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\setlength{\parindent}{0ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Titel 

\vspace*{4cm}

\begin{center}
  {\LARGE  Prof. Dr. Helmut Wielandt}
\end{center}
\vspace*{1ex}

\begin{center}
  \Huge{\sf Tagebücher}
\end{center}
\vspace*{3cm}

\begin{center}
  {\LARGE  D16}
\end{center}
\vspace*{1ex}

\begin{center}
  {\large  26.3.78 -- 6.1.80}
\end{center}

\thispagestyle{empty}

\newpage

%%%%%%%%% Seite 0A
\begin{flushright}0/1\end{flushright}
\begin{center}
Erweiterung, Supplementkerne
\end{center}
26.3.78
\begin{itemize}
\item[(1)] Def: $K$ heißt ein universeller Supplementkern in $N$ wenn zu jedem $G$ mit $N\unlhd G$ ein $S\le G$ existiert, so daß $NS=G$ und $N\cap S=K$.
\item[(2)] Bsp.: Genau dann zerfällt jede Erweiterung von $N$, wenn $1$ ein univ. Splt-Kern ist.
\item[Satz (3)] $|N|<\infty$ $\Rightarrow$ Jeder univ. Splt-Kern in $N$ enthält das Hyperzentrum $H$ von $N$. Die univ. Splt-Kerne in $N$ sind mod $H$ die relativ universellen Splt-Kerne von $N/H$, die zu den von aut $M$ auf $N/H$ induzierten Automorphismen gehören.
\item[FRAGE (3)] FRAGE: Wenn $Z(N)=1$, sind dann die univ. Splt-Kerne in $N$ genau die selbstnormalisierenden intravarianten Untergruppen von $N$?
\item[Aufgabe (4)] AUFGABE: Gibts sowas Ähnliches auch bei nicht normalen $N$? also $K\in N$ so daß $\forall~G\ge N$ $\exists S\le G:N\cap S=K$?\hspace*{1cm}G
\begin{flushright}1/2\end{flushright}
\item[Def (1)] Universalsplitter: $K\le L$ heiße ein Universalspl. für $L$, wenn
\[
L\unlhd G\Rightarrow\begin{cases}K\unlhd G,\\G\text{ splits over }K: \end{cases}
\]
notwendig ist $K\btle L$.
\begin{center}
\unitlength1mm
\begin{picture}(40,20)
\drawline(10,10)(10,15)
\drawline(10,15)(30,20)
\dottedline{0.7}(30,20)(30,15)
\dottedline{0.7}(30,15)(10,10)
\put(8,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle1$}}
\put(8,15){\makebox(0,0){$\scriptstyle K$}}
\put(15,16){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(15,20){\makebox(0,0){$\scriptstyle L$}}
\put(30,20){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(33,20){\makebox(0,0){$\scriptstyle G$}}
\end{picture}
\end{center}
"'In jeder Erw von $L$ gibt es ein Kplt zu $K$"'\\
Bsp: (3)
\item[Def (2)] Retract: $R\le K$ heiße eine Retrakt, schreibe $R$ ret $K$, von $K$, wenn\\ $K\unlhd G\Rightarrow\exists$ Supplement $S$ von $K$ in $G$ mit $K\cap S=R$\\
Vorschlag Destins 1.5.79: supplemental
\begin{center}
\unitlength1mm
\begin{picture}(0,25)
\drawline(5,5)(5,15)
\drawline(5,15)(25,20)
\dottedline{0.7}(25,20)(25,13)
\dottedline{0.7}(25,13)(5,8)
\put(5,8){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(5,15){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(25,20){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(2,5){\makebox(0,0){$\scriptstyle1$}}
\put(2,8){\makebox(0,0){$\scriptstyle R$}}
\put(2,15){\makebox(0,0){$\scriptstyle K$}}
\put(28,16.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle G$}}
\end{picture}
\end{center}
Bsp (4): Eine in $L$ charakter. Obergr $K$ eines Retracts $R$ ist ein \\universalsplitter\\
Fortsetzung $3_2$ ($=$ "`extension kernel"')
\item[(3)] Sei $K\btle L$, es gebe genau eine $K$-Klasse selbstnormalisierender Komplemente zu $K$ in $L$. Dann $K$ univ. splitter $L$.
\item[(4)] $S\le G$, $S\in \mf{S}$, $S$ intrav. $G$, $C$ Cartergr. von $S$ $\Rightarrow$ $S$ ret $G$.
\item[FRAGE (5)] Was folgt aus $A\in$ min Splt $B$, $B\in$ min splt $A$?\\
Fortsetzung XVII 39. 
\end{itemize}
\begin{flushright}2/3\end{flushright}
\begin{center}
Unabhängige Supplemente, Erweiterungskern
\end{center}
26.3.78
\begin{itemize}
\item[(1)] Sei $A\le G$, $S_i\le G$, $AS_1=AS_2=G$, $A_i:=A\cap S_i$. Falls $A_1A_2=A$, ist auch $S_3=S_1\cap S_2$ ein Supplement von $A$ in $G_1$ mit $A_3=A_1\cap A_2$.\\
Bew: $A(S_1\cap S_2)=A_1A_2(S_1\cap S_2)=A_1(A_2S_1\cap S_2)$\\[-7mm]\mbox{}
\item[$\Downarrow$]$A_2S_1=A_2A_1S_1=AS_1=G$, also $\,\,=A_1S_2=G$.
\item[Indukt ($1^\prime$)]Der Durchschnitt beliebig vieler \underline{unabh.} Supplementschnitte ist auch einer.
\begin{center} "`Erweiterungskerne"': (extension kernel)\end{center}
%\item[25.4.78]
\item[25.4.78~~~~2] Def. $\mf{E}(N):=$\\$\{E|E\le N$; zu jedem $G$  mit 
$N\lhd G~\exists~S\le G:NS= G,N\cap S=E\}$\\
Schreibe kurz $E$ ek $N$. Dann gilt:
\item[3] \begin{itemize}
\item[a)] $A$ ek $B$ ek $C$ $\Rightarrow A$ ek $C$
\item[b)] $S\in$ Syl $N$ $\Rightarrow$ $\mathcal{N}_N(S)$ ek $N$
\item[c)] $\Sigma$ intrav in $N$ $\Rightarrow$ $\mathcal{N}_g(\Sigma)$ ek $N$
\item[d)] $N\in\mf{S}$ $\Rightarrow$ Cart $N$ ek $N$
\item[e)] $A$ ek $N$, $C\btle N$ $\Rightarrow$ $CA$, $C\cap A$, $\mathcal{N}_CA$ ek $N$
\item[f)] $C\btle N$, $A/C$ ek $N/C$ $\Rightarrow$ $A$ ek $N$
\item[g)] $O^{\pi^\prime}(N)$ ek$_\pi$ $N$
\item[h)] Die Fixpunkte eines "`$p$-Sylow-Huts"' $N\in$ cpl$(P,\mathcal{N}P)$ in $P$ sind ein $p$-extension-kernel, da $=\mathcal{N}_P(N)$. 
\end{itemize}
\end{itemize}
\begin{flushright}3/4\end{flushright}
\begin{center}
Tra Perm Gruppen $|$ Erweiterungskerne
\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] Eine endliche transitive Permutationsgruppe $G$, in der jede echte Untergruppe einen Fixpunkt hat, hat $|G|=1$ oder $|G|\in\mathbb{P}$\\
Bew: Jordan.
\item[] Erw.kerne: (2) Die Schnitte von $A_n$, $n\not=6$, mit den minimalen Supplementen von $A_n$ in $S_n$ sind die $\langle t\rangle$, wo Ord $t=2^\tau$, $t\in A_n$, $\exists~S\in S_n$ mit $S^2=t$.\\
Diese Erweiterungskerne sind aber nicht minimal außer $\tau=0$.
\item[($2^\prime$)]Beispiel eines Nicht-Erweiterungskerns für $A_n$:
\[
\langle(12\cdots 78)(9\cdots12)\rangle.
\]
\item[(3)] $A\in\mf{E}(N)\Rightarrow\mathcal{N}_N(A)\in\mf{E}(N)$
\item[(4)] $N=N_1\times N_2$, $N_i\btle N\Rightarrow\mf{E}(N_1\times N_2)=\mf{E}(N_1)\times\mf{E}(N_2)$
\end{itemize}
\begin{flushright}4/5\end{flushright}
\begin{center}Projektionsmethode\end{center}
Warwick 31.3-27.5.78
\begin{itemize}
\item[1.4.78]
Wie weit kann man Subnormalität einer Untergruppe $A$ an den Projektionen von $A$ in die Faktoren einer (oder vieler) Subnormalreihen von $G$ erkennen?
\item[$[$8/ 80:] Ist die "'Projektions-Eigenschaft"' (Abstr. bei Schnitt mit sn $G$) gleichwertig mit der Verträglichkeit mit den Zassenhaus-Isomorphismen?\\
Sie gilt sicher, wenn $A\,\neg\,G^\nu\in \mf{L}_\pi G^\nu$ für die Faktoren einer Kompreihe $\{G_\nu\}$ von $G$. $]$
\end{itemize}
\begin{flushright}5/6\end{flushright}
\begin{center}$\lhd\lhd$ Normalisatorsatz\end{center}
\begin{itemize}
\item[12.4.78~~~(1)] Falsch ist die Vermutung:\\
Aus $A,B\unlhd G$, $A\le \mathcal{N}(\text{sn }A^\mf{N})$, $B\le\mathcal{N}(\text{sn }B^\mf{N})$, $G=AB$ folgt\\ $G\le \mathcal{N}(\text{sn }G^\mf{N})$.\\
Kleinstes Gegenbeispiel hat $|G|=36$:\\
Erweitere $K\times L=C_3\times C_3$ durch $R\times S=C_2\times C_2$ vermöge
\begin{eqnarray*}
R&:&k\mapsto k,l\to l^-;~~A:=KLR\\
S&:&k\to k^-, l\to l^-;~~B:=KLS.
\end{eqnarray*}
Dann
\[
\left.\begin{array}{rl}
X:=&\langle kl\rangle\ntriangleleft G,\text{ aber}\\
X\le&G^\mf{N}=A^\mf{N}\cdot B^\mf{N}=KL
\end{array}\right.%,\text{ aber }KL
\]
\end{itemize}
\begin{flushright}6/7\end{flushright}
\begin{center} $M\mf{X}G$~~~~~~~~~~~~~~~~$|G|<\infty$\end{center}
9.4.1978 Warwick
\begin{itemize}
\item[Def (1)] Im folgenden sei $\mf{X}$ eine Sylowklasse von endlichen Gruppen, d.h. abgeschl. gegen Untergruppen, Homomorphismen, Erweiterung mit $\mf{X}$.
\item[Satz (2)] Vor:
\begin{itemize}
\item[(i)] Jedes $A\in\mf{X}G$, das einen \underline{einfachen} \underline{Ausschnitt} $F$ von $G$ fest läßt, läßt ein $F_1\in M\mf{X}F$ fest. (Automatisch erfüllt für $|F|\in\mathbb{P}$)
\item[(ii)] $c\mf{X}(F)=1$ für alle einf. Ausschnitte von $G$.
\end{itemize}
Beh.: Zu je zwei $A,B\in\mf{X} G~\exists~g\in\langle A,B\rangle$:~
\(
\langle A^g,B\rangle\in\mf{X}.
\)
\begin{itemize}
\item[$[$Randbemerkungen: ]$\!\!\!]$ ohne Schreier! kurz: "`Maximal-Stabilisierung in $G$"' $+$ "`Einfache Sylowsätze in $G$"' $\Rightarrow$ "'Starken Sylowsatz in $G$"' $[$ geprüft $]$ Schärfer $16_2$
\item[NB:] Vor. vererbt sich auf $H\le G$ und $G^\varphi$
\end{itemize}
Bew: $(G,A,B)$ Gegenb., $|G|$ min, $|A|+|B|$ max
\begin{itemize}
\item[a)] $G=\langle A,B\rangle$
\item[b)] $q=\langle A^g,B\rangle$ $\forall g\in B$
\item[c)] $A,B\in M\mf{X} G$;
\item[d)] $\exists~N\dotlhd G$; hierfür ist $N\not\in\mf{X}$: $G/N$
\item[e)] $N\not=1$ sonst Schur Zass.
\item[f)] Sei $N=N_1\times N_2\times\cdots\times N_r$, $A_1:=A\cap G_1$, $A^1:=A\cap N_1$. Beh: $A^1\in M\mf{X}N_1$\\
Bew: $A_1$ läßt ein $\overline{A^1}\in M\mf{X} N_1$ fest nach Vor.\\
$\overline{A_1}^A\in\mf{X}$, $\overline{A}_1^A\le A$, $\overline{A}_1\le A$, $\overline{A}_1\le A\cap N_1\in\mf{X}$, $\overline{A}_1=A\cap N_1$ also $A_1\in M\mf{X}N_1$ ~~~~~~~~~~~ G
\begin{flushright}7/8 \end{flushright}
\item[g)] $\exists~~n_1$: $A^{1^{n_1}}=B^1$. Ebenso $A_i^{n_i}=B_i$~~~~~(Vor. $c_\mf{X}(N_1)=1$)
\item[h)] $n:=n_1\cdots n_r$ macht $(A\cap N)^n=B\cap N$
\item[i)] $B\cap N\unlhd\langle A^n,B\rangle=G$
\item[j)] $B\cap N=1$ sonst $B\cap N=N\in\mf{X}$; Wid. (d)
\item[k)] $1=A_1\in M\mf{X}N_1$, $N_1=\pi^\prime$-Gp, wenn $\pi=\pi(\mf{X})$
\item[l)] Wid Zassenhaus: $G/N$.
\end{itemize}
\item[FRAGE 3:] Folgt aus $A\in M_\pi G$ und $S$ sn $G$, daß $A\cap S$ maximal ist unter den $(A\cap S)$-invarianten $\pi$-Untergruppen von $S$?
\item[FRAGE 4:] Gilt das Konjugiertheits-Krit. mit Proj-schon für $A,B\in\mf{L}\mf{X}G$?\\[5mm]
Vertauschbarkeit:
\item[5.] $A\wp B\Rightarrow A\wp(AgA\cap B)$
\item[6.] Jede maximale oberhalb einer Sylow.Norm.-Turmgr. hat die "`Projektionseigenschaft"' bzgl sn $G$.
\item[7.] Folgt aus $A$ sn $AB$, $A$ sn $AC$, $B^\prime=B$, $C^\prime=C$ auch $A$ sn $\langle ABC\rangle$?
\end{itemize}
\begin{flushright}8/9\end{flushright}
\begin{center}Starker $\mf{X}$ Sylowsatz $M\mf{X}G$~~~(Forts)\end{center}
\begin{itemize}
\item[Def (1)] $\frac{K}{L}=:\hat{F}$ heiße ein Kritscher Ausschnitt von $G$, wenn
\begin{itemize}
\item[(i)]$\exists$ $F=F^\prime$ einfach $\unlhd~~K/L$, d.h. soc $K/L$ perf. einfach
\item[(ii)]$\mathcal{C}_G(F)\le L$
\item[(iii)] $K=\mathcal{N}_G(F)$
\end{itemize}
schreibe dann:
\item[Bem. (2)] $K/L$ krit $G$. Dann $K/L\overset{\sim}{\le}$ Aut $F$.
\begin{center}
\unitlength1mm
\begin{picture}(0,20)
\drawline(5,5)(5,10)
\drawline(5,11)(5,18)
\put(5,5){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(5,10.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(5,18){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(7,5){\makebox(0,0){$\scriptstyle L$}}
\put(7,10.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle K$}}
\put(11,18){\makebox(0,0){$\scriptstyle\mathcal{N}_G(F)$}}
\end{picture}
\end{center}
\item[Satz (3)] Vor.: $\mf{X}$ Sylowklasse; für jeden kritischen Ausschnitt mit Sockel $F$ sei $c_\mf{X}(F)=1$, und für jedes  $X\in\mathcal{M}\mf{X}\hat{F}$ sei $X\cap F\in \mathcal{M}\mf{X}(F)$.\\
Beh: Dann $\overline{\mf{c}}_\mf{X}(G)=1$, d.h. in jeder Untergruppe $M$ von $G$ gilt der $\mf{X}$-Sylowsatz $c_\mf{X}(H)=1$, oder glw: $A,B\in\mf{X}(G)\Rightarrow\exists~t\in\langle A,B\rangle:\langle A^t,B\rangle\in\mf{X}$.\\
(kurz: In $G$ gilt der starke $\mf{X}$-Sylowsatz)\\
Bew: Ist $K/F$ beliebiger einf. nichtab. Ausschnitt, $C_1=C_G(F)$
\[
C_i=K/F=C_G(F),~~H_i:=\mathcal{N}_G(KC_i)\cap\mathcal{N}_G(LC),
\]
so ist $H_\infty/C_\infty$ krit $G$.
\begin{center}
\unitlength1.5mm
\begin{picture}(0,20)
\drawline(5,5)(5,13)
\drawline(5,13)(21,21)
\drawline(21,24)(21,13)
\drawline(21,13)(5,5)
\drawline(13,9)(13,20)
\drawline(21,17)(5,9)
\put(14,13.5){\vector(-2,-1){1}}
\put(6,9.5){\vector(-2,-1){1}}
\put(3,5){\makebox(0,0){$\scriptstyle L$}}
\put(3,9){\makebox(0,0){$\scriptstyle F$}}
\put(3,13){\makebox(0,0){$\scriptstyle K$}}
\put(10,20){\makebox(0,0){$\scriptstyle H_1$}}
\put(10.5,14){\makebox(0,0){$\scriptstyle KC_1$}}
\put(17,9){\makebox(0,0){$\scriptstyle LC_1$}}
\put(13,20){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(13,13){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(21,17){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(21,22.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(21,24){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(23,17){\makebox(0,0){$\scriptstyle M_2$}}
\put(19,22){\makebox(0,0){$\scriptstyle H_2$}}
\end{picture}
\end{center}
Jedes $X\in\mf{X}H_\infty$ läßt ein $M_\infty\in KC_\infty/LC_\infty$ fest, daher auch $M\cap K/L$, und das $\in\mathcal{M}\mf{X}(F)$. Also ist die Vor. von 7(2) erfüllt, $\overline{\mathcal{C}}_\mf{X}(G)=1$. Dabei
\item[Def (4)]$\overline{\mathcal{C}}_\mf{X}(G)=\max\mathcal{C}_\mf{X}(H)$, $H\le G$.~~~~~~~~~G 
\end{itemize}
\begin{flushright}9/10\end{flushright}
\begin{center}$\mf{X}G$ \end{center}
Allgemeiner \underline{Hilfssatz} über große $\mf{X}$-Projektionen:
\begin{itemize}
\item[(1)] Sei
\begin{center}
\unitlength2mm
\begin{picture}(0,15)
\drawline(5,5)(-1,11)
\drawline(-1,11)(5,17)
\drawline(5,17)(11,11)
\drawline(5,5)(11,11)
\dottedline{0.7}(6,16)(0,10)
\dottedline{0.7}(8,14)(2,8)
\put(1,11){\vector(-1,-1){1}}
\put(7,13){\vector(1,1){1}}
\put(-3,11){\makebox(0,0){$\scriptstyle K$}}
\put(9.5,16){\makebox(0,0){$\scriptstyle (A\cap M)L$}}
\put(5,19){\makebox(0,0){$\scriptstyle M$}}
\put(11,14){\makebox(0,0){$\scriptstyle (A\cap K)L$}}
\put(12,11){\makebox(0,0){$\scriptstyle L$}}
\put(5,3){\makebox(0,0){$\scriptstyle N$}}
\put(-1,7){\makebox(0,0){$\scriptstyle (A\cap K)N$}}
\put(3,8){\makebox(0,0){$\scriptstyle\mf{X}$}}
\put(8,12){\makebox(0,0){$\scriptstyle\widetilde{\mf{X}}$}}
\put(-4.5,9.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle(A\cap M)L\cap K$}}
\end{picture}
\end{center}
ein normales Parallelogramm in $G$. Sei $\mf{X}={}_{SQ}\mf{X}$. Sei $A\le G$.\\ Ist $A\,\neg\, M/N\in\mf{X}$ und $\underline{A\,\neg\,K/N\in\mf{L}\mf{X} K/N}$, so ist
\begin{itemize}
\item[a)]$(A\cap M)L\cap K=(A\cap K)N$
\item[b)]$(A\cap M)L=(A\cap K)L$, daher
\item[c)] $A\,\neg\,\frac{K}{N}=(A\,\neg\,\frac{M}{L})\,\neg\,\frac{K}{N}$
\end{itemize}
Bew. $\mathcal{N}\bigg((A\cap K)N\bigg)\ge(A\cap M)L\cap K$~~~$[(A\cap M)L\cap K]/K\in\mf{X}$
\begin{itemize}
\item[(a)] $(A\cap M)L\cap K=(A\cap K)N$ ~~~$|\cdot L$\\
$(A\cap M)L\cap \underbrace{KL}_{M}=(A\cap K)L$
\item[(b)] $(A\cap M)L=(A\cap K)L$\\
$(A\,\neg\,\frac{L}{M})\,\neg\,\frac{K}{N}=\big((A\cap M)L/L\big)\,\neg\,\frac{K}{N}=[(A\cap M)L\cap K]N\bigg/(L\cap K)N$
\item[(c)] $=(A\cap K)N/N=A\,\neg\,\frac{K}{N}$
\end{itemize}
\item[(2)] $K_1\le K_2\le L_2\le L_1$, $K_i\,\neg\, L_i$, $A\le G$ $\Rightarrow$ $(A\,\neg\,\frac{L_1}{K_1})\,\neg\,\frac{L_2}{K_2}=A\,\neg\,\frac{L_2}{K_2}$
\end{itemize}
\begin{flushright}10/11\end{flushright}
\begin{center}Starker Sylowsatz: noch $\mathcal{M}\mf{X}(G)$\end{center}
\begin{itemize}
\item[S.S-Satz (1)] $\mf{X}$ Syl Klasse. Dann äq.
\item[8.4.78]
\begin{itemize}
\item[(i)] für jeden kritischen Ausschnitt $\hat{F}$ von $G$ ist $C_\mf{X}(\hat{F})=1=C_\mf{X}(F)$.
\item[(ii)] $\overline{\mathcal{C}}_\mf{X}(G)=1$
\end{itemize}
Bew: ii $\to$ i trivial.\\
i $\to$ ii: $\hat{X}\in\mathcal{M}\mf{X}\hat{F}\Rightarrow\hat{X}\cap F\in\mathcal{M}\mf{X}F$; denn wähle $Y\in\mathcal{M}\mf{X}F$, $Y\le\hat{Y}\in\mathcal{M}\mf{X}\hat{F}$.\\
Dann $\hat{Y}\cap F=Y\in\mathcal{M}\mf{X}F$. $c_\mf{X}(\hat{P})=1$ $\Rightarrow$\\
$\exists t\in\hat{F}$: $\hat{X}=\hat{Y}^t$, $\hat{X}\cap F=(\hat{Y}\cap F)^t\in\mathcal{M}\mf{X}F^t=\mathcal{M}\mf{X}F$.
\item[Bem (2)] Vor (1) besagt etwas weniger als: Der $\mf{X}$ Sylowsatz gilt in allen einfachen perfekten Ausschnitten von $G$ sowie in deren Automorphismengruppen, soweit sie von $G$ aus induziert werden.
\item[FRAGE:] Kann im Konj- Satz die Vor. $A\in\mathcal{M}\mf{X}G$ ersetzt werden durch folgenden? "`$A\in\mf{X}G$, und aus $B=B^A\in\mf{X}_{G_1}$ folgt $B\le A$"'~~~~~~~~~G
\begin{flushright}11/12\end{flushright}
\begin{center}$\mathcal{M}\mf{X}G$ \end{center}
\item[FRAGE:] Seien $\mf{X}$, $\mf{Y}$ Sylowklassen, $\mf{X}\cap\mf{Y}=\{1\}$. Genügt es für $\underset{\substack{\uparrow~~~~~~~~~~~~\\\text{schlampig}\\\text{geschrieben}}}{c_{\mf{X}+\mf{Y}}(G)=1}$, wenn $c_\mf{X}=c_\mf{Y}=1$ und $\exists~A_\mf{X}\times B_\mf{Y}$?\\
z.B. $\mf{X}=\mf{G}_\pi$, $\mf{Y}=\mf{G}_\rho$, $\mf{X}+\mf{Y}:=\mf{G}_{\pi\cup\rho}$
\item[FRAGE:] Genau wann ist $A$ durch die $A\,\neg\,G^1$ bis auf Konjugiertheit bestimmt?
\item[Bem:] Bei Projektion in Normalreihen gilt diese wohl unter schwächeren Vor. über $A$ als bisher.\\
vielleicht: $A\le\mathcal{N}B$, $B$ aufl über einem Normalteiler von $A$, $B=B^A:B\cap A\in \mathfrak{S}\Rightarrow B\le A$.\\
Nenne solche $A$ voll in $G$\\
$A$ voll in $G$, $A_0\lhd A\to A/A_0$ voll in $\mathcal{N}A_0/A_0$.
\item[Proj. Eig.:] Die Vor. $A$ erblich groß ist unnötig stark: Für die Projektionseig. von sn $G$ in $A$ reicht es aus, wenn $[A\neg G^\nu\lhd B\le G_\nu$, $cf B=cf A]$ $\Rightarrow$ $A=B$.\\
Hartley setzt voraus: entweder Schreier, oder jede $\pi$-Ugr von $G/H$ ist auflösbar.\\
Für den $A\underset{(AB)}{=}B$ - Satz braucht man sicher nur eine der Gruppen als maximal vorauszusetzen.\\
Forts. 81
\end{itemize}
\begin{flushright}12/13\end{flushright}
\newpage
\begin{center}noch Starker Sylow Satz \end{center}
\begin{itemize}
\item[? Satz (1):] Genau dann gilt der starke Sylowsatz in $G$, wenn der gewöhnliche $\mf{X}$-Sylowsatz in allen kritischen Ausschnitten gilt. \marginpar{Die Vor.\\ vererbt sich\\ viel\-lei\-cht nicht auf Un\-ter\-grup\-pen!} Daher heisst $K/L$ krit $G$, wenn soc $K/L$ einfach; $c_G(K/L)\le L$, $\mathcal{N}_G(K/L)=K$. [ von selbst ist soc $K/L=:F$ perfekt ]\\
Beweis: Sei $(G,A,B)$ Geg. bsp, $|G|$ min, $|A|+|B|$ max.
\begin{itemize}
\item[a)] Ist $K_0/L_0$ einf. perfekt und läßt ein $X\in\mf{X}G$ $K_0/L_0$ fest, so läßt $X$ auch eine max. $\mf{X}$ Untergr. von $K_0/L_0$ fest.\\
Bew Gegenb. $L_0$ max., dann $\mathcal{N}(K_0/L_0)$ max.\\
$L_1:=L_0\cdot\boxed{~C(K_0/L_0)=:C}$
\begin{center}
\unitlength1mm
\begin{picture}(0,20)
\drawline(5,5)(5,15)
\drawline(5,15)(25,25)
\drawline(25,25)(25,15)
\drawline(25,15)(5,5)
\drawline(25,20)(5,10)
\put(6,10.5){\vector(-2,-1){1}}
\put(2,5){\makebox(0,0){$\scriptstyle L_0$}}
\put(2,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle M$}}
\put(2,15){\makebox(0,0){$\scriptstyle K_0$}}
\put(5,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(28,25){\makebox(0,0){$\scriptstyle K_1$}}
\put(28,20){\makebox(0,0){$\scriptstyle\overline{M}$}}
\put(28,15){\makebox(0,0){$\scriptstyle L_1$}}
\put(25,20){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\end{picture}
\end{center}
$K_1:=K_0\cdot C(K_0/L_0)$\\
\underline{$L_1=L_0$} Sonst $L_1>L_0$; $X$ läßt $K_1/L_1$ fest, also ein\\ $M_1\in\mathcal{M}\mf{X}\,K_1/L_1$, $M_0:=K_0\cap\overline{M}_1$ bleibt bei $X$ fest,\\ wegen $\frac{K_0}{L_0}\cong\frac{K_1}{L_1}$ ist $M_0\in\mathcal{M}\mf{X}{}^{K_0}/_{L_0}$ also $L_0\ge c$.\\
$K:=\mathcal{N}_G(K_0/L_0)$. Dann $K/L_0$ krit.\\
Sei $X\in\mf{X}\mathcal{N}_G(K_0/L_0)=\mf{X}(K)$.\\
$\ni\widehat{X}~G~\mathcal{M}\mf{X}(K_0/L_0)$, $\widehat{X}\supseteq L_0X/L_0$\\
\unitlength1mm\begin{picture}(0,0)\drawline(95,10)(95,30)
\put(95,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(95,20){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(95,30){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(98,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle L_0$}}
\put(98,20){\makebox(0,0){$\scriptstyle K_0$}}
\put(98,30){\makebox(0,0){$\scriptstyle K$}}
\end{picture}
\hspace*{-1.5mm}Wegen $c_\mf{X}K/L_0$ ist $\widehat{X}\cap(K_0/L_0)\in\mathcal{M}\mf{X}(K_0/L_0)$ und bleibt bei $X$ fest.  Forts. 14
\item[(b)] Für jeden einfachen Ausschnitt $F$ von $G$ ist $c_\mf{X}(F)=1$. Klar für $F=G$, Indukt für $F\not=G$.
\item[(c)] Rest mit 7(2).~~~~~$[$(b) und (c) sind nachträglich eingefügt.$]$
\end{itemize}
\begin{flushright}13/14\end{flushright}
$[$Die folgenden Unterpunkte b) bis k) sind insgesamt durchgestrichen.$]$
\begin{itemize}
\item[b)] Sei $(G,A,B)$ mit $|G|$ max, $|A|+|B|$ min so gewählt, daß in $G$ a) gilt und $A,B\in\mf{X}G$, aber für kein $g\in G$ $\langle A^g,B\rangle\in\mf{X}$. Dann 
\item[c)] $\begin{cases}\langle A^g,B\rangle=G~\forall\,g\\A,B\in\mathcal{M}\mf{X}G \end{cases}$
\item[d)] $G\not=1$
\item[e)] $G$ nicht einfach (weil $G/1$ kritisch $G$).
\item[f)] $\exists N\,\cdot\!\underset{\neq}{\lhd}\,\,G$
\item[g)] $N\not\in\mf{X}$~~~~Wid. $G/N\in\mf{X}$ (c)
\item[h)] $N^\prime=N$ sonst Zass. $G/N$, $N\in\pi_\mf{X}^\prime(G)$.
\item[i)] $N=N_1\times\cdots\times N_r$. Dann $A\cap N_1\in\mathcal{M}\mf{X}N_1$ (Bew $7_f$)
\item[j)] $C_\mf{X}(N_1)=1$, da $N_1<G$ und in $N_1$ Aussage a) gilt.
\item[k)] Weiter wie S. 8
\end{itemize}
\item[Satz:]Es gilt für $E=E^\prime$ einfach
\begin{gather*}
\{ s(E)\cap n(F)~\big|~E\lhd F\}\\
=\{s(E)\cap n(F)~\big|~E\lhdd F\}~~?
\end{gather*}
Bew: den nach meinem Hilfssatz! sogar bezüglich der vollen Auto-Gr:
\[
=\{s(E)\cap n(F)~\big|~E\lhd \text{ Aut }E\}
\]
\end{itemize}
\begin{flushright}14/15 \end{flushright}
\begin{center}"'Totaler"' $=$ Starker Sylowsatz\end{center}
$[$Satz (1) ist vollständig durchgestrichen.$]$
\begin{itemize}
\item[Satz (1)] Wenn in jedem einfachen Ausschnitt von $G$ der $\mf{X}$- Sylowsatz gilt, so gilt in $G$ der starke $\mf{X}$ - Sy-Satz.\\
Bew: Gegbsp. $|G|=\min$. I. Sei $G$ einfach. In $G$ Schottky-Satz. In $H<G$ gilt nach Ind. sogar der starke $\mf{X}$-Sy-Satz, also gilt in jeder Ugr von $G$ der Sy Satz: $\overline{c}_\mf{X}(G)=1$.
\item[Satz (2)] $\boxed{\text{\,Schreier\,}}$ (a) $A,B\in\mathcal{M}\mf{X}G$, b) $\mf{X}$ Sylow ($\mf{X}=_{PQS}\mf{X}$), \\
c) aus "'$F:=K/L$ einfacher (nichtabelscher) Ausschnitt von $G$ und\\ $A\,\neg\, F\in\mathcal{M}\mf{X}_{\mathcal{N}_A(F)}F$, $B\,\neg\,F=\cdots$"' folge $A\,\neg\,\frac{K}{L}\underset{K/L}{=}B\neg\frac{K}{L}$~~${}^\ast$\\ 
Dann $A\underset{G}{=}B$.\\
${}^\ast$NB: genügt c) für $F\prec\prec$ Faktoren einer geg. $\begin{cases}\text{Normal}\\\text{SN}\end{cases}$-Reihe v. $G$.\\
Bew a) Vor. überträgt sich auf $\overline{G}:=\frac{G}{N}$, $\overline{A}$, $\overline{B}$; sowie auf $H,A,B$, Wenn $A,B\le H$ (10.2)\\
b) Gegenb. mit $\min\,|G|$ hat $G=\langle A,B)$;~~wie S. 7-8\\[5mm]\mbox{}
\item[Schärfer:]
\item[(3)] Genügt schon, nur die "`kritischen"' $K/L$ zu betrachten
\[
\mathcal{C}_G(K/L)\le L.
\]
\item[noch schärfer: 16~~Bew:]Wiederholter Übergang von $K/L$ zu $KC/LC$ mit $C:=\mathcal{C}_G(K/L)$.\newpage Es ist
\begin{center}
\unitlength1mm
\begin{picture}(0,14)
\drawline(5,5)(5,10)
\drawline(5,10)(15,15)
\drawline(15,15)(15,10)
\drawline(5,5)(15,10)
\put(3,5){\makebox(0,0){$\scriptstyle L$}}
\put(3,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle K$}}
\put(18,15){\makebox(0,0){$\scriptstyle KC$}}
\put(18,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle CL$}}
\end{picture}
\end{center}
normal.\\ 
Die Vor. überträgt sich von $KC/LC$ auf $K/L$ $(10_1)$. 
\end{itemize}
\begin{flushright}15/16\end{flushright}
\begin{flushleft}10.4.78\end{flushleft}
\begin{itemize}
\item[Satz 1:] $\alpha$) $\boxed{\text{\,SCHR.\,}}$\\ 
$\beta$) $\mf{X}$ Sylow; \\
$\gamma$) $A,B\in\mathcal{M}\mf{X}G$;\\
$\delta$) \underline{aus} $F\in$ einfach perf. Aus $(G)$ und $\mathcal{N}_A(F)$ läßt keine größere $\mf{X}$-Ugr von $F$ fest als $A\neg F$ und $\mathcal{N}_B(F)$ läßt keine größere $\mf{X}$-Ugr von $F$ fest als $B\neg F$ \underline{folge stets} $A\neg F\underset{F}{=}B\neg F$.\\
Dann $A\underset{G}{=}B$.\\
NB: $\delta$ ist stets erfüllt wenn $F\in E_\pi^n$, $\pi=\pi(\mf{X})$.\\
Bew: Die Vor. überträgt sich auf $H$, wenn $A,B\le H\le G$ sowie auf $\overline{G}=G/N$, wenn $N\in\mf{X}$ oder $N\in\mf{X}^\prime:=\mf{X}_{\pi^\prime}$. Denn wenn $F=K/L$ mit $L\ge N$, so $\mathcal{N}_A(F)\cdot H/N=\mathcal{N}_{AN/N}(KN/LN)$.\\
Dieser Satz umfaßt $7_2$ sowie $15_2$.
\item[Bem. (2):] Wenn jede $\pi$-Ugr von $G$ nilpotent ist, braucht $G$ keine $\pi$-Hall Gr. zu enthalten:
\[
G=\text{ Alt }8,\pi=\{3,5\}
\]
\item[Allg. Satz 3)] $\boxed{\text{\,SCHR.\,}}$ $A\in\mathcal{M}\mf{X}G$; $N\unlhd G$, $N=N^\prime=N_1\times\cdots\times N_r$
\[
\Rightarrow \{A\cap N_1\}=\mathcal{M}\mf{X}\underset{\displaystyle{\mathcal{N}_A(N_1)}}{\cdot N_1}
\]
\item[Frage (4)] Sind je zwei maximale Untergruppen mit den gleichen Projektionen konjugiert?
\end{itemize}
\begin{flushright}16/17\end{flushright}
\begin{center}Totaler Sylowsatz\end{center}
\begin{itemize}
\item[Def (1)] $G\in\mf{T}_\mf{X}:\iff c_\mf{X}(H)=1$, $\forall~~H\le G$.
\item[Satz (2)] $G_1,G_2\in\mf{T}_\mf{X}\Rightarrow G:=G_1\times G_2\in\mf{T}_\mf{X}$.\\
Bew: GegBsp: $|G|$ min, $A,B\in\mf{X}(G)$, $C:=\langle A,B\rangle$\\
$\overline{G}:=G/G_1$ $\exists~\overline{c}\in\overline{C}:\langle \overline{A},\overline{B}^{\overline{c}}\rangle\in\mf{X}$ 
\begin{center}
\unitlength1mm
\begin{picture}(0,20)
\drawline(5,5)(-1,11)
\drawline(-1,11)(5,17)
\drawline(11,11)(5,17)
\drawline(5,5)(11,11)
\dottedline{0.7}(9,9)(3,15)
\drawline(4,14)(2,16)
\put(-4,11){\makebox(0,0){$\scriptstyle G_1$}}
\put(-3,15){\makebox(0,0){$\scriptstyle\langle A,B^c\rangle$}}
\put(5,19){\makebox(0,0){$\scriptstyle G$}}
\put(14,11){\makebox(0,0){$\scriptstyle G_2$}}
\end{picture}
\end{center}
$\langle A,B^c\rangle$ $G_1=G$ wegen min $G_2\cong G/G_1\in\mf{X}$, $G\in\mf{X}$, $C\in\mf{X}$ Wid.\\[2mm]
$[$ Bem. 2/80: Untersuchung der \underline{minimalen nichtauflösbaren Gruppen}\\ könnte zeigen, daß fast nie der totale $\pi$-Sylowsatz gilt. $]$\\
Zul. Arbeit Breuninger nachsehen.
\item[Bem: 3] $A,B\in\mathcal{M}\pi G$ brauchen nicht im $\langle A,B\rangle$ konj. zu sein, wenn sie es in $G$ sind. $G=\text{ Aut }G_{168}$, $\pi=\{2,3\}$, $|A|=|B|=24$
\item[Frage: 4] gibts das auch in einfachen $G$?
\item[Satz (5)] Forts. von S. 15:
\begin{itemize}
  \item[a)] Genau dann gilt in $\mf{b}$ der totale $\pi$-Sylow-Satz, wenn für jedes $K,L$ mit $\begin{cases}C_G(K/L)\le L\\L\lhd K\le G, F_1=K/L \end{cases}$ nichtabelsch einfach $\not\in\mf{G}_\pi\cup\mf{G}_{\pi^\prime}$ gilt: $m_\pi\text{ Aut}_G(F)=1$, und* je zwei $\pi$-Hall Gr. von $F$ sind konj. in $F$. 
  \item[b)] genau dann gilt in $G$ der totale $\mf{X}$-Sylow Satz, wenn der totale $\pi(\mf{X})$-Sylowsatz gilt und $\mf{X}_\pi(G)\subseteq\mf{X}$.\\
  Beweis: $p$-Syl G $\subseteq\mf{X}$ für $p\in\pi$.\\[5mm]
  OADSV! $\ast$ d.h. gewöhnl. Sy Satz in $F$ \& Aut$_G F$.
  \end{itemize}
\end{itemize}
\begin{flushright}17/18\end{flushright}
\begin{center}DEDEKIND \end{center}
\begin{itemize}
\item[1] $A(B\cap C)=AB\cap AC$ gilt schon, wenn
\[
\begin{cases}
aB\text{ unabhängig von }a\in A\text{ ist: }aB=a^\prime B^\ast.\\
A,B,C\subseteqq G~\text{ oder } ABC\subseteq\text{ Halbgruppe } H~~A\subseteq {A^\ast}_{\text{Gruppe}}\subseteq H_1.
\end{cases}
\]
d.h. $A^- AB=B$
\end{itemize}
\begin{flushright}18/19\end{flushright}
\begin{center}$\pi$-Erzeugnisse von Konjugierten~~~~$\lhd\lhd$ \end{center}
\begin{itemize}
\item[FRAGE 1] Sei $A\le G$ und stets $\langle A,A^g\rangle$ eine $\pi$-Gruppe. Ist dann $A^G$ eine $\pi$-Gruppe?\\
Nein: $G=A_5$, $\pi=\{2,3\}$, $A=\langle(12)\rangle$
\item[FRAGE 2] Ist $A$ sn $G$, sobald für jedes $\pi$ und jedes $M\in\mathcal{M}\pi G$ der Schnitt $A\cap M\in\mf{L}_\pi A$?
\item[FRAGE 3] Ist $A$ sn $G$, wenn für jedes $X$ mit $A\le X\le G$ die Kegelsche Bedingung erfüllt ist, daß für jedes $p\in\PP$, $S\in p$-Syl $X$ gilt: $A\cap S\in p$-Syl $A$?\item[FRAGE $3^\prime$] oder wenn das Entsprechende für alle $X\le G$ gilt für $A\cap X$? 
\end{itemize}
\begin{flushright}19/20\end{flushright}
\begin{center}zu \v{S}EMETKOV 1970~~~~Operatorgruppen\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] \v{S}EMETKOV's Satz gilt auch bezüglich Operatorgruppe $\Omega$ auf $G$, sofern $\big(|\Omega|,|G|\big)=1$.
