_{ik}|)$ generell, wenn $\mu (M)$ die Max-Wu ist:
$$\mu\,(\tilde{D}^{-1}\,\tilde{C}) \geq 1.$$
2) Es ist mit $e = 
\left( 
\begin{array}{cc}
1\\
1\\
\cdot\\
1
\end{array} \right) \qquad \tilde{C}\,e = R\,e \qquad R = 
\left( 
\begin{array}{ccc}
r_{1} & &\\
 & \ddots & \\
& & r_{n}\\
\end{array} \right)$
\begin{flushright}
$\tilde{C}^{*}\,e = S\,e \qquad S = 
\left( 
\begin{array}{ccc}
s_{1} & &\\
 & \ddots & \\
& & s_{n}\\
\end{array} \right) \qquad\qquad\,\,\,\,\,\,$
\end{flushright}
$R^{-1}\,\tilde{C}\,e = S^{-1}\,\tilde{C}^{*}\,e = e$, also $R^{-1}\,\tilde{C}\,S^{-1}\,\tilde{C}^{*}\,e = e$.\\
$^{*}$ \underline{Allgemeiner  bei Ostrowski}, \"uber das Nichtverschwinden etc, Comp. Math.\\
9, 209 - 226 (1951): ein $|\alpha - b_{ii}| \leq r_{i}^{p}\,s_{i}^{1 - p}$ N.B. $\leq    
 P\,r_{i} + (1 - p)\,s_{i} $, wenn $0 \leq p \leq 1$ gegeben.\\
Bew mit $A\,x = 0$, H\"olders Ungleichung 
\\
$\textbf{Seite 61}$\\
\\
Da diese Matrix $\geq 0$, $e \geq 0$, ist 1 die Max-Wu der Matrix. Also\\
$1 = \mu\,(R^{-\frac{1}{2}}\,\tilde{C}\,S^{-\frac{1}{2}}.\enspace S^{-\frac{1}{2}}\,\tilde{C}^{*}\,R^{-\frac{1}{2}})$.\\
3) Allgemein ist $\mu(M^{*}\,M) \geq \mu(M)^{2}$, denn $M\,p = \mu(M)\,p$, $\mu(M^{*}\,M)\,p^{*}\,p \geq  p^{*}\,M^{*}\,M\,p = \mu^{2}(M)\,p^{*}\,p$.\\
4) Nach 2) und 3) ist $1 \geq \mu\,(R^{-\frac{1}{2}}\,\tilde{C}\,S^{-\frac{1}{2}}) = \mu\,(S^{-\frac{1}{2}}\,R^{-\frac{1}{2}}\,\tilde{C})$\\
W\"are $\tilde{D}^{-1} < S^{-\frac{1}{2}}\,R^{-\frac{1}{2}}$ so w\"are erst auch $\mu\,(\tilde{B}^{-1}\,\tilde{C}) < 1$ im Widerspruch zu 1).\\
\\
\underline{NB}: Es braucht keine Paarung der EWe $\alpha_{i}$ zu den $b_{ii}$ zu geben, so da\ss $\,\, |\alpha_{i} - d_{ii}| \leq  [r_{i}\,s_{i}]^{\frac{1}{2}}$ f\"ur \underline{alle} $i$. Gegenbeispiel: $A = 
\left( 
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0\\
1 & \alpha & \beta \\
0 & \gamma & \delta\\
\end{array} \right)$ hat beliebig vorzuschreibende EWe: $\underline{\alpha} + \delta = c_{_{|}}\quad$; $\quad -1 + \alpha\,\delta - \underline{\beta\,\gamma} = c_{2}\quad$; $\quad -\underline{\delta} = c_{3}$ \\
\\
\\
\underline{Rangs\"atze f\"ur normale Matrizen}: (Fortsetzung von S.7)\\
Seien $A$, $B$ normal, $Rg\,A - B = r$.\\
1) 
\begin{quote}
$r = 1$, $\mathfrak{K}$ ein Kreisbereich der alle $\alpha_{\nu}$, und $\geq$
drei davon auf seinem Rande $\dot{\mathfrak{K}}$ enth\"alt $\rightarrow
\dot{\mathfrak{K}}$ enth\"alt ein $\beta_{\nu}$, $[:h]\,\,\mathfrak{K} \geq n -1$, $\overline{\mathfrak{K}} \leq 1$. $[:h]$\\
\end{quote}
2)
\begin{quote}
$r$ beliebig, $\mathfrak{K} =  \mathfrak{K}_{1} \cap \mathfrak{K}_{2} $ ein Kreisring (dh 
$\mathfrak{K}_{1} \cup \mathfrak{K}_{2} =$ Alles)\\
$\mathfrak{K}$ enth\"alt $k$ EWe von $A \rightarrow \mathfrak{K}$ enth\"alt $\geq k - 2\,r$ EWe von $B$.\\
z.B.\\
\end{quote}
3)
\begin{quote}
$A$ herm, $B$ nor $\rightarrow B$ hat $\geq n - 2r$ reelle EWe.\\
$[:h]$ Frage bei 3) $r = 1\qquad A \vee B$ oder $B$ hermitesch ?!\\
Forts. S 69\\
Frage : Durchschnitt beliebiger Kreisbereiche $[:h]$
\end{quote}
$\textbf{Seite 62}$\\
\\
\underline{Aufgabe \"uber Binomialkoeffizienten:}\\
a) $\sl{\nu = 0}{n}\,
\left( 
\begin{array}{cc}
n + \nu\\
\nu
\end{array} \right)\, 2^{n - \nu} = 4^{n}$\\
b) $\sl{0}{n}\,
\left( 
\begin{array}{cc}
n + \nu\\
\nu
\end{array} \right) = 
\left( 
\begin{array}{cc}
2n - 1\\
n
\end{array} \right)  $\\
Bew a): $s =$ Koeff $x^{n}$ in $\sl{v = 0}{n} (1 + x)^{n + v} 2^{n-v} = \frac{2^{n + 1}(1 + x)^{n} - (1 + x)^{2n + 1}}{1 - x}$\\
$=  2^{n + 1} \sl{0}{n}
\left( 
\begin{array}{cc}
n\\
v
\end{array} \right) -  
\sl{0}{n}
\left( 
\begin{array}{cc}
2n + 1\\
v
\end{array} \right)$




 
$=  2^{n + 1} \sl{0}{n}
\left( 
\begin{array}{cc}
n\\
v
\end{array} \right) - \frac{1}{2} 
\sl{0}{2n + 1}
\left( 
\begin{array}{cc}
2n + 1\\
v
\end{array} \right) = 2^{n + 1}\,\cdot\,2^{n} - \frac{1}{2}\,2^{2n + 1} = 2^{2n}$\\
\\
\\
\underline{EWe von $A\,z^{2} + B\,z + C$}\\
Seien $\alpha_{\nu} z^{2} + \beta_{\nu} z + \gamma_{\nu} \quad (\nu = 1,\dots,$ $n)$. Dann sind zwar $\alpha_{\nu}$ die EWe von $A$, $\gamma_{\nu}$ die von $C$, aber nicht notwendig $\beta_{\nu}$ die von $B$. Bew $\alpha_{\nu}$, $\gamma_{\nu}$ mit $z = 0$; $z = \frac{1}{\xi}$, $\xi = 0$; Gegenbeispiel $\beta_{\nu}$:\\
$\left( 
\begin{array}{cc}
z^{2} + z & 1\\
1 - z^{2} & -z + z^{2}
\end{array} \right)$ hat EWe $z^{2} + 1$, $z^{2} - 1$, also $\beta_{\nu} = 0,\,0$; obwohl $B$ die EWe $+1,$ $-1$ hat.\\
Dasselbe Beispiel zeigt auch, dass die Koeff von $U^{-1} \,\,\cdot $ diag$ \cdot U$ nicht alle vertauschbar zu sein brauchen, wenn der h\"ochste Koeff diagonalisierbar ist.\\
\\
$\textbf{Seite 63}$\\
\\
20.5.53\\
\underline{Vermutungen im Zusammenhang mit   diagonalisierbaren Matrizen:}\\
Sei $M(t) = A_{0} + A_{1}z + \cdots + A_{r}z^{r}$. $A_{\rho} = (a^{(\rho)}_{ik})$,  $a^{(\rho)}_{ik} \in K$ alg. abg.\\
1) Tritt bei der Entwicklung der EWe $\mu_{i}$ von $M$ nach Potenzen von $(z - z_{0})$ als niedrigste gebrochene Potenz $(z - z_{0})^{\alpha}$ auf und ist $M(z_{0})$ diagonalisierbar, so tritt bei $N(z) = \Pi_{\sigma = 1}^{s} (M(z) - \mu_{\sigma}(z_{o}I) \cdot (z - z_{o})^{-1}$\\
als niedrigste Potenz $(z - z_{o})^{\alpha - 1}$ auf $(\mu_{0}(z_{0})$ ? EWe ?? $M(z_{0}))$\\
\\
2) ist f\"ur jedes $z_{o} \in K$ in der Taylorentwicklung $R(z) = B_{\nl} (z - z_{o})^{p}+ \dots + B_{q \not= 0}(z - z_{o})^{q} \qquad (p \leq q)$\\
$B_{p}$ diagonalisierbar f\"ur jedes $R(z)$ in dem kommutativen Ring $\cal{R}$, so sind alle $\cal{R}$ simultan unimodular auf Diagonalform zu transfomieren.\\
Sind \"uberdies alle $B_{q}$ diab, so kann $\cal{R}$ mittels einer konstanten Matrix auf Diagonalform gebracht werden. 
\\
$\textbf{Seite 64}$\\
\\
Aus MS Kaplansky, Products of normal operators (1952 ?):\\
(1)
\begin{quote}
Sind $A$, $B$ Op Hilbertraum, $A$ und $A\,B$ normal, so gilt: $B \vee A^{*}A \longleftrightarrow B\,A$ normal
\end{quote}
(2)
\begin{quote}
Putnam (Amer J Math 73(1951, 357 - 362) hat gezeigt: Sind $P$ und $Q$ normal, $P\,A = A\,Q$, so ist $P^{*}\,A = A\,Q^{*}$.
\end{quote}
(3)
\begin{quote}
Sind $A$, $B$, $A\,B$ normale Op Hilbertraum, $C = [B,\,A^{*}A]$, so ist $C$ eine Summe von Kommutatoren.\\
Gibt $C = 0$ wenn dimension endlich oder wenn man allgemein einen rinf of finite type in the sense of Dixmier hat (Ann sei $E <$ norm.sup. 66.(1949), 2$\times$9 - 261.)
\end{quote}
(4)
\begin{quote}
Sind $A$, $B$, $A\,B$ normal, hat $A$ reines Punktspektrum, sind die charakteristischen R\"aume f\"ur $A^{*}A$ endlichdimensional bis auf h\"ochstens den EW 0, und hat jede Menge von charakt. Wu von $A$, die nicht 0 enth\"alt, ein Maximum und ein Minimum - so ist $B\,A$ normal.\\ (5) Verallgemeinerung
\end{quote}
$\textbf{Seite 65}$\\
\\
\"Ubungsaufgabe \"uber Fourierreihen (Problem of Dr. Page, 21.5.53)\\
$x_{n}$ reell $(n = 0,\,1,\,2,\dots) \rightarrow \il{0}{2\pi} \sum\, n\,x_{n}\,\cos\,n\,\varphi \cdot (\sum\,x_{n}\,\cos\,n\,\varphi)^{2p + 1}\,d\varphi \geq 0 \quad (p = 0,\, 1,\,2,\dots)$\\
Bew: $F(t) = \sum\,  x_{n}\,t^{n}\,\cos\,n\,\varphi $ einf\"uhren, zeige $t\,\frac{\partial}{\partial t}\,\il{0}{2\pi}\,F\,d\varphi \geq 0$ mittels 2maliger partieller Integration nach $\varphi$.\\
\\
\\
\"Uber $Sp(A) =$ Matrix mit 
$\left( 
\begin{array}{cc}
n\\
p
\end{array} \right)$ Zeilen, EWe $= \alpha_{i_{1}} + \dots + \alpha_{i_{p}}$, $i_{1} < \dots < i_{p}$.\\
Def: $Sp\,(A) = [p$-te Det-Transf von $(E + tA)]_{\text{Koeff von }t}$.\\
(1) $\quad Sp\,(\alpha\,A + \beta\,B) = \alpha\,Sp\,(A) + \beta\,Sp\,(B)$\\
(2) $\quad Sp\,(A^{*}) = [Sp\,(A)]^{*}$\\
(3) $\quad Sp\,(A)$ hat EWe $\alpha_{1} + \cdots + \alpha_{p},\, \cdots$\\
(4) $\quad Sp\,(T^{-1}\,A\,T) = (dp\,T)^{-1}\,Sp\,A \cdot dp\,T$\\
(5) $\quad$Richtig mindestens f\"ur $n = 2$ ist die Vermutung $\beta_{1} \leq \alpha_{1} +   \alpha_{2}$, wenn $\beta_{1} \geq \dots , \alpha_{1} \geq \dots$ die singul\"aren Werte von $B = s_{2}(A)$ und $A$ sind.\\
\\
$\textbf{Seite 66}$\\
\\
4.5.53 \underline{Normale Abschnitte normaler Matrizen.} 
Seien $A = 
\left( 
\begin{array}{cc}
B & C\\
D & F
\end{array} \right)$ $\&$ $B$ normal, $A = (n,\,n)$, $B= (m,\,m)$, $F = (r,\,r)$.
Sei $\mathfrak{K}$ ein Kreisbereich (abg. Inn od. \"Ausseres, od. Halbebene). Die Anzahl der EWe von  
$\left. 
\begin{array}{ll}
A\\
B
\end{array} \right\}$ in $\mathfrak{K}$ sei 
$\left\{ 
\begin{array}{ll}
a\\
b
\end{array} \right.$. Dann gilt:\\
(1) $\quad a - r \leq b \leq a + r \qquad\,$ wenn  $\mathfrak{K}$ ein Kreisinneres\\
(2) $\quad a - r \leq b \leq a \qquad \quad\quad $ wenn
$\mathfrak{K}$ eine Halbebene $[:h]\,\leftarrow = \underline{\overline{VI}}_{3\,(4)}\,[:h]$\\
(3) $\quad a - 2r \leq b \leq a \qquad \quad \quad $ wenn
$\mathfrak{K}$ ein Kreis\"ausseres.\\
\\
Bew: \\
(I) W\"are $b > a + r$, so enthielte der $m-\dim.$ Raum $R_{m}:
\left( 
\begin{array}{cc}
y\\
0
\end{array} \right) = s$ ein $x \not= 0$ mit $x \bot
\alpha_{1},\dots,\,\alpha_{a}$; $\beta_{b + 1},\dots,\,b_{m}$; $D\,y = 0$. Zu
diesem $x$ geh\"ort f\"ur $A$ derselbe Momentenpunkt, wie zu $y$ f\"ur $B$:
Also k\"onnen nicht alle $\alpha_{a + 1}, \cdots, \alpha_{k}$ von den $\beta_{1}\,
\cdots\, \beta_{b}$ durch einen Kreis getrennt werden; aber $\alpha_{a +
1}\,\cdots,\,\alpha_{n} \in \overline{\mathfrak{K}}$, $\beta_{1} \cdots \beta_{b}
\in \mathfrak{K}$.\\
(II) Ist $\mathfrak{K}$ ein Kreisinneres und w\"are $a - r > b$, so erg\"abe es in demselben $R_{m}$ ein $x$ mit $x\,\bot\,\alpha_{a + 1},\dots,\,\alpha_{n}, \beta_{1}, \cdots, \beta_{b}$\\
Es l\"age dann $_{3}M_{A}(x)$ senkrecht \underline{\"uber} $_{3}M_{B}(y)$ \underline{\"uber} Trennebene aber  $_{3}M_{A}(x)$  unter Trennebene.\qquad Damit (1) erledigt.\\
Ist $\mathfrak{K}$ $[:h]$ Halbebene Grenz\"ubergang von (1) $[:h]$\\
\"Ubergang zum Komplement $b\leq a$. Damit (2) erled.\\
(3) linke H\"alfte folgt durch \"Ubergang zum Komplement in der rechten H\"alfte von (1).\\
\\
$\textbf{Seite 67}$\\
\\
\underline{\"Ubungsaufgabe zu Analysis-Algebra:}\\
$$\sl{\nu = 1}{n} \frac{1}{x - \cos\,\frac{2\,\pi\,\nu}{n}} = \frac{4p}{z_{1} - z_{2}}\,\frac{z_{1}^{a} + z_{2}^{a}}{z_{1}^{a} - z_{2}^{a}} \qquad$$ wenn $n = 2p\quad z_{1,\,2}$ die Wu von $z^{2} - 2zx + 1 = 0$\\
\\
\\
Frage von Horn: Welche Beziehung besteht zwischen den singul\"aren Werten von $A$ und $A^{2}$ ?\qquad 18.6.53\\
\\
\\
Der "'centrosymmetric case"' $a_{r,\,s} = a_{n + 1 - r, n + 1 - s}$ mit seiner Aufspaltungsm\"oglichkeit ist erw\"ahnt bei Aitken, Determinants and $\cdots $trices, 1939\\
\\
\\
29.6.53: 
\begin{quote}
Die EWe normaler Matrizen k\"onnen mit Hilfe jedes doppelpkt-freien Kreisb\"uschels geordnet werden; dh die zugeh\"origen Paraboloidpunkte mittels eines Ebenenb\"uschels; dessen Achse das Paraboloid nicht schneidet. 
\end{quote}
$\textbf{Seite 68}$\\
\\
9.7.53 Aufgabe:
\begin{quote}
Fehlerabsch\"atzung f\"ur die EWe der im Quadratmittel besten N\"aherungsmatrix $\overline{M}$ des Ranges $r$ f\"ur eine gegebene nichtnormale Matrix $M$.\\
Kann man Schiefe $M$ mittels dieses $\overline{M}$ definieren, dh mittels der Schmidtschen EWe $\&$ EVekt. ?
\end{quote}
Den Satz, dass das Polynom $p(A)$ die EWe $p(\alpha_{i})$ hat, schreibt V. Amato (Sn ? polinomi di matrice, 1941) Sylvester zu, zitiert G.Scorza, Corpi numerici ed algebre, Principata, Messina, 1921.\\
\\
\\
\underline{Buch Determinanten.} a) Absch\"atzg. von Koch unendl Determin.\\
b) Zu Tema 1943: Statt sich auf Unterdet. einer Matrix zu beschr\"anken, deren $v$-te Zeile eine Zahlenfolge mit konstanter $(\nu - 1)$-ter Differenz ist, kann man $n$ $\times$ $\infty$. Matrizen nehmen, so dass $a_{k\lambda} = p_{k}(x_{\lambda})$, $\omega_{0}$ $p_{k}$ ein Polynom mit $Gr \leq n - 1$ ist Unterdeterminanten zu gegebenen  $x_{\lambda}$ k\"onnen dann durch passende Wahl der $p_{k}$ bequem bezeichnet werden (als Determ. von Dreiecksmatrizen).ist $Gr\,p_{k} = k - 1$ so ist der von den $p$ allein abh Faktor ebenfalls eine Dreicksmatrix. Im Differenz-Fall kann man jede Zeile in sich verschieben, ohne die Det. zu \"andern.\\
\\
$\textbf{Seite 69}$\\
\\
Verallgmeinerung der $S$-Konvexit\"at [34]:\\
Sei $\mathfrak{G}$ eine endl Gruppe linearer Transformationen von $R_{n}$. Sei $K(X)$ stets die konvexe H\"ulle von $G_{v}x \quad (G_{v} \in \mathfrak{G})$\\
Sei f\"ur jedes $x$ stets $F(x) \geq F(y) \rightarrow y \in K(x)$.\\
Dann heisse $F\quad \mathfrak{G}$-konvex. $[:h]$ (An. Ky Fan mitgeteilt 14.7.53) $[:h]$\\
$S$-Konvexit\"at bedeutet dann $\mathfrak{S}$-Konvexit\"at.\\
Was kann man sagen, wenn $\mathfrak{G}$ irreduzibel ?\\
\\
\\
Frage: Kann man die f\"ur den gr\"ossten singul\"aren Wert g\"ultige Regel (I S.160)\\
$A = (B\,C) \rightarrow \alpha_{1} \leq (\beta_{1}\, \gamma_{1})_{1}$  verallgemeinern auf $\alpha_{2}$ ?\\
\\
\\
Die Rangs\"atze f\"ur normale Matrizen\\
hat Ky Fan so verallgemeinert: $A,\,B$ nor, $A - B = D$, $D$ hat sing
Werte $\delta_{1},\dots,\delta_{n} \geq 0 \rightarrow$ so enth\"alt jedes Kreis,
der $a$ EWe von $A$ umschliesst, nach konzentr. Vergr\"osserung des Radius um $\delta_{r + 1}$ mindestens $a - r$ EWe von $B$. Bew: Nimm Kreis $|z| \leq R$. $|\alpha_{1}| \leq |\alpha_{2}| \underline{\leq} .\quad \leq |\alpha_{a}| \leq r$, $A = B + D \rightarrow$ sing. Werte $|\alpha_{a}| \underline{\underline{>}}\,  |\beta_{a - r}| + |\delta_{r + 1}|$\\
\\
$\textbf{Seite 70}$\\
\\
Frage: Wenn zwei hermitesche Matrizen $A,\,B$ einen \underline{irreduziblen} Ring erzeugen, ist dann f\"ur Realit\"at aller EWe von  $A\,B$ auch \underline{notwendig}, dass eine Linearverbindg von $A$ und $B$ definit ist ?\\
\\
\\
Ist $A(t)$ diffbar, $A(0)$ normal, $\alpha(t)$ EW von $A$ mit diffbaren EV. $x(t)$, so gilt $\dot{\alpha}(t) = x^{*}\,\dot{A}(0)\, x \qquad (\|x\| = 1)$.\\
Daher $\frac{\dot{\alpha}}{\alpha} = (\frac{x^{*}\dot{A}\,x}{x^{*}A\,x} =)x^{*}\,\dot{A}\,A^{-1}\,x$. Z.B. $A = \Pi^{k}_{1}\,e^{i\,H_{k}(t)}$ mit $H_{k}(t)$ monoton wachsend: $\frac{\dot{\alpha}}{\alpha\,i} = x^{*}  
\left\{ 
\begin{array}{ll}
\dot{H}_{1} + e^{iH_{1}}\dot{H}_{2} + \dot{H}_{2}\,e^{-iH_{1}} + \dots
\end{array} \right\}\,x \geq 0$\\
\\
\\
Frage: 
\begin{quote}
Sei $A > 0$ hermitesch, $B > 0$ hermitesch. Bildet dann der $k-te$ EW ($k$ fest) von $A\,B^{\nu}\qquad (\nu = 1,\,2,\dots)$ eine konvexe Zahlenfolge ?\\
\\
\\
Enth\"alt der Wertevorrat $_{2}\mathfrak{W}_{A}$ 0 nicht, so ist   
$\underline{\begin{tabular}{|c|}
$A$ 
\end{tabular}} \geq \min (x^{*}A\,x)$, dh.\\
$\textbf{Graph}$\\
\end{quote} 

