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\parindent0em

\begin{document}
\noindent

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Titel 

\vspace*{4cm}

\begin{center}
  {\LARGE  Prof. Dr. Helmut Wielandt}
\end{center}
\vspace*{1ex}

\begin{center}
  {\Huge \sf Tageb\"ucher}
\end{center}
\vspace*{3cm}

\begin{center}
  {\LARGE  D11}
\end{center}
\vspace*{2cm}
\begin{center}
\Huge XI
\end{center}
\vspace*{2cm}
\begin{center}
21.1.59 - Feb. 62\\[6mm]
Algebra
\end{center}
\vspace*{1ex}

\thispagestyle{empty}

\newpage


%\input{d11_1.tex}
\begin{center}\underline{\textbf{Sylows"atze}}\end{center}
1.\quad Gilt $p^{\alpha}\mid g=\vert\mathfrak{G}\vert$, so existiert 
 eine Untergruppe $\mathfrak{H}\le\mathfrak{G}$ mit
 $\vert\mathfrak{H}\vert=p^{\alpha}$.\\
Beweis: Seien $\mathfrak{K}_{1},...,\mathfrak{K}_{N}$ die s"amtlichen
 Komplexe mit $\vert\mathfrak{K}_{\nu}\vert=p^{\alpha}$,
 $\mathfrak{K}_{\nu}\subseteq \mathfrak{G}$. Es ist $N=\binom{q}{p^{\alpha}}$,
daher gilt $p^{\beta}\mid N$, wenn $p^{\alpha+\beta}\mid g$. Also besitzt die
Gruppe der Permutationen $\binom{\mathfrak{K}_{\nu}}{\mathfrak{K}_{\nu}G}$ ein
Transgebiet einer L"ange $l$, die nicht durch $p^{\beta+1}$ teilbar
 ist; es sei etwa aus $\mathfrak{K}_{1},...,\mathfrak{K}_{l}$ zusammengesetzt.
Sei $\mathfrak{H}=\{H\mid\mathfrak{K}_{1}H=\mathfrak{K}_{1}\}$. Dann ist
\[[\mathfrak{G}:\mathfrak{H}]=l\mid\frac{g}{p^{\alpha}},\quad l\le
\frac{g}{p^{\alpha}}\quad(\textnormal{und}\quad[\mathfrak{G}:\mathfrak{H}]
\vert\mathfrak{H}\vert=g),\]
\[\vert\mathfrak{H}\vert=\vert K_{1}\mathfrak{H}\vert\le\vert
\mathfrak{K}_{1}\vert=p^{\alpha}.\]
Also $\vert\mathfrak{H}\vert=p^{\alpha}$.\\[5mm]
[h:] Verwandt, aber umst"andlicher, bei Miller-Blichfeld-Dickson p. 64.\\
Burnside, Speiser, Zassenhaus mit Klass. Gl.. [:h]\\[5mm]
2.\quad Cauchy's Beweis f"ur Existenz eines $P$ der Ordnung $p$
l"asst sich so verallgemeinern (Werke (1) IX, 358):
In $\mathfrak{G}=\sum\mathfrak{A}G\mathfrak{B}$ folgt, wenn $\mathfrak{B}$
eine $p$-Sylowgruppe von $\mathfrak{G}$, dass einer der Komplexe nur durch
$\vert\mathfrak{B}\vert$ teilbar [ist bezgl] $p$, also  
$[\mathfrak{A}:\mathfrak{A}
\cap G\mathfrak{B}G^{-1}]$ prim zu $p$, $\mathfrak{A}\cap
G\mathfrak{B}G^{-1}$ ist eine $p$-Sylowgruppe von $\mathfrak{A}$; Existenz
vererbt sich von $\mathfrak{G}$ auf $\mathfrak{A}$; nun nimm zu gegebenem
$\mathfrak{A}$ etwa $\mathfrak{G}=\mathfrak{S}^{\mathfrak{A}}$.\newline[5mm]
[h:] So in Miller-Blichfeld-Dickson p. 27, Carmichael p.59. [:h]\newline
[1. und 2. durchgestrichen]
\begin{flushright}
1/2
\end{flushright} 
3.\quad Andere Wendung von 2.: $\mathfrak{G}$ habe die $p$-Sylowgr[uppen]
$\mathfrak{P}_{1},...,\mathfrak{P}_{l};\mathfrak{H}\le\mathfrak{G}$.
[a) $l\equiv 1$ mod $p$ durch Transf[ormation] der $\mathfrak{P}_{j}$ mit 
$\mathfrak{P}$ [h:] unwichtig f"urs folg. [:h]]\\[5mm]
b) Stelle $\mathfrak{G}$ nach $\mathfrak{P}$ dar; mit Grad$\not\equiv 0$ mod
$p$, also hat auch $\mathfrak{H}$ dabei ein Transgebiet $T$ der L"ange 
$l\not\equiv 0$ mod $p$. Ist $\tau\in T$, so hat $\mathfrak{H}_{\tau}$ in 
$\mathfrak{H}$ den Index $l\not\equiv 0$ mod $p$ und Ordnung $p^{\nu}$
wegen $\mathfrak{H}_{\tau}<\mathfrak{P}^{G}$. \\\underline{Also hat 
$\mathfrak{H}$ eine $p$-Sylowgruppe $\mathfrak{H}_{p}$, und
$\mathfrak{H}_{p}<\mathfrak{P}^{G}$}.\\
c) Durch Einbettung eines gegebenen $\mathfrak{H}$ in ein $\mathfrak{G}$ mit
Sylowgr[uppen] (z.B. Symmetrie) folgt Existenz der Sylowgr[uppen] von
$\mathfrak{H}$, dann, auch aus b), die Konjugiertheit.\\[5mm]
4.\quad Sylow (Math. Ann. 5) st"utzt sich auf Cauchy, 
transformiert eine maximale $p$-Untergr[uppe] $\mathfrak{P}$ von $\mathfrak{G}$
und zeigt, dass 
\[\left.\begin{array}{l}a)\quad\mathcal{N}\mathfrak{P}:\mathfrak{P}\\
b)\,\quad\mathfrak{G}:\mathcal{N}\mathfrak{P}\end{array}\right\}
\textnormal{prim zu p ist.}\]
[h:] Artin-Nesbitt-Thrall p. 94: A nice proof
(f"ur Existenz von Sy[low]gr[uppen]) can be found in L. C. Mathewson,
Elementary theory of finite groups (New York, 1930), p. 82. Magnus fragen! 
[:h]
\begin{flushright}2/3\end{flushright}

5.\quad\underline{Nilpotente $a$-Hallgruppen}:\hfill 21.1.59\\
Sei $\mathfrak{H}\le\mathfrak{G}$, $\mathfrak{G}$ besitze eine nilpotente 
$a$-Hallgruppe $\mathfrak{G}_{a}$. Dann besitzt $\mathfrak{H}$ eine nilpotente
$a$-Hallgruppe $\mathfrak{H}_{a}$ [h:] falsch f"ur $L_{2}(q)$, ungenau: 6.
[:h]\\[5mm]
Bew[eis]: a) Sei $\mathfrak{M}$ eine maximale $a$-Untergr[uppe] von
$\mathfrak{H}$, $\mathfrak{M}_{p}\neq 1_{\mathfrak{G}}$ 
eine $p$-Sy[low]gr[uppe]
von $\mathfrak{M}$. Ann[ahme]: F"ur ein $p$ ist $\mathfrak{M}_{p}$
\underline{keine} $p$-Sy{low}gr{uppe} von $\mathfrak{G}$. Dann ist
$\mathfrak{M}_{p}\lhd\mathfrak{H}^{*}$, wo $\vert\mathfrak{M}_{p}\vert<
\vert\mathfrak{H}^{*}\vert=p^{\nu}$. Ist $\mathfrak{H}^{\prime}=\mathcal{N}
\mathfrak{M}_{p}\cap\mathfrak{H}<\mathfrak{H}$, so Induktion nach 
$\vert\mathfrak{H}\vert$: $\mathfrak{M}$ ist max[imale] $a$-Gr[uppe] in 
$\mathfrak{H}^{\prime}$, also ist $\mathfrak{M}_{p}$ $p$-Sy[low]gr[uppe]
 $\mathfrak{H}^{\prime}$, Wid[erspruch].\\
Also $\mathfrak{H}^{\prime}=\mathfrak{H}$,
$\mathfrak{M}_{p}\lhd\mathfrak{H}$. Setze
$\bar{\mathfrak{G}}=\mathcal{N}\mathfrak{M}_{p}$. W"ahle eine 
nilpot[ente] $a$-Hallgr[uppe] $\mathfrak{A}$ in $\mathfrak{G}$ mit einem
$\bar{\mathfrak{G}}_{p}\le\mathfrak{A}$. Dann ist
$\bar{\mathfrak{G}}\cap\mathfrak{A}$ eine $a$-Hallgr[uppe] von
$\bar{\mathfrak{G}}$, denn es enth"alt eine $p$-Sy[low]gr[uppe] von
$\bar{\mathfrak{G}}$ und sogar $q$-Sy[low]gruppen von $\mathfrak{G}$ f"ur
die $p\neq q\mid a$. Ist nun $\bar{\mathfrak{G}}<\mathfrak{G}$, so Induktion:
$\mathfrak{H}\le\bar{\mathfrak{G}}<\mathfrak{G}$.\\
Also sei $\mathfrak{G}=\bar{\mathfrak{G}}$,
d.h. $\mathfrak{M}_{p}\lhd\mathfrak{G}$. Nun enth"alt
$\mathfrak{G}/\mathfrak{M}_{p}$ eine nilpot[ente] $a$-Hallgr[uppe], also nach
Indukt[ion] bezgl $\vert\mathfrak{G}\vert$ auch
$\mathfrak{H}/\mathfrak{M}_{p}$: $\mathfrak{H}$ enth"alt also eine
$a$-Hallgr[uppe]; nach meinem Satz ist sie nilpotent.
\begin{flushright}3/4\end{flushright}

6.\quad Der Beweis von 5. zeigt nur: Hat $\mathfrak{G}$ eine nilpot[ente] 
$a$-Hallgruppe und ist $\mathfrak{M}\le\mathfrak{H}\le\mathfrak{G}$,
$\mathfrak{M}$ eine maximale $a$-Gruppe in $\mathfrak{H}$, so ist jede
Sylowgr[uppe]$>1$ von $\mathfrak{M}$ eine Sylowgr[uppe] von
$\mathfrak{H}$. Es fehlt also der Nachweis, dass $\vert\mathfrak{M}\vert$ 
durch jeden Primfaktor von $(\vert\mathfrak{H}\vert,a)$ teilbar ist.\\[5mm]
Frage: Folgt aus dem Sylowsatz f"ur $\mathfrak{G}$:
$\omega\mathfrak{G}$ und
$\mathfrak{G}_{\omega}\le\mathfrak{G}^{*}\le\mathfrak{G}$ auch
$\omega\mathfrak{G}^{*}$?\\[5mm]
Frage: Sylows"atze und Faktorisierungen (insbesondere subnormale)?
\begin{flushright}4/5\end{flushright}


1.\quad\underline{Eine Anwendung d[er] Permutationsgruppen}:\\[5mm]    
Seien $A,A^{g}$ zwei Untergr[uppen] (od[er] Komplexe, geord[nete] Teilmengen,
Elemente) von $G$; es m"ogen $\mathcal{N}A$ und $\mathcal{N}A^{g}$
eine gemeinsame $p$-Sylowgruppe $P$ besitzen. Dann ist $A^{g}=A^{h}$ mit
$h\in\mathcal{N}P$ (umfasst Burnside['s] Buch p. 155).\\[5mm]
Bew[eis]: $\Omega=\{\quad A^{h}\}$: Es gibt P[ermutations-] Gr. $\mathfrak{G}$ 
auf $\Omega$, in der $P$ eine Sylowgr[uppe] von 
$\mathfrak{G}_{1}=\mathfrak{G}_{2}$ ist; dabei $1=A$, $2=A^{G}$\\[5mm]
2.\quad Bei Perm[utations]gr[uppen] vom Grad $p$ sollte 
man in $\mathfrak{G}_{1}$
die Elemente des Normalisators von $\{P\}$ in $\mathfrak{S}_{1}^{(n)}$, als
\glqq Ziffern\grqq\ benutzen, auch wenn sie $\notin\mathfrak{G}$ sind.
Damit Trans.-Gebiete von $\mathfrak{G}_{12}$ studieren.
\begin{flushright}5/6\end{flushright}

\begin{center}\underline{Aufgaben}\end{center}
1.\quad $A$-Intravarianz betrachten: $A$ soll die inn[eren] Automorphismen
von $G$ enthalten.\\[5mm]
2.\quad Gruppen $G$ mit nur abelschen Hauptfaktoren betrachten (insbes[ondere]
Torsionsgr[uppen]), sind sie stets aufl"osbar, und gelten in
Torsionsgr[uppen] die Sylows"atze?\\[5mm]
3.\quad Allgemeine Hallgruppen, definiert als $H\le G$, so dass je zwei
endliche Indizes aus $H$ und $G:H$ teilerfremd sind. Ist jede Sylowgruppe eine
Hallgruppe, z.B. unter Vor[aussetzung] von 2.?
\begin{flushright}6/7\end{flushright}

\begin{center}\underline{Wohlgeordnete invariante
    Erzeugenden-Systeme}\end{center}
1.\quad Sei $\{A_{\mu}\}$ [$\mu\in M$, $M$ wohlgeordnet] ein Erzeugendensystem
der Gruppe $\mathfrak{G}$, das invariant (bez. den inneren Automorphismen von
$\mathfrak{G}$) ist. Dann l"asst sich jedes $G\in\mathfrak{G}$ der 
Form $G=A_{\alpha_{1}}^{k_{1}}\cdot\cdot\cdot A_{\alpha{\mu}}^{k_{1}}$  
($\mu$ fest) darstellen in der Form
\[G=A_{\mu_{1}}^{k_{1}}\cdot\cdot\cdot
A_{\mu_{n}}^{k_{1}}\quad\textnormal{mit}\quad\mu_{1}\le...\le\mu_{n}\]
[h:] Gilt dies auch f"ur geordnete Erzeugendensysteme? [:h]\\[5mm]
Bew[eis]: Unter allen Darstellungen von $G$ durch $n$ Faktoren
$A_{\alpha}^{k_{1}}$ w"ahle eine, in der ein m"oglichst kleines
$\alpha=\mu_{1}$ vorkommt. Schiebe die $A_{\mu_{1}}^{k_{1}}$ nach links durch:
$G=A_{\mu_{1}}\cdot H$; $H$ enth"alt noch $n-1$ Faktoren. Induktion versuchen:
$H=A_{\mu_{2}}\cdot\cdot\cdot A_{\mu_{n}}$ $\rightarrow$
$\mu_{1}<...<\mu_{n}$\\[5mm]
2.\quad Folge: Eine \underline{endliche} invar[iante] Menge $A_{1},...,A_{k}$
erzeugt eine Gruppe der Ord[nung]
$\le\vert A_{1}\vert\cdot\cdot\cdot\vert A_{k}\vert$; das Zeichen = kommt bei
paarw[eise] abh["angigen] $A_{\kappa}$ vor, wenn man nicht 
verlangt, dass die $A_{\kappa}$
ganz $\mathfrak{G}$ erzeugen. Wann gilt allgemein $=$ ? 2. versch"arft Satz
von Dietzmann, wie in Kurosh \textbf{1} 76 angegeben 
[h:] Wie stehts in der 2. Aufl[age]? [:h]
\begin{flushright}7/8\end{flushright}

\begin{center}\underline{Zassenhaus' Konjugiertheitsproblem}\end{center}
sollte mit der $\mathfrak{UW}$-Methode anzugreifen sein: $\mathfrak{UW}=\mathfrak{UK}=\mathfrak{KV}$\\
$\mf{K}\subseteq\mf{N}$
\begin{flushright}8/9\end{flushright}

    \begin{center}\underline{Hauptfaktoren unendl[icher] Gr[uppen]}\end{center}
1.\quad Zu jedem $g\in G$, $g\neq 1$, gibt es 
einf"ussiges hom[omorphes] Bild von
  $G$, in dessen Fuss das Bild ($\neq 1$) von $g$ f"allt.\\[5mm] 
2.\quad Def[inition] von $F$-aufl"osbar (-"uberaufl["osbar],-nilpotent):
$G$ soll nur ein\-f"ussige Bilder mit abelschem (zyklischem, zentralem) Fuss
  besitzen.\\[5mm]
2a.\quad Jeder Hauptfaktor von $G$ ist $\stackrel{G}{\cong}$ 
dem Fuss eines einf"uss[igen] Bildes.\\[5mm]
3.\quad Aufgabe: Wie steht dieser Begriff zu gel"aufigen?\\[5mm]
4.\quad Ist $G$ $F$-nilp[otent] $\rightarrow$ zu jedem $g\neq 1$ einen
  Homo[morphismus] $\varphi$ von $G$, so dass $1\neq g\varphi\in
  CG\varphi$. Das wieder hat zur Folge, dass je zwei Elemente mit
  teilerfremden Ordnungen vertauschbar sind ($g=a\circ b$ w"ahlen).
\begin{flushright}9/10\end{flushright}  

\begin{center}\underline{Fastringe $\mathfrak{S}$} (mit $a(b+c)=ac+bc$)\hfill  [h:] 20.2.59 [:h]\end{center}
1.\quad Sind $\mathfrak{a,b,c}$ Rechtsideale, so bewirken die
  Rechtsmult[iplikatonen] mit El\-[ementen] aus $\mathfrak{S}$ Endomorphismen der
  abelschen Gruppe 
\[\underbrace{[(\mathfrak{a}+\mathfrak{b})\cap\mathfrak{c}]
-[(\mathfrak{a}\cap\mathfrak{c})+(\mathfrak{b}\cap\mathfrak{c})].}
_{\textnormal{Kurz: [h:] Dies ist ein [:h]\glqq distributiver\grqq}\,\,
\mathfrak{S}-\textnormal{Modul [h:]ebenso in}\,\,[(\mathfrak{a}
+\mathfrak{c})\cap(\mathfrak{a}+\mathfrak{c})]-[(\mathfrak{a}\cap\mathfrak{b})
+\mathfrak{c}]\textnormal{[:h]}}\]
Bew[eis]: Gruppe klar. abelsch: Sei $a+b=c\in\mathfrak{c}$,
  $c^{\prime}\in\mathfrak{c}$. Dann 
\begin{eqnarray*}c+c^{\prime}&=& a+b+c^{\prime}\\&\equiv &
  a+c^{\prime}+b\quad\textnormal{mod}\,\mathfrak{a}\cap\mathfrak{c}\\
&\equiv &
c^{\prime}+a+b\quad\textnormal{mod}\,\mathfrak{a}\cap\mathfrak{c},
\end{eqnarray*} 
also
\[c+c^{\prime}\equiv
c^{\prime}+c\quad\textnormal{mod}\,(\mathfrak{a}\cap\mathfrak{c})
+(\mathfrak{b}\cap\mathfrak{c}).\]
Distributivit"at:
\[\begin{array}{rll}(c+c^{\prime})s= & (a+b+c^{\prime})s\\
  \equiv & (a+b)s-bs+(b+c^{\prime})s &  \bmod{\mathfrak{a}\cap
\mathfrak{c}}\\ \equiv & (a+b)s+c^{\prime}s  & \bmod{\mathfrak{b}\cap
\mathfrak{c}}.\end{array}\]
2.\quad Ist kein Modul $\mathfrak{a}-\mathfrak{b}\neq 0$
($\mathfrak{b}\subseteq\mathfrak{a}$ Rechtsideale) distributiv, so ist 
der Verband der Rechtsideale distributiv.
\begin{flushright}10/11\end{flushright}
        
3.\quad Def[inition]: $e\in\mathfrak{S}$ besitzt eine Einbett[ung], wenn
$[e)=\mathfrak{S}$ und $[ae)=[a)$ f"ur alle $a\in\mathfrak{S}$ 
[wenn $1\in\mathfrak{S}$, gen"ugt $[e)=\mathfrak{S}$].
Daher bedeutet $[a)$ das von $a$ erzeugte Rechtsideal. $\mathfrak{E}$ bedeute
die Menge der Einh[eiten] von $\mathfrak{S}$.\\[5mm]
4.\quad Sei wenigstens eine Einheit in $\mathfrak{S}$ vorhanden:
$\mathfrak{S}\neq\emptyset$, z.B. $1\in\mathfrak{S}$.
Dann besitzt $\mathfrak{S}$ maximale Rechtsideale, und ihr Durchschnitt
$\mathfrak{d}$ ist, wenn $e\in\mathfrak{E}$, das umfassendste Rechtsideal in
$\mathfrak{S}$ mit $e+\mathfrak{d}\subseteq\mathfrak{E}$. es ist 
\[\mathfrak{E}+\mathfrak{d}=\mathfrak{F}.\]
[h:] Frage: Ist $\mathfrak{d}$ zweiseit[iges] Ideal? [:h]\\[5mm]
Bew[eis]: a) $d\in\mathfrak{d}$ $\rightarrow$ $e+d$ Einheit. Sonst $\exists$
$a$ mit
\[\mathfrak{a}^{\prime}=[ae+ad)\subset[a).\]
Die $s\in\mathfrak{S}$ mit $as\in\mathfrak{a}^{\prime}$ bilden Ideal
$\mathfrak{v}$; und wegen $e\notin\mathfrak{v}$ ist
$\mathfrak{v}\le\mathfrak{m}=$ max[imales] Id[eal].\\
$e+d\in\mathfrak{m}$, $d\in\mathfrak{m}$ $\rightarrow$ $e\in\mathfrak{m}$,
$[e)=\mathfrak{S}$. Ferner ist $[e+d)=\mathfrak{S}$, sonst $\le\mathfrak{m}$,
$d,e\in\mathfrak{m}$. Also ist $e+d$ eine Einheit:
$\mathfrak{F}+\mathfrak{d}\le\mathfrak{E}$ $\rightarrow$
$\mathfrak{F}\cdot\mathfrak{d}\le\mathfrak{F},=\mathfrak{E}$.
\begin{flushright}11/12\end{flushright}
b) Nun sei $\mathfrak{v}$ ein Rechtsideal mit $e+\mathfrak{d}\le\mathfrak{F}$
($e\in\mathfrak{F}$ fest). Dann ist $\mathfrak{v}\le\mathfrak{m}$ f"ur jedes
maximale RId $\mathfrak{m}$: Sonst
$\mathfrak{v}+\mathfrak{m}=\mathfrak{S}$, $e=r+m$, $e-r\in\mathfrak{m}\cap
(e+\mathfrak{d})\le\mathfrak{m}\cap\mathfrak{E}$. W! [h:] Also z.B. 
$\mathfrak{d}=$ gr"osstes RId mit $\mathfrak{d}\subseteq 1-\mathfrak{E}$. 
[:h]\\[5mm]
5.\quad Es ist $-t+\mathfrak{E}+t=\mathfrak{E}$ und $\mathfrak{E}^{2}\subseteq
\mathfrak{E}$.\\[5mm]
Bew[eis]: 
\[[-t+e+t)=  [e),\] \[[\mathfrak{a}(-t+e+t))= [-at+ae+at)=[ae)=[a),\] 
\[[ee^{\prime})= [e)=\mathfrak{S},\] \[[aee^{\prime})=   
[ae)=[a)\]
6.\quad Ist $1\in\mathfrak{S}$, so enth"alt $\mathfrak{d}$ kein Idempotent
$i\neq 0$. Denn sonst w"are $1-i$ Einheit, $i(1-i)=0$, $i=0$.\\[5mm]
7.\quad Reduzibel sollte man eine Darstellung nur nennen, wenn sie in kleinere
aufgespalten werden kann; als irred[uzibel] sind demnach die Darstellungen zu
betrachten, die auf den Hauptfaktoren des Fastrings entstehen, nicht (nur) 
die auf z.B. minimalen Rechtsmoduln [h:] \glqq = einfach bei Bourbaki. 
[:h]
\begin{flushright}12/13\end{flushright}
Eine Darstellung des Fastrings
$\mathfrak{S}$ auf einen Darstellungsmodul $\mathfrak{G}$ ist irreduzibel,
wenn $\mathfrak{G}$ keinen eigentlichen \underline{Normalteiler} enth"alt,
der \underline{samt seiner Faktorgruppe} bei $\mathfrak{S}$ zul"assig ist.
Aber es soll keinen eigentlichen \\
O\-per\-a\-tor\-ho\-m[o\-mor\-phis\-mus] 
von $\mathfrak{G}$ auf
einen anderen Darst[ellungs]modul geben: Jeder Op[erator]homo[morphismus] von
$\mathfrak{G}$ ist ein Iso[morphismus]; Kern$=0$. [h:] Diese Irreduz. eines Darst. Moduls
eines Darst.-Moduls  $\mathfrak{G}$
bedeutet: Jeder Operatorhomo[morphismus] von $\mathfrak{G}$ hat den Kern $0$
oder $\mathfrak{G}$. [:h]\\[5mm]
8.\quad Erf"ullt ein primitiver FRing $\mathfrak{S}$ die
Minimalbedingung f"ur Rechtsideale, so besteht er aus \underline{allen} 
Abbildungen einer Gruppe $\mathfrak{G}$ in sich, die mit einer reg[ul"aren]
Autom[orphismen]gr[uppe] $A$ vtb [vertauschbar] sind, 
wobei $\mathfrak{G}$ unter $A$
in \underline{endlich viele} Klassen zerf"allt.\\[5mm]
Bew[eis]: Die $a\in\mathfrak{S}$ mit $ga=0$ bilden ein RIdeal von
$\mathfrak{S}$, also gibt es \underline{endl[ich]} viele $g_\nu$, so da"s
$g_\nu a=0$, $(\nu=1\ldots n)$ $\leftrightarrow$ $a=0$, 
deren Klassen unter $A$ m"ussen wegen 
$(n+1)$-Tra \underline{alle} Klassen sein.\\ \
 [h:] Wie sind die einfachen FRi[nge] $\mathfrak{S}$ mit Min[imal]bed[ingung]
f["ur] RIdeale? Die $\delta\in\mathfrak{S}$ mit $\mathfrak{S}\delta\in
\cap_{\textnormal{max}}\mathfrak{m}$ bilden zweiseit[iges] Ideal,...
[:h]
\begin{flushright}13/14\end{flushright}


zum \underline{Satz von Gasch"utz}:\\
Gen"ugt statt der Kommutativit"at des Normalteilers eine Voraussetzung "uber
die Klasse (etwa $<p$)?
\begin{flushright}14/15\end{flushright}


\begin{center}\underline{Fastringe: Radikal}\end{center}
1.\quad Nenne $a\in\mathfrak{S}$ ein Nilelement (kurz: $a$ nil), wenn
$a\sim a-a^{2}$; dabei hei"st $a\sim b$: $a$ und $b$ erzeugen das gleiche
Rechtsideal: [a)=[b).\\[5mm]
2.\quad Def[inition]: Radikal ist das umfassendste  zweiseit[ige] 
Ideal, das nur
Nilelemente enth"alt. Existenzbeweis: $6^{\prime}$\\[5mm]
3.\quad $ab$ ist nil $\leftrightarrow$ $ba$ nil.\\[5mm]
Bew[eis]: $ab$ nil, $c=ba$ $\rightarrow$ mod $[c-c^{2})$ ist
\begin{eqnarray}c^{2}&\equiv & c,\nonumber\\baba&\equiv & ba,\nonumber\\
babab&\equiv & bab,\nonumber\\b(ab-abab)&\equiv & 0,\nonumber\end{eqnarray}
also wegen $ab\sim (ab)^{2}\sim ab$:
\begin{eqnarray}bab&\equiv& 0,\nonumber\\c&\equiv& c^{2}=baba\equiv 0\nonumber.
\end{eqnarray}
[h:] Mit Schlussweise: [:h]\newline                  
3a.\quad Ist $\begin{array}[t]{l}a\,\,\textnormal{nil},\\\textnormal{[h:]}\,\,
s\,\,\textnormal{beliebig},\,\textnormal{[:h]}\end{array}
\mathfrak{v}$ ein Rechtsideal, so
folgt aus $sa\equiv sa^{2}$ $(\mathfrak{v})$ stets $sa\equiv 0$.\\[5mm]
4.\quad Ein Ideal hei"st Nilideal, wenn es nur Nilelemente enth"alt.
\begin{flushright}15/16\end{flushright}

5.\quad $\mathfrak{a}$ Rechtsnilideal, 
$\mathfrak{a}+[b)=\mathfrak{a}+[b-b^{2})$ $\rightarrow$ $b$ nil.\\[5mm]
Beweis: $b=a+c$; $c\in[b-b^{2})$, $a\in\mathfrak{a}$.
mod $[b-b^{2})$ ist:
\begin{eqnarray*}b&\equiv & b^{2},\\b^{2}&\equiv&b^{3},\\
b(b-b^{2})&\equiv&0,\end{eqnarray*}
also wegen $c\in[b-b^{2})$
\[bc\equiv 0.\qquad\qquad\qquad (I)\]
Ferner ist
\[b=a+c\equiv a,\]
also 
\begin{eqnarray*}b^{2} \underset{I}{\equiv}
 b^{2}-bc=b(b-c)=ba\equiv a^{2},\\
0\equiv b-b^{2}\equiv a-a^{2},\end{eqnarray*}
also wegen $a-a^{2}\sim a$: $a\equiv 0$, also $c\equiv 0$ $[c^{2}-c)$.\\[5mm]
6.\quad $\left.\begin{array}{l}a\in\mathfrak{a}=\,\textnormal{zweiseit[iges] 
Nilideal}\\b\,\textnormal{nil}\end{array}\right\}$ 
$a+b$ nil.\\[5mm]
Bew[eis]: $c=a+b$ $\rightarrow$ $c\equiv b\bmod{\mathfrak{a}}$ $\rightarrow$
$c-c^{2}\equiv b-b^{2}$ 
\[\rightarrow\mathfrak{a}+[c-c^{2})=\mathfrak{a}+[b-b^{2})=\mathfrak{a}+[b)=
\mathfrak{a}+[c).\]
Nun 5..\\[5mm]
$6^{\prime}$.\quad Die Summe zweier od[er] aller zweiseitigen Nilideale ist
eins[eitig]. [h:] entspr[echend] Rechtsideale: (10). [:h]
\begin{flushright}16/17\end{flushright}


7.\quad Die Nilelemente von $\mathfrak{S}$ sind diejenigen, die in jeder
Darstellung von $\mathfrak{S}$ fixpunktfrei sind (bis auf den trivialen
FP [Fixpunkt] $0$ nat"urlich).\\[5mm]
Bew[eis]: $a$ nil $\leftrightarrow$ $a\in [a-a^{2})$\\
I. Sei nun $\gamma a=\gamma$ ($\gamma\in\mathfrak{Y}=$ 
Darst[ellungs]gr[uppe]), $a$ nil,
dann $\gamma(a-a^{2})=0$, $a-a^{2}\in\mathfrak{a}_{\gamma}$, 
$a\in\mathfrak{a}_{\gamma}$, $\gamma=\gamma a=0$\\
II. Sei $a$ nicht nil, dann hat $a$ auf $[a)-[a-a^{2})$ den Fixpunkt $a$.\\[5mm]
8.\quad Hat $a\in\mathfrak{S}$ auf einer Darstellung von $\mathfrak{S}$ einen
Fixpunkt, so auch auf einer passenden irreduziblen (d.h. in der
Darst[ellungs]gr[uppe] gibts keinen ad\-d[i\-tiven] Normalteiler mit zul"assiger
Faktorgruppe). Darstellung die vom Fixpunkt er\-z[eu\-gt] 
wird: $\mathfrak{G}$ [unleserlich]\\[5mm]
Bew[eis]: [durchgestrichen: W"ahle unter allen Rechtsidealen, die $a-a^{2}$, 
aber nicht $a$
enthalten, nach Zorn ein maximales, etwa $\mathfrak{m}$. Dann ist
$(\mathfrak{m}+[a))/\mathfrak{m}$ idealfrei, d.h. irreduzibel, und $a$ hat
den FP [Fixpunkt] $a+\mathfrak{m}$.]\newline
[h:] W"ahle eine vom Fixpunkt $\gamma^{*}$ erzeugte Darst[ellungs]gruppe 
$\mathfrak{G}^{*}$ 
und \underline{darin} einen maximalen $\gamma$ nicht enthaltenden
Normalteiler $\mathfrak{n}$ mit zul"assiger Faktorgruppe. Setze $\mathfrak{G}=
\mathfrak{G}^{*}/\mathfrak{n}$. [:h]
\begin{flushright}17/18\end{flushright}

9.\quad Die Summe zweier Nil-Rechtsideale $\mathfrak{a,b}$ ist eins.\\[5mm]
Bew[eis]: Sonst sei $c\in\mathfrak{a}+\mathfrak{b}=\mathfrak{c}$ nicht nil
$(a+b=c)$,   
hat dann nach 8. einen FP [Fixpunkt] $\gamma$ 
auf einer passenden von 
$\gamma$ erzeugten irred[uziblen] Darst[ellung] $\mathfrak{G}$:
\[\gamma c=c.\]
Es ist $\gamma=\gamma c\in\gamma^{\mathfrak{c}}\le
\gamma^{\gamma}$, also ist $\gamma\mathfrak{a}$ ein 
zul"ass[iger] NT [Normalteiler] mit zul"ass[iger] 
Faktorgr[uppe] in $\mathfrak{G}$;
ferner ist $\gamma\notin\gamma\mathfrak{a}$, da $\mathfrak{a}$
fixpunktfrei. Wegen Irreduzibilit"at ist $\gamma\mathfrak{a}=0$.
Ebenso $\gamma\mathfrak{b}=0$, also $\gamma=\gamma c=
\gamma (a+b)=0+0=0$. W! [h:] Andern Bew[eis] 13. [:h]\\[5mm]
10.\quad Def[inition]: $\mathfrak{R}^{*}=$ Summe aller Rechtsideale hei"se 
das Rechtsradikal. $\mathfrak{R}^{*}$ ist das umfassenste RNI [Rechtsnilideal]
[h:] $\underline{\mathfrak{R}}=$ maximales zweiseitiges
Nilideal. [:h]\\[5mm] 
11.\quad Zu jedem $c\in\mathfrak{S}$, das \underline{nicht} nil ist, gibt
es ein schlechthin [h:] siehe S. 19 [:h]  maximales Ideal 
$\mathfrak{m}<\mathfrak{S}$, 
f"ur welches gilt: F"ur alle $s\in\mathfrak{S}$ ist:
\[[c\notin\mathfrak{m}\,\,\textnormal{und}]\,\,
\mathfrak{S}=\mathfrak{m}+c\mathfrak{S},\quad s\equiv cs\,(\mathfrak{m})\]
Bew[eis]: Sei $s\in\mathfrak{S}$, wenn $cs\in[c-c^{2})$ (was $\neq c$ ist),
und $\mathfrak{m}$ maximal mit der Eigenschaft $c\notin\mathfrak{m}$,
$\mathfrak{S}\le\mathfrak{m}$. Dann ist 
$\mathfrak{S}+c\mathfrak{S}=\mathfrak{S}$, also
$\mathfrak{m}+c\mathfrak{S}=\mathfrak{S}$, und $c\notin\mathfrak{m}$.
Es ist $c-c^{2}\in\mathfrak{S}$, da $c(c-c^{2})=c^{2}-c^{3}\equiv 0$
$(\mathfrak{S})$; also $c-c^{2}\in\mathfrak{m}$.
\begin{flushright}18/19\end{flushright}

[h:] Kurzer Bew[eis] von 11.: $\mathfrak{m}$ max. Oberideal von
$[s-cs)_{\mathfrak{S}}$. [:h]\\[5mm]
12.\quad Ein max[imales] Rechtsideal $\mathfrak{m}$ hei"st regul"ar, wenn
es dazu ein $c$ gibt mit $cs\equiv s$ f"ur alle
$s\in\mathfrak{S}$.\\[5mm] 
[h:] 2.3.59 [:h]\newline
13.\quad $\mathfrak{R}^{*}$ ist der Durchschnitt aller regul"aren maximalen
Rechtsideale.\\[5mm]
Bew[eis]: (A) Ist $\mathfrak{m}$ regul"ar [h:] und $\mathfrak{r}$ Nilideal,
[:h] dazu $c$, so ist
$\mathfrak{m}+\mathfrak{r}\neq\mathfrak{S}$. Denn sonst w"are
$c\equiv r\,(\mathfrak{m})$ und wegen $cs\equiv s$ 
\[c\equiv c^{2}=cr,\]
also h"atte $r$ den Fixpunkt $c$ mod $\mathfrak{m}$: W [h:]\\
(B) $\cap_{\textnormal{reg}}\mathfrak{m}$ enth"alt nach 11. nur Nilelemente.
[h:] Der mit Bleistift modifizierte Beweis zeigt aufs neue, 
dass die Summe $\mathfrak{r}$ aller Rechtsideale selbst eines
ist. [:h]\\[5mm] 
14.\quad Ist $n\in\mathfrak{S}$ fixpunktfrei und erf"ullen die 
$n^{r}\mathfrak{S}$ die Minimalbedingung, so ist $n$ nilpotent.\\[5mm]
Beweis: $n^{r}\mathfrak{S}=n^{r+1}\mathfrak{S}$. Daher gilt
$n^{r+1}=n^{r+2}s$ und $ns$ hat FP [Fixpunkt] $n^{r+1}$, ist aber Fpf 
[fixpunktfrei]:
$n^{r+1}=0$.
\begin{flushright}19/20\end{flushright}


15.\quad Die Min[imal]bedingung f"ur Rechtsmoduln verhindert, dass ein
\glqq zyklischer" 
(von einem Element erzeugter) Darstellungsmodul zu einem echten
Teilmodul ($\mathfrak{r}$- rechts-) isomorph ist. 
Die letztere Bedingung ist aber vielleicht schw"a\-cher. (h:] (?!)\newline
Statt zyklisch sagt Bourbaki treffend \grqq monogen\grqq\,[:h]\\[5mm]
16.\quad Kann eine (etwa endlich erzeugte) Halbgruppe von 
\underline{Iso}morphismen eines Moduls 
$\mathfrak{m}$ \underline{in sich} in eine Gruppe von Automorphismen eines 
Obermoduls $\mathfrak{M}$ eingebettet werden? Dann bek"ame man eine "Ubersicht
"uber die einfachen FRe [Fastringe] $\mathfrak{S}$ 
ohne Rechtsradikal $\mathfrak{R}$ 
und mit Min[imal]bedingung f"ur Rechtsideale (man setze $\mathfrak{m}=$ 
min[imales] Rechtsideal).\\[5mm]
[h:] 17.\quad In Ringen hat $\varepsilon=-2e^{3}+3e^{2}$ die Eigenschaften
$\varepsilon\equiv e\bmod{e^{2}-e}$, $\varepsilon^{2}-\varepsilon=
(e^{2}-e)^{2}(4e^{2}-4e-3)$. Gibt es "Ahnliches in Fastringen? [:h]
\begin{flushright}20/21\end{flushright}


\begin{center}\underline{Primitive Perm[utations]gr[uppen]}\end{center}
1.\quad Ist $G$ pri[mitiv], $K$ eine Klasse konjugierter Elemente von $G$,
so ist Grad $\{G_{1}\cap K\}=n-1$.\\[5mm]
Beweis: $\mathcal{N}\{\quad\}$.
\begin{center}\underline{Mehrfache Transitivit"at}\end{center}
2.\quad In je 4 Ziffern $1,2,3,\delta$ enthalte $G$ die Vierergruppe $V$
als Konstituenten einer Untergruppe. Dann ist $G$ 3-tra[nsitiv], wenn
$n>4$.\\[5mm]
Bew[eis]: a) $G$ tra[nsitiv]\\
b) $G_{12}$ tra[nsitiv] auf $\Omega-\{1,2\}$, denn mit $3<\alpha<\beta
\le n$ $\rightarrow$ 
\[G\ni[(12)(3\beta)\cdot\cdot\cdot]\cdot[(12)(3\alpha)\cdot\cdot\cdot]=
(1)(2)(\beta\alpha...)\cdot\cdot\cdot.\] 
Also $4,...,n$ liegen im selben Trans[itivit"ats]gebiet von $G_{12}$, ferner
sind alle Trans[itivit"ats]ge[biete] l[an]g, da 
$\mathcal{N}G_{12}$ tra[nsitiv] auf $3,...,n$.\\[5mm]
Folge:\\
3.\quad Enth"alt $G$ in je $t+1$ Ziffern $1,2,...,t,\delta$ die alternierende
Gr[uppe] $A_{t+1}$, als Konstituenten, so ist $G$ $t$-tra[nsitiv], 
wenn $t\ge 3$ und $n\ge 5$.
\begin{flushright}21/22\end{flushright}

\begin{center}\underline{Perm[utations]gr[uppen]}\end{center}
4.\quad Sei $G$ eine Perm[utations]gr[uppe] des Grades $n$; sei $m<n$.\\
Aufgabe: Aus der Voraussetzung, dass die $m$-Tupel von Ziffern unter $G$ in
h"ochstens $\varphi(m)$ Transitivit"atsgebiete zerfallen, ist zu zeigen, dass
$G$ so und so oft transitiv ist. (Aus $\varphi(m)=m$ folgt $G$ transitiv)\\[5mm]
5.\quad Frage: $z_{k}(G)$ bezeichne die Gesamtzahl der $k$-gliedrigen Zyklen
aller Elemente von $G$.
Besteht dann f"ur $A\le G$ ein Zusammenhang zwischen $z_{k}(A)$ und $z_{k}(G)$
(etwa $z_{1}(A)\mid z_{1}(G)$)?\\[5mm]
6.\quad Ist $G$ vom Grade $n$ $t$-tra[nsitiv] und hat 
$G^{*}=\mathcal{N}G_{12...t}$ ausser den tra[nsitiv] Ko[nstituenten] 
des Grades $t$ noch
Konstituenten der Grade $n_{1}\le...\le n_{k}$, so gilt f"ur jede Primzahl
$p\le t$, dass $p$ in mindestens $k-(p-1)$ der $n_{\kappa}$ aufgeht, wenn
$p\nmid g/n(n-1)\cdot\cdot\cdot(n-t+1)$, oder $p$ in mindestens $k-1$ der
$n_{\kappa}$ aufgeht, wenn $p\mid g/n(n-1)\cdot\cdot\cdot(n-t+1)$.
Das gibt untere Schranke f"ur max $n_{\kappa}$, wenn man die $p<k$
betrachtet.
\begin{flushright}22/23\end{flushright}


\begin{center}\underline{Ein Charakter auf Permutationsgruppen}\end{center}
1.\quad In der PGr $G$ habe das Element $q$ genau $z_{a}(g)$
Zyklen des Grades $a$ in einer Zyklenzerlegung. $p$ sei Primzahl. Dann ist
\[\psi(g)=z_{a}(g)-\frac{z_{1}(z_{1}-1)\cdot\cdot\cdot(z_{1}-p+1)}{p},\]
$z_{1}=z_{1}(g)$ ein (uneigentlicher) Charakter.\\[5mm]
Bew[eis]: $\psi$ ist Linearverbindung der Charaktere
\[z_{1}(g^{n})-z_{1}(g)\quad\textnormal{und}\quad 
(p-1)z_{p}+\frac{z_{1}(z_{1}-1)\cdot\cdot\cdot(z_{1}-p+1)}{p}\]
der erstere ist Char[akter], da $z_{1}$ einer ist, der zweite entsteht 
durch Wirkung von $G$ auf die s"amtlichen Zyklen des Grades $p$.\\[5mm]  
2.\quad Frage: Was ist der \glqq bicommutant\grqq\, 
einer Permutat[ions]gr[uppe] $G$ auf $\Omega$?
\begin{flushright}23/24\end{flushright}

\begin{center}\underline{Kontinuierliche Gruppen v[on] Matrizen}\end{center}
In einer zusammenh"angenden abgeschlossenen Gruppe von komplexen 
Matrizen bilden diejenigen mit der Determinante $1$ eine
\underline{zusammenh"angende} Untergruppe.\\[5mm]
Beweis: Sei $V(t)$, $0\le t\le 1$ ein stetig d[ifferenzier]barer 
W[e]g in $\mathfrak{G}$ von $V(0)=I$ zu
$V(1)=A$, wo $\vert A\vert=1$, derart dass 
\[\mu=\int\limits_{0}^{1}\vert\textnormal{Sp}(\dot{V}(t)V^{-1}(t))\vert dt
=\textnormal{min}.\]
Dann liefert der Weg, der durch Unterteilung in $\alpha$, $0<\alpha<1$
entsteht:
\[W(t)=V(\alpha t)V^{-1}(\alpha)V(\alpha+t(1-\alpha))\]
f"ur das Integral einen Wert $\le\mu$, und $=$ nur, wenn f"ur alle $\alpha$
und $t$ 
\[\textnormal{arc}(\textnormal{Sp}(\dot{V}(\alpha t)V^{-1}(\alpha t)))=
\textnormal{arc}(\textnormal{Sp}(\alpha+(t(1-\alpha)))V^{-1}
(...))).\]
W"are nun f"ur ein $\beta$: $\varphi=\textnormal{arc}(\textnormal{Sp}
(\dot{V}(\beta)
V^{-1}(\beta)))\neq 0$, so w"are f"ur alle $\alpha$ mit $\beta\le\alpha\le 1$
(setze $t=\beta/\alpha$):
arc(Sp$(\dot{V}V^{-1}(\alpha+\frac{\beta}{\alpha}-\beta)))
=\varphi$; l"auft $\alpha$
stetig von $\beta$ nach $1$, so durchl"auft $\varphi$ stetig 
"ahnliches Intervall
$\beta$ $1$, also arc$=\varphi$ f"ur alle $t$ in $[\beta,1]$. "Ahnliches in 
$[0,\beta]$. Gibt $0=\log\left(\frac{\vert V(1)\vert}{V(0)\vert}\right)=
\int\limits_{0}^{1}\textnormal{Sp}(\dot{V}V^{-1})dt$
aber arc(Sp($\dot{V}V^{-1}))=\varphi$.\newline
[h:] K"urzer: OBdA Sp($\dot{V}(0)V^{-1}(0))\neq 0$ sonst ers[etze] 
die $V$ durch $V^{*}$ mit pass[endem] $a^{*}$. [:h]
\begin{flushright}24/25\end{flushright}
 
\begin{center}\underline{Zum Aufbau der Idealtheorie in
    Zahlk"orpern}\end{center} 
1.\quad $\mathfrak{l}(\xi),\xi\in\textnormal{Ra}(\mathfrak{d})$ 
sei eine "ganze"\,\, lineare Funktion
mit Werten in Ra, die also f"ur ganze alg[ebraische] $\xi$ stets ganze
rat[ionale] Werte hat. Ist dann f"ur eine Minimalbasis
$\omega_{1},...,\omega_{n}$:
$\vert\mathfrak{L}\vert=\det(\mathfrak{l}(\omega_{i}\omega_{k}))=\pm 1$, 
so liefert jede
Minimalbasis $\begin{pmatrix}\alpha_{1}\\\vdots\\\alpha_{n}
\end{pmatrix}=\mathcal{A}\begin{pmatrix}\omega_{1}\\\vdots\\
\omega_{n}\end{pmatrix}$
eines Ideals $\mathfrak{a}$, eine Minimalbasis von $\frac{1}{\mathfrak{a}}$, n"amlich
\[\mathcal{A}^{\prime -1}\mathfrak{L}^{-1}\begin{pmatrix}
\omega_{1}\\\vdots\\\omega_{n}\end{pmatrix}.\]
2.\quad Aufbau allg[emein] mittels Spur:\\
$\mathfrak{a}^{*}$ definieren: Sp$(\alpha^{*}\alpha)$ ist ganz f"ur alle 
$\alpha\in\mathfrak{a}$.
Mittels (Sp($\omega_{i}\omega_{k}$)) setze: $\mathfrak{a}^{**}=\mathfrak{a}$.
Dann folgt $(\mathfrak{ab})^{*}=\frac{\mathfrak{a}^{*}}{\mathfrak{b}}$.
Daher
$(\mathfrak{a}\mathfrak{a}^{*})^{*}=\frac{\mathfrak{a}}{\mathfrak{a}}
=\mathfrak{o}$
wegen g[an]z Abg[eschlossenheit]. Also
$\mathfrak{a}\mathfrak{a}^{*}=\mathfrak{o}^{*}$. Setze $\mathfrak{c}=
\mathfrak{o}^{*}((\mathfrak{v}^{*})^{2})^{*}$. Das ist idempotent; nun folgt
  aus $\mathfrak{c}^{2}\le\mathfrak{c}$: $\mathfrak{c}\le\mathfrak{o}$; aus
$\mathfrak{c}\le\mathfrak{c}^{2}$ folgt $\left(\begin{array}{l}\gamma_{1}
\\\vdots\\\gamma_{n}\end{array}\right)
=C\left(\begin{array}{l}\gamma_{1}\\\vdots\\\gamma_{n}\end{array}\right)$ 
mit $C\equiv 0\,(\mathfrak{c})$,
also hat $\mathcal{C}$ den EW [Eigenwert] $1$, 
$0=\vert I-C\vert\equiv 1
\,(\mathfrak{c})$,
$1\in\mathfrak{c},\mathfrak{o}\le\mathfrak{c},\mathfrak{o}=\mathfrak{c}$.
Also gibt es zu $\mathfrak{a}$ ein $\mathfrak{a}^{-1}$ mit
$\mathfrak{a}\mathfrak{a}^{-1}=\mathfrak{o}$. [h:] Also Ideale bilden Gruppe,
ferner Max-Beding[un]g, also ZPI. [:h]\\[5mm]
3.\quad In komm[utativen] Ringen sollte man die Idth [Idealtheorie]
st"utzen auf
$a\in\mathfrak{a}$ $\leftrightarrow$ $a\mathfrak{x}\le\mathfrak{ax}$ f"ur
endlich erzeugtes $\mathfrak{x}$. "Ahnlich $\mathfrak{a}=\mathfrak{b}$ 
$\leftrightarrow$ $\mathfrak{ax}=\mathfrak{bx}$.
\begin{flushright}25/26\end{flushright}
\begin{center}\underline{$\Phi$-Gruppen}\end{center}
$G$ endlich.\\[5mm]
1.\quad $\Phi G=1$ $\leftrightarrow$ zu jedem min[imalem] NT [Normalteiler]
von Primzahlpotenzordnung in $G$ gibt es ein Komplement.\\[5mm]
2.\quad Sei $P\lhd G$, $\vert P\vert=p^{a}$. Genau dann ist $P\cap\Phi G=1$, 
wenn\\
a) $P=P_{1}\times P_{2}\times...$, $P_{\rho}\underset{\text{min}}{\lhd}
G$ und\\
b) es gibt ein Komplement zu $P$ in $G$.
\begin{center}\underline{$p$-Gruppen}\end{center}
Es gibt zu jedem $p>2$ $p$-Gruppen der Klasse 2, in den nicht immer
$(AB)^{p}=A^{p}B^{p} $ ist.\\
Beispiel: $A^{p^{4}}=1,B^{p^{2}}=1,A^{b}=A^{1+p^{2}}=AC$.
Hier wird \[(AB^{-1})^{p}=A^{p+(p^{3}(p-1)/2)}B^{-p}\neq A^{p}B^{-p}\].
\begin{flushright}26/27\end{flushright}

\begin{center}\underline{Endl[iche] Gruppen von kompl[exen] 
Matrizen}\end{center}
1.\quad Jede Gruppe $G$ ungerader Ordnung, die irreduzibel vom Grade 5 ist,
  hat eine Faktorgruppe oder zentrale Untergr[uppe] d[er] Ord[nung] 5.\\[5mm]
Bew[eis]: Sei $s\in CP$ ein Element $\neq 1$ aus einem $5$-Sylowzentrum. Dann
liegt es in einer Klasse der L"ange $k\equiv 0\,\,(5)$, daher ist 
$\frac{\chi(a)}{5}$ ganz, bei [durchgestrichen: Einfachheit ist] 
[h:] $5\nmid\vert\textnormal{Ztr}(\mathfrak{G})\vert$ [:h] 
also $\chi(a)=0$, $a$ hat die EW 
$1,\varepsilon,\varepsilon^{2},\varepsilon^{3},\varepsilon^{4},
  (\varepsilon^{5}=1)$. Wegen $a\in CP$ ist die 
$5$-Sy[low]gr[uppe] $P$ abelsch.
Sei $N=NP$. Dann ist $N\neq P$, sonst Verlagerung, und $N$ hat transitive 
Konstituenten der Grade $1,1,3$. Da $a\in P$ keine zwei EWe $1$ hat,
bleibt eine Faktorgr[uppe] von $P$ bei $N$ elementweise fest: Verlagerung.
[h:] Ist $5\nmid\vert\textnormal{Ztr}(\mathfrak{G})\vert$, 
so ist $\mathfrak{G}$
  zyklisch, da $|P|=5$ $>$ Sp$(P)=0$. Also $5\mid g$ oder
  $\mathfrak{G}$ ist $5$-aufl["osbar], $5$-Lge $1$, 
$\mathfrak{G}^{5}$ abelsch. [:h]\\[5mm]
Ebenso:\\
2.\quad Allgemein: Enth"alt eine irred[uzible] Gruppe des Grades $p$ keine
Diagonalmatrix const$\cdot I$ der Ord[nung] $p$, so ist 
die $p$-Sylowgr[uppe] von
  $G$ abelsch [h:] und nach Brauer hat sie die Ord[nung] $p$ man betrachtet 
$\frac{n\gamma}{f}$ ganz: $=0$ [:h],
 jedes Zentrmselement $\neq I$ hat Spur $0$.
\begin{flushright}27/28\end{flushright}


1.\quad Eine Matrizengr[uppe] endl[icher] Ord[nung] mit ganzen alg[ebraischen]
Koeff[izienten], die eine Diagonalmatrix $\neq I$ enth"alt, ist nicht
  einfach.\\[5mm]
Bew[eis]: Ordnung $=p$ annehmen, $\mod{1-\varepsilon_{p}}$ betr..\\[5mm]
2.\quad $P\in\mathfrak{G}$ habe lauter verschiedene Wurzeln,
  ord$(P)=p^{\alpha}$, $P~\mathrm{v}~Q\neq I$, (ord$(Q),p)=1$ $\rightarrow$ 
$\mathfrak{b}$ nicht einfach.\\[5mm]
Bew[eis]: Man kann $P$ mit Nenner $p^{\cdot\cdot}$ auf 
Diagonalform transf[ormieren],
  damit auch $Q$, nun $\mod{q}$.\\[5mm]
3.\quad Auf Dreiecksform kann man $S$ stets unimodular transformieren.
Auf Diagonalform braucht man h"ochstens die Nenner
  $(\omega_{k}-\omega_{\lambda})^{n}$, wenn $S$ die EWe $\omega_{i}$
hat. Ist also $\omega_{k}-\omega_{\lambda}$ stets $0$ oder Einheit (d.h. 
ord$(\frac{\omega_{k}}{\omega_{\lambda}})$ durch zwei Primzahlen teilbar),
so kann man $S$ unimodular auf Diagonalform bringen, und $\mathfrak{G}$ ist
  \underline{nicht} einfach.\\[5mm]
4.\quad $\mathfrak{H}<\mathfrak{G}$ alle irred[uziblen] Bestandteile 
nur je einmal und ist $P\circ\mathfrak{H}=1$,
  $(\textnormal{ord}(P),\vert\mathfrak{H}\vert)=1$, so ist $\mathfrak{G}$
nicht einfach.
\begin{flushright}28/29\end{flushright}

\begin{center}\underline{Fastringe}\end{center}
1.\quad Der additive Normalteiler, der von einer links abgeschlossenen
Menge $\mathfrak{L}$ erzeugt wird, ist ein Linksideal.\\
Denn es besteht aus den $\sum(-t_{i}+l_{i}+t_{i})$, ist also links 
abgeschlossen.\\[5mm]
[h:] 1a.\quad Ist die Summe $\sum a_i$ "'distributiv"',das h[ei"st] sind $a_{i}+a_{j}=a_{j}+a_{i}$,
$(\sum a_{i})s=\sum a_{i}s$ so auch $\sum r a_i$ [:h]\\[5mm]
2.\quad Frage: Folgt aus $\cap\mathfrak{r}=0$ ($\mathfrak{r}$ max[imales]
Rechtsideal) auch $\cap\mathfrak{l}=0$ ($\mathfrak{l}$ ma\-x[i\-ma\-les] Linksideal)?
Wie h"angt "uberhaupt die Struktur von $_\mathfrak{S}\mathfrak{S}$
mit der von $\mathfrak{S}_{\mathfrak{S}}$ zusammen $s\rightarrow as$
erzeugte Fastring von Abbildungen von $\mathfrak{S}$ in sich aus?\\[5mm]
3.\quad In einer multipl[ikativen] Halbgruppe mit $1$ sind die
Linksmultiplikationen genau die Abbildungen, die mit allen
Rechtsmult[iplikationen] vertauschbar sind, und umg[ekehrt]. 
Insbesondere gilt das f"ur Fastringe. 
\begin{flushright}29/30\end{flushright}

4.\quad $\mathfrak{m}$ hei"se ein einfacher Modul ("uber dem Fastring
$\mathfrak{S}$), wenn $\mathfrak{m}\neq 0$ minimal und $\mathfrak{mS}\neq 0$.
Dann gilt: Die \underline{Abbildungen} eines einfachen Moduls in sich, die mit
allen Abbildungen $\mathfrak{m}\rightarrow\mathfrak{m}s$ 
vtb [vertauschbar] sind,
sind eine Gruppe von regul"aren Automorphismen von
$\mathfrak{m}$. $\mathfrak{m}$ ist monogen.\\[5mm]
5.\quad Die Abbildungen eines monogenen Moduls $\mathfrak{m}$ in sich sind
En\-do\-mor\-ph[is\-men].\\[5mm]
6.\quad Jeder monogene Modul ist isomorph dem Restklassenmodul eines
\glqq re\-g[u\-l"a\-ren]\grqq\,\, Rechtsideal, d.h. eines $\mathfrak{r}$ mit $e$: 
\[es\equiv s\,\,(\mathfrak{r}).\]
7.\quad Jeder monogene irreduzible Modul ist $\cong\mathfrak{S}/\mathfrak{m}$,
 wo $\mathfrak{m}$ reg[ul"ares] maximales Rechtsideal.\\[5mm]
8.\quad Existiert $a^{-1}$ und ist $\mathfrak{r}$ Rechtsideal, so 
  auch  $a\mathfrak{r}$, denn es gilt genau 
dann $x\in a\mathfrak{r}$ $\leftrightarrow$ $a^{-1}x\in\mathfrak{r}$.
\begin{flushright}30/31\end{flushright}

\begin{center}\underline{Kombinatorische Abschliesung}\hfill 7.3.59\end{center}
1.\quad Seien $\Gamma,\Delta$ zwei Mengen, $\mathfrak{F}$ eine Gesamtheit von
  Abbildungen von $\Gamma$ in $\Delta$: $\gamma\mathfrak{f}=\delta$.\\
Def[inition]: Ist $k$ eine Kardinalzahl $\ge 1$, so sei $\mathfrak{F}^{(k)}$
die Menge derjenigen Abbildungen $\varphi$ von $\Gamma$ in $\Delta$, f"ur die
  es zu je $k$ El[ementen] $\gamma_{1}-\gamma_{k}$ ein
  $\mathfrak{f}\in\mathfrak{F}$ gibt mit
  $\gamma_{i}\varphi=\gamma_{i}\mathfrak{f}$ $(i=1,...,k)$.\\
Besser: Zu jedem $\Gamma^{\prime}\subseteq\Gamma$,
  $\vert\Gamma^{\prime}\vert=k$ gebe es $\mathfrak{f}\in\mathfrak{F}$ mit
  $\mathfrak{f}=\varphi$ auf $\Gamma^{\prime}$.\newline
[h:] Hat das etwas zu tun mit M Hall, A type of algebraic closure, Ann. Math. 40
[1939 (sep)]? 
Interessse werden nur die $k\ge2$ haben. [:h]\\[5mm]
2.\quad
  $\mathfrak{F}^{(1)}\supseteq\mathfrak{F}^{(2)}\supseteq\mathfrak{F}^{(3)} 
\supseteq...\supseteq\mathfrak{F}^{(\vert\Gamma\vert)}
=\mathfrak{F}$.\\[5mm] 
[h:] 2a.\quad Sind die Abbildungen von $\mathfrak{F}$ umkehrbar (d.h. $x\neq y$
  $\rightarrow$ $x\varphi\neq y\varphi$), 
so auch die von $\mathfrak{F}^{(2)}$. [:h]\\[5mm]
3.\quad Ist $\mathfrak{F}$ abgeschl[ossen] bez["uglich] 
Mult[iplikation], so auch $\mathfrak{F}^{(k)}$.\\[5mm]
Bew[eis]: $\vert\Gamma^{\prime}\vert\le k$, 
$\alpha,\beta\in\mathfrak{F}^{(k)}$ $\rightarrow$ 
$\alpha=a$ auf $\Gamma^{\prime}$, $\beta=b\in\mathfrak{F}$ auf 
$\Gamma^{\prime}\alpha$, also
  $\gamma^{\prime}\alpha\beta=\gamma^{\prime}\alpha b=\gamma^{\prime}ab$,
also $\alpha\beta=ab$ auf $\Gamma^{\prime}$.\\[5mm]
[h:] 3a.\quad Ist eine Menge $\psi$ von Abb[ildungen] von $\Gamma$ in sich
  elementw[eise] mit $\mathfrak{F}$ vertauschbar, so auch mit
  $\mathfrak{F}^{(2)}$.\\[5mm]
Bew[eis]: Sei $\alpha\in\mathfrak{F}^{(2)}$  
\[\rightarrow\begin{array}{rcl}x\psi\alpha= & x\psi a=xa\psi & =x\alpha\psi\\
\uparrow &  & \uparrow\\\textnormal{ist richtig, wenn} & \& &
\textnormal{kann durch}\,\, a\in\mathfrak{F}\,\,
\textnormal{erf"ullt w.}\end{array}\textnormal{[:h]}\]
\begin{flushright}31/32\end{flushright}

5.\quad Seien nun $\Gamma,\Delta$ alg[ebraische] 
Strukturen (etwa bez["uglich] +),
und $\mathfrak{F}$ bestehe aus Homomorphismen bez["uglich] +.
Dann bestehe f"ur $k\ge 3$ auch $\mathfrak{F}^{(k)}$ nur aus
  Homom[orphismen].\\[5mm] 
Bew[eis]: $\gamma_{1},\gamma_{2}\in\Gamma$, $\alpha\in\mathfrak{F}^{(k)}$ 
$\rightarrow$ $\alpha=a$ auf $\gamma_{1},\gamma_{2},\gamma_{1}+\gamma_{2}$ und
\[(\gamma_{1}+\gamma_{2})\alpha=(\gamma_{1}+\gamma_{2})a=\gamma_{1}a
+\gamma_{2}a=\gamma_{1}\alpha+\gamma_{2}\alpha.\]
4.\quad Sei $\Delta$ eine alg[ebraische] Struktur (bez["uglich] + etwa), und 
$\mathfrak{F}$ sei vollstd bez["uglich] + [$\gamma(a+b)=\gamma a+\gamma
b$]. Dann ist auch $\mathfrak{F}^{(k)}$ vollstd bez["uglich] +.\\[5mm]
Beweis: $\vert\Gamma^{\prime}\vert\le k$, $\alpha,\beta\in\mathfrak{F}^{(k)}$
 auf $\Gamma^{\prime}$ ist $\alpha=a,\beta=b$, also $\alpha+\beta=a+b$, da 
\[\gamma^{\prime}(\alpha+\beta)=\gamma^{\prime}\alpha+\gamma^{\prime}\beta=
\gamma^{\prime}a+\gamma^{\prime}b=\gamma^{\prime}(a+b).\]
[h:] 5.\quad Wird ein Fastring $\mathfrak{F}$ mit $1$ aufgefasst als 
regul"are Darstellung von $\mathfrak{F}$, so ist 
$\mathfrak{F}^{(2)}=\mathfrak{F}$. Was
steckt allgemein hierhinter? [:h]\\[5mm]
6.\quad Nun seien $\Gamma=\Delta$ Gruppen bez["uglich] +. Ist $\mathfrak{F}$ 
Fastring auf $\Gamma$, so auch $\mathfrak{F}^{(k)}$ [h:] Bew[eis] 3, 5. [:h]
Ist $k\ge 3$ und $\mathfrak{F}$ Endomorphismenring auf $\Gamma$, so auch
$\mathfrak{F}^{(k)}$. Gleiche Voraussetzung.\\[5mm]
7.\quad F"ur $k\ge 2$ ist $\mathfrak{F}^{(k})$ mit jedem Monomorphismus von
$\Gamma$ vertauschbar, mit dem $\mathfrak{F}$ vtb [vertauschbar] ist.
\begin{flushright}32/33\end{flushright}

\begin{center}\underline{Darstell[ungs]mod[uln] $\mathfrak{G}$ von Fastringen 
$\mathfrak{F}$}\end{center}
0.\quad Welche $\mathfrak{F}$ haben eine treue irreduzible Darstellung?\\[5mm] 
1.\quad Sei $\gamma,\delta\in\mathfrak{G}$, $_{\gamma}\mathfrak{r}=$ 
Rechtsideal in $\mathfrak{F}$ der $\gamma a=0$:
\[\gamma s=\delta,\quad\delta t=\gamma\rightarrow
s\cdot{\gamma}\mathfrak{r}=_{\gamma}\mathfrak{r},\quad
t\cdot_{\gamma}\mathfrak{r}=\mathfrak{r}_{\delta}.\]
Bew[eis]: $y\in_{\delta}\mathfrak{r}$ $\leftrightarrow$
$sy\in_{\gamma}\mathfrak{r}$  $x\in_{\gamma}\mathfrak{r}$ $\leftrightarrow$ 
$tx\in_{\delta}\mathfrak{r}$\\ also $y\in_{\delta}\mathfrak{r}$
$\leftrightarrow$ $sy\in_{\gamma}\mathfrak{r}$
$\leftrightarrow$ $tsy\in_{\delta}\mathfrak{r}$.
Ist nun $y\in_{\delta}\mathfrak{r}$, so $sy=x\in\mathfrak{r}_{\gamma}$ und 
$tx\in_{\delta}\mathfrak{r}$, also ist $\mathfrak{r}_{\delta}\subseteq
t\mathfrak{r}_{\gamma}$. Umkehrung klar.\\[5mm]
2.\quad Ist ${\gamma}\mathfrak{r}\le_{\delta}\mathfrak{r}$, so gilt 
$_{\gamma s}\mathfrak{r}\le_{\delta s}\mathfrak{r}$ 
($s\in\mathfrak{F}$).\\[5mm]
3.\quad Bei der Untersuchung von einfachen FRen [Fastringen] 
$\mathfrak{F}$ sollten
die Monomorphismen $\mu$ eines irred[uziblen] 
Darst[ellungs]moduls $\mathfrak{G}$
eine Rolle spielen: Als \underline{Homomorphismen} von \underline{Teil}moduln
auf \underline{Teil}moduln (die mit $\mathfrak{F}$ 
vtb [vertauschbar] sind).\\[5mm]
4.\quad F"ur die Strukturtheorie muss man die Gesamtheit $\Phi$ derj[enigen]
Ab\-b[il\-dung\-en] von $\mathfrak{G}$ in sich betrachten, die jeden f"ur
$\mathfrak{F}$ stabilen Teilmodul von [h:] $\mathfrak{G}^{[k]}=$ [:h] 
$\mathfrak{G}\oplus...\oplus\mathfrak{G}$ in sich "uberf"uhren. 
$\bar{\mathfrak{F}}=\Phi$
ist ein Fastring, $\bar{\mathfrak{F}}\ge\mathfrak{F}$. [h:] Es ist
$\Phi=\mathfrak{F}^{(k)}$.\\[5mm]
Bew[eis]: Den Modul der [$\gamma_{1}s,...,\gamma_{k}s$]
betrachten. [:h]
\begin{flushright}33/34\end{flushright}

\begin{center}\underline{Frage "uber die Gruppe der Ideale in alg[ebraischen]
    Zahlk["orpern]}\end{center} 
Ist die Halbgruppe $\mathfrak{I}$ der (ganzen) Ideale die kleinste
(einfachste) Halbgruppe mit eindeutiger Primfaktorzerlegung, in der die 
Halbgruppe $\mathfrak{H}$ der ganzen Hauptideale liegt?
Ist $\mathfrak{I}$ etwa hierdurch abstrakt schon bestimmt 
durch $\mathfrak{H}$?\\
Gibt es zu jeder kommutativen Halbgr[uppe] $\mathfrak{H}$ mit K"urzung eine
eindeutig bestimmte kleinste Erweiterung $\mathfrak{I}$ mit eindeutiger
Primfaktorzerlegung?
\begin{center}[h:] \underline{Darstellung subnormaler Untergruppen} [:h]
\end{center}
\underline{Frage}: Wie sehen die \underline{subnormalen} Untergruppen von
$\mathfrak{G}$ in den irred[uziblen] Darstellungen von $\mathfrak{G}$ aus?
[h:] Insbes[ondere] die minimalen? [:h]
\begin{flushright}34/35\end{flushright}

\begin{center}\underline{Modulare Darstellungen}\end{center}
1.\quad Sind $G,\tilde{G}$ zwei nicht "aqu[ivalente] Darstellungen von
$\mathfrak{G}$ in einem al\-g[e\-bra\-isch] abg[eschlossenen] 
K"orper beliebig gr[o"ser] Charakteristik, so ist 
\[\sum\limits_{j=1}^{k}\textnormal{Sp}(G_{j}^{-1})\tilde{\omega}_{j}=0,\]
wobei $k$ die Klassenzahl von $\mathfrak{G}$; $\tilde{K}_{i}=
\tilde{\omega}_{i}E_{\tilde{f}}$.\\[5mm]
Bew[eis]: $\sum G^{-1}x\tilde{G}=0$ f"ur jedes $x$ gibt
\begin{eqnarray*}\sum\limits_{\mathfrak{G}}g_{i\alpha}^{(-1)}\tilde{g}_{\beta
  k} & = & 0\quad \alpha=i,\,\sum\,\,\text{"uber}\,\,
i=1...\text{Gr}\,f,\\
\sum\textnormal{Sp}(G^{-1})\tilde{g}_{\beta k} & = & 
\quad\textnormal{f["ur] alle}\quad\beta,k,\\
\sum\textnormal{Sp}(G^{-1})\tilde{G} & = & 0,\\
\sum\limits_{j}\textnormal{Sp}(G_{j}^{-1})\tilde{K}_{j} 
& = & 0.\end{eqnarray*}  
2.\quad Noch feinere Aussagen als mit $\chi_{i},\omega_{i}$ sollte man von 
$\delta_{i}=(\chi_{i},\omega_{i})$ erwarten; genaue Def[inition]:
 \[\delta_{i}=(\frac{f\chi_{i}}{f},\frac{h\chi_{i}}{f})
=\frac{\chi_{i}}{f}(f,h),\]
$h=$ L"ange der betrachteten Klasse.
\begin{flushright}35/36\end{flushright}

3.\quad Ist $B$ ein $p$-Block von $\mathfrak{G}$, so ist bei $p^{a}\top g$:
\[\sum\limits_{\chi_{i}\in B}\chi_{i}(1)^{2}\equiv 0\bmod{p^{a}}.\]
Denn $\nu\Phi_{j}(1)\ge a$ f"ur
\[\Phi(G)=\sum\limits_{B}\Phi_{j}(G)\Phi_{j}(1)\]
ist also $0\equiv\Phi(1)=\sum$.\\[5mm]
Andererseits enth"alt $\Phi_{j}$ den Charakter $\chi_{i}$ genau $d_{ij}$-mal,
also $\Phi$ enth["alt] $\chi_{i}$ $\sum d_{ij}\varphi_{j}(1)$-mal, d.h.
$f_{i}$-mal ($f_{i}=\chi(1)$), $\Phi_{i}(1)=\sum\limits_{B}f_{i}^{2}$.\\[5mm]
NB: 4.\quad Daher ist $\Phi$ der Ausschnitt aus der reg[ul"aren]
Darst[ellung], der zum Block $B$ geh"ort.\\[5mm]
Frage: 5.\quad Ist es wahr, da"s die $p$-Sylowgr[uppe] einer $p$-aufl"osbaren
Gruppe $\mathfrak{G}$ ohne $p$-Fuss \underline{im allgemeinen} halbregul"ar
dargestellt wird in jeder treuen Dar\-st[el\-lung] der Char. $p$?\\
S[iehe] dazu Hall \& Higman Theorem B\\
\grqq i a\grqq\, k"onnte hei"sen: Wenn $p$
keine Fermat-Primzahl.
\begin{flushright}36/37\end{flushright}

\begin{center}[durchgestrichen: \underline{Sylows"atze}\hfill [h:] 29.3.59 
[:h]\end{center}
1.\quad In $\mathfrak{G}$ gelte der $\omega$-Sylowsatz; sei $p\notin\omega$.
$\mathfrak{G}$ besitze eine $p$-Sy[low]gr[uppe] $\mathfrak{G}_{p}$, die eine
$\omega$-Hallgr[uppe] $\mathfrak{G}_{\omega}$ zentralisiert. Dann gilt in
$\mathfrak{G}$ der $\{p\omega\}$-Sy[low]satz.\newline
[h:] Umkehrung trivial:
$\{p\omega\}\mathfrak{G},\mathfrak{G}_{p}\times\mathfrak{G}_{\omega}
\le\mathfrak{G}$ $\to\omega\mf{G}$ [:h]\\
Frage: Entspr. für $\omega_1\mf{G}$, $\omega_2\mf{G}\ni\mf{G}\omega_1\times\mf{G}\omega_2$? [Anmerkung mit Rotstift]\\[5mm]
Bew[eis]: Sei $\vert\mathfrak{H}\vert=p^{\eta}n$,
$n\mid\vert\mathfrak{G}_{\omega}\vert$. Beh[auptung]: $\exists$
$G\in\mathfrak{G}$ mit 
\[\mathfrak{H}^{G}\le\mathfrak{G}_{p}\times\mathfrak{G}_{\omega}.\]
A. Sei $\mathfrak{H}$ $p$-nilpotent: $\mathfrak{H}_{\omega}\lhd\mathfrak{H}$,
$\vert\mathfrak{H}:\mathfrak{H}_{\omega}\vert=p^{\eta}$;
$\mathfrak{H}=\mathfrak{H}_{\omega}\mathfrak{H}_{p}$. Dann oBdA 
$\mathfrak{H}_{\omega}\le\mathfrak{G}_{\omega}$. Setze 
$\mathfrak{G}^{\prime}=\mathcal{N}\mathfrak{H}_{\omega}$.        
Es ist $\mathfrak{H}_{p}\le\mathfrak{G}^{\prime}$,
$\mathfrak{G}_{p}\le\mathfrak{G}^{\prime}$, sogar $\mathfrak{G}_{p}\le 
C\mathfrak{H}_{\omega}$. Also $\exists$
$G^{\prime}\in\mathfrak{G}^{\prime}$, $\mathfrak{H}_{p}^{G^{\prime}}\le
\mathfrak{G}_{p}$,
$\mathfrak{H}^{G^{\prime}}_{\omega}=\mathfrak{H}_{\omega}
\le\mathfrak{G}_{\omega}$
\[\mathfrak{H}^{G^{\prime}}=\mathfrak{H}_{p}^{G^{\prime}}
\mathfrak{H}_{\omega}^{G^{\prime}}\le\mathfrak{G}_{p}\mathfrak{G}_{\omega}.\]
B. Sei $\mathfrak{H}$ beliebig. Ind[uktion] nach $\vert\mathfrak{H}\vert$.
Jede \underline{echte} U[nter]gr[uppe] von $\mathfrak{H}$ ist dann $p$-nilpotent;
ist $\mathfrak{H}$ es nicht, so $\mathfrak{H}_{p}\le\mathfrak{H}$, 
$\vert\mathfrak{H}/\mathfrak{H}_{p}\vert=q^{\lambda}$, $q\neq p$.
OBdA ist $\mathfrak{H}_{p}\le\mathfrak{G}_{p}$. Setze 
$\mathfrak{G}^{\prime}=\mathcal{N}\mathfrak{H}_{p}$, dann 
$\mathfrak{H}_{q}\le\mathfrak{H}\le\mathfrak{G}^{\prime}$, 
$\mathfrak{G}_{q}\le\mathfrak{G}_{\omega}\le\mathfrak{G}^{\prime}$.
$\exists$ $\mathfrak{H}_{q}^{G^{\prime}}\le\mathfrak{G}_{q}$.
Dann  
\[\mathfrak{H}^{G^{\prime}}=\mathfrak{H}_{q}^{G^{\prime}}
\mathfrak{H}_{p}^{G^{\prime}}\le\mathfrak{G}_{q}\mathfrak{G}_{p}
\le\mathfrak{G}_{\omega}\mathfrak{G}_{p}.]\]
[Die ganze Seite ist mit Rotstift durchgestrichen; Randbemerkg zu B:] muss vorher veröff. werden
\begin{flushright}37/38\end{flushright}

\begin{center}\underline{Permut[ations]gr[uppen] vom Grad $p$}\quad 
[h:] Forts[etzung] v[on] X 188 [:h] \end{center}
1.\quad Grad($\mathfrak{G})=p$, $\mathfrak{G}$ 2-tra[nsitiv], 
Ztr\,$\mathfrak{G}_{1}\neq 1$ $\rightarrow$ $\vert\mathfrak{G}\vert=p(p-1)$.\\
$[$h:$]$ Anwendung: Hat bel. $\mf{G}$ eine Klasse $\langle A\rangle$ der Länge $p$, so ist $\mf{G}/C(\langle A\rangle)$ auflösbar. [:h]\\[5mm]
Bew[eis]: $1\neq Z\in$ Ztr\,$\mathfrak{G}_1$, $\langle Z\rangle=$ Klasse $Z$ in $\mathfrak{G}$;
$\rightarrow$ $\langle Z\rangle=p$
\[\langle Z\rangle\cdot\langle Z^{-1}\rangle=p\cdot\langle 1\rangle+c\cdot\langle C\rangle\]
Sei $\chi$ der Charakter des Grades $p-1$ der irred[uziblen] Darst[ellung] von
$\mathfrak{G}$ in der P Gr[uppe]
\[c\cdot\vert\langle C\rangle\vert=p(p-1).\]
Dann ist $\chi(Z)=0$, also $\langle Z\rangle$ hat die Matrix $0$. Also in der Darst[ellung]
des Grades $p-1$ ist $0=p\cdot I+c\cdot M_{\langle C\rangle}$ und $M_{\langle C\rangle}$ hat ganze
(sogar rat[ionale]) Koeff[izienten], also
\[c\mid p.\]
[h:] [Randbemerkung:] umstellen [:h]\newline
A. Aus $c=p$ folgt $\vert\langle C\rangle\vert=p-1$, $\langle C\rangle$ 
elementweise mit $P$ der Ord[nung]
$p$ vertauschbar, $\langle C\rangle\le\{P\}$
\[\{P\}\lhd\mathfrak{G}.\]\\[5mm]
B. Ann[ahme]: $c=1$ $\rightarrow$ $\vert\mathfrak{G}:\mathcal{N}C\vert=p(p-1)$
w"ahle $T=(12...)(...)\in\mathfrak{G}$, sei $Z=(1)(23...)(...)$,
$Z^{T}=(2)\cdot\cdot\cdot$, $C=Z^{T-1}$. Klar ist
$\mathfrak{G}_{12}\in\mathcal{N}C$, also $=\mathcal{N}C$; 
aus $c\in\mathcal{N}C$ $\rightarrow$ $c\in\mathfrak{G}_{12}
\le\mathfrak{G}_{1}$ $\rightarrow$
$Z^{T}\in\mathfrak{G}_{1}Z=\mathfrak{G}_{1}$ W!\\[5mm]
[h:] Forts[etzung] 193:\\
$1^{\prime}$.\quad Frage: Hat jede maximale $p^{\prime}$-Gruppe in
$\mathfrak{G}$ die Ordnung $\frac{\vert\mathfrak{G}\vert}{p}$, 
wenn $\mathfrak{G}$ eine Gruppe des Grades $p$? [:h]\\[5mm]
$[$Eingelegte Karte zu XI 39, mit 39+ bezeichnet:$]$
\begin{flushright}38/39$+$\end{flushright}

[h:] 13.2.76 $\Pi$M Neumann: Greens unver"offentlichter Beweis f"ur: 
$G$ tra[nsitiv]  
$\Omega$, $\vert\Omega\vert=p$, $2\mid \vert N_{G}(P)\vert$ $\rightarrow$
$G$ 3-transitiv\\
$G$\quad nicht aufl"osbar Grad $p$,\\
$G\ge D_{2p}=<a,b\mid a^{p}=1, b^{2}=1>$\\
F\quad K"orper Char. $p$.
\begin{eqnarray*}\textnormal{Dim(Hom}(F\Omega, F\Omega^{\{2\}}))& = &
\textnormal{\# Bahnen in}\, 
\Omega\times\Omega^{\{2\}}\\& \le & 
2\textnormal{Dim(Hom}(F,F\Omega^{\{2\}}))+\textnormal{dim(Hom}
(H,F\Omega^{\{2\}})\end{eqnarray*}\\
3-Transitivit"at $\Leftrightarrow$ Hom$(H,F\Omega^{\{2\}})=0$.\\
$D$-Sockel von $F$ ist $F^\text{(\anmerk)}$ von $b$ mit $-1$ mult. $D$-Sockel von 
$F\Omega^{\{2\}}$ ist von $b$ zentralisiert\\ $\begin{array}{rl}
& F\Omega\\ F & \big|\\ & \big|\\ H \Bigg\{ & \Bigg|+1\\ & \big|-1\\ & 
\big|\\ F & \big|+1\end{array}$
\qquad$\begin{array}{l}\sigma_{k}:=\sum\limits_{i}
\{\alpha_{i},\alpha_{i+k}\},\quad k:=1,...,(p-1)/2\\ \\
D-\textnormal{Soc}(F\Omega^{\{2\}})=\langle\sigma_{1},...,\sigma_{(p-1)/2}\rangle.
\end{array}$ [:h]
\begin{flushright}39$+$/39\end{flushright}
Ostern 1959 (29.3.59)\\
2.\quad Satz von It\^{o}: Grad($\mathfrak{G})=p$, $|\mathcal{N}\mf{G}_p:\mf{G}_p|=2$,\\
$\mathfrak{G}$ nicht aufl"osbar $\rightarrow$ $\mathfrak{G}$ 3-tra[nsitiv]
$(p>5)$.\\[2pt] 
[h:] Frage: genügt auch $|\mathcal{N}\mf{G}_p:\mf{G}_p|\equiv0\mod 2$?\\ %[5mm]
erste Stufe $|\mathcal{N}\mf{G}_p:\mf{G}_p|=4$,
zweite Stufe $|\mathcal{N}\mf{G}_p:\mf{G}_p|=6$\\
K"urzer: Green 70 [:h]\\[5pt]
Beweis: a) $\mathfrak{G}$ hat $\frac{p-1}{2}$ Klassen 
konj[ugierter] $p$-Elemente,
 sonst nur $p$-reg[ul"are] Klassen.\\
b) $\mathfrak{G}$ hat $\frac{p-1}{2}$ Charaktere, 
die nicht im K"orper $\Omega$ der
zu $p$ fremden EW liegen, sondern die $p$-ten EW
\underline{brauchen}; sie sind konjugiert: $\Omega$; da $\mathfrak{G}$ keine
$pq$-Klasse enth"alt, sind die Werte dieser Charaktere (nach Blichfeldt) f"ur
die $p$-reg[ul"aren] Elemente \underline{rational}:
\[\begin{array}{rcl}\chi_{1}= & 1 & \overbrace{1\qquad 1}^{p-
\textnormal{Klassen}}\qquad 1\dotfill\\
\chi_{2}^{(1)}= & 
f & \eta^{(1)}\dotfill\\\vdots & \vdots & \vdots\\\chi_{2}^{((p-1)/2)}= & 
f & \eta^{((p-1)/2)}\dotfill\\\chi_{3}= & p-1 & -1\dotfill\end{array}\]
mit $\eta^{(v)}\in$  reellen Teilk"orpern von $\Omega_{p}$. Auf allen anderen
Ch[arakteren] ist $\chi(p)$ rati[onal].\\
c)$\sum\limits_{u=1}^{\substack{\tau\\ p-1}}\vert\chi_{u}^{(v)}(-P)
-\chi(P^{\rho})\vert^{2}=p^{2}$,
oBdA gibt $\eta^{(1)}=c\pm\eta$, wo $c$ ganz rat[ional]
$\eta=\varepsilon+\varepsilon^{-1}$. Nun gibt\\
d) $\sum\limits\vert\chi_{u}(P)\vert^{2}=p$:
\[1+\sum\vert\eta^{(v)}\pm c\vert^{2}+\sum\limits_{f>2}\vert
\chi_{f}(P)\vert^{2}=p,\]
\[p+c^{2}(p-1)/2-2c-2=\sum\vert c\pm\eta^{(v)}\vert^{2}\le p-2;\]
$p>5$ gibt $c=0$
\begin{flushright}39/40\end{flushright}
e) Hieraus folgt, dass die Charaktere so aussehen:
\[\begin{array}{rllll|l} &  &  &  &  p \textnormal{-Klassen} & 
p\textnormal{-reg[ul"ar]}\\\chi_{1}| & 1 & \overbrace{1\quad}^{n_{i}} & 
\ldots & 1 & 1\\ \big\{& 
f & -\eta^{(1)} & \ldots & 
-\eta^{(\frac{p-1}{2})} & a\\\begin{array}[b]{r}\chi_{2}\\\frac{p-1}{2}
\end{array}\Bigg\{ & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ \big\{
& f &  -\eta^{(\frac{p-1}{2})} & \ldots &  
& a\\\chi_{3}| & p-1 & -1 & \ldots & -1 & a+1\end{array}\]
[unklare Zeichen]
und hieraus folgt auch $f=p-2$.\\
f) F"ur die $p$-reg[ul"aren] Klassen folgt durch orth. 
in $P$: $\begin{array}{c}
1\\a\\|\\a\\b=a+1\end{array}$.
Also besteht $\chi_{3}$ \underline{auf $\mathfrak{G}_{1}$} aus $1+\chi_{2}$.
Sei nun ein irred[uzibler] Bestandteil $\varphi$ des Grades $h$ von $\chi_{2}$
auf $\mathfrak{G}_{1}$ gegeben. Betrachte die von $\varphi$ induzierte
Darst[ellung] $\Phi$ des Grades $h_{p}$ von $\mathfrak{G}$. Sie enth"alt
$\vartheta_{3},\vartheta_{2}^{(v)}$, also ist ihr Grad
\begin{eqnarray*}h_{p} & \ge &  p-1+(p-1)(p-2)/2=(p-1)p/2,\\h & \ge & (p-1)/2>\frac{1}{2}\textnormal{Gr[ad]}(\chi_{2}).\end{eqnarray*}
[[Da $\chi_{3}$ auf] durchgestrichen] Also ist $\chi_{2}$ 
\underline{auf $\mathfrak{G}_{1}$ irreduzibel}, daher
 $\chi_{3}=1+$\\irred[uzibel] auf $\mathfrak{G}_{1}$, d.h. $\mathfrak{G}_{1}$ 
$2$-tra[nsitiv].
\begin{flushright}40/41\end{flushright}

\begin{center}\underline{K"urzerer Bew[eis] f["ur] Satz v[on]
 It\^{o}:}\end{center}
g) R. Brauer, On groups whose order contains a prime number to the first power
I Amer. J. Math. 54, 401-420 (1942).\\
Th[eorem] 6 zeigt: Wenn $\vert G_{p}\vert=p$, $G_{p}=CG_{p}$, 
$(\mathcal{N}G_{p}:G_{p})=2$, so gibt es ein Char[akter] mit 
\[
f\not\equiv 0\,\,
\left\{\begin{array}{l}(p-1)/2\,\,\textnormal{alg[ebraisch] konj[ugierte]
Charaktere}\,\,\chi_{3}^{(\rho)}\\2\,\,\textnormal{Charaktere}
\,\,\chi_{1},\chi_{2}\in\textnormal{Ra}(\sqrt[g^\prime]{1})
\\\textnormal{Zahlen}\,\,\delta_{\mu}=\pm 1
\end{array}\right\}
\]
 derart, dass $\delta_{1}\chi_{1}+\chi_{2}\delta_{2}
+\delta_{3}\chi_{3}^{(\rho)}=0$ ($G$ $p$-reg[ul"ar]).\newline
[Jeder Char[akter] mit Grad $\not\equiv 0$ $(p)$ ist zu einem $\chi_{\mu}$
alg[ebraisch] konj[ugiert]] durchgestrichen].\newline
\underline{Hier} also $s=2$, $\begin{array}{r|l} & E\\\chi_{1} & 1\\
\chi_{2} & p-1\\\chi_{3} & f\end{array}$.\\ 
Das gibt $f=p-2$, $\chi_{2}=\chi_{1}+\chi_{3}$ f"ur
$p$-reg[ul"ar], weiter wie f).\\
h) Frage: Gemeinsamer Obersatz f"ur $\mathcal{N}P:P=\left\{\begin{array}{l}
2\\p-1\end{array}\right.$? Vielleicht gen"ugt f"ur $\mathfrak{G}$ 3-tra[nsitiv]
schon $\mathcal{N}P:P\equiv 0\bmod{2}$, dann sollte f"ur Fermat-Primzahlen
$p$ \underline{stets} 3-Tra[nsitivit"at] eintreten.\\
NB: Brauer \& Tuan haben einen n"utzlichen 
Satz "uber Durchschnitte von Bl"o\-cken zu
verschiedenen Primzahlen. BAMS 1946 [h:] 
Anw: Brief It\^{o} 4.4.59. [:h] Forts.: 354
\begin{flushright}41/42\end{flushright}
\begin{center}\underline{Permut[ations]gr[uppen] vom Grad $p^{2}$ 
mit zentriertem $G_{1}$}\end{center}
1.\quad $\mathfrak{G}$ auf $\Omega$ habe Grad $p^{2}$, $\mathfrak{G}_{1}$
besitze ein Zentrumselement $Z_{1}\neq 1$. Dann enth"alt 
$\mathfrak{G}$ eine normale U[nter]gr[uppe] $\mathfrak{P}$ 
der Ord[nung] $p^{2}$, elementar abelsch.\\[5mm]
Beweis: a) "Gerade" durch $\alpha\neq\beta$ sei die Menge der Fixziffern von
$\mathfrak{G}_{\alpha\beta}$.\\ 
"'Punkte"' $\in\Omega$\\ 
zwei versch[iedener] Geraden
haben h"ochstens einen P[un]kt gemein.\\
b) Zu $Z_{1}$ gibt es genau $p^{2}$ Konj[ugierte] $Z_{i}$; $Z_{i}$ l"asst nur
$i$ fest.\\
c) $Z_{\alpha}$ f"uhrt jede Gerade durch $a$ in sich "uber 
[h:] denn $Z_{\alpha}\circ\mathfrak{G}_{\alpha\beta}=1$ [:h]:
Liegt $\beta$ darauf, so l"asst $\mathfrak{G}_{\alpha\beta}$ auch
$\beta^{Z_{\alpha}}$ fest.\\ 
d) $Z_{\alpha}Z_{\beta}^{-1}=C_{\alpha\beta}$ hat keinen Fixp[un]kt: Nicht
auf $\alpha\beta$, weil auf der Geraden eine 2-tra[nsitive] Frobeniusgr[uppe] 
bewirkt wird; und nicht ausserhalb $\alpha\beta$ wegen c).\\
e) $\left\{\begin{array}{l}\textnormal{Punktezahl der Geraden}\\
\textnormal{Ordnung}\,\,C_{\alpha\beta} \,\,
\textnormal{ist Primzahlpotenz}\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{l}q^{\rho}\\q^{\sigma}\end{array}\right.$.\\
ersteres wegen Frobeniusgr[uppe] 2-tra[nsitiv] auf Ger[aden], letzteres
durch Betracht[un]g einer $q$-Sy[low]gr[uppe] von $C[\mathfrak{G}_{12}]$: 
diese ist
invariant bei $Z_{1}$, da ihr Teil auf der Geraden inv[ariant] ist und 
tra[nsitiv] auf der Geraden.
\begin{flushright}42/43\end{flushright}
f) Also $q\mid p^{2}$, $q=p$ (das geht kürzer wie 38) nach e) Die Gerade enth"alt $p$ P[un]kte, daher
gibt es durch jeden P[un]kt $p+1$ Geraden, also durch jeden P[un]kt 
$\alpha\notin\mathfrak{G}$ genau eine Parallele (Nichtschneidende) zu
$\mathfrak{G}$. Daher folgt aus $\mathfrak{g}\|\mathfrak{h}$ und
$\mathfrak{h}\|\mathfrak{k}$ auch $\mathfrak{g}\|\mathfrak{k}$.\\
g) Jedes $Z_{\alpha}$ l"asst die $p+1$ Ger[aden] durch $\alpha$ fest,
f"uhrt daher \underline{jede} Gerade in eine Parallele "uber.
Das gleiche gilt f"ur jedes $G\in\{Z_{1}\cdot\cdot\cdot
Z_{p}\}=\mathfrak{H}\lhd\mathfrak{G}$. Es ist
$\mathfrak{H}_{\alpha\beta}=1$, da $\gamma^{H}$ auf den beiden alten
Geraden liegt, wenn $\gamma\notin\alpha\beta$.\\[5mm]
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(5,2.75)\thicklines\put(1.0,2.8){$\alpha$}
\put(1.0,2.75){\line(2,-1){4}}\put(4.15,0.75){$\gamma$}
\put(4,1){\line(2,1){1.5}}\put(5.25,1.85){$\beta$}\put(4.25,1.125){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}\put(1.25,2.625){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}\put(5.25,1.625){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}\end{picture}\\
Ist $\gamma\notin\alpha\beta$, so w"ahle $\delta\notin\alpha\beta$, dann
bleibt $\delta$ fest bei $G$, $\delta\gamma$ geht in Parallele "uber, bliebe
also auch fest, daher auch $\gamma=\text{ Schnitt }
\delta\gamma\wedge\alpha\beta$.\\[5mm]
f)\quad Der Frobeniuskern von $\mathfrak{H}$ ist das gesuchte $\mathfrak{P}$.\\
NB: bei Gr[ad]$(\mathfrak{G})=n$, $Z_{1}\in$ Ztr$(\mathfrak{G}_{1})$ hat man
$<Z_{1}><Z_{1}^{-1}>=n<1>+c<C>$ und dabei wegen $\exists$ irred.  
$\chi(Z)=0$: $c\mid n$, und wenn Gr[a]d($Z_{1})=q$, so $q\neq p$, 
ord($C)=p$, daher ist jeder Charakter von $C$ rational 
[h:] siehe Frame BAMS 53 (1947)! [:h]
\begin{flushright}43/44\end{flushright}

\begin{center}\underline{Perm[utations]gr[uppen]
    darstellungstheoretisch}:\end{center} 
Sei $\mathfrak{G}$ trans[itiv] mit Gr[ad] $n$.\\
1.\quad Die Darstellung auf den $n(n-1)$ Paaren von $\mathfrak{G}$ ist die
induzierte derjenigen Darstellung von $\mathfrak{G}_{1}$, welche bei
Einschr"ankung von $\mathfrak{G}$ auf $\mathfrak{G}_{1}$ und weglassen einer
$1$ (also von $\mathfrak{G}_{1}^{\{2,...,n\}}$) induziert wird.\\[5mm]
Bew[eis]: Charakter beide mal $\chi(\chi-1)$.\\[5mm]
2.\quad Mein Satz "uber die Gruppen vom Grade $p$, deren
$p$-Sy[low]-Normalisator die Ord[nung] $p(p-1)$ hat, sollte
darstellungstheoretisch bewiesen werden; dann w"urde er sich vielleicht als
Sonderfall eines allgemeineren Satzes "uber abstrakte Gruppen mit Ord[nung]
$p$-Sy[low]-N[ormalisator]s $p(p-1)$ herausstellen.\\[5mm]
3.\quad Def[inition]: \underline{Hypermaximal} k"onnte man eine U[nter]gr[uppe]
$\mathfrak{H}$ von $\mathfrak{G}$ nennen, wenn die Perm[utations]darst[ellung]
von $\mathfrak{G}$ zweifach trans[itiv] ist, die von $\mathfrak{H}$ erzeugt
wird. D.h.: wenn $\mathfrak{G}=\mathfrak{H}+\mathfrak{H}g\mathfrak{H}$.
[h:] Aber Abstufung nach Tr"ager erw"unscht. [:h]
\begin{flushright}44/47\end{flushright}
[Im Tagebuch fehlen die Seiten 45 und 46]

\begin{center}\underline{Gewisse Perm[utations]gr[uppen] 
sind \underline{nicht} $3$-tra[nsitiv]}\end{center}
Die \glqq klassischen\grqq\,\, Kollineationsgr[uppe] 
auf projektiven R"aumen der Dimension $>1$ sind alle
\underline{nicht} $3$-tra[nsitiv], da sie drei Punkte auf einer Geraden nur 
wieder in solche Tripel "uberf"uhren [h:] [unlesbar] [:h]. 
(Insbesondere sind also nur
2-tra[nsitive] Gruppen des \underline{Primzahlgrades}
\[p=\frac{q^{n}-1}{q-1}\quad (q=\textnormal{Primzahlpotenz})\]
vorhanden.)\\
Sie sind auch nicht einmal 2-pri, da die Gruppe $\mathfrak{G}_{1}$ die Geraden
durch $1$ als Bl"ocke hat (Sie sind wohl auch nicht $2\frac{1}{2}$-tra[nsitiv]
($q<\infty$), da auf der Geraden 12 weniger weitere P[un]kte liegen als in den
anderen Trans[itivitäts]gebieten.)\\
Aber sie sind wohl alle tra[nsitiv] (bis auf die orthogonale Gruppe, die die 
$\mathfrak{x}$ mit $\mathfrak{x}^{\prime}\mathfrak{x}=0$ und die mit 
$\mathfrak{x}^{\prime}=0$ Rest in sich "uberf"uhrt 
(das gibt "ubrigens $P$ Gruppen
des Grades ...?) Die transitiven Gruppen (wenigstens $GL(n,q)$)
haben aber wohl i[m] a[llgemeinen] \underline{nur 2 nichttriviale
  Tra[nsitivitäts]gebiete von $\mathfrak{G}_{12}$}: Also sollte man auf
\underline{diese} Beh[auptung] zusteuern. Also Frage: Grad($\mathfrak{G})=p$,
$\mathfrak{G}^{\prime\prime}\neq 1$ $\stackrel{?}{\rightarrow}$
$\sum\chi(\chi-1)(\chi-2)\le 2g$? [h:]  $\sum\limits_{\mathfrak{G}_{1}}
\vert\chi\vert^{2}\le 6g_{1}$? [:h] d.h.: 
Hat $\mathfrak{G}_{1}$ in $\mathfrak{G}$ h"ochstens 
$4$ irred[uzible] Bestandteile?
\begin{flushright}47/48\end{flushright}

\begin{center}\underline{Induzierte Charaktere}\end{center}
1.\quad Sei $H_{1}\in\mathfrak{H}\le\mathfrak{G}$, aus 
$H_{1}^{G}\in\mathfrak{H}$
folge $H_{1}^{G}=H_{1}^{H}$. Sei $\psi_{\nu}$ ein Char[akter] 
von $\mathfrak{H}$ und stets $\chi_{\nu}$ der von 
$\psi_{\nu}$ induzierte von $\mathfrak{G}$. Dann ist 
\[\chi_{\nu}(H_{1})=\psi_{\nu}(H_{1})\cdot\chi_{1}(H_{1}).\]
2.\quad Sei $\mathfrak{d}$ die Darstellung von $\mathfrak{G}$, die durch eine
  irred[uzible] Darst[ellung] $\mathfrak{E}$ von $\mathfrak{H}\le\mathfrak{G}$
  induziert wird. Dann kann man die mit $\mathfrak{d}$ elementar vtb
[vertauschbaren] Matrizen durch Betrachtung ihrer ersten 
("Block-") Zeile untersuchen:\\
a) Es ist 
\[v_{\mathfrak{dd}}(\mathfrak{G})=\sum\limits_{i=1}^{t}
v_{\mathfrak{E}_{1}\mathfrak{E}_{i}}(\mathfrak{G}_{1i}),\]
wobei $v_{\mathfrak{E}\mathfrak{F}}(\mathfrak{H})$ die \grqq Verkettungszahl
\grqq\,\,
zweier Darstellungen $\mathfrak{E},\mathfrak{F}$ einer Gruppe $\mathfrak{H}$
bedeutet; also $v_{\mathfrak{dd}}(\mathfrak{G})=\sum e_{\rho}^{2}$. $t$ ist
durch $\mathfrak{G}=\sum\limits_{i=1}^{t}\mathfrak{H}R_{i}\mathfrak{H}$
defin[iert].\\
b) Man muss Satz von Frame "ubertragen k"onnen. Es treten nur die
trans. Konst[ituenten] von $\mathfrak{G}_{1}=\mathfrak{H}$ auf, die mit der $1$
bezüglich $\mathfrak{E}$ \grqq gekoppelt\grqq\,\, sind:
\[v_{\mathfrak{E}_{1}\mathfrak{E}_{i}}(\mathfrak{G}_{1i})\neq 0.\]
\begin{flushright}48/49\end{flushright}

