\documentclass[10pt,german,leqno]{article}%Tagebuch 17
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Titel 

\vspace*{4cm}

\begin{center}
  {\LARGE  Prof. Dr. Helmut Wielandt}
\end{center}
\vspace*{1ex}

\begin{center}
  \Huge{\sf Tagebücher}
\end{center}
\vspace*{3cm}

\begin{center}
  {\LARGE  D17}
\end{center}
\vspace*{1ex}

\begin{center}
  {\large  7.1.80 -- }
\end{center}

\thispagestyle{empty}

\newpage

%%%%%%%%% Seite 0A
\begin{flushright}0/1\end{flushright}
\begin{center}
\underline{Supplemente}, "'Traktoren"'.
\end{center}
7.1.80
\begin{itemize}
\item[Satz 1] $=$ XVI 3(1) (Nachtrag zum 26.3.78)\\
Sei $H\le G$, $HS_1=HS_2=G$, $H\cap S_i=D_i$, $D_1D_2=H$. Dann ist auch $D:=S_1\cap S_2$ ein Supplement: $HD=G$.\\
Kurz: Der Durchschn. (zweier) unabh. Supplementschnitte ist auch einer.\\
Bew: $S_1D_2=S_1D_1D_2=S_1H=G$; ebenso $S_2D_1=G$.\\
$HD=D_1D_2D=D_1D_2(S_1\cap S_2)=D_1(D_2S_1\cap S_2)=D_1S_2=G$.
\item[Zus. $1^\prime$] $S_1S_2=G$ genügt nicht: $|G|=p^2$, $|H|=p$.
\begin{center}Betr. \underline{Cartergruppe  \& "`Traktoren"'}:\end{center}
\item[2.] Ein Sylow-Normalisator-Turm einer auflösbaren Gruppe $G$ braucht keine Carter-Untergruppe von $G$ zu enthalten; z.B.: $S_4$, $\pi=(2,3,5)$.
\item[3.] Über "'kleinste auf $G$ abgebildete Gruppen:\\
Bechtell PAMS 64, 25 -- 29
\end{itemize}
\begin{flushright}1/2\end{flushright}
\begin{center}\underline{Kompositionsklassen} $\mf{C}$, $m_\mf{C}$~~~~~~~~~Schliersee 7.1.80\end{center}
Sei $\mf{C}$ abg. gegen $\unlhd$, Hom, Erweiterung
\[
m_\mf{C}G:=\{A\in s_\mf{C}:A\le B\in s_\mf{C} G\}
\]
\begin{itemize}
\item[1]\underline{Verhalten bei Homomorphismen:} $N:=\text{Kern }\varphi$
\begin{itemize}
\item[a)] $K(N)\subseteq\mf{C}\cup s_{\pi^\prime}\Rightarrow \pi(\mf{C})=:\pi$
\[
(m_\mf{C}G)^\varphi=m_\mf{C}(G^\varphi)
\]
\item[b)] $K(N)\cap\mf{C}=\emptyset\Rightarrow (m_\mf{C} G)^\varphi\subseteq m_\mf{C}(G^\varphi)$
\end{itemize}
Bew:
\begin{itemize}
\item[a)]
\begin{itemize}
\item[I.] $N\in\mf{C}$ klar.  
\item[II.] $N\in s_{\pi^\prime}$ Feit-Th.
\end{itemize}
\item[b)] Beispiel: $G=\text{SL}(2,5)$ hat $1\underset{2}{<}Z\underset{60}{\lhd}G$
\[
\mf{C}:=\{C_3,\text{ Alt }5\}~~~|A|=3,~~A\le G
\]
Dann $A\in m_\mf{C}G$, aber für $N=Z$\\
$A^\varphi\not\in m_\mf{C}G^\varphi$, da $A^\varphi<G^\varphi\in\mf{C}$.
\end{itemize} 
\item[2] Die \underline{Projektionen von $\mf{C}$ - Faktoren $C$} in Subnormalfaktor $S$ von $G$ sind ($\cong$ SNF von , also) $\mf{C}$ - Faktoren  von $G$. (In einen beliebigen Faktor $F$ von $G$ klappt's nur, wenn $\mf{C}$ auch abgeschlossen gegen $\le$.)
\end{itemize}
\begin{flushright}2/3\end{flushright}
\begin{center}\underline{Kompositionsklassen, für die der $\mf{L}_\pi$-Satz für $m_\mf{C}$ gilt:}\end{center}
7.1.80~~~~~~~~~$\pi:=\pi(\mf{C})$\\
Sei $\mf{C}$ eine gegen $\lhd$ abgeschlossene Klasse von Gr. Aus $A\in m_\mf{C}G$ und $N\unlhd G$ folge $A\cap N\in\mf{L}_\pi N$. Dann gilt:
\begin{itemize}
\item[(1)] $p\in\pi\Rightarrow C_p\in\mf{C}$.\\
Bew: $p\in\pi\Rightarrow\pi\not=\emptyset\Rightarrow\mf{C}\not=\emptyset\Rightarrow 1\in\mf{C}$. Aus $C_p\not\in \mf{C}$ folgt $1\in m_\mf{C}(C_p)$, also $1\in\mf{L}_\pi(C_p),p\not\in\pi$, Wid.\\
Allgemeiner:
\item[(2)] Aus $X\lhd Y\underset{n}{\le}A\in\mf{C}$, $X_A=1$, $B:=Y/X$, $B$ einfach folgt: $\exists B_1\in\mf{C}$, $1<B_1\unlhd B$.\hfill siehe 4(3) Bew\\
Bew: ohne Benutzung von (1). Besser indirekt: Ann. $B\not\in\mf{C},\ldots$\\
Sei $\mu$ die Mon Darst. von $A$ vom Grad $n$ vermöge $\mf{r}=\begin{pmatrix}1\\r_1\\\vdots\end{pmatrix}$ mit Koeff. aus $B$. Wegen $X_A=1$ ist $\mu(A)\cong A$. Sei
\[
D:=\left\{\begin{pmatrix}b_1&&&0\\&b_2&&\\&&\ddots&\\0&&&b_n\end{pmatrix}:b_\nu\in B\right\},~~G:=DA_i\unrhd D.
\]
Wäre $\mu(A)\in m_\mf{C}G$, so $1=\mu(A)\cap D\in\mf{L}_\pi D$, aber $D\in S_\pi$, Wid.. Also wenn $A^\ast\ge\mu(A)$, $A^\ast\in m_\mf{C}G$, so ist $1<A^\ast\cap D\lhd A^\ast$. Wähle $D^\ast\dotlhd A^\ast$, $D^\ast \le A^\ast\cap D$.\\
Da die erste Komponente $B$ von 
\[
\mu(B)=\begin{pmatrix}B\\&\ddots\end{pmatrix}
\]
einfach ist und die erste Komp. von $D^\ast$ normalisiert, ist letztere\\ 
$=\begin{cases}1\Rightarrow D^\ast=1\\B\end{cases}$ wegen Transit. von $\mu(A)$. Wid.~~~~~~~~~~G
\begin{flushright}3/4\end{flushright}
Also hat $D^\ast$ einen Homom. auf (die erste Komp.) $B$, und da\\ 
$D^\ast=\prod$ isom einf Gr $X_i$, sind alle $X_i\cong B$, $X_i\lhd D^\ast\lhd A^\ast\in\mf{C}$, $B\in\mf{C}$.\\
Folge
\item[(3)] \underline{Satz} über $m_\mf{C}\Rightarrow\mf{E}_\pi$ $=$ erblich $\mf{L}_\pi$\\[5mm]
Die einzigen Kompositionsklassen $\mf{C}$, für welche möglicherweise der\\ $\mf{L}_{\pi(\mf{C})}$-Satz für $m_\mf{C}$ gilt, sind die "`Sylowklassen"', die auch bzgl. $\le$ abgeschlossen sind
\begin{center}Literatur Sylowsätze:\end{center}
\item[(4) Lit.]%\mbox{}\\[0mm]
\underline{W. Plesken}, Ein Sylowsatz für $\text{GL}(n,\ZZ)$\\
Vortragsauszug Oberwolfach Jan. 1978 (Separat)\\[5mm]
Z. Arad \& \underline{D. Chillag}, Finite groups containing a nilpotent Hall subgroup of even order. Technion Preprint MT 427, 1979\\
dort: $H\le G\in E_\pi^n$ $\not\Rightarrow H\in E_\pi^n$ ($\text{PSL}(2,3),\pi=\{3,5\}$)%\\[5mm]\mbox{}
\item[(5) FRAGE~~~a)] Ist jede große $\pi$-Untergruppe submaximal?~~~(5) FRAGE
\item[b)] nützt folgende Def etwas?\\ $A$ sehr groß sn $G$ $\iff\nexists B:A<B<G$ mit $A^\sigma=A\Rightarrow B^\sigma =B~~\forall \sigma\in\text{ Aut }G$.