Frage: Kann die Sache sogar so sein: \\
$\textbf{Graph}$ ?\\
\\
$\textbf{Seite 71}$\\
\\
Frage: Wie sehen die unzerf\"allbaren Paare normaler Matrizen aus, f\"ur welche $A + B$ normal ist ? Damit
$\left( 
\begin{array}{ccc}
\alpha & 1\\
1 & \beta
\end{array} \right)$ normal ist, ist $n + h$: $ \rm{Im} \,\alpha = \rm{Im}\,\beta$, dh die EWe von $A,\,B$ liegen auf parallelen Geraden. Allgemein ist $n\,\&\,h$, falls $A = A_{1} + i\,A_{2}$ usw, da\ss $[:h]\,\,[A_{1} + B_{1},\,A_{2} + B_{2}] = 0$, dh. $[:h]$ $[A_{1},\, B_{2}] = [A_{2},\, B_{1}]$\\
Hieraus folgt, falls $A = A^{*}$, da\ss  $B = B^{*} +$ const.$E$: $\alpha_{\nu}\|\beta_{\nu}$.\\
Mit $B = 
\left( 
\begin{array}{ccc}
1& &\\
& -1 & \\
&& 1
\end{array} \right)$ untersuchen ! $[:h]$ Schnitzer genannt X 57 $[:h]$\\
\\
\\
Meine "'Minimalpolynome"' k\"onnten "'Infrapolynome"' im Sinn von Fekete-v Neumann $[1922,$ Fekete 1951 $]$ sein. Trennungss\"atze auch bei Motzkin-Walsh $[1950\,\, ?]$\\
\\
Dass die Ritzwerte bei der schwingenden Membran einseitige Schranken liefern,
hat schon Poincar$\acute{e}$ (Amer J Math 12 (1890), 211 - 294 \quad insb.
259-261) bewiesen. $[$Nach Manuskript P$\acute{o}$lya f\"ur  Mises-Festband
1953$]$. Dort macht Polya auch auf das Min $\max$ Prinzip im Gegensatz
zu dem Max Min Prinzip von Courant ausdr\"ucklich aufmerksam\\
$[:h]$ P. arbeitet mit st\"uckweise bilinearen Funktionen im Zusammenhang mit Differenzmethode f\"ur $\triangle\,u + \lambda\,u = 0\,\,[:h]$. 
\\
$\textbf{Seite 72}$\\
\\
Aufgabe: $\int\!\!\!\int G(x,\,\xi)^{2}dx\,d\xi$ rechnen f\"ur die Greensche Funktion gegebener gew\"ohnlicher Dglen (aus deren Koeffizient).\\
\\
\\
Die m\"oglichen EWe der Abschnitte einer hermiteschen Matrix sind von Schur bestimmt worden (Satz I$^{*}$,$[4]$)\\
\\
\\
Aus Ledermann $[42]$:\\
p. 373. Lemma: Sind $\mu_{1} < \mu_{2} < \dots < \mu_{m}$ und $\eta$ reell, $g_{1} > 0,\dots,g_{m} > 0$, so hat die rat. Fkt.
$$\psi(x) = (x - \eta) - \sl{j = 1}{m}\, \frac{g_{j}}{x - \mu_{j}}$$
genau $m + 1$ reelle, verschiedene Nullstellen $\rho_{1} < \rho_{2} < \cdots < \rho_{m + 1}$ so da\ss  $\,\,\rho_{1} < \mu_{1} < \rho_{2} < \dots < \mu_{m} < \rho_{m + 1}$.\\
$[$Hinweis auf Polya Szeg\"o, Aufgaben 2, No 26, 41$]$\\
Theorem (p 376): Wenn in einer hermiteschen Matrix\\
\\
$\textbf{Seite 73}$\\
\\
die Elemente von $r$ Zeilen und der $r$ entsprechenden Kolonnen beliebig 
abge\"andert werden (so da\ss $ $ die Matrix hermitesch bleibt), dann kann sich die Anzahl der EWe in einem gegebenen Intervall h\"ochstens nun $2r$ \"andern.\\
(Bew f\"ur $r = 1$ mit Lemma)\qquad ($[:h]$ Das ist eine spezielle Ab\"anderung von einem Summanden vom Rang) $2r\,[:h]$)\\
\\
\\
Lit \"uber alte Fastk\"orper: Buch Carmichael S. 396.\\
\\
$\textbf{Seite 74}$\\
\\
Substitutionsgruppen:\hfill 21.2.54\\
1. Das Zentrum jeder \"uber einem K\"orper $K$ irreduziblen Gruppe $\mathfrak{G}$ ist zyklisch. Ist  $\mathfrak{G}$ sogar  zyklisch, so ist Grad$\,\mathfrak{G}$ = Grad der primitiven $(\mathfrak{G})$-ten Einheitswurzeln \"uber $K$ (also durch  
$(\mathfrak{G})$ und $K$ eindeutig bestimmt).\\
\\
Hauptreihen endlicher Gruppen:\\
Sei $(\mathfrak{G}) = \mathfrak{A}\,\mathfrak{B}$ mit $((\mathfrak{A}),\,\mathfrak{B})) = 1$.\\
Die Normalteiler $\mathfrak{N}$ von $\mathfrak{G}$, die keinen Kopf mit Ordnung $|(\mathfrak{B})$ haben; entsprechen eineindeutig den Durchschnitten $\mathfrak{A} \cap\mathfrak{N} = \vartheta\,\,[:h] = \mathfrak{A} \cap \mathfrak{N}\,\mathfrak{B}\,\,[:h]$. Diese sind gekennzeichnet durch $\vartheta \lhd \mathfrak{A}$, $\vartheta\,\mathfrak{B}     
 = \mathfrak{B}\,\vartheta$. \qquad $[:h]$ siehe $[:h]$\\
$[:h]$ Entsprechendes f\"ur die $\mathfrak{N} \lhd\lhd \mathfrak{G}$ mit $ \mathfrak{N}\,\mathfrak{B} = \mathfrak{B}\,\mathfrak{N}$ ist klar. $[:h]$\\
$[:h]$ Aber entsprechendes gilt f\"ur die  $\mathfrak{N} \lhd\lhd \mathfrak{G}$ \underline{ohne} $ \mathfrak{N}\,\mathfrak{B} = \mathfrak{B}\,\mathfrak{N}$.? $[:h]$\\
$[:h]$ Folge ? $[:h]$\\
3. Je zwei nicht zu verfeinernde "'Hauptketten"' $\mathfrak{A} \rhd
\mathfrak{A}_{1} \rhd \dots ( \mathfrak{A}_{i} \lhd \mathfrak{A})$ mit der
Eigenschaft $\mathfrak{A}_{i}\,\mathfrak{U} = \mathfrak{U}\, \mathfrak{A}_{i}$ (wobei $\mathfrak{U}$ eine
Untergr. einer Obergruppe von $\mathfrak{G}$, sind gleich lang, und die
Faktorgruppen $\mathfrak{A}_{i}\,/\, \mathfrak{A}_{i + 1}$ sind eindeutig bestimmt. $[$Jordan H\"older f\"ur Gruppen mit Abbildungen in sich $]$.\\
NB: Die durch ein Element $B \subset \mathfrak{B}$ erzeugte Abbildung\\
\\
$\textbf{Seite 75}$\\
\\
von $\mathfrak{A}$ in sich (wobei $\mathfrak{A}\,\mathfrak{B} = \mathfrak{B}\,\mathfrak{A}$) die durch "'$A \rightarrow A'$, wenn $A\,B = B_{1}\,A'$"' gegeben ist, hat die Eigenschaft: Ist $\mathfrak{U} < \mathfrak{A}$ zul\"assig\nl, so ist die Menge der Nebenklassen $\mathfrak{U}\,A$ zul\"assig.\\
$[:h]$ Gilt doch wohl ebenso f\"ur Kompositionsreihen. $[:h]$\\
\\
1. Aus $\mathfrak{G} = \mathfrak{G}_{1}\,\mathfrak{G}_{2}$, $\mathfrak{H}_{1} \lhd \mathfrak{G}_{1}$, $\mathfrak{H}_{1}\, \mathfrak{G}_{2} = \mathfrak{G}_{2}\,\mathfrak{H}_{1}$ folgt : 5.3.54\\
$$\text{(Norm)} \qquad \mathfrak{H}_{1}^{\mathfrak{G}} = \mathfrak{H}_{1}\,\mathfrak{H}_{2}\text{ mit } \mathfrak{h}_{2} < \mathfrak{G}_{2}. \,\,[:h]\,\text{ Bew: } \mathfrak{H}_{1} \leq  \mathfrak{H}_{1}^{\mathfrak{G}} \leq \text{ Indikator } \mathfrak{H}_{1}\,\mathfrak{G}_{2}.\,[:h]$$ 
Kurzer Beweis der Auf\"osbarkeit von $\mathfrak{G}_{1}\,\mathfrak{G}_{2}$, wenn in $\mathfrak{G}_{i}$ jede Untergr. invariant (Hupperts Satz) mit Durchschnittssatz: $(\mathfrak{G}_{1}\,:\,\, \mathfrak{G}_{1} \cap \mathfrak{G}_{1}^{G}) < (\mathfrak{G}_{2})\quad (\leq ( \mathfrak{G}_{1}))$.\\
\\
\\
Aufgabe: Alle Untergruppen einer aufl\"osbaren $Gr.\,  \mathfrak{G}$ betrachten, die mit einem geg. Sylowsystem von $\mathfrak{G}$ vertauschbar sind. Die (in ihrer Sylowgr.) normalen $p$-Gruppen darunter sind Sylowgr. ihrer Normen unter $\mathfrak{G}$.\\
\\
$\textbf{Seite 76}$\\
\\
Vermutung: Bei homomorphen Abb $\alpha$ von $\mathfrak{G}$ mit einem $p$-freien Kern geht $\Phi_{p}(\mathfrak{G})$ in $\Phi_{p}(\alpha\,\mathfrak{G})$ \"uber: $\alpha\,\Phi_{p} =  \Phi_{p}\,\alpha$.\\
Daher  $\Phi_{p} = p$-Sylowgruppe von $\Phi(\mathfrak{G})$. Klar ist von vorn herein nur: $\alpha\,\Phi_{p} \leq \Phi_{p}\,\alpha$\\
\\
\\
Habe Huppert 5.3. auf die folgende Vermutung hingewiesen: Die Erzeugendenzahl jeder Substitutionsgruppe $\mathfrak{G}$ der Ord$\,p^{\alpha}$ des Grades $k$ ist $\leq k$, wenigstens wenn Charakteristik des K\"orpers $\not |\,(\mathfrak{G})$.\\
\\
Ist $ \mathfrak{A} < \mathfrak{G}$, $(\mathfrak{G}) = (\mathfrak{A})\,b = a\,b$, $(b,\,a) = 1$, und ist $\mathfrak{A}$ nilpotent, so ist jede Ugr $\overline{\overline{\mathfrak{A}}}$ mit $(\overline{\overline{\mathfrak{A}}})\,|\,\mathfrak{A}$ \"ahnlich einer Untergruppe von $\mathfrak{A}$.\\
Bew:
\begin{quote}
a) $\overline{\overline{\mathfrak{A}}}$ aufl\"osbar\\
b) $\overline{\overline{\mathfrak{A}}}$ beliebig: Induktion nach ($\overline{\mathfrak{A}}$).\\
Jede Ugr von $\overline{\overline{\mathfrak{A}}}$ ist nilpotent (Iwasawa, Schmitd), daher $\overline{\mathfrak{A}}$ aufl\"osb.
\end{quote}
Zum Bew a): Ist $p \,|\,(\mathfrak{G})$ und erleidet jede $p$-Untergr.
\\
$\textbf{Seite 77}$\\
\\
von $\mathfrak{G}$ unter ihrem Normalisator nur Autom. der Ord $p^{\rho}$, so gibt es wohl ein invariantes $p$-Sylowkomplement.\\
Bew wohl wie bei Iwasawa (Proc Phys math Soc Japan (3) \underline{23} (1941), 1-4)\\
Einfacher:\\
Oder:(a) Ist $\overline{\mathfrak{G}}$ der Normalisator einer $p$-Untergruppe
$\mathfrak{H}$ von $\mathfrak{G}$ und hat $\mathfrak{G}$ eine nilpotente a-Halbgruppe
$\mathfrak{A}$, so hat $\overline{\mathfrak{G}}$ eine $a$-Halbgruppe
$\overline{\mathfrak{A}}$ mit $g <    \overline{\mathfrak{A}} < \mathfrak{A}^{G.}$\\
Bew: Sei $p^{\overline{\alpha}} \,\, (\overline{\mathfrak{G}})$ und $\overline{\mathfrak{p}}$ eine $g$ enthaltende $p$-Sylowgruppe von $\overline{\mathfrak{G}}$. Dann $\overline{´\mathfrak{p}} < \mathfrak{A}^{G}$, daher ist $\overline{\mathfrak{A}} = \mathfrak{A}^{G} \cap  \overline{\mathfrak{G}}$ das verlangte.\\
\\
Diss-Thema: Gruppen der Ordnung $p^{\alpha}\,q^{\beta}$\\
Dazu eine Arbeit von Burnside $\leq$ 1910. $[44]$\\
\\
Versch\"arfung des Satzes von Miller (Speiser S. 63):\\
Ist $\mathfrak{H} < \mathfrak{G}$, $\mathfrak{N} =$ Normalisator von $\mathfrak{H}$, so ist mit $\mathfrak{D} = G \cap \mathfrak{N}^{G}$\\
$$(\mathfrak{H}\,:\,\mathfrak{D}) < (\mathfrak{G}: \mathfrak{N})$$
$[:h]$ ist $\mathfrak{H}$ Halbgruppe, so gilt dieselbe Absch\"atz. wenn $\mathfrak{N} \not= \mathfrak{G}$ f\"ur $\mathfrak{D} = \mathfrak{H} \cap \mathfrak{H}^{G.}[:h]$
\\
$\textbf{Seite 78}$\\
\\
Zur Methode von Schur: $[:h]\,\mathfrak{G} = \mathfrak{G} \cap \mathfrak{H}\,[:h]$\hfill 23.3.54\\
1.
\begin{quote}  
$\mathfrak{G}$ sei die regul\"are Untergruppe, $\mathfrak{K}$ ein primitiver Komplex, der
ein Element $Z \in$ Zentrum $\mathfrak{G}$ enth\"alt, $\mathfrak{L}$ ein beliebiger
Hauptkomplex. Dann ist $\mathfrak{K}\,\mathfrak{L} = \mathfrak{L}\, \mathfrak{K}$.\\
Bew: $\mathfrak{G}_{1}\,Z\,\mathfrak{G}_{1} \cdot \mathfrak{L} = \mathfrak{L} \cdot \,\mathfrak{G}_{1}\,Z\,\mathfrak{G}_{1}$\\
$\mathfrak{G}_{1}\,\mathfrak{K} \cdot \mathfrak{L} = \mathfrak{L} \cdot  \mathfrak{G}_{1}\, \mathfrak{K} =  \mathfrak{G}_{1}\,\mathfrak{L}\,\mathfrak{K}$.\\
\"Ahnlich f\"ur den von $\lambda\,\mathfrak{Z}$ erzeugten Hauptkomplex  $ \mathfrak{K} $ wenn  $ \mathfrak{Z}$
ein beliebiger mit $\mathfrak{L}$ vertauschbarer Komplex aus $\mathfrak{H}$ ist.
\end{quote}
2.
\begin{quote}  
Ist $\mathfrak{S} = \sum'\,c_{i}\,H_{i}$, $c_{i} > 0$, und $\{H_{1},\cdots\} = \mathfrak{H}$, so ist  $\sl{H \in G}{} \,H =$ Polynom in
$\mathfrak{S}$.\\
\\
Bew: Es gen\"ugt zu zeigen, dass $\sum'\,c_{i}$ einfacher EW von $\mathfrak{S}$ in der regul\"aren Darstellung von $\mathfrak{H}$ ist\\
Ann: nein I. Dann gebe es Vektor $\mathfrak{v}$: $\sum'\,c_{i}\,H_{i}\,\mathfrak{v}  = \sum\,c_{i}\, \mathfrak{v}$ L\"angen vergleichen: 
$H_{i}\,\mathfrak{v} = \mathfrak{v}$, $H\,\mathfrak{v} = \mathfrak{v}$ falls $H \in \mathfrak{H}$\\
$\mathfrak{v} = \rm{const} \cdot (11\cdots1)$. Also zu $\sum'\,c_{i}$ gints nur einen EV.
\end{quote}
$\textbf{Seite 79}$\\
\\
II.: Annahme: $\mathfrak{S}$ unit\"ar \"ahnlich $C =
\left( 
\begin{array}{cccc}
c&u&&\\
&c&& \\
&&\ddots&
\end{array} \right)$\\
mit $c = \sum'\,c_{i}$, $u \not= 0$. Dann $C \cdot 
\left( 
\begin{array}{cccc}
0\\
1\\
0\\
1
\end{array} \right)$ L\"ange $> c$, geht nicht.\\
\\
\\
Thema f\"ur Dissertation: Die Struktur der $p$-Sylowgruppen von $GL\,(n,\,q^{B})$ bestimmen (insbesondere die Hauptfaktoren).\qquad F\"ur $q = p:\enspace[46]$ $[:h]$ Automorphismen $[:h]$\\
\\
\\
Zu Schurs Methode: \hfill 8.4.54\\
Dass nicht jeder $S$-Ring durch Einbettung entsteht, sieht man deutlich so:\\
Sei $(\mathfrak{H}) = p^{2}$, $\mathfrak{H} = \mathfrak{P}\,\mathfrak{Q}$, $\mathfrak{P}\cap \mathfrak{Q} = E$.\\
Es seien $\mathfrak{P}$ und $\mathfrak{Q}$ Transitivit\"atssysteme, d.h. wenn $G_{1} \in \mathfrak{G}_{1}$ so $\mathfrak{P}_{G_{1}} =  \mathfrak{P},\quad \mathfrak{Q}_{G_{1}} = \mathfrak{Q}$.\\
Dann folgt aus $P_{G_{1}} = P^{\alpha}$, \quad $Q_{G_{1}} = Q^{\beta}$ stets
$$(P\,Q)_{G_{1}} = P^{\alpha}\,Q^{\beta}$$
Bew: $P\,Q \in   \mathfrak{P}\,Q \cap \mathfrak{Q}\,P$\\
also $(P\,Q)_{G_{1}} \in \mathfrak{P}\,Q^{\beta} \cap \mathfrak{Q}\, P^{\alpha} = P^{\alpha} \, Q^{\beta}$. \\
NB: Der Schluss klappt schon wenn $G_{1} \notin \mathfrak{G}_{1}$; gebraucht wird nur:
$\left\{ 
\begin{array}{ll}
P_{G} \in \mathfrak{Q}\,\mathfrak{P}^{\alpha},\quad Q_{G} \in \mathfrak{p}\,Q^{\beta}\\
\mathfrak{P}_{G_{1}} = \mathfrak{P},\,\mathfrak{Q}_{G_{1}} = \mathfrak{Q}
\end{array} \right.$\hfill wenden\\
\\
$\textbf{Seite 80}$\\
\\
Im Fall, dass $\mathfrak{P}$ und $\mathfrak{Q}$ Transitivit\"atssysteme von $\mathfrak{G}_{1}$ sind, ist also die ganze Gruppe $\mathfrak{G}_{1}$ als Permugr. schon durch ihre beiden Konstituenten auf $\mathfrak{P}$ und $\mathfrak{Q}$ bestimmt, und es ist daher plausibel, dass die weiteren Transitivit\"atssysteme dann stark gebunden sind. In der Tat, wenn noch $\{P\,
Q^{n}\}$ fest ist bei $\mathfrak{G}_{1}$, dann wird bei der Bezeichnung\\
$$(P^{\alpha})_{G_{1}} = P^{\alpha_{G}},\quad (Q^{\beta})_{G_{1}} = Q^{\beta^{G_{1}}}$$
$$(\alpha\,m)^{G} = \alpha_{G} \cdot m$$
ist insbesondere $m = 1$, also $\{P\,Q\}_{\mathfrak{G_{1}}} = \{P\,Q\}$ so folgt
\begin{quote}
$\alpha^{G} = \alpha_{G}$, also \underline{dann} f\"ur $m$ bel.\\
$(\alpha_{m})_{G} = \alpha_{G}\,m$; w\"ahle f\"ur $m$ Primitiv \nl\\
daher $\alpha_{G} = 1_{G} \cdot \alpha$ f\"ur alle $\alpha$
\end{quote}
D.h. wenn $\{P\}$, $\{Q\}$, $\{P\,Q\}$, $\{P\,Q^{m}\}$ fest bei $\mathfrak{G}_{1}$, so besteht $\mathfrak{G}_{1}$ nur aus $P^{\rho}\,Q^{\sigma} \rightarrow (P^{\rho}\,Q^{\sigma})^{\nu}$, $\nu = \nu_{(G_{1})}$.\\
Es sind dann durch diese 4 Transitivit\"atssysteme alle weiteren festgelegt, n\"amlich die verschiedenen $\{P\,Q^{\rho}\}$.\\
Also hat man den \underline{\underline{Satz}}: Hat $\mathfrak{G}$ den Grad $p^{2}$, enth\"alt   $\mathfrak{G}$  eine regul\"are Gruppe $\mathfrak{H}$ vom Typ $(p,\,p)$ und hat $\mathfrak{G}_{1}$ vier geeignete Untergr der Ord $p$ von $\mathfrak{H}$ zu Intransitivit\"atssystemen,\\
 \\
$\textbf{Seite 81}$\\
\\
so ist $G \lhd \mathfrak{G} $, $(\mathfrak{G}:G)\,|\, p - 1$, $H^{G} = H^{\alpha_{G}}$.\\
Dann nach obigem folgt, da man von vornherein annehmen kann, dass die Permut. $H \rightarrow H^{\nu}$ aus dem Holomorph von $G$ schon in $\mathfrak{G}$ liegen, dass $\mathfrak{G}$ nur aus diesem besteht.\\
\\
\footnote{S.81 ist unten durchgestrichen}
\footnote{S.82 ist vollst\"andig durchgestrichen}
\footnote{S.83 - 86 existieren nicht}
\footnote{S.87 ist vollst\"andig durchgestrichen}
\footnote{S.88 ist oben durchgestrichen}
$\textbf{Seite 88}$\\
\\
3. 
\begin{quote}
Ist $(F) \quad \mathfrak{G} = \mathfrak{A}\, \mathfrak{B} \qquad$ $[:h]$ NB: s. auch $7\,5_{1}$ 126 $[:h]$\\
winw Faktorisierung von $\mathfrak{G}$, so heisse $ \mathfrak{H} \leq \mathfrak{G}$ eine \nl Gruppe, wenn $\mathfrak{H} =  \tilde{\mathfrak{A}} \cap \tilde{\mathfrak{B}}$ mit $ \tilde{\mathfrak{A}} \geq 
\mathfrak{A}$,  $ \tilde{\mathfrak{B}} \geq \mathfrak{B}$.\\
Es gilt: Mit $\mathfrak{H}_{1}$ und $\mathfrak{H}_{2}$ sind auch $\mathfrak{H}_{1} \cap \mathfrak{H}_{2}$ und $\{\mathfrak{H}_{1},\,\mathfrak{H}_{2}\}\quad  
F$-Gruppen.\\
Das letztere folgt aus\\
\end{quote}
4. 
\begin{quote}
$\mathfrak{H}$ ist $F$-Gruppe genau wenn $\mathfrak{H} = \underline{\mathfrak{A}} \,\underline{\mathfrak{B}}$ mit 
$ \mathfrak{A} \cap \mathfrak{B} \leq \underline{\mathfrak{A}} \leq  \mathfrak{A}$, 
$ \mathfrak{A} \cap \mathfrak{B} \leq \underline{\mathfrak{B}} \leq  \mathfrak{B}$,
 $ \underline{\mathfrak{A}}\, \mathfrak{B} =  \mathfrak{B}\,
 \underline{\mathfrak{A}} $,
$\mathfrak{A}\, \underline{\mathfrak{B}} = \underline{\mathfrak{B}}\,
\mathfrak{A}$.\\
Es ist n\"amlich $\{\mathfrak{H}_{1},\,\mathfrak{H}_{2}\} = \{ \underline{\mathfrak{A}}_{1}\,
\underline{\mathfrak{A}}_{2}\}\,  \{ \underline{\mathfrak{B}}_{1}\, \underline{\mathfrak{B}}_{2}\}$.
\end{quote}
\footnote{S.89 ist oben und in der Mitte durchgestrichen}
$\textbf{Seite 89}$\\
\\
$[:h] $Jede $F$-Gruppe ist faktorisiert (vielleicht trivial) $C$ heisst vertauschbar mit $\mathfrak{A},\, \mathfrak{B}]$ $[:h]$
2. Durchschnitt zweier $F$-Gruppen ist  $F$-Gruppe.\\
Denn $ \mathfrak{A}_{1}\, \mathfrak{B}_{1} \cap  \mathfrak{A}_{2}\, \mathfrak{B}_{2} = ( \mathfrak{A}_{1} \cap   \mathfrak{A}_{2})\,  ( \mathfrak{B}_{1} \cap   \mathfrak{B}_{2})$, wenn \\
$$\mathfrak{D} =   \mathfrak{A} \cap \mathfrak{B} \leq \mathfrak{A}_{i}\, \mathfrak{B}_{i}.$$
$[:h]$ Zu diesen Ore, \nl II 1938 $[:h]$\\
\\
4.
\begin{quote}
NB: "$' \mathfrak{N} $ ist $F$-Gruppe"' heisst: $A\,B \in  \mathfrak{N} \rightarrow A \subset  \mathfrak{N}$.\\
\\
$[folgender \enspace Satz \enspace ist \enspace durchgestrichen: \enspace Ist \enspace \mathfrak{G} = \mathfrak{A} \, \mathfrak{B}, \enspace  \mathfrak{G}_{p} = \mathfrak{A}_{p} \, \mathfrak{B}_{p}, \enspace  \mathfrak{A}_{p} \lhd \mathfrak{A},  \enspace  \mathfrak{B}_{p} \lhd \mathfrak{B},\enspace  eine \enspace Sylowgr \enspace von \enspace \mathfrak{G},\nl, \enspace \mathfrak{z} =\enspace  Zentrum \enspace  \mathfrak{G}_{p},\enspace  so \enspace ist \enspace \nl  \enspace \mathfrak{z}\enspace  eine \enspace F-Gruppe.$
$$[:h] \,\,\textnormal{ist Sonderfall von } 91_{3}\,\,[:h]$$
\end{quote}
4'.
\begin{quote}
Definiert man allgemein: $\mathfrak{h} \leq \mathfrak{G} \rightarrow \mathfrak{h}_{F} = \{\mathfrak{A},\,\mathfrak{h}\} \cap \{\mathfrak{B},\,\mathfrak{h}\}$ so $\mathfrak{h}$ eine $F$-Gr.  $\leftrightarrow \mathfrak{G} = \mathfrak{h}_{F}$
\end{quote}
\footnote{S.90 ist vollst\"andig durchgestrichen}
\footnote{S.91 ist oben durchgestrichen}
$\textbf{Seite 91}$\\
\\
1. 
\begin{quote}
Mit 89.4' gilt: $ \mathfrak{A}_{F} =  \mathfrak{A}_{3} \quad G_{F} =  
\mathfrak{G} \longleftrightarrow \{ G\, \mathfrak{A} \} =  \{G\, \mathfrak{b} \}
=  \mathfrak{G}$; $\{G,\, \mathfrak{K}\}_{F} =  \{ G_{F},\, \mathfrak{k}_{F} \}
=  G_{F},\, \mathfrak{K}_{F} $\\
$G \leq \mathfrak{K} \rightarrow G_{F} \leq \mathfrak{K}_{F}$.
\end{quote}
2. 
\begin{quote}
Sei $\mathfrak{G} =  \mathfrak{A} \, \mathfrak{b}$, $\tilde{\mathfrak{A}}$ inv bei $\mathfrak{A}$, $\tilde{\mathfrak{b}}$ inv bei $\mathfrak{b}$.\\
\nl: Dann sind $\cal{N}$$s\,\{\tilde{\mathfrak{A}}\, \tilde{\mathfrak{b}}\}$ und
 $\cal{N}$$_{1}\,\tilde{\mathfrak{A}} \cap \tilde{\mathfrak{b}} \quad$$ F$-Gruppen 
\end{quote}
3.: 
\begin{quote}
$[$Dieser Satz enth\"alt alle vorangehenden dieser Art (S.85-91)$]$\\
Satz: Sei $\mathfrak{G} =  \mathfrak{A}\, \mathfrak{b}$, $\tilde{\mathfrak{A}}$ inv bei $\mathfrak{A}$\quad $\tilde{\mathfrak{b}}$ inv bei $\mathfrak{b}$.\\
Es sei a) $G$ einzig in $\tilde{\mathfrak{A}} \cap \tilde{\mathfrak{b}} \qquad$ dh $G^{G} \subset \tilde{\mathfrak{A}} \cap \tilde{\mathfrak{b}} \rightarrow G^{G} = G$\\
oder b) $G$ einzig \"uber $\{\tilde{\mathfrak{A}},\,\tilde{\mathfrak{b}}\} \quad\, |\,|\enspace G^{G} \supset \{\tilde{\mathfrak{A}},\,\tilde{\mathfrak{b}}\} \rightarrow G^{G} = G$\\
Dann ist $\cal{N}$$_{1}\,G$ eine $F$-Gruppe. \textit{Allgemeiner: 5} 
\end{quote}
4.
\begin{quote}
Ist $\mathfrak{A}$ einzigartig in seinem Normalisator $G$, so ist $G$ einzigartig \"uber $\mathfrak{A}$;
$[:h]$ ferner ist jedes $\mathfrak{h}^{*}$ mit $\mathfrak{A} < 
\mathfrak{h}^{*} \triangle \mathfrak{h}$ einzigartig \"uber  $\mathfrak{A}$ $[:h]$
\end{quote}
5.
\begin{quote}
Satz
$\left\{ 
\begin{array}{lll}
\text{Sei } \mathfrak{G} = \mathfrak{A}\, \mathfrak{B}\qquad \mathfrak{A}_{i} \text{ inv bei } \mathfrak{A},\enspace \mathfrak{B}_{i} \text{ inv bei } \mathfrak{b}\enspace (i = 1,\,2).\\
\text{Sei } G \text{ einzigartig mit }  \{\mathfrak{A}_{1},\,\mathfrak{B}_{1}\}
\leq \mathfrak{h} \leq  \mathfrak{A}_{2} \cap \mathfrak{B}_{2}.\\
\text{Dann ist } \mathfrak{N} = N_{s}\,\mathfrak{h} \text{ eine } F\text{-Gruppe } \mathfrak{N} = (\mathfrak{N} \cap \mathfrak{A}) \, (\nl)
\end{array} \right.$
\end{quote}
Zusatz: Ebenso auch $Z_{s}\,\mathfrak{h}$, wenn  $(|\mathfrak{A}|, \, |\mathfrak{B}|) = 1$\\
\\
$\textbf{Seite 92}$\\
\\
Frage zur Darstellungstheorie:\\
Kann eine einfache Gruppe zwei \"Ahnlichkeitsklassen enthalten, deren Produkt \underline{eine} \"Ahnlichkeitsklasse ist ?\\
Bei der Untersuchung k\"onnte n\"utzlich sein:\\
Hat die \"Ahnlichkeitsklasse $\alpha_{i}$ die Elementezahl $k_{i}$ und w\"ahlt man $\tilde \alpha_{i} = \frac{1}{k_{i}}\,\alpha_{i}$ als Basis f\"ur das Zentrum des Gruppenrings, so werden die Matrizen, der regul\"aren Darstellung des Zentrums des Gruppenrings \underline{normal}. Ist also die Multiplikationstafel der Klassen $\alpha_{i}\,\alpha_{l} = \sl{}{j}\,k^{l}_{ij}\, \alpha_{j}$, so sind die Matrizen $\cal{M}$$_{(\alpha_{l})} = ( k^{l}_{ij}\, \sqrt{\frac{k_{j}}{k_{i}}})$ normal. Daher ist $\cal{M}$$(\alpha^{-1}_{l}) = 
\cal{M}$$^{*}(\alpha_{l})$.\\
Ausserdem ist mit der Permutationsmatrix $P = (\alpha_{l} \rightarrow \nl)$\\
$\cal{M}$$^{*}(\alpha _{l}) = P^{-1}\, \cal{M}$$^{*}(\alpha_{l})\,P.$\\
Genau dann erzeugen die zu $\alpha_{l}$ geh\"orige Kommutatoren.\\
\nl  
\\
$\textbf{Seite 93}$\\
\\
einen erhten Normalteiler von $\mathfrak{G}$, d.h. $\{\alpha_{l}\,\alpha_{l}^{(-1)}\} \not= \mathfrak{G}$, wenn die hermitesche Matrix mit nicht negativen Elementen 
$\cal{M}$$(\alpha_{l})\,\cal{M}$$^{*}(\alpha_{l})$ ihren Maximaleigenwert $k_{l}$ \underline{mehrfach} hat.\\
\\
Zur Darstellungstheorie:\\
Ist $\chi(G)$ ein einfacher Charakter der endl. $Gr.\,\mathfrak{G}$, $Grad\,f$, so ist die Matrix $M = (\chi\,(G\,H^{-1}))$ hermitesch und befriedigt $M^{2} = \frac{G}{f} \cdot M \cdot$\\
\\
Die rationalen Charaktere einer abelschen Gruppe $\mathfrak{G}$ der Ord $\mathfrak{g}$ sind die Linearverbdgen (\nl  $\mathfrak{g}$.rat.Koeff.) der speziellen eigentlichen Charaktere $\psi_{n} (G) = \rho \frac{(G^{n})}{n}$, wo $n$ die Teiler von $\mathfrak{g}$ durchl\"auft und $\rho$ den regul\"aren Char. bedeutet: $\rho(G) =
\left\{ 
\begin{array}{ll}
0 \qquad G \not= E\\
\mathfrak{g} \enspace\,\qquad = 
\end{array} \right.$.\\
Die irred. rat. Charactere sind
$$ \chi^{\nl} = \sl{}{d/n} \,\mu_{d} \,\, \psi_{n/d} $$
Auch die Koeff der $\chi^{\nu}$ in $|x\,E - R(G)| = \sl{}{} c_{\nu} \, x^{n} $, 
$c_{n} = c_{\nu}(G)$, bilden eine Modulbasis der rat irred Char.; dabei $R =$ Reg. \nl\\
Demnach Frobenius 1907 
\\
$\textbf{Seite 94}$\\
\\
Ist das direkte Produkt einer Schur - Gruppe mit einer beliebigen Gruppe \nl Ordnung eine Schurgruppe ?\\
\\
Zur Darstellungstheorie:
Ein in $\mathfrak{G}$ invarianter Komplex $\mathfrak{K}$ ist genau dann ein Normalteiler, dh. Gruppe, wenn\\
1) $E \in \mathfrak{K}$ \quad 2) F\"ur jeden einfach ein Charakter $\chi$ von $\mathfrak{G}$ gilt:\\
$\sl{K \in \kappa}{} \chi(K) \geq 0$ und ganz rational. \\
Bew: Dann ist $\omega (G) =
\left\{ 
\begin{array}{ll}
\mathfrak{g} \enspace\,\qquad G \in \mathfrak{K}\\ 
0 \qquad\quad \enspace \notin
\end{array} \right.$ ein eigentl. Charakter. Ist der zugeh\"origen Darstellg haben genau die $K\quad Sp\,K = Sp\,E$.\\
\\
\\
\nl Zusammenhang zwischen Darstellungstheorie und Methode von Schur: \nl, 2. Aufl., S. 342/3\\
Die auf S. 343 oben auftretenden Summen sind die EWe des zu $x_{b_{10}} \sim , x_{b_{\nl}}$ geh\"origen prim\"aren Komplexes.\\
Ansehen:
\begin{quote}
Proc LMS 33 (1900), 170.\\
Quart J Math 37 (1906), 215
\end{quote}
Sind darin die prim\"aren Komplexe deutlicher zu erkennen ?
\\
$\textbf{Seite 95}$\\
\\
Warum gibt es in $\mathfrak{G}$ zu der Untergruppe $G$ einen komplement\"aren Normalteiler ? \underline{Notwendig} \nl\\
1. F\"ur jedes $G' < \mathfrak{G}$ ist \quad $\cal{N}$$s\,G' = ( G \cap \cal{N}$$s\,G') \times \mathfrak{L}$\\
2. Ist G$^{-1}\,G'\,$G$ \subseteq G$, so gibt es $H \in G$ mit G$^{-1}\,H'\,$G$ = H^{-1}\,H'\,H$ f. alle $H' \in G$~!\\
Frage: Kann man diese oder \"ahnliche Bedingungen mittels Verlagerg oder Charakteren auch als hinreichend nachweisen ? IX 91\\
\\
Kann man alle perfekten (= topologisch vollst\"andigen) Matrizengruppen nach analytischen Verfahren bestimmen ? Dann h\"atte man durch \"Ubergang zu \nl alle Kongruenzgruppen !\\
\\
Zur Methode von Schur:\\
Entsteht \"uber eine Gruppe vom Typ \nl jeder "einbettbare" Schurring durch eine \nl ?\\
\\
$\textbf{Seite 96}$\\
\\
Lineare Gleichungen in allgemeinen Ringen:\\
Matrizen-\"Aquivalenz $\nl\,\mathfrak{A}_{m\,x\,n}\,\mathfrak{W}$ mit invertierbaren \nl ist eigentlich gar nicht der geeigneten Hilfsbegriff:\\
Man braucht $ \mathfrak{p}\, \mathfrak{A}\, \nl$ mit \nl invertierbar,  $\mathfrak{p}$ \nl nur die $O$-Spalte. Im kommutativen Fall soll also die Determinante von $\mathfrak{p}$ kein Nullteiler sein. $[$ Die \"Aquivalenz tritt erst dann als Hilfsmittel ein, wenn man gleichzeitig das transponierte Gleichungssystem betrachtet.$]$ $\mathfrak{p}$ braucht daher nicht einmal quadratisch zu sein. Es muss nur vollen Spaltenrang haben. Damit sollte eine Vereinfachung der Normalform erreichbar sein; diese w\"urde nicht nur von den Determinantenteilern abh\"angen, da diese f\"ur die transponierte Matrix gleich sind. Von $\mathfrak{W}$ braucht man nur zu fordern.  $\mathfrak{W}$ \nl,  $\mathfrak{W}y = 0 \leftrightarrow y = 0$ 
\\
$\textbf{Seite 97}$\\
\\
Aus einer Schlussweise von Jacobs (\nl17 1272) folgt:\\
Der Durchschnitt einer fallenden Mengenfolge von stark angeschl \nl konvexen Mengen im Hilbertraum ist nicht leer. (Desgl. wohl f\"ur gleichen konvexe R\"aume).\\
\\
\textit{Zu $s > 1$ Iterationsschritten der EigW.-Einschl.:}\\
Inhalt Fekete-Neumann $[$49$]$:\\
$f(x)$ heisse ein Extremalpolynom zu der abgeschlossenen beschr\"ankten Pktmenge $E$ der komplexen Ebene, wenn aus $Gr\,g < Gr\,f$ stets folgt: $\exists\enspace z \in E$ so dass $|f(z_{0}) + g(z_{0})| \enspace \underline{\underline{>}}\enspace  |f(z_{0}\,|$. Dann gilt der Satz: Jede Nullstelle eines Extremalpolynoms vom Grade $n$ liegt in der konvexen H\"ulle von $E$, vorausgesetzt, den $E$ mehr als $n$ Punkte enth\"alt. Die nichtreellen Nullstellen eines reellen Extremalpolynoms liegen, wenn $E = \overline{E}$, ausserdem in der Vereinigung der Kreise mit Durchmesser $[z,\,\overline{z}]$, $z \in E$.\\
- Normen wie 
$\left\{
\begin{array}{ll}
\\
\end{array} \right.
\sl{E}{} |f(z)|^{2}
\left\}
\begin{array}{ll}
\\
\end{array} \right.^{\frac{1}{2}}$ nennen die Verf im Anschluss an Feje'r (Math Ann 85, 41 - 48) eine "'Besselsche"' Abweichung. - Der Satz von Gauss \"uber $f'(z) = 0$ ist Spezialfall des obigen.\\
\\
{\LARGE S.98 ist vollst\"andig durchgestrichen}\\
{\LARGE S.99 ist oben durchgestrichen}\\
\\
$\textbf{Seite 100}$\\
\\
Ein Imprimitivit\"atskriterium.\qquad \nl: 25.11.54\\
Sei $T$ ein Tras $\mathfrak{G_{1}}$, $\sl{}{}$ ein Tras $\mathfrak{U} < \mathfrak{G}$, $1 \not= T \underline{\underline{\subset}}\, \sum \not= \nl$.\\
Ist $|\sum| = p = $Primzahl, so ist $\mathfrak{G}$ imprimitiv.\\
Bew: Da die gr\"osste Untergruppe von $\mathfrak{G}$, die $T$ als ganzes fest l\"asst, gerade $\mathfrak{G}_{1}$ ist, \nl die Konjugierten $T_{G}$ die Gruppe $\mathfrak{G}$. $\mathfrak{U}$ f\"uhrt $T$ in eine durch $p$ teilbare Anzahl von Konjugierten \"uber, da  $\mathfrak{U}_{1}$\quad $T$ fest lassen muss, im \nl auf $\sum$ also keine durch $p$ teilbare \nl mehr hat. Also ist $p||1_{\mathfrak{U}}|$ und daher nach dem vorigen Satz $|1_{\mathfrak{U}}| = p$, $\mathfrak{G}$imp \"ubrigens hat dann der \nl von $\mathfrak{U}$ auf $\sl{}{}$, der den Grad $p$ hat, noch eine nichttriviale Untergruppe von Index $p$, n\"amlich $\mathfrak{U}_{1}$.\\
Frage: Welche Gruppen vom Grade $p$ haben nichttriviale Untergruppen vom Index $p$. ?\nl\\
\nl\\
\\
{\LARGE S.101 ist vollst\"andig durchgestrichen}\\
\\
$\textbf{Seite 102}$\\
\\
Untersuchung der Permu.-gr., die vollstetig reduziert nur 3 irred. Bestandteile enthalten: \nl\\
Die Transl\"angen von $\mathfrak{G_{1}}$ seien 1, $v$, $w$.\\
Seien $v$, $w$ zugeh\"orige mit $\mathfrak{G}$ \nl Matrizen, also $E + V + W = F = 
\left( 
\begin{array}{ccc}
1 &\cdots& 1\\
1 &\cdots& 1
\end{array} \right)$.\\
($A$) $\underline{W = \overline{V}'} \rightarrow 0 = Sp\, V^{2} = v^{2} + f'v'^{2} + f''v''^{2} \rightarrow f' = f''$.\\
($B$) $\underline{V = \overline{V}'}. \qquad V^{2} = a\,V + b\,E + c\,F \qquad \quad f' + f '' = v + w = n - 1$.\\
$Sp\,V^{2}$'$ \qquad v = b + c$\\
EW: $v^{2} = a\,v + b + c\,n$\\
$v'^{2} = a\,v' + b$, $v''^{2} = a\,v'' + b$\\
$SpV$: $v + f'v' + f''v'' = 0$\\
Aus dem letztem folgt $(f',\,f'')\,|\,v$, ebenso $|w, \rightarrow|\,(v,\,w)$.\\
Ist daher $f' = f'' = \frac{n-1}{2}$, so ist auch $v = w =  \frac{n-1}{2}$.\\
\textit{Vermutung: $|f' - f''| \underline{\underline{>}} |v - w|$.}\\  
\"Uber "'Star-Algebras"': Bohenblust Kongress 1954\\
\nl 
\\
$\textbf{Seite 103}$\\
\\
Halbprimitive Perm.-g.:\hfill 27.11.54\\
$\mathfrak{G} < \mathfrak{G}$ heisse halbmaximal, wenn es nur eine einzige maximale Untergr. von $\mathfrak{G}$ gibt, welche $G$ umfasst. Eine $Pgr\,\mathfrak{G}$ heisse halbprimitiv, wenn $\mathfrak{G}_{1}$ halbmaximal. Aus $\mathfrak{G}$ ist dann \underline{nur eine} primitive Gruppe  $\overline{G}$ durch Vergr\"oberung abzuleiten.\\
Es scheint lohnend, diese Begriffe zu untersuchen.Z.B. gilt: Ist $\mathfrak{R}\, \lhd\,\mathfrak{G}$,  $\mathfrak{R} \not= E$, $\mathfrak{R}$ nur halbprimitiv, so auch $\mathfrak{G}$.\\
\\
\\
\nl M\"uller-Dresden \nl 1954:\\
\nl mit nocht-linearen auftreten dem EW $\mu$.\\
Faber 1914, Tamarkin, Taylor 1938\\
Meranda 38, 40, \nl 40, Goshberg 51\\
Charasov 1950, \underline{\underline{1949}}. Atkinson\\
\\
\\
Kann man den Hauptidealsatz beweisen mittels (verlag. G) $|\mathfrak{G}:\mathfrak{G}$'$| = E$, indem man notfalls $\mathfrak{G}$' weiter aufspaltet ?
\\
$\textbf{Seite 104}$\\
\\
Zur Schur-Methode.\\
I.
\begin{quote}
Genau dann ist $\mathfrak{G}_{1}$ auf zwei Transsystemen $\mathfrak{G}_{1}^{K}\,\mathfrak{G}_{1}$ und  $\mathfrak{G}_{1} < \mathfrak{G}_{1}$ simultan ("'doppelt"') transitiv, wenn $\mathfrak{G}_{1} = (\mathfrak{G}_{1} \cap  \mathfrak{G}_{1}^{K})
(\mathfrak{G}_{1} \cap  \mathfrak{G}_{1}^{L})$\\
\end{quote}
II.
\begin{quote}
Genau dann ist $\mathfrak{G}_{1}\,K\,\mathfrak{G}_{1} \cdot  \mathfrak{G}_{1}\,L^{-1}\, \mathfrak{G}_{1}$ ein einziges Transsystem wenn $\mathfrak{G}_{1} \subseteq  \mathfrak{G}_{1}^{K} \cdot \mathfrak{G}_{1}^{L}$.\\
Also gilt $I \rightarrow II$.\\
NB: Es ist\\
I $\leftrightarrow$ F\"ur jedes $G_{\alpha} \in \mathfrak{G}_{1}$ ist \qquad
$\mathfrak{G_{1}}^{K}G_{\alpha} \cap \enspace \mathfrak{G}_{1}^{L} \nl \cap
\mathfrak{G}_{1} \not= \oslash$ \\
II $\leftrightarrow \qquad |\,| \qquad \qquad\qquad\qquad\mathfrak{G_{1}}^{K}G_{\alpha} \cap \enspace \mathfrak{G}_{1}^{L} \nl \cap
\mathfrak{G}_{1} \not= \oslash$
\end{quote}
III.
\begin{quote}
Genau dann ist $\mathfrak{G}_{1}$ auf $\mathfrak{G}_{1}\,^{K}\,\mathfrak{G}_{1}$
zweifach transitiv wenn zu jedem $G_{\alpha}$, $G_{\beta} \in \mathfrak{G}_{1}$;
$G_{\alpha}$, $G_{\beta} \notin \mathfrak{G}_{1}^{K}$ gilt
$G_{\alpha}\,\mathfrak{G}_{1}^{K} \cap \mathfrak{G}_{1}^{K}\,G_{\beta} \cap
\mathfrak{G}_{1} \not= \oslash$
\end{quote}
IV.
\begin{quote}
Genau dann ist $\mathfrak{G}_{1}\,^{K}\,\mathfrak{G}_{1} \cdot
\mathfrak{G}_{1}\,^{K^{-1}}\,\mathfrak{G}_{1} = \mathfrak{G}_{1} +
\mathfrak{G}_{1}\,L\, \mathfrak{G}_{1}\,\nl$ wenn $G_{\alpha,\beta} \in
\mathfrak{G}_{1} - \mathfrak{G}_{1}^{K} \rightarrow
G_{\alpha}\,\mathfrak{G}_{1}^{K} \cap \mathfrak{G}_{1}^{K}G_{\beta} \not=
\oslash$.\\
\nl\\
NB: Daher gilt: III $\rightarrow$ IV.\\
\\
Vorschlag: $\mathfrak{K}\,\mathfrak{L} = \mathfrak{W}\,\mathfrak{R} +
\mathfrak{p} \dots$ \qquad \qquad \nl deutet Z\"ahlung der Vielfachheiten an.\\
Schreibweise bei Schur-Meth.
\end{quote}
$\textbf{Seite 105}$\\
\\
1.Satz:
\begin{quote}
Sind zwei gepaarte trans.Konstituenten von $\mathfrak{G}_{1}$ in einen
\underline{primitiven} Gruppe $\mathfrak{G}$ regul\"ar, so ist jeder von ihnen
\nl $\mathfrak{G}_{1}$.\\
Bew:
\begin{quote}
$\mathfrak{G}_{1} \cap \mathfrak{G}_{1}\,^{K} \lhd \mathfrak{G}_{1}$ und
$\mathfrak{G}_{1}\,^{K^{-1}} \cap \mathfrak{G}_{1} \lhd \mathfrak{G}_{1}
\rightarrow$\\
$\mathfrak{G}_{1} \cap \mathfrak{G}_{1}\,^{K} \lhd
\{\mathfrak{G}_{1},\,\mathfrak{G}_{1}\,^{K}\} = \mathfrak{G}$
\end{quote}
\end{quote}
2.Satz: in jeder Gruppe $\mathfrak{G}$ gerader Ordnung enth\"alt
$\mathfrak{G}_{1}$ mindestens einen selbstgepaarten Konstituenten. $[$im
wesentl. Manning 1927, S.819$]$ \\
Bew: $K^{L} = E$; $\mathfrak{G}_{1}\,K\,\mathfrak{G}_{1}$\\
\\
3.Frage zu 1. Ist ein Konstituent von $\mathfrak{G}_{1}$, der mit einem
regul\"aren gepaart ist, stets "'treu"' ? (dh. $\cong \mathfrak{G}_{1}$).\\
\\
4. Satz: Ist $\delta$ eine Kompositionsfaktorgruppe von $\mathfrak{G}_{1}$,
$\mathfrak{G}$ prim, $\mathfrak{K}$ ein \nl Konsitit von $\mathfrak{G}_{1}$, so
besitzt $\mathfrak{K}$ \nl G mit $G \geq F$.
\begin{quote}
Dh. die Kompfaktorgr. (u. ihre Untergr.) \underline{eins} \nl Ko von
$\mathfrak{G}_{1}$ enthalten \underline{alle} Kompfaktgr von
$\mathfrak{G}_{1}$.\\
\nl: Jede \nl von $\mathfrak{G}_{1}$ ist "'Teil"' von $\mathfrak{K}$.
\end{quote}
S.Sonderfall: Ist ein \nl Ko von $\mathfrak{G}_{1}$ aufl\"osbar, so
$\mathfrak{G}_{1}$ aufl\"osbar.\\
Konstituent von $\mathfrak{G}_{1}$ die $\mathfrak{A}_{5}$ als eine
Kompfaktorgruppe.
\begin{quote}
Jede maximale Kompfaktgr. \underline{eines} Konstituenten von $\mathfrak{G}_{1}$
$(\mathfrak{G}$ prim) ist auch eine Kompfgr jedes andern Konstituenten. Dh dies
umfasst~4. \hfill \nl
\end{quote}
$\textbf{Seite 106}$\\
\\
Satz von Manning \"BAMS 1929: Ist $\mathfrak{G}$ primitiv und hat
$\mathfrak{G}_{1}$ einen 2fach transitiven Konstituenten 7 des Grades $k > 2$,
so hat $\mathfrak{G}_{1}$ einen Konstituenten eines Grades $l$ mit $k < l\, |\, k(k
- 1)$.\\
Bew mit Schur-Methode unter der (wohl vermeidbaren) Zusatzvoraussetzungen:
$\mathfrak{G}$ enth\"alt eine trans. neg. Untergruppe: $\mathfrak{G}_{1}$ sei
2-tra auf $\mathfrak{K}$. Dann ist
(104$_{III})\,\mathfrak{K}\overline{\mathfrak{K}} = k\,E + \mu\,\mathfrak{L}$,
$\mathfrak{L}$ prim\"ar. Daher 
$\left\{ 
\begin{array}{ll}
\mu\,\nl\, k - 1\\
\mu \cdot |\mathfrak{L}| = k \cdot (k - 1)
\end{array} \right.$; es kann angenommen werden
$|\mathfrak{L}| \leq k$, also $\mu = k - 1$:  \nl\\
$* \qquad \mathfrak{K}\overline{\mathfrak{K}} = k\,E + (k - 1) \,\mathfrak{L}$,
$\mathfrak{L}$ prim\"ar. \\
Hierausfolgt $\mathfrak{L}\,\mathfrak{K} = (k -
1)\,\mathfrak{K} +~\mathfrak{W}\qquad (\mathfrak{W}\,\eta\,\nl)$\\
also $\mathfrak{L}\,\mathfrak{K}\,\overline{\mathfrak{K}} = k\,(k - 1)\,E + (k -
1)^{2}\,\mathfrak{L} + \mathfrak{W}\,\overline{\mathfrak{K}}$\\
andererseits($*$)\qquad $= k\,\mathfrak{L} + (k -1)\,\mathfrak{L}^{2}$\\
daher 
$\left( 
\begin{array}{ccc}
x\\
x
\end{array} \right) \qquad \mathfrak{L}^{2} = k\,E + (\mathfrak{L} - 2)\,
\mathfrak{L}) + \frac{\mathfrak{W}\,\overline{k} - \mathfrak{L}}{k - 1}$ \nl\\
Wie $*$ ist auch $\mathfrak{L}^{2} = \mathfrak{L}\,\overline{\mathfrak{L}} =
k\,E + (k  - 1)\, \mathfrak{R}$ \qquad $\mathfrak{R}$ pri\\
also $\mathfrak{R} = \mathfrak{L}$ aus 
$\left( 
\begin{array}{ccc}
x\\
x
\end{array} \right)$, daher $\mathfrak{L}^{2} = k\,E + (k - 1)\,\mathfrak{L}$,
$\mathfrak{L} + E$ Gruppe, $\mathfrak{G}$ imprimitiv.\\
\\
Konstituenten-Paarung:\\
Jeder transitive Konstituent von $\mathfrak{U}$ bei Darst. nach $G$ ist gepaart
mit einem eindeut bestimmten trans Konst  von $G$ bei Darst. nach
$\mathfrak{U}$:  \quad ${G}\,A\,\mathfrak{U} \leftrightarrow
\mathfrak{U}\,A^{-1}\,G$.
\\
$\textbf{Seite 107}$\\
\\
Aufgabe: Satz von Manning $\leftarrow$ ohne Zusatzvorauss.\\
\"Ahnlich: Beweise den folgenden Satz von Manning 1927 TAMS: Ist $\mathfrak{G}$
pri und nur ein trans Konst  von $\mathfrak{G}_{1}$ impri, so ist dieser treu.
Sind alle pri, so ist jeder treu. Allgemeiner \nl. Wenn $\mathfrak{K}$ ein (treu
 oder intreu) Konstituent von $\mathfrak{G}_{1}$ pri sind, so ist $\mathfrak{K}$
 treu.\\
 Ebenfalls 1927 TAMS zeigte Manning:\\
 Ist ein Konstituent $\mathfrak{K}$ von $\mathfrak{G}_{1}$ (imprim.
 $\mathfrak{G}$) $2\frac{1}{2}$-tra, Grad$\,\mathfrak{K} = \mathfrak{K}$, so ist
 $\mathfrak{K}$ treu oder $\mathfrak{G}_{1}$ hat einen impri Konstituenten des
 Grads $k\,(k - 1)$ mit einem \nl $k - 1$, dessen prim Kopf "' gleich
 $\mathfrak{K}$ ist.\\
 Frage: Gelten \"ahnliche S\"atze, wenn \nl nicht einen mehrfach  treu Konst von
 $\mathfrak{G}_{1}$ voraussetzt, sondern simultane (doppelte) Transitivit\"at
 von $\mathfrak{G}_{1}$ auf zwei oder mehr Konstituenten ?\\
 Ja:\\
 Satz: Ist $\mathfrak{G}$ pri und $\mathfrak{G}_{1}$ simultan tra auf \nl  und
 enth\"alt $\mathfrak{G}$ eine neg tra Ugruppe] \nl $k \leq l$, so enth\"alt
 $\mathfrak{G}_{1}$ einen tra Konst $\mathfrak{W}$ eines Grades $m$: $m\,|k\,l$,
 $m > l$\\
 Bew: sonst $\mathfrak{K}\,\overline{\mathfrak{L}} = k_{1}\,\mathfrak{W}$,
 $\overline{\mathfrak{K}}\,\mathfrak{W} = k\,\overline{\mathfrak{L}}$,
 $\overline{\mathfrak{K}}\, \mathfrak{k}\, \overline{\mathfrak{L}} =
 k\,\overline{\mathfrak{K}}\,\mathfrak{W} = k^{2}\,\overline{\mathfrak{L}}$\\
 \nl \qquad \qquad \qquad\qquad$< \overline{\mathfrak{K}}\, \mathfrak{K} >$ intrans\\
 Die Vor ist erf\"ullt insbesondere \underline{bei} ($k,\,l) = 1$.\\
 Falsch ist die Vermutung:\\
Jede primitive Gruppe des Grades $q\, p$ ($p$ Primzahl $q < p$) ist zweifach transitiv . Gegenbeispiel:\\
Die symmetrische $\gamma_{p}$ hat als Untergr. $G = \gamma_{p-2} \cdot  (p - 1 \enspace p - 2)$, diese ist maximal, erzeugt eine nur 1 $\frac{1}{2}$ fach transitive Darstellung von   
$\gamma_{p}$  vom Grade $p \cdot \frac{p - 1}{2} $.\\
\"Ahnlich gibts eine Darst. des Gr. $ \frac{p + 1}{2}$ von $\gamma_{p + 1}$. Die obige Vermutung ist also h\"ochstens bis $q < \frac{p - 1}{2}$ richtig. Der niedrigste unentschiedene Wert ist also $n = 33$. Ist dort jede primitive Gruppe 2-tra ?\\
Achtung:\\
F\"ur $p = 5$ ergibt sich eine genau 1 $\frac{1}{2}$-tra Darstellung des Grades 10 von $\gamma_{5}$. Wie vertr\"agt sich das mit Satz von S.98 ?\\
s.S.109\\
Neue Vermutung: Bei festem $k$ sind alle prim Gruppen des Grades $k_{p}$ 2-tra, ausgenommen gewisse $p$ von der Dichte 0. Siehe f\"ur $p = 2$ \quad S.109
\\
{\LARGE S.109 ist vollst\"andig durchgestrichen}\\
\\
\\
$\textbf{Seite 110}$\\
\\
Falls es eine einf tra pri Gruppe $G$ des Grades 26 gibt, hat $\mathfrak{G}_{1}$
Transsysteme d. L\"ange 1, 10, 15, und erscheint sowohl $\mathfrak{K}_{10}$ \nl
$\mathfrak{K}_{15}$ primitiv zu sein, $\mathfrak{K}_{15}$ \underline{nur} 1
$\frac{1}{2}$-tra. Eine Gruppe, die zwar solche Darstellungen besitzt, ist
$\mathfrak{A}_{6}$ (auch $\gamma_{6}$). Dort \nl $\mathfrak{K}_{10}$ 2-tra.\\
Vielleicht erh\"alt man eine $\mathfrak{G}^{26}$ der gesuchten Art einer geeignete Gruppe Untergruppe der Komplexgruppe $C\,(4,\,5)$, falls diese $\mathfrak{A}_{6}$ als Teil enth\"alt. $C\,(4,\,5)$ hat $Ord.\enspace 26.6!\cdot\cdot 5^{3}\cdot 4$ oder man k\"onnte versuchen, die oben angegebene intra  Dartellg von $\gamma_{6}$ oder $\mathfrak{A}_{6}$ des Grades 25 zu "'erweitern"'.\\
\textit{Der  Ip-Satz gibt etwas ihrer $Gr$. des Grades $2p = q + 1$, $q - PZ$!\\
Dazu: Frobenius ansehen (Gr.)}\\
Die transitiven Konstituente von $\mathfrak{G}_{\alpha}$ ($\mathfrak{G}$ primitiv) seien\\
($\alpha$) , $7_{\nl},\sim, 7_{k}$; sei $G \, \underline{\underline{<}} \, \mathfrak{G}$ mit den trans. Konstituenten \nl. Die Grade seien $t_{2} \dots u_{m}$. Dann gibt es $i,\,j$ so, dass \nl $t'_{2}$, wobei $t'_{2}$ den Grad einer gewissen trans. Permgr bedeutet, die \underline{sowohl} als trans. Konstituent einer Untergruppe  von \nl wie von $7_{2}$ auftritt.\\
Bew:  \nl $S =
\left( 
\begin{array}{ccc}
\omega & \varphi & \mu\\
\alpha & \beta &  -
\end{array} \right)$, wobei $\omega$ von einem $\mathfrak{U}$ betroffen, $\varphi$ von einer $\mathfrak{W}$, und $\beta$ fest gew\"ahlt in $7_{2}$. Also kann man $(G \rightarrow S^{\nl}G\,S)$ oBdt 
\\
$\textbf{Seite 111}$\\
\\
annehmen, dass $\alpha$ von \nl, $\beta$ von \nl betroffen ist. Dann ist $G_{1} \leq \mathfrak{G}_{\alpha}$, also $\beta_{g_{\alpha}}$ trans von $G_{\alpha}$ in 
$\left\{ 
\begin{array}{ll}
\nl\\
7_{2}
\end{array} \right.$, und $v_{j} = \nl$\\
\\
1.
\begin{quote}
Anders ausgedrückt: $\Omega = T + \triangle$, $T_{G} = T$, $\alpha + \beta$, $\mathfrak{G}$ pri $\rightarrow$ es gibt $\gamma$, $\delta$: $|\gamma_{G}| \enspace |   \enspace |\delta_{G}|.t'$, wobei $t'$ der Grad einer tra konst. Gruppe ist, die sowohl in $\mathfrak{G}_{\alpha}^{\beta_{G_{\alpha}}}$ wie in $G^{\delta_{G}}$ als tra Ko einer Untergruppe auftritt.\\
Folgen:
\begin{quote}
2. Ist $7_{2}$ reg, so gibt genauer   $|\gamma_{G}| \enspace |   \enspace |\delta_{G}|.t_{2}$\\
3. Stets ist $|\gamma\, G| \leq t_{2}\, |\delta_{G}|$ \qquad (keine L\"ucke \nl als $t_{2}$)\\
4. $t_{2} = 3$, $ |\gamma \, G| \enspace \underline{\underline{>}} \enspace  |\delta_{G}| \rightarrow  |\gamma \, G| = |\delta_{G}| \cdot
\begin{array}{ccc}
\frac{3}{2}\\
2\\
3
\end{array}$.
\end{quote}