\item[(2)] Zulässigkeit von Untergruppen gegenüber einer Operatorgruppe $\Omega$ auf $G$ bedeutet Zulässigkeit von Untergruppen gegenüber dem von ihr additiv erzeugten Fastring von Abbildungen $G\to G$.
\item[FRAGE (3)] Gilt \v{S}emetkov universell, d.h. für Supplementklasse?
\end{itemize}
\begin{flushright}20/21\end{flushright}
\begin{center}Normalisatorsätze\end{center}
\begin{itemize}
	\item[FR. 1] Gibt es für Normalisierung einen "`Satz von Brewster"'?
	\item[2] 
\end{itemize}
\begin{flushright}21/22\end{flushright}
\textit{[Seite 22 ist leer!]}
\begin{flushright}22/23\end{flushright}
\begin{center}(Gaschütztyp-)Maschkesatz~~~~Forts. von XV 137 \end{center}
\begin{itemize}
\item[14.4.78~~Satz 1] Vor: $M\unlhd G$, $M^\prime=1$, $A\le M$, $A\unlhd G$, $M\le H_\sigma\underset{i_\sigma}{\le} G$; $\sigma=1\cdots s$
\item[(Gaschütz für abelsche NT)]
$L_\sigma$ ein $H_\sigma$-invariantes Komplement zu $A$ in $M$:
\[
M=A\times L_\sigma~~~~~(\sigma=1\cdots s)
\]
Sei $\Omega\subseteq\text{ End}_GM$, $A=A\Omega$, $L_\sigma=L_\sigma\Omega$.\\ Zu jedem $\varphi\in\text{ Hom}_\Omega(M/A,L_\sigma^G\cap A)$ gebe es genau ein\\ $\psi(=:\frac{\varphi}{i})\in\text{ Hom}_\Omega(M/A,L_\sigma^G\cap A)$.\\
mit $\psi=\varphi i$, wo $i=\ggT(i_1,\cdots,i_s)$. Das ist z.B. erfüllt, wenn $i=jk$ und $\exists j^-$ auf $A$, $k^-$ auf $M/A$.\\
Beh: $\exists$ $L^\ast:L^\ast=L^\ast G=L^\ast\Omega$, $M=A\times L^\ast$\\
Schreibe $M$ additiv.\\
Bew: 
\begin{itemize}
\item[a)] Sei erst $\sigma$ fest, lasse $\sigma$ als Index weg:
\[
M=A\times L,~~~A=A\Omega G,~~~L=L\Omega H
\]
Die Wirkg von $g\in G$ auf $M$ wird beschrieben (nach $m=\begin{pmatrix}a\\l\end{pmatrix}$) durch $mg=m\mathcal{M}(g)$, $\mathcal{M}(g)=\begin{pmatrix}g^1&a\\g^2&g^3 \end{pmatrix}$, $g^1\in\text{ Aut}_\Omega A$,\\ $m=(m\alpha,m\lambda)$\\
$g_2\in\text{ Hom}_{\Omega}(L,A)$, $g_3\in\text{ Aut}_\Omega(L)$. Daher für $f,g\in G$ \[\begin{pmatrix}f_1&0\\f_2&f_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} g_1&0\\g_2&f_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(fg)^1&0\\(fg)^2&(fg)^3 \end{pmatrix},\] also $(fg)^{1}=f^1g^1$, $(fg)^2=f^2g^1+f^3g_2$, $(fg)^3=f^3g^3$ und für $h\in H:h^2=0,(hg)^2=h^3g^2$. Alles mit $\Omega$ vtb.\\
Setze $\nu:M/A\to L:(A+m)\nu:=m\nu\lambda=(A+m)\cap L$. Dann $\nu$ vtb $\Omega$, $g\nu=\nu g^3$ in der Wirkung auf $M/A$.\\
\mbox{}\hspace*{9cm}G
\begin{flushright}23/24\end{flushright}
Für ein Vertretersystem $R$ von $G$ nach $H$, also $G=HR$, bilde 
\[
\rho_R:L\to A:\rho_R=\sum_{r\in R}{r^3}^{-}r^2\in\text{ Hom }_\Omega(L,A)
\]
Für ein anderes Vertretersystem $S$ ist $S=hr$, $h\in H,r\in R$ und daher
\[
\rho_S=\sum {s^3}^-s^2=\sum {r^3}^-{h^3}^-h^2r^2=\rho_R=:\rho
\]
Insbesondere für $S=Rg$ wird
\begin{eqnarray*}
\rho&=&\sum_r{(rg)^3}^-(rg)^2=\sum {g^3}^-{r^3}^-(r^2g^1+r^3g^2)\\
&=&{g^3}^-\rho g^1+{g^3}^-g^2\cdot i\\
g^3\rho&=&\rho g^1+g^2\cdot i~~~(\text{wo }i\in\NN)
\end{eqnarray*}
und daher auf $M/A$
\begin{equation*}
g\cdot\nu\rho=\nu g^3\rho=i\nu g^2+\nu \rho\cdot g
\end{equation*}
\item[b)] Das machen wir für jedes $\sigma=1\cdots s$:\\[3mm]
Wähle 
\[
\left.\begin{array}{c}z_\sigma\\j_\sigma\end{array}\right\}\in Z:\sum i_\sigma z_\sigma=i;~~i_\sigma=i\cdot j_\sigma.
\]
Dann ist also
\begin{eqnarray*}
g\nu_\sigma\rho_\sigma&=&\nu_\sigma\rho_\sigma g+ij_\sigma\nu_\sigma g^2\sigma\in\text{ Hom }(M/A,A),\\
g\frac{\nu_\sigma\rho_\sigma}{\underset{\substack{\downarrow\\\tau_\sigma}}{i}}&=&\frac{ \nu_\sigma\rho_\sigma}{\underset{\substack{\downarrow\\\tau_\sigma}}{i}}g+j_\sigma\nu_\sigma  g_\sigma^2~~~~~\sum_\sigma z_\sigma{\ldots}
\end{eqnarray*}
\end{itemize}
\end{itemize}
\begin{flushright}24/25\end{flushright}
\begin{center}MASCHKE\end{center}
\[
g\sum_\sigma^S z_\sigma\tau_\sigma=\sum_\sigma^S z_\sigma j_\sigma\nu_\sigma g_\sigma^2+(\sum_\sigma z_\sigma\tau_\sigma)g
\]
Da $\nu_\sigma:M/A\to L_\sigma$ und $l_\sigma g_\sigma^2+l_L g^{3\sigma}=l_\sigma g$, ist $\nu_\sigma g^2_\sigma+\nu_\sigma g^3_\sigma=\nu_\sigma g$ und $\nu_\sigma g^3_\sigma=g\nu_\sigma$ gibt $g$\\
$g(\sum z_\sigma\tau_\sigma+z_\sigma j_\sigma\nu_\sigma)=(\sum z_\sigma\tau_\sigma+\sum z_\sigma j_\sigma \nu_\sigma)g$
\[
g\lambda^\ast=\lambda^\ast g\text{ mit }\lambda^\ast:=\sum z_\sigma(\tau_\sigma+j_\sigma\nu_\sigma)
\]
Also ist $M/A^{\lambda^\ast}$ $G$-invariant: $\lambda^\ast\in\text{ Hom}_\Omega(M/A,A)$ mod $A$ wird $(A+m)\nu_\sigma\equiv m$, also wegen $(A+m)\tau_\sigma\equiv0$:
\[
(A+m)\lambda^\ast\equiv\sum z_\sigma j_\sigma m=m
\]
$L^\ast:=M/A~\lambda^\ast$ enthält also genau ein El't aus $A+m$.
\begin{itemize}
\item[Warwick 14.4.78]
\item[Hauptsatz 1: \begin{picture}(0,0)\put(-39,-10){\makebox(0,0){Verschärfungen:}}\put(-28,-20){\makebox(0,0){27}}\end{picture}] Vor: $M\unlhd G$, $M\le H_\sigma\underset{i_\sigma}{\le} G$, $K=K^G\le M$, für $\sigma=1\cdots s$ existiert $L_\sigma=L_\sigma^{H_\sigma}:M=K\times L_\sigma$; $i:=(i_1,\cdots, i_S)$. Sei $\Omega$ ein Bereich von Operatoren auf $M$ mit $\text{id}\in\Omega$, $\omega g=g\omega$: $K^\omega\le K$, $L_\sigma^w\le L_\sigma$.\\
Zu jedem $\varphi\in\text{ Hom}_\Omega((M/K),\frac{Z(K)}{\Omega})$ gibt es genau ein $\frac{\varphi}{i}\in H$.\\[2mm]
\hspace*{5cm}$\big|$\\[2mm]
\mbox{}\hspace*{4cm}$T\le\frac{Z(K)}{\Omega}:\iff T\Omega\le Z(K)$\\[3mm]
Beh.: $\exists L\le M: L=L^G\geqq L^\omega~~\forall\omega\in\Omega$,
\[
M=K\times L
\]\mbox{}\\[4mm]\mbox{}
\begin{center}
\unitlength1.5mm
\begin{picture}(0,20)
\drawline(5,5)(-1,11)
\drawline(13,13)(5,5)
\drawline(7,19)(-1,11)
\drawline(7,19)(13,13)
\drawline(9,9)(3,15)
\put(-3,11){\makebox(0,0){$\scriptstyle K$}}
\put(7,21){\makebox(0,0){$\scriptstyle M$}}
\put(13,15){\makebox(0,0){$\scriptstyle L_\sigma$}}
\put(12.5,9){\makebox(0,0){$\scriptstyle M^\prime$}}
\put(13.5,6.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle=M^\prime G\Omega$}}
\end{picture}
\end{center}
\mbox{}\\[-10mm]\mbox{}
Bew:
\item[a)] Sei zunächst $K^\prime=1$. $M^\prime=K^\prime\times L_\sigma^\prime=L_\sigma^\prime$; $\overline{M}:=M/M^\prime$; $\overline{L_\sigma}$ ist $\Omega H_\sigma$-inv Kplt zu $\overline{K}$ in $\overline{M}$. 23.1: $\exists \overline{L}=\overline{L}\Omega G$, $\overline{M}=\overline{K}\times\overline{L}$\\
$\overline{L}=L/M^\prime$: $KM^\prime L=M\Rightarrow KL=M$\\
$KM^\prime\cap L=M^\prime\Rightarrow K\cap L\le K\cap M^\prime\le K\cap L_\sigma=1$.\\
Dann $\frac{Z(M)}{\Omega}=K=:A$ in Satz 23.1.
\begin{flushright}25/26\end{flushright}
\item[b)] Nun sei $K$ beliebig. Es ist $L_\sigma^\omega\subseteq L_\sigma\le\mathcal{C}_M(K)$ also $L_\sigma\subseteq M_0:=\frac{\mathcal{C}_M(K)}{\Omega}$ (wo $T\subseteq\frac{X}{\Omega}\iff T\Omega\subseteq X$):\\
$M_0=M_0^\Omega=M_0^G\subseteq\mathcal{C}_M(K)$, $K_0:=K\cap M_0=K_0^\Omega=K_0^G\le\text{ Ztr}\,K$\\
\mbox{}
\begin{center}
\unitlength1.5mm
\begin{picture}(0,20)
\drawline(5,5)(-1,11)
\drawline(-1,11)(5,17)
\drawline(5,17)(11,11)
\drawline(5,5)(11,11)
\drawline(7,15)(1,9)
\put(2,10){\vector(-1,-1){1}}
\put(-3,11){\makebox(0,0){$\scriptstyle K$}}
\put(-1,8){\makebox(0,0){$\scriptstyle K_0$}}
\put(5,3){\makebox(0,0){$\scriptstyle 1$}}
\put(14,11){\makebox(0,0){$\scriptstyle L_\sigma$}}
\put(9,16){\makebox(0,0){$\scriptstyle M_0$}}
\put(2,17){\makebox(0,0){$\scriptstyle M$}}
\drawline(5,17)(5,21)
\drawline(4.5,19)(5.5,19)
\put(5,21){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(5,22.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle G$}}
\put(7,19){\makebox(0,0){$\scriptstyle H_\sigma$}}
\end{picture}
\end{center}
Nach a) angewandt auf $G,H_\sigma,M_0,L_\sigma,K_0~\exists~L:$\\
$L=L^G=L^\Omega$, $K_0L=M_0$, $K_0\cap L=1$\\
Es wird $KL=KK_0L=KM_0=M$, $K\cap L=(K\cap M_0)\cap L=1$
\item[($1^\prime$)]Bemerkg: Statt $\frac{Z(K)}{\Omega}$ könnte man auch jedes $X\cap K$ nehmen, wenn $X=X^G=X^\Omega\ge\langle L_\sigma|\sigma=1\cdots s\rangle^G$.\\
z.B. $X=\langle L_\sigma\rangle^G$
\item[($1^{\prime\prime}$)] Bem: die Teilbarkeitsbedingung von Satz 1 ist z.B. dann erfüllt, wenn $i=jk$ und $M/K:(M/K)^\prime$ durch  $j$ eindeutig teilbar ist sowie $\frac{Z(K)}{\Omega}$ durch $k$ eind. teilbar ist.
\item[FRAGE (2)] a) Gibt es Ähnliches für Supplemente?\\
b) Wie steht es mit der Abhängigkeit des $L$ von $L_1,\cdots,L_s$?
\end{itemize}
\begin{flushright}26/27\end{flushright}
\begin{center}Zu Maschke S. 23\end{center}
\begin{itemize}
\item[Bem'en~~(1)]Allgemeiner: Statt $M\unlhd G$ nur vorauss: \underline{$G$ wirke auf $M$}
\item[(2)] Der Beweis gibt ohne Teilbarkeitsvoraussetzungen zu gegebenen $M=K\times L_\sigma\le\mf{A}$, $H_\sigma\le G$ einen $G$ Homom. $\varphi_\sigma$ von $M$ in $M$, nämlich $\varphi_\sigma=(\nu_\sigma z_\sigma\rho_\sigma+z_\sigma j_\sigma\nu_\sigma)$ mit $A\le\text{ker}\,\varphi$, $x\varphi\equiv x\cdot i_\sigma$ ($x\in M$). Konstruktion ist nur mit Projektivitäten wie $lg^2:=Lg^l\cap A$ gemacht, daher auch für recht allgemeinere Systeme $\mf{Z}$ von "`zulässigen"' Untergruppen geeignet.\\
Wenn $L_\sigma=L_\sigma^G$, ist wohl $M\varphi_\sigma=L_\sigma$? Konjugiertheit?
\item[(3)] Statt Operatoren $\Omega$ kann man auf $A$ eine $G$-invariante Menge von $n=(1;2;3;\cdots)$-stelligen "'linearen"' Relationen $R$ betrachten: $U,V\subset\mf{Z},UV=U\times V$,\\ $(u_1v_1,\cdots,u_nv_n)\in R\Rightarrow(u_1,\cdots,u_n)\in R$.
\item[(4)] Man müßte Gaschütz und Maschke in \underline{einen} Satz vereinigen, die $\omega$ brauchten nur auf verschiedenen Obergruppen von $M$ erklärt zu sein, die $G$-invariant sind.
\item[(5)] Teilb. Bed: jeder Primteiler von $i$ invertierbar auf $A$ oder $M/A$.
\begin{flushright}27/28\end{flushright}
\item[Bem (1)] Um \v{S}emektov auf $|G|=\infty$ zu erweitern, sollte man erst Gaschütz für $|G|=\infty$ mit Hilfe von "`Sylowgruppen"' formulieren.
\item[(2)] Ein "`Verlagerungssatz analog Gaschütz"' steht in XI, 52
\end{itemize}
\begin{flushright}28/29\end{flushright}
\begin{center}Allgemeiner Gaschütz-Satz\end{center}
\begin{itemize}
\item[{\textcircled{\raisebox{-0.1pt}{\small1}}}] Vor: Halte fest $A\unlhd G$, $A^\prime=1$, $A\le H\underset{n}{\le} G$. Es gebe $C$: $H=AC$, $A\cap C=1$.
\item[a] {\textcircled{\raisebox{-0.1pt}{\small a}}} Auf $H$ definiere $\varphi:H\to C:h^\varphi=Ah\cap C$. Dann: $\varphi\in\text{ Hom}(H,C)$, $a^\varphi=1$, $c^\varphi=c$; $\text{ker}\,\varphi=A$, im$\varphi=C$.\\[2mm]
$[$Randbemerkung:$]$ besser $G,G_\nu=\ldots$\\
\phantom{$[$Randbemerkung:$]$ besser }$C,C_\nu$
\item[b] {\textcircled{\raisebox{-0.3pt}{\small b}}} Für $r,s\in G$ mit $Hr=Hs$ definiere
\[
\frac{r}{s}:=s^-(sr^-)^\varphi r.
\]
Dann $\frac{r}{s}\in A$, $\frac{r}{r}=1$, $\frac{r}{s}\cdot\frac{s}{t}=\frac{r}{t}$ ($Hr=Hs=Ht$), $\frac{s}{r}=\big(\frac{r}{s}\big)^-$,  $\frac{ra}{r}=a$, $\frac{ar}{r}=r^-ar$, $\frac{rg}{sg}=\big(\frac{r}{s}\big)^g$, $\frac{hr}{r}=h^{(-\varphi+1)r}$
\begin{center}
\unitlength3mm
\begin{picture}(0,15)
\drawline(5,2)(5,10)
\drawline(5,2)(8,4)
\drawline(8,4)(11,2)
\drawline(8,4)(8,14)
\drawline(5,10)(8,12)
\dottedline{0.7}(11,2)(11,12)
\dottedline{0.7}(11,12)(8,14)
\put(5,1){\makebox(0,0){$\scriptstyle1$}}
\put(8,3){\makebox(0,0){$\scriptstyle A$}}
\put(11,1){\makebox(0,0){$\scriptstyle1$}}
\put(4,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle C_\sigma$}}
\put(8,15){\makebox(0,0){$\scriptstyle G$}}
\put(9,12){\makebox(0,0){$\scriptstyle H_\sigma$}}
\put(12,12){\makebox(0,0){$\scriptstyle B$}}
\end{picture}
\end{center}
\item[c] {\textcircled{\raisebox{-0.1pt}{\small c}}} $\mf{R}_\sigma:=\{R|R\subseteq G,|H_\sigma g\cap R|=1\}\ni R,S,T,\ldots$\\
Def: $\frac{R}{S}:=\prod\limits_{\substack{r\in R\\s\in S\\Hr= Hs}}\frac{r}{s}$. Dann\\
{\textcircled{\raisebox{-0.1pt}{\small1}}} $\frac{R}{S}\in A$~~~{\textcircled{\raisebox{-0.1pt}{\small2}}} $\frac{R}{R}=1$~~~{\textcircled{\raisebox{-0.1pt}{\small3}}} $\frac{R}{S}\cdot\frac{S}{T}=\frac{R}{T}$~~~{\textcircled{\raisebox{-0.1pt}{\small4}}} $\frac{S}{R}=\big(\frac{R}{S}\big)^-$~~~{\textcircled{\raisebox{-0.1pt}{\small5}}} $\frac{R}{S}=\frac{T}{U}\Rightarrow\frac{R}{T}=\frac{S}{U}$~~~{\textcircled{\raisebox{-0.1pt}{\small6}}} $\frac{Ra}{R}=a^n$~~~{\textcircled{\raisebox{-0.1pt}{\small7}}} $\frac{Rg}{Sg}=\big(\frac{R}{S}\big)^g$~~~{\textcircled{\raisebox{-0.1pt}{\small8}}} $\frac{Rfg}{R}=\big(\frac{Rf}{R}\big)^g\cdot\big(\frac{Rg}{R}\big)$ \\ {\textcircled{\raisebox{-0.1pt}{\small9}}} $\frac{aR}{R}=\prod a^n=:a^R$~~~{\large\textcircled{\raisebox{-0.1pt}{\small10}}} $R_\nu\sim S_\nu\Rightarrow\prod\limits_\nu\frac{R_\nu}{S_\nu}=1$~~~{\large\textcircled{\raisebox{-0.1pt}{\small11}}} $\frac{hR}{R}=h^{(-\varphi+1)R}$\\[2mm]
$[$Randbemerkung zu c:$]$ besser $\mathfrak{R}_\sigma$, $\sigma$ fest, dann gleich {\textcircled{\raisebox{-0.1pt}{\small f}}}~!\\
Deutung an monomialer Darstellung? Was nützt ein $R=R^h$?
\item[d] {\textcircled{\raisebox{-0.1pt}{\small d}}} Ist $\nu$ ein $G$-Endomorphismus von $A$, so ist $\psi:=\psi_{C,R_\nu}:G\to G$, $g^\psi:=g\cdot\big(\frac{R}{Rg}\big)^\nu$\\
$(fg)^\psi=f^\psi g^\psi$, $a^\psi=a^{-n\nu}$, ker $\psi=\{a|a^{1- n\nu}=1\}$, $G^\psi\cap A=\{a^{1- n\nu}|a\in A\}$, $A\cdot G^\psi=G$\\
A. Fix $\psi=\{g|\frac{Rg}{R}\in A^n\text{ ker }\nu\}$ $g^\psi\underset{A}{\equiv} g$, $g\in\text{ Fix }\psi\iff g^\psi=g\iff\big(\frac{R}{Rg}\big)^\nu=1$; Fix $\psi\cap A=\{a|a^{n\nu}=1\}$\\[2mm]
$[$Randbemerkung zu d:$]$ Besser $\vartheta$. Bezeichnung paßt nicht zu f
\begin{flushright}29/30\end{flushright}
\item[e] {\textcircled{\raisebox{-0.1pt}{\small e}}} Wenn $\omega\in Op~G$, $A^\omega\le A$, $C^\omega\le C$ (daher $H^\omega\le H$), $R\in\mf{R}$ und $R^\omega\in\mf{R}^{\circledast}$, so gilt $h^{\varphi\omega}=h^{\omega\varphi}$, $\big(\frac{r}{s}\big)^\omega=\frac{r^\omega}{s^\omega}$,  $\big(\frac{R}{Rg}\big)^\omega=\frac{R^\omega}{R^\omega g^\omega}$,  $\big(\frac{R}{S}\big)^\omega=\frac{R^\omega}{S^\omega}$.\\
Ist noch
\[
\frac{R^\omega}{R}=1,
\] 
so
\[
\bigg(\frac{R}{Rg}\bigg)^\omega=\frac{R}{Rg^\omega}:
\]
und wenn noch $\omega\nu=\nu\omega$ auf $A$, so $g^{\psi\omega}=g^{\omega\psi}$, also $\omega\psi=\psi\omega$ auf $G$.\\
$\circledast$ Für ein $R\in\mf{R}$ gilt: $R^\omega\in\mf{R}\iff HG^\omega=G$, also $ R^\omega\in\mf{R}\Rightarrow\mf{R}^\omega\subseteq\mf{R}$; $S^\omega\in\mf{R}$ $\forall\,S\in\mf{R}$.\\[2mm]
$[$Randbemerkung zu e:$]$ besser an den Schluss, vor i.\\
$[$Anmerkung vor f:$]$ Besser $\big(\frac{R}{S}\big)^n:=\prod\big(\frac{R_\sigma}{S_\sigma}\big)^{n_\sigma}$ $n=(n_1,\ldots, n_s)$
\item[f] {\textcircled{\raisebox{-0.1pt}{\small f}}} Nun seien für $\sigma=1,2,\cdots,s$ fest gegeben $A\le H_\sigma\underset{n_\sigma}{\le}G$, $C_\sigma\in\text{Kpl}(A,H_\sigma)$, ferner $R_\sigma\in\mf{R}_\sigma$ und $G$ - Endom. $\nu_\sigma$ von $A$. Dann gilt für $\frac{R}{S}:=\prod\big(\frac{R_\nu}{S_\sigma}\big)^\nu$~~~${}^\ast$
\[
g^\psi:=g\big(\frac{R}{Rg}\big)^\nu,~~\nu:=\sum n_\sigma\nu_\sigma(\psi=\psi_{\{c_\sigma R_\sigma \nu_\sigma\}})
\]
\[
(fg)^\psi=f^\psi g^\psi,~~~a^\psi=a^{1-\sum n_\sigma\nu_\sigma}~\anmerk, g^\psi\equiv g(A)
\]
$[$Randbemerkung zu f:$]$ hierfür gilt c, nur $\frac{Ra}{R}=a^\nu$\\[2mm]
$\frac{R}{S}$ hängt nur von $\{c_\sigma,\nu_\sigma\}$ ab, $\psi$ dazu von $\{R_\sigma\}$, $\psi=\psi_R$.
\item[g] {\textcircled{\raisebox{-0.1pt}{\small g}}} Wenn es $\nu_\sigma$ gibt mit $a^{1-\sum n_\sigma\nu_\sigma}=a^{1-\nu}=1$ $\forall a$, was z.B. zutrifft, wenn $d:=\ggT(n_1,\cdots,n_\rho)$ auf $A$ ein Autom. ist $(a\mapsto a^d)$ mit Inversem $\delta$, $\sum z_\sigma n_\sigma=d$, $\nu_\sigma=z_\sigma\delta)$, so 
\[
\frac{Ra}{R}(=a^\nu~~~~~~~)=a~~~~~~\frac{aR}{R}=a^{\sum R_\sigma\nu_\sigma}
\]
\begin{flushright}30/31\end{flushright}
\item[Direkter:] $B_R:=\{g\in G|\frac{Rg}{R}=1\}$\\[3mm]
$\psi\in\text{ Hom}(G,G)$, $G^\psi\cap A=1$, $AG^\psi=G$, $g^\psi=G^\psi\cap Ag$, $B:=G^\psi=\text{ Fix }\psi\in \text{ Kpl }(A,G)$\\
 $[$ wo $R=(R_1,\cdots,R_s)$ und $R\sim S:\iff\prod\big(\frac{R_\sigma}{\nu_\sigma}\big)^{\nu\sigma}=1$ auf $\mf{R}/\sim)$ $]$ siehe h! \\
 NB: $B=B_{\{C_\sigma,R_\sigma,\nu_\sigma\}}$. Bei $\exists~d^-$ auf $A$ $B=B_{\{C_\sigma,R_\sigma,z_\sigma\}}$
\item[k] {\textcircled{\raisebox{-0.1pt}{\small k}}} Sei $\Omega$ eine\begin{picture}(0,0)\put(-125,-10){{\textcircled{\raisebox{-0.1pt}{\small h}}}~~s.u.}\put(-125,-22){{\textcircled{\raisebox{-0.1pt}{\small i}}}~~j~~s. 32!}\end{picture} Menge von Operatoren auf $G$, so daß für alle $\omega\in\Omega$: $A^\omega\le A$, $C_\sigma^\omega\le C_\sigma$, $\exists^\ast R\in\mf{R}:\frac{R^\omega}{R}=1$. Seien die $\nu_\sigma$ von {\textcircled{\raisebox{-0.1pt}{\small g}}} so wählbar, daß $\nu_\sigma\omega=\omega\nu_\sigma$ auf $A$. Dann gilt für das $\psi$ von {\textcircled{\raisebox{-0.1pt}{\small g}}}: $\psi\omega=\omega\psi$ auf $G$, also ist $B:=\text{ Fix }\psi=G^\psi\in\text{ Kpl}_\Omega(A,G)$.\\
$^\ast$ das ist stets erfüllt $\forall R\in\mf{R}$, wenn $\forall g\in G\forall\sigma:(H_\sigma g)^\omega\subseteq H_\sigma g$.\\
es genügt sogar, wenn $\omega$ die Nebenkl. $H_\sigma g$ permutiert, d.h. $H_\sigma\cdot G^\omega=G$.
\item[h] {\textcircled{\raisebox{-0.1pt}{\small h}}} Unter der Vor. von {\textcircled{\raisebox{-0.1pt}{\small g}}} gilt: Setzt man $\mf{N}=\{(R_1,\cdots,R_s)|R_\sigma$ Vertretersystem zu $G:H_\sigma\}$, $\frac{R}{T}:=\prod\limits_\sigma\big(\frac{R_\sigma}{T_\sigma}\big)^{\nu_\sigma}$, $R\sim T:\iff\frac{R}{T}:\iff\frac{R}{T}=1^\ast$, so wirkt $G$ auf $\mf{R}/\!\!\sim\,\,=:\widetilde{\mf{R}}$, $A$ wirkt regulär, und das ist $G^\psi=G_{\widetilde{\mf{R}}}$ für das in {\textcircled{\raisebox{-0.1pt}{\small g}}} benutzte $(R_1,\cdots,R_s)\,\anmerk\, R$.\\
$^\ast$ $\sim$ hängt nur von $c_\sigma,\nu_\sigma$ ab. \\
Ist $\frac{T}{R}=a$, so $T\sim Ra$, $\psi_T=(\psi_R)a$, d.h. $g^{\psi r}=a^-g^{\psi R}a$, $G_T=(G_R)^a$\\
Kurz: $R\sim S\Rightarrow\psi_R=\psi_S$; $\psi_{Ra}=\psi_R\cdot a$
\begin{flushright}31/32\end{flushright}
\item[i] {\textcircled{\raisebox{-0.1pt}{\small i}}} Ist $F\le G$ mit $F\cap H_\sigma\le C_\sigma$, $R_\sigma\subseteq F$ ($\sigma=1,\cdots, s$) so ist\\ 
$F\le G_{\tilde{R}} (=:B)$\\[4mm]
Bew: $\frac{R_\sigma f}{R_\sigma}=\prod\big(\frac{r}{s}\big)^{\nu\sigma}$ mit $r,s\in F$, also $sr^-\in F\cap H_\sigma\le C_\sigma$, also $(sr^-)^\varphi=sr^-$, $\frac{r}{s}=1$\\
Daher $\frac{R_\sigma f}{R_\sigma}=1$, $\frac{Rf}{R}=1$, $f\in G_{\widetilde{R}}$.
\item[k] {\textcircled{\raisebox{-0.1pt}{\small k}}} Je zwei Komplemente $C, C^\prime$ zu $A$, deren Schnitte mit $H_\sigma$ über\-ein\-stim\-men $(\sigma=1,\cdots, s)$, sind konjugiert.\\
Bew: $C,C^\prime$ $\underset{\text{(i)}}{\Rightarrow}$ $\exists R,R^\prime:~C=G_{\widetilde{R}}\underset{G}{=}G_{\widetilde{S}}=C^\prime$\\[5mm]
Frage: Projektivität und Injektivität\\[4mm]\mbox{}
\item[Geg. Bsp.: 2] Falsch ist die Vermutung: $N\lhd G$, $N\le\text{ Ztr }G$, $N\le{}^{A}_{B}\le B$. Kpl$(N,A)\not=\emptyset\not=\text{ Kpl}(N,B)\Rightarrow\emptyset\not=\text{ Kpl}(N,\langle A,B\rangle)$.
\item[Bsp:] $\underset{\cdot}{G}=C_p\wr C_p$ $N=\text{ Ztr }G$, $A=N\cdot\langle\text{ Zyklus }\rangle$, $B=N\left\langle\begin{pmatrix}\varepsilon&&&0\\&1&&\\&&\ddots&\\0&&&1\end{pmatrix}\right\rangle$
\item[Geg. Bsp.: 3:] Falsch ist: $M\lhd G$, $M^\prime=1$, $M\le H\le G$, $n\in\text{ Aut }M$ $\Rightarrow$ $|\text{Kpl}(MG):G|=|\text{Kpl}(MH):H^\prime|$\\
Gegenb: $G=C_p\wr C_2$, $M=\text{ Ztr }G$, $H=C_p\times C_p$.
\end{itemize}
\begin{flushright}32/33\end{flushright}
\begin{center}Beweis für halbabelschen Maschke\\für Modul mit Op\end{center}
Gasch.-Satz von Maschke
\begin{itemize}
\item[16.4.78 Warwick~~(1)] $G$ wirke auf die $\Omega$-Gruppe $M$, Wirkg mit jedem $\omega$ vtb. Sei $H_\sigma\underset{i_\sigma}{\le}G$, $\sigma=1,\cdots,s$, $i:=\ggT(i_1\cdots i_s)$. Sei $\mf{A}\ni A=A^\Omega=A^G\lhd M$ und $M=A\times L_\sigma$, $L_\sigma=L_\sigma^\Omega=L_\sigma^G$.\\
Wenn $(a\mapsto a^i)\in\text{ Aut }A$, so $\exists$ $L=L^\Omega=L^G$:
\[
M=A\times L,L=L^\Omega=L^G
\] 
Bew: Auf das semidirekte Produkt $M\cdot G$ und $C_\sigma:=L_\sigma\cdot H_\sigma$ und $A$ wollen wir 29(1) anwenden. Wähle $R_\sigma$, $\sigma=1\cdots s$ in $G$.
\begin{center}
\unitlength1.5mm
\begin{picture}(0,20)
\drawline(5,5)(5,13)
\drawline(5,13)(21,21)
\drawline(21,24)(21,13)
\drawline(21,13)(5,5)
\drawline(21,18)(5,10)
\put(2,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle L_\sigma$}}
\put(-2,15){\makebox(0,0){$\scriptstyle C_\delta:=L_\sigma\cdot H_\sigma$}}
\put(23,13){\makebox(0,0){$\scriptstyle A$}}
\put(21,18){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(21,24){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(23,18){\makebox(0,0){$\scriptstyle M$}}
\put(25,21){\makebox(0,0){$\scriptstyle M\cdot H_\sigma$}}
\put(25,24){\makebox(0,0){$\scriptstyle M\cdot G$}}
\end{picture}
\end{center}
Dehne $\omega$ auf $MG$ aus durch $g^\omega=g$, dann $R_\sigma^\omega=R_\sigma$; $C_\sigma^\omega\le C_\sigma$.\\
Definiert man wie in 30 $\frac{R}{S}$ durch
\[
\big(\frac{R}{S}\big)^i:=\prod_\sigma\big(\frac{R_\sigma}{S_\sigma}\big)^{z_\sigma},
\]
wo $\sum z_\sigma i_\sigma=i$, so ist $\overline{B}:=\{b\in MG|\big(\frac{RG}{R}\big)=1\}$ ein $\Omega$-Kplt zu $A$ in $MG$, und nach 32 i ist $G\le \overline{B}$ (dortiges$^\ast$ $F,G,H_\sigma,C_\sigma$ hier $G, MG, MH_\sigma$, $L_\sigma H_\sigma$).
\[
B:=\overline{B}\cap M\lhd\overline{B}\ge G\text{ also }B=B^G
\]
$^\ast$ es ist $G\cap MH_\sigma=(G\cap M)H_\sigma=H_\sigma\le C_\sigma$
\begin{center}
\unitlength1mm
\begin{picture}(0,18)
\drawline(5,7)(5,17)
\drawline(19,0)(5,7)
\drawline(19,0)(19,10)
\drawline(19,10)(5,17)
\drawline(5,12)(19,5)
\drawline(5.2,12.1)(5.2,16.9)
\drawline(18.8,5.1)(18.8,10.1)
\put(18,5.5){\vector(2,-1){1}}
\put(5,5){\makebox(0,0){$\scriptstyle A$}}
\put(5,12){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(3,12){\makebox(0,0){$\scriptstyle M$}}
\put(5,19){\makebox(0,0){$\scriptstyle MG$}}
\put(21,5){\makebox(0,0){$\scriptstyle B$}}
\end{picture}
\end{center}
Den Schnitt zum unabelschen Maschke macht man wohl besser direkt nach 26(b), aber auf $\Omega$ achten!
\end{itemize}
\begin{flushright}33/34\end{flushright}
$[$Seite 34 ist leer!$]$
\begin{flushright}34/35\end{flushright}
\begin{center}Unabhängigkeit, Vertauschbarkeit, Faktorisierung\end{center}
\begin{itemize}
\item[24.4.78~~1] Aus $A\wp B$ ($AB=BA$) folgt $A\wp\begin{cases}(ASA\cap B) &\text{wenn }A\le G,\\\langle ASA\cap B\rangle&\text{wenn }B,S\subseteq G\end{cases}$\\
$\exists$ Anwendung auf $A^x\wp B^y$?\\[5mm]
25.4.78
\item[2] $A_5$ hat nur Faktorisierungen 5.12, 6.10, $A_6$ hat keine.
\item[3] Sind $A_i\le G$ $(i=1\cdots n)$ unabhängig im Sinne von meiner Arbeit \# 82, so
\begin{itemize}
\item[a)] $A_i\le B_i\le G\Rightarrow\{B_i\}$ unabhängig
\item[b)] $A_1\le G^\ast\le G\Rightarrow\{A_1,A_2^\ast,\cdots,A_n^\ast\}$ unabh, $A_\nu^\ast=A_\nu\cap G^\ast$.\\
Bew. a) $\bigcap B_ig_i\supset\bigcap A_ig_i\not=\emptyset$.\\
$D_i:=\bigcap\limits_{i\not=j}A_j\Rightarrow A_i D_i=G$ ($\iff \{A_i\}$ unabh.)\\
$A_1(A_2^\ast\cap\cdots\cap A_n^\ast)=A_1(A_2\cap\cdots\cap A_n\cap G^\ast)=A_1(D_1\cap G^\ast)$ $=A_1 D_1\cap G^\ast=G\cap G^\ast=G^\ast$\\
$A_2(A_1\cap A_3^\ast\cap\cdots\cap A_n^\ast)=A_2(A_1\cap G^\ast\cap A_2\cap\cdots\cap A_n)$ $=A_2(D_2\cap G^\ast)=A_2D_2$ da $D_2\le A_1\le G^\ast$\\ 
für $n=\infty$ siehe 36.
\end{itemize}
\item[$3^\prime$] Gibt es Gegenbeispiele zu b) für $n=\infty$? Nein! 36.
\end{itemize}
\begin{flushright}35/36\end{flushright}
\begin{center}Unabhängigkeit der $A_i\le G$, $i\in I$\end{center}
\begin{itemize}
\item[1] Def: $\{A_i\}$ un $G$ $:\iff\bigcap\limits_i A_ig_i\not=0~\forall~g_i\in G$\\
Für $J\subseteq I$: $A_J:=\bigcap\limits_jA_j$~~~$A_\emptyset:=G$
\item[2] Sei im folgenden $\{A_i\}_{i\in I}$ unabh $GJ\subseteq I$ $\Rightarrow \{A_j\}\text{ un }G$
\item[2a] $\{J_\alpha\}$ disjunkte Teilmengen von $I\Rightarrow\{A_{J_\alpha}\}_\alpha\text{ un }G$
\item[3] $A_J\cap A_K=:A_{J\cup K}$
\item[4] $A_J A_K=A_{J\cap K}$\\
Bew: oBdA $J\cup K=J,J\cap K=\emptyset$ $g\in G\Rightarrow A_Jg\cap A_K\not=\emptyset$\\
$a_Jg=a_K,g\in A_JA_K=G$
\item[5] $\bigcap A_ig_i$ ist Nebenklasse von $A_I$. \\
Bew: $A_I\bigcap=\bigcap$ klar. $g,h\in\bigcap A_ig_i\Rightarrow gh^-\in A_i,A_I$\\ 
$\bigcap B_i g_i\supseteq \bigcap A_ig_i\not=\emptyset$.
\item[6] $A_i\le B_i\le G\Rightarrow\{B_i\}\text{ un}$
\item[7] $A_1\leqq G^\ast\le G$, $A_j^\ast:=A_j\cap G^\ast~~~(j\not=1)$ $\Rightarrow\{A_1,A_j~~ j\not=1\}$ unabh. $G^\ast$\\
Bew:
\begin{eqnarray*}
A_1g_1^\ast\cap\bigcap\limits_{j\not=1}A^\ast_jg_j^\ast&=&A_1g_1^\ast\cap\bigcap(A_jg_j^\ast\cap G^\ast)\\
&=&A_1g_1^\ast\cap G^\ast\cap\bigcap A_jg_1^\ast\\
&=&A_1g_1^\ast\cap\bigcap A_jg_i^\ast\not=\emptyset
\end{eqnarray*}
KRITERIUM:
\item[8] Sei $A_i\le G$, $|I|<\infty$. Dann $\{A_i\}\text{ un }G$ $\iff$ $\forall_i~A_iA_{I-i}=G$\\
Allgemeiner gilt für $|I|=\infty$: 37
\begin{flushright}36/37\end{flushright}
\begin{center}noch Unabhängige $|G:A_i|$
\end{center}
\item[1] Ist $A_i\le G$ $(i\in I)$ und für jedes endliche $J\subseteq I-\{i\}$  $A_iA_J=G$, so sind die $A_i$ \underline{schwach unabhängig} in $G$ in dem Sinn:\\
Für $F\subseteq I$, $|F|<\infty$ ist für jede Wahl von $g_f\in G$ $(f\in F)$ stets $\bigcap\limits_{f\in F}A_fg_f\not=\emptyset$.\\
Bew: $|F|=n$, min Gegenbsp: $n>1$.\\
nein: $\exists h\in A_1g_1\cap\cdots\cap A_{n-1}$ $g_{n-1}$\\
$g_\nu h^-\in A_\nu~~~\nu=1,\cdots,n-1$\\
$g_n h^-\in G=A_nD,~~D:=A_1\cap\cdots\cap A_{n-1}$\\
$g_n h^-=a_nd$\\
$A_1g_1 h^-\cap\cdots\cap A_{n-1}g_{n-1}h^-\cap A_ng_n h^-$\\
$=A_1\cap\cdots\cap A_{n-1}\cap A_nd$\\
$=(A_1\cap\cdots\cap A_{n-1}\cap A_n)d$\\[5mm]\mbox{}
\item[Aufgabe 2] Für schwache Unabh. übertragen S. 35.