\begin{flushright}4/5\end{flushright}
\item[(4)] Sei $\mf{C}$ eine gegen $\unlhd$ abgeschlossene Klasse von Gr. Es gebe $A\in\mf{C}$ einfach, $B:=Y/X=B_1\times B_2$, $X\lhd Y\le A$, $B_i$ einfach, $B_1\cong B_2\not\in \mf{C}$. Dann gibt es 
\[
G,D,A_1A_2:D\unlhd G, G/D\cong A\cong A_1\cong A_2, A_i\in m_\mf{C}G
\]
$A_1\cap D=A_2\cap D=1$ (sodaß $A_1,A_2$ dieselben Projekionen in die Faktoren von $G\rhd D\rhd 1$ haben), wobei aber 
\(
A_1\underset{G}{\not=} A_2
\) 
ist.\\
Bew: $G$ wie in Bew. (3), $A_1=\mu(A)$, $A_2=A_1^\sigma$, wo $\sigma$ den Automorphismus von $G$ bezeichnet der $B_1$ mit $B_2$ vertauscht (Koeff.-weise auf die Matrizen $\mu(a)$ angewandt). Annahme: $B\not\in\mf{C}$. Dann ist $\mu(A):=A_1\in m_{\mf{C}}G$ (sonst nach Beweis (3): $B\in\mf{C}$), ebenso $A_2=A_1^\sigma\in m_\mf{C}G$. Ferner $A_1\cap D=1=A_2\cap D$. Wäre $A_1\underset{\mf{A}}{=} A_2$, so gäbe es wegen $G=A_1D$ ein $d\in D$ mit $d^- A_1 d=A_2$. Die $1$. Komponente $d_1$ transformiert die erste Komp. von $\mu(B)$ in die von $\mu(B)^\sigma$. Da sowohl die Transformation mit $d$ als auch Anwendung von $\sigma$ $(a_1^d=Da_1\cap A_2=a_1^\sigma)$ jedes El't von $G$ in seiner
\begin{flushright}5/6\end{flushright}
Nebenklasse $Dg$ läßt, ist $\mu(a)^d=\mu(a)^\sigma$, also induziert $d_1$ auf $B$ den Automorphismus $(b,b^\prime)\mapsto (b^\prime,b)$, wie $\sigma$. Aber
\[
(b,1)^d=(b^d,1),~~~(b,1)^\sigma=(1,b),
\]
also $b^d=1~~\forall b$. Wid.\\
Folge von (4):
\item[Satz (5)]Die einzigen Kompositionsklassen, für welche der Konjugiertheitssatz
\[
\left.\begin{array}{c}
A_1,A_2\in m_\mf{C} G\\A_1\neg G^\lambda=A_1\neg G^\lambda G
\end{array}\right\}\Rightarrow A_1\underset{G}{=} A_2
\]
gilt (möglicherweise), sind die Sylowklassen.\\[5mm]\mbox{}
\item[ Erweit.-Frage (6)]Sind zwei submaximale $\pi$-Untergr. von $G$ konjugiert, wenn sie gleiche Projekt. in die Quotienten einer \underline{Untergr.-}Kette $G=G_0>G_1>G_2>\cdots>G_n$ haben?
\item[\small{Projektionen in Quotienten}]Bem: Ist $Q_i=G_i:G_{i-1}$, so ist $|A\neg Q_i\big|i.a.$ kein Teiler von $|Q_i|$,\\ 
z.B. $S_n:S_{n-1}$. Genau wenn $A$ sn $G$, gilt das aber für alle Quotienten in $G$ (S. 19). 
\end{itemize}
\begin{flushright}6/7\end{flushright}
\begin{center}$\mathcal{S}n_G^{II}$; ~~~Subnormalität in $AB$\end{center}
\begin{itemize}
\item[6.2.80] Sei $G=AB$ endlich
\item[FRAGEN: (1)]$A\subseteq\mathcal{S}n^{II}B$, $B\subseteq \mathcal{S}n^{II}A$ $\Rightarrow A\text{ csn }B$ ?
\item[(2)] $A\subseteq\mathcal{S}n^{II}B\Rightarrow B\text{ sn }AB$ ?
\item[allg: (3)] $X\le AB$, $A\cup B\subseteq \mathcal{S}n^{II}(X)\Rightarrow X\text{ sn }AB$ ?
\item[(4)] $X\le G$, $A\cup B\subseteq\mathcal{S}n^{II}(X)\Rightarrow AB\subseteq\mathcal{S}n^{II}X$ ?
\item[Hilfss. 6] $A,X\le G$; $\forall a~X\text{ sn }\langle X,X^a\rangle\Rightarrow X^\mf{N}\text{ sn }\langle A,X\rangle$\\
Bew: Die $X^a$ sind paarw. kosubnormal $[$93$]$: $X^\mf{N}\text{ sn }X^A\lhd\langle A,X\rangle$\\[5mm]\mbox{}
\item[13.2.80~~~Satz 7] $X\le G=AB$ endl., $X\text{ sn }\langle X,X^{\ofrac{a}{b}}\rangle~\forall a,b$\\
$\Rightarrow X^\mf{N}\text{ sn }G$.\\
Bew: $G=\langle A,X\rangle\cdot\langle B,X\rangle, X^\mf{N}\text{ sn }\ofrac{\langle A,X\rangle}{\langle B,X\rangle}$ (6)
\item[Frage 8] Seien $A,B$ $p$-Untergruppen, $A\subseteq$ subnor$_G B$. Folgt $B\le\text{ subnor}_GA$ für diese oder jene Def. von subnor $A$? Nicht für $\{g\in G\big| A\text{ sn }\langle A,A^g\rangle\}$
\end{itemize}
\begin{flushright}7/8\end{flushright}
\begin{center}$X\text{ sn }ABA$\end{center}
\begin{itemize}
	\item[1. Aufgabe:] Kriterium für $X\text{ sn }ABA$.
	\item[2. Bemerkg:] $A\le G_1\le ABA\Rightarrow G_1=AB_1A$ mit $B_1=B\cap G_1$
	\item[3. Aufgabe:] $X\text{ sn }A$, $X\text{ sn }B$, $G=ABA\overset{?}{\Rightarrow} X\text{ sn }ABA$ 
\end{itemize}
\begin{flushright}8/9\end{flushright}
\begin{center}Struktur von $G_1G_2=G$~~~Sylow-Norm Türme \end{center}
\begin{itemize}
	\item[20 3 80~~~(1)] Sei $P_i\in$ $p$-Syl $G_i$. Dann folgt aus $g,h\in G$, $\langle P_1^g,P_2^h\rangle\in\mf{G}_p$ stets $P_1^g\wp P_2^h$.
	\item[($1^\prime$)] Aus $\langle P_1,P_2\rangle=P\in\mf{G}_p$ folgt $P_1^g\wp P_2$ wenn $P_1^g\subseteq P$.
	\item[FRAGE (2)] Enthält das Erzeugnis zweier $\wp$-Sylow-Normalisatortürme \\von $G_1,G_2$ einen von $G$?%\\[5mm]
	\item[FRAGE: (3)] Maximale $\pi$-Untergruppen von $G_1G_2$.
	\item[Nachtrag 28.5.81]
\end{itemize}
\begin{flushright}9/10\end{flushright}
\begin{center}$\wp,\lhdd$ und $M\lessdot G$\end{center}
23.3.80
\begin{itemize}
	\item[FRAGE (1)] Sei $A\text{ sn }$ in zwei maximalen Untergruppen $M,L$ von $G$, die einen Ma\-xi\-mal-\-Durch\-schnitt besitzen:\\
	$D=M\cap L\not= M$ und $D\le K\lessdot G\Rightarrow K\cap M\in\{M,D\}$, $K\cap L\in\{L,D\}$. Ist dann $A\text{ sn }G$?
	\item[(2)] Genügt es bei Bartels, wenn die Erzeugenden von $A$ ein ganzes Vertretersystem von $G:A$ anziehen?\\[5mm]
	Fortsetzung von XVI 116: 
	\item[(3)] "'Sylowtürme in vertauschbar erzeugten Gruppen"' oder "`abgeleitet"' ?
	\item[(4)] Ist $A\le G$, $\pi=\pi(A)\not\in\PP$, so folgt aus $\pi\langle A,A^g\rangle=\pi$~~f. alle \\
	$g\in G$~~~N I C H T~~~$\pi(A^G)=\pi$.\\
	Bsp: $G=S_5\times C_3$, $A=C_2\times C_3$.
\end{itemize}
\begin{flushright}10/11\end{flushright}
\begin{center}Fragen betr. Krit. f. $\lhdd$\end{center}
\begin{itemize}
	\item[(1)] Sei $g\in G$ fest, $A\le G$. Gilt
	\[
	\forall a~~A\text{ sn }\langle A,A^{a^g}\rangle\Rightarrow A\text{ sn }\langle A,A^g\rangle ?
	\] 
	\item[(2)] Folgt aus $A(\circ b)^\infty\subseteq A~\forall b$, $B(\circ a)^\infty\subseteq B~\forall a$ stets $A\text{ csn }B$?
	\item[(3)] Aus $\langle A,B\rangle=G$ und $[a,b]\in A\cap B~\forall a,b$ folgt: $A,B$ konormal. Verallg auf kosubn.?
\end{itemize}
\begin{flushright}11/12\end{flushright}
\begin{center}Normale Supplemente\end{center}
Sei $N\lhd H\le G$, $\mathcal{M}_R$ die mon. Darst. mit Vertr.- Syst $R$
\begin{itemize}
	\item[1.] Falsch ist die Vermutung: Wenn in $\mathcal{M}_R(g)$ je zwei Diagonalelemente konjugiert sind, dann gibt es $M\unlhd G=HM$, $H\cap M=N$.\\
	Bsp. $G=S_5$, $H=S_{(1,2,3)}$, $N=1$, $R$ beliebig.
	\item[Falsche 2.] Vermutung: Wenn in jedem $\mathcal{M}_R(g)$, $g\in G$, alle Diagonalelemente gleich sind, kann man $H/N$ im obigen Sinn abschneiden.\\
	Gegenbeispiel: $G$ einfach, $|H|=2$.
	\item[Vermutg. 3.] Vielleicht genügt die Zusatz-Vor. $Z(H)=1$?
	\item[Satz 4.] Sei $\{Hr\big| r\in R\}>\frac{2}{3}|G:H|$ und $R\le G$. Dann wird $\langle R^G\rangle\cap H$ erzeugt von den $H$-Konjugierten derjenigen $h$, die bei der Zerlegg. der $r^{\prime}{}^{{h^\prime}}=hr$ auftreten ($r^\prime\in R, h^\prime\in H$); $h\in H$, $r\in R$.
	\item[5] §-Überschrift: Fast $2$-trans $P$ Gruppen
\end{itemize}
\begin{flushright}12/13\end{flushright}
\begin{center}Normale Supplemente\end{center}
\begin{itemize}
	\item[Vermut. 1] $G=HR$, $Z(H)=1=H\cap R$; $H,R\le G\Rightarrow\exists N=$ norm Kplt von $H$ in $G$
	\item[Frage 2] Genügt es ein Erzeugendensystem von $H$ zu betr.?
	\item[3] In der monomialen Darst. von $G$ über $H/N$ habe alles mit $\ge3$ Diag-El'ten diese $=1$. $\Rightarrow$ ?
	\item[4] In primitiven $G$ gibt es zu jedem $1< N_0\unlhd G_0$ höchstens ein $N\lhd G$ mit $N\cap G_0=N_0$. Was hilft Quasiprimitivität?\\
	Es gibt dann auch nur eine Fortsetzung eines Epimorphismus von $G_0$ auf $G$.\\
	Ausdehnen auf $H\lessdot H_1\lessdot\cdots\lessdot H_n =G$~~! 