\end{quote}

Ist $\mathfrak{G}$ primitiv, und besitzt $\mathfrak{G}_{1}$ zwei trans.
Konstituenten des Grades $t$, von denen einer $\mathfrak{A}_{t}$ enth\"alt, so
tut der andere dies auch.\qquad Bew: Die Ordnunugen der Konstit enth dieselben
Primz.\\
\\
$\textbf{Seite 112}$\\
\\
Methode v. Schur\\
Gibts in $\mathfrak{G}$ eine reg abelsche Untergruppe, oder wenigstens zu jedem
$\nu$ ein $A =
\left( 
\begin{array}{ccc}
1\, \cdots\\
\nu\, \cdots
\end{array} \right)$, dessen Zentralisator transitiv ist, so die Klassenmatrizen
skalare Vielfache der $V_{i}$ ("'der prim\"aren Komplexe"').
\underline{Dann} kann man \underline{sicher} $V_{i}^{P} = V_{j}$ einf\"uhren.\\
Bew: $\mathfrak{G}_{1}\,A\,\mathfrak{G}_{1} = \nl \supseteq
G_{1}^{-1}\,N^{-1}A\,N\,G$, $\mathfrak{R}\,\mathfrak{G}_{1} = \mathfrak{G}$,
also $\mathfrak{G}_{1}\,A\,\mathfrak{G}_{1} \supseteq$ Klasse $A$, die zugeh.
Klassenmatrix \nl hat daher nur in \underline{einem} Transs von
$\mathfrak{H}_{1}$  nicht \nl, ist $= const. V_{i}$\\
\\
\\
Das Homolorph von $\mathfrak{G}$ ist primitiv genau wenn $\mathfrak{G}$ keine
char. Ugr. hat.\\
\\
Ist eine Klassenmatrix $C$ "'prim\"ar"' $= c \cdot V_{i}$ mit $l_{i} = \min$, so
auch alle $C^{(p)}$, $(p,\,\gamma) = 1$. Denn $Sp\, G^{-1}\,V{i} = n = Sp\,
G^{-p}\, V_{i}^{(p)}$, aber $V_{i}^{(p)}$ hat alle Matrixelemente $\leq 1$ da
\nl invariant gegen $^{(p)}$,
daher m\"ussen sie alle $= 1$ sein: $V_{i}^{(p)}$ ganz $\geq 0$.\\
\\
$\textbf{Seite 113}$\\
\\
Folge des Frame. Satzes (S.113):\\
a) ist $(f_{\rho},\,n) = 1$ in einer Perm.Gr., so ist
$\Pi\,f_{\rho}\,^{l_{\rho}^{2}}\, |\, \Pi \, t_{\sigma}$ (Anzahl der Faktoren ist
\nl\\
a) Ist $f_{2} = f_{3} = \cdots$, so ist $f{\rho},\,n) = 1$, daher nach a)
$\Pi\,f_{\rho}\,^{l_{\rho}^{2}}\, |\, \Pi \, t_{\sigma}$\\
Hieraus \nl\\
$\rightarrow$ Jede Primzahl $p\,t^{n}$ geht in h\"ochstens so vielen $f_{\rho}$ auf (mit
$Vfh\,\, l_{\rho}^{2}$ gez\"ahlt) wie in $t_{\sigma}$. Satz von Frame "'(buke 3
(1937)) richtiggestellt:\qquad 30.1.55\\
Sei $\mathfrak{G}$ Permgr, tra von Grade $n$, Transl\"angen von
$\mathfrak{G}_{1}$ seien $1 = t_{1}$ \nl, die Grade der irred Bestdteile von
$\mathfrak{G}$ $f_{1},\,\sim,\,f_{r}$, ihre Vfh $l_{1}\,\sim,\,l_{r}$, so ist
$\frac{n^{s-2}\,\Pi\,t_{\sigma}}{\Pi\,f_{\rho}\,^{l_{\rho}^{2}}} = Q$ ganz, und
wenn alle irred Bestdteile rat. Spen haben,\\
damit ist $Q = R^{2}$.\\ 
Bew: $\mathfrak{W}$ der zugeord Ring, Basis $V_{\sigma}\qquad \sigma = 1 \sim
s$. Reduziere $\mathfrak{G}_{1}$\qquad $v^{1}\,\mathfrak{G}\, \cup = G = $\\
\nl\\
\\
X$= (X_{\rho\,\sigma})$ \qquad 
$\begin{array}{cc}
(r = 1,\dots,\,s;$ Typ $ X = s,\,s)\\
(\rho = 1, \dots, \nl \quad \,\,
\end{array}$ wird dann mit \\
$F = 
\left( 
\begin{array}{cccccc}
1&&&&&\\
&\ddots&&&&\\
&&f_{\rho}& $x$ & E_{e_{\rho}}&\\
&&&&&\ddots
\end{array} \right)$, \,$T = 
\left( 
\begin{array}{ccc}
\ddots&&\\
&t_{\sigma}&\\
&&\ddots
\end{array} \right)$ \qquad: Wegen $\sl{\sigma}{}\,V_{\sigma} = (1)$ ist
Spalten\\
$\overline{X}'\, F\, X = n\, T = (Sp\, \overline{V}_{\alpha}\,'\,V_{\sigma})$. Daher
$\frac{|n\,T|}{|F|} = |\overline{X}'|\,|X|$ ganz alg.\\
Sind die Char. alle \nl, so ei $*$ ein Autom des K\"orpers, indem die $W$ transf
$\omega_{\sigma}$ liegen. Es ist  $U\, \omega_{\sigma}\, U^{-1} = V_{\sigma} =
U^{*}\,\omega_{\sigma}^{*}\,U^{* - 1}$, also $U^{-1}\,U^{*}$ transf
$\omega_{\sigma}$ in $\omega_{\sigma}^{*}$, also $U^{-1}\,U^{*} = 
\left( 
\begin{array}{ccc}
\ddots &&\\
&M_{\rho}&\\
&&\ddots\\
\end{array} \right)$ mit\\
$$M_{\rho}^{-1}\,\nl = W_{\nl}^{\textnormal{x}}\, \textnormal{x} \, E_{f_{\rho}}$$
Hieraus folgt $Sp\, W_{\rho\,\sigma^{2}}\, Sp\, W_{\rho\,\sigma}^{*}$, also ist
f\"ur die \underline{irred} Gruppe, die von den $W_{\rho\,\sigma}$ erzeugt
wird, $W_{\rho\,\sigma}^{*}$ eine \"aqu. Darst:\\
$W_{\rho\,\sigma}^{*} = P^{-1}\,W_{\rho\,\sigma}\, P$. Hieraus
$X_{\rho\,\sigma}^{*} = Q \cdot X_{\rho\,\sigma}$ mit $det\, Q = 1 \rightarrow
det\, X$ rat.\\
Frage: Verallgemeinerung auf impr. lieare Gruppen ?\\
\\
$\textbf{Seite 114}$\\
\\
Frame:\\
a) Zur Versch\"arfg der Elementarteileraussagen  beim Problem von Frame die
trivialen $t_{_{'}}$, $f_{1}$ abspalten !\\
\\
b) Ist ausser $f_{1} = 1:\quad f_{2} = f_{3} = \cdot = f_{r}$ in einer Permgr.,
so ist nicht nur . \nl (113), sondern noch . $r = s$, also $e_{2} = \cdots =
l_{r} = 1$, daher \nl abelsch.\\
\\
c)Falsch ist die Vermutung: Die $
\left\{ 
\begin{array}{ll}
\textnormal{oder Determinantenteiler}\\
\textnormal{Elemetarteiler}
\end{array} \right.$ von $P'\,A\,P$ unter scheiden sich von  denen von $A$ um
Quadrate. Gegenbeispiel:\\
$\left( 
\begin{array}{cc}
0 & 2\\
1 & 0
\end{array} \right)\, 
\left( 
\begin{array}{cc}
2&\\
&1
\end{array} \right)\,
\left( 
\begin{array}{cc}
0&1\\
2&0
\end{array} \right)\, = 
\left( 
\begin{array}{cc}
4&\\
&2
\end{array} \right)$.\\
\\
d) Wohl immer ist $\frac{n^{k -
2}\Pi\,t_{\sigma}}{\Pi\,f_{\rho}\,^{l_{\rho}^{2}}} \equiv 0,\, 1$ uwd 4: $det\,
W \equiv$ ganz rat uwd 2 \nl
\begin{flushright}
$\downarrow$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\,\,\,\,\, \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
\end{flushright}
e) Nicht immer ist $\qquad\, Q = \cal{R}$$^{2}$. \\
Gegenb: 
$\left\{ 
\begin{array}{lll}
a)\enspace \mathfrak{(G) = 2}.\\
b)\\
|\mathfrak{G}| = 2 \cdot 5, \mathfrak{G} \textnormal{ nicht abelsch}, n = 5.\quad t_{\rho} =
f_{\rho} = 1,\, 2,\, 2\, ,\, Q = 5
\end{array} \right.$\\
\\
f) Ist \nl kommut, so sind die $V_{i}$ Linverbogen der Klassensummen.
\\
$\textbf{Seite 115}$\\
\\
Schur.\\
\begin{enumerate}
\item Eine Permgr. ist genau dann imprimitiv, wenn unter den \nl vertauschbaren
\nl Matrizen $V_{i}$ eine zerlegbare ($\not= E$) vorkommt, \nl wenn unter den
$V_{i}$ einige f\"ur sich die Basis  eines Rings bilden.\\
Denn in beiden F\"allen ist \nl$ 
\left( 
\begin{array}{c|cc}
F&\\
\hline
&G\\
&&\ddots
\end{array} \right)$ \nl mit $F = 
\left( 
\begin{array}{ccc}
1&\nl&1\\
1&\cdots&1
\end{array} \right)$, also bilden die \nl Zeilen ein Imprimivit\"atssystem von
$\mathfrak{G}$.
\item Ist jede Transs von $\mathfrak{G}_{1}$ selbstgepaart, so ist \nl
kommutativ und "'reell"', da alle $V_{i}$ hermitesch, Folge: $l_{\rho} = 1$,
alle $X_{\rho\,\sigma}$ reell.
\item Ist $\mathfrak{A}$ eine abelsche Untergr. von $\mathfrak{G}$ mit $s$
Transsystemen \nl L\"angen $> 1$, so \nl $\sl{\mathfrak{G}}\, G^{-1}\,
\mathfrak{A}\, G$ aus $\leq s$ der $V_{i}$ zusammen.
\item Ist $Z \lhd A$ transitiv, so  ist $\sl{}{}G^{-1}\, A\, G = \nl\, V_{i}$.
\item Sind alle $l_{\rho} = 1$, also \nl kommt, so ist $\mathfrak{G}_{1}\,V_{i}
= K_{i}$:
\begin{flushright}
$\downarrow$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\
Das ist isom Abb \nl $\leftrightarrow \mathfrak{K}$
\end{flushright}
$$ K_{i} = \sl{\wedge_{R_{v}} = v \in T_{i}}{}$$
\item f\"ur jede Klassensumme ist $C^{p} \equiv C^{(p)}$ (und $p$). Wenn $(p,\,
g) = 1$
\end{enumerate}
$\textbf{Seite 116}$\\
\\
(1) Ist im $V_{\nl}  = \sl{}{}$ ganz. $C_{i}$, so $m\, \nl \equiv m\, V^{p}\quad
(p)$ wenn $(p,\, \nl) = 1$; f\"ur die EWe $\omega_{i}$ von $V$ folgt\\
$m\, \omega_{i}^{p} \equiv m\, \omega_{i}^{(p.)} \rightarrow
\underline{\omega_{i}^{(p)} \equiv \omega_{i}^{p} \quad \nl\, p}$\\
Das letztere gilt aber wohl f\"ur alle ganzen Zahlen im $g$-ten
Kreistelungsk\"orper.\\
\\
Aufgabe: Die maximalen Untergruppen der symm $\gamma_{n}$ bestimmen.\\
\\
$\textbf{Seite 117}$\\
\\
\begin{flushright}
5.3.1955
\end{flushright}
\"Uber trans. Permutationsgruppen $\mathfrak{G}$, des Grades $2p + 1\quad (p =
P\,z > 2)$ deren Ordnung durch $p$ teilbar ist.\\
(1) $\mathfrak{G}$ pro.\\
(2) Ist $|\mathfrak{G}|$ gerade, so ist $\mathfrak{G}$ 2-tra.\\
Bew: sonst hat $\mathfrak{G}_{1}$ ausser $\{1\}$ noch zwei Transs. der  Lge $p$,
und diese sind selbstgepaart; also die  zu einem von ihnen geh\"orige Matrix $V$
ist hermitesch: $V = V^{*}$. Die Grade der irred. Bestandteile von
$\mathfrak{G}$ sind $1,\, p,\, p$. $[$Denn nach Frame ist $\frac{(2p + 1)\,
p^{2}}{f_{2}\, f_{3}} = Q$ ganz, und hat $f_{2} \not= p$ also $f_{2}\,f_{3}\,
|\, (2p + 1)$
$$f_{2}\,(2p - f_{2}) = f_{2}\, f_{3} \leq 2p + 1$$
$$f_{2}\,^{2} - 2p\,f_{2} + 2p + 1 \geq 0$$
$f_{2} \leq f_{3}$:
\begin{quote}
$ f_{2} \leq p - \sqrt{p^{2} - 2p  - 1} < p -
\sqrt{p^{2} - 4p  + 4}$\\
$f_{2} < p - (p - 2) - 2 \qquad f_{2} = 1$, $\chi^{2}$ rat $\rightarrow \chi^{2}
\equiv 1$ geht $r$)$]$
\end{quote}