\end{itemize}
\begin{flushright}37/38\end{flushright}
\begin{center}Winkelfeld\\
Angular field (AF)
\end{center}
12.5.78~~~~Dr.? Neumann, University of Nottingham, fragte heute telephonisch, wann $\text{AF}(A^2)\subseteq(\text{AF}(A))^2$?\\
Hängt vielleicht mit meinem \anmerk \\
Valley theorem zusammen!\\[5mm]
Lit über Büschel hermitescher Matrizen (Bohnenblust etc) Uhlig Sond. 1979\\[10mm]
($1^\prime$) $|G|=p^\alpha q^\beta$, $H\le G$, $p^\alpha\big||H|$, $G$ einfach\\
$\Rightarrow H$ hat nur $p$-Füße.
\begin{flushright}38/39\end{flushright}
\begin{center}Cosubnormalität\\Ein Kriterium für Subnormalität\end{center}
Forts. von XV 201\\
12.5.78
\begin{itemize}
\item[\underline{\underline{1}}]Hilfssatz: $G=AB$ (endlich). $B\in\mf{G}_p\Rightarrow O_p(A)\unlhd O_p(G)$.\\
Bew: $\exists$ $A_p\in p$-Syl $A:P:=AB\in p$-Syl $G$.
\[
[O_p(A)]^G=[O_p(A)]AB=[O_p(A)]^B\le A_p^P\in\mf{y}_p
\]
\item[($1^\prime$)] siehe 38
\item[Satz 2]Sei $G=\langle A_0,\overbrace{A_1,\cdots,A_n}^{\text{csn}}\rangle$, $A_0\text{ csn }A_i~(i=1,\cdots,n)$\\
$A_i$ sn $B:=\langle A_1,\cdots,A_n\rangle,\exists_A:G=AB$ mit $A_0\text{ sn }A$.\\
Dann $A_0$ sn $G$.\\
Bew: 
\begin{itemize}
\item[(1)] Sei $N:=\langle A_0^\mf{N},A_1^\mf{N},\cdots,A_n^\mf{N}\rangle>1$\\
Dann $G/N=:\overline{G}$ Induktion $|G|:A_0N$ sn $G$.\\
Nach XV $196_3$ ist $A_0$ sn $\langle A_0,A_1^\mf{N},\cdots,A_n^\mf{N})=A_0N$ sn $G$.
\item[(2)] Sei $N=1$, also $A_i\in\mf{N}$ und es gelte $p\not=q\in U_\pi(A_i)$\\
$1\not=P:=\langle A_0^{p^\prime},\cdots,A_n^{p^\prime}\rangle$; es ist $A_i^{p^\prime}\in\mf{G}_p$, $\mathcal{N}(A_0^p)\ge A_0,A_i^{p^\prime},P$\\
$A_0^p\unlhd A_0P$ sn $G$. (Indukt. $|G|$); $A_0^p$ sn $G$.\\
Ebenso $A_0^q$ sn $G$, $A_0=A_0^p\cdot A_0^q$ sn $G$.
\item[(3)] Sei $N=1$, alle $A_i\in\mf{G}_p$. Dann $B\in\mf{G}_p$.\\
Nach \underline{\underline{1}} ist $A_0\le O_p(A)\le O_p(G)$. $A_0$ sn $G$.
\end{itemize}
\item[Gegenbsp. 3] $A_1,\cdots,A_n$ paarweise csn statt $\{A_1,\cdots,A_n\}$ csn genügt nicht: 
\begin{center}
\unitlength1mm
\begin{picture}(0,10)
\put(0,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(2,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(0,2){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(0,4){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(0,6){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(2,2){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(2,4){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(2,6){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(-4,6){\makebox(0,0){$\scriptstyle A_0$}}
\drawline(0,6)(2,6)
\put(10,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(10,2){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(10,4){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(10,6){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(12,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(12,2){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(12,4){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(12,6){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(7,6){\makebox(0,0){$\scriptstyle A_1$}}
\drawline(10,4)(12,4)
\put(20,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(20,2){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(20,4){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(20,6){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(22,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(22,2){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(22,4){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(22,6){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(17,6){\makebox(0,0){$\scriptstyle A_2$}}
\drawline(20,2)(22,0)
\put(30,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(30,2){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(30,4){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(30,6){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(32,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(32,2){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(32,4){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(32,6){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(27,6){\makebox(0,0){$\scriptstyle A_3$}}
\drawline(30,6)(30,0)
\drawline(32,0)(32,6)
\put(45,4){\makebox(0,0){$\scriptstyle A_0\le\text{ Sym}_8\;=\;B$}}
\end{picture}
\end{center}
%$A_0\subseteq$ Sy $m_g=B$.
\begin{flushright}G\\39/40\end{flushright}
\begin{center}noch Kosubnormalität\end{center}
\item[Satz 4] Sei $\{A_1,\cdots,A_m\}$ csn $G$, $\{B_1,\cdots, B_n\}$ csn $G$, $\{A_\mu,B_\nu\}$ csn $G$, $A\le\langle B_1,\cdots,B_n,A_1,\cdots,A_m\rangle:A_\mu$ sn $A$; $A\wp B:=\langle B_1,\cdots, B_n\rangle$.\\ Dann $A_1,\cdots, A_m\in$ sn $G$\\
Bew: 
\begin{itemize}
\item[I] $N:=\langle A_1^\mf{N},\cdots, B_n^\mf{N}\rangle>1: A_1$ sn $\langle A_1,A_2^\mf{N}\cdots B_n^\mf{N}\rangle$ sn $G$.
\item[II] $A_\mu, B_\nu\in\mf{N}$; $p,q\in U\pi(A_\mu)\cup U\pi(B_\nu)$: wie 39 \underline{2} (2)
\item[III] $A_\mu, B_\nu\in\mf{G}_p: A_\mu\le O_p(A)\le O_p(AB)=O_p(G)$.
\end{itemize}%\newpage
\item[5] Sei $A$ sn $\overline{A}$, $\overline{A}\wp B$. $A_i$ sn $A=\langle A_i\rangle$, $B_k$ sn $B=\langle B_j\rangle$. Dann $A$ csn $B$ $\iff$ $A_i$ csn $B_j$\\
Bew: Auf $A^\ast:=\overline{A}\cap\langle A,B\rangle$ statt $A$ wende 4 an.
\begin{center}
\unitlength2mm
\begin{picture}(0,18)
\drawline(5,5)(-1,11)
\drawline(-1,11)(5,17)
\drawline(5,17)(11,11)
\drawline(5,5)(11,11)
%\dottedline{0.7}(6,16)(0,10)
\dottedline{0.7}(8,14)(2,8)
\put(3,9){\vector(-1,-1){1}}
%\put(7,13){\vector(1,1){1}}
\put(-3,11){\makebox(0,0){$\scriptstyle\overline{A}$}}
\put(0,8){\makebox(0,0){$\scriptstyle A^\ast$}}
\put(13,11){\makebox(0,0){$\scriptstyle A$}}
\put(11,14){\makebox(0,0){$\scriptstyle\langle A,B\rangle$}}
\put(5,19){\makebox(0,0){$\scriptstyle\overline{A}B$}}
\end{picture}
\end{center}
\item[(uralt)~~6] $\mf{F}$ Fitting-Formation, $A\overset{\wp}{\text{ csn }}B\Rightarrow(AB)^\mf{F}=A^\mf{F}B^\mf{F}$\\[5mm]
\mbox{}\hspace*{-24mm}\mbox{}\begin{minipage}[t]{2.4cm}Das hat schon\\=MAIER 7\\(bemerkt\\31.10.78)\end{minipage}\begin{minipage}[t]{10cm}Allgemeiner: $X$ csn $A_i$, $A_i\,\wp\,B_k\Rightarrow X$ sn $\prod A_i$;\\
$X,A,B\le G=$ endlich, $X$ sn $A$, $X$ sn $B$, $AB=BA$, $X\in\mf{S}$\\
$\Rightarrow$ $X$ sn $AB$.\\
Bew: 42\\
BOL SOC BRAS MAT 8(1977), 127-130\\
$=41_4$, $42_6$\\
Verallg. S. 105
\end{minipage}\\[2mm]
Vermutung: $X\in\mf{S}$ entbehrlich. Stimmt: 104\\
Gleichw: $\left.\begin{array}{c}A\text{ sn }AB\\A\text{ sn }AC\\B\,\wp\,C\end{array}\right\}\Rightarrow A\text{ sn }ABC$, denn $A,B,C$ paarweise $\wp$.
\end{itemize}
Verallg. S. 105
\begin{flushright}40/41\end{flushright}
\begin{center}Faktorisierte Gruppen\\Kriterium für Subnormalität\end{center}
\begin{itemize}
\item[12.5.78~~1] Hilfss: $G=AB\Rightarrow\langle O_p(A),O_p(B)\rangle\in\mf{G}_p$\\
Bew: $\exists~~A_p\in p$-Syl $A$, $B_p\in p$-Syl $B$: $O_p(A)O_p(B)\subseteq A_p B_p\in\mf{G}_p$
\item[1a] Bem: bei Kegels Problem überträgt sich Vor. auf $A\cap B$ wenn $A\wp B$ aber $A^g\nleq M\Rightarrow A$ nicht $\wp A^g$.\\[5mm]
Vermutung:
\item[Vermutg 2] Sei $A,B\le G=\overline{A}\,\overline{B}$, $A$ sn $\overline{A}$, $B$ sn $\overline{B}$.\\
Sei $A_i$ sn $A=\langle A_i\rangle$, $B_k$ sn $B =\langle B_k\rangle$. Dann $A$ csn $B$ $\iff$ $A_i$ csn $B_k$.\\
Bew: $\Rightarrow$ klar.  $\Leftarrow:$ I:\\
Sei $N=\langle A_i^\mf{N},B_k^\mf{N}\rangle>1$ ?
\item[Satz 3:] $\begin{cases} D:=A\cap B\\G=AB\end{cases}\Rightarrow \overset{\substack{\text{weil }O_p(G)\cap A\le O_p(A)\\~~~~~~\downarrow}}{O_p(A)\cap O_p(B)= O_p(G)\cap D}$. Anwendbar auf $p^\alpha q^\beta$?\\
Bew: $O_p(A)$ csn $O_p(B)$  (1)\\
ebenso $O_p(A^g)$ csn $O_p(B^h)$\\
$R:=O_p(A)\cap O_p(B):~~R$ sn $O_p(A)$ csn $O_p(B^g)\,{\rhd\rhd}\, R^g$\\
$R$ csn $R^g$ $R$ sn $G$ $R\le O_p(G)$
\item[FRAGE 4] $G=BC$, $A$ sn $B$, $A$ sn $C$ $\overset{?}{\Rightarrow} A$ sn $G$\\
ja s. $40_7$, 104
\begin{flushright}41/42\end{flushright}
\item[Satz 5] $G=AB$, $D:=A\cap B\Rightarrow\!\!\!\!\!\!\! \overset{\substack{:=\text{ Fitt }(A)\\\mid}}{A_\mf{N}}\!\!\!\!\!\!\!\cap B_\mf{N}=D\cap G_\mf{N}=D_\mf{N}\cap G_\mf{N}$\\
Bew: 41.3 FRAGE: Ähnlich für $G=BAB$?\\
Frage: entsprechend für $\mf{S}$ statt $\mf{N}$.\\[5mm]
Inverness Thm (von Maier $40_7$)
\item[Satz 6] $G=AB$ (endlich), $S\in\text{ sn }A\cap\text{ sn }B\cap\mf{S}\Rightarrow S\text{ sn }G$.\\
Gegenbsp. $|G|~\min$, $|G:A|+|G:B|$ min
\begin{itemize}
	\item[(a)] $A\lessdot G$, $B\lessdot G$
	\item[(b)] $A_G=1$ sonst $\overline{G}=G/A_G$, $\overline{S}\text{ sn }\overline{G}_p$, $S\text{ sn }SA_G\text{ sn }G$.
	\begin{center}
	\unitlength1.5mm
\begin{picture}(0,20)
\drawline(5,5)(-1,11)
\drawline(-1,11)(5,17)
\drawline(11,11)(5,17)
\drawline(5,5)(11,11)
\drawline(8,8)(2,14)
\drawline(5,5)(5,0)
\put(-3,11){\makebox(0,0){$\scriptstyle A$}}
\put(5,18){\makebox(0,0){$\scriptstyle G$}}
\put(13,11){\makebox(0,0){$\scriptstyle B$}}
\put(6,2){\makebox(0,0){$\scriptstyle S$}}
\put(5,2){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(5,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(6,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle 1$}}
\end{picture}
	\end{center}
	\item[(c)] $\begin{cases}S>1,\text{ daher}\\\exists~~p~~~S_p~~(:=O_p(S))>1 \end{cases}$ 
	\item[(d)] $G_p>1$, 41.3 (sogar $S_p\le G_p$)
	\item[(e)] $\exists$ $P\dotlhd G$, $|P|=p^\alpha$, $P^\prime=1$, $AP=G\anmerk$
	\item[(f)] $P=O_p(G)=C_G(P)$. Denn $[P,O_p(G)]=1$ und $G$ treu pri $G:A$, $P$ regulär abelsch $=\mathcal{C}(P)$.\\
	oder $(f^\prime)$ s.u.
	\item[(g)] $1<S_p\le O_p(G)=P$, also $A\cap P>1$ Wid. 
\end{itemize}
\item[NB $6^\prime$] In einem Gegenbeispiel zur entsprechenden Vermutung für beliebiges $S$ mit $|G|=\min$ und $N\dotlhd G$ ist $\text{soc }S=\text{ soc}^\prime S$, $G=NA=NB$: $[$Denn $N\wp\ofrac{A}{B}$, daher $(NA\cap B)(NB\cap A)=NA\cap NB$. Wäre dies $<G$, so $S\text{ sn }NA\cap NB$, $S\text{ sn }NS\text{ sn }G$ Wid. $]$\\
Und $N$ normalisiert keine Untergruppe $\not=1$ von $A\cap B$,\\
Folge: Fitt $S=1$ und $S=S^\prime$ einfach.
\item[$f^\prime$]$P\le\text{ Ztr }O_p(G)\le C(G_p)$ entgegen~~$\downarrow$.
\end{itemize}
$[$Der gesamte Text auf dieser Seite ab Satz 6 ist nachträglich mit Bleistift durchgestrichen.$]$
\begin{flushright}42/43\end{flushright}
\begin{center}Faktorisierte Gruppen\end{center}
23.5.78
\begin{itemize}
\item[(1)] $G=AB$, $A_p\in p$-Syl $A$, $B_p\in p$-Syl $B$ $\Rightarrow\exists~G_p\le\langle A_p, B_p\rangle$. Genauer: $\exists~x\in\langle A_p,B_p\rangle: A_p^x\cdot B_p=:G_p\in p$-Syl $G$.\\
Bew: $\exists~x\in\langle A_p,B_p\rangle$. $\langle A_p^x,B_p\rangle\in\mf{G}_p$. Nun ist $A_p^x\in p$-Syl $A^x$,\\ $B_p\in p$-Syl $B^y$, $G= A^x B^y$ also $G_p:=A_p^x\cdot B_p\in p$-Syl $G$\\
$G_p\le\langle A_p, B_p\rangle$.\\
Analog für $G=A^1A^2\cdots A^n, A^\rho\wp A^\sigma$.
\item[NB] Das enthält den entsprechenden Satz für $G=\langle A^1,\cdots,A^n\rangle$, $A^\nu$ sn $G$.\\
Bew Gegenb. mit $n$ min hat $n=2$: betrachte $A_p^B\cdot B$\\
Frage: Entsprechend für beliebige "`Vertauschbarkeits-Produkte"'?
\item[(2)] $G=AB$, $D:=A\cap B$, $D_p\in p$-Syl $D$, $N:=\mathcal{N}_G D_p$ $\Rightarrow N=(N\cap A)(N\cap B)$\\
Bew: $ab^-\in N\Rightarrow D_p^a=D_p^b\in p$- Syl $D$ $=D_p^{a^-},\exists d\in D$\\
$D_p^{ad}=D_p^{bd}=D_p$ $ad, bd\in N$.\\
$ab^-=(ad)(bd)^-\in(N\cap A)(N\cap B)$\\
Allgemeiner:
\item[Satz 3] $G=AB$. $R_i$ $G$-inv. Relat; je zwei Lösungen von $C$ max (oder min) mit $C\le G$, $C R_iA$ $(i=1\cdots k)$, $CR_j B$ $(j=k+1,\cdots,n)$ seien unter $D:=A\cap B$ konjugiert; $N:=\mathcal{N}_GC$. Dann
\[
N=(N\cap A)(N\cap B)
\]
\begin{flushright}43/44\end{flushright}
\item[4] $G=AB$; $A,B,C\le G$, $C\!\!{\underset{\substack{\uparrow\\\text{vtb}}}{\wp}}\!\!A$, $C\wp B\Rightarrow$ entsprechend zerfällt\\ 
$CA\cap CB=(CA\underset{\substack{|\\\le G}}{\cap} B)(CB\underset{\substack{|\\\le G}}{\cap} A)$\\
Allgemeiner:
\item[5] Sind $A,B\le G$ und $C\subseteq G$, so $(CA\cap B)(BC\cap A)=\underbrace{CA\cap BC\cap BA}$\\
Folge: Das ist, wenn $A\wp B\wp C\wp A$, symm in $ABC$!
\item[$5^\prime$] $G=A\cdot B$; $A,B\le G$; $C\subseteq G$, $C\wp \ofrac{A}{B}\Rightarrow(CA\cap B)(BC\cap A)=CA\cap BC$
\item[6] $G=AB$, $\Sigma:=\{S\le G|S\text{ sn }A, S\text{ sn }B\}$\\
$S^{ab}\in\Sigma\Rightarrow S^a\in\Sigma$\\
Bew: $S^{ab}\text{ sn }B\Rightarrow S^a\text{ sn }B$; klar: $S^a\text{ sn }A$
\end{itemize}
\begin{flushright}44/45\end{flushright}
\begin{center}2-tra Normalteiler\end{center}
6.7.78
\begin{itemize}
\item[Satz 1] Sei $G$ Pgr auf $\Omega$, $G_0=H$, $N\lhd G_{0}$, $N\text{ tra }\Omega_0:=\Omega-\{0\}$\\
Sei $V\subseteq N$, $1^V=\Omega_0$ (vielleicht genügt $0^{V^G}=\Omega$). Sei $t\in G\setminus G_0$, $0^{t^-}=:1$. Dann
\begin{itemize}
\item[\underline{A}] Dann äquivalent: 
\begin{itemize}
\item[I.] $\exists$ $K\lhd G$, $K\cap H=N$
\item[II] $N^{tH}.N^t\cap H\subseteq N$~~~NB: $N^{tH}=N^{tN}$\\
\hspace*{-1cm}$A^\prime$. Ist $G$ 3-tra oder $Z(H/N)=1$, so ist auch äq: $[$nachträglich mit \\\hspace*{67mm} Bleistift eingefügt$]$
\item[III] $V^{tH}V^t\cap H\le N$\hspace*{41mm}$[$nachträglich mit\\ \hspace*{67mm} Bleistift gestrichen$]$
\item[IV] $w^{th}w^{-t}\in H\Rightarrow~~\in N$ $\forall h$ $\forall w\in VV^-$\\
d.h. $[h,v]\cap H\le N$
\end{itemize}
\item[\underline{B}]Ist diese Bedingg erfüllt, so $H^G=:K=K_0K_\alpha+K(0\mapsto \alpha)$ f alle $\alpha\not=0$; wenn also $g:0\mapsto\alpha\mapsto\beta\not=0$, so $K=NN^g+N(\alpha\mapsto\beta)^{g^-}$
\end{itemize}
Bew: A: IV $\to$ I: $1:=0^{t^-}$; $r_0:=1$; $r_\alpha:=t^-v_\alpha$ ($\alpha\in\Omega_0$) mit $1^{v_\alpha}=\alpha, v\in V$.
\begin{itemize}
\item[a)] für $s:=v^{-t}$ gilt stets: $\underline{h,h^s\in H\Rightarrow h^s\equiv h}$\\
Bew: $h^-h^s=h^-v^t h v^{-t}=v^{th}v^{-t}\in H,\in N$.
\item[b)] $\underline{n^g\in H\Rightarrow n^g\in N}$~~~  B: $\exists v:g=n^\prime v^{-t}h=n^\prime sh$
\item[c)] $H$ const mod $N$ auf $\Omega_0:=\Omega-\{0\}$\\
$h:\alpha\to\gamma$ $h_\alpha:=r_\alpha hr_\gamma^-=t^-u_\alpha hv_\gamma^{-t}=(nh)^t$\\
$\beta\to\delta$ $h_\beta=r_\beta hr_\delta^-=t^-u_\beta hv_\delta^{-t}=(n^\prime h)^t$\\
aus $t^-nht\in H$ folgt $t^- n^\prime n^-t\in H$\\
nach b) $t^-n^\prime n^-t\in N$, $(n^\prime h)^t=(n^tn^-.nh)^t\equiv(nh)^t$
\item[d)] $\alpha,\beta\in\Omega_0$, $g\in G_{\alpha\beta}\Rightarrow g_\alpha\equiv g_\beta$~~~B: $g_\beta^-g_\alpha=v^{th}v^{-n}$ mit $v=v_\beta v_\alpha^-$  $h=g_\beta$
\item[d$^\prime$)] II $\to$ I folgt aus \begin{gather*}\alpha\beta\,\,\gamma=\alpha^g\,\,\delta=\beta^\prime\in\Omega_0\Rightarrow g_\beta^-g_\alpha=h^- t^-v_\alpha v_\beta^- th.t^-v_\delta v_\gamma^-\\=(v_\alpha v_\beta)^{th}.(v_\delta v_\gamma^-)^t\end{gather*}
\begin{flushright}45/46\end{flushright}
\item[e)] Ist $Z(H/N)=1$, so $G$ konst mod $N$ auf $\Omega_0$ $g:(\alpha\beta)\to(\gamma\delta)$ führt $G_{\alpha\beta}$ in $G_{\gamma\delta}$ über\\
In $G_{\alpha\beta}$ kommt $\begin{pmatrix}\overline{h}&\\&\overline{h}\end{pmatrix}\begin{array}{c}\leftarrow\alpha\\\leftarrow\beta\end{array}$ für jedes $h\in H$ vor ($\overline{h}=hN/N$).\\
Das wird transfr. von $g$ in $\begin{pmatrix}\overline{h}^{g_\alpha}&\\&\overline{h}^{g_\beta}\end{pmatrix}~\begin{array}{c}\leftarrow\gamma\\\leftarrow\delta\end{array}$ also $\overline{h}^{g_\alpha}\equiv\overline{h}^{g_\beta}$, $\overline{h}^{g_\alpha\overline{g}_\beta}\equiv\overline{h}$, $g_\alpha g_\beta^-\in\mathcal{C}(\overline{h})$, $g_\alpha g_\beta^-\in Z(H/N)$; $g_\alpha\equiv g_\beta$. Weiter wie MZ.
\item[f)] $G$ 3-tra $\Rightarrow H$ 2-tra wie MZ.\\
Bew. \underline{B}: $\alpha\not=0\Rightarrow K=K_0K_\alpha+K(0\to\alpha)$ denn
\[
0^k=\beta\not=\alpha\Rightarrow\begin{cases}\beta=0&k\in K_0\subseteq K_0K_\alpha\\\beta\not=0&\exists k_\alpha:0\to\beta\end{cases}
\]
\[
kk_\alpha^-:0\to0~~~kk_\alpha^-=k_0\;\;k=k_0k_\alpha
\]
\end{itemize}
NB: Wenn $H/N$ abelsch folgt aus IV stets $h^g\in H\Rightarrow h^g\equiv h$\\
Bew: $g=nsh^\prime$; (a)
\end{itemize}
\begin{flushright}46/47\end{flushright}
\newpage
\begin{center}Ein Gegenstück zum perf. Kern\end{center}
\begin{itemize}
\item[8.7.78~~(1)] ist 
\(
\bigcap N,~~~N\lhd G,\text{ Ztr }G/N=1
\)
\end{itemize}
\begin{center}\underline{FORTSETZG. $2$-tra NORMALT: (S. 46)}\end{center}
Sei $N\lhd H=G_0$, $N$ tra $\Omega_0:=\Omega-\{0\}$.\\
Vert. $R:=\{1,t^-n_\alpha|\alpha\in\Omega_0\}$, $0^{t^-}=:1$, $1^{n_\alpha}=0$.\\
Für die hierdurch definierte mon Darst. von $G$ nach $H/N$, gilt
\begin{itemize}
\item[(2)] $G$ "`hinten"' (auf $\Omega_0\times\Omega_0$) konstant $\iff$
\[
\forall_h N^{th}N^t\cap H\subseteq N\iff N^{tN}\cdot N^t\cap H\subseteq N
\]
\[
\underset{\forall\beta}{\iff}N(a)N(\beta)\cap H\subseteq N
\]
\item[(3)] $H$ hinten konstant $\iff$ $N$ auf $\Omega$ konstant\\ $\iff$ $N^t\cap H\subseteq N\underset{\forall g\in G-H}{\iff}N^g\cap H\subseteq N$.\\
$\iff G_{0,1}/N_{0,1}$ erleidet nur innere Aut. unter $G(0,1)$\\
$\iff \exists~s\in G(0,1)-G_{0,1}:s\in\mathcal{C}(G_{0,1}/N_{0,1})$ (d.h. $g_{0,1}^s\equiv g_{0,1}$)
\end{itemize}
\begin{flushright}47/48\end{flushright}
\begin{center}"'Lange"' Normalteiler einer $P$-Gr.\end{center}
\begin{itemize}
\item[9.7.78~~(1)] Def: $L\le G<\text{ Sym }\Omega$ ($G$ tra) heiße eine lange Untergruppe, wenn $\forall\alpha,\beta\in\Omega:$
\[
(\alpha,\beta)^L=(\alpha\beta)^G~[\text{ dh: }G\le L^{(2)}]
\]
Zur Bestimmung der langen Normalteiler:
\item[(2)] Sei $G$ tra $\Omega\ni0$, $N\lhd H:= G_0$. Sei $R=\{r_\alpha|\alpha\in\Omega\}$ ein Repr. Syst. von $G:H$ mit $0^{r_\alpha}=\alpha$. Dann
\begin{itemize}
\item[a)] Bei der mon Darst. von $G$ mittels $H/N=:\overline{H}$ hat genau dann für jedes Paar $(\alpha,\beta)\in\Omega_0\times\Omega_0$ die Gruppe $G_{\alpha\beta}$ an der Stelle $(\alpha,\alpha)$ die \underline{volle} Koeff Gr $\overline{H}$, wenn $\forall \beta\in\Omega_0:\beta^{G_0}=\beta^N$ $[\text{ d.h. }G_0\le N^{(1)}]$.
\item[b)] Ist diese Bedgg erfüllt und${}^\ast$  Ztr $\overline{H}=1$ und $\{[h,r_\alpha\gamma_\beta^-]~|~\alpha,\beta\in\Omega_0,h\in H\}\cap H\subseteq N$, so ist die Darstellung jedes $g\in G$ "`hinten konstant"', daher gibt es $K\lhd G$ mit $HK=G$, $H\cap K=N$\\
${}^\ast$ allgemeiner: stets $\exists Y\lhd G:HY=G,H\cap Y=ZH\mod N$\\
Bew: a) Die Koeff Gr in $(\alpha,\alpha)$ in $H$ von $G_{\alpha\beta}$ ist $G_{\alpha\beta}^{r_\alpha^-}=G_{0\beta^{r_\alpha^-}}=G_{0\gamma}$; aber
\[
\overline{\text{Koeff Gr}}=\overline{H}\iff G_{0\gamma}\cdot N=G_0\iff\gamma^N=\gamma^{G_0}=\gamma^H
\]
\begin{flushright}48/49\end{flushright}
Bew b) Die Kommutatorbedingg bedeutet:\\ $\alpha,\beta\in\Omega_0$ $g\in G_{\alpha\beta}\Rightarrow g_\alpha\equiv g_\beta$\\ 
Ist nun $l\in G$, $(\alpha,\beta)^l=(\gamma\delta)$; $\alpha\beta\gamma\delta\in\Omega_0$ so $(g^l)_\gamma=g_\alpha^{l_\alpha}$, $(g^l)_\delta=g_\beta^{l_\beta}$, also $g_\alpha^{l_\alpha}\equiv g_\beta^{l_\beta}\equiv g_\alpha^{l_\beta}$\\
$g_\alpha^{l_\alpha l_\beta^-}\equiv g_\alpha$\\
$l_\alpha l_\beta^-\in\mathcal{C}(H/N)=N.$  
\end{itemize}
\item[NB 1)] Es wird genügen, die Kopplungsbedingung $g_{\alpha\beta}\equiv g_\gamma\delta$ für $N$ und ein Erzeugendensystem von $H/N$ zu fordern.
\item[2)] Nützen Elemente $g$ von Minimalgrad?
\item[3)] Ausführlich behandeln
\begin{itemize}
\item[1)]$H/N$ abelsch
\item[2)]$Z(H/N)=1$.
\end{itemize}
\item[4)]Wenn man \v{S}emetkov verallg. will, muß man erst Gaschütz${}_\infty$ für "`Sylowgruppen"' formulieren
\item[5)] Meine Supplementformel aus OW ausdehnen auf Gaschütz?
\end{itemize}
\begin{flushright}49/50\end{flushright}
$[$Seite 50 ist leer!$]$
\begin{flushright}50/51\end{flushright}
\begin{center} $p$\\von XIII 82, 245 Forts: Untergruppen vom Index $p$: Konj.\end{center}
5.9.78\\
$\varepsilon^p=1$, $j=\frac{kl}{p-1}=\frac{Kx\cdot Ly}{p-1}=xy=\kappa\overline{\kappa}$, $(x,y)=1$
\begin{itemize}
\item[(1)] Wahrscheinlich ist die Galoisgruppe von $Q(\varepsilon)\cdot Q(\kappa)$ isomorph zu \[(\mathcal{N}G_p)/G_p, |G_p|=p,\] hat also ungerade Ordnung. Das heißt wohl, daß bei richtiger Normierung die Verkettungsmatrix mit ungerader Zeilensumme die Spur $0$ hat.
\item[(2)] Jeder Primteiler $q|j$ ist sogar $2^n$-ter Rest wenn $2^n|p-1$, insbes. also  quadratischen Rest mod $p$. Denn für $\mf{q}\mid\kappa$, $\mf{q}$ Primideal in $Q(\varepsilon)$ gilt $\mf{q}\not=\overline{\mf{q}}$ (sonst jedes $\mf{q}^\sigma=\overline{\mf{q}}^\sigma$, $\mf{q}^\sigma$ oder $\overline{\mf{q}}^\sigma$ teilt $\kappa$, jedes teilt $\kappa$, $q|\kappa$ Wid.\\
Also
\(
\begin{cases}
\mf{q}=\mf{q}_1\mf{q}\cdots\mf{q}_e\\
\text{ Grad }\mf{q}=:f\text{ ungerade }
\end{cases}\Rightarrow e_2=(p-1)_2,~
\varepsilon^p=1,~p\big|q^f-1
\)\\
Ord $\mf{q}$ mod $p$ ist ungerade, $q$ ist $2^n$-ter Rest mod $p$.\\[5mm]
Im Folgenden wird bis auf weiteres die Situation von $4$ Darstellungen $\alpha\beta\gamma\delta$ von $G$ durch Perm-Matrizen vom Grad $p$ betrachtet, die alle auf $P\in p$-Syl $G$ übereinstimmen und zu denen es (primäre) Matrizen $KL\in Z\times P$ gibt mit
\end{itemize}
\begin{flushright}51/52\end{flushright}
\begin{center}noch Grad $p$: Konjugiertheit\end{center}
\begin{itemize}
\item[{\textcircled{\raisebox{-0.1pt}{\small1}}}$^\ast$] \
\begin{center}
\unitlength1mm
\begin{picture}(0,20)
\put(3,3){\makebox(0,0){$\scriptstyle\cdot$}}
\put(3.5,3){\vector(1,0){20}}
\put(24,3){\makebox(0,0){$\scriptstyle\cdot$}}
\put(24,23.5){\vector(0,-1){20}}
\put(24,24){\makebox(0,0){$\scriptstyle\cdot$}}
\put(3.5,24){\vector(1,0){20}}
\put(3,24){\makebox(0,0){$\scriptstyle\cdot$}}
\put(3,23.5){\vector(0,-1){20}}
\put(-1,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle j_1K$}}
\put(1,3){\makebox(0,0){$\scriptstyle \gamma$}}
\put(10,1){\makebox(0,0){$\scriptstyle L$}}
\put(26,3){\makebox(0,0){$\scriptstyle \delta$}}
\put(26,24){\makebox(0,0){$\scriptstyle \beta$}}
\put(10,26){\makebox(0,0){$\scriptstyle L_{j_1}$}}
\put(1,24){\makebox(0,0){$\scriptstyle \alpha$}}
\end{picture}
\end{center}
(d.h. $\beta(g)=L^{-1}\alpha(g)L\text{ usw.})$. Dann gilt $\delta=\beta L^\ast K L=\beta K$, also
\begin{center}
\unitlength1mm
\begin{picture}(0,24)
\drawline(4,4)(24,4)(24,24)(4,24)(4,4)
\put(4,24){\vector(1,-1){20}}
\put(24,24){\vector(-1,-1){20}}
\put(2,14){\makebox(0,0){$\scriptstyle K$}}
\put(2,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle \kappa$}}
\put(14,26){\makebox(0,0){$\scriptstyle L$}}
\put(18,26){\makebox(0,0){$\scriptstyle \lambda$}}
\put(26,14){\makebox(0,0){$\scriptstyle K$}}
\put(26,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle \kappa$}}
\put(14,2){\makebox(0,0){$\scriptstyle L$}}
\put(18,2){\makebox(0,0){$\scriptstyle \lambda$}}
\put(10,20){\makebox(0,0){$\scriptstyle M$}}
\put(8,22){\makebox(0,0){$\scriptstyle \mu$}}
\put(18,20){\makebox(0,0){$\scriptstyle N$}}
\put(18,16){\makebox(0,0){$\scriptstyle \nu$}}
\put(18,4){\vector(1,0){1}}
\put(24,14){\vector(0,-1){1}}
\put(18,24){\vector(1,0){1}}
\put(4,18){\vector(0,-1){1}}
\end{picture}
\end{center}
und bei passender Normierung von $M,N$ (notfalls durch $J-M$ zu ersetzen, usw) gilt:\\
$\kappa\overline{\kappa}=K$ hat Zeilensumme $k$, $\frac{k(p-k)}{p-1}=j_1=\kappa\overline{\kappa}$, $KL=zM+tJ$\\
$L=\lambda\overline{\lambda}$ hat Zeilensumme $l$, $\frac{l(p-l)}{p-1}=j_2=\lambda\overline{\lambda}$, $KL^\ast=zN+tJ$\\
$\mu\overline{\mu}=M$ hat Zeilensumme $m$, $\frac{m(p-m)}{p-1}=j_3=\mu\overline{\mu}$, $NL=L^\ast M=xK+rJ$\\
$N$ hat Zeilensumme $n$, $\frac{n(p-n)}{p-1}=j_3^\prime=\nu\overline{\nu}$, $KN^\ast=K^\ast M=yL+sJ$\\
mit $x,y,z,r,s,t\in\NN$. Für die Ewe gilt daher
\begin{eqnarray*}
\kappa\lambda&=&z\mu,\kappa\overline{\lambda}=z\nu\\
\nu\lambda&=&\overline{\lambda}\mu=z\kappa\\
\kappa\overline{\nu}&=&\overline{\kappa}\mu=y\lambda\\
j_1=yz&&j_2=xz~~~j_3=xy
\end{eqnarray*}
\item[(2)] $\ast$ Diese Situation tritt z.B. stets auf, wenn $G$ mit einem Automorphismus $\sigma$, der $P$ invertiert, $2$ nichtisomorphe Perm. Darst. $\alpha\underset{L}{\to}\beta$ hat: setze
\[
\begin{cases}
\delta:=\sigma\alpha T\\\gamma:=\sigma\beta T
\end{cases} (T\in\mathcal{N}_{\mf{S}_p}P\text{ invertiere }P),
\]
dann
\[
\gamma L=\sigma\beta TL=\sigma\beta L^\ast T=\sigma\alpha T=\delta
\]
\begin{flushright}52/53\end{flushright}
\begin{center}$p$\end{center}
%Vor. von 52(1)
\item[3]\hspace*{-21.3mm} $\overset{\substack{\hspace*{1.98cm}\displaystyle{\text{Vor. von 52(1)}}\\\downarrow}}{\circledast}$\hspace*{-2cm} Es ist $j_2|j_3$ wegen $j_3\lambda^2=j_2\mu\overline{\nu}$ (da $\lambda^2$ keinen natürlichen Teiler $\not=1$ hat), ebenso
\[
\text{Forts. 65 }~~j_1|j_3\text{ wegen }j_3\kappa^2=j_1\mu\nu; z|x, z|y,z^2|j_i~~~(i=1,2,3)
\]
\item[(4)] $\circledast$ 
\[\begin{array}{rcll}
K(L+L^\ast)&=&z(M+N)+tJ~&\kappa(\lambda+\overline{\lambda})=z(\mu+\nu)\\
K(L-L^\ast)&=&z(M-N)~&\kappa(\lambda-\overline{\lambda})=z(\mu-\nu)\\
L(N-M^\ast)&=&x(K-K^\ast)~&\lambda(\nu-\overline{\mu})=x(\kappa-\overline{\kappa})\\
L(N+M^\ast)&=&x(K+K^\ast)+2rJ&\text{ hermitesch, daher}
\end{array}\]
\[
\lambda(\nu+\overline{\mu})=\chi(K+\overline{u})\in\RR
\]
usw.\\
$\exists n:(\mu,n)=1$\\
$j_1=n^2\mu$ $j_2=n^2\sigma$ $j_3=n^2\mu v$ folgt aus 63.27
\item[5] Vor. $\circledast$: Wegen $j_2|j_3$, $i=1,2$ ist $j_i\le\frac{j_3}{2}\le\frac{p+1}{8}$, also ${}^k_l<0.15p$.\\
Ist $j_1\le j_2$ etwa, so $j_1\le\frac{j_3}{3}$ $k<0,092p$.
\item[6] Sogar ohne Vor. {\textcircled{\raisebox{-0.1pt}{\small1}}} allein aus $j_1j_2=z^2 j_3$ folgt mit $j_i=\frac{p^2- s_i^2}{4(p-1)}$, also $2k=p-s_1$ usw. $(s_i>0)$ Prüfe\\
$j_1+j_2+a_3^2=j_3^\prime+z^2$ mit $j_3^\prime:=\frac{p^2-s_3^{\prime2}}{4(p-1)}$ $(>0$?!), $s_3^{\prime2}:=b_3+2a_3$\\
$b_3:=\frac{s_1s_2+2s_3z}{p}>0$, $a_3:=\frac{zs_3-b_3}{p}$\\
NB: Bei $j\equiv s^2\frac{p+1}{4}\mod p^2$\\
NB: Bei $j_3^\prime<0$ ist $x=y<z$, $j_3<\begin{cases}j_1\\j_2\\\frac{z^2}{4}\end{cases}$\\
Es ist $s_3^\prime\equiv zs_3\mod p-2$,\\
$s_1s_2+4a_3\equiv 0~~~\prime\prime~~~\prime\prime$\\
und allgemein $j\equiv 1-\frac{s^2}{p^2}\mod(p-2)^2$\\
\phantom{und allgemein }$j\equiv \frac{s^2-1}{8}\mod p+1$
\item[FRAGE $6^\prime$] What about relations between $j_1^\prime,j_2^\prime,j_3^\prime$?
\begin{flushright}53/54\end{flushright}
\newpage
\begin{center}$p$ $+$ regul. abelsche Ugr.\end{center}
\item[7] Die Hermitizität von $L(N+M^\ast)$ bedeutet Vertauschbarkeit der ganzz. nichtneg. \anmerk Matrizen.\\
$LT$, $(N^\ast+M)T$ wo $T\in\mathcal{N}P,P^T=P^-$\\
Sie können also simultan diagonalisiert werden, die EWe sind\\
$\pm|\lambda|, \pm|\overline{\nu}+\mu|$.
\item[8.] $k<\frac{p}{2}\Rightarrow\frac{k}{2}<j<k$ wo $j=\frac{k(p-k)}{p-1}$ genauer $k(1-\frac{k}{p})<j<k(1-\frac{k-1}{p})$
\item[9] Für jeden Körper $K:\QQ\le K\le \QQ(\varepsilon)$, $\varepsilon^n=1$ ist $\underset{K\to Q}{\mathcal{N}(\mf{a})}\equiv 1~~(p)$ wenn $(\mf{a},p)=1$.
\item[Satz 10] Sei $G$ eine trans. PGr. mit zwei regulären abelschen Untergruppen $A,B$. Sei $K$ eine $(0,1)$-Vertauschungsmatrix $(gK=Kg,\forall g)$, Zeilensumme $k$.\\
$|A_1|=|B_1|=k$ also $K=\sideset{}{^\prime}{\sum}\limits_{k}a_i=\sideset{}{^{\prime\prime}}{\sum}b_j=A_1B_1^-(a_i\in A, b_j\in B)$, Sp $KK^\prime=nk$. $=\sum f(Q_i\cdot b_j^-)$, wo $f(g)=$ Fixpunktzahl von $g$. Daher Mittlere FPZ von $ab^-=\frac{n}{k}$, $a\in A_1,b\in B_1$
\begin{flushright}54/55\end{flushright}
\begin{center}Komplemente maximaler Untergruppen\end{center}
\item[Cor. $11^\prime$] Hat $G_0$ eine Bahn der Länge $k$, so ist die mittlere Fixpunktzahl von $ab^-$ für $a\in A_1$, $b\in B_1$ mit passenden $A_i\subseteq A$, $B_1\subseteq B$, gleich $\frac{n}{k}$, $n=|\Omega|$.\\[5mm]
13.7.82: Maier weiß: ($A\le G,AM=MA~~\forall M\lessdot G$) $\Rightarrow$ Fitt $A$ sn $G$.