\end{itemize}
\begin{flushright}13/14\end{flushright}
\begin{center}$\wp$ und sn. Vertauschbare Erzeugung\end{center}
\begin{itemize}
	\item[19.4.80~~1.] Aus $A=A^\prime$ einfach; $A,X\le G$; $A\wp A^x~\forall x\in X$ folgt nicht $A\text{ sn }A^X$.\\
	Beispiel: $A=A_5$, $G=A_6\cdot\langle x\rangle$ mit einem äußeren Autom. $x$ von $A_6$; $X=\langle x\rangle, |X|=2$.\\
	Es ist $A^x$ tra $\{1,2,\cdots,6\}$, da $\ni C_5$, kein Fixpkt. Also $AA^x=A_6=A^X$; $A\not\in\text{ sn }A^X$.
	\item[Frage 2] Folgt aus $A\le HK$ endlich, $\langle A,A^x\rangle$ vertauschbar erzeugt für $\forall x\in H\cup K$ stets $A\text{ sn }HK$?
	\item[3] Sei $A_i\wp A_k$ $(\forall i,k)$ und $X\text{ sn }X^{A_i}$ ($\forall i$).\\
	Folgt aus $X\le\prod A_i$ stets $X\text{ sn }\prod A_i$? 
\end{itemize}
\begin{flushright}14/15\end{flushright}
\begin{center}Koinzidenzkerne\end{center}
\begin{itemize}
	\item[Def 1] Sei $\Phi=\text{Hom}(G,H)$. Setze $\mathcal{K}_\Phi:=\{g\in G\big|\varphi g=\psi g~\forall~\ofrac{\varphi}{\psi}\in\Phi\}$
	\item[Bsp 2] $\mathcal{K}_{\{\varphi,0 \}}=\ker\varphi$ wenn $\varphi\in\text{ Hom }G$
\begin{itemize}
	\item[a)] Also jeder Normalteiler ist ein $KK$ von $G$
	\item[b)] $A\le\text{ Aut }G\Rightarrow \mathcal{C}_G(A)\in KK(G)$.
	\item[c)] Der Durchschnitt von $KK$ nen zum selben $H$ ist auch einer.
	\item[d)] Ist $\alpha\in$ Epi$(X,G)$, so ist das inverse Urbild jedes $KK$s von $G$ auch einer. 
\end{itemize}
\end{itemize}
\begin{flushright}15/16\end{flushright}
\begin{center}
$3$-dim. Wertevorrat 
\end{center}
\begin{itemize}
	\item[FRAGE: 1\begin{picture}(0,0)\put(-35,-11){5.5.80}\end{picture}] Wie hängt der WV von $AB$ mit dem von $A,B$ zusammen ? Gibt es eine Multiplikation bei der, wenn man sie in der Einheitskugel deutet (unter Auszeichnung des Nullpkts)?
\end{itemize}
\begin{flushright}
16/17
\end{flushright}
\begin{center}
$\wp$ und $\lhdd$
\end{center}
\begin{itemize}
	\item[1] Maier Preprint 1978: $A\wp M~\forall M\lessdot G\Rightarrow\text{ Fitt }A\text{ sn }G$\\
	Frage: Was wenn $A=A^\prime$ einfach?\\
	Brief Maier 10.7.80 (bei \anmerk) $A=A^\prime$ perfekt genügt nicht 
\end{itemize}
\begin{flushright}
17/18
\end{flushright}
\begin{center}
$m_\mf{X}$ und Verwandtes
\end{center}
\begin{itemize}
	\item[(1)] Wenn $G$ eine zyklische $\pi$-Hallgr. hat, so braucht $A\le G$ überhaupt keine $\pi$-Hall-Gr. zu haben. $G=\text{PSL}(2,31)$, $\pi=\{3,5\}$, $A\cong A_5$\\ 
	$[$Steht bei 2. z. Arad u. D. Chillag, Finite gps containing a nilpotent Hall Sgp of even order Technicon Preprint April 1979$]$. Hartley gemeldet 4.5.80
	\item[(2)] Wenn $G$ außer abelschen KFG nur $A_5$ (und $A_6$?) als KFG hat, so sind je zwei auflösbare $\pi$-Untergruppen maximaler Ord. konjugiert in ihrem Erzeugnis.  
\end{itemize}
\begin{flushright}
18/19
\end{flushright}
\newpage
\begin{center}
Arithm. Krit. f. $\lhdd$
\end{center}
\begin{itemize}
\item[1.8.80~~Def.]$A\tau G:\iff$ aus $V\le U\le G$ folgt
\[
|A\cap U:A\cap V|\text{ teilt }|U:V|.
\]
	\item[Satz] $G$ endlich. Dann $A\text{ sn }G\iff A\tau G$.\\
	Das folgt aus Kegels Satz 8ii (1965)\\
	Direkter Beweis:
\begin{itemize}
	\item[(1)] $B\unlhd A\tau G\Rightarrow B\tau G$
	\item[(2)] $S\text{ sn }G\Rightarrow S\tau G$
	\item[(3)] $A\tau G$, $G^\prime\le G$, $A^\prime=A\cap G^\prime\Rightarrow A^\prime \tau G^\prime$
	\item[(4)] $A\tau G$, $\varphi\in\text{ Hom }G\Rightarrow\varphi(A)\tau\varphi(G)$\\
	Bew: $K=\ker\varphi$, $\overline{X}:=\varphi(x)$
	\[
	K\le V\le U\le G\Rightarrow |KA\cap U:KA\cap V|=\frac{|A\cap U:A\cap V|}{|A\cap U\cap K:A\cap V\cap K|}
	\]
	teilt $|A\cap U:A\cap V|\bigg||U:V|$
	\item[(5)] Bewschluß: $\tau$ Vererbungstyp II III IV.\\ Aus $A\tau G$; $\exists_1~M:A\le M\lessdot G$; $A$ sn $M$; $|A|=p\nmid|G:M|$ folgt: $\exists~g\in G-M$; $A\not\le M^g$\\
	$p=|A\cap G:A\cap M^g|$ teilt $|G:M^g|=|G:M|$. Wid.\\
	$[$Von S. 18 der Reihenfolge entsprechend übertragen:$]$
	\item[(6)]  Def: $A\,\kappa\, G:\iff S\in$ Syl $G$ $\Rightarrow$ $S\cap A\in$ Syl $A$. Damit gilt
	\[
	A\,\kappa\,G\iff\text{ aus }U\le G\text{ folgt }|A:A\cap U|\bigg||G:U|.
	\]
\end{itemize} 
\end{itemize}
\begin{flushright}
19/20
\end{flushright}
\begin{center}
Krit. f. $A$ csn $B$
\end{center}
\begin{itemize}
	\item[Fr. (1)] Genügt es für $A$ csn $B$, wenn es zu jedem $p$ ein Paar kosubnormaler Sylowgr. $A_p$, $B_p$ gibt?\\
	Nein: $B=G$.
	\item[(2)] Genügt es, wenn zu jeder $p$-Sylowgruppe von $A$ eine kosubnormale von $B$ existiert, und umgekehrt? Das wäre eine Verschärfung der Vermutung von Kegel.\\[5mm]
	Allgemeiner:
	\item[(3)] Genügt es für $A$ sn $\langle A,B\rangle$, wenn zu jeder $p$-Sylowgruppe von $B$ eine kosubnormale in $A$ existiert?
	\item[($3^\prime$)]Genügt es für $A$ sn $\langle A,B\rangle$, wenn $A$ sn $\langle A,A^b\rangle$ für jedes primäre $b\in B$? Nein: \# 95 S. 310 (b) 
\end{itemize}
\begin{flushright}
20/21
\end{flushright}
\begin{center}
$M_\mf{X}G$; $G\rhd G_1\rhd\cdots\rhd G_n$, $G_\nu\unlhd G$
\end{center}
\begin{itemize}
	\item[4.8.80~~1.] Sei $C_p\in\mf{X}$ $\forall p\in\PP$. Dann ist die Klassenzahl $c_\mf{X} G=1\iff G\in\mf{X}$.\\
	Folge: Sind $G^\nu$ die Kompfakt. von $G$, so ist\\[5mm]
	Vor. 1
	\item[Satz 2.] $c_\mf{X}G=1$, $G\in\mf{X}\iff c_\mf{X}G^\nu=1~~~(\nu=1\ldots n)$
	\item[3.] $\mf{X}$ beliebig $\mu_\mf{X}G=$ Klassenzahl $|(\mathcal{M}_\mf{X}G):G|$\\
	$\sigma_\mf{X}G=$ Klassenzahl $|\text{submax}_{\mf{X}}G:G|$\\
	Dann
	\[
	\mu_\mf{X}G\le\mu_\mf{X}G^1\cdot\prod_2^n\sigma_\mf{X} G^\nu
	\] 
	Bew: Induktion mit $G/G_{n-1}$; genügt für $n=2$.
	\item[4.] Vor 1. Dann $A\in\text{ submaximal}_\mf{X}G\Rightarrow A=\mathcal{N}_GA$.
	\item[5.] Ähnlich für 
	\(
	|\mathcal{M}_\mf{X}G:\text{ Aut }G|=:c_\mf{X}^\ast G.
	\)
	\item[6.] Für die "'verallgem. Hall gr"' $\mf{S} G^n$ ($=$ sn erbl groß) gilt
	\[
	\mf{S}(G_1\times G_2)=\mf{S}(G_1)\times\mf{S} (G_2).
	\]	
\begin{flushright}
21/22
\end{flushright}
\item[(7)] $A\in \mathcal{M}_\mf{X}G$, $S\text{ sn }H$, $A\le H\le G\Rightarrow A\cap S\in\mf{L}_\pi S$ wo $\pi:=\pi(\mf{X})$.
\item[(8)] Ist $A<G$ eine max. $\mf{X}$-Ugr eines jeden $H$ mit $A\le H<G$, so ist 
\[
\left\langle\begin{array}{l}A\in\mathcal{M}_\mf{X}G\text{ oder }\\A\lessdot G\in\mf{X}.\end{array}\right.
\]
\item[(9)] Sei $A\le G$, $N\lhddot G$. Dann (vgl. 6) $A\in\mf{S} G\iff A\,\pi$-norm-gleich, $A\cap N\in\mf{S} N$.
\item[(10)] Was ist das einfachste Beispiel einer normalisatorgleichen Gruppe $A<G$, die für kein $\mf{X}$ submaximal ist?