Nun wird, wenn $V$ die ($g$ rat.) EWe $p$, $v'$, $v''$ hat;\\
$\otimes$\qquad
$\left\{ 
\begin{array}{lll}
0 = Sp\, V = p + p\,v' + p\,v'' \rightarrow v' + v'' = -1\\
(2p + 1)\, p = Sp\,V^{2} = p^{2} + pv'^{2} + pv''^{2} \rightarrow 
\underline{v'^{2} + v''^{2} = p + 1}\\
\end{array} \right.$

\begin{flushright}
$2v'\,v'' = (-1)^{2} - (p + 1) = -p$
\end{flushright}
Hieraus folgt $2/p$, $p = 2$ entgegen Vor.\\
(3) Ist $|\mathfrak{G}|$ ungerade, so ist $n\, (= 2p + 1) = q ^{2a + 1}$, $q\,
Pz \equiv 3\, (4)$\\
Bew: Wieder sind wie oben, die Grade der irred Bestdteile 1, $\mu$, $\mu$, jetzt
gilt aber $V \not= V^{*}$ und dabei statt $\otimes$:
\\
$\textbf{Seite 118}$\\
\\
$\begin{array}{ll}
0 = p + pv' + pv''\\
0 = p^{2} + pv'^{2} +  pv''^{2}
\end{array}
\left\} 
\begin{array}{ll}
\\
\\
\end{array} \right. \rightarrow 
\begin{array}{ll}
v' + v'' = -1\\
v'^{2} +  v''^{2} = -p
\end{array}$\\
also $v',\, v'' = -\frac{1}{2} \pm \frac{i}{2} \sqrt{n} = v,\, \overline{v}
\qquad (n = 2p + 1)$\\
$\sqrt{n}$ ist irrat, da $n = 2p + 1 \equiv 3$ mod 4.\\
Wenn nun f\"ur ein $G \in \mathfrak{G} \quad \chi (G) \equiv 0 (mod 2)\qquad
(\chi = \chi^{1} + \chi^{2} + \chi^{3})$ so ist $\chi^{2^{(G)}} + \chi^{3^{(G)}}
\equiv 1 \quad (2)$, daher $\chi^{2} \not= \chi^{3}$. daher erzeugt
$\chi^{2^{(G)}}$ den K\"orper $K(i\sqrt{n})$. Stets ist $\chi^{(G)} = 0$, $1$,
$3$ da sie Konstit von $\mathfrak{G}_{1}$ aufl\"osbar, da $\not=$ 2-tra\\
Falls daher $q\, | \, n$ existiert, $q\, Pz > 3$, so ist die $q$-Sylowgruppe von
$\mathfrak{G}$ regul\"ar, es gibt $Q$ mit $Q^{q} = E$, $\chi^{(Q)} = 0$, also
ist dann $K(\chi^{2^{(6)}}) = K(i\sqrt{n})$, dh $i\sqrt{n}$ erzeugt den
quadratischen Teilk\"orper von $K(^{q}\sqrt{1})$, daher ist $n = m^{2} \cdot q$,
folglich gibts kein zweites $q$ dieser Art, d.h. es ist $$n = 3^{2b}\,q^{2a +
1}$$
Ann: Sei $b > 0$.\\
Die Transsysteme einer 3-Sylowgr haben also alle L\"angen $\geq q$, daher ist
jeder Element aus ihrem Zentrum regul\"ar (wegen $\chi \leq 3)$, also erzeugt
auch $i\sqrt{n}$ den K\"orper $K(^{3}\sqrt{i})$, das geht nicht. Folglich $b =
0$.\\
\\
Also ist, wenn $3 < q\,|\,n$, \quad$n = q^{k}$ mit $q^{k} - 1 = 2p$. Da $q -
1\,|\,q^{k} - 1$, ist $q - 1 = 2$, $q = 3$. Also: Stets ist, wenn
$2f\,|\mathfrak{G}|$, $n = 3^{2a + 1}$.\\
\\
$\textbf{Seite 119}$\\
\\
\nl\\
\\
(5) 
\begin{quote}
Ist 
$\left\{ 
\begin{array}{ll}
\nl\\
\textnormal{dh } 3\,|\,|\mathfrak{G_{1}}|
\end{array} \right.$ , so enth\"alt $\mathfrak{G}$ einen Normalteiler vom Index~3.
\end{quote}
Bew: Wenn dies f\"ur $g_{1}$ selbst falsch ist, also $3\,|\,\mathfrak{G}_{1}$,
so hat das Zentrum $\mathfrak{Z}$ einer 3-Sylowgr $\gamma$ die Ordnung 3, da
seine Elemente die \nl f\"ur $\gamma_{1} = \gamma \cap \mathfrak{G}_{1}$ festen
Ziffern untereinander  permutieren, also das \nl ein Trans der L\"ange 3 hat.
Sei $|\mathfrak{Y} : \mathfrak{Z}| = 3$, $\mathfrak{Y} \, \underline{\lhd} \,
\gamma$. Dann hat dieser Zentralistaor  von $\mathfrak{Y}$ in $\gamma$ den Index
3. Es ist transitiv. $[$Denn sonst best\"unde es aus allen $S\in \gamma$, welche
seine Transs, fest lassen, er enthielte insbesondere $\gamma_{1}$. Wenn
$\gamma_{1}$ $\,\mathfrak{Y}$ zenralisiert, hat $\mathfrak{Y}$ auf dem 3 von
$\gamma_{1}$ fest gelassenen Ziffern einen Konstituenten des Grades 3, und \nl
$\mathfrak{Y}\, \underline{\lhd}\, \gamma_{1}$ haben $\underline{alle}$ Konst.
von $\mathfrak{Y}$ den Grad 3, bestehen also aus den Transgebieten eines
Zentrumelements $Z$ von $\gamma$. Es w\"are dann $\mathfrak{Y}_{1} \not= E$, dh.
es gibt $Y_{1} \in \mathfrak{Y} \cap \gamma_{1}$. Dieses $Y_{1}$ stimmt auf
jedem Transgebiet von $\mathfrak{Y}$ mit $Z$ oder $Z^{1}$ \"uberein, aber nur
auf $\leq$ einem mit $Z$ nur auf $\leq$ einem mit $Z^{-1}$, da man sonst in
$\gamma$ ein Element mit $\chi \geq 6$ h\"atte. Folglich ist dann $n \leq 9$ und
wegen $n = 3^{2a + 1}n = 3_{_{'}}]$\\
Da Zentral. $\mathfrak{Y}$  transitiv, ist $\mathfrak{Y}$ regul\"ar, hat nur
Transs. der Ord $q$.\\
Der Zentralisator vom Index 3 in $\gamma$ enth\"alt daher $\gamma_{1}$ nicht,
und man kann durch Verlagerung von $\mathfrak{G}$ nach
$\gamma\,/\,\nl\,\mathfrak{Y}$ eine Faktorgruppe der Ord 3 abspalten\\
\\
(6)
\begin{quote}
Weiterhin kann also vorausgesetzt werden: $2f\,|\mathfrak{G}|$, $n = 3^{2a +
1}\,\huge{T}\,|\mathfrak{G}|$. \\
Zu zeigen: $\mathfrak{G}$ aufl\"osbar.
\end{quote}
$\textbf{Seite 120}$\\
\\
Nach $n = 2p + 1$.\qquad $n = 3^{2a + 1}$ ist Sylowgr, $\mathfrak{G}_{1}$
aufl\"osbar
\begin{flushright}
$2f\,|\mathfrak{G}|.$
\end{flushright}
\underline{und} es gebe ein Element einer Ord $3^{x}\,q$, $q$ Primzahl $\not=
3$\\
Dann ist $q\,|\,f = \frac{(\mathfrak{G_{1}})}{p}$, und die $q$-Sylowgruppe ist im
Zentrum ihres Normalisators, also kann  man sie oben abspalten. Induktion:
Normalteiler aufl\"osbar, $\mathfrak{G}$ aufl\"osbar. Bleibt\\
(7) (3, $|\mathfrak{G}_{1}|) = 1$, es gibt keine Elemente "'gemischter
Ordnung"'$3^{x}q$.\\
Dann gibt es\\
$n$\quad $p$.Sylowgr., $\frac{n\,p}{3}$ Gr. der Ord $f$ (alle konjugiert), also
$a_{p} = n\,(p - 1)$ El. d. Ord $p$, $a_{f} = \frac{n\,p\,(f - 1)}{3}$ El der
Ord $|\,f$ und $> 1$, daher $a_{3} = n\,p\,f - n\,(p - 1) - \frac{n\,p\,(f -
1)}{3} - 1$ El der ord $3 > 1$. Von den El der ord $3'''$ hat jedes $\chi^{2}
\not= 0$, da sonst $\chi = 1$ w\"are; als ganze Zahl des K\"orpers
$K(^{3}\sqrt)$ ist dann $|\chi^{2}|\,  \underline{\underline{>}}\, 1$, denn
$\chi^{2} = x + i\,\rho$. F\"ur manche Elemente $Z \in G$ der Ord 3 ist aber
$|\chi^{2}|$ noch gr\"osser: Ist $Z \in Ztr\,G$, so ist $\sl{G_{1} \in
Y_{1}}{}\, G_{1}^{-1}\,Z\,G_{1}$  vertb. mit allem Matrizen von $\mathfrak{G}$,
daher\\
$\sl{G_{1} \in Y_{1}}{}\, G_{1}^{-1}\,Z\,G_{1} = f\,V$\quad (oder $V^{*}$).
Vergleich der Spuren ergibt \\
$p\,f\,\chi^{2}(Z) = p\,f\,v \quad$ (oder $\overline{v}$)\\
$|\chi^{2}(Z)|^{2} = |v|^{2} = |\frac{-1 + i\,\sqrt{n}}{2}|^{2} = \frac{1 +
n}{4}$\\
Die Anzahl der zu $Z$ konjugierten ist $p\,f$, zu $Z^{-1}$ ebenso viel, also
gibt es in $\mathfrak{G}$ mindestens $2\,p\,f$ Elem der Ord 3 mit
$|\chi^{2}|^{2} = \frac{1 + n}{4}$\\
\\
$\textbf{Seite 121}$\\
\\
\begin{flushright}
\scriptsize{$\downarrow E$\quad$\downarrow G^{f_{2}}\,E$\quad$\downarrow G^{3}
=E$\quad$\downarrow G^{3} = E$}\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\\
\end{flushright}
Nun wird $n\,p\,f = \sl{G}{}|\chi^{2}(G)|^{2}\, \underline{\underline{>}}\,\,
p^{2} + a_{f} \cdot 1 + a_{3} \cdot 1 + 2p\,f\, \frac{n - 3}{4}$\\
also \\
\nl\\
\\
$n\,(p - 1) + 1 \underline{\underline{>}} p^{2} + \frac{p\,f\,(n - 3)}{2}$\\
$n\, p > p^{2} + \frac{p\,f\,(n - 3)}{2} = \frac{p\,f\,n}{2} + p\,(p -
\frac{3f}{2}) > \frac{p\,f\,n}{2}$\\
$\rightarrow f < 2 \rightarrow f = 1 \rightarrow |\mathfrak{G}| = 3^{2a + 1}
\cdot p \rightarrow \mathfrak{G}$ aufl.\\
\\
(7) Ist $n = 3^{r} = 2p + 1$, so ist $r$ Primzahl $[$sonst $d\,|\,r$, $3^{d} -
1\,|\,2p]$. \\
$2f\,|\mathfrak{G}|$\\
Hieraus folgt, dass sie \"aussere Autom-Gruppe der in $\mathfrak{G}$ normal
enthaltenen Gruppe $G\,\mathfrak{p}$ die Ord $2\,r$ hat. Denn wegen $G \lhd
\mathfrak{G}\,\mathfrak{p}$ ist $G\,\mathfrak{p} \simeq
\left( 
\begin{array}{ccc}
\omega & \alpha\\
0 & 1
\end{array} \right)$, mit $\alpha \in G\,F\,(3^{r})$, $\omega = \beta^{2} \not=
0 \enspace \in \enspace G\,F\,(3^{r})$. Und jeder \nl dieser Matrizengruppe
l\"asst sich durch nachfolgende Transf $\min$ einer Dreiecksmatrix verwandeln in
einen der
$\left( 
\begin{array}{ccc}
\omega & 0\\
0 & 1
\end{array} \right) \rightarrow 
\left( 
\begin{array}{ccc}
\omega^{m} & 0\\
0 & 1
\end{array} \right)$ und 
$\left( 
\begin{array}{ccc}
1 & 1\\
 & 1
\end{array} \right)$ in
$\left( 
\begin{array}{ccc}
1 & 1\\
 & 1
\end{array} \right)$ \"uberf\"uhrt, mit einem nat\"url. $m$ sogar ungeraden (da
Ord  $\omega$ ungerade) $m$. Dann aber f\"uhrt er
$\left( 
\begin{array}{ccc}
1 & \alpha\\
 & 1
\end{array} \right)\,\nl\,
\left( 
\begin{array}{ccc}
1 & \pm \omega^{a}\\
 & 1
\end{array} \right) = 
\left( 
\begin{array}{ccc}
\omega^{a} & 0\\
0 & 1
\end{array} \right)
\left( 
\begin{array}{ccc}
1&\pm 1\\
 & 1
\end{array} \right)
\left( 
\begin{array}{ccc}
\omega^{-a} & \\
 & 1
\end{array} \right)$ \"uber in 
$\left( 
\begin{array}{ccc}
\omega^{m\,a} &\\
& 1
\end{array} \right)\,
\left( 
\begin{array}{ccc}
1&\pm 1\\
 & 1
\end{array} \right)\,
\left(
\begin{array}{ccc}
\omega^{-m\,a} &\\
& 1
\end{array} \right) =
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & \pm \omega^{-m\,a}\\
& 1
\end{array} \right) = 
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & \alpha^{m}\\
& 1
\end{array} \right)$\\
Also ist dann $(\alpha + \beta)^{m} = \alpha^{m} + \beta^{m}$; $\alpha
\rightarrow \alpha^{m}$ Autom von $C_{0}\,F(3^{r})$ aber davon gibts nur $r$
St\"uck; die Dreieckstransf mit $Det = \rho^{2}$ sind innere Autom. \nl
$|$\"aussere $AG| = 2r$. Die Folge:\\
\\
$\textbf{Seite 122}$\\
\\
\underline{Zusammenfassung}: Sei $\mathfrak{G}$ eine trans Permut.-Gruppe
\underline{des Grades $2p + 1 = n$} ($p$ Primz.) deren Ord. durch $p$ teilbar
ist.\\
(a)Ist $2f\,|\mathfrak{G}|$, so ist $\mathfrak{G}$ aufl\'osbar, $n = 3^{\nl}$,
$r$ ungerade Primzahl, $|\mathfrak{G}| = n \cdot p$ oder $n\,p\,r$. Zu jeder
dieser beiden Ordnungen gilts wirklich genau eine Gruppe $\mathfrak{G}
\begin{array}{ccc}
\left\{ 
\begin{array}{lll}
\textnormal{zweistufig}\\
\textnormal{dreistufig}\\
\end{array} \right.\\
\textnormal{\nl}.
\end{array}
\left\} 
\begin{array}{lll}
\\
\\

\end{array} \right.$\\
(b) Ist $2\,|\,|\mathfrak{G}|$, so ist $\mathfrak{G}$ zweifach transitiv.\\
$[$Frage: Wann kann man mit Hilfe des $2p$-Satzes sogar dreifache
Transitivit\"at behaupten ?$]$\\
Zu ($\alpha$): Die Gruppe $\mathfrak{G}$ sind: I.
$\left(
\begin{array}{ccc}
\omega & \alpha\\
& 1
\end{array} \right) \quad 0 \not= \omega = \beta^{2} \in G\,F\,(3^{r})$;
Ord$\,n\,p$\\
\begin{flushright}
$\alpha \in \quad |\,|$\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\
\end{flushright}

II.\quad I erweitert mit $\{ \rho \rightarrow \rho^{\nl},\, \rho^{q},\dots \};\,
\textnormal{Ord}\,n\,p\,r$\\
$[$d.h: $\mathfrak{G}$ ist die \nl lineare Gruppe $\xi \rightarrow
\alpha^{2}\,\xi^{3^{\nu}} + \beta \qquad \xi,\, \alpha \not= 0,$\\
$\beta \in G\,F\,(3^{r})]$\\
Fortsetzung S.129\\
\\
\"Uber \underline{Gruppen des Grades $p + 1$}, deren Ord durch $p$ teilbar ist,
wird im Fall nur 2-fahcer Transitivit\"at was bei frobenius stehen (SB \nl 1902,
351 - 369).\\
\"Uber \underline{Gruppen des Grades $p$:} Zu untersuchen w\"are, ob sie
vielleicht im Fall der Unaufl\"osbarkeit sogar $2\frac{1}{2}$-tra sind.\\
\\
{\LARGE S.123 ist unten durchgestrichen}\\
\\
$\textbf{Seite 123}$\\
\\
Bemerkung \"uber Gruppen mit "'geordneten Sylow-Turm"':\\
Das Wesentliche ist vielleicht, dass die Hauptfaktoren dieser aufl\"osbaren
Gruppen von "'unten 'nach' oben"' monoton fallen.\\
\\
\\
Zur Methode von Schur: $\mathfrak{G}$ enthalte reg tra $G \leq \mathfrak{G}$.\\
\nl Ist $\mathfrak{b} = \mathfrak{b}^{*} = \mathfrak{b}^{-1} \subseteq G$ ein
reeller Block von $\mathfrak{G}_{1}$, so ist die gr\"osste Untergruppe
$\mathfrak{f}$ von $\mathfrak{G}_{1}$, die $\mathfrak{b}$ fest l\"asst, mit
$\mathfrak{b}$ vertauschbar\\
Bew: Zu jedem $F \in \mathfrak{f}$, $B \in \mathfrak{b}$ gibt es $G_{1} \in
\mathfrak{G}_{1}$, $B' \in \mathfrak{b}$ mit
$$B\,F = G_{1}\,B'\qquad \textnormal{da } \mathfrak{b} \textnormal{ fest bei }
\mathfrak{f}_{1}$$
$$\mathfrak{G}_{1}\,B'^{-1} = \mathfrak{G}_{1} \cdot F \cdot B'^{-1} =
\mathfrak{G}_{1}\, B'^{-1}\, \mathfrak{G}_{1}\quad \textnormal{ zeigt: }G_{1}
\textnormal{ f\"uhrt eine }Z_{i} \textnormal{ von } \mathfrak{b}^{*}
\textnormal{ nach  } \mathfrak{b}^{*}$$
$$\textnormal{Also}\quad G_{1} \in \mathfrak{f}_{1}\qquad
\mathfrak{b}\,\mathfrak{f}_{1} \leq \mathfrak{f}_{1}\,\mathfrak{b}\quad =
\quad.$$
\\
$\textbf{Seite 124}$\\
\\
(2)
\begin{quote} Sind $\mathfrak{b}_{1},\dots,\, \mathfrak{b}_{k}$ ein im Ganzen
reelles volles System $[$dh $\mathfrak{b}^{*}_{1} = \mathfrak{b}_{1}]$ volles
System konjugierter Bl\"ocke von $\mathfrak{G}_{1}$, und bewirkt
$\mathfrak{G}_{1}$ auf ihnen eine regul\"are Permut.gruppe, so ist deer
Normalteiler $\mathfrak{R}$ von $\mathfrak{G}_{1}$, der die $\mathfrak{b}_{i}$
einzeln in sich \"uberf\"hrt mit jedem $\mathfrak{b}_{i}$ vertauschbar.\\
Bew: (1) 
\begin{quote}
Zu $B_{1}$ gibts $B_{1}'$, mit $G_{1}$ mit  $B_{1}\,\cal{N}$$ = G_{1}\, B_{1}'$.
\begin{flushright}
$\cal{N}$$\,B_{1}'^{-1} = B_{1}^{-1}\,G_{1}$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\
\end{flushright}
also $G_{1}$ l\"asst den Block $\mathfrak{b}_{1}^{*}$ fest, $G_{1} \in
\mathfrak{R}$.
\end{quote}
\end{quote}
(3)
\begin{quote}
Sind $\mathfrak{b}_{1},\sim,\mathfrak{b}_{k}$ ein vollst System von konj
Bl\"ocken von $\mathfrak{G}_{1}$, so gibt es eine umfassendste Obergr.
$\tilde{\mathfrak{G}}$ von $G$, die\\
$\left\{ 
\begin{array}{lll}
\mathfrak{b}_{1} + \sim + \mathfrak{b}_{k} \textnormal{ festblock f\"ur } \mathfrak{G}_{1}\\
\mathfrak{b}_{1} \sim \mathfrak{b}_{k} \textnormal{ als Bl\"ocke \quad $|\,|$}
\end{array} \right.$\\
besitzt.\\
Denn wenn die $\mathfrak{b}_{1}$ von $\mathfrak{G}_{1}$ und
$\hat{\mathfrak{G}}_{1}$ nur untereinander permutiert werden, so auch von
$< \mathfrak{G}_{1},\, \hat{\mathfrak{G}}_{1} > = < \mathfrak{G}_{1}
\hat{\mathfrak{G}} >_{1}$.
\end{quote}
$\textbf{Seite 125}$\\
\\
\"Uber Perm-Gr vom Grade $p^{2}$ und $G$: $(p,\,p)$\\
Hat $\mathfrak{G}_{1}$ konj. Bl\"ocke
$\mathfrak{p}_{1}',\dots,\,\mathfrak{p}_{k}'$\quad; $\mathfrak{p}_{i} =
\mathfrak{p}'_{i} + E$ Untergruppe von $G$ so hat $\mathfrak{G}$ eine
Untergruppe des Index $k\,p$: Sei $\mathfrak{f}_{1}$ die gr\"osste Ugr von
$\mathfrak{G}_{1}$, die $\mathfrak{p}'_{1}$ in sich \"uberf\"uhrt. Nach S.123
ist $\mathfrak{f}_{1}\, \mathfrak{p}_{1} =
\mathfrak{p}_{1}\,\mathfrak{f}_{1}$, also Gruppe von Index $k\,p$. Daher hat
dann $\mathfrak{G}$ eine primitive Darstellung als Pgruppe vom grade $l_{p}\quad
(l|k)$.
\\
$\textbf{Seite 126}$\\
\\
\underline{Allgemeines \"uber Faktorisierung.\quad\scriptsize{s. auch S.85}}
Sei $ \mathfrak{G}_{1}\, \underline{\underline{<}} \, \mathfrak{G} $,\quad $ \mathfrak{G}_{2}\, \underline{\underline{<}}\,  \mathfrak{G} $,\quad $ \mathfrak{A} \subset \mathfrak{G}_{1}\, \mathfrak{G}_{2}$\\
Man bildet alle Zerlegungen\\
$A \in \mathfrak{A} \rightarrow \qquad A = A_{1} \, A_{2}$,\qquad $A_{i}  \in  \mathfrak{G}_{i}$\\
Alle $A \in  \mathfrak{A}$: Die Menge der $A_{i}$ heisst $ \mathfrak{A}_{i} $.\\
Dann ist\\
(1)\qquad $  \mathfrak{A}_{1} \,  \mathfrak{G}_{2} = \mathfrak{A} \,
\mathfrak{G}_{2} $, \quad $ \mathfrak{G}_{1} \,  \mathfrak{A}_{2} =
\mathfrak{G}_{1}\, \mathfrak{A} $\\
\\
(2)\qquad $\mathfrak{A}_{1} = \mathfrak{G}_{1} \cap \mathfrak{A}\,
\mathfrak{G}_{2}$,\quad $\mathfrak{A}_{2} =   \mathfrak{G}_{2} \cap
\mathfrak{G}_{1}\, \mathfrak{A} $\\
\\
ist $\mathfrak{A}$ Gruppe, so $ \mathfrak{A}_{i} $ nicht immer. Aber:\\
\\
(3)\qquad $\mathfrak{A}$ Gruppe, $\mathfrak{G}_{1} \cap \mathfrak{G}_{2} = E
\rightarrow |\mathfrak{A}_{i}|\, |\,  \mathfrak{A} $\\
\begin{flushright}
Bew:\quad $A_{1} = A'_{1} \leftrightarrow A = A_{1} \, A_{2}$, $A' =   A_{1}\,  A'_{2}$\qquad\qquad  \qquad\qquad \qquad\qquad\\
$  \leftrightarrow A^{-1}\, A' \in \mathfrak{G}_{2} \leftrightarrow  \in
\vartheta_{2} = \mathfrak{G}_{2}  \cap \mathfrak{A} $ \quad  \qquad  \qquad  \qquad \qquad     \\
$ \leftrightarrow A' \in A\, \vartheta_{2}  \qquad  \qquad  \qquad  \qquad   \qquad  \qquad   \qquad   $
\end{flushright}
Allgemeiner: \\
(3')\qquad $\dots \quad \rightarrow |\mathfrak{A}_{1}| =
\frac{|\mathfrak{A}|}{|\mathfrak{A} \cap\mathfrak{G}_{2}|} \quad , \quad | \mathfrak{A}_{2} | =  \frac{|\mathfrak{A}|}{|      
 \mathfrak{A} \cap\mathfrak{G}_{1}|}$\\
\\
(4)\qquad $\mathfrak{A}$ Gruppe, $ \mathfrak{A} \, \mathfrak{G}_{i} = \mathfrak{G}_{i}\,  \mathfrak{A} \quad (i = 1,\, 2) \rightarrow   \mathfrak{A}_{i}$ Gruppe. Bew (2)\\
\\
$\textbf{Seite 127}$\\
\\
(5)\qquad $ \mathfrak{A} $ Gruppe, $ \mathfrak{A}\, \mathfrak{G}_{\nl} =  \mathfrak{G}_{\nl}\, \mathfrak{A} \rightarrow \mathfrak{A}_{1} \, \mathfrak{G}_{2} =  \mathfrak{G}_{2} \, \mathfrak{A}_{1} $
\begin{flushright}
Bew: $ \mathfrak{A}_{1} \,  \mathfrak{G}_{2} =  \mathfrak{A} \, \mathfrak{G}_{2} $ Gruppe
\end{flushright}
(6)\qquad $ \mathfrak{A} $ Gruppe,  $\mathfrak{A} \, \mathfrak{G}_{i} =   \mathfrak{G}_{i} \, \mathfrak{A} \quad (i = 1,\, 2) \rightarrow \mathfrak{A}_{1} \, \mathfrak{A}_{2} =  \mathfrak{A}_{2}\,  \mathfrak{A}_{1}  = \mathfrak{A}\, \mathfrak{G}_{2} \cap \mathfrak{G}_{1}\,   \mathfrak{A}$\\
\\
\\
\\
Nachinvariante Untergruppen von Perm.-Gruppen:\\
\\
(1)
\begin{quote}
$ \mathfrak{G} $ pri Gr $\mathfrak{G} = n$, $\mathfrak{A}$ minimale nachinvariante Untergr. von  $ \mathfrak{G} $, $| \mathfrak{A} | = p \rightarrow $ jedes minimale  $\mathfrak{b} 
\lhd\lhd   \mathfrak{G} $ hat $| \mathfrak{b} | = p$; $  \mathfrak{G}$ besitzt nur einen minimalen Normalteiler, dieser hat die Ordnung $n = p^{\alpha}$. \\
Beweis: $< \mathfrak{A}^{G} > = \mathfrak{p} \lhd \mathfrak{G}$, $\mathfrak{p} \lhd \mathfrak{G}$, $|\mathfrak{p}| = p^{\beta}$; setze $\mathfrak{z} = ztr\, \mathfrak{p}$, dann $\mathfrak{z} \lhd \mathfrak{G}$, $ \mathfrak{z} $ tra, $ \mathfrak{z} $ regul\"ar. Ist $ \mathfrak{R} \lhd  \mathfrak{G}$, und w\"are $  \mathfrak{R} \cap \mathfrak{z} = E$, so $ \mathfrak{R} \leq Z_{\nl} \mathfrak{z} = \mathfrak{z} $.
\end{quote}
$\textbf{Seite 128}$\\
\\
\underline{Nachinv. Untergr. von Perm.-Gruppen:} (Fortsetzung).\\
(3)
\begin{quote}
$\mathfrak{G}$ 2-tra, Gr $\mathfrak{G} = n$,  $\mathfrak{A}$ minimale nachinv. Ugr., $|\mathfrak{A}| \not= p =$ Primzahl $\rightarrow$ 
$\left\{ 
\begin{array}{lll}
\mathfrak{A} \lhd \mathfrak{G} \textnormal{ und } \mathfrak{A} \textnormal{ pri.}\\
\mathfrak{A} \textnormal{ einziger minimaler Normalt. v. } \mathfrak{G} 
\end{array} \right.$\\
Bew: Sei $ \mathfrak{R} = <  \mathfrak{A}^{\nl} >_{G \in  \mathfrak{G}} $.
$\mathfrak{R}\, \underline{\lhd}\,  \mathfrak{G}$. $ \mathfrak{R} $ ist pri,
sonst w\"are n\"amlich $\mathfrak{R}$ halbregul\"ar (= Ferobniusgruppe). $
\mathfrak{R}  $ enthielte reg tra Normeteiler $\cal{R}$ als char. Ugr., so $k
\lhd  \mathfrak{G}$, wegen $ \mathfrak{G} $ 2-tra w\"are $u = |\cal{R}| =
p^{\alpha} $; ist nun $|\mathfrak{A}| \not= p$, so ist $\mathfrak{A}$ einfach
von zusammengesetzter Ordnung, also $ \mathfrak{R} $ keine Primzahl als
Kompfaktor, widerspricht $\mathfrak{R} $. Folglich ist $ \mathfrak{R} $ pri. Bei
der Annahme $|\mathfrak{A}| \not= p$ ist $\cal{R}$ direkter Produkt der
konjugierten $ \mathfrak{A}^{G} $, ferner $\cal{R}$ pri, also  $
\mathfrak{A}^{G} $ transitiv, also $ \mathfrak{A}^{G} = $ voller $Z$, $
\mathfrak{A}$ in $ \gamma^{\Omega} $, wenn  $ \mathfrak{A}^{G} \not=
\mathfrak{A} \rightarrow \mathfrak{A}$ reg. Also gibt es, wenn $ \mathfrak{A}$
\nl $\mathfrak{G}$, zu  $\mathfrak{A}$ genau 2 konjugierte: $ \mathfrak{A} $, $
\mathfrak{A}' $. Ns $\mathfrak{A} = \underline{\mathfrak{G}}$ hat Index 2 in $
\mathfrak{G} $;  $ \underline{\mathfrak{G}} \,  \underline{\underline{\lhd}}\, 
\mathfrak{G}$. $ \underline{\mathfrak{G}}_{1}$ hat $\leq$ 2 Trennsysteme ausser
(1), da $ \mathfrak{G}_{1} $ tra auf $\Omega$-1. Also zerfallen die Elemente $A
\not= E$ von $ \mathfrak{A} $ in zwei \"Ahnlichkeitsklassen unter
$\underline{\mathfrak{G}}$, folglich gehen h\"ochstens 2 Primzahlen $p$, $q$ in
$| \mathfrak{A} |$ auf. Dann ist aber $\mathfrak{A} $ aufl\"osbar, und wegen
$\min$ nach inv $| \mathfrak{A} | = p$. Folglich ist $  \mathfrak{A} \lhd 
\mathfrak{G}$. W\"are $ \mathfrak{A} \not=$ pri, so $ \mathfrak{A} $ reg (dann
wieder  $| \mathfrak{A} | = p $) oder $ \mathfrak{A} $ halbreg, dann nicht
minimal nach inv. g\"abe es ausser $ \mathfrak{A} $ noch einen $\min$ $\cal{N}T$, \nl $\lhd  \mathfrak{G}$, $[ \mathfrak{b},\, \mathfrak{A} ] = E$,  $ \mathfrak{b} $ tra,  
$ \mathfrak{A} $ reg.
\end{quote}
$\textbf{Seite 129}$\\
\\
(2)
\begin{quote}
Eine primitive Gruppe besitzt h\"ochstens 2 minimale Normalteiler. Diese sind (wenn es 2 gibt) isomorph, reg tra und zentralisieren sich. \\
Bew: $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{b}$ sind tra, zentral sich sreg, sind Links- und Rechtsregul. Darstellung derselben abstrakten Gruppe.
\end{quote}
(2a)
\begin{quote}
Ist $\mathfrak{A}$ eine abstrakte \underline{einfache} Gruppe, so ist die Permgruppe ("'inneres Holomorph"')
$\left(
\begin{array}{ccc}
\textnormal{x}\\
A \textnormal{ x } B
\end{array} \right) $ primitiv. Sie hat min. Normalteil.
\end{quote}