Rationale Normalform einer Matrix\\
(in Anlehnung an V.Pt\'{a}k, Acta Sci math. Szeged 17)\\[5mm]
Zu zeigen: Ist $\sigma$ eine lin[eare] Selbstabbildung eines endl[ichen]
$K$-Moduls $\mathfrak{V}$, und ist $\mathfrak{V}$ direkt unzerlegbarer
$K[\sigma]$-Modul, so ist das Minimalpol[ynom] von $\sigma$ auf $\mathfrak{V}$
Potenz $p^{l}$ eines irred[uziblen] Polynoms $p(u)$, und jedes
$x\in\mathfrak{V}$ mit $p^{l-1}(\sigma)x\neq 0$ erzeugt $\mathfrak{V}$ unter
$K[\sigma]$.\\
$[$Randbemerkung$]$ gezeigt wird mehr:\\
jedes $z\in\mf{V}$ mit Minpol wie $\mf{V}$ gibt direkte Abspaltung\\[5mm]
Bew[eis]: W"ahle im dualen Raum zu 
$\mathfrak{V}$ ein $y$ mit $(x,y)\neq 0$. Dann
erzeugt $y$ unter $\sigma^{*}$ einen zu $\mathfrak{V}^{\prime}=K[\sigma]x$ dualen
Raum; denn wenn $f(\sigma)x\neq 0$, so ist 
\[p^{l-1}(u)=q(u)p^{l}(u)+r(u)f(u)\]
darstellbar, da $(p^{l},f)=p^{m}$ mit $m<l$; also dann
\[(f(\sigma)x,r(\sigma^{*})y)=(r(\sigma)f(\sigma)x,y)=(p^{l-1}(\sigma)x,y)\neq
0.\]
Also ist $\mathfrak{V}^{\prime}$ ein direkter Summand von $\mathfrak{V}$,
daher $\mathfrak{V}^{\prime}=\mathfrak{V}$.
\begin{flushright}49/50\end{flushright}

Direkte Zerlegung von ($\mathfrak{R}$-) Moduln ($\mathfrak{R}$ Ring)\\
Seien $\mathfrak{m}\ge\mathfrak{m}^{\prime}$ $\mathfrak{R}$-Moduln.\\
1.\quad Ist $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^{\prime}$ ein Vektorraum (d.h. gibt es
eine Menge $\bar{a}_{i}$ darin, so dass jedes
$\bar{a}\in\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^{\prime}$ \underline{eindeutig} als
$\sum\bar{a}_{i}\rho_{i}$ dargestellt werden kann), so ist 
\[\mathfrak{m}=\mathfrak{m}^{\prime}\oplus\sum\limits_{\oplus}
a_{i}\mathfrak{R}.\]
Denn $a\in\mathfrak{m}$ $\rightarrow$ $a\equiv\sum a_{i}\rho_{i}
\,\,(\mathfrak{m}^{\prime})$, und wenn $0=\mathfrak{m}^{\prime}+\sum
a_{i}\rho_{i}$, dann $0\equiv\sum a_{i}\rho_{i}\,\,(\mathfrak{m}^{\prime})$,
$0=\sum\bar{a}_{i}\rho_{i}$, $\rho_{i}=0$, $\mathfrak{m}^{\prime}=0$.\\[5mm]
2.\quad Ist $\mathfrak{R}$ \underline{Hauptidealring} $\mathfrak{m}$
endlich [h:] [erzeugter] [:h] und enth"alt $\mathfrak{m}$
kein Element endl[icher] Ord[nung] ausser $0$ 
(d.h. ist bei $a\rho=0$ stets $a=0$
oder $\rho=0$), so ist $\mathfrak{m}$ Vektorraum;
$\mathfrak{m}=\sum\limits_{\oplus}a_{i}\mathfrak{R}$.\newline
[durchgestrichen: Denn ist $\mathfrak{F}$ maximal frei, 
$\mathfrak{F}=\{a_{i}\}$, $a\in\mathfrak{m}$, so ...]\newline 
Dann ist $a_{1}\mathfrak{R}$ maximale monogene U[nter]gr[uppe], so ist 
$\mathfrak{m}/a_{1}\mathfrak{R}$ torsionsfrei (aus $b\sigma=a\tau$ folgt, da
oBdA $(\sigma,\tau)=1$:
$a=a(\tau\tau^{\prime}+\sigma\sigma^{\prime}=(b\tau^{\prime}
+a\sigma^{\prime})\sigma$,
also $\sigma^{-1}\in\mathfrak{R}$ und $b=a\tau\sigma^{-1}$).
Indukt[ion] nach dim.
\begin{flushright}50/51\end{flushright}

3.\quad $\mathfrak{R}$ HIR, $\mathfrak{m}$ endlich. $\rightarrow$
$\mathfrak{m}=\mathfrak{n}\oplus\sum\limits_{i,\oplus}^{d}a_{i}\mathfrak{R}$, 
$\mathfrak{n}$ von endl[icher] Ord[nung].\\[5mm]
Beweis: 1.,2.\\
Dabei $d$ eind[eutig] bestimmt $:=\dim\mathfrak{m}\mathfrak{a}$, wo 
$\mathfrak{na}=0$.\newline [unleserlich] \\[5mm]
4.\quad $\mathfrak{R}$ HIR, $\mathfrak{m}$ endlich:
Genau dann ist $\mathfrak{m}$ direkt unzerlegbar, wenn $\mathfrak{m}$ monogen
und der Annullator $=0$ oder $=(\pi^{\lambda})$, $\pi$ Primelement.\\[5mm]
A. Nur dann: Sei $\mathfrak{m}$ unzerlegbar\\
Bew[eis]: 1) Wenn $\mathfrak{m}$ Elemente mit Ann[ullator] 
$0$ enth"alt, ist nach (b) $\mathfrak{m}=a_{1}\mathfrak{R}$.\\[5mm]
2) Wenn $\mathfrak{m}$ endl[ichen] Gr[a]d[es], 
so $R_{1}\pi_{1}^{\prime}+...=1$: Ann $=\pi^{\rho}$.\\
3) W"ahle $a\in\mathfrak{m}$: $a\pi^{\rho-1}\neq 0$. W"ahle $\mathfrak{b}\le
\mathfrak{m}$ maximal fremd zu $a\mathfrak{R}$. $x\notin\mathfrak{b}$
 \begin{eqnarray*}\rightarrow x\mathfrak{R}+\mathfrak{b}
\cap a\mathfrak{R}\neq 0\\x\pi^{\alpha}+b=a\zeta\neq 0\end{eqnarray*}
 $\alpha=0$ fertig. Sei $\alpha>$[unlesbar], w"are $(\zeta,\pi)=1$, so 
 $x\pi^{\alpha+\rho-1}+b\pi^{rho-1}=a\zeta^{\prime}\pi^{\rho-1}\neq 0$ W,
 also $\pi\mid\zeta$, gibt $\underbrace{(x\pi^{\alpha-1}-a\zeta)}_{
y\notin\mathfrak{b}}\pi=-b$,
 $y\rho+z^{\prime}=a^{\prime}\neq 0$ $\rightarrow$ $\pi\nmid\rho$
 $y\in\mathfrak{b}+a\mathfrak{R}$ $\rightarrow$
 $x\pi^{\alpha-1}\in\mathfrak{b}+a\mathfrak{R}$. Ind[uktion] nach $\alpha$.
\begin{flushright}51/52\end{flushright}

\begin{center}\underline{Permutationsgr[uppen]}\end{center}
Vor[aussetzung]: $\mathcal{N}\mathfrak{G}_{p}=\mathfrak{G}_{p}$\\
$[$h:$]$ (Das impliziert) Es gen"ugt schon: Jede Sylowgruppe l"asst 
h"ochstens eine Ziff[er] fest. [:h]\\
1.\quad Ist $\mathfrak{Q}<\mathfrak{G}_{p}$,
$|\mathfrak{G}_{p}:\mathfrak{Q}|=p$, und l"asst $\mathfrak{Q}$ in einer
transitiven \\Perm[utations]darstellung von $\mathfrak{G}$ zwei Ziffern 
fest, so sind diese unter $\mathcal{N}\mathfrak{Q}$ konjugiert, d.h.
\[\mathcal{N}\mathfrak{Q}\quad\textnormal{tra[nsitiv] auf
  Fixmenge}\,\,\mathfrak{Q}.\]
Beweis: Die Ziffern seien $\alpha,\beta$. W"ahle $G=(\alpha\beta...)$, dann
$\mathfrak{H}:=\{\mathfrak{Q},\mathfrak{Q}^{G}\}\in\mathfrak{G}_{\beta}$. 
Ist $\mathfrak{Q}$ Sy[low]gr[uppe] von $\mathfrak{H}$, so 
$\mathfrak{Q}=\mathfrak{Q}^{GH}$; $GH=(\alpha\beta...)$.\\
Ist $\mathfrak{Q}\neq$ - " - , so 
$\mathfrak{Q}<\mathfrak{H}_{p}=\mathfrak{G}_{p}$ bei passender Bez[eichnung]
$\exists$ $H$: $\mathfrak{Q}^{GH}\lhd\mathfrak{H}_{p}$, also 
$\mathfrak{Q}^{GH}$ \& $\mathfrak{Q}$ konj[ugiert] unter
$\mathcal{N}\mathfrak{H}_{p}=\mathfrak{H}_{p}$;
\[\mathfrak{Q}^{GH}=\mathfrak{Q}.\]
2.\quad Frage: Welche Gruppen lassen sich treu als Untergruppe der Gruppe
der endlichen Permutationen von $\aleph_{0}$ Dingen darstellen?
\begin{flushright}52/53\end{flushright}
[Seite 53 ist unbeschrieben]
\begin{flushright}53/54\end{flushright}

\begin{center}\underline{Verlagerung}\end{center}
1.\quad Eine $p$-Untergr[uppe] $\mathfrak{Q}\le\mathfrak{G}$ ist genau dann
  schwach abgeschl[ossen] in einer $p$-Sy[low]gr[uppe], wenn stets
  $\mathfrak{Q}^{G}$ zu $\mathfrak{Q}$ im Erzeugnis
  $\{\mathfrak{Q},\mathfrak{Q}^{G}\}$ konj[ugiert] ist (kurz: Wenn
  $\mathfrak{Q}$ selbstkonjugierend ist).\\[5mm]
2.\quad Seien $\mathfrak{A}$ und $\mathfrak{B}$ selbstkonjugierend und 
$\mathfrak{A}^{\mathfrak{B}}=\mathfrak{A}$. Dann ist
  $\{\mathfrak{A},\mathfrak{B}\}$ selbstkonjugierend.\\[5mm]
genauere Frage:\\
3.\quad Seien $\mathfrak{A},\mathfrak{B}$ selbstkonjugierend; 
$\mathfrak{AB}=\mathfrak{BA}$. Ist dann $\mathfrak{AB}$
  selbstkonjugierend?\\[5mm]
$\exists$ $T\in\{(\mathfrak{AB})^{G},\mathfrak{AB}\}$ mit
  $\mathfrak{B}^{GT}=\mathfrak{B}$. $\mathfrak{A}^{GT}$ \& $\mathfrak{A}$
  sind mit $\mathfrak{B}$ vertauschbar, daher auch
  $\{\mathfrak{A}^{GT},\mathfrak{A}\}$; $\exists$ $U$:
  $\mathfrak{A}^{GTU}=\mathfrak{A}$ ...?
\begin{flushright}54/55\end{flushright}

4.\quad $\mathfrak{G}$ monomiale Gruppe mit $p$-ten EW [Einheitswurzeln].\\
Gibt es zu $p$-Sy[low]gr[uppe] $\mathfrak{P}<\mathfrak{G}_{1}$ ein
  $P\in\mathfrak{P}$, das nicht alle Diagonalfaktoren gleich hat, und hat $P$
  bei dieser Eigenschaft minimale Ordnung, so transformiere man $P$ nach
  $\mathfrak{G}$, derart dass
  $\varepsilon_{1}=\prod\textnormal{Diagfakt}(P)$, dann ist das
  Diag[onal]prod[ukt] $\Delta^{\prime}(P)\neq 1$. ([hei"st] 
$\neq\varepsilon_{1}$), und jeder Zyklus $>1$ von $P$ hat die Determ[inante]
$=1$; daher enth"alt $\mathfrak{P}$ (und auch $\mathfrak{G}_{1}$)
einen trans[itiven] Konstituenten ausser $(x_{1})$, auf dem
  $P_{\textnormal{neu}}$ nicht die Det[erminante] 1 hat, 
aber eine Variable fest
  l"asst. $\mathfrak{P}$ (und $\mathfrak{G}_{1}$) enth"alt also einen
  Konstituenten $\mathfrak{K}$, der im folgenden Sinn
  \underline{vollsingul"ar} ist: $\mathfrak{K}$ enth"alt ein El[ement] $P$ mit
   $\det(P)\neq 1$, $P$ l"asst eine Variable fest; alle 
Zyklen $>1$ haben Det[erminante] $=1$. Man kann es durch schrittweise
  Transf[ormation] (von oben her) so einrichten, dass wenn 
$\mathfrak{K}=\left(\begin{array}{c|cc|cc|c}&&&&&\\\hline&&\unitlength1mm\begin{picture}(0,0)\put(0,0){\makebox(0,0){\drawline(-8,1)(4,1)\drawline(-1,-3)(-1,5)}}\end{picture}&&&\\\hline&&&&&\\\hline&&&&&\end{array}\right)$, 
dann $P$ in \underline{jedem} linken oberen Abschnitt die 
 $\det\neq 1$ hat. D.h., wenn $\mathfrak{K}$ durch Darst\\
$\begin{array}{r}\textnormal{nach}\,\,\mathfrak{K}_{1}/\mathfrak{K}^{*}\,\,
\textnormal{entsteht:}\\\textnormal{Geg.}\,\, 
\mathfrak{K}_{1}\lhd\mathfrak{K}_{2}\lhd...\lhd\mathfrak{K}_{n}
=\mathfrak{K}\end{array}\left\{\begin{array}{l}\textnormal{Verlag[erung]}\,\, 
\mathfrak{K}_{v}\rightarrow\mathfrak{K}^{(P)\neq 1}\\ 
P\in\mathfrak{K}_{1}.\end{array}\right.$
\begin{flushright}55/56\end{flushright}

19.4.59\hfill Trans[itive] Monomiale $p$-Gr[uppe] [h;] $\mathfrak{G}$ [:h] vom Grad $p^{2}$;
  $\varepsilon^{n}=1$ \\[5mm]
Elem[ente] seien stets $A=(A_{ij})$ mit $A_{ij}=\left\{\begin{array}{l|r}0,&\text{geschrieben}\\
DP^{\rho}&\end{array}\right.$
$D$ diag[onal] Gr $p$ 
\[P=\left(\begin{array}{ccccc}0 & 1 &
  0 & \ldots & \ldots\\0 & 0 & 1 & 0 & \ldots\\ \vdots &  & \ddots & \ddots & 
\\0 & \ldots & & 0 & 1\\1 & 0 & \ldots & & 0\end{array}\right).\]
Eine Blockmatrix sei von der Form 
\[A=\left(\begin{array}{cccc}D_{1}A_{1}\\ & D_{2}A_{2}\\ & & \ddots 
\\ & & & D_{p}A_{p}\end{array}\right)\]
 $\det(D_{i})=\varepsilon^{\delta_{i}}$, $A_{i}=P^{-\alpha_{i}}$.\\[5mm]
F"ur Blockmatrizen gilt:\\[5mm]
1.\quad
\[A\circ A^{\prime}=AA^{\prime}A^{-1}A^{\prime^{-1}}=\left(\begin{array}{ccc}
\ddots\\ & S_{i}^{1-P}\\ & & \ddots\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{ccc}\ddots\\ & C_{i}\\ & & \ddots\end{array}\right)=C,\]
wo $\det(S_{i})=\varepsilon^{\sigma_{i}}$ und $\sigma_{i}=\alpha_{i}
\delta_{i}^{\prime}-\alpha_{i}^{\prime}\delta_{i}$.
Daher ist $\prod C_{i}=S^{1-P}$, $\det(S)=\varepsilon^{\sigma}$,
\underline{$\sigma=\sum\limits_{1}^{p}(\alpha_{i}\delta_{i}^{\prime}
-\alpha_{i}^{\prime}\delta_{i})$}\\[5mm]
2.\quad Kommt $A$ mit $\delta_{i},\alpha_{i}$ vor, so auch $A^{\prime}$ mit
$\delta_{i+n}\alpha_{i+n}$ (durch Transf[ormation] mit passendem
$G\in\mathfrak{G}$).\\[5mm]
3.\quad Gibt es $A$ mit $\sum\delta_{i}\neq 0$, d.h. $\det(A)\neq 1$, und 
ist $A^{\prime}$ mit $\left\{\begin{array}{l}\alpha_{i}^{\prime}\neq 0\quad
,\\\delta_{i}^{\prime}=\textnormal{const}\end{array}
\right.$, konstant so ist entweder $\sigma\neq 0$, 
oder $\sum\alpha_{i}\neq 0$,
$\delta_{i}^{\prime}\neq 0$.\\[5mm]
4.\quad Ist $\mathfrak{A}_{1}$ sing[ul"ar], d.h., gibt es $A$ mit 
$\alpha_{1}=0$, $\delta_{1}\neq 0$, und ist nicht immer 
$\alpha_{i}^{\prime}=0$, so enth"alt die Kommutatorgruppe
$\mathfrak{G}\circ\mathfrak{A}$ der Blockgruppe in jedem Konst. 
\underline{alle} $D$ mit $\det(D)=1$ aber nicht unabh["angig] \anmerk.
\begin{flushright}56/57\end{flushright}

5.\quad Wenn man durch pass[ende] Wahl von $A,A^{\prime}$ $\sigma\neq 0$
erreichen kann, enth"alt $\mathfrak{G}$ \underline{alle} Diagonalmatrizen 
\[\left(\begin{array}{cccc}D_{1}\\ & D_{2}\\ & & \ddots\\ & & &
    D_{p}\end{array}\right)\] 
mit $\det(D_{i})=1$.\\
Denn w"ahle $C=A\circ A^{\prime}$, dann $A\neq$ Diag., also gibt es 
$B=\left(\begin{array}{ccc} & \cdots & \\ & \cdots & \\ & \cdots 
&\end{array}\right)$
mit $B_{i}=1$; dann ist $\mathfrak{G}\ni C\circ B$, hat Blockprodukt
$(S^{1-P})^{1-P}$, das erzeugt unter $P$ Gruppe der Ord[nung] $p-2$
(d.h. $p^{p-2}$) usw.: $C\circ^{p-2} B$ hat Blockprodukt 
\[Z=\left(\begin{array}{ccc}\varepsilon\\ & \ddots\\ & &
    \varepsilon\end{array}\right),\]
aber $C_{i}\circ^{p-2} B=Z^{\lambda_{i}}$, also $\prod Z^{\lambda_{i}}\neq 1$,
daher enth"alt $\mathfrak{G}$ \underline{alle} 
\[\left(\begin{array}{cccc}Z^{\mathfrak{z}_{1}}\\ & 
Z^{\mathfrak{z}_{2}}\\ & & \ddots\\ &
& & Z^{\mathfrak{z}_{p}}\end{array}\right).\]
Ebenso alle 
\[\begin{array}{ccc}Y^{(1)}\\ & \ddots\\ & & Y^{(p)}\end{array}\]
mit $Y\in$ invariante Gr[uppe] d[er] Ord[nung] $p^{2}=\mathfrak{Z}_{2}$ und so
weiter. Dann Ord$(\mathfrak{G})\ge p(p-1)+p+1=p^{2}+1$.\\[5mm]
6.\quad Gibt es $A$ mit $\sum\alpha_{i}\neq 0$, so gibt es 
\[A^{\prime}=\left(\begin{array}{cccc}D_{1}P\\ & D_{2}\\ & & \ddots\\ & & &
D_{p}\end{array}\right),\]
und unter Vor[aussetzung] 4 gibt es ganz 
\[\left(\begin{array}{cccc}\mathfrak{Z}_{p-2}\\ & \mathfrak{Z}_{p-2}\\ & &
    \ddots\\ & & &\mathfrak{Z}_{p-2}\end{array}\right)
\subseteq\mathfrak{G}\circ\mathfrak{A}.\]
Dann ist $|\mathfrak{G}|\ge p(p-2)+p+1=p^{2}-p+1$ [h:] (scharf?) [:h]
\begin{flushright}57/58\end{flushright}

7.\quad Ist $B\in\mathfrak{G}$, $B^{p}\neq$ Diag., und gibt es
Blockmatrix $A$ mit $\det(A)\neq 1$, und ist ein Konst[ituent]
$\mathfrak{A}_{i}$ singul"ar, so ist $|\mathfrak{G}|\ge p^{2}-p+1$\\[5mm]
Bew[eis]: 3.,5.,6., $A^{\prime}=B^{p}$.\\[5mm]
8.\quad Ist stets $G^{p}$ diag[onal], dann ist stets $\sum\alpha_{i}=0$.\\[5mm]
9.\quad Hauptsatz: $\mathfrak{P}$ sei eine transitive monomiale $p$-Gruppe des
Grades $p^{2}$ mit Koeff[izienten] $\varepsilon^{\nu}$; $\varepsilon^{p}=1$.
$\mathfrak{P}$ enthalte eine "Blockmatrix"
\[A_{0}=\left(\begin{array}{ccc}D_{1}A_{1}\\ & \ddots\\ & &
    D_{p}A_{p}\end{array}\right),\]
$D_{i}$ diagonal, $A_{i}=P^{\alpha_{i}}$, 
$\det(D_{i})=\varepsilon^{\delta_{i}}$, hier $A_{0}$: mit $|A_{0}|\neq 1$.\\
Dann tritt genau [durchgestrichen: mindest] einer der folgenden F"alle ein:
\begin{itemize}
\item[I:] Jeder Diagonalblock ist regul"ar. (Gleichwertig: F"ur \underline{jedes}
$A\in\mathfrak{P}$ ist $\alpha_{i}=c\delta_{i}$, $c$ unabh["angig] von $A$.)
Hier ist $\|\mathfrak{P}\|\ge p+2$ (scharf) [h:] \& $\|\mathfrak{P}\|
\le p^{2}+1$ scharf, [h:] wobei $|\mathfrak{P}|=p^{\|\mathfrak{P}\|}$ 
gesetzt ist. \\
Oder
\begin{flushright}58/59\end{flushright}
\item[II:]$[$h:$]$ Es gibt einen Diag. Block mit $\det\neq 1$. Dann [:h] sei
$\mathfrak{A}=$ Gruppe der Blockmatrizen:
$\|\mathfrak{P}\|>\|\mathfrak{A}\|+1$).
$\mathfrak{A}^{\prime}=\mathfrak{A}\circ\mathfrak{A}$ besteht aus allen
Diagonalmatrizen $\Pi_{i}$: $D=D_{1}\oplus...\oplus D_{p}$ mit
$|D_{i}|=1$ \& $\prod D_{\nu}\in\mathfrak{Z}_{i}$, wobei $\mathfrak{Z}_{i}$
($i=0,...,p-1$) die $i$-te auftretende
Zentralgruppe der mon[omialen] G[ruppe] der Ord[nung] $p^{p+1}$ bedeutet.
Hier ist 
\[
\left\{\begin{array}{l}\|\mathfrak{A}^{\prime}\|\ge (p-1)^{2}+i;
    (i\ge 0)\\\|\mathfrak{P}\|\ge p^{2}-p+2+i;\,i\ge 1\,\,(\textnormal{scharf})
;\end{array}\right.
\]
 $\mathfrak{P}\supseteq\Phi(\mathfrak{A})$ enth"alt sogar
$\Pi_{1}$ stets daher und enth"alt $\mathfrak{P}$ ein $A^{\prime}$ mit 
$\alpha_{i}\neq$ const, (const$\neq 0$), so ist $i\ge p-2$,
\underline{$\|\mathfrak{P}\|\ge p^{2}$}. Die Schranke ist scharf: Setze
$\mathfrak{P}=\{A,B\}$, wo 
\[A=\left(\begin{array}{ccccc}P^{-1}\\ & D\\ & & P^{-1}
\\ & & & I\\ & & & &
\ddots\end{array}\right),\quad B=\left(\begin{array}{cccc}0 & I\\ & 0 & I\\ 
 & & \ddots & \ddots\\ I 
\end{array}\right),\]
\[D=\left(\begin{array}{cccc}\varepsilon\\ & 1\\ & & \ddots\\ & & &
    1\end{array}\right),\quad P=\left(\begin{array}{cccc}0 & 1\\ & 0 &
    1\\ & & \ddots & \ddots\\ 1\end{array}\right).\]    
    \end{itemize}
 Bew[eis]: Liegt I nicht vor, so gibt es $A\in\mathfrak{P}$, Blockm[atrix], mit
$\delta_{p}=1,\delta_{1}=...=\delta_{p-1}=0$, ein $\alpha_{k}\neq 0$ f"ur ein
$k\neq 0$. Kommutiert man $A$ mit $\delta_{i+k},\alpha_{i+k}$, so entsteht nach
1. eine Matrix $C=\sum\limits_{\oplus}C_{i}$ mit $C_{i}=S_{i}^{1-P}$,
\begin{eqnarray*}\det(S_{i})=\alpha_{i}\delta_{i+k}-\alpha_{i+k}\delta_{i} &
= & 0\quad\textnormal{f"ur}\ i\neq 0,-k,\\ & \neq & 
0\quad\textnormal{f"ur}\ i=0,-k.\end{eqnarray*}
Also deckt die von $S$ erzeugte Gruppe (mit Konj.) in den ersten $p-1$
Komponenten ganz $\sum\limits_{1}^{p-1}\mathfrak{Z}_{p-1}$, also deckt
$\mathfrak{A}\circ\mathfrak{A}$ ganz $\underbrace{\mathfrak{Z}_{p-2}
\oplus...\oplus\mathfrak{Z}_{p-2}}_{p-1}$:\\
$\|\mathfrak{A}^{\prime}\|=(p-1)^{2}+\|\mathfrak{A}^{\prime}\cap
(1\oplus...\oplus 1\oplus\mathfrak{Z}_{p-1})\|$.
\begin{flushright}59/60\end{flushright}

Also ist 
$\|\mathfrak{A}^{\prime}\|\ge (p-1)^{2}$. Sind nun alle $\prod D_{i}$ f"ur 
$\mathfrak{A}^{\prime}=1$, so besteht $\mathfrak{A}^{\prime}$ genau aus
allen $\sum D_{i}$ mit dieser Eigenschaft wegen Anzahl.\\
Bilden die $\prod D_{i}$ eine Gruppe $\mathfrak{Y}\neq 1$, so ist
$\mathfrak{Y}=\mathfrak{Z}_{i}$ f"ur ein $i=1,...,p-1$, da es in
$\mathfrak{P}$ ein $A$ mit $\alpha_{1}=...=\alpha_{p}=1$ gibt; und da
$\mathfrak{A}^{\prime}$ schon alle $(Z_{1}\oplus...Z_{1}^{1}+...)$ 
enth"alt, ist ganz\[(Z_{1}...)\in\mathfrak{A}^{\prime},\]
dann ebenso, wenn $i\ge 2$, auch
$(\mathfrak{Z}_{2}+...+\mathfrak{Z}_{v})\subseteq\mathfrak{A}^{\prime}$
ebenso schlie"slich
$(\mathfrak{Z}_{1}\oplus...\oplus\mathfrak{Z}_{i})\subseteq
\mathfrak{A}^{\prime}$. Wenn $\mathfrak{P}$ ein $A$ mit $\alpha_{i}\neq$ const
enth"alt, kann man $\alpha_{i}=i$ w"ahlen. Nun ist
\[(\mathfrak{X}\oplus\mathfrak{Z}_{p-1}\oplus 0\oplus...\oplus
0)\subseteq\mathfrak{A}^{\prime},\]
also mit $A$ kommutiert:
\[(0\quad\mathfrak{Z}_{p-2}\quad 0\quad...\quad
0)\subseteq\mathfrak{A}^{\prime},\]
daher $i\ge p-2$.
\begin{flushright}60/61\end{flushright}

 Ist also $i\ge 1$, so $\|\mathfrak{P}\|\ge p^{2}-p+3$
aber $i=0$, so besteht $\mathfrak{A}^{\prime}$ aus der Gruppe $\Pi_{0}$
der $\sum D_{v}$ mit $\prod D_{v}=1$, $|D_{v}|=1$, und $\mathfrak{A}$ enth"alt
au"serdem noch die Diagonalmatrix 
\[A^{p}=\left(\begin{array}{cccc}\varepsilon I\\ & I\\ & & \ddots\\ & & & I
\end{array}\right),\]
wobei $A$ so gew"ahlt ist, dass $\delta_{1}=1,\delta_{i}=0$ $i>1$; 
$\alpha_{1}=...=\alpha_{p}=1$. Also ist $\Pi_{1}\subseteq\Phi\mathfrak{A}$.\\
NB: Gibt es so ein $A$ nicht, so gibt es 
\[A=\left(\begin{array}{ccc}D_{1}\\ & \ddots\\ & & D_{p}\end{array}\right)\]
mit $|D_{1}|\neq 1,|D_{2}|=...=|D_{p}|=1$, also $|A|\neq 1$ und diagonal,
daher enth"alt $\mathfrak{P}$ \underline{alle} Diag[onal]matrizen,
$\|\mathfrak{P}\|\ge p^{2}+2$.\\[5mm]
[h:] Noch Sch"arfe der Schranken f"ur $\|\mathfrak{P}\|$ pr"ufen. F"ur
$p^{p^{2}-p+3}\nmid g$ k"onnen also nur die Konstit[uenten] mit Grad $=p$
singul"ar sein.\\ s. S.79: Die \underline{Klasse} einer
\underline{singul["aren]} mon[omialen] tra[nsitiven] Gruppe 
ist vermutlich stets
gr"osser als die Klasse einer gleichgradigen Perm[utations]gruppe. Wenn das
stimmt, kann nie der \underline{l"angste} trans[itive] Konst[ituent] von
$\mathfrak{P}$ in einer monomialen Darst[ellung] von $\mathfrak{G}$ singul"ar
sein, 
au"ser wenn die zugeh"orige Permut[ations]darstellung \underline{untreu} ist.
Exponent=?. [:h]\newline
Frage: Welche Abbildungen $\mathfrak{G}\rightarrow\psi\mathfrak{G}$ des 
Systems $\mathfrak{S}$ aller $p$-Gruppen $\mathfrak{G}$ in $\mathfrak{S}$ sind
mit jedem Homomorphismus vertauschbar? Entsprechend f"ur Paare
$\mathfrak{H}\le\mathfrak{G}$? $\psi\mathfrak{G}=1$ definiert dann eine
vern"unftige Familie.
\begin{flushright}61/62\end{flushright}

\begin{center}Verlagerung\end{center}
1.\quad Sei $\varepsilon_{1}$ der Faktor von $x_{1}$, in der mon[omialen] 
Gr[uppe]
  $\mathfrak{G}$, und $\mathfrak{H}\ge\mathfrak{P}$ habe auf seinen
Tra[nsitivit"ats]gebieten die Determinanten $\eta_{1},...,\eta_{t}$. Es gebe
f"ur die $P\in\mathfrak{P}$ eine Darstellung
  $\varepsilon_{1}=\prod\eta_{\tau}^{m_{\tau}}$, $m_{\tau}$ [unleserlich].
Dann l"asst sich $\mathfrak{P}/\mathfrak{P}^{*}$ von $\mathfrak{H}$
  abschneiden, [h:] daher sind auf dem 1-Konstituenten von $\mathfrak{H}$ die
  Diagonalfaktoren konstant. [:h] Dann $\pi\eta^{m_{\tau}}$ ist auf ganz
  $\mathfrak{H}$ erkl"art, setzt den Homom. von
  $\mathfrak{P}/\mathfrak{P}^{*}$ fort ($\mathfrak{P}^{*}:\,\,
\varepsilon_{1}^{*}=1$).\\[5mm]
2.\quad Ist also $\mathfrak{G}_{1}\ge\mathcal{N}\mathfrak{P}$ und
  $\mathfrak{Q}$ schwach abg[eschlossen] in $\mathfrak{P}$ und sind alle
  Konstit[uenten] von $\mathfrak{P}$ (au"ser $\varepsilon_{1}$) in dem 
1-Tra[nsitivit"ats]gebiet von $\mathcal{N}\mathfrak{Q}$ regul"ar
  (d.h. $\det=1$), so l"asst sich $\mathfrak{P}/\mathfrak{P}^{*}$ von
  $\mathcal{N}\mathfrak{Q}$ abschneiden [h:] und wohl auch umgekehrt.
Man kann hier \underline{maximale} Gruppen $\mathfrak{G}$ betrachten auf die
  sich $\mathfrak{P}/\mathfrak{P}^{*}$ fortsetzen l"asst:
Jede gute Obergr[uppe] von $\mathfrak{G}$ [enth"alt] dann 
in ihrem 1-Konstituenten singul"are $\mathfrak{P}$-Konstituenten. [:h]
\begin{flushright}62/63\end{flushright}

\begin{center}[h:] Verschmelzung von Homomorphismen auf abelsche
  Gruppen [:h]\end{center}
3.\quad Fortsetzen eines Hom[omorphismus] von
$P\in\mathfrak{P}\rightarrow\varepsilon(P)$ 
auf $\mathfrak{H}\ge\mathfrak{P}$ und $\mathfrak{L}\ge\mathfrak{P}$, wo
$\mathfrak{H}\mathfrak{L}=\mathfrak{L}\mathfrak{H}$, ergeben genau dann eine
Fortsetzung auf $\mathfrak{L}\mathfrak{H}$, wenn
\[\begin{array}{l}\textnormal{(a) f"ur}\quad 
H=L(\in\mathfrak{H}\cap\mathfrak{L})\quad
\varepsilon(H)\,\,\textnormal{eindeutig ist},\\\textnormal{(b) f"ur}
\quad L^{-1}HL=H_{1}L_{1}\quad\textnormal{stets}\,\,\varepsilon(HH_{1}^{-1})
=\varepsilon(L_{1})\,\,\textnormal{ist}.\end{array}\]
[h:] d.h.: $HL=L_{2}H_{2}$ $\rightarrow$
$\varepsilon(H)\varepsilon(L)=\varepsilon(L_{2})\varepsilon(H_{2})$.
[:h]\\[5mm] 
4.\quad Dass $\overbrace{\textnormal{die Abspaltbarkeit von}
  \mathfrak{P}/\mathfrak{P}^{*}}^{\textnormal{[h:] kurz:}\,\,
\mathfrak{P}/\mathfrak{P}^{*} \textnormal{\underline{oben in}}\dots
\textnormal{[:h]}}$ in allen
  Sylow - Durchschnitte - Normalisatoren $\mf{d}$ f"ur ganz $\mathfrak{G}$
  ausreicht, ist klar? Dann ist $\mf{d}^{*}\lhd\mathcal{N}\mf{d}$,
daher hat $\mf{d}^{*}$ \underline{lauter} Einsen in der Diag[onale], 
soweit $\mathfrak{P}\cap\mathcal{N}\mf{d}$ reicht. 
Dazu braucht man also nichts "uber
singul"are Konstituenten.\\
 $[$h:$]$ Unklar; aber vielleicht klar unter der
Vor[aussetzung], dass $\mathcal{N}\mathfrak{P}_{\alpha}\cap\mathfrak{P}_{\beta}$ stets
$p$-nilpotent. Wenn $\mf{d}\subseteq\mathfrak{P}$ total singul"ar, gilt
f"ur $\mf{d}\subset\mathfrak{E}\subseteq\mathfrak{P}$ 
und $\mathfrak{E}/\Psi\mathfrak{E}$ Eig. R stets:
$\mf{d}\psi=\mf{d}^{*}\psi$, d.h. $\psi\neq\psi_1$
d.h. $\mf{d}\cap\psi\neq\mf{d}^{*}\cap\psi$,
d.h. $\mf{d}\le\mf{d}^{*}\psi$, also
$\mf{d}\le\bigcap\mf{d}^{*}\psi$. [:h]
\begin{flushright}63/64\end{flushright}

5.\quad Genau dann ist $\mathfrak{P}/\mathfrak{P}^{*}$ (von der Ord[nung] $p$)
\underline{oben} in $\mathfrak{G}$, wenn f"ur jeden Durchschnitt
$\mathfrak{P}\cap\mathfrak{P}^{G}=\mf{d}$,
$\mathfrak{P}^{*}\cap\mf{d}^{G}=\mf{d}^{*}$ und alle $Q$ von
Primzahlpotenzord[nung] $q^{\beta},q\neq p$ in $\mathcal{N}\mf{d}$ gilt:
$\mf{d}/\mf{d}^{*}$ oben in $\{\mf{d},Q\}$.\\
$[$ Randbemerkung: $]$\\ \
[h:] Vorsicht: stimmt zun"achst nur, wenn $\{\mf{d}Q\}$ 
\underline{$p$-nilpotent} ist \underline{f"ur alle} $\mf{d}$!
\underline{Dann} sind n"amlich zwei Sylowgr[uppen] 
$\ge\mf{d}$ stets konjugiert in Zs $\mf{d}$.\\
stimmt aber: S. (19) [:h]\newline
NB: Diese Gruppen, die einen Sylowdurchschnitt als Normalteiler mit zyklischer
$q$-Faktorgr[uppe] enthalten, sind vielleicht ein Gegenst"uck zu denen in 
Brauers Theorie: (zyklisch $p$-frei)$\times$($p$-Sy[low]gruppe des
Zentralisators).\\[5mm] 
6.\quad Versch"arfung von 5.: Hinreichend ist die Bed[ingung] 
5. schon, wenn sie
nur f"ur irgend ein spezielles System $Q_{i}$ [h:] $\in\mathcal{N}
\mf{d}$ (Ord belanglos) [:h]
zu $\mf{d}$ erf"ullt ist, das zusammen mit jeder $p$-Sylowgruppe von
$\mathcal{N}\mf{d}$ \underline{alle} $Q$, [h:] d.h. ganz
$\mathcal{N}\mf{d}$ [:h] erzeugt. Denn die $Q_{i}$
lassen dann $\mf{d}^{*}$ fest, also die $Q$ auf.. Es gen"ugen auch die
$Q$ im Erzeugnis der $p$-Sy[low]gruppen von $\mathcal{N}\mf{d}$.\\ $[$ Randbemerkung:$]$
[h:] Vorsicht s. 5.! [:h]
\begin{flushright}64/65\end{flushright}

7.\quad Ist in jeder Sylowgruppe $\mathfrak{P}_{i}$ ein
$\mathfrak{P}_{i}^{*}\underset{p}{\lhd}\mathfrak{P}_{i}$ ausgezeichnet, so
gibt es genau dann ein $\mathfrak{G}^{*}\underset{p}{\lhd}\mathfrak{G}$ mit 
$\mathfrak{G}^{*}\cap\mathfrak{P}_{i}=\mathfrak{P}^{*}$, wenn
$\mathfrak{P}_{i}^{*}\cap\mathfrak{P}_{k}=\mathfrak{P}_{i}
\cap\mathfrak{P}_{k}^{*}$.\\
Frage: Gilt das auch f"ur beliebiges $|\mathfrak{P}:\mathfrak{P}^{*}|$?\\[5mm]
8.\quad Eine transitive monomiale $p$-\underline{Gruppe} $\mathfrak{M}$ hei"se
\underline{singul"ar}, wenn aus $\mathfrak{M}_{1}<\mathfrak{N}\le\mathfrak{M}$
stets folgt:
 
\[\text{ Verlagerung }\mathfrak{M}_{1}^{\mathfrak{N}:\mathfrak{M}_{1}}\not\subseteq
\mathfrak{M}_{1}^{*}.\]
Daher l"asst $\mathfrak{M}_{1}$ die Var[iable] $x_{1}$ fest,
$\mathfrak{M}_{1}^{*}$ multipliziert sie mit 1. Die Def[inition] 
ist unabh"angig von der Wahl der Variablen $x_{1}$.\newline
[h:] NB: Wenn der Grad $\mathfrak{M}=1$ ist, hei"st das:
$\mathfrak{M}\neq\mathfrak{M}^{*}$. [:h]\\[5mm]
9.\quad Ein \underline{Element} $S$ einer trans. monomialen $p$-Gr[uppe]
 $\mathfrak{M}$
heisse singul"ar, wenn das Produkt der Diagonalfakt.$\neq 1$ ist und jeder
h"ohere Zyklus $\det=1$ hat. Es gilt:\\[5mm]
10.\quad [h:] VB: stimmt auch bei Grad $\mathfrak{M}=1$. [:h] 
Enth"alt [h:] ein transitives [:h]
$\mathfrak{M}$ ein singul"ares $S$, so ist $\mathfrak{M}$ singul"ar. Zum
Bew[eis] transformiert man S \glqq von oben her\grqq\,, so dass 
alle Abschnitte $\det\neq 1$ werden, nach Wahl
$\mathfrak{M}_{1}\lhd\mathfrak{M}_{2}\lhd...\lhd\mathfrak{M}_{k}$,
$\mathfrak{M}_{i}=\mathfrak{N}$.
\begin{flushright}65/66\end{flushright}

11.\quad Eine singul"are $p$-Gruppe des Grades $p,p^{2}$ hat mindestens die
Norm $p+1, p^{2}$ (S.59).\\[5mm]
12.\quad Enth"alt eine nicht notwendig transitive monomiale $p$-Gruppe 
$\mathfrak{P}$ ein
singul"ares Element $S$, so ist wenigstens ein transitiver Konstituent von
$\mathfrak{P}$ singul"ar (10.).\\[5mm]
13.\quad Jeder $p$-Sylowgruppe $\mathfrak{P}_{i}$ sei ein Normalteiler
$\mathfrak{P}_{i}^{*}\underset{p}{\lhd}\mathfrak{P}_{i}$ zugeordnet. Nenne
$\mathfrak{P}_{i}$ \& $\mathfrak{P}_{k}$ vertr"aglich, wenn
$\mathfrak{P}_{i}^{*}\cap\mathfrak{P}_{k}
=\mathfrak{P}_{k}^{*}\cap\mathfrak{P}_{i}$. Ist nur in einem
$\mathfrak{P}=\mathfrak{P}_{1}$ ein $\mathfrak{P}^{*}$ erkl"art, aber so, dass
$\mathfrak{P}^{*}\lhd\mathcal{N}\mathfrak{P}$, so wird durch die Festsetzung
\[(\mathfrak{P}^{G})^{*}=\mathfrak{P}^{*^{G}}\]
eindeutig eine F[un]ktion $\mathfrak{P}_{i}^{*}$ erkl"art. Genau dann ist
$\mathfrak{P}/\mathfrak{P}^{*}$ oben in $\mathfrak{G}$, wenn stets
$\mathfrak{P}_{i}$ vertr["aglich] $\mathfrak{P}_{k}$. Diese F[un]kt[ion]
$\mathfrak{P}_{i}^{*}$ ist invariant gegen\\ 
"Ahnl[ichkeits]transf[ormation], 
sowie gegen alle Autom[orphismen], die 
$\mathfrak{P}$ \& $\mathfrak{P}^{*}$ fest lassen.\\
$[$ Randbemerkung: $]$ [h:] f. z.B 
$|\mathfrak{P}|=1$ \\
Aufgabe: Verallg[emeinerung] f"ur schon teilweise oben abgespaltene
$p$. [:h]
\begin{flushright}66/67\end{flushright}

14.\quad Ist unter der Festsetzung 13. \underline{nicht}
$\mathfrak{P}/\mathfrak{P}^{*}$ oben $\mathfrak{G}$, so gibt es ein Paar
$\mathfrak{P}_{i},\mathfrak{P}_{k}$ mit \underline{maximalem} Durchschnitt,
die unvertr"aglich sind. OBdA. $\mathfrak{P}_{i}=\mathfrak{P}$. Nenne diese
\underline{maximal unvertr"aglich}.\\[5mm]
15.\quad Sind $\mathfrak{P}$ und $\mathfrak{P}^{\prime}$ maximal
unvertr"aglich, $\mathfrak{P}\cap\mathfrak{P}^{\prime}=\mf{d}$, so ist 
Ztr$(\mathfrak{P})\le\mf{d}$,
Ztr$(\mathfrak{P}^{\prime})\le\mf{d}$; es gibt $\mathfrak{P}^{\prime\prime}$ \& 
$\mathfrak{P}^{\prime\prime\prime}$,
ebenfalls max[imal] unvertr["aglich] mit dem Durchschnitt 
$\mf{d}$, derart
dass sowohl $\mathfrak{P}^{\prime\prime}$ wie
$\mathfrak{P}^{\prime\prime\prime}$  eine $p$-Sylowgr[uppe] von
$\mathcal{N}\mf{d}$ enth"alt und
$\mathfrak{P}^{\prime\prime\prime}=\mathfrak{P}^{\prime\prime^{N}}$ 
ist mit einem
$N\in\mathcal{N}\mf{d}$. [h:] Es gibt keine Kette
$\mathfrak{P}^{\prime\prime}=\mathfrak{P}_{0},\mathfrak{P}_{1},...,
\mathfrak{P}^{\prime\prime\prime}=\mathfrak{P}_{k}$
mit $\mathfrak{P}_{i}\cap\mathfrak{P}_{i+1}>\mf{d}$. [:h]\newline
D.h. es gibt ein zu $\mf{d}$ konjugiertes $\mathfrak{E}$, derart dass
$\mathfrak{P}$ und ein $\mathfrak{P}^{N}$, $N\in\mathcal{N}\mathfrak{E}$,
max[imal] unvertr["aglich] mit Durchschnitt $\mathfrak{E}$ sind. [h:] Und f"ur
$K\in\mathcal{N}\mathfrak{E}\cap\mathcal{N}\mathfrak{E}^{*}$ ist stets
$\mathfrak{P}\cap\mathfrak{P}^{NK}=\mathfrak{E}$. Def[inition]: Nenne
$\mathfrak{P},\mathfrak{P}^{N}$ mit all diesen Eigenschaften
\underline{extremal unvertr"aglich}. [:h]\\
Beweis: 16., 17. \&
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{2mm}
\begin{picture}(0,15)\thicklines
\drawline(0,0)(-6,6)\drawline(-6,6)(-10,12)\drawline(-6,6)(-3,9)(-3,13)
\drawline(0,0)(6,6)(11,12)\drawline(6,6)(3,9)(1.5,13)\drawline(3,9)(7,13)
\spline(-4.5,10.2)(-2.2,10.4)(0,10.9)(2.5,10.4)(5,10.2)
\put(-11.9,12){$\mathfrak{P}$}\put(-0.4,-1.5){$\mf{d}$}
\put(-0.7,7.7){$\mathcal{N}\mf{d}$}
\put(12,12){$\mathfrak{P}^{\prime}$}
\put(-3,14){$\mathfrak{P}^{\prime\prime}$}
\put(7,14){$\mathfrak{P}^{4}$}
\put(1.5,14){$\mathfrak{P}^{\prime\prime\prime}$}
\put(0,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(-6,6){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(-10,12){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(-3,13){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(-3,9){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(6,6){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(3,9){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(1.5,13){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(11,12){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(7,13){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\end{picture}
\end{center}\mbox{}\\[5mm]
Bestimme $\mathfrak{P}^{\prime\prime},\mathfrak{P}^{\prime\prime\prime}$ so,
dass sie die Sylowgr[uppe] von $\mathcal{N}\mf{d}$ enthalten.
\begin{flushright}67/68\end{flushright}

16.\quad Ist $\mathfrak{P}_{1}$ vertr. $\mathfrak{P}_{2}$ vertr. 
$\mathfrak{P}_{3}$ und
$\mathfrak{P}_{1}\cap\mathfrak{P}_{3}\le\mathfrak{P}_{2}$, so ist
$\mathfrak{P}_{1}$ vertr. $\mathfrak{P}_{3}$. Allgemeiner: Ist
$\mathfrak{P}_{i}$ vertr. $\mathfrak{P}_{i+1}$ und
$\mathfrak{P}_{1}\cap\mathfrak{P}_{n}\le\mathfrak{P}_{i}$, so
$\mathfrak{P}_{1}$ vertr. $\mathfrak{P}_{n}$.
[h:] Dann
\begin{eqnarray*}\mathfrak{P}_{1}^{*}\cap\mathfrak{P}_{n}
\le(\mathfrak{P}_{1}^{*}
\cap\mathfrak{P}_{2})\cap\mathfrak{P}_{n} & = &
\mathfrak{P}_{1}\cap\mathfrak{P}_{2}^{*}\cap\mathfrak{P}_{n}\\ & \le &
\mathfrak{P}_{1}\cap(\mathfrak{P}_{2}^{*}\cap\mathfrak{P}_{3})
\cap\mathfrak{P}_{n}=\mathfrak{P}_{1}\cap\mathfrak{P}_{2}
\cap\mathfrak{P}_{3}^{*}\cap\mathfrak{P}_{n}.\\
&&\textnormal{[:h]}\end{eqnarray*} 
17.\quad Ist $Z\in\mathcal{N}(\mathfrak{P}_{1}\cap\mathfrak{P}_{2})
\bigcap\mathcal{N}(\mathfrak{P}_{1}^{*}\cap\mathfrak{P}_{2})$, 
$\mathfrak{P}_{2}=\mathfrak{P}_{1}^{Z}$, so ist $\mathfrak{P}_{1}$ vertr.
$\mathfrak{P}_{2}$.\\[5mm]
Bew[eis]: 
\begin{eqnarray*}\mathfrak{P}_{1}^{*}\cap\mathfrak{P}_{2} & = & 
(\mathfrak{P}_{1}^{*}
\cap\mathfrak{P}_{1}\cap\mathfrak{P}_{2})^{Z}=\mathfrak{P}_{1}^{*^{Z}}\cap(
\mathfrak{P}_{1}\cap\mathfrak{P}_{2})^{Z}\\ & = & (\mathfrak{P}_{1}^{Z})^{*}
\cap(\mathfrak{P}_{1}\cap\mathfrak{P}_{2})=\mathfrak{P}_{2}^{*}\cap(
\mathfrak{P}_{1}\cap\mathfrak{P}_{2})=\mathfrak{P}_{2}^{*}
\cap\mathfrak{P}_{1}.\end{eqnarray*}
[h:] Hauptsatz [:h]\\[3mm]
18.\quad Zu jedem $\mathfrak{P}^{\prime}$ mit der Eigenschaft, dass
   $\mathfrak{P}\cap\mathfrak{P}^{\prime}=\mf{d}$ sowohl
   $\ge$Ztr$(\mathfrak{P})$ wie Ztr$(\mathfrak{P}^{\prime})$ ist, und dass
   $\mathfrak{P}$ eine Sy[low]gr[uppe] von $\mathfrak{N}=
\mathcal{N}\mf{d}$
   emth"alt und $\mathfrak{P}^{\prime}=\mathfrak{P}^{N}$ ist mit
   $N\in\mathfrak{N}$, gebe es $Z\in\mathcal{N}\mf{d}\cap\mathcal{N}
\mf{d}^{*}$ ($\mf{d}^{*}=\mathfrak{P}^{*}\cap\mf{d}$)
mit $\mathfrak{P}^{\prime^{Z}}=\mathfrak{P}$. Dann
   $\mathfrak{P}/\mathfrak{P}^{*}$ oben in $\mathfrak{G}$. Die Vor[aussetzung]
   ist z. B. erf"ullt, wenn es zu jedem \underline{solchen Paar}
   $\mathfrak{P},\mathfrak{P}^{\prime}$ eine subnormale Untergr[uppe]
\begin{flushright}68/69\end{flushright}

   $\mathfrak{A}$ von $\mathfrak{N}/\mf{d}$ gibt, deren Ord[nung] durch
   $p$ teilbar ist und in der jedes $p$-freie Element
   $\in\mathcal{N}\mf{d}^{*}$ liegt. (Denn durch $p$-freie Elemente von
   $\mathfrak{A}$, nacheinander angewandt, l"asst sich $\mf{P}^\prime$ in etwas
   transformieren, was mit $\mathfrak{P}$ nicht den Durchschnitt
   $\mf{d}$ hat, es gibt dann also keine extremal unvertr["aglichen]
Gruppen im Sinn von 15.)\\[5mm]
Sonderfall: [h:] Wenn $\mathcal{N}\mf{d}$ $p$- nilpotent ist f"ur jedes
   \grqq extremale\grqq\,\, $\mf{d}$, so  
$\mathfrak{G}$ $p$-nilpotent. Genauer: [:h]\\
19.\quad Nenne ein Paar $\mathfrak{P}$, $\mathfrak{P}^{\prime}$ extremal, wenn
   \[\begin{array}{l}\textnormal{a)
   Ztr}(\mathfrak{P})\cup\textnormal{Ztr}(\mathfrak{P}^{\prime})\subseteq
\mf{d}=\mathfrak{P}\cap\mathfrak{P}^{\prime},\\\textnormal{b)}\,\,
\mathfrak{P}\,\,\textnormal{enth["alt] eine p-Sy[low]gr[uppe]
  von}\,\,\mathcal{N}\mf{d},\\\textnormal{c)}\,\,\mathfrak{P}
=\mathfrak{P}^{\prime^{N}}\,\,\textnormal{mit}
\,\,N\in\mathcal{N}\mf{d},\\
\textnormal{d) es gibt keine Kette}\,\,\mathfrak{P},\mathfrak{P}_{1},
\mathfrak{P}_{2},...,
\mathfrak{P}^{\prime}\,\,\textnormal{mit}\,\,
\mathfrak{P}_{i}\cap\mathfrak{P}_{i+1}>\mf{d}\,\,\textnormal{[h:]}
\forall i\,\,\textnormal{[:h]},
\\\textnormal{[h:] e)}\,\,\mathfrak{P}^{\prime}
\cap\mathcal{N}\mf{d}^{*}=\mf{d}.\,\textnormal{[:h]}\end{array}\]
(Genau) dann ist $\mathfrak{P}/\mathfrak{P}^{*}$ oben in $\mathfrak{G}$, wenn
$\mf{d}^{*}=\mathfrak{P}^{*}\cap\mf{d}$ normal ist unter jedem
$p$-freien Element von $\mathcal{N}\mf{d}$, sobald
$\mathfrak{P},\mathfrak{P}^{\prime}$ extremal
;$\mathfrak{P}\cap\mathfrak{P}^{\prime}=\mf{d}$; d.h., wenn
$\mf{d}/\mf{d}^{*}$ oben in $\{\mf{d}Q\}$ f"ur jedes Element
$Q$ der Ordnung $q^{\beta}$, $q\neq p$, und zwar gen"ugt diese Bed[ingung] 
f"ur alle
\underline{extremalen Paare} $\mathfrak{P},\mathfrak{P}^{\prime}$. Damit ist
5 in sch"arferer Form bewiesen.\\[5mm]
[h:] 1) NB: d) kann auch so ausgesprochen werden: Es besteht 
kein \glqq H"ohenweg\grqq
\,\, von $\mathfrak{P}$ nach $\mathfrak{P}^{\prime}$. [:h]
\begin{flushright}69/70\end{flushright}

20.\quad Hinreichend f"ur $\mathfrak{P}/\mathfrak{P}^{*}$ oben in
$\mathfrak{G}$: F"ur jedes $\mathfrak{P}^{\prime}$, f"ur das $\mf{d}\ge$
Ztr$(\mathfrak{P})$, $\mathfrak{P}\supseteq$ Sy[low]gr[uppe]
$\mathcal{N}\mf{d}$ gilt
$\mf{d}^{\mathfrak{A}:\mf{d}}\subseteq\mf{d}^{*}$, immer
wenn $\mf{d}\underset{p}{<}\mathfrak{A}\le\mathfrak{P}^{\prime}$. Denn
dann ist nach dem alten Satz $\mathfrak{P}/\mathfrak{P}^{*}$ oben in
$\mathcal{N}\mf{d}$, daher $\mathfrak{P}$ vertr"aglich mit
$\mathfrak{P}^{\prime}$; nun 15..\\[5mm]
21.\quad Daf"ur, dass jeder $p$-Kopf von $\mathcal{N}\mathfrak{R}$ sofern in
$\mathfrak{G}$ oben ist, d"urfte gen"ugen: die Normalisatoren der
$p$-Sylowdurchschnitte haben die $p$-L"ange 1; [h:] vielleicht Versch"arfung
f"ur $p=2$: \glqq soweit sie 2-aufl"osbar sind\grqq\, [:h] 
(u[nd] sind $p$-aufl"osbar).\\
Denn in einer Gruppe der $p$-L"ange 1 ist in einer von $p$-Gruppen erzeugten
Gruppe stets alles $p$-freie ganz nach unten zu schieben (19.).\\[5mm]
22.\quad Eine Bezeichnung f"ur monomiale Subst[itutionen]:
\[(1\,\varepsilon\,2\,\zeta\,3...)(6\,\rho\,7\,\tau...)\]
f"uhre $x_{1}$ in $\varepsilon\cdot x_{2}$ "uber. Oder k"urzer:
$(1_{\omega}\,2_{\varepsilon}\,3_{\zeta}...)$.\newline
[h:] \underline{Vern"unftige} Def[inition] f"ur 
$\mathfrak{P}/\mathfrak{P}^{*}$
sin[g.] in $\mathfrak{P}$ (wobei $\mathfrak{P}:\mathfrak{P}^{*}=p$):
Die monomiale Darstellung von $\mathfrak{P}$ nach
$\mathfrak{G}/\mathfrak{G}^{*}$ enth"alt ein sing[ul"ares] Element im Sinne der
Definition von S.$65_{9}$. [:h]
\begin{flushright}70/71\end{flushright}
23.\quad $\mf{P}/\mf{P}^\ast$ oben in $\mf{G}\leftrightarrow$ für jedes $\mf{d}=\mf{P}\cap\mf{P}^\prime$ und jede Sylowgr $\mf{p}$ von $\mathcal{N}\mf{d}$ ist
\[
\mf{d}^{\mf{p}:\mf{d}}\le\mf{P}^\ast
\]
Es genügt, die $\mf{d}$ zu nehmen mit Eig. 19 a) - d).\\
dazu kann man wohl noch fordern: $\mf{d}$ ist Durchschn.  ($\le$ zweier) Sylowgr. von jeder Obergruppe von $\mf{d}$.\\
Bew: Extremales $\mf{P},\mf{P}^\prime$ betrachten, $\mf{y}=\mathcal{N}\mf{d}$. Darin sind je zwei Sy Gr mit Durchschnitt $>\mf{d}$ verträglich (weil die fortsetzenden Sy Gr von $\mf{G}$ vertr. sind), also ist für sie die Verlag Bedingg erfüllt. Für die $\mf{p}^\prime$ mit $\mf{p}^\prime\cap\mf{p}=\mf{d}$ ist die Bedg nach Vor. erfüllt; also ist $\mf{d}/\mf{d}^\ast$ oben in $\mf{y}$, daher je zwei $\mf{p},\mf{p}^\prime$ verträglich. Daher sind je zwei $\mf{P},\mf{P}_3$ vertr., die $\mf{N}$ in vollen Sy Gr schneiden; und $\mf{P}_2$ vertr. $\mf{P}$ nach 16. 
\begin{flushright}71/72\end{flushright}
24.\quad $(\mathfrak{G}^{\prime})_{p}=\mathfrak{P}^{\prime}
\bigcup_{\mathfrak{d}}\bigcup_{\mathfrak{p}}
\mathfrak{d}^{\mathfrak{p}:\mathfrak{d}}$,\\
wo $\mathfrak{p}$ die $p$-Sy[low]gr[uppen] von 
$\mathcal{N}$ durchl"auft,
$\mathfrak{d}$ die Durchschnitte 19., $\prime= $Ko\-mmu\-ta\-tor\-gr[u\-ppe],\\
$\underline{=\bigcup\mathfrak{V}^{N}}$ \\
wo $\mathfrak{V}=\mathfrak{d}^{\mathfrak{p}:\mathfrak{d}}$,
$\mathfrak{p}=\mathcal{N}\mf{d}\cap\mathfrak{P}$ und $N\in\mathcal{N}\mf{d}$.\\[5mm]
25.\quad Die Vor[aussetzung]
$\mathfrak{d}^{\mathfrak{p}^{\prime}:\mathfrak{d}}\subset\mathfrak{d}^{*}$
ist von selbst erf"ullt, wenn $\mathfrak{d}$ die folgende Eigenschaft in
$\mathfrak{P}$ hat:\\
Bezeichne $\mathfrak{A}$ die gr"osste in $\mathfrak{P}$ 
schwach abg[eschlossene]
Untergr[uppe] von $\mathfrak{d}$ (dann $\ofrac{\mathfrak{A}\lhd
\mathfrak{P}^{\prime}}{\mathfrak{A}\lhd\mathcal{N}\mathfrak{d}}$,
wenn $\mathfrak{d}\le\mathfrak{P}^{\prime}$).\\
Verlangt wird: Aus $N\in\mathcal{N}\mathfrak{d}$, $\ofrac{D\in\mathfrak{d}}{
G\in\mathfrak{G}}$, $\{N,D^{G}\}/\mathfrak{A}\cap\mathfrak{P}^{*}$
Eig.R., folgt $N\in\mathfrak{d}$.\\
So ist z.B. $\mathfrak{Z}_{p-1}(\mathfrak{P})\subseteq\mathfrak{d}$
voraussetzbar. Ebenso wohl
$|\mathfrak{Z}_{2p-1}(\mathfrak{d}):\mathfrak{d}|\le p$ usw.\\
NB: absteig[ende] Zentralreihe, $\mathfrak{G}^{[1]}=\mathfrak{G}$.\\
Ist $\mathfrak{G}^{[k]}\not<\mathfrak{d}$, so ist, wenn $\mathfrak{d}$
sing., Klasse $\mathfrak{P}\ge k(p-1)$. Denn Verlagerung $(p-1)$ mal mittels
$\mathfrak{G}^{[k]}$ gibt etwas $\neq 1$ in
$\mathfrak{G}^{[k+1+k(p-2)]}$.\\ 
 $[$h:$]$ Das ist wohl weniger scharf, als was mit Fortsetz[un]g der Unters. 
von 58 zu bekommen w"are. [:h]
\begin{flushright}72/73\end{flushright}
26.\quad Ist $\mathfrak{d}/\mathfrak{d}^{*}$ singul"ar [h:] bez["uglich]
Verlag[erung] [:h] in
$\mathfrak{P}^{\prime}$, und $\mathfrak{Q}\lhd\mathfrak{P}^{\prime}$ 
so ist entweder $\mathfrak{Q}\le\mathfrak{d}^{*}$ oder 
$\mathfrak{Q}\circ^{p-1}D$ deckt $\mathfrak{d}/\mathfrak{d}^{*}$, bei
[durchgestrichen: jeder ist] passender
Wahl von $D\in\mathfrak{d}$.\\[5mm]
Bew[eis]: $\mathfrak{Q}\not\subseteq\mathfrak{d}^{*}$,
$\mathfrak{Q}\subseteq\mathfrak{d}$ $\to$ $\mathfrak{Q}$ deckt.\\
$\mathfrak{Q}\not\subseteq\mathfrak{d}$ $\to$
$\mathfrak{Q}\mathfrak{d}\supseteq\mathfrak{E}\underset{p}{>}\mathfrak{d}$
$\to$ $\mathfrak{d}^{\mathfrak{E}:\mathfrak{d}}\subseteq\mathfrak{E}
\circ^{p-1}D$\\[5mm]
27.\quad Ist $\mathfrak{Q}_{0}=\mathfrak{d}\underset{p}{<}
\mathfrak{Q}_{1}\underset{p}{<}\mathfrak{Q}_{2}<...\underset{p}{<}
\mathfrak{Q}_{r}$, [h:] und
$\mathfrak{Q}_{2}^{\mathfrak{Q}_{2}:\mathfrak{Q}_{1}}\subseteq\mathfrak{d}$ $[$h:$]$
dazu gen"ugt $\mathfrak{d}\lhd\mathfrak{Q}_{2}$,
$\mathfrak{Q}_{2}/\mathfrak{d}=(p,p)$ [:h], so ist
\[ \mf{d}^{\mathfrak{Q}_{r}:\mf{d}}\le\mf{d}^{\mathfrak{Q}_{1}
:\mf{d}} \]
Bew: $\mathfrak{d}^{\mathfrak{Q}_{r}:\mathfrak{Q}_{2}}\subseteq
\mathfrak{Q}_{2}$,
$\mathfrak{Q}_{2}^{\mathfrak{Q}_{2}:\mathfrak{Q}_{1}}\le\mathfrak{d}$ \\
$\mathfrak{d}^{\mathfrak{Q}_{r}:\mathfrak{Q}_{0}}=\left[(\mathfrak{d}^
{\mathfrak{Q}_{r}:\mathfrak{Q}_{2}})^{\mathfrak{Q}_{2}:\mathfrak{Q}_{1}}
\right]^{\mathfrak{Q}_{1}:\mathfrak{d}}\le\mathfrak{d}^{\mathfrak{Q}_{1}
:\mathfrak{d}}$\\[5mm]
[h:] 28.\quad Weitere Fragen: \\
a) Zus"atzliche Einschr"ankungen f"ur die extremal
unvertr. $\mathfrak{P},\mathfrak{P}^{\prime}$.\\
b) Es d"urfte lohnen, hinreichende Bed f. Vertr"aglichkeit zweier Sy Gr. von
$\mathcal{N}\mathfrak{d}$ zu suchen. D.h. man kann annehmen
$\mathfrak{d}\lhd\mathfrak{G}$, $\Phi\mathfrak{d}=1$, alle gr"osseren
Durchschnitte sind vertr"aglich. Gen"ugt eine Verlag.-Bed[in]g[un]g!\\
c) Erweiterung nach Halls Art auf nichtabelsche Faktorgruppen\\
d) Von der Beschr"ankung auf Verlagerung innerhalb $\mathcal{N}\mathfrak{d}$ 
herkommen durch Verwendung von $66_{12}$, 61, $58_{9}$; nicht allein mit
Verlagerung arbeiten, Untergruppen vom Typus $58_{9}$ benutzen.\\
e) Den Fall genau untersuchen, dass \anmerk~ 
$\mathfrak{P}_{i}:\mathfrak{P}_{i}\cap\mathfrak{P}_{k}=p$\\
f) N"utzen hier Aussagen wie $36_{5}$? [h:] 
\begin{flushright}73/74\end{flushright}
29. \quad Bezeichnet $\mathfrak{G}^{p}$ das Erzeugnis aller $G^{p^{g}}$,
so gilt wohl f"ur jede Sy Gr $\mathfrak{P}$:
\[\mathfrak{P}\cap\mathfrak{G}^{p}=\big<\mathfrak{d}
\cap(\mathcal{N}\mathfrak{d})^{p}\big>\]
wo $\mathfrak{d}$ alle Sylowdurchschn[itte] [h:] 
$\mathfrak{P}\cap\mathfrak{P}^{R}$ [:h]
durchl"auft (einschl. $\mathfrak{P}$) man kann wohl auch rechts $p$ durch
$p^{\prime}p$ ersetzen. Doch scheint dieser Satz nicht 19 zu enthalten.\\[5mm]
30.\quad $\mathfrak{G}$ ist $p$-nilpot. genau wenn aus 
\[\mathfrak{p}^{Q}=\mathfrak{p},\quad |\mathfrak{p}|=p^{\cdot\cdot},\quad
(|Q|,p)=1\] 
folgt $\mathfrak{p}\circ Q=1$. [h:] (Frobenius)\\
Enth"alt wohl S"atze v. Sah: MZ \underline{68},
181-204. [:h]\\[5mm] 
31.\quad Es gilt wohl: Sei $\mathfrak{P}^{*}\lhd\mathfrak{P}$. Genau dann ist 
$\mathfrak{P}/\mathfrak{P}^{*}$ ob[en] in $\mathfrak{G}$, wenn in
$\mathcal{N}\mathfrak{P}$, [\&] $\mathfrak{d}/\mathfrak{d}^{*}$ zentralisiert
wird von jedem $Q\in\mathcal{N}\mathfrak{d}$ $(|Q|,p)=1$. Es gen"ugt auch,
wenn eine einzige Hauptreihe von $\mathfrak{P}$ bis $\mathfrak{P}^{*}$ bei
Durchschnittsbild[un]g mit $\mathfrak{d}$ in diesem Sinn invariant ist.
\begin{flushright}74/75\end{flushright}
32.\quad Es gilt wohl: Sei
$\mathfrak{P}^{*}=\mathfrak{P}^{(l)}\underset{p}{\lhd}\mathfrak{P}^{(l-1)}
\underset{p}{\lhd}...\mathfrak{P}$. Dann gilt: $\mathfrak{P}/\mathfrak{P}^{*}$
oben in $\mathfrak{G}$ $\leftrightarrow$ in $\mathcal{N}\mathfrak{P}$,
\& jede Gruppe $\mathfrak{P}^{(\lambda)}\cap\mathfrak{d}$ ist invar.\\
a) in jeder $p$-Sylowgr von $\mathcal{N}\mathfrak{d}$ oder\\ 
b) unter jedem $Q\in\mathcal{N}\mathfrak{d}$ mit $(p,|Q|)=1$.\\
 $[$h:$]$ F"ur $\mathfrak{P}^{(\lambda)}\lhd\mathfrak{P}$ hab ichs bewiesen.\\
Die Bedgg ist sicher erf"ullt, wenn $\mathfrak{P}^{(\lambda)}\cap\mathfrak{d}$
char. in $\mathfrak{d}$ [:h]\\[5mm]
[h:] [ [:h] 33.\quad Zusatz: Es ist nicht notwendig, dass
$\mathfrak{P}^{\lambda}\underset{p}{\lhd}\mathfrak{P}^{\lambda-1}$.
Es gen"ugt $|\mathfrak{P}^{\lambda-1}:\mathfrak{P}^{\lambda}|<p^{p}$,
$\mathfrak{P}^{\lambda-1}$ [h:] ist das wahr?] [:h]\\[5mm]
34.\quad Sei
$\mathfrak{P}\underset{p}{\rhd}\mathfrak{P}^{\prime}\rhd...\underset{p}{\rhd}
\mathfrak{P}^{\lambda}\underset{p}{\rhd}\mathfrak{P}^{*}$,
$\mathfrak{P}^{\lambda}\lhd\mathfrak{P}$. Dann $\mathfrak{P}/\mathfrak{P}^{*}$
oben in $\mathfrak{G}$ $\leftrightarrow$ in $\mathcal{N}\mathfrak{P}$ \&
\[(\mathfrak{d}^{\lambda})^{\mathcal{N}\mathfrak{d}:\mathfrak{d}}\le
\mathfrak{d}^{\lambda+1};\quad \mathfrak{d}^{\lambda}=\mathfrak{P}^{\lambda}\cap\mathfrak{P}_{1}.\] 
[h:] stattdessen tuts auch irgend ein $\mathfrak{U}^{(\lambda)}\mathfrak{d}$,
$\mathfrak{d}<\mathfrak{U}^{\lambda}\le\mathfrak{P}^{\prime}$. [:h]
\begin{flushright}75/76\end{flushright}
\begin{center}[h:] \grqq Sylowdurchschnitte \& $p$-Faktorgruppen\grqq\,\,
Verlagerung [:h]\hfill 25.4.59\end{center}
\begin{tabular}[t]{r}35.\quad Satz:\newline [h:] Zusatz 37 [:h]\end{tabular} 
F"ur jeden echten
Sylowdurchschnitt $\mathfrak{d}$ setze man
$\mathfrak{N}=p(\mathcal{N}\mathfrak{d})=$ Erzeuger d $p$-Sy Gr von
$\mathcal{N}\mathfrak{d}$ und wenn $\mathfrak{d}<\mathfrak{P}$, setze man f"ur
jedes 
\[\mathfrak{E}\le\mathfrak{d},\mathfrak{E}\lhd\mathfrak{N}:\quad
\mathfrak{E}^{\prime}=\left(\mathfrak{E}^{(\mathfrak{P}\cap\mathfrak{N})
:\mathfrak{d}}\right)^{\mathfrak{N}}\]
Schliesslich setze man [h:] \glqq Kompression von $\mathfrak{d}$\grqq\,\, [:h]
$=\mathfrak{d}^{\infty}=\bigcap\mathfrak{d}^{(\nu)}(=\textnormal{min }
\mathfrak{d}^{(\nu)})$.\newline
[h:] \anmerk  $\mathfrak{E}^{\prime}=\bigcup\mathfrak{E}
^{\mathfrak{p}_{i}:\mathfrak{d}}$,
$\mathfrak{p}_{i}=p$-Sy Gr von $\mathcal{N}\mathfrak{d}$.
[:h]\newline
Dann ist mit $\tilde{\mathfrak{P}}=\mathfrak{G}^{p}\cap\mathfrak{P}$:
\[\tilde{\mathfrak{P}}=[(\widetilde{\mathcal{N}\mathfrak{P}})^{p}\cap
\mathfrak{P}]\cup\bigcup\mathfrak{d}^{\infty},~ \textnormal{[\small{Querverweis in den folgenden Abschnitt 36: "`Besser..."'}]}\]
wo $\mathfrak{d}$ "uber alle im folgenden Sinn singul"aren Sy Durchschnitte
l"auft: Es gibt $\mathfrak{P}^{*}<\mathfrak{P}$,
$\mathfrak{P}^{*}\lhd\mathcal{N}\mathfrak{P}$,
$\mathfrak{P}:\mathfrak{P}^{*}=p$; es ist
$\mathfrak{d}=\mathfrak{P}\cap\mathfrak{P}_{1}$, sowohl $\mathfrak{P}$ wie
$\mathfrak{P}_{1}$ enthalten Sylowgr von $\mathcal{N}\mathfrak{d}$, f"ur je
zwei $\mathfrak{P}_{i}$ mit
$\mathfrak{P}_{i}\cap\mathfrak{P}_{j}>\mathfrak{d}$ ist
$\mathfrak{P}_{i}^{*}\cap\mathfrak{P}_{j}=\mathfrak{P}_{j}^{*}
\cap\mathfrak{P}_{i}^{\prime}$, aber nicht f"ur alle
$\mathfrak{P}_{i},\mathfrak{P}_{j}$ mit
$\mathfrak{P}_{i}\cap\mathfrak{P}_{j}=\mf{d}$;\newline
[h:] Klar ist $\mathfrak{d}_{0}<\tilde{\mathfrak{P}}$: mod $\mathfrak{G}^{p}$
rechnen; bei jeder Kompression kommt man in einer $p$-Gr $\neq 1$ 
\underline{tiefer} [:h]\\
$[$Randnotiz:$]$ Eignet sich f"ur Ver"off. ohne Eingehen auf sing. Elem. \&
monom. Gr.; die m"ussten eigentlich erst mit Koeff aus $p$-Gruppen betrachtet
werden vor Fortsetzg. Es ist
$\mathcal{N}\mathfrak{d}^{*}\cap\mathfrak{p}^{\prime}\le\mathfrak{d}$. [Ende Randnotiz] \\[5mm]
Bew wie 18 und mit der Bemerkung: Ist in einer tra mon Darst. $S$ ein 
Element mit nicht lauter gleichen Diag-fakt. der Ord $p$ aus dem
Zentrum der Koeffgruppe, und Grad$\not\equiv 0\,\,(p)$, so kann man $S$
\underline{unbeschr"ankt oft} Operationen der Gestalt
$\left(S^{\mathfrak{p}^{\prime}:\mathfrak{d}}\right)^{\mathfrak{N}}$
unterwerfen, ohne jemals ganz nach $\mathfrak{P}^{*}$ 
zu kommen.
\begin{flushright}76/77\end{flushright}
36.\quad Folge: $\overline{\mathfrak{P}}=...\bigcup\mathfrak{d}_{1}$, wo $\mathfrak{d}_{1}$
  der kleinste Normalteiler von $\mathfrak{N}$ in $\mathfrak{d}$ ist, der
von $\mathfrak{d}$ aus durch eine Hauptreihe von $\mathfrak{N}$ mit Indizes
$<p^{p}$ erreicht werden kann.\newline
[h:] Z.B. wenn \underline{$\mathfrak{N}$ $p$-"uberaufl"osbar}, ist
$\mathfrak{d}_{1}=1$.\\
Besser: $\mathfrak{d}_{0}=$ kl. NT von $\mathfrak{N}$, der von $\mathfrak{N}$
aus durch \underline{normierte} Hauptfaktoren $\mathfrak{H}$ zu erreichen ist
(d.h. $\mathfrak{H}^{\mathfrak{p}:\mathfrak{d}}=1$): von selbst ist
$\mathfrak{H}^{D-1}=1$.\newline
\underline{NB}: $\mf{p}:\mf{d}=(p_1-1)^{p-1}\cdots(p_s-1)^{p-1}$, wenn $|\mathfrak{p}:\mathfrak{d}|=p^{s}$
[:h]\\[5mm] 
37.\quad Zusatz zu 35: Man kann $\mathfrak{d}_{0}$ weiter verkleinern,
in dem man es als\\ \underline{Durchschnitt} der durch unbeschr"ankte
Anwendung von Kompressionen der Gestalt
\[\kappa_{i}(\mathfrak{X})=\left(\mathfrak{X}^{\mathfrak{p}_{i}:\mathfrak{d}}
\right)^{\mathfrak{N}},\quad\textnormal{wo}\,\,
\mathfrak{d}<\mathfrak{p}_{i}\le\mathfrak{P}\]
auf $\mathfrak{d}$ entstehenden Gruppen definiert.
[h:] Diese $\kappa$ sind \glqq monoton\grqq\,\, bez. $\mathfrak{X}$ mit 
$X^{\mathfrak{p}_{i}:\mathfrak{d}}=\prod X^{P_{i}:\mathfrak{d}}$, wo $P_{i}$
ein festgew"ahltes pass. Restsystem. [:h]\newline
Also ist $\mathfrak{d}_{0}$ die gr"osste Untergr. von $\mathfrak{d}$ mit
\[\kappa_{i}(\mathfrak{d}_{0})=\mathfrak{d}_{0}\quad\textnormal{f alle}\,\,i.\]
[h:] \underline{Dieses} $\mathfrak{d}_{0}$ kann man den Beitrag von $\mathfrak{d}$
zu $\tilde{\mathfrak{P}}$ nennen. Als \glqq maximalen Beitrag\grqq\,\ 
von $\mathfrak{d}$ zu $\tilde{\mathfrak{P}}$ k"onnte man
\[\mathfrak{d}\cap(\tilde{\mathfrak{P}}-\Phi\tilde{\mathfrak{P}})\]
definieren. Wichtiger w"are ein \glqq minimaler Beitrag\grqq. [:h]
\begin{flushright}77/78\end{flushright}
38.\quad $\mathfrak{d}$ max sing $\to$ $\mathfrak{d}=$ Fittinggr von
$\mathcal{N}\mathfrak{d}$ $\to$
$\mathcal{N}\mathfrak{d}=\mathcal{NN}\mathfrak{d}$.\\[5mm]
39.\quad Wenn f"ur jedes $\mathfrak{d}\neq\mathfrak{P}$ der \glqq
Rest\grqq\,\, $\mathfrak{P}^\prime$ in $\Phi\mathfrak{p}$  liegt, tr"agt kein
$\mathfrak{d}\neq\mathfrak{P}$ etwas zu $\widetilde{\widetilde{\mathfrak{P}}}\subseteq\mathfrak{P}\cap\mathfrak{G}^{p}$ bei (\anmerk ~$(p,p)$). 
Denn dann ist stets $\mf{d}_{0}<\Phi\mathfrak{P}$.)\\[5mm]
Folge: Erst recht gibts ein $\mathfrak{d}$ mit
$\mathfrak{d}_{0}\not<\cap\Phi\mathfrak{p}$, wenn
$\mathfrak{G}=\mathfrak{G}^{p}$ und $\mathcal{N}\mathfrak{P}$ $p$-nilp.\\[5mm]
40.\quad $\mathfrak{P}$ hamiltonsch $\to$
$\mathfrak{G}\sim\mathcal{N}\mathfrak{P}$ bez"ugl Exp von p in
$\mathfrak{G}^{(p)}$:\\[5mm]
41.\quad Satz 35 enth"alt meinen alten Hauptsatz, ohne Beschr"ankg auf abelsche
Faktorgr, [h:] mit den dort rot eingetr. Versch"arf[un]gen. [:h]\\[5mm] 
Bew: Setze dort $\mathfrak{d}_{i}=\mathfrak{P}_{i}\cap\mathfrak{d}$;
$\bar{\mathfrak{P}}=$ $p$-Sy Gr von $\mathcal{N}\mathfrak{P}_{1}$\\
a) Ist $\mathfrak{P}_{1}\le\mathfrak{d}$, so ist $\mathfrak{P}_{1}\lhd
\mathcal{N}\mathfrak{d}$,
$\mathcal{N}\mathfrak{d}<\mathcal{N}\mathfrak{P}_{1}$;
$\mathfrak{N}=\mathcal{N}\mathfrak{d}$\\
b) sonst $P_{1}:\mathfrak{d}=p$,      
\[\begin{array}{l}\left(\mathfrak{d}^{(P_{1}-1)^{p-1}}\right)
^{\mathfrak{N}}\le\left(\mathfrak{d}^{(P_{1}-1)}\right)^{\mathfrak{N}}\le
\mathfrak{d}_{1}^{\mathfrak{N}}\le\mathfrak{d}_{0}^{\mathfrak{N}}
\le\mathfrak{d}_{0}^{\prime}\\ \left(\mathfrak{d}_{0}^{(P_{1}-1)^{p-1}}\right)
^{\mathfrak{N}}\le\mathfrak{d}_{2}^{\mathfrak{N}}\le\bar{\mathfrak{P}}.
\end{array}\]
\begin{flushright}78/79\end{flushright}
42.\quad Ist $\mathfrak{d}$ sing, so liegt [h:] $\mathfrak{Z}_{p-1}$ 
und [:h] jeder
Normalteiler einer Klasse $\le p-1$ [h:]$p-2$? [:h]  
von $\mathfrak{P}$ ganz in 
$\mathfrak{d}$; dergl. jede unter $\mathfrak{d}$ invariante Untergr
$\mathfrak{U}$ von $\mathfrak{P}$, die  Klasse
$\le p-1$ [h:]$p-2$? [:h] hat 
[durchgestrichen: Allgemeiner: $\,\,
    \mathfrak{U}^{\mathfrak{d}}=\mathfrak{d}_{2},\,\textnormal{Kl}\,\mathfrak{U}\le p-1$ $\to$
$\mathfrak{U}\cap\mathcal{N}\mathfrak{d}=\mathfrak{U}\cap\mathfrak{d}$;
kurz: $\mathfrak{U}$ meidet $\mathcal{N}\mathfrak{d}/\mathfrak{d}$.]\\
$[$h:$]$ NB: Um gute Absch"atzungen f"ur Ord $\mathfrak{P}$ zu erhalten, muss man
m"oglichst \underline{grosse} sing. Konstituenten
betrachten. [:h]\\[5mm] 
43.\quad Eine tra mon Gr d. Grades $p^{2}$, die ein [h:] nach (9) [:h] 
sing El. $S$ enth"alt, hat die Klasse
\[\begin{array}{ll}\textnormal{a)}\,\,\ge 2p-2 & \textnormal{wenn}\,\,
S=\textnormal{diag}\\\textnormal{b)}\ge\textnormal{min}[3p-3,p(p-1)] &
\textnormal{wenn}\,\,S\neq\textnormal{diag}\end{array}\]
Bew: b): $Q$ vertausche die Bl"ocke:
\[\begin{array}{ll}\alpha) & S\circ Q\circ...\circ Q=D\,\,\textnormal{diag,
dann}\,\,\det D_{i}\neq 1\\ & D\circ R\circ...\circ R=\textnormal{diag}\neq
1\,\,\textnormal{mit}\,\, R\in\mathfrak{P}^{2}\\\beta) & S\circ Q...\circ Q=R
\neq\textnormal{diag}\,\to S\circ R\circ...\circ R=\textnormal{diag}\neq
1\end{array}\]
[h:] Also wenn Klasse $\mathfrak{P}\le 3p-4$, so ist jeder 
singul"are Durchschnitt
$\lhd~\mathfrak{P}$ und $|\mathfrak{P}:\mathfrak{d}|\le p^{2}$ [:h]
\begin{flushright}79/80\end{flushright}

44.\quad Frage: Gelten die \grqq Abschneidungss"atze\grqq\,\,auch f"ur
   beliebige aufl"osbare Hallgr. statt Sylowgr.? Oder wenigstens f"ur
   nilpotente?\\[5mm]
45.\quad Die \grqq Vertr"aglichkeit\grqq\,\,eines invar. Systems:
$\mathfrak{P}_{i}^{*}<\mathfrak{P}_{i}$ bedeutet einfach die starke
   Abgeschlossenheit von $\mathfrak{P}_{1}^{*}$ in $\mathfrak{P}_{1}$;
sie ist aber handlicher. Der Satz, dass $\mathfrak{P}/\mathfrak{P}^{*}$
genau dann oben in $\mathfrak{G}$ ist, wenn $\mathfrak{P}/\mathfrak{P}^{*}$
oben in $\mathcal{N}\mathfrak{P}$ und wenn das System
   $\mathfrak{P}_{i}^{*}<\mathfrak{P}_{i}$ vertr"aglich ist, steht also schon
   in meiner Arbeit [6].\\[5mm]
46.\quad Ist $\{\mathfrak{P}_{i}^{*}\lhd\mathfrak{P}_{i}\}$ vertr. und
   $\{\mathfrak{P}_{i}^{**}\lhd\mathfrak{P}_{i}\}$, so auch
   $\{\mathfrak{P}_{i}^{*}\cap\mathfrak{P}_{i}^{**}\lhd\mathfrak{P}_{i}\}$.
\begin{flushright}80/81\end{flushright}

47.\quad Ist $\mathfrak{P}/\mathfrak{P}^{*}$ oben in $\mathfrak{G}$ und
   $\mathfrak{P}^{*}\lhd\bar{\mathfrak{P}}\lhd\mathfrak{P}$, so ist
   $\mathfrak{P}/\bar{\mathfrak{P}}$ oben in $\mathfrak{G}$. Ist also
   $\mathcal{N}\mathfrak{P}=\mathfrak{P}$, so ist das \underline{Erzeugnis}
   von zwei stark abgeschl. Ugr von $\mathfrak{P}$ auch stark abg., besser:
jeder Obernormalteiler eines stark abg $\mathfrak{P}^{*}$ ist stark abg.\\[5mm]
48.\quad Bei einer systematischen Untersuchung des "`Abspaltungsproblems"': Wann ist $\mathfrak{H}/\mathfrak{H}^{*}$
   oben in $\mathfrak{G}$? kann man sich wohl auf den Hauptfall konzentrieren,
   dass $\mathfrak{H}=\mathcal{N}\mathfrak{H}$ ist. Die Fortsetzg
   $\mathfrak{H}_{i}^{*}\lhd\mathfrak{H}_{i}$ ist dann def f"ur
   \underline{jeden} NT $\mathfrak{H}^{*}$ von $\mathfrak{H}$.\\[5mm]
[h:] 48a.\quad Bei der Methode der singul"aren Ausschnitte 
in der Verlagerung will
   man deren Auftreten verstehen. Das geht so: Betrachte alle singul"aren
   Darstellungen $D_{i}$ von $\mathfrak{P}$ und ihre Kerne $\mathfrak{K}_{i}$.
W"ahle \underline{ausserhalb} jedes $\mathfrak{K}_{i}$ ein Element $P_{i}$.
Nimm alle $P_{i}$ in ein $\mathfrak{P}_{1}\lhd\mathfrak{P}$ auf; dann hat
   $\mathfrak{P}/\mathfrak{P}_{1}$ keine sing. Darstellung[en]
   mehr. [:h]
\begin{flushright}81/82\end{flushright}

50.\quad Stellt man $\mathfrak{G}$ monomial dar nach
   $\mathfrak{H}/\mathfrak{H}^{*}$ der Ord $p$, und setzt man
   $\mathfrak{H}^{*}$ als stark abg. voraus (d.h. das System
   $\mathfrak{H}^{*^{G}}\lhd\mathfrak{H}^{G}$ als vertr"aglich), so sind die
Diagonalelemente $\varepsilon_{i},\varepsilon_{j}$ (schwach) gekoppelt: aus
$\varepsilon_{i}=1$ folgt $\varepsilon_{j}=1$ [h:] ([\anmerk]) [:h].
Hieraus folgt, dass in jedem Konstituenten $\mathfrak{K}$ der mon Darst von
   $\mathfrak{H}$ die von $\mathfrak{K}_{1}$ fest gelassenen Variablen
   $x_{i}\ldots x_{m}$ \underline{stark} gekoppelt sind, d.h.
$\varepsilon_{i}=...=\varepsilon_{m}$. Das ergibt sich aus der Bemerkg, dass
   $\mathcal{N}\mathfrak{K}_{1}:\mathfrak{K}_{1}$ singul"ar dargestellt
ist auf $x_{1},...,x_{m}$, und dass die Diagonalgruppe die Ord $p$ hat (wegen
Koppelung mit $\varepsilon_{1}$) und dass jedes Element $Q$, das einen Autom
d. Ord. $q>1$ auf der zyklischen Diagonalgruppe $\{P\}$ bewirkt, dort 
$\prod\limits_{v=1}^{q}P^{Q^{v}}=1$ macht, also $\prod\varepsilon^{q^{v}}=1$,
andererseits folgt hieraus $\varepsilon_{1}^{q}=1$, und daraus
$\varepsilon_{1}=1$, $\varepsilon_{i}=...=\varepsilon_{m}=1$.\newline
[h:] einfacher: $P\circ G$ bilden
   $G\in\mathcal{N}\mathfrak{K}_{1}$. [:h]\newline 
NB: Das Gleiche gilt f"ur die von einer $p$-SyGr von $\mathfrak{K}_{1}$
fest gelassenen Ziffern: sie sind untereinander (aber vielleicht nicht mit
$\varepsilon_{1}$) stark gekoppelt.
\begin{flushright}82/83\end{flushright}

51.\quad Zusatz zu 50: Wenn der Grad von $\mathfrak{K}$ $\equiv 0$ $(p)$
ist, dann sind sogar \underline{alle} Diag Koeff innerhalb von $\mathfrak{K}$
\underline{streng} gekoppelt.\\[5mm]
Bew: $\det$ betrachten, Transitivit"at von $\mathfrak{K}$.\\[5mm]
52.\quad Wenn unter den Vor von 50 noch $\mathfrak{P}/\mathfrak{P}^{*}$ 
zentralisiert wird von $\mathcal{N}\mathfrak{P}$, so ist
$\mathfrak{P}/\mathfrak{P}^{*}$ oben in $\mathfrak{G}$.\\[5mm]
[h:] 53.\quad Die Schlussweise von [L"ucke] ist so:\\
Wenn alle Sylowdurchschnitte bis auf einen vertr"aglich sind und der eine
(f"ur alle Sylowgr., die sich in ihm schneiden) die Verlagerungsbeding[un]g
erf"ulle, dann ist auch der eine vertr; vorausgesetzt, dass man vom 
Sylow Normalisator genug abschn kann. [:h]\\[5mm]
54.\quad Enth"alt $\mathfrak{G}$ einen irreg Konstit. vom Grd $p$, so auch
einen Konstituenten vom Grad $\ge p^{p-2}$.Vorausgesetzt, keine starke Abschl.
l"a"st mehr als 1 Ziffer fest.\\[5mm]
Bew: W"ahle $\{Z\}\lhd\mathfrak{P}$, $|\{Z\}|=p$, transformiere
$Z\rightarrow Z^{G}$ so, dass es in $\mathfrak{P}$ bleibt und im sing Konst
nicht diag ist. Dann hat $\mathfrak{P}\cap\mathfrak{P}^{G}$ im Konst. die Ord
$\le p^{2}$.
\begin{flushright}83/84\end{flushright}
55.\quad Ist $\mathfrak{G}$ $p$-normal, so ist
   $\mathfrak{G}/\mathfrak{G}^{p}\cong\mathfrak{N}/\mathfrak{N}^{p}$, 
$\mathfrak{N}=$NZ$\mathfrak{P}$. Dazu braucht man meinen 
Verlagerungssatz nicht f"ur
   $\mathcal{N}\mathfrak{d}$, sondern mit Benutzung von
   $(\mathcal{N}\mathfrak{d})^{p^{\prime}}$.\\[5mm]
56.\quad NB (Th Lemma 1.6): Ist $G$ $p$-normal, d.h. $Z(P)$ schwach abg in
   $P$, so auch stark.\\ $p$-nilpotente Gr sind $p$-normal, es ist sogar
   \underline{jeder} Normalteiler von $P$ stark abg.\\ 
   $[$h:$]$ Allg: Ist $A<Z(P)$ schwach abg in 
$P$, so auch stark. [:h]\\
 Eine $p$-Gr
   $A$ ist schwach abg $\leftrightarrow$ $(A\le\mathcal{N}P\to A\unlhd
\mathcal{N}P)$.\\
Vielleicht sollte man eine \glqq Vertr"aglichkeit von $P$ mit $P_{i}=P^{g}$
   bez"ugl. einer Ugr $Q\le P$\grqq\,\, definieren durch $P^{*}\cap P_{i}\cap
   Q=P\cap P_{i}^{*}\cap Q$ d.h. wenn $Q\le P_{i}$: $P^{*}\cap Q=P_{i}^{*}\cap
   Q$.
\begin{flushright}84/85\end{flushright}
\begin{center}Verallgemeinerte "Ahnlichk.-Klassen-Einteilg\end{center}
1.\quad Sei $G$ Gruppe, $g\rightarrow g_{1}$, $\rightarrow g_{2}$ zwei
  Endomorphismen von $G$. Dann ist $G$ ein $G$-Feld bez"ugl. der Festsetzung 
$a^{g}=g_{1}^{-1}ag_{2}$.\\[5mm]
2.\quad Die Fixgruppe eines $a\in G$ bei dieser Perm.-Darst. von $G$ ist die
  Gruppe $H\le G$ aller $h$ mit 
\[h_{1}a=ah_{2}\]
\begin{flushright}85/86\end{flushright}
\begin{center} $p$-Gruppen.\end{center}
\underline{Breite}: 1. Man muss eine m"oglichst lange Kette von
$\mathfrak{Y}_{i}\lhd\mathfrak{G}$ derart betrachten, dass
$\mathfrak{Y}_{i+1}/\mathfrak{Y}_{i}$ von $\mathfrak{G}$ zentralisiert,
$\mathfrak{Y}_{i+1}/\mathfrak{Y}_{i}$ nicht. Dann sollte man versuchen, es so
einzurichten, dass Zentralisator
$\mathfrak{Y}_{i+2}/\mathfrak{Y}_{i}\subseteq$
Zentralis. $\mathfrak{Y}_{i+1}/\mathfrak{Y}_{i-1}$\\[5mm]
2.\quad Man kann eine aufsteigende, m"oglichst lange Kette
$1=G_{0}<G_{1}<...<G_{l}=G$ von $G_{\lambda}\lhd G$ so bestimmen, dass 
\[G_{\lambda-1}\circ G<G_{\lambda}\circ G.\]
Dann [durchgestrichen: bilden] erzeugen die $g\in G$, f"ur welche
$\mathcal{N}g$ ganz \\$G_{\lambda}/G_{\lambda-1}$ deckt, eine \underline{echte}
Untergr. $H_{\lambda}<G$. Denn $G_{\lambda}\circ g\le G_{\lambda-1}\circ g\le
G_{\lambda-1}\circ G$.\\[5mm]
3.\quad Ist $G^{\circ_{2}}=G\circ G$ abelsch, so folgt f"ur
die absteigende Zentralreihe $G^{\circ_{\lambda}}$ aus \glqq$g$
zentralisiert $G^{\circ_{\lambda+2}}\!\!/\!G^{\circ_{\lambda}}$ stets\,\grqq\,$g$
zentral. $G^{\circ_{\lambda+1}}\!\!/\!G^{\circ_{\lambda-1}}$\,\grqq\,, daher\,\grqq\,$g$ zentr $G^{\circ_{2}}$. 
Daher gilt f"ur Breite $\beta(G)$ dann $\beta\ge c-1$.
\begin{flushright}86/87\end{flushright}
\begin{center}Kovarianten\end{center}
$f=f(A\,X)$ geg. Form $A,X$ Vekt von Unbest. Transformation von $X$: definiere
$AC$ durch
\[f(AC,X)=f(A,CX)\]
wo $CX$ gew"ohnliches Matrizenprodukt (AC \anmerk). Kovariante ist 
wohl ein \\$K(A,X)$ mit
\[K(AC,X)=|C|^{g}\cdot K(A,CX).\]
Leitglied von $K(A\,X)$ ist $L(A)=K(A,\ofrac{1}{0})$ $L$ ist semiinvariant in dem
Sinn:
\[(I)\qquad L(AT)=v^{g}L(A),\quad\textnormal{wenn}\,\,T=\left(
\begin{array}{cc} 1 & u\\ 0 & v\end{array}\right)\]    
Umkehrung: aus $K(A\,\ofrac{1}{0})$ kann man $K(A\,X)$ [unklar]:
\[K(A,X)=K(A\tilde{X},\ofrac{1}{0}),\quad\textnormal{wenn}\,\,\tilde{X}=(XY),\,
|\tilde{X}|=1\]
und wenn $L$ die Eig. I hat, so ist $L(A\tilde{X})$ unabh"angig von der
zweiten Spalte $Y$ von $\tilde{X}$, also Kovar.\\
Dieser Schluss erfordert nur, dass die
zu Grunde liegende lineare Gruppe\\ \underline{auf allen Vektoren} transitiv
ist: Zu $X$ gibts $\tilde{X}=(XY)$ mit $\tilde{X}=1$; die Komponentenzahl von
$X$ unwesentlich. [h:] Ist das ein Mittel zur Untersuchung solcher linearer
Gruppen? Problem von Huppert. [:h]
\begin{flushright}87/88\end{flushright}
\begin{center}2-Abschliessung von Perm.-Gruppen.\end{center}
1.\quad $\mathfrak{G}$ enthalte eine Untergr[uppe] $\mathfrak{H}$, deren von
  der Lge 1 verschiedene Transgebiete $\Omega_{1},\Omega_{2},...,\Omega_{r}$
  seien. Sei $A\in\mathfrak{G}$, $\Omega_{i}^{A}=\Omega_{i}$; dann ist
$A^{\Omega_{1}+...+\Omega_{r}}\in\mathfrak{G}^{(2)}$. [h:] (Vor: $\mathfrak{G}$
$2$-abg.) [:h] \\[5mm]
2.\quad Ist $|\mathfrak{G}|$ ungerade, so auch 
$\left|\mathfrak{G}^{(2)}\right|$. 
\begin{flushright}88/89\end{flushright}
$\mathfrak{G}=2$-tra Gruppe auf einer Klasse konj. El.: N"utzlich ist die
Bemerkung (zwecks Abschw"achung der Indukt.-Vor.):\\
$\mathfrak{G}$, abstrakte Gr. [h:] ohne Zentrum [:h], enthalte 
ein $Z$ derart, dass Ord
$Z=q$ Primzahl, und $Z\neq Z^{G}\to\mathfrak{G}=\{Z,Z^{G}\}$.
Dann ist $\mathfrak{N}\underset{q}{\lhd}\mathfrak{G}$, $|\mathfrak{N}|=p^{\nu}$,
$p\neq q$.\\[5mm]
Bew: $\mathfrak{G}$ nach $\mathcal{Z}sZ$ als $P$gr. darstellen; Frobenius.\\[5mm]
Verallg: "Ahnlich wenn $\mathfrak{A}\le\mathfrak{G}$, $\mathfrak{A}$ abelsch,
und aus $G\notin\mathcal{Z}s\;\mathfrak{A}$ folgt
$\mathfrak{G}=\{\mathfrak{A},\mathfrak{A}^{G}\}$.
\begin{flushright}89/90\end{flushright}
[h:] 30.9.59 [:h]
\begin{center}Ganzzahlige Gruppen $\mod{p}$.\\
(Eine Anwendung der Abschl von P Gr)\end{center} 
1.\quad [durchgestrichen: Vermutung] [h:] Satz [:h]: Jede 
irred. Gruppe $\mathfrak{M}$
des Grades $n$[h:]$\ge 3$ [:h] "uber $GF(p)$, 
die alle oberen Dreiecksmatrizen [h:] $D$ [:h]
enth"alt, ist transitiv auf den Vektoren $\neq 0$.
[h:] $D=\left(\begin{array}{ccccc}1 & \alpha_{2} & \alpha_{3} & \ldots &
    \alpha_{n}\\ & 1 & 0 & & 0\\ & & 1\\ & & & \ddots & 0\\ & & & &
    1\end{array}\right)$ [:h]\newline 
Beweis: Stelle $\mathfrak{G}=\left(\begin{array}{cc}\mathfrak{M} &
    \mathfrak{b}\\0 & 1\end{array}\right)$ dar als $P$ Gr des Gr $p^{n}$
mit trans. el ab Gr, bestehend aus den $\left(\begin{array}{cc}1 &
    \mathfrak{b}\\0 & 1\end{array}\right)$. Wegen Irred $\mathfrak{M}$ ist
$\mathfrak{G}$ primitiv. $\mathfrak{G}$ enth"alt [h:] nach Vor. [:h] 
eine elem abelsche $p$-Gr mit lauter Tragebieten der Lge $p$, n"amlich
$\left(\begin{array}{ccccc}1 & \alpha_{1} & \alpha_{2} & & \alpha_{n}\\ &
1 & & & 0\\ & & 1 & & 0\\ & & & & 1\end{array}\right)$.
Die Tragebiete [h:] $T_{\rho\sigma...}=\left(\begin{array}{c}\xi\\
\rho\\\sigma\\\vdots\end{array}\right)$: $T_{\rho^{\prime}\sigma^{\prime}...}$
[:h] sind [h:] falls\\ $(\rho^{\prime}\sigma^{\prime}...)\neq 
c(\rho\sigma...)$ [:h] nicht
gekoppelt, d.h. was auf einem alles fest l"asst, ist auf den andern noch
transitiv. Also kann man ganz klein zerschneiden, $\mathfrak{G}^{(2)}$
enth"alt Zyklen des Grades $p$, daher $\mathfrak{G}$ 2-tra.\newline
[h:] Aufgabe: "Ubertragung auf beliebige K"orper [:h]: 93.5
\begin{flushright}90/91\end{flushright}