\item[(11)] Wo braucht man Abgeschlossenheit von $\mf{X}$ gegen Homomorphismen? (bei innerer $G$-Theorie?)
\end{itemize}
\begin{flushright}
22/23
\end{flushright}
\begin{center}
Sylow-Normalisator-Türme
\end{center}
\begin{itemize}
\item[\begin{picture}(0,0)\put(-75,0){\begin{minipage}[t]{3cm}6.8.80\\Forts. v. XV 155\end{minipage}}\end{picture}]
Sei $\pi=\pi_n=(p_1,\ldots,p_n)$, $G$ endlich, $\pi_\nu:=\{p_1,\cdots, p_\nu\}$\\
$T$ $\pi$ SNT $G$ $:\iff\exists~ 1=T_0\lhd T_1\lhd\cdots\lhd T_n=T$ mit ($T_1\in p_1$-Syl Gr,) $T_\nu/T_{\nu-1}\in p_\nu$-Syl ${}^{\mathcal{N}_GT_{\nu-1}}\big/{}_{T_{\nu-1}}$\\
NB: Die $T_\nu$ sind durch $T$ eindeutig bestimmt.
	\item[Dipl.-Arbeit (1)]$\pi$-Kompos.-Turm-Gruppen Eberhard Junginger 1976-78?
	\item[Gegenbsp. (2)] $G^\prime\unlhd G$, $T\pi$ SNT $G\not\Rightarrow T^\prime :=T\cap G^\prime\pi$ SNT $G^\prime$\\
	Beispiel: $G=S_4$, $N=A_4$, $\pi=(2,3)$, $|P_2|=8$, $P_2\in\mathcal{T}_\pi(S_4)$ $[$ sonst $P_2\underset{3}{\lhd}T\in\mathcal{T}_\pi(G)$, $|T|=24$, $T=S_4$, $|S_4:S_4^\prime|\equiv 0\mod 2,3$, $|S_4^\prime|\big| 4$ aber $(123)\in S_4^\prime$.$]$\\
	Aber $P_2\cap A_4=$ Vierergruppe $\not\in \mathcal{T}_\pi(A_4)$
	\item[(3)] S. auch $1_2$
\end{itemize}
\begin{flushright}
23/24
\end{flushright}
\begin{center}
Projektionen
\end{center}
\begin{itemize}%\mbox{}
	\item[(1)]\mbox{}~ 
	\begin{center}
  \unitlength2mm
  \begin{picture}(0,20)
  \drawline(0,2)(-8,10)(0,18)(8,10)(0,2)
  \drawline(4,6)(-4,14)%()()()
  \drawline(6,8)(-2,16)
  \drawline(-3,5)(5,13)
  \drawline(-6,8)(2,16)
  \drawline(1,9)(0,14)
  \put(0,1){\makebox(0,0){$\scriptstyle G_3$}}
  \put(8.5,6){\makebox(0,0){$\scriptstyle(A\cap G_2)G_3$}}
  \put(10,8){\makebox(0,0){$\scriptstyle(AG_1\cap G_2)$}}
  \put(9,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle G_2$}}
  \put(9,13){\makebox(0,0){$\scriptstyle(A\cap G_1)G_\nu$}}
  \put(5,16){\makebox(0,0){$\scriptstyle AG_2$}}
  \put(-4,16){\makebox(0,0){$\scriptstyle AG_1$}}
  \put(-8,14){\makebox(0,0){$\scriptstyle (A\cap G_2)G_1$}}
  \put(-9,10){\makebox(0,0){$\scriptstyle G_1$}}
  \put(-10,8){\makebox(0,0){$\scriptstyle AG_2\cap G_1$}}
  \put(-7,5){\makebox(0,0){$\scriptstyle (A\cap G_1)G_3$}}
  \put(0.5,7){\makebox(0,0){$\scriptstyle B$}}
  \put(0,16){\makebox(0,0){$\scriptscriptstyle AG_3$}}
  \put(0,19){\makebox(0,0){$\scriptstyle G$}}
  \put(-1,15){\vector(-1,1){1}}
  \put(-3,13){\vector(-1,1){1}}
  \put(5,9){\vector(1,-1){1}}
  \put(2,8){\vector(-1,1){1}}
  \put(4,12){\vector(1,1){1}}
  \put(1,15){\vector(1,1){1}}
  \end{picture}
  \end{center}
	$G_i\unlhd G=G_1G_2$\\
	$B:=(A\cap G_1) G_3(A\cap G_2)$
	\[
	\frac{AG_2\cap G_1}{(A\cap G_1)G_3}\cong\frac{AG_3}{B}\cong\frac{AG_1\cap G_2}{(A\cap G_2) G_3}
	\]
	muß bei Remak stehen
	\[
	\frac{A}{B}\cong\frac{AG_2}{(A\cap G_1)G_2}\cong\frac{AG_2\cap G_1}{(A\cap G_1)G_3}
	\] 
	\item[(2)] Wenn $\mf{X}$ jedes $C_p$ $(p\in\PP)$ enthält, so ist jedes $A\in\mathcal{M}_\mf{X}G$ durch obige Projektionen in eine SNR von $G$ eindeutig bestimmt.\\
	Bew: allgemeiner: (3)  $\big|$ ($2^\prime$).. und $G=\bigcup\limits_{ X\in\mathcal{M}_\mf{X}G}X$.
	\item[($2^{\prime\prime}$)] z.B. $\mathcal{M}_\mf{S}G$.
	\item[(3)] Sei $\{G_\nu\}_0^n$ SNR von $G$, $A\le G$, $A\cap G_\nu$ normalisatorgleich in $G_\nu$. Dann $A$ eind. bestimmt durch die $A\neg G^\nu$.	
\begin{flushright}
24/25
\end{flushright}
\item[(4)] $G=G_0\rhd G_1>1$, $A_\nu:=A\neg G^\nu=B\neg G^\nu$ $(\nu=1,2)$
\[
\Rightarrow |A|=|B|,~|\langle A,B\rangle:A|=|\langle A,B\rangle:B|\text{ teilt }|\mathcal{N}_{G_1}A_1:A_1|.
\]
genauer 
\[
\hspace*{6cm}\prime\prime~~~=|\mathcal{N}_{\langle A,B\rangle\cap G_1}(A_1):A_1|.
\]
\item[Nachtrag 13.7.78~~(5)] Alle $C_p=\mf{C}=$ Sylowklasse $\Rightarrow$ \\$A,B\in m_\mf{C}G$, $A^\lambda= B^\lambda$ für die nicht aufl. $G^\lambda$
\[
\Rightarrow A=B
\]
\item[Nachtrag 14.8.82~~(6)] Nach BREUNINGERs Zul.-Arbeit gilt für die minimal-einfachen Gruppen $E$:
\[
2\not\in\pi, A\in\mf{L}_\pi E\Rightarrow A\text{ intrav. in }E
\]
\end{itemize}
\begin{flushright}
25/26
\end{flushright}
\begin{center}
$\mf{S}_\pi G$ $=$ "'verallg. Hallgr."': Chunikhin
\end{center}
\begin{itemize}
	\item[Def (1)] $A\in\mf{S}_\pi G\Rightarrow A\cap S\in\mf{L}_\pi S$, $\forall S\in\text{ sn }G$.\\ 
	oder $\forall S\in\text{ sn }H$, wenn $A\le H\le G$? 1.(3)\\
	$v_\pi G:=|\mf{S}_\pi G:G|$
	\item[(2)] $\mf{S}_\pi G_1\times G_2=\mf{S}_\pi G_1\times\mf{S}_\pi G_2$.\\
	ebenso $v_\pi$.
	\item[(3)] $A\in\mathcal{M}_\pi G\Rightarrow A\le H\le G$, $S\text{ sn }H\Rightarrow$
	\[
	A\cap H\in\mf{L}_\pi H
	\] 
	Vielleicht wäre die rechte Seite eine gute Verallgemeinerung der Def der Hallgruppen?
	\item[Verallg. von $\mathcal{M}_\pi$:] verlangt wird dabei $T\le G$, $T\text{ sn }\langle A,T\rangle\Rightarrow A\cap T~l_\pi T$
	\item[(4)] Zum "'Hauptsatz von Chunikhin"': Sei $\{ G_\nu\}$ eine $\mathcal{N}R$ von $G$, $C_\nu$ sei eine Klasse konjugierter $\mf{L}_\pi$-Ugr'en von $G^\nu$, die unter $G$ invariant ist. Dann ist $\mf{A}:=\{A\le G| A\neg G^\nu\in C_\nu\}\subseteq\mf{L}_\pi G$ eine Konjugierten-Klasse unter $G$; sind die $G_\nu~\underline{\hspace*{-0.3mm}\blacktriangleleft\hspace*{-0.3mm}}~ G$, so $\mf{A}\le$ Intravar. $(G)$.\\
	Bew: leicht, Induktion mit $G/G_{n-1}$.
\end{itemize}
\begin{flushright}
26/27
\end{flushright}
\begin{center}
Intravarianz u. $S$-Ringe
\end{center}
9.2.81
\begin{itemize}
	\item[(1)] Im Gruppenring $R[G]$ bilden die El'te, die bei einem Autom. $\alpha\in\text{ Aut }G$ fest bleiben, einen $S$-Ring, der symbolische Potenzierung $g\mapsto g^n$ mit \underline{jedem} Exponenten $n\in\NN$ gestattet.
	\item[(2)] Ein maximales intravariantes Teilsystem von $R[G]$ ist ein $S$-Ring, der jede symbol. Potenzierung $g\mapsto g^n$ gestattet.  Bew (1)
	\item[(3)] $G=G_1\times\cdots\times G_n$, $G_\nu\text{ char }G\Rightarrow$ Intr $G=\bigtimes$ Intr $G_\nu$ 
\end{itemize}
\begin{flushright}
27/28
\end{flushright}
\begin{center}
Normalstruktur faktorisiert. Gr.