\item[Satz 12]Sei $F\lessdot G$, $A\in\text{ cpl }(F\le G)$, $\sigma\in\text{ Aut }G$, $A^\sigma=A$\\ 
$a^\sigma=a^-$ (also $A$ abelsch). Es gibt $K\subseteq A$ mit $FK=KF^\sigma$ im Gruppenring $Z(G)$ nämlich $K=A\cap FF^\sigma$\\
Hierfür ist 
\begin{eqnarray*}
K^\sigma F^{\sigma^2}&=&F^\sigma K^\sigma=F^\sigma K^-~~~~\text{ invertier el'weise:}\\
KF^\sigma&=&F^{\sigma^2}K,\text{ also}\\
FK&=&F^{\sigma^2}K=\langle F,F^{\sigma^2}\rangle K~~\text{ in Komplex-Mult.}\\
\text{ Daher ist }F&=&F^{\sigma^2}\text{ oder }FF^\sigma=G.
\end{eqnarray*}
\item[Satz 13] Sei $u$ die Anzahl der ungeraden Primteiler von $p-1$. Dann ist die Zahl der Invarianten $\{j\}$ $\{\frac{k(p-k)}{p-1}\}$ gleich $2^u$ (einschließlich $j=1$).
\item[Bem. 14] Wenn es $j_1j_2=z^2j_3$ gibt, ist nach 53(b) $|\{j\}|\ge 5$, daher $u\ge 3$, vorausgesetzt, daß unter $j_1^\prime,j_2^\prime,j_3^\prime$ eine von $1,j_1,j_2,j_3$ verschiedene Zahl $>0$ vorkommt.
\begin{flushright}55/56\end{flushright}
\begin{center}$p$\end{center}
\item[29.9.78~~15] Programm zur \underline{Berechnung der Invarianten} zu $p$\\
I) \underline{der Größe nach}: setze $i_n\equiv n(p-n),0\le i_n<p-1$ rekursiv durch $\frac{p-1}{2}$ Subtr. u. bedingte Addition zu berechnen.\\ 
Die $k$ mit $i_k=0$ geben die Invarianten: $j_k=\frac{k(p-k)}{p-1}$\\[5mm]
Berechnung der Inv. zu $p$:
\item[Ansatz 16] Mit den $k\lambda\cdots$ kann man vielleicht mod $\mf{q}$ rechnen, wo $\mf{q}$ Primidealteiler von $p-2$, oder von $\kappa-\overline{\kappa}$; besser von $\eta-\overline{\eta}$, wo $\eta$ eine erzeugende "`Periode"' für $\mathbb{Q}(\kappa)$ ist.\\[5mm]
II Sei $n\in\NN$. Zu gegebener Zerlegg $\eta-1=ab$, $a,b>1$:
\item[Ansatz 17] Geg sei: $a=a_1\ldots a_r$, $b=b_1\ldots b_\rho$, (nicht notwendig Primzahlpotenzen! z.B. Primzahlen)\\
Bestimme $x_{\rho\sigma}\mod b_\sigma$: $a_\rho x_{\rho\sigma}\equiv 1~~(b_\sigma)~~(\rho=1\cdots r,\sigma=1\cdots s)$\\
Bilde $x_\sigma:x_\sigma\equiv\prod\limits_\rho x_{\rho\sigma}\mod b_\sigma$\\
Setze
\begin{eqnarray*}
y_\sigma&:=&\frac{1-ax_\sigma}{b_\sigma}~\text{ (es genügt: mod }a,\text{ d.h. Zähler mod }ab_\sigma)\\
\eta&:=&\prod_\sigma y_\sigma\in\ZZ~~~\xi:=\frac{1-b\eta}{a}\in\ZZ\\
y&:=&[\eta]_a~~~x:=[\xi]_b=\frac{\eta-by}{a}
\end{eqnarray*}
Dann $ax+by=\mf{R}$, $0<x<b,0<y<a$, also falls $n=p$
\[
j=xy.
\]
bei 8stelligem Rechner reicht das für $a_\rho, b_\sigma<10^\delta$
\begin{flushright}56/57\end{flushright}
\item[18] Nicht auftreten können Vierecke
\begin{center}
\unitlength1mm
\begin{picture}(0,24)
\drawline(4,4)(24,4)(24,24)(4,24)(4,4)
\put(4,24){\vector(1,-1){20}}
%\put(24,24){\vector(-1,-1){20}}
\put(2,14){\makebox(0,0){$\scriptstyle K$}}
%\put(2,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle \kappa$}}
\put(14,26){\makebox(0,0){$\scriptstyle L$}}
%\put(18,26){\makebox(0,0){$\scriptstyle \lambda$}}
\put(26,14){\makebox(0,0){$\scriptstyle K$}}
%\put(26,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle \kappa$}}
\put(14,2){\makebox(0,0){$\scriptstyle L$}}
%\put(18,2){\makebox(0,0){$\scriptstyle \lambda$}}
\put(11,20){\makebox(0,0){$\scriptstyle M$}}
%\put(8,22){\makebox(0,0){$\scriptstyle \mu$}}
%\put(18,20){\makebox(0,0){$\scriptstyle N$}}
%\put(16,22){\makebox(0,0){$\scriptstyle \nu$}}
\put(18,4){\vector(1,0){1}}
\put(24,14){\vector(0,1){1}}
\put(18,24){\vector(-1,0){1}}
\put(4,18){\vector(0,-1){1}}
\end{picture}
\end{center}
Es wäre $(\kappa\lambda)^2\in\ZZ$, 
\[
\kappa\lambda=\pm n^2\begin{array}{cccl}&\diagup&\,+&k\lambda=\pm n,\mu\in\ZZ,j_3=1,M=I\\
&\diagdown&\,-&\big(\frac{k\lambda}{n}\big)^2=-1,\frac{k\lambda}{n}=\pm i\in\QQ(\varepsilon)
\end{array}
\]
\item[19] Aus
\begin{center}
\unitlength0.5mm
\begin{picture}(0,24)
\drawline(4,4)(24,4)(24,24)(4,24)(4,4)
\put(1,14){\makebox(0,0){$\scriptstyle j^\prime$}}
\put(14,27){\makebox(0,0){$\scriptstyle j$}}
\put(27.5,14){\makebox(0,0){$\scriptstyle j^\prime$}}
\put(14,1){\makebox(0,0){$\scriptstyle j$}}
\end{picture}
\end{center}
folgt $j^{\prime\prime}=j^{\prime\prime\prime}$. Dann $jj^\prime=z^2j^{\prime\prime}=y^2 j^{\prime\prime\prime}$.
\item[Satz 20 \begin{picture}(0,0)\put(-20,-9){\makebox(0,0){1.10.78}}\end{picture}] Die  allgemeinste "`Invarianten"'-Bedingung der Kanten eines Tetraeders mit natürlichen Zahlen derart, daß für jede Fläche das Produkt je zweier Kanten gleich der dritten $x$ eines Quadrats ist, erhält man so:\\
Belege jede der vier Ecken mit einer nat. Zahl, etwa $a,b,c,d$; belege jedes Paar von Gegenkanten mit einer Zahl: $x,y,z\in\NN$. Dann ist die Invariante zur Kante $(axb)=ayzb$, die Invariante zur Kante $(bzd)=bxyd$.\\
Anders gesagt: Bilde $P=xyz$. Ist dann $a$ mit $d$ durch $y$ verbunden, so ist die Invar. $=\frac{d}{y}\cdot P$
\begin{center}
\unitlength1mm
\begin{picture}(0,24)
\drawline(4,4)(24,4)(24,24)(4,24)(4,4)(24,24)(4,24)(24,4)
\put(2,2){\makebox(0,0){$\scriptstyle b$}}
\put(0,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle \text{\textcircled{2}}$}}
\put(26,2){\makebox(0,0){$\scriptstyle c$}}
\put(28,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle \text{\textcircled{3}}$}}
\put(26,26){\makebox(0,0){$\scriptstyle d$}}
\put(28,28){\makebox(0,0){$\scriptstyle \text{\textcircled{4}}$}}
\put(2,26){\makebox(0,0){$\scriptstyle a$}}
\put(0,28){\makebox(0,0){$\scriptstyle \text{\textcircled{1}}$}}
\put(3,14){\makebox(0,0){$\scriptstyle x$}}
\put(14,2){\makebox(0,0){$\scriptstyle y$}}
\put(26,14){\makebox(0,0){$\scriptstyle x$}}
\put(14,26){\makebox(0,0){$\scriptstyle y$}}
\put(12,18){\makebox(0,0){$\scriptstyle z$}}
\put(12,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle z$}}
\end{picture}
\mbox{}\\[-5mm]\mbox{}
\end{center}
\begin{flushright}57/58\end{flushright}
(anders gesagt: Ordne einem Paar von Gegenseiten $xy$ einen anderen $xz$, dem dritten $yz$.) $a,b,\cdots,y,z\in\NN$ beliebig.
\begin{center}
\unitlength1mm
\begin{picture}(0,24)
\drawline(4,4)(24,4)(24,24)(4,24)(4,4)(24,24)(4,24)(24,4)
\put(2,2){\makebox(0,0){$\scriptstyle b$}}
%\put(0,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle \text{\textcircled{2}}$}}
\put(26,2){\makebox(0,0){$\scriptstyle c$}}
%\put(28,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle \text{\textcircled{3}}$}}
\put(26,26){\makebox(0,0){$\scriptstyle d$}}
%\put(28,28){\makebox(0,0){$\scriptstyle \text{\textcircled{4}}$}}
\put(2,26){\makebox(0,0){$\scriptstyle a$}}
%\put(0,28){\makebox(0,0){$\scriptstyle \text{\textcircled{1}}$}}
\put(2,14){\makebox(0,0){$\scriptstyle yz$}}
\put(14,2){\makebox(0,0){$\scriptstyle xz$}}
\put(26,14){\makebox(0,0){$\scriptstyle yz$}}
\put(14,26){\makebox(0,0){$\scriptstyle xz$}}
\put(12,18){\makebox(0,0){$\scriptstyle xy$}}
\put(12,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle xy$}}
\end{picture}
\end{center}
Der \underline{Beweis} erfolgt, indem man die gegebenen Invarianten jeweils in den beiden angrenzenden Flächen als Podukt der "`Winkel"' darstellt:
\begin{center}
\unitlength1mm
\begin{picture}(0,24)
\drawline(0,5)(12,13)(0,21)(-12,13)(0,5)(0,21)
\drawline(3,17)(-3,17)(-3,9)(3,9)
\put(-3,16){\vector(0,-1){1}}
\put(1,9){\vector(1,0){1}}
\put(0,21){\makebox(0,0){\arc{6}{2.45}{6.95}}}
\put(0,5){\makebox(0,0){\arc{6}{5.7}{10.02}}}
\put(0,22.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle q$}}
\put(0,3.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle w$}}
\put(7,8){\makebox(0,0){$\scriptstyle l$}}
\put(9,16){\makebox(0,0){$\scriptstyle k$}}
\put(-9,16){\makebox(0,0){$\scriptstyle m$}}
\put(-7,8){\makebox(0,0){$\scriptstyle n$}}
\put(3,17.8){\makebox(0,0){$\scriptstyle u$}}
\put(-3,17.8){\makebox(0,0){$\scriptstyle r$}}
\put(-3,8.2){\makebox(0,0){$\scriptstyle s$}}
\put(3,8.2){\makebox(0,0){$\scriptstyle v$}}
\put(3.4,13){\makebox(0,0){$\scriptstyle j$}}
\end{picture}
\end{center}
$j=rs$, $u=\sqrt{kj/l}$, $v=\sqrt{jl/k}$,  $r=\sqrt{jm/n}$, $s=\sqrt{jn/m}$ und alle 6 Relationen $\ast$ wie $\frac{u}{r}=\frac{s}{v}$ aufschreibt und im Tetraedernetz wandert, vermöge $\ast$ und $\frac{s}{v}=\frac{s}{w}\frac{w}{v}$. Die 12 Tetraederwinkel zerfallen in 3 Klassen: Äqn: wenn die den beiden Winkeln gegenüberliegenden Kanten einander gleich oder disjunkt sind (Gegenkantenpaar)\\
Beim obigen Beweis fängt man mit\\[5mm]
\begin{minipage}[t]{4cm}
\begin{center}
\unitlength1mm
\begin{picture}(0,22)
\drawline(-10,2)(10,2)(0,22)(-10,2)
\drawline(-10,2)(0,8)(10,2)
\drawline(0,8)(0,22)
\put(-11,1){\makebox(0,0){$\scriptstyle \text{\textcircled{b}}$}}
\put(11,1){\makebox(0,0){$\scriptstyle \text{\textcircled{c}}$}}
\put(0,24){\makebox(0,0){$\scriptstyle \text{\textcircled{a}}$}}
\put(-8,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle k$}}
\put(8,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle s$}}
\put(-6,3){\makebox(0,0){$\scriptstyle l$}}
\put(6,3){\makebox(0,0){$\scriptstyle r$}}
\put(0,6){\makebox(0,0){$\scriptstyle w$}}
\put(-7,5){\makebox(0,0){$\scriptstyle m$}}
\put(7,5){\makebox(0,0){$\scriptstyle t$}}
\put(-1.5,9){\makebox(0,0){$\scriptstyle v^d$}}
\put(1.5,9){\makebox(0,0){$\scriptstyle u$}}
\put(-1,18){\makebox(0,0){$\scriptstyle f$}}
\put(1,18){\makebox(0,0){$\scriptstyle g$}}
\put(2,22){\makebox(0,0){$\scriptstyle h$}}
\end{picture}
\end{center}
\end{minipage}~\vspace*{0cm}\begin{minipage}[b]{6cm}
$[$Farbmarkierungen in der Skizze:\\
\hspace*{2cm}rot: $~f,k,r,u$\\
\hspace*{2cm}grün: $g,l,s,v$\\
\hspace*{2cm}gelb: $h,m,t,w$~~~$]$
\end{minipage}\\[5mm]
an u. findet
\[
\frac{f}{g}=\frac{k}{l}=\frac{r}{t}=\frac{u}{v}
\] 
und zyklisch $\overset{\xleftarrow[]{~~~~~~}}{\underset{\xrightarrow[]{~~}\xrightarrow[]{~~}}{\scriptscriptstyle\text{rot}~\text{grün}~\text{gelb}}}$
\begin{flushright}58/59\end{flushright}
Die entstehenden Relationen besagen:
\[
\text{ Rang }\begin{pmatrix}f&g&h\\k&l&m\\r&s&t\\u&v&w\end{pmatrix}=1;
\]
Zerlegung Spalte $\times$ Zeile gibt
\[
\hspace*{4.5cm}\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}(xyz).
\]
\begin{minipage}[b]{6.5cm}
\unitlength1mm
\begin{picture}(0,0)
\drawline(5,5)(55,5)(30,48)(5,5)
\drawline(30,48)(30,20.5)
\drawline(5,5)(28.75,18.21)
%\drawline(5,5)(30,19)
\drawline(55,5)(31.25,18.21)
%\drawline(55,5)(30,19)
\put(30,19){\makebox(0,0){\circle{3}}}
\put(30,19){\makebox(0,0){\circle{9}}}
\put(30,19){\makebox(0,0){$\scriptstyle d$}}
\put(6,3){\makebox(0,0){$\scriptstyle bx$}}
\put(30,3){\makebox(0,0){$\scriptstyle \zeta$}}
\put(53,3){\makebox(0,0){$\scriptstyle cy$}}
\put(10,6){\makebox(0,0){$\scriptstyle by$}}
\put(50,6){\makebox(0,0){$\scriptstyle cx$}}
\put(51.6,8){\makebox(0,0){$\scriptstyle cz$}}
\put(9,9){\makebox(0,0){$\scriptstyle bz$}}
\put(30,16){\makebox(0,0){$\scriptstyle dz$}}
\put(21,16){\makebox(0,0){$\scriptstyle \beta$}}
\put(38,16){\makebox(0,0){$\scriptstyle \gamma$}}
\put(15,25){\makebox(0,0){$\scriptstyle \eta$}}
\put(45,25){\makebox(0,0){$\scriptstyle \xi$}}
\put(31.8,28){\makebox(0,0){$\scriptstyle \alpha$}}
\put(23.5,21){\makebox(0,0){$\scriptstyle dy$}}
\put(36.7,21){\makebox(0,0){$\scriptstyle dx$}}
\put(28.2,42){\makebox(0,0){$\scriptstyle ax$}}
\put(31.5,42){\makebox(0,0){$\scriptstyle ay$}}
\put(30,50){\makebox(0,0){$\scriptstyle az$}}
\put(5,5){\makebox(0,0){\arc{14}{5.25}{0}}}
\put(5,5){\makebox(0,0){\arc{10}{0}{5.25}}}
\put(55,5){\makebox(0,0){\arc{14}{3.14}{4.2}}}
\put(55,5){\makebox(0,0){\arc{10}{4.2}{3.14}}}
\put(30,48){\makebox(0,0){\arc{15}{1.05}{2.11}}}
\put(30,48){\makebox(0,0){\arc{10}{2.11}{1.05}}}
\put(20,5){\vector(1,0){1}}
\put(30,30){\vector(0,1){1}}
\put(22.5,35){\vector(-2,-3){1}}
\put(37.5,35){\vector(-2,3){1}}
\put(22.8,15){\vector(-3,-2){1}}
\put(37,15){\vector(3,-2){1}}
\put(-2,3){\makebox(0,0){$\scriptstyle\text{   \textcircled{\raisebox{-0.7pt}{b}}}$}}
\put(62,3){\makebox(0,0){$\scriptstyle\text{\textcircled{c}}$}}
\put(23,47){\makebox(0,0){$\scriptstyle\text{\textcircled{a}}$}}
\put(-5,25){\makebox(0,0){$\scriptstyle|\eta|^2=abxz$}}
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}[b]{4.5cm}Genauer wird bei pas\-sen-\\der Vorzeichenwahl der Eigenwerte $\alpha,\beta,\gamma, \xi, \eta,\zeta$:
\begin{eqnarray*}
\circlearrowleft~~~\xi\eta\zeta&>&0\\
\circlearrowleft~~~\alpha\eta\overline{\beta}&>&0\\
\beta\xi\gamma&>&0\\
\gamma\xi\alpha&>&0
\end{eqnarray*}
\end{minipage}\\[5mm]
%\texttt{SKIZZE}\\
und daher $\xi\eta=az\overline{\xi}$, $\gamma\xi=cz\overline{\alpha}$, $\beta\zeta=by\gamma,\ldots$, $\xi\eta\zeta=abcxyz$\\[5mm]
~~~$[$ Hier sind die Farbmarkierungen:
\begin{eqnarray*}
\text{rot:}&&x,\beta,\xi,ax,bx,cx,dx\\
\text{grün:}&&y,\gamma,\eta,ay,by,cy,dy\\
\text{gelb:}&&z,\alpha,\xi,az,bz,cz,dz~~~~~]
\end{eqnarray*}
\item[Bem. 21] Sind $\xi,\eta,\zeta\in\CC$; $x,y,z>0$ gegeben mit $\xi\eta=z\overline{\zeta}$, $\eta\zeta=x\overline{\xi}$, $\zeta\xi=y\overline{\eta}$, so wird $\xi\eta\zeta=xyz$ und $|\xi|^2=yz$ usw.
\begin{flushright}59/60\end{flushright}
\begin{center}$p$\\Bezeichnung wie auf Einlage\end{center}
\item[Formel 22] Schreibt man Produkte additiv, so lassen sich die Beziehungen entsprechend den Ecken gewichten $a,b,c,d,$ die Lgenskanten gewichten $xyz$ und den Invarianten $A=|\alpha|^2$~~~~~ $B=|\beta|^2\cdots$ $Z=|\xi|^2$ darstellen durch
\[
\begin{pmatrix}\mf{A}\\[5mm]\mf{X}\end{pmatrix}\overset{(1)}{=}\left(\begin{array}{c}A\\B\\C\\\hline X\\Y\\Z\end{array}\right)\overset{(2)}{\eqdot}\left(\begin{array}{ccc|c|ccc}\begin{picture}(0,0)
\drawline(-5,10)(51,10)(51,-65)(-5,-65)(-5,10)
\drawline(54,10)(100,10)(100,-65)(54,-65)(54,10)
%%%%%%%%
\drawline(170,0)(175,-25)
\drawline(175,-30)(170,-55)
\end{picture}
1&&&1&&1&1\\
&1&&1&1&&1\\
&&1&1&1&1&\\\hline
&1&1&&&1&1\\
1&&1&&1&&1\\
1&1&&&1&1&
\end{array}\right)\underbrace{\left(\begin{array}{l}
\left.\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right\}\\
\hspace*{2mm}d\\\hspace*{2mm}x\\\hspace*{2mm}y\\\hspace*{2mm}z
\end{array}\right)}_{(3)}~~~\left(\begin{array}{c}\mf{a}\\\mf{x}\end{array}\right)
\]
\begin{itemize}
\item[(1)] "'Kantenbelegg des Tetraeders"'
\item[(2)] dh. $+$ ist als $\cdot$ zu lesen\\[4mm]
$\Box\,\Box=$ Verkettungsmatrizen für $\mf{S}_4$, $P$.- Darst. von Grad $6,4,3$
\item[(3)] "'Eckenbelegg.
\end{itemize}
\begin{gather*}
\mf{A}=\mf{a}+H\mf{x}+d\mf{e},\\ \mf{X}=H\mf{a}+H\mf{x},~~  H:=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix},\mf{e}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
\end{gather*}
Die Umkehrung lautet
\begin{eqnarray*}
2\mf{a}&\eqdot&-H\mf{A}+H\mf{X}+2d\mf{e}, d\text{ frei wählbar}\\
2\mf{x}&\eqdot&H\mf{A}-\mf{X}-2d\mf{e}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
d&\eqdot&A-a-y-z\\
d&\eqdot&B-b-x-y\\
d&\eqdot&Z-a-b-X-Y
\end{eqnarray*}
\[
\begin{pmatrix}\mf{a}\\[5mm]\mf{x}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\b\\c\\x\\y\\z\end{pmatrix}=
\]
"'Eckenbelegg der Tetraederfläche gegenüber $d$"'.
\begin{center}
\unitlength1.6mm
\begin{picture}(0,22)
%\drawline(5,2)(25,2)
\drawline(10,2)(20,2)
%\drawline(25,2)(15,20)
\drawline(22.5,6.33)(17.5,15.7)
%\drawline(15,20)(5,2)
\drawline(7.5,6.33)(12.5,15.7)
\put(5,2){\arc{10}{5.25}{0}}
\put(25,2){\arc{10}{3.14}{4.18}}
\put(15,20){\arc{10}{1.05}{2.05}}
\drawline(15,15)(15,8)
%\drawline(15,8)(5,2)
\drawline(15,8)(9.35,4.25)
%\drawline(15,8)(25,2)
\drawline(15,8)(20.65,4.25)
\put(15,0.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle Z$}}
\put(6,3){\makebox(0,0){$\scriptstyle a$}}
\put(8,4){\makebox(0,0){$\scriptstyle x$}}
\put(11,4){\makebox(0,0){$\scriptstyle y$}}
\put(9,6){\makebox(0,0){$\scriptstyle z$}}
\put(12,6){\makebox(0,0){$\scriptstyle A$}}
\put(18,6){\makebox(0,0){$\scriptstyle B$}}
\put(19,3){\makebox(0,0){$\scriptstyle -x$}}
\put(22,4){\makebox(0,0){$\scriptstyle y$}}
\put(24,3){\makebox(0,0){$\scriptstyle b$}}
\put(20,6){\makebox(0,0){$\scriptstyle z$}}
\put(15,12){\makebox(0,0){$\scriptstyle C$}}
\put(10,14){\makebox(0,0){$\scriptstyle Y$}}
\put(20,14){\makebox(0,0){$\scriptstyle X$}}
\put(14,14){\makebox(0,0){$\scriptstyle x$}}
\put(16,14){\makebox(0,0){$\scriptstyle y$}}
\put(15,16){\makebox(0,0){$\scriptstyle z$}}
\put(15,18){\makebox(0,0){$\scriptstyle c$}}
\end{picture}
\end{center}
Mit der "`Eckensumme"' $e:=a+b+c$\\
Mit der "`Winkelsumme"' $w:=x+y+z$\\
Mit der "`halben Seitensumme"' $S=\frac{1}{2}(X+Y+Z)$\\
Mit der "`Dreikantsumme"' $D=A+B+C$\\
gilt für das Dreieck $ABC$ (als Grundfläche eines Tetr. betr.)
\begin{flushright}60/61\end{flushright}
\item[$23^\prime$] $D\eqdot e+2w+3d$, $S\eqdot e+w$\\
heißt mult: $D=ABC$ und $D=ew^2d^3$, $S=ew$. EWe $\binom{1~2}{1~1}=1\pm\sqrt{2}$ !\\
$S=|\xi\eta\zeta|$; $D-S\eqdot w+3d$, d.h. $\frac{D}{S}=wd^3$
\item[$23^{\prime\prime}$] $e\eqdot-D+2S+3d$, $w\eqdot D-S-3d$, $e=\frac{S^2d^3}{D}$, $w=\frac{D}{Sd^3}$\\[5mm]
Im Fall $q\in\PP$, $q\nmid d$ wird für die Exponentenverteilung zu $q$ $d=0$, also $D=e+2w$ und $S=e+w$\\
Es ist $\xi+\eta+\zeta\eqdot S\eqdot e+w$
\item[FRAGE] $\nu$~~~Frage: $\alpha+\beta=\gamma=$?\\
Es ist $2(|\alpha|+|\beta|+|\gamma|)\eqdot D$\\
Als Monome in $a$, $\ldots z$ sind $A\ldots Z$ vom Grad $4$, Gr$\,S=$ Gr$\,D=12$.
\item[Ansatz] Jedes $\mf{q}\in\PP$, $\mf{q}_\rho|q$ macht aus einer Inv. Beleg eine neue
\item[24] Ist $\begin{pmatrix}\mf{A}\\\mf{X}\end{pmatrix}\ge0$ und $=0$ auf einem Gegenseitenpaar, etwa $A=X=0$, so $a=y=z=d=b=c=0$, $B=C=Y=Z=x$.\\
Es gibt zwei Typen von minimalen $\begin{pmatrix}\mf{A}\\\mf{X}\end{pmatrix}$, $(0~1~1~0~1~1)$ und $(1~1~1~0~0~0)$\\
Man kann eine Belegung in Primfaktoren zerlegen, diese einzeln drehen und neu zusammensetzen.
\begin{flushright}61/62\end{flushright}
\begin{center}$p$\end{center}
Kann man bei $G\in\mf{G}_p$ aus $4$ Invarianten eines Tetraeders das $p$ bestimmen?
\item[Formel 25] Die sämtlichen Umlaufs-Beziehungen zwischen $\alpha\cdots \zeta$ lassen sich unter Benutzung von $\zeta\overline{\zeta}=X$ usw. additiv so schreiben: Mit
\[
\Xi=\begin{pmatrix}\xi\\\eta\\\zeta\end{pmatrix}, \mathcal{A}_{\text{(lpha)}}=\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\\\gamma\end{pmatrix},R=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}
\]
gilt
\[
\Xi+(R-R^2)\mathcal{A}\eqdot R\mf{a}+R^2\mf{x},~~~\mathcal{A}+\overline{\mathcal{A}}=\mf{A},~~\Xi+\overline{\Xi}=\mf{X}
\]
Durch Addition ergibt sich eine \underline{neue} Beziehung für die speziellen, d.h. durch $\xi\overline{\xi}=X$ usw darstellbaren Invarianten und zwischen ihren Quellen:
\[
\Xi-\overline{\Xi}=(R^2-R)(\mathcal{A}-\overline{\mathcal{A}})
\]
\item[26] 
\[
\mf{X}+(R-R^2)\mf{A}=2R\mf{a}+2R^2\mf{x}
\]
Dazu tritt 22: $\mf{A}=\mf{a}+(R+R^2)\mf{x}+d\mf{e}$, $\mf{X}=(R+R^2)(\mf{a}+\mf{x})$\\
Das gibt durch Einsetzen in 26 leider nun $0=0$, also folgt $26$ aus $22$. Neu ist aber aus 25:
\item[26]
\(
\Xi-\overline{\Xi}\eqdot\begin{pmatrix}0&-1&1\\1&0&-1\\-1&1&0\end{pmatrix}(\mathcal{A}-\overline{\mathcal{A}})
\)
d.h. z.B.
\[
\frac{\xi}{\overline{\xi}}=\frac{\overline{\beta}}{\beta}\cdot\frac{\gamma}{\overline{\gamma}},
\]
d.h. $\xi\beta\overline{\gamma}=\overline{\xi}\,\overline{\beta}\gamma$, was trivial ist.
\begin{flushright}62/63\end{flushright}
\newpage
\begin{center}$p$\end{center}
\item[27] Formel 22 lautet nach Einführung von
\[
\mf{d}:=\mf{a}+\mf{x}, \mf{D}=\mf{A}-\mf{X}~~\text{statt }\mf{x},\mf{A}:
\]
\[
\begin{array}{cccccc}
\mf{A}&=&(H-1)\mf{a}-d\mf{e}&,2\mf{a}&=&H\mf{D}+2d\mf{e}\\
\mf{X}&=&HA&,2A&=&(H-1)\mf{X}
\end{array}
\]
Nützlich: $H(H-I)=2I$\\
Noch einfacher: mit $\widetilde{\mf{A}}=\mf{X}-\mf{A}$, $\widetilde{\mf{a}}=\mf{a}-d\mf{e}$, $\widetilde{\mf{x}}=\mf{x}+\mf{a}:\widetilde{\mf{X}}=\mf{X}:$\\
Neufassung von 22:
\item[28]
\[
\begin{array}{cccccc}
\widetilde{\mf{A}}&=&(H-1)\widetilde{\mf{a}}&,2\widetilde{\mf{a}}&=&H\widetilde{\mf{A}}\\
\widetilde{\mf{X}}&=&H\widetilde{\mf{x}}&,2\widetilde{\mf{x}}&=&(H-1)\widetilde{\mf{X}}
\end{array}
\]
Durch Multipl. mit den EV $\mf{e}^\prime=(1~1~1)$ und $\mf{f}^\prime=(1~-1~0)$ von $H$ folgt:
\item[29] $(X+Y+Z)-(A+B+C)=(a+b+c)-3d$,\\ $X+Y+Z=2[(x+y+z)+(a+b+c)]$
\[
\left.\begin{array}{c}
(X-Y-A+B)=-2(a-b)\\X-Y=-(x+a-y-b)
\end{array}\right\}\text{ und zyklisch }
\]
\hspace*{10cm}G
\begin{flushright}63/64\end{flushright}
\item[30] Zu jeder Belegung $(abc,d,xyz)$ gehört die "`duale"' $(\cdots)\overset{\ast}{=}(xyz;d;abc)$\\
Sie hat die gleichen Invarianten auf den Dreieckseiten, also $\widetilde{X}=X$ usw., aber die Inneninvarianten sind anders; z.B. $\widetilde{A}=bcdx$.\\
Durch diesen Übergang kann man z.B. $a\le x$ erwzingen.
\item[31] Alle Paare $p,j$ mit $j\in\{\frac{k(p-k)}{p-1}|k\in\NN\}$ erhält man so: Wähle $j\in\NN$, zerlege
\[
j(j-1)=dt
\]
und setze 
\[
p:=2j+d+t=j^2+j+1-(d-1)(t-1)
\]
\item[Cor. $31^\prime$] Es ist $4j-1\le p\le j^2+j+1$.\\
Bew: 
\[
j=\frac{p^2-(d-t)^2}{4(p-1)}=\frac{(j+d)(j+t)}{p-1}; s=t-d,k=j+d
\]
daher $j>\sqrt{p}-1$
\item[Frage] Wird mit dieser Parameterdarstellung die $j^\prime$-Formel 53.6 durchsichtig?
\item[32] $j$ ist stets Invariante zu den extremen $p=4j-1$, $j^2+j+1$. Falls $p\in\PP$, ist
\[
\begin{cases}
(j^2+j+1,&(d-1)(t-1)=1,\text{ falls }(d-1)(t-1)>0\\
(j,d,t)=1, &(d,t)^2|j-1
\end{cases} 
\]
Falls $p\equiv1~~(2)$, ist $(d,t)\equiv1\mod 2$
\begin{flushright}64/65\end{flushright}
\begin{center}$p$\end{center}
5.10.78\\
Für jedes $z\in\ZZ$ ist
\item[33] 
\begin{eqnarray*}
pz&=&j^2+(2z-1)j+z^2-(d-z)(t-z)\\
\text{ insb. }-p&=&j^2-3j+1-(d+1)(t+1)
\end{eqnarray*}
daher ist bei $p\in\PP$ stets
\[
\bigg((d+1)(t+1),j^2-3j+1\bigg)=1
\]
Ebenso ist wegen $-2p=(j-4)(j-1)-(d+2)(t+2)$,
\[
\text{bei }p\in\PP\text{ stets }\bigg((j-4)(j-1),(d+2)(t+3)\bigg)\leqq2,
\]
was im Fall $j\equiv1\mod 3$ zu $d\equiv2\mod 3$ führt.\\[5mm]\mbox{}
\item[15.10~~34] Es kommt vor, dass $j_1|j_3$ ist:\\
$p=911$, $p-1=35\cdot26\Rightarrow j_1=93$, $p-1=130\cdot 7\Rightarrow j_2=2\cdot 93$
\[
\left[p=7~~\frac{7^2-1^2}{4\cdot 6}=2\cdot\frac{(7^5-5^2)}{4\cdot 6}\text{ Halt: Hier ist $j_1=1$!}\right]
\]
Zu prüfen ist nun, ob es vorkommen kann, daß ein $j_3$ durch zwei verschiedene $j_1\not=j_2$ teilbar ist.\\
Zu gegebenem $d$ wird man die allgemeinste Lösung von $p^2-x^2=d(p^2-y^2)$ quadratisch in ganzz. Parametern darstellen können, z.B. für $d=2$: Wähle $r,s:0<r<s<\sqrt{p}$, $r<s(2-\sqrt{2})$, $p=2s^2-r^2$. Dann
\[
\begin{cases}
x:=&r^2+2s^2-2rs\\y:=&r^2+2s^2+s
\end{cases}
\]
Lsg von $p^2-x^2=2(p^2-y^2)$, $0<x<y<p$; $x,y\equiv1(p)$\\
Anl.: Zu $\QQ(\sqrt{d})$ $p=gg^\prime:\exists\rho\in g:\rho=r+s\sqrt{d}$, $|r|,|s|\le\sqrt{q}$
\begin{flushright}65/66\end{flushright}
\begin{center}$p$\end{center}
17.10.78
\item[Hilfsatz 35] Die Tripel $(x,y,z)\in\NN^3$ mit
\[
x^2+z^2=2y^2,~~~x<y<z,~~~(x,y,z)=1
\]
(besteht nur aus ungeraden Zahlen und) entsprechend eineindeutig den $(a,b)\in\NN^2$ mit
\[
0<a<b(2-\sqrt{2}),~a\equiv1\mod 2
\]
vermöge
\[
\begin{cases}
x=&2(b-a)^2-a^2=(2b-a)^2-2b^2\\
y=&(b-a)^2+b^2\\
z=&2.b^2-a^2
\end{cases}
\]
\[
(z,x-y\sqrt{2})=(a-b\sqrt{2})~~~(a,b)\not=(0,0)~~0\le a\le n,|b|\le n
\]
Bew: $\zeta:=x-y\sqrt{2}$, $\zeta\zeta^\prime=-z^2$, $j:=(z,\zeta)$, $(\zeta,\zeta^\prime)=1$, $(z)=\mf{z}\mf{z}^\prime$, $(\mf{z},\mf{z}^\prime)=1$
\begin{flushright}66/67\end{flushright}
\item[36] Nie ist $j_1j_2=j_3$, wenn $j_\nu=\frac{p^2-s_\nu^2}{4(p-1)}, j_1\le j_2<j_3$\\
\makebox[0pt][r]{12.11.78~~}\\[-2.5ex]
(vgl. XI 198(16))~~Einfacher und allgemeiner (38)\\
Bew: Sonst $0<s_\nu<p$, $s_\nu\equiv 1(2)$\\
Kürzer $36^\prime$
\begin{gather*}
s_1^2s_2^2\equiv 4s_3^2~(p)\\
s_1s_2=2\sigma s_3+\mu p,~~\sigma=\pm1,~~2\nmid\mu\\
\text{\textcircled{$\ast$}}~~(p^2-s_1^2)(p^2-s_2^2)=4(p-1)(p^2-s_3^2)\text{ gibt}\mod p^2\text{ gelesen:}\\
s_3+\sigma\mu\equiv0~~(p),\text{ also auch }\mod 2p\\
\text{Aber }\mu=\frac{s_1s_2-2\sigma s_3}{p}\text{ gibt }0<\mu<p,\text{ daher }\\
|s_3+\sigma\mu|<2p,~~~s_3+\sigma\mu=0,~~~\sigma=-1,\mu=s_3\\
s_1s_2=(p-2)s_3.\text{ Dies in \textcircled{$\ast$} ergibt}
\end{gather*}
\begin{eqnarray*}
(p-2)^2+s_3^2&=&s_1^2+s_2^2\\
(s_1-s_2)^2&=&(p-2)^2+s_3^2-2(p-2)s_3=(p-2-s_3)^2\\
s_1-s_2&=&p-2-s_3~.-1\\
\text{ Ebenso }s_1+s_2&=&p-2+s_3~~.1\\
s_2&=&s_3~~\text{Wid.}
\end{eqnarray*}
\item[$36^\prime$] Kürzerer Beweis: Nach $64\cdot31^\prime$ wäre
\[
p-1\le j_1(j_1+1)\le j_1j_2=j_3\le\frac{p+1}{4}
\]
\item[37] Nie ist $j_1j_2=4j_3$\\
Bew: $j:=j_1<j_2$\\ 
Falls $p<j^2+j+1$, so
\[
\begin{cases}
p\le2j+2+\frac{j(j-1)}{2}=\frac{j^2+3j+4}{2}~~64\cdot31\\
j\le3
\end{cases}
\]
Falls $p=j^2+j+1$, so $j_2=j+1$, $p=2(j+1)+d+b$, $2\le d|j(j+1)$, $j^2\le 3j+5$, $j\le 4$. In jedem Fall
\[
p\le13,p-1=2q+\beta\text{ Wid.}
\]
\hspace*{10cm}G
\begin{flushright}67/68\end{flushright}
\begin{center}$p$\end{center}
17.11.78
\item[38] Aus $j_1j_2=j_3j_4$ $(j_\nu\ge1)$ folgt bei pass. Numerierung: $j_1=j_3$, $j_2=j_4$.\\
NB: $j=1$ kommt von $s=p-2$.\\
Bew: Sei $(p^2-s_1^2)(p^2-s_2^2)=(p^2-s_3^2)(p^2-s_1^2)$, oBdA $p>2$, und etwa $p>s_1\ge s_2>0$, $p>s_3\ge s_y>0$. $s_i$ ungerade
\[
p^2|s_1^2s_2^2-s_3^2s_4^2=(s_1s_2+s_3s_4)(s_1s_2-s_3s_4)
\]
\begin{itemize}
\item[Fall I:] $p|s_2s_2-s_3s_4$. Wegen $p>2$ ist $p\nmid s_{12}+s_3s_4$\\ $p^2|s_1s_2-s_3s_4=:S$~~~$-p^2<S<p^2$~~~$S=0$\\
$s_1s_2=s_3s_4$~~~$p^2-s_1^2-s_2^2=p^2-s_3^2-s_4^2$\\
$(s_1\pm s_2)^2=(s_3\pm s_4)^2$\\
$s_1\pm s_2=s_3\pm s_2$; $s_1=s_3$.
\item[Fall II:] $p| s_1s_2+s_3s_4$. Dann $p^2| s_1s_2+s_3s_4<2p^2$\\
$s_1s_2+s_3s_4=p^2$~~~$\mod 2: 1+1\equiv p^2$ Wid.
\end{itemize}
\begin{flushright}68/69\end{flushright}
\begin{center}$p$\end{center}
\item[19.11.78~~39] Aus
\[
\bigstar\begin{cases}
j_1j_2=z^2j_3\\z|(j_1,j_2)
\end{cases}
\]
folgt mit $j:=\frac{b^2-s_0^2}{4(p-1)}$ $s_0:=p-2$:\\
\makebox[0pt][r]{stets $(\nu,z)=1$~~}
\mbox{}\\[-11.5mm]\mbox{}
\begin{gather*}
\text{\textcircled{$\ast$} }zs_0s_3=\delta s_1s_2+\nu p^2,\text{ daher }2\equiv 1+\nu\mod 2,\delta=\pm1,z|\nu^2-1\\
\text{Damit ist }\underline{\nu^2\equiv1\mod z},\text{ denn }s_i^2\equiv p^2(z.4(p-1)),\text{ also}\\
p^4\underset{z}{\equiv}s_1^2s_2^2\underset{z}{\equiv}\nu^2p^4;\text{ und es ist, wenn }z>0,\\
z>1,\text{ also }\nu\not=0,\text{ also }\sgn \nu p^2=\sgn zs_0s_3=+1\\
\underline{1\le \nu\le z-1},\text{ daher }\nu=1\text{ oder }\nu^2\ge z+1, \nu>\sqrt{2}\\
z|\delta s_n+\nu s_2, (s_2-s_1)(\nu-\delta)
\end{gather*}
\item[$39^\prime$] Falls $\underline{z=q^\beta>1}$, $2<q\in\PP$, so ist $\nu\not=1$, da $z$ ungerade, also  ist $\nu=z-1$, denn $q^\beta|(\nu+1)(\nu-1)$.\\
Es folgt weiter aus
\[
s_2-\delta s_1=2tz
\]
und durch Rückgriff auf $\bigstar$
\[
s_0-s_3=2t,~~p^2-s_0s_3=(x+y)(2p-2)+2t_2^2\text{ mit }j_1=yz,j_2=xz
\]
\item[FORTS.:] $76.51^\ast$, $79.56$~~~~$p-1\big|t(t+1),t(z-1)$~~~$j_3=\frac{(t+1)(p-t-1)}{p-1}$
\item[$39^{\prime\prime}$] $z=2\beta>1\Rightarrow \nu=z-1\text{ oder }\nu=1$ Bew. unten
\item[$39^{\prime\prime\prime}$] Sei $\nu=1$. Aus \textcircled{$\ast$} folgt jetzt $z=2\zeta$, $p-1\big|4\zeta^2(\zeta^2-1)$.