[h:] Frage: Ist unter den Vorauss. von 1 vielleicht $\mathfrak{G}\supseteq
SL(n,p)$? [:h]
\begin{flushright}91/92\end{flushright}

\begin{center}Unendliche Permutationsgruppen.\end{center}
1.\quad Wird eine auf $\Omega$ tra Gruppe $\mathfrak{G}$ erzeugt von
  Untergruppen, die auf ihren Tr"agern primitiv sind, so ist $\mathfrak{G}$
pri auf $\Omega$.\\[5mm]
Bew: Jeder der Tr"ager hat mit jedem Block $B$ nur eine Ziffer gemein; die
  zugeh"or Untergr. l"asst also alle anderen Ziffern
  von $B$ fest, also l"asst sie $B$ fest: $B$ ist Festblock
  $G_{1}=\Omega$.\\[5mm]
Rudio gilt mindestens in der folg. schwachen Form:\\
2.\quad Ist $\mathfrak{G}$ pri auf $\Omega=\Gamma+\Delta$; $1,2\in\Gamma$, so
  gibt es ein $G\in\mathfrak{G}$, 
das genau eine der beiden Ziffern $1,2$ in $\Gamma$ l"a"st.\\[5mm]
Bew mit\\[7mm]
3.\quad Genau dann ist $\mathfrak{G}$ pri auf $\Omega$, wenn
  $\mathfrak{G}_{1}$ max.
\begin{flushright}92/93\end{flushright}

4.\quad Ist $\mathfrak{G}$ tra und das Erzeugnis von $n\le\infty$
  Untergr. $\mathfrak{H}_{\alpha}$, die auf ihrem Tr"ager $T_{\alpha}$ 2-tra
  sind, so ist $\mathfrak{G}$ 2-tra\\[5mm]
Bew: $\begin{array}[t]{ll}\textnormal{a)} & n=2,\quad |T_{1}\cap T_{2}|\ge 2\\
\textnormal{b)} & n=2,\quad |T_{1}\cap T_{2}|=1\\\textnormal{c)} &
  \textnormal{Vereinig einer Kette 2-tra Ugr ist 2-tra}\\\textnormal{d)} &
\textnormal{Zorn}\end{array}$\\[5mm]        
5.\quad Damit folgt: F"ur beliebige K"orper $K$ gilt: Eine irred Gr
  $\mathfrak{G}$ in $K_{n}$, die alle 
$\left(\begin{array}{cccc}\alpha_{1} & \alpha_{2} & \ldots & \alpha_{n}\\
 & 1\\ & & \ddots\\ & & & 1\end{array}\right)$ enth"alt, ist transitiv auf den
  Vektoren $\neq 0$. Bew: 6\newline
[h:] Frage: folgt das schon wenn $\left(\begin{array}{cccc}
\alpha_{1} & \alpha_{2}
 & \ldots & \alpha_{n}\\\vdots & \vdots & & \vdots\\\vdots & \vdots &
 & \vdots\end{array}\right)\in\mathfrak{G}$? [:h]\\[5mm]
6.\quad Eine primitive Gruppe mit einer auf ihrem Tr"ager 2-tra Untergruppe
  ist 2-tra.\\[5mm]
Bew am bequemsten mit $\mathfrak{G}^{(2)}=\mathfrak{S}$: $\mathfrak{G}^{(2)}$
  enth"alt alle Zweierzyklen, also alle symmetr Gr endlichen Grades, ist also
  2-tra.
\begin{flushright}93/94\end{flushright}

\begin{center}Untergruppen von 2-trans. Perm.-Gruppen.\end{center}
1.\quad Ist $\mathfrak{G}$ 2-tra, $\mathfrak{H}\le\mathfrak{G}$, und besitzt
$\mathfrak{H}$ $t$ Transitivit"atsgebiete, so ist
$|\mathfrak{G}:\mathfrak{H}|\ge(t-1)(n-1)+1$, wenn $n=$Grad$\mathfrak{G}$.\\[5mm]
Bew: Die Darstellung von $\mathfrak{H}$ (als Ugr von $\mathfrak{G}$) enth"alt
$t$ mal die 1-Darstellung. also in dem irred Bestandteil $\mathfrak{G}^{*}$
des Grads $n-1$ von $\mathfrak{G}$ enth"alt $\mathfrak{H}$ $(t-1)$- mal die
1. Daher tritt $\mathfrak{G}^{*}$ $(t-1)$- mal in der von $\mathfrak{H}$
induzierten Perm.-Darst. des Grades $|\mathfrak{G}:\mathfrak{H}|$ auf; diese
enth. ausserdem noch mindestens eine 1-Darstellg.\\[5mm]
$1^{\prime}$\quad Eine Ugr des Index $<n$ in einer 2-tra Gruppe des Grads $n$
ist transitiv.\\[5mm]
2.\quad Genau dann ist, wenn $\mathfrak{G}$ abstr. endl. Gruppe,
$\mathfrak{H}\le\mathfrak{G}$ transit in der Darstellung von
$\mathfrak{G}:\mathfrak{K}$, wenn die Darstellungen von
$\mathfrak{G}:\mathfrak{H}$ und $\mathfrak{G}:\mathfrak{K}$ au"ser 1 nichts
gemeinsam haben $\leftrightarrow$ $\mathfrak{G}=\mathfrak{HK}$.
\begin{flushright}94/95\end{flushright}
2.10.59
\begin{center}Uniprimitive Gruppen\end{center}
$\mathfrak{G}$ sei unipri.\\
1.\quad Jeder \underline{primitive} \grqq Maximalkonstituent\grqq\,\,
$\mathfrak{M}$ von $\mathfrak{G}_{1}$ ist abh"angig von \underline{jedem}
Konstituenten $\mathfrak{K}\neq 1$ von $\mathfrak{G}_{1}$: Ist $G_{1}=1$ auf
$\mathfrak{K}$, so auch auf $\mathfrak{M}$.\\[5mm]
Bew: Sonst w"are die normale Ugr von $\mathfrak{G}_{1}$, die auf
$\mathfrak{K}$\,\,\, $=1$ ist, tra auf $\mathfrak{M}$, also w"are der Max Konst
$\mathfrak{M}$ von einem andern unabh"angig,\\ 
$1^\prime$ \underline{\underline{das geht}}
nicht bei unipri Gruppen. $1^{\prime}$ Denn der Max Konst muss schon 
bei $\mathfrak{K}_{1}$ intra. werden.\\[5mm]
2.\quad Ist der Maximal Konstituent 2-tra und sein Grad $>2$, so ist
$\mathfrak{G}$ 3-tra.\\[5mm]
Bew: $\begin{array}[t]{ll}\textnormal{a)} & \textnormal{Jeder andere Konst von}
\,\,\mathfrak{G}_{1}\,\,\textnormal{hat den gleichen
  Grad}\,\,m.\,\,(1^{\prime})\\\textnormal{b)} & \textnormal{Jeder andere
  Konst ist mit}\,\,\mathfrak{M}\,\,\textnormal{gekoppelt}.\end{array}$\\
Sonst w"aren die Transgebiete, auf denen $\mathfrak{G}_{1\mu}$ eine L"ange
$\neq 1,\,m-1$ bekommt $(\mu\in\mathfrak{M})$, zusammen ein Fest-Block von
$\{\mathfrak{G}_{1},\mathfrak{G}_{\mu}\}$.
\begin{flushright}95/96\end{flushright}
c) $\mathfrak{G}_{1}$ habe au"ser 1 noch $t$ Konstituenten; alle 2-tra, sind
gekoppelt. Nimm $\mathfrak{G}^{(2)}=\mathfrak{G}$ (abgeschl.) an. Dann enth"alt
$\mathfrak{G}_{12}$ Elemente, die in $t$ Transpositionen zerfallen; ihre
Gr. ist $2t$- [h:] weiter besser mit 118, 18a [:h]\newline
d) $\mathfrak{G}_{1\alpha},\mathfrak{G}_{1\beta}$ sind konjugiert in
$\mathfrak{G}_{1}$. Wegen der Koppelung der Konstituenten.\\
e) Es gebe ein El des Grads $2t$ der Ord 2, das $A=(12)\cdots$ lautet. Da
$\mathcal{N}\mathfrak{G}_{12}$ nicht  tra auf den mit 2 gekoppelten Ziffern
zuz"uglich 1, hat $\mathcal{N}\mathfrak{G}_{12}$ einen regul. Konstituenten
auf diesen $t+1$ Ziffern. Also versetzt $A$ nur $t-1$ Ziffern aus dem Tr"ager
von $\mathfrak{G}_{12}$, l"asst also in einem der $t$ Konstituenten von
$\mathfrak{G}_{12}$ \underline{alle} Ziffern fest, also ist 
\[A\circ\mathfrak{G}_{12}=1.\]
d) Sind etwa 3,4 im selben Transgebiet
\begin{flushright}96/97\end{flushright}
von $\mathfrak{G}_{12}$, so gibt es
$B=(1)(2)(34)\cdots\in\mathfrak{G}_{12}$. Es ist $A\circ B=1$ nach c, und $A$
l"asst alle Ziffern eines Konst von $\mathfrak{G}_{12}$ fest, also l"asst
$\{A,B\}$ eine Ziffer $\rho$ fest. In $\mathfrak{G}_{\rho}$ enth"alt jeder
Konst eine Transpos. von $A$ und eine von $B$; und wegen
$A=(1,2)\cdots,\,B=(1)(2)$ haben in dem Konst., der 1 enth"alt, $A$ und $B$
keine Ziffer gemeinsam; wegen Koppelung gilt das Gleiche f"ur die anderen
Konstituenten; also sind $A,\,B$ ziffernfremd. Ebenso f"ur irgend zwei Ziffern
$\neq 2$ aus dem ersten Tragebiet von $\mathfrak{G}_{12}$: $A$ hat keine
Ziffer mit dem Tr"ager von $\mathfrak{G}_{12}$ gemeinsam. Also versetzt $A$
\underline{genau} die $t+1$ Fixziffern von $\mathfrak{G}_{12}$, es ist
$2t=t+1$, $t=1$.
\begin{flushright}97/98\end{flushright}
\begin{center}Allgemeiner Satz "uber die Tra.-L"ange von
  $\mathfrak{G}_{1}$:\end{center}
1.\quad Sei $\mathfrak{G}$ [durchgestrichen: uniprimitiv] transitiv. Es gebe
ein $\alpha>1$, das in einem Tra System der L"ange $l$ von $\mathfrak{G}_{1}$
vorkommt, und eine Menge $\Lambda$ ganzer Zahlen derart, dass f"ur
\underline{jedes $\beta$} [h:] Es gen"ugt dabei $\beta$ im 
$\left\{\begin{array}{l}\textnormal{alten und}\\\textnormal{gespiegelt}
\end{array}\right.$ Konstituenten zu nehmen [:h]
 mit $\left\{\begin{array}{l}\mathfrak{G}_{1\beta}\,\,\textnormal{konj
  zu}\,\,\mathfrak{G}_{1\alpha}\,\,\textnormal{in}\,\,\mathfrak{G},\\
|\beta^{\mathfrak{G}_{1}}|=l\end{array}\right.$ die Tr"ager \underline{der}
Konstituenten von $\mathfrak{G}_{1}$, deren L"angen $\in\Lambda$ sind,
vereinigt einen [h:] (von $\beta$ abh"angigen) [:h] Festblock 
$B_{\beta}\neq 0,\Omega$ von $\mathfrak{G}_{1}$ ergeben. 
Dann ist $\mathfrak{G}$ imprimitiv.
[h:] bessere Formulierung 100 [:h]\\[5mm]
Bew: [durchgestrichen: W"ahle $G=\left(\begin{array}{cc}\alpha & \ldots\\
1 & \ldots\end{array}\right)$ sei $G=\left(\begin{array}{cc} \alpha & 1\\1 &
\beta\end{array}\right)$]\\
$\left[\!\!\begin{array}{l}\textnormal{Dann
    ist}\,\,(\mathfrak{G}_{1\alpha})^{G}=\mathfrak{G}_{1\beta};
  G\,\,\textnormal{f"uhrt die Vereinigg der}\,\,\Lambda\textnormal{-Tr"ager
    von}\,\,\mathfrak{G}_{1\alpha}\,\,\textnormal{"uber}\\\textnormal{ in die
    von}\,\,\mathfrak{G}_{1\beta},\,\,\textnormal{wegen Unabh
    von}\,\,\beta\,\,\textnormal{ist die Vereinigg also fest bei
    }\,\,G,\\\textnormal{also
    bei}\,\,\{G,\mathfrak{G}_{1}\}\ofrac{>\mathfrak{G}_{1}}{<\mathfrak{G}.}
\end{array}\!\!\right]$\\
Die Vereinigg der $\Lambda$-Tr"ager jeder zu $\mathfrak{G}_{1\alpha}$ 
konjugierten
Gruppe $\mathfrak{G}_{\alpha\sigma}$ ist Festblock von
$\mathfrak{G}_{\alpha}$. Daher die Vereingg der $\Lambda$-Tr"ager von
$\mathfrak{G}_{1\alpha}$ Festbl von $\mathfrak{G}_{1}$ \&
$\mathfrak{G}_{\alpha}$, also von
$\{\mathfrak{G}_{1},\mathfrak{G}_{\alpha}\}\neq\mathfrak{G}$.
\begin{flushright}98/99\end{flushright}
2.\quad Sei $\mathfrak{G}$ unipri, $\mathfrak{G}_{1}$ enthalte 2 Tragebiete
  der L"angen $a<b$ mit $(a,b)=1$. Dann hat $\mathfrak{G}_{1}$ auch ein
  Tragebiet der Lge $c>b$, $c\mid ab$.\newline
[h:] Korollare:\begin{tabular}[t]{ll}1) & max zu keinem teilerfremd.\\2) &
  $p,q\rightarrow pq$\end{tabular} [:h]\newline
Bew: [unklar] $|\alpha^{\mathfrak{G}_{1}}|=a$. W"ahle in $\Lambda$: 
$\Lambda=\{b\}$. Wenn
  $\mathfrak{G}_{1}$ kein solches $c$ hat, dann entsteht jedes Tragebiet
  d. Lge $b$ von $\mathfrak{G}_{1\alpha}$ ( oder von $\mathfrak{G}_{1\beta}$
  mit $\beta^{\mathfrak{G}_{1}}=a$) nur aus einem gleich grossen von
  $\mathfrak{G}_{1\alpha}$.\newline 
[h:] Tra Lge $b$ kann bei einer Ugr des Index $a$ nur entstehen "uber
$\left\{\ofrac{c\mid ab}{c>b.}\right.$ [:h]\\[5mm]
3.\quad Sei $\mathfrak{G}$ unipri, $\mathfrak{G}_{1}$ enthalte einen 2-tra
  Konstituenten des Grades $m$; [durchgestrichen: aber] 
dann enth"alt $\mathfrak{G}_{1}$ einen
  l"angeren Konstituenten mit $c\mid m(m-1)$.\\[5mm]
Bew: Nach 95.2 kann man annehmen, $\mathfrak{G}_{1}$ hat l"angere
  Konstituenten; [durchgestrichen: nach 99.2, dass $\mathfrak{G}_{1}$ keinen
  Konst vom Grad $m-1$ enth"alt.]
[h:] nicht unbedingt n"otig, machts aber bequemer [:h]\newline
W"ahle in 98.1 $\Lambda=\{1,m-1\}$.\newline
[h:] $1,m-1$ entstehen \underline{nur} aus $1$ und gekoppelten 
2 tra $m$-Gebieten, da
  einmal $m-1$ auftreten mu"s, dies nur aus 2-tra $m$ entsteht, und
  \underline{hieraus} folgt das auch die 1-Gebiete nur aus $m$
  entstehen. [:h]
\begin{flushright}99/100\end{flushright}

\begin{center}Uniprimitive Gruppen.\end{center}
4.\quad Sei $\mathfrak{G}$ transitiv, $\alpha$ und $\beta$ Ziffern aus zwei
  gepaarten Konstituenten von $\mathfrak{G}_{1}$. Sei $\Lambda$ eine Menge
  transitiver Gruppen derart, dass [durchgestrichen: sowohl] die Vereinigung
  $V$ der Tr"ager derjenigen transitiven Konstitutenten von 
$\mathfrak{G}_{1\alpha}$, die zu Gruppen aus $\Lambda$ "ahnlich sind, einen
  Festblock von $\mathfrak{G}_{1}$ bildet; und dasselbe gelte f"ur
  $\mathfrak{G}_{1\beta}$; eine der beiden $V$ sei $\neq 0,\Omega$. Dann ist
  $\mathfrak{G}$ imprimitiv.\\
NB: Die beiden $V$ sind konjugiert unter $\mathfrak{G}$.\\
$\Lambda$ kann z. B. als Menge ganzer Zahlen vergr"obert werden, indem man
  \underline{alle} transitiven Gruppen gleichen Grades gleichzeitig in
  $\Lambda$ aufnimmt.\hfill [h:] allgem: 105 (8) \\[5mm]
Def: Dieses $V$ heisse der $\Lambda$-Tr"ager von $\mathfrak{G}_{1\alpha}$
  [:h]
\begin{flushright}100/101\end{flushright}
\begin{center}[h:] Uniprim[itive] Gruppen [:h]\end{center}
\marginpar{\rule[-40mm]{0.5mm}{40mm}} 
5.\quad Noch allgemeiner: Sei
$\mathfrak{G}$ transitiv; $\alpha,\beta$ in gepaarten Transgeb. von
$\mathfrak{G}_{1}$. Seien $\mathfrak{K}_{1},...,\mathfrak{K}_{l}$ einige
transitive Konstituenten von $\mathfrak{G}_{1\alpha}$ derart, dass nicht jeder
Konst. von $\mathfrak{G}_{1\alpha}$ zu einem von diesen in $\mathfrak{G}$
konjugiert ist.\\
Sowohl in $\mathfrak{G}_{1\alpha}$ wie in $\mathfrak{G}_{1\beta}$ m"ogen die
Tr"ager derj. Konst, die zu einem $\mathfrak{K}_{\lambda}$ in $\mathfrak{G}$
konjugiert sind, jeweils einen Festblock von $\mathfrak{G}_{1}$ bilden. Dann
ist $\mathfrak{G}$ imprimitiv.\\[5mm]
Bew: Durch Transf mit $\left(\begin{array}{ccc}\beta & 1 & \ldots\\ 1 & \alpha
    & \ldots\end{array}\right)=G$ folgt: Die Konst von
$\mathfrak{G}_{\alpha1}$, die zu $\mathfrak{K}_{\lambda}$ in $\mathfrak{G}$
konj, bilden Festblock auch von $\mathfrak{G}_{\alpha}$.\newline
[h:] Hierin steckt der Satz von den gepaarten reg Konst.\\[5mm]
NB: Schw"achere Auss. bei Rietz 1904: Teil von 103 (3) [:h]
\begin{flushright}101/102\end{flushright}
\begin{center}Uniprimitive Gr.: Normal-Perm.-Strukt. v. $\mathfrak{G}_{1}$
\end{center}
Vorbereitung: Allgemeiner\\
Satz 1.\quad Sei $K$ eine Menge von Permutationsgruppen $\neq 1$,
$\mathfrak{H}\neq 1$ eine Permutationsgruppe. $K$ enthalte neben jeder Gr. $\mathfrak{K}$ auch alle
subnormalen Untergruppen $\neq 1$ von $\mathfrak{K}$.
Dann gibt es (genau) eine umfassendste subnormale Untergruppe $\mathfrak{H}/K$
von $\mathfrak{H}$ derart, dass kein Konstituent von $\mathfrak{H}/K$
[durchgestrichen: konform] "aquivalent ist zu einer Gruppe aus $K$
([durchgestrichen: konform] "aquivalent: durch eineind. Abb der Tr"ager
ineinander "uberf"uhrbar).\\[5mm]
Bew: Sind $\mathfrak{H}_{1},\mathfrak{H}_{2}\,{\lhd\lhd}\,\mathfrak{H}$ und haben
beide keinen Konstituenten aus $K$, so hat
$\big<\mathfrak{H}_{1},\mathfrak{H}_{2}\big>=\mathfrak{H}_{3}$ auch keinen:
sonst w"are auf dessen Tr"ager $T$ etwa $\mathfrak{H}_{1}^{T}\neq 1$, und
$\mathfrak{H}_{1}^{T}\,{\lhd\lhd}\,\mathfrak{H}_{3}^{T}\in K$ $\to$
$\mathfrak{H}_{1}^{T}\in K$.\\[5mm]
2.\quad Das $\mathfrak{H}/T$ ist  kovariant bei \underline{konformer} Abb. von
$\mathfrak{H}$: Ist $\sigma$ eineind. Abb des Tr"agers, so
\[\left(\mathfrak{H}/K\right)^{\sigma}=\mathfrak{H}^{\sigma}/K.\]
\begin{flushright}102/103\end{flushright}

3.\quad \underline{Satz}: Sei $K$ wie in 1. Sei $\mathfrak{G}$ transitiv,
  primitiv. Seien $\mathfrak{K},\mathfrak{L}$ zwei gepaarte (transitive) Konstituenten
  $\neq 1$ von $\mathfrak{G}_{1}$, und $\alpha\in$ Tr"a $\mathfrak{K}$,
  $\beta\in$ Tr"ager $\mathfrak{L}$.\\[5mm]
[h:] Def $3^{\prime}$: [:h] Bezeichne $\mathfrak{G}_{1}/\mathfrak{K}$ 
die gr"osste Untergruppe von $\mathfrak{G}_{1}$, 
welche in $\mathfrak{K}$ $=1$ ist. Dann ist 
\[\left(\mathfrak{G}_{1}/\mathfrak{K}\right)/K=1,\]
wenn $\mathfrak{K}_{\alpha}\in K$ und $\mathfrak{L}_{\beta}\in K$. Dann ist
$\left\{\mathfrak{G}_{1}/\mathfrak{K}\right\}/K=1$.\\[5mm]
Bew: Es ist $\mathfrak{G}_{1}/\mathfrak{K}\lhd\mathfrak{G}_{1}$, daher 
\[\left(\mathfrak{G}_{1}/\mathfrak{K}\right)/K\lhd\mathfrak{G}_{1}.\]
Ebenso $\left(\mathfrak{G}_{1}/\mathfrak{L}\right)/K\,{\lhd\lhd}\,\mathfrak{G}_{1}
\,\,\textnormal{[h:]}=\mathfrak{G}_{1\beta}/K$ [:h]. Nun ist $\star$
$\mathfrak{G}_{1\alpha}/K=\left(\mathfrak{G}_{1}/\mathfrak{K}\right)
/K\lhd\mathfrak{G}_{1}$, denn die subnorm Ugr von $\mathfrak{G}_{1}$ ohne
Konst aus $K$ liegen in dem Normalteiler $\mathfrak{G}_{1}/\mathfrak{K}$ von
$\mathfrak{G}_{1}$. In $\mathfrak{G}$ gibt es
$G=\left(\begin{array}{ccc}\alpha & 1 & \ldots\\1 & \beta &
    \ldots\end{array}\right)$, also folgt aus $\star$
\begin{eqnarray*}\mathfrak{G}_{\beta}/K & \lhd & \mathfrak{G}_{\beta}, 
\,\,\textnormal{aber auch}\,\,\lhd\mathfrak{G}_{1}\,\,\textnormal{nach}\,\, 
\dagger\\ & \lhd & \big<\mathfrak{G}_{1},\mathfrak{G}_{\beta}\big>
=\mathfrak{G},\,\,\textnormal{da}\,\,|\mathfrak{G}|\neq p\,\, 
[\textnormal{durchgestrichen: oBdA}].\end{eqnarray*}
4.\quad Rechenregel: Sind $\mathfrak{K},\mathfrak{L}$ zwei Konstituenten von
$\mathfrak{M}$, ($\mathfrak{M}$ von $\mathfrak{H}$), die zusammen
$\mathfrak{M}$ "uberdecken, so ist 
\[\mathfrak{H}/\mathfrak{M}=\left\{\mathfrak{H}/\mathfrak{K}
\right\}/\mathfrak{L}.\]
\begin{flushright}103/104\end{flushright}

\marginpar{\rule[-25mm]{0.5mm}{20mm}}\mbox{}\\
5.\quad Allgemeiner: Sei $K$ wie bisher
  eine Menge von Permgr $\neq 1$, die stets auch alle subnormalen dazu
  enth"alt. Sei $\mathfrak{G}$ primitiv. Seien $\alpha,\beta$ Ziffern $\neq
  1$, die bez"ugl. $\Lambda$ gepaart sind. Der Tr"ager von
  $\mathfrak{G}_{1\alpha}/K$ (wenn das $\neq 1$) erf"ulle genau einige
  Transgebiete von $\mathfrak{G}_{1}$; ebenso $\mathfrak{G}_{1\beta}/K$. Dann
  ist $\mathfrak{G}_{1\alpha}/K=1$. [h:] Besser 8 [:h]\\[5mm]
Bew: Da $\mathfrak{G}_{1\alpha},\mathfrak{G}_{1\beta}$ konjugiert in
  $\mathfrak{G}$, sind auch $\mathfrak{G}_{1\alpha}/K$,
  $\mathfrak{G}_{1\beta}/K$ konjugiert, also auch ihre Tr"ager
  $T(\alpha),T(\beta)$, und zwar, wenn $G=\left(\begin{array}{ccc}\alpha & 1
  & \ldots\\1 & \beta & \ldots\end{array}\right)$ ist
  $\mathfrak{G}_{1\alpha}^{G}=\mathfrak{G}_{1\beta}$, daher
  $T(\alpha)^{G}=T(\beta)$.\\ 
$T(\alpha)$ ist fest bei $\mathfrak{G}_{1}$, ebenso $T(\beta)$. Also
  $T(\alpha)^{G}=T(\beta)$ bei $\mathfrak{G}_{1}^{G}=\mathfrak{G}_{\beta}$,
  also bei
  $\big<\mathfrak{G}_{\alpha},\mathfrak{G}_{\beta}\big>=\mathfrak{G}$. Es
  folgt: $T(\beta)$ leer, $\mathfrak{G}_{1\beta}/K=1$ konj.
$=\mathfrak{G}_{1\alpha}/K$.\\[5mm]
[h:] $5^{\prime}$.\quad $\mathfrak{G}$ pri. $\mathfrak{K},\mathfrak{L}$ zwei
  gespiegelte Konstit. $\Rightarrow$ $\mathfrak{G}_{1}$ l"a"st 
sich mit Hilfe der trans
  Konst. der Ugr von $\mathfrak{K}$ und $\mathfrak{K}_{1}$ und
  $\mathfrak{L}_{1}$ bis zu 1 abbauen. [:h]
\begin{flushright}104/105\end{flushright}
6.\quad Sonderfall: Wenn $\mathfrak{G}$ pri, $\alpha,\beta$ gepaart: 1, $K$
  subnormal abgeschl, so folgt aus 
\[\mathfrak{G}_{1\alpha}/K\lhd\mathfrak{G}_{1}\,\,\textnormal{und}
\,\,\mathfrak{G}_{1\beta}/K\lhd\mathfrak{G}_{1}\]
stets $\mathfrak{G}_{1\alpha}/K=1$.\\
Ein Sonderfall hiervon ist 3.\\[5mm]
7.\quad Bessere Definition von $\mathfrak{H}/K$:\\
$\mathfrak{H}/K$ ist die kleinste Untergruppe von $\mathfrak{H}$, die in
der Form 
\[\mathfrak{H}/\mathfrak{K}_{1}/\mathfrak{K}_{2}/\ldots/\mathfrak{K}_{l}\]
dargestellt werden kann (siehe Def $3^{\prime}$).\\
Jetzt darf auch $1\in K$ sein.\\[5mm]
HS: [h:] enth"alt sowohl 104 (5) wie 100 (4) [:h]\\  
8.\quad Sei $\mathfrak{G}$ pri; 
$*$ sei ein normaler Verbandsoperator auf $\mathfrak{G}$, d.h. $*$
ordne jeder Ugr $\mathfrak{H}\le\mathfrak{G}$ eine
$\mathfrak{H}^{*}\le\mathfrak{G}$ zu, so dass stets
$\mathfrak{H}^{*G}=\mathfrak{H}^{G*}$. Seien $\alpha,\beta$ gepaart
bzgl.\newline 
1. Die $\Lambda$-Tr"ager  (f"ur gegebene Konstituentenmenge $\Lambda$) von $\mathfrak{G}_{1\alpha}^{*}$ und $\mathfrak{G}_{1\beta}^{*}$ 
m"ogen je einen Festblock von $\mathfrak{G}_{1}$ bilden [h:] z.B.
$\mathfrak{G}_{1\alpha}\lhd\mathfrak{G}_{1\beta}\,{\lhd\lhd}\,\mathfrak{G}_{1}$ [:h]  
Dann [h:]  sind die Tr"ager $=\emptyset\vee\Omega$. [:h] ist $\mathfrak{G}_{1\alpha}^{*}=1$. [h:] Gilt das auch 
f"ur $|\Omega|=\infty$? [:h]\\
$[$Randbemerkung rot: Def $\Lambda$-Träger 100$]$\\[5mm]
9.\quad $\mathfrak{H}\longrightarrow\mathfrak{H}/\mathfrak{K}$ ist 
normaler Verbandsop.; auch $\mathfrak{H}\longrightarrow\mathfrak{H}/K$, wenn
$K$ subnormal abgeschlossen, ist wohl sogar Nachinvar.-oper.!
\begin{flushright}105/106\end{flushright}
10.\quad Sind $\rho,\sigma$ normale Verbandsop[eratoren] auf $\mathfrak{G}$,\\
   so auch $\begin{array}[t]{ll}\rho\cap\sigma: &
   \mathfrak{H}^{\rho\cap\sigma}=\mathfrak{H}^{\rho}\cap\mathfrak{H}\sigma\\
   \rho\cup\sigma: & \mathfrak{H}^{\rho\cup\sigma}=\big<\mathfrak{H}^{\rho},
\mathfrak{H}^{\sigma}\big>\,\,\textnormal{(Erzeuger)}\\ \rho\sigma: & 
\mathfrak{H}^{\rho\sigma}=\left(\mathfrak{H}^{\rho}\right)^{\sigma}.
\end{array}$\\[5mm]
11.\quad Ist $\sigma$ normaler Verbandsop[erator] auf $\mathfrak{G}$,\\
   d.h. f"ur $\left\{\ofrac{\mathfrak{H}\le\mathfrak{G}}{G
\in\mathfrak{G}}\right.$
   stets $\mathfrak{H}^{\sigma}\le\mathfrak{G}$,
   $\mathfrak{H}^{G\sigma}=\mathfrak{H}^{\sigma G}$, \\so ist
%   $\mathfrak{H}^{\sigma}{\trianglelefteq\;}\mathcal{N}\mathfrak{H}$. Denn
   $\mathfrak{H}^{\sigma}\underset{=}{\lhd}\mathcal{N}\mathfrak{H}$. Denn
   $\mathfrak{H}^{\sigma N}=\mathfrak{H}^{N\sigma}$.\\[5mm]
12.\quad Sei $\mathfrak{G}$ tra; $\alpha\beta$ gepaart: 1.\\
Vor $V_{\alpha}$: Die Tra-Gebiete von $\mathfrak{G}_{1\alpha}$ 
lassen sich so in
   zwei nicht leere Klassen einteilen, dass kein tra Konstituent von
   $\mathfrak{G}_{1\alpha}$ dessen Tr"ager der einen Klasse angeh"ort, mit
   einem der anderen Klasse gekoppelt ist. Ebenso gelte $V_{\beta}$\newline
[h:] Vermut[un]g: Dann $\mathfrak{G}$ impri [:h]
\begin{flushright}106/107\end{flushright}
13.\quad Einen weiteren normalen Verbandsop. erh"alt man so: Sei
   $\mathfrak{G}$ als Per. dargestellt, $\mathfrak{K}$ eine $P$-Gr; setze f"ur
   $\mathfrak{H}\le\mathfrak{G}$\\
$\mathfrak{H}^{\sigma}=$ Erzeugnis aller Ugr von $\mathfrak{H}$, die einen zu
   $\mathfrak{K}$ konformen Konstituenten haben.\\[5mm]
14.\quad Sei $\mathfrak{G}$ pri, $\mathfrak{U}\le\mathfrak{G}_{1\alpha}$. Die
   Abschliessung von $\mathfrak{U}$ in $\mathfrak{G}_{1\alpha}$ habe auf
   $\alpha^{\mathfrak{G}_{1}}$ den Konstit. 1, [h:] und die Abschl von
   $\mathfrak{U}$ in $\mathfrak{G}_{1\beta}$ auf 
$\beta^{\mathfrak{G}_{1}}$ [:h].  
Dann ist $\mathfrak{U}=1$.\\[5mm]
Bew: auf 
\begin{eqnarray*}\mathfrak{H}^{\sigma} & = & \textnormal{Abschl}
\,\,\mathfrak{U} \,\,\textnormal{in}\,\,\mathfrak{H}\,\,
\textnormal{wende 8 an}\\ & = & 
\textnormal{Erzeugn aller in}\,\,\mathfrak{G}\,\,\textnormal{Konj zu}\,\,
\mathfrak{U}\,\,\textnormal{in}\,\,\mathfrak{H}\end{eqnarray*}

$14^{\prime}$.\quad Sei $\mathfrak{G}$ pri,
$1<\stackrel{\textnormal{[h:] bzw}\,\,{\lhd\lhd}\,\,\,\textnormal{[:h]}}
{\mathfrak{U}\le}\mathfrak{G}_{1\alpha}$;
$\alpha,\beta$ gespiegelt. Dann gibt es
\[\left\{\begin{array}{llllcl} &
    \mathfrak{V}=\mathfrak{U}^{G}\stackrel{\textnormal{[h:]}\,\,\,{\lhd\lhd}\,
\,\,\textnormal{[:h]}}{\le}\mathfrak{G}_{1\alpha}
    & \textnormal{mit} & \mathfrak{V}\neq
    1 & \textnormal{auf} &\alpha^{\mathfrak{G}_{1}}\\ \textnormal{oder} &
    \mathfrak{W}=\mathfrak{U}^{H}\stackrel{\textnormal{[h:]}\,\,\,{\lhd\lhd}\,
\,\,\textnormal{[:h]}}{\le}\mathfrak{G}_{1\beta}
    & \ldots & \mathfrak{W}\neq 1 & " & \beta^{\mathfrak{G}_{1}}.
\end{array}\right.\]
[h:] ebenso folgt 6 in der Form [:h]\newline 
15.\quad Jede subnorm Ugr von $\mathfrak{G}_{1\alpha}$ hat unter Vor 15 [ d.h: $\mf{G}$ pri, $\alpha^{\mf{G}_1}=\mf{K}$, $\beta^{\mf{G}_1}=\mf{L}$ ]  einen
Konstituenten, der zu einer subnorm. Ugr $\neq 1$ von $\mathfrak{K}_{\alpha}$
oder $\mathfrak{L}_{\beta}$ konform ist.\\[5mm]
Bew: $\mathfrak{H}^{\sigma}=$ Erzeugnis der subnor. Ugr von $\mathfrak{H}$,
die $\overset{\sim}{\equiv}\mathfrak{U}$.
\begin{flushright}107/108\end{flushright}

16.\quad Ist $\mathfrak{G}$ primitiv, $\mathfrak{K},\mathfrak{L}$ gepaarte
   Konst von $\mathfrak{G}_{1}$, $\mathfrak{L}$ reg, so ist
   $\mathfrak{K}\cap\mathcal{N}\mathfrak{K}_{\alpha}=\mathfrak{K}_{\alpha}$
   oder $|\mathfrak{G}_{1}|=|\mathfrak{K}|$. Daher hat $\mathfrak{K}$ kein
   Zentrum im ersten Fall.\\[5mm]
17.\quad $\mathfrak{G}$ pri, $\mathfrak{L}$ reg $\to$ $\mathfrak{G}_{1}$
   hat $|\mathfrak{L}|$; Ziffern fest auf $\Lambda$, also $|\mathfrak{L}|$ mit 
$\mathfrak{K}$ gekoppelte Konstituenten, wenn $\mathfrak{K}$ pri.\\[5mm]
$\left[\!\!\!\begin{array}{ll}14^{\prime}=18. & \textnormal{Sei}\,\,
\mathfrak{G}\textnormal{ pri};\,\,
\Gamma\textnormal{ und }\Gamma^{\prime}\textnormal{ seien zwei 
gepaarte Transit-}\\&\text{Gebiete von }\mathfrak{G}_{1}.\\
\text{[h:] \parbox{1cm}{nichts\\[-1mm]neues} [:h]} 
& \textnormal{Sei }\alpha\in\Gamma,~\alpha^\prime\text{ gepaart zu }\alpha.\\
&\textnormal{Sei }\mathfrak{U}
\le\mathfrak{G}_{1\alpha}\,\,\textnormal{bzw}\\ \textnormal{} 
& \,{\lhd\lhd}\,\mathfrak{G}_{1\alpha}.\,\,\textnormal{Dann gibt es}\,\,
\mathfrak{U}^{G}\,\,
\textnormal{so dass}\\ & \begin{array}{lllll}\textnormal{entweder} &
\mathfrak{U}^{G} & \le\mathfrak{G}_{1\alpha}\,\,\textnormal{[hier} &
\,{\lhd\lhd}\,\mathfrak{G}_{1\alpha}], & \mathfrak{U}^{G}\neq 1\ell\Gamma\\ 
\textnormal{oder} &  &
 \le\mathfrak{G}_{1\beta}\,\,[\ldots & \,{\lhd\lhd}\,\mathfrak{G}_{1\beta}],
& \mathfrak{U}^{G}\neq 1\ell
  \Gamma^{\prime}.\end{array}\end{array}\!\!\!\right]$\\[5mm]
19.\quad Jede KFG $\Lambda$ der pri Gr $\mathfrak{G}_{1}$ in
   $\mathfrak{G}_{1}/\mathfrak{K}$, der \underline{nicht} in
   $\mathfrak{K}_{\alpha}$ auftritt, tritt in $\mathfrak{L}$ \underline{und}
   $\mathfrak{L}_{\beta}$ auf. In $\mathfrak{L}_{\beta}$ nach 18. In
   $\mathfrak{L}$: Sei $\mathfrak{M}$ die gr"osste rein $\Lambda$-k"opfige
   subnormale Ugr von $\mathfrak{G}_{1\alpha}$. Sie ist $=1$ auf
   $\mathfrak{K}$, also $\lhd~\mathfrak{G}_{1}$; sie ist $\neq 1$ auf
   $\mathfrak{L}$ [sonst w"are sie in $\mathfrak{G}_{1\beta}$, also $=$ der
   entspr. Ugr von $\mathfrak{G}_{1\beta}$]. Also hat sie, da
   $\lhd~\mathfrak{G}_{1}$, in $\mathfrak{L}$ einen Normalteiler $\neq 1$ von
   $\mathfrak{L}$ als Konstituent.
\begin{flushright}108/109\end{flushright}

Vor: Stets $\mathfrak{G}$ pri, $\begin{array}[t]{cc}\mathfrak{K}, &
  \mathfrak{L}\\ (\alpha) & (\beta)\end{array}$ [durchgestrichen: gekoppelt] 
gepaarte tra Ko $\mathfrak{G}_{1}$\\[5mm]
20.\quad Bezeichnet $E(\mathfrak{G})$ die Menge der KFG (ohne Z"ahlg der
  Vfen), so ist 
\[E(\mathfrak{G}_{1\alpha})=E(\mathfrak{K}_{\alpha})+E(\mathfrak{G}_{1}/
\mathfrak{K})\cap E(\mathfrak{L})\cap E(\mathfrak{L}_{1})\]
Bew 19, daher
\[E(\mathfrak{G}_{1})\subseteq E(\mathfrak{K})+E(\mathfrak{L})
+E(\mathfrak{K}_{\alpha})\cap E(\mathfrak{L}_{\beta})\]
21.\quad Folge: Wenn $\mathfrak{L}$ einfach, ist $E(\mathfrak{G}_{1})\subseteq
E(\mathfrak{K})+E(\mathfrak{K}_{\alpha})$\\[5mm]
$21^{\prime}$.\quad\, -$\prime\prime$-\,\,\,\, Wenn $G_{1}^{\mathfrak{K}}=1$ $\to$
$G_{1}^{\mathfrak{L}}=1$, so $\ldots$ \newline Bew 20:\quad
[durchgestrichen: wie 19]
$\begin{array}[t]{r}E(\mathfrak{L})\subseteq E(\mathfrak{K})\\
\Big\downarrow\end{array}$\newline
Allgemein:\\
$21^{\prime\prime}$.\quad Wenn $E(\mathfrak{L})\cap E(\mathfrak{L}_{\beta})
\subseteq E(\mathfrak{K})+E(\mathfrak{K}_{\alpha})$, so $\ldots$\\[5mm]
22=19:\quad Jede subnormale Ugr von $\mathfrak{G}_{1}/\mathfrak{K}$
(od. $\mathfrak{G}_{1\alpha}$) \underline{imitiert} entweder einen
subn. K. von $\mathfrak{K}_{\alpha}$, oder einen von $\mathfrak{L}$ und einen
von $\mathfrak{L}_{\beta}$.\newline
[h:] d.h. enth"alt dann Konst. $\neq 1$ konform zu $\cdots$ 
[:h]\\[5mm]
23.\quad Hat $\mathfrak{K}$ einen transitiven NT $\mathfrak{N}$, so ist jeder
KF von $\mathfrak{K}$ entweder einer von $\mathfrak{N}$ oder von
$\mathfrak{K}_{1}$.
\begin{flushright}109/110\end{flushright}
24.\quad $|\Omega|=\infty$, $\mathfrak{G}$ pri, ein $|\alpha^
{\mathfrak{G}_{1}}|<|\Omega|$ $\to$ alle
$|\beta^{\mathfrak{G}_{1}}|<\Omega$.\\[5mm]
$24^{\prime}$.\quad $|\Omega|=\infty$, $\mathfrak{G}$ pri $\to$ alle
$|\beta^{\mathfrak{G}_{1}}|<\infty$ oder alle $|\beta^{\mathfrak{G}_{1}}|$ von
  gleicher M"achtigkeit.
\begin{flushright}110/111\end{flushright}
\begin{center}\underline{Unendliche Permutationsgruppen}.\end{center}
Sei $\mathfrak{G}$ tra auf $\Omega$, $|\Omega|=\infty$. Sei $\mathfrak{E}$ die
Gruppe der $G\in\mathfrak{G}$ mit endlichem
Tr"ager.\\[5mm]
1.\quad $\left\{\begin{array}{l}\emptyset\subset\Gamma\subset\Omega\\
\mathfrak{G}\,\,\textnormal{pri und }\alpha\neq\beta\end{array}\right.\text{ und }\begin{array}{rl}
\text{I:}& \text{ex }G\in\mathfrak{G}\text{ und }|\Gamma\cap\{\alpha^{G},\beta^{G}\}|=1\\
\text{II:}& \bigvee\limits_{G^n}(\alpha^{G}=\beta,\beta^{G^{n}}=\beta)
\end{array}$
\[
\to\bigvee\limits_H(\alpha^{H}\in\Gamma,\beta^{H}\notin\Gamma).
\]
Bew: Sei $\mathfrak{K}_{\omega}=\{G\in\mathfrak{G}\mid\omega^{G}\in\Gamma\}$\\
Bew. indirekt: W"are $\mathfrak{K}_{\alpha}\subseteq\mathfrak{K}_{\beta}$, so
w"are 
\[\mathfrak{G}_{\beta}\mathfrak{K}_{\beta}=\mathfrak{K}_{\beta};\,\,
G\mathfrak{K}_{\beta}\subseteq\mathfrak{K}_{\alpha}\subseteq\mathfrak{K}
_{\beta};\,\,\mathfrak{K}_{\beta}=G^{n}\mathfrak{K}_{\beta}\subseteq
G\mathfrak{K}_{\beta}.\]
Also $G\mathfrak{K}_{\beta}=\mathfrak{K}_{\beta}$
\[\mathfrak{K}_{\beta}=\big<\mathfrak{G}_{\beta},G\big>\mathfrak{K}_{\beta}=
\mathfrak{G}\mathfrak{K}_{\beta}\quad\textnormal{W!}\]
[h:] Gibt es etwas "Ahnliches bei topologischen Perm eines topol $\Omega$? etwa
$\alpha,\beta\in\Delta$ kompakt, ex $\mathfrak{H}\le\mathfrak{G}$ mit 
$\Delta^{\mathfrak{H}}=\Delta$. [:h]\\[5mm]
2.\quad Def: $\mathfrak{G}$ stark pri, wenn zu jedem Paar $\alpha\neq\beta$
und jedem $\Gamma\neq 0,\Omega$ ein $G\in\mathfrak{G}$ ex. mit
$\alpha^{G}\in\Gamma,\beta^{G}\notin\Gamma$\newline
[h:] Gibts das bei Tits? $\mathfrak{G}$ stark pri 
$\to$ $\mathfrak{G}$ pri. [:h]\\[5mm] 
3.\quad Sei $\mathfrak{G}$ pri, und die Menge der Elemente endl. Ord sei tra
auf $\Omega$; z.B. sei $\mathfrak{E}\neq 1$. Dann ist $\mathfrak{G}$ stark
pri. [h:] Ohne --- gilts nicht;
$\mathfrak{G}=\left(\begin{array}{c}x\\ax+b\end{array}\right),\,\, a>0$.
$\alpha=0,\beta=1$, $\Gamma=\{x\ge0\}$ [:h]\newline
Siehe hierzu 9
\begin{flushright}111/112\end{flushright}

4.\quad $\mathfrak{G}$ pri, ex $G\in\mathfrak{G}$ mit $0<$Gr$G=a(\le\infty)$ 
$\to$ Die Anzahl der Tra-Gebiete von $\mathfrak{G}_{1}$ ist $\le a$.\\[5mm]
Bew: Sonst $\mathfrak{G}=\big<\mathfrak{G}_{\alpha},G\big>$ intra dabei ist
$\alpha^{G}\neq\alpha$ vorausgesetzt.\\[5mm]
5.\quad Paarung der Konstituenten von $\mathfrak{G}_{1}$. Sei
$\Delta=\delta^{\mathfrak{G}_{1}}$ ein Tra Gebiet von $\mathfrak{G}_{1}$.
Setze $\mathfrak{d}=\{D\in\mathfrak{G} \mid 1^{D}\in\Delta\}$ und
$\Delta^{\prime}=1^{\mathfrak{d}^{(-1)}}$.\\
Dann ist $\begin{array}[t]{ll}a) & \Delta^{\prime}\,\,\textnormal{ein Tra
    Gebiet von}\,\,\mathfrak{G}_{1}\\ b) & \Delta^{\prime\prime}=\Delta\\
c) & \Delta^{\prime}=\{\delta^{\prime}
\mid~\bigvee\limits_{\substack{G\in\mathfrak{G}\\\delta\in\Delta}}
\left[G=\left(\begin{array}{cc}\delta & 1\\1 &
    \delta\end{array}\right)\right]\}\end{array}$\\[5mm]
Bew: a) W"ahle $D\in\mathfrak{d}$ fest;
$D=\left(\begin{array}{ccc}\delta_{\phi} & 1 & \ldots\\1 &
    \delta_{\phi} & \ldots\end{array}\right)$.\\ 
Dann $\begin{array}[t]{ll}\textnormal{(I)} &
  \mathfrak{d}=\mathfrak{G}_{1}D^{-1}\mathfrak{G}_{1}\\\textnormal{also} & \mathfrak{d}^{(-1)}=\mathfrak{G}_{1}D_{\phi}\mathfrak{G}_{1},\quad \Delta^{\prime}=1^{D\mathfrak{G}_{1}}
=\delta^{\prime^{\mathfrak{G}_{1}}}\end{array}$\\[5mm]
b) Hiernach $\Delta^{\prime\prime}=\delta^{\mathfrak{G}_{1}}=\Delta$,
da man in a) $D^{\prime}=D^{-1}$ w"ahlen kann.
\begin{flushright}112/113\end{flushright}

c) Wenn $\delta\in\Delta_{1}\left(\begin{array}{ccc}\delta & 1 &\ldots\\1 &
    \delta^{*} & \ldots\end{array}\right)\in G$, ist nach a)
    $\delta^{*}\in\Delta^{\prime}$. Wenn $\delta^{*}\in\Delta^{\prime}$, so
    $\delta^{*}=1^{DG_{1}}$ f"ur pass. $G_{1}$, $D$ wie a), also
\[DG_{1}=\left(\begin{array}{ccc}1 & \delta & \\\delta^{*} & 1 &
    \end{array}\right).\]
[h:] 6.\quad Vermutung: Gepaarte Transgebiete haben nicht 
immer gleiche L"ange ... Stimmt:? [:h]\\[5mm]
7.\quad Sei $\delta\in\Delta$. Genau dann ist $\Delta=\Delta^{\prime}$, wenn
$(1\delta)\cdots\in G$.\\[5mm]
Bew: 5 c).\\[5mm]
Falsch ist die Vermutung:\\
8.\quad Sind $|\Delta|$ und $|\Delta^{\prime}|$ endlich, so $=$.
[h:] Aber stimmt vielleicht wenn $\mathfrak{G}$ pri [:h]\newline
Beispiel: Die Gruppe $\mathfrak{H}$ der Matr. $\left(\begin{array}{cc} 1 & n\\
 & 1\end{array}\right)$ $n=0,\pm 1,...$ ist in der Gruppe $\mathfrak{G}$ aller
mit Det. 1 konjugiert zu ihrer Untergr $\mathfrak{H}^{\prime}$ vom Index
2. Stellt man $\mathfrak{G}$ nach $\mathfrak{H}$ dar, so ist also
$\mathfrak{H}=\mathfrak{G}_{2},\mathfrak{H}^{\prime}=\mathfrak{G}_{1}
\underset{2}{<}\mathfrak{G}_{2}$. Mit $D=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1  & 
\ldots\\1 & 3 & \ldots\end{array}\right)$ wird
$\mathfrak{G}_{3}\underset{2}{<}\mathfrak{G}_{1}$;
$|\Delta|=|\mathfrak{G}_{1}:\mathfrak{G}_{12}|=1$
\[|\Delta^{\prime}|=|\mathfrak{G}_{1}:\mathfrak{G}_{13}|=2\]
\begin{flushright}113/114\end{flushright}
9.\quad $\mathfrak{G}$ pri, $\left\{\begin{array}{l}\textnormal{[h:]}\,\,
\alpha,\beta\in\Omega\,\,\textnormal{[:h]}\\
0<|\Delta|<\infty\to\,\,\textnormal{ex}\,\,G:\alpha^{G}\in\Delta,
\beta^{G}\notin\Delta.\end{array}\right.$\\[5mm]
Bew: OBdA seien $\alpha,\beta\in\Delta$. W"ahle $A=(12...)\cdots$ Ist dieser 
Zyklus $C$ endlich, so stimmts nach 1.\\ Ann: Ist aber $C$ unendlich, so ist
etwa $C=\binom{n}{n+1}$,\\
$\alpha^{A}=2\in\Delta\to\beta^{A}=3\in\Delta.$
$\alpha^{A^{2}}=3\in\Delta\to\beta^{A^{2}}=4\in\Delta$ usw:
$n\in\Delta.$ W!\\[5mm]
10.\quad $\mathcal{N}\mathfrak{G}$ pri in $\mathfrak{S}^{\Omega}$,
[durchgestrichen: $\mathfrak{G}_{1}$ habe f"ur $i$ eine Tra Lge $k<\infty$, 
$k=\alpha^{\mathfrak{G}_{1}}; \alpha\neq 1$]. Ferner sei entweder
$\mathcal{N}\mathfrak{G}$ stark pri, oder $\mathfrak{G}_{1}$ habe nur endlich
viele endliche Tragebiete. Dann sind alle Tragebiete von $\mathfrak{G}_{1}$
endlich oder haben alle die gleiche M"achtigkeit. Ist
$\mathcal{N}\mathfrak{G}$ stark pri, so haben alle
$\alpha^{\mathfrak{G}_{1}}$, $\alpha\neq 1$, dieselbe M"achtigkeit, 
falls wenigstens ein $|\alpha^{\mathfrak{G}_{1}}|=\infty$.\\[5mm]
Bew: a) $\mathfrak{G}$ stark pri $\Omega=1+\Phi+\Psi$, Sei $a=\infty=
|\alpha^{\mathfrak{G}_{1}}|$, $\Phi=$ Vereinigung der Tragebiete mit 
M"achtigkeit $<a$.
Sei $\Psi\neq\emptyset$, w"ahle $\alpha\in\Phi$. Ist $\alpha\in\Phi$, so hat
$\mathfrak{G}_{1\alpha}$ auf $\Psi$ lauter Transgebiete einer M"achtigkeit
$\ge a$. Nimm $G=\left(\begin{array}{ccc}1 & \alpha & \ldots\\\varphi & \psi
    & \ldots\end{array}\right)$, dann
enth.
$\mathfrak{G}_{1\varphi}^{G^{-1}}\le\mathfrak{G}_{\varphi}^{G^{-1}}
=\mathfrak{G}_{1}$ $\alpha$ in einem Tragebiet der Lge $\ge a$ W!
\begin{flushright}114/115\end{flushright}

b)\quad $\mathfrak{G}$ pri und $\mathfrak{G}_{1}$ hat nur endl viele
  endl. Konstituenten: Vereinigg sei wieder $\Phi$. Nach 9 gibt es mit
$\left\{\begin{array}{l}\Delta=1+\Phi\\\alpha\in\Phi\end{array}\right.$ ein 
$G=\left(\begin{array}{ccc}1 & \alpha & \ldots\\\varphi & \psi &
  \ldots\end{array}\right)$ weiter wie a).\\[5mm]
11. $\mathfrak{G}$ pri, $\mathfrak{E}\neq 1$ $\to$ $\mathfrak{G}_{1}$
  sowie $\mathfrak{E}_{1}$ haben nur unendliche Trageb. $\neq 1$, und
  $\mathfrak{G}_{1}$ nur endl. viele\\
\begin{tabular}{ll}$\bullet$) & $\mathfrak{E}$ tra\\a) & $\mathfrak{G}_{1}$ endl viele
  nach $112_{4}$.\\b) & alle gleich lang nach 10, da $\mathfrak{G}$ stark pri
  nach 3.\\c) & $\mathfrak{E}_{1}$ hat nur endlich viele Tra L"angen,
  [durchgestrichen: nach] da \\ &  $\mathfrak{E}_{1}\lhd\mathfrak{G}_{1}$ 
und a)\\d) & Da $\mathfrak{E}$ Ugr mit beliebig langen 
tra Konstituenten enth"alt
  ($\bullet$)), hat $\mathfrak{E}_{1}$\\ &  mindestens ein unendl. 
Tragebiet nach c)\\
e) & $\mathfrak{E}$ hat nur unendliche Tragebiete nach
  10.\end{tabular}\\[5mm] 
[h:] Frage: Welche vern"unftigen Relationen sind mit $\mathfrak{G}$
  vertr"aglich? [:h]
\begin{flushright}115/116\end{flushright}
12.\quad $\mathfrak{E}$ tra, $\mathfrak{E}_{1}$ nur unendl Tragebiete $\neq 1$
   $\to$ Zu jedem $\Delta\subset\Omega$, $|\Delta|<\infty$ gibt
   [durchgestrichen: gibt es eine endl Gruppe $\mathfrak{H}<\mathfrak{E}$ mit
   $\mathfrak{H}$ pri auf $\Delta^{\mathfrak{H}}$.] es ein
   $\Delta^{\prime}\ge\Delta$, $|\Delta^{\prime}|<\infty$ mit
   $\mathfrak{E}^{\Delta^{\prime}}$ pri auf
   $\Delta^{\prime}$ [h:] d.h. $=\{E\mid
   \Delta^{\prime}\stackrel{E}{=}\Delta^{\prime}\}$ [:h].\\[5mm] 
Bew: a) Es gibt $\mathfrak{A}$ tra auf $\Delta^{\mathfrak{A}}$ zu jeder der
   Ziffern $\delta_{1},...,\delta_{n}$ von $\Delta$ w"ahle ein
   $E_{\nu}=(\delta_{1}\delta_{\nu}\ldots)\cdots$,
   $\mathfrak{A}=\big<E_{1},...,E_{n}\big>$\\
b) Sei oBdA $1\in\Delta$. Zu jeder Ziffer $1<\delta_{\nu}\in$ Tr"a $\mathfrak{A}$
   w"ahle eine Ziffer
   \[\eta_{\nu}\left\{\begin{array}{l}\in\delta_{v}^{\mathfrak{E}_{1}},\\\notin
\text{ Tr"a }\mathfrak{A}\end{array}\right.\] w"ahle
   $B_{\nu}=\left(\begin{array}{ccc}1 & \delta_{\nu} & \ldots\\1 & \eta_{\nu} &
   \ldots\end{array}\right)\in\mathfrak{E}$, setze
   $\mathfrak{H}=\big<\mathfrak{A},B_{1},B_{2},...\big>$. Auf
   $\Delta^{\prime}=\Delta^{\mathfrak{H}}=1^{\mathfrak{H}}$ ist $\mathfrak{H}$
   primitiv. Dann sei $\Gamma$ ein Block, der 1 enth. und noch ein $\zeta$.
 Es ist $\Gamma^{B_{\nu}}=\Gamma$, da
   $1\in\Gamma$.\\ 
a) Wenn $\zeta\notin$ Tr"a $\mathfrak{A}$, so $\zeta^{\mathfrak{A}}=\zeta$, 
$\Gamma^{\mathfrak{A}}=\Gamma=\Gamma^{\mathfrak{H}}$\\
b)\quad-$\prime\prime$-\quad$\zeta=\delta_{\nu}\in$ Tr"a $\mathfrak{A}$, so ist
   $\eta_{\nu}=\delta_{\nu}^{B_{\nu}}\in\Gamma$, also a) anwendb\\[5mm]
12a.\quad Sei $\mathfrak{G}$ tra , f"ur $\alpha\neq 1$ sei stets
   $1+|\alpha^{\mathfrak{G}_{1}}|>\frac{1}{2}$Gr $G$ f. alle
   $G\in\mathfrak{G}$. Dann ist $\mathfrak{G}$ pri\\[5mm]
Bew: Block von 1 bleibt sonst bei allen $G$ fest.
\begin{flushright}116/117\end{flushright}
\underline{13 Hauptsatz}: $\mathfrak{E}$ tra, nur unendl. Tra-Gebiete bei
$\mathfrak{E}_{1}$ $\to$ $\mathfrak{E}\ge\mathfrak{A}^{\Omega}=$
alternierende Gr.\\[5mm]
Bew: a) Zu jedem $\Delta$ gibt es $\Delta^{\prime}\ge\Delta$, so dass
$\mathfrak{E}$ eine tra Ugr mit Tr"ager $\Delta^{\prime}$ enth"alt, w"ahle
$\Delta$ so gross, dass $\mathfrak{U}=\mathfrak{E}\cap\mathfrak{S}^{\Delta}\neq
1$. Nach 12 gibt es $\mathfrak{H}$ pri auf $\Delta^{\mathfrak{H}}=\Delta^{\prime}$. Dann ist
$\mathfrak{C}=\mathfrak{U}^{\mathfrak{H}}$ tra auf $\Delta^{\prime}$.\\
Also jede endl. Ugr $\mathfrak{U}$ von $\mathfrak{E}$ l"asst sich in eine
transitive $\mathfrak{U}^{\prime}$ einbetten, deren Normalisator in
$\mathfrak{E}$ auf dem Tr"a $\mathfrak{U}^{\prime}$ pri ist
\begin{itemize}
\item[b)]  Durch weitere Vergr"osserung kann man $\mathfrak{U}\le
\mathfrak{U}^{\prime}\le\mathfrak{U}^{\prime\prime}$ =2-tra erreichen (14).
\item[c)] Durch weitere Vergr"osserung $\le\mathfrak{U}^{\prime\prime\prime}$
$k$-tra
\item[d)] Ein transitives Erzeugnis von $k$-tra Gruppen ist $k$-tra. W"ahlt man
zu jedem $\Delta\subset\Omega$ eine auf einer Obermenge
von $\{1,...,k,\Delta\}$  $k$-tra endl Untergr von $\mathfrak{E}$, so
erzeugen sie also etwas $k$-tra. Also $\mathfrak{E}$ $k$-tra f"ur 
jedes $k$.\end{itemize}
\begin{flushright}117/118\end{flushright}
$13^{\prime}$.\quad "Ahnlich beweist man: Ist $\mathfrak{G}$ tra, und ist [h:]
f"ur $\alpha\neq 1$ [:h] jedes $|\alpha^{\mathfrak{G}_{1}}|\ge 
a>$Grad$G$ f alle
$G\in\mathfrak{G}$, so gibts zu jedem $\Delta$ mit $|\Delta|<a$ ein
$\Delta^{\prime}$ mit $\Delta\le\Delta^{\prime}$, $|\Delta^{\prime}|<a$, 
 $\mathfrak{G}^{\Delta^{\prime}}$ 
pri [h:] Def 116  Frage: Vielleicht stark pri? [:h] auf $\Delta^{\prime}$,
$\mathfrak{G}\cap\mathfrak{S}^{\Delta^{\prime}}$ tra auf
$\Delta^{\prime}$.\\[5mm]
14.\quad $H_{0}^{\mathfrak{G}}$ tra, $\mathfrak{H}=H_{0}^{\mathfrak{G}}$,
$|\text{ Tr"a }H_{0}|\le a<\Omega$ $\to$ $\mathfrak{H}_{1}$
enth"alt ein Tra Gebiet $\Delta$ mit $|\Delta|=a$.\\[5mm]
Bew: Setze $\mathfrak{U}=\left\{H_{0}^{G_{i}}\right\}$
$i\in\Lambda,|\Lambda|=a$ w"ahle $A\subseteq\Omega$: so dass
\[H^{G_{i}}=\left(\begin{array}{cc}1 & \ldots\\\alpha_{i} &
    \ldots\end{array}\right),\] $\alpha_{i}\in A$, $|A|=a$
$\mathfrak{U}$ l"asst etwas fest, da Gr $\mathfrak{U}\le a$. Also
$\mathfrak{U}^{G}\le\mathfrak{H}_{1}$.\\[5mm]
$14^{\prime}$.\quad Ist $\mathfrak{H}\unlhd\mathfrak{G}_{1}$, 
$\mathfrak{G}_{1}$
stark pri, $\mathfrak{H}\ni H_{0}$, (Tr"a $H_{0}$ $\mid<\Omega$, so hat jedes
Tra Gebiet von $\mathfrak{H}_{1}$ entweder die L"ange  $|\Omega|$ oder die n"achst kleinere M"achtigkeit.
\begin{flushright}118/119\end{flushright}

15.\quad Von zwei gepaarten Transgebieten von $\mathfrak{G}_{1}$ hat, wenn
   $\mathfrak{G}$ pri, wenigstens eins die L"ange $|\Omega|$.\\[5mm]
Bew: sonst w"urde das Paar (ungeordnete) $(12)$ (wo $2\in\Delta$ angenommen)
   nur in weniger als $|\Omega|$ Paare durch $\mathfrak{G}$ "uberf"uhrt
   werden, etwa in $a$ Paare. Aber jedes $\beta\in\Omega$ ist durch endlich
   viele Bilder von $(12)$ mit 1 \grqq verbindbar\grqq\,\,wegen Primitivit"at
   von $\mathfrak{G}$, also ist $|\Omega|\le\aleph_{0}\cdot a, =a$.\\[5mm]
16.\quad Sind $1,\alpha$ ein \glqq Rudio-Paar\grqq,\,so
   $|\alpha^{\mathfrak{G}_{1}}|=|\Omega|$, wenn $\mathfrak{G}$ pri.\\
$\mathfrak{G}_{1}$ hat ein $|\Delta|=|\Omega|$ nach 15. w"are
   $|\alpha^{\mathfrak{G}_{1}}|<|\Omega|$, $|\Omega|=1+\Phi+\Psi$, wo $\Phi$
   die Trageb. $<|\Omega|$ enth"alt, so gibt es $G=\left(\begin{array}{ccc}
\varphi & \psi & \ldots\\1 & \alpha & \ldots\end{array}\right)$;
   $\mathfrak{G}_{1\alpha}^{G}=(1)\cdots$ enth"alt $\alpha$ in Lge
   $|\Omega|$.
\begin{flushright}119/120\end{flushright}
17.\quad $\mathfrak{G}$ stark pri, $\alpha\neq\beta\to
   |\alpha^{\mathfrak{G}_{\beta}}|=|\Omega|$.\\[5mm]
Bew: 16, 10.\\[5mm]
18.\quad Genau dann ist $\mathfrak{G}$ nicht stark pri, wenn es zu jeder
(oder einer) Ziffer, etwa 1, ein $1\in\Delta\subset\Omega$ gibt mit der
Eigenschaft:
\[1^{G}\in\Delta\to\Delta^{G}\subseteq\Delta.\]
a) Es gebe so ein $\Delta$; sei $2\in\Delta$. Dann gibt es kein $G$ mit
$1^{G}\in\Delta,2^{G}\notin\Delta$: $\mathfrak{G}$ \anmerk\newline 
b) Nach 19 d gibt es $\alpha\neq\beta, \alpha>\beta$. Sei
$\Delta=\{\delta\mid\delta\le 1\}$, $\supset\{1\}$. Ist
$G=\begin{array}[t]{c}\left(\begin{array}{ccc}1 & \alpha & \ldots\\\delta & 1
      & \ldots\end{array}\right)\\\delta<1\end{array}$, so $\alpha<1$, also
$\alpha\notin\Delta$: $\Delta\neq\Omega$. Aus $1^{G}\in\Delta$ folgt
$1^{G}\le1$; $\Delta^{G}\le1^{G}\le1$, $\Delta^{G}\subseteq\Delta$.
\begin{flushright}120/121\end{flushright}
19.\quad Sei $0\subset\Gamma\subset\Omega$. Schreibe $\alpha\underset{\Gamma}{\le}\beta$, wenn aus $\alpha^{G}\in\Gamma$ stets folgt
   $\beta^{G}\in\Gamma$.\\[5mm] 
a) Ist $\mathfrak{G}$ pri, so folgt aus
   $\underbrace{\alpha\ge\beta\,\,\textnormal{und}\,\,
\alpha\le\beta}_{\textnormal{Dann schreibe kurz}\,\,\alpha\sim\beta}$, 
stets $\alpha=\beta$.\\
   Dann  ist das eine mit der Gr vertr. "Aq.-Relation, weil gilt (bei belieb
   $\mathfrak{G}$)\\[5mm]
b) $\alpha\ge\beta\to\alpha^{G}\ge\beta^{G}$\qquad\quad 
f. alle $G\in\mathfrak{G}$ und \\
c) $\alpha\ge\beta$,
   $\beta\ge\gamma\to\alpha\ge\gamma$\,\quad\qquad\quad"\\
$a^{\prime}$) Ist also $\mathfrak{G}$ pri, so ist $\ge$ eine Halbord[nung] auf
   $\Omega$.\\
d) Ist $\mathfrak{G}$ nicht stark pri, so gibt es
   $\left\{\begin{array}{l}\alpha\neq\beta\\\Gamma\,\,
\textnormal{mit}\,\,\alpha\underset{\Gamma}{\le}\beta\end{array}\right.$.\\
e) Ist $\mathfrak{G}$ pri, aber nicht stark, so gibt es eine nichttriviale
   Halbordnung auf $\Omega$, die mit $\mathfrak{G}$
   vertr"aglich ist.\newline
[h:] Kurz: pri="aqu-feindlich stark pri=Ord.-feindlich [:h]\\[5mm]
20.\quad Genau dann ist $\mathfrak{G}$ nicht
   $\left\{\begin{array}{l}\textnormal{ pri }\\\textnormal{stark
   pri}\end{array}\right.$, wenn es eine nicht triviale\\
   $\left\{\begin{array}{l}\textnormal{ "Aquivalenzrel. }\\\textnormal
 {Vorordnung}\end{array}\right.$
   auf $\Omega$ gibt, die mit $\mathfrak{G}$ vertr"aglich ist.\\
$\mathfrak{G}\left\{\begin{array}{l}\textnormal{pri}\\\textnormal{st.
   pri}\end{array}\right\}\leftrightarrow\mathfrak{G}$ nur mit den trivialen\\
$\left\{\begin{array}{l}\textnormal{"Aqu-Rel.}\\\textnormal{
Vorordnungen =refl
   tra Relation }\end{array}\right\}$ von $\Omega$ vertr"agl.\\
Das gibt kurzen Bew f"ur 10:\\
Ist $\beta$ in kurzem Trgeb von $\mathfrak{G}_{\alpha}$, $\gamma$ in kurzem
   von $\mathfrak{G}_{\beta}$, so $\gamma$ in kurzem von
   $\mathfrak{G}_{\alpha}$: \glqq$\alpha\ge\beta$\grqq\\[5mm]
 Bew:
  $\mathfrak{G}_{\alpha}:\mathfrak{G}_{\alpha\gamma}\le\mathfrak{G}_{\alpha}:
 \mathfrak{G}_{\alpha\beta\gamma}\le\mathfrak{G}_{\alpha}
 :\mathfrak{G}_{\alpha\beta}
 \cdot\mathfrak{G}_{\alpha\beta}:\mathfrak{G}_{\alpha\beta\gamma}
 \leftarrow$  Dreiecksungl!
\begin{flushright}121/122\end{flushright}
21.\quad Setzt man $\overline{\mathfrak{G}_{\alpha}\mathfrak{G}_{\beta}}=$
(Abstand)= $\log\, (\mathfrak{G}_{\alpha}:\mathfrak{G}_{\alpha\beta})$, so gilt
die Dreiecksungleichung:
\[\overline{\mathfrak{G}_{\alpha}\mathfrak{G}_{\gamma}}\le
\overline{\mathfrak{G}_{\alpha}\mathfrak{G}_{\beta}}
+\overline{\mathfrak{G}_{\beta}\mathfrak{G}_{\gamma}}.\]
22.\quad\underline{zur Abschliessung}: Ist $\mathfrak{U}\le\mathfrak{G}$, so
heisse $\Delta\subseteq\Omega$ \underline{$\mathfrak{U}$-zerlegend}, wenn
 $\mathfrak{U}=(\mathfrak{U}\cap\mathfrak{S}^{\Delta})(\mathfrak{U}\cap
 \mathfrak{S}^{\Omega-\Delta})$ [h:] $=(\mathfrak{U}\cap\mathfrak{U}_{\Delta})
 (\mathfrak{U}\cap\mathfrak{U}_{\Delta^{\prime}})$ [:h]. 
 \underline{Sei $\mathfrak{U}$
  2-abgeschl[ossen]}. Dann gibt es minimale $\mathfrak{U}$-zerlegende Mengen
$\Delta_{i}$, und jedes $\Delta$ ist $\sum$ der in $\Delta$ enthaltenen
minimalen: \underline{Unbeschr"ankte} Verein.- u. Durchschnittsbildung ist in
der Menge der Menge $\mathfrak{Z}$ der $\mathfrak{U}$-zerlegenden Mengen
ausf"uhrbar. $\mathfrak{U}$ zerf"allt also in unzerlegbare ziffernfremde
Zerlegungsbestandteile.\\[5mm]
23.\quad Allg. Bemerkg "uber pri Gruppen:\\
man sollte die S"atze "uber sie allgemeiner formulieren: als Existenzs"atze
f"ur Bl"ocke beliebiger (nicht notw transitiver) Gruppen: z.B. Ist der
$\Lambda$-Tr"ager $T$ von $\mathfrak{G}_{1\alpha}$ fest bei
$\mathfrak{G}_{1}$, und der $\Lambda$-Tr"ager von
$\mathfrak{G}_{1\alpha^{\prime}}$ fest bei $\mathfrak{G}_{1}$
($\alpha^{\prime}$ gepaart zu $\alpha$), so ist
$1^{\{\mathfrak{G}_{1},\mathfrak{G}_{2}\}}\subseteq T$, wenn
$(1)\in\Lambda$. Also enth"alt $T$ einen Block von $\mathfrak{G}$, der
z.B. $1^{\mathfrak{G}_{2}}$ umfasst. [$T$ fest bei
$\mathcal{N}\mathfrak{G}_{12}$] [h:] oder Konstr. von "Aqu Rel u
Halbordnungen. Genauer fassen! $\mathfrak{G}_{2}\le\mathfrak{G}_{1}$?
[:h]
\begin{flushright}122/123\end{flushright}

24.\quad Aufgabe: Bestimmung der pri Gruppen, bei denen
   $|\beta^{\mathfrak{G}_{1}}|=2$ existiert.\\[5mm]
25.\quad Die $\mathfrak{U}$-zerlegenden Konstituenten von Nr.22 k"onnen zur
   Kennzeichnung (invarianter) von Ziffernmengen unter $\mathfrak{U}$
herangezogen werden. Z.B. $\Lambda^{*}$-Tr"ager: Vereinigung der Tr"ager
   $\Delta$ solcher Konstituenten $\mathfrak{K}$ von $\mathfrak{U}$, f"ur
   welche $\Delta$ $\mathfrak{U}$ zerlegt [und man kann dann noch etwa
   verlangen, da"s $\mathfrak{U}/\mathfrak{K}\in$ gegebener Konstituentenmenge
   $M$ liegt]. F"ur solche Konstruktionen braucht man Ziffermengen, die fest
   bei $\mathcal{N}\mathfrak{U}$ sind.\\[5mm]
26.\quad Die (mit der Gr $\mathfrak{G}$) vertr"aglichen) 
(Halb [h:] vor [:h])-Ordnungen
   $O_{i}\underset{i}{\le}$ sind ein Verband bez"uglich unbeschr"ankter
   Durchschnitts- und [durchgestrichen: Summen] [h:] Erzeugnis [:h] -bildung:
   [h:] $O_{1}\subseteq O_{2}$ heisst:
   $\alpha\underset{1}{\le}\beta\to\alpha\underset{2}{\le}\beta$
   [:h]\newline  
$\begin{array}{llrll}O & =\bigcap O_{i}: & \textnormal{Durchschnitt}: &
   \alpha\le\beta & \leftrightarrow\alpha\underset{i}{\le}\beta\,\,
\textnormal{f alle}\,\,i\\ & =\bigcup O_{i}: & \textnormal{Summe}: &  &
   \leftrightarrow\alpha\underset{i}{\le}\alpha_{1}\underset{j}
{\le}\alpha_{2}\le...\underset{k}{\le}\beta\end{array}$\\
Es ist $O_{1}\cap O_{3}+O_{2}\cap O_{3}\subseteq (O_{1}+O_{2})\cap O_{3}$
\begin{flushright}123/124\end{flushright}

27.\quad Wenn $\mathfrak{G}$ pri, ist jede Vorord von $\Omega$ eine Ord (immer
   unvollst"andig) und umgekehrt (denn eine "Aqu-Relation, die nichtrivial,
   ist nie Ordnung)\\ 
\begin{tabular}{l}$\mathfrak{G}$ nicht pri $\leftrightarrow$ 
es gibt "Aquivalenz\\ $\mathfrak{G}$ nicht stark pri $\leftrightarrow$ es gibt
Vorordnung\\ $\mathfrak{G}$ pri $\leftrightarrow$ jede "Aqu
trivial\\$\mathfrak{G}$ stark pri $\leftrightarrow$ \glqq Vorordnung\grqq
\end{tabular}\\[5mm]
28.\quad Manning S. 89 gilt auch bei $|\Omega|=\infty$: Hat $\mathfrak{G}$
Bl"ocke $B_{i}\ni 1$ so, dass jedes $\alpha\neq 1$ in genau einem $B_{i}$
liegt, so ist $\mathfrak{G}_{12}=1$.\\[5mm]
Bew: Durch $\alpha\neq\beta$ gibt es genau eine \glqq
Gerade\grqq\,\,$B_{i}^{G}$\\[5mm]   
29.\quad Als Bezeichnung f"ur eine (teilweise) Vorordnung eignet sich
$\alpha\le\beta$.
\begin{flushright}124/125\end{flushright}
\begin{center}Nur-2-tra-Gruppen.\end{center}
[h:] Hierzu M Hall, Proceed. Sympos pure Math I, 39 [:h]\\[5mm]
$\mathfrak{G}$ sei auf $\Omega$ 2-tra, nicht $3$-tra; $\mathfrak{H}$ tra auf
$\Delta\subset\Omega$, $\mathfrak{H}\neq 1$; $l=$Grad$\mathfrak{H}\le n-2$,
also $\le n-3$, $\mathfrak{H}$ maximal; etwa
$\mathfrak{H}\le\mathfrak{G}_{12}$\\[5mm]
1.\quad $l\ge\frac{n-1}{2}$\\[5mm]
2.\quad $\mathfrak{H}$ ist die einzige Konjugierte in $\mathfrak{G}_{12}$.\\[5mm]
3.\quad Def: Gerade = Fixmenge von $\mathfrak{H}$ und Bilder.\\[5mm]
4.\quad Durch je zwei \glqq Punkte\grqq\,\,($\in\Omega$) geht genau eine Gerade
[h:] (Anzahl d. Pkte: $q+1$ bezeichnet) [:h]\\[5mm]
5.\quad \underline{Wenn} sich je zwei Geraden schneiden, ist $\mathfrak{H}$
abelsch, da Translat-gr. einer Transl-Ebene.\\[5mm]
6. $\mathfrak{G}$ ist Dreiecks-transitiv.\\[5mm]
7.\quad Jedes B"undel von Geraden wird von jeder weiteren in $q+1$ Pkten
geschnitten, wenn jede Gerade $q+1$ Pkte hat.\\[5mm] 
[h:] 7a.\quad $q$ ist die Lge des einzigen maximalen 
Blocks von $\mathfrak{G}_{1}$
(oder $\mathfrak{H}^{\mathfrak{G}_{1}}$) [:h]\\[5mm]
8.\quad Sind $\gamma_{i}$ die $q$ Pkte einer Geraden $\mathfrak{g}$, so gibt
jedes $\gamma_{i}$ eine Einteilung von $\Omega-\mathfrak{g}$ in Bl"ocke:
Geraden durch $\gamma_{i}$. Also  $\mathfrak{H}$
hat $q+1$ Bl"ocke [$\ni\alpha$ fest] mit je $q$ Ziffern. Daher
$q=n-1-l$.\\[5mm]
9.\quad $\mathfrak{H}\cap\mathfrak{H}^{T}$ hat sogar $2(q+1)$ Bl"ocke etwa
mindestens: Jeder Pkt der von $\mathfrak{g}$ und $\mathfrak{g}^{T}$ \glqq
aufgespannten\grqq\,\, \glqq Raums\grqq\,\, gibt eines, mit $q$ Ziffern.
\begin{flushright}125/126\end{flushright}

10.\quad Jede transitive Ugr  $\mathfrak{T}\le\mathfrak{G}$ vom Grad $m$
   besitzt durch jede Ziffer $\alpha$ mindestens $n-m$ Bl"ocke 
[h:] der Lge $a$ [:h], die
   zu je zweien nur $\alpha$ gemeinsam haben. N"amlich die Schnitte
   Tr"ager $\mathfrak{T}\cap\overline{\alpha\beta}$, 
$\beta^{\mathfrak{T}}=\beta$.\\[5mm]
11.\quad Also ist, da $m>q-1$, so dass bei
   $\alpha,\beta$ fest bei $\mathfrak{H}$ nie
   Tr"a $\mathfrak{H}\subseteq\overline{\alpha\beta}$, $m\ge 1+(q-1)(n-m)$,
   $m>n$ $\frac{q-1}{q}\ge\frac{n}{2}$ mit $q\mid n-1$. $1<q=$ Defekt
   $\mathfrak{H}$ in $\mathfrak{G}_{1}$. [h:] = Manning S. 96. Hieraus folgt
   Satz "uber Zyklus wohl schon bei Jordan. [:h]\\[5mm]
12.\quad Und wenn $\mathfrak{T}$ keine Frobeniusgruppe, dann ist nach Blatt
   bei Manning S. 89 sogar 
\[m>1+q(n-m)+q,\quad m>(n+1)q/(q+1)\]
13.\quad Und wenn $\mathfrak{T}$ keine Frob Gr. und $n-m>8$, ist
   $m>1+q(n-m)+\frac{m}{4}$, $q\ge 1$; also 
\[m>\frac{1+qn}{q+3/4}>\frac{4q}{4q+3}n\ge\frac{4}{7}n\]
14.\quad Ist $\mathfrak{G}$ genau 3-tra, 
$\mathfrak{T}\le\mathfrak{G}$, und
   erzeugen die $T\in\mathfrak{T}$, $T=(1\alpha...)$ stets $\mathfrak{U}$ mit
   $|1^{\mathfrak{U}}|\ge 3$, z.B., wenn $m\equiv1\,\,(2)$, so wird bei
   $\mathfrak{T}$ tra Gr zu
\[m\ge 1+\binom{n-m}{2}(q-1),\quad q\ge 2\]
also $n>\frac{(n-m)^{2}}{2}$\quad $n-m<\sqrt{2n}$\\[5mm]
Bew: Nenne Gerade die Fixmenge von $\mathfrak{H}^{T}$, $\mathfrak{H}$ max
transitiv in $\mathfrak{G}_{123}$ usw 
\[(n-m)^{t-1}\le\frac{n}{q-1}(t-1)!\]
Das gibt leichten Beweis f"ur \underline{Marggraf 13.5}
\begin{flushright}126/127\end{flushright}

9.10.59\\
$||$15.\quad $\mathfrak{G}$ sei $k$-fach  ($k> 1$) 
tra und enthalte eine
\underline{tra} Ugr $\mathfrak{H}$ des Grades $m$ derart, dass
$m\le\binom{n-m}{k-1}$, und dass die $H=(1\alpha\ldots)\cdots$  
$\alpha\neq 1$ in Tr"a $\mathfrak{H}$, eine Gr 
$\mathfrak{U}$ mit $|1^{\mathfrak{U}}|\ge k$
erzeugen [h:] z.B. sei f"ur $1<d\mid m$ stets $d\ge k$, oder: $\mathfrak{H}$
besitzt keinen Block der L"ange 2.  [:h] Dann ist $\mathfrak{G}$
$(n-m+1)$-fach transitiv; [h:] sogar
$\mathfrak{H}^{\mathfrak{G}}$. [:h] Forts: 138.\\[5mm] 
16.\quad NB: "Ahnliche Schl"usse gelten f"ur z.B. genau 2-tra Gruppen
$\mathfrak{G}$, wenn $\mathfrak{G}_{12}$ eine darin schwach abgeschlossene
Untergr $\mathfrak{H}$ enth"alt, deren Tragebiete alle l"anger sind als
$n-1-m$; dabei bedeutet $m=$Grad$\mathfrak{H}$, und $\mathfrak{H}$ versetze
nicht alle Ziffern $\neq 1,2$; d.h. $m<n-2$; es ist $q=n-1-m$ zu setzen;
$q$ ist die L"ange eines passenden Impr.-Gebiets von $\mathfrak{G}_{1}$.\\[5mm]
17.\quad F"ur alles obige wird die Transitivit"at von $\mathfrak{G}$ auf den
\underline{ungeordneten} $k$-Tupeln gen"ugen; vielleicht noch weniger: 
[h:] \glqq schwach $k$-tra\grqq. Besser: $k^{*}$-transitiv 
($=k$-set.-transitive) [:h]
\begin{flushright}127/128\end{flushright}
[h:] Noch $G$ nur 2-tra. [:h]\\
$||$18.\quad $\mathfrak{G}$ heisse eine Torse [h:] Besser: \glqq Regelgruppe\grqq [:h], wenn $\Omega$ mit \glqq
Geraden\grqq\,\,   
aus jeweils $\pi\ge 3$
Punkten ($\pi<n$) derart "uberdeckt werden kann, dass je zwei verschiedene
Geraden h"ochstens einen Punkt gemeinsam haben und $\mathfrak{G}$ jede Gerade
stets in Geraden "uberf"uhrt. [h:] Es ist dann $\pi-1\mid n-1$. [:h] Dann gilt:
($\mathfrak{G}$ kann intra sein!) $|\Omega|=n$.\\
$||$a) Der Minimalgrad einer Torse ist $>\frac{n}{2}$.\\
Genauer: b) Ist $\mathfrak{G}$ Torse, $\mathfrak{U}\le\mathfrak{G}$,
$\alpha^{\mathfrak{G}}\neq\alpha$, so [h:] ist [:h]
\[\text{ Gr }\mathfrak{U}>\left\{\begin{array}{lll}n(1-\frac{1}{\pi-1}) & 
\text{f"ur} & \pi>3\\n(1-\frac{1}{\pi-1})-\pi+1+|\alpha^{\mathfrak{U}}|
& \text{f}. & \pi\ge 3.\end{array}\right.\]  
Bew b): [h:] Bew k"urzer durch Z"ahlen der Geraden durch $\alpha$: z.B. II:
$l\le\frac{n-1}{q}$, wenn $n=m+l$. [:h]\newline
Bew: $\mathfrak{U}$ lasse $\beta_{1}\ldots\beta_{k}$ fest;
$k=n-$Gr $\mathfrak{U}=n-m$ \\
I. Sei einmal $i\neq j$,
$|\overline{\alpha\beta_{i}}\cap\overline{\alpha\beta_{i}}|\ge 2$; so ist
$\overline{\alpha\beta_{i}}=\overline{\alpha\beta_{j}}
=\overline{\beta_{i}\beta_{j}}$ fest bei $n$ also
$=\overline{\alpha\alpha}^{\mathfrak{U}}=\alpha\alpha^{\prime}$ f"ur alle
$\alpha^{\prime}\in\alpha^{\mathfrak{U}}$, $\alpha^{\prime}\neq\alpha$. Daher
\begin{eqnarray*}n & \ge &
  \begin{array}[t]{c}\pi\\|\\\overline{\alpha}\alpha^{\prime}\end{array}
+(\pi-1)\left(n-m-\left[\pi-|\alpha^{\mathfrak{U}}|\right]\right)\\
m & \ge & \frac{1}{\pi-1}+n\left(1-\frac{1}{\pi-1}\right)-\left(\pi
-|\alpha^{\mathfrak{U}}|+1\right)\end{eqnarray*}
II Ist stets $|\overline{\alpha\beta_{i}}\cap\overline{\alpha\beta_{j}}|=1$,
so 
\begin{eqnarray*}n & \ge & \begin{array}[t]{c}1\\|\\\alpha\end{array}
+(n-m)(\pi-1)\\ m & > & n\left(1-\frac{1}{\pi-1}\right)\end{eqnarray*}
\begin{flushright}128/129\end{flushright}

III. Ist $\pi=3$, so kann nicht
$|\overline{\alpha\beta_{i}}\cap\overline{\alpha\beta_{j}}|=2$ sein, dann
$\overline{\alpha\beta_{i}}$ enth"alt
$\alpha^{\mathfrak{U}},\beta_{i},\beta_{j}$. Also gilt a) f"ur $\pi=3$ nach
  II.\\ 
IV Bew a): f"ur $\pi>3$ ist nach I
\[m>n\left(1-\frac{1}{x}\right)-(x-|\alpha^{\mathfrak{U}}|+1)=f(x).\]
da $f(x)$ monoton [durchgestrichen: f"allt die] 
\begin{tabular}{c}steigt\\f"allt\end{tabular} f"ur $x\ofrac{<}{>}\sqrt{n}$,
und da $x=\pi-1\le\frac{n-3}{2}$ (es gibt
$|\overline{\alpha\beta}\cap\overline{\gamma\delta}|\le 1$), haben wir 
\begin{eqnarray*}f(x) & \ge & \min\left[f(3);f(\frac{n-3}{2})\right]\\
& = & \min\left[\frac{2}{3}n+|\alpha^{\mathfrak{U}}|-3;\ldots\right]\\
& \ge & \frac{n}{2}\quad\textnormal{f"ur}\,\,n\ge 6\end{eqnarray*}
V. f"ur $n< 6$ gibt es keine Torse.\newline
[h:] Also mit $n=m+l$ ist $l\le\frac{n-1}{q}$ in Fall II, sonst
$\le\frac{n-1}{q}+q-|\alpha^{\mathfrak{U}}|$ ($l=$ Fixpunktzahl von
$\mathfrak{U}$) [:h]\\[5mm]
19.\quad\underline{Kriterien f"ur Torsen}:\\
a) $|\mathfrak{G}_{\alpha\beta}|$ sei unabh von Wahlen $\alpha\neq\beta$.
Ferner sei $|\mathfrak{G}_{\alpha\beta}|\neq 1$, und jedes
$\mathfrak{G}_{\alpha\beta}$ lasse die gleiche Anzahl $\pi$ von Ziffern fest,
$2<\pi<n$. Dann kann man $\overline{\alpha\beta}=$ Fixmenge von
$\mathfrak{G}_{\alpha\beta}$ \anmerk
\begin{flushright}129/130\end{flushright}
b) Jedem $\mathfrak{G}_{\alpha\beta}$ sei ein
$\mathfrak{G}_{\alpha\beta}^{*}\le\mathfrak{G}_{\alpha\beta}$ invariant
zugeordnet, so dass aus 
\[\mathfrak{G}_{\alpha\beta}^{*}\le\mathfrak{G}_{\gamma\delta}\] 
folgt
\[\mathfrak{G}_{\alpha\beta}^{*}=\mathfrak{G}_{\gamma\delta}.\]
$|$Dann kann man die Fixmge von $\mathfrak{G}_{\alpha\beta}^{*}$ als
$\overline{\alpha\beta}$ w"ahlen.\\
Das geht insbes., wenn $\mathfrak{G}$ nur 2-tra,
$\mathfrak{G}>\mathfrak{H}$, Gr$\mathfrak{H}<n-2$.\\
c) Ist $\mathfrak{G}$ [h:] schwach [:h] 2-tra [h:] im Sinn von 17 [:h], 
so kann man
\begin{eqnarray*}
\mathfrak{G}_{\alpha\beta}^{\ast}&=& \text{ Abschl von }
  \mathfrak{U}\text{ in }\mathfrak{G}_{\alpha\beta}\text{ w"ahlen in b)}\\
  \text{ oder }\phantom{GGG} & = &
  \text{ Gr"osste Untergruppe, von der kein Kopf isomorph}\\
  &&\text{ einem Ausschnitt einer geg Gruppe }\mathfrak{L}\text{ ist }\\ 
  & = & \text{ [durchgestrichen:
Gr"osste Ugr von }\mathfrak{G}_{\alpha\beta},\text{ von der kein}\\  
&&\text{ ?[subnormaler]? Konstituent in $K$ liegt; dabei $K$ wie 104.]}\\
& = &\text{ gr"osste Ugr von $\mathfrak{G}_{\alpha\beta}$, die keinen Konstituenten
  aus $\Lambda$ hat;}\\
  & &\text{ dabei $\Lambda$ eine Menge von Pgr, die alle}\\
  &&\text{ Untergr $\neq 1$ mit enth"alt.}
  \end{eqnarray*}
20.\quad Sei $\mathfrak{G}$ 2-tra, und $\mathfrak{K}$ ein Konst. $\neq 1$ von
  $\mathfrak{G}_{12}$. Ist Min Grad$\mathfrak{G}\le\frac{n}{2}$, so
  imitiert jede Ugr $\neq 1$ von $\mathfrak{G}_{1\alpha}$
  eine Untergr von $\mathfrak{K}$. Ist also
  z.B. $\mathfrak{K}$ aufl"osbar, so $\mathfrak{G}_{12}$ auch. Jeder KF von
  $\mathfrak{G}_{12}$ ist Ausschnitt von $\mathfrak{K}$.
\begin{flushright}130/131\end{flushright}