\underline{Gruppen des Grades $p = 2q + 1$}$^{*}$
$\begin{array}{ccc}
(p)\\
(q \not= \textnormal{Primzahl})
\end{array}$.\\
die nicht auf\"osbar sind, 2 fach primitiv $[$das ist stets erf\"ullt$]$\\
Beweis:   $\mathfrak{G}_{1}$ sei imprimitiv. (a) 2 Bl\"ocke der L\"ange $q$ kommen nicht vor; denn man kann  $\mathfrak{G}\, \underline{\underline{<}}\, \mathfrak{A}^{\Omega}$ annehmen, und wenn 2 Bl d Lge $q$, dann enthielte $\cal{N}s\,<Q>$ ungerade Permu, da tra. Also (b) $q$ Bl\"ocke der Lge 2. Durch Transf mit $Q$, das $P \rightarrow P^{a^{2}}$ transformiert $(a \not\equiv 0$ und $p$), sieht \nl jeder Block hat Gestalt $\{ P^{a^{2}} $, $P^{a^{2}\nu}\}$, wo $\nu$ ein festen $\Box$ Nichtrest uwd $p$. L\"asst nun $F \in \mathfrak{G}_{1\,2}$\quad $p$ fest, so auch $P^{\nu}$, also $P^{\nu}\, F = G_{1} \, P^{\nu} $, $ P^{-\nu}\,  G_{1}  = F\,P^{\nu} $, also l\"asst $G_{1}$ den Block \underline{mit}  $P^{-\nu}$  fest, daher  
$ P^{-\nu^{2}} \,G_{1} = G_{2}^{1}\,    P^{-\nu^{2}} $, also $P^{\nu - \nu^{2}} F = P^{-\nu^{2}} \, G_{1}\,P^{\nu} = G_{1}^{1}\, P^{\nu - \nu^{2}}$. \\
\\
$^{*}$ Beispiele: $p = 11$, 23, 47, 59, 83, 107\\
\\
{\LARGE S.130 ist oben durchgestrichen}\\
\\
$\textbf{Seite 130}$\\
\\
Alle bei $(\mathfrak{G}_{1})_{2}$ festbleibenden Ziffern $\in \Omega - 1$ bilden einen Block von $\mathfrak{G}_{1}$: h\"atte es mehr als 2 Ziffern, so m\"usste es alle $2q$ sein: $\mathfrak{G}_{1}$ w\"are regul\"ar, $\mathfrak{G}$ halbregul\"ar $\rightarrow$ aufl\"osbar.\\
Also darf $(\mathfrak{G}_{1})_{2}$ nur $P$, $ P^{\nu} $ fest lassen:\\
$$ P^{\nu - \nu^{2}} = P, \textnormal{ da }\not= P^{\nu}$$
$$\nu^{2} - \nu + 1 \equiv 0 \enspace{(p)}\qquad v^{3} \equiv -1 \enspace (p)$$  
da $3\enspace f \enspace p - 1 $, ist die Abb $x \rightarrow x^{3}$ eineindeutig uwd$_{p}$, also  
\begin{flushright}
$\textnormal{folgt }\nu \equiv -1 \enspace (p). \qquad\qquad \qquad\qquad \qquad\qquad \qquad\qquad     $.
\end{flushright}
Die $q$ Bl\"ocke sind also $\{ P^{r}$, $P^{-r}\} \qquad (r \equiv a^{2}$ und $p$).\\
also alle reell. Die El. $\in \mathfrak{G}_{1}$, die $\{P,\, P^{-1} \}$ fest lassen, sind also eine mit $<~\, P^{-1}> = < P >$ vertauschbare Gruppe, das Produkt ist $\not=$ 2-tra also \nl.\\
\\
$\textbf{Seite 131}$\\
\\
1. \underline{Gruppen des Grades $p = 2q + 1$} $>$ 7 ($p$, $q$ Primzahlen)\\
mit $p - 2 \not= u^{2}$ sind 3-fach transitiv od. aufl\"osb.\\
Beispiele: $p =$ 23, 47, 59, 10\\
\\
\\
2. \underline{ $\mathfrak{G} =  \mathfrak{A}_{1}\,  \mathfrak{A}_{2} =  \mathfrak{A}_{2}\,  \mathfrak{A}_{1}$}\\ 
Ist $g = a\, b$, $(a,\, b) = 1$, und $G_{i} \leq \mathfrak{A}_{i}$, $|G_{i}|\, | \, a^{\infty}$, $(|G_{i}|,\, b) = 1$, also $G_{i}$ Hallgruppe von $\mathfrak{A}_{i}$, und ist $(\{G_{1},\, G_{2}\},\, b) = 1$, so ist $G_{1}\, G_{2} = G_{2}\, G_{1}$ eine Hallgr von $ \mathfrak{G} $, $G_{1} \cap G_{2}$ eine von $\mathfrak{A}_{1} \cap \mathfrak{A}_{2}$.\\
\\
{\LARGE S.132 und S.133 sind vollst\"andig durchgestrichen}\\
{\LARGE S.134 ist oben durchgestrichen}\\
\\
\\
$\textbf{Seite 134}$\\
\\
Nachinv. Ugr: $\lhd\lhd$ :\\
1) Rang $ \mathfrak{G} \, |$ Rumpf $\mathfrak{G} =$ Minimalzahl erzeugender Sink\"opfe.\\
2) In direkten Produkten einfacher Gruppe \nl wohl jede  $\lhd\lhd$ Ugr sogar $\lhd$. Auch bei ein\underline{reihigen} ?\\
\nl Nein: $ \mathfrak{G} = (p\,q)\,\textnormal{x}\, (p\, q)$ wo $(p\, q)$ nicht besch der Ord $p\,q$\\
\\
$\textbf{Seite 135}$\\
\\
\begin{flushright}
$\lhd\lhd \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$
\end{flushright}
\begin{enumerate}
\item Versteht man unter $ \mathfrak{G}^{p}$ die kleinsten nach invar. Ugr. von $ \mathfrak{G}$ mit $| \mathfrak{G}:  \mathfrak{G}^{p} = p'''$, so gilt: a) $ \mathfrak{G}^{p} \lhd \mathfrak{G}$; \nl  $ \mathfrak{A} \lhd\lhd \mathfrak{G} $, $b  \lhd\lhd \mathfrak{G} \rightarrow \{\mathfrak{A},\, \mathfrak{b}\}^{p} = \{\mathfrak{A}^{p},\, \mathfrak{b}^{p}\}$;\\
b: Bew mit Hilfssatz
\item Ist $\alpha \lhd\lhd \mathfrak{G}$, $|\mathfrak{G}:\alpha| = p^{'''}$, $\alpha$ keinen $p-Kopf \rightarrow \alpha\, \nl\, \mathfrak{G}^{p}$.\\
Bew: $\vartheta(\alpha,\, G^{-1}\,\alpha\,G)\,\lhd\lhd\, \mathfrak{G}_{1}$ hat Index $p''$; $\alpha = \vartheta$.
\item Ebenso f\"ur $\mathfrak{G}^{\mathfrak{f}}$, wo $\mathfrak{f}$ eine einfache Gruppe ist : = kleinster Nt, der von $\mathfrak{G}$ bis $\mathfrak{G}^{f}$ nur Kompfaktorgr = $\mathfrak{f}$ hat
\item Ist $\mathfrak{A} \lhd\lhd \mathfrak{G}$ und $\mathfrak{p}$ Sylowgr von $\mathfrak{G}$, so $ \mathfrak{A} \cap \mathfrak{p}$ Syl. von $  \mathfrak{A} $
Bew gen\"ugt f\"ur $  \mathfrak{A} \lhd  \mathfrak{G}$. Dort bekannt (Zassenhaus)
\item Ist  $\mathfrak{A} \lhd\lhd \mathfrak{G}$ , $\mathfrak{b} \lhd\lhd \mathfrak{G}$ und 
$ \mathfrak{A} \, \mathfrak{b} =  \mathfrak{b} \,  \mathfrak{A}$ und $ \mathfrak{p}$ Syl von $ \mathfrak{A} \, \mathfrak{b}$, so ist $  \mathfrak{A} \cap \mathfrak{p} $ vertauschbar mit $ \mathfrak{b} \cap \mathfrak{p}$. \\
Bew: Hilfssatz \hfill Fortsetzg 136 (4) 
\item Ist $\mathfrak{A}\, \mathfrak{b} = \mathfrak{b}\, \mathfrak{A}$,
$\mathfrak{p}$ $p$-Gruppe in $\mathfrak{A}\, \mathfrak{b}$, $\mathfrak{A} \cap
\mathfrak{p} = \mathfrak{p}'$ Syl $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{b} \cap
\mathfrak{p} = \mathfrak{p}''$ Syl $\mathfrak{b}$, so ist $\mathfrak{p}'\,
\mathfrak{p}'' = \mathfrak{p}''\, \mathfrak{p}' = \mathfrak{p}$ und
$\mathfrak{p}' \cap \mathfrak{p}''$ Syl $\mathfrak{A} \cap \mathfrak{b}$,
$\mathfrak{p}'\, \mathfrak{p}'' = \mathfrak{p}$.\\
Bew: $|\mathfrak{p}'\, \mathfrak{p}''| =
\frac{|\mathfrak{p}'|\,|\mathfrak{p}''|}{|\mathfrak{p}' \cap \mathfrak{p}''|}\,
\nl\, c \cdot \frac{|\mathfrak{A}|\,|\mathfrak{b}|}{|\mathfrak{A} \cap
\mathfrak{b}|} = c \cdot |\mathfrak{A}\, \mathfrak{b}|$, also $c = 1$\\
und $\mathfrak{p}'\,\mathfrak{p}'' \leq \mathfrak{p} \rightarrow
\mathfrak{p}'\,\mathfrak{p}'' = \mathfrak{p}$ 
\end{enumerate}
6'\qquad $\mathfrak{A}\, \mathfrak{b} = \mathfrak{b}\, \mathfrak{A}$;
$\mathfrak{p}',\, \mathfrak{p}''$ Syl $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{b}$,
$\{\mathfrak{p}',\, \mathfrak{p}''\}$ $p$-Gruppe $\rightarrow = \mathfrak{p}'\,
\mathfrak{p}'' =$ Syl $\mathfrak{A}\, \mathfrak{b}$
\\
$\textbf{Seite 136}$\\
\\
\begin{flushright}
$Rumpf\enspace ^{\large{\lhd\lhd}} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$
\end{flushright}
\begin{enumerate}
\item Sei $R(\mathfrak{G})$ der Durchschnitt der Normalteiler von $\mathfrak{G}$
mit einfacher Faktorgruppe. Dann gilt: $\mathfrak{A} \lhd\lhd \mathfrak{G}$,
$\mathfrak{A} \psi (\mathfrak{G}) = \mathfrak{G} \rightarrow \mathfrak{A} =
\mathfrak{G}$.
\item Komposlge $j\,(\mathfrak{G}/ \psi\,(\mathfrak{G}) =$ Minimalzahl der
eink\"opf nachinv. Untergr. von $\mathfrak{G}$, die zur Erzeugg von
$\mathfrak{G}$ notwendig sind. Bew mit 1:
\item $\mathfrak{A}$ eink\"opf (\nl $\lhd\lhd \mathfrak{G}) \rightarrow
\mathfrak{A} \leq \psi(\mathfrak{G})$ oder $\mathfrak{A} \cap \psi(\mathfrak{G})
=$ $\max$ Normalteiler von $\mathfrak{A}$.
\item $\mathfrak{A} \lhd\lhd \mathfrak{G}$, $\mathfrak{A}$ habe \underline{nur}
$p$-K\"opfe; $\mathfrak{p}$ $p$-Syl $\mathfrak{A} \rightarrow
\overline{\mathfrak{p}} = \mathfrak{A}$
$$(\overline{\mathfrak{p}} = \textnormal{ kleinste nachinv Gr} \geq
\mathfrak{p}).$$
\item 
$\begin{array}{ccc}
\mathfrak{b}\\
\mathfrak{A}
\end{array}  
\left\} 
\begin{array}{lll}
\\
\\

\end{array} \right. \lhd = \mathfrak{G}$, $\mathfrak{A}$ und $\mathfrak{b}$ nur
$p$-K\"opfe: $\mathfrak{p}'$, $\mathfrak{p}''$ seien $p$-Sylowgr von
$\mathfrak{A}$. Dann folgt aus $\mathfrak{p}'\, \mathfrak{p}'' =
\mathfrak{p}''\, \mathfrak{p}'$: $\mathfrak{A}\, \mathfrak{b} = \mathfrak{b}\,
\mathfrak{A}$.\\
Bew: 4 und 1939 (31)
\item 
$\begin{array}{ccc}
\mathfrak{A}\\
\mathfrak{b}
\end{array}  
\left\} 
\begin{array}{lll}
\\
\\

\end{array} \right. \lhd\lhd \mathfrak{G}$ \nl nur $p$-K\"opfe haben. Genau dann
ist $\mathfrak{A}\, \mathfrak{b} = \mathfrak{b}\, \mathfrak{A}$, wenn es in
$\mathfrak{A}$ und $\mathfrak{b}$ $p$-Sylowgr gibt, die vertauschbar sind.\\
Bew: $136_{5} + 135_{5}$.
\item In einer Gruppe $\mathfrak{G}$ sind alle nachinv. Ugr vertauschbar, wenn
dies in jeder Sylowgr von $\mathfrak{G}$ gilt.\\
\nl
\end{enumerate}
$\textbf{Seite 137}$\\
\\
\begin{flushright}
$\lhd\lhd \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$
\end{flushright}
\begin{enumerate}
\item Jeder nichtabelsche Kopf von $\mathfrak{G}$ wird durch einen eink\"opfigen
\underline{Normalteiler} von $\mathfrak{G}$ gedeckt.\qquad Bew: 1939 S.233
oben.
\item Frage: Sind in einer $p$-Gruppe, die Produkt paarweis vertauschbarer
zyklischer Gr. ist, je zwei Untergr. vertauschbar ?\\
(Iwasawe 1941 ? Huppert) \qquad Stimmt nicht f\"ur 2-Gruppen: \nl
$\vartheta_{2.8}$.
\item Frage: Kann man aus Kenntnis der eink\"opf. nachinv Ugr. von
$\mathfrak{G}$ und ihrer Lagebeziehungen alle Kompreihen von $\mathfrak{G}$
aufstellen ? D.h. \underline{alle} nachinv. Ugr aufstellen samt ihren \nl ? Ja
bei "'lockeren"' Gr (Keller) od allgemeiner wenn nie typ $(p,\, p\dots) > p$ in
\underline{Haupt}kette auftritt
\item Ist das Erzeugnis von zwei nachinv. Ugr $\mathfrak{A},\, \mathfrak{b}$
eink\"opfig, so ist $\mathfrak{A} < \mathfrak{b}$ oder $\mathfrak{b}<
\mathfrak{A}$ und die gr\"ossere ist eink\"opf.\\
Bew: a) w\"are $\mathfrak{G} = \{\mathfrak{A},\, \mathfrak{b}\} \not= 
\left\{
\begin{array}{lll}
\mathfrak{A}\\
\mathfrak{b}
\end{array} \right.$, so gibt es $\max$ Normalteiler $\mathfrak{G} > \mathfrak{A}
\geq \mathfrak{A}$, $\mathfrak{G} > \underline{\mathfrak{b}} \geq \mathfrak{b}$
mit $\underline{\mathfrak{A}} \not= \underline{\mathfrak{b}}$ trotz Eink\"opf.
von $\mathfrak{b}$
\item Sei $\mathfrak{A} \lhd\lhd \mathfrak{G}$, $\mathfrak{b}_{i} \lhd\lhd
\mathfrak{G}$, $\mathfrak{A} \leq \{\mathfrak{b}_{1},\, \mathfrak{b}_{2},\dots\}
= \mathfrak{G}$ und $\mathfrak{A}$ eink\"opf perfekt. Dann gibt es $i$ mit
$\mathfrak{A} \leq \mathfrak{b}_{i}$.\\
.denn sonst $[\mathfrak{A},\, \mathfrak{b}_{i}] \leq \mathfrak{W}_{\mathfrak{A}}$, $[\mathfrak{A},\,
\mathfrak{G}] \leq \mathfrak{W}_{\mathfrak{A}}$, $\mathfrak{W}_{\mathfrak{A}}$
abelsch.\\
"'Eine \nl-(und ein-) k\"opfige Gruppe, die in einem Erzeugnis, liegt \nl
\end{enumerate}
{\LARGE S.138 ist oben durchgestrichen}\\
\\
$\textbf{Seite 138}$\\
\\
\begin{flushright}
$\lhd\lhd \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$
\end{flushright}
\begin{enumerate}
\item Sei $\mathfrak{A} \lhd\lhd \{\mathfrak{b}_{1},-,\, \mathfrak{b}_{m}\} =
\mathfrak{G}$, $\mathfrak{b}_{\nu} \lhd\lhd \mathfrak{G}$, und
$\mathfrak{b}_{m}$ besitze eine $\max$ Normalteiler $\underline{\mathfrak{b}}_{m}$
mit $\nl \approx \mathfrak{b}_{m} / \underline{\mathfrak{b}_{m}}\,\nl$ jeder
Kopf von $\mathfrak{A}$. Dann ist $\mathfrak{A} < \{\mathfrak{b}_{1}, - ,\,
\underline{\mathfrak{b}_{m}}\} = \mathfrak{G}'$\\
Dann von $\mathfrak{G}$ bis $\mathfrak{G}'$ gibts nur K\"opfe $\simeq
\mathfrak{f}$.
\item Sei $M$ eine nach unten vollst\"andige Menge eink\"opfiger nachinvar. Ugr
von $\mathfrak{G}$ (dh. $\mathfrak{A} < \mathfrak{b} \in M\, \nl \, \mathfrak{A}
\in M)$. Sei $\mathfrak{A}$ eink\"opfig, Kopf $\mathfrak{f}$ (\nl $\mathfrak{A}$
sei $\mathfrak{f}$-k\"opfig) und im Erzeugnis von $M$. Dann liegt $\mathfrak{A}$
schon im Erzeugnis der $\mathfrak{f}$-k\"opfigen aus $M$. \qquad Bew: 1. $[$NB:
ist n\"utzlich $f$ \nl $\mathfrak{G}]$\\
Es bleibt also die Frage: Wie findet man alle $p$-k\"opf Untergr des
Erzeugnisses gewisser $p$-k\"opf Ugr von $\mathfrak{G}$ ? \\
Das muss zuerst f\"ur $p$-Gruppen gel\"ost werden.
\item $|\mathfrak{G}| = p^{m} \rightarrow \{\Phi (\{A_{i},\,
A_{j}\})\}_{A_{i},\, A_{j} \in \mathfrak{G}} = \Phi(\mathfrak{G})$
\end{enumerate}
$\textbf{Seite 139}$\\
\\
\begin{flushright}
$p\textnormal{-Gruppen} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$
\end{flushright}
\begin{enumerate}
\item Man k\"onnte versuchen die Struktur einer $p$-Gruppe $\mathfrak{G}$
graphisch darzustellen, indem man die Untergr. mit $\leq 2$ Erzeugenden als
Punkte nimmt und ihre Lagebeziehungen durch Pfeile andeutet. Hierbei ist die
Anzahl der Punkte einer Gr der Ord $p^{n}$ bei gegebenen $n$ noch
unbeschr\"ankt. \qquad Frage: Wie findet man dann $\phi \mathfrak{G}$ ? 
\item Frage: Ist bei festem $n$ die Anzahl der charakt Untergruppen einer Gr der
Ord $p^{n}$ beschr\"ankt ?
\item Falls man feinere Aussagen als nur  mit den char. Ugr von $\mathfrak{G}$
haben will, k\"onnte man die nachinvarianten Ugr des Holomorphs von
$\mathfrak{G}$ (die in $\mathfrak{G}$ liegen) nehmen.
\end{enumerate}
$\textbf{Seite 140}$\\
\\
\begin{flushright}
$\lhd\lhd \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$
\end{flushright}
\begin{enumerate}
\item Zu je zwei eink\"opf.  Ugr $\mathfrak{A},\, \mathfrak{b} \lhd\lhd
\mathfrak{G}$ mit $p$-K\"opfen gibt es eine Kompreihe von $\mathfrak{G}$, in der
beide denselben Kompositionsfaktor \nl - es sei denn, \nl $\mathfrak{A} <
\mathfrak{b}$ oder $\mathfrak{b} < \mathfrak{A}$; dann nie.
\item Nennt man in zwei Kompositionsreihen von $\mathfrak{G}$ je einen \nl
"'verwandt"', wenn es eine gemeinsame nachinv. \nl gibt, so sind genau die
K\"opfe der eink\"opf Glieder einer KReihe diejenigen, die \underline{nur} mit
\underline{h\"oherer} stehenden KFaktoren anderer KReihen verwandt sind. Welche
sind nur mit niedrigeren verwandt ?\\
\nl
\item Aufgabe: Struktur der Produkte paarweise vertauschbare eink\"opfige \nl
Untergruppen ermitteln $|$ Dazu geh\"oren alle, die keine zwei isomorphen
K\"opfe haben. Oder man fordere dies f\"ur jede nachinv Ugr.  
\item Sei $\mathfrak{f}$ einfach. Def: $\mathfrak{G}^{f} = \cap\, \mathfrak{A}$
\nl
\begin{flushright}
$\mathfrak{A} \lhd\lhd \mathfrak{G}$, von $\mathfrak{G}$ bis $\mathfrak{A}$ nur
$\mathfrak{f}$'s.
\end{flushright}
\item $\mathfrak{G}^{f} \lhd \mathfrak{G}$; $\mathfrak{A} \lhd\lhd
\mathfrak{G}$, $\mathfrak{A} \not< \mathfrak{G}^{f} \rightarrow \mathfrak{A}^{f}
\not= \mathfrak{A}$, kurz: $\mathfrak{A}^{f} = \mathfrak{A} \rightarrow
\mathfrak{A} \leq \mathfrak{G}^{f}$.
\item $\mathfrak{A} \lhd\lhd \mathfrak{G}$, $\mathfrak{A}^{\mathfrak{f}} =
\mathfrak{A}$, von $\mathfrak{G}$ bis $\mathfrak{A}$ nur $\mathfrak{f}$'s
$\rightarrow \mathfrak{A} = \mathfrak{G}^{f}$\\
Bew: \nl $\lhd\lhd \mathfrak{G}$, von  $\mathfrak{G}$ bis $\mathfrak{b}$ nur
$\mathfrak{f} \rightarrow \{\mathfrak{A},\, \mathfrak{b}\}$ bis $\mathfrak{b}$
nur $\mathfrak{f}$ also $\mathfrak{A}$ bis $\mathfrak{A},\, \mathfrak{b}$ nur $\mathfrak{f}$
\item $\{\mathfrak{A},\, \mathfrak{b}\}^{\mathfrak{f}}\} =
\{\mathfrak{A}^{\mathfrak{f}},\, \mathfrak{b}^{\mathfrak{f}}\}$ wenn 
$\begin{array}{ccc}
\mathfrak{A}\\
\mathfrak{b}
\end{array} \lhd\lhd \mathfrak{G}$\quad. Bew: $\sigma$
\item $\mathfrak{A} \lhd\lhd \mathfrak{G} \rightarrow
\mathfrak{A}^{\mathfrak{f}}\, \underline{\underline{<}}\,
\mathfrak{G}^{\mathfrak{f}}$
\item ,dh: $\rho$ homomorph $\rightarrow \varphi(\mathfrak{G}^{\mathfrak{f}}) =
\varphi(\mathfrak{G})^{\mathfrak{f}}$ 
\end{enumerate}
$\textbf{Seite 141}$\\
\\

1.\begin{quote}
Sei $\mathfrak{A} \lhd\lhd \mathfrak{G}$, $\mathfrak{b} \lhd\lhd \mathfrak{G}$,
$\mathfrak{A}\, \mathfrak{b} = \mathfrak{b}\, \mathfrak{A}$. Dann
$\mathfrak{A}^{\mathfrak{f}}\, \mathfrak{b} =  \mathfrak{b}\,
\mathfrak{A}^{\mathfrak{f}}$. Bew mit Induktion nach $j\,(\mathfrak{G},\,
\mathfrak{b}) + j\,(\mathfrak{G},\, E)$
a) Man kann \nl $\{\mathfrak{A},\, \mathfrak{b}\} = \mathfrak{G}$\\
b) W\"ahle \nl $\mathfrak{G}' \lhd \mathfrak{G}$, $\mathfrak{G}'$ maximal.\\
Setze $\mathfrak{G}' = \mathfrak{A}'\, \mathfrak{b}$. Indukt: $\mathfrak{b}$
vertb $\mathfrak{A}'^{\mathfrak{f}}$\\
I. Es gebe $\mathfrak{G}'$ so  dass $\mathfrak{G}\,/\,\mathfrak{G}' \simeq
\delta \rightarrow \mathfrak{A}\,/\, \mathfrak{A}' \simeq \mathfrak{f}
\rightarrow \mathfrak{A}'^{\mathfrak{f}}\,\underline{\underline{>}}\,
\mathfrak{A}^{\mathfrak{f}\mathfrak{f}} = \mathfrak{A}^{\mathfrak{f}} =
\mathfrak{A}'^{\mathfrak{f}}$
II. Es gibt kein $\mathfrak{G}'$: \nl $\mathfrak{K} =
\mathfrak{G}\,/\,\mathfrak{G}' \not\simeq \mathfrak{f} \rightarrow $Setze
$\mathfrak{b}_{1} = \mathfrak{b}\, \mathfrak{A}'^{\mathfrak{f}}$, Es ist 
\begin{quote}
\nl vtb $\mathfrak{A}$, \underline{also wenn} $\mathfrak{b}_{1} > \mathfrak{b}$:
$\mathfrak{b}_{1}$ vtb $\mathfrak{A}^{\mathfrak{f}}$\\
$\mathfrak{b}\, \mathfrak{A}^{\mathfrak{f}} = \mathfrak{b}\,
\mathfrak{A}'^{\mathfrak{f}}\, \mathfrak{A}^{\mathfrak{f}} =
\mathfrak{A}^{\mathfrak{f}}\, \mathfrak{b}\,\mathfrak{A}'^{\mathfrak{f}} =
\mathfrak{A}^{\mathfrak{f}}\, \mathfrak{A}'^{\mathfrak{f}}\, \mathfrak{b} =
\mathfrak{A}^{\mathfrak{f}}\, \mathfrak{b}$
\end{quote}

Sei weiter $\mathfrak{b}\, \mathfrak{A}'^{\mathfrak{f}} = \mathfrak{b}$, also
$\mathfrak{A}'^{\mathfrak{f}} \subseteq \mathfrak{b}$; von $\mathfrak{G} =
\mathfrak{b}\, \mathfrak{A}'$ bis $\mathfrak{b}$ nur KFGr von $\mathfrak{A}'$
bis $\mathfrak{b} \cap \mathfrak{A}' \geq \mathfrak{A}'^{\mathfrak{f}}$, also
nur $\mathfrak{f}$: $\mathfrak{G}'$ bis $\mathfrak{b}$ nur $\mathfrak{f}$:
$\mathfrak{G}'^{\mathfrak{f}} \subseteq \mathfrak{b}$ Es ist
$\mathfrak{G}'^{\mathfrak{f}}$ char in $\mathfrak{G}'$, $\lhd \mathfrak{G}$.
Rechne in $\mathfrak{G}\,/\, \mathfrak{G}'^{\mathfrak{f}}$, wenn
$\mathfrak{G}'^{\mathfrak{f}} \not= E$: \underline{uwd
$\mathfrak{G}'$}$^{\mathfrak{f}}$ ist (Indukt) $\mathfrak{A}^{\mathfrak{f}}\,
\mathfrak{b} = \mathfrak{b}\, \mathfrak{A}^{\mathfrak{f}}$, dh
$\mathfrak{A}^{\mathfrak{f}}\, \mathfrak{b}\, \mathfrak{G}'^{\mathfrak{f}} =
\mathfrak{G}'^{\mathfrak{f}}\, \mathfrak{b}\, \mathfrak{A}^{\mathfrak{f}}
\rightarrow \mathfrak{A}^{\mathfrak{f}}\, \mathfrak{b} = \mathfrak{b}\,
\mathfrak{A}^{\mathfrak{f}}$\\
Bleibt also nur der Fall $\mathfrak{G}'^{\mathfrak{f}} = E$, dh. $\mathfrak{G}'$
reine $\mathfrak{f}$-Gruppe, denn  $\mathfrak{b}$ reine $\mathfrak{f}$ Gruppe;
$\mathfrak{A}$ enth\"alt Kopf $\mathfrak{K} \not= \mathfrak{f}$, also gibt es
eink\"opfiges $\mathfrak{A}_{1} < \mathfrak{A}$ mit kopf $\mathfrak{K} \not=
\mathfrak{f}$. Nach 133 ist $\mathfrak{b}$ vertb $\mathfrak{A}_{1}$. Da der
einzige Kopf von $\mathfrak{G}$ \"uber $\mathfrak{b} = \mathfrak{K}$ ist und
alle Faktoren von $\mathfrak{G}$ bis $\mathfrak{b}$, bis auf den obersten
$\mathfrak{K}$ sind, muss $\mathfrak{b}\, \mathfrak{A}_{1} = \mathfrak{G}$ sein,
es ist aber $\mathfrak{A}_{1} \leq \mathfrak{A}^{\mathfrak{f}}$ also
$\mathfrak{b}\, \mathfrak{A}_{1} \leq \mathfrak{b}\,
\mathfrak{A}^{\mathfrak{f}}$. \nl $\mathfrak{b}\, \mathfrak{A}^{\mathfrak{f}} =
\mathfrak{G} = \mathfrak{A}^{\mathfrak{f}}\,\mathfrak{b}$
\end{quote}
$\textbf{Seite 142}$\\
\\
$\mathfrak{A},\, \mathfrak{b} \lhd\lhd \mathfrak{G}$ \hfill 28.3.55
\begin{enumerate}
\item Sind $\mathfrak{A},\, \mathfrak{b}$ rein $p$-k\"opfig $[$dh
$\mathfrak{A}^{\mathfrak{f}} = \mathfrak{A}$ f\"ur $|\mathfrak{f}| \not= p]$, so
ist $\mathfrak{A}$ vertb $\mathfrak{b}$ genau wenn sie mod
$\mathfrak{A}^{\mathfrak{f}}\, \mathfrak{b}^{\mathfrak{f}}$ vertb sind\\
Bew: nach 133 ist $\mathfrak{A}$ vtb $\mathfrak{b}^{\mathfrak{f}}$, nach 141
denn $\mathfrak{A}^{\mathfrak{f}}$ vtb $\mathfrak{b}^{\mathfrak{f}}$, also
$\mathfrak{A}^{\mathfrak{f}}\, \mathfrak{b}^{\mathfrak{f}} = \{\mathfrak{A},\,
\mathfrak{b}\}^{\mathfrak{f}} \lhd \{\mathfrak{A},\, \mathfrak{b}\}$. Ist nun 
$\mathfrak{A}\, \mathfrak{b}\, \mathfrak{A}^{\mathfrak{f}}\,\mathfrak{b}^{\mathfrak{f}} = \cdot  \mathfrak{b}\,
\mathfrak{A}\, \mathfrak{A}^{\mathfrak{f}}\, \mathfrak{b}^{\mathfrak{f}}$, so
$\mathfrak{A}\, \mathfrak{b} \supseteq \mathfrak{A}\,
\mathfrak{A}^{\mathfrak{f}}\, \mathfrak{b}^{\mathfrak{f}}\, \mathfrak{b} =
\mathfrak{b}\,\mathfrak{b}^{\mathfrak{f}}\,\mathfrak{A}^{\mathfrak{f}}\,
\mathfrak{A} = \mathfrak{b}\, \mathfrak{A}$.
\item Ist $\mathfrak{A}$ rein $\mathfrak{f}$-k\"opfig, $\mathfrak{b}$ beliebig
$\lhd\lhd \mathfrak{G}$, so ist $\mathfrak{A}^{\mathfrak{f}}$ vtb
$\mathfrak{b}$.\\
Bew: $\mathfrak{b} = \mathfrak{b}_{\mathfrak{f}}\,
\mathfrak{b}_{\mathfrak{K}}\dots$ \qquad wobei (3); dann $\mathfrak{A}$ vtb
$\mathfrak{b}_{\mathfrak{K}}$, $\mathfrak{b}_{\mathfrak{f}}$, $\dots$
\begin{flushright}
$\mathfrak{A}^{\mathfrak{f}}$  vtb $\mathfrak{b}_{\mathfrak{f}}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$
\end{flushright}
\item Def: $\mathfrak{G}_{\mathfrak{K}} =$ Erzeugnis aller rein
$\mathfrak{K}$-k\"opfigen $\lhd\lhd$ Ugr von $\mathfrak{G}$.
\item $\{\mathfrak{A},\, \mathfrak{b}\}_{\mathfrak{K}} = 
\left\{
\begin{array}{lll}
= \textnormal{"'}\mathfrak{K}\textnormal{-Komponente"' von }\mathfrak{G})\\
\mathfrak{A},\, \mathfrak{b}\}
\end{array} \right.$ \nl\\
\\
4'.\qquad $\mathfrak{G} = \mathfrak{G}_{\mathfrak{f}}\,
\mathfrak{G}_{\mathfrak{K}}\dots \mathfrak{G}_{\mathfrak{b}}$, wenn
$\mathfrak{f}$, $\mathfrak{K}$, $\mathfrak{b}$, die versch. K\"opfe
$\mathfrak{G}$.
\item $\mathfrak{A}$ vtb  $\mathfrak{b}$ $\rightarrow$ $\mathfrak{A}$ vtb 
$\mathfrak{b}_{\mathfrak{f}}$. Denn $\mathfrak{b}_{\mathfrak{f}} =
\mathfrak{b}^{\mathfrak{K}\, \mathfrak{b}\dots \mathfrak{K}\, \mathfrak{b}\dots
\mathfrak{K}\, \mathfrak{b}\dots}$
\item $\mathfrak{A}$ vtb  $\mathfrak{b}$ $\leftrightarrow
\mathfrak{A}_{\mathfrak{K}}$ vtb $\mathfrak{b}_{\mathfrak{K}} \wedge
\mathfrak{A}_{\mathfrak{b}}$ vtb $\mathfrak{b}_{\mathfrak{b}} \wedge \dots$
\qquad (5)
\item Verallgemeinerung der $p$-Gruppen und nilpotenten Gruppen:
Def: $\mathfrak{G}$ reine $\mathfrak{f}-$ Gruppe $\leftrightarrow
\mathfrak{G}^{\mathfrak{f}} = E$\\
$\mathfrak{G}$ separiert \nl $\leftrightarrow \mathfrak{G} = \mathfrak{A}\, \nl$
wo $\mathfrak{A}$,-rein
\item $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{b}$ sep $\rightarrow \{\mathfrak{A}$,
$\mathfrak{b}\}$ sep
\item Def: $\mathfrak{G}_{*} =$ Erzeugnis aller separ. nachinv. Ugr von
$\mathfrak{G}$
\item $\mathfrak{A}$ sein $\leftrightarrow \mathfrak{G}^{\mathfrak{K}} \cap
\mathfrak{G}^{\mathfrak{b}} \cap \dots = E$
\end{enumerate}
$\textbf{Seite 143}$\\
\\
\begin{flushright}
$\mathfrak{A},\, \mathfrak{b}\lhd\lhd \mathfrak{G}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$
\end{flushright}
\begin{enumerate}
\item  Sei $\mathfrak{G}^{*}$ der kleinste Normalteiler von $\mathfrak{G}$,
f\"ur den $\mathfrak{G}\,/\, \mathfrak{G}^{*}$ sep
\item $\mathfrak{G}^{*} = \mathfrak{G}^{k} \cap \mathfrak{G}^{b} \cap \dots \quad
\quad$ Zusammenhang mit Loewg ?
\item Ist $\mathfrak{A}$ eink\"opfig, $\mathfrak{A}$ vtb $\mathfrak{b}$, so
$\mathfrak{W}_{\mathfrak{A}}$ vtb $\mathfrak{b}$.\\
Bew: w\"ahle $\mathfrak{R}$ \nl $\lhd \mathfrak{A}\, \mathfrak{b}$; \nl
$\mathfrak{R} \cap \mathfrak{A} = 
\left\{
\begin{array}{lll}
\mathfrak{W}_{\mathfrak{A}}\\
\mathfrak{A}
\end{array} \right.$
\item Ist $\mathfrak{A}$ eink. u. perfekt, so $\mathfrak{W}_{\mathfrak{A}}$ vtb
mit jedem $\mathfrak{b} \lhd\lhd \mathfrak{G}$. \\
denn $\mathfrak{A} \lhd \{\mathfrak{A}\, \mathfrak{b}\}$ wenn $\mathfrak{A}
\not< \mathfrak{b}$.
\item $|\mathfrak{G}| = \infty : \qquad \mathfrak{A}_{2} \lhd \mathfrak{A}_{1}
\lhd \mathfrak{G}$ und $\mathfrak{b}_{k} \lhd \mathfrak{b}_{k-1} \lhd \dots \lhd
\mathfrak{b}_{1}  \lhd \mathfrak{G}$\\
$\rightarrow \{\mathfrak{A}_{2},\, \mathfrak{b}_{k}\} \lhd\lhd \mathfrak{G}$ mit
einer Kette der \nl
\item $\mathfrak{A}$ perfekt, $\mathfrak{b}$ beliebig 
$\left(
\begin{array}{ccc}
\textnormal{beide}\\
\lhd\lhd \mathfrak{G}
\end{array} \right) \rightarrow$
Rumpf $\mathfrak{A}$ vtb mit $\mathfrak{b}$.
\begin{flushright}
Bew 4\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
\end{flushright}
6' \qquad Es ist sogar \underline{jede so Obergr} des Rumpfs von $\mathfrak{A}$ vtb mit
$\mathfrak{b}$
\item $\mathfrak{A}$ vtb $\mathfrak{b}$, $\mathfrak{A}\,/\, \mathfrak{W}$
einfach, nichtbesch $\rightarrow \mathfrak{W}$ vtb $\mathfrak{b}$.
\begin{flushright}
Bew mit \nl \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
\end{flushright}
\end{enumerate}
$\textbf{Seite 144}$\\
\\
\begin{flushright}
$\mathfrak{A},\, \mathfrak{b}\lhd\lhd\, \mathfrak{G}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$
\end{flushright}
\begin{enumerate}
\item Ist $\mathfrak{A}$ vtb $\mathfrak{b}$ und $\mathfrak{A}'$ ein $\max$
Normalteiler von $\mathfrak{A}$, so $\mathfrak{A}'$ vtb $\mathfrak{b}$,
\underline{oder} $|\mathfrak{A}/\mathfrak{a}'| = p$ \underline{und}
$\mathfrak{b}$ hat auch einen $p$-Kopf \underline{und} $\mathfrak{A}$ hat noch
mehr $p$-K\"opfe.
\item Es gibt reine \nl Gruppen $\mathfrak{G}$ (zu $\mathfrak{f} \not=$ abelsch)
derart, dass $\mathfrak{G}$ zweik\"opfig und doch nicht direkt zerlegbar ist.
z.B. nimm \nl mal die $\mathfrak{A}_{\nl}$, in Matrix 60 x 60 angeordnet, und
setze zwei $\mathfrak{A}_{\nl}$ darauf, von denen die eine die Zeilen, die
andere die Spalten regul\"ar permutiert. Dieses Beispiel wird wohl typisch
sein$^{*}$, nur k\"onnen andere Permutationsdarstellgen als die regul\"are
auftreten. Klassifikationen nach der Lge der "'Rumpfkette"'.\\
\nl: Man kann $\mathfrak{A}_{\nl} \times \mathfrak{A}_{\nl}$ schon als Gruppe des
Grades \nl darstellen (Holomorph von  $\mathfrak{A}_{5}$). \qquad s. auch \nl.
\item $\mathfrak{A} \lhd\lhd \mathfrak{G}$, $\mathfrak{U} < \mathfrak{G}$
beliebig, $\mathfrak{A}$ vtb $\mathfrak{U}$, $\mathfrak{U}$ eink\"opfig\\
$\rightarrow \mathfrak{A}$ vtb $\mathfrak{W}_{\mathfrak{U}}$
\item $\mathfrak{A} \lhd\lhd \mathfrak{G}$, $\mathfrak{U} < \mathfrak{G}
\rightarrow$ jeder Kopf von $\{\mathfrak{A},\, \mathfrak{U}\}$ ist Kopf von
$\mathfrak{A}$ oder $\mathfrak{U}$.
\item Ist $k = \mathfrak{A}_{1} \times \mathfrak{A}_{2} \times \dots$ x
$\mathfrak{A}_{k} \lhd \mathfrak{G}$, und sind $\mathfrak{A}_{i}$ und werden sie
von $\mathfrak{G}$ \underline{transitiv} permutiert, so ist $\cal{R}$ ein
minimaler Normale von $\mathfrak{G}$. Ist also $\mathfrak{G}\,/\,
\cal{R} \simeq \mathfrak{A}_{1} \times \mathfrak{A}_{2}$ x \dots x
$\mathfrak{A}_{p} = \nl$ $\cal{R} = E$, so $\cal{R} =$ Rumpf $\mathfrak{G}$;
$\mathfrak{G}$ \nl