\end{center}
Nach T.M. Gagen, Tagsbez. OW 1/79, besitzt $AB$ für auflösbares $A$ und zyklisches $B$ nur $C_p$, $L_2(q)$ oder $L_3(3)$ als Komp. Fakt. (genauer: $AB$ involves only solvable groups, $L_2(q)$ or $L_3(3)$).
\begin{flushright}
28/29
\end{flushright}
\begin{center}
$A\ge 0$, maximal-EWe
\end{center}
9.2.81
\begin{itemize}
	\item[Satz 1] Seien $A,B\ge0$ $n\times n$-Matrizen mit Max-Ewen $\alpha,\beta$. Sei 
	\[
	\left.\begin{array}{rcl}
	RB&=&BR\\\text{oder}\\RA&=&AR
	\end{array}\right\},R\ge0,
	\] 
	und für $E=\begin{pmatrix}1&\cdots&1\\\cdots&\cdots&\cdots\\1&\cdots&1\end{pmatrix}$ sei $\lambda^{\prime\prime}ER\le R\le\lambda^\prime ER$.\\
	Wenn $R$ keine Nullspalte hat$^\ast$, gilt:\\ 
	Aus
	\[
	\mu^\prime E\le B-A\le \mu^{\prime\prime}E,-\infty<\mu^\prime\le\mu^{\prime\prime}<\infty
	\]
	folgt
	\[
	\frac{\mu^\prime}{\lambda^\prime}\le\beta-\alpha\le\frac{\mu^{\prime\prime}}{\lambda^{\prime\prime}}~~[\text{ letzteres wenn }\lambda^{\prime\prime}>0 ]
	\]
	$^\ast$ Besser (2) + (3)!\\
	Gebraucht wird nur: $\exists x\in r$ PVA so daß $Rx\not=0$.\\
	Bei Marcus-Minc wird das (bestenfalls) unter der zusätzlichen Vor. bewiesen, daß $A$ und $B$ irreduzibel sind und $\mu^\prime\ge0$ ist, also $B\ge A$.\\
	Bew: oBdA $RA=AR$, sonst $A\leftrightarrow B$.\\ 
	$\exists\,x\in r$PVA, $y\in l$PVB; $\overset{\substack{~~~~~~~\text{d.h. }\ge0,\not=0\\~~\downarrow}}{{x,y\text{ \d{$>$} }0}}$  $\Rightarrow z:=Rx\text{ \d{$>$} }0$
	\begin{eqnarray*}
	Bz&\leqq&(A+\mu^{\prime\prime}E)Rx=ARx+\mu^{\prime\prime}ERx\\
	&\le&RAX+\frac{\mu^{\prime\prime}}{\lambda^{\prime\prime}}Rx=\alpha Rx+\frac{\mu^{\prime\prime}}{\lambda^{\prime\prime}}Rx\\
	&\le&(\alpha+\frac{\mu^{\prime\prime}}{\lambda^{\prime\prime}})z.
	\end{eqnarray*}
	Wenn $B>0$, so ist $y>0$, daher $\beta\le\alpha+\frac{\mu^{\prime\prime}}{\lambda^{\prime\prime}}$;\\
	Wenn $B\not>0$, ersetze $B\mapsto B+\varepsilon E$, $\mu^\prime\mapsto\mu^\prime+\varepsilon$, $\mu^{\prime\prime}\mapsto\mu^{\prime\prime}+\varepsilon$.\\
	Ebenso wird die linke Ungl. der Beh. bewiesen.
\begin{flushright}
29/30
\end{flushright}
\begin{center}
$A\ge0$
\end{center}
\item[(2)] Seien $A,B\ge0$, Max EW $\alpha,\beta$.\\
Sei $Ax=\alpha x$, $x>0$, $B-A= D$, $DX\le\delta x$.\\
Dann ist $\beta-\alpha\le\delta$\\
Bew: $yBx\le yAx+yDx\le(\alpha+\delta)yx$; $yx>0$ da $x>0$
\item[(3)] Ist $RA=AR$ und $DR\le\delta R$, so ist für $x\in r$PVA mit $Rx\ge0$ auch $z:=Rx\in r$PVA und dazu $Dz\le\delta z$, wie in (2) verlangt.
\item[(4)] Der "'Satz von Fréchet"', Marcus-Minc 3.41 von S. 160, sagt: Ist $A$ zeilenstochastisch und $\omega=\min a_{ii}$ und $\lambda$ EW von $A$, so $|\lambda-\omega|\le$\\
(Der Beweis ist umständlich.)\\
Das ist trivial, sogar allgemeiner:
\item[Satz 4] Ist $A\ge0$, $\min a_{ii}=\omega$, $\lambda\in\text{ Spec }A$, so $|\lambda-\omega|\le\alpha-\omega$ wo $\alpha$ der Max EW.\\
Bew: $A-\omega I\ge 0$ hat max EW $\alpha-\omega$.
\begin{flushright}
30/31
\end{flushright}
\begin{center}
$A>0$
\end{center}
9.2.81
\item[(5)] Störung des Max EWs von $A\ge0$. Sei $B\ge 0$\\
Ist
\begin{gather*}
|B-A|\le\delta A,\text{ so ist}\\
|\beta-\alpha|\le\delta\alpha
\end{gather*}
Für $A>0$ gibt es zu \underline{jeder} hinreichend benachbarten Matrix $B$ ein solches $\delta:\Rightarrow(6)$\\
Für $A\ge0$. $B-A\le\delta E$ siehe (1), (2)+(3)
\item[(6)] $A>0$, alle $a_{ik}\ge\rho>0$, $B\ge 0$, alle $|b_{ik}-a_{ik}|\le\delta$\\
$\Rightarrow |\beta-\alpha|\le\alpha\cdot(1+\frac{\delta}{\rho})$\\
Bew. (5): $|B-A|\le\frac{\delta}{\rho}|A|$
\item[(7)] Auch bei beliebigem $A\in C^{n\times n}$ sollte man vielleicht die Störung von $A$ als
\[
|A-B|\le\varepsilon|A|
\]
voraussetzen
\end{itemize}
\begin{flushright}
31/32
\end{flushright}
$[$Seite 32 ist leer!\\
Seite 33 fehlt!\\
Seite 34 fehlt!$]$
\begin{flushright}
32/35
\end{flushright}
\begin{center}
$\ell\text{sn}\ell~G$
\end{center}
\begin{itemize}
	\item[13.7.81~~1.] $\text{$\ell$sn$\ell$ }~G$ kann $\not=\{1,G\}$ sein in einfachem $G$: \\
	Nämlich wohl immer wenn $G$ non-strictly simple ist.\\[5mm]
	$\text{ $\ell$sn }$:
	\item[2.] Sei $A\in \text{ $\ell$sn }G$, und $A$ sei \underline{stark perfekt}: $A=\bigcup\limits_{i\in I}S_i$ mit $S_i=S_i^{\prime}\text{ sn }G$.\\
	Dann ist $AB=BA~\forall B\in \text{ $\ell$sn }G$.\\[5mm]\mbox{}
	\item[17.7.81~~3] $A\text{ $\ell$sn$\ell$ }G\iff(AF_{\text{fin gen}}\le G)A\cap F\text{ $\ell$sn }F$
	\item[4] $A\text{ $\ell$sn }G\ge G_1$ $\Rightarrow A\cap G_1\text{ $\ell$sn$\ell$ } G_1$
\begin{center}
Für \underline{Normalisatorsätze:}
\end{center}
\item[Frage: 5] Kann eine Nilgruppe $\not=1$ perfekt sein?
\item[\anmerk 1981: Robinson?] Ja: Maclain's charakteristisch einfache Gruppen $M$ sind Nilgruppen; diag $M\times M$ ist eine perfekte Ugruppe der Nilgruppe $M\times M$, aber nicht normal!
\begin{flushright}
35/36
\end{flushright}
\item[6.] Beispiele von $\ell$sn Untergruppen $A$ von $G$ mit $A=\mathcal{N}_GA$ und $A^G=G$ sollten sich in P. Halls Arbeit zum Join Problem finden. (Robinson)
\item[$\ell{}^\prime$sn~~~7] Nachtrag 13.2.82: Eine andere Definition von lokaler Subnormalität bei Heineken + Schwittek (Preprint eingereicht bei MZ Okt 1981) sowie bei Schwittek (Preprint).
\end{itemize}
\begin{flushright}
36/37
\end{flushright}
\begin{center}
Grad $p^2$
\end{center}
Frage von Bhattacharya in OW: Kann bei (nicht $2$-abgeschlossenem) primit. $G$ ein minimaler $G$-Modul $L$ nur eine lin-un. homogene Funktion enthalten?
\begin{itemize}
	\item[1.] Antwort: Bei Körper $F=\ZZ_p$ nicht, wenn $p\ge5$.\\
	Bew: Sonst oBdA $x\in L$, $L=\langle x^G\rangle_F$,\\
	$\ni~y+\sum\limits_0^k a_\nu x^\nu\in L$ mit $2\le k\le p-1$, $a_k\not=0\cdots$. Dieses $k$ ist durch $L$ eindeutig bestimmt. Es ist $m=\text{ deg}_yL\le\frac{p-1}{k}$. (i) Wenn $k\ge 3$, so $x^2\in L$, deg$_yx^g=m$, deg $x^{2g}=2m>0$ Wid.\\
	Also $k=2$. (ii) Wenn dim$_FL\ge 4$, so $\exists~yx+cx^3\in L$, $x\cdot(y+cx^2)\in L$,  gleicher Wid..\\
	Also dim$_FL=3$, $F=\langle 1,x,y+x^2\rangle$ oBdA.\\
	Für $L^2$ ist deg$_yL=2\le\frac{p-1}{2}$, wenn $p\ge 5$, und $(y+x^2)^2$, $x^3\in L^2$; Wid. wie bei (i).\\
	Bei $p=3$ ist $G\le$ inhom. Aff$_2$ (3)\\
	Ähnlich vermutlich über beliebigem $F\ge\ZZ_p$. 
\end{itemize}
\begin{flushright}
37/38
\end{flushright}
\begin{center}
$\mathcal{M}_\mf{X}G$
\end{center}
\begin{itemize}
	\item[1] Gibt es immer eine char. Klasse drin?
	\item[2] Sind die Proj. $A\neg G^\lambda$ intrav. $G^\lambda$ und ist $G_\lambda\blacktriangleleft G$ und $A\cap G_\lambda\in\mf{L}_\pi G_\lambda$, so:
	\[
	B\le G,~~A^\lambda\underset{G^\lambda}{=}B^\lambda\Rightarrow A\underset{G}{=}B
	\] 
	\item[3] In diesem Fall gilt eine Produktformel für $\mathcal{N}_GA$, $\mathcal{N}_{G^\lambda}A^\lambda$
	\item[4] Wo Gegenbsp. gegen Stellmachers Vermutung?