21.\quad (=19 d) Fortsetzg.) Wenn man in einer schwach 2-tra Gr $\mathfrak{G}$
   die Tra\-l"an\-gen von $\mathfrak{G}_{12}$ so in 2 Klassen einteilen kann, dass
   jede L"ange $l$ der einen Klasse und jede 
$l^{\prime},l^{\prime\prime}$ 
der andern Klasse die Eig haben
\[\frac{l}{(l,l^{\prime})}>l^{\prime\prime},\]
so bilden diejenigen der $l^{\prime}$ eine \glqq Gerade\grqq\,\,, z.B. Wenn in
einer schwach 2-tra Gruppe des Grads 19 $\mathfrak{G}_{12}$ die Tra\-län\-gen
[1,1,8,9] hat, so ist 
$\begin{array}[t]{ccccc}[1 & & 1 & & 8]\\ & + & & +\end{array}$ 
\underline{Gerade}, $n=10$, oder
   $[1,1,2^{\alpha},2^{\beta},...,9]$.
Also ist dann Mingr. $m>19(1-\frac{1}{9})=16\frac{2}{3}$\quad $m\ge
17\to\mathfrak{G}_{12}=1$\newline
[h:] Fortsetzung 23 [:h]\\[5mm]
22.\quad Allgemeine Bemerkg: Auf die Konstituenten von $\mathfrak{G}_{1}$,
wenn $\mathfrak{G}$ tra, hat die Einbettung von $\mathfrak{G}$ 
in eine tra Gr. vom Grad 1 h"oher fast so starke Wirkg als
ob $\mathfrak{G}$ pri w"are.
\begin{flushright}131/132\end{flushright}
23.(=19 e).\quad Ist $\mathfrak{G}$ 2-tra und gibts ein $\Delta\ni 1,2$ so
   dass zu jedem $\delta>2$, $\delta\in\Delta$ eine Konstit-Menge
   $\Lambda_{\delta}$ existiert, so dass 
\begin{eqnarray*}\Delta &  = & 
\Lambda_{\delta}-\textnormal{Tr"ager}\,\,\mathfrak{G}_{12\delta}\\ &  = &
   \Lambda_{\delta}-\textnormal{Tr"ager}\,\,\mathfrak{G}
_{12\delta^{\prime}}\end{eqnarray*}
ist ($\delta^{\prime}$ sei in $\mathfrak{G}_1$ zu $\delta$ an 2
   gespiegelt), dann ist $\Delta$ eine \glqq Gerade\grqq.\\[5mm]
24.\quad Satz von Rietz: Sei $\mathfrak{G}$ tra, sei
   $\mathfrak{G}_{1}=\mathfrak{M}\mathfrak{K}\mathfrak{L}$
   $\mathfrak{G}_{1}||\mathfrak{K}=\mathfrak{M}$ habe Transl"angen alle $=m$;
   $\mathfrak{K}$ und $\mathfrak{L}$ seien gepaart. Dann ist $m=1$.\\
Sonst $\mathfrak{G}_{12}^{*}=$ Abschl von $\mathfrak{M}$ in
   $\mathfrak{G}_{12}$ setzen. Da $\mathfrak{M}\text{ v }\mathfrak{M}^{T}$, hat
   $\mathfrak{G}_{12}^{*}$ lauter Trans - l"angen, die
   durch $m$ teilbar sind (25). Also l"asst $\mathfrak{G}_{12}^{*}$ $1+\lambda
   m$ Ziffern fest, $\lambda\ge 1$. Gibt Gerade: $\mathfrak{G}$ ist Torse. Aber
   MinGr$\mathfrak{G}\le\frac{n-1}{2}$. [h:] K"urzer: 123 [:h]\\[5mm]
25.\quad Ist $\mathfrak{AB}=\mathfrak{C}$, alle Permg, so ist jedes 
Transgebiet $\neq 1$ von $\mathfrak{C}$ Vereinigung von solchen $\neq 1$ von
   $\mathfrak{A}$ oder von $\mathfrak{B}$. Dann $\mathfrak{C}=\mathfrak{A}^{C}
\mathfrak{B}^{C^{\prime}}$.
\begin{flushright}132/133\end{flushright}
10.10.59\newline
[rot durchgestrichen: 1.\quad Verallgemeinerung des Satzes von Rietz: 
Sei $\mathfrak{G}$ pri, 
\[\mathfrak{G}_{1}=(1)\underbrace{\mathfrak{K}_{1}\cdots\mathfrak{K}_{r}}
_{\mathfrak{K}}\underbrace{\mathfrak{L}_{1}\cdots\mathfrak{L}_{r}}
_{\mathfrak{L}}\]
die Zerlegg in tra Konst. $\mathfrak{K}$ enthalte alle selbstgepaarten
Konstituenten, und zu jedem \underline{$\mathfrak{L}_{\rho}$} den
gepaarten. Dann ist $\mathfrak{K}$ treu. [h:] d.h. $\mathfrak{K}$ 
enthalte in jedem
$\mathfrak{L}_{\rho}\notin\mathfrak{K}$ ein gespiegeltes. [:h]\\[5mm]
Bew: Sei $\mathfrak{M}=\mathfrak{G}_{1}||\mathfrak{K}$; dann ist stets
\[\begin{array}{lll}\mathfrak{M}\text{ v }\mathfrak{M}^{G}: & a) & G=\left(
\begin{array}{cc}1 & \hfill\\1 & \hfill\end{array}\right)\to\mathfrak{M}
=\mathfrak{M}^{G}\\ & b) & G=\left(\begin{array}{cc}K
    & \ldots\\1\end{array}\right)\to\mathfrak{M}^{G}
\le\mathfrak{G}_{1}=\mathcal{N}\mathfrak{M}\\
    & c) & G=\left(\begin{array}{cc}\lambda &
    \ldots\\1\end{array}\right)\to G=\left(\begin{array}{ccc}1 & \lambda &
    \ldots\\K & 1 & \ldots\end{array}\right)\to\mathfrak{M}^{G^{-1}}
\le\mathcal{N}\mathfrak{M}.\end{array}\]
Da $\mathfrak{M}\text{ v }\mathfrak{M}^{G}$, ist $\mathfrak{M}\,{\lhd\lhd}\,\mathfrak{G}$;
    da $\mathfrak{G}$ pri, nun $\mathfrak{M}$ alle Ziffern
    versetzen. W!\newline 
[h:] NB: hierf"ur gen"ugt Maxbedingg f. d. Obergr. von $\mathfrak{M}$ in
    $\mathfrak{G}$. [:h]\\[5mm]
2.\quad Verallgemeinerung: Ist $\mathfrak{G}$ nur tra, so gilt doch
    $\mathfrak{g}_{1}||\mathfrak{K}\,{\lhd\lhd}\,\mathfrak{G}$, daher ist $m$ durch
    den Grad jedes tra Konst von $\mathfrak{G}_{1}||\mathfrak{K}$
    teilbar.]\\[5mm] 
Aufgabe: Die $1\frac{1}{2}$ tra Pgr. untersuchen, bei denen alle tra Ko von
    $\mathfrak{G}_{1}$ gekoppelt sind. Anh bei ihnen sind je zwei
    $\mathfrak{G}_{\alpha\beta}$ konjugiert, also Methode 125ff anwendbar,
    [h:] wie bei den schwach 2-tra. Diese Klasse ist wichtig. [:h]
\begin{flushright}133/134\end{flushright}
\begin{center}\underline{$k$-pri P-Gr. $\mathfrak{G}$}\end{center}
1.\quad Def allgemein: Ist $\mathfrak{H}$ eine Perm Gr, $\alpha\in\Omega$, so
  sei $\mathfrak{H}^{\alpha}$ der Konstituent von $\mathfrak{H}$ auf
  $\alpha^{\mathfrak{H}}$.\\[5mm]
2.\quad $\mathfrak{G}$ 2-pri, es gebe $T=\left\{\begin{array}{ll}
(123)(\ldots) & \textnormal{oder}\\(1)(23)(\ldots)\end{array}\right.$
in $\mathfrak{G}$. Dann ist
  $\mathfrak{G}_{123}||s\left(\mathfrak{G}_{12}^{3}\right)_{3}=1$,
  d.h. $\mathfrak{G}_{123}$ abzubauen mittels subnormaler Ugr von
  $\left(\mathfrak{G}_{12}^{3}\right)_{3}$\\[5mm]
Bew: $\lhd\mathfrak{G}_{12}$; mit $T^{-1}$ transf: $\lhd\mathfrak{G}_{13}$.
$\lhd\big<\mathfrak{G}_{12},\mathfrak{G}_{13}\big>=\mathfrak{G}_{1}$. Da 3
  fest, ist das $=1$.\\[5mm]
3.\quad $\mathfrak{G}$ $k$-pri $\to\mathfrak{G}_{12\ldots
  k\alpha}||s\left(\mathfrak{G}_{12\ldots k}^{\alpha}\right)_{\alpha}=1$, wenn
  $\mathfrak{G}\ni T$ mit $\{12\ldots k\alpha\}^{T}=\{12\ldots k\alpha\}$,
$\alpha^{T}\neq\alpha$.\\[5mm]
4.\quad Ebenso, wenn nicht $\mathfrak{G}$ $k$-pri, aber
  $\mathfrak{G}\lhd\mathfrak{H}$ $k$-pri.\\[5mm]
\underline{Frage} "uber mehrfach tra PGruppen: Wie gross ist die Minimalzahl
  $M>1$ von Tragebieten, in welche die geordneten $m$-Tupel von Ziffern
  zerfallen k"onnen unter einer \underline{nicht} $k$-tra Gruppe
  $\mathfrak{G}$? Wenigstens die Gr"ossenord. von $M$ in Abh"angigkeit von
  $n=|\Omega|$? $M\le m\to\mathfrak{G}$ tra.
\begin{flushright}134/135\end{flushright}
\begin{center}\underline{Spiegelung an mehreren Ziffern}\end{center}
Etwa an 1 2 3 ... $k$\\
W"ahle eine \glqq unvollstd. Perm.\grqq\,\,$\pi$, die $k-1$ dieser Ziffern 1 2
... $k$ auf $k-1$ bestimmte, auch der Reihenfolge nach, abbildet. Z.B.
\[\pi=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & \ldots & k-1\\2 & 3 &\ldots &
    k\end{array}\right);\] 
und betrachte alle $G\in\mathfrak{G}$ der Form $G=\left(\begin{array}{cccccc} 
1 & 2 & \ldots & k-1 & k & \gamma\\ 2 & 3 & \ldots & k & \gamma^{\prime} &
1\end{array}\right)$ die also auf dem Defbereich von $\pi$ mit $\pi$
"ubereinstimmen. Dann gibt $\gamma\leftrightarrow\gamma^{\prime}$ eine
[durchgestrichen: involutorische] Zuordnung
$\Gamma\leftrightarrow\Gamma^{\pi}$ zwischen den Trans Gebieten von
$\mathfrak{G}_{12\ldots k}$; zugeord Gebiete haben gleiche
L"ange. $(\Gamma^{\pi})^{\pi^{-1}}=\Gamma$.\\[5mm]
Bew: Neben $\left(\begin{array}{ccccccc}1 & 2 &\ldots & k-1 & k & \gamma &
    \ldots\\ 2 & 3 & & k & \gamma^{\prime} & 1\end{array}\right)$    
gibt es genau dann ein\\ $\left(\begin{array}{cccccc}1 & 2 & k-1 & k & \gamma &
    \ldots \\2 & 3 & k & \gamma^{\prime\prime} & 1 & \ldots\end{array}
\right)$ in $\mathfrak{G}$, wenn
$\gamma^{\prime\prime}\in\gamma^{\prime^{\mathfrak{G}_{12\ldots k}}}$.\\
L"ange $\Gamma^{\pi}$ gleich $\mathfrak{G}_{12\ldots
  k\gamma}:\mathfrak{G}_{12\ldots k\gamma^{\prime}}$ mit $G$ transf:
$|\mathfrak{G}_{12\ldots k\gamma^{\prime}}|=|\mathfrak{G}_{12\ldots
  k\gamma}|$.  
\marginpar{\rule[-13mm]{0.5mm}{15mm}} Also: Zu betrachten sind alle
$G\in\mathfrak{G}$, die $k-1$ bestimmte der Ziffern $1...k$ in gegebener Weise
$\pi$ in diese Menge abbilden. Diese ordne jedem Tra Gebiet von
$\mathfrak{G}_{1\ldots k}$ ein  solches gleicher L"ange zu:
$\Gamma\rightarrow\Gamma^{\pi}$. Es gibt $k\cdot k!$ solche $\pi$.
\begin{flushright}135/136\end{flushright}
3.\quad Genau dann ist $\Gamma^{\pi}=\Gamma^{\rho}$, wenn f"ur
  $\gamma\in\Gamma$ in $\mathfrak{G}$ ein $H$ derart existiert, dass
  $G_{\pi}=HG_{\rho}$, stets  verlangt das: 
$H$ l"asst $\{12\ldots k\gamma\}$ fest. Also wenn in $\mathfrak{G}$      
jedes Element $H$, welches $\{12\ldots k\gamma\}$ im \underline{Ganzen} fest
  l"a"st, diese Ziffern sogar einzeln fest l"asst, dann sind alle $k\cdot k!$
 $\Gamma^{\pi}$ verschieden!\\[5mm]
4.\quad Die Anzahl der verschiedenen $\Gamma^{\pi}$ zu geg. $\Gamma$
  (einschl. $\Gamma$) ist
\[\underbrace{\frac{(k+1)!}{\left|\mathfrak{G}_{\{12\ldots k\gamma\}}
^{\{12\ldots k\gamma\}}\right|}}_{\textnormal{[h:] Konstituent
  auf}\,\,\{\}\,\,\textnormal{der gr"o"sten}\,\,\{\}\,\,\textnormal{in sich
  "uberf"uhrenden Ugr v.}\,\,\mathfrak{G}\,\,\textnormal{[:h]}}.\]
Bew: Nenne $G\in\mathfrak{G}$ \glqq gut\grqq, wenn
  $\Delta\subseteq\{\Delta,\gamma\}^{G}$. Die Ziffern der zu $\Gamma\ni\gamma$
  gespiegelten Tra Gebiete von $\mathfrak{G}_{1\ldots k}$ sind dann die 
\[\gamma^{\prime^{G}}=\{\Delta,\gamma\}^{G}-\Delta,\quad G\,\,
\textnormal{gut}.\]
Jene Anzahl ist = Anzahl d. versch. $\{\Delta\gamma\}^{G}$, $G$ gut. 
Die Anzahl der guten
$G$ ist ($\Delta^{G^{-1}}$ betr. in $\{\Delta\gamma\}$!)
$(k+1)!|\mathfrak{G}_{1\ldots k}|$. Zwei gute $G, G^{\prime}$ geben genau dann
das gleiche $\{\Delta,\gamma\}^{G}$, wenn $G^{\prime}=HG$,
$H\in\mathfrak{G}^{\{1\ldots\gamma\}}$. Also 
\[\textnormal{Anzahl der}\,\,\gamma^{\prime} =
\frac{(k+1)!|\mathfrak{G}_{1\ldots k}|}{|\mathfrak{G}_{\{1\ldots k\gamma\}}
^{\{\ldots\ldots\}}|}=\]
\begin{flushright}136/137\end{flushright}
\[=\frac{(k+1)!\cdot|\mathfrak{G}_{1\ldots k}:\mathfrak{G}_{1\ldots
    k\gamma}|\,\textnormal{[h:]}\,\}\rightarrow|\Gamma|}
{|\mathfrak{G}_{\{1\ldots k\gamma\}}^{\{\ldots\ldots\}}:\mathfrak{G}_{1\ldots
    k\gamma}|}\]   
\[\textnormal{Anz. gesp. Tra
    Geb.}=\frac{(k+1)!}{|\mathfrak{G}_{\{\}}:\mathfrak{G}_{1\ldots k}|}=
\frac{(k+1)!}{|\mathfrak{G}_{\{\}}^{\{\}}|}\]
5.\quad Ist $p$ Primzahl, $p\nmid|\mathfrak{G}|$, $\mathfrak{G}$ $(p-1)$-tra,
so ist die Anzahl der zu einem Konst $\Gamma$ von $\mathfrak{G}_{1\ldots p-1}$
ge[durchgestrichen: paarten]spiegelten Konstituenten stets $\equiv
0\,\,(p)$.\\[5mm] 
[h:] Merkw"urdig: Hier scheint nach 4 die $\mf{S}_{k+1}$ 
auf die Tra Gebiete von
$\mathfrak{G}_{1\ldots k}$ zu wirken, obwohl die $\mf{S}_{k+1}$ nicht in
$\mathfrak{G}$ als Ausschnitt vorkommen mu"s! [:h]\\[5mm]
6.\quad F"ur diese Theorie der Spiegelung an einer $\Delta\subset\Omega$
sollte es gen"ugen, wenn $\mathfrak{G}$ \underline{schwach} $|\Delta|$-tra
ist: Dann gibt es schon $G=\left(\begin{array}{cc}\{\Delta\gamma\} &
    \ldots\\\{\Delta\gamma^{\prime}\} &
    \ldots\end{array}\right)$.\\[5mm] 
[h:] 7.\quad Jedes Transitivit"atsgebiet von $\mathfrak{G}$ auf der Menge der
  geord. $k$-Tupel entspricht einer bei $\mathfrak{G}$ invar. Multilinearform
  des Grads $k$ in $n$ Variablen ($n=$ Gr $\mathfrak{G}$). Die \grqq
  gespiegelten\grqq\,\, $k!$ St"uck vermutlich der durch Vertauschung der $k$
  Variablenreihen entstehenden Multilinearformen.\\[5mm]
8.\quad Was f"ur Relationen auf $\Omega$ (die mit $\mathfrak{G}$ vertr. sind)
  folgen aus gegebenen? Wie kann man aus geg. etwa kubischer Invariante weitere
  bekommen?\\ 
Forts. 201 z.B.: $c_{\alpha\beta\gamma};
  d_{\alpha\beta\gamma}\rightarrow\sum\limits_{\nu}c_{\alpha\beta \nu}
d_{\nu\beta\gamma}$.
  Diese \grqq Mult\grqq\,\, ist assoz. [:h]
\begin{flushright}137/138\end{flushright}
\begin{center}Nur $k$-tra Gruppen: Min Grad\end{center}
1.\quad Sei $\mathfrak{G}$ nur $k$-tra und enthalte eine tra
  Gr. $\mathfrak{H}$ des Grades [durchgestrichen: ?$\le \binom{n-m}{k-1}$]
$<n-k$. Dann hat jede Ugr $\mathfrak{U}$ von
  $\mathfrak{G}$, welche [durchgestrichen: einen] keine [durchgestrichen:
  Konstituenten vom Grade ohne] Bl"ocke der L"ange $\le k$ besitzt, mindestens
  den Grad $\sim n-\sqrt[k-1]{(k-1)!n}$: Genauer Gr $\mathfrak{U}=m$ macht
\begin{center}\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(2,0.5)\thicklines
\framebox(2,0.5){$m>\binom{n-m}{k-1}$.}\end{picture}\end{center}
Bew 127 (15).\\[5mm]
[durchgestrichen: 2.\quad "Uberhaupt, wenn es zu jedem $k$-Tupel $\Delta$ ein
$\bar{\Delta}\supset\Delta$ gibt, alle gleich lang, und \anmerk-gemeinsames
$k$-Tupel: Dann ist f"ur jedes $G\in\mathfrak{G}$, dessen Ordnung keinen
Teiler $<k,\,>1$ hat, Grad $G=m$ mit $\boxed{\phantom{G\in\mf{G}}}$.\\
Forts. 4: [h:] Intra Gruppen haben viele Bl"ocke! [:h]\\[5mm]
3.\quad Statt von Min-Grad redete man wohl besser von Max Charakter.\\[5mm]
4.\quad \underline{Unter der Vorauss. 2} ist also (Schnitt mit
$\mf{S}_{n-\sqrt{2n}}$) z.B. f"ur eine nur 2-tra Gruppe $\mathfrak{G}$
\[|\mathfrak{G}|\underset{\sim}{\le}\frac{n!}{(n-\sqrt{2n})!}\sim e^{\sqrt{n}\lg n}.\]  
\begin{flushright}138/139\end{flushright}
5.\quad Forts. von 127 (15):\\
$\mathfrak{G}$ 3-tra enthalte $\mathfrak{H}$ vom Grad $m$. $n-m=l$. Durch je 3
Pkte gehe genau eine \grqq Ebene\grqq, mit $\pi$ Pkten. Dann ist entweder $l$
klein, oder die Anzahl $s$ der Ziffern $\neq\alpha(\in T\mathfrak{H}$,
fest), die mit $\alpha$ einen Block der Lge 2 von $\mathfrak{H}$ bilden, ist
gross: mit $g=m-1-s$ (=Anz. d. \glqq guten\grqq\,\,Ziff.) gilt
\[\star\qquad\qquad\frac{l(l-1)}{2}(\pi-3)\le g+\frac{sl}{2};\quad s\le
\frac{m}{2}-1.\]
Bew: durch $\alpha$ und zwei $\lambda$'s (von den $l$) gehen $l(l-1)/2$\,\glqq
Ebenen\grqq. Die Gesamtzahl aller Pkte auf ihnen, die zu den $m-1$ von
$\mathfrak{H}\neq\alpha$ geh"oren, ist die linke Seite von $\star$. Jeder gute
geh"ort nur zu einer Ebene, jeder der $s$ schlechten h"ochstens zu
$\frac{l}{2}$. Also mindestens eine der Ungl gilt:
\[g\ge\frac{l(l-1)(\pi-3)}{4},\quad
s\,\backslash\!\!l\ge\frac{\backslash\!\!l\,(l-1)(\pi-3)}{2}\]
NB: $\mathfrak{H}$ tra $\to$ Es kann $s>1$ sein nur wenn
$|\mathcal{N}\mathfrak{H}_{1}:\mathfrak{H}_{\alpha}|\equiv 0$ (2)
\begin{flushright}139/140\end{flushright}

6.\quad Sei $\mathfrak{G}$ nur 2-tra, $\mathfrak{G}\ge\mathfrak{H}$,
  $\mathfrak{H}$ tra. Sei 
$\textnormal{Gr}\mathfrak{G}=n,\,\,\textnormal{Gr}\mathfrak{H}
=m=\frac{n+1}{2}$. Dann ist $m=2^{\nu}$, $\mathfrak{H}$ elem. abelsch.\\[5mm]
Bew: $q=2$, also die max tra Ugr $\mathfrak{M}$ von $\mathfrak{G}_{12}$ l"asst
  3 Ziffern fest: die Gerade habe 3 Pkte. Ist nur
  $\alpha^{\mathfrak{H}}\neq\alpha$, so sind die andern Ziffern $\eta$ von
  $\mathfrak{H}$ eineindeutig den Fixziffern $\lambda$ zugeordn. durch
  $(\eta\alpha\lambda$ auf ein. Geraden). Also
  $\overline{\eta\alpha}\ni\lambda$, daher bleibt $\eta$ bei
  $\mathfrak{H}_{\alpha}$ fest: $\mathfrak{H}$ regul"ar. Und wenn
  $\alpha^{H}=\eta$, so $\eta^{H}=\alpha$: $H$ Ordnung 2; $m=2^{\nu}$.\\
NB: [durchgestrichen: $\exists\,G\in\mathfrak{G}$, das $\alpha$ fest l"asst
  und die $\eta$ auf die $\lambda$ abbildet:] Regularit"at folgt schon aus
  128. 18a.\\[5mm]
7.\quad \underline{Immer}, wenn $q=2$, bekommt man $l-1$ Ziffern $\eta$, so
  da"s $(\eta,\,\alpha)$ Block von $\mathfrak{H}$; und umgekehrt bekommt man,
  falls $\mathfrak{H}$ regul"ar, 
  alle Bl"ocke $(\eta,\,\alpha)$ so, als Schnitt mit einer Geraden durch
  passendes $\Gamma$. Also $l=$ Anzahl der Elemente der Ordng 2 in
  $\mathcal{N}\mathfrak{H}_{\alpha}/\mathfrak{H}_{\alpha}$.
\begin{flushright}140/141\end{flushright}

8.\quad Da $\mathcal{N}\mathfrak{H}$ auf der FixMge von $\mathfrak{H}$
  2-tra, ist $(\mathcal{N}\mathfrak{H})_{\alpha}$ im \underline{Fall
  $m=\frac{n+1}{2}$} auch auf den $\eta\neq\alpha$ 2-tra. In \underline{jedem
  Fall} ist $(\mathcal{N}\mathfrak{H})_{\alpha}$ auf \underline{den} $\eta$
  2-tra, die mit $\alpha$ [durchgestrichen: einen Zweierblock von
  $\mathfrak{H}$ bilden] und einem $\lambda$ eine Gerade bilden.\\[5mm]
9.\quad Sei $q=2$ (Forts. 7). Da $\mathfrak{H}_{\alpha}$ auch die $l$\,
  $\eta^{\prime}\circ$ fest l"asst, die zu den $\lambda$ geh"oren
  $(\eta\alpha\lambda)$, $\lambda^{\prime}\circ1$ Gr $\mathfrak{H}_{\alpha}\le
  m-1-l$; aber nach 128 $>\frac{n}{2}$, wenn $\mathfrak{H}_{\alpha}\neq 1$,
  daher 
\[l\le\frac{n-3}{4}\quad\textnormal{oder}\,\,\mathfrak{H}_{\alpha}=1,\,\,
\mathfrak{H}\,\,\textnormal{regul"ar}.\]    
Satz 10.\quad Enth"alt die nur 2-tra Gruppe $\mathfrak{G}$ ein $\mathfrak{H}$ tra mit
Gr $\mathfrak{H}=m$ und $l=n-m\ge\frac{n}{3}$, so liegt der Fall von 6 vor:
$q=2,\,m=2^{\nu},\,\mathfrak{H}$ elem. abelsch, $m=\frac{n+1}{2}$.\newline
[h:] Forts: 11 [:h]\\[5mm]
Bew: $q=2$ nach 128. $\mathfrak{H}$ reg nach 9. Also [durchgestrichen: werden]
gibt es \underline{genau} $l$ Elem d Ord 2, und sie werden 2-tra permutiert in
$\mathcal{N}\mathfrak{H}$. Wegen zu kleinem $m$ sind sie nicht alle vtb, falls
$m\neq 2^{\nu}$; also keine zwei vtb WdR!
\begin{flushright}141/142\end{flushright}
Also, falls $m\neq 2^{\nu}$, sind die 2-Sy Gr zyklisch, also kann man sie oben
abspalten. Da $l>\frac{m}{2}$, geht das nicht. Also $m=2^{\nu}$; da $l>1$,
gibt es zwei vtbe El d. Ord 2 (man w"ahlt eins im Zentrum), also sind je zwei
vtb, wegen Ord erzeugen sie ganz $\mathfrak{H}$: $|\mathfrak{H}|=l+1,\quad
m=\frac{n+1}{2}$.\\[5mm] 
11.\quad Vermutlich sind diese Gruppen von Nr. 6 fast (scharf) $(\nu+1)$-fach
tra im Sinn von Tits 1952. Siehe 143.\\[5mm]
[h:] 12.\quad "Uberhaupt muss bei der Konstruktion von \glqq
Geometrien\grqq\,\,auf einer Gruppe das Kap. VI von Tits 1952 beachtet
werden. [:h]
\begin{flushright}142/143\end{flushright}

\begin{center}Permgr $\mathfrak{G}$ mit tra Ugr $\mathfrak{H}$ kleineren
  Grades.\end{center}
$\mathfrak{H}$ sei maximal mit dem gleichen Tr"ager\\
1.\quad Zwei Konjugierte $\mathfrak{H},\,\mathfrak{H}^{\prime}$, die eine
Ziffer gemeinsam haben, sind in $\{\mathfrak{H},\,\mathfrak{H}^{\prime}\}$
konjugiert.\\[5mm] 
2.\quad Wenn $\mathfrak{G}$ pri, und $\Delta,\,\bar{\Delta}$ Tr"ager
transitiver Ugr von $\mathfrak{G}$, so gibt es $G\in\mathfrak{G}$ mit
$\Delta^{G}\subseteq\bar{\Delta}$ oder umgekehrt.\\
\underline{Weiter sei $\mathfrak{G}$ pri}:\\
3.\quad Nenne $\Lambda$ einen linearen Teilraum von $\Omega$, wenn
  $\mathfrak{G}_{1}$ tra auf $\Omega-\Lambda$. Def
  $\Lambda\cup\Lambda^{\prime}=$ Fixmge von
  $\mathfrak{G}_{\Lambda}\cap\mathfrak{G}_{{\Lambda}^{\prime}}$ (ist nicht stets
  linear!)\\[5mm] 
4.\quad $\Lambda\cap\Lambda^{\prime}$ ist linear mit
  $\Lambda,\,\Lambda^{\prime}$.\\[5mm]
5.\quad \underline{I.A.}: muss auch $\Lambda\cup\Lambda^{\prime}$ linear sein,
  wenn \glqq$\dim\Lambda,\,\Lambda^{\prime}$\grqq\,\, nicht zu gross.\\
Def: $d=\dim\Lambda=$ Schrittl"ange $-1$ der feinsten Kette
\[\left\{\begin{array}{cccccccc}\Delta & \subset & \Delta_{1} & \subset & 
\ldots & \subset & \Delta_{d+1} & =\Omega\\ \textnormal{[h:]}\,\,
\Lambda & > & \Lambda_{1} & > & \ldots & > & \emptyset\,\,
\textnormal{[:h]}\end{array}\right..\]
6.\quad Je zwei feinste Ketten von $\Delta$ nach $\Omega$ und von
$\Delta^{\prime}$ nach $\Omega$ sind konjugiert, wenn
$\dim\Delta=\dim\Delta^{\prime}$. Bew: 2.\\
NB: $\mathcal{N}\mathfrak{G}_{\Delta}$ hat auf $\Delta$ die gleichen
Eigenschaften wie $\mathfrak{G}$ z.B. Regul"are Ugr vererben
sich. [h:] Verwandtschaft Tits 1952! [:h]
\begin{flushright}143/144\end{flushright}
\begin{center}Aufgaben "uber PGr.\end{center}
1.\quad Sind die echten Obergr. einer scharf 2-tra Gr. 2-pri?\\[5mm]
2.\quad Bestimmung der nur 2-tra Gruppen mit k"urzeren regul"aren
Untergruppen. Oder wo sogar $\mathfrak{G}_{\Delta}$ regul"ar auf
$\Omega-\Delta$.\\[5mm]
Bem. \underline{Zur Zerschneidungsmethode}:\\
3.\quad Es gen"ugt, wenn man eine Ugr
$\mathfrak{H}=\mathfrak{A}\vdots\mathfrak{B}$ zerschneiden will\\
\underline{bez"uglich einer gegebenen $\mathfrak{G}$-Relation}, ein festes
Ausgangspaar $(\alpha\beta)$ zu w"ahlen und nun f"ur jedes
[durchgestrichen:Angeord.] Paar $(\xi,\eta)$ mit
$(\xi,\eta)=(\alpha,\beta)^{G}$ und $\xi\in T\mathfrak{A}$
$\eta\in T\mathfrak{B}$ oder umgekehrt zu fordern:
$\mathfrak{H}_{\xi}$ tra auf $\eta^{\mathfrak{H}}$. Also man braucht die
Unabh"angigkeit nur f"ur solche Paare von tra Konstituenten von $\mathfrak{H}$
die simultan von $(\alpha,\beta)^\mf{G}$ getroffen werden. ($\to$ S. 145)
\begin{flushright}144/145\end{flushright}
\begin{center}Ordnung primitiver Gruppen\end{center}
$\mathfrak{G}$ sei uniprimitiv, Gr$\mathfrak{G}=n$,
$p^{\alpha_{p}}\mid|\mathfrak{G}|$. OBdA $\mathfrak{G}$
2-abgeschl. $\mathfrak{G}$ enthalte $P= q$ Zykl d Ord
$p$. $q=$\underline{\underline{min}}\\[5mm]
1.\quad $q\le\frac{(p+1)}{2}\to n\le p^{2}+1$. Denn $p\le 2q-1$, Manning
$\to n=qp+k$, $k\le 4q-4$, $\to
n\le\frac{p(p+1)}{2}+2p-2\le p^{2}+1$\qquad$\checkmark$\\[5mm]
2.\quad \[q\ge\frac{p+1}{2}\to\alpha_{p}\le\frac{3p+1}{p^{3}+2p^{2}-3p}
\le\frac{3n}{p^{2}}\qquad\checkmark\] 
denn $\mathfrak{G}$ hat mit der von $\left[\frac{n}{p}\right]$ $p$-Zyklen erz.
Gruppe einen Durchschnitt \[\le p^{\left[\frac{2n}{p(p+1)}\right]}\], also
\[\alpha_{p}\le\left[\frac{2n}{p(p+1)}\right]+\left[\frac{n}{p^{2}}\right]
+\left[\frac{n}{p^{3}}\right]+\ldots\le\,\,
n\cdot\frac{3p-1}{p^{3}-p}\le
\frac{3n}{p^{2}}\quad\textnormal{f"ur}\,\,p\ge 3;\]
f"ur $p=2$ ist $q\ge 2$, gibt $\alpha_{2}\le\frac{3n}{4}$\\[5mm]
$1^{\prime}$. $\left\{\begin{array}{l}n\ge
    5\\q\le\frac{n+1}{2}\end{array}\right.\to\left\{\begin{array}{l}
p^{\alpha_{p}}\mid\binom{n}{2}\,\,\textnormal{oder}\\\alpha_{p}\le
1\end{array}
\right.$. Bekannt, wenn $n<p^{2},\,>p^{2}+1$.\\ Ist $p^{2}\le n\le p^{2}+1$
$\alpha_{p}\le 2$, also $p^{\alpha_{p}}\mid\binom{n}{2}$\\[5mm]
Satz: 3.\quad Stets $\alpha_{p}\le\max\left\{1,\frac{3n}{p^{2}}\right\}$\\[5mm]
Bew: a) $q\le(p+1)/2\to\alpha_{p}\le
1\,\,\textnormal{oder}\,\,\left\{\begin{array}{l}\alpha_{p}=2\,\,
\textnormal{und}\,\,n=p^{2}+\ofrac{0}{1}\\2\le\frac{3n}{p^{2}}.\end{array}\right.$\\
b) $\ge$ :(2)
\begin{flushright}145/146\end{flushright}
4.\quad $\prod\limits_{\max\left(7,\frac{n}{6}\right)<p}p^{\alpha_{p}}
\mid\binom{n}{7}$\\[5mm]
Bew: Manning zeigt wegen $p\ge 7,\,q\le 5:\, k\le 6$, also 
\[qp\le n\le qp+6\quad p^{1}\mid\binom{n}{7}\,\,\textnormal{wenn}\,\,p>7\]
5.\quad $\prod\limits_{\sqrt{3n}<p\le \frac{n}{6}}p^{\alpha_{p}}\le
  2^{\frac{n}{3}}$\\[5mm]
Bew: Hier $\alpha_{p}\le 1$ nach 3; bekanntl. $\prod\limits_{p\le
  x}p\le4^{x}$, da $\prod\limits_{\frac{x}{2}<p\le x}p\le 2^{x}$ (mit
$\binom{2k}{k}$)\\[5mm] 
6.\quad $\prod\limits_{p\le\sqrt{3n}}\le
\left(\prod\limits_{\textnormal{alle}\,p}p^{\frac{1}{p^{2}}}\right)^{3n}$ dann
$\alpha_{p}\le\frac{3n}{p^{2}}$\\[5mm]
Satz 7. \[
\boxed{|\mathfrak{G}|\le\binom{n}{7}\cdot 79^{n}}
\]
Bew: \[\le\binom{n}{7}\underbrace{\left[\left(2^{\frac{1}{9}}\prod\limits_{p}
p^{\frac{1}{p^{2}}}\right)^{3}\right]^{n}}_{[~~~]\le 79}\]
gerechnet mit \[\sum\limits_{p>13}\frac{\log
  p}{p^{2}}\underset{\sim}{\le}\frac{1}{2}\int\limits_{16}^{\infty}\frac{\log
  x}{x^{2}}\,dx\quad;\,\textnormal{[h:]}\,p\equiv 1\,(4)\,\text{[ mit Pfeil auf den Faktor $\frac{1}{2}$ ] }\textnormal{[:h]}\] 
\begin{flushright}146/147\end{flushright}
8.\quad Den gr"ossten Beitrag zu dem Faktor $79^{n}$ liefern die Primteiler
  $2,3$. Obwohl im \grqq mittel\grqq\,\, jedes $p\le n$ h"ochstens
  $n^{\vartheta}$ beisteuert, mit $\vartheta\sim\log 79$, geben die kleinen
  Primzahlen viel mehr, $p=2$ gibt $2^{\frac{3n}{4}}$, [h:] 
bei $p=2$ sollte man
  also sch"arfer rechnen als $\frac{3n}{p^{2}}$. [:h]\\[5mm]
9.\quad Ordnung einer primitiven $\mathfrak{G}\not\ge\mathfrak{A}_{n}$:\\
  Bezeichnet $P$ die Menge der Primzahlen $p$ mit $\frac{p(p+3)}{2}>n$, so ist
  $|\mathfrak{G}|_{P}\mid\prod\limits_{k=0}^{\sqrt{8n}-2}(n-k)$ 
[h:] also $\log|\mathfrak{G}|_{P}\le\sqrt{8n}\log n$. [:h] 
Denn f"ur das k"urzeste
  $p$-Element, mit $q$ Zyklen gilt $q\le\frac{n+1}{2}$, $p\ge2q-1$, also ist
  nach Manning (oder III, Th XIII) $p^{2}\nmid|\mathfrak{G}|$ und $n=qp+k$,
  $k\le 4q-4+$, also $|\mathfrak{G}|_{P}\mid\prod\limits_{k=0}^{4q-4}(n-k)$.
Aber ausserdem ist $q(2q-1)\le qp\le n$ (hier kann man noch was abknapsen)
  $\to 4q-4<\sqrt{8n}-1$\\
w. NB: Eine "ahnliche Absch"atzung kann man wohl f"ur die $p$ mit $p(2p+3)<n$
  bekommen mit Manning III S. 127 unten.\\[5mm]
10.\quad Ist $\mathfrak{G}_{1}$ impri und der oberste pri Bestandteil $\ge$
  eine
  $\left\{\begin{array}{l}\mathfrak{S}_{m}\\\mathfrak{A}_{m}\end{array}\right.$
  so $m\le\sqrt{n}$. Sonst $\mathfrak{G}_{12}/\mathfrak{S}_{\frac{n-1}{m}}$
  betrachten, gibt Geraden, die zu $\mathfrak{G}_{12\beta}$ nicht passen, wenn
  $\beta\notin 2^{\mathfrak{G}_{1}}$.
\begin{flushright}147/148\end{flushright}

\begin{center}Allg. Strukturtheorie\end{center}
1.\quad\underline{Frage}: Besitzt der Durchschnitt der maximalen Normalteiler
  einer (endl.) Gruppe eine besondere innere Struktur?
\begin{flushright}148/149\end{flushright}

[h:] 27.10.59 [:h]
\begin{center}Minimalgrad \underline{transitiver} Gr.\end{center}
1.\quad $\mathfrak{G}$ tra, $M$.-Grad $=m>3$, 
$k=\min\limits_{\alpha\neq 1}|\alpha^{\mathfrak{G}_{1}}|\to k<(m-1)^{2}$
[h:] $m>1+\sqrt{|\alpha^{G_{\beta}}|_{\min}}$  Sch"arfer: 2 [:h]\\[5mm]
[durchgestrichen: Bew: Sei $M=(12\ldots)\cdots(m)\in\mathfrak{G}$, Gr$M=m$. Jedes 
$G_{1}\in\mathfrak{G}_{1}$ muss eine der Ziffern $2,\ldots,m$ in dieser Menge
lassen, sonst h"atten $M$ und $M^{G_{1}}$ genau eine Ziffer gemeinsam. Die
Anzahl der $G_{\alpha\beta}\in\mathfrak{G}_{1}$, die ein bestimmtes $\alpha>1$
in ein bestimmtes $\beta>1$ "uberf"uhren, ist
$|\mathfrak{K}_{\alpha\beta}|\le\frac{g_{1}}{k}$. Also
$|\mathfrak{G}_{1}|\le\sum|\mathfrak{K}_{\alpha\beta}|\begin{array}[t]{l}
<(m-1)^{2}\frac{g_{1}}{k}.\\\uparrow\\\textnormal{[h:]}\,<,\,
\textnormal{da}\,\,E\in
\mathfrak{K}_{22}\cap\mathfrak{K}_{33}\,\textnormal{[:h]}
\end{array}$]\\[5mm]
[h:] Sch"arfer: [:h]\newline
2.\quad Gleiche Vor  $\to k\le
4m$.\\[5mm]
Bew Methode Bochert: Sei $\mathfrak{K}=\{G\mid 1^{G}=1,\,2^{G}>m\}$.\\ Dann
$M^{K}=(12^{G}\ldots)\cdots$ nicht mit $M$ vtb, also 
\[3\left(|\mathfrak{K}|+(m-2)\frac{g_{1}}{k}(m-1)\right)\begin{array}[b]{l}
\textnormal{[h:] da}\,\,E\notin\mathfrak{K}\,\textnormal{[:h]}
\\\downarrow\\>\sum\textnormal{ Grad }M\circ M^{K}\ge|\mathfrak{K}|m\end{array}\]
$|\mathfrak{K}|=\mathfrak{G}_{12}\cdot (n_{2}-m_{2})\,\left\{\begin{array}{lcr}
m_{2}= & \,\textnormal{Anzl}\,\,2^{\mathfrak{G}_{1}} & \le m\\n_{2}= & \ldots &
n\end{array}\right.$\\
Das f"uhrt auf $k\le\frac{4m^{2}-13m+9}{m-3}\le 4m$, da $\frac{m_{2}}{n_{2}}\le\frac{m-1}{k}$. \\
 $[$h:$]$ zun"achst $k\left(1-\frac{m_{2}}{n_{2}}\right)\le\frac{3(m-1)(m-2)}{m-3}$ [:h]
\begin{flushright}149/150\end{flushright}
\begin{center}Frage von Hirsch\end{center}
(Brief 24.10.59). [h:] Brief an H: 1.11.59 [:h]\\[5mm]
1.\quad Satz: Sei $\mathfrak{G}$ Gruppe;
$\mathfrak{S}=\{\alpha_{1}\ldots\alpha_{n}\}\subseteq\mathfrak{G}$.
$\alpha_{\nu}^{3}=1$,
$\alpha_{\nu}\mathfrak{S}\alpha_{\nu}=\mathfrak{S}$. Dann $n=3^{\nu}$.\newline
[h:] Bew 150, 151, \underline{156} [:h]\\[5mm]
Bew: $\alpha\in\mathfrak{S}\to\alpha\alpha\alpha\in\mathfrak{S}\to
1\in\mathfrak{S}\to\alpha 1\alpha\in\mathfrak{S}$ also
$\alpha\in\mathfrak{S}\to
1,\alpha^{2}=\alpha^{-1}\in\mathfrak{S}$.
$\alpha,\beta\in\mathfrak{S}\to\alpha^{-1}\beta\alpha^{-1}
\begin{array}[t]{l}=\alpha\circ\beta\in\mathfrak{S}\\\textnormal{[h:]}\,
=\beta^{-1}\alpha\beta^{-1}\,\textnormal{[:h]}\end{array}$.\\ Es ist 
$\alpha\circ\beta=\beta\circ\alpha$:
\begin{eqnarray*}\textnormal{Quot.} & = & \alpha^{-1}\beta\alpha^{-1}
\cdot\beta\alpha^{-1}\beta\\ & = & \alpha(\alpha\beta\alpha\cdot\alpha
\beta\alpha\cdot\alpha\beta\alpha)\alpha^{-1}\\ & = & 1.\end{eqnarray*}
Wenn $\alpha\beta=\beta\alpha$, so $=\alpha\circ\beta$. Daher $\stackrel{\circ}{\alpha}^{n}=\alpha^{n}$ in
$\mathfrak{G}$ weiter lasse $\circ$ weg in $\stackrel{\circ}{\alpha}^n$,
insbes. $\stackrel{\circ}{\alpha}^{-1}=\alpha^{-1}$, daher 
\[(\alpha\circ\beta)^{-1}=(\alpha^{-1}\beta\alpha^{-1})^{-1}=\alpha^{-1}
\circ\beta^{-1}.\]
Ferner $\alpha\circ(\alpha\circ\beta)=\alpha^{2}\circ\beta$
\begin{eqnarray*}(\alpha\circ\beta)\circ(\alpha\circ\gamma) & = &
  (\alpha^{-1}\beta\alpha^{-1})^{-1}\alpha^{-1}\gamma\alpha^{-1}(\alpha^{-1}
  \beta\alpha^{-1})^{-1}\\ & = &
  \alpha\beta^{-1}\alpha\cdot\alpha^{-1}\gamma\alpha^{-1}\cdot\alpha
  \beta^{-1}\alpha\\ & = &
  \alpha\beta^{-1}\gamma\beta^{-1}\alpha=\alpha^{-1}\circ(\beta\circ\gamma)\\
  & = & \alpha^{2}\circ(\beta\gamma).\end{eqnarray*}
$\alpha\circ\xi=\beta$ ist eind. l"osbar. Ferner
$\alpha\circ(\beta\circ\gamma)=[(\alpha\circ\beta^{-1})\circ\gamma]
\circ\beta^{-1}$.
\begin{center}
\fbox{\parbox{10cm}{
\begin{align*}
\text{ Es ist wegen }(\alpha\beta)^{3}&=1\text{ stets } \alpha\text{ v }\alpha\beta,\\
      \text{ also auf S.151 } xaba^{-1}b^{-1}&=xba^{-1}b^{-1}a=...
      \end{align*}}}
      \end{center}
      Rest folgt aus 151:
\begin{flushright}150/151\end{flushright}
2.\quad Satz: In einer endlichen Loop $\mathfrak{L}$ mit den Regeln
\,\,$1\in\mathfrak{L},\,1a=a1=a,\,ab=ba$, $\begin{array}[t]{c}
(ab)(ac)=a^{2}(bc)\\\downarrow\\\textnormal{[h:]}\,\,
\mathfrak{L}\,\textnormal{ist kommutative}\\
\textnormal{Mounfangloop! [:h]}\end{array}$ $a^{i}(a^{j}b)=a^{i+j}b$
ist die Elementezahl $n=|\mathfrak{L}|$ nur durch Primzahlen $p$ teilbar, die
Ordnungen von Elementen sind.\\
 $[$h:$]$ Aus 150 folgt auch
\begin{center}
\fbox{\parbox{3cm}{
$abca=ca^{-1}b$\\$cababab=c$\\$ca^{-1}bab
      =cba^{-1}ba$\\$abc=a^{-1}cba^{-1}$}}
      \end{center} $\to abcabcabc=1$
[:h]\\[5mm] 
Bew: Wenn $\mathfrak{L}$ assoz, dann (abelsche) Gruppe. Sonst w"ahle $a,b$ so,
dass nicht stets $a(xb)=(ax)b$. Definiere Abb. $x\longrightarrow x^{\prime}$
durch
\[a(xb)=(ax^{\prime})b.\]
Ist eineindeut Abb $\mathfrak{L}$ auf $\mathfrak{L}$,
$a^{\prime}=a,\,b^{\prime}=b$. Ferner ist
$(xy)^{\prime}=x^{\prime}y^{\prime}$.  
F"ur $\varphi(xyz)=(xy)z^{-1}$ gilt mit jedem $c\in\mathfrak{S}$ 
\begin{eqnarray*}\varphi(xc\,yc\,zc)=\varphi(xyz)\cdot c\,\,\textnormal{denn}\\
=(xc\cdot yc)(z^{-1}c^{-1})=(xy\cdot c^{2})\cdot z^{-1}c^{2}=[(xy)z^{-1}]c^{4}
\end{eqnarray*}
\begin{flushright}151/152\end{flushright}
Ist also mit der Abk"urzung 
\[uvwu=[(uv)w]u\quad\textnormal{usw}.\]
$xabc\cdot\cdot d=x^{\prime}$ f"ur alle $x\in\mathfrak{S}$ gesetzt, so ist 
$\varphi(xyz)^{\prime}=\varphi(x^{\prime}y^{\prime}z^{\prime})$.
Ist also $1^{\prime}=1$, $z=xy$, so $xyz^{-1}=1$,
$\varphi(xyz)=1,\,\varphi(x^{\prime}y^{\prime}z^{\prime})=1^{\prime}=1$, $z{\prime}=x^{\prime}y^{\prime}$. Also ist dann $x\longrightarrow x^{\prime}$
ein Automorphismus von $\mathfrak{L}$. Definiert man z.B. $x^{\prime}$ durch
\[a(xb)=(ax^{\prime})b,\]
so ist
\[x^{\prime}=xbab^{-1}a^{-1},\,\textnormal{also}\,\,1^{\prime}=1,\]
daher $x\longrightarrow x^{\prime}$ ein Automorphismus. \underline{Wenn} $\mathfrak{S}$ einen Autom. $\sigma\neq -1$ der Ordnung 2
hat, ist $\mathfrak{S}=\mathfrak{G}\mathfrak{U}$, wo
$\mathfrak{G},\,\mathfrak{U}$ die \underline{geraden} bezw ung. El. enth"alt:
$g^{\sigma}=g,\,u^{\sigma}=u^{-1}$. $\mathfrak{G}$ und $\mathfrak{U}$ sind   
Unterloops, $\mathfrak{G}\cap\mathfrak{U}=1$. Dann also mit Induktion
$|\mathfrak{S}|=|\mathfrak{G}||\mathfrak{U}|=3^{\lambda}$.
\begin{flushright}152/153\end{flushright}

1.\quad Nimmt man also $\mathfrak{S}$ minimal mit $|\mathfrak{S}|\neq 3^{\nu}$
  an, so hat $\mathfrak{S}$ au"ser $-1$ keinen Autom. der Ord 2; und
  $\mathfrak{S}$ ist einfach, d.h. gestattet keinen echten Homom.\\[5mm]
2.\quad In der \glqq Translationsgruppe\grqq\,\,$\mathfrak{T}$, die aus den Abb
  $\binom{x}{xabc\cdot\cdot e}$ besteht, enth"alt $\mathfrak{T}_{1}$ nur
  Automorphismen von $\mathfrak{S}$ nach 152: nenne $\mathfrak{T}_{1}$ \glqq
  innnere Autom\grqq\,\,(siehe $7_{\downarrow}$).\\[5mm]
3.\quad Aus den Regeln f. a. $\alpha,\beta,\ldots$ folgt
\[xabcbab=x\quad\textnormal{f alle}\,\,x,a,b\in\mathfrak{S}.\]
4.\quad Aus $\mathfrak{K}\subset\mathfrak{S}$,
  $\mathfrak{K}=\mathfrak{K}a=\mathfrak{K}b$ folgt
  $\mathfrak{K}=\mathfrak{K}(ab)$. Denn
  $\mathfrak{K}(ab)=(\mathfrak{K}b)(ab)=(\mathfrak{K}a)(b^{2})=\mathfrak{K}b^{2}=(\mathfrak{K}b)b=\mathfrak{K}$.\\[5mm]
5.\quad Ist $I$ ein Imprim-System von $\mathfrak{T}$,
  $1\in I\subset\mathfrak{S}$, so ist $I$ eine Loop, die bei allen Autom. aus
  $\mathfrak{T}_{1}$ fest bleibt; und umgekehrt. Aus\\[5mm]
6.\quad $b\in Ia$ folgt dann $Ib=Ia$\\
(Bew: $xb=x^{\prime}ia$ def. Aut. mit $I^{\prime}=I=Ii$).\\[5mm]
7.\quad Wenn Loop $I$ invar. bei allen inneren Autom,
  so ist $a\longrightarrow Ia$ ein Homomorphismus:
\[\mathfrak{S}\longrightarrow\mathfrak{S}/I.\]  
  \begin{flushright}153/154\end{flushright}

1.\quad Ist f"ur 3 El. von $\Gamma$ $abc=bca$, so ist wegen
  $\begin{array}{cl}abc & =ca^{-1}ba^{-1}\,\,\textnormal{auch}\\
" & =ab^{-1}cb^{-1}\end{array}$
\begin{eqnarray*} 1 & = & ca^{-1}ba^{-1}bc^{-1}ba\\
 & = & cab^{-1}c^{-1}ba^{-1}\end{eqnarray*} 
\[\begin{array}{c}ab^{-1}c=cab^{-1}\\\underline{abc=cab}\end{array}\]
$\begin{array}{lll}\textnormal{Hieraus folgt} & abz=bza &
  \textnormal{f"ur}\,\,z\in\big<a,b,c\big>\\\textnormal{also}\,\,\left(
\begin{array}{c}a\\\nearrow\,\,\searrow\\c\longleftarrow b\end{array}
\right)\,\,bcz=czb & ayz=yza\\ & xyz=yzx &
\textnormal{in}\,\,\big<a,b,c\big>.\end{array}$\\[5mm]
2.\quad Setzt man $x^\frac{a}{b}=xaba^{-1}b^{-1}$ wobei $\frac{a}{b}$ also
einen Autom von $\mathfrak{S}$ bedeutet, so ist
\[\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}=1,\quad
\frac{a}{b}=\frac{b}{a^{-1}}=\frac{a^{-1}}{b^{-1}}=\frac{b^{-1}}{a},\] 
und f"ur die $x\in\big<a,b,c\big>$ scheint zu gelten
\[x^{\frac{a}{c}\,\frac{b}{c}}=x^{\frac{ab}{c}}.\]
\begin{flushright}154/155\end{flushright}

1.\quad Hiermit sollten sich die von 3 Elementen erzeugten Teilloops gut
studieren lassen, mittels der Abbildung $a\longrightarrow\frac{a}{c}$.
Die $\frac{a}{c}$ erzeugen ja eine assoz Loop, also Gruppe. Bei festem $c$
bilden sie also wohl unter geeigneten Vor. eine Gruppe. Gibt Aufteilung von
$\mathfrak{S}$ in eine normale Unterloop (Kern($a\longrightarrow\frac{a}{c}$)),
mit einer Faktor\underline{gruppe}.\\[5mm]
2.\quad Es ist $x^{\frac{a}{b}}=x\leftrightarrow\big<xab\big>$ assoz. ($154_{1}$)
[durchgestrichen: Denn aus $abc=bca$]\\[5mm]
3.\quad Allgemeines "uber Loops: Man sollte solche untersuchen, in denen jede
\glqq lineare Gleichung\grqq\,\,$L_{1}(x)=L_{2}(x^{\prime})$ einen (\glqq
inneren\grqq) Autom. $x\longrightarrow x^{\prime}$ ergibt, wie bei Gruppen und
den Hirschloops habe lineare Fkt: (1) $L(x)=x$ (2) mit $L(x)$ auch
$aL(x),\,L(x)a,\,L(ax),\,L(xb)$.\\[5mm]
4.\quad Frage: \underline{Gilt Sylow f"ur solche}? [h:] Bruck 93 [:h]\newline
Oder f"ur solche, in denen die Multiplikatoren eines Komplexes $\mathfrak{K}$
eine Loop bilden und jeder Homom. einen invarianten Kern hat? [h:] siehe Bruck
p. 61 [:h]
\begin{flushright}155/156\end{flushright}
1.11.59\\
1.\quad Eine Loop $\mathfrak{L}$ heisse assoziativ-geschichtet, wenn $\mathfrak{L}=1$ oder es einen
eigentl. Homomorphismus von $\mathfrak{L}$ auf eine Gruppe gibt, so da"s sein
Kern assoz. geschichtet ist. Hierzu geh"oren vielleicht die Hirschloops.\\[5mm]
Frage: Sylows"atze, innere Automorphismen?\\[5mm]
2.\quad Bew. der Vermutung von Hirsch:\\ $M$ ist kommutative Moufangloop mit
El. nur der Ord 3. $M$ ist zentral nilpotent (Bruck p 175), daher Zentrum
$Z\neq 1$. $Z=M\to M$ Gruppe, $|M|=3^{\nu}$. $Z\neq
M\to|M|=|M/Z||Z|$, und $M/Z$ hat die gleichen Eigenschaften.\\
(Brief an Hirsch 1.11.59.)
\begin{flushright}156/157\end{flushright}
\begin{center}\underline{Primitive nicht vollprim Gruppen
    $\mathfrak{G}$}.\end{center} 
Sei $\mathfrak{G}$ auf $\Omega$ dieser Art; dann gibt es auf $\Omega$
mindestens eine \underline{maximale} mit $\mathfrak{G}$ vertr"agliche Ordnung
(=teilweise) $\le$. Definiere als Basis der offenen Mengen die
$\alpha^{\pm}$: 
\[\alpha^{\pm}=\{\xi\mid\xi\ofrac{>}{<}\alpha\}.\]
1.\quad Hierdurch wird $\Omega$ ein Hausdorffraum. Zu zeigen ist, dass zu
  $\alpha\neq\beta$ fremde offene Mengen existieren $\ni\alpha$ mit
  $\ni\beta$~~${}^\ast$.\\ 
a) Sei $\alpha<\beta$, und es gebe nichts
  dazwischen. Dann nimm $\beta^{-}\ni\alpha$ und
  $\alpha^{+}\ni\beta$. Es ist $\beta^{-}\cap\alpha^{+}=\emptyset$.\\
b) $\alpha<\beta$, $\alpha^{+}\cap\beta^{-}\ni\xi$. W"ahle
  $\xi^{-}\ni\alpha,\,\xi^{+}\ni\beta$.\\ 
c) $\alpha$ und $\beta$ unvergleichbar.
Es gibt $\xi,\,\eta$ mit $\xi<\alpha;\,\beta<\eta;\,\xi\not<\eta$. Denn sonst
  gilt: Aus $\xi<\alpha$ folgt $\xi\le\beta$ (2; s.u.!), also $\xi<\beta$,
  wegen Unvergleichbarkeit $\alpha$ mit $\beta$; wieder (2) zeigt dann
  $\alpha\le\beta$. W!\\[5mm]
  ${}^\ast$ Genauer ist gezeigt: Zu $\alpha\neq\beta$ gibt es stets
  $\xi,\,\eta$\\ 
$\begin{array}{rllc}\textnormal{so, dass} & 
  \alpha\in\xi^{+}, & \beta\in\eta^{-}, & \xi^{+}\cap\eta^{-}=\emptyset\\
  \underline{\textnormal{oder}} & \beta\dotfill, & \alpha\dotfill, &
  \ldots\end{array}$
\begin{flushright}157/158\end{flushright}

Geg sei $\alpha,\,\beta$.\\
2.\quad Wenn aus $\xi<\alpha$ stets $\xi<\beta$ folgt, ist
$\alpha\le\beta$.\\[5mm] 
Bew: Setze $\alpha\stackrel{.}{\le}\beta$, wenn aus $\xi<\alpha$ stets
$\xi<\beta$ folgt. Es gilt: 
\begin{eqnarray*}\alpha\stackrel{.}{\le}\beta\stackrel{.}{\le}\gamma & 
\to & \alpha\stackrel{.}{\le}\gamma\\\alpha\le\beta & \to &
\alpha\stackrel{.}{\le}\beta\end{eqnarray*} 
und $\alpha\stackrel{.}{\le}\beta$ ist mit $\mathfrak{G}$ vertr"aglich. Wegen
Maximalit"at von $\le$ folgt:\\
$\alpha\stackrel{.}{\le}\beta\to\alpha\le\beta$.\\[5mm]
3.\quad \underline{Jede} teilw. Ord. $\le$ von $\Omega$, die mit
$\mathfrak{G}$ vertr. ist, f"uhrt zu einer Metrik von $\Omega$:
\[d(\alpha\beta)=\left\{\begin{array}{ll}0 & \alpha=\beta\\1 & \alpha\ofrac{<}{>}\beta.\end{array}\right.\]       
Diejenigen $G\in\mathfrak{G}$, die beschr"ankte Verschiebung ergeben:
$d(\alpha\alpha^{G})\le M$, bilden dann einen \underline{Normalteiler} von
$\mathfrak{G}$. $\sup\limits_{\alpha\in\Omega}d(\alpha^{H}\alpha^{G})=d(GH)$
ist eine Metrik in $\mathfrak{G}$.\\[5mm]
4.\quad $\mf{m}$ geg. Kardinalzahl $\to$ die $G\in\mathfrak{G}$, die nach
Weglassung einer Menge $\Delta$ aus $\Omega$ mit $|\Delta|<\mf{m}$ beschr"ankte
Verschiebungen geben, bilden einen Normalteiler von $\mathfrak{G}$.
\begin{flushright}158/159\end{flushright}

\begin{center}Allgemeines "uber $P$Gr.\end{center}
1.\quad Gewisse Permutationen $P_{i}$ m"ogen eine transitive Gruppe
  $\mathfrak{T}$ erzeugen,\\ $1\in\begin{array}[t]{l}\textnormal{ Tr }
\mathfrak{T}\\\shortparallel\\\textnormal{Tr"ager}\end{array}$. 
Dann erzeugen die
  $P_{i}^{T}$, $T\in\mathfrak{T}$, welche $1$ bewegen, ebenfalls
  $\mathfrak{T}$.\\[5mm]
Bew: Sie m"ogen $\mathfrak{T}^{*}$ erzeugen.\\
a) Dann $\mathfrak{T}^{*}$ transitiv auf Tr$\mathfrak{T}$. Sonst
  $\mathfrak{T}^{*}=$\,\,\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(3,0.4)
\thicklines\put(0,-0.2){\line(0,1){0.4}}\put(0,0){\line(1,0){1}}\put(1,-0.2)
{\line(0,1){0.4}}\put(0.4,-0.4){$\Gamma$}\put(1.2,0){\line(1,0){1}}
\put(1.2,-0.2){\line(0,1){0.4}}\put(2.2,-0.2){\line(0,1){0.4}}\put(1.6,-0.4)
{$\Delta_{1}$}\put(2.4,0){\line(1,0){1}}\put(2.4,-0.2){\line(0,1){0.4}}
\put(3.4,-0.2){\line(0,1){0.4}}\put(2.8,-0.4){$\Delta_{2}$}\end{picture} ~~~~$\cdot\cdot$\\ 
$\exists$ $T=\left(\begin{array}{cc}\gamma & \ldots\\\delta_{i} &
  \ldots\end{array}\right)$\quad $T_{1}=\left(\begin{array}{cc}
\gamma & \ldots\\\gamma & \ldots\end{array}\right)$ 
\[\to T^{*}=T^{T_{1}}=\left(\begin{array}{cc}1 &
  \ldots\\\delta_{i}^{T_{1}} & \ldots\end{array}\right)=\left(
\begin{array}{cc}1 & \ldots\\\delta_{i}^{\prime} & \ldots\end{array}\right)\]
b) $\mathfrak{T}^{*}=\mathfrak{T}$.\\
Sei $T\in\mathfrak{T},\,T=(\alpha\beta\ldots)\cdots$
\[T^{*}=(\alpha1\ldots)\cdots\to
T^{T^{*}}=(1\beta^{T^{*}}\ldots)\in\mathfrak{T}^{*}.\]
2.\quad $\mathfrak{G}$ pri, $\mathfrak{G}\ni G_{0}\neq 1$, $\mathfrak{T}=\big<
G_{0}^{\mathfrak{G}}\big>\to\mathfrak{T}=\big<G_{0}^{G}\mid
G\in\mathfrak{G},\,G_{0}^{G}\,\,\textnormal{versetzt}\,\,1\big>$\\[5mm]
Bew. 1
\begin{flushright}159/160\end{flushright}

3.\quad Def: Eine Eigenschaft transitiver PGruppen heisse
  \underline{erblich}\newline 
  [h:] besser: \grqq aufsteigend\grqq\,[:h], 
wenn jedes transitive Erzeugnis von Gr. d
  Eig. $E$ auch die Eig $E$ hat, und wenn aus $E(\mathfrak{G})$,
  $\mathfrak{G}\le\bar{\mathfrak{G}}$, $T\bar{\mathfrak{G}}=T\mathfrak{G}$
  folgt $E(\bar{\mathfrak{G}})$.\\[5mm]
4.\quad Folgende Eigenschaften sind erblich:\\
a) Primitiv,\\
b) $k$-fach tra (schliesst $|T\mathfrak{G}|\ge k$ ein),\\
c) $k^{*}$-tra (d.h. $k$-transitiv auf den ungeordneten $k$-Tupeln,
  $|T\mathfrak{G}|\ge\underline{2k}$). [h:] besser schwach $k$-tra statt
  $k^{*}$-tra? [:h]\newline
d) vollprimitiv,\newline
[h:] wohl auch\\
e) $k$-pri. [:h]\\[5mm]
 Bew  
\begin{flushright}160/161\end{flushright}

a) $\begin{array}[t]{lcl}\textnormal{Wenn} &  T\mathfrak{A}\subseteq
  T\mathfrak{B} & \textnormal{, fertig}.\\\textnormal{Wenn} & \not\subseteq &
  \textnormal{, w"ahle}\,\,\alpha\in T\mathfrak{A},\,1\notin T
\mathfrak{B},\end{array}$\\
und so $\Gamma\supset 1$ ein Block von $\big<\mathfrak{A},\mathfrak{B}\big>$.
Dann $\Gamma^{\mathfrak{B}}=\Gamma$. Ist
  $\Gamma\cap T\mathfrak{B}=\emptyset$, so $\Gamma\subseteq T\mathfrak{A}$
  Block von $\mathfrak{A}$, $\Gamma=T\mathfrak{A}$, Wid. Also ist
  $\Gamma\cap T\mathfrak{B}\neq\emptyset$, daher
  $T\mathfrak{B}\subseteq\Gamma$. OBdA ist $T\mathfrak{A}\not\subseteq
  T\mathfrak{B}$, dann ist also $\beta\in
  T\mathfrak{B}-T\mathfrak{A},\,\beta\in\Gamma$, und $\Gamma$ bleibt bei
  $\mathfrak{A}$ fest:
  $\Gamma=\Gamma^{\mathfrak{A}}\to\Gamma=T\mathfrak{A}\cup
  T\mathfrak{B}$.\\[5mm] 
b) Wenn $T\mathfrak{A}\subseteq T\mathfrak{B}$, trivial. Sei
  $T\mathfrak{A}\not\subseteq T\mathfrak{B}$.\\
I. Ist $|T\mathfrak{A}-T\mathfrak{B}|\ge k-1$, etwa $\ni 1,2,\ldots,k-1$, so
  kann man (indukt) von $\alpha_{1}\ldots\alpha_{k}$ stets die ersten $k-1$ in
  $1\ldots k-1$ "uberf"uhren. Geht dabei $\alpha_{k}$ in $\rho$ "uber, so ist
  $\rho\in T\mathfrak{A}$ oder $\alpha\notin T\mathfrak{A}$. Im ersten Fall
  kann man $A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & \ldots & k-1 & \rho\\1 & 2 & &
  k-1 & k\end{array}\right)$ finden, im zweiten $B=\left(\begin{array}{cccc}1
  & \ldots & k-1 & \rho\\1 & \ldots & k-1 & \alpha\end{array}\right)$,
  $\alpha\in T\mathfrak{A}$.
\begin{flushright}161/162\end{flushright}
II. Ist $|T\mathfrak{A}-T\mathfrak{B}|=m<k-1$, so kann man
$\alpha_{1}\ldots\alpha_{m}\rightarrow 1\ldots m$ "uberf (Indukt.). Gehe daher
$\alpha_{m+1}\ldots\alpha_{k}$ in $\beta_{m+1}\ldots\beta_{k}$ "uber, so sind
diese $\in T\mathfrak{B}$, und $\mathfrak{B}$ $(k-m)$-tra. Also $\exists
B=\left(\begin{array}{cccccccc}1 & 2 & \ldots & m & \beta_{m+1} & \ldots &
    \beta_{k} & \ldots\\1 & 2 & \ldots & m & m+1 & \ldots & k &
    \ldots\end{array}\right)$.\\[5mm]
c) Zerlege $\Omega=A+B+\Gamma$, wo
$A+\Gamma=T\mathfrak{A},\,B+\Gamma=T\mathfrak{B}$.\\
I. Ist $|\Gamma|\ge k$, so klar: jedes $k$-Tupel nach $\Gamma$\\
II. Ist $|A|\ge k$, so f"uhre m"ogl. viele von $\omega_{1}\ldots\omega_{k}$
nach $A$ "uber, etwa $m$ St"uck. Wenn ein weiteres nach $\Gamma$ kommt, kann
man es mittels eines $P\in\mathfrak{A}$ auch nach $A$ bringen, da $|A|\ge k$,
$\mathfrak{A}$ $k^{*}$-tra. (\underline{Hilfssatz}: $\mathfrak{A}$
$k^{*}$-tra, $|\Delta|\ge k$ $|H|=k\to H^{P}\subseteq\Delta$ f"ur
ein $P\in\mathfrak{A}$). Wenn kein $\alpha_{\mu}$ in $\Gamma$, kann man eins
aus $B$ hineinbringen verm"oge eines $P\in\mathfrak{B}$.\\[5mm]
d) $\Omega=A+\Gamma+B,\,A+\Gamma=T\mathfrak{A},\,B+\Gamma=T\mathfrak{B};
\,A,\,B,\,\Gamma\neq\emptyset$. Sei $H$ der Halbblock eines $\alpha\in A$:
$\alpha^{G}\in H\to H^{G}\le H$. Da $\mathfrak{A}$ vollpri, ist
$H\cap T\mathfrak{A}=\alpha$ oder $T\mathfrak{A}$; ferner $H^{\mathfrak{B}}=H$,
also wenn $H\neq\Omega$, ist $H\cap T\mathfrak{A}=\alpha$;
$H=\alpha+(B^{\prime})$  $B^{\prime}\le B\to H=\alpha+T\mathfrak{B}$ W!
\begin{flushright}162/163\end{flushright}

Def: $\mathfrak{G}$ auf den $k$-Tupeln transitiv, $n\ge2k\to\mathfrak{G}$
$k^{*}$-tra.\\[5mm]
5.\quad Ist $\mathfrak{G}=\big<\mathfrak{A},\mathfrak{B}\big>$ tra,
$T\mathfrak{A}\not\subseteq T\mathfrak{B}$, und hat $\mathfrak{A}$ eine
erbliche Eigenschaft, so auch $\mathfrak{G}$.\\[5mm]
Bew: die transitive Gruppe $\big<\mathfrak{A}^{\mathfrak{B}}\big>$ hat $E$ und
den gleichen Tr"ager wie $\mathfrak{G}$. \\[5mm]
6.\quad $\mathfrak{G}$ $k^{*}$-tra, $k\ge 2\to\mathfrak{G}$ pri (auch
wenn man $\mathfrak{G}$ nicht als tra voraussetzt!)\newline
6. schon bei Beaumont-Petersen\\[5mm]
Bew: nach Vor $n\ge 2k$. Ist $\Gamma$ ein Block von $\mathfrak{G}$,
$1<|\Gamma|<n$, der L"ange $c$, so kann man
$\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{k}$ auf $\left[\frac{k}{c}\right]$ volle
$\Gamma^{G}$ und ein angebrochenes verteilen, aber auch, falls
$\left[\frac{k}{c}\right]\ge 1$, auf $\left[\frac{k}{c}\right]-1$ volle und 2
angebrochene: W zur $k^{*}$-tra. Also ist $\left[\frac{k}{c}\right]=0$. Dann
$k<c$, und man kann sie auf 2 Bl"ocke verteilen, und auf einen; W.\newline
[h:] Ist $\mathfrak{G}$ intra, Gr$\ge2k$, so kann man $k$ 
Ziffern auf 2 wesentlich
verschiedene Weisen auf die Tra-Gebiete verteilen. Hierzu w"urde schon $n>k$
gen"ugen: Tue eine der $k$ verteilten Ziffern in ein anderes Tra Gebiet, das
nicht voll ist. [:h]
\begin{flushright}163/164\end{flushright}

7.\quad $\mathfrak{G}$ $3^{*}$-tra, Grad$=n<\infty\to\mathfrak{G}$
  2-tra.\\[5mm] 
Bew: $|\mathfrak{G}_{\alpha\beta\gamma}|$ ist unabh von $\alpha,\,\beta,\,
\gamma,\,n\ge 6$ 
\[|\mathfrak{G}:\mathfrak{G}_{\alpha\beta\gamma}|=\rho\cdot|\mathfrak{G}:
\mathfrak{G}_{(\alpha\beta\gamma)}|=\rho\cdot\frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot
  2\cdot 3},\quad\rho\mid 6.\]
Ang: $\mathfrak{G}_{1}$ hat $\ge 2$ 
\begin{tabular}[b]{l}Festbl"ocke\\ tra Gebiete,\end{tabular} L"angen 
\[\begin{array}[t]{r}l_{1}=1\le l_{2}\\\downarrow\\\sigma^{\mathfrak{G}_{1}}
=\Lambda_{2}\end{array}\le\begin{array}[t]{l} l_{3}\le\ldots\le l_{m};
\\\downarrow\\\Lambda_{3}=\tau^{\mathfrak{G}_{1}}\end{array}\quad\sum 
l_{\mu}=n.\]
W"ahle $\alpha=1,\,\beta,\,\gamma$ in $\Lambda_{2}$: [L"ucke]
$l_{2}\le\frac{n-1}{2}$ 
\begin{eqnarray*}\rho\frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3} & \le &
  nl_{2}(l_{2}-1)\\ \frac{(n-1)(n-2)}{6} & \le & l_{2}(l_{2}-1)\le 
l_{2}\frac{n-3}{2}\end{eqnarray*}
\[\circledast\qquad l_{2}\ge\frac{(n-2)(n-1)}{3(n-3)}>\frac{n}{3}.\]
Also $m=2$.\\
Schreibe $l_{2}=s,\,l_{3}=t$. \underline{$1+s+t=n$}. Wenn $s=1$, ist
$nt=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}\rho$, $n-2=t=\frac{(n-1)(n-2)}{6}\cdot\rho,\quad
n=\frac{6}{\rho}+1\to\rho=1,\,n=7$: W zu $s=1$.
\begin{flushright}164/165\end{flushright}

Also $s>1$. F"ur $\sigma\in\Lambda_{2},\,\tau\in\Lambda_{3}$ gilt 
\begin{eqnarray*}|\mathfrak{G}:\mathfrak{G}_{1\sigma\gamma}|=|\mathfrak{G}:
\mathfrak{G}_{1\tau\delta}|,\\nst^{\prime}=\frac{n(n-1)(n-2)}{1\,\,2\,\,3}\cdot\rho=nts^{\prime}.\end{eqnarray*}
Daher kommen alle Ziff. $\gamma\neq 1,\sigma$ in Trageb. d Lge $t^{\prime}$
vor: \[\begin{array}{lll} & t^{\prime}\mid s-1, & t^{\prime}\mid
  t\\\textnormal{ebenso} & s^{\prime}\mid t-1, & s^{\prime}\mid
  s,\end{array}\]
daher $s^{\prime},\,t^{\prime}\mid s+t-1=n-2$.
\[s=\frac{n-1}{6}\cdot\frac{n-2}{t^{\prime}}\cdot\rho\quad\textnormal{Vielf.
  von}\,\,\frac{n-1}{6}\]
I.\,\, $s=\frac{n-1}{6}$ widerspr. $\circledast$: $s>\frac{n}{3}$\\
II.\,  $s=2\cdot\frac{n-1}{6}$ $\prime\prime$\\
III.   $s=3\cdot\frac{n-1}{6}$ gibt $t=s$, also $t^{\prime}=s^{\prime}$,
\begin{eqnarray*}  s^{\prime}\mid s,\,s-1 &  & \\  s^{\prime}=1=t^{\prime} &
  & \\ 3=\frac{n-2}{t^{\prime}}\rho = (n-2)\rho & n-2\le 3,\,
n\le 5. & \end{eqnarray*} 
8.\quad NB: F"ur $n=\infty$ stimmt 7 nicht: Monotone stetige Abb der rellen
Geraden auf sich sind $k^{*}$-tra f"ur jedes $k$, aber nicht 2-tra.
\begin{flushright}165/166\end{flushright}

8.\quad $\mathfrak{G}$ sei pri, $\mathfrak{G}\ge\mathfrak{H}$, $\mathfrak{H}$
  tra (auf $T\mathfrak{H}$) und habe eine erbliche Eigenschaft $E$. 
Dann hat $\mathfrak{G}$ die Eigenschaft $E$. Bew:
  $E(\mathfrak{H}^{\mathfrak{G}})$.\\[5mm]
9.\quad Sei $\mathfrak{G}$ $k^{*}$-tra, zwei Tragebiete
  $\mathfrak{L}\neq\mathfrak{M}$ von $\mathfrak{G}_{1}$ habe L"ange $\ge
  k-1$. Dann ist $\mathfrak{L}$ mit $\mathfrak{M}$ gepaart.\\[5mm]
Bew: wähle $(1\lambda_{2}\ldots\lambda_{k})^{G}=(1\mu_{1}\ldots\mu_{n})$,
  $1^{G}\neq 1$, also $\lambda_{i}^{G}=1,\,1^{G}=\mu_{i}$.\\[5mm]
Sch"arfer:\\
$9^{\prime}$.\quad $\mathfrak{G}$ sei $k^{*}$-tra. Sind
  $\mathfrak{L}_{1},\ldots,\mathfrak{L}_{r}$ Tra-Konst von $\mathfrak{G}_{1}$,
  ebenso $\mathfrak{M}_{1},\ldots,\mathfrak{M}_{s}$, und
  $\sum|\mathfrak{L}_{\rho}|\ge k-1$, $\sum|\mathfrak{M}_{\sigma}|\ge k-1$, so
  ist ein $\mathfrak{L}_{\rho}$ zu einem $\mathfrak{M}_{\sigma}$
  gepaart.\\[5mm]
[rot durchgestrichen: NB: Folge 9: $\mathfrak{G}$ $3^{*}$-tra , $\mathfrak{G}$ nur
  1-tra $\to$ $n\le 5$, denn $|\mathfrak{K}|=|\mathfrak{L}|$,
  $1+\mathfrak{K}+\mathfrak{L}=\Omega$, $\mathfrak{K}$ ist $2^{*}$-tra, also
  pri $(1\,K_{1}\,K_{2})\to(1\,K_{1}\,\lambda)$, $\left(\begin{array}{cccc}
K_{1} & 1 & K_{2}\\ 1 &  K_{1} & \lambda\end{array}\right)$ unm"oglich wegen
  $\mathfrak{K}^{\prime}=\mathfrak{L}$, also $\left(\begin{array}{cccc} K_{1} &
  1 & K_{2} & \ldots\\ 1 & \lambda & K_{1} & \ldots 
\end{array}\right)\in\mathfrak{G}$
\begin{flushright}166/167\end{flushright}

[h:] "uberholt: 13 [:h]  [ab hier rote Durchstreichung]\\
10.\quad $\mathfrak{G}$ $4^{*}$-tra $\to\mathfrak{G}$ 2-tra.\\ 
A. Sei $\mathfrak{K}\neq\mathfrak{L},\,|\mathfrak{K}|,\,|\mathfrak{L}|\ge
   3:\to \mathfrak{K}^{\prime}=\mathfrak{L}$ nach 9. \newline
$\mathfrak{K}$ ist dann $3^{*}$-tra, also 2-tra, ebenso
   $\mathfrak{L}$. Also max Konst. $\mathfrak{G}_{1}$ 2-tra, geht nicht, au"ser wenn
   $\mathfrak{G}$ 2-tra.\\[5mm]
3.\quad Also es gibt \underline{nur ein} $\mathfrak{K}$ mit $|\mathfrak{K}|\ge
   3$ in $\mathfrak{G}_{1}$. die "ubrigen zusammen haben nach ($9^{\prime}$) 
nur $\sum$Gr$\le 2$, wegen Prim. von $\mathfrak{G}$ geht das nicht, ausser
   wenn alle $|\mathfrak{K}|=2$. Dann aber $n\le 5$.\\[5mm]
Frage: $\mathfrak{G}$ $4^{*}$-tra $\to\mathfrak{G}$ $3^{*}$-tra?\\[5mm]
11.\quad Sei $\mathfrak{G}$ $k^{*}$-tra, [$\cdot$] nicht 2-tra; $k$ minimal\\
a) $|\mathfrak{M}|\ge|\mathfrak{K}|$ tra Konst $\mathfrak{G}_{1}$,
   $|\mathfrak{M}|=\max$, $\mathfrak{M}\neq\mathfrak{K},\,|\mathfrak{K}|\ge
   k-1$. Dann $\mathfrak{M}^{\prime}=\mathfrak{K}$, daher
   $\mathfrak{M}\,\,(k-1)^{*}$-tra, indukt: $\mathfrak{M}$ 2-tra, W!\\
b) Also der zweitl"angste Konst von $\mathfrak{G}_{1}$ ist $<k-1$, [h:]
$9^{\prime}$ [:h]:
   daher 
$\underbrace{|\mathfrak{M}|}_{m}>n-k$, wenn $|\mathfrak{M}|=\max$\\
c) Es ist $m\le(k-2)^{2}$, also $n\le 1+(k-2)+(k-2)^{2}$ also $n$ beschr"ankt durch
   $k$: $n\le k^{2}-3k-3$\\[5mm]
Bew:
   $l_{\rho+1}\le l_{\rho} l_{2}$.
\begin{flushright}167/168\end{flushright}
[h:] "uberholt: 13 [:h]\newline
11.\quad $\mathfrak{G}$ $5^{*}$- tra $\to\mathfrak{G}$ 2-tra.\\[5mm]
Bew: $\begin{array}[t]{rll}\textnormal{Sonst}\,\,\mathfrak{G}_{1}: &  
1\mid\sum<4\mid\ge 5 & \\\textnormal{also} & 1\mid 3\mid\ge 5 &
|\mathfrak{G}_{1}|=2^{\alpha}3^{\beta}.\\\textnormal{wegen}\,\,\mathfrak{G}\,\,\textnormal{pri
  also} & 1\mid 3\mid 6 & \to n=10,\end{array}$\\
also $|\mathfrak{G}|\mid 10\cdot 2^{\alpha}3^{\beta}$, aber $7\mid\binom{10}{5}$, also $7\mid|\mathfrak{G}|$, \\[5mm]
12. $\mathfrak{G}$ $6^{*}$- tra $\to\mathfrak{G}$ 2-tra\\[5mm]
Bew  \underline{wenn}
$\mathfrak{G}_{1}:\,\,1\,\,3\,\,m$, so 
\begin{eqnarray*}n\cdot 3!\cdot
m\cdot(m-1) & \ge & |\mathfrak{G}:\mathfrak{G}_{12\ldots 6}|\ge\binom{n}{6}\\
3!(n-4)(n-5)& \ge & \ldots\\ 3! & \ge & \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6!},
\end{eqnarray*}
so $m\ge 3^{2},\,\,n\le 13$ aber $\binom{13}{6},\,\,\binom{12}{6}\equiv
0\,\,(11)$\quad $11\nmid|\mathfrak{G}_{1}|$, und $n\ge
2k=12$. \underline{Wenn} $\mathfrak{G}_{1}:\,\,1\,\,4\,\,m$, so $n\le 21$ und
$|\mathfrak{G}_{1}|=2^{\alpha}3^{\beta}$, aber $19\mid\binom{21}{6},\,\binom{20}{6},\,\binom{19}{6};\,\,13\mid\binom{18}{6}\cdots\binom{13}{6}\quad 11\mid\binom{12}{6}$.
\begin{flushright}168/169\end{flushright}
[h:] "uberholt: 13 [:h]\newline
12.\quad $\mathfrak{G}$ $7^{*}$-tra, $\mathfrak{G}$ 2-tra.\\[5mm]
Bew: $\mathfrak{G}_{1}=1\mid l\mid m\to m\le$  $l(l-1)$, $l\le 6$
\[\varphi(n)=(n-1)(n-2)\cdots(n-6)\mid
7!|\mathfrak{G}_{1}|,\] 
da $\binom{n}{7}\mid|\mathfrak{G}|$ und $p\mid|\mathfrak{G}_{1}|\to p\le
l$, also $(n-1)(n-2)\cdots(n-6)$ darf keinen Primteiler $>7$ enthalten. 6
aufein folg Zahlen $n-1\le42$ nur PT $\le 7$\\
$\begin{array}{rccccccc}l= & 5 & 4 & "\\ & 7 & 11 & 14 & 21 & 28 & 35 & 42\\
\textnormal{Aber} & 11 & 17 & 22 & 29 & 33 & 37 & 44\end{array}$\\[5mm]
13.\quad $\mathfrak{G}$ 2-tra $\leftrightarrow\mathfrak{G}$ $2^{*}$-tra und
$2\mid|\mathfrak{G}|$.]~~~~[ Ende der roten Durchstreichung ]\\[5mm]
13a.\quad Beaumont-Petersen 1955 haben:
$\mathfrak{G}\not\supseteq\mathfrak{A}_{n}$, $\mathfrak{G}$
$\left[\frac{n}{2}\right]^{*}$-tra $\to n=5,\,6,\,9$.
\begin{flushright}169/170\end{flushright}
13.\quad Satz 21.11.59: $\mathfrak{G}$ $k^{*}$-tra, $k\ge
   3\to\mathfrak{G}$ 2-tra.\\[5mm]
Bew: $\mathfrak{G}_{1}$ habe Trans.-Gebiete der L"angen $1,\,
\underbrace{l^{\prime},\,l^{\prime\prime},\ldots}_{\sum=l},\,m$, monoton
   wachsend geord. \\
a) Es ist $m\ge k-1$.\\[5mm]
Bew:  F"ulle 1 und noch $k-1$ Ziffern in Tra
   Gebiete von $\mathfrak{G}_{1}$, derart dass nur h"ochstens eines
   angebrochen "ubrig bleibt. Seine L"ange ist $\le m$. $\mathfrak{G}_{1}$
   f"uhrt\\ $(12\ldots k)$ in mindestens $\frac{1}{n}\binom{n}{k}$ $k$-Tupel
   "uber, andererseits ist deren Anzahl von der Form $\binom{m}{\because}$, wo
   $\because$ die Zahl der im angebrochenen Gebiet liegenden Ziffern. Also
\begin{eqnarray*}n & \ge & \frac{\binom{n}{k}}{\binom{m}{\because}}>
\frac{\binom{n}{k}}{2^{m}},\\ 2^{m} & > &
\frac{(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k(k-1)\cdots
  2}\\ & \ge & \frac{(n-2)\cdots(n-k+1)}{k-1\cdots 2}\ge
2^{k-2}\end{eqnarray*}
\begin{flushright}170/171\end{flushright}
$a^{\prime})$ Wenn $k=3$, gibt es nur 2 Tragebiete von $\mathfrak{G}_{1}$ mit
Lge $>1$, sind gepaart nach 9. weiter wie 7.\\
$k>3$: b) $\mathfrak{G}_1$ hat nur ein Tra Geb max Lge $m$.\\ Sonst etwa
$\mathfrak{K},\,\mathfrak{L}$: Nach 9 ist
$\mathfrak{K}^{\prime}=\mathfrak{L}$, daraus folgt $(1\,\,K_{2}\ldots K_{k}\to
1\,\,K_{1}^{\prime}\ldots K_{k}^{\prime})$, da"s $\mathfrak{K}$
$(k-1)^{*}$-tra ist. Indukt: $\mathfrak{K}$ 2-tra, geht nicht nach Manning.\\
c) Das max Trageb ist selbstgepaart.\\
d) Alle "ubrigen Tragebiete von $\mathfrak{G}_{1}$ haben Gesamtl"ange $s<k$
($9^{\prime}$). Wie bei a) folgt 
\begin{eqnarray*}(*)\quad n & \ge & \frac{\binom{n}{k}}{\binom{n-s}{k-s}}=
\frac{\binom{n}{n-k}}{\binom{n-s}{n-k}}\\ & = & \frac{n!
    (k-s)!(n-k)!}{(n-k)!k!(n-s)!}=\\ & = & \frac{n!\quad(k-s)!}{(n-s)!\quad
    k!}=\frac{n(n-1)\cdots(n-s+1)}{k(k-1)\cdots(k-s+1)}\end{eqnarray*}
\underline{$n\ge 2^{s}$} wegen $n\ge 2k$.\\
e) Da $\mathfrak{G}$ pri und $\mathfrak{G}_{1}$ Tralgen 1, $\sum=s-m$, ist
$m\le(s-1)(s-2)$, also $2^{s}\le n\le s+(s-1)(s-2)=(s-1)^{2}+1$. Hieraus folgt
$s\le 2$, dh. $\mathfrak{G}_{1}$ hat $\begin{array}[t]{ccc}1 & 1 & m\\1 &
  m\end{array}$ oder\\ das erste geht nicht bei pri $\mathfrak{G}$, also
$\mathfrak{G}$ 2-tra.
\begin{flushright}171/172\end{flushright}
[Seite 172 unbeschrieben]
\begin{flushright}172/173\end{flushright}
\begin{center}\underline{Verlagerung}.\end{center}
1.\quad Aus S.77 folgt vermutlich (?): Bezeichnet f"ur eine $p$-Gr
  $\mathfrak{P}\le\mathfrak{G}$ stets $\mathfrak{P}_{\mathfrak{G}}$ den
  Durchschnitt von $\mathfrak{P}$ mit dem kleinsten Normalteiler von
  $p$-Potenz-Index in $\mathfrak{G}$, so gilt f"ur eine $p$-Sylowgr
  $\mathfrak{P}$ von $\mathfrak{G}$:
\[\mathfrak{P}_{\mathfrak{G}}=\big<\mf{d}_{i_{\mathfrak{N}_{i}}}\big>.\]
Dabei durchl"auft $\mf{d}_{i}=\mathfrak{P}\cap\mathfrak{P}_{i}^{G_{i}}$
diejenigen Sylowdurchschnitte, f"ur die mit einer passenden Sylowgr
$\mathfrak{p}_{i}$ von $\mathfrak{N}_{i}=\mathcal{N}\mf{d}_{i}$ gilt\\
(1a) $\mf{d}_{i_{\mathfrak{N}_{i}}}=\mathfrak{p}
_{i_{\mathfrak{N}_{i}}}$\\
2.\quad Das [h:] ? [:h] l"auft wohl (vielleicht etwas vergr"obert) hinaus auf 
\[\mathfrak{P}_{\mathfrak{G}}=\big<\mathfrak{P}\cap\left[\mathcal{N}\left
(\mathfrak{P}\cap\mathfrak{P}^{G}\right)\right]^p\big>
_{G\in\mathfrak{G}}.\]
[h:] Das d"urfte stimmen: 74 (29) [:h]\\[5mm]
2a.\quad (1a) $\sim$ ($\mathcal{N}\mf{d}_{i}$ hat $p^{\prime}$-L"ange 1, ist
$p$-aufl"osbar)\\[5mm]
2b.\quad Frage: Kann man die \glqq Transformatoren\grqq\,\,nicht einschr"anken
auf eine Untergr. $\mathfrak{T}$ mit
$\mathfrak{G}=\mathcal{N}\mathfrak{P}\cdot\mathfrak{T}
\cdot\mathcal{N}\mathfrak{P}$?
\begin{flushright}173/174\end{flushright}
3.\quad Geg. sei in einer Sylowgr $\mathfrak{P}$ von $\mathfrak{G}$ ein
  $\mathfrak{P}_{1}\lhd\mathcal{N}\mathfrak{P}$. Dann ist zu jedem
  $\mathfrak{P}^{\prime}=\mathfrak{P}^{G}$ erkl"art
  $\mathfrak{P}_{1}^{\prime}=\mathfrak{P}_{1}^{G}$. Nenne
  $\overline{\mathfrak{P}},\,\mathfrak{P}^{\prime}$ vertr"aglich, wenn 
$\overline{\mathfrak{P}}_{1}\cap\mathfrak{P}^{\prime}
=\overline{\mathfrak{P}}\cap\mathfrak{P}_{1}^{\prime}$.\newline
[h:] Besser: Statt $\mathfrak{P}_{1}$ $\alpha\mathfrak{P}$ schreiben;
  $\mathfrak{P}$ mit $\mathfrak{P}^{\prime}$
  $\alpha$-vertr"aglich. [:h]\\[5mm]
4.\quad Ist $\mf{d}$ ein maximaler Durchschnitt von zwei unvertr. $p$-Sy
  Gr, so gibt es $\overline{\mathfrak{P}},\,\mathfrak{P}^{\prime}$ mit 
\[\overline{\mathfrak{P}},\,\mathfrak{P}^{\prime}\,\,\textnormal{unvertr},\,\,
\mf{d}=\overline{\mathfrak{P}}\cap\mathfrak{P}^{\prime},\]
sowohl $\overline{\mathfrak{P}}$ wie $\mathfrak{P}^{\prime}$ enth"alt eine  
$p$-Sy Gr von $\mathfrak{N}=\mathcal{N}\mf{d}$,
$\overline{\mathfrak{P}}$ und $\mathfrak{P}^{\prime}$ sind konjugiert unter
$\mathfrak{N}$.\\[5mm]
Bew. Sei geg $\mf{d}=\mathfrak{P}^{*}\cap\mathfrak{P}^{+}$ unvertr. Es
ist $\mf{d}<\mathfrak{P}^{*}$; w"ahle
$\mathfrak{p}^{*},\,\mathfrak{p}^{+}=$ Sy Gr von $\mathfrak{N}$, die
$\mathfrak{P}^{*}\cap\mathfrak{N}$ bzw. $\mathfrak{P}^{+}\cap\mathfrak{N}$
enthalten; w"ahle $\overline{\mathfrak{P}}=$ Sy Gr
$\mathfrak{G}\supseteq\mathfrak{p}^{*}$ und $N\in\mathfrak{N}$ mit
$\mathfrak{p}^{* N}=\mathfrak{p}^{+}$; setze
$\overline{\mathfrak{P}}^{N}=\mathfrak{P}^{\prime}$.\\
\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(4,3)\thicklines
\put(1.8,-0.1){$\mf{d}$}
\put(2,0.2){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(2,0.2){\line(1,1){1}}\put(2,0.2){\line(-1,1){1}}
\put(3,1.2){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(1,1.2){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(3.2,1.2){$\mathfrak{p}^{+}$}\put(0.6,1.2){$\mathfrak{p}^{*}$}
\put(1,1.2){\line(0,1){0.5}}\put(3,1.2){\line(0,1){0.5}}
\put(1,1.7){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(3,1.7){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(0.85,1.85){$\overline{\mathfrak{P}}$}
\put(2.95,1.85){$\mathfrak{P}^{\prime}$}
\put(3,0.2){\vector(-1,1){0.5}}\put(3,-0.1){$\mathfrak{P}^{+}\cap\mathfrak{N}$}
\put(2.5,0.7){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(1,0.2){\vector(1,1){0.5}}
\put(1.5,0.7){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(0,-0.1){$\mathfrak{P}^{*}\cap\mathfrak{N}$}
%\put(5,0){W"are $\mathfrak{P}^{\prime},\,\overline{\mathfrak{P}}$ 
%vertr"agl, so w"are}
\end{picture}\\[5mm]
W"are $\mathfrak{P}^{\prime},\,\overline{\mathfrak{P}}$ 
vertr"agl, so w"are
\begin{eqnarray*}\mathfrak{P}_{1}^{*}\cap\mathfrak{P}^{+} & = & 
\mathfrak{P}_{1}^{*}\cap\underbrace{\mathfrak{P}^{*}\cap
\mathfrak{P}^{+}}_{\mf{d}}=\mathfrak{P}_{1}^{*}\cap
\overline{\mathfrak{P}}\cap\mathfrak{P}^{\prime}
\cap\mathfrak{P}^{+}\\ & = & \mathfrak{P}^{*}\cap\overline{\mathfrak{P}}_{1}
\cap\mathfrak{P}^{\prime}\cap\mathfrak{P}^{+}=\mathfrak{P}^{*}\cap
\overline{\mathfrak{P}}\cap\mathfrak{P}_{1}^{\prime}\cap\mathfrak{P}^{+}\\
 & = & \mathfrak{P}^{*}\cap\overline{\mathfrak{P}}\cap\mathfrak{P}^{\prime}
\cap\mathfrak{P}_{1}^{+}=\mathfrak{P}^{*}\cap\mathfrak{P}_{1}^{+}.
\end{eqnarray*}
\begin{flushright}174/175\end{flushright}
5.\quad Ist also $\mf{d}^{\prime}=\mathfrak{P}\cap\mathfrak{P}^{\prime}$
ein Durchschn. max. Ord von $\mathfrak{P}$ mit einem
unvertr. $\mathfrak{P}^{\prime}$, so gibt es ein $\overline{\mf{d}}$
gleicher Ord, so da"s
$\overline{\mf{d}}=\mathfrak{P}\cap\overline{\mathfrak{P}},\,\,
\overline{\mathfrak{P}}$ unvertr $\mathfrak{P},\,\,\overline{\mathfrak{P}}$ zu
$\mathfrak{P}$ konj[ugiert] in $\mathcal{N}\overline{\mf{d}}$,
$\mathfrak{P}$ und $\overline{\mathfrak{P}}$ enth. Sylowgr von
$\mathcal{N}\overline{\mf{d}}$.\\[5mm]
6.\quad Verallgem des Abschneideproblems:\\
$\begin{array}{cl}\text{Geg.} &  \mathfrak{H}<\mathfrak{G},\,\,
\mathfrak{G}^{*}\lhd\mathfrak{G},
\,\,\mathfrak{G}^{*}\mathfrak{H}=\mathfrak{G},\,\,\mathfrak{H}^{*}
=\mathfrak{H}\cap\mathfrak{G}^{*}.\\ \prime\prime &
\mathfrak{H}^{1}\underset{p}{\lhd}\mathfrak{H}.\,\,\textnormal{Wann gibts}
\,\,\mathfrak{G}^{1}\ldots?\end{array}$\\
Das ist ein \underline{Ausschnittproblem}.\\[5mm]
7.\quad Ist
$\mathfrak{P}_{1}\underset{p}{\lhd}\mathfrak{P}_{0}\subset\mathfrak{P}$,
$\mathfrak{P}_{i}\lhd\mathcal{N}\mathfrak{P}$ und $\mathfrak{P}_{0}$
abschneidbar und [durchgestrichen: je zwei
$\mathfrak{P}^{\prime},\,\,\overline{\mathfrak{P}}$] [h:] $\mathfrak{P}$ 
mit jedem $\mathfrak{P}^{\prime}$ [:h] vertr [unleserlich] 1. 
(dh. $\overline{\mathfrak{P}}_{1}\cap\mathfrak{P}^{\prime}=\overline{\mathfrak{P}}
\cap\mathfrak{P}_{1}^{\prime}$) [h:] und 
$\mathfrak{P}_{0}|\mathfrak{P}_{1}$
zentral f"ur $\mathcal{N}\mathfrak{P}$ [:h] dann ist $\mathfrak{P}_{1}$
abschneidbar. Bew: Verlager[un]g, [h:] leicht: man weiss was vorn 1 hat, 
hat jedes Diagelement $=1$. [:h] \newline
Folge: Ist $\mathfrak{P}_{1}$ von jedem
$\big<\mathfrak{P}^{\prime},\,\mathfrak{P}\big>$ abschneidbar, so von
$\mathfrak{G}$.
\begin{flushright}175/176\end{flushright}
8.\quad Sei $\begin{array}[t]{rl}I) &
  \mathfrak{P}_{1}\underset{p}{\lhd}\mathfrak{P}_{0}\le\mathfrak{P}\,\,
\textnormal{eind. def. f"ur \underline{jede} p-Sy
  Gr}\,\,\mathfrak{P}\,\,\textnormal{von}\,\,\mathfrak{G},\\ 
II) & \mathfrak{P}_{0}\circ\mathcal{N}\mathfrak{P}\le\mathfrak{P}_{1}\\
III) & \mathfrak{P}_{0}=\mathfrak{P}\cap\mathfrak{G}_{0},\,\,
\mathfrak{G}_{0}\unlhd\mathfrak{G},\\IV) &
  \mf{d}=\mathfrak{P}\cap\mathfrak{P}^{\prime}\,\,\textnormal{maximal
  mit}\,\,\mathfrak{P}\,\,\textnormal{1-unvertr"agl}\,\,\mathfrak{P}^{\prime}.
\end{array}$\\ 
Dann gilt f"ur
$\mf{d}\underset{p^{\rho}}{<}\mathfrak{E}\unlhd\mathfrak{H}$ und
  $\mathfrak{p}$ $p$-Sy Gr von $\mathfrak{H}$ stets:
  $\mathfrak{P}_{0}|\mathfrak{P}_{1}$ abgesch. in $\mathfrak{H}$\\[4mm]
Bew: Indukt nach $(\mathfrak{P}:\mathfrak{E})$\\ 
  $[$h:$]$ NB: \underline{Diese} Induktion gestattet vielleicht, die
Maximaldurchschnitte herein zu bringen [:h]\newline
F"ur jede Sy Gr $\mathfrak{p}$ von $\mathfrak{H}$ ist
$\mathfrak{p}_{0},\,\mathfrak{p}_{1}$ definiert; alle sind 1-vertr"aglich.\\
Nach 7 gen"ugt es also zu zeigen, da"s $\mathfrak{p}_{0}|\mathfrak{p}_{1}$ abg
in $\mathcal{N}\mathfrak{p}\cap\mathfrak{H}$. Das folgt aber aus Indukt-Vor.:
vergr"ossere $\mathfrak{E}$ zu $\mathfrak{p}$. (das ist wirkl. gr"osser ausser
wenn $\mathfrak{E}=\mathfrak{P}$, wo die Beh trivial nach II).\\
$[$h:$]$ 11 [:h] [durchgestrichen: 8] a\quad $\mf{P}_{\mf{G}}=\big<\mf{d}\cap\mf{N}^{p}\big>$\\ 
wo $\mf{d}$ die Durchschnitte
$\mathfrak{P}\cap\mathfrak{P}^{\prime}$ durchl"auft, f"ur die
$\mathfrak{P}^{\prime}=\mathfrak{P}^{N}$,
$N\in\mathcal{N}\mf{d}=\mathfrak{N}$, $\mathfrak{P}$ enth. eine Sylowgr
von $\mathcal{N}\mf{d}$.\\
 $[$h:$]$ NB: Statt $\mathfrak{N}=\mathcal{N}\mf{d}$ kann man jede Gruppe $\mf{N}$ mit
$\mf{d}<\mathfrak{P}_{i}\le\mathcal{N}(\mf{d}),\,p\mid\frac{|\mf{N}|}{|\mf{d}|}$ nehmen die jeweils Sy Gr von $\mathfrak{N}$ in eine Sy
Gr schneidet, [:h]\\[5mm]
[h:] Das folgt aus 11 \\
$\left[\begin{array}{l}\text{Bew:
      Annahme: }\,\mf{P}_{\mathfrak{G}}\text{[h:]}=
\mf{P}_{0}\text{[:h]}\underset{p}{>}\mf{P}_{1}\ge 
\big(\mf{d}\cap\mathfrak{N}\big)^{p}\text{ Nach 75, g"abe 
es }\\\text{ dann ein }\mathfrak{N},\,\,\textnormal{von dem}\,\,
\mathfrak{N}\cap\mathfrak{P}_{1}\,\,\textnormal{nicht abschneidbar;
  W.}\end{array}\right]$\newline
[h:] Frage: direkter Beweis f"ur 11 a? [:h]\\[5mm]
9.\quad Wichtig ist der Sonderfall: geg $p$-Gr. $\mf{d}$,
$\mf{d}\lhd\mathfrak{N}$ [h:] [\anmerk] $\mathfrak{G}$ [:h],in einer
$p$-Sy $\mathfrak{N}$ abschneidbares $\mathfrak{p}_{0}$, ferner eine
$\mathfrak{p}_{1}\underset{p}{\lhd}\mathfrak{p}_{0},\,\,\mathfrak{p}\circ\mathfrak{p}_{0}\le\mathfrak{p}_{1}$
invar. definit. Bez. 1 sei $\mathfrak{p}$ mit jedem $\mathfrak{p}^{\prime}$
vertr"agl, f"ur das $\mathfrak{p}\cap\mathfrak{p}^{\prime}>\mf{d}$
ist. [h:] 1 sei abschneidbar von jeder Ugr
$\mathfrak{N}^{\prime}\le\mathfrak{N}$, zu der es eine $p$-Gruppe
$\mathfrak{E}\le\mathfrak{N}$ mit
$\mf{d}<\mathfrak{E}\le\mathcal{N}\mf{d}$ gibt; insbes vom
Sylow-Norm. $\mathcal{N}\mathfrak{p}:$ \glqq$(\mathcal{N}\mathfrak{p})_{1}$
[exist]\grqq\,. [:h] Ist $\mathfrak{p}_{1}$ nicht abschn[eidbar] [h:] von
$\mathfrak{N}$, [:h] so kann man passendes $D_{0}$ beliebig oft abwechselnd
komprimieren: $\to D_{0}^{\mathfrak{p}^{\prime}:\mf{d}}$ und mit
  pass. $N\in\mathfrak{N}$ [h:] NB: Hierzu gen"ugen schon Elemente aus
  $\mathfrak{N}^{p}$, da $\mathfrak{N}^{p}\cdot\mathfrak{p}=\mathfrak{N}$ und
  $\mathfrak{p}$ die Tra Geb. fest l"asst. [:h] transformieren, ohne es zu 1
  zu machen:\\[5mm]
 Bew: $\begin{array}[t]{c}\text{Zu den
     kurzen}\\\downarrow\\(\mathfrak{p}^{\prime}\cap\mathfrak{p}>
 \mf{d})\end{array}$
\begin{flushright}176/177\end{flushright}
Tra-Gebieten der mon Darst. nach $\mathcal{N}\mathfrak{p}$[h:]$/
(\mathcal{N}\mathfrak{p})_{1}$[:h] sind die Diagfakt stets alle gleich, jedes
$D\in\mf{d}_{0}$ mit zwei verschiedenen Diagfakt kann
erst mit $N$ so trans k. w., $\to D_{0}^{\prime}$ dass erster Faktor
$\neq$ Determinante, also in einem langen Tragebiet $\det\neq 1$, daher
$D_{0}^{\prime^{\mathfrak{p}^{\prime}:\mf{d}}}\neq 1$. Nun wiederholen:
  schreibe diesen Op
  $[(\mathfrak{p}^{\prime}:\mf{d})\mathfrak{N}]^{\infty}$. 
-Folge:\\[5mm] 
[h:] s. 12 [:h]\newline
10.\quad [ Durchgestrichen: Unter Vor 9 kann man
$\mathfrak{p}_{0}\cap\big<\mf{d}_{0}^{[(\mathfrak{p}^{\prime}
:\mf{d}):\mathfrak{N}]^{\infty}}\big>$      
von $\mathfrak{N}$ abschneiden. Bew: wie 8a ]\\[5mm]
$\sharp$ 11.\quad [durchgestrichen: Unter] [h:] Stets [unleserlich] 
[:h] kann man [h:]
$\mathfrak{P}\cap\mathfrak{G}^{p}=\big<\mathfrak{P}\cap\mf{d}
^{[(\mathfrak{p}^{\prime}:\mf{d})\mathfrak{N}]^{\infty}}\big>$
von $\mathfrak{G}$ abschneiden, wo bei $\mathfrak{P}$ eine $p$-Sy Gr,
$\mf{d}=\mathfrak{P}\cap\mathfrak{P}^{\prime}$ [durchgestrichen: wie in
8] [h:] $\mathfrak{P}$ enth $p$-Sy Gr. von $\mathcal{N}\mf{d}$,
$\mathfrak{P}$ und $\mathfrak{P}^{\prime}$ konj unter
$\mathcal{N}\mf{d}$ Bew: 9, siehe Bew 11a, S.170 [:h];
$\mathfrak{p}^{\prime}$ [durchgestrichen:
$=\mathfrak{P}^{\prime}\cap\mathcal{N}\mf{d}$] [h:] durchl"auft alle
Sylowgr von $\mathcal{N}\mf{d}$. [:h]\\[5mm]
[h:] zu 10. [:h] 12.\quad \grqq Dieser Op\grqq\,\, macht aus
$D$[h:]$\in\mf{d}_{0}$ [:h] alle 
\[D^{N_{1}(\mathfrak{p}^{\prime}:\mf{d})N_{2}(
\mathfrak{p}^{\prime\prime}:\mf{d})N_{3}
(\mathfrak{p}^{\prime\prime\prime}:\mf{d})\cdots}\]
mit $N_{i}\in\mathfrak{N},\,\,\mathfrak{p}^{\prime},\,
\mathfrak{p}^{\prime\prime},\ldots$ Sylowgr von $\mathfrak{N}$. K"urzer: 
\[D\to D^{N_{1}(\mathfrak{p}:\mf{d})N_{2}(\mathfrak{p}:\mf{d})
N_{3}(\mathfrak{p}:\mf{d})\cdots N_{k}.}\]       
mit $N_{i}\in\mathfrak{N}^{p}$. [h:] Man kann die
$N_{i}\in\big<N_{0},\mathfrak{P}\big>$ w"ahlen, wo $N_{0}$ $\mathfrak{p}$ in
ein unvertr. $\mathfrak{p}^{\prime}$ "uberf"uhrt [:h] (oder auch alle $N_{i}$
$p$-Elemente von $\mathfrak{N}$).
\begin{flushright}177/178\end{flushright}
\begin{center}Darstellungstheorie: Gruppencharaktere.\end{center}
1.\quad Sei $\chi$ einfacher Char. der endl. Gruppe $\mathfrak{G}$. Die Werte
  von $\chi$ seien in 3 Klassen eingeteilt, die drei von ihnen erzeugten
  K"orper seien $K_{1}\,\,K_{2}\,\,K_{3}$, die zugeh"origen Galoisgruppen des
vollen Charakterk"orpers \underline{$K_{1}K_{2}K_{3}:$}Ra 
seien $\mathfrak{H}_{1},
\,\mathfrak{H}_{2},\,\mathfrak{H}_{3}$, so da"s
  $\mathfrak{H}_{1}\cap\mathfrak{H}_{2}\cap\mathfrak{H}_{3}=1$ ist. Dann ist
  [durchgestrichen: bei pass. Nummerierung] \underline{entweder ein}
   $\mathfrak{H}_{i}=1$, dh. $\prod K_{\nu}=K_{i}$, oder es ist
  \[|\mf{H}_{i}|=2,\quad |\mf{H}_{1}\mf{H}_{2}\mf{H}_{3}|=4,\] 
also $(K_{i}:$Ra$)=2$, $(K_{1}K_{2}K_{3}:$Ra$)=4$.\\[5mm]
Bew: Sei $1\neq\sigma_{i}\in\mathfrak{H}_{i}$. Dann ist, da
$\prod\mathfrak{H}_{i}$ abelsch, 
\[\chi^{(1-\sigma_{1})(1-\sigma_{2})(1-\sigma_{3})}=0,\]
also
\begin{eqnarray*}\chi+\chi^{\sigma_{1}\sigma_{2}}+\chi^{\sigma_{1}
\sigma_{3}}+\chi^{\sigma_{2}\sigma_{3}}\\=\chi^{\sigma_{1}}+\chi^{\sigma_{2}}
+\chi^{\sigma_{3}}+\chi^{\sigma_{1}\sigma_{2}\sigma_{3}}\end{eqnarray*}
$\begin{array}{lll}\textnormal{Daher entweder} & \chi=\chi^{\sigma_{i}} & 
\textnormal{f"ur ein}\,\,i,\\\textnormal{oder} &
\chi=\chi^{\sigma_{1}\sigma_{2}\sigma_{3}}\end{array}$
\begin{flushright}178/179\end{flushright}
Im ersten Fall ist jeder $\chi$-Wert fest bei $\sigma_{i}$, also
$\sigma_{i}=1$. W! Also ist $\chi=\chi^{\sigma_{i}\sigma_{2}\sigma_{3}}:\,\,
\sigma_{1}\sigma_{2}\sigma_{3}=1$ stets wenn
$1\neq\sigma_{i}\in\mathfrak{H}_{i}$. Hieraus folgt $|\mathfrak{H}_{i}|=2$,
$|\mathfrak{H}_{1}\mathfrak{H}_{2}\mathfrak{H}_{3}|=4$.\\[5mm]
2.\quad Frage: Kann man statt eines einfachen $\chi$ "ahnlich
Linearverbindungen gegebener $\chi_{\rho}$ behandeln?\\[5mm]
3.\quad Satz 1 gilt auch f"ur Charaktere $\chi$, die \underline{in einem}
willk"urlich gegebenen K"orper $F$ statt Ra$(\sqrt[g]{1})$ irreduzibel
sind. Dh. man kann $\chi=\sum\limits_{\tau}\chi_{0}\tau$ w"ahlen, wo
$\chi_{0}$ absolut irreduzibel und $\tau$ eine gegebene Autom-Gruppe von
Ra$\sqrt[g]{1}$ durchl"auft. Das heisst: Statt eines irred. Char. $\chi$ kann
man die Relativspur $Sp_{K_{1}K_{2}K_{3}\to F}\chi$ betrachten; der Satz 1
gilt wieder.
\begin{flushright}179/180\end{flushright}
4.\quad Teilt man die Werte des einfachen Char. $\chi$ der endl. Gr
  $\mathfrak{G}$ in $r$ Teilmengen, die jeweils den K"orper
  $K_{1},\ldots,K_{r}$ erzeugen, und sind $\mathfrak{H}_{\rho}$ die
  zugeh"origen Gal Gr $\prod K_{i}:K_{\rho}$, so ist
  $\bigcap\mathfrak{H}_{\rho}=1$, und bei jeder Wahl der
  $\sigma_{\rho}\in\mathfrak{H}_{\rho}$ gibt es ein Produkt mit einer
  ungeraden Faktorenzahl $\le r$, das $=1$ ist:
\[\sigma_{\rho_{1}}\sigma_{\rho_{2}}\cdots\sigma_{ \rho_{n}}=1,\quad n\equiv
  1\,\,(2),\,\, n\le r,\,\,\rho_{1}<\rho_{2}<\ldots<\rho_{n}.\]
Bew: wie 1.\\[5mm]
Folge:\\
5.\quad Teilt man die Werte des einf. Char. $\chi$ in 5 Teile, die jeweil
K"orper $K_{\rho}$ erzeugen $(1\le\rho\le 5)$, und ist
$K=\prod\limits_{1}^{5}K_{\rho}$, so kann nicht der Reihe nach
\[(K:K_{\rho})\ge 2,\,2,\,3,\,5,\,9\]
sein. Denn dann k"onnte man $\sigma_{\rho}\in\mathfrak{H}_{\rho}$ w"ahlen so
da"s $\sigma_{\rho}\neq 1$, $\sigma_{3}\neq(\sigma_{1}\sigma_{2})^{-1}$,
$\sigma_{4}\neq(\sigma_{i}\sigma_{j})^{-1}\,\,1\le i<j\le 3$, 
$\sigma_{5}\neq(\sigma_{i}\sigma_{j})^{-1},\,\,(1\le i<j\le 4)$, und
[durchgestrichen: daher] zwei bei festem $\sigma_{1}\cdots\sigma_{4}$ noch,
f"ur zwei Wahlen $\sigma_{5},\,\sigma_{5}^{\prime}$, aber es muss dann
$\sigma_{1}\sigma_{2}\sigma_{3}\sigma_{4}\sigma_{5}=\sigma_{1}\sigma_{2}
\sigma_{3}\sigma_{4}\sigma_{5}^{\prime}=1$ sein. W!
\begin{flushright}180/181\end{flushright}