\end{enumerate}
$\textbf{Seite 145}$\\
\\
\begin{flushright}
$\lhd\lhd \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$
\end{flushright}
\begin{enumerate}
\item Nicht richtig ist die Vermutung:\\
$\mathfrak{W} \lhd_{\max} \mathfrak{A} \lhd\lhd \mathfrak{G}$, $\mathfrak{A}\,
\mathfrak{b} = \mathfrak{b}\, \mathfrak{A} \rightarrow \mathfrak{W}\,
\mathfrak{b} = \mathfrak{b}\, \mathfrak{W}$.\\
Sonst m\"ussten in einer $p$-Gr $j$ 2 Ugr vtb sein $(\mathfrak{A} =
\mathfrak{G})$
\item $\mathfrak{U}$, \nl beliebig $< \mathfrak{G} \rightarrow$ jeder Kopf von
$\{\mathfrak{U},\,\nl\}$ ist Erzeugnis zweier Faktorgr von $\mathfrak{U}$ und
\nl, also haben $\mathfrak{U}$, \nl stets K\"opfe, die "'St\"ucke"' des Kopfs
von $\{\mathfrak{U},\, \nl\}$ sind
\item Nicht richtig ist die Vermutg: $\mathfrak{A} \lhd\lhd \mathfrak{G}$,
$\gamma$ Sylowgr $\mathfrak{G})$ \\
$\rightarrow \mathfrak{A}\, \gamma = \gamma\, \mathfrak{A}$.\qquad Bew: \nl
\item Nicht richtig ist die Vermutung: $\mathfrak{A} \lhd\lhd \mathfrak{G}$,
$\mathfrak{b} = \mathfrak{p} \times \mathfrak{x}$ nilpot, $\mathfrak{A}\, \mathfrak{b} =
\mathfrak{b}\, \mathfrak{A} \rightarrow \mathfrak{A}\, \mathfrak{x} =
\mathfrak{x}\, \mathfrak{A}$
\begin{quote}
Beispiel: $\mathfrak{A} = \{(12)\,(34)\,(56),\, (13)\,(24)\}\qquad
|\mathfrak{A}| = \nl$\\
$\mathfrak{p} = \{(56)\}$, $\mathfrak{x} = \{(123)\}$ $|p\,q| = 6$\\
W\"are $\mathfrak{A}\, \mathfrak{x} = \mathfrak{x}\, \mathfrak{A}$,\\
$\mathfrak{A} = \mathfrak{x}\, \mathfrak{A} \cap \nl \lhd \mathfrak{A}\,$
$\mathfrak{x} \rightarrow ((13)\,(24))^{123} \in \mathfrak{A}$\\
$\rightarrow (21)\,(34) \in \mathfrak{A} \rightarrow (56) \in \mathfrak{A}
\rightarrow |\mathfrak{A}| = 8$

(Es ist $|\mathfrak{G}| = 24$ und $\mathfrak{G} = \mathfrak{A}_{24} $ x
$\{(56)\}$ \nl 
\end{quote}
4!\qquad Also gibt es auch nicht allgemein: $\mathfrak{A} \lhd\lhd
\mathfrak{G}$, $\mathfrak{A}$ vtb $\mathfrak{U} \rightarrow \mathfrak{A}$ vtb
$\mathfrak{U}^{\mathfrak{f}}$ aber vielleicht wenn $\mathfrak{A}^{\mathfrak{f}}
= \mathfrak{A}$ !
\end{enumerate}
\footnote{S.146 ist die Mitte durchgestrichen.}
$\textbf{Seite 146}$\\
\\
\begin{flushright}
$\lhd\lhd \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$
\end{flushright}
\begin{enumerate}
\item $\nl\, \vee \mathfrak{n}$, $\mathfrak{A} \lhd\lhd \mathfrak{G}$, $\mathfrak{n} < \mathfrak{G}
\rightarrow$ Kette $\mathfrak{A}\, \mathfrak{n} \dots \mathfrak{A}\, \nl$ Kette
$\mathfrak{n}\dots(\mathfrak{n}\,\nl\, \mathfrak{A})$
\item Falsch w\"are die Vermutung: Auch f\"ur $\mathfrak{m}\, \nl \mathfrak{G}$ gilt\\
$\mathfrak{A}  \lhd\lhd \mathfrak{G} = \mathfrak{A}\,\mathfrak{m} \rightarrow
\mathfrak{A}^{\mathfrak{f}}\, \mathfrak{m}^{\mathfrak{f}} =
\mathfrak{G}^{\mathfrak{f}}\,(\nl \mathfrak{A}^{\mathfrak{f}}\,\mathfrak{m}^{\mathfrak{f}} \lhd
\mathfrak{G}$).\hfill 31.3.55
\item  Bemerkg: Falsch w\"are: 
$\left\{
\begin{array}{lll}
\{\mathfrak{n},\, \mathfrak{m}\}^{\mathfrak{f}} =
\{\mathfrak{n}^{\mathfrak{f}},\, \mathfrak{m}^{\mathfrak{f}}\}
\textnormal{(selbst wenn} \mathfrak{n}\, \mathfrak{m} = \mathfrak{m}\, \mathfrak{n})\\
\mathfrak{n},\, \mathfrak{m} = \mathfrak{m}\, \mathfrak{n} \rightarrow
\mathfrak{n}^{\mathfrak{f}}\, \mathfrak{m}^{\mathfrak{f}} =
\mathfrak{m}^{\mathfrak{f}} \, \mathfrak{n}^{\mathfrak{f}} \quad
\textnormal{(auch bei } |F|\,^{=}_{\not=}\, p). 
\end{array} \right.$\\
s. auch 145 \nl\\
Beispiele:
\begin{quote}
a) $\mathfrak{n} = \mathfrak{A}_{6}$, $\mathfrak{m} =$ 7$\cdot$
Zyklus \nl $\mathfrak{A}_{7}$; $\mathfrak{n}\, \mathfrak{m} = \mathfrak{A}_{7}$;
$\mathfrak{f} = \mathfrak{A}_{6}$ oder$~\mathfrak{m}$\\
b) $\mathfrak{n} = \{(12)\, (34),\dots,\,(2_{k}-1$ $2_{k})\}$ und
$\mathfrak{A}_{k}-\nl$, so dass transitiv)\\
\nl 

\end{quote}



\end{enumerate}
$\textbf{Seite 147}$\\
\\
\begin{flushright}
$\lhd\lhd \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$
\end{flushright}
\begin{enumerate}
\item $\mathfrak{A} \lhd\lhd \mathfrak{A}\, \mathfrak{m} = \mathfrak{m}\,
\mathfrak{A} \rightarrow^{?}$ a) $\mathfrak{A}^{\mathfrak{f}} \,\mathfrak{m}  =
\mathfrak{m}\, \mathfrak{A}^{\mathfrak{f}}$, b) $\mathfrak{A}\, \mathfrak{m}^{\mathfrak{f}} =
\mathfrak{m}^{\mathfrak{f}}\, \mathfrak{A}$.\\
Hiermit (141.1) neuen Beweis f\"ur den Satz 133:
\item Seien $\mathfrak{A},\, \mathfrak{b} \lhd\lhd \mathfrak{G}$; $\mathfrak{A}$
rein $\mathfrak{K}$-k\"opfig, $\mathfrak{b}$ rein $\mathfrak{K}$-k\"opfig, $k
\not= \mathfrak{b}$.\\
\nl $\mathfrak{A}\, \mathfrak{b} = \mathfrak{b}\, \mathfrak{A}$. \qquad Bew:
Indukt $j\,(\mathfrak{G},\, E)$.\\
Bew: 
\begin{quote}
b) Es gebe $\mathfrak{R} \lhd \mathfrak{G}$, $\mathfrak{R} = (\mathfrak{R}
\cap \mathfrak{A})(\mathfrak{R} \cap \mathfrak{b})$. Dann Indukt,
$\mathfrak{G}\,/\,\mathfrak{R}$\\
a) \nl : $\{\mathfrak{A}\, \mathfrak{b}\} = \mathfrak{G}$\\
c) Es gebe $\mathfrak{f}$ als Kompf in $\mathfrak{a}$ oder $\mathfrak{b}$ $\nl
\not= \mathfrak{K},\, \mathfrak{b}$.\\
Dann $\mathfrak{A}_{\mathfrak{f}}$ vtb $\mathfrak{b}$ (Indukt) $\rightarrow
\mathfrak{A}_{\mathfrak{f}}$ vtb $\mathfrak{b}_{\mathfrak{f}}$ \nl,
$\mathfrak{b}_{\mathfrak{f}}$ vtb $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{G}_{\mathfrak{f}} =
\mathfrak{A}_{\mathfrak{f}}\, \mathfrak{b}_{\mathfrak{f}} \lhd \mathfrak{G}$\\
\nl\\
d) Nur \nl sind Kompf von $\mathfrak{A},\, \mathfrak{b}$. Es ist dann
$\mathfrak{A}^{\mathfrak{K}}$ kopffreund\\
\nl, also $\mathfrak{A}^{\mathfrak{K}} \vee \mathfrak{A}^{\nl}$ (Indukt), also
nach 147.1\\
$\mathfrak{A}^{\mathfrak{K}} \vee \mathfrak{b}^{\nl\,\mathfrak{K}}$. Nun ist\\
$\mathfrak{A}^{\mathfrak{K}}\, \mathfrak{b}^{\mathfrak{b}\, \mathfrak{K}} =
\{\mathfrak{A}^{\mathfrak{K}},\, \mathfrak{b}^{\mathfrak{b}\, \mathfrak{K}}\} =
\{\mathfrak{A},\, \mathfrak{b}^{\mathfrak{b}}\}^{\mathfrak{K}}  = \{\mathfrak{A},\,
\mathfrak{b}\}^{\mathfrak{b}\, \mathfrak{K}}$\\
Da b) schon erled, ist das $= E$, also $\mathfrak{A}^{\mathfrak{K}} = E =
\mathfrak{G}^{\mathfrak{b}\, \mathfrak{K}} \lhd \mathfrak{G}$ ebenso
$\mathfrak{b}^{\mathfrak{b}} = E$. Dann aber zentralisieren sich
$\mathfrak{A},\, \mathfrak{b}$ sogar.\\
\nl
\end{quote}
\end{enumerate}
$\textbf{Seite 148}$\\
\\
\begin{flushright}
$\lhd\lhd \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$
\end{flushright}
\begin{enumerate}
\item Aufgabe: Eindeutigkeit von Prod. Zerlegg $\mathfrak{G} = \mathfrak{A}\,
\mathfrak{b}$, $\mathfrak{A},\,\mathfrak{b} \lhd\lhd \mathfrak{G}$ wo
$\mathfrak{A},\, \mathfrak{b}$ rein $\mathfrak{K}$- bezw $\mathfrak{l}$-k\"opfig.
Mit Hilfe des Prozesses $\mathfrak{G} \rightarrow \mathfrak{G}^{*} =
\mathfrak{G}^{\mathfrak{K}\,\mathfrak{l}} \cdot \mathfrak{G}
^{\mathfrak{l}\,\mathfrak{K}} = \mathfrak{A}^{\mathfrak{K}}\,
\mathfrak{b}^{\mathfrak{l}}$\\
kommt man zu einer Invariante, n\"amlich wenn z.B. $\mathfrak{G}^{**} \approx E$
erstmals, so $\mathfrak{G}^{**} = \mathfrak{A}^{\mathfrak{K}\, \mathfrak{l}}
\cdot  \mathfrak{b}^{\mathfrak{l}\, \mathfrak{K}} =
\tilde{\mathfrak{A}}^{\mathfrak{K}\, \mathfrak{l}}\,
\tilde{\mathfrak{b}}^{\mathfrak{l}\, \mathfrak{K}} \rightarrow
\mathfrak{A}^{\mathfrak{K}\, \mathfrak{l}} =
\tilde{\mathfrak{A}}^{\mathfrak{K}\, \nl}\dots$ da nilpotent"'.\\
Damit \"ahnlich wohl auch $\mathfrak{G} = \mathfrak{A}\, \mathfrak{b}\,
\mathfrak{l} = 3$ reink\"opf Faktoren. 
\item $\mathfrak{A} \lhd\lhd \mathfrak{G}$, $\mathfrak{b} \lhd\lhd
\mathfrak{G}$, $\mathfrak{A}\, \mathfrak{b} = \mathfrak{b} \, \mathfrak{A}$,
$\mathfrak{A}^{\mathfrak{K}} < \mathfrak{A}' < \mathfrak{A} \rightarrow
\mathfrak{A}'\, \mathfrak{b} = \mathfrak{b}\, \mathfrak{A}'$.\\
$\mathfrak{A}$, $\mathfrak{l}$ kopffreund \hfill
Bew.: $\mathfrak{A}'\, \mathfrak{b} > \mathfrak{A}^{\mathfrak{K}}\, \mathfrak{b} =
\mathfrak{G}^{\mathfrak{K}} \lhd \mathfrak{G}$
\item Neuer Beweis f\"ur den Hauptsatz 133:\\
$\mathfrak{A}$, $\mathfrak{b} \lhd\lhd \mathfrak{G}$, 
$\begin{array}{cc}
\mathfrak{A} \textnormal{ rein } \mathfrak{k}\textnormal{-k\"opf.}\\
\mathfrak{b} \textnormal{ rein } \mathfrak{l}\textnormal{-k\"opf.}
\end{array}
\left\}
\begin{array}{ll}
\\
\\
\end{array} \right. \rightarrow \mathfrak{A} \, \mathfrak{b} = \mathfrak{b} \,
\mathfrak{A}$.\\
\\
Man w\"ahle zwei m\"oglichst kleine Gruppen $\overline{\mathfrak{A}}$,
$\overline{\mathfrak{b}}$ so, dass $\mathfrak{A} < \overline{\mathfrak{A}}
\lhd\lhd \mathfrak{G}$, $\mathfrak{b} = \overline{\mathfrak{b}} \lhd\lhd
\mathfrak{G}$, $\overline{\mathfrak{A}}\, \overline{\mathfrak{b}} =
\overline{\mathfrak{b}}\,\mathfrak{A}$. \\
Das gibts, z.B. $\overline{\mathfrak{A}} = \mathfrak{b} = \mathfrak{G}$\\
Dann ist 
\begin{quote}
(a) $\overline{\mathfrak{A}}$ rein $\mathfrak{K}$-k\"opfig:
$\overline{\mathfrak{A}}_{\mathfrak{K}} = \overline{\mathfrak{A}}$. Denn
$\overline{\mathfrak{A}}_{\mathfrak{K}} \vee \overline{\mathfrak{b}}$ und
$\mathfrak{A} < \overline{\mathfrak{A}}_{\mathfrak{K}} \lhd\lhd \mathfrak{G}$.
Ebenso $\mathfrak{b}$ rein $\mathfrak{l}$-k\"opfig\\
(b) $\mathfrak{A}\, \overline{\mathfrak{A}}^{\mathfrak{K}} =
\overline{\mathfrak{A}}$. Denn $\mathfrak{A} < \mathfrak{A}\,
\overline{\mathfrak{A}}^{\mathfrak{K}} \cup \overline{\mathfrak{b}}$ nach (a)
\nl\\
(c) aus a) b) folgt $\overline{\mathfrak{A}} = \mathfrak{A}$: \nl. Allgemein:
149$\cdot$1\\
ebenso: $\overline{\mathfrak{b}} = \mathfrak{b}$.
\end{quote}
\end{enumerate}
$\textbf{Seite 149}$\\
\\
\begin{flushright}
$\mathfrak{A},\, \mathfrak{b}\, \lhd\lhd \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$
\end{flushright}
\begin{enumerate}
\item $\mathfrak{A},\, \mathfrak{b}\, \lhd\lhd \mathfrak{G}$; $\{\mathfrak{A},\,
\mathfrak{b}\}$ sei rein $\mathfrak{K}$-k\"opfig, $\mathfrak{b}^{\mathfrak{K}} =
\mathfrak{b} \rightarrow \mathfrak{b} < \mathfrak{A}$.\\
Bew: Sonst $\mathfrak{A} < \mathfrak{W} \lhd \{\mathfrak{A},\, \mathfrak{b}\}$
mit $\{\mathfrak{A},\, \mathfrak{b}\}\,/\,\mathfrak{W} \simeq
\mathfrak{b}\,/\,\mathfrak{b} \cap \mathfrak{W}$
\item Sind $\mathfrak{A}_{1}$, $\mathfrak{b}_{1}$ nicht freundk\"opfig, so
besitzt zwischen ihnen ein Mesomorphismus im Sinn von Remak 1931.
\item $\mathfrak{G} = \mathfrak{A}\, \mathfrak{b} = \mathfrak{b}\, \mathfrak{A}
\rightarrow \mathfrak{K}$-Rumpf $\mathfrak{A}$ vtb $\mathfrak{K}$-Rumpf
$\mathfrak{b}$, Produkt $= \mathfrak{K}$ Rpf $\mathfrak{G}$\\
Daher $\mathfrak{K}$-Rumpf $= \cap\, \mathfrak{W}$ mit
$\mathfrak{A}\,/\,\mathfrak{W} \sim \mathfrak{K}$.\quad Bew 1.
\item $\mathfrak{A}\, \mathfrak{b} = \mathfrak{b}\, \mathfrak{A}$,
$\mathfrak{A}$ und $\mathfrak{b}$ kopffreund, $\mathfrak{A}_{1}$ und
$\mathfrak{b}_{1}$ "'gross"' $\rightarrow \mathfrak{A}_{1} \vee
\mathfrak{b}_{1}$\\
dabei $\mathfrak{A}_{1}$ gross \nl $\mathfrak{A}\,/$ Indikator $\mathfrak{A}$
separiert $= X$ \nl Gr.
\item $\mathfrak{A}\, \lhd\lhd\, \mathfrak{G}$, $\mathfrak{b} \, \lhd\lhd\,
\mathfrak{G} \rightarrow$ Pseudo-Rumpf $\psi(\mathfrak{A}) \vee \mathfrak{b}$.
Dabei $\psi(\nl) = \cap\, \mathfrak{W}$ mit $\mathfrak{W} \lhd \mathfrak{G}$,
$\mathfrak{G}\,/\,\mathfrak{W} = 
\begin{array}{cc}
\textnormal{einfach oder}\\
p\,\textnormal{-Gruppen}
\end{array}$\\
Bew durch Zerlegg $\psi\,(\mathfrak{A}) =
\Pi_{\mathfrak{f}}\psi\,(\mathfrak{A}_{\mathfrak{f}})$
\item \underline{Falls} es vern\"unftige S\"atze f\"ur $\mathfrak{G} =
\mathfrak{A}\, \mathfrak{b}$ mit $\mathfrak{A} \lhd\lhd \mathfrak{G}$ gibt,
lassen sie sich wahrscheinlich auf Produkte $\mathfrak{A}\, \mathfrak{b} =
\mathfrak{G}$ verallgemeinern, die eine Kompositionsreihe $\mathfrak{G} \rhd
\mathfrak{G}_{1} \rhd \dots \rhd \mathfrak{G}_{r - 1} \rhd E$ besitzen, in der
$\mathfrak{G}_{i} = (\mathfrak{G}_{i} \cap \mathfrak{a})$. $(\mathfrak{G}_{i}
\cap \mathfrak{b})$.
\end{enumerate}
$\textbf{Seite 150}$\\
\\
\begin{flushright}
$\lhd\lhd \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$
\end{flushright}
\begin{enumerate}
\item Zwei nachinv. Untergr., die fremdk\"opfig, \nl und elementefremd sind,
brauchen nicht elementweise vertauschbar zu sein.\\
Bew:\qquad
$\begin{array}{cc}
2 & 3\\
3 & 2\enspace 2
\end{array}$\qquad $\mathfrak{A} = 
\begin{array}{cc}
2 \\
3 
\end{array} \qquad \mathfrak{b} = 
\begin{array}{cc}
  & 3\\
3 & 2\enspace 2
\end{array} \qquad |\mathfrak{A}| = 6\quad |\mathfrak{b}| = 12$
NB: Ebenso mit nichtabelschen  Komp-Faktoren.
\item $\mathfrak{R}\,  \lhd\lhd\, \mathfrak{G}$, $G = \mathfrak{A}\, \mathfrak{b}$,
$G = $ Hallgr $\mathfrak{G} \rightarrow \mathfrak{R} \cap G = $Hallgr
$\mathfrak{R}$

\item $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{b}\,\lhd\lhd \mathfrak{G} =
\mathfrak{A}\,\mathfrak{b}$, $G =$  Hallgruppe von $\mathfrak{G} \rightarrow G \cap \mathfrak{A} = $Hallgr
$\mathfrak{A}$, $(G \cap \mathfrak{A})\, (G \cap \mathfrak{b}) = G$.


\item \underline{Kompositionsreihen} untersuchen: $\mathfrak{G} \rhd
\mathfrak{G}_{1} \rhd \sim \rhd \mathfrak{G}_{r} = E$, derart dass f\"ur ein
vorgegebenes $\mathfrak{U} < \mathfrak{G}$ stets $\mathfrak{G}_{i}\,
\mathfrak{U} = \mathfrak{U}\, \mathfrak{G}_{i}$ \nl vgl S.74,{\scriptsize{2,
3}}. Z.B. $U =$ Sylowgruppe von $\mathfrak{G}$ etc. Falls die Frage
147.{\tiny{1}} \nl wird: $\mathfrak{G}_{i} \vee \mathfrak{U} \rightarrow
\mathfrak{G}_{i}\,^{\mathfrak{f}} \vee \mathfrak{U}$, so w\"aren alle
$\mathfrak{G}_{i}(\mathfrak{G}_{i + 1}$ rein !
\end{enumerate}
{\LARGE S.151 ist unten durchgestrichen}\\
\\
$\textbf{Seite 151a}$\\
\\
\begin{flushright}
$\lhd\lhd \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$
\end{flushright}
Operatoren auf Nachinvarianzsystemen \nl 1955\\
$\mathfrak{G}$ sei Gruppe mit Max. u. Minbedg. f\"ur nachinv Ugr; diese \nl den
Verband $\cal{N}$ bilden. Ein Operator $\alpha$ auf $\cal{N}$ ist eine Abbildg. von $N$ in
sich mit den beiden Eigenschaften:\\
$\alpha \in \Omega \leftrightarrow 
\left\{
\begin{array}{lll}
\textnormal{I},\quad \mathfrak{A}\, ${\large{$\lhd$}}$ \, \mathfrak{b}
\rightarrow \mathfrak{A}^{\alpha}\, \lhd \, \mathfrak{b}\\
\textnormal{II}.\quad \{\mathfrak{A},\, \mathfrak{b}\}^{\alpha} =
\{\mathfrak{A}^{\alpha} \lhd \mathfrak{b}^{\alpha}\}
\end{array} \right.$
Es gilt: (1) $\mathfrak{A}^{\alpha}\, \lhd\, \mathfrak{A}$; $\mathfrak{A}\,
\lhd\lhd \mathfrak{b} \rightarrow \mathfrak{A}^{\alpha} \lhd\lhd
\mathfrak{b}^{\alpha}$.\\
(2) 
\begin{quote}
$\mathfrak{A}\, \mathfrak{b} = \mathfrak{b}\, \mathfrak{A} \rightarrow
\mathfrak{A}^{\alpha}\, \mathfrak{b}^{\alpha} = \mathfrak{b}^{\alpha}\,
\mathfrak{A}^{\alpha} = (\mathfrak{A}\, \mathfrak{b})^{\alpha}$\\
Bew: W\"ahle $\mathfrak{A}\, \lhd\lhd \,\mathfrak{A}\,\overline{\mathfrak{b}}\,
\lhd \, \mathfrak{A}\, \mathfrak{b}\qquad \overline{\mathfrak{b}}\, \lhd\lhd\,
\mathfrak{A}\,\mathfrak{b}$\\
Indukt: $(\mathfrak{A}\, \overline{\mathfrak{b}})^{\alpha} =
\mathfrak{A}^{\alpha}\, \overline{\mathfrak{b}}^{\alpha} =
\overline{\mathfrak{b}}^{\alpha}\, \mathfrak{A}^{\alpha}$ \nl $\mathfrak{A}\,
\mathfrak{b}$, also $\vee \mathfrak{b}^{\alpha}$, also $\mathfrak{A}^{\alpha}
\cup \mathfrak{b}^{\alpha}$.\\
$(\mathfrak{A}\, \mathfrak{b})^{\alpha} = \{\mathfrak{A}^{\alpha}\,
\mathfrak{b}^{\alpha}\} = \mathfrak{A}^{\alpha}\, \mathfrak{b}^{\alpha}$.
\end{quote}
$\textbf{Seite 151b}$\\
\\
\begin{flushright}
$\lhd\lhd \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$
\end{flushright}
\begin{enumerate}
\item setzt man f\"ur $\alpha$, $\beta \in \Omega \qquad
\mathfrak{G}^{\alpha\,\nl} = \mathfrak{G}^{\alpha}\, \mathfrak{G}^{\beta}$, so
ist $\alpha \cup \beta \in \Omega$:
\begin{quote}
$(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta  + \gamma)$\\
$(\alpha + \beta)\,\gamma = \alpha\,\gamma + \beta\,gamma$, $\gamma(\alpha +
\beta) = \sim$.
\end{quote}
\item Setze, wenn $\alpha_{1},\sim,\,\alpha_{n} \in \Omega$ gegeben:
$\bigcup\limits_{i = 1}^{n}$$_{n}\, d\,i =$ Vereinigg aller Produkte von $k$ versch $\alpha_{\nu}$, in jeder Anordnung.
\item $\bigcup\limits_{i = 1}^{n}$$_{n - 1}\, \alpha_{i} = 1 \rightarrow
\bigcap\limits_{i = 1}^{n}\, \mathfrak{G}^{\alpha\,i} =
\mathfrak{G}^{\bigcup\limits_{i =
1}^{n}}\,^{n}\,^{^{\textnormal{{\large{$\alpha_{i}$}}}}} = [P\,\nl]$.\\
Bew:
\begin{quote}
a) klar ist $P \subset D$.\\
b) $\bigcap = D$ gesetzt gibt $D = D^{^{\bigcup_{n - 1} \alpha_{i}}}$\\
Nun ist z.B. $D^{\alpha_{1}\, \alpha_{2}\dots \alpha_{n - 1}} \subset
\mathfrak{G}^{\alpha_{n}\cdot \alpha_{1}\sim \alpha_{n - 1}} \subset P$.
\end{quote}
\item Ist f\"ur $i \not= j \qquad \alpha_{i} \cup \alpha_{j} = 1$, so ist
$\bigcup_{n-1}\,\alpha_{i} = 1$\\
Bew: Indukt:
\begin{quote}
$\bigcup\limits_{i \not= 1}^{}\,_{n - 2}\, \alpha_{i} =
1$\quad$\alpha_{\nl}$\\