\item[Bew. $39^{\prime\prime}$] zu $39^{\prime\prime}$: Bei $q=2$ ist $2^\beta\big|\delta s_1s_2+\nu p^2$, $2\big|\delta s_1s_2-p^2$, $2^{\beta+1}\big|s_1^2s_2^2-\nu^2p^2$ und $2z\big|p^2-s_1^2$, $p^2-s_2^2$, also $\nu^2\equiv1$ mod $2^{\beta+1}$, $2^\beta\big|\nu\pm1$
\begin{flushright}69/70\end{flushright}
\begin{center}$p$\end{center}
\item[19.11.78~~~40] Nie ist $j_1j_2=9j_3$, $3\big|(j_1,j_2)$\\
Wahr für $p<20$, weiter sei $p>20$. Sonst\\ 
(39) $3s_3s_0=\delta s_1s_2+2p^2$~~~$(s_0=p-2)$ $\underline{s_1s_2\equiv-8\delta\mod p-2}$.\\
mod $4(p-1)$ ist $9p^2\cdot p^2\equiv p^2\cdot p^2+4\delta s_1s_2+4p^4$\\
mod $p-1$ ist $s_2s_2\equiv \delta$\\
$s_1s_2\equiv\delta\mod p-1$. Also
\begin{eqnarray*}
s_1s_2&=&\delta+m(p-1)~~~~~m>0\\
&=&-8\delta+n(p-2)
\end{eqnarray*}
\[
\boxed{n(p-2)=m(p-1)+9\delta}
\]
\begin{itemize}
\item[Fall I:] $n\le m-1$, $n(p-2)\ge(n+1)(p-1)+9\delta,~~p-1\le{}_-\delta\text{ Wid.}$
\item[Fall II:] $n\ge m+1\Rightarrow m(p-1)+9\delta\ge(m+1)(p-2)$\\
$m\ge p-2- 9\delta,\delta=1;m\ge p-11$
\begin{eqnarray*}
s_1s_2&\ge&1+(p-11)(p-1)\\
&=&(p-4)(p-7)-16
\end{eqnarray*}
Da $s_1<s_2\le p-4$, ist $s_1\ge p-7-\frac{16}{p-7}>p-8$\\
bleibt nur möglich $s_1=p-6$, $s_2=p-4$\\
Das widerspricht $s_1s_2\equiv 1\mod (p-1)$, denn mod $p-1$ ist\\ $(p-4)(p-6)\equiv -3.-5=15\not\equiv 1~~(p-1)$
\begin{flushright}70/71\end{flushright}
\begin{center}$p$\end{center}
\item[Fall III:] $m=n$
\begin{gather*}
\Box\text{ gibt }m=-9\delta,\delta=-1,m=n=9.\\
\underline{s_1s_2=-1+9(p-1)=9p-10}\\
3s_3(p-2)=s_1s_2+2p^2\text{ gibt nun}\\
\underline{3s_3=2p-5}\\
9s_3^2=4p^2-20p+25\\
\mod36(p-1)\text{ ist }0\equiv9(p^2-s_3^2)=5p^2+20p-25\\
0\equiv5(p^2+4p-5)=5(p+5)(p-1)\\
\mod36:~~~0\equiv5(p+5)~~~\underline{p\equiv-5\mod 36}\\
p\equiv-1\mod4\\
p=-1+4r\\
\text{ Aus }(p^2-s_1^2)(p^2-s_2^2)=9(p^2-s_3)^2(p^2-s_0^2)\text{ folgt }\\
s_1^2+s_2^2=p^2-20p+21\text{ mit }s_1s_2=9p-10\\
\text{also }(s_1+s_2)^2=p^2-2p+1\\
s_1+s_2=p-1\text{ mit }s_1s_2=\cdots\\
\text{wird }s^2-(p-1)+9p-10=0,\\
s_{1,2}=\frac{p-1}{2}+\sqrt{\big(\frac{p-19}{2}\big)^2-80}=\frac{p-1}{2}+2\sqrt{(r-5)^2-20}\\
x^2-20=y^2\text{ hat nur Lsg }\frac{x+y}{2}=5,\frac{x-y}{2}=1,\\
\text{gibt }s_{1,2}=13,29;p=43\not\equiv-5~~(36)\text{ Wid.}
\end{gather*}
\begin{flushright}71/72\end{flushright}
Untersuchung von $\nu=1$:\\
Vor: $\nu=1$ also $2|z$.
\item[41]Ist $\begin{cases}zs_0s_3=\delta s_1s_2+p^2\\j_1j_2=z^2j_3\end{cases}$ sonst $4\nmid z$. Genauer: Ist $2|z|\ofrac{\displaystyle j_1}{\displaystyle j_2}$, so ist $z=2\zeta$ mit $\zeta$ ungerade, $\zeta s_0s_3\equiv1\mod 4$,\\ also $5(p-2)s_3\equiv 1~(\mod4)$, $\delta s_1s_2\equiv1~~(\mod 8)$\\
Bew: $8z|j_1(4p-4)=p^2-s_1^2$
\begin{eqnarray*}
8z|p^2(p^2-s_1^2)+s_1^2(p^2-s_2^2)&=&p^4-s_1^2s_2^2\\
&=&(p^2-\delta s_1s_2)(p^2+\delta s_1s_2)\\
&=&(p^2-\delta s_1s_2)zs_0s_3\\
8\big|p^2-\delta s_1s_2~~~1&\equiv&\delta s_1s_2; zs_0s_3\underset{8}{\equiv}2
\end{eqnarray*}
Ebenso, genauer:
\end{itemize}
\item[$41^\prime$]Sei $j_1j_2=z^2j_3$, $2|z|j_{1,2}$,
 $zs_0s_3=\overset{ \substack{\text{Vor.: }\nu=1~!\\ ~~~~\updownarrow}}  { \delta s_1s_2+p^2 }$; dann ist $z=2\zeta$,
\[
\begin{cases}
\zeta s_0s_3\equiv p^2\mod 2^{\alpha+1}\\
s_1s_2\equiv\delta p^2\mod 2^{\alpha+2}
\end{cases}, \text{ wenn }2^\alpha\big|p-1.
\]
\item[42] $\nu=1$, $j_1j_2=z^2j_3\Rightarrow z\not=2^n$, 72(41)~~67(37)
\item[43] Identität: $(p^2-s_1^2)(p^2-s_2^2)-p^2(2p^2-s_1^2-s_2^2)=-p^4+s_1^2s_2^2$\\
d.h: $j_1j_2(p^2-s_0^2)^2-p^2(j_1+j_2)(p^2-s_0^2)=-p^4+s_1^2s_2^2$\\
also, \underline{falls $\nu=1$:} $=-zs_0s_3(p^2-\delta s_1s_2)$\\
Allgemeiner: 45 $\otimes$
\begin{flushright}72/73\end{flushright}
\begin{center}$p$\end{center}
\item[44] $z^2(p-s_0)^2j_3+zs_0(p^2-\delta s_1s_2)=p^2(j_1+j_2)(p^2-s_0^2)$\\ 
wenn $j_1j_2=zj_3$, $\nu=1$ in $zs_0 s_3=\delta s_1s_2+\nu p^2$\\
Ende der Untersuchung von $\nu=1$
\item[45] Aus $j_1j_2=z^2j_3$, $zs_0s_3=\delta s_1s_2+\nu p^2$ (39) folgt
\begin{eqnarray*}
\nu^2&\equiv&(j_1-1)(j_2-1)\mod~(p-2)z\\
&\equiv&(k_1-1)^2(k_2-1)^2\mod~(p-2)
\end{eqnarray*}
Bew: $zs_0s_3=\delta s_1s_2+\nu p^2$ : $\nu p^2-\delta s_1s_2=2\nu p^2-zs_0s_3$\\
\makebox[0pt][r]{$\otimes$~~~} $zs_0s_3\cdot\overbrace{(-zs_0s_3+2\nu p^2)}^{-\delta s_1s_2+\nu p^2}=\nu^2p^4-s_1^2s_2^2$\\
$\underset{43}{=}(\nu^2-1)p^4+p^2(j_1+j_2)(p^2-s_0^2)-j_1j_2(p^2-s_0^2)^2$
\[
\mod s_0z\text{ also: }0\equiv p^4(\nu^2-1+j_1+j_2-j_1j_2).
\] 
\item[Kor. $45^\prime$] 45 verschärft 39: $z|\nu^2-1$ schon wenn $z|j_1+j_2$.
\item[46] Ist $q\in\PP$, $q^\alpha\top z$, $\begin{cases}q>2\text{ oder }\\\alpha\ge 2,\end{cases}$ so ist $q^\alpha\top \nu-\varepsilon$, wenn $q|\nu-\varepsilon,q>2$ bzw. $4|\nu-5$ Bew 45 $\otimes$
\item[$45^{\prime\prime}$] Genauere Fassung von 45:\\
mod $s_0^2 z$ ist $2\nu zs_0s_3\equiv p^2\big(\nu^2-(j_1-1)(j_2-1)\big)$\\
Bew $\otimes$ Also:
\begin{gather*}
\mod s_0(:=p-2):2\nu s_3\equiv p^2\cdot\frac{\nu^2-(s_1-1)(j_2-1)}{zs_0}\\
\text{daher }\mod p-2: \nu s_3\equiv 2\frac{\nu^2-(j_1-1)(j_2-1)}{zs_0}\\
\text{ daher }\mod s_0^2z: \nu zs_0s_3\equiv 2[\nu^2-(j_1-1)(j_2-1)]
\end{gather*}
\begin{flushright}73/74\end{flushright}
\item[46] $j_1j_2=z^2j_3$, $z|j_1+j_2\Rightarrow$
\[
(z_3s_3-\nu_3s_0)^2\equiv s_0^2\mod z\cdot(4p-4)
\]
also
\[
z(4p-4)\big|(zs_3-(\nu+1)s_0)(zs_3-(\nu-1)s_0)
\]
Bew 45 $\otimes$
\item[47] Die Gleichung XIII.74.6 lautet jetzt:
\[
j_1+j_2+\nu^2-z^2=j_3^\prime=\frac{p^2-(zs_3-\nu s_0)^2}{p^2-s_o^2}
\]
Es ist $j_3^\prime\equiv 1+j_1j_2\mod zs_0$. Stets ist $|s_3^\prime|\leqq\frac{s_1s_2+\nu(4p-4)}{p-2}<2p$ also schlimmstenfalls ist $|s_3^{\prime\prime}|=|s_3^\prime-(2p-2)|<p$\\
Es ist
\[
s_3^\prime=\delta(zs_3-\nu s_0)=\frac{s_1s_2+\delta \nu(4p-4)}{p-2}
\]
$\delta=-1\Rightarrow|s_3^\prime|<p$\\
$\delta=+1\Rightarrow \nu <\frac{zs_0s_3}{p^2}<\frac{z(p-2)(p-4)}{p^2}$
\begin{flushright}74/75\end{flushright}
\newpage
\begin{center}$p$\end{center}
\item[48] In den Gleichungen zu einem Dreieck $s_0z_\rho s_\rho=\delta_\rho s_{\rho-1}s_{\rho+1}+\nu_\rho p^2$ $(\rho=1~2~3\text{ zykl.})$ haben alle $\delta_\rho$ den gleichen Wert $\delta$.\\
Bew:
\[
\begin{array}{ccc|c}
s_0z_1s_1&=&\delta_1 s_2s_3+\nu_1 p^2&\cdot s_1\\
s_0z_2s_2&=&\delta_2s_1s_3+\nu_2p^2&\cdot -s_2
\end{array}
\]
\[
s_0(z_1s_1^2-z_2s_2^2)=(\delta_1-\delta_2)s_1s_2s_3+p^2(\nu_1s_1-\nu_2s_2)
\]
aber
\[
\underline{z_1s_1^2-z_2s_2^2=(z_1-z_2)p^2}
\]
denn
\[
z_1(p^2-s_1^2)=(4p-4)\cdot z_1j_1=(4p-4)\underbrace{z_2j_2}_{z_1z_2z_3}=z_2(p^2-s_2^2)
\]
Also
\[
z_1s_1^2-z_2s_2^2\equiv0~~(p^2),~~~(\delta_1-\delta_2)s_1s_2s_3\equiv 0~~(p^2).
\]
Kurz: mod $p^2$ ist $(\delta_1-\delta_2)s_1s_2s_3\equiv s_0(z_1s_1^2-z_2s_2^2)\equiv0$\\
obige Rechnung ergibt mit $\delta_1=\delta_2$ nun:
\item[49]
$\underline{\nu_1s_1-\nu_2s_2=(p-2)\cdot(z_1-z_2)}$\\
$\underline{z_1s_1^2-z_2s_2^2=p^2\cdot(z_1-z_2)}$\\
$p^2(\nu_1s_1-\nu_2s_2)=(p-2)(z_1s_1^2-z_2s_2^2)$
\item[50] mod $q$ ist $p\equiv\pm s_1$, wenn $2\nmid q^\alpha\mid j_1$
\begin{flushright}75/76\end{flushright}
\item[Satz 51\begin{picture}(0,0)\put(-37,-10){22.11.78}\end{picture}] In jedem Dreieck ist mit $s_0:=p-2$%\\
\begin{itemize}
\item[(a)]$m:=s_0z_\rho-s_\rho \nu_\rho$ unabhängig von $\rho\in\{1,2,3\}$
\item[(b)]und mit passendem $n\in\NN$: $\nu_\rho^2-1=z_\rho(z_\rho-n)$ unabhängig von $\rho\in\{1,2,3\}$
\end{itemize}
Bew: Nach 45 ist
\begin{gather*}
s_0s_3(\nu_3p^2-\delta s_1s_2)=\frac{\nu_3^2-1}{z_3}p^4+\\
p^2(p^2-s_0^2)(z_1+z_2)-(p^2-s_0^2)z_1z_2z_3
\end{gather*}
Sammle links die symmetrischen Glieder (nach Addition von\\ 
$\pm p^2(p^2-s_0^2)z_3$ rechts):
\begin{gather*}
-s_0\delta s_1s_2s_3-p^2(p^2-s_0^2)(z_1+z_2+z_3)+(p^2-s_0^2)^2z_1z_2z_3\tag*{$\hspace*{-5mm}\otimes$}\\
=-p^2 s_0\cdot s_3\nu_3+\frac{\nu_3^2-1}{z_3}p^4-p^2(p^2-s_0^2)z_3
\end{gather*}
Ersetze rechts $3$ durch $\rho$ bzw. $z$, setze gleich, div. $:p^2$:
\[
\lozenge~~~~~~~~-s_0s_3\nu_3+\frac{v_3^2-1}{z_3}p^2-p^2z_3+s_0^2z_3=\ldots~(\rho)\ldots
\]
mod $p^2$ ist also
\begin{gather*}
-s_0s_3\nu_3+s_0^2z_3\equiv-s_0s_\rho \nu_\rho+s_0^2z_\rho\\
-s_3\nu_3+s_0z_3\equiv-s_\rho \nu_\rho+s_0z_\rho
\end{gather*}
beides $|~~|<p^2$?~~~~~$=$ (a) Kürzer $\nearrow$\\
Aus $\lozenge$ folgt nun 
\[
\frac{\nu_3^2-1}{z_3}-z_3=\frac{\nu_\rho^2-1}{z_\rho}-z_\rho=:-n
\]
Es ist
\[
n=\frac{1+z^2-\nu^2}{z}>0,\text{ also }n\in\NN.
\]
\item[$51^\ast$]$0<n<z$; $\forall_\rho:[n=2\iff \nu_\rho=z_\rho-1]$
\begin{flushright}76/77\end{flushright}
\begin{center}$p$\end{center}
\item[$51^\prime$] Ansatz zu einem vielleicht kürzeren Beweis von 51(b):
\begin{gather*}
j_1(p^2-s_2^2)=j_2(p^2-s_1^2)\\
z_2(p^2-s_2^2)=z_1(p^2-s_1^2)
\end{gather*}
\item[$51^{\prime\prime}$]
\(
\underline{z_1s_1^2-z_2s_2^2=p^2(z_1-z_2)}~~~z_1s_1^2\underset{p^2}{\equiv}z_2s_2^2
\)
Aber
\begin{eqnarray*}
s_0z_1s_1^2&=&\delta s_1s_2s_3+\nu_1s_1p^2
\end{eqnarray*}
\[
\underline{s_0z_2s_2^2=\delta s_1r_2s_3+\nu_2s_2p^2}
\]
also
\begin{gather*}
s_0p^2(z_1-z_2)=s_0(z_1s_1^2-z_2s_2^2)=~p^2(\nu_1s_1-\nu_2s_2)\\
s_0(z_1-z_2)=\nu_1s_1-\nu_2s_2\\
s_0z_1-\nu_1s_1=s_0z_2-\nu_2s_2~~\cdot~~\text{ Das ist 51(a)}.
\end{gather*}
\item[52] mod $p^2$ gilt $s_0(z_1z_2z_3-z_1-z_2-z_3)+2m\equiv 0$,\\ 
mod $s_0$ gilt\\ $[z_1z_2z_3-z_1-z_2-z_3]+n\equiv 0$\\
Def. $[$von $m$ und $n$$]$: (51)\\
Genauer steht's in 53\\[5mm]
Bew 51 $\otimes$ Zusammen mit den aus
\[
s_0z_1s_1=\delta s_2 s_3+\nu_1p^2
\]
usw. folgenden
\[
\frac{s_0^3z_1z_2z_3-\delta s_1s_2s_3}{p^2}=p^2\cdot\frac{p^2\nu_1\nu_2\nu_3+\delta(\nu_1\nu_2s_1s_2+\cdots)}{s_1s_2s_3}+(\nu_1s_1+\cdots)
\]
gibt
\begin{gather*}
p^2s_0\frac{p^2\nu_1\nu_2\nu_3+\delta(\nu_1\nu_2s_1s_2+\cdots)}{s_1s_2s_3}+s_0(\nu_1s_1+\cdots\\ =s_0m-p^2n+(p^2-s_0^2)(z_1+\cdots)+(2s_0^2-p^2)z_1z_2z_3
\end{gather*}
mit 51 a gibt das
\begin{flushright}77/78\end{flushright}
\item[53]
\begin{gather*}
\underbrace{(2s_0^2-p^2)}_{p^2-8p+8}[z_1z_2z_3-(z_1+z_2+z_3)]+4s_0m-p^2n\\ =p^2s_0\underbrace{\frac{p^2\nu_1\nu_2\nu_3+\delta(\nu_1\nu_2s_1s_2+\cdot+\cdot)}{s_1s_2s_3}}_{a\in\NN}
\end{gather*}
$|a|$ $\le\frac{z_1z_2z_3}{s_0}\lesssim\frac{1}{8}\sqrt{p}$, $p^2\nu_1\nu_2\nu_3<\frac{1}{8}\sqrt{p}\,s_1s_2s_3$, $s_1s_2s_3>8p^{3/2}\nu_1\nu_2\nu_3$, $\prod\frac{s_i}{\nu_i}>8p^{3/2}$\\
Mit 47 verbinden!\\[5mm]
Frage: Bedeutung der "`Determinanten"' wie $s_0z_\rho-s_\rho \nu_\rho=s$, $z_1z_2z_3-(z_1+z_2+z_3)^2$?\\
mod $p^2-c^2$ rechnen $(c\in\NN)$\\
Modul $p^4$ Vorschlag Knapp: $p$-adik
\item[54] Den gleichen quadratischen Restcharakter mod $p^2$ haben alle drei $s_\rho^2$: und sogar alle $s_\rho^2$, wenn $p\equiv1\mod 4$.\\
Bew: $z_1s_1^2\equiv z_2s_2^2~~(p^2)$ und $z_1^u\equiv 1$ wenn $p-1=u\cdot 2^\alpha$
\begin{flushright}78/78a\end{flushright}
$[$Eingeklebtes Blatt mit Seiten 78a, 79a$]$\\
25.8. von Stenorette abgeschieben:\\
$[$Die folgenden Ausführungen über den Subnormalisator sind mit Bleistift durchgestrichen.$]$\\
Subnormalisator $\text{Sn}_G(A)$:\\ 
Man kann verlangen $\text{Sn}_G(A)\cap\text{ Sn}_G(B)\le\text{ Sn}_G(A\cap B)$ und vielleicht $U,V\le\text{ Sn}_G(A)$, $UV=VU\Rightarrow UV\le\text{ Sn}_G(A)$.\\
\underline{Maximale Ugr, sn Kerne:} $A\le M_i\lessdot G$, $A\text{ sn }G\Rightarrow A^G\le M_i$, wenn also $A\text{ sn }M_i\lessdot G~(i=12)$, $M_1M_2=G$, so $A^G\le M$.\\
$M_i\lessdot G$ $D=\cap M_i$ $\Rightarrow D_{\cdot\cdot G}=D_G$.\\
$\forall~~M_i$ zweitmaximal in $G$ $\Rightarrow ~~D_{\cdot\cdot G}$ hat Defekt $\le2$ in $G$.
\[
B\lessdot A\le G\Rightarrow B_{\cdot\cdot G}\unlhd A.
\]
$S\in\anmerk G$;
\[
S\text{ sn }\ofrac{A}{B}\lessdot G\Rightarrow\begin{cases}S_A\text{ oder }S_B~~~ pq\text{-Gruppe}\\\text{ oder }\mathcal{N}_G(S)\le A\cap B\end{cases}
\]
$S$ maximal und $S\text{ sn }G$, $S\le\,\,\underset{B}{\overset{A}{\not=}}\lessdot\,\,G$, $AB=BA\Rightarrow S\unlhd G$.\\
$A\not=B$, $\ofrac{A}{B}\lessdot G$; $S\in\text{ sn }A\cap\text{ sn }B\Rightarrow S_A$ oder $S_B$ $pq$-Gruppe.\\
Liegt $A$ in \underline{mehreren} max Ugr von $G$ und ist $A$ sn in \underline{jeder} von solchen, so $A$ sn $G$; in diesem Sinn ist Zipper Lemma ein Subnormalteilersatz.\\[10mm]
OHIO rot: Ist $M$ $G$-Modul, so $MM^\bot=C^\bot$, genügt $F$?\\
$G$ pri $\iff$ Herz einfüssig\\
$L^2=C^\bot$ $\Rightarrow$ $G$ $2$-tra.\hspace*{7cm}G\\
Vertausch Matrix $V$ macht $G$-Endom $\varphi$ von $F_2(\Omega)$, mit Kern$\varphi=$ orth Komplement von $\varphi^\prime F_2$.
\begin{flushright}78a/79a\end{flushright}
\makebox[0pt][r]{August 81~~~}\mbox{}\\
Forts. Als Körper mit Grad $G=p^\alpha$ sollte man den $p$-adischen nehmen. Ist die Faltung zweier $G$-Moduln wieder einer? Für den $2$-Abschluß stimmt das Entsprechende. Nein: $C^\bot\ast C^\bot\ast\cdots$. Das Produkt zweier Invarianten $i_1,i_2$ mit  $dy\,i_1+dy\,i_2=2p-2$ hat den Grad $p-1$.\\
Da stets $V\in\mf{V}\Rightarrow V^{i-1^\prime}\in\mf{V}$ gilt (sogar ohne reguläre Untergruppe), kann man stets bezüglich des Exp. $-1$ homogenisieren, dh. "`im Reellen"' arbeiten.\\
Für jeden $T$-Modul $M$ wird $M^2$ additiv von den $m^2,m\in M$, erzeugt, falls char $F\not=2$. Daher ist bei unserem Fall $p^\nu$~~ $L^2$ minimal über $L$ (und dadurch eind. bestimmt).\\
$p=p^2$: Wenn es einen rationalen Komplex gibt von weniger als $\frac{p^2}{2}$ Punkten, so bilden diese zusammen mit $0$ Gerade, die von $G$ als solche permutiert werden (Calwer Lemma)\\
Bei $\begin{cases}\text{char }p\\n=p^\alpha\end{cases}$ hat jedes $V$ \underline{nur einen} EW, da jeder ERaum ein $G$-Modul ist und jeder $G$-Modul $(1~1~1~\cdots~1)^t$ enthält. Also wenn $f$ $G_0$-invariant ist und $\int f=0$, so ist $f$ $\ast$-nilpotent. (Sowieso!)
\begin{flushright}79a/79\end{flushright}
\begin{center}
$p$
\end{center}
\item[55] $\delta=-\sgn s_\rho s_\sigma~|\text{mod}|~p-2$, $\delta 4\nu_3=s_\rho s_\sigma~|\text{mod}|~p-2$\\
Bew:
\begin{eqnarray*}
(p-2)z_1s_1&=&\delta s_2s_3+\nu_3p^2,\\
0&<&\nu_3<z_3\le\frac{j_3}{2}\le\frac{p+1}{8}<\frac{p-2}{2}
\end{eqnarray*}
CAMERON, MZ 128, 1-14 erwähnt meine alten Ergebnisse u neuere Be\-stä\-t. von P. Neumann
\item[56] Aus \[
s_0z_3s_3=\delta s_1s_2+(z_3-1)p^2
\]
folgt
\[
\hspace*{-5.8cm}\begin{array}{l}\text{a)}\\\text{b)}\end{array}~~
\begin{cases}
|s_1-\delta s_2|=z_3(s_0-s_3)\\
p^2-\delta s_1s_2=z_3(p^2-s_0s_3)
\end{cases}
\]
c) $\delta=-1$~~~d) $\frac{s_1+s_2+s_3}{3}\ge\frac{a}{a+2}\cdot s_0, a:=\min z_\rho$~~~e) $(z_1,z_2,z_3)\big|2$\\
Bew: b ist die Vorauss, a folgt aus
\[
\begin{cases}
(p^2-\delta s_1s_2)^2=z_3^2(p^2- s_0s_3)^2\\(p^2-s_2^2)(p^2-s_2^2)=z_3^2(p^2-s_0^2)(p^2-s_3^2)
\end{cases}
\]
durch Subtraktion. Bew c): Nach 76.51$^\ast$ ist auch $\nu_\rho=z_\rho-1$ für $\rho=1,2$, daher kann oBdA $s_3<s_2<s_1<s_0$ angenommen werden. Damit ist, falls $\delta=1$, $s_1-s_2\ge 2(s_0-s_3)$ Wid.\\
d) Bilde $\sum\limits_\tau$: $s_\rho+s_\sigma=z_\tau(s_0-s_\tau)\ge a(s_0-s_\tau)$\\
e) $d:=(z_1,z_2,z_3)\Rightarrow s_\rho+s_\sigma\equiv0(d)$
\begin{gather*}
s_\rho-s_\sigma=(s_\rho+s_\tau)-(s_\sigma+s_\tau)\equiv 0(d)\\
d|s_\rho,~p^2-s_2^2, p\text{ Wid.}
\end{gather*}
\begin{flushright}79/80\end{flushright}
\begin{center}Injektoren u. Projektoren; $p$\end{center}
sollten sich gemeinsam definieren lassen als die bezüglich einer passenden teilw. Odnung $\prec$ maximalen unter den $\mf{X}$-Ausschnitten von $G$
\item[(p)] Siehe Feit, Santa Cruz, preprint, pp 10ff. 
\end{itemize}
\begin{flushright}80/81\end{flushright}
\begin{center}$M\mf{X}G$~~~~~Forts. v. 12\end{center}
\begin{itemize}
\item[Bsp (1)]Aus $A\in\mathcal{M}\mf{E}G$, $B\le G$, $A\neg G^\lambda\ge B\neg G^\lambda$ folgt nicht $B\underset{G}{\le} A$, nicht einmal für $l=2$.\\
Bsp. $G=\text{ Sym }5$, $\pi=\{2,3\}$, $A=S(123)\times S(45)=3$-Sylow Normalisator in $G$; $|A|=3\cdot 2^2$, $B=\langle(\alpha\beta\gamma\delta)\rangle$ mit $(\alpha\gamma)(\beta\delta)\in A$. Es ist also etwa $A=\text{ Sym }\{123\}\times\text{ Sym }\{45\}$, $B=\langle(2435)\rangle$.
\item[Bsp (2)] Aus $A,B\epsilon\mathcal{M}_\pi G$, $\pi=\{2,3\}$, $\{G_\lambda\}_{\lambda=1}^2$ Hauptreihe von $G$, $A\neg G^2=B\neg G^2$, $A\neg G^1\underset{G^1}{=} B\neg G^1$ folgt nicht (Timmesfelds Verm!) $A\underset{G}{=}B$.\\
Wähle $\begin{cases}|R|=|S|=24\\R,S\in\mathcal{M}_\pi G_{168},R\underset{G_{168}}{\not=}S\end{cases}, G_{168}\underset{2}{\lhd}H\le T$ einfach, $R\underset{H}{=}S$. Wähle $G_1=N_1\times\cdots\times N_{|T|}$, $N_1\cong N$, wo $N$ mit $2$ nicht-isomorphen max. $\pi$-Ugr,etwa $X,Y$.
\begin{eqnarray*}
G&:=&N\wr\text{ reg }T=:G_1]\text{ T}\\
A&:=&X_1\times\cdots\times X_{168}\times Y_{169}\times\cdots\times Y_{|T|}]\text{ R}\\
B&:=&\underbrace{X_1\times\cdots\times X_{168}}_{\text{eine Bahn von }G_{168}\text{ auf }\{N_\rho|{\rho=1\cdots|T|}\}}\,~~~~]S
\end{eqnarray*}
Es ist $A\underset{G}{\not=}B$, da $A=B^g\Rightarrow g$ perm. $1,\cdots,168$ untereinander, $g\in G_1]~G_{168}$, $\overline{R}\underset{\overline{G}_{168}}{=}\overline{S}$ Wid. (mit "'${}^\text{---}$"' $=$ mod $G_1$)
\end{itemize}
\begin{flushright}81/82\end{flushright}
\begin{center}$\mathcal{M}^{\lhd\lhd}\mf{X}G$\end{center}
\begin{itemize}
\item[3.6.79~~~(1)] ${}_\mf{X}(G\times H)={}_\mf{X}(G)\times{}_\mf{X}H$\\
Bew: ${}_\mf{X}G\subseteq\mf{L}_\pi G$, $\pi=\pi(\mf{X})$
\item[(2)] Sei $A\in\mathcal{M}^{\lhd\lhd}{}_\mf{X}G$, und zwar $A=G\cap B$, $B\in\mathcal{M}_\mf{X}H$, $G\lhdd H$. Sei $N\lhd H$ halbeinfach, $N_0=N_\sigma^B\le N$; $N_1$ die durch Entkoppelg. entstehende "`Komponentengruppe"', 
\[
G_2:=\mathcal{N}_G(N_1)=\mathcal{N}_G(G\cap N_1).
\] 
Dann ist $A\in\mathcal{M}_\mf{X}^{\lhd\lhd}G_1$
\item[(3)] $\tau\in\text{ Aut }G$ lasse \underline{alle} $A\neg G^{\lambda}$ fest, für ein $A\in\mathcal{M}_\mf{X} G$. Darin läßt $\sigma$ auch $A\cap\text{ Soc$^\prime$ }G$ fest.
\begin{flushright}82/83\end{flushright}
\begin{center}$\mathcal{M}^{\lhd\lhd}\mf{X} G$\end{center}
\item[Vermutg (4)]$A,B\in\mathcal{M}^{\lhd\lhd}\mf{X} G$, $\langle A\neg G^\nu,B\neg G^\nu\rangle$, $\mf{X}$-separiert (in ${}_p\mf{G}_\pi\mf{G}_\pi^\prime$) $\Rightarrow$ $\langle A,B\rangle$ auch.
\item[Vermutg (5)] $A\in\mathcal{M}_\mf{X} G$, $B\in\mf{X} G$, für jedes $\lambda$ gilt
\[
A\neg G^\lambda=B\neg G^\lambda\text{ \underline{oder} }B\le\mathcal{N}(A\neg G^\lambda)\Rightarrow B\underset{G}{\le}A
\]
\item[Bemerkg (6)] $A,B\in\mathcal{M}_\pi G$, $G$ einfach, $A\underset{\text{aut }G}{=}B\not\Rightarrow A\underset{G}{=} B$, z.B. $|A|=24$, $|G|=168$
\item[Frage (7)] Was folgt aus $H\le G$, $H\neg G^\nu\rhd A\neg G^\nu$? $(A\in\mathcal{M}_\pi^{\lhd\lhd} G)$ über\\
$\langle A,B,\cdots | A\neg G^\nu=B\neg G^\nu=\cdots\rangle$
\item[Frage (8)] Hat $A\in\mathcal{M}^{\lhd\lhd}\mf{X} G$ Distributivitätseigenschaft bzgl. des Verbands der von $A$ normalisierten Subnormalteiler von $G$? \anmerk: bezüglich $\{N|N\lhd G\}$
\end{itemize}
\begin{flushright}83/84\end{flushright}
\begin{center}vor: \underline{$A,B,\ldots\in\mathcal{M}_\mf{X}^{\lhd\lhd} G$}, $\{G_\lambda\}$ SNR; $\mf{L}$\end{center}
\begin{itemize}
\item[Vermut (1)] $A\neg G^\nu=B\neg G^\nu=C\neg G^\nu=\cdots$, $E:=\langle A,B,C,\cdots\rangle$ $H\in\mathcal{H}_\pi(E)\underset{?}{\Rightarrow} H\neg G^\nu=A\neg G^\nu$?
\item[(2)] Daraus würde folgen: Die Anzahl der $A\in\mathcal{M}_\mf{X}^{\lhd\lhd}G$ mit gegeb. Projektionen (in nicht $\mf{X}$ serielle $G^\nu$) ist eine $\pi^\prime$-Zahl.
\item[(3)] Ist stets $A\neg G^\nu$ csn $B\neg G^\nu$, so ist $A\neg G^\nu=B\neg G^\nu$\\
Bew. erst für conormal
\item[$3^\prime$] $Q$: Was braucht man für Theorie "`innerhalb von $G$"'? Meth.: Indukt nach Index des größten $\mf{X}$-Gr Normalteilers von $G$. Vielleicht Abgeschl. gegen Semi-nor Produkt und Erweit. mit $C_p,p\in\pi$?
\item[Hilfss. (4)] Sei $S\lhd T$, $P\in\pi T$, $P\cap S\in\mathcal{H}_\pi S$. Dann gilt für $\widetilde{T}:=T/S$:
\begin{itemize}
\item[a)] $\overline{P}\in\mf{L}_\pi\overline{T}\Rightarrow P\in\mf{L}_\pi T$.
\item[b)] $P\in$ Intrav $PS$, $P\in\mf{L}_\pi T\Rightarrow \overline{P}\in\mf{L}_\pi\overline{T}$.\\
\phantom{$P$}$\pi$-\phantom{Intrav}genügt
\item[c)] falls $S\pi$-seriell, ist $P\in\mf{L}_\pi T\iff\overline{P}\in\mf{L}_\pi\overline{T}$.\\
Bew:
\item[a)] $P\underset{\pi}{\unlhd}Q\le T\Rightarrow \overline{P}_\pi\overline{Q}\Rightarrow\overline{P}=\overline{Q}$;\\ $\Rightarrow |Q|=|Q\cap S|\cdot |\overline{Q}|=|Q\cap S||\overline{P}|\le|P\cap S||\overline{P}|=|P|$; $Q=P$
\begin{flushright}84/85\end{flushright}
\begin{center}$\mathcal{M}^{\lhd\lhd}$\end{center}
\item[b)] Sei $PS\underset{\pi}{\unlhd}R$; $N=\mathcal{N}_R(P)$ deckt $R/PS$
\begin{center}
\unitlength1mm
\begin{picture}(0,25)
\drawline(0,0)(0,10)(16,18)(16,23)(8,19)(8,14)(16,18)(16,13)(0,5)
\drawline(15.8,22.8)(15.8,18.2)
\drawline(8.2,19.2)(8.2,14.2)
\dottedline{1}(-0.5,0)(-0.5,10)
\dottedline{1}(8.5,14.5)(8.5,19.5)
\dottedline{1}(15.5,22.5)(15.5,18.5)
\dashline[10]{2}(0,4,6)(16,12.6)
\dashline[10]{2}(0,9.6)(8,13.6)
\put(-4,2.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle P\cap S$}}
\put(-2,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle P$}}
\put(2,14){\makebox(0,0){$\scriptstyle N\cap PS$}}
\put(6,19){\makebox(0,0){$\scriptstyle N$}}
\put(18,23){\makebox(0,0){$\scriptstyle R$}}
\put(18,18){\makebox(0,0){$\scriptstyle PS$}}
\put(18,13){\makebox(0,0){$\scriptstyle S$}}
\put(40,20){\makebox(0,0){$\ldots~\pi$}}
\put(40,5){\makebox(0,0){$\text{-\,-\,-}~\pi^\prime$}}
\end{picture}
\end{center}
$N$ ist $\pi$-seriell, also gilt $\pi$-Sylowsatz, $P\le Q\in\mathcal{H}_\pi N$, $P\underset{\pi}{\vartriangleleft} Q$, $P=Q$, $P\le\mathcal{H}_\pi N$, $N=N\cap PS$, $R=PS$.
\item[c)] $\Leftarrow$ a,b.
\end{itemize}
\item[Satz (5)] \
\begin{center}
\unitlength1mm
\begin{picture}(0,25)
\drawline(0,0)(0,10)(16,18)(16,13)(0,5)%(8,14)(16,18)(16,13)(0,5)
\drawline(0.2,0)(0.2,10)
\drawline(0,7.5)(16,15.5)
\drawline(15.8,13)(15.8,18)
\drawline(16,18.5)(16,23.5)
\put(-2,7.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle S$}}
\put(-0.5,15){\makebox(0,0){$\scriptstyle \substack{G\\\triangledown\\\triangledown\\T}$}}
\put(18,23){\makebox(0,0){$\scriptstyle G$}}
\put(18,18){\makebox(0,0){$\scriptstyle U$}}
\put(18,13){\makebox(0,0){$\scriptstyle V$}}
\end{picture}
\end{center}
Sei $T$ einköpf. perf. sn $G$, $A\in\mathcal{M}_\mf{X}^{\lhd\lhd}G$. $T/S$ einfach, $S\mf{X}$-seriell, $\in\,{}_p\mf{X}\mf{X}^\prime$\\
($\pi=\pi(\mf{X})$), $V\underset{\max}{\lhd}U\underset{\substack{\uparrow\\\text{sic!}}}{\le} G$,  $T$ decke $U/V$, $\boxed{\text{z.B. }V=C_G(T/S),~U=TV}$. Dann
\[
A\neg T/S\cong A\neg U/V,
\]
Bew: $A\neg T/S\in\mf{L}_\pi T/S~~(4)~~\to$ $\text{XV}_{239}$
\item[($5^\prime$)] Bem: In obigem Bild ist stets $C_G(U/V)=C_G(\frac{T}{S})$
\item[(6)] $T=T^\prime$ eink sn $G$, $\mf{X}\mf{X}^\prime\ni S\lhddot G$, $\Rightarrow A\neg T/S$ ist die größte $\mf{X}$-Untergr von $T/S$, die von $\mathcal{N}_A(T)$ festgelassen wird.\\
Bew: $V:=G_{\mf{XX}^\prime}$, $U=TV$ in (5), $\overline{G}=\overline{G}/U$.
\begin{flushright}85/86\end{flushright}
\begin{center}$A,B,\cdots\in\mathcal{M}^{\lhd\lhd}{}_{\mf{X}}G$\end{center}
\item[Satz (7)] Die Anzahl $n$ der $A\in\mathcal{M}_\mf{X}^{\lhd\lhd}G$ mit vorgegebenen Projektionen in eine SNR $\{ G_\lambda\}$ ist eine $\pi^\prime$-Zahl $(\pi=\pi(\mf{X}))$. Genauer:\\
Wahrscheinlich genügen die $\nu$ statt $\lambda$.
\[
n=\prod_\lambda\big|\mathcal{N}_{E^\lambda}(A^\lambda):(\mathcal{N}_E(A)\neg E^\lambda)\big|
\]
\item[($7^\prime$)] Also ist $n\big||G|_{\pi^\prime}$.\\
Bew: Sei $E$ das Erzeugnis aller dieser $[$Pfeil von $\mathcal{N}_E(A)$ auf $E$$]$; $E_\lambda=G_\lambda\cap E$ $[$Pfeil von $E^\lambda$ auf $E_\lambda$$]$. Dann $A\neg G^\lambda=B\neg G^\lambda\iff A_h\neg E^\lambda=B\neg E^\lambda$. Rest folgt aus (8).\\
Sei $h_0,h^\lambda$ die Anzahl der $\pi$-Hallgruppen von\\
$[$Das Folgende ist bis zum Beginn von $7^\ast$ gestrichen mit der Bemerkung "`unpräzis!"'$]$\\
Da man durch Transf. in $E$ (schrittweise in $E^1,E^2,\cdots,E^l$) die Hallgr. von $E^\lambda$ beliebig als Projektion vorschreiben kann für die Hallgr. von $E$, so ist die gesamte Zahl $n$ der Hallgr zur geg. Proj. $A\neg E^{\lambda}$ gleich $\frac{h}{\prod h^\lambda}$.
\[
h=|E:\underbrace{\mathcal{N}_EA}_{N}|~~~~~h^\lambda=|E^\lambda:\underbrace{\mathcal{N}_{E^\lambda}A^\lambda}_{M_\lambda^\lambda}|.