$5^{\prime}$.\quad Zusatz: Unter Vor. 5 ist [durchgestrichen: $(K:$Ra$)\neq
1$] ein $\mathfrak{H}_{\rho}=1\,\,(\rho=1,2)$ oder
$\mathfrak{H}_{3}\le\mathfrak{H}_{1}\mathfrak{H}_{2}$ oder
$\mathfrak{H}_{4}\le\mathfrak{H}_{1}\mathfrak{H}_{2}\mathfrak{H}_{3}$ oder
$\mathfrak{H}_{5}\le\mathfrak{H}_{1}\cdots\mathfrak{H}_{4}$, dh. $K_{1}=K$
od. $K_{2}=K$ od $K_{3}\ge K_{1}\cap K_{2}$ od $K_{4}\ge K_{1}\cap K_{2}\cap
K_{3}$ od $K_{5}\ge K_{1}\cap\ldots\cap K_{4}$\\[5mm]
6.\quad Teilt man die Werte des einfachen $\chi$ in 4 Teile, so ist 
\underline{nicht} der Reihe nach $(K:K_{\rho})\ge 2,\,2,\,3,\,5$. Daher ist
entweder ein $K_{\rho}=K$, oder es ist dreimal $K_{j}=2$ und ($K$:
Durchschnitt \underline{dieser} $K_{j}$)=4, oder es ist $(K:\,$Ra$)\le48$.\\[5mm]
7.\quad Man sollte hier zus"atzlich noch die Multipl-Gleichungen
$\chi_{i}\chi_{k}=\sum c_{ikl}\chi_{l}$ heranziehen.\\[5mm]
8.\quad Idee: Man sollte Verfeinerungen der Char. betrachten:\\[5mm]
\begin{tabular}{ll}A. & Brauers modulare Char.\\B. & Die Summen der
  Einheitswurzeln gleicher Ordnung in $\chi(G)$.\end{tabular}
\begin{flushright}181/182\end{flushright}
18.12.59
\begin{center}Unendliche Permutationsgruppen\end{center}
 (1) Def: $\Omega$
  $\mathfrak{G}$-kompakt, wenn f"ur jede Kette von Untergr. mit Fixpunkt auch
\marginpar{[h:] Vielleicht\\ besser\\ schärfer: 6 [:h]}
  die Vereinigung einen Fixpkt hat.\newline
[h:] $\Omega-1$ braucht dann nicht $\mathfrak{G}_{1}$-kompakt zu sein, siehe
  183 unten. Aber wenn \underline{$\mathfrak{G}$ Noethersch}, so 
ist $T\mathfrak{K}$ $\mathfrak{K}$-kompakt f"ur jeden Konstituenten
  $\mathfrak{K}$ einer Ugr von $\mathfrak{G}$ [:h]\newline
(2) Wenn $\Omega$ kompakt in einer Topologie (Hausd.) in der  
$\mathfrak{G}$ stetig, dann $\Omega$ $\mathfrak{G}$-kompakt.\\[5mm]
Bew: $\phi\mathfrak{G}_{i}$ abgeschlossen.\\[5mm]
(3) $\Omega$ $\mathfrak{G}$-kompakt, $\mathfrak{H}<\mathfrak{G}$,
  $\mathfrak{H}^{\mathfrak{G}}$ tra auf $\Omega$, $\mathfrak{H}$ tra auf
  $\Gamma<\Omega\to$  es gibt
$\mathfrak{M}\le\mathfrak{G}_{1},\,\,\mathfrak{M}=\big<\mf{H}^{x}\big>=$ Abschl
  $\mathfrak{M}$ in $\mathfrak{G}_{1}$ [durchgestrichen: Abschl $\mathfrak{H}$
  in $\mathfrak{G}_{1}$ ist tra\\[5mm]
Bew: a) W"ahle Maximalkette von transitiven Untergr. mit Fixpkt, die durch
  Konjugierte $\mathfrak{H}^{G}$ erzeugt werden k"onnen. Sei $\mathfrak{M}$
  ihre Vereinig[un]g. Wegen $\Omega$ $\mathfrak{G}$-komp[akt] hat
  $\mathfrak{M}$ einen Fixpunkt $\alpha$; [h:] oBdA $\alpha=1$ [:h]
  $\mathfrak{M}$ tra.\\
b) W"ahle $\mathfrak{M}^{G}$, welches $T\mathfrak{M}$ nicht fest
  l"asst. $\big<\mathfrak{M},\,\mathfrak{M}^{G}\big>$ l"asst keine Ziffer fest
  wegen Maximalit"at vom $\mf{M}$. Daher ist $\Omega-T\mf{M}\subseteq T\mf{M}^G$.\\[5mm]
(0) Aufgabe: F"ur 2-tra $\infty$ Perm. Grpen $G$ die Verkettung von
  $G_{\alpha}$ mit intra Ugruppen untersuchen, die einen endlichen 
orbit haben.
\begin{flushright}182/183\end{flushright}
c) Hieraus folgt, dass kein $\mathfrak{M}^{U}\le\mathfrak{G}_{1}$, ausser
$\mathfrak{M}^{U}=\mathfrak{M}$. Denn $\mathfrak{M}^{U}$ m"usste
$T\mathfrak{M}$ fest lassen, also entweder $T\mathfrak{M}^{U}
\le T\mathfrak{M}$, wegen Max
$\mathfrak{M}^{U}\le\mathfrak{M},\,\mathfrak{M}^{U}=\mathfrak{M}$, oder $T\mathfrak{M}^{U}\cap T\mathfrak{M}=\emptyset$, dann
$T\mathfrak{M}^{U}<T\mathfrak{M}^{G}$ $[$Pfeil zur letzten Formel von b)$]$ 
$\mathfrak{M}^{U}\le\mathfrak{M}^{G},=$, Wid. zu \qquad$\nearrow$
\qquad\qquad.\newline
d) Also ist $\mathfrak{M}=$ Abschl $\mathfrak{M}$ in $\mathfrak{G}_{1}$, 
daher\newline
(4) $\Omega$ $\mathfrak{G}$-kompakt, $\mathfrak{G}$-pri,
$\mathfrak{H}<\mathfrak{G}$ tra auf $\Gamma<\Omega\to$ Abschl. von
$\mathfrak{H}$ in $\mathfrak{G}_{1}$ ist tra.\\[5mm]
Bew: Das $\mathfrak{M}$ von 3 ist normal bei jedem
$G=\left(\begin{array}{cc}\nu & \ldots\\1 & \ldots\end{array}\right)$, wenn
$\nu$ fest bei $\mathfrak{M}$. Wegen Primit. ist nur $\nu=1$ m"oglich. Also
$\mathfrak{M}$ tra, Abschl $\mathfrak{H}$ tra auf $\Omega-1$.\newline
[h:] F"ur Druck besser gleich in 3 $\mathfrak{G}$ pri voraussetzen oder
2-pri. [:h]\newline  
\marginpar{\rule[-8mm]{0.5mm}{10mm}} NB: Ist $\mathfrak{H}$ pri, so folgt
\underline{nicht} $\mathfrak{G}$ 3-tra [h:] Frage: aber $3^{*}$- tra? [:h] 
Beispiel: die stet. orient.-erhaltenden Abb der Kreislinie. Aber wenn
$\mathfrak{H}$ $k$-tra, so $\mathfrak{G}$ $(k+1)$-tra nach 160.3.
\begin{flushright}183/184\end{flushright}
5.\quad $\Omega$ $\mathfrak{G}$-komp[akt], $\mathfrak{G}$ pri,
  $\mathfrak{H}<\mathfrak{G}$ mit nur $k$ Transgebieten,
  $k\le3,\,T\mathfrak{H}<\Omega$. [h:] Man braucht hier die sch"arfere 
Def. 6 der Kompaktheit. [:h] $\to \mathfrak{G}_{1}$ hat 
nur $\le k$ Transgebiete auf $\Omega-1$.\\[5mm]
Bew (siehe X 140): W"ahle mittels Kette ein maximales
  $\mathfrak{H}=\mathfrak{M}$ dieser Art. (Die Vereinigung von Ugr
  $\mathfrak{H}$ dieser Art ist wieder so, weil f"ur
  $\alpha_{1}\,\,\alpha_{2}\ldots\alpha_{k}\,\,\alpha_{k+1}\in T$Vereinigg
zwei dieser $\alpha_{i}$ in einer passenden $\mathfrak{H}_{i}$ $\alpha$-Kette
  verbunden sind).\\
a) L"asst $\big<\mathfrak{M}\,\,\mathfrak{M}^{G}\big>$ eine Ziffer fest, aber
  nicht $T\mathfrak{M}$, so mittels Abschliess[un]g (X 140) zeigbar:
  W. (Transformiere $\mathfrak{M}$ mit $\mathfrak{M}^{G}$ und umgekehrt).
  Sonst Tr"ager $\Delta$ \underline{eines} tra Konst von $\mathfrak{M}$ offen,
  seine Abschliessung in $\Omega-1$ ist zusammenh"angend nach Bew von 3, daher
  Abschliessg $\mathfrak{G}^{(2)}$ 2-tra, $\mathfrak{G}$ 2-tra.\newline
b) W"ahle $\mathfrak{M}^{G}$, das $T\mathfrak{M}$ nicht fest l"asst. Dann
  $\Omega-T\mathfrak{M}\subseteq T\mathfrak{M}^{G}$ nach a)\\
c) Daher kein $\mathfrak{M}^{X}$ ziffernfremd zu $\mathfrak{M}$, es w"are
  sonst echt in $\mathfrak{M}^{G}$ enrhalten trotz Maxim.\\
d) also $\mathfrak{M}=$ Abschl $\mathfrak{M}$ in $\mathfrak{G}_{1}$, daher
  $T\mathfrak{M}=\Omega-1$.
\begin{flushright}184/185\end{flushright}
Def 6.\quad $\Omega$ $\mathfrak{G}$-kompakt $\leftrightarrow$ jede offene
"Uberdeck[un]g von $\mathfrak{G}$ [ gemeint ist wohl: $\Omega$ ] enth"alt eine endliche "Uberdeckung\\
 $\Delta$ offen $\leftrightarrow$ $\Delta$ Vereinigung endlicher Durchschnitte von
Tr"agern.\\[5mm] 
7.\quad $\mathfrak{G}$ tra, $\Omega$ $\mathfrak{G}\text{-kompakt }$ $\leftrightarrow$ Jede Ugr $\mathfrak{H}\neq E$ mit \underline{endlich} vielen
   Konjugierten zusammen "uberdeckt $\Omega$.\\[5mm]
7.\quad Jeder offene Block einer tra Gr $\mathfrak{G}$ ist abgeschl. und hat
nur endlich viel Konjugierte.\\[5mm]
8.\quad $\mathfrak{G}$ pri, eine Ugr $\mathfrak{H}$ von $\mathfrak{G}_{1}$
habe nur Tragebiete der Lge 1 und $\ge\mf{m}\to\mathfrak{G}_{1}$ hat nur eine
1 und sonst $\ge\mf{m}$ ($\mf{m}\gtreqqless\aleph_{0}$). 
(schwache Abschl. $\mathfrak{H}$) z.B.: 
Ein $|\alpha^{\mathfrak{G}_{1}}|=2\to$ jedes
  $G=Z_{2}\,Z_{4}\,Z_{8}\ldots$\\[5mm]
9.\quad Vor Fixierung der Bezeichn[un]g \grqq
$\mathfrak{G}$-kompakt\grqq\,\, muss gekl"art werden, wie sich der Begriff zur
2-Abschliessung verh"alt. Ferner: Gleichm"assigkeit\\ $f(v)\Rightarrow f$
definieren $(v\in\Omega)$. Wann gibt es invariante Ma"se auf $\Omega$? (f"ur
Tr"ager oder Fixmenge)
\begin{flushright}185/186\end{flushright}
10.\quad Fragen "uber $\mathfrak{G}$-kompakte $\Omega$:\\
a) $\mathfrak{G}$ pri $\to\mathfrak{G}$ stark pri?\\[5mm]
[h:] Frage 10a:\quad Jede Permutation $G$ von $\mathfrak{G}$, ausser $I$,
lasse nur endlich viele Ziffern fest, etwa $\chi(G)$. Sind dann die
$\chi(G)$ beschr"ankt, wenn $G$ pri?\\[5mm]
Frage 10b:\quad Was kann man "uber die $\mathfrak{G}$ auf $\Omega$ sagen,
deren $\mathfrak{G}_{\Delta}$ die Minimalbedgg erf"ullen? Sie entsprechen den
Fastringen mit Minbedgg f"ur Rechtsid. [:h]\\[5mm]
11.\quad $\Omega$ $\mathfrak{G}$-kompakt $\to$ schwache Abschl. von
$\mathfrak{H}$ in $\mathfrak{G}_{\alpha}=$ schw Ab v $\mathfrak{H}$ in
$\mathfrak{G}_{\beta}$, wenn die erstere in $\mathfrak{G}_{\beta}$. 
Daher ist ihr Tr"ager $=\Omega-\alpha$.\\[5mm]
12.\quad Wenn die schw Ab in $\mathfrak{G}_{\alpha}$ einer Ugr $\mathfrak{H}\neq E$ von $\mathfrak{G}_{\alpha}$ als
Tr"ager ganz $\Omega-\alpha$ hat, dann hat $\mathfrak{H}$ zu jedem Tra
Konst. $\mathfrak{T}\neq\alpha$ von $\mathfrak{G}_{\alpha}$ einen
Konstituenten $\neq 1$ konform zu Untergr von $\mathfrak{T}$.\\[5mm]
13.\quad Wenn f"ur $I\neq\mathfrak{H}\le\mathfrak{G}$ stets 
$|\Phi\mathfrak{H}|<\aleph_{0}$, so ist nat"urlich $\Omega$
$\mathfrak{G}$-kompakt, da $\Delta$ abg $\leftrightarrow$
$|\Delta|<\aleph_{0}$.\\[5mm]
14.\quad Frage: Was kann man aussagen, wenn f"ur\\
$\begin{array}{rll}I\neq\mathfrak{H}\le\mathfrak{G}\,\,\textnormal{stets} &
  |\Phi\mathfrak{H}|\le\aleph_{0}\\\textnormal{oder} & 
|\Phi\mathfrak{H}|<|\Omega| & ?\\\textnormal{dh.} & |\Phi\mathfrak{H}|
<|T\mathfrak{H}|\end{array}$
\begin{flushright}186/187\end{flushright}
\begin{center}Loops.\end{center}
1.\quad Eine Loop mit 5 Elementen, nicht assoz, ohne Unterloops:
\[\begin{array}{ccccc}1 & a & b & c & d\\ a & b & 1 & d & c\\ b & c & d & 1 &
  a\\ c & d & a & b & 1\\ d & 1 & c & a & b\end{array}\]     
2.\quad Frage: Sylowsche S"atze f"ur Loops mit einer Normalreihe, deren
Faktorloops Gruppen sind?
\begin{flushright}187/188\end{flushright}
\begin{center} Perm. Gruppen, mehrf. Transitivit"at.\end{center}
(1) Gibt es in $\Omega$ $t(\ge 2)$ Ziffern (etwa $1,\,2,\ldots,t$) so, dass
    f"ur jedes $\nu>t$ die $\mathfrak{A}^{12\ldots t\nu}$ als Konstituent einer
    passenden Untergr. von $\mathfrak{G}$ auftritt, so ist $\mathfrak{G}$
    mindestens $t$-tra, wenn $|\Omega|>t+1$.\\[5mm]
Bew: a) Es gen"ugt $t=2$ zu erledigen, denn $\mathfrak{G}$ ist tra, und
    $\mathfrak{G}_{1}$ erf"ullt f"ur $t\ge 3$ die gleichen Vor.\\
b) $t=2$: Stets $(12\nu)\cdots\in\mathfrak{G}$ usw $2<\nu<\mu\to$ also
    \begin{eqnarray*}A & = & (1\,2\nu)\cdots(2\,1\mu)\cdots\in\mathfrak{G},\\
A & = & (1)(\nu\mu\ldots)(2\,2^{A}\ldots)\in\mathfrak{G}\quad 
2^{A}\neq 2.\end{eqnarray*}
Also alle $\nu\neq 1,2$ liegen in einem Trageb. von $\mathfrak{G}_{1}$, und da $2^{A}\neq 2$, liegt auch 2 drin.
\begin{flushright}188/189\end{flushright}
\begin{center}Perm-Gr., allg. Theorie\end{center}
1.\quad Frame's Double coset matrices $V$ haben 0,1 als Elemente 
und verketten die von 2 Untergr $A,\,B$ erzeugten Perm.-Darstellungen
  $\mf{d}_{1},\,\mf{d}_{2}$ von $G$. Ist $|G:A|=m,\,|G:B|=m$, so
  ist Typ $V=(m,n)$.\\[5mm]
2.\quad Dies $V$ tritt als rechte obere Ecke einer mit
$\left(\begin{array}{cc}\mf{d}_{1}\\ &
    \mf{d}_{2}\end{array}\right)$ \underline{vertauschbaren} Matrix auf
und sollte auch einmal von dieser Einbettung in den Vert. Rg der
zerfallenden PDarst. her untersucht werden. Lesen:  An irreducible Represent. extracted from two perm.\\[5mm]
3.\quad Primitive Gruppen mit $\le 3$ tra nichttrivialen Konstituenten:\\
Manning 1927 (TAMS) S. 819
\begin{flushright}189/190\end{flushright}

\begin{center}Automorphismen u Faktorisierung.\end{center}
1.\quad Hat $\mathfrak{G}$ eine Automorphismengr. $\sim(2,2)$ und ist $g$
  ungerade, so ist wohl
 $\mathfrak{G}=\mathfrak{G}_{1}\mathfrak{G}_{2}\mathfrak{G}_{3}$ eine saubere
 Faktorisier[un]g, mit $\mathfrak{G}_{i}=$ Fixgr. des Autom[orphismus]
  $\alpha_{i}$. (Siehe Heft X)\\[5mm]
2.\quad Frage: Gibt es "Ahnliches bei Autom.-Gr. $\sim(3,3)$ oder
  $\sim(2,3)$, wenn jeder Primteiler von $g\equiv 1\bmod{6}$?\\[5mm]
3.\quad Vermutung: $A,\,B,\ldots$ sei Prim auf $G$ dargestellt, in jedem
   minimalen zul"ass. Ausschnitt
  sei wenigstens eine der Gr. $A,\,B,\ldots$ durch die Identit"at
  dargestellt. Dann ist $G=G_{A}G_{B}\cdots$ Produkt der Fixgruppen.
\begin{flushright}190/191\end{flushright}

\begin{center}$\,{\lhd\lhd}\,$\end{center}
1.\quad Zwei nichtabelsche Kompfgr, die in \underline{einer} Kompositionsreihe
u. \underline{"ubereinander} liegen, sind nie projektiv in $G$. Denn zwei
projektive nichtabelsche KFGr. werden von den selben eink"opfigen gedeckt,
daher auch zwei projektive.\\[5mm]
2.\quad Ist $\mathfrak{A}\,{\lhd\lhd}\,\mathfrak{G}$, $\mathfrak{A}$
rein-$p$-k"opfig, und sind nicht alle KFGr. von
$\mathfrak{A}/\mathfrak{A}^{p}$ in $\mathfrak{G}$ projektiv zueinander, so ist
$\mathfrak{A}\mathrm{v}\mathfrak{B}$ f alle $\mathfrak{B}\,{\lhd\lhd}\,\mathfrak{G}$,
wenn $p\neq 2$; [h:] und $\mathfrak{A}/\mathfrak{A}^{p}$ ist zyklisch
[:h]\\[5mm] 
Bew gen"ugt f"ur die rein $p$-k"opfigen $\mathfrak{B}$.\\
Es ist $\mathfrak{A}^{p}\mathrm{v}\mathfrak{B}^{p}$,
$\mathfrak{A}^{p}\mathfrak{B}^{p}=\big<\mathfrak{A},\mathfrak{B}
\big>^{p}\,{\lhd\lhd}\,\big<\mathfrak{A},\mathfrak{B}\big>$.\\ 
Da in einer ungeraden, nicht zykl. $p$-Gr alle KFGr. projektiv sind, ist 
\[
\big<\mathfrak{A},\mathfrak{B}\big>/\underbrace{\big<\quad\big>^{p}}
_{\mathfrak{N}}
\]
zyklisch, daher $\mathfrak{A}\bmod{\mathfrak{N}}$ mit
$\mathfrak{B}\bmod{\mathfrak{N}}$ vtb.; und $\mathfrak{A}$ ist
eink"opfig. F"ur $p=2$ muss die verallg. Quatgr. untersucht werden. Wenn auch dort je zwei Ugr. vtb. sind,
dann gilt 2 auch f"ur $p=2$.
\begin{flushright}191/192\end{flushright}

\begin{center}$\,{\lhd\lhd}\,$\end{center}
3.\quad Die Vertauschbarkeitseigenschaften rein $p$-k"opfiger subn Ugr
 $\mathfrak{A}$ von $\mathfrak{G}$ h"an\-gen von der Struktur des maximalen
 $p$-Ausschnitts von $\mathfrak{G}$ ab, in den
 $\mathfrak{A}/\mathfrak{A}^{p}$ eingebettet werden kann. Es ist zu
 definieren als $\mathfrak{M}/\mathfrak{M}^{p}$, wo $\mathfrak{M}$ maximal mit
 $\mathfrak{M}^{p}\cap\mathfrak{A}=\mathfrak{A}^{p}$.\\[5mm] 
Frage: 4.\quad $|\mathfrak{G}|=\infty$: Wie $\left\{\begin{array}[b]{l}
\textnormal{\glqq normal\grqq}\\\textnormal{\glqq
 subnormal\grqq}\end{array}\right.$ sind Untergr
 $\mathfrak{H}\le\mathfrak{G}$, die mit allen ihren Konjugierten vertbar sind
 (oder sogar mit allen $\mathfrak{U}\le\mathfrak{G}$)?
\begin{flushright}192/193\end{flushright}

[h:] [wohl $\sim$ Dez. 59] s. 182 [:h]
\begin{center}\underline{P.-Gruppen vom Grad $p$} [h:] Forts v 38 
[:h]\end{center}
1.\quad Sei \setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(1.5,1)\thicklines
\put(0.6,-0.3){$\kappa_{1}$}\put(0,0){\vector(1,0){1.5}}
\put(1.5,0){\vector(-1,1){0.75}}\put(1.3,0.5){$\kappa_{2}$}
\put(0.75,0.75){\vector(-1,-1){0.75}}\put(-0.1,0.5){$\kappa_{3}$} 
\end{picture} und $\mathfrak{Q}\overline{\mathfrak{Q}}\nmid K_{i}$ $(i=1,2,3)$\\[6mm] 
Dann ist wenigstens ein \glqq Winkel\grqq \\ $w_{ik}$, defin. d. 
\[\left\{\begin{array}{ll}w_{ik}=\frac{j_{i}j_{k}}{j_{l}}\not\equiv0
\bmod{\,q} & \textnormal{kurz}\,\,w_{ik}\sim 1\\
w_{ik}=\frac{\kappa_{i}\kappa_{j}}{\overline{\kappa}_{l}}=w_{ki}>0 & \textnormal{[h:]}
|\kappa_{i}||\kappa_{j}|=|\kappa_{l}|\cdot w_{ij}.\end{array}\right.\]                 
2.\quad Stets sind die $w_{ik}$ ganzzahlig, und es ist 
\[j_{1}=w_{12}w_{13}\quad\textnormal{usw.}\]
[h:] ex $\mathfrak{q}\overline{\mathfrak{q}}\mid \kappa$ wohl
$\leftrightarrow\mathfrak{K},\,\mathfrak{K}^{*}$ haben eine gemeinsame
ganzzahlige Null"osung $\bmod{\,q}$. Allgem.: $\kappa_{i}\kappa_{j}\not\equiv
0\,\,(\mf{q})\to w_{ij}\sim 1$, geg $\mf{q}_{\mu},\,\mf{q}_{\nu}$:
ex $\kappa_{\nu}\equiv 0\,\,(q_{\mu\nu})$ \underline{oder} ein $w\sim 1$. 
[:h]\\[5mm]
3.\quad Sind in einem Tetraeder [h:] NB: bei Cameron $n$ statt $j$ [:h]

\setlength{\unitlength}{1.5cm}\begin{picture}(1.5,1)\thicklines
\put(0,0){\line(2,-1){0.75}}\put(0.75,-0.375){\line(2,1){0.75}}
\put(0.75,-0.375){\line(0,1){1}}\put(0,0){\line(1,0){1.5}}
\put(0,0){\line(6,5){0.75}}\put(0.75,0.635){\line(6,-5){0.75}}
\put(0.2,0.4){1}\put(0.8,0.2){2}\put(1.2,0.4){3}\put(0.2,-0.5){4}
\put(1.1,-0.5){5}\put(0.5,0.1){6}
\put(0,0){\arc{0.6}{-0.7}{0.45}}
\put(0.75,-0.375){\arc{0.5}{-2.65}{-0.4}}
\put(0.75,0.635){\arc{0.5}{0.7}{2.35}}
\put(1.5,0){\arc{0.6}{2.7}{3.85}}
\end{picture}
bez"ugl. $q$ $w_{12}\sim w_{13}\sim w_{23}\sim 1$, so ist 
\begin{eqnarray*}w_{35}\sim w_{56}\sim w_{36}\\ w_{14}\sim w_{16}\sim w_{46}\\
  w_{45}\sim w_{25}\sim w_{24}.\end{eqnarray*}
[h:] Stets ist $w_{45}w_{56}w_{16}=w_{14}w_{25}w_{36}$ [:h]\\[5mm]
[h:] 3.72: bei Cameron $u$ statt $w$ [:h]\newline
4.\quad In einem Tetraeder ist immer
\begin{eqnarray*}\frac{w_{14}}{w_{16}}=\frac{w_{45}}{w_{25}}=\frac{w_{13}}
{w_{12}}=\frac{w_{35}}{w_{56}}\\\frac{w_{25}}{w_{24}}=\frac{w_{56}}
{w_{36}}=\frac{w_{12}}{w_{23}}=\frac{w_{16}}{w_{46}}\\\frac{w_{36}}
{w_{35}}=\frac{w_{46}}{w_{14}}=\frac{w_{23}}{w_{13}}=\frac{w_{24}}{w_{45}}
\end{eqnarray*}
[h:] Kurz: 
\begin{eqnarray*}(w_{14}:w_{45}:w_{13}:w_{35}) & = & 
(w_{16}:w_{25}:w_{12}:w_{56})\\ & = &
(w_{46}:w_{24}:w_{23}:w_{36})\end{eqnarray*}
Streckenz"uge die aus 2 Paaren von Gegen-Seiten bestehen. [:h]\\[5mm]  
Bew: $|\kappa_{1}\kappa_{4}\kappa_{5}|$ [h:] $=|\kappa_{5}\kappa_{4}\kappa_{1}|$ [:h] auf 2 Arten ausr.
\begin{flushright}193/194\end{flushright}
5.\quad Ist im Tetraeder\\[5mm] \setlength{\unitlength}{1.5cm}\begin{picture}(1.5,1)\thicklines
\put(0,0){\line(2,-1){0.75}}\put(0.75,-0.375){\line(2,1){0.75}}
\put(0.75,-0.375){\line(0,1){1}}\put(0,0){\line(1,0){1.5}}
\put(0,0){\line(6,5){0.75}}\put(0.75,0.635){\line(6,-5){0.75}}
\put(0.2,0.4){1}\put(0.8,0.2){2}\put(1.2,0.4){3}\put(0.2,-0.5){4}
\put(1.1,-0.5){5}\put(0.5,0.1){6}
\end{picture}\\[10mm] $j_{1}\sim 1$, [h:] dh. $q\nmid j_{1}$, [:h] so gilt 
$w_{1k}\sim 1$
und $\begin{array}{l}w_{25}\sim w_{45}\mid w_{24}\\ w_{35}\sim w_{56}\mid
  w_{36}\end{array}$ und Perm. [durchgestrichen: nur Zykeln]\newline 
$\{2\,4\,5\}\to\{3\,6\,9\},\,\{2\,4\,8\},\,\{7\,10\,8\},\,\{7\,10\,9\}$ und
  $w_{23}\sim w_{46},\,w_{67}\sim w_{3\,10},\,w_{47}\sim w_{2\,10}$.\\[5mm]
6.\quad Sind im Tetraeder $j_{1}\sim j_{2}\sim 1$ (Ecke gemeins.), so $j_{4}\sim
  1$ und $j_{3}\sim j_{5}\sim j_{6}$.\\[5mm]
7.\quad Sind im Tetr. $j_{1}\sim j_{5}\sim 1$ (keine Ecke gem.), so $j_{2}\sim
 j_{3}\sim j_{4}\sim j_{6}$\\[5mm]
8.\quad Ist $\mathfrak{K}$ ein transformierender Komplex, $|\mathfrak{K}|=k$,
  so  
\[p=k+l=\alpha a+\beta b,\quad ab=p-1\]
$j=\alpha\beta$; und es ist 
\[\mathfrak{K}\mathfrak{K}^{(-1)}=\alpha(\beta I+(a-\beta)\mathfrak{P})=j
I+(k-j)\mathfrak{P}\]
mit $(\beta,\,a-\beta)=1$, also
$\alpha=\mf{d}_{1}(\mathfrak{K}\mathfrak{K}^{-1})$\newline
[h:] 3.72 NB: Zur Berechnung aller $j$ braucht man nur die $\alpha$ f"ur die
\underline{prim"aren} Teiler $a$ von $p-1$. [:h]\\[5mm]
9.\quad $\alpha=(k,j)$
\begin{flushright}194/195\end{flushright}
\begin{center} noch Gr. v. Grad $p$\end{center}
10.\quad Ist $j_{1}=r^{2}j_{2}$, so $j_{1}=j_{2}$.\\[5mm]
Bew: $j_{1}j_{2}=x^{2}$, $j_{i}=k_{i}(p-k_{i}),\,\,2\mid k_{i}$ gibt 
\begin{eqnarray*} x & = & kl-\lambda p\\\lambda & = &
  \frac{k_{1}+k_{2}}{2}+\mu p\\ k_{1}k_{2}(1+2\mu)p & = & \lambda^{2} p
\to\mu\ge 0\\ & = & (\mu p+\frac{k_{1}+k_{2}}{2})^{2}p>\mu^{2}p^{3}
\end{eqnarray*}
gibt $\mu<1$, also
$\mu=0\to\lambda=\frac{k_{1}+k_{2}}{2},\,\lambda^{2}=k_{1}k_{2}$: 
arithm = geom Mitt. $\to$ \underline{$k_{1}=k_{2}$}.\newline
[h:] and. Beweis in XIII, 53 [:h]\\[5mm]
Folge:\\
11.\quad Ist in einem Tetraeder $j_{1}=j_{5}$, so ist 
\setlength{\unitlength}{1.5cm}\begin{picture}(1.5,1)\thicklines
\put(0,0){\line(2,-1){0.75}}\put(0.75,-0.375){\line(2,1){0.75}}
\put(0.75,-0.375){\line(0,1){1}}\put(0,0){\line(1,0){1.5}}
\put(0,0){\line(6,5){0.75}}\put(0.75,0.635){\line(6,-5){0.75}}
\put(0.2,0.4){1}\put(0.5,0.1){2}\put(1.2,0.4){3}\put(0.2,-0.5){4}
\put(1.1,-0.5){5}\put(0.85,-0.2){6}
\end{picture}\newline
a) $j_{2}=j_{6},\,j_{3}=j_{4}$.\\
 Genauer sogar gilt\\
b) \begin{eqnarray*}w_{12} & = & w_{25}=w_{56}=w_{16}\,\,
\textnormal{[h:]}\,=a\,\textnormal{[:h]}\\w_{23} & = & w_{36}=w_{46}=w_{24}\,\,
\textnormal{[h:]}\,=b\,\textnormal{[:h]}\\w_{13} & = & w_{35}=w_{54}=w_{14}\,\,
\textnormal{[h:]}\,=c\,\textnormal{[:h]}\end{eqnarray*} 
[h:] $j_{1}=ac=j_{5},\,j_{2}=ab=j_{6},\,j_{3}=bc=j_{4}$, dh.: $w$ konstant
 l"angs geschl. Zug der Lge 4 [:h]\\[5mm]
Bew: a) $\begin{array}[t]{ccc}j_{1}j_{4} & = & j_{4}j_{5}\\\downarrow
 & & \downarrow\\\tilde{\Box} j_{2} & & \tilde{\Box} j_{6}\end{array}$\newline
Bew: b) $w_{12}^{2}j_{4}=j_{1}j_{2}=j_{5}j_{6}=w_{56}^{2}j_{4}$
\begin{flushright}195/196\end{flushright}
[h:] NB 2.3.72: Zur Berechnung der $j_{i}$ braucht man nur 
die $s^-$ und $t$ wo
$st=p-1$, $(s,t)=1$ und \underline{$s=q^{\alpha}$}. [:h]\\[5mm]
12.\quad Ist
$j_{i}=\frac{k_{i}(p-k_{i})}{p-1},\,\circledast\,\,j_{1}j_{2}=j_{3}w^{2}$ 
Vor: $w=w_{12}>0$ [h:] $\kappa_{1}\kappa_{2}=w\bar{\kappa}_{3}$ Normierung von
z.B. $\kappa_{3}$,[:h] so ist 
\begin{eqnarray*}(\Box)\,\,\,k_{1}k_{2}
& \equiv & k_{3}w\,\,\textnormal{[h:]}\,(\mathfrak{p})\,\textnormal{[:h]}
\,\,(p),\\ k_{1}k_{2} & = & k_{3}w+\lambda p\\\textnormal{aus}\,\,
\mathfrak{K}_{1}\mathfrak{K}_{2} & = & w_{12}\mathfrak{K}_{3}
+\lambda\mathfrak{P},\end{eqnarray*}
F"ur $\lambda$ gilt dann [h:] durch Elim[ination] von $w$ aus $\circledast$
und $(\Box)$
\[k_{1}k_{2}k_{3}(p-k_{1}-k_{2}+2\lambda)=(p-1-k_{3})(k_{1}\cdot k_{2}
-\lambda p)^{2}+\lambda^{2}pk_{3}\quad\checkmark\]
Also ist 
\[\lambda>\frac{-p+k_{1}+k_{2}}{2},\quad\frac{k_{1}+k_{2}}{2}<\frac{p}{2}
+\lambda,\]
[h:] also erst recht [:h] $k_{1}k_{2}<(\frac{p}{2}+\lambda)^{2}$\\
Stets ist $\lambda\ge 0$ (13) wegen
$\mathfrak{K}_{1}\mathfrak{K}_{2}=w_{12}\mathfrak{K}_{3}
^{\textnormal{[h:]}\,*\,\textnormal{[:h]}}+\lambda\mathfrak{P}$. 
Also $w_{1}\lambda\ge 0$:
\[\textnormal{[h:]}\,0\le\,\textnormal{[:h]}\,\lambda<\frac{k_{1}k_{2}}{p}\]
Man darf zwei $\kappa_{i}$ durch $-\kappa_{i}$ ersetzen, 
dh. $k_{i}$ durch $p-k_{i}$. Also
kann man z.B. $k_{1},\,k_{2}<\frac{p}{2}$ machen, dann 
$\lambda<\frac{p}{4}$. Klar
ist [h:] $0\le$ [:h] \underline{$\lambda\le k_{1},\,k_{2}$} denn ein El von
$\mathfrak{P}$ kommt $\le k_{1}$ $\mf{d}\text{s}$  
$\mathfrak{K}_{1},\,\mathfrak{K}_{2}$
vor\\ Fortstzg: 14
\begin{flushright}196/197\end{flushright}

13.\quad Die Vorzeichen der $w_{ik}$ und $\lambda_{ik}$:\\
a) Im Dreieck haben alle $w_{ik}$ gleiches Zeichen, denn $\kappa_{1}\kappa_{2}=w_{12}
\overline{\kappa}_{3}$ folgt \\sgn$w_{12}j_{3}=$sgn$\kappa_{1}\kappa_{2}\kappa_{3}$ [fach]\newline
b)Ersetzg \underline{eines} $\kappa_{i}$ durch $-\kappa_{i}$ ersetzt \underline{alle}
$w_{ik}$ durch $-w_{ik}$ im $\bigtriangleup$\newline
c) Im Tetraeder ist \underline{$\prod w_{ik}=\prod j_{i}$}. Also kann man
durch Ersetzen von h"ochstens 2 Seiten $\kappa_{i}$ durch $-\kappa_{i}$ \underline{alle}
$w_{ik}>0$ machen im Tetraeder.\\
d) Die $\lambda_{ik}$ sind alle $\ge 0$:
Bew.
$\mathfrak{K}_{1}\mathfrak{K}_{2}=w_{12}\mathfrak{K}_{3}+\lambda_{k}\mathfrak{P}$,
wobei die $\mathfrak{K}_{i}$ auch noch $*$ tragen k"onnen.\\[5mm]
14.\quad (Forts. v. 12): Es ist $2\lambda-k_{1}-k_{2}+w(k_{3}+1)=\rho p$? $\checkmark$ ? und
\[\left\{\begin{array}{rll} (k_{1}-\lambda)(k_{2}-\lambda) & =k_{3}w(w-\rho) 
 & (A)\\(p-k_{1}-k_{2}+\lambda)\lambda & =k_{3}w(w-\rho-1) & (B)? \checkmark?\\ & 
\qquad\,\,\downarrow\\((\rho+1)p-\lambda-(k_{3}+1)w)\lambda & =\quad\cdots &
(B^{\prime})\\(k_{1}-\lambda-w)(k_{2}-\lambda-w) & =(p-k_{3})w\rho & (C)
\end{array}\right.\]   
Bew: [h:] $(B)$ [:h] $(A)$ aus
$(k_{3}w+\lambda p)(p-k_{1})(p-k_{2})=k_{3}w^{2}(p-k_{3})(p-1)$\\
$B$ durch $k_{1}\to p-k_{1}$, $w\to -w;~\lambda\to k_{2}-\lambda$\\
$C$ \,\,durch\,\,\quad $k_{3}\to p-k_{3}$.
\begin{flushright}197/198\end{flushright}

15.\quad Aus 14 folgt:
\[(A)\to w-\rho\ge 0\quad B\to w-\rho> 0\quad B^{\prime}\rho\ge 0\] 
Also
\begin{eqnarray*}\underline{0\le\rho<w}\\\underline{(\rho+1)p\ge\lambda
+(k_{3}+1)w}.\end{eqnarray*}
$\to$ 16.\quad Nie ist $w_{ik}=1$ oder $w=2$, wenn $p>7$\\
$w\neq 1$: Sonst
$\rho=0$ hieraus folgt mittels C, A: $k_{1}$ oder $k_{2}$ oder $p-k_{1}$
oder $p-k_{2}=1$.\\
$w\neq 2$:\\ $\begin{array}{cl}\textnormal{Sonst}\,\,
\rho=0, & \textnormal{dann etwa}\,\,k_{2}=\lambda+w\to 
k_{1}=\lambda+2k_{3}\to k_{3}<\frac{p}{2} \,\,\textnormal{W!}
\\\hspace*{-5mm}\downarrow &  \textnormal{da}\,\,k_{1}\to
p-k_{1},\,k_{3}\to p-k_{3}\,\,\textnormal{zul"ass.}\\
\underline{\textnormal{oder}}\,\,\rho=1,\,
\textnormal{dann}\end{array}$\\
$\begin{array}{l}\alpha)\\\beta)\end{array}\left\{\begin{array}{ll}
 & \lambda=0\to k_{1}k_{2}=2k_{3}\\\textnormal{oder} &
 p+\lambda=k_{1}+k_{2}
 \end{array}\right.$
\[\to(p-k_{1})(p-k_{2})=2k_{3}.\]
OBdA ist $k_{1}<\frac{p}{2},\quad k_{2}>\frac{p}{2}$. Dann folgt
\begin{itemize}
\item[$\alpha$)] $\displaystyle{k_{1}=\frac{2k_{3}}{k_{2}}<\frac{2p}{\frac{p}{2}}=4}$
\item[ oder  $\beta$)] $\displaystyle{(p-k_{2})=\frac{2k_{3}}{p-k_{1}}<\frac{2p}{\frac{p}{2}}
=4}$
\end{itemize}
Sei also etwa $k_{1}<4$
\begin{flushright}198/199\end{flushright}
a) $k_{1}=2$ 
\begin{eqnarray*} 2(p-2)=j_{1}(p-1)\\p-1\mid 2\quad p\le 3\qquad\textnormal{W}
\end{eqnarray*}
b) $k_{1}=3$ 
\begin{eqnarray*}3(p-3) & = & j_{1}(p-1)\\3\frac{p-3}{2} & = & 
j_{1}\frac{p-1}{2}\\(\frac{p-1}{2},\,\frac{p-3}{2}) & = & 
\frac{1}{2}(p-1,\,p-3)=\frac{1}{2}\cdot 2=1\\\frac{p-1}{2}\,\Big|\,3\quad 
p & = & 7.\end{eqnarray*}
17.\quad Sei $w$ Primzahl, etwa $k_{1}\equiv k_{2}\equiv 0\,\,(w)$.
Dann wird $\rho=0$, also
etwa $k_{2}=1+w$, und es ergibt sich 
\begin{eqnarray*}\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{3}-1}=w,\quad l_{1}k_{2}
=wl_{3}\end{eqnarray*}
[h:] Fortsetzg 285 [:h]
\begin{flushright}199/200\end{flushright}

1.\quad Nichtkommutative Darstellungsmoduln:\\
F"ur die allgemeine Theorie im torsionsfreien, lokal nilpot. Fall d"urfte die
Einbettungstheorie von Malcev wichtig sein. Ausarbeitung Hall (Huppert) S. 25
ff. \glqq Nilpotent groups\grqq\\[5mm]
2.\quad Indizes von Untergruppen:\\
Satz von Baer: $H_{i}\lhd G,\,K_{i}\lhd G,\, H_{i}<K_{i}$, ist
$|K_{1}:H_{1}|=n_{1}<\infty,\,\,|K_{2}:H_{2}|=n_{2}<\infty$, so ist
$|(H_{1}\circ H_{2})|:(H_{1}\circ K_{2})(H_{2}\circ K_{1})|<\infty$ eine
$n_{1}n_{2}$-Zahl (dh teilt $(n_{1}n_{2})^{\infty}$). Zitiert in Ausarb Hall
(Huppert S. 34. $\circ=$ Kommutierung\newline
[h:] Frage: Gilt das auch f"ur subnormale Ausschnitte? [:h]
\begin{flushright}200/201\end{flushright}

\begin{center}Relationen die mit einer Pgr vertr"agl. sd.\end{center}
1.\quad Jede \underline{maximale} $k-1$-fach, aber nicht $k$-fach transitive
  Gruppe l"asst sich durch eine $k$-stellige Relation definieren.\\[5mm]
2.\quad Statt der bei $\mathfrak{G}$ invarianten $k$-stelligen
  \underline{Relationen} betrachtet man besser die bei $\mathfrak{G}$
  invarianten \underline{Funktionen} $f$ auf $\Omega\times\cdots\times\Omega$
  ($k$-mal). Dann gibt $f=$ const eine Relation. Die $f$ bilden bez"ugl
  gew"ohnlicher Mult. (in $\mathcal{A}$) einen Ring
  $\mathcal{R}\supseteq\mathcal{A}$, wenn Werte $f\in\mathcal{A}=$ Ring;
\[\mathcal{R}\subseteq\mathcal{A}^{\Omega\times\cdots\times\Omega}.\]
3.\quad $\mathcal{R}$ ist ein assoz. Ring bezgl der Faltung $*$:
\[f(\alpha_{1}\ldots\alpha_{k})*g(\alpha_{1}\ldots\alpha_{k})=
\sum\limits_{\nu\in\Omega}f(\alpha_{1}\ldots\alpha_{k-1}\nu)
g(\nu\alpha_{2}\ldots\alpha_{k}).\]
(Das ist einfach Matrizen mult. bezgl der Eckvariablen).\\[5mm]
4.\quad $\mathcal{R}$ hat die symmetrische $\mathfrak{S}^{k}$ als
Operatorgruppe: 
\[\tau=\left(\begin{array}{ccc}\alpha_{1} & \ldots & \alpha_{k}\\
\alpha_{1^{\prime}} & \ldots & \alpha_{k^{\prime}}\end{array}\right)\to
f^{\tau}=f(\alpha_{1^{\prime}}\alpha_{2^{\prime}}
\ldots\alpha_{k^{\prime}}).\]
\begin{flushright}201/202\end{flushright}

4.\quad \glqq Triviale\grqq\,\,Invarianten $f(\alpha_{1}\ldots\alpha_{k})$ von
  $\mathfrak{G}$ sind die\\ \underline{symmetrischen Funktionen}.\\[5mm]
5.\quad \underline{Aufgabe}: Grad $\mathfrak{G}=p$, alle inv Funktionen $f$
  aufstellen, die einen Ring erzeugen (bezgl $+\,\cdot\,*$), in dem jede
  invar. Funktion von nur $k$ Argumenten symmetrisch ist. Nur solche $f$
  k"onnen [durchgestrichen: nur] auftreten als def. Relationen einer nur
  $(k-1)$-fach tra Gr; (\underline{$k=2,3$}).\\[5mm]
6.\quad Bei zweistelligen Relationen ist auf die Ordnung zu achten:
  kleinster Expon. $n$, f"ur den $(\alpha,\alpha)\in\mathcal{R}^{n}$.\\[5mm]
7.\quad $\mathfrak{G}$ stark pri $\to$ alle Tragebiete L"ange 1, oder
  $|\Omega|$.\\[5mm]
8.\quad Die mit $\mathfrak{G}$ vertr"agl. tern"aren Rel. sind Funktionen
  $f(xyz)$. F"ur Tripel von solchen Funktionen existiert eine nat"urliche
  Verkn"upfung:
\[fgh(xyz)=\sum\limits_{\alpha\beta\gamma}f(x\gamma\alpha)g(\gamma
  y\alpha)h(\beta\alpha z)\]     
Was f"ur alg Struktur hat dieser \glqq Tern"arring\grqq\,?\\[4mm]
\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(2,2)\thicklines
\put(0,0){\line(1,0){2}}\put(-0.1,-0.2){y}\put(0.9,-0.2){$\alpha$}
\put(1.9,-0.2){z}\put(0.4,0.2){g}\put(1.4,0.2){h}
\put(0,0){\line(2,3){1}}\put(2,0){\line(-2,3){1}}\put(0.5,0.75){\line(1,0){1}}
\put(0.5,0.75){\line(2,-3){0.5}}\put(1,0){\line(2,3){0.5}}
\put(0.9,0.95){f}\put(0.2,0.75){$\gamma$}\put(1.65,0.75){$\beta$}
\put(0.9,1.6){x}
\end{picture}
\begin{flushright}202/203\end{flushright}
\begin{center}$\,{\lhd\lhd}\,,\,\,|\mathfrak{G}|=\infty$~~~~~~~[h:] 1960 [:h] \end{center}
1.\quad Das Erzeugnis von endlich vielen $(k)$ endlichen subnormalen
  Untergruppen $\mathfrak{A}_{i}$ ist endlich ($i=1,\ldots,k$)\\[5mm]
Bew mit Induktion nach der maximalen \glqq Tiefe\grqq\,\,oder
  $\mathfrak{A}_{i}$ unter ihrem Erzeugnis:\\
\begin{tabular}{cll}max Tiefe & $=1\to$ &
  $\mathfrak{A}_{i}\lhd\mathfrak{G}$ trivial\\ $\prime\prime$ & $=t>1$: & Indukt[ion] nach
  Anzahl $k$ \\&&der erz. subnormalen Ugr:\end{tabular}\\
$k=1$ trivial.
\[\big<\mathfrak{A}_{1}\ldots\mathfrak{A}_{i-1}\,\,\mathfrak{A}_{i+1}
\ldots\mathfrak{A}_{k}\big>=\mathfrak{B}_{i}\]
ist nach Indukt endlich, also ist die Anzahl der $\mathfrak{A}_{i}^{B}$,
($B\in\mathfrak{B}_{i}$) endlich; und da ihre Tiefe in \underline{ihrem}
Erzeugnis $\le t-1$ ist, ist
$\big<\mathfrak{A}_{i}^{B}\big>_{B\in\mathfrak{B}_{i}}$ endlich,
dh. $\mathfrak{A}_{i}^{\mathfrak{H}}$ endl[ich]; wenn
$\mathfrak{H}=\big<\mathfrak{A}_{1}\ldots\mathfrak{A}_{k}\big>$, 
aber $\mathfrak{H}=\prod\mathfrak{A}_{i}^{\mathfrak{H}}$.\newline
[h:] Nicht in Specht, Kurosh 1 [:h]\\[5mm]
2.\quad Allgemeiner: Endlich viele endliche [h:] Komplexe aus periodischen
El. [:h] $\mathfrak{M}_{i}$ erzeugen eine endl. Gruppe, wenn
$\mathfrak{M}_{i}$ normal in einer subnormalen Ugr $\mathfrak{A}_{i}$ von
$\mathfrak{G}$.\newline
[h:] dh. $\mathfrak{M}_{i}$ als Komplex $\lhd$ Ugr $\mathfrak{A}_{i_{1}}
\lhd\mathfrak{A}_{i_{2}}\lhd\ldots\lhd\mathfrak{A}_{i_{l}}=\mathfrak{G}$.
[:h]
\begin{flushright}203/204\end{flushright}

3.\quad Es gilt wohl: Ist $\mathfrak{A},\,\mathfrak{B}\,{\lhd\lhd}\,\mathfrak{G}$
  und $|\mathfrak{B}|<\infty$, so
  $\big<\mathfrak{A},\mathfrak{B}\big>\,{\lhd\lhd}\,\mathfrak{G}$. \anmerk\\[5mm]
4.\quad $\mathfrak{A},\,\mathfrak{B}\,{\lhd\lhd}\,\mathfrak{G}$, Maxbedgg gilt f"ur
  die in $\mathfrak{G}$ subnormalen unter den Erzeugnissen
  $\big<\mathfrak{A}^{B_{1}},\ldots,\mathfrak{A}^{B_{n}}\big>\Rightarrow\big<
\mathfrak{A},\,\mathfrak{B}\big>\,{\lhd\lhd}\,\mathfrak{G}$.\\[5mm]
5.\quad $\left\{\begin{array}{l}\mathfrak{G}\,\,\textnormal{erf"ulle Maxbedgg
  f"ur subnorm Ugr.}\\\textnormal{Sei}\,\,\mathfrak{G}\,\,\textnormal{eine 
Permutationsgr.},\,\mathfrak{A}\,{\lhd\lhd}\,\mathfrak{G},\\
\mathfrak{A}\le\mathfrak{G}_{1},
\,\,\mathfrak{G}\,\,\textnormal{pri. Dann ist}\,\,\mathfrak{A}=1.\end{array}
\right.$\\[5mm]
Bew: W"ahle $\mathfrak{A}$ maximal. Dann $\mathfrak{A}\lhd\mathfrak{G}_{1}$,
ferner $\mathfrak{A}\lhd\mathfrak{A}_{1}\lhd\ldots\lhd\mathfrak{G}$ also
  $\mathfrak{A}_{1}\not\le\mathfrak{G}_{1}$, daher 
$\mathcal{N}\mathfrak{A}\ge\big<\mathfrak{G}_{1},\mathfrak{A}_{1}\big>
=\mathfrak{G}$\\[5mm]
$5^{\prime}$.\quad Statt Primitivit"at von $\mathfrak{G}$ gen"ugt folg. Vor:
  $\mathfrak{G}_{1}$ erzeugt mit jeder nicht in $\mathfrak{G}_{1}$ liegenden
  \underline{subn. Ugr.} von $\mathfrak{G}$ zusammen $\mathfrak{G}$.
\begin{flushright}204/205\end{flushright}

\begin{center}$\,{\lhd\lhd}\,$\end{center}
6.\quad Aufgabe: Schranke f"ur
  $|\big<\mathfrak{A}_{1},\ldots,\mathfrak{A}_{n}\big>|$ suchen, wenn
  $\mathfrak{A}_{\nu}\,{\lhd\lhd}\,\mathfrak{G}$ und $|\mathfrak{A}_{\nu}|$
  gegeben.\\[5mm] 
7.\quad Frage: Kann bei $|\mathfrak{G}|=\infty$ und
  $\mathfrak{A}_{\nu}\,{\lhd\lhd}\,\mathfrak{G}$ vorkommen, da"s
  \[\mathfrak{H}=\big<\mathfrak{A}_{1},\ldots,\mathfrak{A}_{n}\big>
=\mathcal{N}\mathfrak{H}<\mathfrak{G}?\]~\\[5mm]
8.\quad Frage: Wenn $\mathfrak{A}\,{\lhd\lhd}\,\mathfrak{G}$ und $\mathfrak{P}$
  $p$-Sy Gr $\mathfrak{G}$, ist dann $\mathfrak{APA}$ Gruppe
  (dh. $\mathfrak{PAP}\le\mathfrak{APA}$?)\\[5mm]
9.\quad Hainzl hat gezeigt: $\mathfrak{A},\,\mathfrak{B}\,{\lhd\lhd}\,\mathfrak{G}$,
  $\mathfrak{A}$ hat $\Delta$-Kopf "uber
  $\mathfrak{A}\cap\mathfrak{B}\to\mathfrak{A}\vee\mathfrak{B}$ hat
  $\Delta$-Kopf "uber $\mathfrak{B}$. Das
  kann man so versch"arfen: Es gebe, von oben
  angefangen, in $\mathfrak{A}$ "uber $\mathfrak{A}\cap\mathfrak{B}$ $k$
  einfache $\Delta$-Faktorgruppen hintereinander. Dann gibt es in
  $\mathfrak{A}\vee\mathfrak{B}$, von oben angefangen, mindestens $k$
  $\Delta$-Faktorgr "uber $\mathfrak{B}$.\\[5mm]
Bew: OBdA $j(B,\,A\cap B)=1$. Entweder hat man\\[4mm]
\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(10,2)\thicklines
\put(1.5,0){\line(-1,1){1.5}}\put(1.5,0){\line(2,1){0.5}}
\put(2,0.25){\line(-1,1){0.5}}\put(1.5,0.75){\line(-1,2){0.6}}
\put(0,1.5){\line(2,1){0.9}}
\put(1,0.5){\line(2,1){0.5}}\put(0.7,-0.4){$\mathfrak{A}\cap\mathfrak{B}$}
\put(2.2,0.25){$\mathfrak{B}$}\put(1.8,-0.2){1}
\put(0.5,0.3){$\mathfrak{A}^{*}$}\put(1.3,0.35){1}
\put(-0.3,1.5){$\mathfrak{A}$}\put(1.6,1.25){\shortstack[r]{
[h:] $\swarrow$ Bew f"ur
  $\mathfrak{A}^{*}\vee\mathfrak{B}$ mit\\ eink"opf. [:h] ~}} 
  \end{picture}\\[5mm]
  oder\\[5mm]
  \setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(10,2)\thicklines
\put(2,0){\line(-1,1){1.5}}
\put(2,0){\line(2,1){0.5}}%
\put(2.5,0.25){\line(-2,3){0.5}}
%\put(2,1){\line(-2,-1){0.67}}%
%%%%%%%%%%%%%%
\put(2,1){\line(-2,-1){0.3}}%
\put(1.65,0.83){\line(-2,-1){0.3}}%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\put(0.5,1.5){\line(2,1){0.67}}%
%%%%
\put(0.5,1.5){\line(2,1){0.30}}
\put(0.86,1.66){\line(2,1){0.30}}
%%%%
\put(1.17,1.835){\line(1,-1){0.83}}
\put(1.3,-0.3){$\mathfrak{A}\cap\mathfrak{B}$}
\put(2.65,0.2){$\mathfrak{B}$}
\put(0.2,1.5){$\mathfrak{A}$}
\put(0.8,0.4){$\mathfrak{A}^{*}$}  
\end{picture}\\[5mm]
wobei $\mathfrak{A}^{*}=\mathfrak{A}_{\Delta}.\mathfrak{A}
\cap\mathfrak{B}$\newline
[h:] Folge: $\mathfrak{A}:\mathfrak{A}\cap\mathfrak{B}$ \&
$\mathfrak{A}\vee\mathfrak{B}:\mathfrak{B}$ haben absteigende
$\Delta-\bar{\Delta}$-Ketten desselben Typs.
\begin{flushright}205/206\end{flushright}

\begin{center}\begin{tabular}{c}\underline{Intravariante Hallgruppen.}\\
\underline{Starre Untergruppen.}\end{tabular}\end{center}
1.\quad Def: Sei $\mathfrak{S}\le\mathfrak{G}$. $\mathfrak{S}$ heisst starr
in $\mathfrak{G}$, wenn zu jedem $\mathfrak{S}^{\prime}\le\mathfrak{G}$ mit
$\mathfrak{S}^{\prime}\cong\mathfrak{S}$ ein $g$ mit
$\mathfrak{S}^{\prime}=\mathfrak{S}^{g}$ existiert. Schreibe
$\mathfrak{S}\stackrel{s}{\le}\mathfrak{G}$.\\[5mm]
2.\quad $\mathfrak{S}$ starr in $\mathfrak{G}\to\mathfrak{S}$
intravariant.\\[5mm]
3.\quad Verallgemeinerung der Sylowturmgruppen: Die Gruppe
$\mathfrak{S}$ heisse starr auf\-l"os\-bar, wenn eine endl. Kette
\[1=\mathfrak{S}_{0}\le\mathfrak{S}_{1}\le\mathfrak{S}_{2}\le\ldots
\le\mathfrak{S}_{l}=\mathfrak{G}\]
existiert, derart dass 
\[\left\{\begin{array}{l}\mathfrak{S}_{i}/\mathfrak{S}_{i-1}\,\,
\textnormal{starr in}\,\,\mathfrak{G}/\mathfrak{S}_{i-1}\\
|\mathfrak{S}_{i}/\mathfrak{S}_{i-1}|=p_{i}^{\sigma_{i}}.\end{array}\right.\]
\begin{flushright}206/207\end{flushright}

4.\quad Jede Sylowturmgruppe ist starr aufl"osbar.\\[5mm]
5.\quad Nicht jede starr aufl"osbare Gr hat Sylowturm:\\
$\begin{array}{rrl}5 & \to &
  \overbrace{\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(1,0.3)\thicklines
\put(-0,0){\line(1,0){1}}\put(-0,0.2){\line(1,0){1}}\end{picture}}^{
\textnormal{Zykl Ord 4}}\\ 2 & \{ & \,\,\,\,|\,\,|\,\,|\,\,|\,\,|\end{array}$
$|\mathfrak{G}|=2^{7}\cdot 5$: Erweit[er]u[n]g von $\{2\,2\,2\,2\,2\}$ mit
einer nicht ab. Gr. des Grades 5, Ord 20. $\mathfrak{G}$ enth"alt keine zu
$\{2\,2\,2\,2\,2\}$ isomorphe weitere Ugr.\\[5mm]
6.\quad Jede starr aufl"osbare Hallgr von $\mathfrak{G}$ ist starr in
$\mathfrak{G}$.\\[5mm] 
Bew: Sei auch $1=\mathfrak{S}_{0}^{\prime}<\mathfrak{S}_{1}^{\prime}<\ldots<
\mathfrak{S}_{l}^{\prime}$ wo
$\mathfrak{S}_{\lambda}^{\prime}=\mathfrak{S}_{\lambda}$. Da
$\mathfrak{S}_{l}$ eine $p_{1}$-Sylowgr von $\mathfrak{G}$ enthält, kann man
$\mathfrak{S}_{1}^{\prime}$ mittels eines $g\in\mathfrak{G}$ in
$\mathfrak{S}_{1}$ "uberf"uhren. OBdA sei
$\mathfrak{S}_{1}^{\prime}=\mathfrak{S}_{1}$. Dann sind
$\mathfrak{S}_{l},\,\mathfrak{S}_{l}^{\prime}$ in
$\mathcal{N}\mathfrak{S}_{1}$, Indukt. durch "Ubergang zu
$\mathcal{N}\mathfrak{S}_{1}/\mathfrak{S}_{1}$.
\begin{flushright}207/208\end{flushright}

\begin{center}[h:] Intravariante $\pi$-Hallgruppen: [:h]\end{center}
$\left[\begin{array}{rl}7. & \textnormal{Sei}\,\,\mathfrak{C} 
\,\,\textnormal{charakt in}\,\,\mathfrak{G}.\,\textnormal{Sei}\,\,
  \mathfrak{H}\le\mathfrak{G},\,\,\mathfrak{H}\cap\mathfrak{C}
\,\,\textnormal{eine intrav}.\,\,\pi-\textnormal{Hallgr von}\,\,\mathfrak{C}, 
\\ & \mathfrak{H}\bmod{\,\mathfrak{C}}\,\,\textnormal{eine intrav}.\,\, 
\pi-\textnormal{Hallgr von} 
\,\,\mathfrak{G}\bmod{\,\mathfrak{C}}.\,\textnormal{Dann ist}\,\,
\mathfrak{H}\,\,\textnormal{eine intrav}.\\ &  \pi-\textnormal{Hallgr von}
\,\,\mathfrak{G}.\,\textnormal{vorausgesetzt, dass}\,\,
  \mathfrak{H}\bmod{\,\mathfrak{C}}\,\,\textnormal{aufl"osb. oder}\\ & 
 \mathcal{N}(\mathfrak{H}\cap\mathfrak{C})\cap\mathfrak{C}
\big/{\mathfrak{H}\cap\mathfrak{C}}\,\,\textnormal{aufl. [h:] 
vermutlich "uberfl"ussig: Zassenhaus [:h]} \end{array}\right.$\\[5mm]
Bew: [h:] $\mathfrak{H}$ ist $\pi$-Hallgr von $\mathfrak{G}$, da
$|\mathfrak{H}|=|\mathfrak{H}\cap\mathfrak{C}||\mathfrak{H}
\,\,\bmod{\mathfrak{C}}|$ und ebenso Indizes. [:h] Ist $\alpha$ ein Aut. von
$\mathfrak{G}$, so ist $\mathfrak{H}^{\alpha
  G}\equiv\mathfrak{H}\bmod{\,\mathfrak{C}}$ f"ur ein $G\in\mathfrak{G}$. Also
oBdA $\mathfrak{G}:\mathfrak{C}$ eine $\pi$-Gruppe:
$\mathfrak{H}^{\alpha}\equiv\mathfrak{H}\bmod{\,\mathfrak{C}}$. Ferner gibt es
$C\in\mathfrak{C}$ mit $\left(\mathfrak{H}^{\alpha}\cap\mathfrak{C}
\right)^{C}=\mathfrak{H}\cap\mathfrak{C}$,\\
$\begin{array}{lrl}\textnormal{also oBdA \anmerk} &
  \mathfrak{H}^{\alpha}\cap\mathfrak{C}=\mathfrak{H}\cap\mathfrak{C},\\
\textnormal{dann ist das} &  &
\lhd\big<\mathfrak{H},\,\mathfrak{H}^{\alpha}\big>.\\ \textnormal{Also oBdA} &
\underbrace{\mathfrak{H}\cap\mathfrak{C}=\mathfrak{H}^{\alpha}
\cap\mathfrak{C}}\lhd\mathfrak{G}.\\\textnormal{Nun rechne mod} & & 
\textnormal{,da
  ist}\,\,\mathfrak{H}\,\,\textnormal{und}\,\,\mathfrak{H}^{\prime}\,\,
\textnormal{je eine Vertretergr}\end{array}$\\ zu dem
Normalteiler $\mathfrak{C}$ und $\mathfrak{H}\cap\mathfrak{C}$, dessen Ord und
Index teilerfremd sind.
\begin{flushright}208/209\end{flushright}
8.\quad \begin{tabular}[t]{lccl}Sei $\mathfrak{C}\underset
{\textnormal{char}}{\lhd}\mathfrak{G}$; &
$\mathfrak{C}$ & enthalte eine\\ intrav. $\pi$-Hallgr $\mathfrak{C}_{\pi}$, &
$\mathfrak{G}/\mathfrak{C}$ &enthalte eine& $\pi$-Hallgr $\mathfrak{H}/\mathfrak{C}$.
\end{tabular}\\ 
Dann enth"alt $\mathfrak{G}$ wenigstens eine $\pi$-Hallgr $\mathfrak{G}_{\pi}$
mit 
\[\mathfrak{G}_{\pi}\equiv\mathfrak{H}\bmod{\,\mathfrak{C}},\,\,\mathfrak{G}
_{\pi}\cap\mathfrak{C}=\mathfrak{C}_{\pi}.\]
8a.\quad Zusatz: Wenn $\mathfrak{H}\bmod{\,\mathfrak{C}}$ aufl"osbar ist, dann
sind je zwei solche $\mathfrak{G}_{\pi}$ konjugiert in
$\mathfrak{G}\cap\mathcal{N}\mathfrak{C}_{\pi}$.\\[5mm] 
9.\quad $\begin{array}[t]{lrrcl}\textnormal{Sei} & \mathfrak{C}
\underset{\textnormal{char}}{\lhd}\mathfrak{G}; &
\mathfrak{C}\,\,\textnormal{enthalte eine intrav.} &
\pi-\textnormal{Hallgr.}\\
\mathfrak{C}_{\pi}, &   \mathfrak{G}/\mathfrak{C} & \textnormal{eine 
\underline{aufl"osbare} intrav.} & \scriptstyle{\prime\prime}  &
\mathfrak{H}/\mathfrak{C}.\end{array}$\\
Dann enth"alt $\mathfrak{G}$ intravariante $\pi$-Hallgruppen. Jede
$\pi$-Hallgr $\mathfrak{G}_{\pi}$ von $\mathfrak{G}$ mit den Eigenschaften
$\mathfrak{G}_{\pi}\equiv\mathfrak{H}\bmod{\,\mathfrak{C}},\,\mathfrak{G}_{\pi}
\cap\mathfrak{C}=\mathfrak{C}_{\pi}$ ist in $\mathfrak{G}$ intravariant.\\[5mm]
Bew: 7, 8. [h:] Genauer fassen, wie 10! [:h]
\begin{flushright}209/210\end{flushright}

10.\quad Satz: Sei $1=\mathfrak{G}_{0}\begin{array}[t]{l}\underset{c}{<}
\mathfrak{G}_{1}\underset{c}{<}\\\uparrow\\\textnormal{charakt.}\end{array}
\ldots\underset{c}{<}\mathfrak{G}_{l}=\mathfrak{G}$;
jede FGr. $\mathfrak{G}_{\lambda}/\mathfrak{G}_{\lambda-1}$ enthalte eine
intrav. $\pi$-Hallgr. $\mathfrak{H}_{\lambda}/\mathfrak{G}_{\lambda-1}$, und
f"ur $\lambda\ge 2$ seien sie aufl"osbar. Dann enth"alt $\mathfrak{G}$ eine Gruppe $\mathfrak{H}$ mit
$\mathfrak{H}\cap\mathfrak{G}_{\lambda}/\mathfrak{G}_{\lambda-1}
=\mathfrak{H}_{\lambda}/\mathfrak{G}_{\lambda-1}$; jede solche Gruppe
$\mathfrak{H}$ ist eine intravar. $\pi$-HGr. $\mathfrak{G}$.\\[5mm]
Bew: 9, Indukt. nach $l$. [h:] Erg"anzung: 12 [:h]\\[5mm]
11.\quad Sei $\mathfrak{N}\lhd\mathfrak{G}$. Seien
$\mathfrak{H},\,\mathfrak{H}^{\prime}$ zwei $\pi$-Hallgr. von $\mathfrak{G}$
ist $\mathfrak{H}\bmod{\,\mathfrak{N}}$ aufl.\\ und $\left\{\begin{array}{l}
\mathfrak{H}\cap\mathfrak{N}\,\,\textnormal{intrav in}\,\,\mathfrak{N}.\\
\textnormal{oder}\,\,\mathfrak{H}^{\prime}\cap\mathfrak{N};\,\textnormal{[h:]
das ist gleichwertig, wenn}\,\,\mathfrak{H}\cap\mathfrak{N}\,\,
\textnormal{konj}\,\,\mathfrak{H}^{\prime}\cap\mathfrak{N}\,\,
\textnormal{[:h]}.\end{array}\right.$\\
Genau dann sind
$\mathfrak{H},\,\mathfrak{H}^{\prime}$ konj in $\mathfrak{G}$, wenn
\marginpar{Gilt!}  
\[\left\{\begin{array}{l}\mathfrak{G},\,\mathfrak{H}^{\prime}
\bmod{\,\mathfrak{N}}\,\,\textnormal{konj in}\,\,\mathfrak{G}/\mathfrak{N}\\
\mathfrak{H}\cap\mathfrak{N}\,\,\textnormal{konj zu}\,\,
\mathfrak{H}^{\prime}\cap\mathfrak{N}\,\,\textnormal{in}\,\,\mathfrak{N}.
\end{array}\right.\]
Bew: a) \glqq Dann\grqq\,: oBdA $\left\{\begin{array}{l}\mathfrak{H}
\bmod{\,\mathfrak{N}}=\mathfrak{H}^{\prime}\bmod{\,\mathfrak{N}}\\
\mathfrak{H}\cap\mathfrak{N}=\mathfrak{H}^{\prime}\cap\mathfrak{N}
\end{array}\right.$\\
Nun Zassenhaus.
\begin{flushright}210/211\end{flushright}

b) \grqq Nur dann\grqq\,: "Ahnl. in $\mathfrak{G}$ und $\mathfrak{N}$ ist
   klar.\\ $\begin{array}{lcl}\mathfrak{H}^{\prime}\cap\mathfrak{N}
\,\,\textnormal{entsteht aus} & \mathfrak{H}\cap\mathfrak{N} & 
\textnormal{durch Aut. von}\,\,\mathfrak{N},\\\textnormal{ist also zu} &
   \ldots & \textnormal{konj in}\,\,\mathfrak{N}.\end{array}$\\[5mm]
12.\quad Sei $\mathfrak{G}_{\pi}$ eine belieb. $\pi$-Hallgr von $\mathfrak{G}$
   unter den Vor. von 10. Genau dann ist $G_{\pi}$ konj zu $\mathfrak{H}$ in 
$\mathfrak{G}$,\\
$\begin{array}{lccc}\textnormal{wenn der} & \textnormal{Ausschnitt von} &
   G_{\pi} & \textnormal{in}\,\,\mathfrak{G}_{\lambda}/\mathfrak{G}
_{\lambda-1}\\\textnormal{konj. zum} &  \prime\prime\qquad\prime\prime  & \mathfrak{H} & 
\prime\prime\qquad\qquad.\end{array}$\\[5mm]
Bew: 11, Ind nach $l$.\\
NB: Die Intravarianz von $\mathfrak{H}$ und $\mathfrak{G}_{l-1}$ wird dabei
   nicht benutzt. Also 10 besser so formulieren, dass zun"achst nur
   Intrav. f"ur $\lambda\le l-1$ vorausgesetzt wird, mit Zusatz: Wenn auch 
$\mathfrak{H}_{l}\bmod{\,\mathfrak{G}_{l-1}}$ intrav., so $\mathfrak{H}$ in
   $\mathfrak{G}$.\\[5mm]
(12a) $\sharp$ Def: $\omega$-Intravarianz\\
 $U$ $\omega$-invariant in $G$, wenn zu jedem $\omega$-Autom $\sigma$ von $G$
   ein $s\in G$ existiert, so dass $\sigma s^{-1}=\tau$ ein $\omega$-Aut. mit
   $U^{\tau}=U$ ist.
\begin{flushright}211/212\end{flushright}

\begin{center}[h:] Intravariante Hallgr. [:h]\end{center}
13.\quad Sei $\mathfrak{G}=\mathfrak{A}_{1}\times\mathfrak{A}_{2}\times\cdots
\times\mathfrak{A}_{r}$.\\
$\mathfrak{H}\textnormal{ sei eine }\pi-\textnormal{ Hallgr von }\mathfrak{G}$. Dann ist\\
$\mathfrak{H}_{\rho}=\mathfrak{H}\cap\mathfrak{A}_{\rho}$ eine $\pi$ - Hallgr von $\mathfrak{A}_{\rho}$, und wenn $\mathfrak{H}$ intrav $\mathfrak{G}$, so $\mathfrak{H}_{\rho}$
 intrav. $\mathfrak{A}_{\rho}$.\\[5mm]
Umkehrung:\\
14.\quad Sei $\mathfrak{G}=\mathfrak{A}_{1}\times\mathfrak{A}_{2}\times\cdots
\times\mathfrak{A}_{r}$. $\mathfrak{A}_{\rho}$ sei direkt unzerlegbar. Jedes
$\mathfrak{A}_{\rho}$ enth. eine $\pi$-Hallgr $\mathfrak{H}_{\rho}$. Dann ist
$\mathfrak{H}_{1}\times\cdots\times\mathfrak{H}_{r}$ eine
$\pi$-Hallgr. $\mathfrak{G}$.\\[5mm]
15.\quad $Z$ zentraler Autom. von $\mathfrak{G}$, $\mathfrak{H}$ $\pi$-Hallgr
von $\mathfrak{G}$
\[\to\mathfrak{H}^{Z}=\mathfrak{H}.\]
Bew:\\
\setlength{\unitlength}{1mm}
\begin{picture}(30,30)
\put(10,0){\line(0,1){20}}
\put(9,0){\line(1,0){2}}
\put(9,5){\line(1,0){2}}
\put(9,10){\line(1,0){2}}
\put(9,15){\line(1,0){2}}
\put(9,20){\line(1,0){2}}
\put(15,5){$\scriptstyle\mf{Y}=\pi\mf{Z}$}
\put(15,10){$\scriptstyle\mf{Z}=Z(\mf{G})$}
\put(4,15){$\scriptstyle\mf{H}$}
\put(40,7.5){$\begin{cases}\mf{HZ}\text{ enth nur}\\\text{eine }\pi\text{ - Hallgr} \end{cases}$}
\end{picture}\\[5mm]
%$\begin{array}{c}\mathfrak{H}\\|\\\mathfrak{Z}=Z(\mathfrak{G})\\
%|\\\mathfrak{Y}=\pi\mathfrak{Z}\\|\end{array}\left\{\begin{array}{l}
%\mathfrak{H}\mathfrak{Z}\,\,\textnormal{enth nur}\\\textnormal{eine}\,\,\pi-
%\textnormal{Hallgr}\end{array}\right.$\\[5mm]     
Volle Umk. v. 13:\\
16.\quad Sei
$\mathfrak{G}=\mathfrak{A}_{1}\times\cdots\times\mathfrak{A}_{r}$.
Jedes $\mathfrak{A}_{\rho}$ enthalte eine intrav. $\pi$-Hallgr
$\mathfrak{H}_{\rho}$, und wenn $\mathfrak{A}_{\rho}\cong\mathfrak{A}$
 so gebe es einen Isom $\mathfrak{A}_{\rho}\to\mathfrak{A}_{\sigma}$, der
$\mathfrak{H}_{\rho}\stackrel{\sigma}{\to}\mathfrak{H}_{\sigma}$.\\
Dann ist $\mathfrak{H}=\mathfrak{H}_{1}\times\ldots\times\mathfrak{H}_{r}$ eine
\underline{intrav.} $\pi$-Hallgr $\mathfrak{G}$.\\[5mm]
Bew: a) Alle $\mathfrak{A}_{\rho}$ seien isomorph : 
\begin{eqnarray*}\mathfrak{A}_{\rho} & = & \mathfrak{A}_{1}^{\tau_{\rho}}\\
\mathfrak{H}_{\rho} & = & \mathfrak{H}_{1}^{\tau_{\rho}}.\end{eqnarray*}
\begin{flushright}212/213\end{flushright}

Sei $\sigma$ ein Autom von $\mathfrak{G}$. Es gibt eine Permutation
$\rho\to\rho^{\prime}$ und einen \underline{zentralen} Autom. $\zeta$ von
$\mathfrak{G}$ mit
$\mathfrak{A}_{\rho}^{\sigma\zeta}=\mathfrak{A}_{\rho^{\prime}}$.\\[5mm]
$\begin{array}{rcll}
\mathfrak{H}^{\sigma} & = & \mathfrak{H}^{\sigma\zeta}
=\bigtimes\mathfrak{H}_{\rho}^{\sigma\zeta} & =\bigtimes\mathfrak{H}
_{\rho^{\prime}}^{A_{\rho^{\prime}}}=(\bigtimes\mathfrak{H}_{\rho})
^{\pi A_{\rho^{\prime}}}.\\ & \uparrow & & \uparrow\\ & 15 & & \textnormal{
[h:] nach Vor. ex. Isom.}\,\,\lambda,\,\mathfrak{A}_{\rho}\stackrel{\lambda}
{\to}\mathfrak{A}_{\rho^{\prime}}\\&&&\textnormal{der}\,\,\mathfrak{H}_{\rho}
\to\mathfrak{H}_{\rho^{\prime}}\textnormal{"uberf., also ist}\\&&&\lambda^{-1}\sigma\zeta\,\,\textnormal{ein
  Aut. von}\,\,\mathfrak{A}_{\rho^{\prime}},\,\textnormal{der}
\,\,\mathfrak{H}_{\rho^{\prime}}\,\,\textnormal{in}
\,\,\mathfrak{h}_{\rho}^{\sigma\zeta}\,\,\qquad \prime\prime\,\,
\textnormal{[:h]}\end{array}$\\
b) Alle $\mathfrak{A}_{\rho}$ direkt unzerlegbar. Dann fasse die isomorphen
zusammen:
\begin{eqnarray*}\mathfrak{G} & = & \mathfrak{G}_{1}\times\mathfrak{G}_{2}
\times\cdots\times\mathfrak{G}_{k}\\\mathfrak{G}_{\kappa}=
\bigtimes\mathfrak{A}_{\kappa\rho_{\kappa}}\end{eqnarray*}
Jedes $\mathfrak{G}_{\kappa}$ ist char in $\mathfrak{G}$ und hat nach a) eine
intrav. $\pi$-Hallgr $\mathfrak{H}_{\kappa}$. Es gilt aber:\\[5mm]
17.\quad Hilfssatz: Ist
$\mathfrak{G}=\mathfrak{G}_{1}\times\cdots\times\mathfrak{G}_{k}$,
$\mathfrak{G}_{\kappa}$ char in $\mathfrak{G}$, und ist $\mathfrak{H}_{\kappa}$
intrav. in $\mathfrak{G}_{\kappa}$, so $\mathfrak{H}=\bigtimes\mathfrak{H}_{\kappa}$ intrav
$\mathfrak{G}$.\\[5mm]
Bew klar.
\begin{flushright}213/214\end{flushright}

19.\quad\underline{Satz}: Jede Kompfaktorgr von $\mathfrak{G}$ enthalte eine
   aufl"osbare intrav. $\pi$-Hallgr. Dann auch $\mathfrak{G}$ selbst. 
[h:] Erg"anzung: 20 [:h]\\[5mm]
Bew: W"ahle $\mathfrak{G}^{*}=\bigcap$ max Normalteiler von
   $\mathfrak{G}$. Dann $\mathfrak{G}/\mathfrak{G}^{*}=\bigtimes$ einfache
   Gr. Nach 16 enth"alt $\mathfrak{G}/\mathfrak{G}^{*}$ eine
   aufl. intrav. $\pi$-Hallgr., und nach Induktion auch
   $\mathfrak{G}^{*}$. Rest mit 9: $\mathfrak{G}^{*}=\mathfrak{C}$ nehmen.
\\[5mm] [h:] jetzt erst starr aufl"osb. Hallgr ausschliessen 
(1)-(6) [:h]\\
$19^{\prime}$.\quad Beispiel: Jede Kompf.gr von $\mathfrak{G}$ enthalte eine
   starr aufl"osbare $\pi$-Hallgr. (z.B. einen $\pi$-Sylowturm irgend welcher
   Anordnung). Dann enth $\mathfrak{G}$ eine intrav. $\pi$-Hallgr.\\[5mm]
20.\quad $\mathfrak{G}$ enthalte eine $\pi$-Hallgr. $\mathfrak{G}_{\pi}$, die
   in einer bestimmten Kompreihe von $\mathfrak{G}$ jede
   Kompfaktorgr. aufl"osbar intravariant schneidet und zwar isomorphe
   [h:] vertauschbare dicke [:h] KFG in \grqq konjugierten\grqq\,\,Schnitten!
Dann tut sie es mit jeder Kompreihe von $\mathfrak{G}$ und ist intravariant in
   $\mathfrak{G}$.\\[5mm]
Bew: a) nur dicke interessieren, Deckgruppe,\\b) 16, 9.
\begin{flushright}214/215\end{flushright}

F"ur Bew 20 wird man 16 nur im Sonderfall isomorpher \underline{einfacher}
Faktoren brauchen. Aus $\left\{\begin{array}{l}20\\19\end{array}\right.$ wird
      dann umgekehrt ein Bew f"ur 16 folgen.\\[5mm]
21.\quad Frage: $A\,{\lhd\lhd}\, G$ enthalte eine aufl. intrav. $A_{\pi}$. Tuts
$A^{G}$ dann auch?\\[5mm]
22.\quad $\mathfrak{G}$ enthalte eine Gr. $\mathfrak{S}$, die die Auschnitte
einer char. Kette von $\mathfrak{G}$ in intravarianten $\pi$-Sylowgruppen
schneidet. Dann ist $\mathfrak{S}$ eine intrav. $\pi$-Sylowgr. von
$\mathfrak{G}$ falls Zassenhaus-Verm. f"ur alle Ausschnitte von $\mathfrak{G}$
stimmt oder die intrav. $\pi$-Sy Gruppen aufl"osbar vorausgesetzt werden.\\[5mm]
23.\quad Enth"alt jede KFG von $\mathfrak{G}$ eine
intravar. aufl. $\pi$-Sylowgruppe, so auch $\mathfrak{G}$ selbst. Bew wie 19,
mit dem Hilfssatz: von 22-23
\begin{flushright}215/216\end{flushright}