$\bigcup\limits_{i \not= 2}^{}\,_{n - 2}\, \alpha_{i} =
1$\quad$\alpha_{\nl}$\\
\end{quote}
$\cdot \alpha_{2}\,\bigcup\limits_{i \not= 2}^{}\,_{n - 2}\,\, \alpha_{i} +
\alpha_{1}\,\,\bigcup\limits_{i \not= 1}^{}\,_{n - 2}\,\,\alpha_{i} = \alpha_{1} +
\lambda_{2} = 1$\\
also erste \nl $\bigcup_{n - 1}\,\,\alpha_{i} = 1$; denn $\alpha \cup \beta = 1
\rightarrow \alpha \cup \beta \cup \gamma = 1$
\item ($1 \leq i < j \leq n \rightarrow \alpha_{i} \cup \alpha_{j} = 1)
\rightarrow \bigcap\,G^{\alpha_{i}} = G^{^{\bigcup_{n}\,\alpha_{i}}}$ 
\end{enumerate}
$\textbf{Seite 151c}$\\
\\
\begin{flushright}
$\lhd\lhd \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$
\end{flushright}
\begin{enumerate}
\item $\alpha$, $\beta$, $\gamma \in A$, $\gamma \sim 0 \rightarrow \alpha +
\gamma \sim \nl\, \beta + \gamma \nl$\\
Also die Abbildgsklassen permuntieren sich bei Add eines $\gamma \sim 0$.
\item $\mathfrak{A} \sim 0$, $\beta \sim 0 \rightarrow \alpha + \beta \sim 0$\\
2.\qquad $\mathfrak{A}\,\xi + \beta\,\eta = 1 \rightarrow \alpha + \beta = 1$

\item $\alpha \leq \beta \rightarrow \alpha\,\omega \leq \beta\,\omega$
\item $\alpha \leq \beta$, $\beta^{n} = 0 \rightarrow \alpha^{n} = 0$
\item Schon aus den folgenden schwachen Vorauss. \nl Vertauschungss\"atze: $M$
ist eine Menge von Ugruppen von $G$; so dass $A$, $B \in M \rightarrow A \cup B
\in M$. $\alpha$ ist eine Abbildg von $M$ in sich mit $(A \cup B)^{\alpha} =
A^{\alpha} \cup B^{\alpha}$, $\& A^{\alpha^{p}} \vee B^{\alpha^{q}} \rightarrow
A^{\alpha} \cup B$.\\
$[$Insbesondere: Ist $A^{\alpha^{n}} \vee B$ f\"ur ein $n$ und alle $B \in M$,
so ist schon $A^{\alpha} \cup B$.$]$\\
Beweis: (6) $A^{\alpha} \vee B^{\alpha} \rightarrow A^{\alpha} \vee B$\\
Bew: $A^{\alpha} \, B = A^{\alpha}\, B^{\alpha}\, B = \{A,\, B\}^{\alpha}B =
B\{A\, B\}^{\alpha} = B\, B^{\alpha}\, A^{\alpha} = B\, A^{\alpha}$.
\begin{flushright}
(5): Indukt. $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$
\end{flushright}
\end{enumerate}
$\textbf{Seite 152}$\\
\\
\begin{flushright}
$\lhd\lhd \qquad\nl\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$
\end{flushright}
\begin{enumerate}
\item $n \geq 1$, $\mathfrak{A}^{\delta^{n}} \vee \mathfrak{b}^{\delta^{n}}
\rightarrow \mathfrak{A}^{\delta} \vee \mathfrak{b}$ !!\\
Bew: W\"ahle $\delta$ wie 151 (4): Dann $\delta = \delta^{\alpha}\, \mathfrak{b}
= \delta ^{\alpha^{2}}\,\mathfrak{b}^{\alpha}\,\mathfrak{b} = \delta
^{\alpha^{2}}\, \mathfrak{b}$,\dots, $\delta = \delta^{\alpha^{w}}\,
\mathfrak{b}$.\\
$\mathfrak{A}^{\alpha} \vee \delta^{\alpha^{n}}\,\mathfrak{b}$,
$\mathfrak{A}^{\alpha} \vee \mathfrak{G}^{\alpha^{n}}\,\mathfrak{b} =
\{\nl\}\,\mathfrak{b}\quad (\mathfrak{G} = \mathfrak{A},\, \mathfrak{b}\}\nl) =
\mathfrak{A}^{\alpha^{n}}\, \mathfrak{b}^{\alpha^{n}}\, \mathfrak{b} =
\mathfrak{A}^{\alpha^{n}}\, \mathfrak{b}$\\
\nl $\mathfrak{A}^{\alpha^{n}}$, Produkt $\vee\,  \mathfrak{A}^{\alpha} \rightarrow
\mathfrak{b} \vee \mathfrak{A}^{\alpha}$
\item Bew: W\"ahle $\delta$ wie 151(4): $\delta = \delta^{\alpha} \mathfrak{b}$.
OBdA $\{A,\, B\} = \mathfrak{G}$
\begin{quote}
$\mathfrak{A}^{\alpha} \vee \delta$\\
\end{quote}
(151.3)
\begin{quote}
$\mathfrak{A}^{\alpha} \vee \delta^{\beta} =
\delta^{\alpha\,\beta}\,\mathfrak{b}^{\beta}$\\
$\mathfrak{A}^{\alpha} \cup \mathfrak{G}^{\alpha\,\beta}\,
\mathfrak{b}^{\beta} =
\{\mathfrak{A}^{\alpha\,\beta},\,\mathfrak{b}^{\alpha\,\beta}\}\,
\mathfrak{b}^{\beta}$\\
nach Vor. \quad = 
$\mathfrak{A}^{\alpha\,\beta}\,\mathfrak{b}^{\alpha\,\beta}\,\mathfrak{b}^{\beta}
= \mathfrak{A}^{\alpha\,\beta}\, \mathfrak{b}^{\beta}$\\
$\mathfrak{b}^{\beta} \cup \mathfrak{A}^{\alpha\,\beta}$,
$\mathfrak{b}^{\beta}\, \mathfrak{A}^{\alpha\,\beta} \cup \mathfrak{A}^{\alpha}
\rightarrow \mathfrak{b}^{\beta} \cup \mathfrak{A}^{\alpha}$.
\item Aus $\mathfrak{X}^{\alpha} = \mathfrak{X}^{\beta}$ folge stets $\mathfrak{X} \vee
\mathfrak{Y}$ \nl $\mathfrak{Y} \in \cal{N}$.\\
Dann ist $\mathfrak{X}^{\alpha\,\beta} \vee \mathfrak{Y}$\\
Dann w\"ahle $n$: $\mathfrak{z} = \mathfrak{X}^{(\alpha\,\beta)^{n}} =
\mathfrak{X}^{(\alpha\,\beta)^{n + 1}} = \mathfrak{z}^{\alpha\,\beta}$. Dann\\
$\mathfrak{z} \rhd \mathfrak{z}^{\alpha} \rhd \mathfrak{z}^{\alpha\,\beta} =
\mathfrak{z} \rightarrow \mathfrak{z}^{\alpha} = \mathfrak{z} =
\mathfrak{z}^{\beta}$. \\
$\rightarrow \mathfrak{X}^{(\alpha\,\beta)^{\nl}} \vee \mathfrak{y}$\\
$\rightarrow_{1} \mathfrak{X}^{\alpha\,\beta} \vee \mathfrak{y}$
\end{quote}
\end{enumerate}
$\textbf{Seite 153}$\\
\\
\begin{flushright}
schw\"acher als 152.1
\end{flushright}


Der zentrale Satz ist:
\begin{flushright}
sch\"arfer: $\mathfrak{A}^{\alpha} \vee \mathfrak{b}^{\alpha}\mathfrak{K}$ \nl
$\mathfrak{K} = \mathfrak{b}$.
\end{flushright}

\begin{enumerate}
\item $\mathfrak{A}^{\alpha} \vee \mathfrak{b}^{\alpha} \rightarrow
\mathfrak{A}^{\alpha} \vee \mathfrak{b}$. Beweis: $\mathfrak{A}^{\alpha}\,
\mathfrak{b}^{\alpha}\mathfrak{K} = \{\mathfrak{A}\,
\mathfrak{b}\}^{\alpha}\,\nl = \nl\,\{\mathfrak{A},\, \mathfrak{b}\}^{\alpha} =
\nl\, \mathfrak{b}^{\alpha}\, \mathfrak{A}^{\alpha} = (\mathfrak{b}^{\alpha}\,
\mathfrak{K})\, \mathfrak{A}^{\alpha}$.\\
Damit\\
(152.2):\qquad $\mathfrak{A}^{\alpha\,\beta} \vee \mathfrak{b}^{\alpha\,\beta}
\rightarrow \mathfrak{A}^{\alpha\,\beta} \vee \mathfrak{b} \rightarrow
\mathfrak{A}^{\alpha\,\beta} \vee  \mathfrak{b}^{\beta} \rightarrow
\mathfrak{A}^{\alpha} \vee \mathfrak{b}^{\beta}$.
\item $\mathfrak{A}^{\alpha^{2}} \vee \mathfrak{b} \rightarrow
\mathfrak{A}^{\alpha} \vee  \mathfrak{b}$.
\item $\mathfrak{A}^{\Pi\,\rho\,i} \vee
\mathfrak{b}^{\Pi\,\sigma\,j}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \rho_{i}$, $\sigma_{j} = \alpha$,
$\beta$\\
$\rightarrow \mathfrak{A}^{\alpha} \vee \mathfrak{b}^{\beta}$\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
Bew:$\dots\,\alpha^{2}$ \nl\\
es gilt auch weiter: $\rightarrow \mathfrak{A}^{\beta} \vee
\mathfrak{b}^{\alpha}.)\qquad\qquad\qquad \dots\alpha\,\beta,\, \dots \beta
\rightarrow \cdots \alpha,\,\dots \beta$ usw.
\item (Minbedgg) $\rightarrow \mathfrak{A}^{(\alpha\dots\beta\,\gamma)^{\infty}}
\underline{\underline{\subset}}\, \mathfrak{A}^{\alpha^{\infty}} \cap \cdot \cap
\mathfrak{A}^{\beta^{\infty}} \cap\,  \mathfrak{A}^{\gamma^{\infty}}$\\
\begin{quote}
denn $\mathfrak{A}^{\gamma^{\infty}}$ ist die gr\"osste Untergr von
$\mathfrak{A}$, die bei $\gamma$ fest bleibt, und $\mathfrak{A}$ fest bei
$\alpha\, \beta \leftrightarrow$ fest bei $\alpha$ und fest bei $\beta$.

\end{quote}
\item Ist $\alpha^{2} = \alpha$,\dots, $\gamma^{2} = \gamma$, so ist
$\mathfrak{A}^{\alpha} \cap \mathfrak{A}^{\beta} \cap \dots
\mathfrak{A}^{\gamma} \, \underline{\underline{>}} \, 
\mathfrak{A}^{(\alpha\,\beta\dots\gamma)^{\infty}}$
\end{enumerate}
\footnote{S.154 und S.155 existieren nicht.}
$\textbf{Seite 156}$\\
\\
\underline{Bruchso'-theorems, 17.4.55}\\
\begin{enumerate}
\item Fortsetzg von S.155.5:\\
Es gilt $A^{\alpha} \vee B$, wenn $B^{\alpha} \subseteq A$\qquad Bew 155.5,\nl
$B^{\alpha} \vee A^{\alpha}$ \nl
\item Ohne Vorauss. gilt also stets: $\{A,\,B^{\alpha}\}^{\alpha} \vee B \qquad$
Bew: 1
\item Stets ist \qquad $\{A,\,B^{\alpha^{k}}\}^{\alpha} \vee B \qquad (k \geq
1)\quad$ Bew 2 \quad $B\,|\,B^{\alpha}$ Indukt. 156.6
\item Stets ist \qquad $\{A,\,B^{\alpha^{k}}\} \cup B^{\alpha^{l}} \qquad (k
\geq 0)\enspace (l \geq 1)$
\item Stets ist \qquad $\{A^{\alpha^{m}},\, B^{\alpha^{n}}\} \vee 
\left\{
\begin{array}{lll}
A\\
B
\end{array} \right.$.\qquad Bew: $\vee 
\left\{
\begin{array}{lll}
A^{\alpha^{m}}\\
B^{\alpha^{n}}
\end{array} \right.$ 156.5\\
(Von Nutzen bei Faktorisierungen ?)
\end{enumerate}
$\textbf{Seite 157}$\\
\\
\section*{Gute $p$-Gruppen.}
\begin{enumerate}
\item Def'. \underline{$p$-Gruppe $\mathfrak{G}$ heisst gut}, wenn
$\mathfrak{A},\, \mathfrak{b} \underline{\underline{<}} \mathfrak{G} \rightarrow
\\
(\mathfrak{A} \cup \mathfrak{b})^{p} = \mathfrak{A}^{p} \cup \mathfrak{b}^{p}$.
Daher 
$\left\{
\begin{array}{lll}
\mathfrak{A}^{p} = \{A^{p}\}_{A \in \mathfrak{A}}\\
\mathfrak{A} \cup \mathfrak{b} = \{\mathfrak{A},\, \mathfrak{b}\}.
\end{array} \right.$
\item $\mathfrak{G}$ gut, $\mathfrak{A},\, \mathfrak{b} \leq \mathfrak{G}
\rightarrow (\mathfrak{A} \vee \mathfrak{b})^{p^{k}} = \mathfrak{A}^{p^{k}}\,
\mathfrak{b}^{p^{k}}\quad (k > 0)$; $\mathfrak{A}^{p} \vee \mathfrak{b}$. \nl :
$p = $Op.
\item In einer guten Gruppe bilden die L\"osungen von $X^{p^{k}} = E$ eine
Gruppe.\\
Bew: $A^{p^{k}} = B^{p^{k}} = E$, $C = A\,B \rightarrow C^{p^{k}} \in
\{A,\,B\}^{p^{k}} = \{A^{p^{k}}\}\,\{B^{p^{k}}\} = E$
\item In einer guten Gruppe bilden die $p^{k}$-ten Potenzen eine Gruppe.\\
Bew: $k = 1$ gen\"ugt (nach 5). Sei $G = \Phi\,(\mathfrak{G})$; OBdA 
$\left\{
\begin{array}{lll}
\mathfrak{G}\, \textnormal{nicht zyklisch.}\\
\mathfrak{G} = \{A,\,B\}\quad (5)
\end{array} \right.$\\
a) $G^{p} \not= E$: Indukt: 4 richtig in $\{\mathfrak{G}^{G}\,/\,G^{p}$. Also,
wenn $A,\,B \in \mathfrak{G}$,\\
$A^{p}\,B^{p} = H^{p}\,C^{p}$. \qquad Da $\{H,\,C\} \not= \mathfrak{G} \quad(\nl
\not=$ zykl.)\\
ist nach Ind. \qquad $D^{p}$.\qquad b) $G^{p} = E$: Sind $\mathfrak{W}$,
$\mathfrak{N}$ $\max$ in $\mathfrak{G}$, so ist $\mathfrak{W}^{p}\,\mathfrak{N}^{p}
= \mathfrak{G}^{p}$. Und es ist $|\mathfrak{W}^{p}| \underline{\underline{<}}
p$. Daher $|\mathfrak{G}^{p}| \underline{\underline{<}} p$ dann \nl trivial)
oder $|\mathfrak{G}^{p}| = p^{2}$, dann stets $|\mathfrak{W}^{k}| = p$,
$\mathfrak{W}^{k} \not= \mathfrak{N}^{k}$; daher alle $p + 1$ Untergruppen von
$\mathfrak{G}^{p}$ die Gestalt $\mathfrak{W}^{p}$, jedes $X \in
\mathfrak{G}^{p}$ ist $X = Y^{p}.$
\item Unter- und Faktorgruppen einer guten Gruppe sind gut.
\item $\mathfrak{G}$ ist schon dann gut, wenn f\"ur $A,\,B \in \mathfrak{G}$
stets $\{A,\,B\}^{p} = \{A^{p},\,B^{p}\}$ ist. Bew: Sei $\mathfrak{A},\,
\mathfrak{b} \leq \mathfrak{G}$. OBdA $\mathfrak{A} \cup \mathfrak{b} =
\mathfrak{G}$. Ist $Y^{p},\, X^{p} \in \mathfrak{A}^{p} \cup \mathfrak{b}^{p}$
so ist $(X\,Y)^{p} \in \{X,\, Y\}^{p} = \{X^{p},\,Y^{p}\}  \leq \mathfrak{A}^{p} \cup
\mathfrak{b}^{p}$, also dies $= (\mathfrak{A} \cup \mathfrak{b})^{p}$
\end{enumerate}
$\textbf{Seite 158}$\\
\\
\underline{Gute $p$-Gruppen.}
\begin{enumerate}
\item Ist jede \underline{echte} Untergruppe von $\mathfrak{G}$ gut, so ist
f\"ur $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{b} \leq \mathfrak{G}$ sets $\mathfrak{A}^{p}
\vee \mathfrak{b}^{p}$ und $\mathfrak{A} \vee \mathfrak{b}^{p^{2}}$.\\
Bew: 
\begin{quote}

a) $\mathfrak{b} = \mathfrak{G}$: klar.\\
\begin{flushright}
1$\,\quad p^{2}$\, \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
\end{flushright}
b) $\mathfrak{b} \not= \mathfrak{G}$: $\underbrace{\mathfrak{A}^{p} \cup
\mathfrak{b}}_{\textnormal{also gut}} \not= \mathfrak{G}$, da $\mathfrak{A}^{p}
\leq \Phi(\mathfrak{G})$; $\rightarrow \mathfrak{A}^{p} \vee
\mathfrak{b}^{p}$quad 158.2
\end{quote}
\item $\mathfrak{G}$ gut $\rightarrow$ F\"ur jedes $B \in \mathfrak{G}$, $A \in
\mathfrak{G}^{p}$ ist $\{A\} \vee \{B\}$.\\
dh jede Ugr von $\mathfrak{G}^{p}$ ist quasi-normal in $G$: Ore 1938, \nl 1941,
184
\item $\mathfrak{G}$ gut $\rightarrow$ In $\mathfrak{G}^{p}$ sind je zwei
Untergruppen vertauschbar. 158.4, 2.
\item Sind in $\mathfrak{G}$ je zwei Untergr. vertauschbar, so ist
$\mathfrak{G}$ gut.\\
Bew: 157.6 und Huppert Satz 2: $\mho_{1}(\{A\}\,\{B\}) =
\{A^{p}\}\,\{B^{p}\}$.\\
NB: Es gen\"ugt nicht, wenn stets $\{A^{p}\} \vee \{B\}:$ $\mathfrak{G} =$
dort Sylowgr von $\gamma_{p}$.  $\mathfrak{G}^{p} \subseteq$ ztr $\mathfrak{G}$
\item Gute Gruppen haben die "'Eigenschaft $\cal{R}$"' meiner Arbeit 1940.
\item Ist jede echte Ugr von $\mathfrak{G}$ gut, $G = \Phi\,\mathfrak{G}$, $G^{p}
= E$, so ist $\mathfrak{G}^{p}$ elementar abelsch und im Zentum von
$\mathfrak{G}$.\\
Bew:
\begin{quote}
a) $\mathfrak{G}$ zyklisch: klar\\
b) $\mathfrak{G}$ nicht zykl: bei $\mathfrak{z} > G$, $\mathfrak{z} : G = p$.
Dann $\mathfrak{z}$ eine,\\
also gut: $|\mathfrak{z}^{p}| = p$ und $\mathfrak{z}^{p} \lhd \mathfrak{G}$; $\{$alle$\mathfrak{z}^{p}\} = \{$alle $G^{p}\} =
\mathfrak{G}^{p}$.\\
also $\mathfrak{z}^{p} \in$ ztr $\mathfrak{G}$. Also: $\mathfrak{G}^{p} = \nl
\rightarrow \mathfrak{G}^{p} = \mathfrak{K}$
\end{quote}
$\textbf{Seite 159}$\\
\\
\item Jede echte Ugr von $\mathfrak{G}$ gut $\rightarrow \mathfrak{G}^{p} /
(\Phi\,\mathfrak{G})^{p}$ elementar abelsch, wird von $\mathfrak{G}$
zentralisiert. Bew: 6
\item Def: \underline{$\mathfrak{G}$ fast gut} = Jede echte Untergr. von
$\mathfrak{G}$ ist gut
\item $\mathfrak{G}$ fast gut, $\mathfrak{A} < \mathfrak{G} \rightarrow
(\cal{N}\, \mathfrak{A})$$^{p} = \cal{N}( \mathfrak{A}$$^{p})\qquad \cal{N} =$
"'Norm"'
\begin{flushright}
$= \prod\limits_{X \in \mathfrak{G}}(\mathfrak{A}^{p})^{X}$\,\,\,\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
\end{flushright}
\item Hupperts Beispiel einer irreg Gruppe $\mathfrak{G}$ der Ord $3^{4}$ ist
eine gute Gruppe. Denn dort (siehe Sammelmappe Hall) ist, wenn
$\{\mathfrak{A},\,\mathfrak{b}\} = \mathfrak{G}$, jedenfalls ein $P = 
\left( 
\begin{array}{ccc}
\cdot & \cdot & X\\
X & \cdot & \cdot\\
\cdot & X & \cdot
\end{array} \right) \in \mathfrak{A}$ od. \nl also $P^{3} =
\left( 
\begin{array}{ccc}
\varepsilon^{3}&&\\
& \nl &\\
&&\nl
\end{array} \right) \in \mathfrak{A}^{3}$, aber $\mathfrak{G}^{\nl}$ ist
\underline{nur} $\{P^{3}\}$. Ist $\{\mathfrak{A},\, \mathfrak{b}\} \not=
\mathfrak{G}$, so Ord $\{\mathfrak{A},\, \mathfrak{b}\} \leq 3^{3}$, daher
$\{\mathfrak{A},\,\mathfrak{b}\}$ gut.\\
Also \underline{nicht jede gute} Gruppe ist \underline{regul\"ar}; und
genauer:\\
Bei guten Gruppen ist nicht immer $Omega_{1}:Omega_{0} = \mho_{0}:\mho_{1}$.
\item \underline{Nicht jede regul\"are Gruppe ist gut}. \qquad Gegenbeispiel:
s.u.\\
Gegenbeispiel: $Z^{p^{2}} = E = A^{p^{2}} = B^{p^{2}}$; $\{\cal{Z}\}$$ =$ ztr
$\mathfrak{G}$\\
$\mathfrak{G} = \{A,\, B\}\quad A^{B} = \cal{Z}$$A$. \qquad $|\mathfrak{G}| =
p^{6}$ \underline{Klasse = 2}\quad $(p > 2)$\\
Es ist $A^{p} \vee B^{p}$, also $\{A^{p},\, B^{p}\} \lhd \mathfrak{G}^{p} =
\{A^{p},\, B^{p}\, \cal{Z}$$^{p}\}$
\end{enumerate}
\footnote{S.160 und S.161 sind durchgestrichen.\\
S.162 ist oben durchgestrichen.}
$\textbf{Seite 162}$\\
\\
\underline{\"Uber $p$-Gruppen}:\\
Eine Klasse von $p$-Gruppen, welche sowohl die regul\"aren wie die "'guten"' von
S.157 enth\"alt, wird definiert durch $\mathfrak{A},\, \mathfrak{b} \leq
\mathfrak{G} \rightarrow 
\{\mathfrak{A},\, \mathfrak{b}\}^{p} = \{\mathfrak{A}^{p},\,
\mathfrak{b}^{p}\}\cdot\{\mathfrak{A},\,\mathfrak{b}\}'^{p}$.\\
Statt des letzten Faktors koennte man auch
$\Phi(\{\mathfrak{A},\,\mathfrak{b}\}')$ \nl w\"ahlen.
\\
$\textbf{Seite 163}$\\
\\
Frage von It$\hat{o}$ (5.4.55): Sei $\mathfrak{G} = \mathfrak{P}\,G$,
$\mathfrak{P} \cap G = 1$, $\mathfrak{P}$ eine abelsche Sylowgruppe von
$\mathfrak{G}$ zum kleinsten Primteiler der Ordnung. Kann $\mathfrak{G}$ dann
einfach sein ? (It$\hat{o}$ habe sehr speziellen Fall erledigt.)\\
\\
\\
Arbeiten von Amato $[$54$]$: $[$Fundemental-Untergruppe $= \cal{Z}$s$\,(A) \not=
\mathfrak{G}$. Eine nichtabelsche Gruppe $\mathfrak{G}$ mit $\tau + 2$
Fundamentaluntergruppen hat "'Typ $\tau$"'$]$. Nach Amato 1917 sind f\"ur $\tau
\leq 6$ alle FUG abelsch.$]$ a) b): \:Uber Index von Ztr $\mathfrak{G}$ in den
FUG u. \"ahnlich.\\
c) "'Quasiabelsche Gruppen, eingef\"uhrt von Zappa 1942, besitzen nur
vertauschbare Untergruppen"'. Hier werden  \nl Gr. mit 2 Erzeugenden d. Ord
$p^{m},\,p^{w}$ betrachtet (zykl. Normalt. mit zykl. Faktorgr.): FUG und Typ
werden bestimmt. Dasselbe hatte Cipolla 1924 f\"ur H\"oldersche Gruppen getan\\
e) f) Minimale FUG haben Geschlecht 1; solche, die nur welche vom Geschlecht 1
enthalten, aber selbst nicht minimal sind, haben Geschlecht 2,\dots.\\
Rang $\mathfrak{G} =$ maximales Geschlecht der FUG. \"Uber die Darstellg der
gesamten gruppe als Linearverbdg von FUG'en.\\
g) \nl\\
\footnote{S.164 ist unten durchgestrichen.}
$\textbf{Seite 164}$\\
\\
Gewisse maximale Permutationsgruppen.\\
Ist eine transitive Gruppe $G$ gegeben, und eine beliebige, die Ziffer 1
festlassende Gruppe $\mathfrak{F}$, so sei $G * \mathfrak{F} =
G\,\mathfrak{F}^{*}$, wobei $\mathfrak{F}^{*}$ die Gr\"osste mit $G$ (in \nl)
vertauschbare Untergruppe von $\mathfrak{F}$ ist.\\
Diese Bildung enth\"alt die Erweiterungsgruppen 
$\mathfrak{G}(G|\nl)$.
\\
$\textbf{Seite 165}$\\
\\
Versch\"arfung eines Verlagerungssatzes von \nl:\qquad 31.7.55
\begin{enumerate}
\item Sei $\mathfrak{P}$ eine $p$-Sylowgruppe von $\mathfrak{G}$, $\mathfrak{p}
= \mathfrak{A} \times \mathfrak{b}$ mit $\mathfrak{A} < $Ztr $\mathfrak{G}$. Dann
ist $\mathfrak{G} = \mathfrak{A} \times G$\\
Bew: Verlagere $\mathfrak{G}$ nach $\mathfrak{p}/\mathfrak{b}$. Ist
$|\mathfrak{G}: \mathfrak{p}| = \grave{\nu}$ so ist f\"ur $A \in \mathfrak{A}$\\
Verlag $(A) = A^{i}$, also bilden die  $\cal{G}$ mit Verl $\cal{G}$$ = 1$ ein $G
\lhd \mathfrak{G}$ $(G,\, \mathfrak{A}) = 1$, $G\, \mathfrak{A} =
\mathfrak{G}$\\
Sonderfall: ? Satz v. \nl ($\mathfrak{A} = \mathfrak{p}$).
\item Versch\"arfung: Es gen\"ugt 
$\left\{
\begin{array}{lll}
\mathfrak{p} \textnormal{ Sylowgr.}\\
\mathfrak{p} = \mathfrak{A}\, \mathfrak{b} 
\end{array} \right.$ mit $\mathfrak{A}$ Ztr $G$, dann folgt wie oben
$\mathfrak{G} = \mathfrak{A}\, G$ mit $G \cap \mathfrak{p} = \mathfrak{b}$; $G
\underline{\lhd} \mathfrak{G}$.
\item Sonderfall: Besitzt $\mathfrak{G}$ keinen Normalteiler vom Index \nl, so
ist $\mathfrak{p} \cap $Ztr$ \mathfrak{G} \leq \Phi \mathfrak{p}$.
\end{enumerate}
$\textbf{Seite 166}$\\
\\
\section*{Permutationsgruppen von Primzahlgrad $p$,} \nl 1.8.55\\
$\mathfrak{G}$ sei abstrakte Gruppe, $\mathfrak{p}$ eine $p$-Sylowgruppe;
$|\mathfrak{G}| = g$; $p\, T\, g$.
\begin{enumerate}
\item Sind 
$\left\{
\begin{array}{lll}
\mathfrak{G} = \mathfrak{U} + \mathfrak{U}\,G_{1}\, \mathfrak{U}\\
\mathfrak{U},\,\mathfrak{w} < \mathfrak{G}
\end{array} \right.$, $|\mathfrak{U}| = |\mathfrak{w}| = \frac{g}{p}$, und ist
$\mathfrak{K} \subset \mathfrak{p}$ so bestimmt, dass $\mathfrak{U}\,
\mathfrak{K} = \mathfrak{U}\,\nl\, \mathfrak{w}$, so ist $1 \in \mathfrak{K}$\\
a) $\mathfrak{U}\, \mathfrak{K} = \mathfrak{K}\, \mathfrak{w}$ \qquad\qquad
$\circ \rho\quad 1\in \mathfrak{K}\quad \nl 1 \in \mathfrak{U}\,\mathfrak{w}$\\
b) $\mathfrak{K}\, \mathfrak{K}^{*} = \frac{k(p - k)}{p - 1} E + \frac{k(k -
1)}{p - 1} \cdot \mathfrak{p}$ mit $k = |\mathfrak{K}|$\\
c) $\underline{\mathfrak{K}}$ kein Nullteiler im Gruppenring von $\mathfrak{G}$;
Eigenwerte $k$, $K$ \nl $K\underline{K} = \frac{k(p - k)}{p - 1}$\\
Bew:
\begin{quote}
a) $\mathfrak{U}\, \mathfrak{K} \supseteq \mathfrak{K}\, \mathfrak{w}$ und
$|\mathfrak{U}\, \mathfrak{K}| = k\,|\mathfrak{U}| =
|\mathfrak{K}\,\mathfrak{w}|$\\
b) $\mathfrak{K}^{*}\, \mathfrak{U} = \mathfrak{w}\, \mathfrak{K}^{*}$\\
\nl\qquad $\mathfrak{U}\, \mathfrak{K}\, \mathfrak{K}^{*} = \mathfrak{K} \,
\mathfrak{w}\, \mathfrak{K}^{*} = \mathfrak{K}\, \mathfrak{K}^{*}\,
\mathfrak{U}$ zweiseitige NKlasse \\
$\mathfrak{K}\, \mathfrak{K}^{*} = k \cdot E + b\, \mathfrak{p}'$ mit \qquad $b
= \frac{k^{2} - k}{p - 1}$.\\
c) In der reg Darstellg von $\mathfrak{p}$ hat $\mathfrak{K}$ die EWerte $k,\,
K_{1},\dots$ \nl\\
$K_{\nu}\,\overline{K_{\nu}} = \frac{k\,(p - k)}{p - 1} = K\,\overline{K} \equiv k^{2}$
\end{quote}
\item Ist insbesondere $a = \frac{k\,(p - k)}{p - 1} =l^{2} = \nl$ , so ist 
\\$k = 
\left\{
\begin{array}{lll}
1\\
p - 1
\end{array} \right.$. Bew: $p\,(k - l^{2}) = k^{2} - l^{2}$,
$\begin{array}{ccc}
k \equiv \pm l\\
k = \pm l\\
\rightarrow k = l^{2} = 1
\end{array}$\\
dh $|K|$ rat.
\item Ist ausserdem $\mathfrak{K} = \mathfrak{K}^{*}$ so ist $k = 1$, wenn $\leq
\frac{p}{2}$ und $> 0$.\\
Bew: $K^{2} = \frac{k(p - k)}{p - 1} = \Pi q_{\rho}^{\beta_{\rho}}\qquad
q_{\rho}$ Primzahl.\\
(Hierzu gen\"ugt es, dass $K_{\nu} \nl k$ reell ist.) NB: \nl\\
Da alle $q_{\rho} \not= p$ und $p$ der einzige \nl in $\mathfrak{R}$\nl folgt
aus $q_{\rho}$ \nl $q_{\rho}$: 
$\left\{
\begin{array}{lll}
q_{\rho}^{2\,\alpha_{\rho}}\, T\,K^{2}\\
\nl
\end{array} \right.
\left\}
\begin{array}{lll}
\\
\\

\end{array} \right.\rightarrow \beta_{\rho} = 2\,\alpha_{\rho} \rightarrow
\frac{k(p - k)}{p - 1} = l^{2}$. \nl\\
\\
$\textbf{Seite 167}$\\
\\
\item $\mathfrak{U}\,\mathfrak{L} = \mathfrak{L}\, \mathfrak{w} \leftrightarrow \nl =
\left\{
\begin{array}{lll}
\mathfrak{K}\\
\mathfrak{p} - \mathfrak{K}
\end{array} \right.$ \quad Bew: $\mathfrak{K}\,\mathfrak{L}^{*}$,
$\mathfrak{K}\, \mathfrak{K}^{*}$, $\mathfrak{K}\, \mathfrak{p}^{*}$ \nl, klar
mit $\mathfrak{U} \rightarrow$ linab $\rightarrow \mathfrak{L}^{*},\,
\mathfrak{K}^{*},\, \mathfrak{p}^{*}$ lin ab \qquad (1c) $\rightarrow \mathfrak{L}\,
\mathfrak{K}\, \mathfrak{p}$ lin ab\\
(4.1) $\mathfrak{U}\, \mathfrak{K} = \mathfrak{K}\, \mathfrak{w}$ und
$\mathfrak{U}\, \mathfrak{K} = \mathfrak{K}\, \nl \rightarrow \mathfrak{w} =
\nl$. Bew: $\mathfrak{K}^{*}\, \mathfrak{K}\, \mathfrak{p} = r\, \mathfrak{w} +
\leq \mathfrak{G}$.
\item Ist $\vartheta = \mathfrak{N} \cap \mathfrak{U}$, $\mathfrak{N} =
\cal{N}$$s\, \mathfrak{p}$, so ist $\mathfrak{p}\, \vartheta = \mathfrak{N}$,
$\mathfrak{p} \cap \vartheta = 1$.
\begin{quote}
Bew: $N \in \mathfrak{N} \rightarrow$ 
\begin{quote}
$N = P\, U$, da $\mathfrak{p}\, \mathfrak{N} = \mathfrak{G}\\
U = P^{-1}\,N \in \cal{U}$\\
$\mathfrak{p} \cap \vartheta = 1$ wegen $p \nmid |\vartheta|$.