\]
\[
n=\frac{\prod|E_\lambda^\lambda|}{\prod|N^\lambda|}\cdot\frac{\prod|M^\lambda|}{\prod|E^\lambda|}=\prod_\lambda|\mathcal{N}_{E^\lambda}(A^\lambda):\mathcal{N}_E(A)|
\]
\item[Verm. $7^\ast$] $N\unlhd G$, $C_\mf{X}^{\lhd\lhd}N=1\Rightarrow C_\mf{X}^{\lhd\lhd}G=C_\mf{X}^{\lhd\lhd}G/N$\\
Vermutlich  z.B. wenn $N$ nilp. $\pi(\mf{X})$-Hallgr hat
\item[Bsp $7^{\ast\ast}$] $A\in\mf{L}_\pi G$, $N\unlhd G\not\Rightarrow A\cap N\in\mf{L}_\pi N$ 
\[
\text{z.B. }~~~~~G=\text{ Sym }4, N=A_4,\pi=\{23\},~~~A\in\text{ Syl }_2G
\]
\begin{flushright}86/87\end{flushright}
\begin{center}$\mathcal{M}^{\lhd\lhd}$\end{center}
\item[Satz (8)] Sei $E$ $\pi~\begin{array}{l}\text{-separabel}\\\text{-serial}\end{array}$, $\{E_\lambda\}_1^l$ SNR. Sei $H^{(\lambda)}\in\mathcal{H}_\pi(E^\lambda)$, $\lambda=1\cdots l$.\\ 
\makebox[0pt][r]{5.6.79~~~}Dann:
\begin{itemize}\item[a)]$\exists~A\le E$: $\blacktriangledown A^\lambda:=A\neg E^\lambda=H^{(\lambda)}$, $\lambda=1\cdots l$ (also $A\in\mathcal{H}_\pi(E)$)
\item[b)] Die Anzahl $n$ ($H^{(1)},\cdots, H^{(l)}$) dieser $A$ hängt nicht von der Wahl der $H^{(\lambda)}\in\mathcal{H}_\pi(E^\lambda)$ ab, es ist mit $h_\lambda:=|\mathcal{H}_\pi(E_\lambda)|$, $h^\lambda=\cdots E^\lambda$.
\begin{gather*}
n(H^{(1)},\cdots,H^{(l)})=\frac{h_0}{h^1h^2\cdots h^l}\\
=\left|\frac{(E)}{\mathcal{N}_E(A)}\right|:\prod\frac{|E^\lambda|}{|\mathcal{N}_E(A^\lambda)|}=\prod\big|\mathcal{N}_{E^\lambda}(A^\lambda):(\mathcal{N}_E(A)\neg E^\lambda)\big|
\end{gather*}
NB: hiermit muß eine Formel für die $A$ mit nur einem Teil vorgegeb. Proj. folgen!\\
von Interesse die von decken. $G^\lambda$ herrühren.
\end{itemize}
Bew: $l=0,1$ klar.
\begin{itemize}
\item[I:] $l=2$:
\begin{center}
\unitlength1mm
\begin{picture}(0,20)
\drawline(0,1)(0,19)
\drawline(-0.1,10)(-0.1,16)
\drawline(-0.2,10)(-0.2,16)
\drawline(-0.3,10)(-0.3,16)
\put(0,1){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(0,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(0,19){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(0,16){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(-5,13){\makebox(0,0){$\scriptstyle H^{(1)}\left\{\begin{array}{c}\\[1mm]\end{array}\right.$}}
\put(5,19){\makebox(0,0){$\scriptstyle E=E_0$}}
\put(2.5,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle E_1$}}
\put(-3,4.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle H^{(2)}$}}
\put(4,1){\makebox(0,0){$\scriptstyle 1=E_2$}}
\end{picture}
\end{center}
$E$ wirkt tra auf die Menge der Paare $(X,Y)$ mit $x\in\mathcal{H}_\pi E^1$, $Y\in\mathcal{H}_\pi E^2=\mathcal{H}_\pi E_1$. Daher gilt
\[
n\big(H^{(1)},H^{(2)}\big)=\overbrace{h_\pi(\sigma)}^{h_0}\big|\overbrace{h_\pi(E^1)}^{h^1}\overbrace{h_\pi(E_1)}^{h_1}.
\]
\item[II] $l>2$. Nenne Lösungen von $A,B$ von $\blacktriangledown$ $\sim$, wenn $A_1=B_1$.\\ Es gibt 
\[
n(H^{(2)},\cdots,H^{(l)})\text{ Gruppen}
\]
$B_1\in\mathcal{H}_\pi(E_1)$ mit $B_1\neg G^\lambda=H^{(\lambda)};~~\lambda=2,\cdots,l$\\
für jede gibts nach I genau $h_0|h_1h^1$ versch. Lösungen $A$ mit $A\cap E_1=B_1$; das ist also die Lg der ÄqKlassen; daher
\begin{gather*}
n(H^1,\cdots)=\frac{h_0}{h_1h^1}n(H^{(2)},\cdots)=\cdots=\\\frac{h_0}{h_1h^1}\cdot\frac{h_1}{h_2h^2}\cdot\frac{h_2}{h_3h^3}\cdots=h_0/h^1h^2h^3\cdots~~~G
\end{gather*}
\end{itemize}
\end{itemize}
\begin{flushright}87/88\end{flushright}
\begin{center}$A\in\mathcal{M}^{\lhd\lhd}$: Entkopplung von $A\cap\text{ soc}^\prime$\end{center}
\begin{itemize}
\item[Vermutg (1)\begin{picture}(0,0)\put(-40,-12){5.6.79}\end{picture}]Stellt  man hier soc $=\text{ soc}^\prime G$, $G$ treu \& monomial durch seine Wirkung auf $\text{soc}^\prime G$ dar und ist $N=\text{ soc}^\prime G\dotlhd G$, so daß die Koeff in $S$ liegen ($N=S_1\times S_2\times\cdots)$), $S=S_1$ und bildet man $\widehat{G}:=G$. $\text{ diag}(\widehat{S})$, so läßt für $\widehat{A}\in\mathcal{M}_\mf{X}^{\lhd\lhd}\widehat{G}$ stets $\widehat{A}_{1}$ eine maximale (nicht nur große) $\mf{X}$-Ugr von $\widehat{S}_1$ fest, denn wenn die $\mf{X}$-Gruppe $\widehat{A}_1$ auf die (nach Schreier auflösbare und daher $\mf{X}$ - serielle) $\widehat{S}_1/S_1$ wirkt, läßt sie eine $\pi$-Hallgr. von $\widehat{S}_1/S_1$ fest:\\
Jede max $\mf{X}$-Gr der Erweiterung deckt die $\pi$-Faktoren von $\widehat{S}/S$ und enthält daher eine $\pi$-Hallgr.\\ 
Dürfte stimmen.
\item[Folge $(1^\prime)$] 
\(
\widehat{A}\cap\text{ diag }(\widehat{S})=\bigtimes\limits_1^r\widehat{M}_\rho\text{ mit }\widehat{M}_\rho\in\mathcal{M}_\mf{X}\widehat{S}_\rho
\)
\item[Hoffnung (2)] Klassenzahl\mbox{}\\[-12mm]\mbox{}
\begin{eqnarray*}
m_\mf{X}^{\lhd\lhd}(\widehat{G})&=&m_\mf{X}^{\lhd\lhd}(G),\text{ oder wenigstens}\\
m_\mf{X}(\widehat{G})&=&m_\mf{X}(G).
\end{eqnarray*}
\item[(3)\begin{picture}(0,0)\put(-35,-30){5.6.79}\end{picture}] Folge von ($1^\prime$): In jeder Klasse konjugierter maximaler $\mf{X}$-Ugr von $\widehat{G}$ gibt es eine, die in jedem Transsystem $T_\nu$ der monom. Darstellung die Form $M_\nu\wr P_\nu$ hat, wobei $P_\nu$ die zu $T_\nu$ gehörige Permutationsgruppe von $\widehat{G}_\phi$ ist, mit $\Phi=$ der Funktion, die jedem $\nu$ eine Klasse konjug max. $\mf{X}$-Ugr. von $\widehat{S}$ zuordnet; $P_2\in\mathcal{M}_{\mf{X}}$ Perm $G_\phi$.
\begin{flushright}88/89\end{flushright}
\begin{center}$M^{\lhd\lhd}G$ und $M^{\lhd\lhd}G/N$\end{center}
\item[(4)] Nach Rückkehr von Santa Cruz ist mir klar geworden, dass für $\varphi\in\text{ Hom }G$ mit $\pi$-sep. Kern $N$:
\[
A\in\mathcal{M}_\mf{X}^{\lhd\lhd}G\iff A\cap N\in\mathcal{H}_\pi(N),~~\varphi(A)\in\mathcal{M}_\mf{X}^{\lhd\lhd}\varphi(G)
\]
Habe ich das nirgends notiert? doch XV 247(48), 231 ($6^\prime$)
\item[(5)] Sei $G=E\wr H=NH$; $E$ sei perfekt, direkt unzerlegbar und enthalte $2$ nicht isomorphe maximale $\mf{X}$-Untergruppen. Dann enthält $N$ eine maximale $\mf{X}$-Untergruppe, deren Normalisator in $G$ ein vorgeschriebene Projektion in $G/N$ hat.
\item[FRAGE (6)] In welcher Hinsicht sind die submaximalen $X$-Untergruppen von $G$ maximal? Vielleicht bezüglich einer Eigenschaft bezüglich Ausschnitten von $G$, die auf $\mathcal{N}_A(X)$ Bezug nimmt?
\end{itemize}
\begin{flushright}89/90\end{flushright}
\begin{center}Cartergr, $\mathcal{M}_\mf{X}$\end{center}
\begin{itemize}
\item[Fr. 1] Enthält in einer auflösbaren $G$ jeder Sylow-Norm-Turm eine Cartergruppe von $G$?\\
NEIN: $G=\text{ Sym}_4,\pi=\{3,2\},|C|=2^3$
\item[Fr. 2] Folgt aus $A\in\mathcal{M}_\mf{X}G$; $S,T\in\text{ sn }G$ und $S\cap T=1$, $ST=TS$ stets
\[
A\neg ST=(A\neg S)(A\neg T)?
\]
\item[Fr. 3] Welche $\pi$-großen Untergruppen eines $S\in\text{ sn }G$ sind Schnitte von $S$ mit max. $\pi$-Ugr'en von $G$?
\item[Fr. 4] Sei $A\in\mathcal{M}_\mf{X}G$. Kann man von Pojektionen von $A$ in eine "`abstrakte"' Komp. Fakt Gr von $G$ reden? Dh. ist
\[
|A\neg G^\lambda|=|A\neg H^\mu|
\]
wenn $G^\lambda,H^\mu$ Faktoren in zwei Komp-Reihen $\{G_\lambda\}$, $\{H_\mu\}$ sind mit gleicher einköpfiger subnormaler Deckgruppe $S$?\\
Ja, wenn Rumpf von $S$ auflösbar. Nein i.A.:\\ 
Gegenbeispiel mit $G\underset{\varphi}{\twoheadrightarrow}H=E_1\times E_2$, $E_i\cong\text{ Alt}_5,\pi=\{2,3,5\}$, so daß $\exists~A\in M_\pi G$ mit $\varphi(A)=\text{ diag }E_1\times E_2$, $S$ deckt $KE_1/K$ und $|K\,E_1\,E_2/\; KE_2$ $(K:=\text{ Kern }\varphi)$. Dann: $[$teilweise von S. 91 übernommen$]$:\\
$A\neg KE_1/K=1$, $A\neg KE_1E_2/KE_2=E_2$.\\
Frage: Kann statt $1$  bzgl. $E_i$ jedes Paar $F_1\le E_1$ $F_2\le E_2$ mit $F_1\underset{\text{iso}}{\le} F_2$ erreicht werden?
Das zeigt drastisch, daß i.a. $\mathcal{M}_\pi G$ nicht die Distribut.- eig. hat bzgl. sn $G$.
\end{itemize}
\begin{flushright}90/91\end{flushright}
\begin{center}$\lhd\lhd$ Zentralisatorsatz\end{center}
\begin{itemize}
\item[1.] $M\dotlhd G$ endlich, $B\lhd A\lhdd G$, $A/B\in\mf{N}$ $\Longrightarrow$ $M$ zentralisiert $A/B$.\\
Bew: Gegenb. $G,B$ min. $A< G\Rightarrow A\le G_0\lhd G$ $\Rightarrow [M,A]\not=1$, $M\le G_0$, $M\ge M_0\dotlhd G_0$, $M_0^g$ zentr $A/B$, $M\le\langle M_0^g\rangle_g$\\
$\therefore$ also $\underline{A=G}$; wegen $B_{\min}~~~B=G^{\mf{N}}\unlhd G$
\begin{center}
\unitlength1.5mm
\begin{picture}(0,19.5)
\drawline(5,5)(-1,11)
\drawline(-1,11)(5,17)
\drawline(5,17)(11,11)
\drawline(5,5)(11,11)
\drawline(7,15)(1,9)
\drawline(3,7)(9,13)
\put(-1,9){\makebox(0,0){$\scriptstyle M$}}
\put(5,19){\makebox(0,0){$\scriptstyle G$}}
\put(9,15){\makebox(0,0){$\scriptstyle MB$}}
\put(13,11){\makebox(0,0){$\scriptstyle B$}}
%\put(10,15){\makebox(0,0){$\scriptstyle M_0$}}
%\put(2,17){\makebox(0,0){$\scriptstyle M$}}
%\put(5,21){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
%\put(5,22.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle G$}}
%\put(7,19){\makebox(0,0){$\scriptstyle H_\sigma$}}
\end{picture}
\end{center}
$M\nleq B$; $MB/B\,{\cdot\unlhd}\, G/B$, $B=1$ (somit $\overline{G}=G/B$)\\
$[M,G]<$ somit $[M,G,\cdots,G]=$, aber $G\in\mf{N}$.\\
$[M,G]=1$ $[M,A]=1\le B$ Wid.
\item[Q] Ähnlich für $A^{\cdot\cdot G}$?%\\[4mm]
\end{itemize}
%\begin{flushright}91/91\end{flushright}
\mbox{}\\[0mm]\mbox{}
$[$Die Seitennummer 91 tritt zweimal hintereinander auf.$]$\hfill91/91
\mbox{}\\[0mm]\mbox{}
\begin{center}$\lhd\lhd$ Subnormaler Kern\end{center}
\begin{itemize}
\item[1.] $A\le G$ endl $\Rightarrow$
\[
 A_{\cdot\cdot G}=\bigcap\limits_{g\in G}A_{\cdot\cdot\langle A,g\rangle}
 \]
 Bew:
 \begin{gather*}
 A_i:=A_{\cdot\cdot G_i}, A\le G_i:=\langle A,g_i\rangle\\
 A_i\text{ sn }G_i~~~A_k\le A\le G_i\\
 A_i\cap A_k\text{ sn }G_i\cap A_k=A_k\\
 A_i\cap A_k\text{ sn }A_k\text{ sn }G_k\\
 D\text{ sn }G_k=\langle A,g_k\rangle~~~D\le A\\
 D\text{ sn }D, g_k~~~~~~~\forall g_k\in G\\
 D\text{ sn }G.~~~D\le A_{\cdot\cdot G}\le A_{\cdot\cdot\langle A,g\rangle}:\bigcap\limits_g.
 \end{gather*}
\end{itemize}
\begin{flushright}91/92\end{flushright}
\begin{center}$\lhd\lhd$ \underline{Subnormalitätskriterien für $p$-Untergr.}\end{center}
\begin{itemize}
\item[30.7.79~~~1.] $A\le G$ endl, $A\in\mf{N}$, dann $A\cdot\Phi(G)\text{ sn }G\iff A\text{ sn }G$\\
Bew: OBdA: $|A|=p^\alpha$\\
Def. $H$: 
\[
H/\Phi(G):=O_p(G/\Phi(G))\ge A\Phi(G)/\Phi(G);~~A\le H
\]
z.B. $A\le B\in p$-Syl $H$,  $H=B\cdot\Phi(G)\lhd G$\\
$(B\le)$ $\mathcal{N}_G(B)$ deckt $\Phi(G)B/\Phi(G)$, $G/B\Phi (G)$,\\ 
\phantom{$(B\le)$ $\mathcal{N}_G(B)$ }deckt $G/\Phi(G), B\lhd G$.
\begin{center}\underline{$\lhd\lhd$ und Kommutierung}\end{center}
\item[2.] Satz: $S\lhdd$ endl, $A\le G\Rightarrow [S,A]\text{ sn }G$\\
Bew: $[S,A]\unlhd\langle S,A\rangle\unlhd S^A\text{ sn }G$\\[5mm]
Allgemeiner:
\item[Satz 3.] $S\lhdd G$ endl. oder noethersch, $A\subseteq\text{ aut }G$ $\Rightarrow [S,A]\text{ sn }G$.\\
Bew:
\begin{eqnarray*}
[S,A]&\lhd&\langle S,[S,A]\rangle\\
&=&\langle S,[S,a_1],\cdots\rangle\\
&=&\langle S, S^{a_1},\cdots\rangle\text{ sn }G
\end{eqnarray*}
\end{itemize}
\begin{flushright}92/93\end{flushright}
\begin{center}Innere Automorphismen\end{center}
Nachtrag 20.10.81:
\begin{itemize}
\item[Vermutg 1]$(|G|<\infty)$, $\sigma\in\text{ Aut }G$, $\forall H\ge G~~\exists \tau\in\text{ aut }H:\tau\big|_{G}=\sigma$\\ 
$\Rightarrow \sigma\in \text{ Inn }G$
\item[2]Beweis für $G=C_{p^\gamma}$, $p>2:q:=p^\gamma$\\
Wähle \[H=\langle a,b|a^{q^2}=b^q=1,a^b=a^{1+q}\rangle\]
$H$ ist nilpotent von Klasse $2$, also $(uv)^p=u^pv^p;G:=\langle b\rangle$\\
$\exists s,x,y\in \ZZ:b^\sigma=b^s,a^\sigma=a^xb^y$. Aus $a^b=a^{1+q}$ folgt\\ $(a^xb^y)^{{b}^s}=(a^xb^y)^{1+q}$. Hieraus
\begin{gather*}
a^{s(q+1)}=a^{q+1}~~~~~s\equiv1~~(q)\\
b^\sigma=b^s=b;\sigma\!\!\mid_G\,=\text{id }\in\text{ Inn }G.
\end{gather*}
\item[3.] Aufgabe für Russen: Vermutg $1$.
\end{itemize}
\begin{flushright}93/94\end{flushright}
\begin{center}Normalisierung. Maier. Clifford\end{center}
\begin{itemize}
\item[1.] Ein allgemeiner Normalisatorsatz $A\le G\ni g$, $A$ besitze keinen nichttriv. Hom. auf Abschnitte von $\langle g^A\rangle$, $A^g\le\mathcal{N}(A)\Rightarrow g\in\mathcal{N}(A),g\in\mathcal{C}\bigg(A/_{A\cap N}\bigg)$\\
Bew:
\begin{center}
\unitlength1.5mm
\begin{picture}(0,20)
\drawline(5,5)(-1,11)
\drawline(13,13)(5,5)
\drawline(7,19)(-1,11)
\drawline(7,19)(13,13)
\drawline(9,9)(3,15)
\drawline(5,5)(5,0)
\drawline(-0.5,11)(3.0,14.5)
\drawline(5,5.5)(8.5,9)
\drawline(7.5,19)(13,13.5)
\put(-3,11){\makebox(0,0){$\scriptstyle A$}}
\put(8,5){\makebox(0,0){$\scriptstyle A\cap N$}}
\put(15,13){\makebox(0,0){$\scriptstyle N$}}
\put(7,21){\makebox(0,0){$\scriptstyle AN$}}
\put(-1,15){\makebox(0,0){$\scriptstyle\langle A,A^g\rangle$}}
\end{picture}
\end{center}
$N:=\langle g^A\rangle$~~~~$a\mapsto g\circ a$ mod $A\cap N$ ist Hom.
\item[2.] Erweiterung des Problems von Maier $40_6$:
\[
A\text{ sn }\langle A,B\rangle,~~A\text{ sn }\langle A, C\rangle,~~BC=CB\overset{?}{\Rightarrow}A\text{ sn }\langle A,B,C\rangle
\]
Gegenbeispiel suchen !
\item[3.] Verallgemeinerung des Satzes von Clifford:\\
Ist $A\lhdd G$ und $M$ ein vollreduzibler $G$-Modul, so auch ein vollreduzibler $A$-Modul.
\end{itemize}
\begin{flushright}94/95\end{flushright}
\begin{center}Sylownormalisator-Türme\end{center}
\begin{itemize}
\item[1.] Nicht jeder SNT (für $\pi=\PP$ in vorgeg. Ord.) von $G\in\mf{S}$ enthält eine Cartergruppe von $G$.\\
z.B. $G=\text{ Sym }4$, $|C|=8,~~|\text{SNT}|=6$.
\item[2.] Jeder SNT einer aufl. Gr. enthält einen System-Normalisator.\\
Bew: $[$Zu jedem System-Nor. $S$ $\exists$ Turm $T\ge S$, zu vor\-ge\-ge\-be\-ner \\Anordnung$]$\\
Zu Turm $T$ $\exists$ Sylowsystem $\sum_G$ von $G$, das $T$ in Sylowsyst. $\sum_T$ schneidet (wie zu jedem $H\le G$). Dann $\mathcal{N}\sum_G\le T$. Dann ist $\mathcal{N}\sum_G\le\mathcal{N}\sum_T$.
\end{itemize}
\begin{flushright}95/96\end{flushright}
$[$Seite 96 ist leer!$]$
\begin{flushright}96/97\end{flushright}
\begin{center}Intravar. Ugr von $p$-Gr.\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] Eine $p$-Gr. $P$ enthalte einen char. Ausschnitt $A/B$ (also $A,B$ char $P$, $A<B<P$) vom Typ $(p,p)$ derart, daß nicht jede Zwischengruppe normal in $P$ ist. Dann $\exists$ $I,B<I<A$, $I$ intravariant in $P$, aber nicht charakteristisch\\[5mm]
Bew: Wähle $I$ beliebig mit $.B<I<A, I\ntriangleleft P$. Dann, da es genau $p+1$ Ugr zwischen $A$ und $B$ gibt, $\big|\{I^x\}_{x\in p}\big|=p$ einzige Klasse dieser Länge.
\item[(2)] Ebenso wenn $A/B\cong C_p\times C_p\times C_p$, $I$ und $\big|P:\mathcal{N}_pI\big|=p^2:\Rightarrow I$ intra $P$.\\
Bew: da es nur $p^2+p+1$ Zwischengr. gibt, kann es keine weiteren geben, deren Konj.- Klassen aus $p^2$ Stück besteht.
\item[Bsp. (3)] $P$ enthalte einen char. Ausschnitt $\cong C_p\wr C_p$. Dann kann $P$ nicht als min. Suppl-Schnitt auftreten. Ebenso wohl für $C_p\wr C_p\wr C_p,\cdots$\hspace*{1cm}G
\end{itemize}
\begin{flushright}97/98\end{flushright}
$[$Seite 98 ist leer!$]$
\begin{flushright}98/99\end{flushright}
\begin{center}$AB$: Faktorisierte Gruppen\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] $G=AB$, $A_0\lhd A$, $B_0\lhd B$, $P\in\text{ Syl }(A_0\cap B_0)\Rightarrow\mathcal{N}_G(P)=:N$ "'zerfällt"': $N=(N\cap A)(N\cap B)$.\\
Setze $D:=A\cap B$.
\item[(2)] Desgl. zerf.:
\begin{gather*}
\mathcal{N}\langle A_0\cap D,B_0\cap D\rangle\\
\text{für }P\in p-\text{Syl }\langle A_0\cap D,B_0\cap D\rangle:\mathcal{N}(P)
\end{gather*}
Bew: $P\cap\langle A_0\cap D\rangle\in p-\text{Syl}$
\item[(3)] Desgl.
\begin{gather*}
\mathcal{N}\langle A_i\cap D,B_k\cap D\big|i,k\rangle\\
\mathcal{N}_P\bigg(\langle A_i\cap D,B_k\cap D\big|i,k\rangle\bigg)\text{ ist }P(~~~):=\text{ eine }p\text{-Syl von}
\end{gather*}
\item[(4)] Statt $P$ kann man Thompsons $J(P)$ nehmen: allgemeiner das Erzeugnis einer Klasse isomorpher Untergruppen von $P(\langle A_i\cap D\rangle)$; das führt zum Zerfall von $\mathcal{N}\langle J_i(P\cap A_i),J_k(P\cap B_k)\rangle$ mit $P\in p$-Syl $S$.
\item[Satz (5)] $G=AB$ wirke auf $\Omega,|\alpha^A|\not\equiv0\not\equiv|\alpha^B|~~(p\in\PP)$. Dann $|\alpha^G|\not\equiv 0$.\\
Das heißt: $\pi(|\alpha^G|)\le\pi(\alpha^A)\cup\pi(\alpha^B)$.\\
Bew: $43_1$
\end{itemize}
\begin{flushright}99/100\end{flushright}
\begin{center}$AB$\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] Wenn $X$ und $Y$ "'gemäß $AB$ zerfallen"', so auch $X\cap Y$, sofern $D:=A\cap B\le X$ oder $\le Y$.
\item[(2)] Jede Obergr. von $D=A\cap B$ liegt in einer kleinsten "`total zerfallenden"'. $[$d.h $ab^-\in X\Rightarrow a,b\in X.]$
\item[(3)] Zu Maiers Vermutung:\\
Ist $G=AB$ ein \underline{minimales} Gegenbsp; $S=S^\prime$ einfach $\lhdd\ofrac{A}{B}$, $S\not\in\text{ sn }G$, $D<=A\cap B$, $|G:D|=p^\therefore,p\big||S|, A_1\lhd A$, $[A_1,S]=1$, $B_1\lhd B$, $[B_1,S]=1$, so ist $\underbrace{A\cap B_1}_{M}$ eine $p^\prime$-Gruppe.\\
Bew: $M\lhd D, S\lhd D$, Ann$|M|_p>1$.\\
Sei $G_p$ eine beliebige $p$-Sylowgruppe von $G$ und $Z$ ihr Zentrum. Dann schneidet $G_p$ $D$ in einer $p$-Sylowgr $D_p$ und daher $M_p:=G_p\cap M\not=1$, $D_p:=G_p\cap D \not=1$; $[S,M_p]=1$.
\begin{flushright}100/101\end{flushright}
\begin{center}$AB$\end{center}
$G^\ast:=\mathcal{N}_G(M_p)$ zerfällt gemäß $AB$, also wegen Minimalität: $S\text{ sn }G^\ast$. Es ist $Z\le G^\ast$ und $[Z,D_p]=1$, also \underline{normalisiert} $Z$ die subnorm. Hülle von $D_p$ in $G^\ast$, d.h.\\
Mit $N:=\langle\text{ Zentren aller $p$-Sylowgr. von $G$ }\rangle$ ist $S\lhd SN\text{ sn }G$. Wid.\\
$[$Im Text wurde an einigen Stellen die im Tagebuch unvollständige Korrektur $D_p$ statt $p$ eingetragen.$]$
\item[NB] Statt $|G:D|=p^\therefore$ genügt: Jede $p$-Syl Gr von $G$ schneidet $D$ voll. Forts. (5)
\item[(4)]Ein allgemeineres Verfahren zur Konstruktion "`total zerfallender"' Ugruppen von $AB$: Wähle $A_1\le A$, $B_1\le B$. Seien so genau die $|\langle A_i,B_i\rangle|\big|^{i\in I}$ minimal unter den Ordnungen $\left\{|\langle A_1^a,B_1^b\rangle|\big|a\in A,b\in B\right\}$. Dann zerfällt $\mathcal{N}_G\{\langle A_i,B_i\rangle\}_{i\in I}$ total.
\item[(5)] Zu Maier mit ständ Vor in $S,S^\prime,\cdots$, $N\dotlhd G$, $|N|=p^\alpha$:\\ 
Es ist $G=NA,N\cap A=1$; $A\cong B$. Für $A^\ast\le A$ ist $\underline{\mathcal{N}_G(NA^\ast)=N\mathcal{N}_A(A^\ast)}$ wegen $G=NA$. Ferner ist für $Z\le\text{ Ztr }P\in p$-Sy $G$:
\[
\underline{\mathcal{N}_G(Z)=\mathcal{N}_A(Z)\mathcal{N}_B(Z)}~~\text{ allgem. ($5^\prime$)}
\]
wegen 
\[
\mathcal{N}_G(Z)=P\mathcal{N}_D(Z)=(P\cap A)\{P_AB|\mathcal{N}_B(Z)\}\le\mathcal{N}_A(Z)^B\mathcal{N}_B(Z)
\]
(aus $G=PD$)
\begin{flushright}101/102\end{flushright}
\begin{center}$AB$\end{center}
\item[(5)] $H\ge P\in p-$Syl $G$ $\Rightarrow H=(H\cap A)(H\cap B)$\\
Bew:
\begin{eqnarray*}
H&=&P.(H\cap B)\\
&=&(P\cap A)\underbrace{(P\cap B)(H\cap B)}\\
&\leqq&(H\cap A)(H\cap B)
\end{eqnarray*}
\item[($5^{\prime\prime}$)] $z\in Z(P)$, $P\in p$-Syl $G$, $S\text{ sn }\langle S,z\rangle\Rightarrow S\lhd\langle S,Z\rangle$\\
Bew: $z$ zentralisiert $P\cap S\not=1$, läßt also die subn. Hülle von $S$ in $\langle S,z\rangle$ fest, d.i.S selbst.\\
gilt sogar für $\forall~z\in N$! Bew: $s\mapsto (s,z)$ ist Hom$(S,N)$, da $S\lhd\langle S,S^z\rangle\Rightarrow S=S^z$. $S\lhd\langle S,S^z\rangle$.\\[5mm]
Allg:
\item[(6)] $g$ liege im kleinen Subnormalisator der einf. perf. Gr. $S$ und lasse ein Elt von $S^\#$ in $S$. Dann $g\in\mathcal{N}(S)$.
\item[($5^{\prime\prime\prime}$)] Kein $z\not=1$ in Ztr $P$ läßt irgend eine Konjugierte von $\begin{cases}D\text{ oder}\\T.\end{cases}$ fest. Denn (wegen $D,T\lhd D, G=DP$) $P$ wirkt tra auf $\{D^g|g\in G\}$, also läßt $z$ alle fest, desgl. $z^G=N$, $S\lhd NS\lhdd G$.
\end{itemize}
\begin{flushright}102/103\end{flushright}
\begin{center}$AB$: Maier\end{center}
\begin{itemize}
\item[Endlich:~~Satz 1]Sei $G=AB$, $S\lhdd\ofrac{A}{B}$, $\mf{S}\ni N\lhd G$, $SN\text{ sn }G$. Dann ist $S\text{ sn }G$.\\
\makebox[0pt][r]{2.9.7~~~}Dh: jedes minim. Gegenbsp. $G$ gegen Maier hat perfekten Sockel.\\[5mm]
Gegenb. $(G~A~B~S~N):|G|~|N|$ min. $|A|,|B|$ max.
\begin{itemize}
\item[a)] $N_{\min} \lhd G$. Wähle $M\le N$, $M_{\min}\lhd G$, $\overline{G}=G/M$; $|\overline{G}|<|G|$ gibt $MS\text{ sn }G$ wegen $|N|=\min$ ist $M=N$. Sei $|N|=p^\therefore$
\item[b)] $A_G=1=B_G$ ? nötig?
\item[c)] $NA=G=BN$.
	\begin{center}
	\unitlength1.5mm
\begin{picture}(0,20)
\drawline(5,5)(-1,11)
\drawline(-1,11)(5,17)
\drawline(11,11)(5,17)
\drawline(5,5)(11,11)
\dottedline{0.7}(9,9)(3,15)
\drawline(5,5)(5,0)
\put(-3,11){\makebox(0,0){$\scriptstyle A$}}
\put(5,18){\makebox(0,0){$\scriptstyle G$}}
\put(13,11){\makebox(0,0){$\scriptstyle B$}}
\put(8,10){\vector(1,-1){1}}
\put(11,9){\makebox(0,0){$\scriptstyle B_1$}}
\put(5,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(6,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle S$}}
\put(10,5){\makebox(0,0){$\scriptstyle D:=A\cap B$}}
\put(-2,15){\makebox(0,0){$\scriptstyle NA=:A_1$}}
\put(3,15){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(9,9){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\drawline(25,5)(19,11)
\drawline(19,11)(25,17)
\drawline(31,11)(25,17)
\drawline(25,5)(31,11)
\drawline(25,5)(25,0)
\put(26.5,5){\makebox(0,0){$\scriptstyle D$}}
\put(18,11){\makebox(0,0){$\scriptstyle A$}}
\put(32.4,11){\makebox(0,0){$\scriptstyle B$}}
\put(25,18.4){\makebox(0,0){$\scriptstyle G$}}
\end{picture}
	\end{center}
\item[d)] $|G:A|=p^\therefore$ $|G:B|=p^\therefore$ $|G:D|=p^\therefore$. Sei $P\in p$-Syl $G$.\\ 
$[$Pfeil verweist auf eine Position zwischen c) und d).$]$ Hier besser Hilfssatz: Vor. 1 $+$ $N\dotlhd G,N^\prime=1, NA=NB=G,N\cap B=1$ $\Rightarrow [N:S]=1$.\\ Vielleicht genügt $N\cap A\cap B=1$, da $P\text{ vtb }A,\cdots,D;S\text{ sn }D$.
\item[e)] $P$ trifft $A,B,D,S$ voll
\item[f)] $Z(P)$ zentralisiert eine $p$-SylGr von $S$ $(=P\cap S)$.
\item[g)] $\exists z\not=1$, $z\in N\cap Z(P)$ wegen $N\lhd P$.
\item[h)] $z$ zentral. eine $q$-Sylowgr $Q$ von $S$, wenn $p\not=q\in\PP$.\\
Bew: Wähle $R\in q$-Syl $D$. $\exists ab$: $b=az$\\
$R,R^a$ sind $q$-SylGr von $A$, da $|A:D|\not\equiv 0(q)$.\\ 
$Q:=R^a\cap S\in q$-Syl $S$: $\forall_{x\in Q}\exists_{y\in R}x^z=r^{az}=r^b\in B$.\\ $x\equiv r^b(N)$, da $z\equiv 1(N)$, $x\equiv r\equiv 1(B)$, $x\equiv r^b=x^z$, $[Q,Z]=1$
\item[i)] $[z,S]=1$ 
\item[j)] ebenso $[z^g,S]=1$; $z^G=N$, $S\lhd SN\text{ sn }G$ Wid.
\end{itemize}
\begin{flushright}103/104\end{flushright}
\begin{center}$AB$: Maier~~~"'Subnormalität in faktorisierten Gruppen"'\end{center}
\item[Satz 2] $G=AB$, $S\text{ sn }\begin{cases}A\\B\end{cases}$, $S=S^\prime$ einfach (oder auch nur: ${}^\ast S$ von Involutionen erzeugte perfekt einköpfig)\\
$\Rightarrow S\text{ sn }G$.
\item[Frage: 2a] Sei $i\in A\le G$, $i^2=1$, $A=\langle i\rangle^A$. Für jedes $u\in G$ mit $u^i=u^-$ und $|\langle u\rangle|\in\PP$ gelte $u\in A$. Ist dann $A\text{ sn }G$?\\
Bew: 
\[
T:=\langle S^g\big| g\in G,S^g\text{ sn }\begin{cases}A\\B\end{cases}\rangle\text{ sn }\ofrac{A}{B}
\]
$S\le T\le \mathcal{N}T^a\cap\mathcal{N}T^b$, $\forall a\in A,b\in B$.\\ 
Sei $t$ eine Involution in $T$ und $i$ ein zu $t$ eng konjugiertes El't von $G$: $i\underset{\langle i,t\rangle}{=}t$\\
Zu zeigen: $i\in T$:\\
$\exists~i=:a^-b~~~b=a^i$,\\ 
$T$ normalisiert $T^a$ sowie $T^{b}=T^{ai}$\\
$T^i$ normalisiert daher $T^{ai}=T^b$ sowie $T^a=(T^{ai})^i$\\
$t\in T\le\langle T,T^i\rangle\lhd\langle T,i\rangle$, $t\underset{\langle i,T\rangle}{=}i$, also $i\in\langle T,T^i\rangle\le\mathcal{N} T^a$,\\ 
$T^a=T^{ai}=T^b\text{ sn }\ofrac{A}{B}$, $T^a=T=T^b$, $\mathcal{N}(T)\ni a,b,a^-b,i$,\\ $t\in T\lhd\langle T,i\rangle$, $t\underset{\langle\Gamma,i\rangle}{=}i$ also $i\in T$.
\item[H.Satz 3]$G=AB$, $S\text{ sn }\ofrac{A}{B}\Rightarrow S\text{ sn }G$.
\item[$3^\ast$]$A\text{ sn }B_i$, $B_i\wp B_{k}\Rightarrow A\text{ sn }\prod B_i$
\item[5.9.79] Bew: Satz 1, Satz 2, $40_7$ genügt für $|S|=p$: In min Gegenb. $\exists R_1=R_1^\prime\text{ sn }S$, $R_1$ einfach (2): $R_1\text{ sn }G$; $R_1^g\lhd N:=R_1^G$; $R:=\langle R_1^g\big| R_1^g\le A\cap B\rangle^\prime$.\\
$\mathcal{N}_G(R)$ zerfällt gemäß $AB$; $\mathcal{N}_G(R)=G$, sonst $S$ sn $\mathcal{N}_G(R)\ge N$;\\ $S\text{ sn }NS\text{ sn }G$ Wid..\\
Also $N=R\le A\cap B\le A$. $S\text{ sn }NS\text{ sn }G$.
\end{itemize}
\begin{flushright}104/105\end{flushright}
\begin{center}Kleiner Subnormalisator\\Länge Konjugiertheit\end{center}
5.9.79
\begin{itemize}
	\item[FRAGEN: 1] $A\le G$, $b,c\in G$; $A\text{ sn }\langle A,b\rangle$, $A\text{ sn }\langle A,C\rangle$ $bc=cb$ $\underset{?}{\Rightarrow}A\text{ sn }\langle A,b,c\rangle$?
	\item[$1^\prime$] Wenn der kleine Subn. von $A$ in $G$ zu jedem $p\in \PP$ eine $p$-Sylowgr. von $G$ enthält, ist dann $A\text{ sn }G$?\\
	Was, wenn er für festes $p$ \underline{alle} $p$-SylGr v. $G$ enthält?
	\item[Bem: 2] Sei $A\le G$, $M\subseteq G$, $M\underset{\langle M,A\rangle}{\subseteq} A$. Dann ist $M\subseteq A^{\langle M\rangle}$\\
	Bew: $\langle M\rangle\le A^{\langle M,A\rangle}=A^{\langle\langle M\rangle,A \rangle}=A^{\langle M\rangle}$
	\item[3] Bsp: Sei $T\le G$ \underline{eng konjugiert} zu einer Ugr. von $A$. Dann\[
	T\le A^T.
	\]
	$[$Pfeile von H.Satz 3 auf S. 104 auf (3,5) und die Fragen 4 und 5):$]$
	\item[(3,5)] $A\wp B\subseteq\text{ sn}_G^I(A)\Rightarrow A\text{ sn }G:=AB$\\
	Bew: $\langle A,g\rangle=\langle A,b\rangle$\\
	\rule{11cm}{0.5pt}
	\item[Frage 4] Folgt aus $G=AB$, $S\le G$, $S\lhdd\langle S,a\rangle$ $\forall a$, $S\lhdd\langle S,b\rangle\forall b$
	\[\text{ stets }S\,\,\underset{(k)}{\text{sn}}\,\,G?
	\]
	ja für $S=S^\prime$ einf $\widehat{A}:=\langle S,A\rangle, \widehat{B}:=\cdots$
	\item[Verallg. v. Maier~~Frage 5] Folgt aus $A\wp B\wp C\wp A$, $B\cup C\subseteq\text{ sn}_G(A)$ stets
	\[
	A\text{ sn }ABC~~?
	\]
\end{itemize}
\begin{flushright}105/106\end{flushright}
\begin{center}$AB$\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)]
\[
\underset{|G|<\infty}{A< G}=AB\}\Rightarrow B\nsubseteq\bigcup A^g=\bigcup A^b
\]
Sonst $\forall~b\exists b_1:b\in b_1^-Ab_1\cap B=(A\cap B)^{b_1}$
\[
B=\bigcup\limits_b(A\cap B)^b=\bigcup D^b~~~~B=D=A\cap B~~~B\le A~~~~G=A\text{ Wid.}
\]
\end{itemize}
\begin{flushright}106/107\end{flushright}
\begin{center}$\lhd\lhd\Rightarrow\lhd$~~~Normalisatorsatz, wann $A\subseteq\mathcal{N}B$ ?\end{center}
16.9.79
\begin{itemize}
\item[Satz]Eine $p$-perfekte Gruppe $A$ wirke auf eine Gruppe $H$ und zentralisiere die $A$-Kompositionsfaktoren von $H$, welche $p$-Gruppen sind. Dann
\begin{itemize}
\item[a)] zentralisiert $A$ jeden $A$-Subnormalfaktor von $G$, der $p$-Gruppe ist;
\item[b)] $A$ normalisiert jeden rein $p$-köpfigen Subnormalteiler $B$ von $H$ und zentralisiert $B/B^p$.
\end{itemize}
Bew:
\begin{itemize}
	\item[a)] $A$ ist $p$-perf. und zentralisiert den $p$-$A$-Faktor schichtweis.
	\item[b)] OBdA sei $H=B^A$. $A$ normalisiert $Q:=H^{\wp\wp^\prime}$, wo $\wp=\{C_{\wp}\}$ $\wp^\prime=\mf{E}-\wp$\\
	$H=H^\wp B$, da $H^p\le H\anmerk\le H$ und $H/H^\wp$ von $A$ zentralisiert wird (a); also $B^A\le(H^\wp B)^A=H^\wp B\le H\cdot\alpha:=\wp\wp^\prime$.\\
	Wegen $B^{\wp^\prime}=B$ ist $H=H^{\wp^\prime}=H^{\wp\wp^\prime}B^{\wp^\prime}B$\\
	$H=BH^\alpha\Rightarrow H^\alpha=B^\alpha H^{\alpha^2}$, $H=BH^{\alpha^2}$; $\cdots$; $H=BH^{\alpha^n}=B$\\
	Nun ist $B/B^p$ ein $p$-$A$-Faktor, wird also nach a) von $A$ zentralisiert.
