Funktionalanalysis I

SoSe 2010, TU Berlin

Inhalt dieser Lehrveranstaltung sind die Grundlagen der linearen Funktionalanalysis, wie sie in zahlreichen Zweigen der Mathematik benötigt und angewandt werden, z.B. in der Analysis und Numerik von Differentialgleichungen, der mathematischen Physik und der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Übersicht:

Aktuelles
Personen
Termine
Vorlesung
Übungsschein
Übungsblätter
Literatur

Aktuelles:

Hier geht es weiter mit der FunkAna 2!
Für Sprechstunden während der vorlesungsfreien Zeit schreibt uns einfach eine Email, falls Bedarf besteht.
Wir wünschen euch eine angenehme vorlesungsfreie Zeit und einen schönen Sommer!
Die Übungsscheine sind fertig! Sie liegen im Sekretariat von Frau Grimberger (MA 674) bereit und können zu den Sprechzeiten (Mo, Di, Do, Fr 9:30-11:30) abgeholt werden.
Die (vor langer Zeit) nachgefragte Lösung zur Aufgabe 4 vom 6. Übungsblatt gibt es endlich hier.
In der Woche vom 12. bis zum 16. Juli entfallen Vorlesung, Übung, Tutorien und Sprechstunden wegen der Operatortheorie-Konferenz IWOTA 2010. Ihr seid herzlich eingeladen Euch Konferenzvorträge anzuhören; das Programm findet Ihr auf der Konferenz-Website
Für diejenigen, die wegen der Studienberatungsveranstaltung am Besuch der Dienstagsvorlesung gehindert waren: Die Notizen.
Prof. Jussi Behrndt wird für den Rest des Semesters anstelle von Dr. Kaouther Ammar die Vorlesung übernehmen.
Einen Beweis für die schwierige Implikation zwischen den Versionen des Satzes von Baire gibt es jetzt hier. (Vgl. Tutoriumsaufgaben vom 6. Übungsblatt.)
Eine Übersicht über wichtige Beispiele normierter Vektorräume zum selbstständigen Ausfüllen gibt es hier. Der Begriff der Reflexivität und Isomorphieaussagen zu den Dualräumen folgen im Laufe des Semesters.

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Personen:

Name	Funktion	Sprechzeiten	Raum	Email
		(während der Vorlesungszeit)
Prof. Dr. Jussi Behrndt	Dozent	Di 14-16	MA 670	behrndt@math.tu-berlin.de
Jonathan Rohleder	WiMi	Mi 9³⁰-11	MA 662	rohleder@math.tu-berlin.de
Christian Kühn	Tutor	Di 12-14	MA 661	tutor_ck@web.de

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Termine:

Die Lehrveranstaltung besteht aus einer vierstündigen Vorlesung sowie je zwei Stunden Übung und Tutorium.

Vorlesung:	Prof. Dr. Jussi Behrndt	Di 16-18 Do 10-12	MA 144 MA 141
Übung:	Jonathan Rohleder	Mi 14-16	MA 043
Tutorien:	Christian Kühn	Mi 16-18	MA 851
	Christian Kühn	Do 12-14	EN 187
	Christian Kühn	Do 14-16	MA 645
	Jonathan Rohleder	Fr 12-14	MA 548

Vorlesung und Übung beginnen in der ersten Vorlesungswoche am 13. bzw. 14. April. Tutorien gibt es ab der zweiten Woche (21./22./23. April).