\end{itemize}
\begin{flushright}
38/39
\end{flushright}
\begin{center}
Zerfallskriterien usw.
\end{center}
31.10.81
\begin{itemize}
	\item[(1)] Sei $G=G_1\times G_2\times\cdots\times G_n$ \underline{eindeutig}, $G_\nu$ dir. unzerl.\\[5mm]\mbox{}
	\item[Forts. v. XV 278:] Wenn jede Erweiterung jedes $G_\nu$ zerfällt, so auch jede von $G$. (Vielleicht braucht man $Z(G_\nu)=1$)\\
	Aufgabe: Erweiterung auf minimale Erw-Kerne.
\begin{center}
Supplement $\to$ Komplement
\end{center}
\item[(2)] Jede beliebige Erweiterung ist Bild einer zerfallenden:\\ Sei $N\lhd G$, $G=NS$, $N\cap S=D$. Dann ist $G\cong N\rtimes S\big/E$ mit 
\begin{itemize}
	\item[a)] $\begin{cases} E=\{(d,d^-)\}\unlhd G\\E\cong D\end{cases} $
	\item[b)] $NE=N\times E$
\end{itemize}
1. Beweis a) $G=\langle N,S|\text{ Multtafel }N,\mathcal{MT}S,~d_S=d_N\rangle$\\
2. Beweis a,b): $N\rtimes S=\{(s,n)\}$, $(s_1,n_1)(s_2,n_2)=(s_1s_2,n_1^{s_2}n_2)$
\[
E=\{(d,d^-)\},~~~(d,d^-)^{(1,n)}=(d,d^-),~~~(d,d^-)^{(s,1)}=(d^s,d^{-s})
\]
\end{itemize}
\begin{flushright}
39/40
\end{flushright}
\begin{center}
\underline{Submaximale Untergruppen}
\end{center}
\begin{itemize}
	\item[15.11.81~~~1. Def] $A\in\text{ sm }G:\iff\exists B,H: G\text{ sn }H$, $B\lessdot H$, $B\cap G=A$
	\item[$1^\prime$.] $G$ char. einfach, perfekt $\Rightarrow~1\in\text{ sm }G$\\
	Bew: $H=G.\text{ Aut }G$\\
	FRAGE: $\Leftarrow$ ?
	\item[2.] $G$ aufl $\Rightarrow$ $\forall A\in\text{ sm }G$: $|G:A|=p^\alpha$\\
	Bew: Hauptreihe von $H$ durch $G^H$ legen.\\[5mm]
	Zur Erweiterung von Hupperts Kennzeichnung d überaufl.:
	\item[PROBL. 3] $\Leftarrow$ ?\\
	Gegenbeispiel $43_{10}$! (noch nachprüfen)
	\item[Bsp 4] $|G|=168$, $G$ einf. $\Rightarrow\exists A\in\text{ sm }G$, $|A|=8$, $|G:A|=21\not=p^\alpha$, $H=\text{ Aut }G$, $|B|=2^4$\\[5mm]
	Projektionen maximaler Untergruppen in Hauptfakt. :
	\item[5] Ist $F=F_1\times\cdots\times F_n$ ein nicht abelscher Hauptfaktor von $G$ und $M\lessdot G$, so ist, wenn $F$ nicht von $M$ gedeckt wird, $M\neg F=(M\neg F_1)\times\cdots\times (M\neg F_n)$\\
	Bew: $M$ permutiert die $F_\nu$ transitiv wegen $F=K/L\Rightarrow M$ deckt $G/K$, und $M$ läßt $\bigtimes(M\neg F_\nu)$ fest.	
\begin{flushright}
40/41
\end{flushright}
\newpage
\begin{center}
Projektion max. Ugren
\end{center}
  \item[$5^\prime$] Forts.: Ist $F_\nu=L G_\nu$, $G_\nu$ einköpfig perfekt, so ist
  \[
  |G:M|=|G_1:M\cap G_1|^n
  \]
  \item[$5^{II}$] $M\cap K$ ist max. $\{$ unter $M$ invariant, $<K$ $\}$.
  \item[$5^{III}$:]$M\cap G_\nu$ maximal $\mathcal{N}_M(G_\nu)$-invariant $<G_\nu$.
  \item[$5^{IV}$]$M\cap K$ ist normalisatorgleich in $K$, falls $\not= L$.
  \item[$5^{V}$]Daher $M\cap G_\nu$ normalisatorgleich in $G_\nu$
  \item[$5^{VI}$]Sei $S\text{ sn }H$; $P\text{ sn }H$, $P$ eink. perfekt; sei $M\lessdot H$, $R:=$ Rumpf $P\le M$, $P\not\le M$, $P\not\le S$.\\
  Dann $SP/S[M\neg(SP/S)]\cong P:(P\cap M)$\\[3mm]
  \begin{minipage}[b]{5cm}
  \begin{center}
  \unitlength2mm
  \begin{picture}(0,20)
  \drawline(0,5)(-6,11)(0,17)(6,11)(0,5)
  \drawline(2.5,7.5)(-3.5,13.5)%()()()
  \drawline(3.5,8.5)(-2.5,14.5)
  \dottedline{0.7}(4.5,9.5)(-1.5,15.5)
  \drawline(-3.5,7.5)(-2.5,8.5)
  \drawline(0,5)(0,0)
  \put(-1.5,15.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle\bullet$}}
  \put(3.5,7.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle R$}}
  \put(5.8,8.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle P\cap M$}}
  \put(7,11){\makebox(0,0){$\scriptstyle P$}}
  \put(0,18){\makebox(0,0){$\scriptstyle SP$}}
  \put(-2.5,15.5){\makebox(0,0){$\scriptstyle X$}}
  \put(-7,11){\makebox(0,0){$\scriptstyle S$}}
  \put(-5.5,8){\makebox(0,0){$\scriptstyle S_1M$}}
  \end{picture}
  \end{center}
  \end{minipage}
  \begin{minipage}[b]{5cm}Bew: OBdA $S$ max mit $P\not\le S\text{ sn }H$. Dann läßt $\mathcal{N}_MP$ auch $S$ und $SP$ invariant, also\\
  auch $X=S$. $(M\cap SP)\cap P\ge P\cap M$.\\
  nach $5^{III}$ gilt daher $X=S.(M\cap SP)\cap P= P\cap M$.
  \end{minipage}\\[8mm]\mbox{}
  \item[Folge 6] eink. perf. unabh. $P_1,\cdots,P_k\text{ sn }H$, $R_1\cdots R_k=$ Rümpfe $\le M\lessdot H$,\\ $S\text{ sn }H$, $P_\kappa\not\le S$, $T=SP_1P_2\cdots P_k\Rightarrow$
  \[
  |T:(M\cap T)|=|S:M\cap S|\cdot\prod|P_\kappa:M\cap P_\kappa|
  \]
\begin{flushright}
41/42
\end{flushright}
\begin{center}
Noch Projektionen maximaler Untergr. in Kompf.
\end{center}
\item[7.] Ist $M\lessdot H$ und ist $H^\nu$ ein \underline{perfekter} Kompfaktor\marginpar{Man kann\\ von Projekt.\\ von $M\lessdot G$\\ in abstrak-\\t\-e\\ Kompfakt\\ reden!} von $H$, der von $M$ nicht gedeckt wird, so ist
\begin{itemize}
	\item[a)] jeder von $M$ nicht gedeckte $KF~~H^\lambda$ von $H$ ist $\cong H_\nu$,
	\item[b)] die zugehörigen einköpfigen perfekten sn Deckgruppen $P^\lambda$ sind ein volles System konj. Untergruppen von $H$, auf welches $M$ transitiv wirkt,
	\item[c)] die Proj. $M\neg H^\lambda$ ist perspektiv und konj unter $M$ (projektiv) zu $M\neg \frac{P_\lambda}{\text{Rpf }P_\lambda}$
	\item[d)] alle $H^\lambda:(M\neg H^\lambda)$ sind gleich $|P_\nu:M\cap P_\nu|$. 
\end{itemize}
\item[Folge $7^\prime$] $G:M$ ist eine Potenz von $|H^\nu:M\neg H^\nu|$. Also
\item[8] $M\lessdot H$, $M$ deckt einen \underline{perfekten} KF $H^\nu$ von $H$ \underline{nicht}. Dann ist $M\neg H^\nu=M^\ast\cap H_\nu$ für ein passendes $M^\ast\lessdot(H^\nu)^\ast:=\text{ Aut }H^\nu$.\\
Bew mit 41 ($5^{III}$)\\[5mm]\mbox{}
\item[Satz 9\begin{picture}(0,0)\put(-35,-11){15.11.81}\end{picture}] $M\in\text{ sm }G$, $G^\nu$ perf. KF von $G$ deckt $\Rightarrow$ $M\neg G^\nu\text{ sm }G^\nu$.\\
Frage
\begin{flushright}
42/43
\end{flushright}
\begin{center}
noch Proj. max. Ugr.
\end{center}
 \item[10\begin{picture}(0,0)\put(-80,-1){GBsp gegen}\put(-80,-11){Vermutung $40_2$}\end{picture}]  Die Gruppe $G$ der Ord $8\cdot 168$, die durch zerfallende Erweiterung oder elementarabelschen Gruppe der Ord $8$ mit $G_{168}$ entsteht, wird treu durch 
 \[
 \text{Aff}(3,2)=\left(\begin{array}{cc|c}
 \cdot&\cdot&\cdot\\
 A&\cdot&\cdot\\\hline
 0&0&1
 \end{array}\right)
 \]
 über $K_2$ dargestellt; die Polarität $A\to {A^\prime}^{-1}$ kann nicht zu einem Autom. von $G$ erweitert werden, weil
 \[
 \begin{pmatrix}\cdot&\cdot&0\\\cdot&\cdot&0\\0&0&1
 \end{pmatrix}\text{ auf } N=\begin{Bmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0&\cdot\\
 0&1&0&\cdot\\
 0&0&1&\cdot\\
 0&0&0&1\end{pmatrix}\end{Bmatrix}
 \]
 einen Fixpunkt hat, die transponierte aber nicht.\\
 Daher erleidet $G/N$ bei subnormaler Einbettung in jedes $M$ unter $\mathcal{N}_H G$ nur innere (?) Autom., jedenfalls keine Polarität, und daher hat jede max Ugr. von $(\mathcal{N}_HG)/N$ eine Proj. in $G_{168}$ von Primzahlpotenz-Index.\\
 dh. alle \underline{submaximalen Ugr von $G$ haben primäre Indizes,} dennoch ist $G$ nicht auflösbar.