24.\quad $\mathfrak{T}$ sei eine $\pi$-Sy-Gr von $\mathfrak{H}$. Dann
   ist $\mathfrak{T}$ eine $\pi$-Hallgruppe von $\mathcal{N}\mathfrak{T}$. Das ist bei 23 anzuwenden auf
\[
\mathfrak{T}=\big<\mathfrak{S}_{1},\,\mathfrak{S}_{2}\big>\cap\mathfrak{C},
\quad\text{wo }\mathfrak{C}<\!c\,\,\mathfrak{G},\,\,\mathfrak{S}_{1}
\cap\mathfrak{C}=\mathfrak{S}_{2}\cap\mathfrak{C}.\]
25.\quad Ein Normalteiler von $\mathfrak{G}$, der eine $\pi$-Sylowgruppe von
$\mathfrak{G}$ enth"alt, kann einen Index in $\mathfrak{G}$ haben, der einen
Primteiler aus $\pi$ enth"alt.\\ Z.B. $N=G_{168}$ erweitern durch Aut. der Ord
2 der die beiden Klassen der $G_{24}$ vertauscht.\\[5mm]
$25^{\prime}$.\quad Die normale H"ulle einer $\pi$-Sy-Gr kann
$\neq\pi\mathfrak{G}$ sein.\\[5mm]
26.\quad Vielleicht gen"ugt bei 23 auch die folgende Aufl-Forderung: Ist
$\mathfrak{K}$ Komp Faktor Gr. von $\mathfrak{G}$, so
$\mathfrak{K}\ge\mathfrak{S}=\pi$-Sylowwgr mit
$\mathcal{N}\mathfrak{S}/\mathfrak{S}$ aufl"osbar.
\begin{flushright}216/217\end{flushright}

\begin{center} Schwach vertauschbare Untergr.\end{center}
1.\quad Def. In der endl. Gruppe $\mathfrak{G}$ heissen die Untergruppen
  $\mathfrak{A}_{1}\ldots\mathfrak{A}_{n}$ schwach vertauschbar, wenn  
$\mathfrak{H}=\big<\mathfrak{A}_{1},\ldots,\mathfrak{A}_{n}\big>
=\mathfrak{BC}$ ist mit \underline{echten} Ugr $\mathfrak{B},\,\mathfrak{C}$,
  die ihrerseits Erzeugnisse geeigneter schwach vertauschbarer Konjugierter
  $\mathfrak{A}_{i}^{H_{i}},\,H_{i}\in\mathfrak{H}$ sind.\newline
[h:] Besser: subkommutatives Produkt $^{s}\prod\mathfrak{A}_{\nu}$ siehe
  4. [:h]\newline 
Aufgabe: Arithmetische u Normalstrucktur unters. Insbesondere Verhalten von
  Indizes.\\[5mm] 
2.\quad Sind $\mathfrak{A}_{1},\ldots,\mathfrak{A}_{n-1}\,{\lhd\lhd}\,\mathfrak{G}$
  und $\mathfrak{A}_{n}\le\mathfrak{G}$, so sind
  $\mathfrak{A}_{1},\ldots,\mathfrak{A}_{n}$ schwach vertauschbar; man kann
  sie (mit Vielfachheiten $\ge 1$) so beklammern (4),
\marginpar{$\gets$ Daher nor\-mal per\-sis\-tent $\Rightarrow$ subn. pers.\\
$\downarrow$\\ sogar\\ $\big<A_{1}\ldots A_{n}B\big>$\\ ist ein sub-\\komm \\$\prod$
ge\-wi\-sser \\$A_{i}^{g_{i}}$, B.\\ wenn \\$A_{i}\in sG$ \& \\ $B\le G$}  
dass immer nur Produkte wechselseitig normaler Gruppen zu bilden sind.\\[5mm]
3.\quad Schwache Vertauschbarkeit bleibt bei Homom. erhalten.\\[5mm]
4.\quad Bessere Def des $^{s}\prod\limits_{A\in\mathfrak{A}}A$: es soll eine
  Nummerierung $1\ldots n$ geben (wenn $|\mathfrak{A}|=n$), und darin eine
  Beklammerung von $A_{1}A_{2}\ldots A_{n}$, so dass man bei jedem Schritt
  nur das Produkt von zwei vertb. Gruppen bilden muss. Dann ist klar: 
\[|^{s}\prod A|\le\prod |A|.\]
[h:] Forts: 219 [:h]
\begin{flushright}217/218\end{flushright}

\begin{center}$\pi$-Sylowzonen.\end{center}
1.\quad Dual zu den $\pi$-Sylowuntergruppen $\mathfrak{G}_{\pi}$ von
  $\mathfrak{G}$, den maximalen $\pi$-Gruppen, sollte man die minimalen
  Untergruppen $\mathfrak{G}^{\pi}$ mit $\pi^{\prime}$-Index betrachten. Dem
  Bereich zwischen $\mathfrak{G}^{\pi}$ und einem darin enthaltenen
  $\mathfrak{G}_{\pi}$ k"onnte man eine \underline{Sylowzone} von
  $\mathfrak{G}$ nennen. $\pi=$
  Breite=$\log|\mathfrak{G}^{\pi}:\mathfrak{G}_{\pi}|$. Breite 0 gibt die
  $\pi$-Hallgruppen.\\
Aufgabe: S"atze "uber $\pi$-Breiten in Erzeugnissen von subnormalen
  Untergruppen, und dergl.
\begin{center}"Uberaufl"osbare Gruppen.\end{center}
2.\quad Frage: Zu jedem $g\in G$ gebe es eine Untergr. $H$:
  $g\in H\underset{p}{<}G$. Ist dann $G$ "uberaufl"osbar?
\begin{flushright}218/219\end{flushright}
\begin{center} Subkomm. Produkte ($\to$ 217)\end{center}
1.\quad Ist $P$ eine $p$-Sy Gr von $^{s}\prod\limits_{1}^{n}A$, so kann man
  die $A$ derart durch $A^{g}$ ($g=g(A)\in\prod A$) ersetzen, da"s $P$ zu
  allen $A$ \glqq passt\grqq\,, dh. $P\cap A$ $p$-Sygr von $A$.\\[5mm]
Bew: Indukt. $n$.%\\[5mm]
\marginpar{$|$ [h:] Verhalten\\ $|$ der In-\\di\-zes [:h]}
2.\quad [h:] Hier wohl $|G|\le\infty$ zugelassen! [:h]  Existiert $G=^{s}\prod A_{\nu}$, und ist $B_{\nu}\le A_{\nu}$, so ist
  $|G:\big<B_{\nu}\big>|\mid\prod|A_{\nu}:B_{\nu}|$.
Es gen"ugt das f"ur $n=2$ zu beweisen. Da ist $G=A_{1}A_{2}$. F"ur jedes $g\in
  G$ ist $g=a_{1}a_{2}^{-1}$, also
\begin{eqnarray*}|B_{1}gB_{2}| & = & |B_{1}a_{1}a_{2}^{-1}B_{2}|=
  |B_{1}^{a_{1}}\cdot B_{2}^{a_{2}}|\\ & = &
   \frac{|B_{1}||B_{2}|}{|B_{1}^{a_{1}}\cap B_{2}^{a_{2}}|}=
\frac{|B_{1}||B_{2}|}{|A_{1}\cap A_{2}|}\cdot m_{g},\end{eqnarray*}
$m_{g}$ ganz, $m_{g}\mid|A_{1}\cap A_{2}|$. Wegen
   $\big<B_{1}B_{2}\big>=\sum\limits_{g}B_{1}gB_{2}$ f"ur geeignete $g$ ist 
\begin{eqnarray*}|\big<B_{1},\,B_{2}\big>| & = &
   \frac{|B_{1}||B_{2}|}{|A_{1}\cap A_{2}|}\cdot m,\quad m=\sum m_{g}\\
|A_{1}A_{2}:\big<B_{1}\cdot B_{2}\big>| & = & \frac{|A_{1}||A_{2}|
\cdot|A_{1}\cap A_{2}|}{|B_{1}||B_{2}|}\,m
=\frac{|A_{1}||A_{2}|}{|B_{1}||B_{2}|}\,m\end{eqnarray*}
[h:] Aufg: Bau von $m$ genauer ansehen! [:h]
\begin{flushright}219/220\end{flushright}

3.\quad Jede symmetrische $\mathfrak{S}^{n}$ ist subkommutatives Produkt von
  zyklischen Gruppen. Man baut $\mathfrak{S}^{n}$ ab:
  $\mathfrak{S}^{n}=\mathfrak{S}^{n-1}\cdot\big<a_{n}\big>$. Also "uber
  Normalstruktur wird nicht viel zu sagen sein bezgl $^{s}\prod A_{\nu}$.
Aber "uber arithm. Struktur oder unter arithm. Zusatzvoraussetzungen.\\[5mm]
4.\quad Ist eine Eigenschaft \grqq kommutativ-
persistent\grqq\,\,so ist sie \glqq subkommutativ-persistent\grqq\,.\\[5mm]
5.\quad Wenn in $G=AB$ der $\pi$-Sy Satz gilt, enthalten $A,\,B$ 
vert[ausch]bare $\pi$-Hallgruppen. Wenn er auch in allen Teilprodukten gilt,
  so ist $G_{\pi}$ mit passenden Konj. $A_{\nu}^{g_{\nu}}$ vertr"aglich, wie
  in 1.\\[5mm]
6.\quad Ist $\mf{A}_{1},\,\mf{A}_{2}\in s\mf{G}$, 
$\mf{B}_{i}\le\mf{A}_{i}$ und geht $p$ in
  $|\mf{A}_{1}:\mf{B}_{1}|$ nicht auf, so ist
  $\underset{\substack{~~~~~~~~~~~~~\uparrow\\\text{[h:] \glqq soweit $p$
  betroffen ist\grqq\,. [:h]}}}{|\big<\mf{A}_{1}\mf{A}_{2}\big>:\big<\mf{B}_{1},
\mf{B}_{2}|\underset{p}{\mid}|\mathfrak{A}_{2}:\mathfrak{B}_{2}|}\,$ \\ Wenn z.B.
  $(|\mathfrak{A}_{1}:\mathfrak{B}_{1}|,|\mathfrak{A}_{2}
:\mathfrak{B}_{2}|)=1$ ist, so ist
  $|\big<\mathfrak{A}_{1}\mathfrak{A}_{2}\big>:\big<\mathfrak{B}_{1}
\mathfrak{B}_{2}\big>|\mid\prod\limits_{1}^{2}|A_{i}:B_{i}|$\\[5mm]
[h:] Bew: $\big<\mathfrak{A}_{1}\mathfrak{A}_{2}\big>
=\mathfrak{A}_{1}^{\mathfrak{A}_{2}}\cdot\mathfrak{A}_{2}$. [:h]
\begin{flushright}220/221\end{flushright}

7.\quad Das Erzeugnis $E$ beliebiger $\pi$-Hallgr. der $A_{i}$ hat
  $\pi$-freien Index in $^{s}\prod A_{i}$.\\
  Ist $E$ $\pi$-Gruppe, so $\pi$-Hallgr.\\[5mm]
Bew: 2. \\[5mm]
8.\quad $\mathfrak{A}_{1},\,\mathfrak{A}_{2}\in s\mathfrak{G}$,
  $|\mathfrak{A}_{i}|=p^{\alpha}\alpha_{i}n_{i}$ $(n_{1},\,n_{2})=1$
\[\Rightarrow|\big<\mathfrak{A}_{1}\mathfrak{A}_{2}\big>|\mid
  p^{\gamma}n_{1}n_{2}.\qquad\qquad(6)\]
W"ahle  $\mf{B}_i=\mathfrak{A}_{i}\cap\mathfrak{P}=\mathfrak{P}_{i}$.
Daher ist
$|\mathfrak{A}_{1}^{\mathfrak{P}_{2}}:\mathfrak{P}_{1}^{\mathfrak{P}_{2}}|
\mid n_{1}$.\\[5mm]
\marginpar{\small{[h:] \anmerk Satz \anmerk}\\[5mm]$\mathcal{N}\mathfrak{A}$\\[5mm] nichts\\[5mm] Neues\\[5mm]
s.u. [:h] }
9.\quad Vor 8 \& $\mathfrak{A}_{1}$ hat keinen Kopf der Ordnung 
$p\Rightarrow\mathfrak{A}_{1}^{\mathfrak{P}_{2}}=\mathfrak{A}_{1}$ dann 
$|\mathfrak{A}_{1}^{\mathfrak{A}_{2}}|=p^{\xi}\cdot n_{1}$, also 
\[|\mathfrak{A}_{1}^{\mathfrak{A}_{2}}:\mathfrak{A}_{1}|=p^{\xi-\alpha_{1}}
\to\xi=\alpha_{1}\to\mathfrak{A}_{1}^{\mathfrak{A}_{2}}
=\mathfrak{A}_{1}\]
10.\quad $\mathfrak{A}_{1},\,\mathfrak{A}_{2}\in s\mathfrak{G}$,
$\mathfrak{G}=\big<\mathfrak{A}_{1}\mathfrak{A}_{2}\big>$. 
$\mathfrak{G}$ enthalte  eine
$\pi$-Hallgr.
$\mathfrak{G}_{\pi};\,\mathfrak{A}_{i\pi}=\mathfrak{A}_{i}\cap\mathfrak{G}_{\pi}$.
Wenn $(|\mathfrak{A}_{1}:\mathfrak{A}_{1\pi}|,\,|\mathfrak{A}_{2}
:\mathfrak{A}_{2\pi}|)=1$ ist und $\mathfrak{A}_{1}$ keinen $\pi$-Kopf hat,
dann ist 
\[\mathfrak{A}_{1}^{\mathfrak{A}_{2}}=\mathfrak{A}_{1}.\]
Bew: $|\mathfrak{A}_{1}^{\mathfrak{A}_{2}}:\mathfrak{A}_{1}|=\pi$-Zahl.\\
$\sharp$ Das folgt schon aus {\large\textcircled{\raisebox{-0.2pt}{\normalsize5}}} Satz 25.\\[5mm]
11.\quad Frage: Sei $A\le G$, und jedes Erzeugniss
   $\big<A^{g}\big>_{g\in K}$ sei 
subkommutatives Produkt gewisser $A^{h}$. Ist dann $A\in sG$?
\begin{flushright}221/222\end{flushright}

11.\quad $\mathfrak{A}_{1}\in s\mathfrak{G}$,
   $\mathfrak{A}_{2}\le\mathfrak{G}$,
   $\mathfrak{B}_{i}\le\mathfrak{A}_{i}\to$
\[|\big<\mathfrak{A}_{1},\,\mathfrak{A}_{2}\big>:\big<\mathfrak{B}_{1},
\,\mathfrak{B}_{2}\big>|\mid|\mathfrak{A}_{1}:\mathfrak{B}_{1}|
^{|\mathfrak{A}_{2}|}\cdot|\mathfrak{A}_{2}:\mathfrak{B}_{2}|,\]
\underline{wenn} $\mathfrak{A}$ perfekt.\\[5mm]
Bew: $\big<\mathfrak{A}_{1}\mathfrak{A}_{2}\big>=[\prod\begin{array}[t]{l}
\mathfrak{A}_{1}^{A_{2}}]\cdot\mathfrak{A}_{2}.\\\downarrow\\
\textnormal{vertauschbar, da perfekt}\end{array}$\\[5mm]
12.\quad In manchen S"atzen "uber subnormales $\mathfrak{A}$ wird die
Vorauss. gen"ugen, da"s $\mathfrak{A}^{\cdot\cdot\mathfrak{G}}$ (oder
$\mathfrak{A}^{\cdot\cdot\mathfrak{B}}$) ein subkomm. Produkt der darin
enthaltenen Konjugierten von $\mathfrak{A}$ ist.\\[5mm]
13.\quad Aufgabe: Satz von Baer auf subnormale Ausschnitte "ubertragen: Aus
$K_{i}\le H_{i}\unlhd G,\,\,K_{i}\unlhd G$ folgt: 
\[|H_{1}\circ H_{2}:K_{1}\circ K_{2}|\mid
|H_{1}:K_{1}|^{\infty}|H_{2}:K_{2}|^{\infty}\] 
[steht in Ausarbeitung Hall, bei Huppert ] \glqq Nilpotent
groups\grqq
\begin{flushright}222/223\end{flushright}

\begin{center}Aus Vortrag Higman, Florenz \underline{60, April} 11-13:
\end{center}
1.\quad Eine variety besteht aus allen
  Gruppen, in denen ein festes System von ident. Relationen gilt,
  =abgeschl. bez"uglich Untergr, Faktorgr., direkte (vollstd.) Produkte. 
Eine endl. Gruppe heisse critical, wenn $\notin$ variety 
generated by its proper \grqq factors\grqq\,\,(= \glqq
  Ausschnitte\grqq\,).\\ 
  D.C. Cross hat u.a. gezeigt: Wenn eine $p$-Gruppe
  d. Klasse $c$ kritisch ist, l"asst sie sich durch $c$ Elemente erzeugen.\\[5mm]
2.\quad Aus Vortrag B. Sansone: Picard scheint Gruppen diskontinuierlich
  gemacht zu haben, indem er aus der komplexen Ebene in den Poincare'schen
  Halbraum ging.\\[5mm]
3.\quad \underline{Probl. Zappa}: Kann eine Nebenklasse einer $p$-Sylowgr
  \underline{lauter} $p$-Elemente enthalten?\\[5mm]
4.\quad \underline{Problem von Morin}:\\
Geg eine nichtabelsche Gruppe $G$, geordnet: 
\begin{eqnarray*}G=\{a>0\}\stackrel{\cdot}{\cup} 0\stackrel{\cdot}
{\cup}\{-a>0\}\\ a>0,\,b>0\Rightarrow a+b>0.\\a\ge 0,\,b\ge 0,\,a+b=0
\Rightarrow a=b=0\end{eqnarray*}
$a\to\bar{a}$ sei eine 1-1-Abb. $G\underset{\anmerk}{\to}G$ mit
$a>0\Rightarrow\bar{a}>0$, $\overline{(a+b)}=\bar{b}+\bar{a}$,
$\bar{\bar{a}}=a$. Kann es dann ein $a$ mit $a\neq\bar{a}$ geben?\newline
[h:] An BH Neumann schreiben. [:h] 
\begin{flushright}223/224\end{flushright}

\begin{center}Indizes von Untergruppen\end{center}
1.\quad Ist $A\,{\lhd\lhd}\, G,\,\,B\le G$ und $A\cap B=1$, so ist
  $|A|\cdot|B|\mid|G|$.\\[5mm] 
Bew: $A$ zu Normalreihe von $G$ erg"anzen, $B$ deckt gewisse Ausschnitte und
  nichts von $A$.\\[5mm]
2.\quad Ist $A\,{\lhd\lhd}\, G,\,\,U\le G$, so ist 
\[(A:A\cap U)\mid(G:U)\]
allg: Ist noch $B\,{\lhd\lhd}\, G$, so
\[(B:B\cap U)\mid(A:A\cap U)\]
Bew Induktion nach Tiefe $B$ in $A$.\\[5mm]
3.\quad Ist $\mathfrak{B}_{\rho}\in s\mathfrak{A}_{\rho}$, so ist
$\bigcap\mathfrak{B}_{\rho}\in s\bigcap\mathfrak{A}_{\rho}$ und
$|\bigcap\mathfrak{A}_{\rho}:\bigcap\mathfrak{B}_{\rho}|$ teilt
$\prod\limits_{\rho}|\mathfrak{A}_{\rho}:\mathfrak{B}_{\rho}|$.\\    
\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(3,3)\thicklines
\put(1.5,0){\line(1,1){1}}\put(1.5,0){\line(-1,1){1}}
\put(1.5,0){\line(0,1){1.5}}\put(2.5,1){\line(0,1){1.5}}
\put(0.5,1){\line(0,1){1.5}}\put(1.5,1.5){\line(1,1){1}}
\put(1.5,1.5){\line(-1,1){1}}\put(0,1){$\mathfrak{B}_{1}$}
\put(2.7,1){$\mathfrak{B}_{2}$}\put(2.7,2.5){$\mathfrak{A}_{2}$}
\put(0,2.5){$\mathfrak{A}_{1}$}\put(1.5,0.5){\line(2,1){1}}
\put(1.5,0.5){\line(-2,1){1}}\put(1.5,0.75){\line(1,1){1}}
\put(1.5,0.75){\line(-2,1){1}}\put(1.5,1){\line(2,3){1}}
\put(1.5,1){\line(-2,1){1}}\put(1.5,0.25){\line(4,3){1}}
\put(1.5,1.25){\line(-2,1){1}}
\end{picture}
Z.B.: $\mathfrak{A},\,\mathfrak{B}\in
u\mathfrak{G}\to(\mathfrak{A}\cap\mathfrak{B})^{p}\le\mathfrak{A}^{p}
\cap\mathfrak{B}^{p}$ (klar)\\[5mm]
"Ahnlich:\\
4.\quad Enth"alt  $\Lambda$ neben jeder einfachen Gr. auch deren einfache
Ausschnitte, so
$\mathfrak{A},\,\mathfrak{B}\le\mathfrak{G}\to(\mathfrak{A}\cap
\mathfrak{B})^{\Lambda}\le\mathfrak{A}^{\Lambda}\cap\mathfrak{B}^{\Lambda}$. 
[h:] Klar, da
$\mathfrak{C}\le\mathfrak{A}\to\mathfrak{C}^{\Lambda}
\le\mathfrak{A}^{\Lambda}$. [:h]
\begin{flushright}224/225\end{flushright}

[rot durchgestrichen:
\begin{center}Konjugiertheit nilpotenter Untergruppen.\end{center}
1.\quad 14.5. Carter hat mit Bew. gezeigt: $G$ $A$-Gruppe $\to$ je zwei
  nilpot. Ugr $H_{i}$, die eigener $\mathcal{N}$ sind, sind konjugiert; es gibt solche.
Bew kompliziert. Ich habe ihm geschrieben: Konjugiertheit gilt schon f"ur
  \underline{alle aufl"osbaren} $G$: Indukt. mit $G/M$, wo $M$ ein min NT von
  $\mathfrak{G}$; $|M|=p^{\alpha}$. Man darf annehmen dass\\
 1) jede Obergr. von $H_{i}$ eigener Normalisator;\\
 2) $\big<H_{1}^{g},\,H_{2}^{h}\big>=G$;\\ 
3) $H_{1}M=MH_{2}=G$.\\
4) $H_{i}$ haben $p$-Sy-Komplement $C$ gemeinsam\\
5) Nun zu $G/C$ "ubergehen, ist $p$-Gr, dort $H_{i}$ eig Normalisator, also
  $H_{i}=G$.\\[5mm]
2.\quad Also ist in einer aufl. Gr. $G$ jede Untergr. $H$ mit $H$ nilp,
  $\mathcal{N}H=H$ intravariant. ] \\[5mm]
[ mit Bleistift durchgestrichen:\\
3.\quad Ebenso gilt allgemeiner: Je zwei Untergr. $H_{i}$ eines aufl"osbaren
$G$ sind konjugiert welche maximal bez"uglich d. folgenden Eigenschaften
  sind:\\
1) $H_{i}$ hat einen $\omega^{*}$-Turm (\anmerk$\omega$ -Gruppen)\\
2) $\mathcal{N}H_{i}=H_{i}$.]
\begin{flushright}225/226\end{flushright}

\begin{center}Sylows"atze f"ur unendl. $\mathfrak{G}$\end{center}
Gollberg 1959 (Sp-"Ubersetzg) definiert:\\
$\mathfrak{H}$ ist $\pi$-Sylowgr von $\mathfrak{H}$ $\leftrightarrow$ jede
$p$-Sylowgr von $\mathfrak{H}$ mit $p\in\pi$ ist eine $p$-Sylowgr von
$\mathfrak{G}$.\\
Das sollte man lieber eine $\pi$-Hallgr von $\mathfrak{G}$ nennen.
\begin{flushright}226/227\end{flushright}

12.6.
\begin{center}Subnormalisator\end{center}
1.\quad Auch in aufl"osbaren Gruppen mit Sylowturm gibt es i.a. keinen 
\glqq Subnormalisator\grqq\,. Sei $G=G_{1}\times G_{2}$,
$G_{i}\cong\mathfrak{S}_{3}$, $A\le G_{1},\,\,|A|=2$, $B\le
G_{2},\,\,|B|=3,\,\,S\le G,\,\,|S|=8$. Dann ist $A\in sS,\,\,A\in
s\underbrace{(A\times B)}_{C}$, aber $A\notin s~(S\vee C)$.\\[5mm]
2.\quad Aber in "uberaufl"osbaren Gruppen gibt es einen Subnormalisator, das
hat mir, glaube ich, ein Student gesagt (Orthmann?)
\begin{flushright}227/228\end{flushright}

12.6.[h:] 60 [:h]
\begin{center}Intravarianz\\$p$-Gruppen.
\end{center}
1.\quad Gasch"utz teilt mit: Nenne $G$ gut, wenn\\ 
$\begin{array}[t]{ll}I(G)\le & \Phi\mathfrak{A}(G).\\ | & \quad| \\
\textnormal{innere} & \textnormal{alle Automorphismen von}\,\,G\end{array}$\\
Sei $C$ char. in $G$ und $G$ gut. Dann $C$ gut.\\[5mm]
2.\quad Frage Gasch"utz: Hat jede $p$-Gruppe eine durch $p$ teilbare "aussere
Autom.-Ordnung?\newline
[h:] es gen"ugt: Ztr $G$ zyklisch. Auch das 2. Zentrum hat in treuer
Darst. $\chi=0$ [:h]\newline
2a\quad Ein Beweisansatz von mir: Zeige, dass nicht alle zentralen
Automorphismen von $G$ innere sein k"onnen, z.B. mittels monomialer
Darstellung und Betrachtung der Eigenwerte, oder der Spuren. Das geht z.B. gut
bei der reellen monomialen Gruppe $p$ Kranz $p$, Ord $p^{p+1}$.\\ 
Jede Darstellg, in
der das $p$-Zentrum (dh Ztr $\cap$ Ord $p$)) nicht $\to$ 1 abgebildet wird hat
$\chi(g)=0$ f"ur alle $g\notin\Phi(G)$.\\[5mm]
3.\quad Nach Mycielski, MR $20_{3}$ $\sharp$ 1725, sind je zwei max abelsche
Ugr einer kompakten Gr. konjugiert! also intrav.
\begin{flushright}228/229\end{flushright}

4.\quad Nenne $A^{\prime}\le G$: $G$-automorphes Bild von $A$, wenn 
$\exists_{\alpha}$
$G^{\alpha}=G;\,A^{\prime}=A^{\alpha}$\\
\phantom{4.\quad Nenne $A^{\prime}\le G$:} voll-intravariant, wenn $A$ intravar. ist in jedem\\
\phantom{4.\quad Nenne $A^{\prime}\le G$:} $U$ mit $A\le U\le G$.\\[5mm]
5.\quad Zu 2: Man kann $G=AB$ darstellen, $A,\,B\lhd G$, und, wenn $A\cap B\ge
Z$ mit $|Z|=p,\,Z\le$ Ztr $G$, so kann man $A\stackrel{\alpha}{\to}Z$ und
$B\stackrel{\beta}{\to}Z$ hom abbilden. Wenn dabei beide male $A\circ B\to 1$,
so gibt $(ab)^{\eta}=a^{\alpha}b^{\beta}$ einen Hom von $G$ in $Z$.\\[5mm]
6.\quad Der Ansatz 2a f"uhrt nicht immer zum Ziel, z.B. bei dem direkten
Produkt $G_{1}\times G_{2}\times\cdots\times G_{r}$, wo $|G_{\rho}|=p^{3}$,
$G_{\rho}$ nicht abelsch, mit vereinigten Zentren. [h:] (Hall)
[:h]\\[5mm] 
7.\quad Wenn in jeder KFGr $C^{\lambda}$ alle $\omega$-Sylowgr intravariant
sind, brauchen in $G$ nicht alle $\omega$-Hallgr intrav. zu sein: $G=A\times
B$, wo $A\cong B$ (nur) zwei Klassen nicht isomorpher $\omega$-Hallgruppen
hat.
\begin{flushright}229/230\end{flushright}

\begin{center}Verlagerung\end{center}
1.\quad Ist $\mathfrak{G}$ $p$-normal, $\mathfrak{P}$ $p$-Sy $\mathfrak{G}$,
$\mathfrak{P}^{*}=\mathfrak{P}\cap\mathfrak{G}^{p}$, so ist $\mathfrak{P}^{*}=
\big<\mathfrak{P}\cap\mathcal{N}_{\mathfrak{P}}^{\mathfrak{P}},\,
\mathfrak{P}\cap(\mathcal{C}\underbrace{\mathcal{Z}\mathfrak{P}}
_{\mathfrak{Z}})^{p}\big>$\\[5mm]
Bew: \underline{S.76 Nr 35}: Die
$\mf{d}=\mathfrak{P}\cap\mathfrak{P}_{i}$ mit
$\mathfrak{Z}\not\le\mf{d}$ liefern 1 als Beitrag
$\mf{d}^{\infty}$; die $\mf{d}$ mit $\mathfrak{Z}\le\mf{d}$
liefern etwas in $(\mathcal{C}\mathfrak{Z})^{p}$ ($\mathcal{C}=$
Zentralisator von $\mathfrak{Z}$ in $\mathfrak{G}$). Denn in 76.35 gen"ugt es
f"ur $\mathfrak{N}$ das Erzeugnis der $p$-Sy Gr 
von $\mathcal{N}\mf{d}$ zu nehmen, diese 
zentralisieren $\mathfrak{Z}$.\\[5mm]
2.\quad Allgemein schreibe
$\mathfrak{G}\sim\{\mathfrak{G}_{1},\ldots,\mathfrak{G}_{s}\}$ wo
$\mathfrak{G}_{\sigma}\le\mathfrak{G}$, wenn 
\[\mathfrak{P}\cap\mathfrak{G}^{p}=\big<\mathfrak{P}\cap\mathfrak{G}_{1}^{p},
\,\mathfrak{P}\cap\mathfrak{G}_{2}^{p},\ldots,\mathfrak{P}\cap
\mathfrak{G}_{s}^{p}\big>\]
Dann lautet 1: Wenn $\mathfrak{G}$ $p$-normal, dann
$\mathfrak{G}\sim\{\mathcal{N}\mathfrak{P},\,\mathcal{CZ}\mathfrak{P}\}$.\\[5mm] 
3.\quad Sei $\mathfrak{U}\le\mathfrak{P}$, aus
$\mathfrak{U}\le\mathfrak{P}^{g}$ folge $\mathfrak{U}\unlhd\mathfrak{P}^{g}$;
sei $[\mathfrak{U}\underbrace{\mathfrak{P}\cdots\mathfrak{P}}_{p-1}]=1$.\\
Dann $\mathfrak{G}\sim\{\mathcal{N}\mathfrak{U},\mathcal{N}\mathfrak{P}\}$.\\[5mm]
Bew wie 1.
\begin{flushright}230/231\end{flushright}

4.\quad Satz $76_{35}$ zeigt:
  $\mathfrak{G}\sim\{\mathcal{N}\mathfrak{P},\ldots p\mathcal{N}
\mf{d}_{i}\ldots\}$
  f"ur gewisse $\mf{d}_{i}=\mathfrak{P}\cap\mathfrak{P}_{i}$.\\[5mm]
5.\quad Vielleicht gen"ugt es, statt $p\mathcal{N}\mf{d}_{i}$ irgend
  eine Gruppe $\mathfrak{E}_{i}$ zu nehmen, f"ur die 
\[\mathfrak{E}_{i}\cap\mathfrak{P}_{i}>\mf{d}_{i},\quad
\mathfrak{E}_{i}\cap\mathfrak{P}>\mf{d}_{0}\]
  ist.\\[5mm]
6.\quad Vielleicht kann man statt $p\mathcal{N}\mf{d}_{i}$ in 4 auch den
  Normalisator einer $p$-Sylowgr von $p\mathcal{N}\mf{d}_{i}$ w"ahlen
  (\underline{in} $p\mathcal{N}\mf{d}_{i}$)\\[5mm]
7.\quad Daf"ur, dass eine monomiale Gruppe mit kommutativen Koeff auf die
  Gestalt $\varepsilon\cdot$ Permutation transformiert 
werden kann, ist notwendig (auch
  hinreichend?): Sind die L"angen von [zwei]er Zyklen derselben Matrix
  multiplikativ abh"angig, so gilt die gleiche multiplikative Abh"angigkeit
  zwischen ihren \glqq Determinanten\grqq\,.\\[5mm]
\hspace*{-1.11cm}Zerfall 8.\quad Meine Schlussweise zeigt: Ist $\mathfrak{A}\lhd\mathfrak{G}$,
  $\mathfrak{A}$ abelsch, $\mathfrak{G}_{i}:\mathfrak{A}$ zf,\\
  ggt$(\mathfrak{G}:\mathfrak{G}_{i})=n$, $\mathfrak{A}^{n}=\mathfrak{A}$, 
so zf $\mathfrak{G}:\mathfrak{A}\bmod{\,\underbrace{1^{\frac{1}{n}}}
_{\{a^{n}=1\}}}$\\
Frage: Bew mit Fakt-Systemen
\begin{flushright}231/232\end{flushright}

\begin{center}$a$-Gruppen, Cartergr.\end{center}
$\mathfrak{G}$ sei $a$-Gruppe, $a=a_{1}\cdots a_{k}$; dh. jeder KF von
$\mathfrak{G}$ teilt ein $a_{\kappa}$. $(a_{\kappa},\,a_{\lambda})=1$. $\mathfrak{G}$
\glqq zerf"allt\grqq\,, wenn direktes Produkt von
$a_{\rho}$-Gr. $\mathfrak{C}$ heisse eine Cartergr von $\mathfrak{G}$, wenn\\
a) $\mathfrak{C}$ zerf"allt\quad b) $\mathfrak{C}$ deckt jede zerfallende
 Faktorgr jeder Gr $\mathfrak{G}^{\prime}$ mit
$\mathfrak{C}\le\mathfrak{G}^{\prime}\le\mathfrak{G}$.\\
(1) $\mathfrak{C}$ Cartgr
$\mathfrak{G},\mathfrak{C}\le\mathfrak{H}\le\mathfrak{G}\to
\mathcal{N}\mathfrak{H}=\mathfrak{H}$
denn sonst h"atte $\mathcal{N}\mathfrak{H}$ eine durch $\mathfrak{C}$ nicht
gedeckte zerf. Faktorgr\\
(2) Je zwei Cartergr von $\mathfrak{G}$ sind konj. u A d Zass Verm. Seien
$\mathfrak{C}_{1},\,\mathfrak{C}_{2}$ Cgr, und oBdA stets
$\big<\mathfrak{C}_{1}^{g_{1}},\,\mathfrak{C}_{2}^{g_{2}}\big>=\mathfrak{G}$,
Beh: $\mathfrak{C}_{1}=\mathfrak{C}_{2}$.\\[5mm]
Bew: Sei $\mathfrak{N}$ min. NT von $\mathfrak{G}$, $|\mathfrak{N}|\mid
a_{1}$. Dann sind $\mathfrak{N}\mathfrak{C}_{\rho}/\mathfrak{N}$ Cgr von
$\mathfrak{G}/\mathfrak{N}$, also
$\mathfrak{G}=\mathfrak{N}\mathfrak{C}_{1}=\mathfrak{N}\mathfrak{C}_{2}$ nach
Ind. Sei $\mf{d}_{\rho}$ ein $a_{1}$-Komplement von
$\mathfrak{C}_{\rho}$; ist auch $(a_{2}\cdots a_{k})$-Hallgr von
$\mathfrak{G}$, also konj
\begin{flushright}232/233\end{flushright}

nach Zassenhaus. OBdA $\mf{d}_{1}=\mf{d}_{2}=\mf{d}$, also
$\mf{d}\lhd\mathfrak{G}$. Man kann die $a_{1}$-Hallgr $\mathfrak{F}_{1},
\,\mathfrak{F}_{2}$ in \underline{eine} $a_{1}$-Hallgr von $\mathfrak{G}$
transf, [durchgestrichen: aber ist schon] dann ist
$\big<\mathfrak{F}_{1},\,\mathfrak{F}_{2}\big>\times\mf{d}$ eine
zerf. Obergr. von $\mathfrak{C}_{1},\,\mathfrak{C}_{2}$, also
$=\mathfrak{C}_{1}=\mathfrak{C}_{2}$.\\[5mm]
\begin{tabular}{lc}3.\quad Ist $\mathfrak{C}$ Cgr von $\mathfrak{G}$, 
$\mathfrak{N}$ ein $a_{1}$-NT von $\mathfrak{G}$, so ist $\mathfrak{C}=$ &
N $a_1$-Kpl in $\mathfrak{N}\mathfrak{C}$.\\ 4.\quad $G=$ [Reine] Zerf. hat
Cartgr, n"amlich & $\prime\prime$ \end{tabular}
\begin{flushright}233/234\end{flushright}

Bew: 4: Ist $\mathfrak{N}\lhd\mathfrak{G}$, $\mathfrak{A}$ rein
($\stackrel{\pi=a_{i}}{=\pi-\textnormal{Gr.}}$),
$\mathfrak{G}/\mathfrak{N}$ zerf"allt, so hat $\mathfrak{G}$ eine Cartergr
$\mathfrak{C}$, n"amlich $\mathfrak{C}=\mathcal{N}\mathfrak{G}_{\rho}$\quad
$\rho=\{a_{1}\cdots a_{r},\,\,r\neq i\}$.\\
a) Sei $\mathfrak{C}\le\mathfrak{G}^{*}\le\mathfrak{G}$. $\mathfrak{G}^{*}$ hat
Cartergr $\mathfrak{C}^{*}$, diese enth. ein $\mathfrak{G}_{\rho}^{*}$, das
ist zu $\mathfrak{G}_{\rho}$ unter $\mathfrak{H}$ konj.; daher
$\exists_{h\in\mathfrak{H}}:\,\mathfrak{C}^{*h}\le\mathfrak{C}$. Da
$\mathfrak{C}^{*}$ jede zerf Faktorgr von $\mathfrak{G}^{*}$ deckt, tut
$\mathfrak{C}$ es auch.\\ b) Sei $\mathfrak{G}/\mathfrak{M}$ zerf. Beh:
$\mathfrak{MC}=\mathfrak{G}$ oBdA $\mathfrak{M}\le\mathfrak{N}$ (sonst ist
$|\mathfrak{N}\cap\mathfrak{M}|$.
$\mathfrak{C}=\mathcal{N}\mathfrak{G}_{\rho}$ deckt
$\mathfrak{G}/\mathfrak{M}$, da $\mathfrak{G}_{\rho}$ eine $\rho$-Hallgr. der
Gruppe $\mathfrak{M}\mathfrak{G}_{\rho}\unlhd\mathfrak{G}$
[Zassenhaus].\\[5mm]
5.\quad $\mathfrak{G}$ enth"alt eine Cgr $\mathfrak{C}$. Sei $\mathfrak{N}$
reiner NTeiler, etwa $\pi$-NT von $\mathfrak{G}$ ($\pi=a_{j},\,\rho=$
Rest). Sei $\overline{\mathfrak{C}}/\mathfrak{N}$ Cgr von
$\mathfrak{G}/\mathfrak{N}$, $\mathfrak{C}$ ein $\pi$-Hall-Nt von
$\overline{\mathfrak{C}}$.\\
I. Dann deckt $\mathfrak{C}$ jede \underline{reine}
Faktorgr. $\mathfrak{G}/\mathfrak{R}$ von $\mathfrak{G}$.\\
a) $\mathfrak{N}\le\mathfrak{R}$: $\overline{\mathfrak{C}}$ deckt
$\mathfrak{G}/\mathfrak{R}$, und $\mathfrak{C}$ enth"alt eine $\rho$-Hallgr
von $\mathfrak{C}$, deckt auch.\\
b) dieser Fall liegt insbesondere vor, wenn $|\mathfrak{G}/\mathfrak{R}|$
$\rho$-Gr.
\begin{flushright}234/235\end{flushright}         
 
b) $|\mathfrak{G}/\mathfrak{R}|$ ist eine $\pi$-Gr. $\mathfrak{N}
\not<\mathfrak{R}\to\mathfrak{N}\cap\mathfrak{R}=1$
$[\mathfrak{N}\circ\mathfrak{R}]=1$. Dann ist 
\begin{eqnarray*}\mathfrak{C}_{\rho} & \le & \mathfrak{R}\\ \mathfrak{N} & \le
  & \textnormal{Zs }\mathfrak{C}_{\rho}\\ \mathfrak{N} & \le &
  \mathfrak{C}\end{eqnarray*} 
Aber es ist schon $\mathfrak{N}\mathfrak{R}\mathfrak{C}=\mathfrak{G}$, also
  $\mathfrak{R}\mathfrak{C}=\mathfrak{G}$.\\
II. $\mathfrak{C}$ deckt jede zerfallende Faktorgr von $\mathfrak{G}$. Denn
  zerf"allt $\mathfrak{G}/\mathfrak{K}$, so $\mathfrak{G}/\mathfrak{K}_{i}$
  rein, $\mathfrak{K}_{i}\ge\mathfrak{K}$ $\mathfrak{C}$ deckt, also (Ord
  vgl.) $\mathfrak{C}$ deckt $\mathfrak{G}/\mathfrak{K}$.\\
III. $\mathfrak{C}\le\mathfrak{G}^{*}<\mathfrak{G}\to\mathfrak{C}$ ist
  Cgr von $\mathfrak{G}^{*}$. Ind $|\mathfrak{G}|$:\\ 
  Ist $\mathfrak{N}$ reiner $\pi$-NT in $\mathfrak{G}$,
  $\mathfrak{N}^{*}=\mathfrak{N}\cap\mathfrak{G}^{*}$, so ist (Ind.)
  $\mathfrak{C}\mathfrak{N}^{*}/\mathfrak{N}^{*}$ schon Cgr von
  $\mathfrak{G}^{*}/\mathfrak{N}^{*}$, und
  $\mathfrak{C}=\mathcal{N}\mathfrak{C}_{\rho}$ in
  $\mathfrak{C}\mathfrak{N}^{*}$, also $\mathfrak{C}$ CGr von
  $\mathfrak{G}^{*}$ nach II.\\[5mm]
6.\quad Bessere Def von $\mathfrak{C}$ wohl: $\mathfrak{C}$ zerf"allt und
  deckt jede \underline{reine} FGr jeder Obergr. von $\mathfrak{C}$.\\[5mm]
7.\quad Stets ist
  $g\in\big<\mathfrak{C},\,\mathfrak{C}^{g}\big>=\mathfrak{L}$. Dann
  $\mathfrak{C}^{g}=\mathfrak{C}^{l},\,\mathfrak{C}^{gl^{-1}},\,
g^{l^{-1}}\in\mathfrak{C}$.\\[5mm]
8.\quad Aufgabe: F"ur $a$-Gruppen den Durchschnitt eines Systems von
  $a_{\rho}$ - Komplementen untersuchen. Zerf"allt stets direkt. Was deckt
  er?\\[5mm] 
9.\quad $a$-Gruppen sind besser als $\mathcal{A}$-aufl"osbar zu bezeichnen, wo
  \[\mathcal{A}=\{\omega_{1},\,\omega_{2},\ldots,\omega_{r}\},\]
$\omega_{\rho}\cap\omega_{\sigma}=\emptyset$, $\omega_{\rho}$ die Primteiler
  von $a_{\rho}$.
\begin{flushright}235/236\end{flushright}

10.\quad Aufgabe: Theorie der $\mathcal{A}$-System Normalisatoren in
   $\mathcal{A}$-aufl"osbaren Gruppen. (Def 9) unter Vorauss der
   Zassenhaus-Vermutg; dies k"onnte in $\mathcal{A}$ aufgenommen werden: In
   jedem Ausschnitt von $\mathfrak{G}$ soll jeder
   $\cup\omega_{\rho}$-Sylowsatz gelten.\\[5mm]
11.\quad In einer $p$-aufl"osbaren Gruppe meidet der Normalisator eines
   $p$ - Komplements $\mathfrak{Q}$ jeden exzentrischen $p$-Hauptfaktor. OBdA
   sei $\mathfrak{N}$ ein minimaler $p$-Normalteiler von $\mathfrak{G}$. Dann
   ist f"ur jedes $1\neq z\in$ Ztr $\mathfrak{P}\cap\mathfrak{N}$
   $\big<z^{Q_{i}}\big>=\mathfrak{N}$, ferner $z^{\sum
   Q_{i}}\in$ Ztr $\mathfrak{P}$, daher $z^{\sum Q_{i}}=1$, also $n^{\sum
   Q_{i}}=1$ f. alle $n\in\mathfrak{N}$. Daher folgt aus $n^{Q}=n$ f alle $Q$:
   $n=1$.\\[5mm] 
12.\quad Vielleicht gibts zu jedem Teilsystem
   $\mathcal{A}^{\prime}\subseteq\mathcal{A},\,\,\mathcal{A}^{\prime}=\{\omega_{1}\ldots\omega_{s}\}$,
   eine $\mathcal{A}^{\prime}$-Deckgruppe in $\mathfrak{G}$, die alle reinen
   $\omega_{\sigma}$-Faktorgruppen jeder Obergruppe deckt und eine zerfallende
   $\mathcal{A}^{\prime}$-Gr. ist.
\begin{flushright}236/237\end{flushright}

Wenn es so eine $\mathcal{A}^{\prime}$-Deckgr gibt, ist wohl Deckgr. in
jeder sie enthaltenden $\mathcal{A}^{\prime}$-Hallgr von $\mathfrak{G}$.
\begin{flushright}237/238\end{flushright}

\begin{center}\begin{tabular}{c}Vollst"andige Permutationsgruppen,\\
Geometrie dazu.\end{tabular}\end{center}
1.\quad Man kann nicht erwarten, da"s zu jeder Permutationsgruppe eine
ordentliche Geometrie gemacht werden kann; aber Aussichten bestehen vielleicht
f"ur diejenigen 2-tra Gruppen die durch \underline{eine 3-Relation} $R$
definiert werden k"onnen: Deute diese als Kollinearit"at. Gibt
Inzidenzstruktur, wenn aus $(\alpha\,\beta\,\gamma)\in R$,
$(\beta\,\gamma\,\delta)\in R$ folgt $(\alpha\,\beta\,\delta)\in R$, und $R$
symm.
\begin{flushright}238/239\end{flushright}

\begin{center}Meromorphismen $\mu$ von $\mathfrak{G}$\end{center}
1.\quad sind nach einer Bemerkg von P Hall nichts anderes als Untergruppen
  $\mathfrak{M}$ von $\mathfrak{G}\times\mathfrak{G}$. Zusammenhang mit Remaks
  Bezeichnungen?\\[5mm]
2.\quad Eine Abbildg $a$ von $\mathfrak{G}$ in sich ist mit $\mu$ vertauschbar
  ist, genau wenn $g\times h\in\mathfrak{M}\to g^{a}\times
  h^{a}\in\mathfrak{M}$.\\[5mm]
3.\quad Ist $a$ mit $\mathfrak{M}_{1}$ und $\mathfrak{M}_{2}$ vertauschbar
  (besser: vertr"aglich), so auch mit
  $\mathfrak{M}_{1}\cap\mathfrak{M}_{2}$. Ferner, wenn
  $\bigcup\mathfrak{M}_{\rho}=\mathfrak{M}$ wieder eine Gruppe, folgt aus
  $\mathfrak{M}_{\rho}^{ac}=\mathfrak{M}_{\rho}$ auch
  $\mathfrak{M}^{a}=\mathfrak{M}$.\\[5mm] 
4.\quad Die Abb. $\mathfrak{G}\to\mathfrak{G}$, die gewisse
  $\mathfrak{M}_{\rho}\le\mathfrak{G}\times\mathfrak{G}$ in sich "uberf"uhren,
  bilden einen Fastring: 
\begin{eqnarray*}g\times h\in\mathfrak{M}_{\rho}\to g^{a_{i}}\times
  h^{a_{i}}\in\mathfrak{M}_{\rho}\\\to g^{a_{1}\pm a_{2}}\times
  h^{a_{1}\pm a_{2}}\in\mathfrak{M}_{\rho},\,\,g^{a_{1}a_{2}}\times
  h^{a_{1}a_{2}}\in\mathfrak{M}_{\rho}\end{eqnarray*}
5.\quad Ebenso aber bilden auch die $a$ einen Fastring, welche gewisse
  Untergruppen von
  $\mathfrak{G}\times\mathfrak{G}\times\cdots\times\mathfrak{G}$ fest lassen!
  Braucht man wirklich nur $\mathfrak{G}\times\mathfrak{G}$ zur Beschreibung
  eines gegebenen FRgs?
\begin{flushright}239/240\end{flushright}

\begin{center}Meromorphismen (Fortsetzg)\end{center}
6.\quad Die mit einem FRg $R$ vertr Ugr
  $\mathfrak{M}\le\mathfrak{G}_{1}\times\mathfrak{G}_{2}$ bilden einen Verband
  $M$, da $\mathfrak{M}_{1}\cap\mathfrak{M}_{2}\in M$.\\ 
  \underline{Sei stets $1\times 1\in M$}.\\[5mm]
7.\quad $M$ enth"alt zu einem subdirekten Prod. von $\mathfrak{A}$ und
  $\mathfrak{B}$ stets auch $\mathfrak{A}\times 1$ und
  $\mathfrak{A}\times\mathfrak{B}$, und stets auch das \glqq
  gespiegelte\grqq\,\, subd Produkt von $\mathfrak{B}$ und $\mathfrak{A}$:
  $M=M^{(\mathfrak{G}\,\mathfrak{G})}\searrow$ Vertauschung der beiden Komponenten.
\begin{flushright}240/241\end{flushright}

\begin{center}Perm-Gr. des Grads $p^{2}$.\end{center}
1.\quad \underline{Wenn} $\mathfrak{G}_{12}$ transitiv auf den $p-2$ "ubrigen
  Punkten der Geraden $g_{12}$, dann besteht der \glqq
  "aussere\grqq\,\,Sichtbereich von $1,\,2,\,3\in g_{12}$ aus genau
  $\frac{(k-1)(k-2)(k-3)}{p-2}$ Punkten; also ist $p-2\mid (k-1)(k-2)(k-3)$,
  das schliesst die F"alle $k=8,9,10$ aus ($p-2$ ungerade!)\\[5mm]
3.\quad Stets ist die \underline{mittlere Gr"osse} des "ausseren
  Sichtbereichs von $m$ Punkten einer Geraden gleich
\[\frac{(k-1)(k-2)\cdots(k-m+1)(k-m)}{(p-2)\cdots(p-m+1)}
=\frac{(p-1)(p-m)}{\binom{p-1}{m}}\]
\begin{flushright}241/242\end{flushright}

\begin{center}\underline{Sylows"atze in endl. Gruppen.}\end{center}
\begin{tabular}{lccl}Setze  & $\omega G=$  & Menge der $\omega$-Untergruppen 
 & von $G$\\ & $\omega^{*}G=$ & \quad $\prime\prime$ \qquad $\prime\prime$ \qquad $\prime\prime$ \quad & mit 
$\omega^{*}$-Turm.\end{tabular}\\
Der \glqq \underline{$\omega$-Vereinigungssatz} in G\grqq\,\,besagt, dass in
jeder Untergr von $G$ der $\omega$-Sylowsatz gilt; dh wenn $U,\,V\in\omega G$,
so $\exists h\in\big<U,\,V\big>$: $\big<U^{h},\,V\big>$ ist $\omega$-Gruppe.\\
Notizen von einer Bahnfahrt nach Bonn:\\
1.\quad Je zwei der folgenden Bedingungen ziehen die dritte nach sich:\\
a) $\omega G=\omega^{*} G$,\\
b) eine $G_{\omega^{*}}$ (Hallgr) existiert,\\
c) $\omega$-Sy Satz $G$\\[5mm]
2.\quad Aus 1a folgt nicht 3a: $G=\mathfrak{A}_{5},\,\,\omega=\{3,5\}$.\\[5mm]
3.\quad \begin{tabular}[t]{clcl}Aus & $\omega$-Sy $A$, $\omega$-Sy $B$ &
folgt & $\omega$-Sy $A\times B$\\ $\prime\prime$ & $\omega$-Ver $A$, $\omega$-Ver $B$ & $\prime\prime$ &
$\omega$-Ver $A\times B$\end{tabular}
\begin{flushright}242/243\end{flushright}

4.\quad Gilt aufl-$\omega$ Sy $G/N$ und enth"alt jede KFGr $F$ von $N$
  eine $F_{\omega^{*}}$ und gilt $\omega$-Ver $F$, so gilt aufl. $\omega$ Sy
  $G$.\\
NB: \glqq aufl $\omega$-Sy $G$\grqq\,\,heisst: $\omega$-Sy $G$ \& $G_{\omega}$
  aufl.\\[5mm]
5.\quad $\omega$-Sy $G\to\omega$-Sy $G/N$. $\omega$-Ver
  $G\to\omega$-Ver $G/N$, $\omega$-Ver $H$ ($H\le G$)\\[5mm]
6.\quad Frage: Jede $p$-Sy Gr von $G$ f"ur $p\in\omega$ sei dedekindsch;
  $G_{\omega}$ existiere. Gilt $\omega$-Sy $G$?\\[5mm]
7.\quad Aus $\pi$-Ver $G$ und $\rho$-Ver $G$ folgt $\pi\cap\rho$ Ver $G$.\\[5mm]
8.\quad Aus $\pi$-Sy $G$,
  $\forall_{p\in\pi}\forall_{q\in\rho}\exists\,\,G_{p}\times G_{q}$ folgt
  $(\pi\cup\rho)$- Sy $G$. [h:] (oder vielleicht nur f"ur $\rho=\{q\}$)
  [:h]
\begin{flushright}243/244\end{flushright}

\begin{center}Charaktere\end{center}
1.\quad Die Zahl $c$ heisst ein $A$-Charakter von $\mathfrak{G}$ (wo
  $\mathfrak{G}$ endlich, $A\in\mathfrak{G}$), wenn die Funktion
  $\chi(G)=c_{\mathfrak{G}}$ auf $\mathfrak{G}$, definiert als 
\[\chi(G)=\left\{\begin{array}{ll} c & G\,\,\textnormal{konj
  zu}\,\,A\,\,\textnormal{in}\,\,\mathfrak{G}\\ 0 &
  \textnormal{sonst}\end{array}\right.\]
ein (evtl) uneigentlicher Charakter ist. (dh mit \underline{ganzen}
  alg. Koeff. darstellbar als $\sum c_{\rho}\chi_{\rho}(G)$).\\[5mm]
[durchgestrichen: Satz] 2.\quad Sei $N(A)\le\mathfrak{H}\le\mathfrak{G}$. Dann
  ist jeder $A$-Charakter $c$ von $\mathfrak{H}$ auch einer von
  $\mathfrak{G}$. Und wenn
\[\chi_{\rho}(G)=\sum b_{\rho\lambda}\psi_{\lambda}\quad\left(
\begin{array}{lcl}\chi_{\rho} & \textnormal{einf Char} & \mathfrak{G}\\
\psi_{\lambda} & " \quad " & \mathfrak{H}\end{array}\right)\]
und
\[c_{\mathfrak{H}}=\sum c_{\lambda}\psi_{\lambda},\]
so ist 
\[\left\{\begin{array}{rl}\frac{1}{|\mathfrak{G}|}\sum\limits_{G}
c_{\mathfrak{G}}\cdot\overline{\chi}_{\rho} &
=\sum\limits_{\lambda}\bar{b}_{\rho\lambda}c_{\lambda}\\
\frac{1}{|\mathfrak{G}|}\sum\limits_{G}|c_{\mathfrak{G}}|^{2} &
=\sum\limits_{\lambda}|c_{\lambda}|^{2}\end{array}\right.\] 
\begin{flushright}244/245\end{flushright}

Bew: a) $\frac{1}{g}\sum c_{\mathfrak{G}}(G)\overline{\chi}_{\rho}(G)
=\frac{1}{g}\sum\limits_{i,\nu}\cdots(A^{H_{i}R_{\nu}})$ (wenn 
$\mathfrak{H}=\sum\mathcal{N}\mathfrak{H}\cdot H_{i},\,\,\mathfrak{G}
=\sum\mathfrak{H}R_{\nu}$) also $=\frac{n}{g}\sum\cdots(A^{H_{i}})=\frac{1}{h}
\sum\limits_{H\in\mathfrak{H}}c_{\mathfrak{H}}\overline{\chi}_{\rho}(H)$.\\ 
b) "ahnlich.\\[5mm]
Ebenso beweist man wohl:\newline
[durchgestrichen: Satz] 3.\quad Sei $\gamma_{n}$ eine \underline{f"ur die
  Erzeugenden von $\big<A\big>$} definierte Fkt; sie heisse ein
$\big<A\big>$-Char von $\mathfrak{G}$, wenn 
\[\gamma_{n}^{\mathfrak{G}}(G)=\left\{\begin{array}{ll}\gamma(A^{i}) &
    [(i,g)=1,\,G\,\,\textnormal{konj}\,\,A^{i}\,\,\textnormal{in}\,\,
\mathfrak{G}]\\ 0 & \textnormal{sonst}\end{array}\right.\]
ein uneig. Char. von $\mathfrak{G}$. Sei
$\mathcal{N}\big<A\big>\le\mathfrak{H}\le\mathfrak{G}$. Dann ist jeder
$\big<A\big>$-Char von $\mathfrak{H}$ einer von $\mathfrak{G}$.\\[5mm]
Allgemeiner:\newline
[durchgestrichen: Satz] 4.\quad Sei $\psi$ ein $\left[\ofrac{\textnormal{eig.}}{\textnormal{uneig}}\right]$ Char von $\mathfrak{H}\le\mathfrak{G}$. Sobald
$\psi(H)\neq 0$, sei $\mathcal{N}H\cap\mathfrak{G}\le\mathfrak{H}$, und wenn
$H^{G}\in\mathfrak{H}$, sei schon $H^{G}=H^{M}$: Dann ist 
\[\chi(G)=\left\{\begin{array}{ll}\psi(M) & (G^{T}=H)\\0 &
  \textnormal{sonst}\end{array}\right.\] 
ein $\left[\ofrac{\textnormal{eig.}}{\textnormal{uneig.}}\right]$ Char, von
  $\mathfrak{G}$.\\[5mm]
$4^{\prime}$.\quad Ebenso mit $\psi(H)\neq c$ (wo $c$ beliebig, fest). Denn
  1-Char. ist fortsetzbar [h:] wenden! [:h]
\begin{flushright}245/246\end{flushright}

NB: Die Vor $4^{\prime}$ besagt: Wenn $\psi(H)\neq c$ und
$H^{G}\in\mathfrak{G}$, so $G\in\mathfrak{H}$.\\[5mm]
Also:\\
Satz (5) Sei $\psi$ Char $\mathfrak{H}\le\mathfrak{G}$. Aus 
$\begin{array}[t]{rl}\psi(H) & \neq 0,\\ & \downarrow\\ &
  \textnormal{N.B. Nur $\psi(E)=0$}\\&\text{interessiert daher.}\end{array}$  
$H^{G}\in\mathfrak{H}$ folge $G\in\mathfrak{H}$. Dann ist 
\[\chi(G)=\left\{\begin{array}{cl}\psi(H) & G^{T}=H\\0 & \textnormal{sonst}
\end{array}\right.\]  
ein Char von $\mathfrak{G}$, und wenn
\[\begin{array}{rl}\psi & =\sum c_{\lambda}\psi_{\lambda}\\\chi_{\rho} & =
\sum b_{\rho\lambda}\psi_{\lambda}\end{array}\left(\begin{array}{lcl}
\psi_{\lambda} & \textnormal{einf Char} & \mathfrak{H}\\\chi_{\rho} & " \quad
" & \mathfrak{G}\end{array}\right)\]
so ist 
\begin{eqnarray*}\frac{1}{g}\sum\limits_{G}\chi\overline{\chi}_{\rho} & = &
  \sum \overline{b}_{\rho\lambda}c_{\lambda},\\ \frac{1}{g}\sum\limits_{G}
  |\chi|^{2} & = & \underline{\sum |c_{\lambda}|^{2}}.\end{eqnarray*} 
Bew 2): 
\[\frac{1}{g}\sum\limits_{\mathfrak{G}}|\chi(G)|^{2}=\frac{1}{g}\sum\limits_{
\kappa=1\sim n}n\sum\limits_{[H_{\kappa}]_{\mathfrak{H}}}|\psi|^{2},\]
$n=[\mathfrak{G}:\mathfrak{H}]$, $M_{1}\sim M_{k}$ die Klassen von $\mathfrak{H}$ mit $\psi\neq 0$, denn jedes
$[H]_{\mathfrak{G}}$ mit $\psi\neq 0$ enth"alt genau eine Klasse
$[H]_{\mathfrak{G}}$ und ist $n$-mal so lang
$n=[\mathfrak{G}:\mathfrak{H}]$.\newline
[h:] Anwendungsm"oglichkeit: $\mathfrak{H}=$ Norm einer zykl $p$-Sylowgr;
$\psi_{1}-\psi_{1}^{\sigma}=\psi$ [:h]\newline
(b) Frage: Wenn
$\mathfrak{H}^{*}\lhd\mathfrak{G},\,\,(\mathfrak{G}:\mathfrak{H},\,
\mathfrak{H}:\mathfrak{H}^{*})=1$ und aus $H\in\mathfrak{H}-\mathfrak{H}^{*}$
und $H^{G}\in\mathfrak{H}$ folgt $H^{G}=H^{H_{0}}$: ist dann ein
$\mathfrak{G}^{*}\lhd\mathfrak{G}$ vorhanden mit
$\mathfrak{H}\mathfrak{G}^{*}=\mathfrak{G},\,\,\mathfrak{H}\cap
\mathfrak{G}^{*}=\mathfrak{H}^{*}$?
\begin{flushright}246/247\end{flushright}

\begin{center}Deckgruppen in $\mathcal{A}$-aufl. Gr. [h:] Forts von 237 [:h]
\end{center}
1.\quad Sei $D_{\omega_{1}}\times \overbrace{D_{\omega_{2}}\times\cdots}^{E}$
  eine $\{\omega_{1}\ldots\}$-Deckgr von $G$. Sei $D_{\omega_{1}}\le
  G_{\omega_{1}}$. Dann ist 
\[ND_{\omega_{1}}\cap G_{\omega_{1}}=D_{\omega_{1}}\cdot
\begin{array}[b]{l}\textnormal{Zentralisator}\\\downarrow\\
\underbrace{(\mathcal{Z}D_{\omega_{1}}\cap G_{\omega_{1}}).}_{N}\end{array}\] 
Bew: $E^{N}=F$ gesetzt gibt, da $NF/F$ rein: $NF=D_{\omega_{1}}F$,
dh. $N:D_{\omega_{1}}$ wird gedeckt von $F$. Aber es ist $F\le
\mathcal{Z}D_{\omega_{1}}$.\newline
[h:] Ergänzung: 3 [:h]\\[5mm]
2.\quad Beispiel: Wenn $G_{p}$ eine nichtabelsche Gruppe der Ordng $p^{3}$ und $G$ $p$-auf\-l"os\-bar,
so ist $D_{p}=1$ oder Zentrum $G_{p}$ oder $=G_{p}$ selbst, nie vom Index $p$
in $G_{p}$.\\[5mm]
3.\quad $G$ sei $\mathcal{A}$-aufl,
$\mathcal{A}=\{\omega_{1},\ldots\};\,\,D=D_{\omega_{1}}\times\cdots$
Deckgr. Sei $R$ eine \glqq reine\grqq\,\, ($=\omega_{i}\cdots$)-Untergruppe
von $G$, \underline{$i\neq 1$}, so, dass $R\le\mathcal{N}D_{\omega_{1}}$. Dann
ist $R\le\mathcal{Z}D_{\omega_{1}}$.\\[5mm]
Bew: $E^{R}\le Z=\mathcal{Z}D_{\omega_{1}}$, $D$ deckt $RE^{R}/E^{R}$, das ist
$\omega_{i}$-Gruppe, also $D_{\omega_{i}}$ deckt schon, daher wegen
$D_{\omega_{1}}\le E$ ist
$RE^{R}=E^{R},\,\,R\le\mathcal{Z}D_{\omega_{1}}$.\newline 
[h:] Besser: 4 [:h]
\begin{flushright}247/248\end{flushright}

4.\quad Ist $D_{1}\times D_{2}\times\cdots$ Deckgr in $\mathcal{A}$ Gr $G$, so
  erleidet $D_{1}$ unter $\underbrace{\mathcal{N}D_{1}}_{\mathfrak{N}_{1}}$
  nur innere Autom.: $D_{1}$ intrav in $\mathcal{N}D_{1}$.\\[5mm]
Bew mit $\mathfrak{N}_{1}/E_{1}^{\mathcal{N}D_{1}}$ wo $E_{1}=D_{2}\times
  D_{3}\times\cdots$\\[5mm]
5.\quad Ist $D_{1}\lhd G$, so ist $E_{1}$ eine Deckgr. jedes gr"osseren
  1-Komplements $G^{1}$ von $G$.\\[5mm]
Bew: Jede reine Faktorgr von $G^{1}$ gibt eine von $D_{1}\times G^{1}$.\\[5mm]
6.\quad Frage: Was bedeutet es, wenn die volle Deckgr. einer aufl Gr $G$ a)
  $p$-Gruppe b) abelsch c) zyklisch d) Hallgr von $G$ ist?\\[5mm]
7.\quad Zu 6a c: Ist $D$ eine zykl $p$-Gr, so ist $G^{p}<G$, $|G_{p}|=p$,
  $G_{p}$ macht reg Autgr auf $G^{p}(=p$ Kpl.) [und umgekehrt.] Also ist dann
  $G^{p}$ nilpot
\begin{flushright}248/249\end{flushright}

\begin{center}$k^{*}$-Transitivit"at.\end{center}
Sei Grad $\mathfrak{G}\le\infty,\,\,\mathfrak{G}\,\,k^{*}$-tra; dann ist
$\mathfrak{G}$ $(k-1)^{*}$-tra, wenn $\mathfrak{G}$ wenigstens eine
Untergr. mit einem transitiven Konstituenten des Grades $k$ enth"alt.\newline
[h:] auch $\mathfrak{G}_{1}$ ist dann $(k-1)^{*}$-tra [:h]
\begin{flushright}249/250\end{flushright}

\begin{center}Darstellungstheorie.\end{center}
1.\quad Aufgabe: Die endlichen irreduziblen Gruppen von Matrizen bestimmen,
  von denen jede echte Untergruppe
\begin{center}\begin{tabular}{rl}a) & reduzibel oder\\ b) & sogar abelsch ist.
\end{tabular}\end{center}
\begin{flushright}250/251\end{flushright}

\begin{center}Verlagerung.\end{center}
1.\quad Zum Beweis des \glqq Kompressionssatzes\grqq\,\, braucht man den
  Hilfssatz: Sei $\Phi$ eine \grqq Kette\grqq\, $f_{0}=g\ge
  f_{1}\ge\ldots\ge f_{k}$, dh. $f_{i}$ Funktoren auf $\mathfrak{G}$,
  $|\mathfrak{P}^{f_{i}-1}:\mathfrak{P}^{f_{i}}|\le p$.\\
$\Phi$ sei normal auf $\mathcal{N}\mathfrak{P}$, und sei
  $\mathfrak{Q}\le\mathfrak{P}$; aus $\mathfrak{P}_{j}\ge\mathfrak{Q}$ folge
  $\mathfrak{P}_{j}^{f_{i}}\cap\mathfrak{P}=\mathfrak{P}_{j}
\cap\mathfrak{P}^{f_{i}}$. ($i=1,\ldots,k$) Dann ist $\Phi$ normal auf
  $\mathcal{N}\mathfrak{Q}$.\\[5mm]
Bew induktiv nach $|\mathfrak{P}:\mathfrak{Q}|$ mit\\
2.\quad Genau dann ist $\Phi$ nor $\mathfrak{G}$, wenn $\Phi$ nor
  $\mathcal{N}\mathfrak{P}$ und $\Phi$ sym $\mathfrak{G}$ (anzuwenden auf
  $\mathcal{N}\mathfrak{Q}$ statt $\mathfrak{G}$).\\[5mm]
3.\quad Man sollte Funktoren $f$ betrachten, die von \underline{allen}
  Sylowgruppen von $\mathfrak{G}$ etwas
  abschneiden. $|f|=\prod\limits_{q|g}|\mathfrak{G}_{q}^{f}|$. Ferner sollte
  man fragen, wann $\exists\,\mathfrak{A}\,{\lhd\lhd}\,\mathfrak{G}$,
  $\mathfrak{A}\cap\mathfrak{G}_{q}=\mathfrak{G}_{q}^{f}$?
\begin{flushright}251/252\end{flushright}

4.\quad Man sollte die Einschr"ankung auf Ketten $\Phi$ mit Indizes $p$
  beseitigen, nur [elementar] abelsche Faktorgruppen verlangen.\\[5mm]
5.\quad Frage: Sei $\mathfrak{C}$ charakteristisch in jeder gr"osseren
  $p$-Gruppe. Ist dann jedes $f$ mit $\mathfrak{P}^{f}\ge\mathfrak{C}$
  [durchgestrichen: f"ur das] normal, wenn normal auf
  $\mathcal{N}\mathfrak{C}$?\\[5mm]
6.\quad F"ur $f$ nor $\mathfrak{G}$ gen"ugt zusammen mit $f$ nor
  $\mathcal{N}\mathfrak{P}$, $f\lessdot h$, $h$ nor $\mathfrak{G}$:\\
a) $\mathfrak{P}^{f}\ge\mathfrak{A}$, wo $\mathfrak{A}$ stark abg und $f$ nor
  $\mathcal{N}\mathfrak{A}$\\
Bew: es gen"ugt\\
b) $\mathcal{N}(\mathfrak{P}^{f}\cap\mathfrak{P}_{j})
\cap\mathfrak{P}_{j}>\mathfrak{P}\cap\mathfrak{P}_{j}$\\           
c) $f$ nor $\mathcal{N}\mathfrak{S}$, wo $\mathfrak{S}\cap\mf{d}$ nor in jeder $p$-Gr, welche die $p$-Gr
  $\mf{d}$ norm [unklar]\newline
d) $\mathfrak{P}^{hp}\cap\mathfrak{P}_{j}\le\mathfrak{P}_{j}^{f}$
\begin{flushright}252/253\end{flushright}

e) jedes $p$-freie Element von $\mathcal{N}\mf{d}$ normalisiert jedes
$\mathfrak{E}$ mit $\mf{d}_{i}^{f}\le\mathfrak{E}\le\mf{d}_{i}$.\\
f) $\mathfrak{P}^{f}\ge Q\circ\mf{d}$ f"ur jedes $p$-freie
$Q\in\mathcal{N}\mf{d}$,\\ 
g) Man sollte $\mathfrak{G}$ mittels einer $p$-Gruppe erweitern und
\underline{dann} meinen Ver\-la\-g[er\-ungs] Satz anw.\\
h) $\exists\mathfrak{A}\lhd\mathfrak{P}$, $\forall_{i}$
$\mathfrak{P}_{i}\cap\mathcal{N}(\mathfrak{A}\cap\mathfrak{P}_{i})>
\mathfrak{P}_{i}\cap\mathfrak{P}$,
$f$ nor $\mathcal{N}\mathfrak{A}$\\[5mm]
7.\quad Das \glqq Sylowgruppenargument\grqq\,\,der Kohomologietheorie findet
sich bei Chevalley, Class field Theory, Nagoya $^{\prime}54$ S.42, Th. 7.3,
Cor. Anwendung auf kohom. triviale Moduln: Nakayama, on modules of trivial
cohomology over a finite group. Illinois m. J. 1 (1957)\\[5mm]
8.\quad Beim \glqq Komprimieren\grqq darf man mit einem
\underline{Verkleinerungs}schritt aufh"oren! Man braucht nicht zur normalen
H"ulle zu erweitern (das sowieso nie: h"ochstensmit einzelnen
$N\in\mathcal{N}\mf{d}$ transform.) siehe 10.
\begin{flushright}253/254\end{flushright}

9.\quad Wenn
  $\mathfrak{P}\cap\mathfrak{P}^{G}\left\{\begin{array}{l}=\mathfrak{P}\\
\subseteq Z_{p-1}\mathfrak{P}\end{array}\right.$ so  $\mathfrak{G}\sim\mathfrak{N}=\mathcal{N}\mathfrak{P}$.\\[5mm]
10.\quad Die Kompression ben"utzt nur \glqq Symmetrieeig\grqq\,\, bezglich
  verschiedener Sylowg von $\mathcal{N}\mf{d}$ der Reihe nach, wie
  Transformationen: bilde immer
  $\overline{P}\to\overline{P}^{\mathfrak{P}_{\rho}:\mf{d}}$ f"ur ein
  solches $\rho$, wo $\overline{P}$ einen Faktor $\neq 1$ hat. Dabei kann
  $\prod\overline{P}=1$ vorausgesetzt werden von Anfang an und
  $\overline{P}\in\mathfrak{P}^{f}\cap\mf{d}\le\mathfrak{P}^{\rho}
\cap\mf{d}$\\[5mm]
11.\quad Sei $\mathfrak{G}$ minimal mit der Eigenschaft: F"ur
  $\mathfrak{A}\le\mathfrak{P}$, $\mathfrak{P}:\mathfrak{A}\le p$,
  $\mathfrak{A}$ char in $\mathfrak{P}$ (oder char bei jeder "au"seren Autgr
  der Ord $p$) ist $\mathcal{N}\mathfrak{A}$ $p$-nilpotent, aber
  $\mathfrak{G}$ ist nicht $p$-nilp.. Dann ist $\mathfrak{G}$ $p$-aufl"osbar,\\[4mm]
  \setlength{\unitlength}{1mm}
  \begin{picture}(10,30)
  \put(10,0){\line(0,1){21}}
  \put(10,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
  \put(10,7){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
  \put(10,14){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
  \put(10,21){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
  \put(14,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle1$}}
  \put(14,7){\makebox(0,0){$\scriptstyle\mf{d}$}}
  \put(11,10.5){\makebox(0,0){$\left.\begin{array}{c}~\\[2.5mm]\end{array}\right\}~\scriptstyle\mf{Q}$}}
  \put(14,21){\makebox(0,0){$\scriptstyle\mf{G}$}}
  \end{picture}\\[5mm] 
  $\mathfrak{Q}\sim
  (q\ldots q)$, $\mathfrak{G}/\mathfrak{Qd}$ zyklisch, Ord $\le p^{2}$.
\begin{flushright}254/255\end{flushright}
  
12.\quad $\mathfrak{G}$ beliebig $\to$ Der Normalisator jeder maximalen
   $p$-Untergr $\mf{d}$, deren Normalisator \underline{nicht} $p$-nilp
   ist, ist $p$ aufl von L"ange $\le 2$:\\[4mm]
   \setlength{\unitlength}{1mm}
  \begin{picture}(10,30)
  \put(9.75,0){\line(0,1){7.35}}
  \put(10.25,0){\line(0,1){7.35}}
  \put(10,7.5){\line(0,1){7}}
  %\put(11,7.5){\line(0,1){7}}
  \put(9.75,15){\line(0,1){7}}
  \put(10.25,15){\line(0,1){7}}
  \put(10,7,75){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
  \put(10,14.75){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
  \put(10,21.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
  %\put(10,21){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
  \put(12,7.75){\makebox(0,0){$\scriptstyle\mf{d}$}}
  \put(12,22){\makebox(0,0){$\scriptstyle\mf{N}$}}
 \put(20,10.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle\|p$}}
 % \put(14,21){\makebox(0,0){$\scriptstyle\mf{G}$}}
  \end{picture}\\[5mm]
   Es ist $\mf{d}>1$.\newline
[h:] Titel: $p$-Faktorgruppen und $p$-Sylow-Durchschnitte [:h]\\[5mm]
13.\quad Zum Kommutieren [$(p-1)$-mal] zwecks Berechng des Produkts von $p$
   Diagfaktoren kann man, wenn die Klasse des Permutationskonstituenten $c$
   ist, ein Element aus der $(c-1)$-ten Gruppe der absteigenden Zentralreihe
   nehmen. Die $(p-1)$-fachen Kommutatoren liegen dann im
   [$(c-1)(p-1)+1$]-ten Glied der abst. Zentralreihe; also wenn Klasse
   $\mathfrak{P}<[\,\,]$, so Komm. $=1$ und alle Diagprodukte sind $=1$.\\[5mm]
14.\quad Den Normalisator eines \glqq kritischen\grqq Sylowdurchschnitts
   $\mf{d}$ kann man mittels einer passenden Obergruppe $\mathfrak{H}$
   von $\mathcal{N}\mathfrak{p}$ darstellen ($\mathfrak{p}$ eine Sylowgr. in
   $\mathcal{N}\mf{d}$) derart das keine zwei Diag-Koeff \glqq
   gekoppelt\grqq\,\,sind, das heisst jede mit einer Sylowgr von
   $\mathfrak{H}$ vertr. Sylowgr von $\mathcal{N}\mf{d}$ liegt in
   $\mathfrak{H}$.
\begin{flushright}255/256\end{flushright}

15.\quad Keine Untergr eines eigentlichen $p$-Sylowdurchschnitts habe $p$
   Erzeugende. Dann tragen die eig Sy Du[rchschnitte] nichts zu
   $\mathfrak{P}^{\infty}$ bei; also z.B. wenn
   $\mathfrak{P}\cap\mathfrak{P}_{i}$ zyklisch.\\[5mm]
16.\quad Ist $\mathfrak{P}\cap\mathfrak{P}_{i}=\mf{d}$ ein \glqq
   kritischer\grqq\,\, Durchschnitt (max. unvertr mit $\mathfrak{P}^{*}$), so
   liegt jeder NT $\mathfrak{Q}$ von $\mathfrak{P}$, f"ur den
   $\mathfrak{Q}\cap\mf{d}$ in $\mathcal{N}\mf{d}$ normal ist und
   $\mathfrak{Q}\cap\mf{d}\le\mathfrak{P}^{*}$ ist, in $\mf{d}$
   enthalten. Insbesondere also wenn $\mathfrak{Q}$ abg (stark) in
   $\mathfrak{P}$ mit $\mathfrak{Q}\le\mathfrak{P}^{*}$, oder auch nur
   $\mathfrak{Q}\cap\mf{d}\le\mathfrak{P}^{*}$.\\[5mm] 
17.\quad Statt der bisher betrachtete \underline{starken} Abgeschl. von
   $\mathfrak{A}$ in $\mathfrak{P}$ gen"ugt also die \glqq mittlere\grqq\,.
$\mathfrak{A}$ m abg in $\mathfrak{P}$ $\leftrightarrow$ $\forall_{\mathfrak{P}_{i}\neq\mathfrak{P}}$ $\mathcal{N}(\mathfrak{P}\cap\mathfrak{P}_{i})\le\mathcal{N}(\mathfrak{A}\cap\mathfrak{P}_{i})$.\\
   Damit gilt: Ist $\mathfrak{P}\cap\mathfrak{P}_{i}$ kritisch, $\mathfrak{A}$
   m abg in $\mathfrak{P}$,
   $\mathfrak{A}\le\mathfrak{P}_{i}\subseteq\mathfrak{P}^{*}$, so
   $\mathfrak{A}\le\mathfrak{P}\cap\mathfrak{P}_{i}$.
\begin{flushright}256/257\end{flushright}

18.\quad $\mathfrak{P}\cap\mathfrak{P}_{i}$ kritisch,
   $\mathfrak{Q}\lhd$ [durchgestrichen: $\mathfrak{P}$] [h:] $\mathfrak{p}$
   [:h], $\mathfrak{Q}\cap\mathfrak{P}_{i}\le\mathfrak{P}^{*}$,
   $\mathcal{N}(\mathfrak{Q}\cap\mathfrak{P}_{i})\cap
\mathfrak{P}_{i}>\mf{d}\to\mathfrak{Q}\le\mf{d}$.\\[5mm]
Bew:
   $\mathfrak{Q}\cap\mf{d}\le\mathfrak{P}_{i}^{*},\,\,\mathfrak{Q}\circ\mf{d}\le\mathfrak{p}_{i}^{*}=\mathfrak{p}^{*}$.\\[5mm]
19.\quad Jede m abg Ugr von $\mathfrak{P}^{*}$ liegt in jedem kritischen
   Durchschnitt. 17.\\[5mm]
20.\quad $\mf{d}=\mathfrak{P}\cap\mathfrak{P}_{i}$ ist unkritisch, wenn $\mathfrak{p}$ eine regul"are \underline{Obergr} von $\mf{d}$
   enth"alt.\\[5mm]
21.\quad $\mathfrak{A}\le\mathfrak{P}^{*}$, $\mathfrak{A}$ m abg in
   $\mathfrak{P}$, $f$ nor $\mathcal{N}\mathfrak{A}\to f$ nor
   $\mathfrak{G}$.\\[5mm] 
22.\quad F"ur jedes $\mathfrak{A}$ mit $\mathfrak{A}^{\prime}=1$, das sich aus
   $p$-Sy-Zentren erzeugen l"a"st, so $\Phi$ nor $\mathcal{N}\mathfrak{A}$,
   dann ist $\Phi$ nor $\mathfrak{G}$.\\[5mm]
23.\quad Ist $\mf{d}=\mathfrak{P}\cap\mathfrak{P}_{i}$ kritisch, so ist
   $\mf{d}/\Phi\mf{d}$ eigener Zentralisator in
   $\mathfrak{P}$. Forts.: 259
\begin{flushright}257/258\end{flushright}

\begin{center}\underline{Hall-Higman-S"atze}\end{center}
Beweis-Skizze daf"ur, dass exp $\mathfrak{P}=p$, $\mathfrak{G}$ $p$-aufl
$\to$ $p$-L"ange $\mathfrak{G}=1$, wenn $p\neq 3$: \marginpar{[h:] ?
  [:h]} kleinstes Gegenbeispiel h"atte Form\\[23mm]
  \begin{minipage}[b]{4,5cm}
   \setlength{\unitlength}{1mm}
  \begin{picture}(0,0)
  \put(9.75,0){\line(0,1){7.35}}
  \put(10.25,0){\line(0,1){7.35}}
  \put(10,7.5){\line(0,1){7}}
  %\put(11,7.5){\line(0,1){7}}
  \put(9.75,15){\line(0,1){7}}
  \put(10.25,15){\line(0,1){7}}
  \put(10,7,75){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
  \put(10,14.75){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
  \put(10,21.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
  \put(10,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
  \put(12,7.75){\makebox(0,0){$\scriptstyle\mf{N}$}}
  \put(12,14.75){\makebox(0,0){$\scriptstyle\mf{Q}$}}
  \put(12,22){\makebox(0,0){$\scriptstyle\mf{G}$}}
 \put(5,3.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle p$}}
 \put(5,9.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle q$}}
 \put(5,17.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle p$}}
 % \put(14,21){\makebox(0,0){$\scriptstyle\mf{G}$}}
  \end{picture}
  \end{minipage}~~~\hspace*{-25mm}\begin{minipage}[t]{5cm}
  \vspace*{-20mm}mit $\mf{N}$ min NT, $\mf{Q}/\mf{N}=\mf{R}$ eine $q$-Gr mit zykl Kommugr. im Zentrum, wo $\mf{R}^\prime$ keinen Fixpunkt in $\mf{N}$ hat.\vspace*{0mm} 
  \end{minipage}\\[5mm]
\marginpar{ [ Randnotiz: ]\\Rechenfehler}\\
Aber nach meiner Fixpunktformel gibt es dann ein $Q \in$ \anmerk, das \underline{mehr als $\sqrt{|\mathfrak{N}|}$} Fixpunkte in $\mathfrak{N}$
hat, $Q$ und seine Konj. in $\mathfrak{G}$ erzeugen dann eine
\underline{abelsche} in $\mathfrak{G}$ inv. Ugr. von $\mathfrak{R}$, dann ist
$\mathfrak{R}$ abelsch, $\mathfrak{R}$ min zul"assig, \anmerk\
gibt $\mathfrak{N}\mathfrak{P} = \mathfrak{P}$, und wegen exp $\mathfrak{P} = 
p$ ist dann $\mathfrak{G}$ $p$-nil.\\
Schluss funktioniert nur dann nicht, wenn $\mathfrak{R}$ verallg. QuatGr, dann
aber $p=3$.\\ 
(F"ur $p=3$ stimmts nach H\&H aber auch.)
\begin{flushright}258/259\end{flushright}

\begin{center}\underline{Verlagerung} (Forts. v. 257)\end{center}

\begin{enumerate}
\addtocounter{enumi}{23}
\item Sind $\mathfrak{A}_1,\mathfrak{A}_2, \dots$ unabg in
  $\mathfrak{P}$, und $\leq \mathfrak{P}^*$ und \anmerk
  $=\mathfrak{P}\cap\mathfrak{P}_i$ kritisch \anmerk , so sind alle
  $\mathfrak{A}_i \leq \mf{d}$, und es gen"ugt vorauszusetzen,
  dass $\underline{f\ \textnormal{nor}\ \bigcap
    \mathfrak{N}\mathfrak{A}_i}$ ist.

\item Fast trivial ist die h"ubsche Formel \[ \mathfrak{P}^\infty =
  \langle\dots, \mf{d}_i\circ \widetilde{\mathfrak{N}_i}, \dots
  \rangle\] wo $\mf{d}_i = \mathfrak{P}\cap\mathfrak{P}_i$,
  $\mathfrak{P}_i=\mathfrak{P}^G.$ $\tilde{\mathfrak{N}_i} =$ Menge
  der $p$-freien Elemente von
  $\mathfrak{N}\mf{d}_i = \mathfrak{N}_i$.\\
  Denn $\geq$ ist trivial, und $\leq$ gilt weil die rechte Seite einen
  auf allen eigentlichen $1<\mf{d}_i<\mathfrak{P}$ symmetr.
  Funktor definiert, der auf $\mathfrak{N}\mathfrak{P}$
  normal ist samt allen gr"osseren. \\
  Direkterer Beweis ohne Kette mit $\mathfrak{P}^e =
  \mathfrak{P}^\infty$, $\mathfrak{P}^e/\mathfrak{P}^f\leq\text{ Ztr }
  \mathfrak{P}/\mathfrak{P}^f$.\\ 25 folgt auch aus Kompressionssatz.
\begin{flushright}259/260\end{flushright}

\item Vermutung \`{a} la Thompson:\\
  In Formel 25 kann man $\mf{d}_i$ durch die
  $\mathfrak{G}$-charakteristischen Untergruppen von $\mathfrak{P}$
  ersetzen, dh die $\mathfrak{Q}\leq\mathfrak{P}$ mit $\mathfrak{Q}^\alpha =
  \mathfrak{Q}$ f"ur alle Autom. $\alpha$ von $\mathfrak{G}$ mit
  $\mathfrak{P}^\alpha = \mathfrak{P}$.

\item Jede charakteristische Untergruppe von $\mathfrak{P}$ ist auch
  $\mathfrak{G}$-char, aber nicht umgekehrt: $\mathfrak{G}$-char. sind
  h"aufiger. \hspace{0.5cm} 26

\item Ist $\mathfrak{P}\cap\mathfrak{P}_i = \mf{d}$ kritisch, so ist der
  \{Zentralisator von $\mf{d}^e/ \text{Kern }\mf{d}^f$ in $\mathfrak{N}
  \mf{d}$ in $\mathfrak{P}$\} in $\mf{d}$ gelegen.

\end{enumerate} 
\begin{flushright}260/261\end{flushright}
    
\begin{center}\underline{Charaktere}\end{center}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\begin{enumerate}
\item Frage: K"onnen die speziellen Gruppen in Brauers Kennzeichnung der
  Charaktere ersetzt werden durch Sylow Durchschnitts-Normalisatoren oder
  "Ahnliches? Oder durch die Normalisatoren der $G$-charakteristischen
  Untergruppen von $G_p$?
\end{enumerate}
\begin{flushright}261/262\end{flushright}

\begin{center}2 Fragen von M.Hall:\end{center} 
\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}.}
\begin{enumerate}
\item Enth"alt jede Untergruppe von endlichem Index in der unimodularen
  ganzzahligen Gruppe des Grades $n=2$ eine Kongruenzgruppe?\\
  (F"ur grosse Werte von n sei diese Frage positiv beantwortet, sagt M.H.)
\item Sei G eine endliche Gruppe, $N\lhd G$, $G/N \simeq A^5$
  ($\ord 60$). Sind dann je zwei Vertretergruppen konjugiert?
\end{enumerate}
\begin{flushright}262/263\end{flushright}

\begin{center}\underline{Verlagerung}\end{center}  

\begin{enumerate}   
\item Frage von Thompson:\\
  Sei A ein maximaler abelscher Normalteiler einer $p$-SyGr $P$ von
  $G$. Kein max. ab. NT von $P$ sei \underline{elementar} abelsch. Sei $V$
  die schwache Abschliessung von $A$ in $P$.\\
  Sei $\forall_{v\in V}, \forall_{b\in B} \  (v,b,b,b,b,b)=1$ wenn
  $B=A^g\leq P$.\\
  Kann man hierauf einen Verlagerungssatz anwenden? (dann w"urde man den
  Fall $\mathfrak{N}P = P \times Q$ behandeln k"onnen).
\end{enumerate}
\begin{flushright}263/264\end{flushright}

\vspace{5mm}

\begin{center}Hypermaximale Komplemente abelscher Gruppen\\
  (= 2-tra Gruppen mit regul"arer abelscher Untergruppe)
\end{center}

\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\begin{enumerate}
\item \underline{Vor.} $\mathfrak{A}\neq1$ endliche abelsche Gruppe, $\alpha
  \in$ ganzzahliger Gruppenring von $\mathfrak{A}$,\\
  $\begin{array}{lllclll}
  \alpha^2 & = & c+d\underline{\mathfrak{A}} &&&&\\
  \alpha   & = & \sum{a_iA_i} \qquad & \sum{a_i} &=& s \\
         a & = & |\mathfrak{A}|; \qquad & c &\neq& 0
  \end{array}$ 

\item Der 1-Charakter von $\mathfrak{A}$ ergibt aus (1)
  \[ s^2 = c+da \]

\item Jeder Charakter $\chi \not\equiv 1$ ergibt $\chi(\alpha)^2=c$, also
  \begin{eqnarray*}
  \chi(\alpha) & = & \pm \sqrt{c} \\
               & = & \pm w 
  \end{eqnarray*}

\item Ist $X$ die Matrix $\chi_i(A_k)$, $\chi_1\equiv1$, so bei
  passender Num. der $\chi_i$\\ 
  $X\mathfrak{A} = \sum_k{\chi_i(A_k)a_k} = \left(
  \begin{array}{c}
  s \\ \vdots \\ \pm \sqrt{c} \\ \vdots
  \end{array} \right) \quad$ wo\, $a = \left(
  \begin{array}{c} 
  a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_{|\mathfrak{A}|}
  \end{array} \right)$\\
  Sei $A_1=1$. Dann
  \[ X \left\{ \mathfrak{A}+ \left(
        \begin{array}{c}
        \sqrt{c} \\ 0 \\ \vdots \\ 0
        \end{array} \right) \right\} = \left(
        \begin{array}{c}
        s \\ \vdots \\ \pm \sqrt{c} \\ \vdots
        \end{array} \right) + \left(
        \begin{array}{c}
        \sqrt{c} \\ \vdots \\ \vdots \\ \sqrt{c}
        \end{array} \right) = \left(
        \begin{array}{c}
        s+\sqrt{c} \\ 2\sqrt{c} \\ \vdots \\ 0 \\ 1
        \end{array} \right) \]
\begin{flushright}264/265\end{flushright}

\item $X = \left(
    \begin{array}{ccc}
      1 & \cdots & 1 \\ 
        & Y      &
    \end{array}\right)$, \qquad
  $\overline{X}'X=aI=\overline{Y}'Y+E$, \\ 
  $E= \left(\
  \begin{array}{ccc}
    1 & \cdots & 1 \\ \hline
    1 & \cdots & 1
  \end{array}\right)$ \rule{0ex}{5ex}
\vspace{5mm}

\item $Y\underbrace{\left(
  \begin{array}{c}
    a_1+ \sqrt{c}\\
    a_2\\
    \vdots\\ \vdots \\
    a_{|\mathfrak{A}|}\\
  \end{array}\right)}_{b}=\left( 
  \begin{array}{c} 
    \vdots\\
    2\sqrt{c}\\
    \vdots\\
    0\\
    \vdots
  \end{array} \right)$\\
  $ab_i-(s+\sqrt{c}) =$ i-te Zeile von $\overline{Y}' \left(
  \begin{array}{c}
    \vdots\\
    2\sqrt{c}\\
    \vdots\\
    0\\
    \vdots\\
  \end{array} \right)
  \equiv 0 \mod 2\sqrt{c}$\\
  also:
\item 
  \begin{eqnarray*}
    2w = 2\sqrt{c} & \mid & a(a_1+\sqrt{c})-(s+\sqrt{c})\\
    2\sqrt{c} & \mid & aa_i - (s+\sqrt{c}) \qquad i>1
  \end{eqnarray*}

\stepcounter{enumi}

\item[\underline{Vor}\labelenumi]
  ein $a_i=0\;(i>1)$ und ein $a_j=1$ $(j>1)$
\item Dann
  \begin{eqnarray*}
    2\sqrt{c} & \mid & s+\sqrt{c} \hspace{10mm} \Rightarrow w\mid s\\
    2\sqrt{c} & \mid & aa_i \hspace{15mm} i>1\Rightarrow 2\sqrt{c}\mid a\\
    2\sqrt{c} & \mid & a(a_i+\sqrt{c})
    \hspace{4mm}\textnormal{\it [durchgestrichen]}\\
    2\sqrt{c} & \mid & a\\
            2 & \mid & a
  \end{eqnarray*}

\hspace{-8ex} %{\sl Anmerkung: Seite 266 fehlend! \anmerk} \hfill{265/267}

%\stepcounter{enumi}
\item $[$ Anmerkung: $]$ nutzlos: 295(11)  [ Text vollständig gestrichen ]
\item w ist rational ($w=\sqrt{c}$)\\
  Bew: Wegen $2\mid a$ hat $\mathfrak{A}$ einen Charakter
  $\chi_2=\pm1$, $ \not\equiv1$\\
  $\chi_{2}(\alpha)=\pm w$ ist rat.
\item Aus (2,3) folgt $s^2-w^2=da$;\: $s'^2-1=\frac{da}{w^2}$
  mit $s'=\frac{s}{w}$,\\
  was nach (9) ganzrat. ist, haben wir nach 
  (9) $sw\mid s+w$, aber  $2\mid s'+1$, \underline{$s'$ ungerade}\\
  aber $8\mid s'^2-1\;\Rightarrow\:8w^2\mid da$
\item Da alle $\chi(\alpha)$ rational, ist $\alpha$
  ''rational".\\
  $\alpha=\alpha^{(h)}$ f"ur alle $(h,a)=1$\\
  insbesondere $\alpha=\alpha^{(-1)}$,\\
  daher folgt aus $\alpha^2=c+d\mathfrak{A}^\prime$ durch Vergleich von 1:
  \[ \sum^{a}_{1}a_i^2=c+d \]

\stepcounter{enumi}

\item[\underline{Vor:}\labelenumi] alle $a_i=0,1$.
\item Wenn $(1,8,14)$, so \underline{$s=c+d$}, \underline{$s'=w+d'$},
  $d'=\frac{d}{w}$
\begin{flushright}267/268\end{flushright}

Vor: 1,14,8
\item Aus 
  \begin{eqnarray*}
    s^2 & = & c+da \hspace{15mm} s(a-s)=c(a-1)\\
      s & = & c+d
  \end{eqnarray*}
  folgt $s(s-1)=d(a-1)$ und da $2\mid a$, ist $2\mid d$.

\item \label{p17} Aus $p\mid a,\ p=2$ folgt $p\mid w$ oder
  $\alpha=\underline{\mathfrak{A}}-A,\ A^2=1$\\
  Bew:
  \begin{eqnarray*} 
    \alpha^{(p)} &\equiv_p & \alpha^p=(c+d\underline{\mathfrak{A}})^r\cdot
    \alpha \qquad (\textnormal{wo}\ p=2r+1)\\
                 &       = &c^r\alpha e\underline{\mathfrak{A}}
  \end{eqnarray*}
  W"are $p+w$, so $c^r=w^{2r}=w^{p-1}=1$ 
  ($p$),\\
  also w"are $\alpha\equiv\alpha^{(p)}re\underline{\mathfrak{A}}(\mod p)$\\
  w"ahle $A\in\alpha-\alpha^{(p)}: \quad e\equiv+1\ (p)$\\
  w"ahle $A\in\underline{\mathfrak{A}}-\mathfrak{A}^{(p)}\Rightarrow
  A\in\alpha$ also $\alpha=\underline{\mathfrak{A}}-\beta$ wo $\beta\in
  \text{ Gr\,Rg}\,{\mf{A}^{(p)}}$ \\
  $c+d\underline{\mathfrak{A}}=\alpha^2=a\underline{\mathfrak{A}}-
  2b \underline{\mathfrak{A}}+\beta^2$\\
  $\beta^2-c=f\underline{\mathfrak{A}}\\ f=0$\\
  alle Koeff $\beta=1,0$:
\begin{flushright}268/269\end{flushright}

  entweder $\beta=0\Rightarrow e=0\Rightarrow p\mid c\Rightarrow p\mid w$\\
  oder $\beta \cdot A$, $ A^2=1 \quad
  \alpha=\underline{\mathfrak{A}}-A\Rightarrow c=1\\ 
  \alpha^2=(a-2)\mathfrak{A}+1$

\addtocounter{enumi}{2} 

\item[siehe \labelenumi] Keine SyGruppe $\mathfrak{A}$ ist zyklisch wenn
  $\alpha\not=\mathfrak{A}-A$, $A$

\addtocounter{enumi}{-2}

\item Aus $2<p\mid a$ folgt: Die Untergruppe $\mathfrak{A}_p$ mit $x^p=1$
  hat $|\mathfrak{A}_p|\geq p^3$, oder $\alpha=\underline{\mathfrak{A}}-A$
  \vspace{3mm}\\
  Bew:  
  $\left\{ \begin{array}{l}
    \textnormal{Sei}\ |\mathfrak{A}_p|=p^2\\
    \textnormal{wenn}\ \alpha\not=\mathfrak{A}-A, \textnormal{ist nach 17}
  \end{array} \right.$
  \begin{eqnarray*}
    \alpha^p      & \equiv & 0 \qquad (p)\\
    \alpha^{(p)}  & \equiv & 0 \qquad (p),
  \end{eqnarray*}
  aber zu $A\in\alpha$ gibt es $n_A\equiv 0 \ (p)$ Elemente, $B=XA\in\alpha$
  mit $X^p=1$.\\
  Fasse sie zusammen zu $A\mathfrak{X}_A$, wo $\mathfrak{X}\in\mathfrak{A}_p$
  also $|\mathfrak{X}_A|\equiv 0\ (p)$.\\
  $\left[\begin{array}{l}
  \text{Ist nun $p^2\mid \ord A$, so besteht die ''Spur" von $A$, die ja in $\alpha$}\\
  \text{vorkommt, aus vollen Nebenklassen nach $\langle A_p\rangle$, wo
  $A_p\in\langle A\rangle$,$\ord p$.}\\
  \text{Dann ist also $A\mathfrak{X}_A=P_i
  \mathfrak{C}$ wo $P_i$ eine Ugr der $\ord\,p$ in $\mathfrak{A}$.}\end{array}\right.$\\ 
  Haben ${p}^{0,1}\,\top\, \ord\,A$, so hat $A\mathfrak{X}_A$ die Form
  $Q\mathfrak{Y}$, wo $Q p$-frei, $\mathfrak{Y}\le\mathfrak{A}_p$, und
  wegen Rationalit"at von $\alpha$ ist $\mathfrak{Y}$ rational, also
  \[ \mathfrak{Y}= \left\{ 
    \begin{array}{lclcl}
      \sum(P_j-1) & \Rightarrow &  p(p-1)\mid
      |\mathfrak{Y}| & \Rightarrow & \mathfrak{Y}=\mathfrak{A}_p-
      \mathfrak{P}_k\\
      1+\sum(P_i-1) & \Rightarrow &  p\mid
      1+\sum(p-1) & \Rightarrow & \mathfrak{Y}=\mathfrak{P}_k\vee
      \mathfrak{A}_p
    \end{array} \right. \]
  Also stets $A\mathfrak{X}_A\equiv\pm\mathfrak{P}_i\mathfrak{C}
  \mod\mathfrak{A}_p$\\
  $\alpha \equiv_{\mathfrak{A}_p} \sum\pm\mathfrak{P}_i\mathfrak{C}_i
  \qquad \alpha^2\equiv
  p\sum\mathfrak{P}_i\mathfrak{C}_i^2 \mod \mathfrak{A}_{p_j}\equiv
  c(\mathfrak{A}_p)$
\begin{flushright}269/270\end{flushright}

  $\sum^{p+1}_{1}\mathfrak{P}_i\mathfrak{C}_i^2-c=
  \mathfrak{A}_p\mf{d}$.\\
  $\langle P_i\rangle=\mathfrak{P}_i \qquad
  \mathfrak{C}_i^2=\mathfrak{C}_j^2=\mf{d}$\\ 
  $\sum\mathfrak{C}_i^2-a=\mf{d}$ \\
  $(p+1)\mf{d}-a=\mf{d}\quad\Rightarrow\,p\mf{d}=a \qquad
  \mf{d}=\frac{a}{p}$\\ 
    vgl $\chi_1$:
  \begin{eqnarray*} 
    \chi_1(\mathfrak{C}_i) & = & c_i\\
     c_i^2 & = & \frac{c}{p}=\frac{w^2}{p}\qquad \text{W}!
  \end{eqnarray*}

\item Keine Sylowgr von $\mathfrak{A}$ ist zyklisch wenn
  $\alpha\not=
  \ofrac{A}{\underline{\mathfrak{A}}-A} \quad |\mathfrak{A}|\pm p\\
  \underline{p>2:}$ Wegen $\alpha^{(p)}\equiv 0$ w"are
  $\alpha=\underline{\mathfrak{A}}_p \mathfrak{F},\
  \mathfrak{F}\leq\mathfrak{A}_{p^\prime}\\
  c+d\mathfrak{A}=\alpha^2=p\mathfrak{A}_p\mathfrak{F}^2 \quad
  \mathfrak{A}_p\mid c \quad \text{W}\\
  p=2: 
  \begin{array}{cccc}
    \alpha^{(2)} & \equiv & c+\alpha\underline{\mathfrak{A}} & (2)\\
                 & \equiv & c                                & (2)
  \end{array}$
  \renewcommand{\labelenumii}{\arabic{enumii})}
  \begin{enumerate}
  \item $c\equiv 0 (2)$ wie $p>2$
  \item $c\equiv 1 (2) \qquad \alpha^{(2)}\equiv1 \qquad
    \alpha=1+\mathfrak{A}_2\mathfrak{F} \qquad \text{OBdA}$
  \end{enumerate}
  $c+d\mathfrak{A}=\alpha^2=1+2\mathfrak{A}_2\mathfrak{F}\, \pm \,
  2\mathfrak{A}_2\mathfrak{F}^2$
\begin{flushright}270/271\end{flushright}

  \begin{eqnarray*}
   \mathfrak{A}_2 & \mid & c-1\\
                c & =    & 1 \\
  \hspace{15mm} a & =    & 2^\alpha  \hspace{15mm}(\ref{p17})\\
  d\cdot 2^\alpha & =    & 4(f+f^2)\\
  \mathfrak{A}/\mathfrak{A}_2 & = & \overline{\mathfrak{A}}\\
  \frac{d}{2}\overline{\mathfrak{A}} & = &
  \overline{\mathfrak{F}}+\overline{\mathfrak{F}}^2\\
  & \ofrac{\equiv}{2} & \overline{\mathfrak{F}}+
  \overline{\mathfrak{F}}^{(2)}\\
  |\overline{\mathfrak{F}}| & \geq & \frac{1}{2}|\overline{\mathfrak{A}}|\\
  \overline{\mathfrak{F}} & \supseteq & \overline{\mathfrak{A}}-
  \overline{\mathfrak{A}}^{(2)}\\
  \alpha & \supseteq & \mathfrak{A}-\mathfrak{A}^{(2)}\\
  \underline{\mathfrak{A}}-\alpha & \subseteq & \mathfrak{A}^{(2)}\\
  (\underline{\mathfrak{A}}-\alpha)^2 & \equiv & 1 \qquad (\mathfrak{A})\\
  & = & 1\\
  \alpha & = & \underline{\mathfrak{A}}-A.
 \end{eqnarray*}
$[$h:$]$ uninteressant f"ur hypermax Ugr mit Kpl $\mathfrak{A}$: 
  295 (11) $[$:h$]$
\item $\exists
  \begin{array}{c}
    u\\ v
  \end{array} \left\{
  \begin{array}{l}
    a-1=uv,\quad (u,v)=1, \quad {\it [durchgestrichen:]}\ u+v = \frac{a}{w} \}\\
    2<p\mid a \Rightarrow p(u+v)\mid a
  \end{array} \right.$\\ \rule{0ex}{3ex}
  n"amlich $u=\frac{s}{w}$, $v=\frac{a-s}{w}$, $w=\frac{a}{u+v}$
\item $a-1=q^\beta \Rightarrow q>2$, $ u=1$, $v=a-1$, $w=1$, $s=1$\\
  also nie $a-1=q^\beta$ au\ss er wenn $\alpha=A$, $\mathfrak{A}-A$
\begin{flushright}271/272\end{flushright}

\item $T\subseteq A$, $T^m=u+vA~~A^\prime=1 \Rightarrow$ aus $q\mid u$ folgt $q\mid a
  \quad\&\quad q\mid t$\\
  Bew: $w$ EW $T$, $w\not=t=|T|\Rightarrow w\mid a$, $w^m=u \quad q\mid
  q\\ \Rightarrow q\mid w^m\Rightarrow q\mid w\Rightarrow q\mid a$

\item[($22^\prime$)] Wenn noch $TT^{(-1)}=d+eA$, so folgt $q\mid u
  \Leftrightarrow q\mid 
  d\Rightarrow q\mid e\Rightarrow q\mid a$\\
  Denn $d=w\overline{w}$ ;\, ist $\mf{q}\mid q$, so $\mf{q}\mid w\Rightarrow q\mid
  w\overline{w}=d$. Nach 22 $q\mid t$, also wegen $t=d+e$ auch $q\mid e$.