\end{itemize}
\begin{flushright}107/108\end{flushright}
\begin{center}$\lhd\lhd\Rightarrow\lhd$\end{center}
\item[Satz 2] $A=A^p\text{ sn }G$, $B=B^{\wp^\prime}\text{ sn }G$ dh jeder Kopf von $B$ ist $\cong C_p$; $A$ zentralisiere alle $p$-Hauptfaktoren von $A\cap B^A$. Dann $B^A=B$ und $A$ zentralisiert die $p$-Fakt v. $B$.\\
Schärferes gilt bei $p$-Auflösbarkeit.\\[5mm]
Bew: Satz 1: $AB=BA\cdot H:=B^A$, 
\begin{center}
\unitlength1.5mm
\begin{picture}(0,20)
\drawline(5,5)(-1,11)
\drawline(-1,11)(5,17)
\drawline(5,17)(11,11)
\drawline(5,5)(11,11)
\drawline(8,14)(2,8)
\dottedline{0.7}(0.5,12.5)(3.5,9.5)
\drawline(2,14)(5,11)
\drawline(3.5,15.5)(6.5,12.5)
\put(3,9){\vector(-1,-1){1}}
\put(2.5,10.5){\vector(1,-1){1}}
\put(4,12){\vector(1,-1){1}}
\put(5.5,13.5){\vector(1,-1){1}}
\put(-3,11){\makebox(0,0){$\scriptstyle A$}}
\put(0,8){\makebox(0,0){$\scriptstyle K$}}
\put(3,3){\makebox(0,0){$\scriptstyle D$}}
\put(14,11){\makebox(0,0){$\scriptstyle B$}}
\put(10,15){\makebox(0,0){$\scriptstyle H$}}
\put(5,17){\makebox(0,0){$\scriptstyle \bullet$}}
\put(-15,8){\makebox(0,0){$\scriptstyle \bullet{}^A=\bullet$}}
\drawline(5,5)(5,0)
%\drawline(4.5,19)(5.5,19)
\put(2,8){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(8,14){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(-1,11){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(5,19){\makebox(0,0){$\scriptstyle AB$}}
\end{picture}
\end{center}
$A$ zentr die $A$-Kompfaktoren von $AB$ bis $A$ (weil $A\text{ sn }AB$), also die von $H$ bis $K$, und nach Vor. die von $K$. Also die von $H$.
\item[Satz 3] Sei $A=A^\wp\text{ sn }G$, $B=B^{\wp^\prime}\text{ sn } G$. Für $B=B^A$ ist notw. $+$ hinr., daß $A$ die $p$ Hauptfaktoren von $A\cap B^A$ bis $D_A$ zentralisiert, wo $D:=A\cap B$.\\
NB: $A$ zentral. dann die $p$-Faktoren von $B/D_A$.\\%\newpage
Bew:
\[
D_A=(A\cap B)_A=A\cap B_A=A\cap B_{BA}=A\cap B_G
\]
$B_G=B_{BA}=B_A$, $A\cap B_G=D_A$, $\overline{G}:=G/B_G$ usw.
\begin{center}
\unitlength1mm
\begin{picture}(0,41)
\drawline(5,5)(-16,26)(-2,40)(12,26)(-2,12)(5,5)(12,12)(-9,33)
\drawline(-9,19)(5,33)
\put(12,12){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
\put(6,6){\vector(-1,-1){1}}
\put(-1,13){\vector(-1,-1){1}}
\put(-8,20){\vector(-1,-1){1}}
\put(6,20){\vector(-1,-1){1}}
\put(-1,27){\vector(-1,-1){1}}
%\put(-8,34){\vector(-1,-1){1}}
\put(11,27){\vector(1,-1){1}}
\put(2,5){\makebox(0,0){$\scriptstyle D_A$}}
\put(-4,12){\makebox(0,0){$\scriptstyle D$}}
\put(-14,19){\makebox(0,0){$\scriptstyle A\cap B^A$}}
\put(-21,26){\makebox(0,0){$\scriptstyle A^p=A$}}
\put(15,12){\makebox(0,0){$\scriptstyle B_G$}}
\put(17,26){\makebox(0,0){$\scriptstyle B=B^{p^\prime}$}}
\put(12,33){\makebox(0,0){$\scriptstyle B^G=B^A$}}
\put(-2,42){\makebox(0,0){$\scriptstyle AB=:G$}}
\put(-13,33){\makebox(0,0){$\scriptstyle AB_G$}}
\end{picture}
\end{center}
Frage: Beziehung zu Schmid ?
\begin{flushright}108/109\end{flushright}
\begin{center}Normalisator-Satz: $\lhd\lhd\to\lhd$\end{center}
\item[Satz 4] Ist $\overline{A}$ sn $G$ und ist jeder $p$-Hauptfaktor von $\overline{A}$ zentral, so normalisiert
\item[16.9.79]
\begin{itemize}
\item[(a)] jeder $p$-perfekte Subnormalteiler $A$ von $\overline{A}$ jeden Subnormalteiler $B$ von $G$, der von $p$ Elementen erzeugt wird ($B=O^{p^\prime}B$).
\item[(b)] jeder $A\text{ sn }\overline{A}$, $A=O^{p^\prime}A$, jeden perfekten SNT $B$ von $G$, der $B=O^{p^\prime}B$ hat.
\end{itemize}
Bew: (a): $3$; (b) $4$~~~~~Folge: 7
\item[Satz 5] Ist $E$ eine einfache nichtabelsche Gruppe, $A\text{ sn }G$, so normalisiert $A$ einen $E$-köpfigen Subnormalteiler $B$ von $G$ genau wenn $A$ das Erzeugnis der $E$-köpfigen SNT von $D=A\cap B$ normalisiert.
\item[Zusatz $4^\prime$] für 4(b) genügt auch, daß jeder Hauptfaktor von zwischen $A\cap B^A$ und $A\cap B$, der $\cong$ $E\times\ldots\times E$ ist, sogar $\cong E$ selbst ist.
\item[NB 6] Die Subnormale Hülle einer Thompson-Untergruppe von $A$ ist charakteristisch in $A$.
\begin{flushright}109/110\end{flushright}
\begin{center}$\lhd\lhd\to\lhd$; Sockelsatz\end{center}
\item[7] Sei $a$ im Zentrum einer $2$-SylGr eines Subnteilers von $G$ und $A=\langle a\rangle^{\cdot\cdot G}$. Dann normalisiert $A$ und jeder zu $A$ isomorphe Subnormalteiler von $G$ jeden perfekten Subnormalteiler $B$ von $G$.\\
Bew: $A$ normalisiert jeden seiner perfekten Subnormalteiler. 109($4^\prime$)\\[5mm]
Eine Verallgemeinerung des Sockelsatzes:\\
Großer Sockelsatz:
\item[Satz 8\begin{picture}(0,0)\put(-32,-10){17.9.79}\end{picture}] Sei $M/M_0$ ein Hauptfaktor von $G$; sei $S$ sn $G$, und kein Kopf von $S$ sei $\cong$ zu einem Kompositionsfaktor von $M_0$, so ist $M\le\mathcal{N}(S)$\\
Bew: $M_0S\lhd MS$; für $\mf{K}=\{\text{ Köpfe }S\}$ ist
\[
S=(M_0S)^\mf{K}\vartriangleleft MS.
\]
\end{itemize}
\begin{flushright}110/111\end{flushright}
\begin{center}Kosubnormalität\end{center}
\begin{itemize}
\item[Satz 1\begin{picture}(0,0)\put(-32,-10){17.9.79}\end{picture}]Sei $B$ eine gegen \underline{Hom} von $J:=\langle A,\cdots,A_n\rangle$ \underline{invariante Bedingung} für $\{A_1,\cdots,A_n\}$, welche zusammen mit\\ $\underline{A_i\in\mf{G}_p\text{ und }A_i,A_k\text{ kosubnormal }\forall i,k}$ zur Folge hat: $J\in\mf{G}_p$. Dann folgt aus $A_i$ beliebig, $A_i\text{ ksn }A_k$ $\forall ik$ und $B$ stets: Jedes $A_i$ sn $J$ $(i=1\cdots n)$\\[5mm]
Bew: Min Gegenb: $|J|+\sum|A_i|=\min\exists A_i\not\in\text{ sn }J$
\begin{itemize}
\item[(a)] Wegen $A_i\text{ sn }A_iN$, $N=\langle A_1^\mf{N}\cdots A_n^\mf{N}\rangle$ ist $N=1$, alle $A_\sigma\in\mf{N}$
\item[(b)] $\exists p$: $p(A_i)\not\in\text{ sn }J$. Hierfür $Q:=\langle A_1^{p^\prime},\cdots, A_n^{p^\prime}\rangle=1$.
\[
p(A_i)Q\lhd A_i Q\text{ sn }J\text{ wenn }Q\not=1.
\]
\item[(c)] also alle $A_j\in\mf{G}_p$, dann $A_i\le J\in\mf{G}_p$ $A_i\text{ sn }J$ Wid.
\end{itemize}
\item[Bsp: (2)] $A,B,C$ pw ksn, $A\wp\langle BC\rangle\Rightarrow A,B,C\text{ sn }J$.
\item[FRAGE:]Ähnliches bei Kriterien für $A_1\text{ sn }\langle A_1,\cdots,A_n\rangle$
\end{itemize}
\begin{flushright}111/112\end{flushright}
\begin{center}Kosubnormalität und Vertauschbarkeit\end{center}
\begin{itemize}
	\item[Satz 1] Sei $A_i\le G$, $(i=1\cdots n)$, $A_i$ csn $A_j$ $\forall i,j$.\\ 
\makebox[0pt][r]{17.9.79~~}Genau dann ist jedes $A_i\text{ sn }\langle A_1,\cdots,A_n\rangle =:J$, wenn $J$ aus den $A_1,\cdots, A_n$ durch folgende Operationen gewonnen werden kann, kurz:\\ $J\in \mf{H}(A_1,\cdots,A_n)$: 
\begin{itemize}
	\item[a)] $X,Y\in\mf{H}\text{ und }XY=YX\Rightarrow XY\in\mf{H}$ 
	\item[b)] $X\le Y\le\mf{H}\Rightarrow X\le\mf{H}$
	\item[c)] $X\in\mf{H},g\in J\Rightarrow X^g\in J$.
\end{itemize}
\item[FRAGE] Ähnliches für $A_1\text{ sn }J$? ja: 116 ($1^\prime$)\\
Bew: Die Bedgg ist homom.-invariant, und wenn alle $A_i\in\mf{G}_p$, so auch alle $X\in\mf{H}(\{A_1,\cdots,A_n\})$. Nun $111_1$.
\item[Bem 2] NB: Ist $X\text{ sn }\langle X;Y\rangle$, so $\langle X;Y\rangle\in\mf{H}(X;Y)$.
\item[Bem 3] Sind $A,B,C\le G$ und $C=ABA$, so kann die Ordnung von $C$ andere Primteiler haben, als solche $|A|$ und $|B|$.\\
Bsp: $A=\langle(12)\rangle,~~B=\langle(23)\rangle~~C=$\\
Fortsetzg. 115
\end{itemize}
\begin{flushright}112/113\end{flushright}
\begin{center}Remak: $\lhd\lhd$ Eindeutigkeit von Deckgr.\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] Wenn $G$ nur einen einzigen Kompositionsfaktor $\cong E$ hat, gibt es dazu auch nur eine einzige einköpfige sn Deckgruppe, nämlich $G^{\{E\}^\prime}$
\item[(2)] Wenn $E$ ein Kopf von $G$ ist, der im Rumpf $R$ von $G$ nicht mehr vorkommt, so ist die zur $E$-Komponente von $G/R$ gehörige minimale sn Deckgruppe eindeutig bestimmt: $G^{\{E\}^\prime}$
\begin{center}$\lhd\lhd$ und Permut.-Gr.\end{center}
\item[(3)] Ist $G$ eine primitive $P$-Gruppe und $S\text{ sn }G$, so ist jeder Konstituent von $S$ treu.
\end{itemize}
\begin{flushright}113/114\end{flushright}
\begin{center}Subnormalisatoren\end{center}
Def: 
\begin{eqnarray*}
\mathcal{S}_0(A,G)&:=&\{g\in G\big| A\text{ sn }\langle A,g\rangle\}~~[\substack{\text{unvollständige Korrektur}\\ \text{sinngemäß ergänzt!}}]\\
\mathcal{S}_1(A,G)&:=&\{g\in G\big| A\text{ csn } A^g\}
\end{eqnarray*}
\begin{itemize}
	\item[Satz (1)] $A,H\le G$, $H\subseteq\mathcal{S}_1(A,G)\Rightarrow H\subseteq\mathcal{S}_0(A^\mf{N},G)$ ja sogar $A^\mf{N}\text{ sn }\langle A,H\rangle$\\[5mm]
	Bew: $\forall h\in H$: $A^h\text{ csn }A$. Nach XV 196(4) ist
	\[
	A^\mf{N}\text{ sn }\langle A^h\big| h\in H\rangle=A^H\lhd\langle A,H\rangle.
	\] 
	\item[Frage (2)] Folgt aus $N\unlhd G$, $N\subseteq\text{ sn}_GA\cap\text{ sn}_GB$ stets $N\subseteq\text{ sn}_G\langle A,B\rangle$?
	\item[Unters. (3)] Subnormalisator nach Bartels, Schluß der Diss.
	\item[Vorschlag (4)\begin{picture}(0,0)\put(-85,-12){(Nachtrag 26.1.80)}\end{picture}] 
	$
	\text{Subn}_GA=\{g$, die wenigstens eine meiner verschied. Bedingungen er\-fül\-len$\}$
	\item[(5)] Axiomatisch verlangen könnte man von $\mathcal{S}n_GA$:
	\begin{gather*}
	\mathcal{S}n_GA\cap\mathcal{S}n_GB\le\mathcal{S}n_G(A\cap B),\\
	U,V\subseteq\mathcal{S}n_GA,~~~UV=VU\Rightarrow UV\subseteq\mathcal{S}n_GA.
	\end{gather*}
\end{itemize}
\begin{flushright}114/115\end{flushright}
\begin{center}Kosubnormalität\end{center}
\begin{itemize}
	\item[Bsp (1)] Es gilt für jede Primzahlpotenz $q\ge 3$ vier elementar abelsche Permutationsgr. der Ord $q$ auf $\Omega=\{1,\cdots,q^3\}$, von denen je $3$ kosubnormal sind mit Erzeugnis $A\times\text{ Alt }q^2$ (oder $\times$ Sym $q^2$)\\
	z.B. $q=3$: Würfel mit $3$ Ebenen und $D$ zykl Perm $d$ Ebenen spurtreu.\\
	%\begin{center}
	\unitlength1mm
	\hspace*{2cm}\begin{picture}(0,20)
	\put(0,0){\makebox(0,0){$\cdot$}}
	\put(0,5){\makebox(0,0){$\cdot$}}
	\put(0,10){\makebox(0,0){$\cdot$}}
	\put(5,0){\makebox(0,0){$\cdot$}}
	\put(5,5){\makebox(0,0){$\cdot$}}
	\put(5,10){\makebox(0,0){$\cdot$}}
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	\put(10,10){\makebox(0,0){$\cdot$}}
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	\put(20,0){\makebox(0,0){$\cdot$}}
	\put(20,5){\makebox(0,0){$\cdot$}}
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	\put(0,10){\vector(1,0){5}}
	\put(5,10){\vector(1,0){5}}
	\spline(10,11)(8.5,12)(5,13)(1.5,12)(0,11)
	\put(1,11.5){\vector(-2,-1){1}}
	\drawline(20,5)(25,0)(30,0)
	\put(40,5){\ellipse{2}{12}}
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	%%%
	\put(45,5){\ellipse{2}{12}}
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	%%%
  \put(50,5){\ellipse{2}{12}}
	\put(49,5.5){\vector(0,-1){1}}

	\end{picture}
	%\end{center}
	\item[Bsp (2)] Geht man von diesem Beispiel über zu $X=A$, $Y=B^A$, $Z=C^A$, $U=D^A$, so sind $\{XYZU\}$ paarweise kos. und es ist $X$ vtb mit $Y,Z,U$; jedoch ist nicht $X\text{ sn }\langle XYZU\rangle$.\\
	Das widerlegt Vermutung XV 196 ($3^\prime$)
	\item[Def.:] "'Vertauschbar erzeugt"':
	\item[(3)] Kosubn. $+$ Vertauschbarkeit:\\
	Def: Seien $A_1,\cdots,A_n\le G$. Sei $\mf{H}(A_1,\cdots,A_n;G)$ die Menge der Untergruppen von $G$, die
	\begin{flushright}115/116\end{flushright}
	\begin{center}Kosubn. $+$ Vertauschbk.\end{center}
	sich ausgehend von $A_1,\cdots, A_n$ so konstruieren lassen:
\begin{itemize}
	\item["`Vertb. Erzeugg."'~~(c)] $Y\le X\in\mf{H}\Rightarrow Y\in\mf{H}$
	\item[(a)] $X_0Y\in\mf{H}$ und $XY=YX\Rightarrow XY\in\mf{H}$
	\item[(b)] $Y\underset{G}{=}X\in\mf{H}\Rightarrow Y\in\mf{H}$ (auch (e) $X,Y\in\mf{H}, X\text{ csn }Y\Rightarrow\langle X,Y\rangle\in\mf{H}$ kann man beutzen).
\end{itemize}
Dann gilt:
\item[Satz 1]Seien $A_1\cdots A_n$ paarweise kosubnormale Untergr. von $G$, sei \[G=\langle A_1,\cdots, A_n\rangle.\] \makebox[0pt][r]{Verallg. 119~~~}Genau dann sind $\underline{\text{alle  }A_\nu}\text{ sn }G$, wenn $\bigcup\{X\big| X\in\mf{H}(A_1,\cdots, A_n)\}=G$.\\
(kurz: Wenn $G=\langle A_1,\cdots, A_n\rangle_\wp$)\\
Bew: Notwendigkeit ist klar, da für $X,Y\text{ sn }G\langle XY\rangle\in\mf{H}(X,Y)$. vermöge (a) und (b).\\
Hinr.: Die Bed. ist inv. gegen Hom von $J$, und wenn alle $A_\nu\in\mf{G}_p$, so enthält $\mf{H}(A_1\cdots A_n)$ nur $p$-El'te, also ist dann $G\in\mf{G}_p$.\\ 
Entsprechend
\item[Satz $1^\prime$] Genau dann ist $A_1$ sn $J$, wenn $A_1^G\subseteq\bigcup(\mf{H})$
\item[Bsp:] $\{A_\nu\}$ pw csn und 
\[
\{ A_1\cdots A_5\}\text{ csn }, \{A_5\cdots A_{10}\}\text{ con }, \langle A_1,\cdots, A_5\rangle \wp\langle A_5\cdots A_{10}\rangle\Rightarrow A_\nu\text{ sn }J.
\]
Forts. 119
\end{itemize}
\begin{flushright}116/117\end{flushright}
\begin{center}Verallgemeinerte Subnormalität\end{center}
\begin{itemize}
\item[Aufgabe: (1)] Das Zentral. -\& Invertierungskriterium von ROSEBLADE auf $\ell$sn und $\ell$sn$\ell$ erweitern.
	\item[(2)] Weitere Verallgem. der hom. Subn:\\
	$A$ weakly subnormal in $G$: $\iff$\\
	$A$ ($\ell$sn)$^kG$ oder ($\ell$sn$\ell$)$^kG$ für passendes $k\in \NN$.\\
	Rechenregeln aufstellen !\\
	Es ist z.B. wahr, daß
	\[
	X\lhd Y\text{ $\ell$sn$\ell$ }G\Rightarrow X\text{ $\ell$sn$\ell$ } G,
	\]  
	aber für $X$ $\ell$sn$\ell$ $Y\lhd G$ ist's offen.\\
	Jeder Begriff führt zu einem Radikal: z.B. $\langle g\rangle\text{ w$\ell$sn }G$.
	\item[(3)] Bsp. für $\text{Rad}_{\text{$\ell$sn$\ell$ }}G>\underbrace{\text{Rad}_{\text{$\ell$sn }}}_{C_{2^\infty}}G\;:\;G<C_{2^\infty}]C_2$\\
	hier $=G$
	\item[FRAGE (4)] Gibt's Normalisatorsätze für subn. Kerne?
	\begin{flushright}117/118\end{flushright}
	\begin{center}$\ell$sn$\ell$ etc.\end{center}
	\item[(4)] Vielleicht ist $A=A^\prime\text{ $\ell$sn }G$, $B\text{ $\ell$sn }G\Rightarrow A\wp B$ zu beweisen mit Ver\-schär\-fung des sn-Satzes:\\
	Wenn $B\text{ sn}^kG$  $A(\circ A)^r\wp B$ für passendes $r=f(k)$.\\
	Methode Brewster-Roseblade\\[7mm]
	\mbox{}
	\item[119.9] Beschreibe die maximalen Simplizes im KSn-Graph.
	\item[119.8] Weiß man was über auflösbare, ksn erzeugte $G$?
	\item[119.7] Zieht schwache Vtbkeit der $A^g$ Subnorm. nach sich, wenigstens wenn $G\in\mf{S}$?
	\item[119.6] Nenne Menge $\mf{M}$ Ugr von $G$ schwach vtb, wenn $\langle M\rangle$ ein $U$-Produkt von innen ist: Schrittweise durch konj. $A_1^{a_2}$ und $A_1\le\mathcal{N}A_2\Rightarrow$ $A_1A_2$.
	\item[119.5] :$\{G_i\}$ paarweise ksn. Dann: Genau dann erzeugen die $G_i$ ihr Erzeugnis $G$ "'vtb"', wenn sie es lokal tun, d.h. nach Proj ihrer Konj in je eine $p$-Sylowgr von $G$.\\
	äqu: Wenn sie lokal \anmerk \ haupterzeugen.
	\item[119.4] Seien $A,B$ $p$-Ugr, $\langle A,B\rangle=ABA$. Ist $\langle A,B\rangle$ $p$-Gr. $[$Verweispfeil hierauf von S. 119$\;]$
\end{itemize}
Ich hatte doch mal einen Satz über $\langle A,B,C\rangle$, wo $A,B\text{ sn }G$, aber $C\le G$. Wo ist er?!\\
muß "`einseitige"' Kosubn. Vorauss. erlauben $[$Verweispfeil hierauf von S. 119, Frage 3$]$
\begin{flushright}118/119\end{flushright}
\begin{center}Kosubnormalität und Vertauschbarkeit\end{center}
\begin{itemize}
\item[Hauptsatz 1\begin{picture}(0,0)\put(-63,-12){\begin{minipage}[t]{3cm}~~~~~18.9.79\\(Forts. v. 116)\end{minipage}}\end{picture}]Seien $A_1\cdots,A_n$ \underline{paarweise vertauschbar und kosubnormal}. Dann besteht jedes Gegenbeispiel mit minimalem $|J|$, $J=\langle A_1,\cdots,A_n\rangle$, gegen die Vermutung, daß eine gewisse homomorphie-invariante Bedingung hinreicht für $B:=\text{ sn }J$, aus lauter $p$-Gruppen mit gleichem $p$.\\
	Damit erweitert sich $116_1$ entsprechend.\\
	Bew: 
\begin{itemize}
	\item[a)] Alle $A_\nu^\mf{N}=1$ sonst ihr Erz. $N\not=1$, $BN\text{ sn }J$; aber $B\text{ sn }BN$ (sogar $A_i\text{ sn }BN~~(i=1\ldots k)$ XV 196 (3).
	\item[b)] Ang. $\exists$ $p\not=q\in\PP$ mit $\ofrac{p}{q}$ teilt $\prod|A_\nu|$.
	\[
	J\rhd\begin{cases}
	J^\prime:=\langle A_\nu^\prime\rangle&A_\nu^\prime=p\text{-Syl }A_\nu\\
	J^{\prime\prime}:=\langle A_\nu^{\prime\prime}\rangle&A_\nu^{\prime\prime}=p\text{-Kpl }A_\nu
	\end{cases}
	\]
	$J^\prime, J^{\prime\prime}$ ($=\langle A_\nu^p\rangle$) sind $\lhd\, J$ $[$XV 195 (1)$]$, $J=J^\prime J^{\prime\prime}$\\
	Wäre $J^\prime \cap J^{\prime\prime}=D\not=1$, so $D\le Z(J)$, da $[J^\prime, J^{\prime\prime}]=1$ $([A_\rho^\prime A_\sigma^{\prime\prime}]=1)$\\
	Min gibt $BD\text{ sn }J$, aber $B\lhd BD$. Also $J^\prime\cap J^{\prime\prime}=1$.\\ $\Rightarrow BJ^{\prime\prime}\cap BJ^\prime\text{ sn }G$, mit $B^\prime:=\langle A_\kappa^\prime\big| \kappa=1\ldots k\rangle$  aber $B^\prime J^{\prime\prime}\cap B^{\prime\prime} J^\prime=B^\prime(J^{\prime\prime}\cap J^\prime B^{\prime\prime})=B^\prime(J^{\prime\prime}\cap J^\prime)B^{\prime\prime}=B^\prime B^{\prime\prime}=B$.\\
	Also alle $A_\nu$ $p$-Gruppen.
\end{itemize}
\item[Frage 2.] Genügt es für $A\text{ sn }G$, wenn sich $A^G$ als "'vertauschb. Produkt"' von konjugierten $A^g$ darstellen läßt?
\item[Frage 3] Genügt $A_1$ sn $\langle A_1,A_2\rangle$, $A_2\text{ sn }\langle A_2A_3\rangle$, $A_3\text{ sn }\langle A_3A_1\rangle$
\end{itemize}
\begin{flushright}119/120\end{flushright}
\begin{center}$AB$: Vertauschbarkeit $A\wp B$\end{center}
\begin{itemize}
	\item[(1)] Für $AB=BA$ genügt es \underline{nicht}, wenn zu jedem $p$ SyGr $A_p\text{ csn }B_p$ existieren. Sonst würde aus $A_0\lhd A\wp B$ folgen $A_0\wp B$, oder einfacher: $P$-Gr $G=\langle A,B\rangle\not\Rightarrow A\wp B$.
	\item[(2)] Aus $N\lhd AB$ folgt nicht $N=(N\cap A)(N\cap B)$.\\
	Bew:  sonst wäre jede Ugr einer faktorisierenden $p$-Gr.  fakt. Aber:  
	\item[(3)] Aus $N\lhdd B$, $\big(\overset{\substack{\pi\\|}}{|A|},\overset{\substack{\pi^\prime\\|}}{|B|}\big)=1$ folgt $N=(N\cap A)(N\cap B)$; es genügt sogar $N\wp A$, $N\wp B$.\\
	Bew: Wegen $N\wp A$ ist $N\cap A\in\mathcal{H}_\pi(A)$, und allgemein $X=X_\pi\cdot X_{\pi^\prime}$, wenn $X_\pi\in\mathcal{H}_\pi(X)$..\\
	$X:=AN\cap BN$, gibt $|\overset{\pi}{X}:\overset{\sigma}{N}|\in\pi\setminus\sigma;\,=1$.
	\begin{center}
	\unitlength2.5mm
	\begin{picture}(0,14)
	\drawline(0,0)(-6,6)(0,12)(6,6)(0,0)
	\drawline(4,4)(-2,10)
	\drawline(-4,4)(2,10)
	\drawline(0,8)(0,9)
	\drawline(0,9)(-2,10)
	\drawline(0,9)(2,10)
	\drawline(-6.2,5.8)(-4.2,3.8)
	\drawline(-4.1,3.7)(-0.2,-0.2)
	\put(-7,4){\makebox(0,0){$\scriptstyle N\cap A$}}
	\put(6.5,6){\makebox(0,0){$\scriptstyle B$}}
	\put(0,12.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle AB$}}
	\put(0,10.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle X$}}
	\put(3.5,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle BN$}}
	\put(5.5,4){\makebox(0,0){$\scriptstyle N\cap B$}}
	\put(-7,6){\makebox(0,0){$\scriptstyle A$}}
	\put(-3.5,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle AN$}}
	\end{picture}
	\end{center}
	\item[(4)]Sei $G=G_1G_2$, $G_1\cap G_2=1$; $A,B\le G$, beide zerf. $D:=A\cap B$. Dann $D=(A_1\cap B_1)(A_2\cap B_2)$
	\begin{center}Titel: Disjunkte Faktorisierungen\end{center}
	\item[\anmerk Satz ($4^\ast$)] $G=G_1G_2$, $G_1\cap G_2=1$, $A=A_1A_2$, $B=B_1B_2\le G$. $A_1\le A$ etc. $D=A\cap B$, $E=AB$. Dann
\begin{itemize}
	\item[a)] $D=D_1D_2$, $D_i=A_i\cap B_i$
	\item[b)] $E=E_1E_2$, $E_i=A_iB_i$\\[5mm]
	 Bew:
	 \item[a)] $d=a_1a_2=b_1b_2$, $d_i=a_i=b_i\in D$, $D\subseteq(D\cap A_1)(D\cap B_1):=$\\
	 $ A_i=G_i\cap A\cdots$
	 \item[b)]$|C|=\frac{ab}{d}=\frac{a_1a_2b_1b_2}{d_1d_2}=\frac{a_1b_1}{d_1}\cdot\frac{a_2b_2}{d_2}=|A_1B_1|\cdot|A_2B_2|$ $=|A_1B_1~~A_2B_2|$ $C=A_1B_1A_2B_2\subseteq(C\cap G_1)(C\cap G_2)$ da $A_1B_1\subseteq G_1$, $A_2B_2\subseteq G_2$
\end{itemize}
\end{itemize}
Das muß auch für $|G|=\infty$ gelten! Beweis?
\begin{flushright}120/121\end{flushright} 
\begin{center} $pq$-Gruppen\\besser $p$-aufl. $X,Y\le G$\end{center}
\makebox[0pt][r]{20.9.79~~}Stets sei $|G|=p^\alpha q^\beta$, $S,T,A,B,\ldots\le G$, $A_p\in p$-Syl $G$
\begin{itemize}
	\item[Df.] $G$ pk rein $p$-köpfig (oder pk $G$)\\
	\phantom{$G$ }$pe$ $p$ erzeugt\\
	\phantom{$G$ }$pf$ $p$-füssig\\
	\phantom{$G$ }$pz$ jeder \underline{normale} $p$-Faktor zentral;\\
	\phantom{$G$ }$hpz$ Haupt-zentral: jeder $p$-Hauptfakt. zentral\\ 
	\phantom{$G$ }$pZ(G)=\langle \cup~Z(G_p)\big| G_p\in p$-Syl $G \rangle$
	\item[(1)] $H\le G$ $G^{pq}=1$ $\Rightarrow H$ $hpz\iff H^{pq}=1$ (Jordan-Hölder)
	\item[(2)] $G~hpz+qk\Rightarrow G~pz$ kurz: $hpz\cap qk\subseteq pz$
	\item[(3)] $A,B\in\text{ sn }G$; $A,B~pz+qk\Rightarrow\langle A,B\rangle$ auch
	\item[(4)] $A~pz~qz\iff A\in\mf{N}$ kurz: $pz\cap qz=\mf{N}$
	\item[(5)] $A~hpz$, $B$ $\Rightarrow A\cap B\in\mf{N}$
	\item[(6)] $\left\{\begin{array}{c}pz~A\text{ sn }G\\B\text{ sn }G\end{array}\right\}\Rightarrow A^p\le\mathcal{N}(B^q)$ genügt $A~hpz$
	\item[(7)] $A\text{ sn }pZ(G)\Rightarrow A~pz$~~~~  Geht $J^G$ statt $Z(G)$?
	\item[(8)] $hpz$ $pf$ $A$ $\Rightarrow$ $A$ $p$-Gruppe
	\item[(10)]$pz(G)\le\mathcal{N}S$ und zentralisiert die $p$-Intervalle 122 $\forall~~S\in\text{ sn }G$ sogar für $K=$ Baers Kern statt $Z$\\
	$hpz=p\text{ nil }$, $pz=pn~\&~G_p\text{ ab}$\\
	$G=PQ$, $P_0\lhd P$, $Q_0\lhd Q\Rightarrow H:=\langle P_0,Q_0\rangle=(H\cap P)\cdot(H\cap Q)$ wenn $(|P||Q|)=1$
	\item[Aufg] Potenzkalkül für sn Ausschnitte\\
	$A\underset{\mf{E}}{\sim} B\iff A$ und $B$ vertauschbar durch eine Kette von $\mf{E}$ Schritten $\iff$ $A^{\mf{E}}=B^{\mf{E}}$ ist Äq., mit $\wedge$ und $\vee$ verträglich $\iff(\underline{A}=\underline{B})\iff\langle \overline{A}=\overline{B}\rangle$
	\item[NB:] $\underline{A\cap B}=\underline{A}\cap\underline{B}$
\end{itemize}
\begin{center}
\begin{picture}(0,50)
\dashline[30]{3}(0,20)(20,40)
\dashline[30]{3}(0,19)(20,-1)
\drawline(17,45)(25,37)
\drawline(17,-5.5)(25,2.5)
\drawline(17,45)(17,49)
\drawline(19,43)(19,47)
\drawline(21,41)(21,44)
\drawline(23,39)(23,43)
\drawline(25,37)(25,41)
%%%%%%%%%%
\drawline(17,-5.5)(17,-9.5)
\drawline(19,-3.5)(19,-7.5)
\drawline(21,-1.5)(21,-5.5)
\drawline(23,0.5)(23,-3.5)
\drawline(25,2.5)(25,-1.5)
\put(-0.5,19.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(20,40){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(20,-1){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
\put(7,35){\makebox(0,0){$\scriptstyle\mf{E}$}}
\put(7,5){\makebox(0,0){$\scriptstyle\mf{E}$}}
\put(-8,20){\makebox(0,0){$\scriptstyle A$}}
\put(61,40){\makebox(0,0){$\scriptstyle \overline{A}=\anmerk X~~X^n\le X$}}
\put(44,-1){\makebox(0,0){$\scriptstyle \underline{A}=A~\anmerk$}}
\end{picture}
\end{center}
\begin{flushright}121/122\end{flushright}
\begin{itemize}
\item[(1)] $A\cap G_p=B\cap G_p\iff A\underset{p^\prime}{\sim}B_p$ wo $p^\prime=\{\text{ einf }S, p\nmid |S|\}$
\item[(2)] "`Intervalle"' $\mf{x}=A:B$~~~~~$B\text{ sn }A\text{ sn }G$ wenn
\unitlength1mm
\begin{picture}(0,0)
\drawline(-60,-9)(-60,-19)(-45,-9)(-45,-19)(-60,-9)
\put(-60,-7){\makebox(0,0){$\scriptstyle A$}}
\put(-45,-7){\makebox(0,0){$\scriptstyle A^\prime$}}
\put(-60,-21){\makebox(0,0){$\scriptstyle B$}}
\put(-45,-21){\makebox(0,0){$\scriptstyle B^\prime$}}
\end{picture}
\begin{eqnarray*}
\mf{x}\cup\mf{x}^\prime&:=&\langle A,A^\prime\rangle:B\cap B^\prime\\
\mf{x}\cap\mf{x}^\prime&:=&(A\cap A^\prime):\langle B, B^\prime\rangle\\
\mf{x}\wedge\mf{x}^\prime&:=&( A\cap A^\prime):(B\cap B^\prime)\\
\mf{x}\vee\mf{x}^\prime&:=&( A\cup A^\prime):(B\cap B^\prime)
\end{eqnarray*}
sind verträglich mit $\mf{E}$ (oder noch mehr distributiven Operatoren ?!)
\item[(2)] Das Erzeugnis von Zerfall SNT und einer weiteren Ugr zerfällt \anmerk.
\end{itemize}
Programm: Subnormalverband einer aufl. $p$-$q$-Gruppe in festem "`Koordinatensystem"' $G=P.Q$ untersuchen mittels 120($4^\ast$).\\
Die "'Kord"' einer Ugr sind unabhängig von Links oder Rechts\\
Darstellung: $H=PQ=QP$\\
Wann ist $P_1 Q_1\underset{p}{\lhd}P_2Q_2$?\\
Was ist $(PQ)^\prime$?
\begin{center}$pq$\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] $H\le G=pq$-Gr ist genau dann subnormal, wenn $H$ in jedem "'Koord-System"' $G=PQ$ zerfällt (nach Kegel)\\
Bedeutung der Schur-Komplexe?
\item[(2)] $G=PQ$ auflösbar $\Rightarrow$ jede subnormale $p$-Untergr. von $G$ liegt in $P$.
\item[Hilfss (3)] $G$ $p$-auflösbar, $G=PQ$, $Q\in\mathcal{H}_\pi G$, $G$ nur $p$-Füsse (dh $O_{p^\prime}(G)=1$)\\
$\Rightarrow$ der schwache Abschluss von $Z(P)$ in $P$ liegt in $Z\underbrace{O_p(G)}_{\text{kurz: }R}$.\\
Und wenn $A$ ein maximaler abelscher Normalteiler von $R$ ist, so ist $\mathcal{C}_G(A)$ eine $p$-Gruppe. Denn die $p^\prime$-El'te darin würden $R$ zentr., aber $G$ ist $p$-günstig nach Hall-Higman.\\ 
Das gleiche gilt sogar für jeden maximalen unter den abelschen Normalteilern $A$ von $R$, die unter einer willkürlich vorgegebenen Untergruppe $H\le G$ invariant sind. (d.h. $\lhd\, RH$). (Das gibt neues $A$ z.B. in$\text{ Aut }B$ wo $|B|=27$, $B^\prime\not=1$, $\exp B=3$.
\begin{flushright}123/124\end{flushright}
Ist $H\lessdot PQ$ einf., $H$ aufl., so ist 
\[
O_p(H) = \bigcap\{P^g\big|P^g\text{ schneidet }H\text{ voll }\}
\]
\end{itemize}
\begin{flushright}124/125\end{flushright}
\begin{center}$\lhd\lhd$ Vertauschungssatz\end{center}
24.9.79
\begin{itemize}
	\item[Vermutg. 1] $A,B\text{ sn }G$, $A\wp B\Rightarrow O_p(A)\wp B$\\[5mm]
	\unitlength1mm
	\begin{picture}(0,0)
	\drawline(90,0)(80,-10)(90,-20)(100,-10)(90,0)
	\drawline(90,-20)(90,-26)
	\dottedline{0.7}(95,-5)(85,-15)
	\drawline(85,-15)(85,-20)
	\put(90,-23){\makebox(0,0){$\scriptstyle\circ$}}
	\put(78,-10){\makebox(0,0){$\scriptstyle A$}}
	\put(90,2){\makebox(0,0){$\scriptstyle G$}}
	\put(101,-5){\makebox(0,0){$\scriptstyle \langle B,A_p\rangle$}}
	\put(102,-10){\makebox(0,0){$\scriptstyle B$}}
	\put(92.5,-23){\makebox(0,0){$\scriptstyle G^p$}}
	\put(85,-22){\makebox(0,0){$\scriptstyle A_p$}}
	\put(71,-5){\makebox(0,0){$\text{sonst:}$}}
	\put(120,-5){\makebox(0,0){$\text{Wid: }A_p\wp B$}}
	\end{picture}
	Steckengebliebener\\
	Bew: Gegenbsp $|G|\min$. Dann
\begin{itemize}
	\item[a)] $G=\langle B,A_p\rangle$
	\item[b)] $A^p=B^p=G^p\lhd G$
	\item[c)] $G^p\cap G_p=1$ sonst $=N$: gibt $A_pNB$ Gruppe
	\item[d)] $[G_p,G^p]=1$\\
	Wähle $P\in p$-Sy $G$. Dann
	\item[e)] $G=P\cdot G^p$ da $|G/Gp|=p^\therefore$ (b)
	\item[f)] $\exists Z\le \text{ Ztr }P\cap G_p$, $|Z|=p$ da $1<G_p\unlhd P$
	\item[g)] $Z\le Z(G)$ (d,e)
	\item[h)] $A_pB_p\subset A_p B_pZ=$ Gruppe $[$kommt bei $j$ mit heraus$]$
	\item[i)] $\frac{|\langle A_p,B_p\rangle|}{|A_p B_p|}=p$~~~$\therefore\langle A_p,B_p\rangle=A_p B_pZ$ (denn $\le p$, und $>1$ und $=p^\alpha$)
	\begin{center}
	\unitlength1mm
	\begin{picture}(0,24)
	\drawline(0,2)(-8,10)(-8,14)(0,6)(0,2)
	\drawline(0,2)(8,10)(8,14)(0,6)
	\drawline(-8,14)(0,22)(8,14)
	\drawline(-2,20)(0,18)(2,20)
	\drawline(-2,20)(-2,16)(-8,10)
	\drawline(0,18)(0,14)(-6,8)(0,14)(6,8)
	\drawline(2,20)(2,16)(8,10)
	\drawline(-2,16)(0,14)(2,16)
	\put(-2,16){\makebox(0,0){$\scriptstyle \circ$}}
	\put(0,14){\makebox(0,0){$\scriptstyle \circ$}}
	\put(2,16){\makebox(0,0){$\scriptstyle \circ$}}
	\put(-8,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle \circ$}}
	\put(8,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle \circ$}}
	\put(0,2){\makebox(0,0){$\scriptstyle \circ$}}
	\put(0,6){\makebox(0,0){$\scriptstyle \circ$}}
	\put(0,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle Z=A_p\cap B_p$}}
	\put(-8,8){\makebox(0,0){$\scriptstyle A_1$}}
	\put(-10,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle A_p$}}
	\put(0,8){\makebox(0,0){$\scriptstyle GZ$}}
	\put(8,8){\makebox(0,0){$\scriptstyle B_1$}}
	\put(10,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle B_p$}}
	\put(0,24){\makebox(0,0){$\scriptstyle \langle A_p,B_p\rangle$}}
	\end{picture}
	\end{center}
	\item[j)] $A_pB_pZ\unlhd G$
	\[
	G^\ast:=\mathcal{N}_G(\langle A_p,B_p\rangle)\text{ zerfällt, }=A^\ast B^\ast~~G^p\underbrace{\le A^\ast\le}_{p^{\cdots}} G,\text{ also }A^\ast\text{ sn }G
	\]
	\[
	A_p\le A^\ast,\text{ daher } A^\ast=A, \langle A_p,B_p\rangle\unlhd G.