 \item[Satz 11] Zu jedem nicht-abelschen Hauptfaktor $K/L$ von $G$ gibt es $M\lessdot G$, das $K/L$ nicht deckt.\\
 Bew: Sonst $K/L\le\text{ Fratt }G/L$, $K/L$ nilpotent. Genauer:
\begin{flushright}
43/44
\end{flushright}
\begin{center}
$M\lessdot G$
\end{center}
 \item[Satz 12\begin{picture}(0,0)\put(-35,-11){17.11.81}\end{picture}] Ist $K/L$ ein nicht-ab. Hauptfaktor von $G$, so gibt es zu jeder Sylowgr $P/L$ von $K/L$ ein $M\lessdot G$, das $K/L$ nicht deckt, aber den Normalisator in $K/L$ der Sylowgruppe $P/L$ deckt.\\
 Bew: Wähle $M$ max. über $\mathcal{N}_G(P/L)$.
 \item[Sonderf. $12^\prime$] Vor. 12. $\Rightarrow\exists~ M\lessdot G$, $M$ deckt $K/L$ nicht, $|G:M|$ ungerade.\\
 Bew: $P\in\text{ Syl}_2K/L$\\
 (ebenso: $M$ von $p$-freiem Index), wenn $p|(K:L)$
 \item[13] Die nicht primären Maximal-Indizes von $G$ stimmen mit denen von $G/G_\mf{S}$ überein; aber nicht mit denen von $G^\mf{S}$: Gegenb. $G=\text{ Aut }G_{168}$.
 \item[13.] Schneidet $M\lessdot G$ einen Hauptfaktor von $G$ an, dh. Proj. $M\neg G^\lambda\not=\ofrac{1}{G^\lambda}$, so ist $M$ durch die Projektion eindeutig bestimmt, als Normalisator.
\begin{flushright}
44/45
\end{flushright}
\item[$13^\prime$] Ist aber $M\neg G^\lambda=1$, so ist $M$ nicht notwendig eindeutig bestimmt. Genauer:
\item[GBsp. 14.] In $G=\overset{\substack{\text{Alt}\\\swarrow~~~\searrow}}{(A_5)\ofrac{n}{\cdot}A_n}$, $n>5$, $N:=n(n-1)\cdots 7.6$, gibt es $M_i\cdot\lessdot G$, $i=1,2$, beide kernlos, $M_1\underset{G}{\not=}M_2$.\\
Beweis: Stelle $A_n$ monomial nach $A_5$ dar (Grad $n(n-1)\ldots 7.6=:N$), läßt $A_5^N$ fest, dann sind $M_1=$ \underline{dieses} $A_n$ \underline{und} die Permutationsdarstellung $M_2$ von $A_n$ vom Grad $N$ zwei Komplemente zu $A_5^N$, beide sind $\lessdot G$, aber nicht konjugiert; denn sie müßten unter $A_5^N$ konjugiert sein, also müßten in die Diagonalfaktoren alle $-1$ sein, aber sie durchlaufen ganz $A_5$
\item[Problem $14^\prime$] Wann sind $M,M^\prime\lessdot G$ konjugiert?
\item[Aufgabe 15] Durchschnitte unabhängiger maximaler Untergruppen untersuchen, Verallg. von $P$ \anmerk ?
\end{itemize}
\begin{flushright}
45/46
\end{flushright}
\begin{center}
Einfache Gruppen: Probleme
\end{center}
25.11.81
\begin{itemize}
	\item[1.] Sind die Untergruppen maximaler ungerader Ordnung intravariant? Das würde dann für alle zusammengesetzten Gruppen auch gelten. 
\end{itemize}
\begin{flushright}
46/47
\end{flushright}
\newpage
\begin{center}
Durchschnitte von $k$-maximalen U'gr'en\\Subnormale Kerne
\end{center}
26.11.81
\begin{itemize}
	\item[(1) Def:] $A\leedot G:\iff A=G$ oder $A\lessdot G$\\ 
	$A\leedot {}^kG\iff\exists G_\nu:G=G_0\dotree G_1\dotree G_2\dotree\cdots\dotree G_k=A$\\
	$A\leedot {}^0G:\iff A=G$.
	\item[(2)] $A\leedot^{k-1}G\Rightarrow A\leedot^k G$\\
	weiter $G\in\max_{\text{sn}}:$ Dann $\exists A_{\cdot\cdot G}~~\forall A\le G$.
	\item[(3)] $A\leedot B\le G\Rightarrow A_{\cdot\cdot G}\unlhd B$\\
	Bew: Klar ist $A_{\cdot\cdot G}\unlhd A$. Wenn $A_{\cdot\cdot G}=B_{\cdot\cdot G}$, "'$\Rightarrow$"' trivial. Sei $A_{\cdot\cdot G}<B_{\cdot\cdot G}$. Dann $\exists C:$
	\[
	A_{\cdot\cdot B}\lhd C\text{ sn }B_{\cdot\cdot G}.
	\]
	\[
	\mathcal{N}A_{\cdot\cdot G}\ge\langle A,C\rangle\begin{cases}>A\\\le B\end{cases},
	\]
	also $\langle A,C\rangle=B$.
	\item[Satz (4)] Aus $G=G_0\dotree G_1\dotree G_2\dotree\ldots\dotree G_k=A\ge S\in\text{ sn }G$ folgt\\ 
	$G\unrhd G_{1_{\cdot\cdot G}}\unrhd G_{2_{\cdot\cdot G}}\unrhd\cdots\unrhd G_{k_{\cdot\cdot G}}=A_{\cdot\cdot G}$ und\\
	$d(A_{\cdot\cdot G},G)\le k$ sowie $S^{kG}\le A$, wo
	\[\unitlength1mm\begin{picture}(0,0)\begin{rotate}{36}\put(0,0){\makebox(28,-6){$\overbrace{~~~~~~~~}^{\phantom{k}}$}}\end{rotate}\put(12,7){$\scriptstyle k$}\end{picture}
	S^{kG}=S^{S^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{S^{{}^G}}}}}}.
	\]
	Bew: $G_{l\cdot\cdot G}\unlhd(G_{l-1})_{\cdot\cdot G}$ folgt aus (3). Rest klar.
	
\begin{flushright}
47/48
\end{flushright}
\begin{center}
Noch $k$-max. Ugr'en\\\underline{Durchschnitte von $k$-max Ugr'en:}
\end{center}
\item[(5)] Sei $A_i\leedot^kG$, $D:=\bigcap\limits_i A_i\ge S\in\text{ sn }G$. Dann
\begin{itemize}
	\item[a)] $d(D_{\cdot\cdot G},G)\le k$
	\item[b)] $S^{kG}\le A$, $S^{kG}=\begin{picture}(0,0)
	\begin{rotate}{38}
\put(2.5,-3.5){$\underbrace{~~~~~~~~}_{\phantom{k}}$}
\end{rotate}
\put(22,1){$\scriptstyle k$}
\end{picture}S^{S^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{S^{{}^G}}}}}}$ \\
	Bew: (4)
\end{itemize}
\item[($5^\prime$)] Sonderfall $k=1$: $A_i\leedot G$, $D=\bigcap A_i\ge S\in \text{ sn }G\Rightarrow S^G\le D$.
\newpage
\begin{center}
\underline{$k$-ter Maximal-Abschluß:}
\end{center}
\item[Def:] Für $H\le G$ setze 
\[
H^{(k)}:=\bigcap\limits_{H\le A\!\leeedot\!{}^kG}A;~~~~~H^{(0)}=G
\]
\item[(6)] Es ist
\[
H^{(k-1)}\ge H^{(k)}~~~(k\in\NN).~~~(2)
\]
\item[Satz (7)] $S\text{ sn }G\Rightarrow G=S^{(0)}\unrhd S^{(1)}\unrhd\cdots\unrhd S^{(k)}$\\
Bew: $k\ge1\Rightarrow S^{(k)}=\bigcap\limits_{S\le B\!\leeedot\!{}^{k-1}G}D(B)$, $D(B):=\bigcap\limits_{S\le A\!\leeedot\! B}A$.\\
Nach $5^\prime$ ist $\underline{D(B)}=\bigcap\limits_{S^B\le A\!\leeedot\! B}A$, offensichtlich \underline{$\trianglelefteq B$}\\
$\bigcap\limits_B$ ergibt $S^{(k)}\unlhd\bigcap B=S^{(k-1)}$.
\begin{flushright}
48/49
\end{flushright}
\item[(8)] $S\text{ sn }G\Rightarrow S^G\unlhd S^{(1)}\unlhd G$ und $S^{(1)}/S^G=\Phi(G/S^G)$\\
Bew: 
\[
S^{(1)}=\bigcap\limits_{S^G\le A\!\leeedot\! G}A.
\]
\item[Vermutung 9)] Vermutung: $S\text{ sn }G\Rightarrow S^{(k)}/S^{kG}\in\mf{N}$.
\item[Frage (10)] Wie verhält sich $S^{(2)}$ zu $S^{(\anmerk)}:=\bigcap\limits_{S\le T\!\leeedot\! S^{(1)}}M$?
\item[Frage (11)] Kann man die Vor. $G\in\max_{\text{sn}}$ weglassen?\\
oder gehts mit $\ell$sn statt sn ?
\end{itemize}
\begin{flushright}
49/50
\end{flushright}
\begin{itemize}
	\item[(1)] Den Existenzsatz von \v{C}unikhin braucht man nur für den Fall "'großer"' Projektionen zu beweisen; dann den Existenzsatz anwenden: \\
	Ist $A\le N\unlhd G$ und deckt $\mathcal{N}_G(A)$ ganz $G/N$, so gibt es zu jedem $\pi$ eine Erweiterung von $A$ durch eine $\pi$-[Sy-Norm]-Turmgruppe, $A\lhd B\le N$, so daß $\mathcal{N}_G(A)\cap\mathcal{N}_G(B)$ ganz $G/N$ deckt. (Also: Das Ergebnis der \v{C}-Konstr. normalisiert die vorg. Proj.!).
	\item[(2)] Spezialisierung des Exist. Satzes von C. auf "'subcharakteristische"' Reihen von $G$ muß zu intravar. Lösungen führen.