\item Sei $A'=1, \quad a=p^n, \quad T^m=u+vA \quad \Rightarrow_{22}\quad
  u=p^{\therefore}, \quad d=p^{\therefore}$
\begin{eqnarray*}
    t^2 & = & d+ea\\
    t(a-t) & = & d(a-1)
  \end{eqnarray*}
  da $t,a=p^n$, ist $t\sim_p a-t$, $d\sim_p t^2$
  \[ d=p^{2j}, \quad t\sim p^j\]
  \begin{eqnarray*}
  (t-p^j)(t+p^j) & = & ep^n\\
  p^j\mid t-d & = & e
  \end{eqnarray*}
  \underline{Wenn} $p>2$, so ist $t\pm p^u$ f"ur ein Zeichen \underline{nur}
  durch $p^i$ teilbar, daher
\begin{flushright}272/273\end{flushright}

  \[t-p^j \ \textnormal{oder } t+p^j\equiv 0 \quad (p^n)\]
  \[ t= \left\{ \begin{array}{l}
  p^j\\ a-p^j
  \end{array} \right. \quad, \textnormal{also} \not= a !\]
  OBdA $\boxed{1\leq |t|<\frac{a}{2}}$ , dann $t=p^j$
  \[ t^2=p^{2j}+ea \ \text{gibt nur }e=0,\
  \underline{t=1 \raisebox{-.57ex}{\rule{0ex}{2ex}}},\
  \underline{|T|=1}  \]

\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}}
\stepcounter{enumi}
\item[\underline{Satz}]{\labelenumi}
  $\mathfrak{G}$ 2-tra, $\mathfrak{G}\geq\mathfrak{A}$ \underline{abelsch},
  transitiv, $a=p\underset{\scriptscriptstyle{2}}{\overset{\scriptscriptstyle{n}}{\equiv}}  %\srel{\equiv}{n}{2}
   1, \\ \sigma\,
  \aut \, \mathfrak{G}$ mit $\alpha^\sigma=\alpha\ \forall
  \alpha\in\mathfrak{A} \Rightarrow \gamma^\sigma=\gamma^{\alpha_1} \
  \forall \gamma\in\mathfrak{G}.$\\
  Bew: nach 23 ist $\mathfrak{G}_1^\sigma =\mathfrak{G}_1^{\alpha_1}$,
  $\sigma\alpha_1^{-1}$ l"a\ss t $\mathfrak{G}_1$ und jedes $\alpha\in
  \mathfrak{A}$ fest, also jedes $\mathfrak{G}_1 \alpha$, daher jedes $\gamma
  \in\mathfrak{G}: \ \mathfrak{G}_1\alpha\gamma = \mathfrak{G}_1
  \overline{\alpha} \Rightarrow \mathfrak{G}_1\alpha\gamma^\sigma =
  \mathfrak{G}_1\overline{\alpha}$, aber $\gamma^\alpha\gamma^{-1}$ l"a\ss t
  alle $\mathfrak{G}_1\alpha$ fest $\in\bigcap \mathfrak{G}_1^\alpha = 1$.
\stepcounter{enumi}
\item[\underline{Satz}]{\labelenumi}
  $ \left\{
  \begin{array}{l}
    \text{Sei}\, \sigma\,\aut\,\mathfrak{G},\, \sigma^m=1, \underline{m
    \,\text{ungerade}}\\
    \mathfrak{G} \text{2 tra},\ \mathfrak{G}\geq\mathfrak{A}\,
    \text{regul"are}\ p-\text{Gruppe ung. Ord}\\
     ( \anmerk \,\text{abelsch})\,
    \sigma\,\aut\,\mathfrak{G}$, $\alpha^\sigma = \alpha \Rightarrow
    \gamma^\sigma = \gamma \,\,\, \forall\gamma  
  \end{array}\right. $\\
  Bew:$
  \begin{array}{ccc}
    T\overline{T}' & = & d+eA\\
        T^m & = & u+vA
  \end{array}
  \left\{ 
  \begin{array}{ccc}
    t^2 & = & d+ea\\
      t & = & d+e
   \end{array} \right. $\\ \rule{0ex}{4ex}
   Vor: $T \not= A$ \rule{0ex}{4ex} \\ \rule{0ex}{4ex} 
  $T$ ist normal, denn $\sum(\textnormal{Ewe})^2 = \spur TT^{(-1)}$, aber \\
  $(T\overline{T})^m = (d+eA)^m = (u+vA)^2$, $d^m=u^2$\\ 
  da\, $2+m$, ist
  $d=w^2$, $u=\pm w^m$, wo \underline{$w$ rat} $>0$.\\
  W"ahle $T$ mit $\underline{\spur = 0}$. Dann
\begin{flushright}273/274\end{flushright}

  $ 0=\spur T=t+w \dots\\
  w\mid t \quad w\mid e$, \, da \,$t=w+e$ 
  \[ \begin{array}{rcll}
    t^2 & = & w^2+ea & \\
    (t+w)(t-w) & = & ea & \\
    w(\frac{t}{w}+1)(\frac{t}{w}-1) & = & \frac{e}{w}a, & a=p^n.
  \end{array} \] 
Da $p$ ungerade ist f"ur ein Zeichen $\frac{t}{w} \pm 1 \not\equiv 0 \, (p)$
\[ \begin{array}{llllll}
  \text{wenn}\ \frac{t}{w} & + & 1 \not\equiv 0\, (p),\ \text{so}\ a\mid t & - &
  w & \Rightarrow t = w \\
  \text{wenn}\ \frac{t}{w}& - &                                           & + &
    & \Rightarrow t + w = a
\end{array}\]
\[
ea=(t+w)(t-w)=\begin{cases} 0\\a(t-w)\end{cases}~\Rightarrow
\]
$\left\{ 
  \begin{array}{rcll}
    e & = & 0   & \underline{t=1}\\
    & = & t-w = t-d=t-w^2 & \Rightarrow w=w^2 = 1  \quad \underline{t=a-1}
  \end{array} \right.$   
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Dorothee Juny
\begin{center}\underline{Allg. Konjugiertheits-Problem.}\end{center} 
[ Kommentar: Statt ${}_kG$ steht ursprünglich $G_k$ $(k=1,2)$; die Umbenennung ist i.f. nicht überall umgesetzt. ] \\
Geg. $A_1, A_2 \leq G$.\\
Seien ${}_1G, {}_2G$ die induz. Permdarst.
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\begin{enumerate}
\item Wenn $A_2 = A_1^g$, so $|A_1\cap K| = |A_2\cap K|$ f\"ur
  jede Klasse $K$ konjugierten El in $G$.

\item $\forall_ K |A_1\cap K| = |A_2\cap K| \Leftrightarrow G_1\sim G_2$ im
  Sinn der DarstTh.\\
  denn $\Leftrightarrow \forall_g \spur g_1  =
  \spur g_2$.

\item Sei $G_1\sim G_2$. Dann gibt es Matrizen $M$ mit $\| M\|\not= 0,
  \forall_g g_1M=Mg_2$, und umgek.

\item Sind $G_1, G_2$ irgend zwei Perm-Dart von $G$ und $M$ Matrix mit
  $g_1M = Mg_2, M=\sum\mu_i M_i$ wo $M_i$ nur Elemente
  $0,1$ hat und $\spur M_i M_k'= 0$ f\"ur $i\not=k$ und $\mu_i\not= \mu_{k}$,
  dann
  \[ g_1 M_i = M_i g_2. \]
\begin{flushright}275/276\end{flushright}

\item Sei $M$ Inzidenzmatrix (d.h. $m_{\alpha\beta} = \ofrac{0}{1}$)
  [besser: $01$-Matrix] mit ${}_1gM = M{}_2g$. Sei $U\leq {}_1G_1 =
  A_1$, Trans.Lgen
  ${}_2U~t_1\leq t_2\leq \dots\leq t_s$. $M$ habe in der ersten Zeile $s$ Einsen.\\
  Dann besetzen diese volle Trans-Gebiete von ${}_2U$, daher
  $s=\sum't\sigma$ f\"ur gewisse $\sigma$.

\item \label{(6)}${}_iG$ sei erzeugt von $A_i$. Sei $M$ verkn\"upfende
  $01$-Matrix von $G_i\sim G_2$. $\grad = n$. ${}_1G_1 = {}_1A$ enthalte eine
  \underline{transitive} Untergr. $B$ des Grades $n-1$, so da\ss\ jede
  Untergruppe $C$ von $B$ mit $|B:C|<n-1$ ergibt $|B:C|\mid n-1$.\\
  Dann hat $M \ofrac{1}{n-1}$ Einsen in der ersten Zeile, dh bei passender
  Normierung $M \rightarrow F-M$, $F_a(1)$ ist $G_1 \approx G_2$ (dh verm\"oge
  einer Permut. \"aq), dh. ${}_1A={}_2A^g$.\\
  Bew: Da $B_1$ 2 Transgebiete (Lge $1$, $n-1$) hat auch $B_2$ 2 Transgebiete,
  Lge $u,v$. Hier Annahme, $u,v>1$. Dann $u=|B:C|<n-1$, $v=|B:C'|<n-1$
  \begin{flushright}276/277\end{flushright}
 
$u+v=n$.\\
Sei $u\leq v$.\\ 
Dann $u\equiv n\equiv 1\mod v,\ u=1$ oder $v+1,\ 2v+1,\ 
\dots \left\} \Rightarrow u=1\ W! \right.$ Also hat $B_2$ Tralgen $1$, $n-1$; 
nun (5).

\item Die Vor von (\ref{(6)}) \"uber $|B:C|$ ist z.B. erf\"ullt wenn 
  \begin{enumerate}
  \item[{}]{$\alpha$)} $B$ regul\"ar vom Grad $n-1$
  \item[oder]{$\beta$)} $B$ eine transitive $p$-Gruppe ist.
  \end{enumerate}

\item $\exists_g\ A_1=A_2^g \Leftrightarrow \exists_{M}$ verkn $G_1$ mit
  $G_2$, und $M$ ist eine Perm. Matrix $M \in \mathfrak{S}^n$.\\
  $\Rightarrow$ klar. $\Leftarrow$ Dann l\"asst ${}_{2}A_1$ eine Ziffer fest,
  also $\leq A_2^g$ und umgekehrt.

\item Vor (\ref{(6)}). ${}_1G_1$ enthalte eine transitive Ugr $A$ vom Grad
  $n-1$ mit der Eigenschaft: Aus \underline{$C\sim B$ folge $C\approx B$
    $\circledast $}. Dann ist $A_1=A_2^g$.

\item Die Vor 9 $\circledast$ ist z.B. erf\"ullt wenn $B$ $2$-tra.\\
  Also

\stepcounter{enumi}
\item[SATZ \labelenumi] Wenn $A_1$ eine $2$-tra Permdarst von $G$ des Grades
  $n$ induziert, so folgt aus $A_1\sim A_2$ sogar $A_1\approx A_2$,
  \begin{flushright}277/278\end{flushright}

  wo $A_1\sim A_2$ heisse: $\forall_K |A_1\cap K|=|A_2\cap K|$ und $A_1\approx
  A_2$ heisse $A_1=A_2^g$

\item[($11^\prime$)] Eine $3$-tra Gruppe $G$ vom Grad $n$ enth\"alt keine
  \underline{intra} Ugr vom Index $n$ ausser den trivialen, $G_{\nu}$.\\
  NB \underline{intra} ist nicht entbehrlich: $\mathfrak{S}^6$.

\item[($11^{\prime\prime}$)] Eine $3$-tra Gr $G$ vom Grade $n$ mit $n^2\nmid|G|$ enth\"alt keine
  Ugr vom Index $n$ ausser den $G_{\nu}$.

\item Nenne Permgr. $P$ \underline{gut}, wenn aus $P\sim Q$ folgt $P\approx Q$
  (Def 11). $P$ ist gut z.B. wenn
  \begin{enumerate}
  \item[$\alpha$)] $P$ zyklisch

  \item[$\beta$)] jeder tran Konstituent von $P$ hat $\grad 1$ 
    \anmerk auf einem einzigen, und der 
    ist $2$-tra

  \item[$\gamma$)] $P$ regul\"ar, oder regul\"ar $+(1)$.\\[2mm]
     {\it [Randbemerkung: ] ``starr'' statt gut S.340\\
      besser ``fest''}
    
  \end{enumerate}

\begin{flushright}278/279\end{flushright}

\item Die el. abelsche Gr. $(p,p)$ hat zwei Darst. ${}_1G, {}_2G$ mit
  ${}_1G\sim{}_2G,\ \not\approx,$\\ 
  $\grad p(p+1)$\\
  ${}_1G$ erzeugt von allen Ugr der $\ord p$ \\ 
  ${}_2G =$reg$+ p(1)$.~~ [ h:] allgem,: (19) [ :h ] 

\item Wenn $ \left\{ 
  \begin{array}{l}
    |A_1|=|A_2|\\
    \overline{A_1}\ \overline{A_2}$ kein Nullteiler
   $\end{array} \right.$\\
  im Gruppenring von $G$ ist, ist $A_1\sim A_2$. Denn
  $\overline{A_1}\cdot\overline{A_1}\ \overline{A_2} = \overline{A_1}\
  \overline{A_2}\cdot \overline{A_2}$, also $\forall_{\chi}
  \chi(\overline{A_1}) = \chi(\overline{A_2})$, $|A_1\cap K| = |A_2\cap K|$.

\item $r\in$ Gr Rg ist Nullteiler $\Leftrightarrow r^*r$ ist Nullteiler
  $\Leftrightarrow  r^*$ ist Nullteiler.

\item $\underbrace{A_1A_2A_1}_{\substack{\geq 0\ \text{hermitesch}\\ \text{in jeder Darst
  }}} \underset{\text{\normalsize{(14,15)}}}{\not=\text{ Nullteiler }}\Rightarrow A_1\sim A_2$

\item[(14,16)] taugen nichts, da $A_1A_2$ stets
  Nullteiler!\\
  $(a-1)A_1=0$: Dazu kennt man das reg. Komplement. Genauer: 23

\item Sei $A_1$ hypermaximal, $A_1A_2\not= G$, $C$ ein gemeinsames Komplement,\\
  $TA_1=A_2T$. Dann 
\begin{flushright}279/280\end{flushright}

   $TT^*$ vtb $A_1,\ TT^*=c+dC$ \\
  W\"are $c=0$, so $TT^* = d\cdot C$, \[ \left.
  \begin{array}{rl}
    t^2 = dc,\\
     \anmerk : t = d
  \end{array} \right\}
  \Rightarrow t^2 = tc\quad \quad t= \left\{ \ofrac{0}{c} \right.\ \text{W} \]
  Also ist $c\not= 0$, daher $c+dC$ nichtsingul\"ar, also

\item[($17^\prime$)] $H$ hypermax, \underline{$A$ gemeinsames Kpl. von} $H$ und $K,\
  HK\not=G \Rightarrow H\sim K$, insbesondere $K$ hypermax.\quad (18) Verallg. (23)

\item $H$ hypermax, $H\sim K\Rightarrow K$ hypermax denn Permdarst $G$ nach
  $K$ enth\"alt nur $(1)$+(irred), wie die nach $H$.

\item Jede abelsche Gruppe $G$ vom Exponenten $p$ hat zwei Darst. $G_1\sim
  G_2,\\ G_1\not\approx G_2$ vom Grad $\frac{p^{\alpha-1}(p^{\alpha}-1)}{p-1}$
  wenn $|G|=p^{\alpha}$.\\
  Die eine wird von allen Ugr der $\ord p$ erzeugt, die andere ist (reg).\\ 
  const+const$\cdot$(1)
\begin{flushright}280/281\end{flushright}

\item $G$ ist ``total gut'', dh \underline{jede} Permdarst $G$ gut
  $\Leftrightarrow$ die Charaktere der induzierten Permutationsdarstellgn (eine
  aus jeder konj. Klasse) sind lin. unabh. auf den Familien.

\item Eine nicht zyklische $p$-Gr ist nicht ``total gut'' \quad  (20),\\
  Faktorgr $(p,p)$ gibt ein abh Char. \quad (13)
  
\item Sei $M$ eine Matrix, die zwei tra Permgr. ${}_1G,\ {}_2G$
  verkettet, $M$ ($01$)-Matr. mit $m$ Einsen je Reihe. Sei $\grad
  M\not\equiv 0 \mod p$ und $P$ eine $p$-Gruppe in ${}_1G$, deren
  Transl\"angen $t_1,\dots,t_s$ sind. Dann
  $m=\sum't_{\sigma}$.\\
  Denn ${}_2P$ l\"a\ss t wegen $n\not\equiv 0\,(p)$ eine Ziffer
  $\lambda$
  fest.\\
  Betrachte dann $\lambda$-te Spalte $M$.\\
  Haben die verkn\"upfenden Matrizen zweier transitiver PGr nicht
  etwas mit FRAMES's Methode zu tun, aus zwei PDarst den gemeinsamen
  Teil zu bestimmen?
\begin{flushright}281/282\end{flushright}

  Forts. v. (16)
\item Man braucht nicht eine regul\"are Untergruppe, sondern es gen\"ugt ein
  ``verkn\"upfendes Restsystem'' $R: r_i\in G$ so, dass 
  \[ G \in \dot\sum Ar_i = \dot\sum r_iB. \]
  Dann $T = AB\cap R$. Wieder ist $T$ nicht Nullteiler, wenn $|T|\not= \ofrac{0}{n}$.\\
  Daher
\item[($23^\prime$)] $H$ hypermax, $\exists$ verkn\"upf. Restsystem f\"ur $H$
  und $K,\ HK\not= G\\ \Rightarrow H\sim K,\ K$ hypermax.\\[4mm]
   Allgemeiner:
\item Ist $K=H^g$, so $\exists$ Restsystem von $G$, das $K$ mit $H$
  verkn\"upft.\\
  $\begin{array}{ll}
    \textnormal{W\"ahle}\ \{ r\}: & G = \sum Hr = \sum rH\\
    \textnormal{dann}            & G = \sum H(rg), \quad G=\sum(rg)g^{-1}Hg
  \end{array}$
\begin{flushright}282/283\end{flushright}

  Die Existenz eines gemeinsamen Restsystems links und rechts f\"ur $H$ folgt
  nach Schulmädchenschluss:\\
  Nenne $xH$ und $Hy$ befreundet wenn $xH\cap Hy \not=\emptyset$. Dann sind
  $k$ Linksklassen stets mit $\geq k$ Rechtsklassen befreundet. [Bew f\"ur Schulmäd. ist:   
  Wenn es $l$ Linkskl. gibt, die \underline{nur} mit $l$
  Rechtsklassen befr. sind, so reduziert sich das Problem. Wenn es nicht
  solche $l$ gibt, paare irgend zwei befreundete und die Vor. \"ubertr\"agt 
  sich auf den Rest.]\\
  Buch Zassenhaus?

\addtocounter{enumi}{-1}
\item Eigenwerte von Vertauschungsmatrizen:\\
  Hat die lineare Gruppe $G$ mit rat Koeff einen nur einmal auftretenden irred
  Bestandteil $D$, der in einem K\"orper $K$ rational gemacht werden kann, vom
  Grad $f$, so hat der Ring der ratzahligen Matrizen, die mit $G$ elemweis vertbar sind,
  $f$ Darstellungen des Grades $1$ in $K$. Denn man kann $D$ \underline{in $K$}
  abspalten.
\begin{flushright}283/284\end{flushright}

\item z.B.: jede ratzahlige Matrix, die mit einer transitiven
  Permutationsgruppe der $\ord p^{\alpha}$ vertbar ist, hat ausser dem $1$-EW
  einen EW im K\"orper der\\ $p^{\alpha}$-ten EWu. Denn $G$ enth\"alt einen
  Bestandteil $\not= 1$ vom Grad $f=1$ (wegen $\grad G$). Der tritt nach
  Rezip.Gesetz nur einmal auf, der zugeh\"or. EVektor wird aber auch von der
  Matrix in ein Vielfaches \"ubergef\"uhrt, der Faktor ist im K\"orper der
  $p^{\alpha}$-ten EWu.
\end{enumerate}
\begin{flushright}284/285\end{flushright}

\begin{center}\underline{$P$-Gruppen vom Grad $p$}\end{center}
Forts von 199

\begin{enumerate}
\item \label{(1)} Unterscheiden sich zwei ``Invarianten'' nur um das $\Box$
  einer rat. Zahl, so sind sie gleich:
 \begin{flalign*}
    \text{Aus}\quad u^2\frac{k(p-k)}{p-1} &=v^2\frac{l(p-l)}{p-1}\\
    \text{folgt}\quad \frac{k(p-k)}{p-1} &= \frac{l(p-l)}{p-1}
  \end{flalign*}
  Bew: $(u,v)=1 \qquad 1\leq k,l<\frac{p}{2}$
  \begin{align*}
    \circledast \qquad u^2k(p-k) & =  v^2l(p-l) \\
    v^2\mid \frac{k(p-k)}{p-1} &< \frac{p+1}{4}  & u^2 &< \frac{p+1}{4}\\
    u^2k^2 &\equiv v^2l^2 \, (p) & u &< \frac{1}{2} \sqrt{p+1}
  \end{align*}
  Bei passender Wahl des Vorzeichens von $v$ ist 
  \begin{align*}
    uk &\equiv vl \, (p)\\
    uk &= vl+wp \qquad\qquad \text{in}\ \circledast \text{eingesetzt}\\
    (vl+wp)(up-vl-wp) &= v^2lp-v^2l^2\\
    \vdots\\
    wp(u-w) &= vl(2w-u+v)\\
    2w &\equiv u-v \, (p)\\
    p^2\mid 2|w|p &= 2|uk-vl|<2|\frac{\sqrt{p+1}}{2}\frac{p}{2}+\dots| =
    p\sqrt{p+1}
  \end{align*}
  wenn $uk\cdot vl\not=0$, so $p<\sqrt{p+1}$ W\\
  also $uk=vl$\\
  $\circledast$ gibt $\underline{u(p-k)=v(p-l)}$\\
  $up=vp$, $u=v=\pm 1 $
\begin{flushright}285/286\end{flushright}

\item \label{(2)} Forts. von
  \expandafter\uppercase\expandafter{\romannumeral10}35:\\
  Ist $\sigma$ Autom von $\mathfrak{G}$, so ist
  $\underset{{\substack{~~~\uparrow\\\text{konjugiert zu}}}}{\mathfrak{U}^{\sigma^2}\approx\mathfrak{U}}$\\
  Bew: \begin{align*}
    [\mathfrak{U}\mathfrak{U}^{\sigma^2}] &=
    r^2[\mathfrak{U}\mathfrak{U}^{\sigma}][\mathfrak{U}^\sigma\mathfrak{U}^{\sigma^2}]\\
    (r\ \text{rat})\qquad \qquad &=
    r^2[\mathfrak{U}\mathfrak{U}^{\sigma}]^2=s^2=1
  \end{align*}

\item Die Autom von $\mathfrak{G}$ permutieren die Klassen konjugierter
  Untergruppen vom Index $p$ gem\"ass einer halbregul\"aren zyklischen Gr der
  $\ord\ 2$.\\
  Bew \ref{(2)} sagt: Permgr $\sim (2,2,\dots,2)$\\
  und \expandafter\uppercase\expandafter{\romannumeral11}$36_9$ sagt: Zykel,
  halbregul\"ar.

\item Sei $\sigma$ ein Aut von $\mathfrak{G}$, $P^{\sigma}=P^n$ und
  der die Klassen vertauscht. Sei $\lambda$ ein EW der Matrix, die
  $\mathfrak{U}\rightarrow \mathfrak{U}^{\sigma}$ \"uberf\"uhrt, und sei 
  $\kappa$
  der entsprechende EW einer Matrix $K$, die $\mathfrak{U}\rightarrow
  \mathfrak{V}$ \"uberf\"uhrt, $\mathfrak{V}\not=
  \ofrac{\mathfrak{U}^{\ }}{\mathfrak{U}^{\sigma}}$. Dann
  \begin{enumerate}
  \item $\kappa\overline{\kappa}\mid\lambda\overline{\lambda}$

  \item $\mathfrak{V}^{\sigma} \xrightarrow{K} \mathfrak{U}^{\sigma}$

  \item $\mathfrak{V} \xrightarrow[LK^{\ast 2}]{}
    \mathfrak{V}^{\sigma}$
  \end{enumerate}
\begin{flushright}286/287\end{flushright}

  \begin{enumerate} 
    \addtocounter{enumii}{2}
  \item[Bew: \labelenumii] 
    $\begin{array}[t]{rclcl}
      \mathfrak{U}L &=& L\mathfrak{V}&&\\
      \mathfrak{U}^{\sigma}L^{\ast} &=& L^{\ast}\mathfrak{V}^{\sigma}&&
      \mathfrak{V}^{\sigma}L = L\mathfrak{U}^{\sigma}
  \end{array}$
  
  \item \raisebox{-5ex}{ 
    $\begin{CD}
      \mathfrak{U} @>K>> \mathfrak{V}\\
      @VVLV              @VV\ofrac{\text{also}}{=K^{\ast}LK^{\ast}\sim N} V\\
      \mathfrak{U}^{\sigma} @<<K< \mathfrak{V}^{\sigma}\\
    \end{CD}$}
  
  \addtocounter{enumii}{-3}
\item
  \begin{minipage}{8cm}
    \begin{align*}
     &\text{Nach (c) ist} &&&
    \lambda\overline{\kappa}^2 &= \text{rat}\ \nu \\
    &\text{also} &&& \qquad \qquad \lambda\overline{\kappa} &= x\cdot
    \kappa \nu \qquad x \ \text{rat}
  \end{align*}
  \end{minipage}\\
  hieraus folgt nach (1)
  \begin{minipage}{5cm}
    \begin{align*}
      x &= \pm 1,\ \text{oBdA}\\
      \circledast \quad \lambda\overline{\kappa} &= \kappa^2
    \end{align*}
  \end{minipage}\\[5mm]
    Ist nun $q^{\sigma}\,\top\, \kappa\overline{\kappa}$, so ex $\mf{q}\mid q$, $\mf{q}\nmid
  \overline{\kappa}$, $\mf{q}^{\rho}\,\top\,\kappa$, also nach $\circledast$  
  $\mf{q}^\rho\mid \lambda$.\\
  $\mf{q}^{\rho}\mid\lambda\overline{\lambda}$,
  $q^{\rho}\mid\lambda\overline{\lambda}$.
\end{enumerate}

\item Gedanke: man sollte statt $\kappa$ besser
  $\frac{\kappa}{\overline{\kappa}}$ untersuchen.

\stepcounter{enumi}
\item Ist $\kappa$ nur bis auf einen rat Faktor bekannt, so ist es genau
  bekannt:\\
  $\kappa$ ist das was \"ubrig bleibt, wenn man mit einem rat Faktor ganz macht
  und den gr\"ossten ganzen rat Faktor rauszieht. Dh $\kappa$ ist die absolut
  kleinste ganze alg Zahl in ihrer Restklasse mod rat Faktoren.\\
  Bew: $|( \varepsilon^{ik})|=p^{\therefore}\underset{\substack{\uparrow\\\text{fremd zu}}}{(\mu)\kappa}$\\
  Fortsetzg 343
\end{enumerate} 
\begin{flushright}287/288\end{flushright}

\begin{center} \underline{\"Uber $2$-tra Gruppen} \end{center}
\begin{enumerate}
  \item \underline{Zahlentheoretischer Hilfssatz:} unn\"otig: (11)
  \begin{gather*}
        \text{ Aus }2^{\alpha}-1=uv, 2^{\beta+1}=u+v, \ofrac{u}{v}>1\\
        \text{ folgt }  \alpha=2\beta;\ u,v =2^{\beta}\mp 1~~~  [h:]  \text{ besser }\pm~~ [:h] 
    \end{gather*}

    Bew: $\left\{ \begin{array}{l}
        \text{wegen}\ u,v>1\ \text{ist}\ \alpha\geq 4.\\
        u,v\ \text{ungerade da}\ \mid 2^{\alpha}-1,\ \alpha>0
      \end{array} \right.$
    \begin{flalign*}
      &2^{\alpha}-1=uv\geq 3\cdot(2^{\beta+1}-3)=3\cdot 2^{\beta+1}-9 &\\
      &2^{\alpha}\geq3\cdot 2^{\beta+1}-8 &\\
      &\underline{\alpha\geq \beta +1} &
    \end{flalign*}
    (sonst $\beta\geq\alpha$, $2^{\alpha}\geq 3\cdot 2^{\alpha}-8$,
    $2^{\alpha}\leq 8$, $\alpha \leq 3$ W!)\\
    Ferner $u\equiv -v\,(2^{\beta+1})$,\\
    also ist$\mod 2^{\beta+1}$ $-1\equiv2^{\alpha}-1=uv$, $v^2\equiv1$
    \begin{align*}
      &&2^{\beta+1} &\mid(v+1)(v-1)\\
      &\text{da Differenz}=2,\ \text{ist}\\
      &&2^{\beta} &\mid v\pm 1\\
      &\text{ebenso} & 2^{\beta} &\mid u\pm 1,\ \text{und}\ u\equiv -v,
    \end{align*}
    also bei passender Bez von $u$ und $v$ ist
    $u\equiv -1$, $v\equiv +1 \ \mod 2^{\beta}$\\
    $\equiv$\hspace{30.3ex} [h:] besser\; $+$ \hspace{5.3ex} $-$ [:h] 
    \begin{flushright}288/289\end{flushright}
      \begin{flalign*}
        &u=x\cdot 2^{\beta}-1,\ v=y\cdot 2^{\beta}+1\\
        &x>0,\ y>0,\ x+y=2\\
        &\text{also}\ x=y=1,\ 2^{\alpha}-1=uv=(2^{\beta}-1)(2^{\beta}+1)=
        2^{2\beta}-1,\ \alpha =2\beta
      \end{flalign*}
    
  \item Eine durch $\mathfrak{U}$ erzeugte $2$-trans Darst von $\mathfrak{G}$
  sei mittels $T$ verkn\"upft mit der durch $\mathfrak{V}$ erzeugten; dann ist
  $T$ normal.\\
  Bew: 
   \begin{align*}
    &&TT^{\ast} &= cI+ dF && F=(1)\\
    &&T^{\ast}T &= eI+ fF && \\
    c+dn = \max \ \text{EW}&& TT^{\ast} &= \dots T^{\ast}T= e+fn &&(n=Gr\mathfrak{G})\\
    c=\min && TT^{\ast} &= \dots T^{\ast}T \underline{=e} &&\\
    &&c&=e,\ d=f.
  \end{align*}
  {\it NB: Ist $KK^{\ast}=j\cdot I+r\cdot J$, so ist mit $x=\frac{k}{p}\pm
  \frac{\sqrt{k^2-rp}}{p}$, $S:=K\cdot xJ:\, SS^{\alpha}=jI$.}

\item $\sigma \in\aut \mathfrak{G}$. $T$ verkn\"upfe Permgr $\mathfrak{G}$
  mit $\overline{\mathfrak{G}}=\mathfrak{G}^{\sigma}$, dann verkn $T^m\
  \mathfrak{G}$ mit $\mathfrak{G}^{\sigma^m}$.
  Bew:
  \vspace{-5ex}
  \begin{align*}
    \forall_g& & gT &=Tg^{\sigma}\\
    \text{also}\ \forall_g& & g^{\sigma}T &=Tg^{\sigma^2}\\
    &          & gT^2 &= Tg^{\sigma}T=T^2g^{\sigma^2}
  \end{align*}

\item[($3^\prime$)]dito f\"ur Verkn\"upfg von $\mathfrak{U}$ mit $\mathfrak{U}^{\sigma}$:\\
  $\begin{array}{lcl}
     g\cdot\sum \mathfrak{U}R_v&  & g\cdot\sum 
     \mathfrak{U}^{\sigma}R^{\sigma}_v\\
    \mathfrak{U}R_vg=\mathfrak{U}R_{\mu} & \Rightarrow &
    \mathfrak{U}^{\sigma}R^{\sigma}_v
    g^{\sigma}=\mathfrak{U}^{\sigma}(R_{\mu})^{\sigma}
  \end{array}$\\
  $\mu=\mu(v,g)$, also $g^{\sigma}=(\ofrac{v}{vg})\cdot g$;
  $\overline{g}=g^{\sigma^{-1}}$
\begin{flushright}289/290\end{flushright}
  [ Kommentar: Der ganze folgende Punkt (4) ist mit Bleistift durchgestrichen. ] 

 [h:]  veraltet: siehe (11) [:h] 

\item Sei $n=2^d$, und $\mathfrak{G}$ eine $2$-tra Pgr des Grades $n$, die mit
  einer ebensolchen Darst. $\overline{\mf{G}}$ von $\mathfrak{G}$ verkn\"upft ist mittels
  Inz-Matrix $T$ mit\\
  $T\left( \begin{array}{c} 1\\1\\1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
    t\\t\\t \end{array} \right) $;\\
dann $\alpha=2\beta+2$ gerade, und $T$ hat bei passender 
  Normierung den EW $w=2^{\beta}$, und es ist $t=2^{\alpha-1}\pm w = 2w^2\pm w$.\\
  Bew: OBdA sei $1\leq t\leq\frac{n}{2}$. $\overline{\mathfrak{P}}$ $2$-Sy
  $\mathfrak{G}$ hat einen EV $\mf{x}$ zu einer Dastellg $\pm 1 \ (\not\equiv
  +1)$. $\overline{\mathfrak{P}}$ hat dann $T\mf{x}$. Beide m\"ussen aus $\frac{n}{2}$ Einsen und $\frac{n}{2}$ mal $-1$ bestehen, sind also bei passender
  Normierung von $T$ (dh $T\rightarrow TP$, $P\in \mathfrak{S}^n$)
  \underline{gleich} bis auf const. Fakt.
  \begin{align*}
    F\mf{x} &= 0\\
    T\mf{x} &= w\mf{x} &&\text{hier $w$ rat, da $\mf{x}$ rat.}\\
    \circledast\ TT^{\ast} &= c+dF &&F=(1)
  \end{align*}
  da $T$ nor, ist auch $T^{\ast}\mf{x}=\overline{w}\mf{x}=w\mf{x}$, also\\
  $c\mf{x}=TT^{\ast}\mf{x}=wT\mf{x}=w^2\mf{x} \qquad \underline{c=w^2}$\\
  $\circledast$ auf $\left( \begin{array}{c} 1\\1\\1 \end{array} \right)$
  angewandt gibt $t^2 =c+dn$\\
  ferner $\spur$ vergl. 1. $tn=cn+dn \Rightarrow t=c+d$.
\begin{flushright}290/291\end{flushright}


  Also $\left\{ \begin{array}{lr} t^2=w^2+dn & \\ t+w^2+d & d\geq 0
  \end{array} \right.$\\
  $(t+w)(t-w)=dn$ \\ $w=w_2$ ungerade \\
  $w_2^2 \leq w^2 \leq t < n=2^{\alpha}$, also $w_2^2\mid 2^{\alpha}=n$\\
  $w_2^2\mid t^2 \qquad w_2\mid t \qquad w_2\mid d$\\
  $w_2(\frac{t}{w_2}+\frac{w}{w^2})(\: - \: )=\frac{d}{w_2} \cdot n$\\ 
  Differenz $= 2\frac{w}{w^2}=2$ ungerade, also ein Faktor nur durch $2$
  teilbar, der andere durch $\frac{n}{2}:\quad \Rightarrow t\equiv \pm w$ und
  $\frac{n}{2}$.\\ 
  $t\equiv \pm w\,(\frac{n}{2})$ gibt\\
  $t=w \; \leftarrow d=0$, $t=1$\\
  $\frac{n}{2}-|w|$ $(t\leq \frac{n}{2}!)$\\
  $\frac{n^2}{4}-w^2=t(n-t)=w^2(n-1)$, $w^2=\frac{n}{4}$
\begin{flushright}291/292\end{flushright}

[ Kommentar: Der ganze Punkt (5) ist mit Bleistift durchgestrichen. ] 
Allgemeiner: (11)
\stepcounter{enumi}
\item[\underline{Satz} \labelenumi] Seien $\mathfrak{U}, \mathfrak{V}, \mathfrak{W}$
  drei Ugr vom Index $2^{\alpha}$ in $\mathfrak{G}$;
  $\mathfrak{U}$ sei hypermax. Dann 
  \begin{enumerate}
  \item $\mathfrak{U}\mathfrak{V} = \mathfrak{G}$ bei passender Bez.,
    
  \stepcounter{enumii}
  \item[oder \labelenumii] $\mathfrak{V}=\mathfrak{U}^g$.
  \end{enumerate}
  Bew: Verkn\"upfe $\overline{g}$ ind von $\mf{V}$ mit $g$ ind $\mf{U}$ wenn $\mathfrak{U}\mathfrak{V}\not= \mathfrak{G}$, ist die
  Matrix $T\not= 0,F$;\\
  $S$ verkn\"upfe $\overline{g}$ mit $\overline{\overline{g}}$, ind
  v. $\mathfrak{W}$
  \begin{align*}
                                    &&ST &= kR+lF\\
    \text{Betrachte den entspr EW:}  &&ww &=\pm kw  & k=\pm w=\sqrt{\frac{n}{4}}\\
                                    &&w^2&\equiv t^2 \equiv  wt\mod n\\
                                    &&w^3&\equiv  w^2t\mod nw\\
                                    &&\frac{n}{4}w -\frac{n}{4}t &\equiv  0\mod nw\\
                                    &&\frac{w-t}{4} &\equiv  0 \pmod w\\
                                    &&t &= 2w^2-w\\
                                    &&\frac{w^2-w}{2} &\equiv 0 \, (w)
  \end{align*}
  $\frac{w-1}{2}$ ganz $w$ ungerade, $w\mid n \Rightarrow w=1$.
\begin{flushright}292/293\end{flushright}

Autom. von $2$-tra $\mathfrak{G}$ 

\item Sei $\mathfrak{U}$ hypermaximal vom Index $p^d$ in $\mathfrak{G}$, $p>2$. Sei
  $\sigma$ ein Aut von $\mathfrak{G}$, $\sigma^m=1$, $m$ ungerade. Dann ist
  \begin{enumerate}
    \item $\mathfrak{U}\mathfrak{U}^{\sigma}=\mathfrak{G}$ oder

    \item $\exists g\ \mathfrak{U}^{\sigma}=\mathfrak{U}^g$.
  \end{enumerate}

  NB: Im Gegensatz zu 384 wird hier weder abelsche reg Ugr noch Maximalit\"at von
  ${}_1\mathfrak{G}$ vorausgesetzt!\\
  $\mathfrak{U}$ ind $g$ \anmerk induziere $\overline{g}$ von $\mathfrak{G}$.\\
  Nach ($3^\prime$) ist $gT=Tg^{\sigma}$, also\\
\begin{minipage}{4cm}
  \begin{align*}
    gT^m &= T^m g\\
    T^m &= u+vF & F=(1)\\
    TT^{\ast} &= c+dF
  \end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}{4cm}
\vspace{1.85cm} \hspace{-4cm}\rule{2.2cm}{0.1ex}
\end{minipage}\\
  $T$ ist normal nach (2), also 
  $(TT^{\ast})^m = \left\{ \begin{array}{lclr}
      (u+vF)^2 &\equiv& u^2 & (F)\\
      (c+dF)^m &\equiv& c^m & (F)
      \end{array} \right.$ \vspace{2ex} \\
  $u^2=c^m$; da $m\equiv 1$ (2), ist $c=w^2$, $w$ ganzrat \vspace{2ex}\\
  $\left\{ \begin{array}{rclr}
    t^2 &=& w^2+dn & n=p^d\\
    t &=& w^2+d &
  \end{array} \right.$
  \begin{flalign*}
    &(t+w)(t-w)=dn&\\
    &w=w_p\cdot p\text{-frei},\ w_p^2\leq t\le n,\ w_p^2\mid n&\\
    &w_p^2\mid t^2,\ w_p\mid t,d&\\
    &w_p (\frac{t}{w_p}+\frac{w}{w_p})(\cdots\,-\,\cdots)=\frac{d}{w_p}\cdot n&
  \end{flalign*}
\begin{flushright}293/294\end{flushright}

  Differenz der Klassen ist $2 \frac{w}{w_p}$, $p$-frei: etwa
  $p\nmid\cdots +\cdots$, dann
  \begin{gather*}
    w_p(\frac{t}{w_p} -\frac{w}{w_p}) \equiv 0\, (n)\\
    t\equiv w\, (n) \qquad t=w=1.
  \end{gather*}
 
\stepcounter{enumi}  
\item[zu \expandafter\uppercase\expandafter{\romannumeral10}36 \labelenumi]
  Frage: Sei $T$ eine Inzidenzmatrix mit $TT^{\ast}=cI+dF$. Wann gibt es eine
  Permutation $\pi$ mit $\pi^{-1}T\pi =T^{\ast}$?
  

\item ``Automorphismen und Charaktere'':\\
  Sei $g$ eine irred unit\"are Gruppe $\mf{G}$ von rat zahligen Matrizen,
  $\sigma\in\aut \mathfrak{G}$, $\spur g^{\sigma}=\spur g$.\\
  Dann $g^{\sigma}=S^{-1}gS$ mit rat zahliger Matrix $S$, die bis auf einen
  rat Faktor bestimmt ist; $gS=Sg^{\sigma}$ gibt, da $g$ unit\"ar,
  $S^{\ast}g=g^{\sigma}S^{\ast}$, also $\underline{SS^{\ast}}=cI$.\\
  Ferner ist, wenn $g^{\tau}=T^{-1}gT$,
  \[ g^{\sigma\tau}=T^{-1}g^{\sigma}T=T^{-1}S^{-1}gST \]
   also, wenn $S=M_{\sigma}$ gesetzt wird usw:
  \[  \underline{ M_{\sigma}M_{\tau}= \text{rat.}M_{\sigma\tau}} \]
  nachher
  \[ \underline{M_{\sigma^{-1}}=\text{rat.}M_{\sigma}^{\ast} } \]
\begin{flushright}294/295\end{flushright}

\item Sind die von $\mathfrak{H}$ und $\mathfrak{K}$ erzeugten
  Permdarstellungen von $\mathfrak{G}$ \"aqu. im Sinn der Darstth., so sind sie 
  \underline{gleichzeitig} $k$-tra oder $k^{\ast}$-tra, denn diese Eigenschaften 
  kann man an den Charakteren entscheiden: $\mathfrak{G}$ induziert auf der Menge der
  $n(n-1)-(n-k+1)$ geordneten $k$-Tupel ohne Wiederholung eine Gruppe mit
  $\frac{1}{g}\Sigma\chi(\chi-1)-(\chi-k+1)$ Transgebieten.

\item Frage zu (9): Wie ist es mit Primitivit\"at, $k+\frac{1}{2}$-trans,
  $k$-pri?\\[5mm]
   $[$ Kommentar: Der folgende Punkt (11) ist mit Bleistift durchgestrichen. $]$ 
\begin{flushright}19.10.60\end{flushright}

\item 
  In einer $2$-tra Gruppe $G$ von geradem Grad $n$ ist jede intra Ugr vom Index
  $n$ konjugiert zu $G_1$. [h:]  $n=2p^d$ geht aber! $\checkmark$ 10,$G$ [:h] \\
  Bew: Verkettgsmatrix $V$ hat $n-1$ EWe vom gleichen Betrag $|\kappa|$, und
  $|\kappa|^{n-1}$ ganzrat und $\kappa\overline{\kappa}=j$ ganzrat:
  $VV^{\ast}=jI+\lambda F$, $F=(1)$;\\
  also $|\kappa|$ rat, $j=w^2$. Hat $V v$ Einsen in jeder Zeile, so
  \begin{flalign*}
    &           & v &=j+\lambda     & (\spur VV^{\ast})\\
    &\text{und} & v^2 &=j+\lambda n &  (e^{\ast}VV^{\ast}e,\ e=
    \begin{pmatrix}
      1\\ 1\\ 1
    \end{pmatrix})
  \end{flalign*}
\begin{flushright}295/296\end{flushright}

  Also \vspace{-7.21ex}
  \begin{center}
    \begin{minipage}[b]{5cm}
      \begin{align*} 
        &v=j+\lambda\\
        &v^2 = j+\lambda n\\ 
        &v^2=j^2+21j+\lambda^2\\
        &2\lambda j+\lambda^2 = \lambda n
      \end{align*}
    \end{minipage}
    \hspace{-4.16cm}
    \begin{minipage}[b]{5cm}
      \rule{1.82cm}{.4pt}\\
      \rule{0cm}{11.25mm}
    \end{minipage}
  \end{center}

  {\it [Nebenrechnung]}
  \begin{align*}
    &&&v\leq p^{\alpha}\\
    &&&v=j+\lambda, && \lambda>0,\ v>n\\
    &w>0, && \underline{v^2=j+\lambda n = w^2+\lambda n}\\
    &&& (v+w)(v-w)=2\lambda p^{\alpha}\\
    &\expandafter\uppercase\expandafter{\romannumeral1} && v=w+x
    p^{\alpha}\Rightarrow x\leq 0\Rightarrow v<w~~~~~~\text{ Wid!}\\
    &\expandafter\uppercase\expandafter{\romannumeral2} && v=-w+x
    p^{\alpha} \Rightarrow v+w=p^{\alpha} &\\
    &&& \Rightarrow v-w=2\lambda=2v-2w^2 \\
    &&& \Rightarrow 2w^2=w+v=p^{\alpha} && 2\mid p~~~\text{ Wid!}
  \end{align*}\vspace{-5ex}

  Wenn $\lambda\not= 0$, so \hspace{-6ex}\vspace{-5ex}
  \begin{minipage}{4cm}
  \begin{align*}
    &2w+\lambda = n\\
    &\underline{v+w=n}
  \end{align*}
  \end{minipage}\vspace{7ex}\\
  aber oBdA $v\leq \frac{n}{2}$, und da $\lambda >0$, ist $w<v$\\
  Also $\lambda =0$, $v=1$, $v\in S^n$, wenn $V$ einen EW $\kappa$ mit
  $|\kappa|=$rat hat.

\item Hat $n-1$ genau $r$ verschiedene Primteiler, so enth\"alt die $2$-tra Gr
  $G$ h\"ochstens $2^{r-1}$ verschiedene Klassen konjugierter Ugruppen $H_i$ vom
  Index $n$ sodass stets $H_iH_j \not= G$.\\
  Denn die $j$ k\"onnen nur $2^{r-1}$ Werte annehmen: 
  \[\left\{ \begin{array}{lr}
      j=\frac{k\cdot l}{p-1} & (k=v\ \text{oben})\\
      k+l=n &
    \end{array} \right.\]
  und die Determinante zeigt, wenn $V_1~G^{\ast}$ in $G^{\ast\ast}$, $V_2~
  G^{\ast\ast}$ in $G^{\ast\ast\ast}$ und $V_3~G^{\ast}$ in $G^{\ast\ast\ast}$
  \"uberf\"uhrt (Inzidenzmatrizen)\\
  $G^{\ast}=G_H$, $G^{\ast\ast}=G_K$ usw bezeichnet.
\begin{flushright}296/297\end{flushright}
  \begin{minipage}[b]{6cm}
  \begin{align*}
   &\text{dann} & V_1V_2     &=V_3\cdot (aI+bF)\\
   &\text{also} & |K_1||K_2| &=|K_3|\cdot a \\
        && j_1j_2     &=j_3a^2
  \end{align*}
  \end{minipage}\vspace{1.5ex}\\
  also wenn $j_1=j_3$, ist $j_2=a^2$, geht nicht.\\
  Daher alle auftretenden $j_{\rho}$ verschieden, Anzahl der Klassen $=$ Anzahl
  der versch $j_l=2^{r-1}$.\\
  $j$ ist n\"amlich eindeutig bestimmt durch Angabe der
  $p_{\sigma}^{\beta\sigma} \,\top\, n-1$, die $\mid v$!\\
  Dazu muss man wissen, dass von den Tra-Lgen von $H_K$ alle bis auf eine
  durch $p^{\beta}$ teilbar sind, wenn $p^{\beta}\,\top\, n-1$ (und die letzte ist
  $\equiv 1\, (p^{\beta})$).\\
  Bew: $p$ Sylowgr von $H_K$ ist $p$-Sy von $G_K$ ist konj $p$ Sy $K_K$, und
  die letztere hat ein TraLge $1$, die anderen $\equiv 0\, (p^{\beta})$.\\
  Also jedes $v$ ist $\equiv 0,1 \mod p^{\beta}$, wenn $p^{\beta}\,\top\,
  n-1$. $v$ und $n-v$ geben das gleiche $j$.\\
  Wenn $v$ genau durch die gleichen $p_{\sigma}^{\beta\sigma}\,\top\, n-1$
  teilbar ist, so setze $\prod p_{\sigma}^{\beta\sigma}=a$, $n=ab$, und es ist
  $n\equiv v\equiv 1\, (b)$, also $n-v\equiv 0$.\\
  $v=x a$, $ n\cdot v=yb$\\
  $ab+1=n= xa+yb$;\\
  hier $x =[ \frac{a^{-1}}{b}]=$ kl pos Rest $\mod b$, $y=[\frac{b^{-1}}{a}]$\\
  $j=x$, also eindeutig bestimmt durch $a$.
\begin{flushright}297/298\end{flushright}

\item Da Ostrom \& Wagner MZ 1959? alle $0-1$- Matrizen $V$ mit $VV'=aI+F$
  bestimmt haben, deren Gruppe $2$-tra ist, sollte man jetzt alle $V$ mit
  $VV'=aI+bF$ und $2$-tra Gr bestimmen, dh alle $2$-tra block designs.

\item  $\left\{ \begin{array}{l}
      \text{Vor: ist aber:}\ p\nmid|K|^2\\
      G, 2-\text{tra, vom Grad } n\equiv 1\mod 2,\ \text{enthalte tra}\ A\
      \text{nicht notw}\\
      \text{abelsch mit}\ A \underset{p}{\rhd} B\ \text{in}\ \mathcal{N}A
    \end{array} \right.$\\
  einen Autom $\alpha$ d $\ord 2$ erleidet (u.a.).\\
  $n=|A|$ sei ungerade. Dann ist jede intravar. Ugr des Index $n$ konjugiert
  zu $A$ in $G$.\\
  Bew: Die Vertauschungsmatrix $V$ kann als Linverbdg von El. in $A$
  geschrieben werden. Man kann erreichen, dass $V$ invariant bez
  $\alpha$, dann hat $V$ einen nichttrivialen \underline{realen} EW $\kappa$
  im K\"orper der $p$-ten EW (wo $p$ so gew\"ahlt, dass eine Faktor-Gruppe der 
  $\ord p$ von $A$ den Autom $-1$ unter $\alpha$ erleidet!). Da $p$ ungerade, 
  $p\nmid n$, $\kappa^2=$rat, ist $\kappa$ rat,
  $j=w^2$, $w$ rat (siehe Beweis 11).\\
   $[$ {\it Schluss eingef\"ugt von Seite 299:} $]$ \\
  Aber Vor: $p+|K|^2$!\\
  z.B. wenn die reg Gr $A$ nilpotent ist und $2\mid |\mathcal{N}A|$, sind Vor
  14 erf\"ullt.\\
  z.B: $n=p^{\alpha}$, $2\mid |\mathcal{N}G_p|$\\
  {\it [durchgestrichen: gilt wohl auch wenn $A_p \not=$ regul\"ar]}


\item Ist $A,B\leq G$ und f\"ur jede Klasse $K$ konj Kl. in $G$
  stets $|A\cap K|=|B\cap K|$, so folgt aus $S\leq G$, $AS=G$ auch
  $BS=G$. Denn $S$ hat in den beiden Darst von $G$ den gleichen Charakter, ist
  also auch in $G_B$ tra.\\ 
   $[$ {\it Schluss eingef\"ugt von Seite 299:} $]$ \\
  allgemeiner: Ist stets $|K\cap A|=|K\cap B|$, so hat jede Ugr $U\leq G$
  gleich viele Konstit. in $G_A$ wie in $G_B$, d.h. die Anzahl der
  verschiedenen Summanden in $G=\sum AgU$ und in $G=\sum B+U$ ist dieselbe.\\
  FORTSETZG 336
\begin{flushright}298/299\end{flushright}

\begin{center}
  Verlagerung:
\end{center}
Vermutung von Olga Todd:\\
Sei $G>H>G'>1$, $H'=1$. Dann ist $|V_{G\rightarrow H}(G)|$ ein Teiler von
$|H:G'|$;\\ 
Nein!$|$ vielleicht ist genauer $V_{G\rightarrow H}(G)\cong$ einer Untergruppe
von $H/G'$ (dagegen ist \text{nicht} immer eine Ugr von $\Kern V_{G\rightarrow H}$
isomorph zu $G/H$, der Kern braucht $G/H$ nicht zu decken).\\
Nach Iyanaga ist $\exp V_{G\rightarrow H}(G)\mid |H:G'|$\\
OTT hat ein Gegenbeispiel (K4):
\begin{gather*}
  V_{G\rightarrow H}(G) \cong (9)\\
  H/G' \cong (3,3)
\end{gather*}
Fortsetzg 314
\begin{flushright}299/300\end{flushright}

conj \anmerk hypermax
\item Vor: $(n, |\kappa|)^2=1$. Sei $G$ $2$-tra, $G\geq A$ tra, $n\equiv 1\, (2)$, ,
  $A'=$ Kommgr von $A$, $\overline{A}'=$ gr\"osster Normalteiler von $A$, der
  jedes Transgebiet von $A'$ in sich \"uberf\"uhrt; $\exists g\in
  \mathcal{N}A:\, g^2=1$, $g$ zentralisiert $A/\overline{A^\prime}$ nicht.\\
  Dann sind je zwei intra Ugr vom Index $n$ in $G$ konjugiert.\\
  Die Vor. sind erf\"ullt z.B. wenn $A$ nilpotent und regul\"ar und $2\mid
  |\mathcal{N}A|$,\\ 
  $2\nmid n$, $(n,|\kappa|^2)=1$

\item Statt $(n,|\kappa|^2)=1$ gen\"ugt es, wenn jeder Primteiler von $n$ in
  $|\kappa|^2$ in \underline{gerader} Potenz aufgeht. Denn dann folgt aus der
  Existenz eines reellen EWes der verkettenden Matrix seine Rationalit\"at.\\
  Die Vor. ist erf\"ullt, wenn $n=p^{\alpha}$, dann dann ergibt $t^2=c+dn$,
  $t=c+d$ ja $t(n-t)=c(n-1)$, also $c\underset{p}{\sim} t(n-t)\underset{p}{\sim}
  m^2$.
  
  Also:
\stepcounter{enumi}
\item $n=p^{\alpha}$, eine tra $p$-Untergr $A$ von $G$ habe  einen durch ein $n \in
  G\cap\mathcal{N}A$ erzeugten Aut der $\ord 2$, so dass $A\circ n$
\begin{flushright}300/301\end{flushright}

  nicht alle Transgebiete von $A'$ fest l\"asst $\Rightarrow$ $(HK\not=
  G\Rightarrow H=K^{g})$, wenn $H$ hypermax.
\end{enumerate}
\begin{flushright}301/302\end{flushright}

\begin{center} \underline{Fastringe $N$ auf Gruppen $\Gamma$.} \end{center}
\begin{enumerate}

\item Sei $1\in N$. Ist $A=\mathcal{A}(\gamma)$ der Annulator eines $\gamma
  \in \Gamma$ und gibt es Rechts\-ideale $R,S \leq N$ mit $R+S=N$,
  $R\geq A$, $R\cap S\leq A$, so ist auch $R$ Annullator eines gewissen $\delta
  \in \Gamma$.\\
  Bew: $\exists\ 1=r+s$, $\delta:= \gamma s$
  \begin{enumerate}
  \item[\expandafter\uppercase\expandafter{\romannumeral1}.]
    %\begin{align*}
      $sR \equiv \left\{
        \begin{array}{l}
          1, R\equiv 0 \mod R\\
          0 R\equiv 0 \mod S
        \end{array} \right.$\\
       \phantom{sR }$\leq  A$\\
       $\delta R=\gamma sR=0,\ \underline{R\leq \mathcal{A}(\delta)}$
    %\end{align*} %}

  \item[\expandafter\uppercase\expandafter{\romannumeral2}.] 
    Wenn $x\in \mathcal{A}(\delta)$, so
    \begin{flalign*}
      &0=\delta x=\gamma sx\\
      &sx\in A\\
      &x=rx+sx \in R+A =R
    \end{flalign*}
  \end{enumerate}
  \begin{flushright}302/303\end{flushright}

\item Sei $\begin{cases}
    \{\gamma_j\} \subseteq\Gamma, & A_j=\mathcal{A}(\gamma_j),\, \text{nicht
      notw.}\ 1\in N\\
    \gamma\in\Gamma,& A=\mathcal{A}(\gamma),
  \end{cases} $ \vspace{1ex}\\
  $s\in N^{(2)}$, $\gamma_j s=0$, $A=\bigcap_j A_j$, dann ist auch
  $\gamma s=0$.\\
  Bew: Da $s\in N^{(2)}$, $\exists n\in N:\, \gamma s=\gamma n$.\\
  Ferner, da $s\in N^{(2)}$, $\exists n_j\in N:\, \gamma n_j=\gamma s$,
  $\gamma_j n_j=\gamma_j s=0$\\
  Nun wird 
  \begin{gather*}
    \gamma(n-n_j)=\gamma n-\gamma n_j=\gamma s-\gamma s=0\\
    n-n_j \in A = \bigcap A_j\\
    \gamma_j (n-n_j) =0\\
    \gamma_j n=0\\
    n\in A_j\\
    n\in A \qquad \underline{0=\gamma n=\gamma s}.
  \end{gather*}

\item Sei $1\in N$, $N=\underset{\text{endl}}{\oplus}\min$ Rechtsideale
  (gewisser) $\{R\}$ distrib. ($\rightarrow$ sind dann alle wegen Distrb). Dann
  $N=N^{(2)}$\\
  Bew: Minbedg  f. Rechtsideale gilt in $N$\\
  $\bigcap_{\gamma
  \in \Gamma}\mathcal{A}(\gamma)=0$. endlich viele gen\"ugen.\\
  Jedes Oberideal eines $\mathcal{A}(\gamma)$ ist wegen der vollen Red von
  $N-\mathcal{A}(\gamma)$ nach (1) ein $\mathcal{A}(\delta)$.
\begin{flushright}303/304\end{flushright}

  Also ist jedes $\mathcal{A}(\gamma)$ der Durchschnitt der
  \underline{maximalen} Rechtsideale $\supseteq\cal{A}(\gamma)$, und diese
  sind auch Annullatoren.\\ 
  Also $\exists \gamma_1,\dots,\gamma_k \in\Gamma:\,
  \bigcap\mathcal{A}(\gamma_j)=0$, $\mathcal{A}(\gamma)\max$, und wenn diese
  Darstellung unverkn\"upfbar, so sind die $\mathcal{A}(\gamma_j)$ wegen
  Distrb. schon \underline{alle} max. Rechtsideale, und es ist
  $D_i=\bigcap_{j\not= i} \mathcal{A}(\gamma_j)$ ein min Rechtsideal und
  $\bigoplus D_i =N$ wegen ratzahliger Jordanl\"ange.\\
  Wegen $\bigcap \mathcal{A}(\gamma_j)=0$ ist jedes $n\in N$ festgelegt durch
  Kenntnis der $\gamma_j n$, und diese $k$ Elemente k\"onnen \underline{willk\"urlich}
  (in $\gamma_j N$) vorgeschrieben werden, unabh\"angig voneinander.\\
  Ist nun $t\in N^{(2)}$, so gibt es ein $n\in N$ mit $\gamma_i t=\gamma_i n$,
  und es ist $s=t-n\in N^{(2)}$ und $\gamma_i s=0$. Andererseits ist, wenn
  $0\not= \gamma\in\Gamma$, $\mathcal{A}(\gamma)=\bigcap\mathcal{A}(\gamma_j)$
  f\"ur geeignete $j\leq k$, da die $\mathcal{A}(\gamma_j)$ \underline{alle}
  max RIdeale sind. Nach (2) ist $\gamma s=0$, $s=0$, $s\in N$, $t\in N$,
  $N=N^{(2)}$.
\begin{flushright}304/305\end{flushright}

\item Def: Ein ($N$-)Kern in $\Gamma$ ist der Kern eines $N$-Homom von
  $\Gamma$ (also eine normale Ugr von $\Gamma_+$, deren Restklassen eine
  $N$-Gruppe bilden). Die Kerne in $N_+$ sind die Rechtsideale.

\item Def: $\Gamma$ vollst\"andig reduzible $N$-Gruppe, wenn der Durchschnitt
  der maximalen Kerne in $\Gamma$ gleich $0$ ist.

\item Def: Seien $\Delta, E$ zwei normale Ugr von $\Gamma_+$.\\
  Nenne Zerlegg $\Delta+E$ $\left\{
    \begin{array}{l}
      \text{kommut.}\\
      \text{distributiv, wenn}
    \end{array} \right.$\\
  $\forall_{\substack{x\in N\\ \delta\in\Delta\\ \varepsilon\in E}}
  (\delta+\varepsilon)x=\delta+\varepsilon x$ bezw
  $\delta+\varepsilon=\varepsilon+\delta$.

\stepcounter{enumi}
\item[Satz \labelenumi] Sind $\Delta$, $E_i\ (i\in I)$ Kerne in $\Gamma$ und
  $E=\sum_{i\in I}E_i$, so ist\\
 $\Delta+E\mod\sum(\Delta\cap E_i)$ distributiv und kommut.\\
  Also $\Delta+\sum E_i$ ist kom \& dis$\mod \sum(\Delta\cap E_i)$.
\begin{flushright}305/306\end{flushright}

  Bew: $\varepsilon=\sum_{i=1}^{k}\varepsilon_i$ Indukt bezgl $k$\\
   \underline{Distrib:} 
  \begin{align*}
    k&=0 && \text{trivial}\\
    k&>0: && \rho=(\delta+\varepsilon'+\varepsilon_k)x-
    (\varepsilon'+\varepsilon_k)x-\delta x\\
    \mod E_k &\cap\Delta: &&\rho \equiv
    \underbrace{(\delta+\varepsilon')x-\varepsilon'x-\delta
      x}_{\in\sum_{i=1}^{k-1}(\Delta\cap E_i)}
  \end{align*}
  Indukt $\rho\in\sum_{i=1}^{k} (\Delta\cap E_i)$\\[5mm]
  \underline{Kommutativit\"at}: $\sigma=\delta+\varepsilon-\delta-\varepsilon
  \equiv (\delta+\varepsilon'-\delta-\varepsilon') \mod (\Delta\cap E_k)$\\
  Indukt $(\delta+\varepsilon'-\delta-\varepsilon')\equiv 0\, \left( \sum^{k-1}
  (\Delta\cap E_i) \right)$
\begin{flushright}306/307\end{flushright}

\stepcounter{enumi}
\item[Satz 8.] F\"ur Kerne $\Delta$, $E_i (i\in I)$ in $\Gamma$ gilt
  \begin{equation*}
    \Delta\cap\sum E_i \mod \sum(\Delta\cap E_i)
  \end{equation*}
  ist ein komm \& distr $N$-Modul.\\
  Bew:  $\Delta\cap\sum E_i=:A$, $\Delta\cap E_i=A_i$, $A\supseteq \sum A_i$\\
  $A\subseteq\sum E_i$, $A\subseteq\Delta$

\item[(7):]  $\alpha,\varepsilon\in A$: \vspace{-5ex}
  \begin{align*}
    \alpha+\varepsilon    &\equiv \varepsilon+\alpha \mod\sum A_i\\
    (\alpha+\varepsilon)x &\equiv \alpha x+\varepsilon x\mod\sum A_i
  \end{align*}

\item[($8^\prime$)]  NB: Ein duales Gegenst\"uck f\"ur $|I|>2$ scheint nicht zu exist.,
  aber f\"ur $|I|=2$.
 
\stepcounter{enumi}
\item[Satz 9.] Wenn kein Kernausschnitt von $\Gamma$ $(\not=
  0)$ komm \& distr, so bilden die Kerne in $\Gamma$ einen distributiven
  Verband im folgenden Sinn:\\
  F\"ur \underline{beliebige Indexmengen} $\{i\}$ und Kerne $\Delta, E_i$
  gilt:
  \[ \Delta\cap\sum E_i =\sum(\Delta\cap E_i) \]
  F\"ur \underline{endliche} Indexmengen ist auch
  \[ \Delta+\bigcap E_i=\bigcap(\Delta+E_i) \]
  Bew f\"ur das erstere: (8)\\
  Bew f\"ur das letztere: Indukt $|I|=k:$\\
  $\begin{array}{ll}
  \leq & \text{klar} \\
  \geq:\ k=2: & (\Delta+E_1)\cap(\Delta+E_2)\mod \Delta+E_1\cap E_2\\
   k>2: & \Delta+\cap_1^k E_i=\Delta+(\cap_1^{k-1}E_i\cap E_k)\hfill \text{ist
      kom \& distr}\\
    &  =(\Delta+\cap_{k-1})\cap(\Delta+E_k)=\cap_{k-1}(\Delta+E_i)\cap(\Delta+E_k)\\
    &=\cap_k 
  \end{array}$
\begin{flushright}307/308\end{flushright}

\item Ist jedes $\gamma N$ vollst\"andig reduzibel (5), so ist $\bigcap M=0$,
  wenn $M$ alle max. Rechtsideale durchl\"auft, die einen Elementannullator
  enthalten.\\
  Bew: Dann $\mathcal{A}(\gamma)=\bigcap M$, da $\gamma N\cong
  N/\mathcal{A}(\gamma)$, $\mathcal{A}(\gamma)\leq M<N$, und trivial ist
  $0=\bigcap_{\Gamma}\mathcal{A}(\gamma)$.

\item[($10^\prime$)] Ist umgekehrt $\bigcap M=0$, wo $M$ \"uber alle max. Rechtsideale
  l\"auft, \underline{und} gilt in $N$ die MinBed f\"ur Rechtsideale, so ist
  $\gamma N$ vollstd reduz f\"ur alle $\gamma \in \Gamma$.\\
  Bew: $N$ ist direkte Summe endlich vieler \underline{min} Rechtsideale,
  daher ist $N|R$ desgleichen, wenn $R$ Rechtsideal; daher auch
  $N|\mathcal{A}(\gamma)$, daher $\gamma N$ vollst red (und endlich viele
  gen\"ugen).

\item[Satz($10^{\prime\prime}$)] Sei MinBed $\{R\}$ in $N$ erf\"ullt. Dann: Jedes $\gamma N$
  vollstd red \\
  $\Rightarrow \bigcap$ MaxRechtsid $=0$ $\Rightarrow$ Jedes $\gamma N$ endl 
  vollst red.
\begin{flushright}308/309\end{flushright}

\item Aufgabe: ``Freie'' Fastringe untersuchen, die durch Addition der
  Elemente einer gegebenen Gruppe $A$ distributiv erzeugt werden.

\item Sei $\Gamma_1/\Gamma_2$ ein monogener Ausschnitt von $\Gamma$ unter 
  $N$, und sei $1\in N$. Dann ist $\Gamma_1/\Gamma_2$ $N$-isomorph zu einem 
  Ausschnitt von $N_+$, n\"amlich zu $N_+/R$, wo $R=\{r\mid r\in N,\ \gamma,
  r\in \Gamma_2\}$ mit fest gew\"ahltem $\gamma_1\in\Gamma_1-\Gamma_2$ derart 
  dass $\gamma_1 N$ ganz $\Gamma_1/\Gamma_2$ deckt (geht nach Vorauss.). $R$ 
  ist ein Rechtsideal in $N$.\\[5mm]
Allgemeiner: Sei $1\in N$. Jeder monogene $N$-Modul $\Gamma$ ist $\cong N/R$
f\"ur ein Rechtsideal $R$. $\Gamma$ irred.$\Leftrightarrow R$ max
\begin{flushright}309/310\end{flushright}

\underline{Vermutung:}
\item Wird $N$ auf $\Gamma$ erzeugt von einer auf der endl Gr $\Gamma_+$
  ``primen'' AutomGruppe, so ist jeder ``Kopf'' von $N$ ein Ring.

\item Frage: Welche Abb von $\Gamma$ lassen
  \begin{enumerate}
    \item jede subnormale

    \item jede normale

    \item jede charakter.
  \end{enumerate}
  Untergruppe von $\Gamma_+$ fest?\\
\underline{Radikal:} Sei $1\in N$
\item Nenne ein R-Ideal in $N$ hypermax, wenn $N/R$ ein \underline{minimaler}
  $N$-Modul. ($R$ max, wenn $R$ max Rechtsideal, dh $N/R$ irreduzibler
  $N$-Modul).
\item Def: $\underline{\mathcal{R}}=$ Durchschn d. Annullatoren aller
  \underline{monogenen} irred. $N$-Moduln, $\overline{\mathcal{R}}=$ Durch d
  Ann aller minimalen $N$-Moduln.\\
  Es ist $\underline{\mathcal{R}}\leq \overline{\mathcal{R}}$.
  
\item Ist $\mathcal{R}$ der Durchschnitt aller max. Rechtsideale, und $1\in
  N$, so ist\\
  $\underset{\substack{|~~~\\\text{\tiny{def:(16)}}}}{\underline{\mathcal{R}}\leq} \mathcal{R}$, und 
  $\underline{\mathcal{R}}$ ist das maximale zweiseitige Nilideal (s.15) in 
  $N$.\\[5mm] 
  Bew: 

  \begin{enumerate}
  \item $\underline{\mathcal{R}}$ annulliert jedes $N/M$ wenn $M$ max
    Rechtsideal. Daher:
    \[ 1\cdot\underline{\mathcal{R}} \subseteq M,\quad
    \underline{\mathcal{R}}\subseteq M,\quad \underline{\mathcal{R}}\subseteq
    \bigcap M=\mathcal{R}. \] 

  \item $\underline{\mathcal{R}}$ ist (nat\"urlich zweiseitiges Ideal) und
    Nilideal: Jedes $z\in\underline{\mathcal{R}}$ ist fixpunktfrei in jeder
    Darstellung von $M$.\\
    Bew: Ist $\gamma z=\gamma$ ($\gamma\in\Gamma$, $\gamma N\not= 0$),\\
    so $\gamma(1-z)=0$, $1-z\in \mathcal{A}(\gamma)\le M\dot{<} N$\\
    ${\underline{z\in M}}$\\
    $1\in M$

  \item Ist $Z$ ein zweiseitiges Nilideal, so
  $Z\le\underline{\mathcal{R}}$.\\
  zu zeigen: $M\dot{<} N\Rightarrow Z\le M$\\
  Bew: \quad sonst
  \begin{eqnarray*}
    Z+M               &=      & N\\
    \exists\ z+m      &=      & 1\\
                    z &\equiv & 1\, (M)   
  \end{eqnarray*}
  $z$ hat Fixpkt $1$ in $N/M$.
  \end{enumerate}
\begin{flushright}311/312\end{flushright}  

\item Beispiel eines Fastrings $N$ mit
  $\underline{\mathcal{R}}=\mathcal{R}=0$, $\overline{\mathcal{R}}=N$,
  $1\not\in N$:\\
  Sei $\Gamma_+=$ alternierende Gruppe auf $\mathbb{Z}$, und $N$ bestehe aus
  den Abb $n$ von $\Gamma$ in sich, die fast alle $\gamma\in \Gamma$
  annullieren, und die \underline{alle} $\gamma$ in solche mit\\
  $\max$ Tr($\gamma n$) $\leq \max$ Tr($\gamma$) \"uberf\"uhren.\\
  Hier ist $N_+ \simeq$ eingeschr. direkte Summe
  abz\"ahlbar vieler $A^{\aleph_0}$, daher jeder Normalteiler von $N_+$ gleich dem vollen
  Rechtsideal einer Teilmenge $\Delta$ von $\Gamma$, daher ist jedes max
  Rechtsideal ein Elementannullator, ein $N/R$ ist $\cong \Gamma$ und daher
  \underline{nicht} minimal, also ist $\overline{\mathcal{R}}=N$.

\item Adjungiert man die $1\in N(\Gamma)$, so erh\"alt man ein gr\"o\ss eres
  $N^{\ast}$ mit $\overline{\mathcal{R}^{\ast}}=N$ von 18, $\mathcal{R}=0$.
\begin{flushright}312/313\end{flushright}

\addtocounter{enumi}{-1}
\item Interessantes Beispiel eines Fastrings:\\
  Die Abb von $\mathbb{Z}$ in sich, die jedes $\zeta\in\mathbb{Z}$ in
  ein Vielfaches von $\zeta$ \"uberf\"uhren. Dieses $N$ hat keinen
  Ring-Kopf, denn f\"ur die Abbildung $f(\zeta)$ mit
  \[ f(2^k3^l\eta)=(k+l)2^k3^l\eta \quad (\eta, 6)=1 \]
  ist $(\zeta\cdot 2+\zeta)f-\zeta f-(\zeta\cdot
  2)f=\zeta$, das heisst $1$ ist ein ``Distributor'', liegt also in
  jedem zweiseit. Ideal $R$ mit $N/R=$ Ring. Daher dann
  $R=N$. - $Z_p=\{a\mid \exists_\nu (p^\nu\mid \gamma\Rightarrow \gamma
  a=0)\}$ ist f\"ur jede Primzahl $p$ ein zweiseitiges Ideal, vermutlich
  maximal.

\item Frage: Ist das $\underline{\mathcal{R}}$ von (16) auch der Annullator
  aller einfachen Rechtsidealausschnitte?

\item Aufgabe: Bestimme die Automorphismen eines einfachen Fastrings mit
  Minbedgg f\"ur Rechtsideale. Ist $N=N(G)$, so werden die Autom von $N$
  induziert von Autom von $G$, sind also innere.
\end{enumerate}
\begin{flushright}313/314\end{flushright}

\begin{center} \underline{Verlagerung} \end{center}
\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}.}

\begin{enumerate}
\item Problem von Olga Todd von S.299:\\
  Der einfachste noch nicht erledigte Fall verlangt, zu zeigen, dass aus\\
  $G/G'\simeq (4,8)$\\
  und $G>H>G'$ und $H'=1$\\
  und $G/H\cong (4,4)$ folgt:\\
  $V_{G\rightarrow H} (G)$ hat $\ord\leq 2$.
  
\item Wenn $P$ abelsche $p$-SyGr $G$, $G^{\ast}$ der Normalteiler mit d
  gr\"ossten $p$-Fak\-tor\-grup\-pe, dann zerf\"allt $P$ \"uber
  $P^{\ast}:=P\cap G^{\ast}$, also zerf. $G$ \"uber $G^{\ast}$\\
  (Adney PAMS 8 (1957), 627-633)\\
  \underline{Frage:} gilt das auch f\"ur regul\"ares $P$, oder sogar stets?\\
  NB: Eine Vertretergr von $G^{\ast}$ im abelschen Fall ist die Gr
  $V_{G\rightarrow P}$ (Adney)\\
  Verwandt: Huppert, MS Modulare Sylowgruppe, 3.4
\end{enumerate}
\begin{flushright}314/315\end{flushright}

%\newpage

\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}

\begin{center} \underline{Fastringe} \end{center}
\begin{enumerate}

\item Adjunktion eines $1$-Elements:\\
  Bei einem Ring geht es (nach Dorroh ?) so:\\
  geg Ring $R$; setze $R^{\ast}=\{\langle r,n\rangle\}$, $r\in R$,
  $n\in\mathbb{Z}$ mit nat\"urlichen Regeln. Dann gilt:
  \begin{enumerate}
  \item Jeder $R$-Modul $M$ kann zu einem unit\"aren $R^{\ast}$-Modul gemacht
    werden.

  \item Ist $R_1$ ein Ring $\geq R$ mit Eins, sodass jeder $R$-Modul zu einem
    unit\"aren $R_1$-Modul gemacht werden kann, so enth\"alt $R_1$ genau einen
    minimalen Ring $R_2$ mit Eins und der gleichen Erweiterungseigenschaft;
    und $R_2\cong R^{\ast}$\\
    \underline{Frage:} Gibt es eine \"ahnlich kanonische Adjunktion einer $1$
    bei Fastringen?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{flushright}315/316\end{flushright}

\begin{center} Permutationsdarstellungen \end{center}
\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}.}

\begin{enumerate}
\item Ist $A\leq B\leq G$, so ist die durch $B$ induzierte
  Permutationsdarstellung $G_B$ enthalten in $G_A$.\\
  Bew: $G_B$ hat im Gruppenring $R(G)$ den Darstellungsrechtsmodul erzeugt von
  den $Bg_i$, und diese liegen im Modul der $Ag$.

\item Ist $A\leq B\leq G$, so $|A\cap C_i|\leq|B\cap C_i|$ f\"ur jede Klasse
  $C$ konjugierter Elemente.

\item Frage: Folgt aus $A,B\leq G$ und $|A\cap C_i|\leq |B\cap C_i|$ f. jede
  Klasse $C_i$ stets auch, dass die durch $B$ induzierte Permdarst. $G_B$ in
  $G_A$ enthalten ist? F\"ur $|A|=|B|$ stimmts.

\item Aufgabe: Thompsons Nilpotenz-Satz auf meine Verallg der Frobeniusgruppen
  erweitern.
\end{enumerate}
\begin{flushright}316/317\end{flushright}

\begin{center} Automorphismen \end{center}

\begin{enumerate}
\item Adney PAMS 8, 627 behauptet, die Ord der Automgr $A$ von $G=\gl(2;19)$
  habe $\ord \frac{|G|}{3^2}$, sei also nicht durch $3^{n-1}$ teilbar wenn
  $3^n\,\top\, |G|$. Aber nach meiner Rechnung ist $|A|=\frac{|G|}{18} \cdot 12\cdot
  2= \frac{|G|\cdot 4}{3} \equiv 0\, (3^{n-1})$ !\\
  $G$ hat ausser den $\frac{|G|}{18}$ inneren Autom. noch $12$ zentrale Autom:\\
  $A\rightarrow A\cdot \left( 
    \begin{array}{cc}
      (A)^{-k} & {}\\
      {} & (A)^{-k}
    \end{array} \right)$ ($k\equiv 0,1\mod 3$)
  und $A\rightarrow A'^{-1}$.\\
  Das sind dann wohl alle.

\item Also ist die Vermutung, dass f\"ur jedes $G$ aus $p^n\mid |G|$ folgt:
  $p^{n-1}\mid |A|$, noch \underline{nicht} widerlegt entgegen
  Adney \& Referent.\\
  Scott 1954 hats gezeigt unter Vor: $|P:P\cap ZG|\geq p^{n-1}$ oder $=1$ oder
  $= p$;\\
  Aufgabe: Beweis d. Vermutung  
\end{enumerate}
\begin{flushright}317/318\end{flushright}

\begin{center} Reell irreduzible Darstellungen \end{center}

\begin{enumerate}
\item Die irred. Darst. der Quaternionengruppe vom Grad $2$ hat reellen
  Charakter, kann aber nicht reell gemacht werden. Denn sonst k\"onnte man sie
  einerseits reell orthogonal (mit Det $+ 1$) machen, andererseits sind 
  $ \left( 
    \begin{array}{cc}
      0 & 1\\
      -1 & 0
    \end{array} \right)$ die einzigen eigentlich orthogonalen Matrizen der
  $\ord 4$, also m\"ussten in der Quatgr je zwei Elemente der $\ord 4$ die
  gleiche Gruppe erzeugen. k\"urzer:(3) - Der Bew zeigt:

\item In einer komplexen endl Gr des Grades $2$ erzeugen je zwei El d. $\ord
  4$ und $\det +1$ die gleiche zykl. Gruppe.

\item Kurzer Beweis f\"ur 1: Die Quaternionengruppe des Grads $2$ kann nicht
  reell gemacht w.; sonst auch \underline{eigentlich} reell orthogonal; aber
  die reellen eig. orth. Matrizen bilden eine \underline{abelsche} Gruppe.
\end{enumerate}
\begin{flushright}318/319\end{flushright}

\begin{center} \underline{Gruppencharaktere} \end{center}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}

\begin{enumerate}
\item Wenn in einer endl. Gr $G$ f\"ur ein $n$ und jeden irred Charakter
  $\chi$  gilt $\chi(1)N(n)\mid \sum_{s^n=1}'\chi(s)$, $N(n)=\sharp s^n=1$ \underline{dann} bilden diese $s$ eine Untergruppe
  von $G$.\\
  Bew:
  \begin{enumerate}
  \item Es gebe einen Char $\chi$ irreduzibel, $\not\equiv 1$, so dass
  $\sum'\chi(s)\not= 0$. Dann ist $\sum'\chi(s)=\pm N(n)\chi(1)$, da rational
  und durch $N(n)\chi(1)$ teilbar und Summe von $N(n)\chi(1)$ Einheitsw., also
  dem Betrag nach $\leq N(n)\chi(1)$. Nun folgt, dass alle EW $=+1$ oder alle EW
  $= -1$ sind, also $(s=1)$ sind alle $=+1$, und die $s$ liegen im Kern der 
  zu $\chi$ geh\"or. Darstellung. Da $\chi \not\equiv 1$, ist der $\Kern K<G$.\\
  Auch f\"ur jeden irred. Char $\psi$ von $K$ gilt $N(n)\psi(1)\mid \sum'\psi(s)$
  (setze $\psi $ in ein $\chi$ ein). Induktion: die $s$ bilden Ugr von $K$

  \item 
    Gibt es kein irred $\chi\not\equiv 1$ mit $\sum'\chi(s)\not= 0$, so ist
    f\"ur alle $\chi_{\rho}$\\
    $\sum' \chi_{\rho}(s)=\begin{cases} N(n) & \chi_{\rho}\equiv 1\\
      0 & \text{sonst} \end{cases}$\\
    Multipl mit $\chi_{\rho}(1)$ und $\sum_r:$ $g=\sum\chi_{\rho}(1)^2
    =\sum\chi_{\rho}(1) \sum_s'\chi_{\rho}(s) =N(n)$, also alle $s$ gen\"ugen
    $s^n=1$, bilden $G$ selbst.
  \end{enumerate}
\begin{flushright}319/320\end{flushright}

Zur Vermutung von FROBENIUS \"uber die Gruppeneigenschaft der L\"o\-sun\-gen von $s^n=1$:

\stepcounter{enumi}
\item[\labelenumi Satz:] Sei $N$ die Anzahl der L\"osungen von $s^n=1$ in
  $G$. Genau dann bilden sie eine Gruppe, wenn $N\cdot
  f\mid\sum_{s^n=1}'\chi(s)$ f\"ur jeden einfachen Charakter $\chi$ von $G$
  \quad ($f\cdot \chi(1)$).\\
  Bew: Die Bedg ist hinreichend nach (1).\\ 
  Sie ist notwendig  $[$h:$]$ rotes ? $[$:h$]$ :  In
  $\chi$ sind alle Darst. von der Gruppe $H$ der $s$ mit $s^n=1$ ``unter $G$
  konjugiert'', also alle $\equiv 1$ oder alle $\not\equiv 1$. Im ersten Fall
  ist $\sum'\chi(s)=N\cdot f$, im zweiten $=0$. 

\item Um die Vermutung von F. zu beweisen, gen\"ugt also zu zeigen: Ist $n\mid
  g$, so ist $nf\mid \sum_{s^n=1}'\chi(s)$, f\"ur jeden irred Char $\chi$ von
  $G$, $f=\chi(1)$\\ 
  Stets gilt nach FROB: $n\mid\sum'$,\\
  Stets gilt nach BURN: $f\mid\sum'$.
  
{\it [Randbemerkung: Funktioniert nicht: (5)]}
\begin{flushright}320/321\end{flushright}

\item $[${\it im folgenden durchgestrichen:}$]$\\
  Die Vermutung (3) ist nach FROB.' Beweis gleichwertig mit der folgenden:\\
  Ist $d_k(s)$ der Charakter der $k$-ten Determ-Transf. der reg. Darst. von
  $G$, so gilt f\"ur die Vfh $e_{\rho}$ jedes einfachen Charakters
  $\chi_{\rho}$ von $G$ in $d_k(s)$:\\ 
  $\forall_{k} f_{\rho}\mid e_{\rho}$\\
    $[$h:$]$ \textit{r, aber wohl wertlos} $[$:h$]$ 

\item In der irr. Darst. der $S^3$ vom Grad $2$ ist
  $\sum_{s^2=1}'\chi(s)=2\not\equiv 0 \mod 2f$. 

\item Frage: Sei $\Phi(x)=\sum_{0}^n a_\nu x^\nu$ und $\Phi^2(x)$ eine
  Charakteristik von $G$ (dh die Koeff 
  uneig. Charaktere). Sei $\Phi(0)=1$ f\"ur alle $s\in G$. Ist dann auch $\Phi$
  eine Charakteristik? 
\end{enumerate}
\begin{flushright}321/322\end{flushright}

\begin{center}
  \underline{Schwache und starke Abschliessung}\\
  (Gedanken zu Thompson, MZ 72)
\end{center}
\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}.}
\begin{enumerate}

\item Ist $A$ schwach abgeschlossen in $G_p$, so ist $\forall_g~A^g$ konj zu
  $A$ in $\langle A,A^g 
  \rangle$. Denn man kann in $\langle\  \rangle$ $A$ und $A^g$ in die gleiche
  $p$-Sy von $G$ transformieren.  

\item Ist $A$ schwach abg in $G_p$, $U\leq G_p$ und f\"ur $u\sim g$ $A\leq
  \mathcal{N}U^g$, so sind $U$ und $U^g$ konj unter $\mathcal{N}A$.\\
  Bew: $A^{g-1}\leq \mathcal{N}U$\\
  $\exists_h \in \langle A,A^{g-1}\rangle \leq \mathcal{N}U$, $A^h=A^{g^{-1}}$\\
  $U^g=U^{hg}$, $A^{hg}=A$.

\item Nenne $A$ kaum abgeschl. in $G_p$, wenn $A^{x}\leq G_p \Rightarrow
  \exists_{h\in G_p} A^x=A^h$. 

\item Ist $A$ kaum abg in $G_p$, $U\trianglelefteq G_p$, $U^{x}\leq G_p$ und $A\leq
  \mathcal{N}U^{x}$, so\\ $\exists_{h\leq\mathcal{N}A} U^h=U^x$.\\
  Bew: $A^{x^{-1}}\leq \mathcal{N}U$, $G_p\leq\mathcal{N}U\Rightarrow
  \exists_{n\in\mathcal{N}U} A^n=A^{x^{-1}}$\\ 
  $:nx=h$
\begin{flushright}322/323\end{flushright}

\item Ist $A$ im Baerschen Kern von $G_p$ und $A$ schwach abgeschlossen in
  $G_p$, so ist $A$ stark abg in $G_p$.\\ 
  Bew: Sei\vspace*{-5mm}\mbox{}\\
  \begin{minipage}{6cm} 
  \begin{eqnarray*}
    U^g & \leq&  G_p,\ U\leq A\\
    A   & \leq&  \mathcal{N}U^g\\
    (2): \exists_n U^g & =&  U^n,\ n\in\mathcal{N}A\\
    U^g & \leq&  A^n=A
  \end{eqnarray*}
  \end{minipage}

\item Ist $A$ im Baerschen Kern von $G_p$, $A$ kaum abgeschl in $G_p$,
  $U\trianglelefteq G_p$, $U\leq A$ und $U^g\leq G_p$, so ist $U^g\leq A$.\\ 
  Bew wie 5 mit 4

\stepcounter{enumi}  
\item[Es gilt wohl \labelenumi] Ist $A \trianglelefteq G_p$, $A\leq G_p^x$,
  $A\ntrianglelefteq G_p^x$, so gibt es einen Durchschnitt $D=G_p\cap G_p^y$,
  so dass $A\leq D$, $D$ erleidet unter $\mathcal{N}D$ einen Aut. von
  Primzahlord $q$, $q\not=p$. 

\item Zu Thompsons Lemma 5.8: $A$ braucht nicht $\triangleleft P$ zu sein.\\
  \qquad 5.9: $R$ normalisiert $A$ nicht einmal

\item 
  Die schwach abgeschlossenen $p$-Gr in $G$ sind die selbstkonjugierenden
  $p$-Gr in $G$ (im Sinn von 1.) 

\item Die gr\"o\ss te $p$-Untergruppe von $\mathfrak{G}$, die sich durch Elemente
  gegebener Kon\-jug-Klassen von $\mathfrak{G}$ erzeugen l\"asst, ist bis auf
  \"Ahnlichkeit eindeut. bestimmt. 
\end{enumerate}
\begin{flushright}323/324\end{flushright}

\begin{center}
  Ordnung der Autom.gr. $A(G)=A$
\end{center}
Adney PAMS 8, 627-633 (1958) ``widerlegt'' die Vermutung, aus $p^n\mid |G|$
folge $p^{n-1}\mid |A|$, durch das einem Referenten zugeschriebene Beispiel
$A=\gl (2,19)$.\\ 
Es sei $|A|=\frac{|G|}{ 3^2}$, $|G|=(19^2-1)(19^2-19)$.\\
Aber in Wirklichkeit ist $|A|$ durch $12\cdot \frac{|G|}{18}=\frac{2|G|}{3}$
teilbar (genauer Wert vermutlich $\frac{4|G|}{3}$). Denn ausser den $\frac{|G|}{18}$
inneren Automorphismen hat $G$ die Gruppe $H$ der $12$ Automorphismen $A
\rightarrow A\cdot(\det A)^{-k}$, $k\equiv 0,1 \mod 3$, $k\mod 18$, von denen 
nur $k\equiv 0\, (18)$ ein innerer ist. Also ist $\underset{~~~~~~~~\substack{\uparrow\\\text{inn. Aut}}}{12\mid |A/J|}$  und daher $12|J|\mid |A|$.\\ 
Die Vermutung $p^{n-1}\mid |A|$ ist aber nicht richtig: (Adney beweist das nur
f\"ur abelsches $G_p$) $G=\SL (3,19)$ oder $\SL(2,9)$ 
\begin{flushright}324/325\end{flushright}

\begin{center}
  Jacobsons Lemma (Kommutatoren)
\end{center}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}

\begin{enumerate}
\item  J.L.: Sind $A,B$ $n\times n$-Matrizen \"uber einem K\"orper der
  Char. $0$,\\
  $C=AB-BA$, und ist $AC=CA$, so ist $C^n=0$.\\ 
  Verallgemeinerung:

\item Sind $A,B$ Elemente in einem kommutativen Ring $\mathscr{R}$ und ist
  $\varphi$ eine additive Funktion auf $\mathscr{R}$ (dh
  $\varphi(U-V)=\varphi(U)-\varphi(V)$) welche die Eigenschaft
  $\varphi(UV)\equiv \varphi(VU)$ hat, und ist $C=AB-BA$, $AC=CA$, so ist
  $\varphi(C^k)=0$ $(k=1,2,\dots)$.\\ 
  Bew:
  \begin{minipage}{8cm}
    \begin{eqnarray*}
      C &=& AB-BA\\
      C^{k-1}\qquad C^k &=& AC^kB -C^kBA = AU-UA
    \end{eqnarray*}
  \end{minipage}
  \hspace{-6.75cm}
  \begin{minipage}{8cm}
    \vspace{3.35ex} \rule{0.1ex}{8.5mm}
  \end{minipage} \vspace{3ex}\\
  Insbesondere f\"ur Matrizen mit kompl Elementen mit $\sum|a_{ik}|^2 
  <\infty$, ist $C$ ``nilpotent'' im Sinn $(\alpha C)^k\rightarrow 0$ f\"ur 
  jedes $\alpha$: $\mathrm{Spektrum}\ C=\{0\}$ 
\end{enumerate}
\begin{flushright}325/326\end{flushright}

\begin{center}
  \underline{Permgr}
\end{center}
\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}.}

\begin{enumerate}
\item Aufgabe \"uber $3$-tra Permgr $\mathfrak{G}$:\\
  Zeige, dass es auch keine \underline{tra} UGr $\mathfrak{H}$ vom Index $n$
  ($=$ Gr $\mathfrak{G}$) in $\mathfrak{G}$  gibt.\\
  Ansatz: $\mathfrak{H}$ induziert eine Permdarst des Grades $n$ von
  $\mathfrak{G}_1$, die $2$-tra ist. Widerlege Annahme, in \underline{dieser}
  Darstellung sei $\mathfrak{H}_1$ intra. 

\item Frage: Hat $l_3\mid l_2$, wo $l_1=1 \leq l_2\leq l_3\leq $, die
  Bahnl\"angen von $\mathfrak{G}_1$ sind, einen Einfluss auf die $l_i$, wenn
  $\mathfrak{G}$ pri?

\item Sind normale Untergruppen einer $3/2$-tra Gruppe regul\"ar oder Frob-gr.
  oder pri?
  
\item Aufgabe: Normalstruktur von $S^{\Omega <}$, wenn $<$
  \underline{Teil}ordnung, in der je zwei Intervalle \"ahnlich sind. 
\end{enumerate}
\begin{flushright}326/327\end{flushright}

\begin{enumerate}
\item Frage von Brauer: jedes $p$-Element in $\mathfrak{G}$ liege in einem
  $p$-Sylow-Zentrum. Sind dann die $p$-Sylowgr. von $\mathfrak{G}$ abelsch? 

\item zu ``Conjugacy of max sgps'':\\
  \underline{Lit:} AA Albert, Rational normal matrices satisfying the incidence equ.\\
  PAMS 4, 554

\item \raisebox{-1.5ex}{$\begin{array}{ll}
    P-D_1\ \text{rat irred} & \Rightarrow \text{alle EWe}\ TT^{\ast}\ \text{alg
    konjug.}\\ 
  & \Rightarrow |TT^{\ast}|\not=0 \Rightarrow |T|\not=0 
  \end{array}$}

\item Wenn alle Vielfachheiten $e_\rho=\left\{ \ofrac{0}{1} \right.$, dann ist
  $TT^{\ast}$ normal. 