\end{quote}
\end{quote}
\item $\mathfrak{N} \cap \mathfrak{U}$ ist konjugiert zu $\mathfrak{N} \cap
\mathfrak{w}$ unter $\mathfrak{p}$ ist konjugiert zu $\mathfrak{N} \cap
\mathfrak{w}$ unter $\mathfrak{p}$.\\
denn beides sind Vertretergruppen  f\"ur $\mathfrak{N}\,/\, \mathfrak{p}$, also
konj. in $\mathfrak{N}$.
\item Ist 2 {\huge{$|$}} $|\mathfrak{N}|$ mit $\mathfrak{N} = \cal{N}$$s\,
\mathfrak{p}$, so ist $k = 
\left\{
\begin{array}{ll}
1\\
p - 1
\end{array} \right.$.\\
\nl\\
\begin{quote}
Bew: W\"ahle $P \in \mathfrak{p}$ so, dass $\mathfrak{N} \cap \mathfrak{U} =
\mathfrak{R} \cap \mathfrak{w}^{P}.$\\
$N^{2} = E$, $N \in \mathfrak{U} \cap \mathfrak{w}^{P}$.\\
$\mathfrak{U}\, \mathfrak{K} = \mathfrak{K}\, \mathfrak{w} = \mathfrak{K}\,P
\cdot \mathfrak{w}^{P} \cdot P^{-1}\qquad \mathfrak{U}\, \mathfrak{K}\, P =
\mathfrak{K}\, P\, \mathfrak{w}^{P}$
\end{quote}
Transformiere mit $N$: $\mathfrak{U}\,(\mathfrak{K}\,P)^{N} =
(\mathfrak{K}\,P)^{N} \cdot \mathfrak{w}^{P} \qquad \mathfrak{K}\,P =
\mathfrak{L}$; $\mathfrak{L}^{N} = \mathfrak{L}^{*}$\\
\nl \qquad $\mathfrak{U}\, \mathfrak{L} = \mathfrak{L}\, \mathfrak{w}^{P}$,
$\mathfrak{U}\, \mathfrak{L}^{*} = \mathfrak{L}^{*}\, \mathfrak{w}^{P}$\\
Fortsetzg X 33: \\
Versch\"arfung: Aus (4) folgt: $\mathfrak{L}^{*} = \mathfrak{L}$ oder
$\mathfrak{p} - h$. Letzteres f\"allt aus  wegen $|h^{*}|
\not= |p - h|$, also $h^{*} = h$. Nach (3) folgt $|\mathfrak{L}| = h^{\nl} =
|\mathfrak{K}|$.\\
(7') \nl
\item Ist in einer Permgruppe vom Grade $p$ $|\cal{N}$$s\, \mathfrak{p}|$
gerade, so besitzt $\mathfrak{G}$ nur $p$ Untergruppen vom Index $p$.\\
Beweis: klar, wenn $\mathfrak{G}\quad 1-$tra.\qquad $\mathfrak{G}\quad 2-$tra
nach (7).
\\
$\textbf{Seite 168}$\\
\\
\item Folge: $p - 1 = 2^{\alpha} \rightarrow \mathfrak{G}$ von Grade \nl hat nur
$p$ Untergr. vom Index $p$. (vgl S. 51).\\
\item Stets sind die von $\mathfrak{U}$, $\mathfrak{w}$ erzeugten
Permutationsdarstellungen von $\mathfrak{G}$ einander \"ahnlich.
\begin{quote}
Bew: F\"ur jeden Charakter $\chi =$ Sp $D(G)$ von $\mathfrak{G}$ ist wegen\\
$\mathfrak{N}\, \mathfrak{K} = \mathfrak{K}\, \mathfrak{w}\qquad
D(\underline{\mathfrak{U}})$ $D(\underline{\mathfrak{K}}) =
D(\underline{\mathfrak{K}})\, D(\underline{\mathfrak{w}})$\\
$\chi(\underline{\mathfrak{U}}) = \chi(\underline{\mathfrak{w}})$ Schluss folgt
nun so:
\end{quote}
\item Daher enthalten $\mathfrak{U}$, $\mathfrak{w}$ aus jeder einzelnen Klasse
von konjugierten Elementen in $\mathfrak{G}$ die gleiche Anzahl Elemente.\\
Bew 10: Daher sind die induzierte Char. von $\mathfrak{G}$ gleich
\item In jeder Primzahl der Form $p = \frac{Q^{n}-1}{Q - 1}$, $Q =
q^{\alpha}\quad q$ Primz., $n > \nl$ gibt es eine Gruppe des Grades $p$ mit
(mindestens) $2\,p$.\\
Untergruppen vom Index $p$. F\"ur diese Beispiele ist stets\\
$\frac{k(p - k)}{p -
1} = Q^{n - 1} = q^{\alpha\, n - \alpha}$\\
Also z.B.
$\begin{tabular}{cccccccccccccc}
q&=&2&3&4&5&7&8\\
\hline
p&=&7&13&?&31&?&73\\
&&31
\end{tabular}$\\
Bew: Die Gruppe $P\,L\,(n,\,Q)$ ist transitiv auf den $\frac{Q^{n}-1}{Q - 1} =
p$ Punkten des $n - 1 -\dim$ \nl  \"uber $G\,F(Q)$.\\
Die Untergruppen 
$\left( 
\begin{array}{cccc}
1 & \textnormal{\huge{$-$}}\\
0 & \textnormal{\huge{$-$}}\\
\vdots\\
0 & \textnormal{\huge{$-$}}
\end{array} \right)$ und 
$\left( 
\begin{array}{cccc}
1&0& \cdots&0\\
\textnormal{\huge{$|$}}&\textnormal{\huge{$|$}}&\textnormal{\huge{$|$}}&\textnormal{\huge{$|$}}
\end{array} \right)$\quad$\Xi$ \nl beliebig haben die Indizies $p$ und sind
nicht \"ahnlich, da die zweite \nl
\\
$\textbf{Seite 169}$\\
\\
(12') Frage: Ist bei \underline{allen} Gruppen mit mehr als $p$ Untergruppen des
Index $p$ stets $\frac{k(p - k)}{p - 1}$ eine Primzahlpotenz ? Folgt das
vielleicht arithmetisch aus $K\,\overline{K} = \frac{k(p - k)}{p - 1}$ ?
\item Hat der EW $K \not= k$ von $\mathfrak{K}$ einen ungeraden Grad $u$ \"uber
\nl, so ist $k = 1$ oder $p - 1$.\\
Bew a) $\sigma$ sei ein erzeugen der Automorphismus von \nl.\\
Dann ist $K^{1 + \sigma + \cdots + \sigma^{u - 1}} = c$ ganz rational\\
$K\,\overline{K} = \frac{k(p - k)}{p - 1} =d$ ganz rational\\
also $d^{U} = (K\,\overline{K})^{1 + \sigma + \cdots + \sigma^{u - 1}} = C\,
\overline{C} = C^{2}$\\
daher \qquad $d = l^{2}$ also nach (2) \quad $k = 
\left\{
\begin{array}{ll}
1\\
p - 1
\end{array} \right.$.\\
b) \underline{Anderer Beweis}: Jeder Normalk\"orper ungeraden Grades ist reell;
\nl. (3)
\item Jeder \nl ungerader Ord von $\mathfrak{G}$ permutiert die \nl\\
Frage: Wieviele Klassen konjugiert Untergr vom Index $p$ kann \nl ? 2$^{\alpha}$
? 2 ? Sind sie stets unter Automorphismen von $\mathfrak{G}$ konjugiert ? Ist
die L\"osung \nl im wesentl. eindeutig bestimmt ?\\
\\
$\textbf{Seite 170}$\\
\\
Automorphismen einer 2-tra Gruppe $\mathfrak{G}$ des Grades $p$.
\item Jeder Automorphismus $\sigma$ ungerader Ordnung $\mu$ von $\mathfrak{G}$,
welcher $\mathfrak{p}$ als Ganzes fest l\"asst, vertauscht die $p$ Gruppen
$\mathfrak{G}_{1}$,$\sim$, $\mathfrak{G}_{p}$ nur untereinander (wird also durch
ein \underline{Element von $\gamma_{p}$} erzeugt).\\
Bew:
Es ist 
\begin{quote}
$\mathfrak{G}_{1}\,\mathfrak{K} = \mathfrak{K}\,
\mathfrak{G}_{1}^{\sigma} \qquad$ oBdA $\mathfrak{K}^{\sigma} = \mathfrak{K}$
siehe (15)\\
$\mathfrak{G}_{1}^{\sigma} \, \mathfrak{K}^{\sigma} = \mathfrak{K}^{\sigma}\,
\mathfrak{G}_{1}^{\sigma^{2}}\quad \dots$\\
also $\mathfrak{K}^{1 + \sigma + \cdots + \sigma^{nl}} = c\,E + d\mathfrak{P}$
\end{quote}

$P^{\sigma} \in \mathfrak{P}$\qquad \qquad$K^{1 + \sigma + \cdots + \sigma^{n - 1}}$ ganz rat. Nun wie 13 a)

\item Jeder Automorphismus ungerader Ordnung, der $\mathfrak{P}$ elementarweise
fest l\"asst, ist 
\item Jeder Automorphismus ungerader Ordnung, der $\mathfrak{P}$ elementweis
fest l\"asst, ist ein innerer (erzeugt von einem $P^{i}$).\\
Bew: (14); man braucht nur den Sonderfall $\mathfrak{k}^{\sigma} =
\mathfrak{k}$.\\
\\
$\textbf{Seite 171}$\\
\\
Sch\"arfer: $\mathfrak{A}$ ist zyklisch, $|\mathfrak{A}|${\Large{$|$}}$p - 1$.
Dann:
\item Jeder Automorphismus $\sigma$ von $\mathfrak{G}$, der $\mathfrak{P}$
elementweis fest l\"asst, wird  von einem $P^{i} \in \mathfrak{P}$ erzeugt. Bew:
Man kann Ord $\sigma = \nl$\\
$\mathfrak{U}\, \mathfrak{K} = \mathfrak{K}\, \mathfrak{w}$, $\mathfrak{w} =
\mathfrak{U}^{\sigma}$. Sei $\sigma^{\nl} = 1$. Dann\\
$\mathfrak{U}^{\sigma}\, \mathfrak{K} = \mathfrak{K}\, \mathfrak{w}^{\sigma}$\\
$\mathfrak{w}\, \mathfrak{K} = \mathfrak{K}\, \mathfrak{U}$\\
$\mathfrak{U}\, \mathfrak{K}^{2} = \mathfrak{K}^{2}\,\mathfrak{U}$\\
$\mathfrak{K}^{2} = a + b\,\mathfrak{p}$\\
$K^{2} = a $ also $a > 0$ (sonst $K + \overline{K} = 0$, $\mathfrak{K} +
\mathfrak{K}^{-1} =  \frac{2k}{p}\, \mathfrak{p} \cap p|2k)$\\
\\
Anderer Bew: Sei $\mathfrak{K}^{r} = a + b\, \mathfrak{p}$, $r$ Primzahl.
Dann $K^{r} = a \not\equiv$ \nl $\rightarrow a = \pm l^{r}$ (\nl $\rightarrow
(\frac{K}{l})^{r} = 1 \nl \frac{K}{l} = 1$\\
$r = 2 \rightarrow \frac{K^{2}}{l^{2}} = \pm 1$ $K \not= k \rightarrow \nl$\\
(3) $\rightarrow$ Also f\"uhrt die Konj. zu $\mathfrak{G}_{1}$ ineinander
\"uber, so ist $|\mathfrak{K}| = k = 1$ durch $\gamma_{p}$ erzeugt, l\"asst $P$
fest: $\sigma = 1$.\\
\end{enumerate}
Frage: \nl Autom einer Permgr., die eine trans Ugr elementweis fest lassen ?\\
\underline{Frage}: Kann man mit dieser Methode $\mathfrak{U}\, \mathfrak{K} =
\mathfrak{K}\, \mathfrak{w}$ die Vermutung von Zassenhaus angreifen, nach der je
zwei Vertretergruppen von $\mathfrak{G}\,/\,\mathfrak{R}$ konjugiert sind, wenn
$(g_{0}\,\frac{g}{u}) = 1$ ?\\
\nl\\
\\
$\textbf{Seite 172}$\\
\\
Imprimitive Gruppen des Grades $p^{2}$.

\begin{enumerate}
\item Sei $\mathfrak{G}$ impr., Grad$ = p^{2}$, $p$ Primzahl; je zwei verschiedene
$p$-Sylowgruppen seien zueinander  fremd; $ p^{2} \intercal g $ . Dann besitzt $\mathfrak{G}$
\underline{nur eine} $p$-Sylowgruppen.\\
Bew: Seien $G, G'$ zwei verschiedene \nl transitiv. OBdA in $\mathfrak{G} =
\{G,\, G'\}$. Es gibt $\mathfrak{A} \lhd \mathfrak{G}$, $\mathfrak{A}$ $p$ \nl der
L\"ange $p$, die von $\mathfrak{P} < G$ und $\mathfrak{P}' < G'$ einzeln fest
gelassen werden. $\mathfrak{P} \cdot \mathfrak{P}'$ haben Ordnung $p$, da
$|\mathfrak{G}\,/\,\mathfrak{A}| = c.p$, und sind daher in $\mathfrak{A}$
\"ahnlich. Wegen Fremdheit der Sylowgruppen von $\mathfrak{G}$ ist also $G'$ zu
$G$ konjugiert \underline{unter $\mathfrak{A}$}. Also ist $G =G'$ nwd
$\mathfrak{A}$, und da $\{G,\,G'\} = \mathfrak{G}$, ist
$|\mathfrak{G}\,/\,\mathfrak{A}| = p$. $\mathfrak{A}$ ist $\simeq$ seinem ersten
transitiven Konstituenten, da sonst $p^{2}$ {\Large{$|$}}$|\mathfrak{A}|$,
$p^{3}\,|\, g$. Sei nun $Q \in G - \mathfrak{P}$. Dann ist $X \rightarrow
Q^{-1}\,X\,Q$ ein Autom  von $\mathfrak{A}$, der $ \mathfrak{P} $ elementweise fest l\"asst und daher nach S.171 von $P \in \mathfrak{P}$ erzeugt wird ; dh. $P^{-i}Q \in  Zs\, \mathfrak{A}$; daher $\{  P^{-l}Q\} \leq $ Zentrum $ \mathfrak{G} $.\\
Also $P^{-i}Q \in  G \cap G'$, $G = G'$\qquad Ist $\mathfrak{G} $ ein \nl\\
NB: Es ist nicht benutzt worden, dass etwa $G$ Typ $(p,\,p)$ hat: \\
Gleichwertig ist:\\
\item In einer Gruppe des Grades $ p^{2} $ mit $ p^{2} \intercal g $ sei je zwei \underline{verschiedene} $p$-Sylowgruppe fremd. Dann erzeugen je zwei solche $p$-Sylowgruppen eine \underline{primitive} Untergruppe von $\mathfrak{G}$ .
\end{enumerate}
$\textbf{Seite 173}$\\
\\
Gruppen vom Grade $p^{2}$.\\
$ \mathfrak{G} $ enthalte eine reg Gruppe $G$ vom Typ $(p,\,p)$. Alle Transitivit\"atssysteme vom $\mathfrak{G}_{1}$ (als primitive Komplexe) seien rational. Die L\"angen der Transsysteme seien 
$\left\{
\begin{array}{lllll}
E & \mathfrak{K} & \mathfrak{L} &  \mathfrak{W} & \\
1 & k(p - 1) & l(p - 1) & m(p - 1) & \dots
\end{array} \right.$, also $k + l + m + \cdots = p + 1$.\\
Die Darstellungen von dem (aus reduzierten) $G$ seien so geordnet, dass erst 1 kommt, dann die \nl Kern in $ \mathfrak{K} $, dann Kern in $\mathfrak{L} $, \dots . Dann sind die in $ \mathfrak{G} $ enthaltenen Charaktere:
\begin{flushright}
Eigenwerte II \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
\end{flushright}
\begin{tabular}{r|rrr||llll}
$I$&$E$&$K$ $\in \mathfrak{K}$ & $L$ $\in$ $\mathfrak{L}$ $\,\cdots$ &$E$& $\underline{\mathfrak{K}}$ &$\underline{\mathfrak{L}}$ & $\mathfrak{W}$\\
$\chi_{1}$ & 1 & 1 & 1$\, \cdots$ & 1 & $k(p - 1)$ & $l(p - 1)$ & $m(p - 1)$\\
$\chi_{2}$&1&$p - k$& $ -k $ &1&$p - k$&$-l$&$-m$\\
$\chi_{3}$ &1&$-l$&$p - l$& 1 & $-k$ & $p - l$& $p - m$\\
$\chi_{4}$ & 1 & $-m$ & $-m$ & 1 & $-k$ &$ -l $&$ m$
\end{tabular}\\
\\

Aus II sieht man, dass jeweils die Darstellungen, die ihre Kerne in $\mathfrak{K}\, \mathfrak{L} \sim$ etc haben, in \underline{eine} Darstellg von $\mathfrak{G}$ liegen: $\chi^{2},\, \chi^{3},\cdots$.\\
Die Darstellung liegen alle in $Ra$.\\
Gibt es in  $ \mathfrak{K} \not= \mathfrak{L}$ zwei Elemente $K$, $L$ mit
$|Zs\,K| = |Zs\,L| = p$ so sind alle Elemente von $ \mathfrak{K} $ zueinander
konjugiert. Denn $2p^{2} = \sl{\chi}{}\,|\chi\,(K - L)|^{2} = o + p^{2} + p^{2}
+ o \cdots + o + \sum\limits_{}^{n} |\chi\, (K - L)|^{2} \rightarrow \chi''(K - L) = 0$\\
Also $\chi\, (K - L) = o,\, p_{1},\, o\, \cdot,\, o,\, \cdots,\, o$ Also $K'$
un\"ahnlich $K$ $\rightarrow \nl \sl{}{}\, \overline{\chi}(K')_{\chi}(K - L) =
p\,(\lambda^{2}(K') - \chi^{3}(K')) = p(p - k + l)$ aber $p - k \not= -l$.\\
\nl $\mathfrak{K}$ ist dann $\cal{N}$$s$ $G$ regul\"ar falls $G$ zu allen Konj.
fremd.\\
\footnote{S.174 und S.175 existieren nicht.}
$\textbf{Seite 176}$\\
\\
Bemerkungen zu Jakobs, Maxx Ann \nl, 1955:
\begin{enumerate}
\item Ist $\mathfrak{G}$ eine isometrische Gruppe linearer Transf. einem
\underline{gl. konvexen} Banachraum $\mathfrak{b}$, so enth\"alt jede bei
$\mathfrak{G}$ invariante abgeschlossene kovexe Menge $\mathfrak{K}$ mindestens
eeinen Fixpunkt $F$, n\"amlich den zun\"achst bei 0 gelegenen Punkt von
$\mathfrak{K}$.
\item Ist auch $\mathfrak{b}^{*}$ (adhungiert zu $\mathfrak{b}$) \nl konvex, so
enth\"alt die $\mathfrak{G}$-invar. abgeschl. konvexe H\"ulle eine $f \in
\mathfrak{b}$ stets \underline{genau einen} Fixpunkt.  Denn zu \nl, $f_{1}$,
$f_{2}$ w\"ahle $u \in \mathfrak{b}^{*}$ mit $u\,(f_{1} \cdot f_{2}) \not= 0$.
Sei $v$ ein Fixpunkt von $\mathfrak{G}^{*}$ ind der konvexen inv. H\"ulle
$\overline{u}$ von $U$. \\Dann ist $(v,\, f_{1} \cdot f_{2}) =$ const auf
$\overline{u}$, daher $(u,\, f_{1} \cdot f_{2}) = (v,\, f_{1} \cdot f_{2})$.\\
Ebenso $(v,\, \mathfrak{G}) =$ const auf $\overline{f}$, also \qquad 
$\sim$\qquad\quad\qquad $= (v,\, f_{1} \cdot f_{2}) = 0$.
\item Ist $\mathfrak{K}$ abgeschlossen und \nl und konvex, so gibt es in
$\mathfrak{K}$ einen Pkt $K_{0}$, der fest bleibt bei jeder Abbildg \nl sich,
die die Schranke 1 hat und $\mathfrak{K}$ fest l\"asst: w\"ahle f\"ur $K$ den
zun\"achst bei $M$ gelegenen Pkt; $M =$ Mittelpkt der \nl von $\mathfrak{K}$
(existiert eindeutig, da $\mathfrak{b}$ glen konvex).
\item In einem glen konvexen Raum ist der \nl \\
\nl kovexer abgeschl Mengen nicht leer: Betrachte, wenn $\overline{O\,
\mathfrak{K}_{n}} = r_{n} \rightarrow r$, der Durchschnitt. $\mathfrak{K}_{n}
\cap$ Kugel von $O$ mit $r + \frac{1}{n}$.
\end{enumerate}
$\textbf{Seite 177}$\\
\\
Aus 3. folgt in Verallgemeinerung des Satzes von Riesz (vgl. Riesz-Nagy 1943):\\
Ist $\mathfrak{b}$ glen konvex und \nl eine lineare Abb mit der Schranke 1 von
$\mathfrak{b}$, so konvergiert f\"ur $n - m \rightarrow \infty$ \nl gegen jeden
in der konvex invarianten H\"ulle von $f$ gelegenen Fixpunkt $f_{0}$. (Dieser
ist also eindeutig bestimmt)\\
Bew: OBdA sei $f_{0} = 0$ const $f\,\nl\, f_{0}$ betrachten.\quad es gilt
$\sl{\nl}{k}\, \mu_{K} \, T^{X}f = e = P(T)\,f$\\
mit $\mu_{K} \geq 0$, $\sum\limits_{K}^{} = 1$, $|e| < \varepsilon$. $f = P(1)\,f =
P(1)\,f - P(T)\, f + e = (1 - T)\,Q(T)\, f + e$\\
$\sl{m}{\nl}\,\frac{T^{\nl}\,f}{n - n} = \frac{T^{n} - T^{m}}{n - m}\,Q(T)\,f +
\nl e'\,(< \varepsilon$\\
$< 2\, \varepsilon$\quad f\"ur \quad $n > m > \cal{N}$$\nl$.\\
Das ist ein "'\nl theorem"'. \\
\\
\\
Sind $G,\, \mathfrak{K}$ zwei Untergruppen von $\mathfrak{G}$, so
gibt es zwei bestimmte transitive Permutationsdarstellungen $G$ und
$\mathfrak{K}$, die in nat\"urlicher Weise miteinander gekoppelt sind: Man
permutiere die Linksnebenkl. nach $\mathfrak{K}$ in $G\, \mathfrak{K}$ druch
Linksmult. mit $H^{-1}$, die Rechtsnebenkl nach $G$ in $G\, \mathfrak{K}$ durch
Rechtsmult mit $K$\\
\\
Aufgabe: Wie gross ist die Ordnung einer Gruppe $\mathfrak{G}$ h\"ochstens, wenn
die Automorphismengruppe $\mathfrak{A}$ von $\mathfrak{G}$ gegeben ist ? Nach
BMNeumann ist $|\mathfrak{G}|$ beschrkt.
\\
$\textbf{Seite 178}$\\
\\
\section*{Kompositionsreihen und Sylowgruppen.}
Seien $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{A}_{1}$, $\mathfrak{A}_{2} \lhd\lhd
\mathfrak{p}$ eine $p \cdot$ Sylowgr von $\mathfrak{G}$.\\
\underline{Vermutlich} gilt:\\
\begin{enumerate}
\item $\mathfrak{p} \cap \mathfrak{A}$ ist Sylowgr von $\mathfrak{A}$,
\item $(\mathfrak{p} \cap \mathfrak{A}_{1}) \cup (\mathfrak{p} \cap
\mathfrak{A}_{2}) = \mathfrak{p} \cap (\mathfrak{A}_{1} \cup
\mathfrak{A}_{2})$\qquad, entspr. f\"ur \nl $U = $Erzeugnis
\item Ist $\mathfrak{p}_{i}$ $p$-Sylowgr von $\mathfrak{A}_{1}$, so enth\"alt
$\mathfrak{p}_{1} \cup \mathfrak{p}_{2}$ eine $p$-Sylowgruppe von
$\mathfrak{A}_{1} \cup \mathfrak{A}_{2}$.
\item Ist $\mathfrak{A}_{1}$ und $\mathfrak{A}_{2}$ vertauschbar, so auch
$(\mathfrak{p} \cap \mathfrak{A}_{1})$ mit $(\mathfrak{p} \cap
\mathfrak{A}_{2})$.\\
NB: Zy 4 siehe Handexpl $\{31\}$ S.2; ferner $\{5\}$ Satz  31.\\
(2) und (4) bedeuten eine Art Homomorperismus des Verbands der nachinvar. Ugr von
$\mathfrak{G}$ in denjenigen von $\mathfrak{p}$
\item Ist jeder Kompositionsfaktor von $\mathfrak{G}$ durch $p$ teilbar, so ist
der eben genannte  Homom. \nl, also Isom, (aber "'in"'). Die Umkehrg von
$\mathfrak{A} \rightarrow \mathfrak{p} \cap \mathfrak{A}$ lautet dann
$\mathfrak{A}  = \overline{(\mathfrak{p}  \cap \mathfrak{A})}$.\\
(5') Innen ist der Homom. \nl auf dem Teilverband (?) der $\mathfrak{A}
\lhd\lhd \mathfrak{G}$, die in jedem ihrer K\"opfe die Primzahl $p$ aufgehen
haben. Denn das sin die $\overline{\mathfrak{U}}$ mit $U \leq \mathfrak{p}$.\\
NB: Hier liegt eine neue Art der "'Abschiessung"' f\"ur die $U \leq
\mathfrak{p}$ nahe: setze $U^{*} = \mathfrak{p} \cap \overline{\mathfrak{U}}$,
wo $\overline{U}$ die kleinste $\lhd\lhd \mathfrak{G}$, $\geq U$.
\item $\mathfrak{U}$, $\mathfrak{w} \leq \mathfrak{p} \rightarrow (U \cup
\mathfrak{w})^{*} = U^{*} \cup \mathfrak{w}^{*}$
\begin{flushright}
\"Ahnlich f\"ur beliebiges $G\, \nl\, \mathfrak{G}$ statt \nl \qquad\qquad \qquad\qquad \qquad\qquad \qquad\qquad  
\end{flushright}
$\textbf{Seite 179}$\\
\\
\item Ist eine $p$-Sylowgr. von $\mathfrak{G}$ abelsch, so sind je zwei \nl
$p$-k\"opfige nachinv. Untergruppen von  $\mathfrak{G}$ vertauschbar. In einer
$A$-group sind daher je zwei nach invariante Ugr vertauschbar.
\item Sei $\mathfrak{G} = \mathfrak{G}_{1}\,\mathfrak{G}_{2}$, $\mathfrak{A}_{i}
\underline{\underline{<}} \mathfrak{G}_{i}$, $\mathfrak{b} = \mathfrak{A}_{1}
\cup \mathfrak{A}_{2}$\quad ($\cup = $Erzeug.) Dann ist\\
 $|\mathfrak{G} :
\mathfrak{b}|$ {\huge{$|$}} $|\mathfrak{G}_{1} : \mathfrak{A}_{1}| \cdot
|\mathfrak{G}_{2} : \mathfrak{A}_{2}|$\\
und \quad = \qquad\quad genau wenn $\mathfrak{b} = \mathfrak{A}_{1} \cdot
\mathfrak{A}_{2}\,\, \& \,\,\mathfrak{G}_{1}\,\mathfrak{G}_{2}$,
$\mathfrak{A}_{i}\,\,
\underline{\underline{<}}\,\, \mathfrak{G}_{1} \cap \mathfrak{G}_{2} =
\mathfrak{A}_{1} \cap \nl$\\
Beweis: $\mathfrak{b} = \sl{R}{} \mathfrak{A}_{1}\,  R \, \mathfrak{A}_{2}$;
$\mathfrak{b}| = \sl{R}{} \frac{(\mathfrak{A}_{1}) \cdot
(\mathfrak{A}_{2})}{(\mathfrak{A}_{1}^{G_{1}} \cap \mathfrak{A}_{2}^{G_{2}})}$
wenn $R = G_{1}\, G_{2} \\
= c_{R} \cdot \frac{(\mathfrak{A}_{1}) \cdot
(\mathfrak{A}_{2})}{(\vartheta)}$ wenn $\vartheta = \mathfrak{G}_{1} \cap
\mathfrak{G}_{2}$\\
$|\mathfrak{b}| = c \cdot  \frac{(\mathfrak{A}_{1}) \cdot
(\mathfrak{A}_{2})}{(\vartheta)}$ mit 
$c = \varepsilon \,c_{R}\,\,\underline{\underline{>}}\,\, 
\begin{array}{ccc}
c_{R} = (\mathfrak{G}_{1} \cap \mathfrak{G}_{2} :
\mathfrak{A}_{1}^{\mathfrak{G}_{1}} \cap \mathfrak{A}_{2}^{\mathfrak{G}_{2}})\\
c_{E} = (\mathfrak{G}_{1} \cap \mathfrak{G}_{2} :
\mathfrak{A}_{1} \cap \mathfrak{A}_{2})
\end{array} $\\
$|\mathfrak{G}_{1} : \mathfrak{A}_{1}| \cdot |\mathfrak{G}_{2} :
\mathfrak{A}_{2}| = \frac{(\mathfrak{G}_{1})\,
(\mathfrak{G}_{2})}{(\mathfrak{A}_{1})\, (\mathfrak{A}_{2})} = 
\frac{(\mathfrak{G}) \cdot (\mathfrak{\vartheta})}{(\mathfrak{A}_{1})\,
(\mathfrak{A}_{2})} = c\,\frac{(\mathfrak{G})}{(\mathfrak{b})} =
c\,|\mathfrak{G} : \mathfrak{b}|$.\\
$c = 1 \leftrightarrow c_{E} = 1$, $c_{R} = 0$ sonst $\leftrightarrow
\mathfrak{b} = \mathfrak{A}_{1}\, \mathfrak{A}_{2}$, $\vartheta =
\mathfrak{A}_{1} \cap \mathfrak{A}_{2}$\\
\\
NB: 8. enth\"alt noch nicht ganz $\{31\}$ Satz 4, aber doch im wesentlichen
Bessere Fassung:\\
\item $\mathfrak{G} = \mathfrak{G}_{1}\, \mathfrak{G}_{2}$, $\mathfrak{A}_{i}
\leq \mathfrak{G}_{i}$, $\mathfrak{b} = \mathfrak{A}_{1} \cup \mathfrak{A}_{2}
\rightarrow \nl = c$ ist ganz, und $c \geq (\mathfrak{G}_{1} \cap
\mathfrak{G}_{2} : \mathfrak{A}_{1} \cap \mathfrak{A}_{2})$\\
Genau dann ist $\mathfrak{b} = \mathfrak{A}_{1}\, \mathfrak{A}_{2}$, wenn $c = (\mathfrak{G}_{1} \cap
\mathfrak{G}_{2} : \mathfrak{A}_{1} \cap \mathfrak{A}_{2})$.\\
Beweis (3) (und damit auch (2)): Induktion nach  
$\left\{ 
\begin{array}{ll}
(\mathfrak{G})\\
(\mathfrak{G} : \mathfrak{A}_{1}) + (\mathfrak{A}_{2})
\end{array} \right.$\\
Nach Indvor. kann man annehmen $\mathfrak{A}_{1}^{\mathfrak{p}_{2}} =
\mathfrak{A}_{1}$, $\mathfrak{A}_{2} = \overline{\mathfrak{p}_{2}}$.\\
Dann ist $\mathfrak{A}_{1}\, \mathfrak{p}_{2} = \mathfrak{p}_{2}\,
\mathfrak{A}_{1} \rightarrow \mathfrak{A}_{1}\, \mathfrak{A}_{2} =
\mathfrak{A}_{2}\, \mathfrak{A}_{1} \rightarrow$ Rest mit
\item Sonderfall von (9): $\mathfrak{A}_{i} \leq \mathfrak{G}_{i}$,
$\mathfrak{G}_{1}$ vertb. $\mathfrak{G}_{2}$, $\mathfrak{A}_{i}$ enth
$p$-Sylo. Gr. von $\mathfrak{G}_{i} \rightarrow G_{1} \cup \mathfrak{A}_{2}$
enth $p$-Sylowgr von $\mathfrak{G}_{1}\, \mathfrak{G}_{2}$.
\begin{flushright}
Fortsetzg IX 5 \qquad  
\end{flushright}




\end{enumerate}
\end{document}