	\item[(3)] Kann es vorkommen, daß für $A,B\in\mf{L}_\pi G$ die beiden Projektionen in die Faktoren einer $K$-Reihe von $G$ stets join-conjugate sind, in die Faktoren einer anderen nicht?
\end{itemize}
\begin{flushright}
50/51
\end{flushright}
\begin{center}
$\mf{L}_\pi G$, $m_\pi G$ u. Verw.
\end{center}
Verallg. von $m_\pi$
\begin{itemize}
	\item[(1)] Def. $A$ schwach maximale $\pi$-Ugr. von $G$ $:\iff(A\le H\le G,S\text{ sn }H\Rightarrow A\cap S\in\mf{L}_\pi S)$
	\item[$m_\pi$ Frage (2)] $G$ einfach. $\exists A\in m_\pi G:A\cong B\le G\Rightarrow A\underset{\langle~\rangle}{=}B$?
	\item[$m_\pi$ Frage 3] Gibt es stets $A\in m_\pi G$ sodaß $A\cong B\le G\Rightarrow A\underset{G}{=}B$?
	\item[erbl. $\mf{L}_\pi$ 4] Ist $A\neg F\in\mf{L}_\pi F$ für jeden Kompfaktor von $G$, so gilt
\begin{itemize}
	\item[(a)] $S,T\text{ sn }G\Rightarrow A\cap ST=(A\cap S)(A\cap T)$, daher 
	\item[(b)] $S,T\text{ sn }G\Rightarrow A\cap \langle S,T\rangle=\langle A\cap S,A\cap T\rangle$
	\end{itemize}
	\item[5] $A$ submax aufl in $G$. Dann $B\le A\iff B$ läßt die Projektionen von $A$ in die nicht aufl. Faktoren $F$ einer Hauptreihe fest.
	\item[Frage:] Genügt auch $B\neg F\le A\neg F$?
	\item[6.] $\left.\begin{array}{l}G\text{ einfach}\\A\in\text{ sm}_\mf{X}G\end{array}\right\}\Rightarrow A$ liegt nicht nur in einem einzigen $B\in m_\mf{X}G$; vielmehr gibt's mehrere Isotope zu $B\ge A$ sonst bliebe auch $B$ bei der $A$ festlassenden  größten $\mf{X}$-Autom  Gr. von $G$ fest.
\end{itemize}
\begin{flushright}
51/52
\end{flushright}
\begin{center}
Normalisatorsätze
\end{center}
sollten sich nach dem "'Stetigkeitsprinzip"' variieren lassen, z.B.:\\ Sei $A=A^\prime\text{ sn }G$, $A$ lasse \underline{seine} SN Teiler "'angenähert"' fest. Läßt dann $A$ auch die  SNTer von $G$ in einem Sinn angenähert fest (z.B. kurze Bahnen ?)?
\begin{flushright}
52/53
\end{flushright}
\begin{center}
Sylow-Normalisator-Türme
\end{center}
Brasilia, 15.7.82
\begin{itemize}
	\item[1.] $\PP_o=\PP$ mit fester Anordnung $\Rightarrow$ jeder Kompos.-$\PP_o$-Sy No-Turm $T$ (dh mit $T\neg G^\lambda\PP_o$-Sy NT $G^\lambda$) ist durch seine Projektionen $T\neg G^\lambda$ eindeutig bestimmt. Die Anzahl dieser Gruppen, $n(\PP_o,G)$, ist also $=\prod\limits_\lambda n(\PP_o,G^\lambda)$. Aber (Das ist schon lange klar, weil 
	\[
	n(\PP_o,G)=|G:T|=\prod|G^\lambda,T^\lambda|=\prod_\lambda n(\PP_o,G^\lambda).
	\]
	\item[2.] Vermutung: 1 gilt \underline{nicht} für Komp. $\prod$-Sy No Türme, e.g $\pi=\{2,3~~~$?
	\item[3.] 1 gilt allgemein für Gruppen $H\le G$, für welche $H^\lambda=\mathcal{N}_{G^\lambda}(H^\lambda)$ ist für alle $\lambda$:
	\[
	\#~H^g=\prod_\lambda ~\#(H^\lambda)^{g_\lambda}.
	\] 
	\item[4] Für die $H$ von 3 (bei beliebiger SNR $G$,~!) gilt:
	\[
	F\le G,F^\lambda=H^\lambda~~\forall\lambda\Rightarrow F=H.
	\]
\end{itemize}
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53/54
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$[$Seite 54 ist leer!$]$
\begin{flushright}
54/55
\end{flushright}
\begin{center}
$\mf{L}_\pi G$ \& Gruppen mit nilpotenten $\pi$-Hallgruppen
\end{center}
19.8.82
\begin{itemize}
	\item[(1)] Genau dann ist $|\mf{L}_\pi G:G|=1$, wenn $\mf{N}\cap\mathcal{H}_\pi G\not=\emptyset$, dh. $G\in E_\pi^n$.\\
	Bew: $\Rightarrow$ Ordne $\pi$, nimm $T\in\pi$-Syl Nor Turm $G$.\\
	$T\in\mf{L}_\pi G$ ist konj in $G$ zu $T^\ast$ für andere Ordnung. Also $T\in\mf{N}\cap\mathcal{H}_\pi G$.\\
	$\Leftarrow$ $H\in\mf{N}\cap\mathcal{H}_\pi G$, $L\in\mf{L}_\pi G\Rightarrow L\le H^g~\exists g$, wegen $L\in\mf{L}_\pi G$ ist $L=H^g$.\\
	NB: Es genügt schon, wenn je zwei \underline{auflösbare} große $\pi$-Ugr von $G$ konj. sind [sogar solche mit Sy-Turm].
	\item[(2)] $|\mf{L}_\pi G:G|=1$, $A,B\in\mf{L}_\pi G\Rightarrow A\underset{\langle~\rangle}{=}B$.\\
	Bew: $A,B\in\mf{N}\cap\mathcal{H}_\pi G\subseteq\mf{N}\cap\mathcal{H}_\pi\langle A,B\rangle$,~~$A\underset{\langle~\rangle}{=}B$.
	\item[(3)] $N\unlhd G$, cf $N\subseteq E_\pi^n$, $A,B\in m_\pi G$\\
	$\Rightarrow A\cap N\underset{\langle~\rangle}{=}B\cap N\in\mathcal{H}_\pi N=\text{ Komp-}\pi_o\text{-Sy Nor Turm}$ $\forall \pi_o$ (Ordnungen von $\pi$)\\
	Bew: Ind $|G|$, $M\le N$, $M\dotlhd G~\frac{\diagup}{\diagdown}\begin{smallmatrix}|M|_\pi=|M|\\=1\\\text{sonst}\end{smallmatrix}$
	\item[(4)] $S\text{ sn }G$, cf $S\subseteq E_\pi^n$, $A\in m_\pi G\Rightarrow A\cap S\in\mathcal{H}_\pi S=K\pi_o$ Sy \anmerk \ $S$ $\forall\pi_o$, daher $A,B\in m_\pi G\Rightarrow A\cap S\underset{\langle~\rangle}{=}B\cap S$\\
	Bew: (3)
\begin{flushright}
55/56
\end{flushright}
\begin{center}
\underline{cf $G\subseteq E_\pi^n$}
\end{center}
\item[Satz (5)\begin{picture}(0,0)\put(-35,-11){19.8.82}\end{picture}] cf $G\subseteq E_\pi^n\Rightarrow \forall_o~sm_\pi G=\text{ Komp }\pi_o$ Sy Nor Türme $G$ $\Rightarrow$ $|sm_\pi G:G|=1$\\
Bew (4)
\item[($5^\prime$)] cf $E\subseteq E_\pi^n\iff$ für alle Ordnungen $o$ von $\pi$ fallen die Komp $\pi_o$ Sy N Türme zusammen.
\end{itemize}
\begin{flushright}
56/57
\end{flushright}
\begin{center}
Submaximale $\pi$-Untergr.
\end{center}
\begin{itemize}
	\item[Satz 1:\begin{picture}(0,0)\put(-35,-11){20.8.82}\end{picture}] Jeder Kompositionsfaktor von $N$ habe die Eigenschaft, daß seine submaximalen $\pi$-Untergruppen konjugiert sind. Dann gilt: 
\begin{itemize}
	\item[a)] $N$ hat die gleiche Eigenschaft.
	\item[b)] Ist $N\unlhd G$, so besteht eine natürliche $1$-$1$-Zuordnung zwischen $m_\pi G:G$ und $m_\pi\overline{G}:\overline{G}$ $(\overline{G}=G/N)$, ebenso zwischen $\text{sm}_\pi G:G$ und $\text{ sm}_\pi~\overline{G}:\overline{G}$.
\end{itemize}
\item[Frage 2:] Gibt es einfache $G\not\in E_\pi^n$ mit $\text{sm}_\pi G:G=1$?
\item[Frage:]Gibt es in jeder zusammeng. Gruppe $G$ ein $A\le G$ mit $A$ erblich große $\pi$-Gruppe in jedem $G_1$, $A\le G_1\le G$? Das wären wohl die nächsten Verwandten der $\pi$-Hallgr.\\
Ist $G$ einfach, so tut's jede maximale $\pi$-Ugr.
\end{itemize}
\begin{flushright}
57/58
\end{flushright}
Intravarianz u. $S$-Ringe 27\\
Einfache Gruppen, Probleme: 46\\
Schnitte zweit-maximaler Untergruppen etc. 45, 47\\
$\wp$ und sn 10, 14, 27\\[3mm]
Gruppen m. vorgeschr. Projekt.: 50\\
$\mathcal{S}n_G^{II}(X)$ 7\\
$\ell$sn$\ell$ 35\\
Kosubnormalität 20\\
Subn. in $AB$ 7\\
Normalstruktur faktorisierter Gr: 28\\[3mm]
sm: submaximal 40\\
$m_\mf{X}$ u. Verwandtes 2-6~~21-26\\
$\mf{S}_\pi G$ (verallg. Hallgr.) 26\\
Projektionen maximaler Ugren 41-45\\
Gruppen des Grades $p^2$ 37\\
Normalisatorsätze 52\\
Koinzidenzkerne 15\\
Supplemente 1~~39
\begin{flushright}
58/59
\end{flushright}
Nicht negative Matrizen 29
\end{document}