\item Zu ``Conjugacy'': Dass jede intra Ugr $\mathfrak{H}$ vom Index $n$ in
  einer $3$-tra Gr $\mathfrak{G}$ des Grades $n$ zu $\mathfrak{G}_1$
  konjug. ist, folgt durch Anwendung des Satzes von It\^{o} auf die $2$-tra
  $\mathfrak{G}_1$ und $\mathfrak{H}_1$. 
\end{enumerate}
\begin{flushright}327/328\end{flushright}

\begin{center}
  Teilerfremde Klassen konj Elemente
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Will man endl Gruppen mit zwei Klassen $[A]$ und $[B]$ mit teilerfremden
  Elementzahlen $a, b$ untersuchen, so ist zun\"achst der Fall $ab=g$ zu
  kl\"aren, auf den man durch die Betrachtung von $\langle a,b \rangle$
  kommt. Und hier handelt es sich um die Struktur einer Gr $\mathfrak{G}$, die
  in zwei zentrierte Hallgruppen faktorisiert ist. Als einfachster Sonderfall
  k\"ame $a=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}$, $b=q_1^{\beta_1}q_2^{\beta_2}$  in
  Betracht, in dem die Hallgr. aufl\"osbar sind.\\ 
  Damit h\"angt die folgende Frage zus.:

\item Sei $G=AB$, $(|A|,|B|)=1$; $A$ habe ein Zentrumselement der $\ord p$,
  $B$ habe ein Zentrumselement der $\ord q$.\\ 
  Ist dann jede $p$-Sy-Gr von $A$ vtb mit jeder $p$-Sy-Gr von
  $B$? Daraus w\"urde mein Satz \"uber nilp. $A,B$ folgen.\\ 
  Besser wohl voraussetzen $A=A_p\times A_{p^\prime}$, $B=B_q\times B_{q^\prime}$  
\end{enumerate}
\begin{flushright}328/329\end{flushright}

\begin{center}
  $p$-Gruppen, Klassenzahl
\end{center}
P. Hall (1960?): $|\mathfrak{G}|=p^{\varepsilon+20}$; $\varepsilon=0,1$\\
$\rightarrow h(\mathfrak{G})=p^{\varepsilon}+(p^2-1)\{\gamma+k(p-1)\}$, 
$k\geq 0$.\\
Bew bei Tamaschke
\begin{flushright}329/330\end{flushright}

\begin{center}
  Charaktere u. Kommutatoren
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Das Erg. von Gallagher, MZ-Ms , kann kürzer so erhalten
  werden (und gleichzeitig Exercise 7 von Buch Burside p 319): F\"ur die
  Elementensumme von $C=\frac{1}{g^2}\{[x,y]\mid x,y \in \mathfrak{G}\}$ ist
  $\chi(C)=\frac{1}{f}$, daher $\chi(C^n)=\frac{1}{f^{2n-1}}$ wenn $\chi$
  einfacher Char von $\mathfrak{G}$.\\ 
  Daher $a\in C^n \leftrightarrow \sum\frac{\chi(a)}{f^{2n-1}}>0$ (od $\not=0$).

\item Aufgabe: Gruppentheoret. Deutung von $\sum_{\chi}(\frac{g}{f})^2$.

\item F\"ur $W=\frac{1}{g^2}\{xyx^{-\alpha}y^{-1}\mid x,y\in \mathfrak{G}\}$ ist
  \[\chi(W)=
  \begin{cases}
    \frac{1}{f} & \text{wenn}\ \forall_x \chi(x)=\chi(x^{\alpha})\\
    0          & \text{sonst}
  \end{cases}\]
  
\item Daher ist bei $2\nmid |\mathfrak{G}|$ stets $\{xyx^\cdot y^{-1}\}=g\cdot
  \mathfrak{G}$   
\end{enumerate}
\begin{flushright}330/331\end{flushright}

\newpage

\begin{center}
  Darst-Theorie $\lhdd$
\end{center}
  
\begin{enumerate}
\item Ist $\mf{G}^{\ast}\lhdd\mathfrak{G}$, $\mathfrak{G}$
  irred., so $\frac{f}{f^{\ast}}\mid\frac{g}{g^{\ast}}$ wenn $f^{\ast}$ der Grad
  eines irred. Bestandteils von $\mf{G}^{\ast}$. 

\item Frage: Wie sehen die seminormalen (dh mit allen Ugr vtb
  Untergr $\mf{S}$ einer primitiven irred. linearen Gruppe aus? 
  \begin{enumerate}
  \item Enth\"alt $\mf{S}$ die $1$, so ist $\mf{S}=1$, da $\sum\mf{S}$ mit
      allen Konjugierten vtb; hier gen\"ugt also
      $\mf{S}\text{ v }\mf{S}^g$. 

  \item Enth\"alt $\mf{S}$ einen nilpot. Konstituenten, so ist $\mf{S}$
  nilpotent. Denn $\mf{S}^{\nu}$ enth\"alt $1$. 

  \item Also haben je zwei irred. Bestandteile von $\mf{S}$ die gleiche
    Nil\-po\-tenz\-l\"a\-nge.

  \item Ist $\mathfrak{A}\lhdd\mathfrak{G}$ pri und ein
  irred. Konst. von $\mathfrak{A}$ nilpotent, so jeder, denn $\mathfrak{A}^v$
  ist mit allen Konj. vtb; wende a) an. 

  \item Ist $\mathfrak{A}\lhdd\mathfrak{G}$, so hat jeder
    irred. Bestandteil von $\mathfrak{A}$ die gleiche Nilpotenzl\"ange;
    ($\mathfrak{G}$ pri).
  \end{enumerate}
  
\item Frage: Sei $A \lhdd G$, $B=A^\nu$, $\forall_x
    A$ v $A^x$. Ist dann $B$ v $B^x$?
 \end{enumerate}
\begin{flushright}331/332\end{flushright}

\begin{center}
  $\infty P$-Gruppen: Stark pri
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Ist $\mathfrak{G}$ st. pri und bedeutet f\"ur jede abstrakte Gruppe
  $\mathfrak{H}$ $E(\mathfrak{H})$ die Menge aller einfachen
  \underline{Aus}schnitte, bis auf Isomorphie, so ist f\"ur jeden tra
  Konstituenten $\mathfrak{K}\not=(\alpha)$ von $\mathfrak{G}_{\alpha}$ stets
  $E(\mathfrak{K})=E(\mathfrak{G}_{\alpha})$.\\ 
  Bew: Nimm nach links alle Konst $\mathfrak{K}_i$ mit
  $E(\mathfrak{K}_i)\subseteq E(\mathfrak{K})$. G\"abe es $\mathfrak{K}_2$
  rechts, so $\exists g\in\mathfrak{G}:\, \lambda\rightarrow \alpha$,
  $\rho\rightarrow 2$;
  $\lambda\in\mathfrak{K}_j(\mathfrak{G}_{\alpha}\mid\mathfrak{K}_j)^g$ f\"uhrt
  zu Wid. 

\item Teilt man in einer st pri Gr $\mathfrak{G}$ die Bahnl\"angen
  einer Ugr $\mathfrak{H}$ in zwei Sorten, nicht leer, $\ldots a\ldots \mid \ldots
  b\ldots$, so $\exists a,b:\, \frac{a}{(a,b)}\leq n_1$, wenn $n_1=$ minimale 
  Bahnlge $\mathfrak{G}_{\alpha}$ auf $\Omega-\alpha$. 

\item Ist $\mathfrak{G}$ st pri und ein tra Konst $\mf{T}_1$ von $\mathfrak{G}$ eine
  endl reg $p$-Gruppe, so ist er treu.\\ 
  Bew: Sei $2\in$ Tr\"ager $\mf{T}_1$; $\mathfrak{G}_{12}\trianglelefteq
  \mathfrak{G}_1$. Wenn $\mathcal{N} \mathfrak{G}_{12}>\mathfrak{G}_1$, 
\begin{flushright}332/333\end{flushright}

  so $=\mathfrak{G}$, $\mathfrak{G}_{12}=1$. Wenn aber
  $\mathcal{N}\mathfrak{G}_{12}=\mathfrak{G}_1$, ist 
  $\mathfrak{G}_2\cap\mathcal{N}\mathfrak{G}_{12}=\mathfrak{G}_{12}$; aber
  $G_{12}$ hat endl Index in $\mathfrak{G}_2$ (?), und $\mathfrak{G}_2/
  \Kern \mathfrak{G}_{12}$ ist eine $p$-Gruppe, also  folgt aus
  $\mathcal{N}G_{12}\cap G_2=G_{12}$. $G_{12}=G_2$. $G_2\trianglelefteq G_1$,
  $G_2=G_1=1$. 

\item Allgemein ebenso (?) Ist ein Konst. $\mathfrak{K}$ reg und
  $\mathfrak{K}'$ nil, so $\mathfrak{K}$ treu 
\end{enumerate}
\begin{flushright}333/334\end{flushright}

\newpage

\begin{center}
  Ordnung unipri Gruppen
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Fixiert man in einer intra Gr eine Ziffer eines l\"angsten Konst., so
  erh\"oht sich i.a. die Zahl der tra Konstituenten um $3$. Daher ist eine unipri
  Gr $\mathfrak{G}$ vom Grad $n$ fremd ungef\"ahr zu einer $\mf{S}^{\frac{2}{3}n}$, also $|\mathfrak{G}|\leq \frac{n!}{(\frac{2}{3}n)!}$\\ 
 (Schlechter als meine fr\"uheren Absch\"atz.)
\end{enumerate}
\begin{flushright}334/335\end{flushright}

\begin{center}
  \underline{Spektraltheorie}
\end{center}

\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi})}
\begin{enumerate}
\item Frage: Ist jeder beschr\"ankte Operator $A$ ``glm. fast algebraisch'' in 
  dem Sinn, dass es ein normiertes Polynom $f$ gibt, f\"ur das $||f(A)||<
  \varepsilon$?\\ 
  Nein: $A= \left(
  \begin{array}{ccccc}
    0 & 1 &   &   & \\
      & 0 & 1 &   & \\
      &   & 0 & 1 & \\
      &   &   & \ddots& \ddots
  \end{array} \right)$
gibt stets $||f(A)||\geq 1$.

\item Frage: Sind Summe und Produkt von 2 gfa Operatoren wieder gfa im Sinn von 1)?
\end{enumerate}
\begin{flushright}335/336\end{flushright}
  
\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}.}
\begin{center}
  \underline{Konjugiertheit von Untergr}
\end{center}
\begin{flushright}12/10/61\end{flushright}

\begin{enumerate}
\item Nenne $U$ $E$-konjugiert zu $V\leq G$, wenn es 1-1-Abb
  $u\rightarrow v$ gibt so dass $v=u^g$. 
  
\item Genau dann erzeugen $U,V$ \"aq. Perm-Darst von $G$, wenn sie $E$-konj. sind.

\item Die von $U$ erzeugte Permdarst $G_U$ von $G$ m\"oge ausser der $1$ lauter
  paarweise in\"aqu. aber algebraisch konjugierte Darstellungen enthalten
  (d.h. Charaktere).\\ 
  Sei $|G:V|\leq |G:U|=n$ und $V$ intransitiv in der Darstellg
  $G_U$. Dann ist $|G:V|=n$, und $V$ ist $E$-konj zu $U$.\\ 
  Bew: Da $V_U$ intra, enth\"alt $V_U-1$ die 1 noch einmal. Wegen der Konj
  kommt sie in \underline{jedem} irred Bestdteil ($\not=1$) von $G_U$
  vor. Diese kommen also alle\\
  $[$h:$]$  $[$  mit Rot: $]$  Verschärfung $[$:h$]$ 
\begin{flushright}336/337\end{flushright}

  in $G_V$ vor, und da sie verschieden sind und auch $1$ in $G_V$ vorkommt, ist
  $\grad G_V=|G:V|\geq 1+\sum f_{\rho}=n$; wenn $=$, so $G_U$. $G_V$
  \"aqu. Darst. von $G$. 

\item Ist $G$ tra vom Grad $n$ und sind in $G_1$ alle von $1$ versch. irred
  Bestdt. verschieden und algebr. konjugiert, so ist jede intra Ugr $U$ von
  $G$ des Index $n$ zu $G_1$ konjugiert.\\ 
  Bew wie in It\^{o}s Fall: $V$ habe ein Transgebiet der Lge $t$ $1<t<n-1$. 
  Darin Ziffer $\alpha$. OBdA $\alpha =1$. $V_1$ hat dann in $G_1$
  den Index $t<n-1$ und ist doch intra auf $\Omega -1$, entgegen 3. \\[3mm]
 {\it [ Der folgenden Punkt ist durchgestrichen: ] }
\item Solche Permgr. wie in 6 definiert
  k\"onnten monogen primitiv {\it [durchgestrichen: schwach $2$-tra]} heissen. 
  Zu ihnen geh\"oren die tra Gruppen ungerader Ord mit nur $3$ Tragebieten von 
  $G_1$. \\[3mm]
 {\it [ Der folgende Punkt ist rot durchgestrichen: ] }
\item Jede monogen primitive Gruppe ist $\frac{3}{2}$-tra oder regul\"ar abelsch 
  von Primzahlgrad. Ferner ist sie pri.\\ 
  Bew 336 (3) $G_1=U<V$
\begin{flushright}337/338\end{flushright}
\addtocounter{enumi}{-1}
\item Ist die $P$-Gruppe $G-1$ irreduzibel \"uber Rat; so heisse $G$ superpri; \\
  $G$ $[$ gemeint wohl: $G_1$ $]$ heisse supermaximal. 

\item Ist $G$ superpri, $H<G$, $G_1\underset{n}{<}G$, $H$ intra, so $|G:H|\geq
  n$, und $=$ nur wenn $H$ $E$-konj zu $G_1$.\\
  Bew: $G_H-1$ hat mit $G-1$ einen als irred Bestandteil gemein, enth\"alt also
  $G-1$.

\item $G$ superpri $\rightarrow G$ pri\\
  Bew: $G_1\leq V<G\rightarrow V$ intra $\rightarrow G_1=V$ nach 7.

\item Vermutung: $G$ superpri $\rightarrow G\frac{3}{2}$-tra oder $G$ reg von
  Ordnung $p$. 

\item $G$ $2$-tra, $G_1$ superpri, $H$ intra, $|G:H|=n\rightarrow H$ konj zu $G_1$.\\
  Bew s.4 wie It\^{o} mit 8
\begin{flushright}338/339\end{flushright}

\item Ist eine superprimitive Gruppe $G$ verkettet verm\"oge $T$ mit einer
  Permgr desselben Grades, wobei Zeilensumme $T\not=0$ und $\rang T>1$, so
  ist\\ $\det T\not=0$.\\ 
  Denn sonst h\"atte $TT^{\ast}$ einen EW $\tau_i=0$, $i>0$; da aber alle
  $\tau_1,\dots,\tau_{n-1}$ algebraisch konjugiert sind wegen der rat Irred
  von $G-1$, w\"aren alle $=0$, $\rang TT^{\ast}=1$, $\rang T=1$.\\ 
  Benutzt wird

\item $G$ superprimitiv, $V$ vtb $G$, $V$ rat Elemente
  $\rightarrow$ alle EWe von $V$, ausser der Zeilensumme, sind
  algbr. konjugiert.\\ 
  Sonst $\exists f(V)$ singul\"ar, $\not=0$, auf $G-E$.
\end{enumerate}
\begin{flushright}339/340\end{flushright}

\begin{center}
  \"Aquivalenz und \"Ahnlichkeit von Permutations-Darstellungen.
\end{center}
%
Sei $\mathfrak{G}$ eine endl. abstrakte Gruppe, $G\rightarrow {}_iG$ f\"ur
jedes $i$ eine Darstellung von $\mathfrak{G}$ als Pgr von Matri

\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\begin{enumerate}

\item[Def:] \underline{${}_1G\sim {}_2G$} hei\ss t: $\exists T$ mit $\det
  T\not=0$, $T^{-1}{}_1GT={}_2G$.\\ 
  \underline{${}_1G\approx {}_2G$} hei\ss t: $\exists T\in \mf{S}^n$\hspace*{2cm}$\prime\prime$\\
  \underline{${}_1G$ starr} $\leftrightarrow$ aus ${}_1G\sim {}_2G$ folgt
  stets ${}_1G\approx {}_2G$. 

\item ${}_iG$ tra, $\det T\not\equiv 0$, $T^{-1}{}_1GT={}_2G$, f\"ur die 
  Fixgruppen $({}_1\mathfrak{G})_{\alpha}$ und $({}_2\mathfrak{G})_{\beta}$ 
  gilt $T^{-1}({}_1\mathfrak{G})_{\alpha}T  =({}_2\mathfrak{G})_{\beta}$\\ 
  $\Rightarrow {}_1G\approx {}_2G$\\
  Bew: In den beiden tra Darstellungen ${}_1G, {}_2G$ geh\"ort zu $\alpha$ bzw
  $\beta$ der gleiche Stabilisator in $\mathfrak{G}$. 

\item ${}_1G$ tra, ${}_1G$   $({}_1G)_{\alpha}$ starr $\rightarrow {}_1G$ starr.\\ 
  Bew: $T^{-1}{}_1GT={}_2G$, $\det T\not=0$; $T^{-1}({}_1G)_{\alpha}T\sim
  {}_1G_{\alpha}$ 
\begin{flushright}340/341\end{flushright}

  $\begin{array}{lll} 
    T^{-1}({}_1G)_{\alpha}T &\approx ({}_1G)_{\alpha} & \text{hat Fixpunkt}\ 
    \beta\\
    &= ({}_2G)_{\beta}        & \text{wegen Ordnung} \quad (1)
  \end{array}$

\item ${}_1G\sim {}_2G \rightarrow$ Anzahl der trans Konstit gleich

\item Verallg. d. Satzes von It\^{o}: ${}_1G$ rat irred $\rightarrow {}_1G$ 
  starr\\
  Bew 338 (10) oder 351 (30)\\
  weitere Verallg.:

\item ${}_1G$ intra, jeder Konst von ${}_1G$ rat irr $\rightarrow {}_1G$ 
  starr\\
  Bew: (3) (4)

\item ${}_1G$ tra, jeder Konstituent von $({}_1G)_{\alpha}$ rat irred
  $\rightarrow {}_1G$ starr \quad (5,2) 

\item $\mathfrak{H}\leq \mathfrak{G}$, ${}_1G\sim {}_2G$, ${}_1H$ tra
  $\rightarrow {}_2H$ tra \quad (3) 

\item[\underline{Def:}] $\mathfrak{H}_1,\mathfrak{H}_2\leq \mathfrak{G}$
  \underline{heissen \"aq:} 
  $\mathfrak{H}_1\sim \mathfrak{H}_2$ wenn $|\mathfrak{H}_i\cap \sigma^G|=|
  \ofrac{\dots}{j}|$\\
  \rule{15.1ex}{0ex}\underline{\"ahnlich:} 
  \hspace{2.7ex} $\approx$ \hspace{2.7ex} wenn $G^{-1}\mathfrak{H}_1G=
  \mathfrak{H}_2$\\
  $\mathfrak{H}_i$ erzeuge die Darstellg ${}_iG={}_{\mathfrak{H}_i}G$

\item $\mathfrak{H}\sim\mathfrak{K} \leftrightarrow {}_{\mathfrak{H}}G\sim
  {}_{\mathfrak{K}}G$ 

\item $\mathfrak{H}\approx\mathfrak{K} \leftrightarrow
  {}_{\mathfrak{H}}G\approx {}_{\mathfrak{K}}G$ 
\begin{flushright}341/342\end{flushright}

\item $\mathfrak{H},\mathfrak{K}\leq \mathfrak{G}$,
  $\mathfrak{K}\sim\mathfrak{H}$, $\mathfrak{A}\leq \mathfrak{G}$,
  $\mathfrak{K}\mathfrak{A}=\mathfrak{G} \rightarrow
  \mathfrak{H}\mathfrak{A}= \mathfrak{G}$\\
  Bew: In ${}_{\mathfrak{K}}\mathfrak{G}$ ist $\mathfrak{A}$ tra dargestellt\\
  ${}_{\mathfrak{K}}\mathfrak{G}\sim {}_{\mathfrak{H}}\mathfrak{G}$, also in
  ${}_{\mathfrak{H}} \mathfrak{G}$ auch. 
\item Verkettung und Relationen:\\
  Eine Verkettungsmatrix $V$ von zwei Darst: ${}_1G, {}_2G$ von $\mathfrak{G}$
  ist eine  $\mathfrak{G}$-invariante Relation zwischen $(\alpha,\beta)$,
  wobei $\mathfrak{G}$ auf die $\alpha$ als ${}_1G$ wirkt, auf die $\beta$ als
  ${}_2G$. 
\item Vermutlich ist die transitive Gruppe des Grades $2n$ $2$-abgeschlossen, 
  die durch Kopplung zweier verketteter Darstellungen (max) einer $2$-tra Gruppe 
  und Erweiterung mit einem vertauschenden Automorphismus der $\ord 2$ entsteht 
  (induziert durch $V\cdot T$, $T=\left( \ofrac{A}{A^{-1}} \right)$ ). 
\end{enumerate}
\begin{flushright}342/343\end{flushright}
\noindent
Forts. von 287\\
22/10/61
\begin{center}
  Untergruppen vom Index $n$ in einer $2$-tra Gruppe des Grades $n$\\  mit reg
  abelscher Untergruppe.
\end{center}
 Ansehen: Bruck, Difference sets in a finite gp, TAMS 78 {\it [Anm: (1955) 
   464-481]}

\begin{enumerate}
\item[Def:] $\mathfrak{H}_{\mu}<:\mathfrak{G}$ heisst: $\mathfrak{H}_i$
  erzeugt eine $2$-tra Darstellg ${}_{\mu}G$ von $\mathfrak{G}$\\ 
  Im folgenden sei $\mathfrak{H}_1,\dots,\mathfrak{H}_m$ ein maximales System
  mit $\mathfrak{H}_{\mu}<: \mathfrak{G}$, $\mathfrak{H}_{\mu}\sim
  \mathfrak{H}_{\lambda}$, $\mathfrak{H}_{\mu}\not\approx
  \mathfrak{H}_{\lambda}$, $\lambda\not=\mu$ und sei
  $\mathfrak{G}=\mathfrak{H}_1\mathfrak{A}$, $\mathfrak{A}$ abelsch,
  $\mathfrak{H}_1\cap\mathfrak{A}=1$.\\ 
  Dann ist $\mathfrak{G}=\mathfrak{H}_{\mu}\mathfrak{A}$ nach 342 (10), also
  $\mathfrak{H}_{\mu}\cap \mathfrak{A}=1$.\\ 
  $\mathfrak{H}_{\mu}$ erzeuge die Darstellung ${}_{\mu}G$, und wenn wir stets
  das Vertretersystem $\mathfrak{A}$ festhalten, so ist f\"ur $A\in
  \mathfrak{A}$ stets ${}_{\mu}A={}_{\lambda}A$.\\ 
  Dann gilt:

\item $\exists_{V_{\mu}}: V_{\mu}{}_{\mu}G={}_1GV_{\mu}$\\
  $V_{\mu}=\left(
    \begin{array}{ccccccc}
      \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 1 & 0\\
      &&&&&&
    \end{array} \right)$
  mit $k_{\mu}$ Einsen je Reihe.
\begin{flushright}343/344\end{flushright}

\item $V_{\mu}V_{\mu}^{\ast}=a_{\mu}+b_{\mu} F$,\quad $F=(1)$.\\
  $a_{\mu}>0$, $b_{\mu}\geq 0$

\item $\det V_{\mu}V_{\mu}^{\ast}=( a_{\mu}+b_{\mu})a_{\mu}^{n-1}>0$

\item $V_{\mu}^{-1}{}_1G{}_{\mu}V={}_{\mu}G$

\item[Def:] ${}_1G$ ${}_{\mu}V$-komplett, wenn ${}_1G=\{S\mid S\in
  \mathfrak{S}^n,\ \exists \overline{G}: {}_1GS=S\overline{G}\}$

\item Setze $T= \left(
    \begin{array}{ccc}
         & 1 &   \\
       1 &   &   \\
         &   & 1  
    \end{array} \right)$,\;
  $T^2=1$, $T^{-1}{}_{\mu}AT={}_{\mu}A^{-1}$ $(A\in \mathfrak{A})$

\addtocounter{enumi}{-1}
\item ${}_1G$ ${}_{\mu}V$-kplett $\rightarrow \{{}_2G\}=\{ {}_1G\}^T$,
  ${}_2G$ ist ${}_{\mu}V^{\ast}$-kpt

\item $\mu,\lambda>1$, ${}_1G\, {}_{\mu}V\text{-kpt}\ \&\ {}_{\lambda}V\text{-kpt}\to $ $\{ {}_{\mu}G\}=\{{}_{\lambda}G\}$\\
\hspace*{57mm}$\mid$\\
Bew. 5\hspace*{32mm} $\text{Def}:={}_{\mu}\mathfrak{G}$

\item Sei $m>1$; Wenn ${}_1G$ maximal (dh $V$-kpt f\"ur \underline{jedes} $V$
  mit ${}_1G^V\le \mathfrak{S}^n$), so folgt ${}_1\mathfrak{G}={}_{\mu} 
  \mathfrak{G}$ $(\mu>1)$\\
  Bew: $V_2^{\ast}V_{\mu}\in \mathcal{N}{}_2\mathfrak{G}$, und daher $\in
  \mathcal{N}{}_1\mathfrak{G}$, da
  ${}_1\mathfrak{G}={}_2\mathfrak{G}^{V_1^{\ast}}$ und $V_1^{\ast}$
  zentralisiert $V_2^{\ast}V_{\mu}$.
  
\begin{flushright}344/345\end{flushright}

\item  Also $V_2^{\ast}V_{\mu}=cAV_{\mu}$, ${}_1\mathfrak{G}^{\cdot\cdot}={}_2
  \mathfrak{G}^{\cdot\cdot}$, ${}_1\mathfrak{G}={}_{\lambda}\mathfrak{G}=
  {}_{\mu}\mathfrak{G}$

\item ${}_1\mathfrak{G}^{V_{\mu}}={}_1\mathfrak{G}$, also $V_{\mu}\in 
  \mathcal{N}\mathfrak{G}_1$

\item Die $V_1,\cdots,V_m$ bilden eine abelsche Gruppe $\mathfrak{V} \mod 
  \text{const.}\ A_i+\ \text{const}\ F$

\item Nur $V_1$ macht inneren Autom von ${}_1\mathfrak{G}$\\
  Bew: ${}_1\mathfrak{G}^{V_{\mu}}= {}_{\mu}\mathfrak{G}\not=
  {}_1\mathfrak{G}$.
  
\item  $V_{\mu}$ ist $=\sum'A_i$, da $A_j^{V_{\mu}}=A_j$.

\item \underline{Ein $V$ habe ungerade Ordnung $u$}:\\
  dh. zuerst sei $V^u=xA+bF$, $A\in{}_1\mathfrak{A}$\\
  st\"andige Vor [ Komm: bis (22) ] 
\begin{flushright}345/346\end{flushright}

Vor 13\\
  Dann gilt: $x=a^u$, $VV^{\ast}=a^2+dF$.\\
  Bew: $V$ hat EW $\kappa\not=k$, $|\kappa|^n=x$, $|\kappa|^2=c$ wo $VV^{\ast}
  =c+dF$. $|\kappa|=a$.

\item $\begin{cases}
    V^u=a^u+bF\\
    VV^{\ast}=a^2+dF
  \end{cases}$ \quad (13)

\item $k=a^2+d$, $k^2=a^2+dn$ \quad (14)

\item[($15^\prime$)] $(k+a)(k-a)=dn$

\item[($15^{\prime\prime}$)] $k(n-k)=(n-1)a^2$

\item[($15^{\prime\prime\prime}$)] $a^2(k-1)=(n-k)d$

\item $V$ hat Ewe $k$ $a\eta$, wo $\eta$ Eimheitswurzel \quad (14)

\item $\ord\eta \mid u$, also $\ord\eta$ ungerade, und \underline{$\ord\eta\mid
  e\mid n$}, da $\eta\in\mathbb{Q}(\sqrt[e]{1})$ wo\\
  $e=$ Exponent von $\mathfrak{A}$ (sonst $\grad Q(\sqrt[n]{1})>\varphi(n)$)

\item Der Exponent der Gruppe $\mathfrak{V}$ der ${}_{\mu}V$ ist ein Teiler von
  $\exp \mathfrak{A}$. \quad (17)
\begin{flushright}346/347\end{flushright}

\item In 14 gilt $a\mid n,k,d$; $k\underset{q}{\sim}d\underset{q}{\sim}a$\\
  Bew:
  \begin{enumerate}
  \item[$\alpha$)] Ist $V+\frac{k-a}{n}F=\sum c_iA_i$, $(c_i=0,1)$, somit 
    Charakterentafel $X$ von $\mathfrak{A}$:\\
    $\mathfrak{c}=\left(
      \begin{array}{c}
        c_1\\ \vdots \\ c_n
      \end{array} \right)$:\quad
    $X\mathfrak{c}= \left(
      \begin{array}{cccc}
        a &         &        & \\
          & a\eta_2 &        & \\
          &         & \ddots & \\
          &         &        & a\eta_n
       \end{array} \right)$\\
    $X^{\ast}X\mathfrak{c}=n\mathfrak{c}\equiv 0 \pmod a$\\
    $a\mid n(c_i-c_j)$, es gibt $c_i-c_j=1$, also $a\mid n$

  \item[$\beta$)] Ist $q^{\alpha}\,\top\,a$, so $q^{2\alpha}\,\top\, k(n-k)$ \quad
    $15^{\prime\prime}$\\
    w\"are $q^{\alpha}\nmid k$, so auch $q^{\alpha}\nmid(n-k)$ (nach
    $\alpha$), W!\\
    Also $q^{\alpha}\mid k$, $q^{\alpha}\,\top\, k$

  \item[$\gamma$)] $q^{\alpha}\,\top\, d$ \quad (15)
  \end{enumerate}

\item Aus $q^\nu\,\top\, n$, $q>2$ folgt $q^\nu\mid k+a$ 
  \underline{od.} $k-a$\\ 
  $\begin{array}{lll}
    \text{Bew} &\nu=\alpha: & (19)\\
    &\nu>\alpha: & (15') (19)
  \end{array}$

\item Ist noch $n$ ungerade, so $n\mid k(k-a)$\\
  B: $V^2=rWA_1+sF$, $2\mid s$, $V^{(2)}\equiv rWA_1$, $r\equiv 1\, (2)$
\begin{flushright}347/348\end{flushright}
\vspace{-5ex}

  \begin{eqnarray*}
    WA_1 & \equiv & V^{(2)} \quad (2)\\
    WA_1 & =      & V^{(2)}\\
    V^2  & =      & rV^{(2)}+sF\\ |\kappa|: \quad
    a^2  & =      & ra \qquad r=a\\
    V^2  & =      & aV^{(2)}+sF \qquad s=\frac{k(k-a)}{n}\\
      n  & \mid   & k(k-a)
  \end{eqnarray*}

\item Ist noch $n=p^\nu$, $p>2$, so $k=\begin{cases} 1\\n-1 \end{cases}$\\
  Bew: Nach 17 ist $p^\nu\mid k\pm a$.
  \begin{enumerate}
  \item[$\alpha$)] $n=p^\nu\mid k+a\leq n$ (oBdA)\\
    $k+a=n\rightarrow k=n-1$

  \item[$\beta$)] $p^\nu\mid k-a\rightarrow k=a\rightarrow d=0$ $15^{\prime}$\\
   15: $k=1$
  \end{enumerate}

NB: Diese $V_{\mu}$ induzieren auf ${}_1\mathfrak{G}$ Autom $\sigma$, auf die 293
anwendbar ist

\item Ist $n=p^{\alpha}$, so $m=2^{\beta}$\\
  $m=$ Zahl der Klassen konj Ugr vom Index $n$ laut S.343\\
  denn w\"are $q\mid m$, $q>2$, so $n=q$ w\"ahlbar in 13: Nach 22 ist dann aber
  $k=1$, dh $q\nmid m$

Hierzu siehe 293, wo \"ahnliches ohne ab. Ugr! Demnach sollte man erst S\"atze
\"uber Aut${}_1\mathfrak{G}$ beweisen!
\begin{flushright}348/349\end{flushright}

\item Ist eine PGruppe ${}_1\mathfrak{G}$ kpt bzgl einer Matrix $M$, die einen
  Autom d. $\ord 2$ auf ${}_1\mathfrak{G}$ induziert, und ist ${}_1\mathfrak{G}$
  $2$-tra, so ist, falls $2\mid n$, $M^2=a^2+bF$; und daher $k=1$ wenn $n=2
  p^{\alpha}$.
  
\item Also: Ein Autom $\sigma$ d $\ord 2$ von $\mathfrak{G}$ vom Grad $2
  p^{\alpha}$ bewirkt f\"ur eine ${}_1\mathfrak{H}<:\mathfrak{G}$ entweder
  ${}_1\mathfrak{H}^{\sigma}\not\sim {}_1\mathfrak{H}$ oder ${}_1
  \mathfrak{H}^{\sigma}\approx {}_1\mathfrak{H}$\\
  Das ist aber schw\"acher als der Satz im Ms:\\
  Ist $\mathfrak{H} \underset{n}{<:}\mathfrak{G}$, $\mathfrak{K}\underset{n}{<}
  \mathfrak{G}$, $\mathfrak{H}\mathfrak{K}\not=\mathfrak{G}$, $n=2p^{\alpha}$,
  so $\mathfrak{H} \approx\mathfrak{K}$.\\
  Von Interesse ist obige Schlussweise aber f\"ur $n=p^{\alpha}$, siehe 293

\item Wenn $\sigma^m=1$, $2\nmid m$, $\mathfrak{H}^{\sigma}\sim\mathfrak{H}$,
  $\mathfrak{H}<:\mathfrak{G}$, so gilt f\"ur die zugeh\"or. Matrix $T$ nach 
  293 
  \[ TT^{\ast}=a^2+bF \qquad T^m=a^m+dF\]
\begin{flushright}349/350\end{flushright}

\item Jede transitive $p$-Gruppe vom Grad $p^2$ ist starr.\\
  Bew: ${}_1G_{\alpha}$ hat mind. $2p-1$ TraGebiete, also ${}_2G_{\alpha}$ 
  auch, mittlere Lge $=\frac{p^2}{2p-1}<p$, eins hat L\"ange $1$.

\item Ansatz f\"ur $\mathfrak{H}\underset{p^{\alpha}}{<:} \mathfrak{G}$: Jordans
  Satz, dass der Normalisator einer $p$-Sy Gr von $\mathfrak{G}_1$ auf den
  Fixpunkten von $\mathfrak{G}_1$ $2$-tra ist (und eine reg. $p$-Gruppe 
  enth\"alt).

\item In einer rat irred Perm-Gruppe hat jeder abs irred Bestandteil die Vfh
  $e_\rho =1$.\\
  Bew: Frame oder (Suzuki): $\exists G$ mit $\sum_{\rho\not=} e_{\rho}\chi(G)=
  -1$, $e_{\rho}\mid -1$.
\begin{flushright}350/351\end{flushright}

\item Verkettet $V=\left(
  \begin{array}{ccccc}
    0 & 1 & \cdots & 1 & 0\\
      &   & \text{-----}  &   &\\
        \end{array} \right)$ eine rat irred Gruppe ${}_1\mathfrak{G}$ vom Grad $n$
  mit irgendeiner P-Gruppe ${}_2\mathfrak{G}$ vom Grad $m\leq n$, und ist $V
  \not= 0,F$, so ist $m=n$ und $\det V\not=0$, also auch ${}_2\mathfrak{G}$ rat
  irred.\\
  NB: \underline{Allgemein} ist $\rang V=n$\\
  $V=\setlength{\unitlength}{5mm}
  \begin{picture}(0.6,1.1)
    \framebox(0.5,1){}
  \end{picture}$ gibt stets $VV^{\ast}$sing\\
  Bew: sonst $VV^{\ast}$ singul\"ar, da mit ${}_1\mathfrak{G}$ vtb, w\"are  
  $VV^{\ast}=dF$\\
  Da bei $\rang VV^{\ast}>1$ der Spaltenraum von $F$ einen
  Darstellungsraum von ${}_1\mathfrak{G}$ \"uber $\mathbb{Q}$ von der $\dim>1, <$
  g\"abe, ist $\rang VV^{\ast}=1=\rang V$, also $V=F$.\\
  Also bei einer ration Gr. ist jede n.t. verkettende Matrix nichtsingul\"ar:\\
  Aus $\mathfrak{H}\underset{n}{<}\mathfrak{G}$, $\mathfrak{G}\leq\mathfrak{H}$
  rat irred, $\mathfrak{K}\underset{n}{<}\mathfrak{G}$, $\mathfrak{H}\mathfrak{K}
  \not=\mathfrak{G}$ folgt $\mathfrak{H}\sim\mathfrak{K}$.

\item NB: Man sollte von vornherein unter einer verkettenden Matrix 
  \underline{nur} $V\not=cF$ verstehen. Dann ist von selbst $VV^{\ast}\not=dF$.
\begin{flushright}351/352\end{flushright}

\addtocounter{enumi}{-1}
\item Wenn $\det V\not=0$ und $V$ ${}_1\mathfrak{G}$ zentralisiert und
  ${}_1\mathfrak{G}$ rat irred ist, so ist $V$ normal.\\
  Bew: Reduziere ${}_1\mathfrak{G}$ unit\"ar. \underline{Dann} ist $V^m$
  diagonal, also normal [und wegen der rat Irrd von ${}_1\mathfrak{G}$ sind alle
  nt EWe von $V^m$ algebraisch konjugiert, daher (?) ist $V^m$ eine ratzahlige
  Linearverbdg von Klassensummen.

\item Frage: Gilt (31) noch, wenn nur $V\in\mathcal{N}{}_1\mathfrak{G}$, $V^m
  \circ {}_1\mathfrak{G}=1$ vorausgesetzt wird?\\
  Wohl ``ja'', wenn man $m$ teilerfremd zu $2s$ voraussetzt, wo $1+s=$ Anzahl
  aller absolut irred Bestandteile.
\begin{flushright}352/353\end{flushright}

\item Verkettung von ${}_1\mathfrak{G}, {}_2\mathfrak{G}$ bedeutet ja eine
  Vertauschungsmatrix f\"ur die intra Darst ${}_1\mathfrak{G}{}_2\mathfrak{G}$
  doppelten Grades.\\
  Ist also ${}_1\mathfrak{G}$ $V$-maximal (${}_1G^V={}_2G$), so
  ist ${}_1\mathfrak{G}{}_2\mathfrak{G}$ $2$-abgeschlossen, was zu starken
  Einschr\"ankungen f\"uhren d\"urfte, z.B. sollte, wenn $p^2<n$, nur $p\,\top\,
  |\mathfrak{G}|$ sein, wenn nicht ${}_1\mathfrak{G}\geq \mathfrak{A}_n$ etwa.
\begin{flushright}353/354\end{flushright}
\end{enumerate}

\begin{center}
  $2$-tra Gruppen vom Grad $n$, insb. $p$
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Die ``Invariante'' $j=\frac{kl}{n-1}$ wo $k,l$ die Transgen von
  $\mathfrak{H}$, $\mf{H}\underset{n}{<:}\mathfrak{G}$, hat eine einfache Bedeutung:\\
  Sind $\kappa,\lambda$ Ziffern mit $|\kappa^{\mathfrak{H}}|=k~|
  \lambda^{\mathfrak{H}}|=l$, so ist $j=|\mathfrak{G}_{\kappa\lambda}:
  \mathfrak{H}_{\kappa\lambda}|$, falls $(k,l)=1$ (z.B.bei $n=p$).\\
  Denn dann ist $|\mathfrak{H}:\mathfrak{H}_{\kappa\lambda}|=kl$, $|\mathfrak{G}:
  \mathfrak{H}_{\kappa\lambda}|=nkl$.

\item It\^{o}s Schluss zeigt:\\
  Ist $\mathfrak{G}$ $2$-tra vom Grad $n$, $\mathfrak{B}\leq\mathfrak{G}$, hat
  $\mathfrak{B}$ $t$ Transitivit\"atsgebiete, so ist $|\mathfrak{G}:\mathfrak{B}|
  \geq 1+(t-1)\cdot(n-1)$.
\end{enumerate}
\begin{flushright}354/355\end{flushright}

\begin{center}
  Verallg. d. Satzes von FRAME auf Verkettungsmatrizen.
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Hilfssatz: Sind $\alpha_1,\dots,\alpha_n \in\mathbb{C}$ und $\alpha_i
  \overline{\alpha_j}$ ganzalg, so gibt es $\varepsilon$ mit $|\varepsilon|=1$ so
  dass $\varepsilon\alpha_i$ ganz algebraisch ist.\\
  Bew: $n=1$: $\alpha_1\overline{\alpha_1}=\gamma^2\gamma$ ganz $\varepsilon=\frac{\gamma}{\alpha_1}$\\
  $n>1$: oBdA schon $\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1}$ ganz; $\overline{\alpha_1}\alpha_n$ ganz $\alpha_n$ alg\\
  Enth\"alt der Nenner der reduz. Darst. $\alpha_n=\frac{\mf{a}}{\mf{b}}$~~~
  $\mathfrak{p}^{\rho}$ (in einem Normalk\"orper), so ist, da $\alpha_i
  \overline{\alpha_n}$ ganzrat, jedes $\alpha_i=\overline{b}c_i$; also ist
  $\frac{b}{\overline{b}}\alpha_i=bc_i$ ganz ($i\leq n-1$) und $\frac{b}{\overline{b}}
  \alpha_n=\frac{\mf{a}}{\mf{b}}$ ganz. In einem Oberk\"orper ist $\mf{b}=(\beta)$, W\"ahle
  $\varepsilon=\frac{\beta}{\overline{\beta}}$: $\varepsilon\alpha_i$ ganz 
  ($i\leq n$).\\
  {\it[Nebenrechnung:]} $\alpha_n\overline{\alpha_n}=
  \frac{\mf{a}\overline{\mf{a}}}{\mf{b}\overline{\mf{b}}}$ ganz $\Rightarrow \overline{\mf{b}}\mid\mf{a}$

\item Die Darstellg $D_1$ von $\mathfrak{G}$ sei mit $D_2$ verkettet verm\"oge
  Basismatrizen $V_{\rho}$. In $D_1$ komme jeder irred Bestandteil nur einmal
  vor. Dann $D_1,D_2$ reduzieren: $\tilde{D_1}\tilde{V_{\rho}}=
  \tilde{V_{\rho}}\tilde{D_2}$, $\tilde{V_{\rho}}= \left(
  \begin{array}{ccccc}
    \alpha_{\rho}I_1 & \cdots & \vline &                 & \\ \hline
                     &        & \vline & \beta_{\rho}I_2 & \cdots
  \end{array} \right)$\\
  $\alpha_{\rho}\overline{\alpha_{\sigma}}$ ganz als EW von $V_{\rho}^{\ast}
  V_{\rho}$. Also bei pass Normierung der transformierenden Matrix $V$ von $D_2$
  sind alle \underline{$\alpha_{\rho},\beta_{\rho},\dots$ ganz} alg.
\begin{flushright}355/356\end{flushright}
 
  Treten die gemeinsamen $\chi_{\rho}$ in $D_1$ \underline{und} in $D_2$ nur
  einfach auf, so ist also oBdA $V_\lambda= \left(
    \begin{array}{cccc}
      \alpha_{\lambda}I_1 &                    &        & \\
                          & \beta_{\lambda}I_2 &        &  \\
                          &                    & \ddots &   \\
                          &                    &        & 0
    \end{array} \right)$,
  $\alpha_{\rho},n$ ganz.\\
  Hat $V_{\lambda}$ $k_{\lambda}$ Einsen in jeder Spalte, $l_{\lambda}$ in 
  jeder Zeile, so ist also (und $V_{m\times n}$)\\
  $ ml_{\lambda}\delta_{\lambda \mu}=\spur V_{\lambda}V_{\mu}^{\ast} = 
  f_1\alpha_{\lambda}\overline{\alpha_{\mu}}+ f_2\beta_{\lambda}
  \overline{\beta_{\mu}}+\dots$\\
  mit $A=\left(
    \begin{array}{ccc}
      \alpha_1 & \beta_1 & \cdots\\
      \alpha_2 & \beta_2 & \cdots
    \end{array} \right)$ (Zeilen $A$ lin un),\\
  $F=\left(
    \begin{array}{ccc}
      f_1 &     &   \\
          & f_2 &    \\
          &     & \ddots
    \end{array} \right)$, $L=\left(
    \begin{array}{ccc}
      l_1 &     &     \\
          & l_2 &     \\
          &     & \ddots
    \end{array} \right)$,\\
  ist also $ nK=mL=AFA^{\ast}$.

\stepcounter{enumi}
\item[\labelenumi \underline{Satz:}] Daher sind die Elementarteiler von $mL=nK$
  teilbar durch die entsprechenden von $F$. Dabei hat $D_1$ den Grad $m$, und 
  die erzeug Ugr zu $D_1$ hat in $D_2$ die Bahnl\"angen $l_{\lambda}$.\\
  Sind also $\mathfrak{A},\mathfrak{B}$ die erzeug Ugr von $D_1,D_2$, so ist
  $ml_{\lambda}=nk_{\lambda}=\\ (\mathfrak{G}:\mathfrak{A}\cap\mathfrak{B}^X)$.\\
  $mL$ ist also eine Diagmatrix mit Diag-El $|\mathfrak{G}_i \mathfrak{A}\cap
  \mathfrak{B}^X|$.\\
  Voraussetzung ist bei diesem Beweis, dass jeder gemeinsame Bestdt. in $D_1$ und
  $D_2$ nur einfach auftritt.
\begin{flushright}356/357\end{flushright}

\item Zusatz: Unter der gleichen Vor. ist $\prod f_{\rho}\mid \prod_{\lambda}
  ml_{\lambda}$\\
   $[$ Produkt $]$ \ zu erstrecken \"uber die (einfachen) \underline{gemeinsamen} Charaktere
  von $D_1$ und $D_2$. (links und rechts gleich viele Faktoren).

\item Auch bei beliebigen Vielfachen $e_{\rho},e_{\rho}'$ ist $\det mL=
  \text{ganz}\cdot\det F$, woraus $j$ oder $f_e$ $e_{\rho}e_{\rho}'$-mal auftritt;
  dann $mL=T^{\ast}\Gamma T$, wo $T$ aus ``Stellenzeilen'' gebildet ist, und
  $T^{\ast}T$ hat ganze alg. Koeff (n\"amlich Spuren gewisser Ausschnitte aus
  den $V_iV_j^{\ast}$).\quad siehe (8)

\item Will man das zu einem Elementarteilersatz verfeinern, so braucht man nicht
  die transformierten $\tilde{V_i}$ mit ganzen algebraischen Elementen
  herzustellen, sondern es gen\"ugt, ein gegebenes Primideal $\mf{p}$ im Nenner zu
  vermeiden. \quad siehe 12
\begin{flushright}357/358\end{flushright}

\item Frage: Kann man Tamaschkes $\Box$-Satz zu einem Elementarteilersatz
  verfeinern? \quad Ansatz siehe 12

\item Ausf\"uhrlicher sagt (5):\\
  Wenn $\mathfrak{G}$ tra PGr Grad$n$, $\mathfrak{B}\underset{m}{<}\mathfrak{G}$,
  $b_1,\dots,b_t$ die Bahnl\"angen von $\mathfrak{B}$, $e_{\rho}$ und $e_{\rho}'$
  die Vfh von $\chi_{\rho}$ (mit Grad $f_\rho)$ in $\mathfrak{G}$
  bei \anmerk ~der von $\mathfrak{B}$ erzeugten P.-Darstellung von
  $\mathfrak{G}$, so ist [$\sum e_{\rho}e_{\rho}'= t$ und]
  \[ \underline{mn\prod f_{\rho}^{e_{\rho} e_{\rho}'} \mid m^t\cdot
    \prod_{\tau=1}^t b_{\tau}} \]
    siehe 15:  [:h] Z.B. $|\mf{G}:\mf{A}|=p^\alpha$ untersuchen [:h] \\
  Bew: Durch Betrachtung der Zeilensummen von $T$ kommt heraus, dass ein Faktor
  $mn$ wegf\"allt, nicht $m^2$!\\
  Dabei $n=Gr\mathfrak{G}$. Dabei ist $mb_{\tau}=na_{\tau}$ ($\mathfrak{A}
  =\mathfrak{G}_1$), $\alpha_{\tau}$ die Bahnl\"angen von $\mathfrak{G}_1$ in der
  durch $\mathfrak{B}$ erzeugten).\\
  Bew: Aus $G_{\mathfrak{A}}V_{\tau}=V_{\tau}G_{\mathfrak{B}}$, $U^{-1}
  \mathfrak{G}_{\mathfrak{A}}U=\left(
  \begin{array}{ccc}
    1 &   & \\
      & \Box & \\
      &   & \Box
  \end{array} \right)$ red,\\
  $W^{-1}\mathfrak{G}_{\mathfrak{B}}W$ red $=\left(
  \begin{array}{ccc}
    1 &   & \\
      & \Box & \\
      &   & \Box 
  \end{array} \right)$ folgt mit\\ $\mf{e}=\left(
  \begin{array}{ccc}
    1 & \cdots & 1
  \end{array} \right)$ ($m$ mal) $\mf{E}=\left(
  \begin{array}{c}
    1 \\ \vdots \\ 1
  \end{array} \right)$ ($m$ mal):\\
  $U^{-1}V_{\rho}W=\left(
    \begin{array}{cc}
      c_{\rho} & \cdots\\
      \cdots   & \cdots
    \end{array} \right)$ mit $c_{\rho}=\frac{1}{\sqrt{mn}}\mf{e}V_{\rho}\mf{E}=\sqrt{\frac{m}{n}}b_{\rho}=\sqrt{a_{\rho}b_{\rho}}$;\\ $\sum_{\tau}=\sqrt{mn}$
\begin{flushright}358/359\end{flushright}

\stepcounter{enumi}
\item[10.] Hilfssatz \"uber alg. Zahlen:\\
  Sei $M$ ein endlich erzeugter $\oo$-Modul; dabei $K$ ein endl. alg. 
  Zahlenk\"orper, $\mf{p}$ Primideal, $\oo$ der Ring der $\mf{p}$-ganzen Zahlen, 
  $K$ enthalte die $12$-ten Einheitswurzeln, und in $M$ sei ein hermitesches 
  inneres Produkt mit Werten in $\oo$ erkl\"art.\\
  Dann besitzt $M$ eine $\oo$-Basis aus paarweise orthogonalen 
  Elementen.\\
  Bew: Sei $M=m_1\oo+\dots+m_n\oo$, $(m_i,m_j)=\alpha_{ij}\in\oo$
  \begin{enumerate}
  \item Sei $g^{\mu}$ die h\"ochste Potenz, die in \underline{allen} ($m\in M$)
    $|m|^2=(m,m)$ aufgeht. Dann ist $g^{\mu}\mid\alpha_{ij}$\\
    Bew: $||m_i+\kappa m_j||^2=||m_i||^2+\overline{\kappa}(m_i,m_j)+\kappa(m_j,
    m_i)+\kappa\overline{\kappa}||m_j||^2$,\\[4mm]    
%\begin{minipage}[t]{14cm}  
    $\begin{array}{rll}
    \text{also}\ \mf{p}^{\mu}\mid & &\overline{\kappa}\alpha_{ij}+\kappa
    \overline{\alpha_{ij}}\\
    \kappa=i:\quad\text{also}\ \mf{p}^{\mu}\mid & -i  & ~\,\alpha_{ij}+i\overline{
      \alpha_{ij}}~~~\cdot i\\
    & &~~ \alpha_{ij}+\overline{\alpha_{ij}}~~~~\cdot 1\\
    & & 2\alpha_{ij}\\
    \text{ebenso}\ \mf{p}^{\mu}\mid & &\rho\alpha_{ij}+\overline{\rho}\,\overline{
      \alpha_{ij}}\\
    & & \alpha_{ij}+\overline{\alpha_{ij}}\\
    & & \!\!\!(\rho-\overline{\rho})\alpha_{ij}=i\sqrt{3}\alpha_{ij}~~~
    \mf{p}^{\mu}\mid 3\alpha_{ij}\to \mf{p}^{\mu}\mid \alpha_{ij}    
    \end{array}$
 % \end{minipage}

  \begin{minipage}[t]{8cm}
    \vspace{-1.81cm} \hspace{3.1cm} \rule{3.8cm}{0.1ex}
  \end{minipage}\\
  %\begin{minipage}[t]{8cm}
   % \vspace{-0.5625cm} \hspace{-4.85cm}\rule{3.8cm}{0.1ex}
  %\end{minipage}
  \begin{minipage}[t]{8cm}
    \vspace{-0.9625cm} \hspace{3.2cm}\rule{3.8cm}{0.1ex}
  \end{minipage}

\begin{flushright}359/360\end{flushright}

  \item W\"ahle $m_0\in M:\ g^{\mu}\,\top\, ||m_0||^2$.\\
    Dann $m_k-\frac{(m_k,m_0)}{(m_0,m_0)}\cdot m_0=:
    m'_k\perp_{k=1,\dots,n}m_0$\\
    und \hspace{12ex} $\downarrow$\quad $\in\oo$ nach a)\\
    Also mit $M_1=\{m\mid m\in M,\ m\perp m_0\}$ ist $M=m_0\oo
    \oplus M_1$\\
    Indukt $\dim M_1<\dim M$. \anmerk   
  \end{enumerate}

\item[\underline{Hilfssatz 11.}] [:h] fraglich [:h] Sei $K$ alg Zahlenk\"orper $\mf{p}$ Primideal, $\oo$
  die Menge der $\mf{p}$-ganzen Zahlen in $K$. $W=\left(
    \begin{array}{ccc}
      w_{11} & \cdots & w_{1n}\\
      w_{m1} & \cdots & w_{mn}
    \end{array} \right)\in\mathbb{C}_{m\times n}$ komplexe Elemente, $W^{\ast}W$
  habe Elemente aus $\oo.\in\oo_{m\times n}$.\\
  Dann gibt es eine unit\"are Matrix $U$ so dass $UW$ nur ganze alg Elemente 
  hat.\\
  Bew: $M=$ von den Spalten $W$ erzeugter $\oo$-Modul erf\"ullt Vor.10. Sei $m_1,
  \dots,m_k$ orthogonale $\oo$-Basis. W\"ahle $U:\ Um_i=\lambda^2_i\mf{e}_i$, $\mf{e}_i=
  \left(
    \begin{array}{c}
      0\\1\\0
    \end{array} \right)$, $\lambda_i$ reell. Dann ist $\lambda_i^2\in\oo$, also
  $\lambda_i$ ganz alg.\\
  NB: Geht man von beliebigem alg. $K$ aus, so braucht man nur Quadratwu zu 
  adjungieren.
\begin{flushright}360/361\end{flushright}

\stepcounter{enumi}
\item[12.] Nach 11 kann man $
  \begin{cases}
    \text{in 5 das}\ T\\
    \text{in 3 das}\ A
  \end{cases}$ mit $\mf{p}$-ganzen alg Koeff w\"ahlen, ebenso in 8.\\
  Daher: In 8 teilt jeder Elementarteiler von\\ $F=
    \begin{pmatrix}
      1 & & & & \\
        & f_2 & & & \\
        &     & \ddots &  &  \\
        &     &        & f_3  &  \\
        &     &        &      & \ddots       
    \end{pmatrix}$\hspace{-.5cm}
    \raisebox{4.23ex}{
      $\left.
        \begin{array}{c}
          \\
          \\
          \\
        \end{array}
      \right\} e_ie'_i \text{-mal}$}

den entsprechenden von $m\cdot\left(
    \begin{matrix}
      l_1 &     &     \\
          & l_2 &     \\
          &     & \ddots
    \end{matrix} \right) =mL$.\\
  Dabei war $mL=T^{\ast}FT$. \boxed{\shortstack{Kurz:$F_p$ teilt $m_pL_p$\\
    Anteile nach $p^a$ geordnet}}

\item[13.] Mit $T=(RA=)$, $S=\left(
    \begin{matrix}
      1 &        &   & 1\\
        & \ddots &   & \vdots \\
        &        & 1 & 1 \\
        &        &   & 1
    \end{matrix} \right)=\left(
    \begin{matrix}
      I & \mf{e} \\
      0 & 1
    \end{matrix} \right)$\\
  wird $TS=\left(
    \begin{array}{c}
      R
    \end{array}
    \begin{array}{c}
      n \\ 0
    \end{array} \right)\begin{array}{c}\leftarrow m?\\\end{array}$\\
  $mL\sim s^{\ast}mLS=\left(
    \begin{array}{c}
      R
    \end{array}
    \begin{array}{c}
      n \\ 0
    \end{array} \right)^{\ast}F\left(
    \begin{array}{c}
      R
    \end{array}
    \begin{array}{c}
      n \\ 0
    \end{array} \right)=R^{\ast}FR$\\
  $R=\left(
    \begin{array}{c}
      \mf{r}_1 \\ \mf{r}_2
    \end{array} \right)$\\
  Damit sollte man noch die Det um $n^2$ oder $m^2$ k\"urzen k\"onnen - aber 
  was bringt es f\"ur die E.-T.?

\item[14.] Man kann vielleicht $T$ auch mit ganzen Koeff machen:\\
  Sei $\delta=\ggt$ aller $||m||^2$, $m\in M$ in einem $\oo$-Modul (endlicher) $M$, wo
  $\oo=$ \underline{alle} ganzen alg. Zahlen. Man m\"usste zeigen, dass ein $m\in
  M$ mit $||m||^2=\delta^2$ existiert. Dann weiter wie $10_3$.
\begin{flushright}361/362\end{flushright}

\item[15.] Die Teilbarkeitsaussage 8 kann man schreiben
  \[ \prod_{\rho}f_{\rho}^{2e_{\rho}e_{\rho}'}\mid (mn)^{t-2}\prod a_{\tau}
  b_{\tau} \]
  Daher hat $V_{\tau}$ $a_{\tau}$ Einsen in jeder Zeile, $b_{\tau}$ Einsen in
  jeder Spalte.\\[5mm]
  Folge aus 12:
\item[16.] $\mathfrak{G}$ tra PermGr, $\mathfrak{B}\leq \mathfrak{G}$ enthalte eine
  $p$-SyGr von $\mathfrak{G}$ und habe Bahnl\"angen $b_1,\dots,b_t$, alle 
  h\"ochstens durch $p^{\mu}$ teilbar. Dann ist kein $f_{\rho}$ durch $p^{\mu+1}$
  teilbar, das in $\mathfrak{G}$ vorkommt und in dessen $\chi_{\rho}$ die ident
  Darst von $\mathfrak{B}$ enthalten ist (d.h. mit $e_{\rho}e_{\rho}'>0$)\\
  Ferner ist, wenn $p^{\delta}\mid f_{\rho}$ und die Anzahl der $b_{\tau}\equiv
  0\, (p^{\delta})$ $N_{\delta}$ ist, $e_{\rho}f_{\rho}\le N_{\delta}$.\\[5mm]
  Verbesserte Theorie \expandafter\uppercase\expandafter{\romannumeral13} 131
\begin{flushright}362/363\end{flushright}
\end{enumerate}

\begin{center}
  Rosenbergs Blocktheorie
\end{center}
l\"asst sich erweitern auf den Vertauschungsring einer transitiven Perm-Gruppe:

\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}.}
\begin{enumerate}
\item Seien $A,B,C$ Basismatrizen (mit $0,1$), $\mf{d}$ eine $p$-Untergruppe
  von $\mathfrak{G}_1$. $\mf{d}$ habe einen Fixpunkt in den zu $C$ geh\"origen
  Transsystem, aber nicht in dem zu $A$ geh\"origen. Dann hat $C$ in $AB$ einen
  Koeff $\equiv 0\mod\mf{p}$.

\item[$1^\prime$.] Hat ein in $AB$ auftretendes TraGeb einen Fixpunkt bei $\mf{d}$, so gilt das
  auch f\"ur $A$ und $B$.\\
  Bew: In der 1. Zeile von $A$ seien $\alpha_{1j},\dots,\alpha_{1l}$ mit Einsen
  besetzt (die also das zu $A$ geh\"or TrSyst bilden), in der ersten Zeile von
  $C$ stehe am Platz $x$ eine $1$, und in der $x$-ten Spalte von $B$ seien die
  Pl\"atze $\beta_1,\dots,\beta_l$ mit $1$ besetzt. Dann ist der Koeff $\gamma$ von $C$
  in $AB$ die Anzahl der Paare $\kappa,\lambda$ mit $\alpha_{\kappa}=
  \beta_{\lambda}$. Da $A,B$ mit $D\in\mf{d}$ vertauschbar, f\"uhrt
  $\mf{d}$ diese Paare $(\alpha_{\kappa}\beta_{\lambda})$ nur ineinander 
  \"uber. Ihre Anzahl ist, da $\mf{d}$ kein $\alpha_{\kappa}$ und daher kein
  Paar fest l\"asst, durch $p$ teilbar: $c\equiv0\, (p)$.
\begin{flushright}363/364\end{flushright}

\item Ist $\mathfrak{V}$ der Vertauschgsring$\mod p$ von $\mathfrak{G}$, so
  spannen die $V_i$, deren $T_i$ keinen Fixpunkt von $\mf{d}$ enthalten, ein
  zweiseit. Ideal in $\mathfrak{V}$ auf.

\item[2'] Ebenso die $V_j$, deren DefektGr in gegeb $p$-Gr 
  $\mf{d}$ liegt \quad Bew 1.

\item
  \begin{enumerate}
  \item Ist $\mathfrak{V}$ kommutativ und $e$ ein primitives Indempotent von
    $\mathfrak{V}$, so sind je zwei maximale unter den Standgruppen der El der in
    $e$ auftretenden Transgebiete konjugiert in $\mathfrak{G}_1$.

  \item \underline{Jede} Standgr ist konjugiert zu einer Ugr d maximalen.
  \end{enumerate}
  Bew:
  \begin{enumerate}
  \item Sonst $\mf{d}_1,\mf{d}_2$ max; sind $\mathfrak{a}_1,\mathfrak{a}_2$
    die Ideale der fixpunktfreien Transgeb von $\mf{d}_1,\mf{d}_2$, so ist
    $e\in\mathfrak{a}_1+\mathfrak{a}_2$, wegen Primitivit\"at $e\in
    \mathfrak{a}_1$ oder $\mathfrak{a}_2$ (sonst $e\mathfrak{a}_1$ nilp, $e
    \mathfrak{a}_2$ nilp, $e(\mathfrak{a}_1+\mathfrak{a}_2)$ nilp, aber $\ni e$).

  \item Sonst g\"abe es zwei maximale unter den Standgr zu $e$; Wid. zu a)
  \end{enumerate}

\item Die Anzahl der primit Indempotente in $\mathfrak{V}$ ist gleich der Anzahl
  direkt unzerlegbarer Bestandteile, in die $\mathfrak{G}\mod p$ zerf\"allt.\\
  Ihre Grade sind $=\rang e_i=\dim e_i\mathfrak{X}$, wenn $\mathfrak{X}$ der 
  DarstMod von $\mathfrak{G}$.
\begin{flushright}364/365\end{flushright}

\item Aufgaben:
  \begin{enumerate}
  \item Allgemeiner Trans-Moduln untersuchen

  \item Zuerst das Zentrum von $\mathfrak{V}$, wenn $\mathfrak{V}$ nicht 
    kommutativ

  \item Theorie anwenden auf Gruppen zwischen dem Holomorph von $\mathfrak{G}$
    und der Untergruppe $\mathfrak{G}J$, $J=$ innere Autom; hier ist
    $\mathfrak{V}$ ein Unterring des Zentrums vom Gruppenring von $\mathfrak{G}$.\\
    Man kann damit also die Verteilung der Fixpunkte von $p$-Gruppen von Autom.
    auf die Klassen konj. Elemente in $\mathfrak{G}$ untersuchen.
  \end{enumerate}

\item Ein kleiner Teil der Theorie kann auch auf beliebige (nicht notwendig. 
  Vertauschungs-) Ringe von Matrizen ausgedehnt werden, die eine Basis von 
  stochast. $01$-Matrizen haben: Die Basismatr. mit Zeilensumme 
  $\equiv 0\, (p)$ bilden Ideal. Das ist aber mager: Dieses Ideal ist das 
  Annullatorideal von $\left(
    \begin{array}{c}
      1\\1\\1\\ \vdots
    \end{array}\right)$.
\begin{flushright}365/366\end{flushright}

\item Wenn $\mathfrak{G}$ eine reg PGr $\mathfrak{G}$ enth\"alt, sollte man zur
  Untersuchung von $\mathfrak{V}(\mathfrak{G})\mod p$ die modularen Charaktere
  von $\mathfrak{H}^{\ast}$ verwenden können, wo $\mathfrak{H}^{\ast}$ der
  Zentralisator von $\mathfrak{H}$ in $\mathfrak{S}_n$ ist.\\
  Insbesondere bei abelschem $\mathfrak{H}$, wo $\mathfrak{H}=
  \mathfrak{H}^{\ast}$. (Nach Verfahren von Osima 1956, S.178)
\end{enumerate}
  \begin{flushright}366/367\end{flushright}

\begin{center}
  Neufassung der Blocktheorie
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Sei stets $\mathfrak{G}$ eine (nicht notw. transitive) PGr auf $\Omega$,
  als Gr von PermMatrizen gesehen.\\
  Sei $\mathfrak{V}$ der Ring der Verb.Matr von $\mathfrak{G}$ \"uber K\"orper
  $F$ der $\text{char}\ p$. Seien $V_1,\dots,V_t$ die $01$-Basismatr von 
  $\mathfrak{V}$. Jedes $V_{\alpha}=\sum'E_{\kappa\lambda}$, $E_{\kappa\lambda}$ 
  eine $1$ an Stelle $(\kappa,\lambda)$, sonst $0$.\\
  Sei $\mathfrak{G}_{\kappa\lambda}$ die Fixgruppe von $E_{\kappa\lambda}$, dh
  von $(\kappa,\lambda)$.

\item Ist $1\leq\mf{d}\leq\mathfrak{G}$ und tritt in $V_{\alpha}V_{\beta}$
  ein $V_{\gamma}$ wirklich auf ($\mod p$~!), die einen Fixpunkt $E_{\kappa
    \lambda}$ von $\mf{d}$ enth\"alt, so enth\"alt sowohl $V_{\alpha}$ wie
  $V_{\beta}$ einen FP.

\item Die $V_{\alpha}$, die keinen Fixpkt von $\mf{d}$ enthalten, spannen 
  zweis Ideal in $\mathfrak{V}$ auf. \quad (2)

\stepcounter{enumi}
\item[Df \labelenumi] Eine Defektgruppe $\mf{d}_{\alpha}$ ist eine $p$-SyGr
  von $G_{\kappa\lambda}$, wobei $E_{\kappa\lambda}\in V_{\alpha}$. Je zwei
  $\mf{d}_{\alpha}$'s sind konjugiert in $\mathfrak{G}$

\item Kommt $V_{\gamma}$ in $V_{\alpha}V_{\beta}$ vor, so $\mf{d}_{\gamma}\lec\mf{d}_{\alpha}\cap \mf{d}_{\beta}$ \quad (3) \quad $c$ ``konj''

\item Die $V_{\alpha}$ mit $\mf{d}_{\alpha}\,\,\,\,\raisebox{-1.8ex}{\rule{0.08ex}{3.7ex}}\hspace*{-1.38ex}\lec\,
  \mf{d}$ spannen 2seit Ideal auf in $\mathfrak{V}$.

\stepcounter{enumi}
\item[Df \labelenumi] Ein Block von $\mathfrak{V}$ ist ein im Zentrum von
  $\mathfrak{V}$ gelegenes Idempotent $E$, f\"ur welches jedes
  \underline{echte} $2$seit Unterideal von $E\mathfrak{V}$ nilpotent ist. 
\begin{flushright}367/368\end{flushright}

\item $E$ Block $\mathfrak{V}$, $E \in \mathfrak{A}+\mathfrak{B}$ (2seit Ideale)
  $\rightarrow E\in\mathfrak{A}$ oder $\mathfrak{B}$\\
  Bew: $E=a+b=E^2=Ea+Eb$\\
  $E\not\in\mathfrak{A} \quad Ea\in\underbrace{\mathfrak{A}\cap E\mathfrak{V}}_{
  \mathfrak{A}',\mathfrak{B}'\ \text{nilpot.}}\subset E \mathfrak{V}$\\
  $E\not\in\mathfrak{B} \quad Eb\in\overbrace{\mathfrak{B}\cap E\mathfrak{A}}
  \subset E \mathfrak{V} \rightarrow E\in\mathfrak{A}'+\mathfrak{B}'=$ 
  nilp. W!

\item $E$ Block, $E=\sum'f_{i}V_i$, $f_i\not=0$\\
  $\rightarrow$ unter den $\mf{d}_i$ nur \underline{eine} maximale
  $\mf{d}_1$, jede andere in $\lec\mf{d}_1$.
  \begin{enumerate}
  \item Bew: Sonst $E \in J_{\mf{d}_1}+J_{\mf{d}_2}$ aber 
    $\not\in J_{\mf{d}_1}, J_{\mf{d}_2}$: nur eine max

  \item $\mf{d}_i \lec \mf{d}_j \max \underset{c}{=}
    \mf{d}_i$
  \end{enumerate}

\stepcounter{enumi}
\item[Df \labelenumi] Die maximale Ziffer der $V_i$ in $\mf{d}$ hei\ss t 
  $\mf{d}_E$.

\item[$9^\prime$.] $E=\sum f_{\alpha}V_{\alpha}+\sum f_{\beta}V_{\beta}$, $\mf{d}_{\alpha}
  \underset{c}{=}\mf{d}_1\mf{d}_{\beta}\underset{c}{<}\mf{d}$.

\item Sei $1\underset{p^d}{\leq}\mf{d}\leq\mathfrak{G}$. Ordne jedem $V\in\mathfrak{V}$ die 
  Matrix $V'$ auf $\Omega'\times\Omega'$ zu, die entsteht, wenn man $V$ auf $\Omega'$ einschr\"ankt (restliche Zeilen und Spalten streichen). Dabei 
  $\Omega'=$ Menge der Fixpunkte von $\mf{d}$. Sei $\mathfrak{H}=\mathcal{N}
  \mf{d}$ eingeschr\"ankt auf $\Omega'$. Sei $\mathfrak{W}^\prime=$ Vertring 
  $\mathfrak{H}$ auf $\Omega'$.
\begin{flushright}368/369\end{flushright}

\item 
  \begin{enumerate}
  \item $V\rightarrow \sigma(V)= V^\prime$ ist Homom von $\mathfrak{V}$ in $\mathfrak{W}$,

  \item $\sigma\mathfrak{V}$ enth\"alt jedes $W_{\alpha}\in\mathfrak{W}$ mit
    $\mf{d}_{W_{\alpha}}=\mf{d}$.
  \end{enumerate}    
  \begin{enumerate}
  \item Sei $\overline{V}$ die Matrix \underline{auf $\Omega$}, die
    durch
    Nullsetzen der Koeff der nicht-Fixpunkte auf $\Omega\times\Omega$ entsteht.\\
    Dann folgt aus $V_iV=\sum a_{ijh}V_j$ mit
    $V_i=\overline{V_i}+R_i$:
      \begin{eqnarray*}
        (\overline{V_i}+R_i)(\overline{V_j}+R_j) & = & \sum a_{ijh}(\overline{V_h}+
        \overline{R_h})\\
         & = & \overline{V_i}~\overline{V_j}+\underbrace{R_i 
           (\overline{V_i}+R_j)+ \overline{V_i}R_j}_{\expandafter\uppercase\expandafter
           {\romannumeral2}}
      \end{eqnarray*}
      Transf der $E_{\kappa\lambda}$ (($\mu,\lambda$) fix bei $\mathfrak{d}$) 
      mit 
      $\mf{d}$ zeigt dass Koeff $E_{\kappa \lambda}$ in 
      \expandafter\uppercase\expandafter{\romannumeral2} verschwindet:
      \[ \overline{V_i}\,\overline{V_j}=\sum a_{ijh} \overline{V_h} \]
      $V'$ entstehe aus $\overline{V}$ durch Weglassen des aus Nullen
      bestehenden Randes, wenn man $\Omega$ in der Form $\Omega'+$Rest
      ordnet. Also ist $\sigma$ Hom. von $\mathfrak{V}$.\\
      Dass die $\overline{V}$ mit jedem $H\in\mathfrak{H}$ vertb sind 
      ist klar, da $H$ $\Omega'$ in sich \"uberf\"uhrt.
      
    \item Jede Basismatrix $W_{\alpha}^\prime$ mit
      $\mf{d}_{W_{\alpha}}'=\mf{d}$ von $\mathfrak{W}$ ist
      ein $\sigma(V_{\alpha})$: Wenn $E_{\kappa\lambda}\in
      W_{\alpha}'$, so enth\"alt $W_{\alpha}'$ genau die
      $E_{\rho\sigma}$, zu denen
      (\expandafter\uppercase\expandafter{\romannumeral1}) ein
      $H\in\mathfrak{H}$ ex mit$(\rho\sigma)^H=(\kappa\lambda)$.
      Andererseits sei $V_{\alpha}$ die Basisgr von $\mathfrak{V}$,
      die $E_{\kappa\lambda}$
      \begin{flushright}369/370\end{flushright}
enth\"alt. Denn enth\"alt $\overline{V_{\alpha}}$ genau diejenigen
$E_{\rho \sigma}$ $(\sigma,\rho\in\Omega')$ zu denen
(\expandafter\uppercase\expandafter{\romannumeral2})
$G\in\mathfrak{G}$ mit
$(\rho,\sigma)^G=\kappa\lambda$ existiert.\\
Beide Bedingungen sind gleichwertig:
\expandafter\uppercase\expandafter{\romannumeral1} $\rightarrow$
\expandafter\uppercase\expandafter{\romannumeral2} ist trivial.\\
\expandafter\uppercase\expandafter{\romannumeral2} $\rightarrow$
\expandafter\uppercase\expandafter{\romannumeral1} $\mf{d}$ ist
auch $= \mf{d}_{V_{\alpha}}$, denn sonst $\mathfrak{H}$
gr\"ossere $p$-Gr als $\mf{d}$ enth. Da $(\rho\sigma)$ fix bei
$\mf{d}$, l\"asst $\mf{d}^G$ $(\kappa\lambda)$ fest, aber
ist auch $\mf{d}^G$ eine Sylowgr von
$\mathfrak{G}_{\kappa\lambda}$, $\exists G_{\kappa\lambda}$
$\mf{d}^{G G_{\kappa\lambda}}=\mf{d}$,
$H=GG_{\kappa\lambda}\in\mathfrak{H}$,
$(\rho\sigma)^H=(\kappa\lambda)$
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\noindent
Hier tritt nun die Schwierigkeit auf:\\
Liegt $\sigma(E)$ im Zentrum von $\mathfrak{W}$? Wenn nein, so m\"usste man als
``Block von $\mathfrak{V}$'' definieren eine Klasse von \"aquiv primit 
Indempotenten von $\mathfrak{V}$, wo \"Aquivalenz heisst: Sie erzeugen das 
gleiche 2-seit Ideal. Dass sich die letztere Eigenschaft auf $\sigma(E)$
\"ubertr\"agt ist klar. Jedenfalls ist das Bild $\sigma(e)$ eines primit.
Indempotents $e$ von $\mathfrak{V}$ primitiv in $\mathfrak{W}$, wenn $\deg e=
\mf{d}$. Denn $\sigma(e)\mathfrak{W}=\sigma(e)[\sigma(e)\mathfrak{W}] \subseteqq
\sigma(e)\sigma(\mathfrak{V})=\sigma(e\mathfrak{V})$, also jedes echte nicht 
nilp Ideal in $\sigma(e)\mathfrak{W}$ g\"abe eins in $e\mathfrak{V}$.
\begin{flushright}370/371\end{flushright}

\noindent
Ebenso: Sind $e_1\mathfrak{V}$, $e_i\mathfrak{V}$ eink\"opf.
Linksideale aus verschiedenen Bl\"ocken von $\mathfrak{V}$, so $\sigma(e_1)
\mathfrak{W}$ Linksideale aus versch Bl\"o von $\mathfrak{W}$, denn sie haben
keine isomorphen Ausschnitt bez\"uglich $\sigma(\mathfrak{V})$ als
Multipl.\\
Also pri Indempotent aus verschiedenen Bl\"ocken von 
$\mathfrak{V}$ geben ebensolche aus versch Bl\"ocken von $\mathfrak{W}$, wenn
sie Def $\mf{d}$ haben. Jedes pri $\mf{d}$-Idempot $e'$ in 
$\mathfrak{W}$ ist $e'=\sigma(e)$ ein prim $\mf{d}$-Idemp in $\mathfrak{V}$.\\
Bew: $e'=\sigma(e_1)$, $e_1^2\equiv e_1 \mod \mf{I}_\mf{d}$\\
w\"ahle $e^2=e$, $e\equiv e_1 \mod \mf{I}_\mf{d}$\\
$e=\sum\limits_1^n e_i~~~~\bot$\\
$e^\prime=\sum\limits_1^n e_i^\prime~~~\bot$\\
$e_1^\prime=e$, $e_i'=0$ ($i>1$)\\
$e^\prime=\sigma(e_1)$\\
\noindent
Hilfssatz: $1\in\mathfrak{A}$, $a^2\equiv a \, (\mathfrak{B})$ \anmerk\\
$\rightarrow a\equiv e\, (\mathfrak{B})$, $e^2=e$.\\
Bew: OBdA $\mathfrak{B}$ minimal
\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi})}
\begin{enumerate}
\item $\mathfrak{B}\subseteq$ Rad, $a^{p^k}=e$

\item $\mathfrak{B}\not\subseteq$ Rad, $\mathfrak{B}\oplus\mathfrak{C}=\mathfrak{A}$
\end{enumerate}

\begin{flushright}371/372\end{flushright}

\noindent
[ h:] Satz [:h ] \\
Also $\mathfrak{W}$ hat mindestens so viele $\mf{d}$-Bl\"ocke wie 
$\mathfrak{V}$.
Genauer: \underline{Ebenso} soviele wie $\sigma(\mathfrak{V})\sim \mathfrak{A}_1/
\mathfrak{C}_1\oplus\ldots\oplus\mathfrak{A}_t/\mathfrak{C}_t$\\
wenn $\mathfrak{A}=\oplus\sum\mathfrak{A}_{\tau}$ und $\mathfrak{C}_{\tau}= 
\mathfrak{A}_{\tau}\cap J_{\mf{d}}$ bei $\mf{d}$ fixpunktfrei.\\
Bew: Die $\mf{d}$-Bl\"ocke von $\mathfrak{W}$ liegen in $\sigma(\mathfrak{V})$, 
also liegen sie im Zentrum von $\sigma(\mathfrak{V})$, also sind sie Summen von 
Bl\"ocken von $\sigma(\mathfrak{V})$\\
Pri Idempotente aus verschiedenen Bl\"ocken von $\sum\mathfrak{A}_\nu/\mathfrak{C}_\nu$ 
ergeben nach 371 auch Idempotente in versch Bl\"ocken von $\mathfrak{W}$, da ihre 
eink\"opf Ideale  keine isomorphen Bestandteile haben.\\
\noindent
Vorsicht: bewiesen ist wohl nur die Gleichheit der Maximalzahl paarweise orthogonaler
Idempotente und der DefGr $\mf{d}$ in $\mathfrak{V}$ und $\mathfrak{W}$ \quad 
Bew mit $373_1$\\
Auch das enth\"alt schon den \expandafter\uppercase\expandafter{\romannumeral1}.
Haupsatz \"uber Bl\"ocke
\begin{flushright}372/373\end{flushright}
%
N\"utzlich sollte der folgende Satz sein:

\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\begin{enumerate}
\item Verfeinerungssatz: Gilt in $\mathfrak{A}$ der Doppelkettensatz f\"ur 
2-Ideale und sind $c_1,\dots,c_n$ paarweise orth Indempotente\\ $\mod \mathfrak{B} (\leq
\mathfrak{A})$, so $\exists e_i\equiv c_i\mod \mf{B}$, $e_ie_j=\delta_{ij}e_i$\\
Bew mit Indukt bezgl $n$, $\mathfrak{B}$ minimal\\
$n=1$: 371\\
$n>1$: schon $e_\nu^2=e_\nu$ \anmerk\\
$e_\nu e_n= r_\nu\in\mathfrak{B}$ $(\nu=1,\dots, n-1)$\\
$e_\nu^\prime=e_\nu-r_\nu$, $e_\nu^\prime e_n=0$
\begin{eqnarray*}
e_\nu^{\prime2} & = & e_\nu-e_\nu r_\nu-r_\nu e_\nu+r_\nu^2\\
       & = & e_\nu-r_\nu-r_\nu\cdot e_ne_\nu\in\mathfrak{B}\\
       & = & e_\nu^\prime
\end{eqnarray*}

\item Erweiterungsm\"oglichkeiten:
  \begin{enumerate}
  \item Endliche Autom-Gr von Semigr $\mathfrak{S}$. Zerf\"allung der von 
    $\mathfrak{S}$ erzeugten Algebra

  \item Auf $p$-adischem Koeffk\"orper verfeinern: Maximale orthogon IdempotSystem
    entsprechen sich
  \end{enumerate}
\begin{flushright}373/374\end{flushright}

Ein Idempotent in einem Ring mit $1$ und MinBed $f$ Linksideale ist genau dann
pri, wenn jedes echte Unterideal in $e\mathfrak{S}$ nilpotent ist.\\
Aus $c\in \mf{a}+\mf{b}$ ($\mf{a}$,$\mf{b}$ Rechtsideale) folgt: $e\in \mf{a}$ oder $e\in \mf{b}$\\
Bew: $e=a+b$, oBdA $a,b\in \mf{a}e,\mf{b}e$\\
ist $ae=\mathfrak{S} e$, so $e\in \mf{a}e\subseteq \mf{a}$\\
sonst $\mf{a}e$ nilp, $\mf{b}e$ nilp, $\mf{a}+\mf{b}$ nil

\addtocounter{enumi}{-1}
\item Zu \"aquivalenten Idempotenten $e,f$ (dh solchen mit \underline{isomorphen}
direkten Summanden des DarstModuls von $\mathfrak{G})$ geh\"ort die gleiche 
Defektgruppe. Denn sie erzeugen dasselbe $2$-Ideal.

\item[($2^\prime$)] $e,f$ sind konjugiert in $\mathfrak{V}: f=ses^{-1}$\\
  Bew: Der DarstModul von $\mathfrak{G}$ sei $\mathfrak{X}=\mathfrak{x}_1+
  \mathfrak{x}_2$, $\mathfrak{x}_1=e\mathfrak{X}$, $\mathfrak{x}_2=(1-e)\mathfrak{X}$,
  dann gibts Isom $s: \mathfrak{x}_1\rightarrow f\mathfrak{X}$; und $s: \mathfrak{x}_2
  \rightarrow (1-f)\mathfrak{X}$, $g\in\mathfrak{G}\rightarrow gs=sg$; $sa=fs$
\end{enumerate}
\begin{flushright}374/375\end{flushright}

\noindent
Hauptsatz: Sei $\mathfrak{G}$ eine PermutatGr aufgefasst als Matrizengruppe mit Koeff
aus einem K\"orper [oder kom Ring?!] der Char $p$.\\
Sei $\mf{d}$ eine $p$-Untergr von $\mathfrak{G}$, sei $\mathfrak{G}'=\mathcal{N}
\mf{d}$, aufgefasst als P-Gr auf den Fixpunkten von $\mf{d}$.\\
Dann gibt es eine 1-1-Zuordnung der unzerlegbaren Bestandteile von $\mathfrak{G}$ zur
DefGr $\mf{d}$ (in einer gegebenen Zerlegg von $\mathfrak{G}$) zu den unz.
Bestandt. von $\mathfrak{G}'$ zur DefGr $\mf{d}$; zwei Bilder sind genau dann
\"aquivalent, wenn die Originale \"aqu sind.\\
Bew: 

\begin{enumerate} 
\item Sind Originale \"aq., so geh\"oren dazu $e_1,e_2=T^{-1}e_1T$; zu den Bildern
  geh\"oren $e_1',e_2'=\sigma(t^{-1})e_1^\prime\sigma(t)$, also Bilder \"aqu.

\item Umkehrg: Ist $e_2'=\alpha^{-1}e_1'\alpha$ wo $\alpha\in\mathfrak{V}'\supseteq
  \sigma(\mathfrak{V})$, so $e_2'=u'e_1'v'$, $u'=\alpha^{-1}e_1'\in 
  \sigma(\mathfrak{V})$, $v'\in \sigma(\mathfrak{V})$\\
  $e_2'=e_2'^2=e_2'u'e_1'v'=\sigma(e_2 u e_1 v)$\\
  Da $e_2'$ nicht nilpotent, ist $e_2 u e_1 v$ nicht nilpot,\\
  also $e_2,e_1$ im selben einfachen Bestdt mod Rad$\mathfrak{V}$,\\ also $e_2$ \"aqu 
  $e_1, e_2=a^{-1}e_1 a$ $a\in\mf{V}$\\
  k\"urzer: $\rightarrow e_2 ue_1\mathfrak{V}=e_2\mathfrak{V}$, $e_2 ue_1 w=e_1$,\\
  $g_2\in \mathfrak{G}e_2: g_2\rightarrow g_2 e_2ue_1=g_1\rightarrow g_1w=g_2$ ist 
  Isom $\mathfrak{G}e_2\rightarrow \mathfrak{G}e_1$.
\end{enumerate}

\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}.}
\begin{enumerate}
\stepcounter{enumi}
\item Defektgruppe und Bildmodul von $U$ in $\mathfrak{N}(\mathfrak{d})$ h\"angen 
  \underline{nicht} von der Wahl der PermDarst von $\mathfrak{G}$ ab!\\
  Bew: Ist $\mathfrak{G}_1$ ohne zweite PDarst, so h\"angen $\mathfrak{G}$ und 
  $\mathfrak{G}_1$ aneinander. Das Idempotent $\mathfrak{G}$ f\"ur $U$ kann man 
  dann rändern, das \"andert die DefGr nicht und nicht den 
  Bildmodul $U$!

\item F\"ur einen unzerlegbaren Teil der reg Darst ist die Defektgruppe immer $1$. 
  Man nenne sie also lieber
  \begin{center}
    $\mf{d}=$ \underline{Kerngruppe} von $U$
  \end{center}
  Jede unzerlegbare Darst $U$ von $\mathfrak{G}$ \"uber $K$, die \"uberhaupt in einer 
  PDarst von $\mathfrak{G}$ auftritt, bestimmt also ohne Kerngruppe $\mf{d}$ 
  ($p$-Gr) in $\mathfrak{G}$ bis auf Konjugiertheit, und eine unzerlegbare 
  Darst $U'$ von $\mathfrak{G}'= \mathfrak{N}(\mf{d})|
  \mf{d}$ (auf den Fixp von $\mf{d}$). $U'$ kommt genau so oft in 
  $\mathfrak{G}'$ vor wie $U$ in $\mathfrak{G}$; $\mf{d}_{U^\prime}=\mf{d}_{U}$
\end{enumerate}
\begin{flushright}376/377\end{flushright}

\begin{enumerate}
\item Frage: Gibts so etwas auch f\"ur die nicht in PDarst auftretenden unzerlegbaren 
  Darstellungen von $\mathfrak{G}$?

\item Als Kerngruppen treten h\"ochstens die $\mf{d}$ in $\mathfrak{G}$ auf, 
  die als Sylowgruppen von $\mathfrak{P}_{12}$ auftreten, wo $\mf{P}$ eine PermDarst von 
  $\mathfrak{G}$ ist: $\mf{d}=$ SyGr $\mathfrak{H}\cap\mathfrak{H}^x$ mit 
  $x\not\in \mathfrak{H}$ - Das ist aber wohl noch nicht hinreichend:\\
  Jede $p$-Gr $\mf{d}<$ SyGr $\mathfrak{G}$ l\"asst sich so darstellen, mit 
  $\mathfrak{H}= \mf{d}$.\\
  Frage: Kommt jede unzerlegbare Darst in einer PermDarst von $\mathfrak{G}$ vor?\\
  Nein, da es beliebig hochgradige Darstellg von $(p,p)$ gibt: Von diesen k\"onnen 
  nicht alle in PDarst vorkommen:\\
  $a\rightarrow \left(
    \begin{array}{cc}
      E & E\\
        & E
    \end{array} \right)$, $b\rightarrow \left(
    \begin{array}{cc}
      E & F\\
        & E
    \end{array} \right)$ wo $F= \left(
    \begin{array}{cccc}
      0 & 1      &    &\\
        & \ddots & \ddots & \\
        &        & \ddots & 1 \\
        &        &        & 0
    \end{array} \right)$
\begin{flushright}377/378\end{flushright}

\item Die in PGruppen auftretenden unzerlegbaren bilden einen Ring! Das ist eine 
  vern\"unftige Menge von unzerlg Darstellungen: auch die Untermoduln der reg 
  Darstellg (dh die Linksideale im Gruppenring auch)

\item Vermutung:
  \begin{enumerate}
  \item Wenn $U_1%\overset{\text{auf}}{\underset{\sim}{\to}}~~\overset{\text{auf}}{\overset{\to}{\sim}}~~\overset{\text{auf}}{\overrightarrow{\sim}}~~
  \ofrac{\text{auf}}{\overrightarrow{~\sim~}}~U_2$, so $\mf{d}_{U_1}\leq 
    \mf{d}_{U_2}$.
  \item Die Brauersche Defektgruppe von $U$ ist die Kerngruppe des Kopfs von $U$.
  \end{enumerate}

\item[Aufg $4^\prime$:] Welche unzerlegbaren Bestandteile$\mod p$ hat das Holomorph von 
  $\mathfrak{G}$?

\item[Aufg. 5:] Die unzerlegbaren Darstellungen$\mod p$ untersuchen, die
  \begin{enumerate}
  \item in PermDarst

  \item in Darstellungen \"uber dem Ring $P$ der ganzen $p$-adischen Zahlen auftreten
  \end{enumerate}

\stepcounter{enumi}
\item Wenn in 5b) der Vert.Ring \"uber $P$ bei Betrachtung$\mod p$ den 
  \underline{ganzen} VertRing \"uber $K_p$ liefert, so entsprechen die unzerlegbaren 
  Bestandteile von $\mathfrak{G}$ \"uber $P$ einerseits, $K_p$ andererseits, 
  einander eindeutig, so dass die letzten aus den ersten$\mod p$ entstehen.
\begin{flushright}378/379\end{flushright}

\item Besser \underline{Fixgruppe} statt Defektgr im neuen Sinn

\item Fixgruppe $\mathcal{F}$ eines unzerl Bestandteils $U$ einer PermDarst von $\mathfrak{G}$ 
  ist genau jede maximale $p$-Gr, die in $U$ die identische Darstellg 
  \underline{direkt} abspaltet.\\
  Bew: Das zu $V$ geh\"orige Idempotent im VertRing von $\mf{F}$ weiter zerlegen, ein 
  Bestandteil ist \"aq einem $E_{\alpha\beta}$ das bei $\mathcal{F}$ fest ist.\\
  Frage: Entsprechend f\"ur andere irred Darst $V$ von $\mathfrak{G}$ statt 1 und 
  der mittels $V$ induzierten Darstellg von $\mathfrak{G}$?

\item Vermutung: Ist $\mathcal{F}=\mathcal{F}_U$, so ist $\mathcal{N}\mathcal{F}$ unzerlegbar auf dem Raum der von 
  $\mathcal{F}_U$ \underline{abgespaltenen} Fixpunkte.\\
  Bew. Ansatz $375_1+379_8$. Sonst lieferte $U$ mehrere unzerlegb Bestandteile von 
  $\mathcal{N} \mathcal{F}_U$.

\item Eine PermDarst $\mathfrak{P}$ von $\mathfrak{G}$ enth\"alt genau dann 
  wenigstens ein $U$ mit gegebenen $\mathcal{F}=\mathcal{F}_U$, wenn $\mathcal{F}$ in den erzeugenden Ugr von 
  $\mathfrak{G}$ liegt, dh einen Fixpkt in $\mathfrak{P}$ hat.\\
  Denn eine transitive $p$-Gruppe spaltet nie die $1$-Darst direkt ab, wenn nicht 
  Grad $>1$

\item $\mathfrak{H}<\mathfrak{G}$, $U\mid \mathfrak{G}=\sum U_i\mid\mathfrak{H} 
  \rightarrow \mathcal{F}_U\underset{c}{=}\langle \mathcal{F}_{U_i}\rangle\underset{c}{=}\underset{\substack{ |\\\text{Vereinigg}}}{\bigcup} \mathcal{F}_{U_i}$ 
\end{enumerate}
\begin{flushright}379/380\end{flushright}

\noindent
Zu $379_9$:\\
Man muß vermutlich $\mathcal{N}\mathcal{F}$ auf dem Quotientenraum $\mathfrak{A}/\mathfrak{B}$ 
betrachten, wobei $\mathfrak{A}$ von allen 
Spalten der idempot. Matrix $E$ erzeugt wird, welche Fix-$E_{\alpha \beta}$'s von $\mathcal{F}$ 
enthalten, w\"ahrend $\mathfrak{B}$ den Teilraum bedeutet, der auf jedem Fixpkt 
$\alpha$ von $\mathcal{F}$ den Koeff Null hat.\\
zu XI
\begin{flushright}380/381\end{flushright}
%\noindent
\underline{Beispiel:} $\mathfrak{G}=\mathfrak{S}_3$, $\mathfrak{R}=K(\mathfrak{G})$, 
$K$ alg abgeschlossen, char$K=3$.\\
Dann sei $b=\sum_{G\in\mathfrak{G}}G\in Z(\mathfrak{R})$, da $Hb=bH=b$.\\
Bilde $\mathfrak{R}/\mathfrak{R}b$.\\
\underline{Beh.} $\mathfrak{R}/\mathfrak{R}b$ nicht Frobalgebra\\
\underline{Bew.} $\mathfrak{R}=\mathfrak{R}e_1 \oplus \mathfrak{R}e_2$ $\leftarrow$
Kopf zu $\Gamma_2$,$\Gamma_2(G)=\sgn G$.\\
\rule{1.8cm}{0ex}$\uparrow$ Kopf zu $\Gamma_1=$ id Darst.\\[5mm]
 [h:] Diese 2-Id sind wohl auch einseitig unzerlegbar, da Gr~$\Gamma_i=1$  [:h] \\ 
Auf $\mathfrak{R}b$ $\Gamma_1$, daher $\mathfrak{R}b\subseteq\mathfrak{R}e_1$.\\[5mm]
$\mathfrak{R}/\mathfrak{R}b\cong \mathfrak{R}e_1 /\mathfrak{R}b\oplus 
\mathfrak{R}e_2$ \quad $\leftarrow$ Fu\ss\ mit $\Gamma_2$\\
\rule{2.2cm}{0ex} $\uparrow$ \underline{einz. Fu\ss\ mit $\Gamma_2$}\\[5mm]
 [h:] [Anmerkungen mit Rotstift] \\
 Es gibt nur einen Block, da $\underset{\anmerk}{k_1\chi_1(G)}\underset{3}{\equiv}\frac{k_2\chi_2(G)}{f}$~~~ $G=(1),(12)$\\
 also Länge $\ge3$, ebenso Lge $\mf{R}e_1\ge3$, also $=$\\
 also $\mf{R}e_1$: $1~2~1$~~~;~~~$\mf{R}e_2~:~~2~1~2$  [:h] \\
Also $\Gamma_1$ nicht im Fu\ss, also nicht Frobalgebra!
\begin{flushright}381/382\end{flushright}
%
12 Frage: Tritt jedes $U$ mit $\mathcal{F}_U=\mathcal{F}$ in der von $U$ erzeugten PermDarst von 
$\mathfrak{G}$ auf?
\begin{flushright}382/383\end{flushright}

\noindent
Sylows\"atze, arithm. Str. \quad 1 \quad 37 \quad 206 \quad 226 \quad 242\\
Hauptfaktoren unendl. Gruppen \quad 9\\
Fastringe \quad 10 \quad 15 \quad 29 \quad 33 \quad 302\\
Permutat.Gr. (allg. Theorie)~~~21~~~44~~~52~~~94~~~122~~~188~~~201~~~343~~~$\underset{\substack{|\\\text{Frame}}}{355}$\\
$\prime\prime$\ unendliche \quad 111 \quad 182\\
$\prime\prime$\ spezielle Grade \quad $\underset{p}{38}$ \quad $\underset{p}{193}$ \quad $\underset{p^2}{241}$ \quad $\underset{p}{285}$ \quad $\underset{(p)}{343}$ \quad 354\\
$\prime\prime$\ auf Klassen konjugierter Elemente \quad 42 \quad 89\\
$\prime\prime$\ mit transitiven Ugr. kleineren Gr. \quad 125\\
Gruppen von Matrizen \quad 24 \quad 27\\
Satz von Frame \quad 355 \quad 189\\
Idealtheorie \quad 25 \quad 34\\
Verlagerung \quad 54 \quad 62-84 \quad 173 \quad 230 \quad 251 \quad 299 \quad 314\\
$p$-Gruppen \quad 26 \quad 56 \quad 86 \quad 228\\
Kombinatorische Abschliessg allg. \quad 31 \quad 88 \quad 90 \quad 122\\
Modulare Darstellungen \quad 35\\
Darstellungstheorie \quad 48 \quad 178 \quad 244 \quad 250\\
Hauptidealringe \quad 49\\
Klasseneinteilung, verallgemeinerte \quad 85\\
Kovarianten \quad 87\\
Ordnung primitiver Gruppen \quad 145 \quad 334\\
Permutat.-Gr.: auf $k$-Tupeln tra \quad 160-71 \quad 249 $k^{\ast}$-tra\\
155 \quad Loops \quad 187\\
$\,{\lhd\lhd}\,$ \quad 191 \quad 203\\
Subkommutative Produkte \quad 217 \quad 219\\
Verhalten der Indizes \quad 200 \quad 219 \quad 222\\
Nichtkommutative Darstellungsmoduln \quad 201\\
Intravarianz \quad 206 \quad 225 \quad 228\\
Starre Untergruppen \quad 206\\
Sylowzonen \quad 218\\
Normalisator einer subnorm. Untergruppe \quad 221\\
Struktur aufl\"osbarer Gruppen \quad 225\\
Subnormalteiler \quad 227\\
Cartergruppen f\"ur $\mathcal{A}$-Gruppen \quad 232 \quad 247\\
Vollst\"andige Permutationsgruppen \quad 238\\
Meromorphismen \quad 239\\
{\it durchgestrichen: $k^{\ast}$-Transitivit\"at \quad 249}\\
Zerfallss\"atze \quad $231_8$\\
Hall-Higman-S\"atze \quad 258\\
Hypermaximale Komplemente \quad 264\\
Vertauschungsring \quad 283\\
Permutationsdarstellungen \quad 316\\
Überauflösbare Gruppen\\
Ordnung der Automorphismengruppe $A(G)$ \quad 324\\
Kommutatoren von Matrizen \quad 325\\
An. Spektraltheorie, Operatoren\\
\"Aquivalenz von Permut.-Gruppen \quad 343\\
102 \quad Prim.Gruppen: Subnormal-PermutStruktur von $\mathfrak{G}_1$\\
Jordan-Gruppen \quad 125\\
Subnormalisator \quad 227\\
$2$-trans. PGruppen \quad 264 \quad 288\\[4mm]
Frame: 355, 189\\
z Arbeit Rinderspacher: 336, 355 (ihm nicht gezeigt)

\end{document}