	\]
	\item[k)] $\exists ~A_1\underset{p}{\lhd} A_p$, $A_1\wp B$, $A_1\lhd A$.
	\begin{center}
	\unitlength1mm
	\begin{picture}(0,20)
	\drawline(0,2)(-8,10)(0,18)(8,10)(0,2)
	\drawline(-2,16)(6,8)
	\dottedline{0.7}(-6,8)(2,16)
	\drawline(-6,8)(-6,2)
	\put(-9,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle A$}}
	\put(-4.9,16){\makebox(0,0){$\scriptstyle G_2$}}
	\put(0,19.6){\makebox(0,0){$\scriptstyle G$}}
	\put(4.8,16){\makebox(0,0){$\scriptstyle G_1$}}
	%\put(-6,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle $}}
	\end{picture}
	\end{center}
	$B\le G_1\underset{p}{\lhd} G$, $A_1:=G_1\cap A_p$, ebenso $G_2, B_2\underset{p}{\lhd} B_p$\\
Klar: $A_p^p$ normalisiert $B^{\prime\prime}_{p}$, wenn $A,B$ csn $|A:D|=|B:D|=p$ $|G:D|=p^\alpha$
\begin{flushright}125/126\end{flushright}
\begin{center}noch vermuteter Vertauschungssatz\end{center}
\item[(l)] $A_1\cdot (B_pZ)\unlhd G$, da $\underset{1}{\lhd}\;A_p B_pZ$.\\
ebenso $B_1 A_pZ\unlhd G$\\
Bew wie k.
\begin{center}
	\unitlength1mm
	\begin{picture}(0,20)
	\drawline(0,2)(-8,10)(0,18)(8,10)(0,2)
	%\drawline(-2,16)(6,8)
	\drawline(-4,6)(4,14)
	\drawline(0,2)(0,-2)
	\put(-10,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle A_p$}}
	\put(11,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle B_pZ$}}
	\put(2,2){\makebox(0,0){$\scriptstyle C$}}
	\put(10,14){\makebox(0,0){$\scriptstyle A_1B_pZ$}}
	\put(-6,6){\makebox(0,0){$\scriptstyle A_1$}}
	\put(4,14){\makebox(0,0){$\scriptstyle \circ$}}
	\drawline(-4.5,5.5)(-3.5,6.5)
	\end{picture}
	\end{center}
\item[(m)]
\end{itemize}
Nachtrag 18.10.81:
\item[2.] Aus Vermutung 1 folgt: Sind $A,B$ $p$-Gruppen und $A\wp B$, und ist $N\unlhd AB$, so ist $A\wp(B\cap N)$ (Wahrscheinlich auch 2 $\Rightarrow$ 1).\\
Bew: Lasse $AB$ mit Kern $N$ auf $Q$ wirken, wo $Q$ keinen Kompindex $p$ hat.
\end{itemize}
\begin{flushright}126/127\end{flushright}
\begin{center}Verallg. von $\lhd$, sn in endl. Gr.;\\sn $G$\end{center}
\begin{itemize}
\item[(1)] s. Avinoam Mann, On sgps of finite solvable gps I-III\\
Sonderdruck 1972-73
\item[(2)] $|G|<\infty\Rightarrow\text{ sn }G\overset{\sim}{\le}\text{ sn }H$ für geeignetes $H\in\mf{S}\cap sG$.\\
z.B. $H=\pi=$ Sylow-Norm-Turm wo
\[
\begin{cases}
\pi\ni 2&\text{wenn }G\text{ nicht }\in\mf{S}\\
\pi\ni p&\text{wenn }p\text{ Kompos.-Index von }G.
\end{cases}
\]
\end{itemize}
\begin{flushright}127/128\end{flushright}
\begin{center}$M\mf{X} G$ und Verwandtes\end{center}
\begin{itemize}
\item[Aufgabe (1)] Bestimme die $A\le G$ mit der Eigenschaft: Ist $B\le G$ und gibt es eine Kompositionsreihe von $H:=\langle A, B\rangle,\{H_\mu\}_\mu^m$ so daß die Projektionen $A\neg H^\mu=B\neg H^\mu$ (evtl nur für die nichttrivialen $H^\mu$), so ist $A\underset{\langle A,B\rangle}{=}B$.\\
Ersteres für $G\in\mf{S}$, letzteres für $G\not\in \mf{S}$ in erster Linie.
\item[Aufgabe (2)] "`Schreiersche Wirkung"' von $A$ auf $G$?
\item[FRAGE (3)] Haben die Fitting-Injektoren $F$ in auflösb. $G$ die Injektoreigenschaft auch in jeder Zwischengruppe $H$?. JA~~Fischer-Gaschütz-Hartley, Satz 2
\item[$\text{sm}_\mf{X}$~~~FRAGE (4)] folgt aus $A\in\text{ sm}_\mf{X}G,A\in\mf{y}\subseteq\mf{X}$, auch $A\in\text{ sm}_\mf{z}G$?
\item[(5)] $A,B\in \text{ sm}_\mf{X}G$, übereinstimmende Projektionen in die dicken Ein-Hüte $\underset{?}{\Rightarrow} A\underset{\langle A, B\rangle}{=}B$?
\item[(6)] $N\unlhd G=NA$, $G/N\in\mf{X}$, $A\cap N\in\text{ sm}_\mf{X}\underset{?}{\Rightarrow}A\text{ sm}_\mf{X}~G$?\\[6mm]\mbox{}
\item[\underline{Eine allg. Def.}] von \underline{relativmaximal in $G$} könnte etwa so sein:\\ 
maximal mit Bezug auf die folgenden Konstruktionsmittel: Konjugation, Untergruppen, seminormale Produkte.
\item[Gegenbsp:] $A\text{ sm}_{X}G$, $A\le G_1\le G\not\Rightarrow A\text{ sm}_XG_1$; z.B. wenn $G_1~s_X~G$ nie. Man kann also \underline{nicht gleichzeitig} Verträglichkeit mit Zwischengruppen und Normalt. erreichen.
\end{itemize}
\begin{flushright}128/129\end{flushright}
\begin{center}Distributivität von Funktoren\end{center}
Satz:\\
\makebox[0pt][r]{9.11.79~~}Vor:
\begin{itemize}
	\item[1)] $\alpha:\text{ sn }G\to\text{ sn }G$ ($G$ endl.)
	\item[2)] $A,B\text{ sn }G$, $AB=BA\Rightarrow(AB)^\alpha=\langle A^\alpha,B^\alpha\rangle$
	\item[3)] $\alpha^2=\alpha$
	\item[4)] $A^{g^\alpha}=A^{\alpha g}$~~~$\forall~g\in G$
\end{itemize}
Dann ist $\alpha$ distributiv: $\langle A,B\rangle^\alpha=\langle A^\alpha,B^\alpha\rangle$ $\forall AB\in\text{ sn }G$.\\
NB: Selinka hat das unter der Zusatzvor.: $\alpha$ hom-vererblich $2\text{-}10$\\
Bew: Gegenbeispiel $(G,A,B):|G|$ min, dann $|G:A|+|G:B|$ min.
\begin{itemize}
	\item[a)] $X\text{ sn }Y\Rightarrow X^\alpha\le Y^\alpha$
	\item[b)] $G=\langle A,B\rangle$ sonst $G\to\langle A,B\rangle$
	\item[c)] $AB\not=BA$
	\item[d)] $H:=G^\alpha\le\mathcal{N}(A)$ sonst
	\begin{eqnarray*}
	H=G^\alpha&=&\langle A^H,B\rangle^\alpha=\langle A^{H\alpha},B^\alpha\rangle\\
	&=&\langle A^{\alpha H},B^\alpha \rangle\\
	=\langle A^{\alpha H},B^{\alpha H}\rangle&=&\langle A^\alpha,B^\alpha\rangle ^H
	\end{eqnarray*} 
	Nach a) ist $A^\alpha, B^\alpha\le G^\alpha=H,\text{ sn }H$, $=H$
	\item[e)] $N:=\langle A^\alpha,B^\alpha\rangle\le A$ sonst $G^\alpha=\langle (AN)^\alpha,B^\alpha\rangle$ (nach d)
	\item[f)] $N\le A\cap B<G=\langle A^\alpha, N^\alpha,B^\alpha\rangle=\langle N,N^\alpha\rangle=N$
	\item[g)] $N^\alpha=\langle A^{\alpha^2},B^{\alpha^2}\rangle=\langle A,B\rangle=N\le A$
	\item[h)] $N=A^\alpha$ Bew: $N=N^\alpha\leqq A^\alpha\le N$; $A\le \mathcal{N}(N)$
	\item[i)] $N\unlhd G=\langle A,B\rangle$
	\item[j)] $G^\alpha=\langle A^G, B^G\rangle^\alpha=\langle A^\alpha, B^\alpha\rangle^G=N^G=N$
\end{itemize}
NB: Will man ohne Vor. 3 auskommen, so kann man annehmen, daß $\alpha^2$ distributiv ist. Dann ist wohl 
\[
G^{\alpha^2}=N^\alpha,G^\alpha\le A\cap B
\]
\begin{flushright}129/130\end{flushright}
\begin{center}Subnormalkriterium \`{a} la Kegel\end{center}
\begin{itemize}
	\item[Satz (1)] $A\text{ sn }\langle A,P)$ $\forall P\in$ Sylowgrupp. $G\Rightarrow A\text{ sn }G$
	\item[Frage ($2^\prime$)] genügt es, wenn zu jedem $p\in\PP$ ein $P\in p$-Syl $G$ existiert mit
	\[
	A\text{ sn }\langle A,P\rangle ?
	\] 
\end{itemize}
\begin{flushright}130/131\end{flushright}
\begin{center}$M\mf{X} G$ etc. "'sn erblich große Ugr'en"'\end{center}
\begin{itemize}
	\item[9.11.79~~(1)] "`\anmerk schneidet jede in $G$ (kovariante) subnormale? Untergruppe normalisatorgleich"' .
	\item[(2)] $\{G_\nu\}^n$ SNR $G\Rightarrow$ Man kann $A_{n-1}\in\mf{L}_\pi G_{n-1}$ vorschreiben und zu einem $A\le G$ ergänzen, derart daß stets $A\cap G_\nu\in\mf{L}_\pi G_\nu$ ist $\nu=0,\cdots, n-1$.\\
	Bew: Wähle $A_{\nu-1}\in S_\pi G_{\nu-1}$ mit $A_\nu$ sn $A_{\nu-1}$. Ebenso für $S_XG_{\nu-1}$\\
	So erhält man \underline{alle} Fortsetzungen von $A_{n-1}$.
	\item[(3)] $A\mf{L}_\pi(G_1\times G_2)$, $A_1:=A\cap G_1$~~
	\(
	\underset{(AG_2\cap G_1)}{\mf{L}_\pi G_1}\Rightarrow\begin{cases}
	A=A_1\times A_2\\A_2\mf{L}_\pi G_2
	\end{cases}
	\)
	Bew:
	\begin{center}
	\unitlength1mm
	\begin{picture}(0,20)
	\drawline(0,0)(-8,8)(0,16)(8,8)(0,0)
	\dottedline{0.7}(2,14)(-6,6)
	\put(-5,7){\vector(-1,-1){1}}
	\put(-6,6){\makebox(0,0){$\scriptstyle \circ$}}
	\put(2,14){\makebox(0,0){$\scriptstyle \circ$}}
	\put(-8,6){\makebox(0,0){$\scriptstyle A_1$}}
	\put(-10,8){\makebox(0,0){$\scriptstyle G_1$}}
	\put(0,18){\makebox(0,0){$\scriptstyle G$}}
	\put(10,8){\makebox(0,0){$\scriptstyle G_2$}}
	\put(6,14){\makebox(0,0){$\scriptstyle AG_2$}}
	\end{picture}
	\end{center}
	$A~~G_\nu A$ haben gl. Proj.; $AG_2\cap G_1=A\Rightarrow A\not\in\mf{L}_\pi G$. \\
	also
	\begin{center}
	\unitlength1mm
	\begin{picture}(0,20)
	\drawline(0,0)(-8,8)(0,16)(8,8)(0,0)
	\drawline(2,14)(-6,6)
	\put(1,13){\vector(1,1){1}}
	\put(-5,7){\vector(-1,-1){1}}
	\drawline(-2,14)(6,6)
	\put(5,7){\vector(1,-1){1}}
	\put(-1,13){\vector(-1,1){1}}
	\put(-6,3){\makebox(0,0){$\scriptstyle A_1$}}
	\put(8,6){\makebox(0,0){$\scriptstyle A_2$}}
	\put(12,14){\makebox(0,0){$\scriptstyle AG_\mf{X}\equiv A_1 G_\nu$}}
	\put(-4,14){\makebox(0,0){$\scriptstyle A_1$}}
	\end{picture}
	\end{center}
	\item[Bsp. (4)]$\mf{L}_\pi-\text{ sm}_X\not=\emptyset$, z.B. $G=\text{ Alt }G$, $|A|=6$, $A^\prime\not=1\Rightarrow A\in\mf{L}_\pi G$ $\pi=2,3$, $A\not\in\text{ sm}_X G,\forall X$ $A\le G_6$ 
\end{itemize}
\begin{flushright}131/132\end{flushright}
\begin{center}sn-erblich große $\pi$-Ugr.\end{center}
\begin{itemize}
	\item[12.12.1979~~Bsp. (1)] Aus $A\in m_\pi G$, $B\in S_\pi G$, $B\neg G^\lambda\le A\neg G^\lambda\forall \lambda$ folgt nicht $B\underset{G}{\le} A$.\\
	$G=\text{ Sym }5$, $|A|=6$ mit Bahnlängen $3,2, A\le\text{ Alt }5$\\
	$|B|=4$, $b^2\in A$; etwa $A=\langle(123),(23)(45)\rangle$, $B=\langle (2435)\rangle$ 
	\item[(2)] $\forall\nu\;\; A^\nu\mf{L}_\pi G^\nu\Rightarrow A\mf{L}_\pi G$
	\item[(3)] Sei $A\cap G_\nu\mf{L}_\pi G_\nu$. Dann glw. für $B\in S_\pi G$:
\begin{itemize}
	\item[a)] $\exists\{G_\nu\}~A^\kappa B=A^\kappa$ für die kritischen $\kappa$ ($G^\kappa\not\in\mf{S}$)
	\item[b)] $A\in\mathcal{H}_\pi A^G$, $A^G$ $\pi$-sep, $B\underset{A^B}{\le} A$?  $[$? Mit Hinweis auf 133(3)$]$
\end{itemize}
\item[14.12.79~~(4)] Sei
\begin{center}
\unitlength1mm
\begin{picture}(0,15)
\drawline(0,0)(-8,8)
\drawline(0.5,0)(8.5,8)
\drawline(-8,8.5)(0,16.5)
\drawline(8.5,8.5)(0.5,16.5)
\put(0.25,-2){\makebox(0,0){$\scriptstyle G_0$}}
\put(11,8){\makebox(0,0){$\scriptstyle G_2$}}
\put(0.25,18.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle G$}}
\put(-10.3,8){\makebox(0,0){$\scriptstyle G_1$}}
\end{picture}
\end{center}
$|G_2:G_0|=p$, $A\mf{L}_\pi G$, $A_i:=A\cap G_i$, $A_1\mf{L}_\pi G_1$, $A_0\mf{L}_\pi G_0\Rightarrow A_2\mf{L}_\pi G_2$\\
vermutlich genügt $G_2/G_0\le Z(G/G_0)$ statt $|\cdot\cdot|=p$.\\
Bew:\\
Sonst $A_2\underset{\pi}{\lhd}C\le G_2$ $C\neg G^2>A\neg G^2$,
\item[?] $A\neg G^2=1$, $A_2=A_0$. $C$ normalisiert also $A\neg G/G_0$,
\item[?] $A\neg G_0$ und somit ist $C\underset{\langle A, C\rangle}{\le}A$, $A$ deckt $G_2/G_0$.\\
$A_2\not=A_0$ Wid.
\end{itemize}
\begin{flushright}132/133\end{flushright}
\begin{center}$l_\pi$ und sn\end{center}
\begin{itemize}
\item[16.12.79~~Df.] Schreibe $l_\pi$ statt bisher $\mf{L}_\pi$ (große $\pi$ Ugr.)
\item[]Sei $A\underset{\pi}{\le} G=G_0\unrhd G\unrhd\cdots G_n=1$, 
\(
\begin{cases}
A^\nu:=A\neg G^\nu\\A_\nu=A\cap G_\nu
\end{cases}
\)
\item[(1)] $A^\nu l_\pi G^\nu\forall \nu$ $\Rightarrow A l_\pi G$ lasse ${}_\pi$ weg.
	\item[($1^\prime$)] Klar: $A~l~G$, $A\le H\le G\Rightarrow A~l~H$
	\item[(2)] $G\unrhd G_1$, $A_1~l~G_1$,  
	\(
	E:=\left\langle X \le G\bigg|\begin{array}{c}
	XG_1=AG_1\\X\cap G_1=A\cap G_1
	\end{array}\right\rangle 
	\)
	$\Rightarrow$ $E$ $\pi$-sep, jedes $\underset{\substack{|\\\text{Hall}}}{Xh_\pi} E$, $\#\{X\}$ teilt $|E|_{\pi^\prime}$\\
	Bew:
	\begin{center}
	\unitlength1mm
	\begin{picture}(0,22)
	\drawline(0,0)(0,15)
	\drawline(0,16)(0,22)
	\drawline(0,10)(20,8)
	\drawline(0,19)(20,17)
	\drawline(20,0)(20,17)
	\drawline(19.8,0)(19.8,5)
	\drawline(20.2,0)(20.2,5)
	\drawline(19.8,8)(19.8,17)
	\drawline(20.2,8)(20.2,17)
	\drawline(-0.5,5)(0.5,5)
	\drawline(-0.5,10)(0.5,10)
	\put(-3,5){\makebox(0,0){$\scriptstyle A_1$}}
	\put(-3,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle G_1$}}
	\put(-12,19){\makebox(0,0){$\scriptstyle EG_1=XG_1=AG_1$}}
	\put(0,24){\makebox(0,0){$\scriptstyle G$}}
	\put(20,19){\makebox(0,0){$\scriptstyle E$}}
	\put(25,8){\makebox(0,0){$\scriptstyle G_1\cap E$}}
	\put(18,6.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle \pi^\prime$}}
	\put(25,5){\makebox(0,0){$\scriptstyle A_1=X_1$}}
	\end{picture}
	\end{center}
	$\forall X\le AG_1$ $E\le AG_1$\\ 
	$EG_1=AG_1=XG_1$\\
	$X\le \mathcal{N}A_1$~~~~$E\le\mathcal{N}A_1$, $\anmerk{}^\pi\big|E\cap G_1:A_1\big|\in\pi^\prime$
	\item[(3)] $As_\pi G$, $A_\nu lG_\nu$ $\nu=1\cdots n$,
	\[
	E:=\langle\mf{X}\rangle:=\left\langle X \le G\bigg|\begin{array}{c}
	XG_1=AG_1\\X^\nu=A^\nu~~~2\le\nu\le n
	\end{array}\right\rangle 
	\]
	$\Rightarrow E~\pi$-sep, jedes $Xh_\pi E$, $\#\{X\}$ teilt $|E|_{\pi^\prime}$~~~Bew?
	\item[(4)] $A\in\mf{L}_\pi G\cap\text{ sn }G\Rightarrow A\unlhd G$\\
	Bew: sonst $A\lhd\langle A,A^g\rangle$
	\begin{flushright}133/134\end{flushright}
	\item[(4)] $\widehat{G}\rhd G\rhd G_1$\\
	$As_\pi G$, $Bs_\pi\widehat{G}$, $A_1 l_\pi G_1$, 
	\(
	B\le \begin{cases}\mathcal{N}G_1\\\mathcal{N}(AG_1)\\\mathcal{N}(A\cap G_1)\end{cases}
	\)\\
	$\Rightarrow B\le\mathcal{N}A^t$ $\exists t\in G_1 A\cap \mathcal{N}(G_1\cap A)$\\[5mm]
	Bew: $E:=\langle\mf{X}\rangle:=\langle X\le G\big| XG_1=AG_1,X\cap G_1=A\cap G_1\rangle$\\
	$b\in B\Rightarrow~X^b G_1=(XG_1)^b=AG_1$ $X^b\cap G_1=A\cap G_1$ $E^b=E$, $B\le\mathcal{N}E$\\ 
	(2): $E~\pi\text{-sep }, EB~\pi\text{-sep }.$\\
	$\exists~H\in h_\pi EB$, $B\le H$, $B\le\mathcal{N}(H\cap E)H\cap F\in h_\pi E$.\\
	$\exists t\in BE:H\cap E=A^t$, $B\le \mathcal{N}A^t$; $E\le G\cap A\cap\mathcal{N}(G_1\cap A)$
	\item[Hilfssatz ($4^\ast$)] $G\rhd G_1$, 
	\(
	As_\pi G\begin{cases}A\cap G_1 l_\pi G_1,\\B\le s_\pi\text{ Aut }G\end{cases}, B\le\begin{array}{c}\mathcal{N}G_1\\\mathcal{N}AG_1\\\mathcal{N}A\cap G_1\end{array}
	\)\\
	$\Rightarrow B\le\mathcal{N}A^t$, $\exists t\in G_1A\cap\mathcal{N}(G_1\cap A)$ (4)\\[5mm]\mbox{}
	\item[Gegenbsp. (5)\begin{picture}(0,0)\put(-82,-12){Schliersee 19.12.79}\end{picture}] Eine Ugr $A\le G$, welche die Bilder $G_\nu$ \underline{einer} Kompositionsreihe in großen $\pi$-Ugren schneidet, braucht dies für benachbarte Kompositionsreihen \underline{nicht} zu tun\\
	Bsp:\unitlength1mm\begin{picture}(0,0)
	\drawline(10,-10)(0,-20)(10,-30)(20,-20)(10,-10)
	\drawline(10,-30)(10,-34)
	\drawline(10,-34.5)(10,-38.5)
	\drawline(10,-39)(10,-43)
	\drawline(10,-43.5)(10,-47.5)
	\put(-3,-20){\makebox(0,0){$\scriptstyle G_1$}}
	\put(15,-8){\makebox(0,0){$\scriptstyle G$}}
	\put(24,-20){\makebox(0,0){$\scriptstyle G_1^\prime$}}
	\put(7,-30){\makebox(0,0){$\scriptstyle G_2$}}
	\put(13,-34){\makebox(0,0){$\scriptstyle G$}}
	\put(14,-39){\makebox(0,0){$\scriptstyle G_1^3$}}
	\end{picture}
	\hspace*{5cm}\[G/G_2=\underset{\substack{|\\\cong A_5}}{G/G_1}\times\underset{\substack{|\\\cong A_5}}{G/G^\prime_1}\]\\[25mm]\mbox{}
	\begin{flushright}134/135\end{flushright}
	\begin{center}noch sn-erbliche große $\pi$-Untergruppen\end{center}
	$A\neg G/G_2=\langle(1\,5)(2\,4)(6\,10)(7\,9)\rangle$,\\
	$C\neg G/G_2=\langle(6\,7\,8\,9\,10)\rangle$\\
	Bilde $\bigtimes\limits_{60^2}A_5$, setze das unter $A_5\times A_5$.\\
	Wähle maximale $\pi=\{2,5\}$-Untergruppen $H$ in $\bigtimes\limits_{60^2}A_5$ derart, daß ihr Normalisator in $G:=A_5$ wr $A_5\times A_5$ gerade $AC\neg G/G_2$ deckt\\
	$G_1/G_2:=A_5\times 1$, $G_1^\prime/G_2:=1\times A_5$.\\
	Dann $A l_\pi G$, da aus $A\lhd N\in s_\pi G$ folgt $N\le\mathcal{N} H$, $N\neg G/G_2\le AC$, und $A\in l_\pi AC$, $A\cap G_1=A\cap G_1^\prime=A\cap G_2=H$\\
	Wegen $\mathcal{N}H\neg G/G_2\cap G^1/G_2=1$ ist $H l_\pi G_1$, und alle weiteren\\ $A\neg G_\nu m_\pi G_2$.\\
	Aber $A\cap G_1^\prime=H\not\in l_\pi G_1^\prime$ wegen $C:=\mathcal{N}_{G_2}H\neg G_1^q/G_1$
	\item[(6)] Man muß den Konjugiertheitssatz für sm$_\pi G$ und sn- erblich große $\pi$-Untergruppen einheitlich führen können.
	\item[Bem.: (7)] Sei 
	\(
	\begin{cases}
	\varphi\in\text{ Hom }G\\\text{Kern }\varphi~~~\pi^\prime\text{-Gruppe }
	\end{cases}, A\le l_\pi.
	\)
	Dann 
	\(
	A\in l_\pi G\iff A^\varphi l_\pi G^\varphi.
	\)
	\begin{flushright}135/136\end{flushright}
	\begin{center}sn.erblich große $\pi$-Ugr etc.\end{center}
	\item[Bem (8)] Für Konjugiertheit von $A$ und $B$ genügt es nicht, wenn für die kritischen $\kappa$ $A\cap G_\kappa l_\pi G_\kappa$, $B\cap G_\kappa=l_\pi G_\kappa$ und $A\neg G^\kappa=B\neg G^\kappa$ ist.\\[5mm]\mbox{}
	\item[Satz (9)\begin{picture}(0,0)\put(-17,-4){24.12.1979}\end{picture}] Sei $\{G_\nu\}_0^n$ SNR von $G$, $S:=G_{n-1}$, $A\cap G_\nu$, $B\cap G_\nu\in\mf{L}_\pi G_\nu$, $A\cap S=B\cap S$, SAS = SBS.\\
	Dann (a) $A\neg G^\nu=B\neg G^\nu$, $1\le r\le n$, (b) $A\underset{\langle A,B\rangle}{=}B$.\\
	Bew mit 132, 3a und
	\item[Hilfss. (10)]$A,B\le G$, $S\text{ sn }G$, SAS = SBS $\Rightarrow A\neg U/T=B\neg U/T$ whenever\\ $S\text{ sn }T\lhd U\text{ sn }G$\\
	\makebox[0pt][r]{besser: $10^\ast$~~}Bew (10): $(A\cap U)T=T(A\cap U)T=TAT\cap U=\ldots B$.\\
	denn: $TAT=T\,\text{SAS}\,T=T\,\text{SBS}\,T=TBT$\\
	Etwas schärfer: mit gleichem Beweis nur $S\to C$:
	\item[Hilfss. ($10^\ast$)]$A,B,C\le G$, $CAC=CBC\Rightarrow A\neg U/T=B\neg U/T$ wenn $C\le T\lhd U$
	\begin{flushright}136/137\end{flushright}
	\item[Kor. (11)] $A,B\in\text{ ms}_XG$ oder beide \underline{sn-erblich $l_\pi$}. Sei $S\text{ sn }G$, $A\cap S=B\cap S$, SAS = SBS. Dann $A\underset{A\,\vee\,B}{=}B$.\\
	Bew 9.
	\item[Bem: (12)] $A,B\in\text{ sm}_\mf{X} G$, $A\neg G^\mf{S}/G_\mf{S}=B\neg G^\mf{S}/G_\mf{S}$\\
	$\Rightarrow A\underset{A\,\vee\,B}{=}B$
	\item[Satz (13)] $A,B\le G$, $S\text{ sn }G$. SAS = SBS\\
	$\Rightarrow$ $A$ und $B$ haben über ihrem Durchschnitt mit $S$ dieselben Kompositionsfaktoren (mit Vfh gerechnet)
	\item[FRAGE $\text{sm}_X$ (14)] Verhalten von $\text{sm}_XG$ bei Aut $G$?
	 \item[FRAGE $\text{sm}_X$ (15)] $A,B\in\text{ sm}_X G$ mögen dieselben Projektionen in die "`dicken Einköpfe"' von $G$ haben. $A\underset{G}{=}B$?\\
	 Allgemeiner sollte man $A\neg F=B\neg F$ für "`geeignete"' sn Ausschnitte $F$ von $G$ voraussetzen.
	 \item[FRAGE (16)] $A,B$ sn erbl. groß, konormal $\Rightarrow$ $AB$ auch?
	 \item[FRAGE (17)] $A,B\in\text{ sm}_X G$, gleiche Krit. Projekionen $\overset{?}{\Rightarrow}$ alle Proj. gleich?
\end{itemize}
\begin{flushright}137/138\end{flushright}
\begin{center}$\pi$-Verträglichkeit\end{center}
\begin{itemize}
\item[27.12.79~~Def. (1)]$A_1,\cdots A_n\le G$ heißen $\pi$-verträglich, wenn sie $\pi$-Hallgruppen ihres Erzeugnisses $E$ sind und $E$ $\pi$ separabel ist.
\item[FRAGE (2)] Welche $\mf{A}\in S_\pi G$ (Subnormal-) Ausschnittkollektionen $\{F_1,\cdots, F_\mf{a}\}$ von $G.$ haben die Eigenschaft, daß aus $\mf{A}\subseteq S_\pi G$, $A\neg F=B\neg F$ $\forall A,B\in \mf{A}$, $\forall F\in\{F_1\,\cdots,F_n\}$ folgt: $\mf{A}$ ist $\pi$-verträglich?\\
z.B. die nichtabelschen Faktoren einer $K$-Reihe, wenn $\mf{A}\subseteq\text{ sn}$-erblich große $\pi$-Gr.
\end{itemize}
\begin{flushright}138/139\end{flushright}
\begin{center}Determinierende sn-Faktoren\end{center}
\begin{itemize}
	\item[Def. (1)\begin{picture}(0,0)\put(-74,-11){5.1.80~Schliersee}\end{picture}] $F=X/Y$ ist ein determ. SNF von $G$, kurz $F\in\mathcal{D}(G)$, wenn $Y\lhd X\text{ sn }G$, $X/Y$ perfekt einfach. $Y=\mathcal{C}_G(F)_{\cdot\cdot G}$; d.h. wenn $F$ zu keinem "`höhergelegenem"' SNF von $G$ projekttiv ist.
	\item[(2)] $\eta \in\text{ Hom }G\Rightarrow\mathcal{D}(G^\eta)=\mathcal{D}(G)^\eta-\{1_{E/\text{ Kern }}\eta\}$
	\item[(3)] $A\le G$, $F=X/Y\in\mathcal{D}(G)$, $M\text{ sn }G$, $X=MXY$\\
	$\Rightarrow A_n:=\mathcal{N}_A(M)$ läßt $A\neg F\neg M=(A\cap X)Y\cap M=AY\cap M$ fest.\\
	Bew: $AM$ läßt $\begin{cases}G\\\mathcal{C}_G(M)\end{cases}$ fest, also auch $\mathcal{C}_G(M)_{\cdot\cdot G}=Y$, also auch $AY$, somit auch $AY\cap M$.
	\item[(4)] Sei $N$ ein perfekter halbeinfacher Normalteiler von $G$, $N=\bigtimes\limits_\delta M_\delta$, und sei $F^\delta$ der zu $M_\delta$ gehörige determ. SNF von $G:Y_\delta=\mathcal{C}_G(M_\delta)_{\cdot\cdot G}$\\
	Sei $A^\delta :=A\neg F^\delta$, $B_{\delta^S}=A^\delta\neg M_\delta$. Dann
\begin{itemize}
	\item[a)] $B_\delta=AY_\delta\cap M_\delta$, und 
	\item[b)] $A$ normalisiert $B:=\bigtimes\limits_\delta B_\delta\le N$; $\mathcal{K}(B)=U\mathcal{K}(A\neg F_\delta)$
	\item[c)] $A\cap N\le B$ 
\end{itemize}
Bew: $a\in A\Rightarrow (B_\delta)^a=(AY_\delta\cap M_\delta)^a=AY_{\delta^a }\cap M_{\delta^a}$; $A$ permutiert die $B_\delta$.
\item[?] Bew c): $a\in A\cap N\Rightarrow a=\prod m_\delta\Rightarrow aM^\ast_\delta$
\begin{flushright}139/140\end{flushright}
\item[(6)] Seien $F_\delta$ die determ. SNF von $G$. Seien $A^\delta\le F^\delta$, $A_i\le G$, $\forall~i$: $A_i\neg F^\delta=A^\delta$; $A=\langle A_i\rangle$.\\
$B:=\bigtimes(A^{\varepsilon}\neg M_{\varepsilon})$, wo $N:=\bigtimes M_\varepsilon$ ein halbeinfacher Normalfaktor von $G$ ist
\begin{center}
\unitlength1mm
\begin{picture}(0,20)
\drawline(0,0)(0,10)(20,20)(20,10)(0,0)
\put(-3,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle M_\varepsilon$}}
\put(24,20){\makebox(0,0){$\scriptstyle X_\varepsilon$}}
\put(24,15){\makebox(0,0){$\scriptstyle F^\delta$}}
\put(24,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle Y_\varepsilon$}}
\end{picture}
\end{center}
Dann
\begin{itemize}
	\item[a)] $\begin{cases}A\le\mathcal{N}_G(B)\\A\neg N\le B\end{cases}$
	\item[b)] Falls also $\langle A_i)=G$ ist, ist $B$ ein in $N$ enthaltener Normalfaktor von $G$. Ist $N$ Hauptfaktor von $G$, so $B=\ofrac{N}{1}$. Wenn $B=N$, so $M_\delta\in \bigcup\mathcal{K}(A^\delta)$; $A_i\neg N$ ist ein subdirektes Prod der $M_\delta$, und im Fall $B=1$ ist $A^\delta =1$, $\forall\delta$.
\end{itemize}
Bew:\\
a) $\mathcal{N}_A(M_\delta)$ läßt $F_\delta$, $A^\delta$, $A\neg M_\delta$ fest. $A$ läßt $B$ fest.\\
Die $M_\delta$ Komponente von $A\neg N$ liegt in $A^\varepsilon\neg M_\varepsilon$.\\[5mm]
Anderer Beweis folgt aus (5) mittels
\item[(7)] $K\unlhd G$, $X/Y\in\mathcal{D}:=\mathcal{D}(G)$ (Def: (1)) $KX\not=KY$.\\
Dann ist
\begin{itemize}
	\item[a)] $K\le Y$ und ${}^{X/K}/_{Y/K}\in\mathcal{D}(G/K)$.
	\item[b)] Für jeden Hom $\varphi$ von $G$ mit Kern $K$ ist $X^\varphi/Y^\varphi\in\mathcal{D}(G^\varphi)$ und für alle $A\le G$ ist
	\[
	A^\varphi\neg X^\varphi/Y^\varphi=(A\neg X/Y)^\varphi
	\] 
\end{itemize}
\item[Satz (9)] $=$  $[$teilweise von S. 141 übernommen$]$
\item[Kurz (7)-(8)]
\begin{itemize}
 \item[a)] Projektionen in die determ. SNF $=D$ hom, sind verträglich mit allen Homom. von $G$.~~~~Bew. Nach 7-8\\
mit Hom $\varphi$ von $G$, die $D$ nicht annulieren, $[$und mit den übrigen sowieso, da dann $A^\varphi\neg X^\varphi/Y^\varphi=1=(A\neg X/Y)$$]$
\item[b)]Folge: $A\neg D=B\neg D\forall D\in\mathcal{D}(G)$ $\Rightarrow A^\varphi\neg \overline{D}=B^\varphi\neg\overline{D}\,\,\forall \overline{D}\in D(G^\varphi)$
\end{itemize}
\begin{flushright}140/141\end{flushright}
Bew:
\begin{itemize}
	\item[a)]  $KX\not=KY$ $KX\nleq KY$ $X\le KY$; $Y\le X\cap KY\lhd X$\\
	Da $X/Y$ einfach, ist $X\cap KY=Y$; ferner $X.KY=KX$, also Parall:
	\begin{center}
	\unitlength1mm
	\begin{picture}(0,20)
	\drawline(0,0)(0,10)(20,20)(20,10)(0,0)
	\put(-2,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle Y$}}
	\put(-2,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle X$}}
	\put(23,20){\makebox(0,0){$\scriptstyle KX$}}
	\put(23,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle KY$}}
	\put(10,18){\makebox(0,0){$\scriptstyle X^\prime$}}
	\put(10,2){\makebox(0,0){$\scriptstyle Y^\prime$}}
	\thicklines
	\drawline(0,10)(10,15)
	\put(10,15){\vector(0,-1){10}}
	\end{picture}
	\end{center}
	Wäre $X<KX$, so $X\lhd X^\prime$ $Y^\prime:=KY\cap X^\prime$\\
	$Y^\prime\le\mathcal{C}(X/Y)$ $Y^\prime=Y$ $X^\prime=X$ Wid.\\
	Also $X=KX$, $Y=KY$, $K\le Y$.\\
	Wäre\\
	\hspace*{3cm}
	\unitlength1mm
	\begin{picture}(0,10)
	\drawline(0,0)(0,5)(10,10)(10,5)(0,0)
	\drawline(30,0)(30,5)(40,10)(40,5)(30,0)
	\put(-3,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle KY$}}
	\put(-3,5){\makebox(0,0){$\scriptstyle KX$}}
	\put(13,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle X_1$}}
	\put(13,5){\makebox(0,0){$\scriptstyle Y_1$}}
	\put(27,0){\makebox(0,0){$\scriptstyle Y$}}
	\put(27,5){\makebox(0,0){$\scriptstyle X$}}
	\put(43,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle X_1$}}
	\put(43,5){\makebox(0,0){$\scriptstyle Y_1$}}
	\end{picture}\\[5mm]
	Wid.\\
	Also $K\eta_{K}/K\eta_{K}\in\mathcal{D}(G/K)$.\\[3mm]
	$[$gemeint ist wohl: $X\eta_K/Y\eta_K\in\mathcal{D}(G/K)$$]$
	\item[b)] erster Teil folgt aus a), zweiter so:
	\[
	A^\varphi\neg X^\varphi/Y^\varphi={}^{AK}/{}_K\neg {}^{XK}/_{YK}
	\]
	unter $\varphi^{-1}$
	\begin{eqnarray*}
	&=&AK\neg X/Y\text{ wegen }K\le X,Y\\
	&=&(AK\cap X)Y\\
	&=&(A\cap X)KY\text{ wegen }X=XK\\
	&=&(A\cap X)Y\text{ wegen }Y=YK
	\end{eqnarray*}
\end{itemize}
6.1.80
\item[(8)]
\[
K\lhd G\Rightarrow \mathcal{D}(G/K)=\{X/K\bigg/ Y/K\bigg|\frac{X}{Y}\in\mf{S}(G),K\nleq Y\}
\]
Bew: "'$\supseteq$"' nach 7a\\
"'$\subseteq$"' Ist ${}^{X/K}\big/_{Y/K}\in\mathcal{D}(G/K)$, so folgt aus $X_i\text{ sn }G$ stets $Y=Y_1$, also $^X/_Y\in\mathcal{D}(G)$, $K\le Y$.\\
\unitlength1mm\begin{picture}(0,0)
\drawline(10.5,-10)(20,-5)
\drawline(10,-10.5)(10,-19.5)
\put(10,-10){\makebox(0,0){$\scriptstyle\cdot$}}
\put(10,-20){\makebox(0,0){$\scriptstyle\cdot$}}
\drawline(10,-20.5)(10,-30)
\drawline(20,-5.5)(20,-14.5)
\drawline(10.5,-20)(20,-15)
\put(7,-10){\makebox(0,0){$\scriptstyle X$}}
\put(7,-20){\makebox(0,0){$\scriptstyle Y$}}
\put(7,-30){\makebox(0,0){$\scriptstyle K$}}
\put(23,-5){\makebox(0,0){$\scriptstyle X_1$}}
\put(23,-15){\makebox(0,0){$\scriptstyle Y_1$}}
\end{picture}
\end{itemize}
\mbox{}\\[40mm]\mbox{}\\
$[$Der Rest auf dieser Seite gehört zu Satz 9 auf S. 140\\\hspace*{2mm}und wird dort wiedergegeben.$]$
\begin{flushright}141/142\end{flushright}
Sylow-Normalisator-Türme 95\\
sn - erblich große $\pi$ Untergr. 132, 135\\
Supplemente 1-3, 20\\
Dedekind 18\\
Cartergr. 90\\
Trans. Perm Gr 4\\
Projektionen 5\\
$\lhdd$ 5-6 39 113 125\\
$\mathcal{M}\mf{X}G$ 7-17 (starker Sylow\,S.) sm$_\mf{X}$ 128~~$\overbrace{89\text{-}88}^{\mathcal{M}^{\lhd\lhd}}$ 90 $\overset{\text{Timmesfeld}}{81}$\\ 
$\pi$-Untergruppen 19\\
Normalisatorsätze 21 107 117\\
Gaschütz \& Maschke 23-33\\
Unabhängigkeit \& Faktorisierung 35-37\\
Cosubnormalität 89 111 115 u. Vertauschbarkeit 119\\
Kriterien für Subnormalität 41\\
$S\lhdd AB$ 39 41-44 99-105\\
Subnormalisatoren 114\\
$\ell$sn$\ell$ und Verwandtes 117\\
Verallg. von sn in endl. Gruppen 127\\
$A\wp B$ 120~~~~~~~~~~~~~~~~$p^\alpha q^\beta$-Gruppen 123\\
Perm Gr Grad $p$ 51-79~~~~~~~~~~~~m. reg. Ugr: 54, 56\\
Distributive Funktoren\\
Winkelfeld 38~~~~Matrizenbüschel mit pos. def. Herm M. 38\\
Determinierende Subnormalfaktoren von $G$ 139-141
\begin{flushright}142/143\end{flushright}
Struktur von sn $G$ 127\\
Innere Automorphismen 93  f. Novosibirsk!
\end{document}