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Vorlesung

Hier gibt es ein Inhaltsverzeichnis der Vorlesung. Folgende Inhalte sind geplant:

1      Grundlagen
1.1   Vektorräume
        1.1.1 Grundlagen
        1.1.2 Lineare Abbildungen
1.2   Metrische Räume
        1.2.1 Grundlagen
        1.2.2 Vervollständigung
        1.2.3 Stetige Abbildungen
        1.2.4 Banachscher Fixpunktsatz
1.3   Normierte Räume
        1.3.1 Normen, normierte Räume, äquivalente Normen
        1.3.2 Anwendung: Der Satz von Picard-Lindelöf
        1.3.3 Quotientenräume
1.4   Beispiele für normierte Räume
        1.4.1 Folgenräume
        1.4.2 Einige klassische Funktionenräume
        1.4.3 Lebesgue-Räume
1.5   Stetige lineare Operatoren
        1.5.1 Der Banachraum der stetigen linearen Abbildungen
        1.5.2 Das Lemma von Banach
        1.5.3 Der Dualraum
        1.5.4 Der adjungierte Operator
        1.5.5 Der Bidualraum
2    Die Hauptsätze über lineare Operatoren in Banachräumen
2.1   Der Satz von Baire
2.2   Das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit
2.3   Der Satz von der offenen Abbildung
2.4 Der Satz vom abgeschlossenen Graphen

3     Der Satz von Hahn-Banach und seine Anwendungen
3.1   Fortsetzung linearer Funktionale
        3.1.1 Fortsetzung linearer Funktionale in Vektorräumen
        3.1.2 Fortsetzung stetiger linearer Funktionale in normierten Räumen
3.2   Trennungssätze
        3.2.1 Anwendung: Optimalitätsbedingungen für Optimierungsprobleme
3.3   Schwache Konvergenz
        3.3.1 Reflexivität und Separabilität
        3.3.2 Anwendung: Schwache Folgenunterhalbstetigkeit stetiger konvexer Funktionen
        3.3.3 Starke Konvergenz aus schwacher Konvergenz
3.4   Der Satz vom abgeschlossenen Bild
4    Hilberträume
4.1  Skalarprodukte und Hilberträume
4.2   Projektionen und Orthogonalität
        4.2.1 Orthogonalität
        4.2.2 Projektionen
4.3   Der Darstellungssatz von Fréchet-Riesz und Anwendungen
        4.3.1 Der Satz von Lax-Milgram
4.4   Anwendung auf elliptische Differentialgleichungen
        4.4.1 Sobolevräume
        4.4.2 Schwache Formulierung elliptischer Differentialgleichungen
4.5   Orthonormalsysteme und Orthonormalbasen

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Übungsschein

Jeden Mittwoch erscheint ein Übungsblatt (siehe unten), das in festen Zweier- oder Dreiergruppen bearbeitet und in den Tutorien der Folgewoche abgegeben werden soll. Wer insgesamt 50% der Punkte aus den Übungsblättern erreicht, bekommt einen Übungsschein.

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Übungsblätter

PDF-File	Ausgabe	Abgabe	Korrekturen und Bemerkungen
0. Übungsblatt	13.4.	21./22./23.4.
1. Übungsblatt	21.4.	28./29./30.4.
2. Übungsblatt	27.4.	5./6./7.5.
3. Übungsblatt	4.5.	12./14.5.	Hausaufgabe 3(i) ist jetzt etwas expliziter formuliert.
4. Übungsblatt	11.5.	19./20./21.5.
5. Übungsblatt	18.5.	26./27./28.5.
6. Übungsblatt	26.5.	2./3./4.6.
7. Übungsblatt	2.6.	9./10./11.6.
8. Übungsblatt	8.6.	16./17./18.6.
9. Übungsblatt	15.6.	23./24./25.6.
10. Übungsblatt	22.6.	30.6./1./2.7.
11. Übungsblatt	29.6.	7./8./9.7.	Aufgabe 1(ii) korrigiert: U vorausgesetzt als abgeschlossener Unterraum von X
12. Tutoriumsblatt	5.7.	--

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Literatur:

Ergänzend zur Vorlesung empfehlen wir folgende Lehrbücher:

D. Werner: Funktionalanalysis, 6. Auflage, Springer, 2007.
H.W. Alt: Lineare Funktionalanalysis, 5. Auflage, Springer, 2006.

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Jonathan Rohleder, 2010